L’apprendimento come attività costruttiva e implicazioni

IL LINGUAGGIO

PAS A059

Incontro

29 aprile 2014

Rosetta ZanDipartimento di Matematica, Università di Pisa

zan@dm.unipi.it

importanza per l’insegnante di avere un repertorio di interpretazioni possibili

L’apprendimento come attività costruttiva

• Misconcetti e modelli primitivi

• Linguaggio matematico e linguaggio quotidiano

Cosa vuol dire la parola…

AGO

?

Attività

• Quali sono a vostro parere le caratteristiche del linguaggio matematico, in particolare quelle che più lo differenziano da quello quotidiano?

LINGUAGGIOMATEMATICO

LINGUAGGIOQUOTIDIANO

A volte le difficoltà nascono dall’uso diverso degli stessi termini:• ipotesi / tesi• angolo, spigolo…• altezza

O dall’uso diverso dei connettivi e dell’implicazione

Connettivi

• 6 è un numero pari e divisibile per 3

• 6 è un numero divisibile per 3 e pari

• L’ho visto e ho cambiato strada.

• Ho cambiato strada e l’ho visto.

…commutativo

…non commutativo

Implicazione• Se un numero è divisibile per 4 allora è

divisibile per 2

• Se un numero non è divisibile per 4 allora non è divisibile per 2

• Se passi ti compro il motorino.

• Se non passi non ti compro il motorino.

Ma ci sono differenze più globali

Il ruolo del contesto:

• Altri linguaggi di accompagnamento del messaggio: il tono della voce, l’espressione del viso, la postura,

• La possibilità di utilizzare deissi

Da Bloedy-Vinner (1996)

Si chiede a studenti di corsi di preparazione all'università di scrivere un’equazione che traduca problema, senza risolverlo:

Prima della partita Tal aveva il triplo delle bilie di Gadi.

Durante la partita, Tal ha perso metà delle sue bilie a favore di Gadi, e alla fine il numero delle bilie di Gadi supera di 12 il numero delle bilie di Tal.

Prima della partita Tal aveva il triplo delle bilie di Gadi.

Durante la partita, Tal ha perso metà delle sue bilie a favore di Gadi, e alla fine il numero delle bilie di Gadi supera di 12 il numero delle bilie di Tal.

Errori frequenti:

Utilizzare una lettera o un'espressione per denotare il numero di bilie di un bambino, pensandole come se cambiassero con l'evoluzione della storia

errori ‘analgebrici’

(Ferrari): mentre il linguaggio quotidiano gode dell’aggiornamento automatico degli indicali (se dico "questo è bello, questo no" chi è presente capisce benissimo che ‘questo’ assume significati diversi nella stessa frase, con l’aiuto di gesti, ecc), le variabili matematiche, che spesso sono usate per rappresentare quantità determinate in un preciso contesto spazio-temporale, non si aggiornano automaticamente ma bisogna aggiornarle ‘a mano’, sia usando variabili diverse quando è necessario ("x è bello, y no"), sia modificando le espressioni (se adesso ‘la mia età’ è n anni, fra dieci anni ‘la mia età’ è n+10 anni).

Errori frequenti:

Utilizzare una lettera o un'espressione per denotare il numero di bilie di un bambino, pensandole come se cambiassero con l'evoluzione della storia

errori ‘analgebrici’

Ma ci sono differenze più globali

Il ruolo del contesto:

• Altri linguaggi di accompagnamento del messaggio: il tono della voce, l’espressione del viso, la postura,

• La possibilità di utilizzare deissi

• Le regole di comunicazione: il principio di cooperazione di Grice

Principio di cooperazione

Esempio:

A: Dov’è Carlo?

B: C’è una Volkswagen gialla davanti a casa di Anna.

In casi come questi l’ascoltatore per mantenere l’assunto di cooperazione fa delle inferenze:

implicature conversazionali

Annalisa

[Domanda in un test d’ingresso al 1° anno di università]

Riconosci quale/i fra le affermazioni scritte sotto sono equivalenti all’affermazione:

Non tutti gli operai della fabbrica sono italiani

(a) Tutti gli operai della fabbrica sono stranieri

(b) Alcuni operai della fabbrica sono italiani (c) Alcuni operai della fabbrica sono stranieri

Ma anche:

7 2

7 > 2

2 2

2 = 2

LE DEFINIZIONI

Le definizioni

Il quadrato è un quadrilatero con 4 lati uguali e 4 angoli uguali.

Il quadrato è un quadrilatero con 4 lati uguali, paralleli 2 a 2, con 4 angoli uguali retti, le diagonali uguali, perpendicolari, che si dividono a metà!!!

ALTRI ESEMPI DI DIFFICOLTÀ NELL’USO DEL LINGUAGGIO

MATEMATICO

L’uso delle lettereClement et al. (1981) Scrivi un’equazione, usando le variabili S e

P per rappresentare il seguente enunciato: ‘In questa università gli studenti sono 6 volte i professori’. Usa S per il numero degli studenti, e P per il numero dei professori.

• 150 matricole di Ingegneria… 37% sbaglia 6S = P

• Se il rapporto professori/studenti è 4:5 invece che 1:6 la percentuale di errore cresce al 73%

Rosnick, 1981In questa università gli studenti sono 6 volte i professori. Questo fatto è

rappresentato dall’equazione: S=6P.a) In questa equazione, cosa sta ad indicare la lettera P?i) Professoriii) Professoreiii) Numero dei professoriiv) Nessuna delle risposte precedentiv) Più di una fra le risposte precedenti (se sì, indica quali)vi) Non sob) Cosa sta ad indicare la lettera S?i)Professoreii) Studenteiii)Studentiiv) Numero degli studentiv) Nessuna delle risposte precedentivi) Più di una fra le risposte precedenti (se sì, indica quali)vii) Non so

DOMANDA a)Più del 40% degli studenti non riconobbe nella risposta ‘Il numero dei professori’ la risposta corretta alla domanda a.

DOMANDA b)Più del 22% degli studenti scelse come risposta alla domanda b: ‘S sta per professore.’

Wagner (1981, 1983)

Un insegnante sta cercando di preparare gli studenti alle scritture: x, x+1,…

L’insegnante parte quindi con un esempio numerico:

I: Qual è l’intero successivo di 17?S: 18.I: Cosa bisogna fare per ottenere 18 da 17?S: Aggiungere 1.I: Bene. Ora supponiamo di chiamare x un intero

che non conosciamo. Come possiamo scrivere l’intero successivo di x? Cioè, come possiamo rappresentare il numero che si ottiene da x aggiungendo 1?

S: y.

Ferrari

...per alcuni studenti lettere diverse necessariamente indicano numeri diversi.

m,n sono numeri interi.

Si sa che m divide 7, e che n divide 7.

E’ vero che il prodotto mn divide 7?

...sì, perché i divisori di 7 sono solo 7 e 1, e quindi m=7, n=1 o viceversa.

LINGUAGGIOMATEMATICO

LINGUAGGIOQUOTIDIANO

Comprensione di un testo

• Produzione di un testo

LINGUAGGIOMATEMATICO

LINGUAGGIOQUOTIDIANO

• Produzione di un testo

LINGUAGGIO

QUOTIDIANO

Dev’essere finalizzata ad uno scopo

Le caratteristiche del testo sono funzionali a quello scopo

• Produzione di un testo

Marianella Sclavi

Arte di ascoltare e mondi possibili.

Come si esce dalle cornici di cui siamo parte.

SCENARIO 1

Ernesto: Stanno giocando a pallone e lui gli dà un calcio…Insegnante (lo interrompe): Chi è che gioca a pallone? Qual è il

soggetto che compie l'azione?Ernesto (stupito e imbarazzato che l'insegnante gli chieda una cosa

così evidente): Loro!Insegnante: Chi ‘loro’?Ernesto: I ragazzi!Insegnante: Bravo, e allora dillo. Bisogna sempre precisare il soggetto

altrimenti chi ti ascolta non capisce. E quanti sono i ragazzi?Ernesto (un po' sfottente, un po' umiliato): Tre!Insegnante: Bravo. Allora come dovevi dire?Ernesto (tace, chiuso in se stesso)Insegnante: Tre ragazzi stanno giocando a pallone. Adesso continua il

racconto.(…)

Contesto: Scuola elementare. L’insegnante chiede a Ernesto (bambino che proviene da un contesto socio-culturale deprivato) di raccontare la storia rappresentata in una vignetta.

SCENARIO 2Ernesto: Stanno giocando a pallone e lui gli dà un calcio e va a finire lì e

rompe la finestra. Loro la guardano e lui si affaccia e li sgrida perché l'hanno rotto. Poi loro scappano e lei guarda fuori e li sgrida.

(L'insegnante lo lascia finire e intanto l'osserva. Com’è che a Ernesto questa descrizione appare appropriata? Qual è il suo punto di vista? Cosa sta comunicando? Ernesto man mano che parla si infervora, si immedesima, la dinamica della storia lo diverte. Le manda dei segnali di ammiccamento, di complicità. Come ha inteso il compito che gli è stato assegnato? Cosa è importante per lui?)

Insegnante (con atteggiamento di complicità): Sei un bravo narratore. Hai impostato in modo efficace il racconto della storia e io, guardando la vignetta, ho capito sempre cosa ti riferivi. Ma adesso ti vorrei porre un problema più difficile: come racconteresti la stessa storia a una persona che non la sa già e che non ha questa vignetta sotto gli occhi?

(Ernesto è gratificato dall'accoglienza alla sua performance, ma non capisce bene cosa gli sta proponendo l'insegnante, gli sembra un po' confusa.)

SCENARIO 2

Insegnante: Per esempio facciamo finta che sul banco tu abbia un telefono e tu chiami la tua amichetta che è a casa ammalata. Per tenerle su il morale, le racconti quel che abbiamo fatto in classe e vuoi descriverle la vignetta. Lei non può vederla e quindi tu in questo caso devi dirle proprio tutto, devi essere un po' pignolo in modo che lei possa immaginarsi tutti i vari personaggi e quel che succede. Vediamo se sei un bravo narratore anche in questo caso…

(Ernesto è chiaramente disponibile a collaborare con l'insegnante in queste sue proposte fantasiose. Ma a recitare una parte c’è la difficoltà dell'inizio. Esita.)

Insegnante (fingendo di fare un numero in un immaginario telefono): Ciao Giovanna, come stai? Quando torni a scuola? C'è qui Ernesto che ti vuole raccontare una storia sulla quale abbiamo lavorato oggi.

Passa la cornetta ad Ernesto.Ernesto (imbarazzato, ma divertito): Ciao Giovanna ecc. ecc.

LINGUAGGIO

MATEMATICO

Dev’essere finalizzata ad uno scopo

Le caratteristiche del testo sono funzionali a quello scopo

• Produzione di un testo

Dev’essere finalizzata ad uno scopo

Le caratteristiche del testo sono funzionali a quello scopo

• Affrontare e risolvere un problema

• Comunicare

• Argomentare / dimostrare

• Definire

• Generalizzare

Alcune proposte didattiche

• Scuola primaria

• Scuola secondaria di primo grado

• Scuola secondaria di secondo grado

Pierluigi Ferrari Matematica e linguaggio.

Quadro teorico e idee per la didattica.

Pitagora 2005

Scuola primaria

• L’esempio illustrato è tratto da una sequenza di attività finalizzate fra l’altro: – alla rappresentazione delle strategie risolutive dei

problemi – alla costruzione a tale scopo di espressioni con

lettere. • Tali attività si sono sviluppate a partire della

seconda, e alla fine di tale anno scolastico si è verificato l’episodio in esame.

• Il problema presentato è stato scelto per mettere in luce l’atteggiamento che i bambini avevano già raggiunto nei confronti del linguaggio.

Consegna: calcolare il numero delle palline delle prime 20 figure della sequenza.

Classe: 2a primaria (fine anno scolastico)

A proposito della figura n.10

• Anna (a proposito della figura n°10): “Allora, fa diciannove … perché … considerando che la figura cinque è nove … cinque più cinque fa dieci … dunque mi ha portato a diciannove”

• Adriano: “Allora, … … se tu, se il numero in alto fosse uguale alla base sarebbe un numero pari … però se noi togliamo un numero in verticale viene un numero dispari”

• L. parafrasa l’intervento di Adriano.• Gianluca: “Io ho fatto … ehm … ho aggiunto nella base

tre pallini e poi in su sei”• Eugenio: “Andiamo avanti di due fino a arrivare a

diciannove”

Fig.1 Fig.2 Fig.3 Fig.4 Fig.5

A proposito della figura n.10

• L.: “Quindi nella figura numero sei quanti ne avremo?”• E.: “Undici”• L.: “Nella figura sette?”• E.: “Tredici”• L.: “Nella figura otto?”• E.: “Quindici”• L.: “Nella figura nove?”• E.: “Diciassette”• L.: “Nella figura dieci?”• E.: “Diciannove”• L.: “Eugenio praticamente vi ha detto che ogni volta

aggiungiamo due”• Diversi alunni: “Due, due”

• L.: “Se la figura che vogliamo prendere in considerazione fosse la figura cento, o la figura cinquanta, o la figura settanta …cioè sarebbe facile continuare ad aggiungere due due due due?”

• Francesco: “No”• L.: “Perché non sarebbe facile? Perché bisognerebbe

…”• F.: “Bisognerebbe aggiungere tante volte tante volte e

poi diventerebbe noioso e lungo lungo lungo lungo lungo”

• L.: “Diventerebbe noioso e lungo lungo lungo lungo, dice Francesco. Allora dobbiamo trovare una regola o un modo o un sistema che ci faccia arrivare a trovare la soluzione senza stare lì a contare”

• E.: “Nella figura cinque, nella figura quattro nella figura tre nella figura due i pallini della base sono uguali alla figura”

• L.: “Alla figura o al numero indicato nella figura?”• E.: “Eee … al numero indicato nella figura”

L’attività prosegue con la scoperta che la strategia proposta da Biagio (sommare il numero della figura con lo stesso numero diminuito di 1) equivale a raddoppiare il numero della figura e sottrarre 1.

Dopo questa scoperta (basata sulle prove numeriche effettuate) la classe si mette alla ricerca di un sistema per abbreviare la notazione.

Tale esigenza è motivata dalla scelta, di tipo generale, di rappresentare le strategie in forma esplicita.

La rappresentazione (per adesso verbale) della strategia trovata evidentemente era troppo lunga rispetto al foglio in cui doveva essere riportata.

La discussione continua come segue.

Anna: “Abbreviamo numero in modo che ci stia base”Viene così proposta la scrittura n.base per due meno uno = n. delle palline

L. suggerisce la parentesi dopo ‘per due’ e di eliminare ‘delle’. La classe concorda e si arriva così alla scrittura

(n.base x 2) – uno = n.palline

L.: “Vediamo se si può fare ancora qualcosa”Giulia propone di scrivere ‘uno’ in cifra: (n.base x 2) – 1 = n.palline

B.: “Mettere simboli per abbreviarlo ancora e quindi farlo stringere di più. In un … palline … facciamo un cerchio e diventa una pallina oppure ne facciamo due per il plurale”

Biagio propone quindi la scrittura (n.base x 2) – 1 = n.OO

Lo stesso Biagio propone un’ulteriore abbreviazione.

B.: “Maestra, me n’è venuta un’altra … se mettiamo per la base invece che base una str … riga orizzontale, per verticale una verticale.”

La proposta (finale) di Biagio è quindi:

(n- x 2) – 1 = n OO

Nota: Nel corso dell’attività, il punto che seguiva ogni occorrenza di n [n.] è poco a poco sparito.

Alcune proposte didattiche

• Scuola primaria

• Scuola secondaria di primo grado

• Scuola secondaria di secondo grado

Descrizione dell’attività• 2 classi di II media (A1 e A2), in due località

diverse del comune di Alessandria• FASE 1 (classe A1):

– L’insegnante di Matematica ha proposto di calcolare l’area del piano terra della scuola

– Gli alunni hanno riprodotto alla lavagna la pianta in scala, si sono procurati le misure necessarie e hanno calcolato l’area.

A

D

C

B

• FASE 2 (classi A1 e A2): Si chiede alla classe A1 di proporre il problema

alla classe A2 soltanto attraverso un testo, senza usare figure.

Testo prodotto dalla classe A1 (1) La nostra scuola assomiglia molto a

una culla vista di profilo(2) Il nostro edificio si compone di 3

rettangoli, 2 dei quali posti verticalmente e uno orizzontalmente che li unisce nella parte superiore.

(3) Chiamiamo i 2 rettangoli posti verticalmente A e B e quello orizzontalmente C.

A

D

C

B

(4) Il trapezio D (che è la nostra palestra) è rettangolo ed è posto sul rettangolo A e parte del rettangolo C, con il lato obliquo adiacente all’altezza del rettangolo A. I due rettangoli A e B sono uguali.

(5) Adesso vi diamo le misure: la base del rett. A (quindi anche di B) misura 11 cm e l’altezza è 21 cm

(6) La base del rett. C misura 22 cm e l’altezza equivale all’altezza del rettangolo A meno una rientranza di 10 cm

(7) Nel trapezio D la base maggiore appoggiata ai 2 rett. A e C misura 18 cm e quella minore 16 cm. L’altezza misura 19 cm.

ALCUNI DISEGNI PRODOTTI DA A2

A

D

C

B

disegno originario disegno riprodotto

(3) Chiamiamo i 2 rettangoli posti verticalmente A e B e quello orizzontalmente C.

(3’) Chiamiamo A il rettangolo verticale sulla destra, B quello sulla sinistra e C quello orizzontale.

viene riformulato

A

D

C

B

disegno originario disegno riprodotto

viene riformulato

(4) Il trapezio D (che è la nostra palestra) è rettangolo ed è posto sul rettangolo A e parte del rettangolo C, con il lato obliquo adiacente all’altezza del rettangolo A.

(4’) Il trapezio D (che è la nostra palestra) è rettangolo ed è appoggiato sul rettangolo A e in parte sul rettangolo C, con il lato obliquo consecutivo all’altezza del rettangolo A.

Alcune proposte didattiche

• Scuola primaria

• Scuola secondaria di primo grado

• Scuola secondaria di secondo grado

Lavorando in piccoli gruppi agli studenti viene chiesto di:1. Fare una investigazione di tipo aritmetico (spesso chiedendo di continuare i disegni con possibili pattern, o di rispondere a specifiche figure “dopo generici n passi”, dove n può essere ad esempio 10, come 25, come 100); 2. Esprimere in linguaggio naturale la generalizzazione del pattern (NOTA: qui potrebbe essere interessante, passare ad altri questa produzione di un gruppo, in stile lavoro precedente sulla descrizione della scuola)3. Usare il simbolismo algebrico per descrivere il pattern.

Grade 8

3a media

Agli studenti vengono presentati pattern diversi a seconda del livello scolare.

Grade 10 – 2a superiore