ODJEL ZA FIZIKU SVEUČILIŠTE U RIJECI

Preddiplomski studij Fizika

Ak. god. 2019./2020.

1

KVANTNA MEHANIKA

Drugi kolokvij 22.05.2020.

1. U ovom zadatku, vrijednosti spina izražene su u jedinicama od ħ. Promotrite sustav koji se sastoji od dvije

neinteragirajuće čestice: za česticu 1 spin je 1, a čestica 2 ima spin 1/2. Mjerenje je pokazalo sljedeće rezultate:

1 2

11;

2z ys s= − =

Ovdje su S1 , S2 operatori spina čestice 1 i 2, a S1z , S2y operatori projekcije spina na os z za prvu česticu i os y za

drugu česticu. Njihove svojstvene vrijednosti su s1z , s2y . Kolika je vjerojatnost da za ukupni spin sustava

izmjerimo vrijednost s = 1/2?

2. Čestica se giba u sferno-simetričnom potencijalu prikazanom na slici. U području r ≤ 0 valna funkcija je

jednaka nuli.

(a) Riješite Schrödingerovu jednadžbu za ovaj problem i nađite valne funkcije ako je energija E < U0 .

(b) Nađite jednadžbu iz koje se mogu izračunati energije. Jednadžba se ne može riješiti analitički pa je dovoljno

da je napišete u što jasnijem obliku.

(c) Napišite uvjet dobiven pod (b) za l = 0. Možete li grafički naći rješenja ove jednadžbe?

Uputa: kovergentna rješenja jednadžbe

( )2 2 22 1 0x y xy x l l y + − + + =

nazivaju se modificirane sferne Besselove funkcije druge vrste, y = kl(λx). U dodatku se nalaze neke osnovne

informacije o ovim funkcijama.

3. (a) Provjerite zadovoljava li vektorski potencijal

1

2= − A r B

uvjet · A = 0, gdje je B konstantno magnetsko polje.

(b) Neka je A vektorski potencijal zadan pod (a). Pokažite da je član

q

m− A p

koji se pojavljuje u hamilotonijanu za česticu u EM polju jednak izrazu za interakciju magnetskog momenta μL

zbog orbitalnog angularnog momenta s magnetskim poljem B

2 2

L

q q

m m− = − = − μ B L B B L

gdje je q naboj, a m masa čestice.

(c) (NIJE OBAVEZNO) Je li tvrdnja pod (b) točna ako je B = B(r, t)? Pretpostavimo da smo našli potencijal za

kojeg je · A = 0. Je li operator −μL · B uopće hermitski?

4. Neka je čestica u stanju

( ) ( )0 /ie

=p r

r r

gdje su p0 i ϕ(r) realni vektor i funkcija, respektivno. Pretpostavljamo da je ψ(r) normalizirana. Pokažite da su

prosječne vrijednosti za opservable L, r i p povezane klasičnom relacijom

ODJEL ZA FIZIKU SVEUČILIŠTE U RIJECI

Preddiplomski studij Fizika

Ak. god. 2019./2020.

2

= L r p

Uputa: računajte prosjek za jednu komponentu Li i pri računanju upotrijebite teorem o divergenciji.

aS yetbe’

ISy 47 = 5 I+) * = |=?

Voitue dtauype vee Cano poucch rveibra | S54(AQ=/2%=4, a=) | P2= 5May = 3) =

Lo - i _ 4=

actymeny (4 I= 2 ) 2,= 5)

Naptiturc ole velbre 22xLLWU0 potuoch Z —proprhcye

;.

al Ma 41) m= 52 +e | Mg =A wn =-5>y2 ) (z

Ja tedtca 0 CleSsl- Gerdeucun koefrepeine’

E< UU,

Ryesewe Schrdidus aesvepeduadbe 4 cba produc) [ekilo

= RC) Ye(oeGi)Treva nents ladyolu Sclrodugew jeduadiby u4 paduc), Oc(2) te refayo Spay iO” bul Uyriug «

U padurqu © ladyelu Selus aliug 2onQ peetuccliba ghku

d_ ~ 2d e(era) 2dye r- dr ref RTKR =o

2 2mMEI< = Ge

Rietewe ore pecaluadithe alac’

Fo = Ate(kr)ade at de sfere Bemba fuutia tea @. ZQ foo

de(kv) —oCULe Je zadior Ger jet (corres rh wralue fuutuse.

U feducla @Z) tadyola Sludilugers pluie glare’

- &erd)fae Ss fR- RR =D

ie 25 (ue) >0Ue Pouyri $= Avr

oa (eduadie tote2 1Sod ts doaare” alg? - ) adv AF

© a lee} 2“ee. dg~

ex & °coduohie y

cel 4 2° a" - { p+ e(Rtn) § R= 0

PyeSerye. ove pedrodvhe Bo, oye °F3e ) R09 alanR= ke(ar)

gdje je Ke mechifiaioua sfauia Retilaa furlwye, ducevote .

Cs) Rade’ ay oh

A Je ( Ki) = 2, te(av)AK juicet\= BAK (An)

Ora sotow peduadih’ wa|netic ohio mege to ACK le fe

Lt ( ane Ke (Lt) _K Je(ete) KOI(At)Date, jeduadile ie hee re debwoy eumguye gat

he Je Cen) ke (A) — K Ke (Al) jeCe’) =0(c) ta €=o je

clo (Kle) = sin (Kye) . I wos(l<be) _ gm (Kite)

ken ) Jo (Kv. ” Ev, (Ky, )e

—/tekK, (Ar = Ss oe

— 5 k (Ayye GC) ao

Unhwo 4 Aayet aleboivers pad! (>)

A jel kev, ke(evs) - IK KelAte) Je (Keo ) =o—~Ae

Ate)en (BEwe) - ciCle ve)

U<4)* \ ”— {<>

ae ari(er) (+ a).x(5 ((fn)_aeva tp—Nh, sin (Kt) = K WS (Eve)

rh tan (KL) = IKSkea poe ¢ che vue

|

“4 = KK

—

oe

‘Da dcbyeuo le Quo jedus Wereuye ULoVauLro wok’ ayet

pror > =) .

BH\t amUey fic(5) ?4u

>(4|

2-4

C=) ft xs >. & on fe i XxX; B}dK

7K ig ke ( .) gb ISG

B |€ cou terihuc pofe~—5 > —->

Nay pure pees VKA =B

(GeA). =|

|ofik

=2 Sie aX2 Sik oe (> (- 2) Creu, Xe s.)gt

_ geCA) | Pen Ai] = 2g,

> z 3-A=zO

AL ax2. on Z_ Fin :) 2aPe “¢ )2_ eckor= O bye

A= BAA2. Ae Pe (- 5) > KN Xs Ba Pe

c a2 2 Bele “a K

Vue-2 Ap--2 BeW .

P 2MC

Cc) Ovo wre b)€o ohavere |Aico conn © Fy toda LU B , eduone JB hecomutilagu opceruto. Odavdye Ail uye epudte”Veshe tele wih" o aperakvour

wD{ —_ —-(Mkt Bi)

(oy fe henMar -

- # 3 -Crs Sy Foop die (be lr CF ble>A * _

rp -Lp/i ox oeBy~ (optPyadir =F co} 9(e #4s/f pet lt e rk —g (e* +)- Fe! b+ PM Sd

—~ > 3—_<BY= pS iglrdy ¢ =f ‘ob dr

A. .nN& je woke Fess lene

$Fb= bVb = 4 VG")

( ¥ (4) d'r = § 4Ads on Ctenew © ditqeiy

Korupoveiko tao qlase

LL. = 2 ae Xp Peik

C49 Z eae (oe (xg Ri)p tirJ

LDF/t_ kf 2Pic ~ LO OX jc € ~)

/; CRG epee lG

_&/f& e€ 2dL ( t Pro P - ec Xe\ 4 3<ti) 2 Gye {+4 CGPee #X PO) B tr

© cpenctey oS‘Dregn Clon Ax POU CHA ayaa Wolenc Tren Cfoict -

A 3 ;- x" df= Rod r 9 2. _kiA RsStuhet 8 faay Ege

2 EP 2Z x-\dris x AS —- OSZ ’) 5 .S— vo

Zhoq feolius © hieee Takedey , Boag

=H Jy kk = Eckie =OJe, oude cy elt ' dug Cau jeduale Au Cx‘. Otare

no e . 23COIS 2 Gx Peo xp l'v = 2 Sie xrepygit eae dgPe? Oy|

4-2

od LORLO

CT)= CRY KCR)D