Kvadratické nerovniceKvadratické nerovnice- grafická metóda- grafická metóda

Mgr. Mihályi JurajMgr. Mihályi Juraj

ZSŠ v ŠtúroveZSŠ v Štúrove

Aprobácia: matematika- fyzikaAprobácia: matematika- fyzika

Návod na použitie Návod na použitie prezentácieprezentácie

Prezentácia je riadená užívateľom Prezentácia je riadená užívateľom (kliknutie myšou znamená posun (kliknutie myšou znamená posun prezentácie) podľa jeho požiadaviek prezentácie) podľa jeho požiadaviek na čas, potrebný na jednotlivé krokyna čas, potrebný na jednotlivé kroky

Pozorne treba prečítať komentáre a Pozorne treba prečítať komentáre a návody, svedomite vyriešiť príkladynávody, svedomite vyriešiť príklady

Do obsahu prezentácie nie je možné Do obsahu prezentácie nie je možné zasahovaťzasahovať

Príjemné štúdium Vám prajem!Príjemné štúdium Vám prajem!

ObsahObsah

Cieľ prezentácieCieľ prezentácieOpis témyOpis témyDruhy kvadratických nerovnícDruhy kvadratických nerovnícOpis grafickej metódyOpis grafickej metódyPrezentácie vlastnej metódy s Prezentácie vlastnej metódy s

príkladmipríkladmiZáverZáverPoužitá literatúra a linkyPoužitá literatúra a linky

Cieľ prezentácie:Cieľ prezentácie:

Téma, kvadratické nerovnice robí Téma, kvadratické nerovnice robí problémy takmer všetkým žiakom, problémy takmer všetkým žiakom, najmä finalizácia riešenia, t. z. najmä finalizácia riešenia, t. z. mechanizmusmechanizmus zvládnu s radosťou, ale zvládnu s radosťou, ale určiť výsledok podľa grafu už väčšina určiť výsledok podľa grafu už väčšina žiakov nerobí, alebo nerobí dobre.žiakov nerobí, alebo nerobí dobre.

Práve z toho dôvodu chýba v Práve z toho dôvodu chýba v prezentácii toto mechanizmus a prezentácii toto mechanizmus a kladie sa dôraz na kladie sa dôraz na správnu správnu interpretáciu údajov grafuinterpretáciu údajov grafu..

Opis témyOpis témy

Téma nasleduje v učive 1. ročníka Téma nasleduje v učive 1. ročníka študijných odborov ZSŠ ihneď po študijných odborov ZSŠ ihneď po tematickom celku: kvadratické funkcie a tematickom celku: kvadratické funkcie a rovnice. To znamená, že žiaci vedia rovnice. To znamená, že žiaci vedia načrtnúť parabolu s rôznymi koeficientami a načrtnúť parabolu s rôznymi koeficientami a vedia riešiť akúkoľvek kvadratickú rovnicu, vedia riešiť akúkoľvek kvadratickú rovnicu, pokiaľ reálne riešenie existuje. Tieto pokiaľ reálne riešenie existuje. Tieto vedomosti využijú naďalej a namiesto vedomosti využijú naďalej a namiesto doterajších výsledkov diskrétneho typu sa doterajších výsledkov diskrétneho typu sa naučia počítať aj výsledky typu naučia počítať aj výsledky typu intervalovéhointervalového

Aké sú to nerovnice?Aké sú to nerovnice?

Ukážeme druhy kvadratických Ukážeme druhy kvadratických nerovníc:nerovníc:

0cbx

0cbx

0cbx

0cbx

0cbx

2

2

2

2

2

ax

ax

ax

ax

ax

0cbx

0cbx

0cbx

0cbx

0cbx

2

2

2

2

2

ax

ax

ax

ax

ax

Najlepší prípad:Najlepší prípad:

Ak príslušná kvadratická Ak príslušná kvadratická rovnica má reálne riešenia, rovnica má reálne riešenia, vypočítame ich:vypočítame ich:

0cbxax 2

Ukážka konkrétneho príkladuUkážka konkrétneho príkladu

4x;2

,08x2x

08x2x

2

2

x:riešenia

reálne dve mať bude rovnica

teda 36,D

:rovnicu ako vyriešime,

1

2

4x;2

,08x2x

08x2x

2

2

x:riešenia

reálne dve mať bude rovnica

teda 36,D

:rovnicu ako vyriešime,

1

2

Ako ďalej?Ako ďalej?

Takto:Takto:

4-2 x

y

Kreslenie grafu

Keďže ľavá strana nerovnice je Keďže ľavá strana nerovnice je reprezentovaná parabolou na obrázku, reprezentovaná parabolou na obrázku,

hľadáme oblasť, v ktorej je parabola hľadáme oblasť, v ktorej je parabola menšia, alebo rovná nule.menšia, alebo rovná nule.

Príslušnú úsečku na osi „x“ môžeme Príslušnú úsečku na osi „x“ môžeme považovať za riešenie kvadratickej považovať za riešenie kvadratickej

nerovnice. Píšeme ho v tvare intervalu: nerovnice. Píšeme ho v tvare intervalu:

08x2x 2 08x2x 2

4 ; 2-P 4 ; 2-P

Ak je v nerovnici ostrá Ak je v nerovnici ostrá nerovnosť,nerovnosť,

interval je otvorenýinterval je otvorenýAk je v nerovnici neostrá nerovnosť,Ak je v nerovnici neostrá nerovnosť,

interval je uzavretý, ako v predošlom interval je uzavretý, ako v predošlom príkladepríklade

, ,

, ,

Príklad na precvičovaniePríklad na precvičovanie

Vyriešte nerovnicu v množine R až do Vyriešte nerovnicu v množine R až do fázy hotového grafu, a potom si pozrite fázy hotového grafu, a potom si pozrite ďalšiu stranu prezentácie:ďalšiu stranu prezentácie:

012xx 2 012xx 2

Výpočty:Výpočty:

bude tvar jej a x"" osou

nad vrchol má parabola

že znamená, to1,a

x x21

4;3,49D

bude tvar jej a x"" osou

nad vrchol má parabola

že znamená, to1,a

x x21

4;3,49D

Hotový náčrtHotový náčrt

Parabola typu „ „ vrcholom nad osou „x“Parabola typu „ „ vrcholom nad osou „x“

4;3x 4;3x

SKÚŠKA!!!!....SKÚŠKA!!!!....

Pre istotu sa oplatí dosadiť nejaké Pre istotu sa oplatí dosadiť nejaké číslo z množiny „P“ do nerovnice a číslo z množiny „P“ do nerovnice a zistiť pravdivosť.zistiť pravdivosť.

(Niekedy je jednoduchšie dosadiť (Niekedy je jednoduchšie dosadiť také číslo, ktoré v množine „P“ nie je, také číslo, ktoré v množine „P“ nie je, tým pádom samozrejme dostanete tým pádom samozrejme dostanete po dosadení nepravdivý výrok.)po dosadení nepravdivý výrok.)

Ďalšie typy kvadratických Ďalšie typy kvadratických nerovníc:nerovníc:

Riešte graficky nerovnicu:Riešte graficky nerovnicu:

v množine R. Príklad urobte sami až do fázy v množine R. Príklad urobte sami až do fázy hotového grafu, a potom si pozrite ďalšiu hotového grafu, a potom si pozrite ďalšiu stranu prezentácie!stranu prezentácie!

010x3x 2 010x3x 2

Hotový graf...Hotový graf...

Tvrdenie výrokovej formy: Tvrdenie výrokovej formy:

Parabola má nezápornú časť nad osou „x“ a na osi „x“. Z toho vyplýva, že príslušná časť osi „x“ sa dá napísať úniou dvoch intervalov:

;52;P ;52;P

Poznámka...Poznámka...

V prípade ostrej nerovnosti V prípade ostrej nerovnosti sú sú intervaly otvorené! intervaly otvorené!

,,

Príklady na precvičovanie:Príklady na precvičovanie:

Najprv vyriešte nasledovné príklady v Najprv vyriešte nasledovné príklady v množine R, potom si pozrite ďalšiu stranu množine R, potom si pozrite ďalšiu stranu prezentácie:prezentácie:

03x..5

02x..4

0x3.3

012.2

03x5.1

1-2x

5-x

2x

3x

2x

2

2

2

03x..5

02x..4

0x3.3

012.2

03x5.1

1-2x

5-x

2x

3x

2x

2

2

2

Zhrnutie výsledkov:Zhrnutie výsledkov:

;5,03;P ;5,03;P 2;2P 2;2P ;05,1;P ;05,1;P

;52;P ;52;P

;33;

2

1

2

1;P

;33;

2

1

2

1;P

Čo sa stane, ak D=0 ????Čo sa stane, ak D=0 ????

Ak D=0, potom kvadratická Ak D=0, potom kvadratická rovnica má práve jedno reálne riešenie, čiže parabola sa dotýka osi „x“ v tom čísle, ktoré je riešením rovnice. To znamená, že celá parabola ( ktorá reprezentuje ľavú stranu upravenej nerovnice ) je . Ak to porovnáme s požiadavkou nerovnice (tvrdením výrokovej formy ), ľahko nájdeme riešenie.

0 , 0 0 , 0

PríkladPríklad

Riešte v množine reálnych čísel nerovnicu:Riešte v množine reálnych čísel nerovnicu:

04x4x 2 04x4x 2

Z grafu vidíme, že požiadavke nerovnice vyhovuje jediný bod paraboly, x=2 .

2P 2P

...? 0D ak stane, sa Čo ...? 0D ak stane, sa Čo

Ak kvadratická rovnica nemá reálne riešenie, potom parabola, ktorá ju reprezentuje, musí byť nad osou „x“ (a>0), alebo pod osou „x“ (a<0). Riešenie kvadratickej nerovnice je v tomto prípade , alebo

;P ;P P P

02xx 2 02xx 2 D=-7

P=(-∞;∞)

Dôvod: Celá parabola je kladná: tvrdeniu nerovnice vyhovuje celá os „x“.

05x2x 2 05x2x 2

D=-16

Riešenie: P={ }

Dôvod: Žiadna časť paraboly nie je ≤ 0, lebo celá parabola je nad osou „x“, teda je kladná.

Využitie kvadratických Využitie kvadratických nerovníc:nerovníc:

Často sa stretávame s problémom určenia Často sa stretávame s problémom určenia definičného oborudefiničného oboru rôznych funkcií, kde treba rôznych funkcií, kde treba riešiť kvadratické nerovnice, napríklad:riešiť kvadratické nerovnice, napríklad:

2x3xarcsiny

)x82log(y9x

3xy

2

2

2

2x3xarcsiny

)x82log(y9x

3xy

2

2

2

Ďalej...Ďalej...

Kvadratická nerovnica je často súčasťou Kvadratická nerovnica je často súčasťou inej, zložitejšej rovnice, resp. nerovnice:inej, zložitejšej rovnice, resp. nerovnice:

x22x3x

x59x6x

2x3x3x2x

2

2

22

x22x3x

x59x6x

2x3x3x2x

2

2

22

Z praktických problémov Z praktických problémov uvediem len jeden z oblasti uvediem len jeden z oblasti

balistiky:balistiky:

Z plošiny veže vo výške 108m Z plošiny veže vo výške 108m vystrelili vodorovne projektil o 12.h vystrelili vodorovne projektil o 12.h 20 min. Určte časový interval, v 20 min. Určte časový interval, v ktorom sa bude projektil pohybovať ktorom sa bude projektil pohybovať vo výške vyššej, ako 10m nad pätou vo výške vyššej, ako 10m nad pätou veže. ( okolnosti, ktoré kladú odpor veže. ( okolnosti, ktoré kladú odpor pohybu projektilu, zanedbáme )pohybu projektilu, zanedbáme )

Jedná sa o pohyb, ktorý je zložený z Jedná sa o pohyb, ktorý je zložený z rovnomerného priamočiareho pohybu rovnomerného priamočiareho pohybu

aa z voľného pádu: z voľného pádu:

Náčrt situácie:Náčrt situácie:

Po preložení do „reči“ Po preložení do „reči“ matematickej:matematickej:

Jedná sa o riešenie Jedná sa o riešenie nerovnice:nerovnice:

0985t alebo 105108

10msg ízaokrúhlen a dosadení po

2

22

2-

2

0

t

hgt

h

0985t alebo 105108

10msg ízaokrúhlen a dosadení po

2

22

2-

2

0

t

hgt

h

Po vypočítaní:Po vypočítaní:

43,4;43,4t 43,4;43,4t

Nakoľko nás zaujíma nezáporný časový interval, upravíme výsledok na :

43,4;0t 43,4;0t

Po porovnaní s počiatočnými Po porovnaní s počiatočnými podmienkami môžeme dať odpoveď:podmienkami môžeme dať odpoveď:

Projektil sa bude pohybovať vo výške Projektil sa bude pohybovať vo výške väčšej, ako 10m nad pätou veže v väčšej, ako 10m nad pätou veže v čase od 12:20:00 do 12:20:4,43.čase od 12:20:00 do 12:20:4,43.

Ak berieme do úvahy aj rýchlosť Ak berieme do úvahy aj rýchlosť vystreleného projektilu, môžeme vystreleného projektilu, môžeme vypočítať, v akej vzdialenosti dopadne na vypočítať, v akej vzdialenosti dopadne na zem, čo je veľmi dôležité z hľadiska zem, čo je veľmi dôležité z hľadiska zabezpečenia takéhoto „pokusu“.zabezpečenia takéhoto „pokusu“.

Ako matematika vo Ako matematika vo všeobecnosti...všeobecnosti...

aj riešenie kvadratických nerovníc aj riešenie kvadratických nerovníc rozvíja myslenie žiakov, napomáha rozvíja myslenie žiakov, napomáha ku komplexnej analýze zložitých ku komplexnej analýze zložitých problémov. Kto vie narábať s týmito problémov. Kto vie narábať s týmito detailmi, lepšie obstojí aj vo svete detailmi, lepšie obstojí aj vo svete komplikovaných reálnych situácií.komplikovaných reálnych situácií.

Použitá literatúra a linkyPoužitá literatúra a linky

Jirásek F.: Zbierka úloh z matematiky Jirásek F.: Zbierka úloh z matematiky pre SOŠ a študijné odbory SOU, 1. pre SOŠ a študijné odbory SOU, 1. časť, Bratislava 1987časť, Bratislava 1987

www.google.skwww.google.sk