Embed Size (px)
DESCRIPTION
formule
Citation preview
1
KUPA I ZARUBLJENA KUPA
KUPA
P= B+M B= r2 π M=s r π P= r π (r+s)
V=31 BH V=
31 r2 π H
H s
r
Osni presek: Oop=2r+2s Pop=rH
H s
r H2+r2= s2
Ravnostrana (jednakostrana ) kupa je ona kod koje je 2r = s, pa je osni presek jednakostranicni trougao. www.matematiranje.com
2
ZARUBLJENA KUPA
P= B1+B2+M B1=R2 π B2=r2π M= s(R+r) π P= π [R2+r2+s(R+r)]
V=3H ( B1+B2+ 21BB ) V=
3πH (R2+Rr+r2)
H s
r
R Osni presek: Pop=(R+r)H H2+(R-r)2= s2 H2+(R+r)2=D2
2r s D H s R+r R-r 2R 1) Površina kupe je π24 , a površina njene osnove je π9 . Izračunati zapreminu kupe.
?
924
_______________
2
2
=
=
=
V
cmBcmP
π
π
cmrr
rB
39 2
2
==
=
ππ
π
cms
ssrM
5315
=⋅⋅=
=ππ
π
cmHHHH
rsH
415
92535
2
2
222
222
==
−=
−=
−=
312
493131
cmV
V
BHV
π
π
=
⋅⋅=
=
3
2) Dužina visine i izvodnice prave kupe odnosi se kao 4:5 a njena zapremina je π96 . Naći površinu kupe.
?
965:4:
____________
=
==
P
VsH
π
Čim imamo neku razmeru koristimo ‘’ trik sa k’’
⇒= 5:4: sH kH 4= i ks 5= Iskoristimo Pitagorinu teoremu:
krkr
kkrkkr
Hsr
39
1625)4()5(
22
222
222
222
==
−=
−=
−=
Pošto nam je data zapremina:
πππ
96)106(6
)(
=+=+=
PP
srrP
3) Pravougli trougao sa katetama a i b rotira oko hipotenuze. Naći zapreminu
dobijenog obrtnog tela. I ovde će slika biti ''presudna'' RAZMIŠLJAMO: → Na ovaj način se dobijaju dve kupe (priljubljene) → Poluprečnik osnove obe kupe je Ch )( Chr = → Zbir visina ove dve kupe daje hipotenzu c → Zapreminu moramo da izračunamo preko a i b
281296
34)3(96
3
3
3
2
2
==
=
⋅=
=
kk
k
kk
HrV
ππ
π
63105
84
======
krkskH
4
www.matematiranje.com
)(333 21
22
21
221
HHrHrHrV
VVV
+=+=
+=
πππ
3
2 crV ⋅=
π ( jer je CHH =+ 21 )
Kako je: abchbachC
C =⇒⋅
=22
33
abhChhV CCC ⋅⋅=
⋅⋅=
ππ i 22 ba
abhC+
=
22
22
3 babaV+
=π
4) Zapremina zarubljene kupe jednaka je π584 , a poluprečnici osnova su 10 i 7. Naći visinu zarubljene kupe.
873584
2193
584
)7049100(3
584
)710710(3
584
)(3
22
22
=⋅=
⋅=
++=
⋅++=
++=
HH
H
H
H
RrrRHV
ππ
π
5) Na kom rastojanju od vrha kupe, čija je visina H, treba postaviti ravan paralelno sa osnovom koja deli omotač kupe na dva dela jednakih površina. Neka je X traženo odstojanje. Očigledno da ovakvim presekom kupe dobijamo manju kupu i zarubljenu kupu.
?
710584
_______
=
===
H
rRV π
5
Izvucimo osni presek ‘’na stranu’’ Iz sličnosti trougla očigledno proizilazi: 1::: ssXHrR == Od nas se traži da omotači budu jednaki, tj. da omotač kule πrsM 11 = bude isti sa omotačem zarubljene kupe π))(( 12 rRssM +−= Dakle: Ako ovo upakujemo sa već dobijenom proporcijom rRss :: 1 =
2:
2
22
)2()()(:)2(:
22
22
=
=
=
+=+
+=+++=
rR
rR
rRrRrRrRrrrrRR
rRRrrR
Kako je: www.matematiranje.com
)(:)2(:)()2(
2
))((
1
1
11
111
11
21
rRRrssrRsRrs
srsRRsrsrrsRssrsRrs
rRssrsMM
++=+=++=+
−−+=+−=
=ππ
22
22
2
2
2:
::
HX
HX
HX
XH
rRXH
=
⋅=
=
=
=
6
6) Kvadrat ABCD stranice a rotira oko ose koje prolazi kroz teme C paralelno sa BD. Naći zapreminu dobijenog tela. Pažljivo nacrtajte sliku, jer i ovde ona sve govori.
Sa slike se vidi da se radi o dve ‘’priljubljene’’ zarubljene kupe iz kojih je izvučena po jedna kupa. Očigledno je da poluprečnik veće osnove zarubljene kupe 2aR = (dijagonala kvadrata), a
poluprečnik manje osnove zarubljene kupe je 2
2ar = , tj. polovina dijagonale kvadrata.
(istovremeno i r kupe). Takodje je visina i kupe i zarubljene kupe takodje polovina dijagonale,
tj. 2
2aH =
Zapreminu tela ćemo naći kada od zapremine zarubljene kupe oduzmemo zapreminu kupe, pa to pomnožimo sa dva.
( ) ( )
π
π
π
π
π
ππ
3
2
2
2
222
222
2
223
32
2222
32
32
)(32
)(3
2
3)(
32
)(2
aV
aaV
aaaaV
RrRHV
rrRrRHV
HrrRrRHV
VVV KZK
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⋅=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅=
+=
−++⋅=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−++=
−=
www.matematiranje.com
7
Zanimljivo da bi površinu tela našli kao zbir površina omotača zarubljene kupe i kupe, pa putu dva.
)(2 KZK MMP −= Ali se ovo u zadatku ne traži, Vi možete radi treninga uraditi i ovo. 7) Prava zarubljena kupa ima izvodnicu 5=s i poluprečnike osnova 5=R i 1=r . Naći poluprečnik osnove pravog valjka koji ima s njom jednaku visinu i površinu omotača.
______155
===
rRs
Omotač zarubljene kupe je π)( rRsM += Dakle: Visinu zarubljene kupe ćemo dobiti iz Pitagorine teoreme:
91625
)15(5)(
2
2
222
22
=
−=
++=
++=
HH
HrRHs
→= 3H Ovo je istovremeno i visina valjka Omotač valjka je HrMV π2=
5630
32302
==
⋅⋅==
rr
rHrMV
πππ
Dakle, poluprečnik osnove valjka je 5 www.matematiranje.com
ππ
30)15(5
=+=
MM
8
8) Izračunaj površinu osnog preseka zarubljene kupe ako je površina omotača
π10=M i ugao izvodnice prema ravni osnove je 030 .
?
10____________
=
=
OPP
M π
Izvucimo trougao na kome primenjujemo Pitagorinu teoremu:
10)(
10)(10
=+=+
=
rRsrRs
Mππ
π
Odavde je: Površina osnog preseka je: (površina trapeza)
HrRHrRHrRPOP ⋅+=⋅+
=⋅+
= )(2
)(22
22
52
102
)(2
)(
=
=
⋅+=⋅+=
OP
OP
OP
P
P
srRsrRP
www.matematiranje.com
2
21
30sin
30sin
sH
sH
sHsH
o
o
=
⋅=
=
=
