Kuramdan Uygulamaya Etkinlik Örnekleriyle

Sayıların ÖğretimiEditörler: Prof. Dr. Erhan ERTEKİNDoç. Dr. Melihan ÜNLÜ

Editörler: Prof. Dr. Erhan ERTEKİN Doç. Dr. Melihan ÜNLÜ

KURAMDAN UYGULAMAYA ETKİNLİK ÖRNEKLERİYLE SAYILARIN ÖĞRETİMİ

ISBN 978-605-241-811-6DOI 10.14527/9786052418116

Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

© 2019, PEGEM AKADEMİ

Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. AŞ'ye aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elekt-ronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan ki-taplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz.

Pegem Akademi Yayıncılık, 1998 yılından bugüne uluslararası düzeyde düzenli faaliyet yürüten uluslararası akademik bir yayınevidir. Yayımladığı kitaplar; Yükseköğretim Kurulunca ta-nınan yükseköğretim kurumlarının kataloglarında yer almaktadır. Dünyadaki en büyük çevri-miçi kamu erişim kataloğu olan WorldCat ve ayrıca Türkiye’de kurulan Turcademy.com ve Pegemindeks.net tarafından yayınları taranmaktadır, indekslenmektedir. Aynı alanda farklı yazar-lara ait 1000’in üzerinde yayını bulunmaktadır. Pegem Akademi Yayınları ile ilgili detaylı bilgilere http://pegem.net adresinden ulaşılabilmektedir.

1. Baskı: Ekim 2019, Ankara

Yayın-Proje: Özge YüksekDizgi-Grafik Tasarım: Ayşe Nur Yıldırım

Kapak Tasarım: Pegem Akademi

Ay-bay Kırtasiye İnşaat Gıda Pazarlama ve Ticaret Limited ŞirketiÇetinemeç Bulvarı 1314.Cadde No:37A-B

0312 472 58 55

Yayıncı Sertifika No: 36306Matbaa Sertifika No: 33365

iletişim

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay/ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60İnternet: www.pegem.netE-ileti: pegem@pegem.net

WhatsApp Hattı: 0538 594 92 40

ÖN SÖZ

Matematik denilince ilk akla gelen şey sayılardır. Nitekim insanoğlu ilkçağ-lardan itibaren sürekli saymaya ihtiyaç duymuştur. Sayma sayılarının bulunuşu; sıfırın keşfi ve sayma sayılarına ilave edilmesi ile doğal sayılar kümesinin elde edilmesi, ardından tam sayılara; tam sayılardan rasyonel sayılara geçiş, rasyonel sayılarla işlem yapmaya başlanması, iki tam sayının oranı şeklinde yazılamayan sayılara yani irrasyonel sayılara ve gerçek sayılara geçiş… Bütün bu gelişmeler ma-tematik tarihinde binlerce yıllık bir süreçte ortaya çıkmıştır.

İnsanoğlunun matematikte gerçekleştirmiş olduğu gelişim alanı içerisinde sayı kümeleri, özellikleri ve bunlara ait işlemler önemli bir uğraş alanı olmuştur. Matematiğin temel konularından biri olan sayı kümeleri, sayı kümelerinin ve bunlara ait işlemlerin tanımı, gelişimi kadar bu sayıların öğretimi de büyük bir önem arz etmektedir. Temel olarak sayıların öğretimi üzerine odaklanan bu ki-tap, sayılarla ilgili her bir kavramı ve öğretimini derinlemesine ele almak amacıyla hazırlanmıştır. Kitap 22 bölümden oluşmaktadır ve kitapta ortaokul düzeyinde öğretilecek olan sayı ve sayılarla ilgili kavramlar üzerinde durulmuştur. Bölümler hazırlanırken özellikle kavramların tanımları, tarihi gelişimleri, kavrama ilişkin kavram yanılgıları, Matematik öğretim programındaki yeri ve günlük hayatla iliş-kisi üzerinde durulmuştur. Kitap bölümleri oluşturulurken yeni öğretme-öğren-me yaklaşımları ve teknoloji kullanımından da faydalanılmıştır.

Matematik öğrenme süreçlerindeki başarımız matematiksel kavramları an-lamlandırmanın yanında işlemleri yapabilme ve algılayabilmeye de bağlıdır. Arit-metik işlemleri anlayabilmek ise sayı hissi denilen kavrama dayanmaktadır. Kita-bın birinci bölümünde, sayı kavramı ele alınmış ve sayı hissinin geliştirilmesine yönelik stratejiler, örnekler üzerinden okuyucuya aktarılmıştır. Sayı sistemleri, genel anlamda matematiğin doğuşunun temelinde yer alan, bir çokluğun büyük-lüğüne karar vermede kullanılan sayma ve ölçme gibi kavramların sistemli olarak kullanılmasına dayanmaktadır. Sayı sistemlerinin tarihsel gelişimine bakıldığın-da tarih boyunca farklı medeniyetlerce farklı sayı sistemlerinin kullanıldığı gö-rülmektedir. Bundan dolayı kitabımızın ikinci bölümünde sayı sistemi ve değişik tabanlı sayılar incelenmiştir.

İşlem kavramı ve dört işlem, matematikteki hemen hemen tüm konular için bir ön koşul olarak düşünülebilir. Bu bağlamda kitabımızın üçüncü bölümünde, işlem kavramı ayrıntılı olarak ele alınmış ve işlem kavramın öğretimine yönelik etkinlik örneklerine yer verilmiştir. İlk okuma yazma becerileri için ses (harf) kav-ramı ne kadar önemli ise doğal sayı kavramı da matematik için o kadar önemlidir. Bundan dolayı kitabın dördüncü bölümünde doğal sayı kavramı ve doğal sayıların

iv Kuramdan Uygulamaya Etkinlik Örnekleriyle Sayıların Öğretimi

öğretimi üzerinde durulmuştur. Beşinci bölümde ise doğal sayılarda işlemler ve öğretimi ayrıntılı olarak açıklanmıştır.

Kitabın altıncı bölümü sayılar öğretiminin önemli konularından bir olan çarpanlar- katlar ve öğretimine ayrılmıştır. Bunun ardından kitabın yedinci bölü-münde bölünebilme kuralları ve öğretimi incelenmiştir. Sekizinci bölümde ebob ve ekok kavramları açıklanmış ve etkinlik örnekleriyle öğretimine yer verilmiştir.

Kesirler okul öncesi dönemden itibaren öğretimi hedeflenen temel kavram-lardan biri olmasının yanında diğer kavramların ve konuların öğrenilmesinde de bir basamak teşkil etmektedir. Kitabın dokuzuncu bölümünde matematik öğre-timinin neredeyse her aşamasında karşılaşılan kesir kavramı ve öğretimi detaylı olarak incelenmiştir. Ardından kitabın onuncu bölümünde kesirlerde işlemler ve öğretimi üzerinde durulmuştur.

Onbirinci bölüme gelindiğinde ortaokul öğrencilerinin ortaokulda yeni tanı-şacakları ve zorlandıkları konulardan biri olan tamsayı kavramı ve öğretimi üze-rinde durulurken, onikinci bölümde tamsayılarla işlemler ve tamsayılarda işlem-lerin öğretimine yer verilmiştir.

Onüçüncü bölümde kesirlerle ilişkili kavramlardan biri olan ondalık kesirler ve öğretimi yer alırken, ondördüncü bölümde, ondalık kesirlerde işlemler ve öğre-timi yer almaktadır. Kitabın onbeşinci bölümünde kesirlerin ve ondalık kesirlerin farklı bir gösterim şekli ve günlük hayatta sıklıkla kullandığımız matematik konu-larından birisi olan yüzdeler ve öğretimi üzerinde durulmuştur.

Bilimdeki birçok kavram, doğal sayılarla değil rasyonel sayılarla temsil edi-len ilişkisel düşünmeyi içerir. Rasyonel sayı kavramı ve rasyonel sayılarla işlemler, kişinin gerçek dünyadaki durumları ve sorunları anlama ve bunlarla başa çıkma yeteneğini büyük ölçüde geliştirir. Bu bağlamda kitabın onaltıncı bölümünde ras-yonel sayı kavramı ve öğretimi, onyedinci bölümünde ise rasyonel sayılarla işlem-ler ve öğretiminden bahsedilmiştir.

Öğrencilerin matematiksel gelişiminde önemli rol oynayan orantısal akıl yürütme becerisi, ortaokul seviyesinde öğretimi gerçekleştirilen oran ve orantı kavramlarının öğretimi ile geliştirilebilmektedir. Bu bağlamda kitabın onsekizinci bölümünde oran-orantı öğretimi ve orantısal akıl yürütme becerisi detaylı olarak incelenmiştir.

Kitabın ondokuzuncu bölümünde tekrarlı çarpımın bir gösterim şekli ve özellikle çok büyük ya da çok küçük sayıları temsil etmenin kısa bir yolu olan üslü çokluklar ve öğretimi ele alınmıştır. Yirminci bölümde bazı sayıların rasyo-nel formda gösterilememesi ile irrasyonel sayıların varlığının ortaya konulması ve

vÖn Söz

her iki sayı kümesini kapsayan Reel sayılar kümesi ve kavramı ve köklü sayıların öğretimine yönelik etkinlik örneklerine yer verilmiştir. Yirmi birinci bölümünde matematikte tanımsız olarak kabul edilen kavramlardan biri olan küme kavramı ve kümelerle ilgili temel kavramların öğretimine yer verilmiştir.

Matematik eğitiminin en önemli amaçlarından biri bireylere problem çöz-me becerisi kazandırmaktır. Üst düzey düşünme becerilerinden biri olan problem çözme becerisine sahip ve onu günlük hayatta karşılaştıkları zorlukların üstesin-den gelmek için kullanabilen bireyler birçok konuda başarıyı yakalayabilecektir. En son bölüm olan yirmi ikinci bölümde ise sayılara ilişkin problemler ve problem çözme stratejileri üzerinde durulmuştur.

Bu kitap sayılar ve öğretimine yönelik olarak hazırlanmış bir kitap olması nedeniyle matematik öğretmen adaylarına ve matematik öğretmenlerine, lisan-süstü öğrencilerine ve matematik eğitimcilerine önemli bir kaynak olabilecek bir kitaptır. Kitabın oluşmasında büyük emek ve çaba sarfeden değerli akademisyen meslektaşlarımıza sonsuz teşekkürlerimizi sunuyoruz. Kitabımızda yer alan bö-lümlerin, öğrencilerde sayı hissinin geliştirilmesine yönelik çalışmaların gerçek-leştirilmesinde, sayılara ilişkin kavramların anlaşılmasına, öğrenilmesine ve öğre-tilmesine katkı sağlaması dileğiyle…

Yazarlar Adına

Editörler: Prof. Dr. Erhan ERTEKİN

Doç. Dr. Melihan ÜNLÜ

Bölümler ve Yazarları

Editörler: Prof. Dr. Erhan ERTEKİN Doç. Dr. Melihan ÜNLÜ

1. Bölüm: Sayı Kavramı ve Sayı Hissinin Geliştirilmesi Doç. Dr. Burçak BOZ YAMAN Muğla Sıtkı Koçman Üniversitesi, Eğitim Fakültesi

2. Bölüm: Sayı Sistemi ve Değişik Tabanlı Sayılar Doç. Dr. Ersen YAZICI Aydın Adnan Menderes Üniversitesi, Eğitim Fakültesi

3. Bölüm: İşlem Kavramı Dr. Öğr. Üyesi Tuğba ÖÇAL Ağrı İbrahim Çeçen Üniversitesi, Eğitim Fakültesi Doç. Dr. Mehmet Fatih ÖÇAL Ağrı İbrahim Çeçen Üniversitesi, Eğitim Fakültesi

4. Bölüm: Doğal Sayı Kavramı ve Doğal Sayı Kavramının Öğretimi Dr. Öğr. Üyesi Solmaz Damla GEDİK ALTUN Nevşehir Hacı Bektaş Veli Üniversitesi, Eğitim Fakültesi

5. Bölüm: Doğal Sayılarda Dört İşlem Becerileri Araş. Gör. Dr. Zekiye MORKOYUNLU Kırşehir Ahi Evran Üniversitesi, Eğitim Fakültesi

6. Bölüm: Çarpanlar ve Katlar Prof. Dr. Yaşar AKKAN Trabzon Üniversitesi, Fatih Eğitim Fakültesi Dr. Öğr. Üyesi Mesut ÖZTÜRK Bayburt Üniversitesi, Bayburt Eğitim Fakültesi

7. Bölüm: Bölünebilme Kuralları ve Öğretimi Dr. Öğr. Üyesi Serhan ULUSAN Aydın Adnan Menderes Üniversitesi, Eğitim Fakültesi

viiBölümler ve Yazarları

8. Bölüm: En Büyük Ortak Bölen ve En Küçük Ortak Kat Dr. Öğr. Üyesi Mesut ÖZTÜRK Bayburt Üniversitesi, Bayburt Eğitim Fakültesi Prof. Dr. Yaşar AKKAN Trabzon Üniversitesi, Fatih Eğitim Fakültesi

9. Bölüm: Kesir Kavramı ve Öğretimi Doç. Dr. Tuğba HORZUM Necmettin Erbakan Üniversitesi, Ereğli Eğitim Fakültesi

10. Bölüm: Kesirlerle İşlemler ve Öğretimi Dr. Öğr. Üyesi Nejla GÜREFE Uşak Üniversitesi, Eğitim Fakültesi

11. Bölüm: Tam Sayı Kavramı ve Öğretimi Dr. Öğr. Üyesi Emel TOPBAŞ TAT Necmettin Erbakan Üniversitesi, Ereğli Eğitim Fakültesi

12. Bölüm: Tam Sayılarda İşlemler ve Öğretimi Dr. Öğr. Üyesi Hatice ÇETİN Necmettin Erbakan Üniversitesi, Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dr. Öğr. Üyesi İbrahim ÇETİN Necmettin Erbakan Üniversitesi, Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi

13. Bölüm: Ondalık Gösterim Kavramı ve Öğretimi Dr. Öğr. Üyesi Bilal ÖZÇAKIR Alanya Alaaddin Keykubat Üniversitesi, Eğitim Fakültesi

14. Bölüm: Ondalık Kesirlerle İşlemler ve Öğretimi Dr. Öğr. Üyesi Hatice ÇETİN Necmettin Erbakan Üniversitesi, Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi

viii Kuramdan Uygulamaya Etkinlik Örnekleriyle Sayıların Öğretimi

15. Bölüm: Yüzde Gösterimi ve Öğretimi Dr. Öğr. Üyesi Gülfem SARPKAYA AKTAŞ Aksaray Üniversitesi, Eğitim Fakültesi

16. Bölüm: Rasyonel Sayı Kavramı ve Öğretimi Dr. Öğr. Üyesi İbrahim ÇETİN Necmettin Erbakan Üniversitesi, Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi

17. Bölüm: Rasyonel Sayılarla İşlemler ve Öğretimi Araş. Gör. Dr. Dilşad GÜVEN AKDENİZ Bayburt Üniversitesi, Eğitim Fakültesi

18. Bölüm: Oran–Orantı ve Orantısal Akıl Yürütme Araş. Gör. Hilmi KARACA Aksaray Üniversitesi, Eğitim Fakültesi

19. Bölüm: Üslü İfadeler ve Öğretimi Prof. Dr. Erhan ERTEKİN Necmettin Erbakan Üniversitesi, Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi

20. Bölüm: Reel Sayı Kavramı ve Köklü İfadelerin Öğretimi Araş. Gör. Dr. Fatih KALECİ Necmettin Erbakan Üniversitesi, Siyasal Bilgiler Fakültesi

21. Bölüm: Kümeler ve Kümelerle İlgili Temel Kavramların Öğretimi Dr. Öğr. Üyesi Zeki AKSU Artvin Çoruh Üniversitesi, Eğitim Fakültesi Doç. Dr. Ümit KUL Artvin Çoruh Üniversitesi, Eğitim Fakültesi

22. Bölüm: Sayılarla İlgili Problemler ve Problem Çözme Stratejileri Doç. Dr. Melihan ÜNLÜ Aksaray Üniversitesi, Eğitim Fakültesi

İÇİNDEKİLER

Ön Söz .................................................................................................................................... iiiBölümler ve Yazarları ............................................................................................................vi

1. BÖLÜM

SAYI KAVRAMI VE SAYI HİSSİNİN GELİŞTİRİLMESİ

Giriş .......................................................................................................................................................11. Ortaokul 5–8. Sınıflar Matematik Dersi Öğretim Programlarında Sayı Hissinin Yeri ....................................................................................................................42. Sayı Hissinde Kesirler, Ondalık Gösterimler ve Yüzdelerin Önemi ........................15Bölüm Sonu Değerlendirme Soruları ...............................................................................22Kaynakça ...............................................................................................................................24

2. BÖLÜM

SAYI SİSTEMİ VE DEĞİŞİK TABANLI SAYILAR

Giriş ........................................................................................................................................251. Sayı Sistemlerinin Tarihçesi ..........................................................................................282. Sayı Sistemleri ile Sayıların Gösterimi Arasındaki İlişki ..........................................293. Sayı Sistemleri Arasında Dönüşüm ve Algoritmik Yaklaşım ...................................364. Sayı Sistemlerinin Matematik Öğretim Programındaki Yeri ...................................395. Sayı Sistemi ve Değişik Tabanlı Sayıların Öğretimi ...................................................39Bölüm Sonu Değerlendirme Soruları ................................................................................41Kaynakça................................................................................................................................42

3. BÖLÜM

İŞLEM KAVRAMI

1. İşlem Kavramı ve Tanımı .............................................................................................432. İşlemlerde Kullanılan Semboller ve Sembollerin Kısa Tarihi ...................................453. İşlem Kavramının Önemi .............................................................................................47 3.1. İşlem Kavramının Öğretim Programlarındaki Yeri ..........................................47 3.2. İşlem Kavramının Disiplin İçi ve Disiplinler Arası Alanlardaki Önemi ........48 3.3. İşlemlerin Günlük Yaşam ile İlişkisi....................................................................484. İşlem Kavramının Öğretiminde Dikkat Edilecek Hususlar ......................................495. Dört İşlem Öğretimi .....................................................................................................52 5.1. Toplama/Çıkarma İşlemleri ve Öğretimi ...........................................................53 5.1.1. Birleştirme ve Ayırma Anlamları ............................................................56

x Kuramdan Uygulamaya Etkinlik Örnekleriyle Sayıların Öğretimi

5.1.2. Parça – Parça – Bütün Anlamı ................................................................57 5.1.3. Karşılaştırma Anlamı ...............................................................................58 5.2. Çarpma/Bölme İşlemleri ve Öğretimi ................................................................59 5.2.1. Çarpma İşlemi ve Öğretimi .....................................................................60 5.2.1.1. Tekrarlı Toplama Anlamı .........................................................62 5.2.1.2. Matris Dizilimi/Alan Anlamları ..............................................62 5.2.1.3. Kartezyen Çarpım Anlamı ........................................................64 5.2.1.4. Çarpma İşlemine Yönelik Diğer Yöntemler ..........................64 5.2.2. Bölme İşlemi ve Öğretimi .......................................................................67 5.2.2.1. Eşit Paylaşım Anlamı .................................................................67 5.2.2.2. Tekrarlı Çıkarma Anlamı .........................................................67 5.2.2.3. Kayıp Çarpan Anlamı ...............................................................69 5.2.2.4. Bölme İşlemine Yönelik Diğer Yöntemler ...............................69 5.3. İşlem Önceliği ........................................................................................................706. Dört İşlem Gerektiren Bir Etkinlik: Sağlıklı Yaşam ...................................................71Bölüm Sonu Değerlendirme Soruları ................................................................................73Kaynakça................................................................................................................................74

4. BÖLÜM

DOĞAL SAYI KAVRAMI VE DOĞAL SAYI KAVRAMININ ÖĞRETİMİ

1. Doğal Sayı Kavramı ve Önemi .....................................................................................772. Sayı Kavramının Tarihçesi ............................................................................................783. Basamak Değeri ve Onluk Sayma Sistemi ..................................................................794. Doğal Sayının Tanımı ....................................................................................................805. Doğal Sayılara İlişkin Kritik Bilgiler ............................................................................816. Doğal Sayıların Öğretim Programındaki Yeri ve Önemi ..........................................82 6.1. Doğal Sayı Kavramı ...............................................................................................82 6.2. Doğal Sayılarda Basamak Değeri Kavramının Öğretimi .................................83 6.3. Sayı ve Şekil Örüntüleri ........................................................................................85 6.3.1. Tekrar Eden Örüntüler .............................................................................87 6.3.2. Değişen Örüntüler ....................................................................................877. Öğrencilerin Basamak Değeri ile İlgili Yaşadıkları Zorluklar ve Kavram Yanılgıları .........................................................................................................888. Doğal Sayıların Öğretiminde Teknolojinin Kullanımı ..............................................90Bölüm Sonu Değerlendirme Soruları ................................................................................93Kaynakça................................................................................................................................94

İçindekiler xi

5. BÖLÜM

DOĞAL SAYILARDA DÖRT İŞLEM BECERİLERİ

Giriş ........................................................................................................................................951. Aritmetiğin Tarihçesi .....................................................................................................952. Doğal Sayılarda Dört İşlemin Matematik Öğretim Programındaki Yeri ve Önemi ..............................................................................................................................973. Doğal Sayılarda Dört İşlem Becerisinin Öğretimi .....................................................99 3.1. İşlem Tanımı ...........................................................................................................99 3.2. Toplama İşlemi .................................................................................................... 100 3.2.1. Tanım ....................................................................................................... 100 3.2.2. Toplamsal Akıl Yürütme ....................................................................... 100 3.2.3. Eldesiz Toplama İşlemi .......................................................................... 101 3.2.4. Eldeli Toplama ........................................................................................ 102 3.2.5. Toplama İşleminin Sağlaması ............................................................... 104 3.3. Çıkarma İşlemi .................................................................................................... 105 3.3.1. Tanım ....................................................................................................... 105 3.3.2. Eldesiz Çıkarma İşlemi .......................................................................... 105 3.3.3. Onluk Bozarak Çıkarma İşlemi............................................................ 107 3.3.4. Çıkarma İşleminde Sağlama ................................................................. 111 3.3.5. Toplanan veya Toplamda Verilmeyen Sayıları Bulma İşlemleri ...... 112 3.4. Çarpma İşlemi ..................................................................................................... 113 3.4.1. Tanım ....................................................................................................... 113 3.4.2. Çarpımsal Akıl Yürütme ....................................................................... 113 3.4.3. Çarpma İşleminde Sağlama .................................................................. 115 3.5. Bölme İşlemi ....................................................................................................... 116 3.5.1. Tanım ....................................................................................................... 116 3.5.2. Bölme İşleminin Sağlaması ................................................................... 1184. Dört İşlem Öğretimi Konusu ile İlgili Kavram Yanılgıları, Hata veya Güçlükler 119 4.1. Toplama ve Çıkarma İşlemi ile İlgili Kavram Yanılgıları .............................. 119 4.2. Çarpma ve Bölme İşlemi ile İlgili Kavram Yanılgısı, Hata ve Güçlükler ..... 1205. Zihinden Hesap Yapma ve Tahmin ........................................................................... 121 5.1. Zihinden Hesap Yapma ..................................................................................... 121 5.2. Zihinden Çarpma İşleminde Kullanılan Stratejiler........................................ 122 5.3. Tahmin Becerisi .................................................................................................. 1226. İşlem Önceliği .............................................................................................................. 124Bölüm Sonu Değerlendirme Soruları ............................................................................. 126Kaynakça............................................................................................................................. 128

xii Kuramdan Uygulamaya Etkinlik Örnekleriyle Sayıların Öğretimi

6. BÖLÜM

ÇARPANLAR VE KATLAR

Giriş ..................................................................................................................................... 1311. Temel Kavramlar ve Öğretimleri ................................................................................. 133 1.1. Çarpanlar ve Katlar .............................................................................................. 133 1.1.1. Çarpan ve Kat Kavramları Nedir? ........................................................ 134 1.1.2. Okul Matematiğinde Çarpanlar ve Katlar ile Öğretimleri ............... 1372. Asal Sayılar ..................................................................................................................... 144 2.1. Asal Sayı Nedir? .................................................................................................. 144 2.2. Okul Matematiğinde Asal Sayılar ve Öğretimi ............................................... 1453. Asal Çarpanlar ............................................................................................................... 152 3.1. Asal Çarpan Nedir? ............................................................................................ 153 3.2. Okul Matematiğinde Asal Çarpanlar ve Öğretimi ......................................... 1544. Ortak Bölenler ve Ortak Katlar ................................................................................... 160 4.1. Ortak Bölen ve Ortak Kat Nedir? ..................................................................... 160 4.2. Okul Matematiğinde Ortak Bölen, Ortak Kat Kavramları ve Öğretimi ..... 1625. Teknoloji Kullanımı ..................................................................................................... 165 5.1. Bir Araç Olarak Teknoloji Kullanımı .............................................................. 166 5.2. Uygulama Becerileri İçin Teknoloji Kullanımı .............................................. 168 5.3. Kavram Geliştirme İçin Teknoloji Kullanımı ................................................ 169Bölüm Sonu Değerlendirme Soruları ............................................................................. 172Kaynakça............................................................................................................................. 173

7. BÖLÜM

BÖLÜNEBİLME KURALLARI VE ÖĞRETİMİ

Giriş ..................................................................................................................................... 1771. 10 ile Bölünebilme Kuralı ......................................................................................... 1822. 2 ya da 5 ile Bölünebilme Kuralları .......................................................................... 1843. 4 ya da 25 ile Bölünebilme Kuralları ........................................................................ 1854. 8 ya da 125 ile Bölünebilme Kuralları ..................................................................... 1865. 9 ya da 3 ile Bölünebilme Kuralları .......................................................................... 1876. 6 ile Bölünebilme Kuralı ............................................................................................ 1907. 7 ile Bölünebilme Kuralı ............................................................................................. 1928. 11 ile Bölünebilme Kuralı .......................................................................................... 1939. 13 ile Bölünebilme Kuralı ........................................................................................... 194Bölüm Sonu Değerlendirme Soruları ............................................................................. 196Kaynakça............................................................................................................................. 198

İçindekiler xiii

8. BÖLÜM

EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN VE EN KÜÇÜK ORTAK KAT

Giriş ..................................................................................................................................... 1991. Temel Kavramlar ve Öğretimleri............................................................................... 201 1.1. Matematiksel Anlamda En Büyük Ortak Bölen ve En Küçük Ortak Kat ......... 201 1.2. Kavramın Tarihsel Gelişimi .............................................................................. 203 1.3. Okul Matematiğinde En Büyük Ortak Bölen ve En Küçük Ortak Kat........ 204 1.4. En büyük Ortak Bölen ve En küçük Ortak Kat ile İlgili Kavram Yanılgıları ............................................................................................................. 209 1.5. Ortaokul Matematik Öğretim Programında ebob ve ekok .......................... 2102. Teknoloji Kullanımı ................................................................................................... 2113. Etkinlik Örnekleri ...................................................................................................... 213Bölüm Sonu Değerlendirme Soruları ............................................................................. 217Kaynakça............................................................................................................................. 218

9. BÖLÜM

KESİR KAVRAMI VE ÖĞRETİMİ

Giriş ..................................................................................................................................... 2191. Kesir ve Farklı Anlamları .......................................................................................... 220 1.1. Kesrin Parça-Bütün Anlamı .............................................................................. 224 1.2. Kesrin Bölüm Anlamı ........................................................................................ 224 1.3. Kesrin İşlemci Anlamı ....................................................................................... 225 1.4. Kesrin Oran Anlamı ........................................................................................... 226 1.5. Kesrin Ölçü Anlamı ........................................................................................... 2262. Kesir Kavramının Tarihsel Gelişimi ......................................................................... 2273. Kesir Kavramı ile İlgili Kritik Bilgiler ....................................................................... 229 3.1. Kesir ve Rasyonel Sayı İlişkisi ........................................................................... 229

3.2. ba

- Kesir midir? .............................................................................................. 231

3.3. Ondalık Sayı ile Kesir İlişkisi ............................................................................ 232

3.4. a0

ile Kesir Arasındaki İlişki ........................................................................... 233

3.5. 0 Bir Kesir midir?................................................................................................ 2334. Kesirlerin Öğretiminde Kullanılan Modeller ......................................................... 233 4.1. Bölge veya Alan Modelleri ................................................................................ 233 4.2. Uzunluk veya Ölçüm Modelleri ....................................................................... 234 4.3. Küme Modelleri ................................................................................................. 236 4.4. Hacim Modelleri ................................................................................................. 237

xiv Kuramdan Uygulamaya Etkinlik Örnekleriyle Sayıların Öğretimi

5. Kesir Kavramı ile İlişkili Olarak Yaşanan Zorluklar ............................................... 2386. Kesir Kavramının Öğretimi ...................................................................................... 238 6.1. Birim Kesir ve Öğretimi .................................................................................... 240 6.2. Kesir Çeşitlerinin Öğretimi ............................................................................... 241 6.3. Denk Kesirlerin Öğretimi.................................................................................. 243 6.4. Kesirlerde Karşılaştırmanın Öğretimi ............................................................. 2457. Teknoloji Kullanımı ...................................................................................................... 252Bölüm Sonu Değerlendirme Soruları ............................................................................. 255Kaynakça ............................................................................................................................ 256

10. BÖLÜM

KESİRLERLE İŞLEMLER VE ÖĞRETİMİ

Giriş ..................................................................................................................................... 2591. İşlem, Doğal Sayılarla İşlemler ve Kesirlerle İşlemlerin Tanımı .......................... 2592. Kesirlerle İşlemlerin Tarihi Gelişimi......................................................................... 2603. Öğrencilerin Kesirlerle İşlemlere Yönelik Sahip Olduğu Zorluklar, Hatalar, Kavram Yanılgıları, Muhtemel Nedenleri ve Çözüm Önerileri ........................... 2614. Kesirlerle İşlemlerin Matematik Öğretim Programındaki Yeri ve Önemi .......... 2665. Kesirlerle İşlemlerin Öğretimi ................................................................................... 267 5.1. Kesirlerle İşlemlerin Öğretiminde Teknoloji Kullanımı ............................... 269 5.2. Kesirlerle İşlemlere İlişkin Kritik Bilgiler ........................................................ 270 5.3. Kesirlerle Toplama ve Çıkarma İşleminin Öğretimi ...................................... 271 5.4. Kesirlerle Çarpma ve Bölme İşlemleri ............................................................. 2786. Kesirlerle Çıkarma İşlemine Yönelik Problem Çözme ile Öğretime İlişkin Örnek Bir Ders İçeriği ............................................................................................... 288Bölüm Sonu Değerlendirme Soruları ............................................................................. 292Kaynakça............................................................................................................................. 293

11. BÖLÜM

TAM SAYI KAVRAMI VE ÖĞRETİMİ

1. Tam Sayı Kavramının Tanımı ve Literatürdeki Yeri ............................................... 2992. Tam Sayıların Kısa Tarihçesi ...................................................................................... 3013. Tam Sayı Kavramı ile İlgili Zorluklar ....................................................................... 3014. Tam Sayı Kavramının Matematik Öğretim Programındaki Yeri .......................... 3035. Tam Sayıların Öğretimi .............................................................................................. 304 5.1. Tam Sayı Kavramı ve Öğretimi ......................................................................... 304 5.2. Mutlak Değer Kavramı ve Öğretimi ................................................................ 311

İçindekiler xv

5.3. Tam Sayıların Karşılaştırılması ve Öğretimi ................................................... 311Bölüm Sonu Değerlendirme Soruları ............................................................................. 314Kaynakça............................................................................................................................. 315

12. BÖLÜM

TAM SAYILARDA İŞLEMLER VE ÖĞRETİMİ

1. Tam Sayılarla İşlemlerin Temeli ............................................................................... 317 1.1. Tam Sayılarla İşlemlerin Tarihi Gelişimi ......................................................... 3172. Yönlü Sayı (Directed Numbers) Kavramı ................................................................ 318 2.1. Yönlü Modeller ................................................................................................... 319 2.2. Nicelik Modeller ................................................................................................. 3193. Tam Sayılarla Toplama İşlemi ve Öğretimi .............................................................. 3214. Tam Sayılarla Çıkarma İşlemi ve Öğretimi .............................................................. 3235. Tam Sayılarla Çarpma İşlemi ve Öğretimi ............................................................... 3256. Tam Sayılarla Bölme İşlemi ve Öğretimi ................................................................. 3297. Tam Sayılarla İşlemlerin Sayılar ve İşlemler Öğrenme Alanı ve Diğer Öğrenme Alanları ile İlişkisi ........................................................................... 3318. Tam Sayılarla İşlemler Alt Öğrenme Alanının Öğretim Programındaki Yeri ve Günlük Hayatla İlişkisi ................................................................................. 3319. Tam Sayılarla İşlem Öğretiminde Teknolojinin Yeri ............................................ 33210. Tam Sayılarla İşlem Öğretiminde Karşılaşılan Kavram Yanılgıları ve Öneriler ........................................................................................................................ 33511. Tam Sayılarla İşlem Öğretimi ve Ders İçeriği Oluşturma ..................................... 337 11.1. Giriş/Merak Uyandırma (Engagement)......................................................... 337 11.2. Keşif (Exploration) ............................................................................................ 338 11.3. Açıklama (Explanation) ................................................................................... 339 11.4. Genişletme(Elaboration) .................................................................................. 340 11.5. Değerlendirme (Evaluation) ............................................................................ 341Bölüm Sonu Değerlendirme Soruları ............................................................................. 343Kaynakça............................................................................................................................. 344

13. BÖLÜM

ONDALIK GÖSTERİM KAVRAMI VE ÖĞRETİMİ

1. Ondalık Gösterimin Tarihsel Gelişimi ..................................................................... 3482. Ortaokul Düzeyinde Ondalık Gösterim ve Öğretimi ............................................ 350 2.1. Ondalık Gösterimin Okunması ........................................................................ 350 2.2. Kesirlerden Ondalık Gösterime ........................................................................ 351

xvi Kuramdan Uygulamaya Etkinlik Örnekleriyle Sayıların Öğretimi

2.3. Ondalık Gösterimden Kesirlere ........................................................................ 356 2.4. Basamak Değerinden Ondalık Gösterime ...................................................... 357 2.5. Ondalık Gösterimde Sıralama ve Karşılaştırma ............................................. 3613. Ondalık Gösterime İlişkin Öğrenci Hataları ........................................................... 366 3.1. Ondalık İşaretini Yanlış Yorumlama ................................................................ 366 3.2. Sıralama ve Karşılaştırma Hataları ................................................................... 3674. Ondalık Gösterim ve Teknoloji ................................................................................. 368 4.1. Onluk Taban Blokları ile Ondalık Gösterim................................................... 369 4.2. Onluk ve Yüzlük Kartlar .................................................................................... 369 4.3. Ondalık Terazi..................................................................................................... 370 4.4. Ondalık Gösterim ve Eğitsel Oyunlar ............................................................. 370Bölüm Sonu Değerlendirme Soruları ............................................................................. 374Kaynakça............................................................................................................................. 375

14. BÖLÜM

ONDALIK KESİRLERLE İŞLEMLER VE ÖĞRETİMİ

1. Ondalık Kesirlerle İşlemlerin Temeli ....................................................................... 377 1.1. Ondalık Kesirlerle İşlemlerin Tarihi Gelişimi ................................................ 377 1.2. Basamak Değeri Kavramı ................................................................................. 377 1.3. On Tabanlı Modeller .......................................................................................... 378 1.4. On Tabanlı Modellere Yeni Anlam Yükleme .................................................. 380 1.5. Ondalık Kesirlerle Toplama/Çıkarma İşlemi Öğretimi ................................. 381 1.6. Sayı Doğrusu ile Toplama/Çıkarma İşlemi Öğretimi .................................... 383 1.7. Yüzlük Kart ile Toplama/Çıkarma İşlemi Öğretimi ....................................... 3842. Ondalık Kesirlerle Çarpma/Bölme İşlemi Öğretimi .............................................. 385 2.1. Sayı Doğrusu ile Çarpma/Bölme İşlemi Öğretimi ......................................... 385 2.2. Onluk –Yüzlük Kart Modeliyle Çarpma/Bölme İşlemi Öğretimi ................ 3863. Ondalık Kesirlerde İşlemler Alt Öğrenme Alanının Günlük Hayatla İlişkisi ve Öğretim Programındaki Yeri ..................................................................................... 3884. Ondalık Kesirlerle İşlemlerin Sayılar ve İşlemler Öğrenme Alanı ve Diğer Öğrenme Alanları ile İlişkisi ........................................................................... 3905. Ondalık Kesirlerle İşlem Öğretiminde Teknolojinin Yeri ...................................... 391 5.1. Hesap Makinası/Excel ........................................................................................ 391 5.2. Sanal Manipülatifler ........................................................................................... 3926. Ondalık Kesirlerle İşlem Öğretiminde Karşılaşılan Öğrenci Hataları ve Kavram Yanılgıları ...................................................................................................... 394

İçindekiler xvii

7. Ondalık Kesirlerle İşlem Öğretimi ve Ders İçeriği Oluşturma ............................. 396 7.1. Giriş / Merak Uyandırma (Engagement) ........................................................ 396 7.2. Keşif (Exploration) ............................................................................................. 397 7.3. Açıklama (Explanation) ..................................................................................... 400 7.4. Genişletme (Elaboration) .................................................................................. 400 7.5. Değerlendirme (Evaluation) ............................................................................. 401Bölüm Sonu Değerlendirme Soruları ............................................................................. 402Kaynakça............................................................................................................................. 403

15. BÖLÜM

YÜZDE GÖSTERİMİ VE ÖĞRETİMİ

1. Yüzde Gösteriminin Matematik Öğretim Programındaki Yeri ............................ 4062. Yüzde Gösterimi ve Öğretimi .................................................................................... 408 2.1. Yüzde Gösterimi ................................................................................................. 408 2.2. Kesir, Ondalık ve Yüzdelik Gösterimlerin İlişkisi .......................................... 409 2.3. Yüzdeler ile İlgili Problemler ............................................................................ 4123. Yüzde Gösterimlerinin Öğretiminde Teknolojinin Kullanımı .............................. 4194. Yüzdelerin Öğretiminde Dikkat Edilecek Hususlar .............................................. 420Bölüm Sonu Değerlendirme Soruları ............................................................................. 421Kaynakça............................................................................................................................. 422

16. BÖLÜM

RASYONEL SAYI KAVRAMI VE ÖĞRETİMİ

1. Rasyonel Sayılar Kavramının Tanımı ve Önemi ..................................................... 4232. Rasyonel Sayıların Kesirlerle İlişkisi ......................................................................... 4253. Rasyonel Sayıların Farklı Anlamları ........................................................................ 428 3.1. Parça-Bütün Anlamı .......................................................................................... 428 3.2. Ölçme Anlamı ..................................................................................................... 429 3.3. Bölme Anlamı ..................................................................................................... 432 3.4. Oran Anlamı ....................................................................................................... 433 3.5. İşlemci Anlamı .................................................................................................... 4344. Rasyonel Sayı Kavramının Tarihçesi ........................................................................ 436 4.1. Rasyonel Sayılar Kavramının Ortaokul Matematik Öğretim Programındaki Yeri ........................................................................................... 438 4.2. Rasyonel Sayı Kavramının Öğretimi ................................................................ 439

xviii Kuramdan Uygulamaya Etkinlik Örnekleriyle Sayıların Öğretimi

5. Rasyonel Sayıların Yoğunluğu ................................................................................... 4436. Rasyonel Sayıların Sayı Doğrusu Üzerinde Gösterimi ........................................... 4447. Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi ve Ondalık Açılım .................................... 4468. Rasyonel Sayıların Karşılaştırılması .......................................................................... 449 8.1. Sayı Doğrusu Üzerinde Karşılaştırma Stratejisi ............................................. 450 8.1.1. Rasyonel Sayıların Karşılaştırılmasının Öğretimi ............................. 452 8.2. Ondalık Gösterimle Yazarak Karşılaştırma Stratejisi .................................... 4559. Rasyonel Sayıların Öğretiminde Teknoloji Kullanımı ........................................... 45610. Rasyonel Sayılar Kavramının Öğretiminde Karşılaşılan Zorluklar ile Öğrenci Hataları ve Kavram Yanılgıları ................................................................... 459Bölüm Sonu Değerlendirme Soruları ............................................................................. 463Kaynakça............................................................................................................................. 465

17. BÖLÜM

RASYONEL SAYILARLA İŞLEMLER VE ÖĞRETİMİ

1. Rasyonel Sayılarla İşlemler ........................................................................................ 467 1.1. Rasyonel Sayılarla Toplama İşlemi .................................................................. 469 1.1.1. Rasyonel Sayılarla Toplama İşlemine İlişkin Kritik Bilgiler ............ 469 1.2. Rasyonel Sayılarla Çarpma İşlemi .................................................................... 470 1.2.1. Rasyonel Sayılarla Çarpma İşlemine İlişkin Kritik Bilgiler .............. 470 1.2.2 Rasyonel Sayılarla Bölme İşlemine İlişkin Kritik Bilgiler ve Ters Çevir–Çarp Algoritması ............................................................... 471 1.3. Rasyonel Sayılarla İşlemlerin Tarihsel Gelişimi ............................................. 4732. Rasyonel Sayılarla İşlemlere Dair Öğrenci Bilgisi, Hata ve Yanılgıları................. 4743. Rasyonel Sayılarla İşlemlerin Öğretim Programındaki ve Günlük Hayattaki Yeri ve Diğer Derslerle İlişkisi ................................................................................... 478 3.1. Konunun Matematik Dersi Öğretim Programındaki Yeri ve Önemi ......... 478 3.2. Konunun Diğer Derslerle İlişkisi ..................................................................... 481 3.3. Konunun Günlük Hayatla İlişkisi .................................................................... 4814. Rasyonel Sayılarla İşlemler ve Öğretimi .................................................................. 482 4.1. Rasyonel Sayılarla Toplama İşlemi Öğretimi ................................................. 483 4.1.1. Rasyonel Sayılarda Toplama İşleminin Değişme ve Birleşme Özelliği ................................................................................... 486 4.1.2. Rasyonel Sayılarda Toplama İşleminin Etkisiz Eleman Özelliği ..... 487 4.1.3. Rasyonel Sayılarda Toplama İşleminin Ters Eleman Özelliği ......... 487 4.1.4. Rasyonel Sayılarla Çıkarma İşlemi Öğretimi ..................................... 488

İçindekiler xix

4.2. Rasyonel Sayılarla Çarpma İşlemi Öğretimi .................................................. 490 4.2.1. Rasyonel Sayılarla Çarpma İşleminde Sıfırın Rolü ........................... 492 4.2.2. Rasyonel Sayılarla Çarpma İşleminin Etkisiz Eleman Özelliği ....... 493 4.2.3. Rasyonel Sayılarla Çarpma İşleminin Ters Eleman Özelliği ............ 494 4.2.4. Rasyonel Sayılarla Çarpma İşleminin Toplama ve Çıkarma Üzerine Dağılma Özelliği ..................................................... 494 4.2.5. Rasyonel Sayılarla Bölme İşlemi Öğretimi ......................................... 4965. Rasyonel Sayılarla İşlemlerin Öğretiminde Teknoloji Kullanımı ...........................499Bölüm Sonu Değerlendirme Soruları ............................................................................. 502Kaynakça ............................................................................................................................ 503

18. BÖLÜM

ORAN – ORANTI ve ORANTISAL AKIL YÜRÜTME

1. Oran-Orantı Kavramları ve Orantısal Akıl Yürütme ............................................. 505 1.1. Oran-Orantı Kavramlarının Matematik Eğitimindeki Önemi ve Orantısal Akıl Yürütme ..................................................................................... 505 1.2. Oran ve Orantı Kavramlarının Matematik Tarihindeki Yeri ve Kullanımı ............................................................................................................. 505 1.3. Oran ve Orantı Kavramlarının Matematik Öğretim Programlarındaki Yeri ........................................................................................................................ 506 1.4. Oran ve Orantı Kavramlarının Gösterim Biçimleri ...................................... 5072. Oran Kavramı ve Öğretimi ........................................................................................ 508 2.1. Oran Kavramının İçerdiği Nitel ve Nicel Muhakeme Çeşitleri .................... 509 2.2. Toplamsal ve Çarpımsal İlişki .......................................................................... 509 2.3. Oran Çeşitleri ...................................................................................................... 510 2.3.1. Birimsiz Oran ......................................................................................... 510 2.3.1.1. Parça - Bütün Oranı ................................................................ 510 2.3.1.2. Parça - Parça Oranı ................................................................. 511 2.3.2. Birimli Oran ............................................................................................ 511 2.4. Bazı Özel Oranlar ............................................................................................... 5123. Orantısal Akıl Yürütme ............................................................................................. 513 3.1. Orantısal Akıl Yürütmenin Düzeyleri ............................................................. 514 3.2. Orantısal Akıl Yürütme Yeteneğinin Geliştirilmesi ve Öğrencilerin Kullandıkları Orantısal Akıl Yürütme Stratejileri ................... 516 3.3. Orantısal ve Orantısal Olmayan Durumlar .................................................... 518 3.4. Orantısal Akıl Yürütme Becerisinin Değerlendirilmesi ................................ 519

xx Kuramdan Uygulamaya Etkinlik Örnekleriyle Sayıların Öğretimi

4. Orantı Kavramı ve Öğretimi ...................................................................................... 520 4.1. Orantı Çeşitleri ................................................................................................... 521 4.1.1. Doğru Orantı .......................................................................................... 521 4.1.2. Ters Orantı .............................................................................................. 5215. Grafiklerde Oran ve Orantı İlişkisi ........................................................................... 5226. Oran ve Orantı Konusunda Hatalar, Kavram Yanılgıları ve Çözüm Önerileri ... 524 6.1. Toplamsal ve Çarpımsal İlişkilendirme ile İlgili Kavram Yanılgıları ........... 524 6.2. Değişmezlik ile İlgili Kavram Yanılgıları ......................................................... 525 6.3. Orantısal ve Orantısal Olmayan Durumlara Yönelik Kavram Yanılgıları .. 5257. Oran ve Orantı Kavramlarının Öğretimi ve Ders İçeriği Oluşturma................... 526 7.1. Ders Planı 1. (6. Sınıf) ........................................................................................ 526 7.1.1. Giriş / Merak Uyandırma (Engagement) ............................................ 527 7.1.2. Keşif (Exploration) ................................................................................. 528 7.1.3. Açıklama (Explanation) ........................................................................ 528 7.1.4. Genişletme (Elaboration) ...................................................................... 528 7.1.5. Değerlendirme (Evaluation) ................................................................. 530 7.1.5.1. Öz değerlendirme tablosu ...................................................... 530 7.1.5.2. Kelime ilişkilendirme testi ..................................................... 531 7.1.5.3. Geleneksel ölçme değerlendirme yöntemleri ...................... 531 7.2. Ders Planı 2. (7. Sınıf) ........................................................................................ 532 7.2.1. Giriş / Merak Uyandırma (Engagement) ............................................ 532 7.2.2. Keşif (Exploration) ................................................................................. 534 7.2.3. Açıklama (Explanation) ........................................................................ 534 7.2.4. Genişletme(Elaboration) ....................................................................... 534 7.2.5. Değerlendirme (Evaluation) ................................................................. 536Bölüm Sonu Değerlendirme Soruları ............................................................................. 537Kaynakça............................................................................................................................. 538

19. BÖLÜM

ÜSLÜ İFADELER VE ÖĞRETİMİ

Giriş ..................................................................................................................................... 5411. Üslü İfade ve Tanımı ................................................................................................... 5412. Üslü İfadeler ve Kısa Tarihçesi ................................................................................... 5413. Kritik Bilgiler ............................................................................................................... 543 3.1. Kuvvetin Sıfır Olması ......................................................................................... 544 3.2. Kuvvetin negatif olması .................................................................................... 5444. Üslü İfadelerde Öğrenci Zorlukları ve Kavram Yanılgıları .................................... 5455. Üslü İfadelerin Matematik Öğretim Programındaki Yeri ve Önemi .................... 547

İçindekiler xxi

6. Üslü İfadeler ve Gerçek Hayat Kullanımları ............................................................ 5487. Üslü İfadeler ve Öğretimi ........................................................................................... 550 7.1. Üslü İfadelerde İşlemler ve Öğretimi ............................................................... 556 7.1.1. Çarpma İşlemi Öğretimi ....................................................................... 556 7.1.2. (a·b)k = ak·bk Özelliğinin Öğretimi ...................................................... 557 7.1.3. Üslü İfadenin Kuvvetini Alma ve Öğretimi [(an)m = an·m] .............. 5588. Üslü İfadelerin Öğretiminde Kullanılabilecek Teknolojiler .................................. 558Bölüm Sonu Değerlendirme Soruları ............................................................................. 559Kaynakça............................................................................................................................. 560

20. BÖLÜM

REEL SAYI KAVRAMI VE KÖKLÜ İFADELERİN ÖĞRETİMİ

Giriş ..................................................................................................................................... 5611. Reel (Gerçek) Sayı Kavramının Tarihsel Gelişimi .................................................. 5612. Rasyonel Sayılardan Reel Sayılara Geçiş .................................................................. 5643. Temel Kavramlar ve Öğretimleri............................................................................... 566 3.1. Dedekind Kesimi Yöntemi ................................................................................ 566 3.2. Aksiyomatik Yöntem .......................................................................................... 5684. Gerçek Sayıların Farklı Tanımları ............................................................................. 5715. Matematik Öğretim Programında Reel Sayı Kavramı, Köklü İfadeler ve Öğretimi ....................................................................................................................... 5726. Reel Sayılar ve Köklü İfadeler ile İlgili Öğrenme Güçlükleri ve Kavram Yanılgıları ...................................................................................................... 5747. Matematik Öğretim Programında Köklü İfadelerin Öğretimi ............................. 575Bölüm Sonu Değerlendirme Soruları ............................................................................. 590Kaynakça............................................................................................................................. 591

21. BÖLÜM

KÜMELER VE KÜMELERLE İLGİLİ TEMEL KAVRAMLARIN ÖĞRETİMİ

1. Kümelerin Tarihçesi .................................................................................................... 5932. Kümelerin Öğretimi.................................................................................................... 5983. Küme Kavramı ve Elemanlar ..................................................................................... 5994. Kümelerin Gösterim Şekilleri .................................................................................... 6045. Kümelerin Öğretiminde Kullanılabilecek Teknolojiler .......................................... 607Bölüm Sonu Değerlendirme Soruları ............................................................................. 609Kaynakça............................................................................................................................. 610

xxii Kuramdan Uygulamaya Etkinlik Örnekleriyle Sayıların Öğretimi

22. BÖLÜM

SAYILARLA İLGİLİ PROBLEMLER VE PROBLEM ÇÖZME STRATEJİLERİ

1. Problem Nedir?............................................................................................................ 6112. Problem Türleri ........................................................................................................... 6133. Problem Çözme ........................................................................................................... 613 3.1. Problem Çözme Süreci ...................................................................................... 614 3.2. Problem Çözme Sürecine İlişkin Örnek Uygulama ....................................... 6174. Problem Çözmenin Öğretim Programındaki Yeri ................................................. 6185. Problem Çözme Stratejileri ........................................................................................ 620 5.1. Geriye Doğru Çalışma Stratejisi ....................................................................... 620 5.2. Örüntü (Bağıntı) Bulma Stratejisi ................................................................... 622 5.3. Farklı Bir Bakış Açısı Benimseme Stratejisi .................................................... 624 5.4. Problemi Basitleştirme (Daha Basit Denk Bir Probleme Dönüştürme) Stratejisi................................................................................................................ 625 5.5. Şekil veya Diyagram Çizme Stratejisi .............................................................. 627 5.6. Tahmin ve Kontrol Stratejisi ............................................................................. 630 5. 7. Olası Tüm Durumları Belirleme (Sistematik Liste Yapma) Stratejisi .......... 632 5.8. Muhakeme Etme (Akıl Yürütme) Stratejisi..................................................... 633 5.9. Denklem Kullanma (Eşitlik ya da Eşitsizlik Yazma) Stratejisi ...................... 6346. Problem Kurma ........................................................................................................... 636Bölüm Sonu Değerlendirme Soruları ............................................................................. 638Kaynakça............................................................................................................................. 639

Yazarlar Hakkında ............................................................................................................. 641

Giriş

Günlük yaşantımızda etrafımız sayılarla çevrilidir. Cebimizdeki paranın üze-rinde, defterlerimize yazdığımız yazılarda, telefonlarımızın üzerinde sayıları göre-biliriz. Bir kişi hakkında öğrenmek istediğimiz özelliklerin birçoğu sayılarla ifade edilir; örneğin yaşı, boy uzunluğu, kilosu vb. Bunların dışında matematikte ise hemen hemen tüm incelemelerimizi sayıları kullanarak yaparız. Matematik öğ-renme süreçlerinde başarımız matematiksel kavramları anlamlandırmanın yanın-da işlemleri yapabilme ve algılayabilme üzerine de dayanır. Aritmetik işlemlerini anlayabilmek ise sayı hissi ya da sayı duyusu denilen kavrama dayanmaktadır. O halde ne demektir sayı hissi?

Sayı hissi, sayılar ve işlemleri esnek bir düşünce yapısı içerisinde anlama ve kullanma becerisidir. Bu his bir beceridir ve geliştirilebilir. Carpenter (1989) sayı hissini sayılarla esnek işlem yapabilme yeteneği şeklinde tanımlayarak, sayı hissi-nin kritik bir yönüne dikkat çekmiştir. Bu beceriye sahip olmak günlük yaşamda karşılaştığımız işlemsel problemlerin hızlı ve pratik bir şekilde yapılmasına, an-lamlı yorumlar üretebilmeye ve karşılaşılan sorulara makul cevaplar verebilmeye yaramaktadır. Yapılan araştırmalara göre günlük yaşantımızda kullanılan mate-matiğin %80’i kağıt kalem ile yapılan matematiğin dışında, zihinden ya da tah-min gerektiren işlemlere dayanmaktadır (Reys, 1986). O halde kağıt kalem işlem-lerinden daha fazla önemsenmesi gereken işlem çeşidi zihinden yapılan, zaman zaman da yaklaşık cevapları ortaya çıkaran matematiksel işlemlerdir. Sayı hissi de bu işlemleri ve problemleri kolaylaştıran bir beceridir. Sowder (1992) tahmin becerisinin sayı hissi ile yakından alakalı olduğunu ve sayı hissini tanımlamanın ve dolayısı ile ölçmenin oldukça zor olduğunu söyler. Benzer şekilde sayı hissinin

Doç. Dr. Burçak BOZ YAMANMuğla Sıtkı Koçman Üniversitesi

SAYI KAVRAMI VESAYI HİSSİNİN GELİŞTİRİLMESİ

1. BÖLÜM

2 Kuramdan Uygulamaya Etkinlik Örnekleriyle Sayıların Öğretimi

tahmin becerisi ve zihinden işlem yapma ile ilişkili olduğunu ortaya koyan bir-çok çalışma bulunmaktadır (Calvert, 1999; McIntosh, Reys, ve Reys, 1997; Reys, 1994; Reys, Nohda ve Emori, 1995; Sowder, 1997). Ülkemizde de sayı hissi öğ-retim programlarında açıkça yer almasa da sayı hissinin ilişkili olduğu tahmin etme ve zihinden işlem yapma becerilerine özellikle vurgu yapılmıştır. Matematik dersi öğretim programında ulaşılmak istenen genel amaçlar arasında şu ifade bu-lunmaktadır: “[Öğrenciler] Tahmin etme ve zihinden işlem yapma becerilerini etkin bir şekilde kullanabilecektir (MEB, 2018, s.9)”. Sayı hissi sadece ülkemizde değil birçok ülkede de önemsenen ve matematik eğitiminde üzerinde durulan bir beceridir. Örneğin, Amerika Birleşik Devletleri Ulusal Matematik Öğretmenleri Konseyi (NCTM) her sınıf düzeyinde sayı hissi üzerine notlar almış ve sayı hissi-nin altını çizmiştir. NCTM (1989) sayı duyusuna sahip çocukların özelliklerini şu şekilde tanımlanmıştır:

Sayı duyusuna sahip çocuklar; (1) sayıların anlamlarını çok iyi bir şekilde an-lar, (2) sayılar arasında çoklu ilişkiler geliştirir, (3) sayıların göreceli büyük-lüklerini fark eder, (4) işlemlerin sayılar üzerindeki etkilerini anlar, (5) çevre-sindeki nesnelerin ölçümleri için kıyaslama (referans) noktası geliştirir (s. 38).

Sayı hissi sayılar, işlemler ve bunların ilişkilerinden oluşan birçok bileşene sa-hip olan karmaşık bir yapıdan oluşur (Greeno, 1991; Markovits ve Sowder, 1994; McIntosh vd., 1992; Reys vd., 1999; Sowder ve Schappelle, 1989). Greeno (1991) sayı hissinin önemli üç özelliğini tanımlamıştır. Bu özellikler esnek zihinsel he-saplama, işlemsel tahmin ile niceliksel muhakeme ve çıkarımdır. Esnek zihinsel hesaplama özelliğinde sayıların farklı formlarda kullanımları öne çıkmaktadır. Örneğin 25×36 işlemi (100/4)×36 ya da (100×36)/4= 100×(36/4)=100×9 şeklinde yapılabilir. İşlemsel tahmin ise temelde sayıları uygun şekilde kullanabilmek için yuvarlama yapma, uygun sayıları kullanma ya da işlemleri uygun şekilde yeniden düzenleme şeklinde yapılabilir. Örneğin, (27×52)/13 işlemi için (30×50)/10 şek-linde bir süreç gerçekleşebilir. Son özellik olan niceliksel muhakeme ve çıkarım ise işlemlerden çok sonucun anlamlı bir şekilde yorumlanması ve istenilen duru-mun açıklanması olarak ifade edilebilir. Okul gezisine katılacak olan 37 öğrenci için 15 kişilik minibüslerden kaç tane kiralanması gerekir sorusuna, 37/15 işlemi-ni yaparak cevap bulmayı hedefleyen öğrencinin küsuratlı sonuç olan 2,46’yı kul-lanmak yerine 2 minibüsün yetmeyeceğini fark ederek 3 minibüs gerekli demesi, sayı hissinin niceliksel muhakeme ve çıkarım özelliğine örnek olabilir.

McIntosh, Reys ve Reys (1992) çalışmalarında sayı hissi kavramını detaylı bir şekilde inceleyerek aşağıda Tablo 1’de verilen sayı hissi bileşenlerini oluştur-muşlardır. Bu tabloda 3 temel alan vardır. Bunlar sayılara dair bilgi, işlemlere dair bilgi ve işlemler arasındaki ilişkilere dair bilgidir. Bu üç ana bilgi kendi içinde alt bileşenlere ayrılmıştır.

Sayı Kavramı ve Sayı Hissinin Geliştirilmesi 3

Tablo 1. Sayı hissi bileşenleri

Ana Bileşen Bileşen Alt Bileşen

Sayılara dair bilgi ve onların kullanımı

Sayıların sıralanması algısı

Basamak değeri

Sayı çeşitleri arasındaki ilişki

Sayı çeşitlerini kendi içinde ve birbirleri ile sıralama

Sayıların çoklu gösterimleri

Grafik/ sembolik gösterim

Denk gösterimler (parçalama ve yeniden birleştirme)

Referans noktalarını karşılaştırma

Sayıların göreceli ve mutlak büyüklükleri algısı

Fiziksel göstergelerin karşılaştırılması

Matematiksel göstergelerin karşılaştırılması

Referans noktası sistemi Matematiksel

Kişisel

İşlemlere dair bilgi ve onların kullanımı

İşlemlerin etkisini anlama

Tüm sayılarda işlemler

Kesirler ve ondalıklı kesirlerde işlemler

Matematik özellikleri anlama

Birleşme

Değişme

Dağılma

Birim eleman

Tersini bulma

İşlemler arasındaki ilişkileri anlama

Toplama/ Çarpma

Çıkarma/Bölme

Toplama/Çıkarma

Çarpma/ Bölme

Sayısal işlem ve işlemlerle ilgili bilgi ve olanakların hesaplama ortamlarına uygulanması

Çoklu yöntemlerin varlığının farkında olma

Yöntem üretebilme

Farklı yöntemleri kullanabilme

Etkili yöntemi seçebilme

Verimli bir yöntem ya da temsil kullanmaya yatkınlık

Farklı yöntemleri kullanabilme (zihinden işlem, hesap makinesi, kalem/kağıt)

Etkili verimli sayıları seçebilme

Verileri inceleme ve duyarlı sonuçlara yatkınlık

Gerekli mantıklı veriyi fark edebilme

Gerekli mantıklı veriyi hesaplayabilme

4 Kuramdan Uygulamaya Etkinlik Örnekleriyle Sayıların Öğretimi

Sayı hissinin bileşenleri üzerine bir diğer inceleme Markovits ve Sowder (1994) tarafından yapılmıştır. Araştırmacılar sayı hissini 3 bileşene ayırarak bun-lara “sayı büyüklüğü, zihinsel hesaplama ve hesaplamalı tahmin” isimlerini ver-mişlerdir. İlk bileşen olan sayı büyüklüğünde sayıları karşılaştırma ve bu ilişkileri kullanma becerisi anlatılmaktadır. Sadece büyük ve küçük şeklinde ayırt etmenin yanı sıra sayıların arasında kalan diğer sayıları belirleyebilme de bu kategoride yer almaktadır. İkinci bileşen olan zihinden işlem yapma, hızlı ve pratik şekilde net cevabı bulmak adına sayıları parçalama, uygun şekilde yeniden birleştirme gibi farklı stratejiler kullanılarak yapılması beklenen bir süreçtir. Son olarak üçüncü bileşen olan hesaplamalı tahmin ise sayıların yaklaşık değerlerini ve dört işlem arası geçişleri de kullanarak işlemleri net cevaba yakın olacak şekilde tahmin ede-rek bulma sürecidir.

Sowder ve Schappelle (1994) ise sayı hissini “sayı anlayışları ve yeniden dü-şünerek hesaplama” isimlerini verdikleri 2 bileşene ayırmışlardır. Sayı anlayışı bi-leşeninde, sayıların büyüklükleri ve karşılaştırılması, basamak değeri ve kesirler üzerine incelemeler yer alırken, yeniden düşünme bileşeninde hesaplamalı tah-min ve zihinden işlem yapma süreçleri ele alınmaktadır.

Sayı hissinin geliştirilmesine yönelik çalışmalar okul öncesi dönemde başla-makla birlikte özellikle ilkokul ve ortaokul düzeyinde yapılan matematiksel etkin-likler bu hissi geliştirmede önemli rol oynamaktadır (Markovits ve Sowder, 1994; McIntosh, Reys ve Reys, 1992; Resnick, 1989; Reys, Reys, Nohda ve Emori, 1995; Reys ve Yang, 1998). Bir sonraki bölümde ortaokul 5–8. sınıflardaki bazı kaza-nımları inceleyerek bu kazanımlara dair nasıl bir etkinlik ve işleyiş tasarlanabilir tartışılacak ve okuyuculara bazı örnekler verilecektir.

1. Ortaokul 5–8. Sınıflar Matematik Dersi Öğretim Programlarında Sayı Hissinin Yeri

Matematik dersi öğretim programında (MEB, 2018) 5–8. sınıflarda beş öğ-renme alanı (Sayılar ve İşlemler, Cebir, Geometri ve Ölçme, Veri İşleme ve Olası-lık) bulunmaktadır. Sayı hissi kavramı özellikle Sayılar ve İşlemler öğrenme alanı içinde yer alan kazanımların odak noktasını oluşturmaktadır. Bu konular arasın-dan da kesirler ve kesirlerle yapılan işlemlerde; ondalık gösterim ve onlarla yapı-lan işlemler; yüzdelik gösterim ve dört işlem özelliklerinde sayı hissini kullanmak ve geliştirmek mümkündür. Sayı hissini kazanımlar bağlamında incelemek için iki temel kategori oluşturulabilir. Bunlar tahmin becerisi ve zihinden işlem olarak sıralanabilir. Tahmin becerisi ve zihinden işlem sayı hissinin ayrılmaz parçaları-dır.

Sayı Kavramı ve Sayı Hissinin Geliştirilmesi 5

Tahmin Becerisi İçerikli Kazanımlar: Sayılar ve İşlemler öğrenme alanında tahmin etme becerisinin kullanılmasını hedefleyen kazanımlar 5–7. sınıflar ara-sında aşağıdaki gibidir. Bu kazanımlar doğal sayılar, kesirler, ondalık gösterimler ve yüzdeler ile ilgilidir. Doğal sayılarda yapılan dört işlemlerin sonuçlarının tah-min edilmesini gerektiren kazanımlar özellikle 5. sınıfta yer almaktadır. Öğretim programında ilk olarak toplama ve çıkarma işlemlerinde tahmin becerisi kullanı-lırken ardından da çarpma ve bölme üzerine pratikler yapılması istenir.

Doğal sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerinin sonuçlarını tahmin eder.

Tahmin becerilerinin gelişmesi için tahminlerin, işlem sonuçlarıyla karşılaş-tırılması yapılır.

M.5.1.2.3.

Doğal sayılarla çarpma ve bölme işlemlerinin sonuçlarını tahmin eder.

Tahmin etmenin önemi vurgulanarak, tahmin becerilerinin gelişmesi için iş-lem sonuçlarıyla tahminlerin karşılaştırılması yapılır.

M.5.1.2.6.

Bu kazanımlarda tahmin becerisinin belli başlı stratejileri kullanılabilir. Sayı-lar ve İşlemler öğrenme alanında kullanılan tahmin becerisi işlemsel tahmin de-nilen tahmin becerisinin bir alt kategorisidir. Bu beceri ölçme öğrenme alanında ölçmeye dayalı tahmin olarak farklı stratejilerin kullanıldığı yeni bir boyut kazan-maktadır. İşlemsel tahmin becerisinin stratejileri yuvarlama, gruplandırma, uyu-şan sayıları kullanma, ilk ve son basamakları kullanma, dağılma ve düzenleme–düzeltme olarak sayılabilir. Ancak bu stratejiler bu kadarla sınırlı değildir. Dersler esnasında öğrencilerin de kendi geliştirdikleri farklı stratejiler de yer almaktadır. Bu bölüm kapsamında sadece yukarıda ifade edilen stratejilere odaklanılacaktır.

Yuvarlama: Yapılacak işlemde yer alan sayıların ileriye ya da geriye olacak şekilde uygun değerlere dönüştürülerek işlemin sonucunun tahmin edilmesidir.

Örnek: 250+148 işleminin sonucu tahmin edilirken 148 sayısı 150’ye yuvar-lanabilir ve sonra 250 ile toplanabilir. 148 sayısı 100’e yuvarlanabilir ve sonra 250 ile toplanabilir.

792÷18 işlemi için 792 sayısı 800’e ve 18 de 20’ye yuvarlanırsa işlem 800÷20 olacaktır bu da bölme işleminin sonucunun yaklaşık 40 olacağını söyler.