Institut Royal Colonial Belge

SECTION DES SCIENCES TECHNIQUES

M é m o i r e s . — Collection in-4° Tome V. — Fascicule 1.

Koninklijk Belgisch Koloniaal Instituut

SECTIE VOOR TECHNISCHE WETENSCHAPPEN

Verhandelingen. — Verzameling in-4° Boek V. — Afleveriner i .

L A GÉODÉSIE

E T L A

MÉTHODE GRAVIMÉTRIQUE P A R

L. BRAGARD DOCTEUR E N SCIENCES MATHÉMATIQUES

•

B R U X E L L E S L i b r a i r i e F a l k f i l t ,

GEORGES VAN CAMPENHOUT, Soceciwiir,

22 , rue des Paroistienc, 22.

B R U S S E L Boekhandel F a l k zoon,

GEORGES VAN CAMPENHOUT, OpTol(cr,

22, Parockianenstraat, 22 .

1949

Publications de l'Institut R o y a l Colonial Belge

Publicatiën van het Koninklijk Belgisch Koloniaal Instituut

E n vente à la L i b r a i r i e FALK Fils, G. VAN CAMPENHOUT, Suce-. T é i é p h . : 1 2 . 3 9 . 7 0 2 2 , r u e d e s P a r o i s s i e n s , B r u x e l l e s C . C . P. n» 1 4 2 . 9 0

T e k o o p i n d e n B o e k h a n d e l F A L K Z o o n , G . V A N C A M P E N H O U T , Opvolger. Telef . 1 2 . 3 9 . 7 0 2 2 , P a r o c h i a n e n s t r a a t , te B r u s s e l Postrekening : 142 9 0

L I S T E D E S M É M O I R E S P U B L I É S A U 10 D É C E M B R E 1949.

C O L L E C T I O N IN-8< S E C T I O N D E S S C I E N C E S M O R A L E S E T P O L I T I Q U E S

Tome I. PiGÈS, le R. P . , Au Ruanda, sur les bords du lac Kivu (Congo Belge). Un royaume

hamite au centre de l'Afrique (703 pages, 29 planches, 1 carte, 1933) . . fr. 260

Tome I I . LAMAN, K . - E . , Dictionnaire kiUongo-français (xciv-1183 pages, 1 carte, 1936) . . fr . 600

Tome I I I . 1. PLANQUAERT, le R. P. M., Les Jaga et les Bayaka du Kwango (184 pages, 18 plan­

ches, 1 carte, 1932) tr. 90 î. LouwERS, O., Le problème financier et le problème économique au Congo Belge

en I93S (69 pages, 1933) fr. 25 3. MOTTOULLE, le D' L . , Contribution â l'étude du déterminisme fonrtionhri

l'industrie dans l'éducation de l'indigène congolais (48 p., 16 pl. , 1934) . fr. 60

Tome I V . M E R I E N S , le R . P . J . , Les Baclzing de la Kumtsha : 1. P r e m i è r e partie : Ethnographie (381 pages, 3 cartes, 42 f igures, 10 planches,

1935) fr . 120 i. D e u x i è m e partie : Grammaire de l'idzing de la Kamtsha (xxxi-388 pages, 1938) . 230 3, T r o i s i è m e partie : Dictionnaire Idzing-Français suivi d'un aide-mémoire

Français-Idzing (240 pages, 1 carte, 1939) fr . 140

Tome V. 1. VAN R E E I H , de E . P. , De Hol van den riioederlijken oom in de inlandsche fa/nilie

( V e r h a n d e l i n g bek roond i n den j a a r l l j k s e n W e d s t r i j d voor 1935) (35 blz., 1935) fr . 10

2. L o u w E H S , O-, Le problème colonial du point de vue international (130 pages, 1936) fr . 60

3. BiTTREMiEux, le R. P . L . , La Société secrète des Bakhimba au Mayombe (327 pages, 1 carte, 8 planches, 1936) fr . 110

Tome V I . MoEr.LER, A., Les grandes lignes des migrations des Bantous de la Province Orien­

tale du Congo belge (578 pages, 2 cartes, 6 planches, 1936) fr. 200

Tome V I I . 1. STRUYF, le R . P. I . , Les Bakongo dans leurs légendes (280 pages, 1936) . . f r . 110 •i LoiAR, le R P. L . , La grande chronique de l'IJhangi (99 p., 1 fig., 1937) . . fr . 30 3. VAN CAENEGHEM, de E . P. R. , Studie over de gewoontelijke strafbepalingen tegen het

overspel bij de Baluba en Ba Lulua van Kasaï (Verhandeling welke in den J a a r l l j k s e n Wedstr i jd voor 1937. den tweeden pr i j s bekomen heeft) (56 blz., 1938) fr . 20

4. HULSTAERT, Ie R. P . G., Les sanctions coutumières contre l'adultère chez les Nkundó ( M é m o i r e c o u r o n n é au Concours annuel de 1937^ (53 pages, 1938) . fr . 20

Tome V i n . HuisTAERT. le R. P. G. , Le mariage de* Nkundó (520 pages, 1 carte, 19381 . . fr . MO

S u p p l é m e n t s a u Bulletin des Séances de l'Institut Royal Colonial Belge, X X I I - 1951 - 1.

E R R A T A au Mémoire L . B R A G A K D , La Géodésie et la mé t h o d e g r a v i m é t r i q u e {Inst. Roy. Col. Belge, Sect, des Se. techn.,

collection i n - l " , ï . V, Fasc. 1, Bruxelles, 1919).

p. 6, 1. 18

I . 2

p. 8, 1.21, p . 9 1. () et p. 321 . 10

p. 13, 1. 9

p. M , 1. 9

p. 15, 1. 8

1. 14

1.14 et 1.1, p. 161.10 et 1.14

p. 17, I . 3

p. 18, 1. 3 — w'^r^ sin. i

.4 it lieu de

/(v + « )

dn

cü^a

surface

+ u.^ + ... + u„ + ...

.sec r;i sec 172

sec i j i sec

h

+ ( - l ) ' ^ i A U ( X , ) ^ , ^ ^ l ' - i

mG„c

Lire

d{\- + U) dn

figure

« 0 + «1 + ••• + +

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sec

3 1 + i ; V . . x ,

+ ( - i ) ' - i A ' r i

i . V s i n ^ ö = " % ^ " 1=1-1

1 + U w,x.. 1=1

1. 11

1. ïï

p. 25, 1. H

p. 27, 1. l O e t p . 32, ] . 3

p. 29, 1. 11

p. 40, 1. ;')

p. I l note (2)

p. 11 note (2)

p. 1Ü, 1. 9

p. 17, 1. T) et 1. (j

1. 7 et 1. I f )

1. 7, p. 50 1. 2 et p . 51 I . l

p . 5 1 , 1. 1

A II lieu de

[n = 1 . . . / )

les W,

en z = 0

volume

(7)'

potentiels

G,„

Xy'ihdr'

2 •)

9 H ) 1

15 J 0 9 5 X 35

^«^X, et J ^ 5 9 21 <35'

^75^ ' "-35^ -35^105^ ^^ ')0

Lire

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z = 0

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X „

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\7,

potenties

G

X , / ' " cou 7] du dr'

= X , et + J 5 , . X ,

15 + ; r et

12 35'

32 7 35 X 5 ^

2

15 X 35

1. 8

1. 10

p. .52, 1. 3

1. 4 e t l . 12

1. 10

1. 9

l."8

p. 53, 1. 2 et 1. 13

1. 3 et 1. 15

1. 10

1. 13

17 „

4 X 1219 33 ^ ^ 3 5 x ^ f Ö 5

19

We-

2 1 ^ 35'^^^ ^ ^ ^ 4 ^ x 2 1 '

+

2 X 6991 77 X 105

537 7 X 3o

8 X 47

me'-

35

967 , 2 8 ' " ^

621 ., • 2 2 4 Ö ' " ^

69

~2-2-4''^^-

0-005 288 376 454 sin^9

0-000 005 890 251 sin^ 29

0.000 000 009 906

' 3 X 105

4 X 79 „

116 2 ^ 64 ; me^ et — 2 1 x 7 4 5 X 21

2 X 7519 77 X 105

311

me''

7 X 2 1 " "

, 556 , + 4 9 ^ ^ ^

983 , " 2 8 " ^ ^

767

37 , - 2 2 4 * " '

0-005 288 377 958 .sin^ç

0-000 005 884 635 sin229

0-OÜÜOOO 008 423

1. 14

p. 54, 1. 4

p. 5G, I . 2, 1 . 3 c t l . l

1. 11 et 1. 12

p. 57, 1. 8 et 1. 3

1. 12

p. 58, 1. 10

1. 11

1. 3

1. r

p . 5 9 , 1 . 2 au d é n o m i n a t e u r

1. 3 »

Au lieu de

— 0.000 om 009 721

Xoj X j , , . . . x.^,

a

sec 7)^ sec Tj,

«=«

de la s p h è r e de rayon a

P

P"

a .g

a" .y

3 2^a,X:, .+ . . . + 3 Eu',

3 i : a , . x ; . + . . . + 3 2:»;, i=i ii^-i

1 + ' z s,x^, / " l :

1 + z <\.x;,.

correction analot,'ue

3 2 a,X.;,- + . . . + "S(n 4 - 2)M '„j ,=1 " 11=1

correct ion analogue

Lire

— 0 000 000 004 108

X j j X.^j. . . . X2,

a,„

sec i^j cos

du sphéroïde de rayon «„

p' = r ' - i . g

1 - ^ 3 2 a,X^, + 3 2 «-1

1 - ^ 2 2 a,X;,. + . . . + 2 2 <

2 z ' a ,x ; 1=1 ?i -t- ^ (« +

L A GÉODÉSIE

E T L A

MÉTHODE GRAVIMÉTRIQUE

L. BRAGARD D O C T E U R E N S C I E N C E S M A T H É M A T I Q U E S

Ml-M. INST. ROYAL COLONIAL BELGE.

M é m o i r e p r é s e n t é à la s é a n c e d u 24 d é c e m b r e 1948.

A Monsieur l'Administrateur-Inspecteur

M. DEM ALU,

en témoignage de profonde et respectueuse gratitude.

INTRODUCTION

Le p r o b l è m e fondamental quv la «géodésie se propose de résoudre est la d é t e r m i n a t i o n de la figure de la Terre. On sait que pour y parvenir on a recours à deux m é t h o d e s : l'une, gé ( jmétr ique , qui utilise le p r o c é d é des triangulations, l'autre, dynamique, qui fait appel aux mesures g r a v i m é t r i q u e s .

Mais tandis que la p r e m i è r e fournit les dimensions et la figure de la Terre, la seconde ne donnait primitivement que sa forme. Nous ne nous occuperons que de cette dern ière m é t h o d e , dont la théor i e remonte à C L A I R A U T [1]. Une solu­tion formelle a été i n d i q u é e par G . G. S I O K E S , qui a é tabl i une relation entre la forme du g é o ï d e et la variation de grav i t é à sa surface f2|.

D'une m a n i è r e explicite, nous enteiulons par figure de la Terre celle de la surface d 'équi l ibre hyih'ostatique s u p p o s é e réal i sée en imaginant les o c é a n s r é u n i s entre eux par des canaux et soustraits à toute influence pertiu'batrice, telles l'action luni-solaire, les t l i f f érences de d e n s i t é , etc.

S T O K E S a m o n t r é qu'il était possible de calculer la distance qui sépare chaque point de cette surface de niveau, ou g é o ï d e , d'une surface de r é f é r e n c e voisine de la s p h è r e par les seules mesm-es de l ' in tens i té de la pesanteur e f f e c t u é e s sur la Terre.

Soient, en effet, » E (fig. l a , p. 62) la surface du s p h é r o ï d e de r é f é r e n c e et A un point sur cette surface. E n A menons inie normale à E et prolongeons-la jusqu'en M (fig. 15, p. 62) sur la g é o ï d e G . L e point M sera d é t e r m i n é si nous connaissons la longueur N du segment AM » [3, p. 971. D é s i g n o n s par y la g r a v i t é rapportée au s p h é r o ï d e — on l'appelle g r a v i t é normale — et pai- </ celle rapportée au g é o ï d e . Poin- comparer et ; / „ , nous pouvons, par la p e n s é e , transporter y^ le long de la normale AM. Nous obtieinhons ainsi y j | . L a d i f f é r e n c e f / j i — y . v , =;A(/ représente Vanonialie totale vraie de la g r a v i t é en M. Pour faire la trans­lation, i l faut c o n n a î t r e N, qui en g-énéral n'est pas connu. L a formule de C L A I R A U T nous permet seulement de c o n n a î t r e l'anomalie apparente d é f i n i e par

Mais c o n s i d é r o n s le rayon vecteur OA, qui rencontre le g é o ï d e en M' et dés i ­gnons par to l'angle MAM' (fig. l a ) . 11 a pour valeur

ç é tant la latitude s p h é r o ï d i q u e et 9 l'argument du rayon vecteur 0 M ' . On aura donc

N = A sin (tp + 9).

(J L . H l { \ ( ; \ h l ) . - l . \ ( i l ' O D É b ^ l K

Mais c'oiunu' o + O est li'('s \uis i i i de 90", oii pourra preiitlre

xN = A r.

S T O K E S a t l én iou lré que

(A) f A r / A / S , f/ ^ J s

OÙ a est le ravoii moyeu de la Terre, ;/ la \ a l eur inoyennc de la pesanleur, A</ la d i l l é i ' enee des \aleurs de la pesanteur aux centres de l ' é l é m e n t (iS du p é o ï d e et de l ' é l é m e n t coirespondanl de la surface de ré f érence , l ' in tégra le étant é t e n d u e à toute la surlace du g é o ï d e . L a loiu'tion / est d o n n é e par

(B) / = cosec - + 1 — 0 s i i i ^ — 5 cos <\> — 3 cos ij; l o j s i n ^ f l - s i n i V

où •\i d é s i g n e la dislance angulaii'e de l élénuMil t/S du point o ù la distance entre les d e u \ surfaces est c h e r c h é e .

Mais les mesures de ;/ sont faites sui- la Terre rée l le; il faut donc les réduire au g é o ï d e . Ce p r o b l è m e a été traité en détail par M. D K U A H , ilans un m é m o i r e p u b l i é par Tlnstitut Royal Colonial Belge [3|. Nous n'insisterons donc pas sur ce point.

Le principe sur lequel S T O K K S établit sa formule repose sur la relation foiula-mentalc

( / ( D + u)

d a

qui expiime que les forces d'attraction exercées par la Terre sur les corps qui l'envirounent d é r i v e n t d'un [)otentiel newtouien. A l'eiicontre de C I . A I U . M T et L v P L A C E , i l ne fait aucune h y p o t h è s e sur la distribution de la mat i ère à l ' intér ieur de la Terre.

Sa m é t h o d e consiste à partir du potentiel d'un s p h é r o ï d e peu d i f f érent d'une s p h è r e , en un point extér ieur , et à lui appliquer les ressources de la théor ie des hjnctious s p h é r i q u e s , suivant en cela l'exemple des travaux de L A P L A C E .

Au corns de sa d é m o n s t r a t i o n , il établ i t une expression de l ' in tens i té île la pesanteur qui n'est autre que celle (!(> C I . A I H A I T .-

/ 5 y = ry,, 1 + - m — s > sin'-' o

' L v2 ,/

où Y est la g r a \ i t é normale eu un |)oint de latilude cp, f/„ l 'accé lérat ion de la pesan­leur à l ' équateur , z l'aplatissoment du s p h é r o ï d e et ;)î le rapport de la force centri­fuge équator ia le à la pesanteur équa lor ia l e

(0? a m = ,

9o

o ù a est le rayon équator ia l du s p h é r o ï d e .

K T L A MÉTHOD E (iRAVTMÉTRIQUE 7

L a dérnons l ra t iou de S T O K E S l i m i t é e aux d é v e l o p p e m e n t s du premier ordre de l'aplatissement a susc i t é d i f f é r e n t s travaux dus à D A R W I N [4], H . P O I N G A R É [5], D E G i i A A F H U N T E R [6], R O S E N B L A T T et G . G A R C I A [7].

D A R W I N suppose que le g-éoïdc d i f f è r e peu d'un sp l i éro ïde et obtient les expressions des potentiels ex tér i eur et in tér i eur en s'en tenant aux termes de l'ordre du carré de l'aplatissement. Remarquons, en passant, que la m é t h o d e de S T O K E S , comme celle de L A P L A C E et D A R W I N , présente un dé faut , celui de se donner à priori le potentiel en supposant qu'il est d é v e l o p p a b l e en une série d'har­moniques solides, ce qui oblige de confondre la normale et le rayon vecteur au d é t r i m e n t de la rigueur de l ' exposé .

H . PoiNCARÉ utilise d'abord les d é v e l o p p c m e i d s en fonctions s p h é r i q u e s , n é g l i g e a n t le carré de l'aplatissement. 11 remplace ensuite les fonctions s p h é ­riques par les fonctions de L A A I É . I l n é g l i g e , non plus le caii'é de l'aplatissement, mais celui du r e l è v e m e n t iki g é o ï d e au-dessus de l ' e l l ipso ïde de r é f é r e n c e , ce qui est une q u a n t i t é beauccjup plus petite. H montre ensuite dans quelle mesure on doit corrig-er les puissances supér ieures de l'aplatissement, en m ê m e temps que le plus important des résul tats subsiste, c 'est-à-dire que la comiaissance de l' in­t ens i t é de la pesanteur en tous les lieux du globe suffit pour d é t e r m i n e r la forme du g é o ï d e .

Plus r é c e m m e n t , en 1934, D E G R A A F H I N T E K a i n d i q u é une voie nouvelle et rigoui'euse en déchiisant le potentiel d'attraction de la Terre" du t h é o r è m e de G R E E N . Ses résultats confirment et é t e n d e n t la théor ie de S T O K E S j u s q u ' à l'ordre du carré de l'aplatissement.

E n f i n , en 1937-1938, A. R O S E I S B L A T T et G . G A R C I A , se p laçant à un point de vue m a t h é m a t i q u e plus g é n é r a l , ont m o n t r é que le t l i é o r è m e de S T O K E S se r a m è n e à la ré so lu t ion d'un s y s t è m e de deux é q u a t i o n s i n t é g r o - d i f f é r e n t i e l l e s . E n 1939, R O S E N B L A T T , supposant que la surface de r é f é r e n c e est une sp h ère , a re trouvé la formule de S T O K E S en n é g l i g e a n t tout d'abord les termes de l'ordre de , c'est-à-dire du premier ordre (cas statique). H a i n d i q u é ensuite des formules récur­rentes entre les coefficients des l iarmoniques dans le cas o ù l'on conserve les m ê m e s termes.

Tous ces travaux incluent la formule de C L A I R A U T dans l'appareil de leur d é m o n s t r a t i o n , ce qui laisse supposer que la formule de S T O R E S n'est valable qu'au m ê m e d e g r é d'approximation [9, p. 163].

Or i l n'en est r ien, ainsi que nous nous proposons de le montrer au cours de ce travail . L a formule de S T O K E S est g é n é r a l e pour tout s p h é r o ï d e peu d i f f é ­rent d'une sphère , quel que soit l'ordre de son aplatissement, tandis que la for­mule de C L A I R A U T s'établit avec telle approximation que l'on voudra. E l l e est d'ailleurs i n d é p e n d a n t e du g é o ï d e et s'applique uniquement à la surface m a t h é ­matique de r é f é r e n c e choisie.

8 L . B K A G A K l ) . l . \ ( iKODÉSIE, E T C .

Une autre critique que l'un jx-ut a{lrcs,ser aii.x travaux que nous avons signa­lés , e'csl (l'avoir néj^liflé de d é m o n t r e r la comergence de la série (B) , qui est fondamentale pour l ' in tégrat ion de ( A ) .

Nous avons d iv i sé notre travail en trois parties :

Dans la p r e m i è r e , nous d é m o n t r o n s le t h é o r è m e fondamental de la Géodés i e i lynamique. Comme cas particulier, nous retrouvons celui de la Géodés ie statique, é tabl i pour la p r e m i è r e fois par le g é o d é s i e n danois B i C I I W A L D T [8], qui en a d o n n é une d é m o n s t r a t i o n a[)proci iée au premier ordre. Nous utilisons ensuite notre résultat pour olitenir la formule de S T O K E S et nous d é m o n t r o n s la conver­gence de la série (B).

Dans la d e u x i è m e , nous avons entrepris l ' exposé de l'inverse du t h é o r è m e de S T O K E S , en partant du s y s t è m e d ' é q u a t i o n s qui nous avait servi à établ ir la for­mule proprement dite. Nous sommes ainsi parvenu à une relation g é n é r a l e entre la g r a v i t é et la ^ ariation de forme du g é o ï d e en chacun de ses points, s'exprimaiit par la formule

( C ) A , / - r , ^ r d s ,

o ù fi est une fonction de l'angle que font les rayons passatii par la station o ù l'on cherclic Aç/ et l ' é l é m e n t dS, àr étant connu. Nous avons eu soin de d é m o n t r e r la convergence de la série ƒ, comme nous l'avions fait pour la série (B) .

Dans la t r o i s i è m e ])artie, nous partons du t h é o r è m e de G R E E N el nous en tircjns le ])olentiel d ù à rattracti(jn d'ime surface de r é f é r e n c e en un point M extér ieur .

Nous a\ons suivi à cet égard la \o ic i n d i q u é e par DE G H A A E H L N T E H , en lui apportant maintes simplifications.

Nous avons i n d i q u é une m é t h o d e é g a l e m e n t simple et tout à l'ail g é n é r a l e par a[)[)ro\iinations successives dans r é t a b l i s s e m e n t de la formule de l ' in tens i té de la pesanteur. Nous avons obtenu les formides de l ' in tens i té de la pesanteur aux premier, d e u x i è m e , t r o i s i è m e et q u a t r i è m e orihes près et retrouvé ainsi les expressions de (j oblenues par C I . M H A I T , S T O K E S , DE ( J H W I 111 N T E R et, par la

d e r n i è r e , une expression confirmant celle de (^ASSIMS [10]. Nous avons rei)roduit en annexes certains d é v e l o p p e m e n t s qui auraient

alourdi nos e x p o s é s et nous avons d o n n é dans l'annexe 7 une note sur le dép lace -nieiil du centre de g r a v i t é de la Terre sous l'influence de forces iiilern(>s.

LA GEODESIE E T

L A MÉTHODE GRAVIMÉTRIQUE

I. — E Q U A T I O N D U S P H E R O Ï D E T E R R E S T R E .

Suivant la p r é c i s i o n dés irée , on fait usage, en g é o d é s i e , d ' équat ions repré­sentant d'une m a n i è r e a p p r o c h é e un s p h é r o ï d e peu d i f f é r e n t d'une s p h è r e . Ainsi S T O K E S , dans son cé l èbre m é m o i r e , s'est servi de la formule

1 + £ - - COS^ Q o

et DE G R A A F H U . X T E R de la formule

(2)

Dans ces forimdes, /• représente le rayon vecteur, z l'aplatissement et u„, le rayon moyen de ces figures, c 'est-à-dire

1 (3)

L a formule (1) convient pour toutes les questions qui ne r é c l a m e n t pas une p r é c i s i o n supér i eure au pj-emier d e g r é de l'aplatissement, tandis que l'usage de la formule (2) s'impose si l'on veut poursuivre les d é m o n s t r a t i o n s jusqu'au deu­x i è m e ordre de l'aplatissement.

(') C o n f o r m é m e n t à la n o t a t i o n de T i s se rand et d ' A p p e l l , nous d é s i g n e r o n s les po ly ­n ô m e s de Legendre ou h a r m o n i q u e s zonaux d ' o r d r e n pa r X„ .

10 L . H H A C M U ) . — L \ ( ; f i ( ) l ) R S I K

Aous al lons é t a b l i r i i i i c expression dn s p l i é i o ï d e phis yt ' i ierale q n i les con­t ient d 'a i l leurs toutes les deux, c o m m e cas pa r t i cu l i e r s , et q u i , c o m m e elles, d é r i v e de l ' e l l i p s o ï d e de l é v o l n t i o n à deux axes iiié<>aux.

Cette expression nouvel le , q u i ne c o m p l i q u e pas les d é m o n s t r a t i o n s , pe rmet de < iénéra l i se r certains r é s u l t a t s et de pousser les a p p r o x i m a t i o n s , sans d i f f i c u l t é s p é c i a l e , b ien au de l à du d e u x i è m e o rdre de l 'aplat issement .

Nous pa r t i rons de l ' é q u a t i o n de r c l l i p s o ï d e de r é v o l u t i o n

o ù a et h sont respect ivement les rayons é q u a l c u i a l et po la i re .

Posons

/, a (1 — £),

£ é t a n t r ap l a t i s semen i .

Or, ou a

X" + / / = /•- sin- 0, = r" cos h,

d ' o ù , pou r l ' é q u a t i o n (4), en leuani compte de (5),

sin" H + ^ — - sin- 0 + (1 + 2 s) cos 9 = -(1—e)= /•= /•

et

/• 1 (/. (1 + 2E cos-9)"s

ou

1 — £ COS- 6,

Mais, en v e r t u île (3),

d 'o î i

a ----- cim (i +

Remplavan t cette valeur dans (6), i l \ i e n i

f £ 2 2

>• "m [i + - X,) =- a,n (1 - ; e X , ) ,

en n é g l i g e a n t les termes en c'est l ' é q u a t i o n (1) .

(o)

O O

£ ((„, (I I 1 — :T

KT L \ MÉTHODE (iR \ \ ]MÉTJU(,)UE H

Si nous poussons les d é v e l o p p e m e n t s q u i p r é c è d e n t j u s q u ' a u d e u x i è m e ordre de l 'aplat issement , nous t rouvons successivement

a' sin^Ô + (1 + 2e + Ss'jcos^e - ,

o u

d 'o i i r a

on a encore

1 + (2s + 3 £ 2 ) c o s 8 0 = - ; ,-2

[ l + 2 £ ( l + ^e )cos2e] ' = 1 —e ( 1 + e) ços^ 9 + g cosM

e t-a,n = a{l — - — - ] \

d ' o ù , si nous conservons les termes du c k ' u x i è n i e o rd re en t,

a - «,„ { 1 — - — - ) = «„, (1 + - + — e-) V o 0 / o 45

et

r = a,n (1 4- ^ + — £ fos^ 9 — 5 s' i os ^ + ~ cos" fJ)

£ 14 ^ 1 1 , '•'< 3 4o 6 2

Or, on a

d ' o ù

9 I 8 4 1 cos29 = ^ X 2 + - cos"9 = — X , + - X , +

2 2o 12 , r = « „ , [ l - - £ ( l + - £ ) X , + - £ ^ X , ] ,

ce q u i est l ' é q u a t i o n (2) . Passons m a i n t e n a n t au t r o i s i è m e ordre de l 'aplat issement ; nous avons

o u

d ' o ù

sin^ 6 + CCS" e (1 + 2e + 3e- + 4 e ) = - ,

1 + (2e + 3e2 + 4e3) cos^ 9 = - ;

- = [1 + 2e (1 + ^ £ - f 2e2) cos^ 9] ' = 1 - e (1 + % - f 2e2) cos^ 9 - f 5 £- ( l + S e ) cos" 6

o £3 cos* 9.

12 L . B R A C A H l ) . — L A ( i É O D Ë S I E

Lv r ayon l u u y e i i , en vcui i i de (3),

ê 13 O 5 lOo

d ' ü ü I on Ure

£ £- 13 , £ 14 278 •> O lOo Ô lo 2( X 3o

I I v ien t alors

>• = « , „ ( 1 + 7, + '~~:r- £-')[l—£(1+ % + 2e-)cos-e f £-(H-''5£) cos'6 — - cos-'Ô] O 4 O / X oo 2 2 2

e M 278 11 253 /3 \ 5 = a.u [1 + - + e ' + ^ j y ^ £^^-e (1 + . £ + "y- £-') cos ü + ( - + ö s j cos^8 - - e ' cos« 0].

Sachant que

cos«e l( i 21 10 1

231 ^ ' ^ + 7 7 ^ ^ + 2 1 ^ ^ + 7 ' (tn a l i n a l c n i e n l

2 23 l-l / 3 £ \ .40 r - , ^ + + 15 ^= + + 1 J - 2ÏÏI

Si l ' o n SC l i o r n a i i au q u a t r i è m e o i d r e de i, on aura i t de m ê m e

/• = ".m [1 + (/i £ + m, z~ + £ ' + p, X , + (/, £= + >i>, £ ' + £') X, + (/3 £••' + m, 1') X , + /, £ X J , (<1)

o ù /, M l , n c l p s o n t ( l e s c o e r i k i e i i t s n i i i u é i i q i i e s .

Posons A i - - liE' +-w?; £'+' + £ '+ • -+ ; ) , £'-^ + ••• + /•;£';

i l v i en t pour (9)

r ^ n + A, X, + \ X, + A3 X , + A,, X,). (10)

D 'une m a n i è r e g é n é r a l e on pou r r a donc é c r i r e

= t + I A, x , ; j , (11 1

o ù A, est un coe f f i c i en t d u i " o rd re de j>randcur d é t e r m i n é avec la p r é c i s i o n d u I' o r i i re de ra [ ) la t issenient .

L 'expression (11) est é v i d e m m e n t i n c o m i ) l è t e si l ' on veut qu 'e l le r e p r é s e n t e le f^éoïile, car elle ne r e n f e r m e que des ha rmon iques / onaux , fonc t ions de la cola-t i l u d e seule.

Pour é p o u s e r toutes les i r ré<>ular i lés i\c la f i g u r e (géo ' ide) , nous devions a j o u ­ter des termes q u i ne p o u r r o n t ê t r e que (hi 1° o rdre de g r andeu r de £. E n e f fe t , la f o r m e p r i nc ipa l e é t a n t l ' e l l i p s o ï d e (0), les d é t a i l s de f o r m e ne v i o l a n t pas l ' a l l u re e l l i p s o ï d a l e seront de l ' o rdre de la p r é c i s i o n choisie i . Les termes s u p p l é -

E T L A A f É T H O D E C R A V I M É T R I O U E 13

menta i res ne p o i i r r o i i t ê t r e d 'o rdre s u p é r i e u r à s', puisque nous nous l i m i t o n s à cet o rd re de p r é c i s i o n . I ls ne peuvent pas ê t r e d 'o rdre i n f é r i e u r à i , car i ls r i s ­quera ient de d é t r u i r e , par compensa t ion de termes zonaux, l ' a l lu re e l l i p s o ï d a l e . D ' a i l l eu r s , les termes e x p r i m a n t les d é t a i l s de f o r m e , o u certains d 'entre ces termes, seraient du m ê m e o r d i e que des termes p r i n c i p a u x c a r a c t é r i s a n t la nu tu i e f > é o m é t r i q u e de la f i g u r e fondamen ta l e ()ni est un e l l i [ ) so ïde ; ce q u ' o n ne peut admet t re . L ' é q u a t i o n (11) seia donc c o m p l é t é e pai' i n i e s é r i e d 'harmoniqvu 's s p h é i ' i q u e s

'«1 + h ii„ H

d 'ordre t , d e s t i n é s à rendre compte des d é t a i l s de c o n f i o u r a t i o n d u g é o ï d e . On a d 'a i l leurs

S '''' + ¥^ï^iT'- " C / u n . ' - '

les coef f i c ien t s et é t a n t de l ' o rd re t et [j. = cos 0. On a m a donc f i n a l e m e n t pour l ' é q u a t i o n du g é o ï d e

r=a,„[i + 'f\iX,,+'f^ a,], (12) i= l A=l)

é t a n t une constante et non plus le r ayon moyen q u i devient m a i n t e n a n t

D u p o i n t de vue t h é o r i q u e auque l nous noi is p l a ç o n s , nous supposons une terre en é q u i l i b r e isostatique p a r f a i t .

L ' é q u a t i o n (12) r e p r é s e n t e r a donc le g é o ï d e isostatique o u c o m p e n s é , c'est-à - d i r e la surface de n iveau e x t é r i e u r e de la Terre f i c t i v e d é d u i t e de la terre r ée l l e par suppression et compensa t ion des masses topograph iques .

Pour r é d u i r e les mesures de g r a v i t é e f f e c t u é e s sur la Terre r ée l l e au g é o ï d e c o m p e n s é , i l f au t l eur f a i r e sub i r quatre r é d u c t i o n s successives :

1" la r é d u c t i o n à l ' a i r l i b r e au g é o ï d e p r i m i t i f ;

2' la cor rec t ion topograph ique ;

3" la r é d u c t i o n isostatique r e p r é s e n t a n t la v a r i a t i o n de g r a v i t é c a u s é e par

le d é p l a c e m e n t des niasses e x t é r i e u r e s ;

4° la r é d u c t i o n à l ' a i r l i b r e du g é o ï d e p r i m i t i f au g-éoïde c o m p e n s é .

Si nous d é s i g n o n s par g l ' i n t e n s i t é de la pesanteur ainsi c o r r i g é e , c ' e s t - à - d i r e r é d u i t e au g é o ï d e c o m p e n s é , et par G,„ une constante, la g r a v i t é moyenne sur cette surface devenant G,„(l-(- u„), nous é c r i r o n s , par analogie avec la f o i -m u l e (12),

^ / ^ - G , , [ 1 + | ; ' B , X , , + ( 1 3 )

U L . B R A C A R D . — L A G É O D É S I E

o ù les H, sont des coe f f i c i e ids i nconnus d u i" o rdre de g randeu r et v,. des h a r m o ­niques s p h é r i q u e s d u 1° o rd re de l 'aplat issement t .

Pour plus de s i m p l i c i t é , nous é c r i r o n s les é q u a t i o n s (12) et (13) sous la f o r m e

r ^ a , „ { i + \ + ii), (14)

y = G,„ii + li + ö), (15)

ou

A 2 ] Ai " s - B - 2 ^ B i X , „ (IG) i=l 1=1

= D " = Z ( l î ) / ; = 0

Nous al lons m a i n t e n a n t d é m o r d r e r le t l i é o r è m e su ivant , q u i peut ê t r e consi­d é r é c o m m e le t h é o r è m e f o n d a m e n t a l de la g é o d é s i e d y n a m i q u e .

I I . — F O R M U L E G E N E R A L E DE L A G E O D E S I E DYNAMIQUE.

T H É O R K M E . — Si une surface é qui potentielle animée d'un mouvement de rotation uniforme de vitesxe angulaire co peut être représentée par l'équation (12) et la gravité sur cette surface par l'équation {13), on a

f , i = {" — 1) >' = 2, 3, . . .

Le po ten t ie l d ' a t t rac t ion de surface en un point e x t é r i e u r M est

V = l | - rf <T + w8 sin' 9. ( 1 S)

A é t a n t la d i s t a ï u ' e du po in t po ten t ian t M ' {r' Ö' 9') au | )o in t potent ie M (/', 0, 9) . Ce po ten t ie l est constant lorsque le p o i n t M est s i t ué sur S. Nous avons

d<j = r'- sec -/-n sec Y^J sin 9' dtp' d^',

Tji é t a n t l ' i n c l i i u d s o n de la noi male sin' le rayon vecteur C M de la surface cl celle d u rayon (k i pa i ' a l i è l e passaid par M et tie la no rmale à ce p a r a l l è l e .

Or ,

et

sec -r. = (1 + ^g' TO'" = 1 + -'i-l t(f -n - f tg' T, +

1 dï' 1 dr'

Si l ' on par t de la f o r n u d e (12), on constate que

dr' fdh! du'\ dr' du'

ET L A M É T H O D E G R A \ I M É T R I Q U E 15

D 'aut re par t , on aura

i = ^- ( 1 - A ' -

D ' o ù

(/.V , ( / A ' du' du' (lu'

" ^ ^e- - W + 7 ^ - - ' Ji^^ Jï - - '

et c o m m e les puissances et ] ) rodui l s de p o l y n ô m e s de L F . G E M I R E peuvent t o u j o u r s s ' expr imer en une somme de p o l y n ô m e s s imples du m ê m e gem-e [Annexe 1] on aura f i n a l e m e n t

sec T„ sec Y,., = 1 + D',

o ù D' =-= s„ + o, x : + • • • + 8/ x : , , (19)

o, é t a n t u n coe f f i c i en t n u m é r i q u e d é f i n i avec la p r é c i s i o n du l' o rd re .

Le p r emie r terme de l ' e x j u ession d u po ten t i e l (18) o u « terme statique » peut

alors s ' é c r i r e , - é t a n t e x p r i m é en une sé r i e de p o l y n ô m e s de L E G E N D R E ,

J f/a = G,„ - i - r l (1 + B ' + V') (1 + D') r'"+' x ; sin 9' dO' d^', (20)

B ' D ' et v' é t a n t les valeurs que ] ) renncnt res[)ectivenient B , D et v au p o i n t M ' .

Or, = ( l + .V + n'),

A ' et a é t a n t respect ivement les valeurs de A et (Ï au p o i n t Î M ' et si l 'on s'en t i en t à la p r é c i s i o n du l" o rdre , on a, d ' a p r è s (12),

i=l = [1 + ( " + 2) ^ A . x: , + + 2 ; A , A , X^, X ^ , +

+ + + + 2 A , A . . . . A , A . x , . x : . . . . . x „ x : . + ( „ + o , | ; „ ; ,

c^i. é t a n t é g a l à 1 pour / = k et é g a l à 2, si / est d i f f é r e n t de k.

A i n s i , on a e x p l i c i t e m e n t , en ve r tu de (13), (19) et (20),

\ \ Gn. a,„ ^ r f ) \ [1 + ^ B , X.:, + ^ < J

[1 + f S, x:, I [1 + o< + 2)f A . x:, + (-^i^t^i^iii^ A , A , C , , X.;, X . ; , + . . .

+ (,^ + 2)iu + iy..o>-i + ^ ^, ^ ^ J ^ , , d , ' .

16 L . B R A C A R D . - L A C E O D É S I E

o u , en e f fec tuan t les p rodu i t s i n d i q u é s et en s'en tenant à la p r é c i s i o n d u T ordre de g randeur .

+ 't^ i^'x + 't x;,, + (u + 2) 2 A , X.;, A = 0 i-0

+ (» + 2) ^ A j B , x : j x : , + ( / / + 2 ) 2; A , o , , x i ; \ ; ,

H :7-j 2^ f j * -Vj A;i Ao, Ao,,-

{H +-2) (» + 1) „ A A R V ' V ' V '

-\ 71 y, t > A,, B , \ y X,,„ Xor

(/^ + 2) (/. + ! ) ^ , S X ' X' K' ' ...

+ (" + ^) (» + l ) ^ - - - ( » - / + 3) ^ . ^

+ (/ + 2)2; ^o]X; sin 6^/6' ^/'V.

E x p r i m o n s m a i n l e n a n i les p rodui t s \ ' „ ^ X'„j. . . . X ' , , en f o n c t i o n de X\, X'4, X'o^, o ù ; = y - | - / v + . . . .s < / (cf. à l 'Annexe 1); i l v i end ra

+ ( « ^ - 2 ) l ; " ^^j] x;. s i n 6 ' j e ' r/ç-,

les d é p e n d a n t u n i q u e m e n t des A,, des R, et des 0, et les contenant tout au p lus à l ' o rdre /.

En v e r t u d 'un t h é o r è m e hien c o n n u des fonc t ions spViér iques , cette é q u a ­t ion s ' éc r i t

^ f/tj — 4 71 G„, (In s A

'«M , 'S Xo, /r t ,„V'+' + 1 V

2 n - | - l V ? ' y " ' „ - è i S n + l " "

o u encore, en r e m p l a ç a n t par sa valeur à la p r é c i s i o n i n d i q u é e et en

g roupan t les harmoniciues de m ê m e d e g r é ,

s n=ü 1 = 0 n = 0 "h 1 411

ET L A M É T H O D E GR W I M É T R I Q U E 17

c ' e s t - à - d i r e

jX I - - "... +§ .+£ 5 ; ; ^ - 2 èr . "..]• Les <ï>; sont des coef f i c ien t s analogues aux ç,..

Prenons m a i n t e n a n t le r appor t de la force c e n t r i f u g e é q u a t o r i a l e à la g r a v i t é é q u a t o r i a l e sur le g é o ï d e c o m p e n s é (>t posons

m ^ " ^ , (21)

q u a n t i t é q u i est de l ' o rd re de l 'aplat issement de la surface d ' é q u i l i b r e , c ' e s t - à - d i r e d u p r e m i e r o rdre . Nous aurons, avec les nota t ions q u i p r é c è d e n t .

a = a,n [1 + 2; A, (X,0 e=' + 2; (^^,)e=:^], (22)

G = G,„ [1 + 2 B, (X,Oo=^ + (f/.Oü»^]• (23)

Par c o n s é q u e n t , à la p r é c i s i o n choisie, le (( t e rme d y n a m i q u e » de (18)

s ' é c r i t

\ sin' 0 ^ (1 _ X,) [1 + ' B, (X,,)o= ^1

"1 + A., ( X , 0 [ 1 + X"' A, X, , ]^ (24)

O U , en e f f ec tuan t les calculs et en n é g l i g e a n t les termes d 'ordre s u p é r i e u r à l,

1 sin. ô -= (1 - X,) [1 + Y (Xe.) 0 = J ^ "3 i=i -

[ i - t A ; ( X , 0 9 4 + - + ( - l ) ' - * A ' r i [ ( X , ) o = | ] ' - ' ] [ l + 2 2; A , X , , + A , A , X « X , , ]

[1 - X , + 2; B , (X„.) - X , ' J ' B , (X,,:) G„, a

- 2) Aj (X«)o='= + 2; A, (X,,)o='=- - I A, B„ (Xy)e .ü (X«,)6=^ + •i=i ° i=l - - ^

- f ( - l ) ' - ^ A î [ ( X , ) o = ^ J - '

- f 2 ' X„. - 2X„ A, X,, + ... + 2; cj,, Aj A , Xy X , ,

- X , 2; C j „ A , A , X y X , , + ... ] .

18 L . B R A G A R D . — L A G É O D É S I E

E x p r i m o n s encore les p rodu i t s X , . , X,, , , . . . X , , en f o T i c t i o n de Xo,, X , . , . . . X , , ( r = y + A - - I - . . . + . < ( < / — 1) . 11 v iendra

l^>^,ln,h='^^^\i + f % X , ] , (25)

les 4", d é p e n d a n t u n i ( p i e m e n l des A, et îles B,, et les contenant tout au plus à l ' o j d r c / — 1 .

Nous pour rons donc é c r i r e

V . = « „ «... + g.... X , , + r -1; „„,

expression q u i est cons ta id( \

A i m u l o n s les coef f i c ien t s des ha rmon iques s p l i é r i q u e s de m ê m e d e g r é ainsi que ceux des h a rmon i ques zoiuî \ ix X j , X^, . . . Xo,; i l v ient

•1 ^ ct,u [1 + <f>„ - I - + »„] + ^'^ "•" [1 + >tVi = C,

1 - G„, rt,„ = Ü,

C,, n — 1 4 - G,„ «„ Un ( > ^ = 2 , 3 . . . ) , L 2 / / . - f l 2 u + l

•1 ^ G„ a,„ + '^L^^ VY, = 0 _ 1 ... / ).

o u , f i n a l e m e n t ,

' ^ « = - « a - l - ^ > a - : ^ - ( 1 4 - 4 ; , ) + 1 2 - ^ - ' • 4 7:G,„ «,„'

* i + T ^ » i ^ " , = 0 (/ = 1 • • • / ) ,

«1 = 0 = (« — 1) Un (« ^ 2 ••• ),

q u i est la r e l a t ion a n n o n c é e .

Si l ' o n ne c o n s i d è r e que le cas stat ique, — p u r e m e n t i d é a l , — i l s u f f i t d ' annu­ler les T , ; on re t rouve encore la re la t ion fondamen ta l e

o„ = { u - \ ) n „ {n '--•>...), (27)

t i é m o i d r é e par B i c u w A i . D r au second ordre [)rcs.

El le est donc i n d é p e n d a i d e de la p r é c i s i o n avec laquel le on donne la surface lie n iveau , puisqu 'e l le subsiste que l que soit /, / é t a n t u n ent ier pos i t i f que l ­conque .

ET L A M É T H O D E G R A V I M É T R I Q U E 19

I I I . — THÉORÈME DE S T O K E S .

Nous supposerons ( j i i e le g é o ï d e c o m p e n s é ])eut ê t r e r e p r é s e n t é pai ' l ' é q u a ­t i o n (14)

r- a,n (1 + A - f u)

et nous imposerons à la surface de r é f é r e n c e don t i l sera ques t ion plus l o i n les deux cond i t ions suivantes :

1° Le v o l u m e de la surface de r é f é r e n c e est é g a l à ce lu i d u g é o ï d e c o m p e n s é ;

2° Son centre de g r a v i t é c o ï n c i d e avec c e l u i d u g é o ï d e c o m p e n s é et de la s p h è r e de r ayon

De la p r e m i è r e c o n d i t i o n (Annexe 2) d é c o u l e l ' é g a l i t é

a,„ redevient alors le rayon m o y e n ; et de la seconde (Annexe 3)

n, ---- V, = 0.

De m ê m e , nous preruM'ons po iu ' (j la va leur e x j j r i m é e par l ' é q u a t i o n (15)

i / = G , „ ( l + B + 1 7 ) .

G,„ l 'edevenant m a i n t e n a n t la g r a v i t é moyenne . E n v e r t u d u t h é o r è m e p r é c é d e n t , nous pour rons a d j o i n d r e à l ' é q u a t i o n d u

g é o ï d e c o m p e n s é n^cc

r a,„ (1 -I- A -f 2; " . ) , (28)

l ' é q u a t i o n

g = G,„ [1 + B + 5" {n - 1) u,]. (29)

Mais la d é t e r m i n a t i o n de la f i g u r e du g é o ï d e c o m p e n s é , d ' a p r è s les observa­t ions g r a v i m é t r i q u e s , est essentiel lement r a t t a c h é e à l ' aut re m é t h o d e de d é t e r ­m i n a t i o n de cette f i g u r e d ' a p r è s les mesures g é o d é s i q u e s a s soc i ée s aux observa­t ions as t ronomiques de l o n g i t u d e , l a t i tude et a z i m u t . C o m m e dans l ' é t a b l i s s e m e n t des t r i a n g u l a t i o n s , on ut i l ise u n el l ipst / ide de r é f é r e n c e , et c o m m e 11 est à sou­hai te r que les observations g é o d é s i q u e s et g r a v i m é t r i q u e s soient comparables , nous devons chois i r pou r ces d e r n i è i e s une f i g u r e de r é f é r e n c e .

Posons pour cela

tln = ''n+ 'lVn. (il = 2 ...), ( 30 )

v„ é t a n t s u p p o s é d é t e r m i n é par un p r o c é d é quelconque et «>„ i n c o n n u .

20 L . B R A G A R D . — L A G É O D É S I E

Nous p rendrons c o m m e f i g u r e de r é f é r e n c e la surface d é f i n i e p lus hau t ; nous la r e p r é s e n t e r o n s par l ' é q u a t i o n

H = a,„ (1 + A + ^ v„) (31) n='î

et nous l u i associerons l ' é q u a t i o n

r - G,„ [1 + 15 + Y ( " - 1) (32) n=2

y é t a n t l ' a c c é l é r a t i o n de la pesanteur r a p p o r t é e à cette surface. Les é q u a t i o n s (31) et (32) f o r m e n t un s y s t è m e de r é f é r e n c e et l ' o n a, en

ver tu de (30),

/• - R = A r - a,„ ic,,; (33) n=2

n—52

(j — y ^ - \ ( j - G,„ ^ {H - 1) w,„ (34)

o ù A;/ est la d i f f é r e n c e ;/ — y se rappor tan t au p o i n t (Ö, o). Posons

Af/ = G,„ Y - 1) = G'» F ; (35)

»'„ est une f o n c t i o n des c o o r d o n n é e s angulai res (6, ^ ) de la s ta t ion P o ù l ' on calcule à/' , taudis que A(y d é p e n d des c o o r d o n n é e s des poin ts autres que P, s i t u é s sur le g é o ï d e c o m p e n s é . D ' a p r è s un t h é o r è m e c o m i u des fonc t i ons s p h é r i q u e s , nous pour rons donc é c r i r e

(H - 1) ic„ = ^ ^ i ü - r l ' F (0', Z') X„ sin 6' d f ' dW; (36) '1 ~ J 0 J 0

d ' o ù , en r e m p l a ç a n t F (0 ' ç ' ) par A j / se rappor tan t i c i à l ' é l é m e n t poten-

l i a n t (O; çO, 11=» A i-K ,-251 n=x 9 11 4- H

Posons encore

nous aurons

\ r = \ \ fl(/s.h\<i'd^'d-f'. (39)

Supposons ma in t enan t que dans cette d e r n i è r e expression la d i r e c t i o n à p a r t i r de laquel le 9' est m e s u r é soit celle d u rayon vecteur passant par la s ta t ion P,

E T L A M É T H O D E G R A V I M É T R I Q U E 21

prise c o m m e o r i g i n e ; supposons en out re que les angles 4 soient par r appo r t à cette s ta t ion ce que 6' et cp' sont par r appor t au P ô l e Nord et posons

A r ^ - N,

distance d u g é o ï d e c o m p e n s é à l ' e l l i p s o ï d e de r é f é r e n c e .

Nous pour rons alors é c r i r e f i n a l e m e n t

N = r f " f^^g sin di^ di^, (40)

r e l a t ion g é n é r a l e entre la f o r m e d u g é o ï d e c o m p e n s é et la v a r i a t i o n de g r a v i t é à sa surface, q u i n'est autre chose que la f o r m u l e c é l è b r e de STOKES [ 2 ] .

I l reste m a i n t e n a n t à calculer ƒ, don t la va leur est d o n n é e par l ' é q u a t i o n (38)

et d é p e n d de la convergence de la s é r i e .

C A L C U L DE LA sÉmE ' '= , -2« + l

El le peut s ' é c r i r e

/ • = 2 2 : x„+32: îi=2 n—2

Pour le ca lcu l d u p r e m i e r t e rme de cette expression, par tons de la f o r n m l e de LAPLACE :

1 X , i - (cos t}y+ /sint]; cos u)"fZu. (41)

Si nous posons

la s é r i e (41) s ' éc r i t q •= cos 4* + ' sin cos u , (42)

n=x 1 ,'7: 1 ^"-z I s rcho.

Cette s é r i e convergera pou r jcos • | | < 1, si 1" le m o d u l e de q est i n f é r i e u r à 1, ce q u i est v é r i f i é ; 2" l ' i n t é g r a l e d u second m e m b r e a une va leur f i n i e et d é t e r ­m i n é e pou r |cos t | ; | < ; l .

Puisque | q | < 1, on a

^ 1 - ' / D ' o ù

1 r dM i r , i- r , 2 X „ = d w - - grfto, ^2 ^ J 0 1 — ^ - J 0 ^ J 0

2-2 L . BRA(;ARD.

o u , e x p l i c i t e m e n t ,

LA GÉODÉSIK

(Il

cos ^ — i sin •b cos w 1

1 cos (j;- |-^'sin cos w) c/u). ~ , 0

L ' i n t é g r a l e (hi second t(;rme de la d e r n i è r e i n t é g r a l e est n u l l e . Si nous dés i ­gnons par J la p r e m i è r e i n t é g r a l e , i l v i en t

2; X„ = _ J _ 1 _ COS 4- ; o n a d ' a i l l ems

J ^ 1 i i>

2 s i n - I s i n - — z cos - cos w 2 J O 2 2

o u , en passant au camp complexe , en ])()sanl c"" = r et en i n t é g r a n t suivant le con tou r d u cercle T de r avon u n i t a i r e .

J = 4 sin o J ,

dz

s i n i COS 2 / s in | J dz

c o s l j { z - u ) ( z - b )

ou

sin 1

« = i cos

s i n - ^ + 1

^cos^

C o m m e « < ; 1 et l b j > l , le p o i n t c; est un p ô l e s imple et le r é s i d u de la

f o n c t i o n v est

d ' o ù

a — b . On a donc

a) ( z - b ) a-b'

J = 1 i cos

2 2 sin — cos - 2 sin

et, f i n a l e m e n t .

2 sin — 1 - cos ,

expression q u i a une va leur f i n i e et d é t e r m i n é e ])our |cos ' J ; | < ;1 .

Ce r é s u l t a t a d é j à é té s i g n a l é par CATALAN en 1881 [12].

ET L \ M É T H O D E G R A V I M Ê T R I Q U E 23

C A L C U L DE n=-xi V

Cette s é r i e s ' éc r i t avec les nota t ions a n t é r i e u r e s

El le converge sous les m ê m e s cond i t i ons . Posons

^ ^1 T = Z T = n=2 — 1 n=2 — 1

Puisque | q | < 1, on a d y 1

U = 2 -1- Q d q t d ' o ù

y - _ - . _ L ( l - Ç ) et, f i n a l e m e n t ,

La f o r m u l e (44) s ' é c r i r a donc

o u , d ' a p r è s (42),

n=co ,*îT j

2] — ^ = I (cos 4» + «sinijj CCS w) L (1 cos w — ? sin tjj cos u) t ^ w s — - •

11 f a u t d é m o n t r e r que cette i n t é g r a l e a une va leur f i n i e et d é t e r m i n é e p o u r

cos 4'|< 1-Cette expression peut s ' é c r i r e

J = COS L (1 — cos — i sin cos w) dw + 2 sin cos w L (1 — cos tj — i sin tj cos w) J 0 , 0

O n a

,Tj=cos4 ' l L ( l — costjj — i sin({; cos w) rfw = cos M L 2 s i n - ( s i n - ^ — cos - cos w) fi?w ;

Ji cos tj; I L2 sin - (iu + cos tj I L (sin - — i cos - cos w) J 0 2 J 0 2 2

= - costjj L 2 sin ^ - 1 - cos I L (sin ^ — e cos - cos w) rfu. 2 J n 2 2

24 L . B R A G A R D . — L A G É O D É S I E

Pour le ca lc id (h i second te rme de cette expression, nous passons au c h a m p

complexe en posant e1' = z, d ' o ù cos M = ^ , t'n d é s i g n a n t par V la c i r c o n f é -

rence de centre 0 et de r ayon !:! = 1, a p i è s avo i r t r a n s f o r m é l ' i n t é g r a l e entre les l i m i t e s — r . et + - . : i l v ient

i , . . . . 4 . . . . . ^ .-s _ 1 r T A . . . ^ ; • i ' ^= + 1\ I L (sm — i CCS ^ COS w) a to ^ L I sm ^ — i cos

ou

2 J _^ ' 2 - 2 ---^ / - 2 J , . V 2 2 2 y e,-

sin — 1 sin - + 1 <i = ^—;— b —r— avec I r t i < 1 el |6| > 1 pour |cos J;! < 1-

i cos - i cos 2

Calculons s é p a r é m e n t les t ro is i n t é g r a l e s q u i p r é c è d e n t :

1 / e ^\ Ç di r i 4>

1 r f z — u\dz 1 1' . 1^.

^ J / - ( ^ ) " - 5 j > 0 - " ) car le po in t ; se d é p l a ç a n t sur la c i r c o n f é r e n c e un i t a i r e , on a t o u j o u r s | a | < : | z | .

A _ i é t a n t le r é s i d u de la f o n c t i o n en r = 0. On t rouve

A _ , = L ( - Ô ) ; d ' o ù

\ \ , L (.. - 6) . L (1 + sin I ) - ^ L { - i vos I); au to ta l

I L (sin ^ — i cos cos w) c/w = 71 L ( — i cos ) - f tr L j 1 sin ^ j — - L ( — i cos ^ j

et

- L 2 7 1 L ( 1 + sin — r :L 2

.J, = T: COS tl [ L 2 + L sin ^ - f L 1 + sin Ij — L 2J - T: COS | L J sin T,(^^ + S ' " -

J , = i sin 4* j COS w L (1 — cos — j sin t}' cos eo) (/w = i sin (J' L 2 sin - I 00s wdw J 0 2 J 0

+ 2 sin t} j cos w L ^sin ^ — i cos cos w J a u .

La p r e m i è r e i n t é g r a l e d u secoiui m e m b r e est n u l l e .

ET L A M É T H O D E G R A V I M É T R I Q U E 25

Pour calculer la seconde i n t é g r a l e , nous p r o c é d o n s c o m m e p r é c é d e m m e n t ,

en passant au c h a m p complexe ; nous avons

i SU) 4> ( + 4 , 2 a -

2

sin i Ç . sin t l dz +

. r Z' d z

+ sin (j; f i I.{z — b)dz.

Calculons s é p a r é m e n t ces i n t é g r a l e s :

dz - 0 ;

+ 1 , ^ — a dz ^ I L T I - - 1 d z ^ - 2 i . a

1 — sin

cos ^

l ^-±J:L{z-b)dz = 2iT.B_,,

R . 2 é t a n t le r é s i d u de la f o n c t i o n au p ô l e d u second ordre en 2 = 0. On a

B . = — 1

D ' o ù

A u to ta l

z"~ + 1 cos L (z — b)dz 2 -

1 + sin I

2 71 sin

71 sni -

1 - sin - cos -

T - ^ +

COS 1 + sin

1 — sin' ,4'-1 - sin ^ +

1 - f sin

= 2 7Tsin I r 1 — sin -^j-

26 L . B R A C A R D . — L A G É O D É S I E

Fina len icn l

J .= .1, + J , = cos I L I s in ^ 1 1 + sin -^1 + 2 sin - i l l — s in

et n—zo V

s in - 1 + s in ^ 2 s in - T l — s in | J = — cos til L

fonction qui reste finie et d é t e i r n i n é e pour jcos ' | i | < l . On a donc

1 <L — - + 1 — 5 cos t} — G s in ^ — 3 cos -j) L

s m

s in M 1 + s in ^ (45)

I V . — LE PROBLEME INVERSE.

Reprenons les é q u a t i o n s (33) et (34), à savoir

Posons n=ori

2; « - „ = F . ( f ) , ? ) . n=2

Nous aurons, en vertu d'un t l i éorènie connu des fonctions sp l i ér iques ,

2 71 + 1 '-'^

4 -F i (e'.(p')X„ smdUWd^';

0 J 0

f'm. '

^ , -2!: ii=-K

'^^H . ' 0 0 )TS

d'où, en r e m p l a ç a n t Fi(6' o') par

"If (n - 1) «iv ^ I " l ' " ' ' E (2 + 1) ( " - 1) s in 9' c/8'

OÙ u'„ est une fonction des c o o r d o n n é e s aii<>ulaires (0, cp) de la station 1' o ù l'on ealcvde A;/, taiulis que A/' d é p e n d des c o o r d o i n i é e s (0' 9 ' ) des points autres que P s i tués sur le g é o ï d e c o m p e n s é .

Posons encore

\ o u s aurons

^9

f i = 'Z i2n + 1) {n - 1) X , .

4 - a m J 0 J ts

E T L A M É T H O D E ( ; R A V I M É T R I Q U E 27

Si nous effectuons un clian<>-enient de variable analogue à celui de la p r e m i è r e partie, nous aurons finalement

relation g é n é r a l e entre les anomalies de grav i t é à la surface du g é o ï d e c o m p e n s é et la variation de forme en chacun de ses points, qui pourrait é v e n t u e l l e m e n t servir à comparer les valeurs ca l cu l ée s aux valeurs o b s e r v é e s de la g r a v i t é et permettre ainsi de vér i f i er la va l id i t é des h y p o t h è s e s fondamentales de la Géo­dés ie .

Nous écr irons plus simplement

G

S étant la svuface de la sp l ière de volume égal à celui du g é o ï d e c o m p e n s é et dS u n é l é m e n t de cette surface. Ar est l 'écart local relatif à l ' é l é m e n t dS.

Nous remarquerons qu'il n'est plus néces sa ire de p r é s u p p o s e r la c o ï n c i d e n c e des centres de g r a v i t é du g é o ï d e c o m p e n s é et de la figure de r é f é r e n c e , comme pour la formule de S T O K E S .

I l reste maintenant à calculci' ƒ,.

On trouve (voir détai l des calculs ci-dessous)

2 , X ; , = — cos ^ ,

2 2

n=co ^ y H X„ = j - — cos

2 s in i 2

•\> étant l'angle compris entre les rayons vecteurs /• et On en conclut donc que

1

4 sin^ ^ ' = ^ (46)

On remarquera que dans les applications é v e n t u e l l e s de cette formule, la valeur <\> — 0, correspondant à la station P , n'intervient pas.

28 L . B R A ( ; \ R I ) . — L A GÉODÉSIE

C A L ( ; U L D E

' I f (2 » + - 1 ) X „ .

Cette série peut s é e i i r e

' I f (2 ;/ + 1) - 1) \ „ i l " " U (2 » + 1) {H - 1) f f rfw, n=2 J O n=2

OÙ | y | < ; l pour jcos • | / j< ; l . El le eoiner^era pour |cos ' i i j<cl , si l ' in tégra le du sceoiul membre a une valeur finie et d é t e r m i n é e poiu' jeos .J;|<;1.

L a série f igurant sous l ' in tégra le est absolument et u n i f o r m é m e n t eonver-gente pour [eos • | j < l . E n effet,

1U„^, (2 y / + 3 ) / / / / !«+'

•""" - •^ ! ü , ; r = (2 .^ + 1 ) 0 . - 1 ) - - T F ^ ' ^

É v a l u o n s - l a :

n=y:: n ^ x n=oo n—x ^ (2 + 1) (H - 1 ) >j" = 2 ^ » 2 q" - 2] n q" - ^ q". (1=2 n=2 H = i n = J

Or, nous avons

D é r i \ o n s terme à terme. Il \ ient

1

(1 -

ou, en nmitipliant les deux membres par q,

•Nous aurons de m ê m e

ou

> fi"^q" = i n.

D ' o ù

" f (2 . + 1) - i ) ^ '^SL±^ 1 i _ +

E T L A MÉTHOD E GRAVIMÉTRIQUE

Posons + _ _ A _ B G .

( 1 _ , ^ ) 3 i ^ q ' ^ { l - q y ' ^ { i - q f

( 1 - ^ / / 1 - 7 ^ ( 1 — /)-^

L'identification nous donnera

A = 1 B = — 3, C = 2,

K = — 1 F = l .

-29

Par c o n s é q u e n t ,

" I f (2 n + i ) { n - i ) q -

Ainsi ,

6 4 1 + 7

l - ' i { ' i - q f i - q { i - q f i - q 9

1

+ 1,

7 4 +

i - q { 1 - q ï { i - q f

2 r d w 7 r d w 1 2 f w 7 f ( Z w 4 d (i)

1 + 1 1 r d<^i AT' diù

+

Calculons s é p a r é m e n t les deux dern ières i n t é g r a l e s . Nous avons

r diù r rfw 1 r rfw

J 0 ( 1 — ' i ) - J 0 (1 — «os tj; — i s in cos w)° sm (sin ^ — cos cos (o)

ou, en passant au champ complexe,

dtà _ 1 1 _

j d e

2 cos f \ {z-a-}^{z-bf

sin^ \ — i cos

Or ,

. viz.—,

dz 21 T.. A_„,

Â^o étant le rés idu de la fonction au pcMe dn second ordre z=a.

A_2 = lim,=a d z r ^ + ]

"dz {a - bf

30 L . B R A G A R D . - L \ GÉODÉSIE

ou, explicitement,

— sin - + 1 — s i l l - — 1

i cou -

— sin ^ + 1 + s i i i t + i l '

, ( — i cos ^

s in -

• ^

— i cos -

D'où

1 1 (1 - q)' 2 ,

sin^ - — / cos

.1 2 cos „ 2 z 7t sm -

•1

1 sin -i 9

De m ê m e ,

(1 — J ^ (1 _ COS i — / sin à cos w)

ou, en passant au champ complexe,

' " (1 — qf 2~i

1

'2 sin t ï . (sin -i — / cos - cos w)

(~ 2)' r ( ~ ' """^ 2 J ~ ~

(1 z

sin3 , - i cos ^

C.2 il :•

Or, r-dz

= 2i n A _ 3 , J P iz — af {z - hf

A .1 étant le rés idu de la fonction au pôle du t r o i s i è m e oi'dre : = a.

1 A_., = - Iini._, , —

2! r/c^

Comme

Jz

{ Z ~ b f j

z- + 2b z

E T L A M É T H O D E GRAVIMÉTRIQUE 34

nous aurons

d'où

ou, explicitement,

^2 d ~z- + 2bz 2 (^^ + 4 + Z*2)

liz - b)\ L (= --by j ( z - b f

A - 3 -z^ + Abz a' + 4ab + b-

A - 3 _ { z - b f _ { a - b f '

- i - — 2 s i n ^ + 1 sin^ I - 2 s in ^ + 1 + 4 sin'^ | — 4 + sin^ | + 2 s in ^ + 1

A _ , = ^ cos

4.Y

s in I + 1 + s in l + 1

- i cos ^

- 1 + 3 sin^

Nous en concluons que

dio 1 1

- l ' y 2 COS '

r dw 1 J „ ( î ^ r ^ ^ ~ 2"

- 1 + 3 sin^ - i

sm-' ^ ( — i cos 2 / 7 : 2 cos I)'

3 sin^ — 1

16sln3-^

I l viendra finalement

^ (2 n + 1) ( » - 1) X , , = 1 7 12

s in ^ 4 s in i 16 s in - 16 sin^ -o Q 9 9

1 —

fonction qui reste finie et d é t e r m i n é e pour |cos

3-2 L . B R A C A R D . — L \ GÉODÉSIE

V. — L E PROBLÈME DE L'INTENSITÉ DE LA P E S A N T E U R NORMALE.

Notons (pie (39) s'écrit habituellcmetil

N ^- \ f X g d S , (47)

S étant la surface de la sp l ière de volume é g a l à celui (hi g é o ï d e c o m p e n s é et dS un é l é m e n t de celle surface.

est l'anomalie de g r a v i t é relative à l ' é l é m e n t (/S. g s'obtiendra par la r é d u c t i o n des observations au g é o ï d e c o m p e n s é , tandis que y sera c a l c u l é e par la formule internationale ou uru' autre similaire.

11 est é v i d e n t que ])<)ur pouvoir appliquer utilement le t h é o r è m e de S T O K E S , on a intérêt à reclierciier une expression de y d'autant plus préc i se que l'on veut obtenir N avec la plus petite erreur possible.

Ce p r o b l è m e a été résolu poui' la p r e m i è r e fois par C L A I H A I T au premier orch-e de l'ajilalissement. U E G R A A F H I K T E H a p o u s s é la p r é c i s i o n jusqu'au deu­x i è m e ordre de l'aplatissement. Dans ce qui suit nous suivrons l ' exposé de cet auteur eu lui apportant quelques modifications de détai l et nous é tab l i rons la l'oimule de la g r a v i t é normale au t r o i s i è m e ordre de l'aplatissement.

Le t h é o r è m e de G R E E N a pour expression

I l V A V ' d T + l ( V ^ d a = r i l V ' A V d T + l l V ' ^ - ^ d c r , (48) J . J i ) j j s du J J J D J J S ( I I <

V (>t V' étant îles fonctions continues, finies en tout point du domaine d ' intégra-lion 1) l i m i t é par la surface S, et dér ivab le s au moins deux fois dans ce domaine, les dér ivées é tant e l l e s - m ê m e s des fonctions continues., L a normale est d i r i g é e positivement vers l ' intér ieur du domaine.

D é s i g n o n s par \ le potentiel total d'attraction de la surface de r é f é r e n c e en un point ex tér i eur M. Il se compose, dans le cas de la Terre, de deux parties : 1" le potentiel V" d'attraction de la m a t i è r e totale contenue à l ' intér ieur de la surface; 2° le potentiel U d'un s y s t è m e conservatif de forces, c'est-à-dire le poten­tiel de rotation de la Terre.

Nous aurons donc V = V " -h C. (49)

Si nous snp])osous que la Terre est un corps en rotation uniforme, nous

pourrons écrire 1

U = - 0)2 r- sin^ 6 , i oO)

E T L , \ MÉTHOD E GRAVIMÉTRIQUE 33

r é tant la distance du centre de la Terre au point potentie M, 6 étant la colatitude de ce dernier et to la vitesse angulaire de la Terre.

Non s poseroTis

A étant la distance d'nTi point M' ( / ' 0' cp') in tér ieur à la surface de ré férence , au point M (;•, 0, ç ) .

Nous pi'(>]idrons V v „

oi i V, est ime constante, car la surface de référeiic(> est une surface é q u i p o t e n t i e l l e . 1

Comme - est une solution de l ' équat ion de L A . P L A C K , la formule de G H E E N

deviendra, si l'on tient compte de ( 4 9 ) ,

Mais, puisque le point p o t e n t i é est extérieii i ' à la surface de ré férence , on a, d'après un t h é o r è m e de Gvuss,

]hdT>^

D'autre part, le t h é o r è m e de Polsso^ donne

AV;,.' = — 4 7rT,

T é tant la dens i t é de m a t i è r e attractive s i tuée à l ' intér ieur de S, et nous avons

d V ,

Y étant la g r a v i t é normale à la surface de ré férence , en un point de celui-ci . L a relation ( 5 1 ) s'écrira maintenant

Le premier membre de cette dern ière expression n'est autre que le potentiel d'attraction au point M, de la m a t i è r e contenue dans le domaine D , l i m i t é par la surface S, c'est-à-dire p r é c i s é m e n t V". Nous aurons donc finalement, en vertu de ( 4 9 ) , ( 5 0 ) et ( 5 2 ) ,

1 „ io-^ r ' C d - i r r ^d-^ V == - w^ r^sin^G H \ ^ (53)

V étant le potentiel total (hi à l'attraction de la surface de référcTice en un point M extér ieur .

34 L . B R A G A R D . - L A GÉODÉSIE

II résul te de ce qui p r é c è d e que le t r o i s i è m e terme de l ' équat ion (53) renferme implicitement le t l i é o r è m e de S T O K E S , tandis que, comme nous allons le d é m o n ­trer, les deux premiers termes conduisent à la formule de C L A I K A U T et, d'une m a n i è r e plus g é n é r a l e , à celle de l ' in tens i té de la pesanteur normale.

Pour faciliter l ' exposé , nous écr i rons

V , = X + Y + z

et nous calculerons s é p a r é m e n t les trois termes du second membre de (53). De plus, nous prendrons le rapport de la force centrifuge é q u a l o r i a l e à la g r a v i t é équator ia le sur la surface de r é f é r e n c e , et nous poserons

m = - ~ , (21 j G

q u a n t i t é qui est de l'ordre de l'aplatissement du s p h é r o ï d e Si la surface de r é f é r e n c e était ime s p h è r e , on aurait

;• =- a„t et y ^ G„„

c'est-à-dire que la grav i t é serait ctinstante. L a variation que l'observation décè l e à la surface de notre globe provient donc — ainsi que l'avaient d e v i n é par une intuition g é n i a l e H L Y G U E N S et N E W T O X — • de l'aplatissement de la Terre causé par la rotation de celle-ci autour de son axe polaire. Ainsi C L A I R A U T devait conser­ver au moins les termes du premier ordre de l'aplatissement i)our pouvoir rendre compte de la variation de la grav i t é en l'onction de la latitude g é o g r a p h i q u e .

V I . — F O R M U L E DE C L A I R A U T .

Nous partirons de l ' équat ion (1) du s p h é r o ï d e de r é v o l u t i o n

o r u ( l — Xo). (1)

o

Si nous d é s i g n o n s par a le rayon equatorial du sphéro ï i l e , nous aurons, d'après (1),

a = a,n ( i — ^ « (-^2)o=lJ = «"

d'où pour (1), au d e u x i è m e ordre près de e,

£ 2 r = rt (1 £ X.,).

o Ó

Nous poserons, par analogie avec (1),

Y = G , „ ( l - f a X j ) ,

e 1 +

E T L A MÉTHODE GRAVIMÉTRI(,)UE 3 5

o ù a est une q u a n t i t é du premier ordre en i, et G^. la f>'ravité moyenne. Si nous d é s i g n o n s i)ar G la grav i t é equatoriale rapportée au s p h é r o ï d e , nous aurons

a 9

G = G ,„ [1 +a(X . ,)o=^] = G , „ (^1

d'où, au d e u x i è m e oi'dre près ,

y = 0 ( 1 + J + a X „ ) .

C A L C U L D E X :

niG X ^ s in- S.

2 a

Exprimons sin^O en fonction des p o l y n ô m e s de L E G E N D R E . N O U S avons

1 2 = - (3 cos^ 0 — 1) ; d 'où sin^ 0 = - (i _ x„),

et ainsi = a-,

en n é g l i g e a n t les termes du premier ordre, puisque m est du premier ordre. Nous obtenons donc, au d e u x i è m e ordre près ,

m G a

C A L C U L DE Y :

fil G 1 r r '

Y ; y -rr, X „ r " ' + - s in 6' rfO' do' dr'.

Si nous supposons que toutes les couches de m ê m e dens i t é sont à peu près sp l i ér iques , nous pourrons écr ire

r ' = « ' ( l - ' - ^ e X a »•> O

a' é tant un p a r a m è t r e variable d'une couche à l'autre, prenant la valeur a sur le s p h é r o ï d e de r é v o l u t i o n , et X ' , un harmonique zonal du d e u x i è m e d e g r é en 0'. Comme m est du premier ordre, nous prendrons

r ' = «' d 'où r " ' + - = rt'"+l

D'ailleurs,

(//•' = dcC.

Ains i ,

Y = ^ 1 1 ^ y — a'"+^ X„ s in 0' rfO' d o' dn', Q — /-ƒ À " 1 */(T1 1 '

3 6 L . R R A G A R D . — L A GÉODÉSIE

ou, en vertu des propr ié tés des fonctions s p h é r i q u e s ,

m G 4T. « 3 2 m G a

2-a or

C A L C U L D E Z

1 n = x ^

n=o ' . . S (1 - f - - f a X i ) X „ s i n W dh' d f ' .

Mais, d'après (1),

1 - ( u + 2) ( ^ + ^ e X.:

(I ou

2 = T ^ I ( 0 {i + ~ + c , X d [ i - i n + 2 ) - - ; { n + 2)sX',]X„sm^Un'd^'. 4 - „ = 0 W . ~ o o

O U , au d e u x i è m e ordre près ,

£ ( - [ 1 + - - f o c X : - ( » + 2 ) - - , : ^ ( n + 2 ) e X ^ ] X „ s i n ( ) V / 9 W 7 « ' .

Les termes du secoiul membre de cette éga l i t é s'annulent pour toutes les valcms de n d i f f é r e n t e s de 0 et 2, tandis que pour n = 0 et n = 2, ils valent

Z - G « 1 AA3

-;(i + o - . . ^ ) + s : J ( ^ • - ö ^ ) x .

Mais nous avons, en n é g l i g e a n t les termes des premier et d e u x i è m e ordres,

1 1 , e 2

r (c 3 3

1 7"-H

d'oii, au d e u x i è m e ordre près ,

Z = G [ 1 - + = + ; (a + = £) X , ] .

É c r i v o n s maintenant X + Y -t- Z = G,

ou mG a ,^ 2 î » G a , ^ ,^ s a 1 ^ 2 ^ ^

(1 - + - — — + G « L l - + 5 + ^ (a + ,V £) X , ] = U.

É g a l o n s à zéro les harmoniques de m ê m e ordre; nous aurons

G ft ( 1 + m -1+ l] G

M G n. 2 , - ^ G « + ( a + - E ) 0.

E T L A MÉTHOD E GRAVIMÉTR1QUE

De cette dern ière é q u a t i o n nous tirons

37

5 2 CL = -711 — - £,

q u a n t i t é qui est bien du premier ordre. Nous en concluons la relation g é n é r a l e

= G i + [ — E] cos= 0

ou encore, en fonction de la latitude, 4 = ' — ô,

y = G I 1 1 - — s j sin^ ^

formule due à C L A I R A I T [1]. Si nous l'exprimons en fonction de G,„ , nous aurons

y = G„ - r \ - ( - m — e ) cos 9 4 4- [ -ni — £ cos U ( 1 = G„j 1 -m —t] - ( - m — e ) cos 9

V2 J J = G„j

Ö \2 J V2 y J

Einalement,

G„ 1 -1 -- - m -- « cos- 9 V2 J formule é tabl ie par S T O K E S en 1849 [2].

V I I . — F O R M U L E DE L ' I N T E N S I T E D E LA P E S A N T E U R NORMALE

AU TROISIÈME O R D R E P R E S .

L 'équat ion de l ' e l l ipso ïde de r é v o l u t i o n à deux axes i n é g a u x s'écrit, si l'on conserve les termes de l'ordre de grandeur du carré de l'aplatissement, confor­m é m e n t à (2),

2 23 12 (2)

Par analogie nous poserons, pour l ' in tens i té de la pesanteur normale à cet e l l ip so ïde ,

y = G „ [ 1 -1- a + p X J. (57)

o ù a et p sont des coefficients incomius respectivement du premier et du second ordre de grandeur.

Pour faciliter l ' é laborat ion des calculs, nous poserons encore

23 12 (58)

3 8 L . B R A ( ; A R D . — L A ( i É O D É S I E

et nous remplacerons l 'équat ion (2) par la sui \ante , qui lui est é q u i v a l e n t e :

r = <',n [ 1 - ^ e X , + " £ X , , ] . (59)

Sous les conditions e x p r i m é e s par (58), J ' . „ est vm harmonique zonal d'or­dre 2n et de l'ordre de grandeur de .

S i nous d é s i g n o n s encore par a le rayon équator ia i de l ' e l l ipso ïde , nous aurc>ns

«-=« ,„[ i + ' + "£(j;o,)o^^].

Pour abréger , nous remplacerons d o r é n a v a n t {XOH\,JI par u'I,.

Par c o n s é q u e n t , au t r o i s i è m e ordre près ,

= « Ll - ' + - " f J^n-l^ X , + ^ £= X, - f "f O J n=i < i î = i

De m ê m e , G étant la g r a v i t é équator ia le sur l ' e l l ipso ïde , on a

G = G,„ [ 1 - ^ + ^ P] ;

d'où, au t r o i s i è m e ordre près ,

a. a} Ö V = G J

C A L C U L D E X :

Or,

)n G

2 4

en n é g l i g e a n t les termes du second ordre de grandeur, puisque m est du premier. 11 vient donc, au t r o i s i è m e ordre près ,

X - ^ ^ ( i - ^ - ? £ X . - x . - i - i £ X D . o o o o

Expr imons maintenant X% en fonction des p o l y n ô m e s de L E G E I N D H E . Nous

avons

X| = - (9 cos^ 6 — 6 cos' B + 1). 4

Or,

X 4 = - (35 cos^ 0 - 30 cos2 9 + 3 ) ;

E T L A MÉTHOD E GRAVIMÉTRIQUE 39

d'où l'on tire

c o s ^ 6 ^ - X . + ^ c o s ^ e - - .

Portant cette valeur dans l'expression de X ^ j , nous obtiendrons

1 / 7 2 12 . 8

Comme

x:i ^ ^ , X . + - ^ - c o s ^ O + - .

cos^ 2 1 r . X , + - ,

nous aurons encore 18 2 1

x ^ ^ ^ x . + ^ x . + - .

Si flous r e m p l a ç o n s X j par la valeur p r é c é d e n t e dans l'expression de X, nous pourrons écr ire finalement, au t r o i s i è m e ordre près ,

C A L C U L D E Y

Y = Y - i - r r r x„ r ' "+^ s in ^ G - ^ « 2iza t o J j j D

•>'dr'.

Si nous supposons que toutes les couclies de m ê m e d e n s i t é sont e l l ipso ïda le s , nous pouvons écrire

a é tant un p a r a m è t r e variable d'une couche à l'autre, prenant la valeur a sur l ' e l l ipso ïde de r é v o l u t i o n .

Comme m est du premier ordre, nous prendrons

r' = a' [ 1 - £ x; d'où, au m ê m e ordre,

D'ailleurs,

. iH+2 _ n'ii+1 1 _ ( n + 2) ( I + ^ e X^

3 7-' e 2 d r ' = ' — d a ' ^ [ i - - - r ^ B X ' , ] d u ' .

4 0 L . H K \ ( ; \ I \ 1 ) . L \ ( i É O D É S I L

Ains i ,

m G 1

2 ^ ^ ,h r"^

e 3" Ó

m G "S^ n_+ 3 f « f-"'

[ l - 5 - - £ X ' ]

1

1 — (// + 2) x : ;"' X„ s in 0' dÇj' d f ' d » '

11: i: 11=0 ' , fl , 0 0 Z TT « 0 ;

ou encore, en i n t é g i a n l ,

£ X.;

2 )n G ((

Or, nous a\ons, aux tei ines respeclivenieut des second et premier ordres près ,

1 1 r £ 2 T 1-1 U - £ x.>

1 1

~

D ' o ù

2 m G r< r ,— [ ( 1 " £ ) ( 1 + £X„ Xo] .

c es l -à-dire finalement, au t r o i s i è m e ordre près .

2 »? G rt 2 4 (M

(') Nous pouvons aussi expv in ie r Y en f o n c t i o n d u r a y o n m o y e n et de la g r a v i t é moyenne G„i. I^osons, en e f f e t .

Nous aurons a lors

et

tii fi a - ; ) / (i„ — •

Or ,

au second o rd re p r è s . J'u)' c o i i s é ( j u e n t , i l v i e n t au t r o i s i è m e o rd re p r è s ,

3 15 '

f o r n u t l e confcirme à celle l ' e n s e i g n é e pa r M . de Grauf H u n t e r (p. 285, ujt. cil.) et dont i l ne donne pas de d é m o n s t r a t i o n . I l a t t r i b u e cel le-ci à l l o u t l i , ma is nous n ' avons p u la t r o u v e r . Nous nous pe rmet tons de s ignaler , en passant, q u ' i l est i n u t i l e de f a i r e in te r ­v e n i r dans les p r é s e n t s ca lculs les va leurs moyennes , comme l ' a f a i t M . de Graaf H u n t e r q u i ava i t en vue le t h é o r è m e de Stolzes.

E T L A MÉTHODE ( iRAVIMÉTRIQUE 4 i

C A L C U L D E Z :

G 1 r r a 3 [ l + 5 + - T - „ f i + c c X ; + - X ^ - f P X ^ J X „ r ' V / ^ .

Or, sur l ' e l l ipso ïde , nous avons

(H r'2 sec r, s in f)' f/cp',

r, é tant l'inclinaison de la normale siu' le rayon \ecleiu' (').

D'ailleurs, 1 d,'

d'où, au t r o i s i è m e ordre près ,

„ 1 4 16 (2) sec -r, = 1 + - sin= 26' l + + _ x : - - X ^ / ^

2 l o 21 3o

D'autre part.

d 'où, en n é g l i g e a n t les termes d'ordres supér i eurs au second,

r'«+^ = ««+2 j 1 + + 2) ( - - + £2 - g ^»,) - = £ (n + 2) [1 - - {n + 2)] x:

o i=2 + ^ (W + 2) (;* - f 1) £ X I + (n + 2)'^x^A.

L ' i n f l u e n c e de cet angle é t a i t n é g l i g e a b l e dans les cas p r é c é d e n t s .

E n e f f e t , s in -2 6'-= 4 ( c o s - 0 '— cosJ O'i.

Or,

d ' o ù

8 6 3 COS* 0' =. , ; + - C0S2 0' ^ — ;

35 T -iS

sin^ 2 0' = 4 (- cos- Ö' — 4 + 4 )• V 7 35 35 y

Gomme

i l v i en t e n f i n

1 cos2 0' - -I- - XÓ,

8 8 32 , sin-' 26' = — + ^ X j X •

15 21 ^ 35 ^

(^) a et n o n a', car les po in t s potent ie ls sont s i t u é s sur l ' e l l i p s o ï d e .

42 L . B R A G A R D . — LA G É O D É S I E

I I v ien t a ins i , an le ru ie d u t r o i s i è m e o rdre p r è s , a p r è s avoi r e x p r i m é Xs" en f o n c t i o n de X'^ et X '^ ,

(« + 2) -

'18

1 + a - ( « + 2 ) -

4 4 16 + 3 e [(» + l ) ^ - ( - X : + ^ + + ( « + 2 ) g + ^ + ^ - ^ £ X;

c ' e s t - à - d i r e encore

'(i , a Z = G rt

+ 24 284 5 10 15 35 315 V/7 V9 315

+ 1 u\"+' 2)1 + 2

4 n -f 1

Or, nous avons, en n é g l i g e a n t les termes respect ivement des t r o i s i è m e , d e u x i è m e et p r e m i e r ordres.

1 = i [ l - f - e + 2eX.,] A ^ (rt - 1 , 2 ) .

D ' o ù

Z = G «

+ n=i O J J „ _ i

- ( l + 3 + 3 e X . ) + - - - P - - a s + 9

^2n

31 «==

/ a= 24 45

284

5 15 2 » + 2

+ I —

VIO 35 , 104 8

.9 315 ae X,

Si nous exp l ic i tons ensi i i le \ î et si nous groui )ons les termes, nous oi ) t ien-drons f i n a l e m e n t , au t r o i s i è m e o rdre p r è s ,

s a 77 a' 3 „ 53 Z = G «

L ^ - 3 + 2 + 225 ^ ^ + 4 - 8 p - i 5 Ö ^ ^ - £ " " " + V 5 + l B ^ - 6 ^

10 105 16

9 21x75 5x35 'S,' 2 w — 1 ,-^1 4 H + 1

ET L A M É T H O D E ( ; R A V n i É T R l ( ) U E 43

É c r i v o n s i n a i i i t o n a i i l \ + Y + Z = C,

OU

w? G ft, 2 2 24 , 2 7n G' a' 2 4 — — l - r B - ( l + z s ) X , + - E X , ] + ^ ^ [ l - ; , e + - £ X , ]

£ a 77 a' 3 „ 53 „ / a 2 2 + ^ « t l - 3 + 2 + 2^5^^ + T - 8 p - Î 5 û ^ - ^ - , S - ^ - + l 5 + Î 5 ^ - 6 3 ^ ^

a= 4 \ / 3 16 4 ae \ 'S? 2 n — 1 + 10 - r05 « V ( « + '113^5 - ^ } - s 477?- ! "^"^ ^ ' ' ' ' ^

et é g a l o n s à z é r o les l i a rmon iques zonaux de m ê m e ordre , en t e n a n l compte de (58) C). I l v i end ra

ni Gar 2 \ 2mGa f 2 \ ^ e a 77 3 „ 53 1 g 1 _| 1 £ _LGftr i 1 1 £2 H 8 ae

3 V 5 y 3 V ^ J 3 ^ 2 ^ 225 ^ 4 8 150 n=2

n=l

m G a

= G;

Ó 7 / 45 V5 15 63 10 105 5x63 3 16 4 4

35 V9 21x75 5x35 35 J

Les deux d e r r i i è r e s é q u a t i o n s peuvent encore s ' é c r i r e

a m 2 26 13 4 5 - 3 +1-5^+Î5^ï l -"^^+5^63 ^ ^ + 1 0 - 1 0 5 ° ' ^ = *''

Ë + l ^ e _ i ^ i l . _ _ - l , a £ ^ 0 . 9 35 35x45 ox3o

La p r e m i è r e r é s o l u e par r appor t à a dorme, en p renan t le signe + p o u r la racine, puisque a est d u p r e m i e r o rd re ,

5 2 64 5 25 a = - m e H m t £^ 3 3 ^ 63 9 18

Si nous por tons cette va leur dans la t r o i s i è m e , nous aurons

4 12 t^- mt,

o t

q u a n t i t é q u i est b i en du second o rd re .

(') Voir Annexe 4.

44 L . B R \ ( ; \ R D . L \ ( J Ë O D É S I E

Nous c i i c o n r l u o i i s l ' c \ j )n ' s s ion de la j ^ i a v i l é u o n i u i l c j a p p o r t é e à l ' e l l i p s o ï d e de r é v o l u t i o n r e p r é s e n t é par l ' é q u a t i o n (2) :

y = G

ou

y = G

, . f ô 2 2 i \ / ' l \ ^4 12 \ / :j

, 44 7 \ , /7 15 N — _ i m — - t - j cos' 9 + ; ^ — 77 2 i t os' H

Celte r e l a t ion peut encore s ' é c r i r e en f o n c t i o n de la la t i tude :

? = ^ - e + Esin2=p(');

/Ó 17 \ 1 V = G [1 + — ^ — , , "> ; s'»^ 'f + - (e — 5 £ « / ) sin= 2 o], (fiO) ' 2 il y 8 '

f o r n n i l e q u i est celle due à M . .1. DE G H . W I ' H U N T E R [6, p . 399 | . Si nous y subst i ­

tuons les valeurs n u m é r i q u e s de ( ; , « et Ô a d o p t é e s r e s p e c t i \ c n i e n l par l ' U n i o n in t e rna t iona le de G é o d é s i e et de ( iéopl iv sique à S t o c k h o l m en 1930 et à M a d r i d en 1925 (pour « et E) ("), nous ob t iendrons la f ( j r m u l e

y = 978,049 (1 + 0,005 288 322 siii^ cp — 0,000 005 88 sin^ 2 »), (61)

que nous p o u \ o n s comj)are r a \ an ta j i cusemen l avec la l 'ormule in te rna t iona le de S t o c k h o l m [10] :

y 978,049 (1 + 0,005 288 4 siii= o — 0,000 005 9 sin- 2 tp). (62)

V I I I . — F O R M U L E DE L'INTENSITÉ DE LA P E S A N T E U R NORMALE

AU QUATRIÈME O R D R E P R E S .

\ o u s chois i rons co tnme doma ine D , l ' e l l i p s o ï d e de r é \ o l u t i o n d'aplatisse­ment t . r e p r é s e n t é par l ' é q u a t i o n (7) pa<>e 12 :

2o 14 / ; ) £ \ 40 = [1 - = . (1 + _ s + - e , X. + 4 e= + ^ J X . - - j . (,)

(') Les fo)-inules de transfornial ion u t i l i s ée s sont (voir Annexe 5)

cos' = sin' 9 — £ sin- 2 tp,

cos' 8 = sill- '? — sin- 2 9.

G „ = 978,049 gals a= 6378,388.10-' cm E = 0,0033670 m = 0.0034678 (op. c i t . p . 399).

ET L A M É T H O D E G R A V I M É T R I Q U E 45

Par analogie , nous poserons

y = G,„ [1 + « X 2 + p X, + 5 X„],

OÙ a, p et s sont des coef f ic ien t s i nconnus respect ivement des p r e m i e r , d e u x i è m e et t r o i s i è m e ordres de gi 'andeur .

Pour plus de f a c i l i t é , au l ieu de l ' é q u a t i o n (7) nous u t i l i se rons 9 93 -1 9 n=J

r = U,n [1 — £ (1 + ~ £) Xo + £2 X4 + X X,n\ O 4~ oO

OÙ

x^^ est u n h a r m o n i q u e zonal d 'ordre 2n et de l ' o rd re de g randeu r de e . Nous en t i rons , c o m m e p r é c é d e m m e n t ,

d ' o ù , au q u a t r i è m e o rdre p r è s ,

£ £2 23 '4 3 2 £2 241 /'=«!! - 7 . - ^ + jTT-^'-Y, ocl,+ { - - z e^jX, ô o IÓ0 3 / 27XûU

+ 1 (3 - eO X , + x,„\. 00 „^1

De m ê m e , si G d é s i g n e encore la g r a v i t é é q u a t o r i a l e sur l ' e l l i p s o ï d e , nous aurons

a 3 „ 5 G G„j r i 1- - B 51 ; ml 2 8' 16

d ' o ù , au q u a t r i è m e ordre p r è s ,

v2 :

4 G r i 4 e + S + - aS + - - | - a 1 + - S + X ,

+ P (1 + X , + s X J .

C A L C U L DE X :

m G

Or, 2 13 4 10 24 4

, . = « . t l _ ^ . _ _ _ , . _ ^ e X . + ^ £ ^ X . + 3 _ £ ^ X . + ^£=X?J

en n é g l i g e a n t les termes d u t r o i s i è m e ordre .

40 L . B R A C A R D . — L A ( Ï Ë O D É S I E

D ' o ù

iiiG a , 2 13 4 10 24 4 X - ^ ( l - X . ) [ l - ^ £ - ^ e ^ _ ^ £ X . + ^ £ . X . + ^ £ ^ X . + - £ ^ X | ] .

Si nous tenons compte des é g a l i t é s (cf. \mi (>\e 6)

5 20 2 x , x , - X , + „ X , + ; X „ 11 H I

18 108 3 2 X i = ~ X « + — - X , + X , + ,

* / 38o I 3.J

nous aurons f i n a l e m e n t , an q u a t r i è m e ordre p r è s ,

m G 2 9 2 1 12 17 32 X = - ^ ^ 1 - . - £ - - - £ ' + ( - l - - £ + - £ ^ ) X , + :T^(2£ + - £ 0 X , - „ ^ £ = X J .

3 o 3a / i 3o 11 /7

O A L C I 1. DE V :

MG 1

Mais ,.n+i , , ,

11=0 ' D

OU

( / T r'^soc Yi sin b' d<i',

SPC r, - 1 + £ + t ^'^ - .V-lo 21 3ü

Si nous supposons encore que toutes les couclu's de m ê m e d e n s i t é sont e l l i p ­s o ï d a l e s , nous pouvons é c r i r e

3 u 13o 3 / 2 /x3o

+ .^. (3£^-£:')x; + 5'.r:.„j,

ö' é t a n t u n p a r a m è t r e var iable d 'une couche à l 'autre , p renant la valeur a sur

l ' e l l i p s o ï d e de r é v o l u t i o n et J ' ' , , , d é p e n d a n t de 6'. C o m m e m est d u p r e m i e r o rdre , nous p rendrons

e £- 2 £2 12 •' = « ' r i - 3 - 5 ^ 3 e X ^ - . x : + - s ^ X : ] ;

d ' o ù , avec la m ê m e p r é c i s i o n ,

/£ £= 2 £- 12 \ V3 o 3 I 3o J

+ ^ ( . + 2 ) ( . + l ) g + ^ e . X ; + ^e^X1

ET L A M É T H O D E G R A V I M É T R I O U E 47

D 'a i l l eu r s ,

e £2 2 £2 12 * " - t l - 3 - ^ - 3 ^ X ; - - X : + - £ ^ X : ] d f t ' .

H v i en t alors, a p r è s avo i r e x p l i c i t é

m G H + 3

^ ïj.=f) ' 0 » 0 0

£ e- 2 £- 12 - - ^ - - £ X - - x ; + - £ ^ x i 3 o 3 7 3o

+ „ (n + 2)

16

' £ ' 2 , /18 9 9 9 \So I o

1 / 4 4 + ^ U ^ ^ + 2 1 ^ ^ ^ ^

2w Gft

— £2 x ; « " ' + 2 X„ sin 9' d 0 cp' d a'

(1 - £ + p + (-) ( - 2£ + ^ + ( -109 , X„ / a V 4 X 59

21x35

Or , nous avons respec t ivemcnl , aux t r o i s i è m e , d e u x i è m e et p r e m i e r ordres pres.

1 1 , £ 14 2 37 12 4 r - « t l + 3 + ^ ^ ^ + - X . + ^ 3 £ ^ X . - - £ ^ X . + ^ s ^ X a

1

Y

D ' o ù

2 w?. G « ..., £ 14 2 37 12 4 £ >

15 5x35 21x35

Nous pouvons donc é c r i r e f i n a l e m e n t , au q u a t r i è m e o rdre p r è s ,

2 >n G a 2 13 2 11 16 x 47 L l - , ^ + . - . s ^ + - _ ( 2 £ + - £ 0 X . - J 4 A i ! . . x . ] . 35 35x105

C A L C U L DE Z :

' ^ Ï T ^ à ^ J o J o L + 2 - 8 P + T + r 6 ' ^ - 8 « P + 8 + " ( l + 2 - 8 P + T j ^ ^

+ P ( 1 + - j x; -f- 5 Xi I X„ •"•+ sec -fi sin 6' 8' tp'.

C o m m e

r' - « [1 — ; 135

2 ; ^ ? ^ - : ^ £ x : - i x ^ +

<=3

241 27x35

£3x:

48 L . B R A C A R D . — L A O Ë O D Ë S I E

on a, en n é g l i g e a n t les termes d 'ordre s u p é r i e n r au t r o i s i è m e ,

: — x;

241 12 4 , , 1 . , r — r r x; + ~ £ x; - £ x: + 2^ x:, + ^ o> + 2) (// + 1 ) : 2i X ou .:>.-> Ai) ,rr, 2 \ 9

4 , 4 , 2 38 8 4 1(5 + -- £- X - + - e- X. + - H e ' X.', E ' X -] i-< X. - e-'X. X;

9 9 - 15 105 - 35 ' 21 ' 35 " •*

1 AE^ 8 2 4 ' - {n + 2) Oi + 1) + - + ^ X.: A- ^ £3 X -

D'a id re par t ,

4 12 4 , 1 , IG , 10 X 17 , 128 ,ec . ^ 1 -f ^. £ - f 3. £3 + ^ e x. - ^ ..x: - _ £^x:- E^X, + £3 x;.

au q u a t r i è m e o rdre p r è s .

Nous an ions , par c o n s é q u e n t , a p r è s avo i r e x p l i c i t é X!,-, X. '' et XÓX^,

a 3 , a - !j , o „ a' 1 _j R -I \ 0 a 3 + -

^ 2 8* 4 1 0 8 ^ 8

+ i" + 2)

0 0

10

11 '=••' / £ - £•'

+ ^ ^ ^ ' - | : - - ^ 0 ' + ^ ) U + l5

as-H E '

3Ü Ü X 27 y

4 2 12 + as- -f -

15 ^ 1 5 ^ 35

2 2 E a-£ 19 fi£ / ci - i - _

13 a£- + ' 1

i 70 4 15x()3 19 7. £ y? + (» + 2 ) ( . + l ) ( „ £ ^ + — £ 3 + - - - ~ £ 3 l + - E ^ - ^ E 3 + ^ ^ .

38 X.;

£7 a / 1 2 s £ 0 4 X 4

16 16 X l i E- — • - a £-

35 35 11 X 35 3 +

128 11 X 21

X '

+ 2 a ^ E a £ 2 8 /•2 2

( - f - 2) ( - ^ a £ - - - ^ £ 3 ) + ( . - f 2) ( . + 1) ( - ^ + ^ 33 + - , a£- ' 2n \

— £•'

4 + - 7. £2 ^ 21

/18 2 1 2 , 1 2 32 10 + ( - 3 +35=^^^+105^^'^- - ^ ^ ^ do

8 — ( ; y + 2 ) (>/. + ! )—Ê^'

5 2 0 2 X 2 2 /18 ~ x ; + x; + ;xn + - Oi + 2 ) ( « + 1 ) { ^ . t - - nt') _ x i 1 1 II 1 / 9 9 V / I

+ X.; + '1 X.; + -1 ) + (;, + 2 ) 2: x, sin e' ^/Q' 38o / 3oy S

2 \

Ga

ET L A M É T H O D E G R A V I M É T R I Q U E 49

a a 3 „ 5 ^ 3 „ a3 2 3 Bs R - j 1 0 a S H £H a £ + " -

r^ 2 8 * ^ ^ 4 ^ 1 6 8 "^^8 3 ^ 1 5 5 ^ 4 3 9 4X148 „ /rt\-* a2 3 „

ofle-j a £2 H £ — 2 y + - ] (a H « 3 + -10 ^ 7 0 ^ 2 1 x 4 5 ,-^1 V^V 2 8 ' ^ 4 8 24 12

— - £ i — ^ - a° £ 4 3 7 7

36 X, /a^' 64V29 -inv-IO 80 \'. « = 3 • > / 35 ^ 9 ^

26 ()4 5 — at- A £-' ~| 7 21 21

P £ -4 X 203

u 26 ()4 5 — at- A £-' ~| 7 21 21

P £ -7x21x45 u

7 / oo a£2 —

8 X 499 £3 -

5 X 77 4x18

35

64X29 16x19 1 a £2 — % £ ) ^ ^

OU 1 / J O oo l o + y f " 11X21 " ' 77

a £2 — % £ ) ^ ^ OU 1 / J O oo l o

^ 9 1

Or, nous avons respect ivement , aux q u a t r i è m e , t r o i s i è m e , d e u x i è m e et pre­m i e r ordres p r è s .

1 _ i r a

B 14 "=3 /2 37 311 \ 4

l + 3 + 4 5 ^ ^ + £ ^ - + ( 3 ^ + 6 3 ^ ^ + t 5 ^ ^ V ^ ^ - â H ^ ' ^ ^ 4 10 16 8

+ £3) X, + - (£= -f - £3) X | - £3 X , X , + £3 - 2; \.« tj i oO / ii=i

1 1 ^ 19 , 65 36 8 , ; ^ - ^ t l + ^ + ï g ^ ^ + ( 2 3 + , - ^ ) X . - 3 ^ £ ^ X . + -£^X^];

1 , 5 10 , 1 1 1 1 - 1 + - £ H £ Xo], - - , — - (n = 1,2,3).

D ' o ù £ 14 "=3 /2 37 311 ^

^ - ^ « t i + 3 + ^ e ^ + l ^ L + ( 3 £ + ^ £ = + — £ 3 ) X .

/12 4 \ /4 40 \ , 16 8 - ,p £- + .-;= s' X , + - £ + .7. X^ - £3 X , X, + - £3 X

V35 3o J Vy 63 y 3o 27 •^3 / a 2 \ , £ 14 2 37 12 4 ,

- | ; - ^ » + ( 2 - 3 0 ^ ^ + 5 + i 5 ^ ^ + 3 ^ ^ ^ + 63^^^^-35^^^^ + 9 ^^^^ / 3 , a2 3 , £ 2 ^ 5 . 3 ^ 7.3 3£ 3

+ 2, A a£H ]{\ -\ [ - - £ X o ) + - 0 a S - ^ j- a.-t

9 4X148 "=3 g N g5 + + . ^ r - T - £= - 2 ^ Xl, + - - - £ l - f £ + - . £2 + 2 £ X, -h - £ X ,

70 21x4o , S V5 lo y lo 21 36 8 /a-' 24 64 d

- 35 ^^^^ + 3 + + ÏÖ5 + ^ + ' ^ " " ^ ^ + ^ ~ 40

^ 20 35 35 21 35X21X45 ' " ^ V ö 9X35 35 3 10 , ^ a 3 26 „ 4x23 , 8x499 „ 4 \ . , ^, 64x29 ,

-I E X , ) X , + — 3E H a£- £3 a^E X , + (0 £3 ^ 3 '^KiB, 77^ ^ 105 45x77 35 J 11X21 , 16X19 , 80 . r.3 2'/i + 2

+ — ^ • ^ ^ - 3 3 ^ ^ ) ï 3 + , J ' . 4 ^ " ^ '

50 L . B R A ( Î A R D . — L A G É O D É S I E

Si nous exp l i c i tons ensuite X | , X ; et X^X^ et si nous g roupons les termes,

nous ob t i endrons f i n a l e m e n t , au q u a t r i è m e ordre p r è s .

53 1693 Z = Ga [1 — - H 1 £•- — a£ + - — 3 H i-' + — ae-

3 2 5x4.) 150 4 8 35x135 350 •-) ^ ö , y? ,8 e oà

+ - 0 ~ '5 ' 16 8

a P H h ai e - > + - - } - - £ + -13

^1X15

4 a £

281 a 3 + — 4 a £ — S E a-£ ) X,

' ' on 9 ^ ^ 'nt^^oi ~ -in-, ; 105 10 35x135 40 ' 20 210 36x21 ^ 105

+ P 4 X 41 P 4 X 23 4x73 9 25x03 '' 5x35 18 99x25 33x35x5"''' 3x77^'' 5 X 3 5 ' J

70 4X4Î ?-'2« —1 H (0 e-i 3 E a£-)X,. — >

13' ^ 77x135 9x33^^ 15x77 ' ,t^,4yi + l É crivons encore

X + V + Z = G

o u «î G 9

+ i X , + ^. (2£ + ^ E ^ X , " ' ' oo 11

12, 1/

^ s ^ X „ J + 2 mG(i ^. 2 13 '5

75 ' 1 5 ;>o

£ a i uo a- o ^ 1693 o + G c^l 1 1 £ aeH S- | t-^ -] a

' 3 ^ 2 5X45 150 4 8 ' ^ ^ 35x135 350

+ - 0 - - + - + i l - - - a'-'£ - 5^ „ + ^ + - E + E^ 16 8 8 8 300 Vu lo 21x lo

13

+

lOi

,3 4X41

4 7.2 281 3 ^ a' 1 .„ ^ a £ H £3 a 3 -I 1- — a E - 3s

10 35 X 135 a' 1 ( o

(- — a E -20 210 36x21 105

a=£ X.,

a 3 . 4X23 O'-' -f 77, + a £ - — — ^ pE - — a = E X,

9 25X63 ' 5x35 " ' 18 ' 99x25 ' 33x35x5 "' 3x77'"' 5 x 3 5 ' " V

a -13 , ''^2n — \ 7X135 9x33'^' 15x'rr ' ^ ^ à 4 > 7 T 1 ''''"^ " ^'

1 29x32 70 + 13^^ + — ' ^ -

et é g a l o n s à z é r o les ha rmon iques zonanx de m ê m e ordre , en tenant compte de (63). I l v i endra

m G (I

OO

2 9 1 - ^ s - £

o 3o

2 m G a

1693

2 13 t — M - 7 7 £-

3 lO

+ G <

150 » = 3

£ H 3 H E ' H a £-' H 0 a S -4 1-4 8^^^ 35x135 .350 16 8 ^ 8 ^

1 1 1 3 ^ 2 ^ 5X45

300

- 1 : G;

ET LA M É T H O D E C R A V I M É T R K ) U E 51

m G u

281

2 m G a + — ^ -

a 15 ^ 15x35 + Gft

"a 2 13 - H S-\ £2 5 ^ 1 5 ^ 2 1 x 1 5

_ 4 y?

~" 105 * ^ ÎO 35x135 28

_| S3 5x135

= 0;

m Gft 24 12X17 — £ H £2 35 11x35

— aÖ H \ ae°-40 ' 20 210

2 16X47 - m G a £° + Gft 3 35x105 ^

_ _ 8 £ - - : ^ a ^ £ 36x21 105

4 "P 4x41

9 25x63 5x35

4x73 18 90x25 33x35x5 3x77

G fi 32 G ft —

3 77 13 29 x : 70

a'' e £•< 5x35 33

4X43 . 200

0;

-1 £•' 3 £ a. t'A 77x135 9X33 ' 15x77 231

= 0.

Les t rois d e r n i è r e s équa t io ius peuvent (!ncore s ' é c r i r e

a. m 2 26 1 e A m & A

5 3 15 ^ 15x21 5x63 13 4 17

?2 j a £ ^ m 10 105 3x75

17 3 £' 7x135

H ^ £ • 9 35

40 4x41

35x45

20 210 4 —- «£

1 73 , 2 a £2 a £ a} £ 0 ;

36X21 ^ 105

ap 4X73 + — a £2 ^ "• "3x35x5

o X 3 o

lo

4X1219 4X52 >n £- — ——— £•' 33x35x105

3X77

13 3x77 2 8 X1241

7)1 £2 4- — r-: r £'' — 70

33 X 75

a?z -= 0;

4X43 77x39x45 9x13x33 13x15x77

a £2 = 0.

Si nous n é g l i g e o n s les termes d u t r o i s i è m e ordre , les p r e m i è r e et d e u x i è m e des é q u a t i o n s p i ' é c é d e n t e s nous donne ron t respect ivement

64 3 o 63 18 9

o 4 , 12 p = £2 - - m £.

Si nous por tons ces valeurs dans la t r o i s i è m e , nous aurons

4X95 8x25 o m £= £^,

11X21 11X21

q u a n t i t é q u i est b ien d u t r o i s i è m e ordre ( ' ) .

(') Le calcul de 5 est rigoureux, car pour le faire, i l su f f i t de s'en tenir aux termes du premier ordre de a et du second de p. C'est ce qui just i f ie i c i , l 'emploi du procédé par approximations successives.

52 L . B R A G A R Ü . - L \ ( ; i ' :ODÉSIE

Si nous les in t rodu i sons dans les termes autres que a et [i de la p r e m i è r e et de la seconde é q u a t i o n , nous ob t i endrons , au q u a t i - i è m e o rdre p r è s .

2 64 7)1 — : E -| )/> £

3 (33 18 524 5x29 64 125

9 21x35

2X6991

m'E E^ -4—— m^. (ÏS 45x21 108

p = - £ )n E — ' 5 7 77X105

10 4 X 61 rit e" 4- £ H £-'.

7 11X21

La g r a v i t é no rma le en un j )o i i i t de l ' e l l i p s o ï d e r e p r é s e n t é par l ' é q u a t i o n (7) aura donc pou r expression

G 1 + (' + ;^ + 4 4 P)U + ^ -0 + Û'^^Xe+P(-^- + X,)

OU

= G

a 3 , /- 5

fo 2 2 1 537 15 22 V3 3 21 3 7x35 ^ 1 4 35

/13 '14

- + X,j + ( ^ ^ ; > . £ ^ - . £ ' - i ^ ; . ^ E j X , + ( ^ E= 12 — ni £

2x6991 10 4X61 , 3 /26 4 — m + ^ nf- E + ^ - £3 , ( - , + X.) + ( - £ - - £3

10 \ / 4 X 9 5 8x25 «i^ï I X, + m E2

o u encore

1-f ( ^ . . - £

V l l X 2 1

44

11x21 ; •> 16

8 X 4 7

5 ^•

£ £- + 7 2 ^ 35

m £2 — 8 cos^ 9

15 9(57 41 X ,^ /-95 — m £= + £ 3 ) cos' S + ( e-

2o - £•' j cos" ()

On e x p r i m e cette f o r m u l e en f o n c t i o n de la l a t i tude de l ' e l l i p s o ï d e de r é v o ­l u t i o n eu faisant usage des f o r m u l e s suivantes de t r ans fo rma t ions don t la d é m o n ­s t ra t ion est d o i m é e à l ' . \nnexe 5 :

cos- 0 = (1 — £") sin° !p — £ 1 -j- sin- 2a -f- £- sin'-' 3e ;

"1 X £ ---!-£ sin2 2o + - sin-^3ö; 4 y ' 2 cos^ G = 1

. . 15

sm* o •

1 cos" sin^ts sin^29 -| sin- 3».

16 ' 8 ^ 1 6

ET L A M É T H O D E G R A V I M É T R I Q U E 53

I l v i e n t alors

G 17 621

i + ( 2 - ' ~ 14 ' - 224Ô + 32 )

/£2 5 + 8 - 8 ^ " '

15

69 1 M £- H £3 sni= 2 '

224 16 '

+ 1,64 ~ 32 i Dans cette f o r m u l e les termes des p r e m i e r et d e u x i è m e ordres sont les m ê m e s que dans la f o r m u l e de DE G R A A F H U N T E R .

E n par tan t des valeurs

o n ob t i en t £ = 0.003 367 008 367 in = 0.003 467 827 189

y G [1 + 0.005 288 376 454 siii^ cp — 0.000 005 890 251 sin^ 2 tp + 0.000 000 008 021 sin^ 3 cp].

Les termes d u t r o i s i è m e ordre o n t respect ivement c o m m e va leur

0.000 000 009 906;

(63)

621 1 m E^ - \ - — E3 =

2240 m E^ - \ -

32

69 1 m £° + £3 =

224 m £° +

16

15 1 . — - 7/1 £° — £•! =

64 32 0.000 000 008 021.

L e u r va leur est n é g l i g e a b l e en p ra t ique . La f o r m u l e (63) peut u t i l e m e n t ê t r e c o m p a r é e à celle que CASSINIS [10] a

é t a b l i e par une autre voie :

Y = G [1 + 0.005 288 384 sin'- cp — 0.000 005 869 sin^ 2cp — 0.000 000 022 sin' <s sin^ 2 f ] (64)

que nous pouvons ramener à la f o r m e de (63) en d é v e l o p p a n t le de rn ie r te rme.

O n a en e f fe t sin2 cp sin" 2 cp = 4 sin'' cp cos^ cp = sin2 2ep — 4 cos*' cp sin^ cp

1 1 1 1 1 1 = sin cp — - sin^Scp — ^ sin2 2cp - f - sin^ 'f = ^ sin^o + - sin2 2cp — - siii2 3cp.

La f o r m u l e de CASSINIS devient alors

Y G [1 + 0.005 288 376 sin^ o — 0.000 005 880 sin^ 2 cp -f 0.000 000 006 s i t f 3cp]. (65)

La d i f f é r e n c e entre les fo rnudes (65) et (63) est i n s i g n i f i a n t e en p ra t ique .

54 L . R R A G A R D . — L A G É O D É S I E

A N N E X E 1

Nous pouvons é c r i r e

X2» = mo + ?» , H h t»^ [A^*,

X 2 . •--= +Pil^~+--+ Ih [^••\

/,, ]>. é t a n t des coef f ic ien t s n u m é r i q u e s . Les expressions des d i f f é r e n t s po lynonu ' s de LiîCiE.MîKE s 'obt iendront au moyen d'iuu» f o r m u l e r é c u r r e n t e b ien connue , due à OSSLVN BOMNET [12J.

E n e f fec tuan t le p r o d u i t m e n d u c à m e m b r e , nous aurons

X y X , ; , . . . X , , = {k + + - + h V-^) (.m, + m, + - + i^^"). . .

( Po + jOi H \-Pi V-'") = k >'h •••Po+(h mo. .po + lo m, - + -

+ lowia . . . p i ) [J.' H h {lj-imn---ps + ljyn^_^...p, + •••

Posons

i + /i + - + ^ --= r.

Nous avons

X j r = r„ + r, . . . + r^l^2'-.

Nous en t i rons

I r ' r ' r ' r

R e m p l a ç a n t dans l 'expression p r é c é d e n t e d u p r o d u i t Xj^Xo, . . . X 2 , , i l v i endra

X . , . X„„ . . . X 2 , = 0 ma ...po— • • • ' " _^ TOO . . . JÖO + U mi... po + •••

+ /o - . . ft - ) + - + (0-, '/«ft ••. + h wu - i . . . p . + -

+ . . . — 1 -' - -i X ^ r .

ET L A M É T H O D E G R A V I M É T R I Q U E 55

Nous avons aussi

X^r-o = q, + (h V-' -\ h Qr-i V-'"'-' ; d ' o ù

(A - • A»^_., u- . . .

Le p r o d u i t devitMil alors

-, , P m, n, ) \ X,j X,, ... X, , = /o m,... p„ —L m„ + m,_, ...p,+

I r

+ k mo... Pi — • wîft ...p, + lj . . . jö, H \-l,m^... p,_i

l'r J Hr-i. + ••• + [•••] [^''-^ + m^...p,

/ , . . . « s r , . _ A 1 + m„_y... -1 m„ ... /7,^i • 1 X^r-î

'V / Qr-i

+

E n c o n t i n u a n t de m ê m e , on pa rv iendra f i n a l e m e n t à une é g a l i t é de la f o r m e

X y X j ; ; . . . X-2S = Go - | - G j Xo G , X4 -(-••• + X^,^

les Cj é t a n t des coef f ic ien t s n u m é r i q u e s .

Ö6 L . B R A G A R D . — L A G É O D É S I E

A N N E X E 2

Soient

r = rt ( i + ^ a , X j i + Yé

R = (1 + 2 X . i + v„),

respect ivement les é q u a t i o n s d u g é o ï d e c o m p e n s é et de la f i g u r e de r é f é r e n c e .

E x p r i m o n s qu ' i l s on t m ê m e v o l u m e

f i i rfT'= n (1)

J J , ' D . J . D'

D et D ' d é s i g n a n t les domaines l i m i t é s respect ivement par le g é o ï d e et la f i g u r e de r é f é r e n c e .

Nous avons

di' = r'' sec - / i , sec sin9' cW ricp' dr\

d-' = R'2 s e c s e c - 0 , sinô'rfO'c/tp'rfR'.

Or, nous pouvons é c r i r e

= . , ' ( i + , | ; a , x : , + "2<)' 1=1 11=0

R' a" (1 + 'f «i X ó j + "U v;),

a' et a" é t a n t des p a r a m è t r e s variables , p renan t la va leur o sur le g é o ï d e et la f i g u r e de r é f é r e n c e D ' o ù , à la p r é c i s i o n i n d i q u é e ,

r's = H'-^ (1 + 2 I ; a, x:, + - + 2 iQ,

i=i n=o

= a"^ (1 + 2 I ; a, X^, + - + 2 v;).

ET L A M É T H O D E G R A V I M É T R I Q U E 57

D 'a i l l eu r s ,

dr' = (1 + 5 a, X',, + "If <) da',

dR' = (1 + 5' a, ^'n + "f v;) d a". i—l »i=0

L ' é g a l i t é (1) ci-dessus devient par c o n s é q u e n t

r r f a'^ (1 - f 3 X^j H h 3 " I f u'n) sine' t^ô' d<f' da' » 0 J 0 J 0 i=i n=0

P \ P«"ni + 3 'f X^i + - + 3 " I f v„) sin9' rf9' dep' da" ^ O »' O . O

OU

^ « 3 ( 1 + 3 , ) = ^ « 3 (1 + 3 V „ ) ;

Ó O

d ' o ù nous t i rons

i<0 = Vo.

R E M A R Q U E :

Si le v o l u m e d u g é o ï d e c o m p e n s é est é g a l à ce lu i de la s p h è r e de r a y o n a, nous avons

4 7ï 4 7: — «3(1 + 3 ^g = — a3,

d ' o ù

2<„ = 0.

58 L . B R A G A R D . - L A GÉ()DÉï>IE

A N N E X E 3

Si nous expriiiiuiis que les composantes des centres de g r a v i t é du g é o ï d e c o m p e n s é et de la figure de i 'éférence sont les m ê m e s , nous aurons, en employant les notations de l 'Aïu iexe 1,

x'idin' J J D

dm" x'.d'»' y!,dm"

dyn' lTf„ dm' J J D

d.n" \ \ ( dm' dm"

ou dm' - P ' ( /T ' d)n" == f d - " .

p' et p " d é s i g n a n t les dens i t é s de volume respectivement du g é o ï d c et de la s iu-l'ace ré férent i e l l e .

Nous pouvons écrire

p" - u"

L a p r e m i è r e des éga l i t é s p r é c é d e n t e s deviendra donc

i=l n—X -i]H'„

(=1 • + 3 2^

r i=i

i + I i=0 i—l n—oz

i=i n=i r i + 3 | ; a , x : , + . L t=i

••+3 2] < n=l i=0

cos e'sin 9W/e'(/ts' da' 0 0 J 0 L 1=1

n~oc X i + ^ (n - 1 ) v;

sirifJ'f/6' do da' ra -27t r i=[ »i=x) M 1 + v r . , x : . + 2] ( « - i ) v „

1 + 3 2; x;, + - + 3 5; v„ 1 + 2; 5i rt"^cost('sin9't^9'rf(f'c?«"

1 + 3 2; x;, + . . . + 3 2; v; 1 + 2; Si x;, a"-'^h\h' d^' do' da"

E T L A M E T H O D ? ] GRAVIMÉTRI()UE 59

ou encore

r r + pi X^i + 3 2 i o^i X:^ + - + Y (n + 2) u'„ COS 6' sin6'rf9' (iç'

r r J 0 J 0

1 + 1 ; Pi x^,+3 2; «i x ^ i + - 4 - 1 ; + 2) K i=l i=l n=l

J 0 J 0 [ i + pi x^,+3 2; x;< + ... + " U + 2) v;^

«=i eos9' sinB'dQ' rfcp'

.Ci -271 r i=i i—i

1 + ^ pi + 3 2; a, X^, n L i=i "=i

-h - + "S {n + 2) n=i

c'est-à-dire

ou

4- l<i = At.

On parviendrait au m ê m e résultat si l'on partait des deux autres éga l i t é s .

E n effet,

x'i = r' sinô' costp' yj = R' sin Ô' cos cp' = r ' sin 6' coscp' yj = R' sin 6' sin cp'

et

sin S' cos cp' = [ X j (cos (|>)]Q=^,J,=O

sin9'sintp'= Xj (cos (').

(0 cos = cos 9 cos 9' + sin 9 sin 6' cos (tp — cp').

(JO L . B R A G A R D . — L A GÉODÉSIE

A N N E X E 4

J . i )K (iuA vi I I I \ i i ; n ohlciiait iiiic ('<>alilé de la forme

C o + C . X , + C , X - - C ' ^ (1)

et i l aiiiuilait s éparémoi i l les cooflicients do \ o , Xo et X ^ .

Notre procédé est é q u i v a l e n t au sien. E u effet, nous pouvons encore écrire {1) sous la forme

/18 2 1 <:„ + Cl x„ + c , r _ X , + - x , +

OU

te

('0 + ~ j + + ^ C,) X , + ^ C , X , = C " .

Si nous y annulons les coefficients de X , , , \ 2 d X i d'après une propr ié té

connue, i l vient G.,

c„ + S - <:'^

O

Cl + ^ G, 0,

C , - 0,

c'est-à-dire les soluiious qu'avait t rouvées D I : ( ! I I \ A I H I ?vrEU. Plus g é n é r a l e m e n t , si l'on a l ' éga l i l é

Co + C , X , + C, Xî H f- C„ XJ' =

et si (jii l'écrit sous la fornu" cquivalenle

/ ; ( c , „ ( c „ ) - f /; ( c , , CL, . . . , ( ; „ ) x , + / : « ; „ . . . . c,,) x , + - + (c„) x ,„ =

le s y s t è m e

^ (c„ , G,,..., = c ^ / ; (G, , c „ . . . , c„ ) = 0, / : ( G „ . . . , G„) = 0 ( c„ ) = o

a pour solution unique, finie et d é t e r m i n é e . G,, = C ' ' , G i = 0, C„ = 0.

E T L A MÉTHODE (IHAVIMÉTRK^UE 6 1

E n effet, supposons le I h é o i è n i e vrai pour n — 1 :

/ „ ( C J est (le la forme Ö „ C „ , O Ù a,, est un coefficient n u m é r i q u e ; par c o n s é ­

quent, / „ ( C J = 0 a pour solution C „ = 0, et notre s y s t è m e devient

/o (Go, c „ . . . , G„_,) = c'^ /; (G„ G^,.. . , G„_o = 0 , . . . , / ; . , (G„_,) = o,

lequel, par h y p o t h è s e , admet pour solution Co = C " , Gj = 0, C„_i = 0. Or le t h é o r è m e est vrai pour n = l , n = 2; donc il est vrai pour toute valeur de n.

62 L . B R A G A R D . — L \ GÉODÉSIE

A N N E X E 5

Formule de transforinution de runjuntetit O en latitude.

L a latitude ç d'un point V (fi<,^ l a ) du sj jhéroïde est lanj j l e que fait la nor-

F K ; . lu. lia. Ih.

maie Ay avec l'axe O J ' . Entre l'argument 0 du rayon vecteur OA et cp, on a la relation

1 o

d'où l'on dédui t

\g (p — culg fi 1 + tgtf cotn-e'

(1)

De l ' équat ion de l ' e l l ipso ïde

.r^ + ,f + a- a" (1 — £)•-

on tire

F I COtn- 6 F ; X{i — tf (1 - £)=

E T L A M É T H O D E GKAVLMÉTRI()UE 63

L'équat ion (2) peut donc s'écrire

to- (0 = ? = ^ (2 — sin y COS cp

^ ^ 1 - f tg2 'f (1 — £)2 1 — £ (2 — e) sin2 » " '

ou, avec une approximation suffisante,

t g u £ sin cp cos tp [2 — e (1 — 4 sin^ cp) ] . (3')

On a, d'autre part,

cos 9 = sin (tp — w) =- sin œ cos w — cos « sin to

sin tp — cos (p t g w

ou, en tenant compte de (3'),

cos 9 --= j sin <p — £ sin Ç cos^ (p (2 — £ + 4 £ sin^ <f) — 2 £2 sin'' tp cos' ' f )

= sin -f — 2 e sin tp cos= tp + £ sin cp cos^tp — 4 E" sin ^ tp cos' tp

— 2 £= sin^ (B cos tp 4- 2 £ sin^ tp cos tp (2 — s - f 4 E sin^ tp)

on encore, en né<)l igeant les termes de la t r o i s i è m e puissance de t,

cos 9 = sin 9 — 2 E sin cp cos tp - | - E^ sin tf cos- o — 6 E^ sin^ tp cos- cp (4)

et

cos' 0 = sin= cp 4- 4 £2 sin^ cp cos'' cp — 4 E sin^ cp cos^ cp + 2 E^ sin- cp cos^cp — 12 E^ sin^ cp cos- cp (5)

cos2 9 = sin2 tp — s sin2 2 tp + sin^ 2 tp + 4 E^ sin^ tp cos cp

— 12 E^ sin'' tp cos tp (1 — cos^ cp)

5 = sin- cp — £ (1 4- - E) sin- 2 œ + 1(3 E^ sin^ cp cos cp

= sin2 tp _ £ (1 + e) sin2 2 tp + (sin 3 tp + sin tp)2

= (1 - f £2) sin^ tp — £ (1 - f % ) sin2 2 cp + E^ sin^ 3 cp

- f 2 E - sin cp sin 3 cp

(1 - f £2) sin^ tp — E (1 + ^ E) sin- 2 tp + E' sin^ 3 cp

+ 8 E^ sin^ es cos" cp — 2 E^ sin^ es

cos2 9 (1 — £2) sin^ © — £ 1 + 1 sin^ 2 cp - f E^ sin^ 3 cp. (6)

64 L . B R A G A R D . — L A ( i É O D É S I E

Cherchons encore la valeur de cos' 0, en n é g l i g e a n t la d e u x i è m e puissance (h's £. De (5) on tire

cos^ 6 sill'' cp — 8 E siii^ y cos- cp

= sin' es — sin^ tp cos- cp — 8 e sin' cp cos- cp - f 8 s sin= cp cos cp

sm- C5 1 £

sm^ 2 y — 2 e siii- 2 f -\— (sin 3 <? + sin cp)

sui-sin^ ^ — sin^ 2 cp — 2 e sin= 2 9 + sin^ :)cp -f -

4- 4 £ sin- » cos- cp — £ sin" cp

cos^Ô = ( 1 — - J sin^cp— ^ - + ej sin2 2cp + - sin^Scp. (8)

E n f i n le calcul de cos'' 0, en n é g l i g e a n t les termes de la p r e m i è r e puissance de i, donne, par le produit de (5) et (7),

cos' 6 sin" c5 =^ sin' «p (1 — cos' cp)- = sin' cp — 2 sin' es cos' + sin' cp cos* »

ou

cos'' 9 = sin' cp — - sin' 2 cp + sin' 8 cp + sin' cp + - sin' cos' ? — ^ sin' tp,

, , 1 5 3 1 cos" Ö = sin' cp — - sin' 2 » + — sm' 3 cp. (9)

Les formules de transformation ut i l i sées sont (6), (8) et (9).

E T L A MÉTHOD E GRAVIMÉTRIOUE 0 5

A N N E X E 6

Posons n = 5 dans la formule de r é c u r r e n c e [ 1 2 ] :

{n + 1) X , _ . - (2 ; - f 1) X , + n X „ _ . = 0 (')•

Nous obtiendrons

G Xo - 11 p X , 5 X , . (1 )

Or,

X , = ^ (35 {j.^ — 30 + 3) , 8

X , = \ (63 - 70 -J? + 15 p ) .

On aura donc, tous calculs faits,

X , = ^-^ (231 Y-" — 315 [JL - f 105 — 5) .

Si nous r e m p l a ç o n s dans ( 1 ) , X, par sa valeur, nous aurons

0 X,; = (03 |J." — 70 [X* + 15 fji«) — 5 X , . (1 ' ) 8

Mais 8 Xi = 27 — 27 p. + 9 [/ — 1

d'où l'on tire

Portant cette valeur dans ( 1 ' ) , il viendra

77 33 77 6 X „ = - - - p ^ - - K + ^ X ? - 5 X , .

( ) u. = cos 0, 0 étant la colatitude.

m L . B R A G A R D . — L A GÉODÉSIE

Or, l'expression de \ , nous donne

8 6 3

35 ^ ' + 7 ^ ^ - 3 5 - ^'"^

Si on l'introduit dans la lelatioii ] )récédente , celle-ci devient 11 33 121 77 i j 2 oU o

Cjomme 2 1

fJ^'= .. X , + .,, (1' ')

nous amons donc 36 22 77

X. = - - ; r X , - l l X , - - + ~ X ? ; o 10 O

d'où nous lirons finalenienl

18 108 Xi -

Nous avons

Xi! - ^ x,^- - - x , 4 - ^ x , + ;; .

d'oii

X„ Xj ^- (105 iJ.'- - 125 + 39 — 3),

16 25 , 13 1 = X., X. -4 u- A 105 - ' 21 35 ' ^ 35

Portons cette valeur dans ( 1 ' ) . I l viendra

66 55 ^ 3x77 yi) 6 X , ^ - . X , X . + - ^ ^ - _ f . = + ^ . - 5 X .

ou encore, en lenani com[)lc de ( 1 " ) ,

60 11 11x18 66 »j X,; -= — X^ X, + --- \t - a - + ; — u X,,

o 7 3o ' 35

c'est-à-dire , en \ertu de ( 1 ' " ) .

66 24 11x12 6 X,3 = . X, X, - - X, - X, ,

o ( oo

d'où nous tirons finalement

5 20 2 X,X,=^ X , + - X , + - X,.

11 II I

E T L A MÉTHOD E GRAVIMÉTRIQUE 67

A N N E X E 7

I l existe dans la Terre des forces internes non n é g l i g e a b l e s dont le j e u est la cause de p h é n o m è n e s g é o l o g i q u e s anciens ou récents , des tremblements de terre et des é r u p t i o n s volcaniques. L a Terre est en effet un corps qui n'est pas

F I G . 2.

e n t i è r e m e n t en é q u i l i b r e . Des s o u l è v e m e n t s importants se sont produits, d'autres de peu d'importance se produisent encore. Dans le p r o b l è m e du d é p l a c e m e n t du centre d'inertie de la Terre, on c o n s i d è r e principalement les d é p l a c e m e n t s de masses, tels que les apports f luviaux dans les o c é a n s , la fonte des glaciers polaires, p h é n o m è n e s dus à des forces in tér i eures , les m a r é e s , p h é n o m è n e s dus à des forces ex tér ieures . D è s lors, il paraît in téressant d 'éva luer l'importance du dépla­cement du centre de grav i t é de la Terre d û à un s o u l è v e m e n t é v e n t u e l .

68 L . B R \ G A R D . — L A GÉODÉSIE

T i s s E K A x n avait déjà c o n s i d é r é la question [ 1 3 | et avait conclu qu'il n'y avait pas lieu de s'en p r é o c c u p e r . P o u r le prouver, il citait l'exemple é tudié par S C H I A -

PAKELLi, o ù celui-ci suppose que le grand |)lateau central de l'Asie soit s o u l e v é tout entier d'une centaine de mètres et trouve un d é p l a c e m e n t (hi centre de g r a v i t é de la Terre de 1 m m seulement. 11 doniuiit simplement ce résul tat , se hornant à indiquer que la masse ihi plateau \au[ approximativenu'iil 1 0 ' fois la masse l e i i e s i r e . Mais le raisonnement de S C I M A I ' V H K I . I . I n'es! pas exact, c a r il suppose que le sou lè \ en i er i l e n \ i s a g é ne modifie pas l 'écpi i l ihic isoslatique de la Terre, ce qui ne saurait être le cas.

Reprenons le p r o b l è m e sous une autre fornu' en tenant compte de la compen­

sation isostaliqiie r é g i o n a l e . Supposons une terre s p h é r i q u e (cas idéal ) de rayon R et de diMisité moyenne

constante. Son centre de grav i té est en O. Si l'on choisit un s y s t è m e coor­d o n n é e s sp l i ér iques (;•, 0, o) dont l'origine est en O, ses c o o r d o n n é e s sont toutes trois nulles. C o n s i d é r o n s ensuite celte m è n u ' terre s p h é r i q u e et ajoutons-lui une calotte s p h é r i q u e de liauteur radiale //. Le centre de g i a v i t é du nouvel ensemble sera d é p l a c é sur l'axe des x, dans le sens des x positifs (fig. 2) .

Faisons intervenir maintenant l'isostasie suivant l ' idée d ' H A v r o R » , en intro­duisant une surface de compensation C . Prenons un bloc normal V et exprimons l 'égal i té des masses a p p l i q u é e s sur des bases « normales », c'est-à-dire é g a l e s ,

la surface de compensation.

Soient maititenant

0 = 2,67 la (h'usité de la calolte de hauteui' /* ;

p — p i = p , = 0,6 la (hMisité (k la couche de compensaiion, c 'est-à-dire de la

couronne s p h é r i q u e de iiauleur radiale H ;

p,„ = 5,52 la dens i t é moyenne de la T e i r e .

Nous avons, v d é s i g n a n t le volume <h- la calolte,

f ? + V ( p — p , ) = V p ou ü p = V p , . ( 1 )

E n fait, la compensaiion isostatique est im artifice très commode et v é r i f i é par l ' expér i ence . L e p r o b l è m e actuel revient donc à chercher la position du centre de grav i t é (sur l'axe O J ) des solides suivants : 1 ) la s p h è r e de centre O et de rayon R — H , de dens i t é p,„; 2) la couronne s p h é r i q u e de hauteur radiale H , de d e n s i t é o (son centre de grav i t é est O ) ; 3 ) la calotte sf ihériqiu- interne de hau-leui' radiale 11, de volunu' V et de dens i t é —oi (la m ê m e calotte de dens i t é o c o m p l è t e la couronne précédenIcO : 4 ) la calolte s p h é r i q u e cxlei iie de hauli'iir radiale /) et de d e n s i t é p.

E T L A M É T H O D E GRAVIMÉTRIOUE 69

I l est entendu que la hauteur h est au-dessus du niveau de la mer. p est la dens i t é de l 'écorce terrestre; lorsque celle-ci dépasse le niveau de la mer, pour que l ' équ i l ibre soit mainteiui siu' G , on suj)pose que la d e n s i t é sous-jacente est moindre, soit p — pj.

L e d é p l a c e m e n t résu l tant du centre de g r a v i t é à partir de l'origine O aura pour valeur, en se reportant à la figure.

p„j • Sp]ièreR_,i -|- p • G o u r o n n c H + » p — ?>'

c ' e s t - à - d i r e , d ' a p r è s (1),

p„i • SplièreR_H + p • Couronne,!

ou, e x p l i c i t e m e n t ,

3 9 9 . ., ( (R +/i)" — R-- R^ — ( R — H y )

^ ^ ^ p s i n ^ ^ c o s ^ - [ (R + kf - w\ \ [ ^ z : : ^ 3 - =11731 p , „ ( R - H ) 3 + p [ R ' - ( R - H ) 3 ]

Nous en tirons en p r e m i è r e approximation largement suffisante

— sm- 9

L a formule d o n n é e sans d é m o n s t r a t i o n par L A M B E R T , qui s'est o c c u p é du m ê m e p r o b l è m e , est [14, p. 163J

x - 7 — sin-^9 — ,

OÙ d = H , a = R.

Le calcul pour h = 4240 m, 11 = 113,7 k m , 0 = 10°, — d o n n é e s correspondant sensiblement à celles de S C I M A I ' / M I K L L I , — p = 2,67 (>t p„, = 5,52 donne, ])ar notre formule,

; ^- 0"'41.

Nous avons s u p p o s é , avec H A V F O R D , une profondeur de compensation de 113,7 k m , mais les t l iéor ies plus récentes ont rédui t cette profondeur au tiei's. Donc le d é p l a c e m e n t du centre d'inertie d'ime t(M're s p h é r i q u e en é q u i l i b r e isosta­tique provenant de l'apport du gigantesque plateau du Thibet ne dépasserai t pas 14 c m .

Si nous supposons maintenant un s o u l è v e m e n t de liauteur D de ce plateau, notre formule reste applicable, sauf à remplacer h par /Î 4-D. Pour D = 100 m , nous obtenons

Ç = o » M 2 .

7 0 L . B R \ ( ; \ 1 H ) . ~ LA GÉODÉSII-

e-Geci nous donne une idé;' de la force ev l ér i eure — ou é \ e i i l u e l l e m e r d iid rieure — formidable qu'il faiidrail sui)poser agir siu' la Terii^ pour dép lacer son centre de grav i t é d'une m a n i è r e a i )préciable .

Dans l ' h y p o t h è s e isostalique, il faudrait tenir comj)lc dv lout 1(> lelief su])er-ficiel et (k's fosses o c é a n i q u e s : i l y aurait des d é p l a c e m e n t s du ceidre d'ineilie de la Terre ilans tous les sens et des com])ensations les réduira ient sans doute fortement. Ainsi qu'cjn vient de le voir, ceux mis en é%idence sont e x t r ê m e m e n t petits eu égard à la p i é c i s i o n avec laquelle ou d é t e r m i n e le g é o ï d e , 7 m | 2 | , et ce n'est pas le moindre intérêt de la m é t h o d e isoslatique, (•omme l'écrit le P. L E J A Y [9|, de permettre d ' é l i m i n e r l'influence des masses superficielles sans clianger notablement la ])osition du ceidie de la Teri'e.

Xous sommes (k)nc f o n d é à conclure (pTen toute rigueur mat l i émat icp ie il y a un d é p l a c e m e n t du centi'c d'inci tie, mais que pl i \ s iqi iemeid, au stade actuel de la technique g r a v i m é i r i q n e , ce d é p l a c e m e i d est i iégligi^able. (loci justif ie en particulier l'application de la formide de S T O K E S , c(jiitre laquelle le g é o d é s i e n Lv^rBERT é l c \ a i t l'objection de la n o n - c o ï n c i d e n c e des centres de grav i t é du g é o ï d e et du s p h é r o ï d e de ré f érence .

E T L A MÉTHODE G R A \ IMÉTRIOUE 7 1

R E F E R E N C E S B I B L I O G R A P H I Q U E S

[1 j A . CLAIRAUT, Théorie de la figure de la Terre, on il est traité de Véquilibre des fluides. Paris, 1743; 2" éd. , 1808, par Poisson.

[2] G. G. STOKES, On the variation of gravity at the surfaee of the Earth. (Trans Camb. l^hil . Soc, vol . 8, pp. 672-695, année 1849.)

[3] M . D E H A L U , La gravimétrie et les anomalies de la pesanteur en Afrique orientale. (Institut Roy. Col. Belge, 1943, sect, des Se. tectin., t. I V , fasc. 3.)

[4] G. H . DARWIN, Tlie Tlieory of tlie Figure of the Eartli carried to the second order of sniale quantities. (Monthly Notices of R..A.S., vol . L X , 1899-1900.)

[5] I^I. P o i N C A R É , Les mesures de gravité et la géodésie. (Bul l . Astr. , vol . 18, 1901, pp. 27-30.)

|6] . ] . DE GRAAF HUNTER, Tfie Figure of tlie Fjirth from gravity observations and the precision obtainable. (Phi l . Trans, of the R. S. of London, sér. A , n° 731, vol . 234, nov. 1934.)

[7] A. ROSENBLATT et G. GAKCIA, . I r . des Sc. de Paris, 31-XII-1937 et 19-IX-1938; Revista de Viencias, L ima, dec. 1939, ]). 527. - - :\. ROSENBLATT, ibidem, sept. 1939, pp. 349-457.

[8] BUCHVVALDT, Géodésie statique. Copenhague, 1922.

[9] P. LEJAY, Développements modernes de la Gravimétrie. Paris, Gauthier-Villars, 1947, p. 96.

[10] G. CASSINIS, Szir Vadoption d'une faraude internationale pour la pesanteur normale. (Bul l , géod., 1930, pp. 40-49.)

[ H ] CATALAN, Sur les fonctions X„ de Legendre. (Mém. de l 'Ac. roy. de Belgique, t. 31, 1885, pp. 59-60.)

[12] O s s i A N BONNET, Journal de Math. p. et ap., t. 17. année 1852, p. 267, ou J o s . BER­TRAND, Traité de calcul différentiel et intégral, p. 358.

[13] TISSERAND, Mécanique céleste, t. I I .

[14] W . D . LAMBERT, The reduction of observed values of gravity to sea level. (Bul l , géod., 1930.)

T A B L E D E S M A T I E R E S

INTRODUCTION

I . — Équat ion du sphéroïde terrestre

I I . — Formule générale de la géodésie dynamique ...

I I I . — Théorème de Stokes

I V . — Le p rob lème inverse

V. — Le prob lème de l ' intensité de la pesanteur normale

V I . — Formule de CUiiraut .. V I I . - Formule de l ' intensi té de la pesanteur normale au troisième

près

V I I I . — Formule de 1' Ijrès

Annexe 1

Annexe 2

Annexe 3

Annexe 4

Annexe 5

Annexe Ü

.\nnexe 7

RÉFÉRENCES BlHLIOGRAPHIQl'F.S . . .

ntensité de la pesanteur normale au qua t r i ème

ordre

ordre

Pages.

5

9

14

19

26

32

34

37

44

54

50

58

60

62

65

67

71

Torna I X . 1. V I N W I N G , le R. P. i.. Études Bakongo. — I I . Religion et Uagie (301 pages.

2 f igures, 1 carte, 8 planches, 1938) ir « 0 » 2. T i A R K O F O U R C H E , J . A . et MOHLiGHEM, H . , Les communications des indigènes

du Kasai avec les âmes des morts (78 pages, 1939) fr . Ï6 » H. L O T A R , le R . P. L , La grande Chronique du Bomu (163 pages, 3 cartes, 1940). fr . 60 » *. G E L D E R S , V . , Quelques aspects de l'évolution des Colonies en 19S8 (82 pages,

1941 fr . 3 5 »

T o m a X . I . VANHOVE, J . , Essai de droit coutumier du Ruanda ( M é m o i r e c o u r o n n é au Con­

cours annuel fie 1940) (125 pages, 1 carte, 13 planches, 1941) fr . 6B i i. O L B R E C H T S , F . M . , Bijdrage tot de kennis van de Chronologie der .4frikaansche

plastiek (38 biz., X pl . , 1941) fr . 30 » 3. DE B E A U C O H P S , le R . P. R . , Les Basongo de la Luniungu et de la Gobari (Mémoire

c o u r o n n é au Concours annuel de 1940) (172 p., 15 pl . , 1 carte, 1941) . . . fr . 100 » t. VAN DER K E R K E N , G . , L e Mésolithique et le Néolithique dans le bassin de VUele

(118 pages, 5 fig., 1942) fr . 40 « 5 DE B O E C K , le R. P. L . - B . , Premières applications de la Géographie linguistique

aux langues hantoues (219 pages, 7 5 figures, 1 carte hors-texte, 1942) . . fr . 106 »

Tome X I . 1. M E R T E N S , le R. P. J . , Les c/ie/s couronnés chez les Sa Kongo orientaux. Etude

de régime successoral ( M é m o i r e c o u r o n n é au Concours annuel de 1938) (455 pages, 8 planches, 1942) fr . «00 »

2. G E L D E R S , V . , Le clan dans la Société indigène. Etude de politique sociale, belge et comparée (72 pages, 1943) fr. M »

3 S O H I E R , A . . Le mariage en droit coutumier congolais (248 pages, 1943). . fr. 100 »

Tome X I I . 1. L A U D E , N . , La Compagnie d'Ostende et son activité coloniale au Bengale

(260 pages, 7 planches et 1 carte hors-texte, 1944) fr . 110 « 2. W A U I E R S , A . , La nouvelle politique coloniale (108 pages, 1945) fr. 65 » 3. JENTGEN, J . . Études sur le droit cambiaire préliminaires à l'introduction au Congo

belge d'une législation relative au chèque. — 1 " partie : Définition et nature juridique du chèque envisagé dans le cadre de la Loi uniforme issue de la Conférence de Genève de 19S1 (200 pages, 1945) fr. 86 »

Tome X I I I . VAN DER K E R K E N , G . , L'Ethnie Mongo : 1. Vol . I . P r e m i è r e partie : Histoire, groupements et sous-groupemems, origines.

L i v r e I (xii-,W4 pages, 1 carte, 3 croquis hors-texte, 1944) . . . . fr . 180 » 2. Vol . I . P r e m i è r e partie. L i v r e s I I et I I I (x-639 pages, 1 carte, 3 croquis et 64 plan­

ches hors-texte, 1944) fr. 400 >

Tome X I V . 1. LOTAR, le R . P . L . , La Grande Chronique de l'Uele (363 pages, i cartes, 4 planches

hors-texte, 1946) fr 200 » 2. D E C L E E N E , N . , L e Clan matrilinéal dans la société indigène. Hier, Aujourd'hiii,

Demain (100 pages, 1946) fr. 60 » 3. MonouLu; , le D ' L . , Politique sociale de l'Union Minière du Haut-Katanga pour

sa main-d'œuvre Indigène et ses résultats au cours de vingt années d'appli­cation. (68 pages, 1946) fr. 50 »

4. JENTGEN, P.. L e s Pouvoirs des Secrétaires Généraux f f . du Ministère des Colonies pendant l'occupation. (Loi du 10 mai 1040) (82 pages, 1946) fr 45 »

Tome X V . 1. H K Y S E , T H . , Grandes lignes du Régime des terres du Congo belge et du Ruanda-

ürundi et leurs applications (1940-1946) (191 pages, 1947) fr. 110 » 2. MàLENGREAU, G . , Les droits fonciers coutumiers chez les indigènes du Congo

belge. Essai d'interprélalion juridique (260 pages, 1947) fr 150 » 3. H E Y S E , T H . , Associations religieuses au Congo belge et au Ruanda-Vrundi

(158 pages, 1948) 100 » 4. LAMAL, le R. P. F . , E s s a i d'étude démographique d'une population du Kwango.

Les Basuku du Territoire de Feshi (189 pages, 2 figures, 10 graphiques, 1 carte, 8 planches, 1949) fr 165 »

Tome X V I . VAN B U L C K , le R . P . G . , Les Recherches linguistiques au Congo belge (7(17 pages,

1 carte hors-texte, 1948) fr. 350 «

Tome X V I I .

1. nu BoECK. I f R. 1"", Î,,-P.,, TiiaUnimie en rlv Tuli-nl;iri'^tii' in nfli/isrli-Kivhin {9i pi'Ses, 191Ü1 l i ' . 80 »

LOUWERS, O., Lc Coiii/ri's Voltii ih- lf):',H el t e s hunni.r sur f M ; / / ' / / / r '11:! j i a g r ' ^ , 1949) , . ' ' . f i - . mo )!

•i. VAN RULCK. lo R. 1'. r... Miniup] lie l.iniiuhtiiinr Hiinloiic ':i-?ri i-a^cs. I cm-le iiors-texte, 1949; fi', 260 «

Tome X V I i l . 1. \ A N M ; S T K , I I ; M . . I.rqciiilcn. ( ,1'Srii i i-il mi s m (,iiirili]:iit Villi rrti Mli'li---!,

Vol!,-. - M m ; , . k ~ ! , i i ; M : i l i ; i K i . R r i p i - r l i - K o i i . - i . Hv! i i l . . I ' l ; ! ' . U- 150 » i. ANCfAL'x. I . . , I.c jiruliivnir ni i.'Kiil iini n ihins I'A j rii/ii r Inliii- ' s l imi^^us, ^ | i i r | M-..

lO i ' . l ; ' I I . 70 » :!, ( . A r u u v . T O N , .1. I-"., I roiii/itiiulii r sliiilij 0/ sunn- rcnlrul iijririin uiiiiii-liiiniiniiirM

([]'.> |>;ij. 'es. i ]iU l i e s l i o i > - i . \ i c ' . i'JV.i I l 130 » 4. SlAri'iai.s. le 1{. F . i . . . TinuAuijisi l,:- l)i ill rniji- Inl ilr nlmlir run hrl ir r rl, irnni il m

hel Tsliilllliil - M e l lin'ilr w c i k i 11 - \: 1> K. Wl l . I .E .MS 10:'. | . ! i « i ' S . I •.•',!• 185 i)

Tome X I X . I. ] )l Jo\(illi:. F . . I,rs junin-s li'itssi-rissi-m r n I */','//> ^-nirtrs ihili;i''nrs lil! i'liii'iii

lirliji' ( ; i \ e i l ; i i nl l;i I inr:il i I f I , \ A \ ! I I I \ ! , IS' , I L I L V - . I lh ,rs-1r \ lo , (Hi'i « O ii I M\! . l ' .MiP, lAr . I i . . I r / s mi jiil ij sini liii I i ml i nr n i\ l./'s I < : 11 ^ > r n i r n f ^ ' / ' / . ' . " " ' ' ^ Ii'H'I'I

hrh/i' O-,' pJIKi'^. i' |>l:i!li!l('-- i H i I'S-I ' • \ I r. I'.li'.l 85 )1

S E C T I O N D E S S C I E N C E S N A T U R E L L E S E T M E D I C A L E S

Tome I. I. R O B Y N S , V V . , La colonisation végétale des laves récentes du volcan Humoka

(laves de Kateruzi) (33 r-^ges. 10 planclies, 1 carte, 1932) fr. 30 » i. D U B O I S , le D ' A . . La lèpre dans la région, de Wamba-Pawa (Uele-Sepoko)

(87 pages, IWM) fr. Î6 » 3. I . E P U E , E . , La crise agricole coloniale et les phases du déveluppement de l'agri

culture dans le Congn central (31 pages, 193-:;; fr. 10 M 4. D E W I L D E M A N , É . , Le port suffrulescent de certains régctauj: troidcaux dépend

de fadeurs de Vainhiancc ' (51 pages, i planches, 1933) fr. 20 » 5. AuRiAENS, L . , C A S T A G N E , E . et V I . A S S Ü V , S . , Contriliution o l'étude hislobigique il

chimique du S t e rc i i l i a Req i i ap r i i De Wild. Hï-l p., ï p l . , 28 f i g . . 1933) . . fr. BO » n. \ 'AN NiTSEN, le Df R . , L'hygiène des travailleurs noirs dans les camps induslrli-is

du Haul'Katanga (24:S "pages, 4 j i l a i ic l ies , ca i i c et d i ag ra in incs , 1933; . . ii' 135 >, 7, S ' I E V A M I i - , R . et V R V D A G I I , J . , P.lude sur une niiiludie aruve du cotonnier provn

quée par les piqûres ' / ' l l e l o p e l t i s i',")5 l 'ages, 32 f igi i i -es . 1933) . . . . fr. 40 » S. D E L E V O Y , G . , Contribution â l'étude de la végétation forestière de la vallée de la

l.iiUuga [Katanga sepfentriotial] VA p. . .î j i ; . , ? i l i ag ' ' . , i c.'irte, I9.!3; . f r . 80 »

Tome I I . 1. H A U M A , \ . 1,., Les Lobelia géants des montagnes di/. Congo belge (52 pages, 6 flgu-

re.s, 7 planches, 1934) fr. 30 » D t \ViL!)EMAN, E . , Hemarqnts à prupus de la t<>'rèl eqiiatitrialc cnngolaise 1 1 2 0 p.,

3 cartes hors-texte, 1934) . . . '. . . . fr. 50 » 3. H E N R Y , J . , Étude géologique et recherches minières dans la contrée située entre

Ponthierville et le hir Kivu {bi pagi'S. G f i g u n ' s , 3 planclu-s . i934> . . . f r . 35 « 4. D E W I L D E M A N , É . , Documents pour ictude de l'aliinentalion végétale de l'indigène

du Congo belge (2(54 liages, 1934) f r . 70 » D. POLiNARD, E . , Constitution géologique de VEnlre-Lulua-Bushimaie, du 7' au

8" fiaralUle (74 pages, (! planches, 2 cartes, l'.t34; fr. 46 ii

Tome m . 1. L l i l iRUN, .T., Les espères runguliiises itu ijeiire Tiens /.. (79 p. . ; l i g . . Pi:',; . ù 24 ji 2. SCHWEIZ, le I)'' .1.. 1 mi II iliu lion à l'eliiile eliil eni inl ùg iq il e de lu uiiiluriii duns lu

forêt et dans lu suruiie du Congn urivnUil ,\:\ |iage-. I . a i i c . 193; . . ! i . 20 » 3. D E WILDE.MA.N, K . . ' l ' I i O l . l . l . l i l i K l K l l H E c l Olü IVTI131. ( propos ilr liii lit ru in e II I s iluti-

géncs coiiguliiis il2; page^, 193:,; [•,•, 3 5 „ i . D E L E V O Y , G et H O H K H I , ,M., I.e milieu /iligsique du Centre africain méridional et

la phytogéograjiliie (104 pages, 2 cartes, J935i fr. 36 » 5. I.EPLAE, E . , Les plantations de café au Comjo belge. —• Leur liisloire (lHHt-t9!t!y). -

Leur importance ueliielte (?4S pages, 12 p la i i i lc 's, ]ii:it;) fr. SO »

Tome I V .

1 J A D I N le D ' J . , Les groupes sanguins des Pygniées (Mémoire c o u r o n n é au Con­cours annue l de 1935) (26 pages, 1935) fr. 15 «

2. J U L I E N , le D ' P., Bloedgroeponderzoelc der lifé-pygnieeën en der omwonende Negerstammen (Verhandeling welke in den jaar l i jksen Wedstr i jd voor 1935 een eervolle vermelding verwierf) (32 bl., 1935) tr. 15 »

3. VLAssov, S., Espèces alimentaires du genre Artocarpus. — 1. L'Artocarpus inte-grifol ia L. ou le Jacquier (80 pages, 10 planehes, 1936) fr . 35 »

i D E W I L D E M A N , E . , Remarques à propos de /ormes du genre Uragoga L . {Bubia-cées). — Afrique occidentale et centrale (188 pages, 1936) fr. 80 »

y D E W I L D E M A N , E . , Contributions à l'étude des espèces du genre Uapaga B A I L L . (Euphorbiacées) (192 pages, 43 figures, 5 planches, 1936) fr . 70 »

Tome V.

1. D E W I L D E M A N , E . , Sur la distribution des sapontnes dans le règne végétal (94 pages, 1936) fr. 36 »

2. Z A H L B R U C K N E R , A , et H A U M A N , L . , f.es Uctiens des hautes altitudes au Ruwenzori (31 pages, 5 planches, 1936) fr . M »

3. D E W I L D E M A N , E . , A propos de plantes contre la lèpre (Crinum sp. Amaryllidacées) (58 pages, 1937) fr . 20 »

4. H i s sOTE, le D-- J . , Onchoccrcose oculaire (120 pages, 5 planches, 1937) . . . fr . 60 » 5 . DUREN, le D ' A . , Un essai d'étude d'ensemble du paludisme au Congo belge

(86 pages, 4 figures, 2 planches, 1937) fr . 36 » 6. S T A N E H , P . et B O U T I Q U E , R . , Matériaux pour les plantes médicinales Indigènes du

Congo belge (228 pages, 17 figures, 1937) fr . M »

Tome V I .

1. B U R G E O N , L . , Liste des Coléoptères récoltés au cours de la mission belge au Ruwenzori (140 pages, 1937) fr . 60 »

2. L E P E R S O N N E , J . , Les terrasses du fleuve Congo au Slanley-Pool et leurs relations avec celles d'autres régions de la cuvette congolaise (GS p., 6 flg., 1937) . . fr . 26 »

3. C A S T A G N E , E . , Contribution à l'étude chimique des légumineuses Insecticides du Congo belge ( M é m o i r e c o u r o n n é au Concours annuel de 1937) (102 pages, 2 figures, 9 planches, 1938) fr . 90 »

4. D E W I L D E M A N , f , . . Sur des plantes médicinales ou utiles du Mayumbe {Congo belge), d'après des notes du R. P. Wel lens t (1891-1924) (97 pages, 1938) . . fr . 38 »

5. A D R I A E N S , L . , Te Ricin au Congo belge. ^ Étude chimique des graines, des huiles et des sous-produits (206 pages, 11 diagrammes, 12 planches, 1 carte, 1938), fr . I M »

Tome V I I .

1. S C H W E T Z , le Df J . , Recherches sur le paludisme endémique du Bas-Congo et du Kwango (164 pages, 1 croquis, 1938) fr . 80 . »

e D E W I L D E M A N , E . , Dioscorea alimentaires et toxiques (morphologie et biologie) (262 pages, 1938) fr . 90 »

3 L E P L A E , E , . Le palmier à huile en Afrique, son exploitation au Congo belge et en Extrême-Orient (108 pages, 11 planches, 19.39) fr . 90 »

Tome V I I I .

1. MicHOT, P. , litude iiétrographique et géologique du Ruwenzori septentrional (271 pages, 17 figures, 48 planches, 2 cartes, 1938) fr . 170 »

2. BoucKAERT, J , , C A S I K H . H . , et jADiN, J , , Contribution à l'élude du métabolisme du calcium et du phosphore chez les indigènes de l'Afrique centrale ( M é m o i r e c o u r o n n é au Concotirs annuel de 1938) (25 pages, 1938) , , . . . . fr . 16 »

3. V A N DEN B E R G H E , L . , Les schistosomes et les schistosonioses au Congo belge et dans les territoires du Ruanda-Vrundi ( M é m o i r e c o u r o n n é au Concours annuel de 1939) (m pages, 14 figures, 27 planches, 1939) fr. 90 »

4. A D R I A E N S , L . , Contribution à l'étude chimique de quelques gommes du Congo belge (100 pages, 9 figures, 1939) fr . 46 »

Tome IX .

1. P O U N A R D , E . , La bordure nord du socle granitique dans la région de la Luhi et de la Ilii<hitiinii- ' ."ifi j i a p e s . ? f i p i i i c F , 4 p l n i i c l i e s , iV.V.)) fr. 35

l. V A N R I E L , le J . , Le Service médical de la Compagnie Minière des Grands Lacs Africains et la situation sanitaire de la main-d'œuvre (58 pages, 5 planches, 1 carte, 1939) tr. 30

3. D E W I L D E M A N , E . , D " T R O L L I , D R I C O T . T E S S I I O R E et M. M O R T I A U X , Noies sur des plantes médicinales et alimentaires du Congo belge {Missions du « F o r é a m i ») (vi-356 pages, 1939) fr. 120

4. PoLiNARD, E . , Les roches aicalines de Chinnga (Angola) et les tufs associés (32 pages, 2 f i gu re s , :! planches, 19: 9) fr. 25

b. R O B E R T , M., Contribution à la ynorphologie du Katanga, les cycles géographiques et les pénéplaines (59 pages, 1939) . fr. 20

Tome X.

1 D E W I L D E M A N , E . , De l'origine de certains éléments de la flore du Congo belge et des transformations de cette flore sons l'action de facteurs physiques et bio­

logiques (365 pages, 1940) fr. 120

i. D U B O I S , le D ' A., La lèpre au Congo belge en inS8 (60 pages 1 carte, 1940). fr. 25 1 J A D I N , le D ' J . , Les groupes sanguins des l'i/qi/ioïdes et des nègres de la province

équatoriale (Congo belge) (42 pages, I d i a g r a m m e . 3 cartes, 2 p l . . 1940) . fr. 20 4. P O L I N A R D , E . , Het doleriet van den samenloop Sanlairu-Bushimai (42 pages,

3 figures, 1 carte, 5 planches, 1941) fr. 36

5. B L R G E O N , L . , t e s Cnlasposoma et les Eurvope du Congo belge (43 pages, 7 figures. 1941) fr, 20

6. P A S S A U , G . , Découverte d'un Céphalopode et d'autres traces fossiles dant les terrains anciens de la Province orientale (14 pages. 2 planches, 1941) . . fr 15

Tome X I .

1. VAN N I I S K N , le X)' R . , Contribution d l'étude de l'enfance noire au Congo belge (82 pages, 2 diagrammes, 1941) fr. 35

i. S C H W E T Z , le Df J . , Recherches sur le Paludisme dans les villages et les camps de la division de Monginralu des Mines d'or de Kilo i Congo belge) (75 pages, 1 croquis, 1941) . ' fr. 35

3 L E B R U N , J . , Recherches morphologiques et systématiques sur les caféiers du Congo (Mémoire c o u r o n n é au Concours annue l tie 1937) {18-1 19 p l . , 1941) . . fr. 160

4 RODHAIN, le C J . , Etude d'une souclie de T r v p a n o s o m a Cazalboui (Vivax) (38 pages. 1941) fr. 20

5. V A N DEN A B E E L E , M., L'Érosion. Problème africain (30 pages, 2 planches, 1941) . fr . 15 (5. S T A N E R , P . . Les Maladies de l'Hevea au Congo belge (42 p., 4 pl. , 1941) . . fr. 20 7. R E S S E L E R , R . , Recherches sur la calcémie citez les indigènes de l'Afrique centrale

(54 pages, 1941) fr. 30 8. V A N DEN B R A K D E N le D ' J . - F . , Le contrôle biologique des Néoarsphénamlnes {Néo-

salvarsan et produits similaires) (71 pages, 5 planches, 1942) . . . . fr. 35 9. VAN DEN B R A N D E N , le I)'' J . - F . , Le contrôle biologique des Glyphénarslnes (Try-

parsamide, Tryponarsyl. Sovatoxyl. Trypotane) (75 pages. 1942) , . fr . 35

Tome X I I .

1. D E WILDEMAN, Ë . , Le Congo belge possède-t-il des ressources en matières premières pour de la pâte à papier y (iv-156 pages, 1942) fr. 60

2. B A S T I N , R . , La biochimie des moisissures (Vue d'ensemble. Application à des souches congolaises c ïWsperg i l lus du groupe t Niger » T H O M . et C H U R C H . ) (125 pages, 2 diagrauniies, 1942) fr. 60

i A D R I A E N S , L . et W A G E M A N S . C L , Contribution à l'étude chimique des sols salins et de leur végétation au nuanda-Crunili (186 pages, 1 f i g u r e , 7 pl., 1943) . . fr. 80

4. Dr W I L D E M A N , E . , Les latex des Euphorbiacées. 1. Considérations générales (68 pages, 1944) fr. 36

65

Tome X I I I .

1. VAN iNllSEN, R . , Le pian ( 1 2 8 pages, 6 planches, 1 9 4 4 ) fr . 80 » F A L L O N , F . , L'éléphant africain ( 5 1 pages, 7 planches, 1 9 4 4 > fr. 36 »

3. D E W I L D E M A N , É . , À propos de médicaments antilépreux d'origine végétale. I I . Les plantes uUles des genres Aconitum et Hydrocotyle ( 8 6 pages, 1 9 4 4 ) . . fr . 40 »

i A D B U E N S , L . , Contribution à l'étude de la toxicité du manioc au Congo belge ( m é m o i r e qui a obtenu une mention honorable au concours annuel de 1 9 4 0 ) (140 pages, 1 9 4 5 ) fr . M »

r>E W I L D E M A N , E . , A propos de médicaments antilépreux d'origine végétale. I I I . Les plantes utiles du genre Strychnos ( 1 0 5 pages, 1 9 4 6 ) fr.

Tome X I V .

L. ScHWEiz, le D' }., Becherches sur les Moustiques dans la Bordure orientale du Congo belge (lac Kivu-lac Albert) ( 9 4 pages, 1 carte hors-texte, 6 croquis, 7 photographies, 1 9 4 4 ) fr . 60 »

i. S C H W E T Z , le D'' J . et D A R T E V E L L E , E . , Recherches sur les Mollusques de la Bordure orientale du Congo et stir la Bilharziose intestinale de la plaine de Kasenyi, lac Albert ( 7 7 pages, 1 carte hors-texte, 7 planches. 1 9 4 4 ) fr . 40 »

V ScHWETZ, le J . , Becherches sur le paludisme dans lu bordure orientale du Congo belge ( 2 1 6 pages, 1 carte, 8 croquis et photographies, 1 9 4 4 ) . . . fr . 105 »

4. S C H W E T Z , le D ' J . et D A B T E V E L L E , E . , Contribution à l'étude de la faune malaco-logigue des grands lacs africains (1" é t u d e : Les lacs Albert, Êdouard et Kivu) (48 pages. 1 planche et 1 tableau hors-texte, 1947) fr. 46 »

5 . D A R T E V E L L E , E . et S C H W E T Z , le D-- J . , Contribution à Vétude de la faune malacolo-gique des grands lacs africains ( 2 « é t u d e : T.e lac Tanganika) ( 1 2 6 pages, 1 carte, 6 planches hors-texte, 1 9 4 7 ) fr . 120 »

(j D A R T E V E L L E , E . et S C H W E T Z , le D'" J . , Contribution à l'élude de la faune malacolo-gique des grands lacs africains ( 3 « é t u d e : S u r la faune malacologique du lac Moero) ( 9 0 pages, 3 cartes, 4 planches, 1 photo, 1 9 4 7 ) fr. 100 »

Tome X V .

l ADRIAENS, L . , Becherches sur la composition chimique des flacourtiacées à huile chaulmoogrique du Congo belge ( 8 7 pages, 1 9 4 6 ) 60 »

l R E S S E L E R , R . , Het droog-bewaren van microbiologische wezens en hun reactie-producten. De droogtechniek (63 biz., 1946) fr . 40 »

3. D E W I L D E M A N , E . , / . Gillet, S. J., et le Jardin d'essais de Kisantu ( 1 2 0 pages, 2 planches, 1 9 4 6 ) 75 »

4. D E W I L D E M A N , Ê . , A propos de médicaments antilépreux d'origine végétale. I V . Des Strophantus et de leur utilisation en médecine ( 7 0 pages, 1 9 4 6 ) . . fr . 45 »

5 . D U R E N , A . , Les serpents venimeux au Congo belge ( 4 5 pages, 5 planches, 1 9 4 6 ) . fr. 50 » 6 . P A S S A U , G . , Gisements sous basalte au Kivu {Congo belge) ( 2 4 pages, 2 croquis,

2 planches liors-texte, 1 9 4 6 ) fr, 30 » 7 . D U B O I S , le .D'- A., Chimiothérapie des Trgpanosomiases ( 1 6 9 pages. 1 9 4 6 ) . . fr, 100 »

Tome X V I .

1. POLINABD, E . , L e minerai de manganèse d poliai/i/e et hollandite de la haute Lulua ( 4 1 pages, 5 figures, 4 planches hors-texte, 1 9 4 6 ) fr . 60 »

2. S C H W E T Z , le D"- J . , Sur la classification et la nomenclature des Planorbidae (Pla-norbinae et Bul ininae) de l'Afrique centrale et surtout du Congo belge (91 pages, 1 9 4 7 ) fr. 60 »

3. F R A S E L L E , E . , Introduction à l'étude de l'atmosphère congolaise. La prévision du temps à longue échéance en Afrique equatoriale ( 5 4 pages, 1 9 4 7 ) . . . fr. 35 «

4. POLiNABD, E . , Cris taux de cassitérite du Kivu méridional et du Maniema ( 2 5 pages, 2 planches hors-texte) fr . 35 »

5 . D E W I L D E M A N , E . , A propos de médicaments antilépreux d'origine végétale. V I I . Sur des espèces du genre Eucalyptus L ' H É R I T I E R (en collabor.ition avec L . P Y N A E R T ) ( 1 2 3 pages, 1 9 4 7 ) f r, . 70 »

6. D E W I L D E M A N , E , A propos de médicaments antilépreux d'origine végétale. V I I I . S u r des espèces du genre Acac ia L . (en collaboration avec L . P Ï N A E R T )

( 7 7 pages, 1 9 4 7 ) tr. 50 M 7 . D A R T E V E L L E , E . et S C H W E T Z , le D"' J . , Sur l'origine des mollusques thnlassoïdes du

lac Tanganika ( 5 8 pages, 1 9 4 7 ) fr. 45 » 8 D E W I L D E M A N , E . , A propos de médicaments antilépreux d'origine végétale. I X .

Sur des espèces du genre Capsicum L . ( 5 6 pages, 1 9 4 7 ) . . . . . fr. 40 »

Tome X V I I . 1. Sf.IIV, U /,. ! . r 1): J . , lli-i hrii lirs sur //• l'aiiidisiin cndcinuiur rt Ir I'llludisiiir

r f f i ' h f.,///II !• ili!i< h' H'iini'l'i I riiji'll \\\ I r n ' c I ' . ' W , i I' -M) )> "2. I * i i L l N . M . l » . 1''.. ( un SI i( I'i'i'I i'Jhs s'lr sijslimi' dn iMiUshnri r! si y ii':t'iirs. an ^u.il

iln I ..iiijii iii'lijc, mire le Kn « ; ' ; / ' ; Ir Kul'fiiuii ''iG pa,ut-s, :; p i i i iH- tus hors-t( jx!i , I'M^ '. tr. 5.0 :)

3. W l l iiKMAV. i ; . , .1 hliiiiiis ill- iiiriiiciinriils il ii I il i-jif c t!.r lidniiinc ((•;/(/((/.<.'. .\. Qlivl,j.,r» r s j i r r i s 'ijrs ijcnrrs , \ : I H A Z 1 I I l ) n : \ / . Z . ' ' / Cai.-ia /,. , r>T l i a ^ i - - . . . f l ' 4 5

1)1-; nKMAN, r.., ,( iiroiios .ic inr'lictnni'iiis niiiiU'jiri'na' /l'origine v én étal''. \ \ \ . >i:r lirs ri'iiré<i'riliniis di-s f/cnri's ! i ; i ! ) i o t f ; ! a , O i c l i r r i s t . ' i c h y ? . Dolirlios. Fli'iMüiifi.i. ! ,(i(?si'ii!'ia. l ,oii'liiM_-:ii!'iii-. M ' i : i f i - a . I ' . i r k i a . Pentaclc ihra. Pha-. i ^ o o l i i - . I ' lMi^^a ima , l^ fora l t a. P I I I I N ai j i i i s . ' l a i i : a i i m i i i ^ , i /c lii fainillc r / c T.rriiniiiiii.siirrrs r n : - . l l a l i i i ' . M i i i i i ;n , . . - 1.. I ' v w L i r r . I l l j . i i ; . f > . lOJs . f r 75 ii

Di: Wl l i i i . M W . i:.. .! /iriiiiiis ill- //,•••;/"'•'////. , i i n l H i pmi.r il'iiri'iivr i riji'tnh:, X I I I . ,>•»?• lirs r-:j,ri'vs ilrs ',•''/)•".': Ni-i'lmn. A-) lii Icspia II i I I i 11 l.t/niii/linri'Csj. ( i iaî is . I.ii\v.M>iii!i. Mei in. N y i n p l i a c i . I M n i i i l w y o , S i i i i i a x . T iT in i iu i l i i î . T i i c l i i ' i a , Viola, ; o n f i i n a l i D i a i i d i i a \ i / F. rM\ . \ i : i iT. liiQ ) ia ; jês . 1','is . . . . . fi' 70 »

Tome X V I I I ,

1. I ) K W l M i i . . M , \ N , r... .1 /iro/iijs ,li' iiiéilicnnirnts ituli]('}irrii.v il'mi;/in r n i/i'lul r. X I V . >iir >/••» ïi ;iirsriilini!s lirs iiriirrs A L i i i ; ^ : a iü . . • \ i i n f i i r < i j > i i n . .'-(•an f.-ii-pn-. BoPi'li.i.a'. ia. IVai i 'Pa . B c y o p î i y l l u i i i . C!i!oir(>iii,«. C i i r j i o i o h i i i . C '> t i iml | i h<>r i i Dio.'-p.v I OS. l i i p u T o . - i r p i i * . i l ü l n p l i y i l i u i i . C.ln-ia.. .Synip l in i i iü . I . u ) . l i i r f i . !>: i i i l iari ia-. i fi-u c"! !,a 1» a'a i a a; a'.a'O I . , i " i \ , \ I : H T ; 'J-' |iase.-. IK'i'J . . . f r 60

i. Di; W n PKMAN. I';.. I /,roi,f!.< ilr mriiirnniriils i:ii/i!rj,rrii.r d'i>n;i!lir rri/rhili X V . Siif itrs isiirrrs lirs ijrnirs • A.U'iti.a A!l!l.2nltis, «>i!rilS. Cr-Î.asira^. C y a i l i a i a . I lii r i ia i l iac l i ia. Ba inhuMi , Klens i iay Ic ica . l.i'Onni is. . M a i i i l m i . Hibis i i i - , i»liyr . - . i : i .vii . P - s j . - n i s m i i . Iiiii,a"ih!inva. ^ i i - i g u ci T n r i i ü ü ' e n i i .I!.il i ' 'a-,if j . in a>.i',- I . l'v.\\i;i{r' .5!) pages, I'.iiO , !i Ü5 n

Ï. Ml'.I r.i:.\liiai(, J . . / / ( / ;< . , , o , , / , , , . , , ,,. ;•;:;/,,•,/,• iiriii.liioii/iir ilrs .^nl.. .hi I r n i i n i r r Has I'iiilrr (</;,./,, ir'liji ,.„ n • i in In . r a I K .11 a 'v.r I . . 1 .I.KMIhia; ,•! I ; . \ \ M HEMANS I : ; : ; J K I J ; . >. | l . - . n . - l . . - .a i ; . . a i i r ? | | . . | - . . i v . \ t i - . l ü ü i . I r 350 »

S E C T I O N D E S S C I E N C E S T E C H N I Q U E S

Tome I. i. Fo.NiAiNAs, P., I.a force motrice pour les petites entreprises coloniales '188 pages,

r:):i. . ; . , f r . 40 » l. H E L L I N C K X , I , . , Etudes sur le Copal-Congo fMénio ire c o u r o n n é au Concours annuel

i l l ; i;):-!.') l i i iias'i-.s. 7 l ' i j j l i res . | | . i . i , ' i ! . . . fr. 25 » 3. D E V R O E Y , E . , Le problème de la hiikuga. ej-utoire du lac Tanganlka (130 pages,

1-i f i g u i \ > . 1 j i i a n r l i a . IO: i -^ ' fr, 80 n i. F O M A I N A S , P , , Les exploiiations minière.^ de haute montagne ou Ruanda-Vrundi

•.'>9 p a g e s . : i l f i p u v e s . l ! i : « ; . . . . f r . 40 » 5 D E V R O E Y , E . , Installdtinns sanitaires et épuration des eaux résiduaires au Congo

lirlf/e l'.Ci p a g . s , p i f i i ; i ! r f - : . : i p l a ï a l i e . - . fr. 40 » 6. D E V R O E Y , F . , et V i M i f t i i IMIEN l i . / > ' Kiru '7C. j i a g e s . 51 f i t r u r e s . 1039! . f r 60 r

T o m s l i . 1 D E V R O E Y , E . . Le rèitaii routier au l onqo belge et au Ituanda-irundi (218 pages.

(ri f i g u r f - , J r a r t e s . . . , ' f r . 130 « î D E V R O E Y , E . . Ilnliitiilnins ciiioiiiiilrs et roiiilitiniiiiPineiit d'air sous 1rs Iropiiiurs

patres, f i e . i i i . s , :{.'. pla pelles. 10-ilP fv . 200 1) 3. T.EOiUYE, M.. Crauiis trails île ht Ccologie cl itr la Mineriiliaaiion aurifère des

régions ilr Kil'i et de Moto . ( ouiiii helyr p.ages, f i g u r e s ! : i p l a n c h e s î^iO . . . fr. 70 »

Terne I I I . 1. i-PRüNCK, l i . . Mesures iinilrorjrapliiques effectuées dans la région dirogante du

bief maUliiiie du t/ri.rr i'oiigo. Dliserr/jlioti des muiiretueiits des aUvvinns Essai de déteriiiiiialioii des drhils snlidrit 5il p a g e s , lO-U) fr. 35 »

i. liLTTE, H . . A niéiidiiriiirul li i/liro-é!erlrii/ui' roiiiiilrt lir ht Luiira a « i liutes ( nr-iiel » par réijiiliirisaliiiii ,lr ia ririrrr 'M:: p .a j jes . lu i i P a i i e l i e s , 194]i . . . fr. BO >i

. P'RViKiiOY, 1',.. ! r liassin II ajlrng ra pli ii/n r rnaiiotais. spérialrniriit rrliii du iiirt inaritiiur 17:.' p a p e S , (1 "(•'• 'neiie.-- . i ee,rUs. lï ï l l l fr. 100 >i

i D E V H O E Y , a v e e l a c o l i . i j i ó r . a t i o i - , î l e f i E lîAeKF.H, l " . . " , la rralcnienhitina sur 1rs ronftrtiriiiais an fiiiiiiu lielijr ';•'!(! p,pi:e:=. I9i-.'^ . . . fr. 90 »

7

Tome IV. 1 . D E V K O I Î Y , E . , Le béton précontraint aux Colonies. (Présentation d'un projet de

pont démontable en éléments de série préfabriqués {48 pages, 9 planches hors-texte, 1944) fr. 30 »

2. ALGRAiN, P . , Monographie des Matériels Algrain (148 pages, 92 f igures, 25 plan­ches, 4 diagrammes et 3 tableaux hors-texte, 1944) fr. 130 »

3. R O G E R , E . , La pratique du traitement électrochimique des minerais de cuivre du Katanga (68 pages, 10 planches, 1946) fr. 70 »

4. V A N D E P U T T E , M., Le Congo belge et la politique de conjoncture (129 pages, 9 dia­grammes, 1946) , . . . . . . . fr 80 »

5. D E V R O E Y , E . , Nouveaux systèmes de ponts métalliques pour les Colonies et leur influence possible sur l'évolution des transports routiers au Congo belge et au nuanda-Urundi (97 pages, 12 figures, 12 planches hors-texte, 1947) . fr. 100 »

Tome V. 1. D E V R O E Y , E . , Observations hydrographiques du bassin congolais, 1932-1947

(163 pages, 1 planche hors-texte, 1948) fr. 140 » 2 . D E V R O E Y , E . , Une mission d'information hydrographique aux Etats-Unis pour

le Congo belge (72 pages, 8 planches et 2 cartes hors texte, 1949) . . , fr. 90 » 3. D E V R O E Y , E . , A propos de la stabilisation du niveau du lac Tanganika et de

l'amélioration de la navigabilité du fleuve Congo (Bief moyen du Lualaba Kindu-Ponthierville) (135 pages, 6 planches hors-texte, 1949) . . . . fr, 205 »

4. D E V R O E Y , E . , Réflexions sur les transports congolais à la lumière d'une expérience américaine (96 pages, 1949) fr. 85 »

C O L L E C T I O N IN-4°

S E C T I O N D E S S C I E N C E S M O R A L E S E T P O L I T I Q U E S

Tome I . SCHRBESTA, le R. P. P. , Die Bambuti-Pygmaen vom Ituri (1 frontispice, xvi i i -

440 pages, 16 figures, 11 diagrammes, 32 planches, 1 carte, 1938) . . . fr. 500 »

Tome I I . 1. SCHEBESTA, le R. P. P. , Die Bambuti-Pygmâen vom. Ituri (xii-284 pages, 189figures.

5 diagrammes, 25 planches, 1941) fr. 270 » 2. ScHEBESTA, le R. P. P. , Die Banibuti-Pygmàen vom Ituri (ix-266 pages, 12 planches

hors-texte, 1948) fr . 340 »

Tome I I I . S C H U M A C H E R , le Dr P. , I . Die physische und soziale Umwelt der Kivu-Pygmaen

(Twiden) (x-,509 pages, 30 planches hors-texte, 1949) tr. 700 »

S E C T I O N D E S S C I E N C E S N A T U R E L L E S E T M E D I C A L E S

Tome I . 1. R O B Y N S , W. , Les espèces congolaises du genre Digi taria Hat i (52 pages, 6 plan­

ches, 1931) tr. 40 n t. V A N D E R Y S I , le R. P. H . , Les roches oolilhiques du système scMsto-calcareux dans

le Congo occidental ( 7 0 pages, 10 figures, 1932) fr. 40 M 'i. V A N D E R Y S I , le R. P. H . , Introduction à la pliytogéographie agrostologique de la

province Congo-Kasal. (Les formations et associations) (154 pages, 1932). fr . 65 » % SCAËTTA, H . , Les famines périodiques dans le Ruanda. — Contribution à l'étude

des aspects biologiques du phénomène (42 pages, 1 carte, 12 diagrammes, 10 planches, 1932) fr . 60 »

S . F O N T A I N A S , P . et ANSOiTE, M . , Perspectives minières de la région comprise entre le Nil, le lac Victoria et la frontière orientale du Congo belge (27 pages, 2 car­tes, 1932) fr . 20 »

i . R O B Y N S , w.. Les espèces congolaises du genre P a n i c u m L. (80 pages, 5 plan­ches, 1932) fr. 50 »

7. V A N D E R Y S T , le R . P. H . , Introduction générale à l'étude agronomique du Haut-Kasai. Les domaines, districts, régions et sous-régions géo-agronomiques du Vicariat apostolique du Ha.ut-Kasai (82 pages, 12 figures 1933) . . fr. 60 »

8

Tome I I .

1. T H 0 R E A U , J . , et DU T R I E U D E T E R D O N C K , R . , L e gîte d'uranium de SMnkolobwe-Kasolo (K(ilanga) (70 pages 17 planches, 1933) fr. 100 »

8. S C A Ï T T A , H. , Les précipitations dans le bassin du Kivu et dans les zones limi­trophes du fossé tectonique (Afrique centrale équaloriale). — Communica­tion préliminaire (108 pages, 28 figures, cartes, plans et croquis, 16 dia­

grammes, 10 planches, 1933) . . fr. I M » 3 V A N D E R Y S T ' le R . P . H . , L'élevage extensif du gros bétail par les Bampombos et

Baholos du. Congo portugais '.50 pages, 5 figures. 19:i:i) fr, 30 » 4, P O L I N A R D , E . , Le socie ancien inférieur à la série schisto-calcaire du Bas-Congo.

Son étude le long du chemin de fer de Matadi à. Léopoldvtlle (116 pages, 7 figures, S ).l,iiirhi>s. I rarie , 1034) fr, 80 »

Tome I I I .

S C A I T T A , H , , Le cliniat écologique de la dorsale Congo-Nil (335 pages, 61 diagrammes, 20 planches, 1 carte, 1934) fr . MO n

Toma IV.

1. P O L I N A R D , E . , L a géographie physique de la région du Luhtlash, de la Bushimate et de la l.uhi vers le «« parallèle Sud (38 pages, 9 figures, 4 planches, 2 car­tes, 1935 fr. 50 II

i P O L I N A R D , E . . Contribution à l'étude des roches èruptives et des schistes cristallins de la région de Bondo (42 pages, 1 carte, 2 planches. 1935) fr. 30 M

1 P O L I N A R D , E . , Constitution géologique et pétrographique des bassins de la Kotto et du M'Barl, dans la région de Brla-Yalinga (Oubangui-Chari) (160 liages, 21 figures. 3 cartes, 13 pl.inches. 19351 fr. 1M ii

Tome V.

t, ROBYNS, W., Contribution â l'élude des lormatlons herbeuses du district forestier central du Congo belge (151 pages, 3 figures, 2 cartes, 13 planches, 1936) . fr. 120 ii

t. S C A E I T A , H . , L a genèse climatique des sols montagnards de l'Afrique centrale. — Les formations végétales qui en caractérisent les stades de dégradation (351 pages. 10 planrhes, 1937) fr, 215 »

Tome V I .

I, ( l ïS iN, M., liecherctu-s géologique.^ tt pétrographiques dans Le Katanga mén dional (259 pages. 4 figures. 1 carte. 4 planches, 1937) fr . 130 »

1. R O B E R T , M , . Le si/stèmc du Kundeliiugu et le système schisto-dolomilique ( P r e m i è r e partie) (108 pages, 1940) fr, 60 »

i R O B E R T , M . , Le système du. Kundclungu et le sijstème schisto-dolomitiqne ( D e u x i è m e partie) (35 pages, 1 tableau hors-texte, 1941) fr. 25 »

4. P A S S A U , G . , L a vallée du Lualaba dans la région des Portes d'Enfer (66 pages, 1 f igure. I planche, 1943) fr. 60 n

Tome V I I .

! , P O L I N A R D , E . , Etude pétrograpliique de rentre-Liiluu-Uihilash, du parallèle 7"S0' S. à la frontière de VAngoln (120 pages, 1 figure, 2 cartes liors-texte, 1944) . fr. M n

2. R O B E R T , M . , Contribution à la géologie du Katanga. — Le système des Kibaras et le comiile.re de hase ;91 pages, 1 planche. I tableau liors-texte, 1944"i . . fr. 85 ii

3. P A S S A U , G , , Les plus belles pépites extraites des gisements aurifères de la Com­pagnie minière des Grands Lacs Africains [Province Orientale — Congo belge) (32 pages. 20 planches hors-texte. 1945) fr. 200 n

4. P O L I N A R D , E . . Conslituliou géol.Dyique du Zi'/.ss/// île la Bushiniaie entre la Mui et la Moro (Couijo belqr (50 pages, 12 planches et 1 carte hors-texte. 1949), fr, 235 n

5. M O U H E A U , .1, et 1 ..4(:Qt'E.M.4M, ( otilijccps lia CiiuijO heh/e (58 pages, 5 planches hors-texte, 1949) • fr. 210 ii

S E C T I O N D E S S C I E N C E S T E C H N I Q U E S

Tome I.

1, MAURï, J , , Triangulation du Katanga (140 pages, figure, 19,30) . . . . fr. 60 » t. A N T H O I N E , R . , Traitement des minerais aurifères d'origine filonieune au.r minfi

d'or de Kilo-Moto (163 pages. 63 croquis, 12 planches, 1933) fr. 150 ii 3, M A U R Y , J . , Trianqitlntion du Congo oriental ( 1 7 7 [tages, 4 fig,, 3 pl., 1 9 3 4 ) , , fr. 100 »

Torna I I . t. ANiHOiNE, R . , L'amalgamation des minerais à or libre à basse teneur de la mine

du mont Tsi (29 pages, 2 f igures, 2 planches, 1936) fr . 30 K s. MOLLE, A., Observations magnétiques faites à Ëlisabethville {Congo belge) pen­

dant l'année internationale polaire (120 pages, 16 f ig. , 3 pl . , 1936) . . . f r N i 3 D E H A L U , M . , et P A U W E N , L . , Laboratoire de photogrammétrie de VVniversité de

Liège. Description, théorie et usage des appareils de prises de vues, du stè-rèoplarUgraphe C, et de l'Aéromultiplex Zeiss (80 pages, 40 f ig . , 2 planches, 1938) fr. 40 »

4. T O N N E A U , R . , et C H A R P E N T I E R , J . , Etude de la récupération de l'or et des sables noirs d'un gravier alluvionnaire ( M é m o i r e c o u r o n n é au Concours annuel de 1938) (95 pages, 9 diagrammes, 1 planche, 1939) fr . 70 »

5. M A U R Y , J . . Triangulation du Bas-Congo (41 pages, 1 carte, 1939) . . . fr . 30 i

T o m a I I I . H E R M A N S , L . , Résultats des observations magnétiques effectuées de 19S4 à i938 pour

l'établissement de la carte magnétique du Congo belge (avec une introduction par M . Dehalu) :

1. Fasc icule p r é l i m i n a i r e . — Aperçu des méthodes et nomenclature des Stations (88 pages, 9 f igures, 15 planches, 1939) fr . 80 »

2. Fascicule I . — Ëlisabethville et le Katanga (15 a v r i l 1934-17 janvier 1935 et 1" octo­bre 1937-15 janvier 1938) (105 pages, 2 planches, 1941) fr . 100 »

3. Fasc icule I I . — Kivu. Ruanda. Bégion des Parcs Nationaux (20 janvier 1935-26 a v r i l 1936) (138 pages, 27 f igures, 21 planches, 1941) fr . 160 »

4. Fasc icule n i . — Bégion des Mines d'or de Kilo-Moto, Ituri, Haut-Uele (27 avr i l -16 octobre 1936) (71 pages, 9 figures, 15 planches, 1939) fr . M »

5. H E R M A N S . L . , et M O L L E , A . . Observations magnétiques faites à Ëlisabethville (Congo belge) pendant les années im-19Si (83 pages. 1941) . . fr. 80 »

Tome nr. 1. A N T H O I N E , R. , Les méthodes pratiques d'évaluation des gîtes secondaires auri­

fères appliquées dans la région de Kilo-Moto (Congo belge) (218 pages, 56 figures, planches, 1941) . fr. 150 »

2. D E G R A N D R Y , G . , Les graben africains et la recherche du pétrole en Afrique orien­tale (77 pages. 4 f igures. 1941) fr . 80 »

3. D E H A L U , M . , La gravimétrie et les anomalies de la pesanteur en Afrique orientale (80 pages. 15 figures. 1943) . fr. $0 »

4 . H E I N R I C H S , G . , Les observations magnétiques d'Ëlisabethville. Années 19S8 à 19ir> (250 pages, 6 figures, 5 planches, 1949) fr. 485 »

Tome V. 1. BR.4GARD, L . , La géodésie et la méthode gravlmétrlque (72 pages, 1949) . . . fr. 100 »

P U B L I C A T I O N S H O R S S E R I E .

Biographie Coloniale Belge. — Belgische Koloniale Biografie (t. I , xxxiv-512 pages et 2 hors texte, In-S», 1948) :

B r o c h é fr . 350 I)

R e l i é fr. 400 »

Atlas Général du Congo. — Algemene Atlas van Congo (in-4») :

R E L I U R E M O B I L E . — M O B I E L E I N B I N D I N G fr. 120 ))

Avant-propos. — Inleiding (60 pages, 1 carte hors texte, 1948) fr. 240 H

Carte des Explorations. — Kaart van de Ontdekkingsreizen ( C A M B I E R , R. ) (22 pages, 1 carte hors texte, 1948) fr. 100 »

Carte des Territoires phytogéographiques. — Kaart van de Phytogeogra-phische Streken ( R O B Y N S , W. ) (20 pages, 1 carte hors texte, 1948) . . fr . 130 a

Carte des Parcs Nationaux. — Kaart van de Nationale Parken ( R O B Y N S , W . ) (19 pages, 1 carte hors texte, 1948) fr . 130 »

-I O

BULLETIN DES SÉANCES DE L'INSTITUT ROYAL COLONIAL BELGE

Belgique. Congo belge. Union postale universelle.

Abonnement annuel. . . . fr . 180.— fr . 210.— fr. 2 2 5 . -Pr ix par fascicule . . . . fr . 75.— fr. 90.— fr. 90.—

Tome I (1929-1930) . . 608 pages Tome X I (1940) . . . . 598 pages Tome I I (1931) . . , . 694 > Tome X I I (1941) . . . . 592 . Tome I I I (1932) . . , . 680 > Tome X I I I (1942) . . . . 510 1 Tome I V (1933) . . . . 884 > Tome X I V (1943) . . . . 632 > Tome V (1934) . . . 738 . Tome X V (1944) . . . . 442 > Tome V I (1935) . . . 765 . Tome X V I (1945) . . . . 708 . Tome V U (1936) . . . . 626 . Tome X V I I (1946) . . . . 1084 " Tome V I I I (1937) . . . . 895 . Tome XVIII (1947) . . . . 948 " Tome I X (1938) . . . . 871 . Tome X I X (1948) . . 1035 « Tome X (1939) . . . . 473 •

Table décennale du Bulletin de» Séance* 19S0-19S9, p a r E . D E V R O K Ï . . fr . 80 i Tienjarige inhoudstafel van het BuUeUfn der Zittingen mo-i9S9, door

E . DEVROBï . . . . fr . 80 •

M. HAYEZ, Imprimeur de l'Acadimie royale de Belgique, rue de Louvaim, n i , Bruzellee. (Domicfle Kcal : me de Ia ChanceUerie, 4)

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