Universo de Einstein

1,0,1 que tal de unidades las elegimos

tantoloPor .observableun es no que ,por dividido

términoelen aparece sólo queNotar Universo.del

curvatura la determina que constante la es Aquí,

33

8

es,ecuación la a,relativist caso el Para

2

3

8

es,Newton de gravedad de campo elen energía La

2

2

23

00

2

2

3

00

2

!=

"+!=#

$

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$

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(

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(

kR

R

k

k

c

R

kc

R

RG

R

R

R

E

R

RG

R

R

)*

)*

&

&

k=1 ⇒ curvatura positivak=0 ⇒ universo planok=-1 ⇒ curvatura negativa

RR !=

!

&&

distancia. la a

alproporsion tedirectamen es que

atractiva) (ó repulsiva fuerza

nueva una provee que

presión de un término como Es

a.Cosmológic Constante la

, es nueva variableotra La

En el Universo relativista la distancia entre dos puntos co-móviles no es simplemente

22222 dzdydxduds ++==

Donde la distancia total se obtiene integrando a lo largo del camino. En el espacio-tiempo, el intervalo entre dos puntos es,

2222dudtcds !=

Ahora, el camino debe ser integrado en ambos, espacio y tiempo.

En un espacio en expansión la distancia espacial entre dos puntos es Rdu, donde Res la escala del tamaño del Universo en el momento de la medida. De tal forma que

La distancia entre dos puntos es,

22222duRdtcds !=

Esto es la métrica de Robertson-WalkerNotar que para la luz ds=0

El Universo puede no ser plano. En tal caso debemos modificar la métrica,

2222 dzdydxdu ++=En coordenadas

Cartesianas

En coordenadasCartesianas Esféricas

22222

2

22

2222222

sin1

entonces curvo, es espacio el Si

plano. espacio supone esto pero

sin

!"#"##

#

!"#"##

ddk

ddu

ddddu

++$

=

++=

k=1 ⇒ curvatura positiva, espacio elíptico, E<0, q>1/2k=0 ⇒ universo plano, coordenadas esféricas normalesk=-1 ⇒ curvatura negativa, espacio hiperbólico, E>0, q<1/2

Soluciones para un Universo de Friedmanncon Λ=0

3 23

00

3

00

2

2

23

00

2

6y 3

8

queda ec. la ,Euclideano es espacio el ,0 Si

.0 osConsiderem

33

8

es, Campo deEinstein deecuación primera La

tRGRR

RG

R

k

c

R

kc

R

RG

R

R

!"!"

!"

==

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'()

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3

02

0

2

23

00

2

3

4a donde

)(sinh)( )sin()(

)1(cosh)( )cos1()(

---------------------------------------

(abierto) 1 (cerrado) 1

amente,paramétric escribirla quehay

3

8

de,solución la ,0 Si

Rc

G

c

at

c

at

aRaR

kk

R

kc

R

RG

R

R

k

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######

####

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$=$=

$=$=

$==

$=%&

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'(()

*

+

&

2)cos1(

sin

es, Hubble de

parámetro el quedemostrar cerrado, oun Univers Para

TAREA

---------------------------------------

!

!

"=a

cH

Distancia propia cosmológica

Hay varias formas de medir distancias en astronomía:• Distancia Luminosa: Comparando flujo observado con emitido y

usando la ley 1/r2

• Distancia angular: Se mide el tamaño angular del objeto y secompara con el tamaño físico real.

• Distancia movimiento propio: Si conocemos la velocidad del objeto,podemos medir su distancia observado su movimiento en el cielo.

• Distancia paralajes: Midiendo el paralaje de un objeto, portrigonometría obtenemos su distancia

En cosmología, cada una de las distancias anteriorestiene una dependencia diferente con H0, q0, y z.

Calculemos la distancia propia que un haz de luz cubre en su camino de un objeto en coordenadas co-móviles u emitido en t1a un objeto en u=0 en t0. Partamos de Robertson-Walker.

2 2 2 2 2

22 2 2 2 2 2 2 2

2

22 2 2

2

sin1

Para el viaje de la luz, 0, y, ya que la luz viaja radialmente,0. Entonces R-W métrica es,

c

R1 1

ds c dt R du

dc dt R d d

k

ds

d d

d dc dt R dt

k

!! " ! " #

!

" #! !

!

= $% &

= $ + +' ($) *=

= =

% &= + =' (

$ $) *

1

0

2

1 00

2

21 3 1 330 1

2233

0 0 0

231 1

1

La distancia propia entre ( , ) y (0, ) es dada por,

c

R 13 3

Si 0, y si usamos

Recordemos la definición de redshift

(1 )

t

t u

k

u t t

ddt

k

c ck R at t t u

a a

R at tz

R tat

!

!

!=

$

= = + $ =

, -+ = = = . /

0 1

2 2 Notar límites

{ }

{ }

{ }

{ }

13

0

13

0

0

0

0

0

0

0 0 02

0 0

Con esto la solución toma la forma,3

1 1

2Si notamos que

32

1 1

usando la definición ,

21 1

Para el caso general, con 0

( 1) 2 1 1(1 )

p

p

cu t z

a

R at

cu z

R

RH

Rc

d R u zH

cd q z q q z

H q z

!

= ! +

=

= ! +

=

= = ! +

" =

# $= + ! + !% &+

&

&

&

Distancia LuminosaLa mayoría de las distancias en cosmología se basan en la ley 1/r2. Sin embargo, hay otras consideraciones que hacer para objetos adistancias cosmológicas.

El flujo de n fotones por unidad de tiempo, emitido por una fuente a redshift z, es:

)1/(

,Recordemos propia. distancia la decir, es

fotón, el recorre que distancia la es valor El

1

es, observado flujo el lado, otroPor

0

2

z

d

ddt

hnf

tiempo

energíafotones

dt

hnF

e

p

o

o

e

e

+=

!!

=

!=

!=

""

"

"

( )

( )

( )20

20

0

1t

es, extra tiempoEste recorrer.) que distancia

mayor una tendrapulso segundo(Un aumenta.

fuente lay nosotros entre distancia la que ya largos,

másmedirán se pulsos entre intervalo el Ademas,

1

i.e. lentos, más fuente la de

relojes los medimos i.e. tiempo,dedilación hay

mueve, se fuente la que ya : que Notemos

cv

cvt

cv

tt

dtdt

e

e

e

!="

!=

#

( )

( )

( )

( )

)1(

por propia

distancia lacon relaciona se luminosa distancia La

1

)1(

1

)1(

11

que, tenemos tanto,loPor

)1(

o

)1(1

1

1

1

Entonces,

22222

0

0

0

200

zdd

dz

F

dzdt

nh

ddt

nhf

dtzdt

ztcv

cvt

cv

cvttt

pL

pe

e

e

eee

+=

+=

+==

+=

+=!

+=

!

+="+

##

Distancia a partir del Diámetro Angular

Consideremos una galaxia con untamaño angular r a redshift z.En geometría euclidiana normaldistancia ∝ 1/θ. Sin embargo, enun universo relativista enexpansión esto es distinto.

Partamos de la métrica R-W.

r

θ

!"#

$%&

++'

'=

'=

22222

2

2

222

22222

sin1

()*)**

*dd

k

dRdtc

duRdtcds

Ad

r=!

Si la galaxia está en el plano del cielo, la distancia radial en ambos lados es la misma. Por lo tanto, dξ=0. De la misma forma, ya que ambos lados de la galaxia se observanal mismo tiempo, dt=0, y la separación de ambos lados es s=∫ds. Elegimos nuestro sistemade coordenadas tal que el ángulo que subtiende la galaxia es todo en θ, tal que dφ=0.Entonces,

21

00

0

0

0

222222

)1()1(

palabras, otrasEn

)1(

propia, distancia Recordemos

)1(

entonces,

)1(

de por

sustiyundoy eliminando

positiva, es que forma talde

scoordenada las elegimos si o,

!!+=+=

+=

=

+==

=+

=

!=!=

zdzdd

d

zs

uRR

R

zs

R

s

RR

z

R

R

R

s

dRduRds

LpA

p

"

#

##"

#"

"

"#

Brillo Superficial

redshift.con erápidament disminuye supercial brillo el decir, Es

)1(

entonces, , real, tamaño

al por y , de travésa ,intrínseco flujo al relaciona se

Como angular. tamañoel y observado, flujo el es donde

l,dimensiona análisisun de Partamos redshift. delfunción en

galaxia una de lsuperficia brillo el varíacomo Veamos

4

22

2

2

2

!+="=#

=#

zr

F

r

d

d

F

r

ddFf

f

f

A

L

AL $

$

$

Elemento de Volumen Cosmológico

dV

θ

2 sinLas variables y son independientes de

la cosmología. Ya que la cáscara de volumenes concéntrica con la Tierra, el radio vector, ,es la distancia de diámetro angular. Además,

escriba

dV r drd d

r

! ! "! "=

2

mos el elemento de volumen con ,

sin

notamos aquí que cambia con , hay queusar la distancia propia y no la distancia

de diámetro angular. Usamos ,Para calcular el elemento de volu

A

z

drdV r dzd d

dzr z

Rdu

! ! "=

2 2 2 2 2

men, partimos de la métrica R-W,

lo que para la luz es, Buscamos la relación entre y ,

ds c dt R du

cdt Rdu

Rdu z

= #=

r

dr Rdu=

0 0

2

0

2

0

1 1

ademas,R

(1 ) R (1 )

Esto nos queda,1

(1 )(1 )Relacionemos a . Consideremos un universo cerrado,

s

dt R Rdt dR dR dR

dR R R HRR

Rz dR dz

z

Rc c cRdu cdt dR dz dz

HR HR H zzH H

cH

a

! "! " ! "! "= = =# $# $ # $# $% &% & % &% &

= + ' = (+

= = = ( = (++

=

&

2

0

2 2

0 0

2

0 0

0

0

0 0

2

0 0

2

0

(1 cos )in sin

sin(1 cos ) (1 cos )sin

De la fórmula 2.23, (1 )sin

2 1sinademas, 2 1(1 )

sin (1 )entonces,

1

(1 ) 2 1 (1 )

2A

H

HH

zH

q z Hq z z

z H

c cdzdr Rdu dz

H z H q z zc

dV rH q

)) )

)) ))

)

)

)

(' =

( (

' = +

+= ' = + +

+

= = ( = (+ + * +

=2

0

sin1 (1 )

dzd dz z

) ) ++ * +

Los modelos de universo inflacionario explican, entre otras cosas, muy elegantemente, lahomogeneidad del fondo de micro-ondas. Este modelo implica un Universo plano, i.e. k=0.Sin embargo, la mayoría de las observaciones indican Ω<1. Más aun, si H0≈70 Km./s/Mpc,Ω=1 implica una edad de t≈9 Gyr. Estos dos argumentos, además de las observaciones deSuper Novas Ia, sugieren la existencia de una constante cosmológica.

Cosmología con Constante Cosmológica

Si hay una constante cosmológica (energía del vacío),las ecuaciones básicas para distancia y tiempo cambian un poco. Consideremos las ecuaciones

de campo de Einstein

Para tener un Universo plano, sin constante cosmológica, la densidad críticade materia debe ser,

Si Λ es distinta de cero, la densidad para un Universo plano es menor,

Ya que la densidad crítica es una cantidad no muy clara, lo quecomúnmente se hace es definir tres nuevas variables.

con

Notar que ΩM, ΩΛ y Ωk son a-dimensionales. Veamos el significadode cada término:•ΩM es la densidad de energía de la materia•ΩΛ es la densidad de energía de la constante cosmológica•Ωk densidad falsa que describe cuan distinto es el Universo de plano.Universo inflacionario Ωk =0, y ΩM + ΩΛ =1

Volviendo a la ecuación

Multiplicando por 1/H0

-

2

O, después de dividir por (R0/R)2,

Finalmente, si sustituimos por Ωk, y hacemos x= R/R0,obtenemos,

Esta ecuación describe al Universo en función de tres constantes , H0, ΩM y ΩΛ. De esto (con un poco de álgebra), se deduce q0.

Lookback time con Λ.

( )2 2

2 1

0 0

1 11 1 1 con (1 )

M

dx Rx x z

H dt x R

!"

# $ # $ # $= +% ! +% ! = = +& ' & ' & '

( ) ( )( )

Esto da,

Esto es una integral numérica, a no ser que 0 o 1M! !

" = " +" =

Si crece el denominador decrese. Esto significa que t aumenta.Lo que ayuda con el problema de la edad del universo.

!" #

Aproximadamente, la edad total del universo con es,!

donde

a

a

Notar que si 1, el senh se reemplaza por sen y sedan vuelta los signos. Notar que si 1, la ecuación es exacta.

! >

! =

Distancias Cosmológicas con Λ

Consideremos la métrica de Robertson-Walker, yLa luz viajando por un camino radial.

Arreglando términos y usando la ecuación anterionpara dz/dt, tenemos

La mano derecha de la ecuación queda,

-1

k kPara 1 (y senh ( ) para 1). Entonces, u! < ! <

Lo que da,

k(o con sen si 0.) Notar que esta ecuación no tiene solucionanalítica si 0 ó 1.

M! !

" >" # " +" #

( ) ( ) ( ){ }1

1 12 2

2 2

0

1 1 2

z

p k k Md senh z z z z dz!

"

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