Közelítő és szimbolikus számítások haladóknak

2. előadásMátrixok ortogonális-trianguláris

felbontása

2

A Householder-algoritmus

3

Partícionált elemi tükröző mátrixok

Tétel. Legyen egy elemi tükröző mátrix.Ekkor az alábbi partícionált formában meg-adott mátrix is elemi tükröző mátrix.

nnRQ ×∈

mmT R

QO

OIT ×∈

=

nnmRO ×−∈ )(

4

Bizonyítás

Ha Q egységmátrix, akkor

is egységmátrix, így az állítás ekkor igaz. Ha , ahol q egységnyi hosszúságú, akkor vezessük be a

m-komponensű vektort.

mmT R

IQO

OIT ×∈

==

TqqIQ 2−=

),...,,,0,...,0,0(' 21 nT qqqq =

5

Bizonyítás

Könnyen látható, hogy q’ hossza is egységnyi és

tehát T is elemi tükröző mátrix.Megjegyzés. Analóg módon, az alábbi partícionált mátrix is elemi tükröző mátrix, ha elemitükröző mátrix.

,''2 TqqIT −=

mmT R

IO

OQT ×∈

=

nnRQ ×∈

6

Householder-algoritmus

Tétel Minden A n-edrendű, valós, kvadratikus mátrixhoz megadhatók olyan elemi tükröző mátrixok, hogy az

rekurzióval számított mátrix 1,2,...,j-dik oszlopában minden főátló alatti elem 0. Speciálisan így felső trianguláris alakú.

121 ,...,, −nQQQ

AA =0

,1−= jjj AQA

1−nA

jA

7

Householder-algoritmus

Bizonyítás.A bizonyítást j szerinti indukcióval végezzük.A j=1 esetben használjuk fel azt a tételt, amely elemi tükröző mátrix segítségével kinullázza egy vektornak a második komponensétől kezdve az elemeit úgy, hogy közben a vektor hossza nem változik. A korábbi tételbeli jelöléseket használva legyen

Így a szorzás elvégzése után kapott mátrix első oszlopában a második elemtől kezdve minden érték 0.

aAex == 1 .12eay =

01AQ

8

Householder-algoritmus

Bizonyítás (folyt.)Tegyük fel, hogy az állítás teljesül az első jesetre! Az mátrixot írjuk fel

partícionált alakban, ahol

jA

=

jTj

jj

j CO

BUA

,jjj RU ×∈ ,)( jnj

j RB −×∈

,)( jjnTj RO ×−∈ .)()( jnjn

j RC −×−∈

9

Householder-algoritmus

Bizonyítás (folyt.)Ismét felhasználva az előbb már alkalmazott tételt, van olyan elemi tükröző mátrix,amellyel szorozva az mátrix első oszlopában a máso-diktól kezdve minden elem 0.

A partícionált elemi tükröző mátrixokra vonatkozó tétel szerint

szintén elemi tükröző mátrix.

)()( jnjnj RS −×−∈

jjCS

=+

jTj

jj

j SO

OIQ 1

10

Householder-algoritmus

Bizonyítás (befejezés) .Tehát az

mátrix már a j+1-dik oszlopában is olyantulajdonságú lesz, hogy az főátló alatti elemeirendre 0 értékűek.

=

== ++

jjTj

jj

jTj

jj

jTj

jj

jjj CSO

BU

CO

BU

SO

OIAQA 11

1+jA

11

Ortogonális-trianguláris felbontás

A fenti tétel bizonyításában szereplő eljárás valóban dekompozíciót ad, hiszen így

ahol felső trianguláris mátrix, ortogonális mátrix, aminek Q inverze (vagyis az előbbi szorzatmátrix transzponáltja) is ortogonális, így

A=QR.

,... 1211 AQQQA nnn −−− =

1−= nAR 121 ...QQQ nn −−

12

Példa

Határozzuk meg a Householder-algoritmussal az alábbi mátrix ortogonális-trianguláris felbontását.

=

54

23A

13

Megoldás

Most csak egy elemi tükröző mátrixra vanszükség, arra, amely az első oszlop második elemét kinullázza. Legyen

és . Így

Tx )4,3(= Ty )0,5(=

T

q

−=5

2,

5

1 .

53

54

54

53

−=Qés

14

Megoldás

.

57

0

526

5

53

54

54

53

54

23

−

−=

−=

−==

5

70

5

265

54

23

5

3

5

45

4

5

3

QAR

Tehát a QR dekompozíció:

15

16

Felső Hessenberg mátrix

Definíció : A H felső Hessenberg mátrix, ha

bármely j+1<i-re.0=ijh

−2100

1210

2232

4111

Példa:

17

Felső Hessenberg alakra transzformálás

Megjegyzés. Tetszőleges mátrix véges sok elemi tükröző mátrixszal végzett ortogonális hasonlósági transzformáció segítségével felső Hessenberg alakra transzformálható, vagyis megadhatók olyan elemi tükröző mátrixok, hogy az

rekurzióval számított 1,2,…,j-dik oszlopában már felső Hessenberg alakú. Speciálisan az mátrix felső Hessenberg alakú mátrix lesz.

nnRA ×∈

221 ,...,, −nQQQ

2−nA

AA =0,1 jjjj QAQA −=

18

Reguláris mátrixok QR-felbontása a Cholesky-féle dekompozícióval

19

Eljárás

Ha A reguláris, akkor a mátrix pozitív definit, tehát létezik B-nek kanonikusCholesky-felbontása. Legyen . Ekkor az A=QR ortogonális trianguláris felbontás, hiszen R felső trianguláris mátrix, másrészt Q ortogonális.

AAB T=

1−= ARQ

20

Q ortogonalitásának bizonyítása

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) IIIRRRR

RRRRBRR

ARARARARQQ

TT

TTT

TTTT

===

===

===

−−

−−−−

−−−−

11

1111

1111

A Cholesky-féle felbontáson alapuló QR-felbontás numerikusan instabil.

21

Példa

Határozzuk meg a Cholesky-felbontáson alapuló eljárással az alábbi reguláris mátrix ortogonális-trianguláris felbontását

.54

23

=A

22

Megoldás

=

==

2926

2625

54

23

52

43AAB T

==

5

70

5

265

5

7

5

2605

RRB T

B Cholesky-felbontása:

23

Megoldás

−=

−

== −

5

3

5

45

4

5

3

7

50

35

26

5

1

54

231ARQ

Így

.

57

0

526

5

53

54

54

53

54

23

−=

Tehát a QR-dekompozíció:

24

Összehasonlítás

Hasonlítsuk össze a Householder-algoritmus és a Cholesky-féle felbontáson alapuló eljárás eredményeit.

.

57

0

526

5

53

54

54

53

54

23

−=

.

57

0

526

5

53

54

54

53

54

23

−

−=

Householder-algoritmus:

Cholesky-féle felbontásonalapuló eljárás :

25

A felbontás unicitásáról

Tétel. Reguláris A mátrix ortogonális triangularizációja Q oszlopainak és R sorainak előjelétől eltekintve egyértelmű.

Bizonyítás.Tekintsük A két felbontását.

2211 RQRQA ==

26

Bizonyítás (folytatás)

Mivel A reguláris, így a determinánsok szorzás-tétele miatt, a felbontásban szereplő minden mátrix reguláris, ezért

Itt a baloldalon ortogonális mátrix áll, a jobb oldalon viszont felső trianguláris mátrix, ami csak úgy lehet, ha mindkét oldal egy V diagonális mátrixszal azonos.

.11212−= RRQQT,

27

Bizonyítás (befejezés)

VQQ 12 = 12 VRR =

Mivel V egyszerre diagonális és ortogonális mátrix is, így a főátlójában csak +1 és -1 állhat, valamint

ami a tétel bizonyítását jelenti.

28

Elemi forgatómátrixok

29

Elemi forgatómátrixok

Definíció . Tetszőleges és esetén az

alakban megadható mátrixokat elemi forgatómátrixoknak nevezzük.(Másik szokásos elnevezésük: Givens-mátrixok.)

)(sin))(1(cos

),,(Tpq

Tqp

Tqq

Tpp eeeeeeeeI

qpS

−++−+=

θθθ

1 nqp ≤<≤ 20 πθ≤≤

30

S(p,q,θ)

−

1

1

cossin

sincos

1

1

O

O

O

θθ

θθ )( p←

)(q←

↑)( p

↑)(q

31

Tulajdonságok

Tetszőleges S(p,q,θ) elemi forgatómátrix és A mátrix eseténa) az S(p,q,θ) mátrix ortogonális,b) az A’=AS(p,q,θ) mátrix oszlopvektorai tetszőleges

-re A oszlopvektoraiból az alábbi képlettel számolhatóak

=+−=+

≠≠=

ha ,cossin

ha ,sincos

és ha ,

'

qmaa

p maa

qmpma

a

qp

qp

m

m

θθθθ

1 nm≤≤

32

QR-felbontás, felső Hessenberg-alakra transzformálás

• Tetszőleges valós, kvadratikus mátrix ortogonális trianguláris felbontása előállítható elemi forgató mátrixokkal O(n3) művelettel.

• Tetszőleges valós, kvadratikus mátrix O(n2) elemi forgatómátrixszal végzett ortogonális hasonlósági transzformáció segítségével O(n3) művelettel felső Hessenberg-alakra transzformálható.

33

QR-felbontásPélda. Határozzuk meg az alábbi mátrix QR-felbontását elemi forgató mátrixokkal

Megoldás.

.54

23

=A

5

3

43

3cos

22=

+=α

5

4

43

4sin

22=

+=α

=

−=

5

70

5

265

54

23

5

3

5

45

4

5

3

SA

−=

5

70

5

265

5

3

5

45

4

5

3

A

34

Miért ‘forgató’ mátrix?

• Ha az (x,y) koordinátájú pont β szöget zár be az x-tengellyel és azt az origó körül -αszöggel elforgatjuk, akkor az így kapott pont (x’,y’) koordinátái

ahol . Így

αα

ααβαβα

sincos

)sin(cos)sinsincos(cos'

yxz

y

z

xzzx

+=

=+=+=

αα

αααβαβ

sincos

)sincos()sincoscos(sin'

xyz

x

z

yzzy

−=

=−=−=

( ) ( )( )αβαβ −− sin,cos zz2222 '' yxyxz +=+=

35

Megjegyzés

• Ha ismert az A=QR dekompozíció, könnyen meg-kapható |det A| is. Ehhez elég meggondolni, hogy egy ortogonális mátrix determinánsa csak +1 vagy -1 lehet. Ekkor viszont

• Ha ismert az Ax=a lineáris egyenletrendszer együttható-mátrixának A=QR felbontása, akkor tekintve a

Qy=a Rx=y

egyenletrendszereket y könnyen meghatározható, kihasználva Q ortogonalitását ( ), majd a szokásos visszahelyettesítéssel x is megkapható.

.||det1

∏=

=n

ijjrA

aQy T=

36

Gyakorló feladatok

37

Gyakorló feladatok

• Létezik-e olyan elemi tükrözés, amely az egységkört az egységnégyzetre képezi le?

38

Gyakorló feladatok

• Lehet-e egy mátrix egyszerre elemi tükröző és elemi forgató mátrix is?

39

Gyakorló feladatok

• Határozza meg az alábbi mátrix QR felbontását a Householder-algoritmussal.

−−−−−

−−

1122

2210

0001

1022

40

Irodalomjegyzék

• John H. Mathews, Numerical Methods for Mathematics, Science, and Engineering, Second Edition, Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1992.

• Mihálykó Csaba – Virágh János, Közelítő és szimbolikus számítások. Feladat-gyűjtemény, Typotex, 2011.

• Virágh János, Numerikus matematika, JATEPress, Szeged, 1997.