l2 l11

2

1 2

Y

X

C

BA

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

. b

tg = m

P(0,b)

ECUACIÓN DE LA RECTA DADA SU PENDIENTE Y SU ORDENADA EN EL ORIGEN

x

O

P (+,+)

P (+,-)

I cuadrante

P(-,+)

P(-,-)

Y(+) Ordenadas

Y(-) Ordenadas

X(+) AbscisasX(-) Abscisas

II cuadrante

III cuadrante IV cuadrante

1

P2 (2,2)

-1

-2

P1 (-2,1)

SISTEMA COORDENADO BIDIMENSIONAL

P(x,y)

2

2

y

1

-1

0 X

BISECTRICES DE LOS ÁNGULOS DE DOS RECTAS

0 l1

d1

P1

l2

d2

l‘l

P2

d1

d2

YTema 7. RECTA

Segmento Rectilíneo: La porción de una recta comprendida entre 2 puntos se llama segmento rectilíneo o segmento de extremos A y B

INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANÁLITICA

A

En el segmento AB (+), A es el origen y B es extremo o punto final. Decimos que el segmento AB está dirigido de A a B, el mismo segmento pero con origen B y extremo A, está dirigido de B a A. Aún cuando las longitudes son iguales, se dice en geometría analítica, las mismas difieren en signo.

La longitud del segmento AB se representa por AB

B

A B

Notación AB (+)

Notación BA (-)

Teorema: En un sistema coordenado lineal, la longitud del segmento dirigido que une dos puntos dados se obtiene, en magnitud y sentido, restando la coordenada del origen de la coordenada del extremo.

Características: Existe una relación Biunívoca (a cada punto de la recta le corresponde un único número real y viceversa).

Densidad:

2

12 xxxn

x1 x2

- P1 0 P2 +

21PPd(P1 a P2)= = (x2 – x1)

Coordenada de la derecha menos coord. de la izquierda

SISTEMA COORDENADO UNIDIMENSIONAL

SISTEMA COORDENADO BIDIMENSIONAL

x Py

P (+,+)

P (+,-)P (a,b) Par ordenado, a x, b yP(x,y)

I cuadranteP(-,+)

P(-,-)

Y(+) Ordenadas

Y(-) Ordenadas

X(+) AbscisasX(-) Abscisas

II cuadrante

III cuadrante

IV cuadrante

Forma 1: Se conoce el par ordenado P2 (1,3) y se ubica en el plano.

Ubicación de puntos en el plano cartesiano

1

123 P2 (1,3)

Forma 2: Se conoce la ubicación del punto P y se hallan las coordenadas.

-1-2

P2 (-2,2)

221

221 yy)xx(d

212

21221 yyxxPPd

P2

y2 - y1

x2-x1

x1 x2

y2

y1 X (+)

Y(+)

P1

d

DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS

Esta fórmula es general para cualquier cuadrante siempre y cuando se tomen en cuenta los signos de las coordenadas

Teorema: La distancia d entre dos puntos P1 (x1 , y1) y P2 (x2 , y2) viene dada por la fórmula:

212

212

221 yyxxPP

Demostración:

1r ;r1

ryyy ;

r1

rxxx 2121

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA.

Teorema: Si P1 (x1,y1) y P2 (x2,y2) son los extremos de un segmento las

coordenadas ( X, Y ) de un punto P que divide a este segmento en la razón

son:

21PP

21 : PPPPr

2

1

PP

PPr

x1 B1

P2

y

x2

x

P1

A2

y2

y1

AA

PP

AA

PP

2

2

1

1 por el teorema de Thales

B

B2

AA1

P.

rxx

xx

AA

AA

2

1

2

1

x - x1x2- x

Demostración:

x1 B1

P2

y

x2

x

P1

A2

y2

y1

B

B2

AA1

1r ;r1

ryyy ;

r1

rxxx 2121

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA.

P.

Teorema: Si P1 (x1,y1) y P2 (x2,y2) son los extremos de un segmento las

coordenadas ( X, Y ) de un punto P que divide a este segmento en la razón

son:

21PP

21 : PPPPr

x - x1x2- x

Luego la coordenada x de P es: r (x2-x)= x-x1

yy

yy

BB

BB

PP

PP

2

1

2

1

2

1

rx2 – rx =x - x1 - rx – x = -x1-rx2

De igual manera, se calcula la coordenada de P

r1

rxxx 21

x (r+1) = x1 + rx2

12122

1 y )( yyyrryyyyryy

yy

r1

ryyy 21

Corolario: Punto medio de un segmento: Las coordenadas del punto medio de un segmento dirigido cuyos puntos extremos son ( X1,Y1) y (X2,Y2) son :

221 xx

x

2

21 yyy

y

2x

1 :entonces 2121 xx

r

rxxx

21manera igual de y 2121 yy

y r

ryy y

Como r = 1

= Angulo de inclinación

Ángulo de Inclinación: Es el ángulo formado por la parte positiva del eje X y la recta, cuando ésta se considera dirigida hacia arriba.

Pendiente m: Es la tangente del ángulo de inclinación de la recta

Si 0 90 m es positiva

Si = 90 m= tg no está definida

Toda recta perpendicular al eje x no tiene pendiente

m = tg 0 180

m (+)

Si 90 180 m es negativa

m (-)

12

12

xx

yytg

donde 2112

12 x xxx

yym

; 12

12

xx

yym

Teorema: Si P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta,

la pendiente de la recta es: con x1 x2

x2 - x1

p2

p1

x2

y2

y1

y2 - y1

x1

El ángulo entre l y s es aquel comprendido entre la parte de las rectas con dirección o dirigidas, o sea

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

·

·

Sean l1 y l2 dos rectas que se cortan, C es un punto de intersección, A y B son

los puntos de intersección con eje x. El ángulo entre l1 y l2 es 1

0

l2 l11

2

1 2

Y

X

C

BA

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

- 1 y 2 son suplementarios los cuales se miden en sentido antihorario (sentido positivo en trigonometría).

- La recta a partir de la cual se mide el ángulo se llama recta inicial l1 y la otra recta final l2.

- Sus pendientes se llaman pendiente inicial y final m1 y m2.

Sean l1 y l2 dos rectas que se cortan, C es un punto de intersección, A y B son

los puntos de intersección con eje x. El ángulo entre l1 y l2 es 1

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

Cálculo de los ángulos 1 y 2 a partir de m1 y m2.

1. 2= 1 + 1 Por ser 2 exterior al ABC 1 = 2 - 1 Despejando 1

0

l2 l11

2

1 2

Y

X

C

BA

Sean l1 y l2 dos rectas que se cortan, C es un punto de intersección, A y B son

los puntos de intersección con eje x. El ángulo entre l1 y l2 es 1

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

Cálculo de los ángulos 1 y 2 a partir de m1 y m2.2. Aplicando la tg a ambos miembros queda

ytgxtg

ytgxtgyxtg

112

12

tgtg1

tgtg

tg 1 = , ya que

3. m1 = tg 1 y m2 = tg 2, entonces queda

tg 1= 12

12

mm1

mm

y 2= 180 - 1

0

l2 l11

2

1 2

Y

X

C

BA

Paralelismo: Si dos rectas son paralelas, entonces el ángulo formado por ellas es 0 ó 180.

La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean perpendiculares entre sí, es que el producto de sus pendientes sea igual a: –1

tg 0 = = 0 m1 – m2 = 021

21

mm1

mm

Luego, m1 = m2

La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean paralelas es que sus pendientes sean iguales.

Perpendicularidad: Si dos rectas son perpendiculares, entonces el ángulo formado por ellas es 90.

ctg =12

21

mm

mm1

Como ctg 90 = 0 0= 12

21

mm

mm1

Se usará la fórmula de la siguiente manera:

Þ 1+ m1 m2 = 0

Luego, m1 m2 = -1

90t

s

t

s

m1

m2

m1

m2

Definición: Llamaremos línea recta al lugar geométrico de los puntos del plano, tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) del lugar, el valor de la pendiente m, calculada mediante:

ECUACIONES DE LA RECTA

Ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada (Ecuación Punto – Pendiente).

12

12

xx

yy

m = donde x2 x1, es siempre constante.

1

1

xx

yym

. P(x,y)

. P1 (x1, y1)

m

Despejando, y - y1 = m (x -x1)t

s

EjemploHallar la recta que tiene m = tg 135 = -1 y pasa por el punto P (4,-1)

y – (-1) = -1 (x-4)

y + x = 3

y + 1 = -x + 4

. P1 (3,0)

Para graficar la recta se despeja la ecuación:

x = -y + 3cuando y = 0 x = 3cuando x = 0 y = 3

3

3

Sustituyendo en la ecuación y –y1 = m (x -x1), queda

y + x = 3

t

s

. P(0,3)

0 .

Ecuación de la recta dada su pendiente y su ordenada en el origen , o sea, m y b

. b

tg = m

P(0,b)

Sea y - y1 = m (x -x1) la ecuación de la recta

Las coordenadas de la ordenada en el origen P son (0,b)

Entonces sustituyendo en la ecuación, queda:

y - b = m (x - 0) y = mx + b

Si l // eje X, entonces b=0 y la recta es y = mk

- Se sustituye en la ecuación Punto – Pendiente

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos P1 (x1,y1) y P2 (x2 , y2)

- Se calcula m m = donde: x2 x1,12

12

xx

yy

112

121 xx

xx

yyyy

- Dada la ecuación de la recta y - y1 = m (x -x1)

P1 = (x1+y1) .

. P1 = (x1+y1)

.P2(a,o)

.P1(0,b)

Ecuación Simétrica de la Recta

1a

x

b

ydespejando:

Se utilizan los puntos de corte con los ejes P1(0,b) y P2(a,0)

Se sustituye en la ecuación dados 2 puntos :

12

12

xx

yy

y -y1 = (x – x1)

ab

abbxayax

a

boy

)(0

0

Teorema: Las rectas cuyas intersecciones con los ejes X y Y son a 0 y b 0 respectivamente, tienen por ecuación

1b

y

a

x

Sustituyendo los puntos dados P1 y P2

La ecuación queda:

Y

Ax + By + C = 0, donde A ó B 0, pero C puede ser o no igual a: 0

X

l

Ecuación general de la Recta Forma General

Punto de intersección entre dos rectas l1 y l2: Es el que resulta de la solución del sistema de 2

ecuaciones y 2 incógnitas

A

CxBsi 0

A

C

Es una recta vertical

B

A

B

CSi B 0 y + x + = 0

Donde m= - , b= - B

AB

C

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Si la recta no pasa por el origen+ Si el punto P1 y el origen están en semiplanos distintos de borde la recta.- Si el punto P1 y el origen están en el mismo semiplano.

Si la recta pasa por el origen+ Si el punto está en el semiplano superior- Si el punto está en el semiplano inferior

Donde el signo se escoge según:

22

11

BA

CByAx

d =

l

P(x,y)

X

Y

0

d

Ejercicio

Hallar la distancia de la recta 3x – 4y + 12 = 0 al punto (4, -1)

3x – 4y + 12 = 0

P(4,-1)

X

Y

0d

5

28

43

12)1(4)4(322

d

Sustituyendo el punto y la recta en la ecuación queda:

La distancia es 28/5. El signo negativo significa que el punto y el origen están en el mismo semiplano de borde la recta

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Sean l: Ax + By + C = 0 y l’: A'x + B´y + C´ = 0, y las rectas dadas y l1 y l2 las bisectrices de los ángulos entre las dos rectas.

Ecuación de las bisectrices de los ángulos de dos rectas

0 l1

d1

P1

l2

X

d2

l‘l

P2

d1

d2

Y

Para l2: d1 es (+) y d2 es (-) d1 = -d2 ,ya que P2 y el origen están en el mismo semiplano con respecto a la Bisectriz l‘.

Para l1 : d1, d2 son ( +) ya que P1 y el origen están en semiplanos opuestos de la la recta Bisectriz l1 d1 = d2

21 dd

Como los puntos de la bisectriz de un ángulo equidistan de los lados del ángulo las distancias d1 y d2 de los lados l y l´ a P (x,y) son iguales:

Ecuación de las bisectrices de los ángulos de dos rectas

2'2' BA

CByAx

22 ''

´´

BA

CyBxA

22 BA

CByAx

22 ''

´ ´

BA

CyBxA

= y =

Si C 0, r es de signo contrario a C.Si C = 0, B 0, r y B tienen el mismo signoSi C = B = 0, r y A tienen el mismo signo

Donde el signo del radical r :

Sean l: Ax + By + C = 0 y l’: A'x + B´y + C´ = 0, y las rectas dadas y l1 y l2 las bisectrices de los ángulos entre las dos rectas.

21 dd

Como los puntos de la bisectriz de un ángulo equidistan de los lados del ángulo las distancias d1 y d2 de los lados l y l´ a P (x,y) son iguales:

0 l1

d1

P1

l2

X

d2

l‘l

P2

d1

d2

Y

Familias De Rectas

Definición: La totalidad de las rectas que satisfacen una única condición geométrica se llama familia de rectas o haz de rectas: y = mx + k

1. Todas las ecuaciones que tengan la misma pendiente, pueden representarse por las ecuación: y = mx + k,

Caso 1

m m m

Familias De Rectas

2. Si pasan por un punto (a,b) la familia de rectas será, las rectas que pasan por P cualquiera que sea su pendiente.

Caso 2 P (x,y)

Entonces, y - y1 = m (x – x1) y - b = k (x - a)

donde k es la pendiente cualquiera que sea su valor.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Este tema fue realizado con apoyo en las siguientes bibliografías:

- DURÁN, Darío. 2003. La geometría Euclidiana. Maracaibo: Astro Data.

- PETER, B. G.;DARREL, P. (1998). Geometría. (3a ed.). México: Thomson Editores S.A.

- HEMMERLING, Ee. (2002). Geometría Elemenyal. (6ª ed). Mexico:Limusa

-LOPEZ Nayit. Fundamentos de Geometria Métrica Plana. Maracaibo: LUZ

- BOHÓRQUEZ, Hector. Apuntes de Geometria. Material inedito,