8/15/2019 l a n c a n i c e

1/27

1

L A N Č A N I C E

8/15/2019 l a n c a n i c e

2/27

LAN^ANICE

Uvodne napomene

Gipka nit pri~vr{}ena na svojim krajevima za dva nepomi~na oslonca,naziva se lan~anica .

it, o kojoj je rije~ mo`e biti u`e, lanac, kabl i sli~no, pri ~emu sehorizontalni razmak oslonaca, tj. ta~aka ovje{enja naziva rasponlan~anice, dok ove mogu biti na razli~itim ili istim visinama u

odnosu na horizontalu, sl.1.

A B A

h f B

f

l

l

slika 1.

Za lan~anicu se uvode slijede}e pretpostavke:

ona ima vlastitu te`inu koja je u slu~aju homogene niti jednolikoraspodjeljena po jedinici du ìne njenog luka ;

ona je apsolutno gipka tj.savitljiva, {to zna~i da se ne suprotstavlja savijanju .

Na osnovu ove pretpostavke slijedi da je suma stati~kih momenata svihsila u bilo kojem presjeku lan~anice, s jedne ili druge njegove

strane,jednaka nuli;

ona je nerastegljiva pod uticajem zate`u}ih sila koje se javljaju u svimnjenim presjecima.

Ova pretpostavka prakti~ki zna~i da se zanemaruje pove}anje ukupnedu`ine neoptere}ene lan~anice, {to je prihvatljivo u prvoj aproksimacijianalize.

(pri znatnim optere}enjima ili, pak, velikim o~ekivanim temperaturnimoscilacijama uvedena pretpostavka je neodr`iva).

N

8/15/2019 l a n c a n i c e

3/27

3

U uvodnoj definiciji je navedeno da su krajevi lan~anice pri~vr{}eni za nepomi~ne oslonce {to navodi na zaklju~ak da se u njima za bilo kojeoptere}enje javljaju kose reakcije za koje su, prema tome, unaprijed

poznate samo napadne ta~ke .Drugim rije~ima javljaju se po dvije nepoznate komponente reakcija - nasuprot tri raspolo`iva uslova ravnote`e.

Taj problem se, kako }e biti pokazano, neutrali{e zahvaljuju}i uvedenojpretpostavci o apsolutnoj savitljivosti u`eta na ~ijoj osnovi se uvijek mo`e postaviti dodatni uslov ravnote è - na identi~an na~in kako je toaplicirano kod trozglobnog luka.Lan~anicu treba, dakle, shvatiti kao ravni linijski nosa~ koji radi isklju~ivona zatezanje, pri ~emu se mo`e koristiti ili kao samostalni element ili - {to je ~e{}i slu~aj - kao glavni nosa~ tzv.vise}ih sistema.

Zbog male vlastite te`ine nosa~a i jednostavnosti izvedbe, u pore|enju sa gredi~nim nosa~ima, primjena lan~anica u sklopovima vise}ih sistema omogu}uje savladavanje vrlo velikih raspona, pri ~emu se ostvarujuveoma povoljni funkcionalni i estetski efekti.

Ovdje treba ukazati i na nedostatak takvih sistema koji se prvenstvenoogleda u veoma maloj krutosti {to izaziva potrebu primjene dodatnihkonstruktivnih mjera za njeno ostvarenje .

U konstrukcijama objekata visokogradnje lan~anice se koriste kao glavninosivi elementi za natkrivanje velikih prostora kao {to su sportskedvorane, bazeni, kongresne sale, sl.2.

S l i k a 2.

Veoma je ~esta primjena lan~anica kao glavnih nosa~a za prevo|enjeraznih instalacija (vodovoda, gasa, naftovoda…) preko raznih prepreka,sl.3.

8/15/2019 l a n c a n i c e

4/27

4

S l i k a 3.

Neizostavno treba spomenuti i primjenu lan~anica kao glavnih nosa~a za vje{anje kolovoznih tabli tzv.vise}ih mostova {to omogu}ava savladavanje izuzetno velikih raspona (preko 1500 m, kao {to sunpr.mostovi u S.Francisku, Istanbulu, Bristolu itd., sl.4)

S l i k a 4.

U okvirima ovih op{tih razmatranja potrebno je ukazati na jo{ neke va`ne

karakteristike lan~anice, ~ije razumijevanje predstavlja uslov za shvatanjenjenog rada kao nose}eg elementa .

U tom pogledu u prvom redu treba imati u vidu njenu osobinu da zauzima razli~ite polo`aje, odnosno razne konfiguracije, u zavisnosti odkaraktera i rasporeda optere}enja koja prima i dalje prenosi. Pri tome seovo odnosi na istu lan~anicu sa nepromjenjenim horizontalnimrazmakom oslonaca, i istom visinskom razlikom (h).

8/15/2019 l a n c a n i c e

5/27

5

Neki specifi~ni slu~ajevi prikazani su na slici 5

a ) b )l

l

h

hF 3

F 2 q(s)F 1

x

y c ) d )

Optere}enje po jedinci du`ine luka (s) Optere}enje po jedinici du`ine horizontalne projekcije (x)

h

h

y = f (x)q(s) x

q(x) y=f 1(x)

S l i k a 5.Posljedica te osobine jeste da je potrebno, bez obzira na nepromjenjivost raspona i visinske razlike oslonaca, za svaki slu~aj optere}enja posebnoutvr|ivati konfiguraciju, tj.jedna~inu lan~anice.Pore|enja radi, kod krutih nosa~a, npr.sistema okvira, to nije potrebno, sl 6. pa prema tome, princip superpozicije za lan~anice nije primjenjiv (u analiti~kom/algebarskom obliku).

F 1 F 2 l

h

h q 1q 2

lS l i k a 6

8/15/2019 l a n c a n i c e

6/27

6

Naredna osobina lan~anice koju treba uzimati u obzir jeste ~injenica da ona za vertikalno optere}enje uvijek ima horizontalne reakcije usmjereneprema vani, dakle, obrnuto u odnosu na lu~ne nosa~e, sl. 7.

Pri tome su, dakle za vertikalno optere}enje, te reakcije me|usobno jednake i, istovremeno jednake horizontalnoj projekciji (S ix) sile zatezanja

u bilo kojem presjeku lan~anice:

A x =B x =Six =H= const.

Bx=HF 1 F 2 A y

A x=H H

Bx A x F ix=H

B y A y l F 1 F 2

S l i k a 7.

I napokon, da bi se lan~anica mogla tretirati kao ravni stati~ki odre|enisistem potrebno je da se ona zadaje putem tri podatka .

Pored dva osnovna : raspona (l) i eventualne visinske razlike oslonaca (h)- pri ~emu je slu~aj h=0 tako|e podatak koji samo ukazuje da su oslonci na istoj visini -kao tre}i dodatni podatak naj~e{}e se unaprijed fiksira polo`aj (ordinata) jedne ta~ke optere}ene lan~anice.

Naravno, to mo`e biti i neki drugi podatak : npr.ugao pravca jedne(ukupne) reakcije itd.

Imaju}i u vidu ~injenicu da na ravnote`ni oblik obje{ene nitiprevashodno uti~e karakter optere}enja, stati~ka analiza lan~anica semo`e izvoditi prema slijede}oj globalnoj podjeli :

1.lan~anice sa poligonalnom konfiguracijom;

2.lan~anice ~ija je konfiguracija kontinuirana krivulja: y=f(x)

U skladu sa ovom sistematizacijom nije te{ko zaklju~iti da u prvomslu~aju (sl.8a.) lan~anica u ravnote`nom polo`aju ima oblik veri`nog poligona, dok je u drugom(sl.8b) to kontinuirana krivulja, kao grani~nislu~aj veri`nog poligona.

Preciznije re~eno ta stanja su posljedica djeluju}ih optere}enja:u prvom slu~aju optere}enja su koncentrisane sile, a u drugomkontinuirano raspodjeljena optere}enja po cijeloj lan~anici, bilo pohorizontalnoj projekciji, bilo po luku lan~anice .

8/15/2019 l a n c a n i c e

7/27

8/15/2019 l a n c a n i c e

8/27

8

Neka su to:

-raspon (l) lan~anice, tj. horizontalni razmak mjesta (A i B) pri~vr{}enja ;

-visinska razlika (h) tih mjesta ;

-ordinata( Y k ) jednog tjemena poligona (k)Ishodi{te koordinatnog sistema smje{teno je u centar jednog(ovdje A) oslonca,sa + y osom usmjerenom prema dole, sl. 10.

Stati~ka analiza se odnosi na :definisanje ravnote`nog polo`aja lan~anice, tj.ordinata ( Y i ) ta~aka - tjemena poligona u kojima su prilo`ene date sile, odnosno uglovi ( i)nagiba pojedinih segmenata poligona ;odre|ivanje sila u pojedinim segmentima lan~anog poligona ;utvr|ivanje ukupne du`ine poligona, tj. lan~anice (L)

Sile u pojedinim segmentima zategnutog u`eta ozna~ava}e se sa S, a ukupne oslona~ke reakcije sa S A i S B . Ostale oznake vidljive su na prate}imslikama.

Lan~anice, kao i lukovi, imaju osobinu da su reakcije u osloncima kose ipri vertikalnom optere}enju.

Nije se te{ko uvjeriti u ovu tvrdnju ve} i na osnovu uvida u ravnote`u trisile (sl. 10 c) pod pretpostavkom da su uglovi ( A i B) nagiba pravaca reakcija poznati.

8/15/2019 l a n c a n i c e

9/27

9

Zbog toga se reakcije u osloncima odre|uju preko svojih, vertikalnih ihorizontalnih komponenata, u cjelosti na analogan na~in kako se toprovodi kod trozglobnog luka. (treba napomenuti da postoji, kao i u timslu~ajevima, i drugi na~ini, ali se ovaj navodi zbog kontinuiteta ).

Dakle, na osnovu dva uslova ravnote`e za cijeli sistem:

0 B M i 0lK M (2)gdje je MK L zapravo, moment savijanja svih sila sa lijeve strane tjemena (k) lan~anog poligona ~ija je ordinata (y K ) unaprijed poznata dobivaju sedvije jedna~ine sa dvije nepoznanice .

To su intenziteti horizontalne (A x) i vertikalne (A y ) komponente ukupnereakcije (S A ) u osloncu A.

Identi~nim postupkom, iz uslova ravnote`e:

0 B M i 0d K M (3)dobi}e se i komponente B x i B y ukupne reakcije (S B) u osloncu B.

Preostali uslovi ravnote`e cijelog sistema :

0 X i 0Y (4)treba da potvrde, ili opvrgnu, da ravnote à zaista postoji. Prvi od dva uslova (4) ukazuje na va`an podatak da je :

A X=Bx=H(5)

I on vrijedi za sve lan~anice, bez obzira na njihov oblik, ako jeoptere}enje vertikalno.

Na osnovu poznatih komponenti, ukupne veli~ine reakcija tada se jednostavno dobiju prema:

22 y x A A AS 22 y x B B BS (6)

a odgovaraju}i pravci njihovog djelovanja ( A i B) iz:

x

y A A

Atg θ

x

y B B

Btg θ (7)

8/15/2019 l a n c a n i c e

10/27

10

Ovdje treba primjetiti da su ti pravci identi~ni sa pravcima krajnjihsegmenata lan~anog poligona, ~ime su odmah odre|eni njihovi uglovinagiba prema horizontali .

Atg X Y 11 ; htg X lY Bnn )( (8)

Ovo, dalje, zna~i da se sada mogu odrediti ordinate prvog i posljednjeg tjemena poligona.

Daljni tok analize polazi od proizvoljnog presjeka lan~anice i razmatranja dva uslova ravnote`e tipa(4), lijevog ili desnog dijela presje~enog u`eta.

U ovom slu~aju presjek je u~injen desno od tjemena (k) - sl.10.b, teizdvojen dio od oslonca A do tog tjemena.

U tom slu~aju slijedi :

:0 X 0cos H S k K

odakle je :k

K H

S cos

k k S

H cos (9)

:0Y 0sin1

k k k

iiY S F A

Nakon uvr{tavanja izraza (9) u posljednju jedna~inu, dobiva se ugaonagiba presje~enog segmenta, pa time i sile u njemu, u obliku :

H

F A tg

k

iiY

k 1

) _((10)

Poznavaju}i ove dvije veli~ine(S k i k ), uz ordinatu y K , na osnovugeometrijskih odnosa i uslova ravnote`e, mogu se jednostavno odreditisile u svim segmentima, kao i polo`aji(ordinate) tjemena lan~anog poligona.

Pri tome treba analizu sprovoditi lijevo i desno, sukcesivno do oslonca.

Naravno, sve {to je utvr|eno za ravnote`u lijevog odsje~enog dijela,vrijedi i za desni dio.

Tre}i uslov ravnote`e: )0(0 B A M ili M , izdvojenog dijela lan~anice, uputno je koristiti za provjeru uspostavljene ravnote`e.

U razmatranom slu~aju, za lijevi dio lan~anice, ta jedna~ina ima oblik :

8/15/2019 l a n c a n i c e

11/27

11

:0 A M 0cossin1

i k

ii k k k k k k x F yS xS (11)

Treba posebno obratiti pa`nju na izraz (9), jer se identi~na veza dobiva za bilo koji presjek, tj. op}enito va`i :

ii

H S cos

Na osnovu toga mogu se utvrditi va`ni zaklju~ci:

horizontalna projekcija sile u bilo kojem segmentu uvijek je jednaka horizontalnoj komponenti (H) reakcije pa je, prema tome,to konstantna veli~ina;

intenzitet ukupne sile u bilo kojem segmentu bitno zavisi od nagibatog segmenta ( i ) u odnosu na horizontalu;

to ,dalje, zna~i da se najve}a sila pojavljuje u segmentu koji ima najve}i nagib (s pove}anjem nagiba, kosinus pada), i obrnuto.

Dakle, ako postoji u poligonu horizontalni segment(cos =1) sila u njemu jednaka je horizontalnoj reakciji H.

Naprijed je izlo`en na~in stati~ke analize poligonalne lan~anice sa osloncima na razli~itim nivoima.

Ukoliko su pak oslonci na istim nivoima(h=0), analiza se o~ekivanopojednostavljuje, jer se vertikalne komponente reakcija (A Y i B Y ) moguodmah odrediti iz uslova ravnote`e:

:0 B M Y iiY Al X F

A 0 ; ii X l X

:0 A M Y iiY Bl X F

B 0 (12)

koje su o~igledno identi~ne reakcijama proste grede ( 00 x yiA A ) istog raspona (l) uz isti raspored i intenzitet vertikalnih sila F i , sl. 12.b.

8/15/2019 l a n c a n i c e

12/27

12

A y B y A B

A x=H B x =H x

y 1 y K y n

y F 1 F K F n

x1 l - x1XK F 1 F K F N

M1 0 MK 0

Slika 12.Kako se i u ovom slu~aju tretira samo uticaj vertikalnog optere}enja,horizontalne komponente reakcija u oba oslonca moraju biti me|usobno

jednake :

A x=Bx=H

I odre|uje se na osnovu poznavanja bilo koje ordinate jednog odtjemena uravnote`enog poligona .

Ako je ta ordinata npr. Y K , tada iz uslova ravnote`e dijela lan~anice lijevo

od presjeka slijedi :

:0lk M 0)(1

k

iiik yk X F X AY H (13)

Izraz u zagradi prednje jedna~ine predstavlja moment savijanja(uporeditisl.12.c.) na odgovaraju}oj prostoj gredi u istom presjeku (X k ):

M 0K = k

i

iiK y X F X A1

(14)

{to zna~i da se iz relacije(13)horizontalna reakcija mo`e odrediti prema:

k

k

y

M H

0

(15)

Vrijedi, naravno i obrnuto, ako je poznata sila H, onda se bilo koja ordinata uravnote`enog poligona mo`e odrediti iz :

8/15/2019 l a n c a n i c e

13/27

13

H

M y k k

0

(16)

Silu, u bilo kojem segmentu poligona mogu}e je na}i promatranjem opet ravnote`e jednog njegovog dijela, lijevo ili desno, svejedno, od presjeka kroz segment u kojem se ona tra`i :

Tada je na temelju uslova 0 X :

ii

H S

cos(17)

Ugao nagiba i-tog segmenta poligona, analogno izrazu (10), definisan jerelacijom:

H

T

H

F Atg i

k

iiY

K

01

) _((18)

gdje je sa T 0i ozna~ena transverzalna sila na prostoj gredi (A 0 y =A y ) u polju

koje odgovara segmentu ~iji se nagib tra`i .

Svi dobiveni rezultati mogu se, jasno, provjeriti promatranjemravnote`e(

0,0 Y X ) pojedina~nih ~vorova (tjemena) poligona.

L.1.2. Lan~anica sa konfiguracijom kontinuirane krivulje

Kada je obje{eno u`e optere}eno neprekidno bilo po svom luku, bilo posvojoj horizontalnoj projekciji ima}e oblik kontinuirane krivulje koja seop}enito opisuje jedna~inom tipa y=f(x) .

Konkretan oblik te jedna~ine bitno zavisi od zakona raspodjeleoptere}enja, ali i izbora koordinatnog po~etka sistema u kojem se analiza sprovodi.

Bez obzira na pomenute zavisnosti, dakle za proizvoljni oblik kontinuirane krivulje, pravac sile zatezanja u bilo kojem presjekuoptere}enog u`eta, uvijek koincidira sa pravcem tangente na krivu u tompresjeku .Prema tome, poznavanje konkretnog oblika jedna~ine lan~anice, za svakuvarijantu optere}enja, predstavlja preduslov za definisanje njenekonfiguracije i odre|ivanje sila u pojedinim presjecima.

8/15/2019 l a n c a n i c e

14/27

14

Kao i kod poligonalnog oblika, i u ovim slu~ajevima, rje{enja su mogu}a ako su unaprijed poznata tri podatka .

Naj~e{}e su to : me|usobni polo`aj oslonaca (l , h) i jedna ordinata lan~anice .

Naravno, postoje i druge mogu}nosti, tj. kombinacije, ali tri se pomenutesmatraju osnovnim ulaznim elementima.

Ovdje }e se u nastavku analizirati uticaji isklju~ivo vertikalnihkontinuirano raspodjeljenih optere}enja koja se op}enito mogu opisatizavisno{}u q=q(x).

Tako npr. ako je optere}enje raspodjeljeno jednoliko (uniformno) pohorizontalnoj projekciji lan~anice, tj. du` ose x, tada prednja zavisnost prelazi u q=const. {to, dakle, predstavlja samo jedan specijalni slu~aj .

Zbog toga je potrebno prvo upoznati op{ti oblik jedna~ine lan~anice za proizvoljno raspodjeljeno vertikalno, kontinuirano optere}enje, iz kojeg

je onda jednostavno pre}i na specijalne slu~ajeve.

Op{ti oblik jedna~ine lan~anice

Neka je, dakle, lan~anica optere}ena proizvoljnim optere}enjem q(x), te je potrebno odrediti njenu jedna~inu.

Ishodi{te koordinatnog sistema i smjerovi osa nazna~eni su na sl.14.a.q=q(x)

a) dx/2b)

A S A x S y Q

a S x

dy b S x+dS xB

dx S y +dS y S b

dx y slika 14

Na sl.14.b, prikazan je, uve}ano, izdvojeni elementarni dio a-b luka lan~anice na koji djeluju tri sile : sila zatezanja S u jednom presjeku (a),sila (S+dS) na drugom kraju elementa (b), te pripadaju}a vertikalna sila Q=q(x)•dx za koju se mo`e opravdano smatrati da djeluje u polovicihorizontalne projekcije (dx/2) luka ds ab.Prve dvije sile predstavljene su svojim projekcijama na ose x i y, pri ~emusu sa dS x i dS y ozna~eni prira{taji sile S u krajnjem presjeku (b) luka ds.

8/15/2019 l a n c a n i c e

15/27

15

Izdvojeni element, odnosno ove tri sile moraju se nalaziti u ravnote`i, ako je u ravnote`i cijela lan~anica, {to zna~i da se mogu na njega apliciratiosnovni uslovi :

1. :0 X -Sx + (S x+ dS x) =0 odakle odmah slijedi da je:

dS x =0, tj. S x =const.=H (19)

Kako je izdvajanje elemenata izvr{eno proizvoljno, dakle na bilo kojemmjestu lan~anice, do istog rezultata bi se do{lo za svaki element, pa semo`e izvesti va`an zaklju~ak da je horizontalna projekcija (S x) silezatezanja u bilo kojem presjeku lan~anice uvijek ista, konstantna veli~ina .

Treba se podsjetiti na istu konstataciju utvr|enu za poligonalnelan~anice.

2. :0Y -S y +q(x)•dx + (S y + dS y ) =0 odakle je:

)( xqdx

dS y (20)

3. :0b M 02 dxqdxdxS dyS y x odakle je

tgS

S

dxdy

x

y , tj. u vezi sa (19)

H

S

dxdy y

Ako se posljednji izraz diferencira jo{ jednom po apscisi (x) (H=const.),slijedi :

H dx

dS

dx yd y2

2

, te uzimaju}i u obzir vezu (20),

dobiva se op{ti oblik diferencijalne jedna~ine (2.reda) lan~aniceoptere}ene proizvoljnim kontinuiranim optere}enjem :

H xq

dx y d )(2

2

(21)

Prema tome, ako je poznat zakon raspodjele optere}enja q(x) svakorje{enje koje zadovoljava prednju diferencijalnu jedna~inu, uz po{tovanjerubnih uslova, predstavlja}e jedna~inu lan~anice, za taj zakon raspodjele.

8/15/2019 l a n c a n i c e

16/27

16

L 1.2.2.Paraboli~na lan~anica

Kada je lan~anica optere}ena kontinuirano po jedinici du`ine svojehorizontalne projekcije, tj. kada je zakon raspodjele vertikalnog kontinuiranog optere}enja :

q(x)=const.,

tada lan~anica ima oblik kvadratne parabole, sl.15, sa tjemenom unajni`oj ta~ki (C).

xl

l/2f

c

x c y

slika 15.

Zbog uniformne raspodjele optere}enja diferencijalna jedna~ina sada ima oblik :

H q

y (22)

Za koordinatni sistem sa ishodi{tem u vi{em, lijevom, osloncu (A) rubniuslovi jesu :

za x=0 y=0za x=l y=h

Pa se nakon dvije integracije jedna~ine (22) i odre|ivanja konstanti,dobiva jedna~ina ove parabole u obliku :

xlh

xl H

qx y )(

2(23)

Pravci sila u lan~anici u bilo kojem presjeku (x) odre|eni suodgovaraju}im nagibima tangenti na krivu , i dobiju se diferenciranjemprednje jedna~ine po apscisi :

lh

H

qx

H

ql ytg

2’

Tangenta na krivu je horizontalna u njenoj najni`oj ta~ki i njen polo`aj(XC) mo`e se odrediti iz relacije (24) za Y’=0, pa slijedi :

8/15/2019 l a n c a n i c e

17/27

17

ql Hhl

xC 2(25)

Treba primjeti, da u slu~aju kada je desni oslonac (B) vi{i od lijevog (A)postaje

Y B= - h , i u relacijama (23), (24), (25) uz posljednji ~lan dolazi negativanpredznak .Nagibi tangenti na osloncima, tj. pravci reakcija odre|uju se iz (24)postavljanjem da je x=0, odnosno x=l, pa slijedi :

lh

H ql

ytg A 2’ i

lh

H ql

tg B 2

Du`ina lan~anice (L) mo`e se odrediti polaze}i od poznatog izraza za elementarnu du`inu luka (dL) prema kojem je :

dxdxdy

dL2

1

(27)

i nakon predstavljanja jedna~ine paraboli~ne lan~anice(23) u obliku :

xtg xl xl

f y )(42 , (28)

Tada se kona~na du`ina lan~anice mo`e izra~unati prema :

22

2381 tgl

l f

L (30)

Treba napomenuti da je dobiveni izraz(30) aproksimativan, me|utim ondaje rezultate sa, za prakti~ne potrebe, zadovoljavaju}om ta~no{}u.

U specijalnom slu~aju, kada je h=0 ( =0) dobiva se simetri~na paraboli~na lan~anica, sl.16., ~ija jedna~ina u istom koordinatnomsistemu ima oblik:

xl H

qx y

2(23a)

8/15/2019 l a n c a n i c e

18/27

18

Za poznatu strelu (f) lan~anice upolovini raspona, ili odnos f/l,horizontalna sila (H), pa time i

horizontalne komponente reakcija,mo`e se odmah odrediti uvode}i jedna~inu (23a ) :Za x=l/2 je y=f, pa slijedi :

f ql

H 8

2

(31)

Slika 16Vertikalne komponente reakcija su identi~ne reakcijama odgovaraju}eproste grede :

A y = B y = 2ql

,

Te ukupne reakcije iznose :

S A =S B= 22222

16882

f l f

ql f

qlql

(32)

Nagib tangente, tj. pravac sile, u proizvoljnom presjeku dobiva se iz(23a),pa slijedi :

xl

H q

tgdxdy

2(33)

Du`ina simetri~ne lan~anice dobiva se direktno iz(30) za =0

l f

l L2

38

(30a)

8/15/2019 l a n c a n i c e

19/27

19

L 1.2.3. Prirodna ( obi~na ) lan~anica

Naredni oblik kontinuiranog optere}enja koji se ovdje analizira jestevlastita te`ina lan~anice .

Ako je lan~anica homogena, tada njena vlastita te`ina djeluje kaokontinuirano optere}enje uniformno raspodjeljeno po horizontalnojprojekciji .

Treba, me|utim, ista}i da je takva aproksimacija prihvatljiva uslu~ajevima tzv. jako zategnutih lan~anica kod kojih je, za razliku odopu{tenih, odnos strele (f) i raspona (l) veoma mali(reda veli~ine :f/l=1/40).

Lan~anice, o kojima je ovdje rije~, imaju konfiguraciju koja je uslovljena

djelovanjem samo vlastite te`ine, te se nazivaju prirodne ili obi~nelan~anice, sl.18 .

Navedeni na~in djelovanja takvog optere}enja izaziva odre|enepote{ko}e pri njihovoj analizi, {to se mo`e zaklju~iti ve} i na osnovu,primjerice, namjere da se odrede reakcije u osloncima.

y S A l

A

hB dL

S BxK K g

dy

a q(x)

O y K x

Slika 18.dx

U tom slu~aju, bez obzira {to je poznat me|usobni polo`aj oslonaca (l ih), reakcije se ne mogu odrediti na na~in kako je to pokazano uprethodnim slu~ajevima, i pored poznavanja dodatnog uslova :koordinata jedne ta~ke lan~anice.

Kada su oslonci na razli~itim visinama, krak vanjskih sila (od optere}enja)nije definisan, jer zamjenjuju}a vertikalna sila djeluje u te`i{tu

8/15/2019 l a n c a n i c e

20/27

20

odgovaraju}eg luka lan~anice, a taj podatak je uslovljen poznavanjemnjene jedna~ine.

Isti problem nastaje i kada su oslonci na istim nivoima pri postavljanju jedna~ina za odre|ivanje horizontalnih reakcija.Navedena, a i ostale pote{ko}e izbjegavaju se postavljanjem

koordinatnog sistema tako da vertikalna os (y) prolazi kroz najni`u ta~ku(C) lan~anice, dok je horizontalna (x) paralelna sa tangentom u toj ta~ki.Pri takvoj postavci, polo`aj koordinatnog po~etka nalazi se na unaprijednepoznatom vertikalnom odstojanju ( a) od najni`e ta~ke lan~anice .Drugim rije~ima, polo`aj najni`e ta~ke je onda definisan ako je poznatoto odstojanje , koje se naziva parametar prirodne lan~anice.

Za ovako odabrani koordinatni sistem, jedna~ina prirodne lan~anicemo`e se definisati na slijede}i na~in .

Na elementarni dio luka dL izdvojen iz lan~anice optere}ene kontinuiranopo njenom luku djeluje zamjenjuju}a vertikalna sila (g dL) gdje je g - vlastita te`ina promatrane lan~anice.

Ekvivalent toj sili jeste veli~ina dx xq )( koja djeluje na horizontalnuprojekciju (dx) elementarnog dijela dL, pa slijedi :

(g dL)=q(x) dx , odakle jedxdL

g xq )( (34)

Na taj na~in optere}enje po luku lan~anice je svedeno na optere}enje ponjenoj horizontalnoj projekciji, te se prednji izraz mo`e unijeti u op{tioblik jedna~ine lan~anice (21) dobiven za proizvoljno kontinuiranooptere}enje q(x):

dxdL

H g

y (35)

To je diferencijalna jedna~ina(2. reda) prirodne lan~anice u nazna~enomkoordinatnom sistemu, sl.18, kojoj je pozitivni predznak na desnoj straniusagla{en sa oblikom krivulje (za konkavne funkcije u takvom sistemu je

y''>0).

Kada se izraz (27) za elementarni dio luka dL unese u ovu jedna~inudobiva se :

dx ydx H

g y 211 (36)

8/15/2019 l a n c a n i c e

21/27

21

Uvode}i odnos kojim je definisan parametar lan~anice:

p = a =g

H (37)

i koji je konstantna veli~ina za konkretnu lan~anicu (ima dimenzijedu`ine). Nakon prve integracije jedna~ine (36), za rubne uslove –

za x = 0 : y' = 0, te je c 1 =0, slijedi :

a x

sh y’ (38)

Integracijom ovog izraza (za x = 0 : y = a ,te je i c 2 = 0)dobiva se rje{enjepolazne jedna~ine (35) u obliku :

a x

cha y 1 (39)

koja predstavlja jedna~inu prirodne lan~anice u ovom koordinatnomsistemu .

Na temelju ovog izraza mo`e se zaklju~iti da homogeno u`e, pri~vr{}eno

za dva nepomi~na oslonca, zauzima oblik hiperbolnog kosinusa, koji jesimetri~na funkcija u odnosu na os y. Zbog toga se ~esto ovakvelan~anice nazivaju hiperboli~ne .

Ako je L neka kona~na du ìna luka (L), a d( L) prira{taj te du`ine, tada se du`ina kona~nog dijela luka mo`e odrediti integracijom poznate veze

d( L)=dx 2 +dy 2= dx y 2’1 :

L= x

dx y0

2’1 (40)

1 Saglasno definiciji hiperbolnog kosinusa ova jedna~ina se mo`e napisati i u obliku :

Y=

a

x

a

x

eea2

8/15/2019 l a n c a n i c e

22/27

22

Nakon uno{enja u prednju jedna~inu ve} ustanovljene veze (38), teuzimaju}i u obzir da je ch 2 u=1+ sh 2 u , dobiva se kona~no :

L=a

a x

sh (41)

Prema tome ,du`ina luka lan~anice mjerena od njenog tjemena (C) doproizvoljne ta~ke (K), sl.19, odre|uje se na osnovu relacije(41), kada se uovu unese da je x=x K , uz poznati parametar (a) .Dobiveni izraz (41) za du`inu luka mo`e se transformisati i prikazati ufunkciji ordinate proizvoljne ta~ke (y K ) tako da se nakon kvadriranja unese veza: y' 2 =ch 2(x/a) -1, pa se kona~no dobije u obliku :

L 2 =y 2 K - a 2 (42)

Ostali odnosi u prirodnoj lan~anici ustanovljuju se na temeljurazmatranja ravnote`e izdvojenog dijela lan~anice, sl.19 u presjecima kroz najni`u (c ) i proizvoljnu ta~ku (K).

a) b)XK SK

K SK Q

H c Y K Q H

Slika 19.

Na taj dio djeluju tri sile (Q=g L , S K i H), koje moraju biti u ravnote ì, teformiraju zatvoreni poligon sila, sl. 19.b.

Uzimaju}i u obzir da je iz (37) H=a g, na osnovu tog poligona proisti~eveza:

2222 a Lg H QS K (43)

Istovremeno, ovaj izraz za silu u presjeku mo`e se izraziti u funkcijiordinate (y K ) ako se u njega unese relacija (42), pa se tada dobija:

SK =g y K (44)

8/15/2019 l a n c a n i c e

23/27

23

Prema tome, sila u prizvoljnom presjeku prirodne lan~anice jednaka jeproizvodu izme|u intenziteta optere}enja(g), tj. vlastite te`ine, i ordinatetog presjeka.

Ispostavlja se tako da je osnovni problem odre|ivanja parametra (a)prirodne lan~anice.

U primjenama, zavisno od raspolo`ivih podataka, a s ciljem odre|ivanja te veli~ine iskrsavaju te{ko}e koje primarno proisti~u iz prirodehiperbolnog kosinusa.Prora~un, u pravilu, otpo~inje postavljanjem jedna~ina (39) lana~nice za oslona~ke ta~ke na temelju zadatih podataka .

Tako dobivene jedna~ine jesu transcedentne i rje{avaju se postupnimpribli`avanjem izraza na lijevoj i desnoj strani, sve dok se ne postigne

jednakost.

U tu svrhu mogu se koristiti razni postupci, me|utim, bez obzira na postupak, osnovni problem je izbor polazne veli~ine parametra lan~anice.

U tom pogledu pokazuje se kao veoma upotrebljiva jedna aproksimacija hiperbole sa kvadratnom parabolom, istog parametra. Naime, u tehni~kojpraksi vrlo ~esto se projektuju ve} pominjane jako zategnute lan~anice sa malom stinjeno{}u, tj. malim odnosom strele (f) i raspona(l), lan~anice.

Jedna~ina ove parabole ima oblik :

Y=a+a

x2

2(45)

a dobivena je razvijanjem funkcije ch(a x

) u red, i zadr`avanjem na samo

prva dva ~lana tog reda:

Ch z =1+ ...!4!2

42 z zz=x/a

Parabola odre|ena jedna~inom (45) le`i ispod hiperbole odre|ene jedna~inom (39), sl.20., sa istim parametrom (a).

Y

Y=a ch(x)

Y=a+x 2 /2 a

a X

8/15/2019 l a n c a n i c e

24/27

24

slika 20.

Ovdje postoje dvije mogu}nosti. Obje su, naravno, aproksimacije:

da se, nakon odre|ivanja parametra (a) u jedna~ini (45), postupak

sprovodi u skladu sa rezultatima, tj. relacijama za prirodnu lan~anicu, jer stvarna i dalje ostaje teorijski optere}ena po svom luku ;da se prora~un sprovodi za parabolu ~ija je jedna~ina

y=g x2 /2 H, (46)

ako je poznat unaprijed polo`aj najni`e ta~ke lan~anice ( C ).

Prednja jedna~ina se odnosi za koordinatni sistem sa po~etkom unajni`oj ta~ki (a=0 ), a zbog zategnutosti lan~anice mo`e se

aproksimativno smatrati da optere}enje djeluje po njenoj horizontalnojprojekciji, tj. da je q=g.

Ina~e,pri aproksimaciji hiperbole sa parabolom (45), kao {to je vidljivo izsl.20, treba o~ekivati ve}a odstupanja nani`e, u odnosu na ta~nerezultate, u podru~jima ve}ih apscisa (x).

Ovdje treba navesti, veoma povoljnu mogu}nost da je poznat unaprijedpolo`aj najni`e ta~ke ( C ) ovako optere}ene lan~anice, npr. njenohorizontalno rastojanje( XC) i odgovaraju}i provjes (f), sl.21.

CSl.21.

U tom slu~aju, ako se ishodi{te koordinatnog sistema smjesti u tjeme (C)parabole, njena odgovaraju}a jedna~ina se dobije jednostavno iz uslova ravnote`e dijela lan~anice (na prednjoj slici deblje izvu~eno) lijevo, (ilidesno) od tjemena:

M A =0:

C C y H

xq2

2

;lh

f tg x f y C C

8/15/2019 l a n c a n i c e

25/27

25

PRIMJER 1:

Homogeno u`e du`ine L=100,00 m pri~vr{}eno je za dva nepomi~na oslonca na istoj visini , sa poznatom strelom f=10.0 m.

Ako je maximalni intenzitet sile koju ovo u`e mo`e da primi S max. =3250,0N , odrediti raspon i vlastitu te`inu lan~anice.

Ovdje se radi o~igledno o prirodnoj(obi~noj ) lan~anici, jer je optere}ena samo svojom vlastitom te`inom (g) koja je

jednoliko raspodjeljena po jedinici du`inenjenog luka .

1. Odre|ivanje parametra lan~anice (a) :Ovaj podatak mo`e se dobiti iz relacije (42) koja, na osnovu datihelemenata,primjenjena na jedan oslonac (npr, B) ima oblik:

222 a L y za X B=1/2 je Y B=Y max. =(a+f)=(a+10.0)

m L L 0.502/

(a+10.0) 2 =50.0 2+a 2 , odakle je a=120.0 m

2. raspon (l) lan~anice mo`e se odrediti na temelju op{teg oblika jedna~ine (39) prirodne lan~anice, kada se ova primjeni na jednu ta~ku(npr, B):

,0.130)0.10(

)2/(/.,.........2/...),........(

maY

alchaY l X a

xachY

B

B B B

B l/2a=l/240=n

130.0/120.0=ch(l/240)=ch(n) ; ch(n)=1.0833

Na osnovu tablica ( za kosinus hiperbolni )ili postupnimpribli`avanjem,dobiva se:

n=0.405 , tj. iz l/240=0.405 je l=97.20 m

3. vlastita te`ina,tj. optere}enje lan~anice, slijedi direktno iz relacije (44)koja vrijedi za svaki y, pa i y max. = y A = y B=130.0 m:

8/15/2019 l a n c a n i c e

26/27

26

Dakle ,iz S max =g y max. slijedi : g= S max. / y max. =25.0 N/m

Ostale veli~ine:

A y = B y =Q/2=1250.0 N H=g*a=3000.0 N

tg Θ A= tg Θ B=A y /H=0.417 Θ A=Θ B=22.62 o

PRIMJER 2

Za dva nepomi~na oslonca koji se nalaze na horizontalnom razmaku l=14.0 m,sa visinskom razlikom h=1.0 m, pri~vr{}eno je nerastegljivo u`e, zanemarljivevlastite te`ine , optere}eno sistemom vertikalnih sila na datim me|usobnimrastojanjima - kako je to prikazano na slici 23. Ako je maximalni provjes upolovini raspona y=3.0 definisati konfiguraciju zategnutog u`eta, kao i veli~inesila u njegovim segmentima.

A x=H A y A B y

B Bx =H xS 1 y 1 y 2 y 3

y S sF 1 F 3

3.07.0m F 2

4.0 3.0

Zadano je :

F 1 = F 2 =600.0 NSlika 23.

F 3 =400.0 N

F i=1600.0 N

x1 =3.0 m

x2=7.0 m , y 2 =3.0 m

x3 =11.0 m

Lijevi oslonac:

MB=0: H*1.0 -A y *14.0 +F 1 *11.0 + F 2 *7.0+ F 3 *3.0=0

M2 l=0: H*3.0 -A y *7.0 +F 1 *4.0 =0

Iz ove dvije jedna~ine slijedi : A y = 960.0 N

8/15/2019 l a n c a n i c e

27/27

H=1440.0 N= A x

Ukupna reakcija u osloncu : SA=1730.66 N=S 1

Ugao nagiba prvog segmenta : A y /H =tg Θ A=-0.666=- tg Θ 1

Ordinata tjemena l, y 1=2.00 m

Desni oslonac:

Ma =0: H*1.0 -B y *14.0 -F 3 *11.0 - F 2 *7.0- F 1 *3.0=0

M2 d=0: -H*2.0 +B y *7.0 -F 3 *4.0 =0

Iz ovih jedna~ina slijedi : B y =640.0 N

H=1440.0 N= B x

Pa je ukupna reakcija u osloncu : SB=1575.82 N=S 4

Odgovaraju}i ugao nagiba : tg Θ B=0.444=+ tg Θ 4

Na osnovu ~ega je ordinata: y 3=1.34+1.00 =2.34 m

Uglovi nagiba drugog i tre}eg segmenta (10):

-(A y -F 1)/H =tg Θ 2=0.250

Nagib tre}eg segmenta:

-(A y -F 1- F 2)/H =tg Θ 3=0.166

Sile u drugom i tre}em segmentu (9):

S2=H/cos Θ 2=1484.54 N

S3=H/cos Θ 3=1460.44 N

Za cijeli sistem je:

y=0: A y + B y -F 1 -F 2 -F 3 =0

960.0+640.0-600.0-600.0-400.0=0

x=0: -A x + B x =0

-1440.0+1440.0=0