L3 Metiers de l’enseignement – Mathematiques

Nicolas Prudhon

Notes de cours/TD

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Avant-propos

Voici le cours et les exercices, examens inclus, de l’enseignement de mathematiques des licencesL3, Metiers de l’enseignement, UFR SciFa. Le cours et les exercices ont une duree totale de48h. Il a ete compile a partir de documents pre-existants, notamment les feuilles de TD et lesexamens. La partie sur le cours est a peine ebauchee, et s’eloigne parfois considerablement ducours tel qu’il a ete donne. Il est cependant dans le meme esprit que le cours : faire et fairedecouvrir des mathematiques interessantes, belles, et utiles, tout en ne developpant que leminimum d’outils conceptuels, et en montrant a travers les aspects historiques de problemescelebres comment la facon que l’on a de faire et d’ecrire des mathematiques evolue au fil dessiecles, tatonnement a l’image de celle des eleves que vous rencontrerez au cours de votrecarriere d’institurice ou d’instituteur. Ce document peut etre et sera modifie et, je l’espere,ameliore au fil du temps, lui aussi. 1

La quatrieme fois que j’ai donne ce cours (en 2010-2011), et, alors elle s’achevait deja,j’ai trouve a la biliotheque du Saulcy (Cote [510 PER]), un ouvrage de Daniel Perrin,”mathematiques d’ecole, nombres mesures et geometrie” aux editions Cassini, ecrit par l’au-teur pour un cours suivant le meme objectif que ceui-ci, et selon un plan, dans sa structure etpour de nombreux developpements, identique a ce texte. Le (futur) enseignant s’y reportera,ce livre etant de toute evidence d’une grande sagesse mathematique et didactique. En parti-culier, comme le titre l’indique, le lien entre les nombres et la geometrie, est fait au moyen dela notion de grandeur (longueurs, aires, angles, volumes) en la distinguant definitivement decelle de mesure de grandeur. Cet aspect, fondamental, est presque absent de l’enseignementque je donne, n’apparaıt pas dans le texte ici (c’est a remedier), et n’est apparu lors desseances, que pour la distinction entre la notion d’angle et de sa mesure, entre celle d’aire etde surface, celle de volume et de sa mesure, mais n’est pas developpe a part entiere. Dansle livre de D. Perrin, on trouvera une discussion passionnante de la notion de grandeur ; deplus la grandeur ’aire’ est en particulier approfondie de maniere a inviter l’instituteur a unereflexion rigoureuse sur l’enseignement pratique de cette notion.

1. Derniere compilation le 13 septembre 2012

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Table des matieres

1 Cours 41.1 Nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Arithmetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Geometrie plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Geometrie dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Exercices 312.1 Nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2 Arithmetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 Geometrie plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4 Geometrie dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Examens 393.1 Decembre 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Janvier 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3 Octobre 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.4 Janvier 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.5 Novembre 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.6 Janvier 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.7 Novembre 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.8 Janvier 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.9 Novembre 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.10 Janvier 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

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1 Cours

1.1 Nombres

1.1.1 Qu’est-ce qu’un nombre ?

Les ensembles classiques de nombres sont les suivants :

N ensemble des entiers naturels. 0, 1, 2, 3,. . .

D ensembles des nombres decimaux. Ces nombres sont ceux qui n’ont qu’un nombre finide chiffres apres la virgule. Par exemple, 0.1, 14.18 ou 777.7 sont des nombres decimaux.

Z ensembles des entiers relatifs (ou entiers rationnels). Ces nombres sont entiers, maispeuvent etre negatifs. Par exemple, 0, 1, 2 mais aussi −1, −2 ou −36 sont des entiersrelatifs.

Z[ 110 ] : ensembles des decimaux relatifs. Ces nombres sont aux nombres decimaux ce-que les les

nombres entiers relatifs sont aux entiers naturels.

Q ensembles des nombres rationnels. Ce sont les classes d’ecritures pq , avec p, q ∈ Z, q 6= 0.

Si pq′ = p′q, les ecritures pq et p′

q′ designent le meme nombre rationnel. Pour cette raison,

on pense en general a un nombre rationnel pq comme au resultat de la division de p par

q (sachant que celle-ci ne se termine pas necessairement).

R ensemble des nombres reels. On peut se representer mentalement cet ensemble de deuxmaniere :Representation algebrique. Un nombre reel est un nombre a virgule, avec eventuellement

une infinite de chiffres apres la virgule, cette suite de chiffres n’obeıssant pas neces-sairement a une regle simple.

Representation geometrique. Les nombres reels sont les points d’une droite, sur laquellesont fixees une origine et une unite.

Nous avons les relations suivantes :

N ⊂ D ⊂ Z[1

10] ⊂ Q ⊂ R

N ⊂ Z ⊂ Z[1

10] Z ∩ D = N

Tous les ensembles de nombres peuvent etre construits par un raisonnement logique en par-tant de celui des entiers naturels. Il nous faut donc essayer de dire ce-qu’est un nombrenaturel. Commencons par rappeler que les termes conter et compter s’ecrivaient de la memefacon. Ainsi nous devons penser que tout denombrement raconte une histoire, une histoirede nombres. Le nombre de ces histoires est lui-meme une histoire de nombres, que racontel’arithmetique.

Definition 1 Deux collections ont le meme nombres d’elements si l’on peut former descouples a partir des ces deux collections, de sorte que les deux membres d’un couple ne pro-viennent pas de la meme collection, et que tous les objets de chacune de collections soientdans un tel couple. Un nombre est une collection abstraite, ordonnee, dite de reference, quirepresente toutes les collections ayant le meme nombre d’elements qu’elle.

Cette definition est coherente dans la mesure ou l’on verifie les proprietes suivantes :

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1. Toute collection possede le meme nombre d’elements qu’elle-meme.

2. Si les collections C et D ont le meme nombre d’elements, ainsi que les collections D etE , alors les collections C et E ont le meme nombre d’elements.

1.1.2 Comment ecrit-on les nombres ?

Apres s’etre fait une idee de ce-que sont les nombres, nous nous interessons maintenant a laquestion de savoir comment les nommer et les ecrire individuellement. Comme pour les motsdu langage courant, on utilise en general un alphabet, c’est-a-dire un ensemble de symboles,que l’on appelle alors des chiffres. Il convient alors de distinguer deux types d’ecriture desnombres : celles qui tiennent compte de la position des chiffres les uns par rapport aux autres(ecritures de position), et celle qui n’en tiennent pas compte (plus anciennes). Parmi lesecritures de position, les plus commodes sont celles pour lesquelles chaque nombre ne peuts’ecrire (et il le peut) que d’une seul maniere. C’est le cas des ecritures de position reposantsur une base de numeration.

Definition 2 Ecriture en base k.Soit k un nombre. Alors pour tout nombre n, il existe une suite unique de nombres a0, . . . , apcompris entre 0 et k − 1, telle que

n = a0 + a1 × k + a2 × k2 + · · · + ap × kp .

Il suffit donc de choisir un symbole (i.e. un chiffre) pour chaque nombre de 0 jusqu’a k−1, pourrepresenter chaque nombre entier : en notant a0 , a1 . . . le chiffre correspondant au nombrea0 , a1 , . . . le nombre n s’ecrira

ap . . . a0 , ou encore [ap . . . a0]k .

Par exemple, le nombre k s’ecrira toujours 10 en base k. Ici 0 et 1 sont les chiffres quirepresentent les nombres habituellement notes 0 et 1, respectivement.

Exemple 3 L’ecriture des nombres la plus utilisee de nos jours est l’ecriture en base 10 (dix),dite ecriture decimale. Les chiffres correspondant aux dix premiers nombres sont biensur 0, 1,2,. . . , 9. Dans ce cas, il n’est pas utile de souligner, ni d’ecrire “ dix ” en indice. Par exemple,si a, b, c, d sont des chiffres (parmi les precedents), l’ecriture abcd designe le nombre

a× 103︸ ︷︷ ︸ + b× 103︸ ︷︷ ︸ + c× 103︸ ︷︷ ︸ + d× 103︸ ︷︷ ︸a milliers + b centaines + c dizaines + d unites

Autrement dit, le chiffre a represente le nombre de milliers,. . . , et le chiffre d represente lenombre d’unites.

Exemples d’utilisation.Bases binaires. La base 2, ainsi que ces derivees comme la base 16 = 24 (hexadecimal)

ou meme 32 = 25, 64 = 26, 128 = 27, 256 = 28 , . . . sont utilisees en informatique.L’interet de telles bases en eletronique est que les deux chiffres utilises correspondentaux positions Marche/Arret d’un interrupteur, et que les tables d’additions et de mul-tiplications correspondent aux operations logiques OU et ET.

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Bases 12 et 60 (sexagesimal). La douzaine est une quantite encore utilise pour comp-ter les œufs. Une bonne raison de l’utiliser est que 12 = 3× 4, ce qui permet de rangerdes denrees dans des cartons de proportion commode, ce qui n’est pas le cas en base10 = 2×5. La base sexagesimal (60 = 12×5) est la base employee par mesurer les durees.La raison qui rend pratique cette base est que l’on peut diviser 60 par 1, 2, 3, 4, 5, 6 ennombres entiers. Ainsi, la demi-heure, le tiers d’heure, le quart-d’heure, le cinquiemed’heure et le sixieme d’heure, mais aussi les dixieme, douzieme, quinzieme, vingtiemeet trentieme d’heure, contiennent tous un nombre exacte de minutes. De meme, uneminute est aisement divisible en secondes. Pour mesurer les angles en degre, on utiliseun derive de la base sexagesimal, la base 360.La base 12 est egalement pratique pour compter sur les doigts d’une main : on se sert dupouce pour designer une des 12 phallanges des 4 autres doigts, en partant par exemplede l’index, et en allant de haut en bas. Pour obtenir une methode pour compter en base60 on utilise alors l’autre main, le pouce designant alors un des autres doigts de cettemain correspondant a un multiple de 12. Avec un peu d’entraınement, il faut moinsd’une seconde (3 combinaisons de doigts utilisant les deux mains) pour designer unnombre inferieur a 60× 60× 60 = 216 000 !

Aspects historiques.Chiffres romains. L’ecriture romaine des nombres est encore utilisee pour ecrire les

annees du calendrier sur certains batiments. Il s’agit d’une ecriture de position un peuparticuliere. Par exemple, MCMLXXVII designe l’annee 1977. Cette ecriture posent desproblemes qui sont resolus par l’utilisation des chiffres arabes. 2 Il y a essentielementdeux problemes poses par cette ecriture. Tout d’abord, il faudrait un alphabet infinipour pouvoir ecrire tous les nombres, car chaque symbole ne peut etre repete que 3 foisde suite. Le second point delicat est que certains nombres peuvent s’ecrire de plusieursfacon differentes. Par exemple, les ecritures IC et XCIX designent toutes deux le nombre99.De nombreuses civilisations, comme la civilisation egyptienne, ont utilise des systemesde numeration semblables, et le systeme romain en est une subsistance archaıque.

Calculi. En latin calculi (au sing. calculus, d’ou calcul) signifie cailloux. Les premieresfacon de compter consistaient a entasser des cailloux, ou des pieces de terre cuite, ouencore a dessiner des entailles sur des batons, en nombre egal a la quantite a denombrer.Cette methode, peu efficace, est assez proche de la definition de nombre que nous avonsvu ci-avant. On peut par exemple imaginer un berger qui, le matin met un caillou dansun sac (ou dessine une encoche sur un baton, voire trace un trait sur une ardoise), achaque brebis qui sort de l’etable. Le soir venu, lorsque le troupeau rentre a la bergerie,il lui suffit de retirer les cailloux du sac un a un (ou completer en une croix chacun destraits de l’ardoise) pour s’assurer qu’aucune brebis ne s’est egaree durant le jour.Les calculi etaient alors eventuellement regroupes en petits paquets, qui eux-memesetaient regroupes en paquets,. . . , presageant ainsi de l’apparition des systemes de nu-meration par position. On utilise encore ce principe pour compter les voies lors d’unepetite election (par exemple dans un conseil), ou les points d’un match amical de basketpar exemple. Cela est en effet plus simple d’ajouter un trait que d’effacer le score achaque nouvelle voix ou nouveau panier.

2. En fait, il s’agit de chiffres indiens ; c’est l’invention de l’algebre que l’on doit aux mathematiciens arabesdu moyen-age.

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Les symboles ci-contre representent par exemple le nombre 23.

Nous savons maintenant ecrire les nombres entiers. Pour les nombres reels, on ecrit apres lavirgule de gauche a droite le nombre de dixieme, celui des centiemes, celui des milliemes,. . . Lasignification de la virgule est assez difficile a comprendre pour les jeunes enfants. En effet,ceux-ci croient souvent que 3.14 est plus grand que 3.2 car 14 est plus grand que 2. Il y a encorequelques dizaines d’annees, certaines personnes refutaient l’existence meme des nombres reels,en disant qu’il etait absurde d’avoir une infinite de chiffres apres la virgule, cette suite dechiffres n’obeissant de plus pas forcement a une regle precise. Pour sortir de cette meprise, ilest donc bien necessaire de distinguer le nombre lui-meme (qui ne depend pas de nous), etnotre facon de l’ecrire, le plus souvent en base 10. Cette ecriture est utile a la connaissancedes nombres, et le fait qu’elle soit insuffisante pour tout savoir ne saurait remettre en causeleur existence.

1.1.3 Operations sur les nombres

Les operations classiques sur les nombres sont l’addition et la multiplication. La sous-traction et la division (par un nombre different de 0) en sont des cas speciaux. Des nombresque l’on ajoute s’appellent les termes de la somme (addition) ; tandis que les nombres quel’on multiplie s’appellent les facteur du produit (multiplication). Pour la division, on parleegalement de dividende (celui que l’on, divise), de diviseur (celui qui divise), de quotient (leresultat) et de reste (pour une division sans virgule non exacte).

Dividende 10 5 Diviseur

Reste 0 2 Quotient

Pour effectuer une multiplication, il y a plusieurs methodes.Methode par Duplication. C’est la plus ancienne. Elle consiste a proceder par duplication,

c’est-a-dire en procedant uniquement a l’aide de multiplication par 2 et par addition.Dans l’antiquite, la duplication etait consideree comme une operation a part entiere.Il est d’ailleurs interessant qu’elle est fortement lie a l’ecriture du second facteur duproduit en base 2, et d’une certaine maniere, on peut dire que nos ordinateurs actuelsutilisent encore cette methode.

Methode des jalousies. Voici un exemple : 456× 789 = 359784

4 5 6 ×7

8

9

28

35

42

32

40

48

36

45

54

11

1

1

3

5

97 8 4

La multiplication par jalousies est une technique de multiplication qui se pratiquait auMoyen Age en Chine, en Inde, chez les Arabes aussi bien qu’en Occident, et se pratiqueencore aujourd’hui en Turquie. Le nom de ”multiplication par jalousies” provient dufait que la structure des diagonales evoque le dispositif de lamelles equipant certainesfenetres orientales et appele ”jalousies”.

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Proposition 4 Les proprietes classiques des operations sont les suivantes :- l’addition et la multiplication sont associatives et commutatives

(a+ b) + c = a+ (b+ c) , (a× b)× c = a× (b× c) ;

- l’addition est distributive par rapport a la multiplication

(a+ b)× c = a× c+ b× c .

Dans cette derniere equation, il est convenu comme de coutume que la multiplication estprioritaire sur l’addition.

1.1.4 Ordre

De meme que les nombres entiers, les nombres reels sont ordonnes par la relation a ≤ b.

Theoreme 5 Soient a et b deux nombres. Alors ou bien a ≤ b ou b ≤ a.

Ce th’eoreme peut paraıtre evident, mais toutes les notions d’ordre ne sont pas aussi verticalesque celle-ci. Par exemple, si on appelle Palette un ensemble fini de couleurs, on peut definirune notion d’ordre en disant qu’une Palette P1 est plus petite qu’une Palette P2 si toutes lescouleurs de P1 sont aussi des couleurs de P2. Alors, si l’on a deux palettes quelconques, iln’est pas sur ces palettes soient comparables. Tout ce que l’on peut dire, c’est qu’il existe unetroisieme palette, qui est a la fois plus grande que les deux premieeres. Cette notion d’ordres’appelle alors un treillis. La voie hierachique au sein d’un groupe est en general un treillis,par exemple. Un autre exemple sera celui de la notion de divisibilite, etudiee au chapitre surl’arithmetique.

Ce theoreme a des consequences importantes.Applications

Segments. Entre deux nombres distincts, il y en a toujours un troisieme.En effet, si a et b, sont deux nombres distincts avec a < b, le nombre a+b

2 est comprisstrictement entre les nombres a et b. L’ensemble des nombres compris entre a et b estalors infini, comme on le voit en iterant ce procede. Cet ensemble s’appelle un intervalle(avec un qualificatif ouvert ou ferme selon que l’on inclus a et/ou b), ou encore segment,et se note [a, b] (dans le cas ferme, les crochets etant tournes dans l’autre sens en casd’exclusion de a et/ou b).

Developpement decimal. Grace a ce theoreme, le developpement decimal d’un nombrereel peut etre defini sans ambiquite. Par exemple,

3.74999 . . . = 3.75 ,

car il n’y a aucun nombre entre les deux nombres ci-dessus. Ils sont donc egaux, d’apresl’application precedente. Il est alors convenu que l’ecriture decimal d’un nombre ne peutse terminer par une infinite de chiffre 9. De cette facon l’ecriture decimale d’un nombrereel est unique.

Theoreme 6 Enoncons ce theoreme sous forme d’un exemple.

S’il y a plus de chausettes que de tiroirs,je suis oblige de ranger au moins deux chaussettes dans le meme tiroir

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Ce theoreme a biensuur une formulation plus abstraite, et porte le nom de “principe destiroirs”.

ApplicationsDescente infinie. Le principe des tiroirs a pour consequence que toute suite decroissante

de nombres entiers naturels est stationnaire a partir d’un certain rang. Autrement dit,une telle suite ne peut pas etre strictement decroissante. A titre d’exemple, montronspourquoi ceci implique l’irrationnalite de

√2. Si (pq )2 = 2, alors p est forcement pair,

donc p2 est un multiple de 4. Mais ceci implique que q est pair. Donc on peut simplifierla fraction p/q par 2. Nous obtenons alors une fraction p′

q′ , avec p′ < p par exemple, et

verifiant toujours (p′

q′ )2 = 2. Nous pouvons repeter ce raisonnement sur cette nouvelle

fraction, et ainsi de suite, pour obtenir une suite strictement decroissante de numerateursstrictement positifs. Or ceci est impossible. Nous en deduisons que

√2 est irrationnel.

Decimales d’un nombre rationnel. Nous deduisons aussi du principe des tiroirs quele developpement decimal de tout nombre rationnel est ultimement periodique

Dans la division de deux nombres entiers naturels , p par q, faite la main, supposonsque l’on soit arrive au point o l’on commence a abaisser des 0. A partir de ce moment-la,observons la suite des restes que l’on obtient : si cette suite est finie, cela signifie quele nombre se termine par une infinite de 0, ce qui est bien perodique ; si cette suite estinfinie, notons qu’elle ne prend qu’un nombre fini de valeurs car chaque reste est < q.Donc apres au plus q + 1 etapes, nous avons au moins 2 restes identitiques, d’apresle principe des tiroirs. Il en decoule que la suite de restes situes entre ces deux-ci vase repeter sans arret, et les chiffres correspondants dans le quotient vont egalement serepeter dans le meme ordre.

1.1.5 Quel est le nombre de nombres ?

Ensembles denombrables...Un ensemble (de nombres) est dit denombrable si l’on peut dresser une liste eventuellementinfinie, des nombres de cet ensemble. Par exemple, l’ensemble des entiers naturels est de-nombrable. Mais Z est aussi denombrable. Par exemple, la suite : 0, 1,−1, 2,−2, 3,−3, . . .contiendra tous les entiers relatifs exactement une fois. Plus surprenant est le fait que l’en-semble des nombres rationnels est denombrable. En effet il suffit de voir que l’ensemble descouples (p, q) ∈ N× N est denombrable. La liste est la suivante :

(0, 0), (0, 1), (1, 0), (0, 2), (1, 1), (2, 0), (0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0), . . .

...et non denombrables.Par contre, l’ensemble des nombres reels est non denombrable. Autrement dit, le ”nombre”de nombres reels est vraiment plus grand que celui des nombres entiers. C’est un infini plusgrand que l’infini des nombres entiers. Ceci sera montre dans les exercices.

Ceci appelle bien d’autres questions : quel est le nombre d’infinis ? Y a-t-il un ou des infinisentre celui des naturels ou celui des reels ? Autant de questions vertigineuses, qui montrentque meme si l’on a ici essaye de se faire une idee precise de ce qu’est un nombre, la notion denombre est loin d’avoir ete epuisee.

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Annexe : Methode de la fausse supposition

La methode dite de la fausse supposition est destinee a la resolution des problemes lineairesa deux inconnues lorsque l’on ne connaıt pas de methode algebrique (systemes d’equations).Il ne necessite donc pas de connaissance en algebre telle que la manipulation d’une equation,mais seulement un peu de raisonnement et de bon sens. Cette methode etait enseigne al’epoque du certificat d’etude, aux eleves qui n’entraient pas en classe de 6ieme et se desti-naient a un apprentissage professionnel. C’etait aussi l’epoque des problemes de trains quise croisent, de baignoire qui se remplissaient en se vidant,. . .autant de problemes sans tropd’interet qui pouvaient etre resolu par cette methode.

Neanmoins, cette methode est particulierment adaptee aux problemes d’alliages de metaux,et c’est donc aussi l’occasion de re-viser le principe d’ Archimede. Par ailleurs, cette methodese generalise a 3 inconnues ou plus, et apparaıt alors dans le domaine des mathematiques ap-pele optimisation lineaire, et est alors plus connue sous le nom de methode du simplexe. Elle estcruciale dans certains problemes strategiques (domaine militaire) ou de logistique (domaineindustriel), et fait aujourd’hui encore l’objet de nombreuses recherche en mathematiques. Pourtoutes ces raisons, et peut-etre d’aut’res, il me semble que cette methode reste d’actualite pourles professeurs des ecoles d’aujourd’hui et de demain.

Plutot qu’un long et obscure discours decrivant la methode, nous proposons ici deuxexemples, presentes sous la forme d’exercices. Le premier, tres facile, est destine a presenter leprincipe de la methode, tandis que le second, plus difficile, est le probleme d’alliage classiquepose a Archimede.

1er Exemple

Le prix d’entree d’une piscine est de 2e pour les adultes, et 1e pour les enfants. A lafin d’une journee, on constate que 150 personnes ont paye une entree, pour une recette totalede 200e.1. Quel serait la recette si les 150 personnes etaient des adultes ? (c’est la fausse supposition)2. Si l’on remplace un adulte par un enfant, de quel montant diminue la recette ?3. En deduire le nombre d’adultes et d’enfants ayant paye une entree.

Solution. 50 adultes, et 100 enfants.

2eme Exemple

Vitruve rapporte que Heron II de Syracuse aurait demande a Archimede de verifier si lacouronne qu’il avait commandee a un artisan etait en or, ou bien si celui-ci y avait mis del’argent a la place. Sachant que le roi avait donne 347, 4 g d’or a l’artisan, Archimede eutl’idee de plonger la couronne dans un bassin carre, de base 18 cm2, et constata que le niveaud’eau s’elevait alors de 1.2 cm.1. Sachant que la masse volumique de l’or est de 19.3 t/m3, qu’en a deduit Archimede ?2. Sachant par ailleurs que la masse volumique de l’argent est de 10.5 t/m3, quel est le poidsd’or qui a ete remplace par de l’argent ?

Solution.Il convient de commencer par quelques considerations de bon sens. On effectue d’abord unepetite conversion pour unifier les unites de masse et de volume. Nous obtenons alors que la

10

masse volumique de l’or est de 19.3 g/cm3 (et de meme celle de l’argent est de 10.5 g/cm3).Par ailleurs, si Heron fait appel a Archimede plutot qu’a une balance, 3 c’est que l’artisan,qu’il ait faute ou non, a rendu au roi une couronne dont le poids est egal a celui d’or qui luia ete confie. Ainsi la couronne a une masse de 347.4 g.

1. Une masse de 1 g d’or a un volume de 119.3 cm

3. Nous en deduisons qu’une couronne en orpesant 347.4 g a un volume de 347.4/19.3 cm3, soit 18 cm3. En plongeant une telle couronnedans le bassin, le niveau d’eau devrait donc monter de 1 cm. Apres Archimede, nous endeduisons donc que la couronne n’est pas compose uniquement d’or, mais egalement d’uncompose qui, pour une meme masse, occupe un volume plus grand, c’est-a-dire un materiauplus leger, ici l’argent.

2. Comme le niveau d’eau monte de 1.2 cm, le volume de la couronne est de 18× 1.2 cm3, soit21.6 cm3. Par rapport a une couronne en or (c’est la fausse supposition), le volume a doncaugmente de 3.6 cm3. Or, 1 g d’or a pour volume 1

19.3 cm3, tandis que 1 g d’argent a pour

volume 110.5 cm

3.Donc, en remplacant 1 g d’or par 1 g d’argent, le volume augmente de 1

10.5 −1

19.3 cm3.

Par proportionnalite, nous en deduisons que la masse d’or remplacee par de l’argent est :

3.61

10.5 −1

19.3

g = 118.43 g .

Ainsi, la couronne contient 118.43 g d’argent, et 347.4 g − 118.43 g d’or, soit 228.97 g d’or.

Remarque.1. Biensuur, Archimede ne connaissait pas la masse volumique de l’or et de l’argent, ni memela notion de masse volumique. Pour faire apparaıtre la fraude, il a compare les niveauxd’elevation d’eau de la couronne et d’une masse d’or egale a celle de la couronne. Il n’estdonc besoin d’aucun calcul pour se convaincre de la culpabilite de l’artisan.2. Ces deux problemes peuvent biensur etre resolus a l’aide d’un systeme d’equations. Ilest interessant de noter que, lorsque l’on resout les systemes obtenus par substitution, lesdifferentes etapes du calcul correspondent precisement aux differentes etapes du raisonne-ment effectue lors la methode de la fausse supposition.

1.2 Arithmetique

1.2.1 Divisibilite, PGCD et PPCM

Definition 7 Division euclidienne

C’est la division, avec un reste entier, de deux nombres entiers.

Soient a, b deux nombres entiers, avec b 6= 0. Alors il existe un entier q, le quotient, et unnombre entier r < b, le reste, tels que

a = bq + r .

Definition 8 Soient a, b deux nombres entiers, avecb 6= 0. Si le reste de la division euclidiennea : b est nul, alors on dit que :

3. Mais au fond, Archimede n’est-il pas lui-meme une balance ?

11

– b divise a– b est un diviseur, ou un sous-multiple, de a– a est un multiple de b

Cette relation s’ecrit alors b|a. Cela est equivalent de dire qu’il existe un nombre entier q telque a = bq.

La relation de divisibilite a|b est une relation d’ordre : en effet, si a est un multiple de b,qui lui-meme est un multiple de c, alors a est aussi un multiple de c. En outre cette relationd’ordre est plus fine que la relation habituelle a ≤ b, car si a|b, alors a ≤ b mais la reciproqueest fausse.

Le nombre 1 est un diviseur de tous les nombres differents de 0. Si a, b sont deux nombresentiers, alors a× b est un multiple de a ET de b. Donc etant donnes deux nombres non nuls,ils ont au moins un diviseur commun (1) et un multiple commun (ab).

Definition 9 Si a et b 6= 0 sont deux nombres entiers, alors ils n’ont qu’un nombre fini dediviseurs en commun. Le plus grand d’entre eux est appele ”plus grand commun diviseur dea et de b” ou pgcd de a et b. Lorsque le pgcd vaut 1, nous disons que a et b sont premiersentre eux. Si a et b sont deux nombres entiers, alors leurs multiples communs sont tous plusgrands que le maximum entre a et b. Parmi eux, il en est un qui est plus petit que tous lesautres, c’est le plus petit commun multiple de a et de b, ou pgcd de a et b.

Calcul pratique du PGCD : algorithme d’EuclideCalculons, par exemple, le pgcd de 1071 et de 1029 a l’aide de l’algorithme d’Euclide :

1071 = 1029× 1 + 421029 = 42× 24 + 21

42 = 21× 2 + 0(1)

Il faut prendre le dernier reste avant le zero, donc pgcd(1071, 1029) = 21.Application : lemme de Bezout.Soient a et b deux entiers non nuls. Alors il existe des nombres entiers x et y tels que

ax+ by = pgcd(a, b)

. Deux tels nombres peuvent etre trouves grace a l’algorithme d’Euclide (etendu).Voici un exemple :

r = = = u×a + v×b120 = 1 × 120 - 0× 23 = = 12023 = 0 × 120 + 1× 23 = = 235 = 1 × 120 - 5 × 23 = = 1 × 120 - 5 × 233 = 1 × 23 - 4 × 5 = 1×23 - 4 × (1×120 - 5×23) = -4 × 120 + 21 × 232 = 1 × 5 - 1 × 3 = (1×120 - 5×23) - 1 × (-4×120 + 21×23) = 5 × 120 - 26 × 231 = 1 × 3 - 1 × 2 = (-4×120 + 21×23) - 1 × (5×120 - 26×23) = -9 × 120 + 47 × 23

Proposition 10 Soient a et b deux nombres entiers. Appelons c le pgcd de a et b. Alors

Un nombre entier d est un diviseur de a et b si et seulement si d|c.

En effet, si d|a alors d|ax. De meme d|by. Donc d|ax+by = c. On peut egalement le voir sur l’algorithmed’Euclide.

Proposition 11 ab = pgcd(a, b)× ppcm(a, b)

12

1.2.2 Congruences

Definition 12 Soit n un nombre entier different de 0. Lorsque deux nombres entiers a et b ont lememe reste lorsque l’on divise ces nombres par n, on dit que a est congru a b modulo n, et on ecrit

a ≡ b (modn) .

Theoreme 13 (Addition et multiplication des restes.)Soient n un entier non nul, et a, b, c, et d des nombres entiers tels que a ≡ b(modn) et c ≡ d(modn).Alors

a+ c ≡ b+ d(modn) et ac ≡ bd(modn) .

Application aux regles de divisibiliteDivisibilite par 2 Un nombre est divisible par 2 si et seulement si son chiffre des unites est

divisible par 2.En effet, si u est le nombre d’unites de a, alors a−u est un multiple de 10 et est donc un multiplede 2. Donc a ≡ u (mod 2).

Divisibilite par 3 Un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres estdivisible par 3.En effet, soit a = a0 + a×10 + a2 × 102 + · · ·+ ak × 10k un nombre. On sait que 10 ≡ 1 (mod 3),et donc 10n ≡ 1n ≡ 1 (mod 3). Par la regle d’addition des restes, nous en deduisons que a ≡a0 + a1 + · · ·+ ak (mod 3).

Divisibilite par 4 Un nombre est divisible par 4 si et seulement si le nombre forme par les deuxderniers chiffres est divisible par 4.

Divisibilite par 5 Un nombre est divisible par 5 si et seulement si son chiffre des unites estdivisible par 5.

Divisibilite par 6 Un nombre est divisible par 6 si et seulement si il est divisible par 2 et par 3.Divisibilite par 8 Un nombre est divisible par 8 si et seulement si le nombre forme par les trois

derniers chiffres est divisible par 8.Divisibilite par 9 Un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est

divisible par 9.Pour le voir on fait un raisonnement analogue au cas de la division par 3.

Divisibilite par 10 Un nombre est divisible par 10 si et seulement si son chiffre des unites est 0.Divisibilite par 11 Un nombre est divisible par 11 si et seulement si la somme alternee de ses

chiffres est divisible par 11.En effet, comme 10 ≡ −1 (mod 11), on a 10k ≡ (−1)k (mod 11) pour tout entier naturel k. Soitmaintenant n = ar · · · a1a0 = a0 +a1×10+ · · ·+ar×10r un entier. Alors d’apres ce qui precede,on en conclut n ≡ a0 − a1 + a2 − · · ·+ (−1)rar (mod 11).

Divisibilite par 12 Un nombre est divisible par 12 si et seulement si il est divisible par 4 et par3.

Divisibilite par 7 Il existe plusieurs criteres.

1. A utiliser pour les petits nombres (au plus 3 chiffres).Un nombre n = k × 10 + u est divisible par 7 si et seulement si k − 2u est divisible par 7.En effet, on peut ecrire 1 = −2× 10 + 3× 7 (Bezout). Donc

−2× n ≡ k(−2× 10)− 2d ≡ k − 2d (mod 7) .

Or, comme 2 et 7 sont premiers entre eux, le nombre n est divisible par 7, si et seulementsi le nombre −2n est divisible par 7.

2. A utiliser pour les grands nombres.Soit n un nombre. On decompose n en nombres de 3 chiffres en partant de la droite. Puis,on intercale des signes + et −, en partant de la droite, en commencant par le signe −.Enfin, on effectue l’operation obtenue, pour obtenir un resultat m (qui possede beaucoup

13

moins de chiffres que n). Alors :Le nombre n est divisible par 7 si et seulement si m es divisible par 7.

1.2.3 Nombres premiers

Definition 14 Un nombre p > 1 est premier s’il ne possede pas de diviseur autre que 1 et lui-meme.

Theoreme 15 (theoreme fondamental de l’arthmetique)” Tout entier peut s’ecrire, de facon unique, comme un produit de nombre premier.”

Plus precisement, soit n > 1. Alors il existe des nombres premiers p1 < · · · < pk et des nombresentiers naturels strictement positifs n1, . . . , nk tels que

n = pn11 × · · · × p

nk

k .

De plus, cette decomposition est unique.

L’existence se montre par recurence. Pour l’unicite, on utilise le lemme de Bezout, ou bien on peutaussi utiliser une methode de descente infinie.

Exemple 161. Dresser la liste des nombres premiers inferieurs a 100.2. Le nombre 3977 = 41× 97 n’est pas premier 163057 = 412 × 97.

Il existe une infinite de nombre premiers, comme l’avaient deja remarque les mathematiciens grecsantiques. En effet, supposons en raisonnant par l’absurde qu’il n’existe qu’un nombre fini, disons k, denombres premiers. Appelons ces nombres p1, . . . , pk. Alors le nombre p1 × · · · × pk + 1 n’est divisiblepar aucun des nombres premiers. D’apres le theoreme precedent, il n’est divisible par aucun entierautre que 1 et lui-meme. Donc il est premier, et il y a donc au moins k+ 1 nombre premier, ce qui esten contradiction avec l’hypothese.Application a la simplification des fractionsPar exemple,

504

540=

23 · 32 · 722 · 33 · 5

=2 · 73 · 5

=14

15.

Application au calcul du pgcd et du ppcmPour obtenir le pgcd de deux nombres, on effectue le produit des nombres premiers qui apparaissentdans ces nombres, eleves chacun a la puissance minimale a laquelle il apparaıt.Pour obtenir le ppcm de deux nombres, on effectue le produit des nombres premiers qui apparaissentdans ces nombres, eleves chacun a la puissance maximale a laquelle il apparaıt.

1.3 Geometrie plane

Introduction : qu’est-ce-que la geometrie ?

Dans le programme de Erlangen, F. Klein donne une vision de la geometrie pour laquelle l’etudedTheseAbstract.pdfes figures geometriques est indissociables de celle des transformations qui laissentinvariantes de telles figures.

1.3.1 Figures classiques

Triangles

Dans un triangle, la somme des angles vaut toujours 180°. L’aire du triangle est donnee par

A =Base×Hauteur

2.

14

Definition 17 Un triangle ABC est dit isocele en A lorsque ses cotes AB et AC ont meme longueur.

Proposition 18 Un triangle ABC est isocele en A si et seulement si l’une des conditions suivantesest realisee.(i) Les angles B et C ont meme mesure.(ii) La hauteur issue de A, la mediane issue de A et la mediatrice du segment [BC] sont confondues.

Definition 19 Un triangle est dit equilateral lorsque ses 3 cotes ont meme longueur.

Proposition 20 Un triangle ABC est equilaeral si et seulement si l’une des conditions suivantes estrealisee.(i) Il est isocele en chacun de ses sommets.(ii) Les angles A, B et C ont meme mesure.(iii) La hauteur issue de A (resp. B, C), la mediane issue de A (resp. B,C) et la mediatrice du segment[BC] (resp. [AC], [AB]) sont confondues.

Definition 21 Un triangle ABC est dit rectangle en A lorsque la mesure de l’angle A vaut 90°. Lecote [BC] est alors appele hypothenuse.

Proposition 22 Un triangle ABC est rectangle en A si et seulement si l’une des conditions suivantesest realisee.(i) La somme des mesures des angles B et C vaut 90°.(ii) La mediane issue de A a pour longueur la moitie de celle du cote oppose.

Quadrilateres

Un quadrilatere est convexe lorsque l’on eut l’entourer avec une ficelle, et que celle-ci vient se posersur tous les cotes du quadrilatere. La meme definition est d’ailleurs possible pour tous les polygones.Dans un quadrilatere convexe, la sommme des angles vaut toujours 360°.

Definition 23 Un parallelogramme est un quadrilatere dont les diagonales se coupent en leur milieu.

Proposition 24 Le quadrilaere ABCD est un paralllogramme si et seulement si l’une des conditionssuivantes est realisee.(i) Ses cotes opposes sont paralleles(ii) Ses cotes opposes ont memes longueurs.(iii) Les cotes AB et CD (resp. BC et DA) sont parallels et ont la meme longueur.

L’aire d’un parallelogramme est donnee par

A = Cote×Hauteur ,

ou la hauteur est celle perpendiculaire au cote choisi.

Definition 25 Un parallelogramme ABCD est un rectangle lorsque ses diagonales ont la meme lon-gueur.

Proposition 26 Le quadrilaere ABCD est un rectangle si et seulement si l’une des conditions sui-vantes est realisee.(i) Le quadrilatere ABCD est un parallelogramme et il possede un angle droit(ii) Il possede 4 angles droits

Definition 27 Un parallelogramme ABCD est un losanges lorsque ses diagonales sont perpendicu-laires.

15

Proposition 28 Le quadrilaere ABCD est un losange si et seulement si l’une des conditions sui-vantes est realisee.(i) Le quadrilatere ABCD est un parallelogramme et ses 2 cotes consecutifs ont la meme longueur.(ii) Il possede 4 cotes de memes longueurs.

Definition 29 Un quadrilaere ABCD est un carre lorsqu’il est a la fois rectangle et losange, c’est-a-dire lorsque ses diagonales sont perpendiculaires et ont la meme longueurs.

En particulier, un carre possde 4 angles droits, et ses 4 cotes ont la meme longueur. Pour montrerqu’un quadrilatere est un carre, il suffit par exemple de montrer qu’il possede 3 angles droits et deuxcotes consecutifs de meme longueur.

Definition 30 Un quadrilere est un trapeze lorsqu’il possede deux cotes de la meme longueur.

L’aire du trapeze convexe est donnee par :

A =(Petite base + Grande base)× hauteur

2.

Polygones reguliers convexes

Les polygones reguliers convexes sont les polygones convexes, dont les cotes ont tous la memelongueur, et dont les angles internes ont tous la meme mesure. De maniere generale, la somme desangles d’un polygone convexe a n cotes vaut (n − 2) × 180°. Biensur le polygone regulier convexe a3 cotes est le triangle equilateral, et le le polygone regulier convexe a 4 cotes est le carre. Comme ilssont constructibles a la regle et au compas, on peut se demander ce qu’il en est des autres polygonesreguliers convexes. Tous les eleves se sont un jour amuses a tracer une rosace avec un compas, ce quirevient au meme que de construire l’hexagone regulier.

Les mathematiciens grecs, depuis au moins Py-thagore, savaient egalement construire un pentagoneregulier. Apres avoir construit un triangle d’or OA′Cen se referant a la figure 1, on procede comme in-dique ci-contre. La question de la construction desautres polygones reguliers est longtemps restee sansreponse. Nous avons le surprenant theoreme suivant,qui fait une fois de plus apparaıtre un lien subtil entrearithmetique et geometrie.

Theoreme 31 (Theoreme de Gauss-Wantzel) Un po-lygone a n cotes est constructible si et seulement si nest le produit d’une puissance de 2 et de k nombres deFermat premiers 4 tous differents.

1.3.2 Constructions a la regle et au compas

Dans ce paragraphe, il est entendu que “regle” signifie “regle non graduee”. Un construction a laregle et au compas se fait en prenant pour centre des cercles des points deja en evidence sur la figure,et leur rayon les longueurs entre deux tels points, et des droites passant par deux points egalement enevidence. Les intersections de ces droites et cercles avec ceux deja presents met en evidence de nouveaux

4. Un nombre de Fermat est un nombre de la forme 22r + 1. Pour r = 0, 1, 2, 3, 4 on obtient respectivementles nombres premiers 3, 5, 17, 257, 65537. Il a ete demontre que pour r = 5 jusqu’a r = 32, les nombres deFermat ne sont pas premiers. A partir de r = 33, personne ne sait s’il existe des nombres de Fermat premiers.

16

Plan de construction :- tracer l’arc de cercle de centre A

de rayon AC = AB tel que ˆBAC = 90° ;- le point I est le milieu du segment [AC]- le point D est tel que IB = ID ;- le point F est tel que BF = AD

Figure 1 – Construction du triangle d’or

points qui peuvent a leur tour etre utilises pour de nouveaux traces. Un question historiquementimportante est de savoir quels points l’on peut obtenir en partant de deux points distincts. Les 3 grandsproblemes de la geometrie antique (quadrature du cercle, trisection de l’angle, et duplication du cube)se ramenent tous a des cas particuliers de cette question. Le premier mathematicien a suggerer, sans ledemontrer que pour la duplication du cube, la construction a la regle est au compas seuls est impossibleest Rene Descartes. Peu a peu les mathematiciens deviennent convaincus de l’impossibilite de cesconstructions, tandis que ces problemes deviennent assez populaires, amenant de nombreux neophytesa chercher en vain de telles constructions. En 1775, l’Academie des Sciences annonce qu’elle a decide “dene plus examiner aucune solution des problemes de la duplication du cube, de la trisection de l’angle,ou de la quadrature du cercle, ni aucune machine annoncee comme un mouvement perpetuel. [...] Uneexperience de plus de soixante-dix ans a montre a l’Academie qu’aucun de ceux qui lui envoyaient dessolutions de ces problemes n’en connaissaient ni la nature ni les difficultes, qu’aucune des methodesqu’ils employaient n’auraient pu les conduire a la solution, quand meme elle serait possible. Cette longueexperience a suffi pour convaincre l’Academie du peu d’utilite qui resulterait pour les Sciences, del’examen de toutes ces pretendues solutions. D’autres considerations ont encore determine l’Academie.Il existe un bruit populaire que les Gouvernements ont promis des recompenses considerables a celuiqui parviendrait a resoudre le Probleme de la quadrature du cercle, que ce Probleme est l’objet desrecherches des Geometres les plus celebres ; sur la foi de ces bruits, une foule d’hommes beaucoup plusgrande qu’on ne le croit renonce a des occupations utiles pour se livrer a la recherche de ce Probleme,souvent sans l’entendre, et toujours sans avoir les connaissances necessaires pour en tenter la solutionavec succes : rien n’etait plus propre a les desabuser que la declaration que l’Academie a juge de devoirfaire. Plusieurs avaient le malheur de croire avoir reussi, ils se refusaient aux raisons avec lesquellesles geometres attaquaient leurs solutions, souvent ils ne pouvaient les entendre et ils finissaient parles accuser d’envie ou de mauvaise foi. Quelquefois leur opiniatrete a degenere en une veritable folie.Tout attachement opiniatre a une opinion demontree fausse, s’il s’y joint une occupation perpetuelledu meme objet, une impatience violente de la contradiction, est sans doute une veritable folie ; maison ne la regarde point comme telle, si l’opinion qui forme cette folie ne choque pas les idees connuesdes hommes, si elle n’influe pas sur la conduite de la vie, si elle ne trouble pas l’ordre de la Societe.La folie des quadrateurs n’auraient donc pour eux aucun autre inconvenient que la perte d’un tempssouvent utile a leur famille ; mais malheureusement la folie se borne rarement a un seul objet, etl’habitude de deraisonner se contracte et s’etend comme celle de raisonner juste ; c’est ce qui est arriveplus d’une fois aux quadrateurs. D’ailleurs ne pouvant se dissimuler combien il serait singulier qu’ilsfussent parvenus sans etude a des verites, que les hommes les plus celebres ont inutilement cherchees,ils se persuadent presque tous que c’est par une protection particuliere de la Providence qu’ils y sontparvenus, et il n’y a qu’un pas de cette idee a croire que toutes les combinaisons bizarres d’idees qui sepresentent a eux, sont autant d’inspirations. L’humanite exigeait donc que l’Academie, persuadee del’inutilite absolue de l’examen qu’elle aurait pu faire des solutions de la quadrature du cercle, cherchat adetruire, par une declaration publique, des opinions populaires qui ont ete funestes a plusieurs familles.”La situation est alors assez paradoxale puisque l’impossibilite de ces constructions n’est alors toujourspas demontree, mais seulement tres fortement pressentie par la communaute des mathematiciens.

17

En 1837, Pierre-Laurent Wantzel montre enfin que la duplication du cube est impossible. Pour lesdeux autres problemes, il faut attendre 1882 pour que Lindemann demontre leur impossibilite, plusd’un siecle apres la decision de l’academie. Et pourtant meme aujourd’hui, certains essaient encore ettoujours.

Voici cependant une liste de constructions possibles a la regle et aux compas, et utiles pour apprendrea raisonner juste et s’appliquer a effectuer des construtions propres et precises, bref, apprendre lageometrie.• Parallele et perpendiculaire a une droite passant par un point.

Par tout point passe une droite et une seule, parallele a une droite donnee. Cet enonce etaitconsidere comme un axiome par les mathematiciens de l’antiquite. L’autre axiome fondateur dela eometrie, qui le predede stipule que par deux points donnes, passe une et une seule droite.On montre alors que, par tout point passe une droite et une seule, perpendiculaire a une droitedonnee. La figure 2 illustre comment tracer la perpendiculaire a une droite, passant par un pointn’appartenant pas a cette droite. L’etudiant traitera en exercice le cas ou le point est situe surla droite.

•A(d) C

M

N

C1C2

A′

Plan de construction :- tracer le cercle C de centre A

de rayon assez grand ;- le cercle C coupe la droite (d) en M et N ;- tracer les cercles de meme rayonC1 de centre M et C2 de centre N ;

- les cercles C1 et C2 se coupent en A′ ;et un autre point ;

- la droite (AA′) est perpendiculairea la droite (d).

Figure 2 – Perpendiculaire a une droite passant par un point

• Mediatrice d’un segment de droite.La mediatrice d’un segment de droite est le lieu des points a egales distances des extremites dusegment. Elle est une droite, perpendiculaire au segment, et passant par son milieu.

• •A B

M

N

C C′ Plan de construction :- tracer le cercle C de centre A

de rayon assez grand ;- tracer le cercle C′ de centre B

de meme rayon que C- les cercles C et C′ se coupent en M et N- la droite (MN) est la mediatrice du segment [AB]

Figure 3 – Mediatrice d’un segment

• Bissectrices de deux droites non paralleles.On appelle bissectrice de deux droites non paralleles le lieu des points a egales distances desdeux droites. La bissectrice est alors la reunion de deux droites, perpendiculaires entre elles,passant par le point d’intersection des deux droites initiales. Souvent, on parle egalement de

18

bissectrice pour un secteur angulaire (reunion de deux demi-droites ayant la meme extremite).Cette bissectrice est alors une demi-droite.

O

x

x′

M

N

O′

Plan de construction :- tracer le cercle C de centre O- le cercle C coupe la demi-droite [Ox) en M ;- le cercle C coupe la droite [Oy) en N ;- tracer les cercles de meme rayonC1 de centre M et C2 de centre N ;

- les cercles C1 et C2 se coupent en O′ ;et un autre point ;

- la demi-droite [OO′) est la bissectricedu secteur angulaire (xOx′).

Figure 4 – Bissectrice d’un secteur angulaire

Le probleme de la trisection de l’angle est de construire par une methode analogue a celle de labissection, la trisectrice d’un secteur angulaire, c’est-a-dire, de partager un secteur angulaire entrois secteurs, dont les angles sont de mesures egales au tiers de celle de l’angle initial. Ces troissecteurs existent, mais il n’est pas possible de les construire ainsi a la regle non graduee et aucompas.

1.3.3 Transformations

Habituellement, la notion de forme la plus simple, mais qui est aussi la plus restrictive, est definieen disant que deux figures representent la meme forme ou encore qu’elles sont semblables, si l’onpeut passer de l’une a l’autre en effectuant un ou plusieurs des transformations decrites ci-apres. Cettenotion de forme est en effet assez restrictive car, par exemple pour faire reconnaıtre a un automateparmi des formes lesquelles sont des visages, il est necessaire d’utiliser d’autres transformations, plussouples, plus complexes aussi, et ne preservant plus toujours l’alignement. La notion de forme n’estdonc pas intrinseque, mais depend du groupe de transformations que l’on considere. Etudier etclasser ces groupes, sont les questions fondamentales de la geometrie, aux quels tous les problemes deformes, et plus encore de figures, se ramenent. Ceci peut paraıtre assez paradoxal : en effet, puisquel’on ne peut pas voir les transformations elles-meme, qui sont les objets primordiaux de la geometrie,on peut dire que la geometrie n’est pas une science visible. Il est peut-etre alors preferable de dire quel’on entend 5 une figure, plutot que de dire qu’on la regarde. Et pour entendre, il faut savoir ecouter...

Les transformations etudiees dans ce prargraphe preservent toutes l’alignement, le parallelismeet les mesures d’angles. Par contre, elles ne conservent pas toutes les longueurs, et l’orientation desangles. Le lecteur s’exercera en determinant pour quelles transformations cela est ou non le cas. Lestransformations peuvent toutes etre definies sans faire reference a une figure. Cependant, procederainsi nous conduirait dans des developpements assez abstraits que nous souhaitons eviter ici. Nousadopterons donc la demarche inverse, consistant a definir les transformations par leur action sur lesfigures, tout en gardant present a l’esprit que ce point de vue “a la Euclide” est celui de l’apprentissagede la geometrie, mais pas toujours celui de la logique.• Les translations.

Rappelons que les couples de points (P,Q) et (R,S) representent le meme vecteur−−→PQ =

−→RS

lorsque le quadrilatere PQSR est un parallelogramme. Si A est un point, et −→v =−−→PQ est un

vecteur represente par un couple de point (P,Q), le translate A′ = t−→v (A) du point A par la

translation de vecteur −→v est l’unique point tel que−−→AA′ =

−−→PQ. Ce point est unique d’apres le

postulat des paralleles : en effet, il est l’intersection des droites suivantes : la parallele a (PQ)passant par A, et la parallele a (PA) passant par Q. Remarquons encore que le point A′ ainsiconstruit ne depend pas du representant du vecteur −→v choisi, ce que nous admettons.

5. entendre est pris ici au sens de comprendre

19

Figure 5 – Translation

• Agrandissements et homotheties.

Agrandir une figure d’un facteur x, c’est la reproduire sur une autre feuille, en multipliant toutesles longueurs par le nombre x. L’homothetie de centre O et de rapport x, definit a partir du

point A un nouveau point A′ tel que−−→OA′ = x

−→OA. Toutes les longueurs sont alors multipliees

par x. Les aires sont elles multipliees par x2. Le point O a pour image lui-meme : il est fixe.Prise a part, l’image d’une figure par une homothetie est un agrandissement de l’image initiale.On dira qu’un agrandissement une homothetie, dont on a oublie le centre.

• Les rotations.Un rotation de centre O et d’angle oriente α, definit a partir de tout point A, un nouveau point

A′ tel que AOA′ = α. Les longueurs, les angles et leur orientation sont preserves par les rotations. Le centre de larotation est fixe.

Figure 6 – Rotation

• Symetries orthogonalesTout se passe comme avec un mirroir !

1.3.4 Cercles et angles

Theoreme 32 (Theoreme de l’angle inscrit)

20

∆

Figure 7 – Symetrie d’axe ∆

Soient un cercle de centre O, A et B deux points de ce cercle

tels que AOB ≤ 180°. Soit M un point du grand arc de cercle_

AB. Alors

AMB =1

2AOB .

Lorsque M est un point du petit arc_

AB, alors

AMB =1

2

(360°− AOB

).

En resume, l’angle AMB vaut la moitie de l’angle en O qui lui est oppose. En particulier, l’angle enM ne depend pas du point M mobile lorsque celui-ci decrit un des arcs de cercle.

Reciproquement, quatre points A,B,C et D verifiant ACB = ADB sont cocycliques, et les points

C et D sont sur le meme arc_

AB.

Une autre facon d’enoncer ce theoreme est de dire que dans un triangle ABC, dont le centre du cercle

circonscrit est O, l’angle BOC est le double de l’angle en A.

Un cas particulier est celui ou AOB = 180°, c’est-a-dire le segment [AB] est un diametre du cercle.L’angle en M est alors un angle droit. Et reciproquement, un triangle dont le centre du cercle circonsritest le milieu d’un des cotes est rectangle, et le cote en question est l’hypothenuse et le diametre ducercle circonscrit.

1.3.5 Droites remarquables dans le triangle

• MedianesA

BC I

J KG

Les medianes d’un triangle sont les droites passant par unsommet et le milieu du cote oppose Les medianes sont concou-rantes, en un point G appele centre de gravite du triangle. Cepoint est toujours interieur au triangle. Le triangle forme despieds des medianes est appele triangle median. L’homothetiede centre G et de rapport −2 transforme le triangle medianen le triangle initial.

• Hauteurs

21

A

BRC

ST

H

Les hauteurs d’un triangle sont les droites passant par unsommet et perpendiculaires au cote oppose Les hauteurssont concourantes, en un point H appele orthocentre. Cepoint est interieur au triangle si et seulement si tous sesangles internes ont une mesure inferieur a 90°. Dans untriangle rectangle en A, l’orthocentre est le point A. Sil’angle en A est superieur a 90°, alors l’orthocentre H estsitue dans le secteur angulaire ˆATS. De plus le point A

est l’othocentre du triangle BCH dont les angles sont inferieurs a 90°. Les pieds des hauteursforment un triangle appele tiangle orthique.

• Mediatrices

A

BC I

J K

O

Les mediatrices sont concourantes, en un point O,centre d’un cercle passant par les 3 sommets du tri-angle, appele cercle circonscrit au triangle. En effet,puisque l’intersection O des mediatrices des segments[AB] et [BC] verifie OA = OB et OB = OC, on a bienOA = OC, ce qui signifie que le point O est bien surla mediatrice du segment [AC], et le cercle de centreO passant par A et B passe aussi par C.

• BissectricesA

BC

Ω

Les (demi-)bissectrices des angles internes a un trianglesont concourantes en un point O′, centre du cercle ins-crit au triangle. Ce cercle est tangent interieu-rement auxcotes du triangle. Il existe 3 autres cercles tangents auxcotes du triangle, mais a l’exterieur du triangle. A titred’exercice, on pourra essayer de les construire a la regleet au compas, ce qui est possible en utilisant deux bis-sectrices des angles externes au triangle et une bissectrice

interne. Les 3 bissectrices externes ne sont pas concourantes, mais forment un triangle dont lessommets sont les 3 centres de ces 3 autres cercles.Voici encore un fait interessant qui sera demontre dans les exercices : les hauteurs du triangleABC sont les bissectrices du triangle orthique. Ceci se demontre a l’aide du theoreme de l’angleinscrit.

• Droite et cercle d’Euler

Le centre de gravite, l’orthocentre et le centre du cerclecirconstrit a un triangle sont alignes. La droite passantpar ces 3 points est appelee droite d’Euler. Cela resultede la proposition suivante, elle-meme consequence du faitque le centre de gravite est situe au tiers des medianes.

Proposition. Soit ABC un triangle, G son centre degravite, L’homothetie de centre le centre de gravite G derapport −2 transforment les mediatrices en hauteurs. Enparticulier, le centre du cercle circonscrit au triangle, esttransforme en un point qui appartient qux trois hauteurs,et celles-ci son donc concourrantes.Une autre propriete est la suivante : les milieux des cotes d’un triangle et les pieds des hauteurssont cocycliques. Autrement dit, les cercles circonscrits aux triangles medians et orthiques sontconfondus. Le cercle sur lequel sont situe ces points est appele cercle d’Euler. Ces 6 points

22

forment donc un hexagone qui est inscrit dans un cercle. Nous avons alors leTheoreme. [Theoreme de Pascal] Un hexagone est inscrit dans une conique si et seulement siles intersections des cotes opposes sont alignes.Il est alors amusant de noter que ce theoreme est equivalent a l’enonce de mecanique des fluidessuivant, plus intuitif : Les fluides incompressibles transmettent integralement et dans toutes lesdirections, les pressions qui leur sont appliquees.

Annexe : Le nombre π en geometrie

Rappelons que le nombre π est, par definition, le perimetre d’un demi-cercle de rayon 1.Quadrature du cercle Le probleme de la quadrature du cercle consiste, en n’utilisant que la reglenon-graduee et le compas, a construire, en partant d’un cercle, un carre ayant la meme aire que lecercle. Ce probleme pose des l’antiquite est interessant d’un point de vue historique car il a resiste auxmathematiciens pendant tres longtemps. Dans le papyrus Rhind (∼ 1650 av. J.-C.), le scribe Ahmes,reproduisant un texte datant d’au moins deux cent ans, proposait deja une solution approchee duprobleme ; ce qui montre que le probleme etait deja pose en ∼ 1850 av. J.-C. Finalement, on saitaujourd’hui que cette construction est impossible. La premiere etape dans l’etude de ce problemeconsiste a remarquer qu’il faut construire une longueur dont le rapport au rayon du cercle vaut

√π.

La derniere pierre de la demonstration de cette impossibilite a ete posee en 1882 (intrigante symetriedes dates) par Ferdinand von Lindemann. Il montre que le nombre π n’est solution d’aucune equationalgebrique. En utilisant alors les travaux de Wantzel qui avait montre que les nombres constructiblessont solutions d’equations algebriques bien particulieres, ceci aboutit a la conclusion.

Si π n’est donc pas une fraction, nous sommes amenes a nous poser la question de savoir commentl’approcher avec le plus de decimales exactes possibles.Fractions approchant πCommencons par une petite enigme. Il s’agit de deplacer une des allumettes pour que l’egalite suivantedevienne vraie :

| | =\/ \/ | |\/ | | |

.

La reponse est de prendre la derniere allumette, et de la poser sur les barres verticales a gauche.On obtient l’egalite π = 22

7 = 3.14....Mais cela est-il vraiment juste ? Non, biensur. On a d’ailleurs vu au paragraphe precedent que π

ne pouvait etre une fraction. Pourtant, cette fraction 227 possede une propriete tres interessante : si

l’on considere parmi toutes les fractions celles qui approchent le mieux π, on voit que pour en obtenirune meilleure que celle-ci, en augmentant progressivement le denominateur, il faut prendre la fraction333106 = 3.1415.... Pour arriver jusqu’a ce point, il nous a deja fallu tatonner un bon moment. Vientensuite assez rapidement, 355

113 = 3.141592..., puis il faut faire un saut gigantesque avant de trouvermieux :

103993

33102= 3.141592653...

Mais au fait, d’ou vient cette suite de fractions ? Et n’y a-t-il pas un moyen de la trouver plus ra-pidement ? L’idee est justement d’essayer d’ecrire π comme une fraction. Si tel est le cas, alors π et1 sont en commune mesure, comme disaient les anciens. Dans ce cas, nous pouvons appliquer l’algo-rithme d’Euclide pour trouver cette mesure. Rappelons que les premieres decimales de π peuvent etrememorisees au moyen de la phrase suivante :

Que j’ aime a faire apprendre un nombre utile aux sages3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5

23

Figure 8 – Interpretation geometrique de l’algorithme d’Euclide

Nous avons donc, en partant de cette valeur approchee de π :

π = 3.141592653

= 3 + 0.141592653 ≈ 3

= 3 +1

7.06251333535= 3 +

1

7 + 0.06251333535≈ 3 +

1

7=

22

7

= 3 +1

7 + 115.9965868786

≈ 3 +1

7 + 115

=333

106

= 3 +1

7 + 115+ 1

1+.000342481065

≈ 3 +1

7 + 115+ 1

1

=355

113

= 3 +1

7 + 115+ 1

1+ 1291.986945178

≈ 3 +1

7 + 115+ 1

1+ 1292

=103993

33102

Si l’agorithme d’Euclide s’arretait, nous aurions alors exprime π sous forme d’une fraction. Mais cela nes’arrete jamais, et nous obtiendrions, si nous partions de la vraie valeur de π pour commencer, une suitede fractions, dont les denominateurs et les numerateurs sont toujours plus grands, qui approchent demieux en mieux π, chacune de ces fractions etant toujours la meilleure possible parmi celles possedantun denominateur inferieur a celle qui vient apres. Cette propriete de meilleure approximation est (pourdire les choses rapidement) due au fait que l’algorithme d’Euclide est le meilleur possible.

1.4 Geometrie dans l’espace

1.4.1 Notions fondamentales

- Les objets fondamentaux de la geometrie dans l’epace sont : les points, les droites, et les plans.Par deux points passe une droite et une seule. Tois points sont alignes s’ils sont sur une meme droite.Par 3 points non alignes passe un plan et un seul. Cela revient a dire : par une droite et un point hors

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de cette droite, passe un plan et un seul. Dans chaque plan de l’espace, les resultats de la geometrieplane sont toujours vrais.

- Paralllisme : deux plans sont dits paralels s’ils n’ont aucun point commun. Si un plan P et unpoint A hors du plan sont donnes, il existe un unique plan passant par A et parallel au plan P . Unplan et une droite sont dits parallels lorsqu’ils n’ont aucun point commun. Dans ce cas, il existe ununique plan contenant la droite, et parallel qu plan de depart. Deux droites sont dites parallelles sielles sont contenus dans un meme plan et n’ont aucun point commun. Elles sont alors parallelle dansle plan en question, au sens de la geometrie plane. Lorsque deux droites sont parallelles, tout plancontenant l’une d’elle est parallel a la seconde.

- Orthogonalite : Une droite d et un plan P , intersectant d en A, sont orthogonaux lorsque pourtout point A′ du plan P , la droite (AA′) est perpendiculaire a la droite d dans l’unique plan qui lescontient.

1.4.2 Comment dessiner la 3D ?

En geometrie dans l’espace l’objectif des programmes est d’apprendre a voir pour apprendre acalculer et a raisonner. Cela implique un large usage de maquettes, de patrons et de representations.La representation d’un objet de l’espace est toujours ambigue puisque d’une part, une figure plane nefournit en general pas l’integralite des informations necessaires a la description de l’objet lui-meme,et que d’autre part, elle peut meme induire en erreur (un angle peut etre droit sur une representationalors qu’il ne l’est pas sur l’objet lui-meme). 6 Il existe plusieurs modes de representation parfaitementcodifies et decrits par G. Audibert dans “ la perspective cavaliere ” dont les principaux sont les vuesdu dessin industriel, les projections axonometriques, les perspectives cavalieres, l’epure en geometriedescriptive, les perspectives coniques et les projections cotees. Dans ce cours, nous ne donnerons unapercu que des perspectives cavalieres et coniques.

Perspective cavaliere

Pour representer les objets de l’espace au college et au lycee on n’utilise pas celle des representationsqui certainement donne le mieux l’illusion du vrai, comme le fait une photographie : la perspectiveconique. On utilise la plus simple des perspectives, la perspective cavaliere, qui represente un compromisentre l’illusion de la realite, la facilite d’execution et la conservation d’un certain nombre de proprietesmathematiques des objets solides qui sont representes. Elle obeit a un certain nombre de regles queles professeurs doivent avoir presentes a l’esprit, meme si elles ne sont jamais explicitees aux eleves.A cet egard les programmes sont extremement discrets : il apparaıt que, si on doit s’assurer que leseleves ont une bonne pratique des regles permettant de faire de telles representations tout expose surla perspective cavaliere semble exclu.

Soit P un plan et D une droite qui n’est ni parallele ni perpendiculaire a ce plan. On appelleperspective cavaliere la projection sur P parallelement a la direction de D, comme cela est montresur la figure 9. La representation d’un objet en perspective cavaliere est donc son image par cette

projection. Des proprietes de cette projection, on deduit les relations qui existent entre les elementscaracteristiques de l’objet lui-meme et ceux de sa representation. Ainsi,

[Al] la perspective cavaliere conserve l’alignement,[Pa] le parallelisme,[Ra] et le rapport des longueurs de deux segments paralleles ( en particulier elle conserve les

milieux ) ;

[Lo] toute figure contenue dans un plan parallle a P est representee en vraie grandeur (longueursdes segments, mesures des angles) ; ce n’est pas le cas pour les figures contenues dans des plansnon paralleles a P ;

6. http ://maths.ac-creteil.fr/spip/spip.php ?article211

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Figure 9 – Principe de la perspective cavaliere

[Ce] les cercles sont, suivant les cas, representes par des segments (s’ils sont contenus dans unplan parallele a D), des cercles (s’ils sont contenus dans un plan parallele a P ) ou des ellipses(dans les autres cas).

Ces proprietes peuvent etre mises en evidence en utilisant le lien qui existe entre representation cavaliered’un objet et son ombre sur un plan objet eclaire par le soleil.

Il est delicat de schematiser cette definition de la perspective cavaliere puisqu’on est alors amene,comme dans le dessin ci-dessous, a representer l’objet dont on veut donner une reprA©sentationcavaliA¨re, en utilisant ..une perspective cavaliA¨re. Ainsi, figure 9, le polygone abcdefgh apparaıtcomme representation cavaliere du cube ABCDEFGH, qui est lui-meme represente ici A l’aide d’uneperspective cavaliere !

Perspectives coniques a points de fuites

Le principe de la perspective conique est illustre par la figure 10. Il s’agit d’une projection centralesur un plan. Il consiste en une projection centrale, centree en un point O de l’espace cense etre l’œil dupeintre, sur un plan P ne contenant pas O, cense etre la toile sur laquelle le peintre dessine. Tous lespoints plans ne peuvent pas etre projetes : ceux du plan parallel a P passant par O sont projetes “al’infini”. Le vocabulaire de base est defini a la figure 11. Chaque famille de plans paralleles ente eux, quine sont pas paralleles a P , possde une ligne d’horizon sur P . On l’obtient en determinant l’intersectionavec P de celui qui passe par O. Les plans qui sont parallels au plan P du tableau n’ont pas de ligned’horizons. De meme chaque famille de droites parallelles entre elles, qui ne sont pas parallelles a P ,possede un point de fuite sur P . Ce point est l’intersection avec P de celle de ces droites qui passepar O. Biensur, si deux plans ne sont pas parallels, leurs lignes d’horizons s’intersecteront au point defuite de leur droite d’intersection. Ainsi tous les plans parallels a une meme droite, auront des lignesd’horizons qui seront concourantes au point de fuite de la droite en question.

Lorsque le tabelau est vertical, on dit que l’on a une perspective a 2 points de fuites. Lorsque letableau n’est pas vertical (ni horizontal, cas que l’on ne dessine jamais), le plan horizontal possedeune ligne d’horizon appele simplement horizon, et les droites verticales ont un point de fuite, qui estl’intersection de toutes les lignes d’horizon des plans verticaux. Il s’agit alors d’une perspective a 3points de fuites. Dans le cas du peintre devant un tableau pose sur un chevalet, ou encore dans le casd’une vue plongee (figure 12), ce point de fuite des droites verticales est situe en dessous de l’horizon

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Figure 10 – Principe de la perspective conique

Figure 11 – Vocabulaire de la perspective conique

(la ligne d’horizon des plans horizontaux). Dans le cas inverse ou le tableau a l’air de tomber surl’observateur, le point de fuite des droites verticales est au dessus de l’horizon. On utilise une telleperspective pour representer un haut monument, voir par exemple la figure 15, afin d’accentuer l’effetde hauteur de celui-ci.

Nous n’utiliserons pas la ligne de terre dans ce cours. Notons seulement qu’elle sert lorsque l’onveut representer de maniere tres realiste un objet en utilisant la regle pour determiner les longueurssur le dessin ( ou tableau) d’un objet physique reel. Le lecteur interesse par le dessin ou l’architecture,pourra se reporter par exemple au site internet suivant :

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http ://lesdessineux.forumactif.com/le-coin-des-astuces-et-conseils-f11/perspective-conique...On remarquera sur la figure 15 que le cube du dessous a une representation bizarre (mais juste) :

l’œil de l’observateur est au dessus de ce cube, et celui-ci devrait donc le voir en vue plongee, commedans la figure 12. Ce defaut est du au fait que la perspective conique ne correspond pas tout afait a ce qui se passe pour la vision, la retine de l’œil etant spherique. Il faudrait donc pour fairedisparaıtre ce defaut, non plus projeter l’espace sur un plan, mais bien sur une sphere, centree sur l’œilde l’observateur. Ce type de representation a ete developpe par Leonardo Da Vinci. Cela ne resoudd’ailleurs pas tout a fait le probleme, puisqu’il faut ensuite, pour obtenir un vrai dessin sur une feuille,projeter (le dessin obtenu sur) la sphere sur un plan, ce qui deformera nesessairement alors la figurespherique.

Figure 12 – Vue plongee d’un monument

1.4.3 Solides classiques

- tetradedre- pyramide- parallelepipedes : quelconques, rectangles, cubes- spheres : aire, surface, meridiens, paralleles, poles, hemispheres, ...

1.4.4 Positions relatives et Regles d’incidence

- 2 plans- 1 plan et 1 droite- 2 droites- 3 plans : livre ferme, livre ouvert, la scie, l’angle de piece, le toit de maison.

1.4.5 Solides platoniciens

A similitude pres, il existe exactement 5 polyedres reguliers convexes :- tetradedre : 4 faces qui sont des triangles equilateraux- cube : 6 faces qui sont des carres- octaedre : 8 faces qui sont des triangles equilateraux- dodecaedre : 12 faces qui sont des pentagones reguliers- icosaedre : 20 faces qui qui sont des triangles equilateraux

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Figure 13 – Les 5 polyedres reguliers convexes

Pourquoi cinq seulement ? Voici une explication tres rapide.Un polyedre regulier doit avoir le meme nombre de polygones reguliers en chacun de ses sommets. Cenombre est evidemment au minimum de 3. Le maximum dependra de l’angle du polygone regulier. Eneffet si la somme des angles au sommet atteint ou depasse 360 degres, nous obtenons un plan ou unesuperposition des faces.

Commencons donc par 3. Le polygone regulier ayant 3 cotes est le triangle equilateral, chaqueangle mesure 60 degres . Si nous en placons 3 en chaque sommet du polydre regulier, nous obtenons letetraedre regulier. Si nous placons 4 triangles equilateraux en chaque sommet du polyedre regulier, nousobtenons l’octaedre regulier. Si nous placons 5 triangles equilateraux en chaque sommet du polyedreregulier, nous obtenons l’icosaedre regulier. Et si nous essayons 6 triangles, nous avons 6×60 degres =360 degres, nous n’aurons pas de sommet pour le polyedre, c’est donc impossible.

Regardons maintenant le polygone regulier a 4 cotes, il s’agit du carre. On peut placer 3 carresen chaque sommet du polyedre regulier, nous obtenons le cube. Si nous essayons 4 carres, nous avons4× 90 degres = 360 degres, nous n’aurons pas de sommet pour le polyedre, c’est impossible.

Regardons maintenant le polygone regulier a 5 cotes, il s’agit du pentagone regulier dont chaqueangle mesure 108 degres. On peut placer 3 pentagones reguliers en chaque sommet du polyedre regulier,nous obtenons le dodecaedre. Si nous essayons 4 pentagones , nous avons 4× 108 degres = 432 degres,superieur a 360 degres, il y aura superposition, nous n’aurons pas de sommet pour le polyedre, c’estimpossible.

Regardons maintenant le polygone regulier a 6 cotes, il s’agit de l’hexagone regulier dont chaqueangle mesure 120 degres. Mais 3 × 120 degres = 360 degres, c’est impossible. Et les autres polyedresreguliers ont des angles de plus en plus grands, inutile alors de continuer.

Nous avons ainsi obtenu les cinq seuls solides parfaits de Platon. Plus precisement, nous avonsmontre que parmi les polyedres reguliers convexes, seuls cinq types de sommet sont possibles. Biensur,a chaque type de sommet ne peut correspondre qu’au plus 1 polyedre. Mais nous n’avons pas montrequ’ils existaient reellement. Cela peut surprendre celui pour qui le fait de pouvoir les voir ferait preuve.Mais il pourrait tres bien s’agir d’une illusion d’optique, les contructions de ces solides n’etant quedes constructions physiques : les inevitables approximations dans la realisation d’un tel solide pourraitnous faire croire a l’existence d’un objet solide “parfait”, alors qu’il n’en serait rien. Finalement, cessolides existent bel et bien, mais ce n’est qu’a l’aire moderne que leur existence fut montre de faconrigoureuse. Car il faut, pour montrer leur existence, les construire par la pensee, de facon rationnelle,chose que Platon et ses suivants ne semblent pas avoir envisagee. Par exemple, on peut commencerpar un developpement plan (un patron) du solide suppose, puis montrer qu’en repliant les faces lelong des arretes, ces faces viennent s’assembler de facon exacte. La seule facon que je connaisse pourconclure utilise alors le calcul. Une autre maniere de montrer leur existence est d’observer leurs trans-formations isometriques, et de montrer que ces transformations ne laissent simultanement qu’un seulobjet invariant. Cette methode ne necessite presque pas de calcul, mais est beaucoup plus abstraite.Cette methode met en evidence que la geometrie n’est pas seulement l’etude des objets geometriquesmais egalement de leurs transformations.

Platon est ne en 427 et mort en 347 avant notre ere. Il est l’un des plus grands philosophes grecs del’Antiquite, fondateur d’une Ecole, l’Academie ; ses œuvres sont ecrites sous forme de dialogues dont

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l’un des protagonistes est Socrate, et sa philosophie est l’une des premieres philosophies rationalistes.

Culture : Le probleme de la duplication du cube

Il est facile de construire,a partir d’un carre donne, un nou-veau carre dont l’aire est le double du carre initial. Il suffit dedoubler deux cotes consecutifs, qui seront alors les diagonalesdu nouveau carre. Son cote est la diagonale du carre initial.Le probleme de la duplication du cube pose la meme question,mais pour un cube. Plus precisement, il s’agit de construire lecote d’un nouveau cube, en partant du developpement plan d’unpremier cube, dont le volume est double, et ceci en n’utilisantque la regle et le compas. Autrement dit, il faut construire unelongueur dont le rapport a celle du cote du premier cube, vaut3√

2. Comme nous l’avons deja dit, cela n’est pas possible. On trouvera cependant diverses construc-tions dans la litterature, mais aucune ne peut repondre au probleme ainsi pose. Ou bien, elles sont desconstructions approchees, ou bien elles en modifient implicitement les conditions, de facon a autoriserd’autres proedes que la regle et le compas.

Ce probleme est tres ancien, et fait partie de ces trois problemes sur lesquels ont butes lesmathematiciens pendant des siecles, voire des millenaires. Eratosthene ecrit en effet au roi Ptolemee 7 :On raconte qu’un ancien auteur tragique met en scene Minos faisant preparer une tombe pour Glau-kos. Ayant appris que de chaque cote, elle avait cent pieds, il dit : ” Tu as designe certes un petitenclos pour la tombe d’un roi ; qu’il soit double ; sans detruire ses belles proportions, double donc auplus tot chaque cote de la tombe.” Il s’est visiblement trompe : en effet, si l’on double les cotes, lafigure plane devient quadruple, le solide, huit fois plus grand. Mais, meme chez les geometres, on re-cherchait de quelle maniere on pourrait doubler le solide donne en lui conservant la meme figure. Etce probleme etait appele la duplication 8 du cube ; en effet, s’etant donne un cube, ils cherchaient ale doubler. Selon la legende, Minos est fils de Zeus et d’Europe. Consequence du rapt de la secondepar le premier, deguise en taureau blanc, et qui l’emmene en Crete. La civilisation palatiale semblehistoriquement attestee des 1900 avant J.-C. ; mais le palais que l’on peut visiter aujourd’hui, mis ajour par les fouilles de Sir Arthur Evans, est plutot date de 1 700 avant J.-C. : il remplacait le premier,serieusement endommage par un tremblement de terre. Ce qui fait du probleme de la duplication ducube le plus vieux de l’humanite ! Il faut noter que ce probleme est en fait le plus souvent appelele probleme de Delos. D’ailleurs, Eratosthene poursuit sa lettre ainsi : Quelque temps apres, dit-on,certains habitants de Delos, ayant recu d’un oracle l’ordre de doubler un des autels, tomberent dansla meme hesitation. Ils envoyerent donc demander aux geometres qui etaient aupres de Platon, dansl’Academie, de trouver pour eux la solution. Ceux-ci s’y etant mis avec ardeur et cherchant a trouverdeux moyennes proportionnelles entre deux droites donnees, Archytas de Tarente, dit-on, trouva lasolution au moyen des demi-cylindres, tandis qu’Eudoxe la trouva au moyen des lignes dites courbes.Mais a tous il arriva de donner la demonstration sans qu’ils pussent la realiser effectivement et enfaire l’application pratique, a l’exception de Menechme qui y reussit un peu, d’une maniere laborieuse.

7. Source : http: //home.nordnet.fr/ ajuhel/8. Comme pour la methode par duplication 1.1.3, ce terme signifie ici doublement

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2 Exercices

2.1 Nombres

Exercice 1. Effectuer “ a la main ” les operations suivantes :

873, 439 + 25471, 28 · 2·, ·31 + ·234, 4 · 2· = 56 · 7, 42 · 7587, 28− 2347, 39 487, 29× 567, 91 2887, 28÷ 579, 31

Exercice 2. Effectuer les operations suivantes par duplication, puis avec la methode des jalousies.

528× 297 ; 1285× 2928

Exercice 3. Effectuer les conversions suivantes. Ecrire ensuite les quantites indiquees en notationscientifique dans les systemes de mesure internationaux.

1′325′274 m = km

9′875.255 mm2 = mm2

325 ha = cm2

3′257.24 hl = ml

3.785 t = dg

Exercice 4.a - Quelle est la duree ecoulee

entre 08h23 et 17h12

entre 20h14 et 12h32 le lendemain

entre le 01.02.2004 a 11h15 et maintenant

b - Combien d’heures avez-vous vecues ?

Exercice 5. Sachant que la lumiere emise par le soleil met environ 10 min pour parvenir jusqu’a nous,et que la lumiere se propage dans le vide a une vitesse voisine de 300 000 km.s−1, estimez la distanceterre-soleil.

Exercice 6. Un premier train part de la gare A a 7h36. Il roule a 150 km.h−1 et s’arrete 5 min engare B, avant de repartir dans la meme direction et a la meme vitesse vers la gare C, situee a 200 kmde la gare A. Un second train part, a 8h13 de la gare C en direction de la gare A, sans arret, a lavitesse de 200 km.h−1. Sachant que la gare B est plus pres de la gare A que de la gare C, determinerou et a quelle heure les trains vont se croiser. On proposera d’abord une methode graphique, puis unemethode algebrique (ou un raisonnement).

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Exercice 7. On dispose d’un carton de 200 cm2. Quelle quantite de liquide peut-on stocker en confec-tionnant avec ce carton des boıtes identiques et sans couvercles ? (plus difficile qu’il n’y paraıt)

Exercice 8.Montrer que le developpement decimal de tout nombre rationnel est ultimement periodique.

Exercice 9. Montrer l’ensemble des nombres rationnels, puis des nombres qui sont solutions d’equationsalgebriques, est denombrable. Montrer que l’ensemble des nombres reels n’est pas denombrable. Qu’endeduit-on ?

Exercice 10. Montrer qu’entre deux nombres distincts quelconques, il y a toujours un nombre decimal.

Exercice 11. Sachant qu’une femme possede au plus 600 000 cheveux, et que 1 500 000 parisienneshabitent Paris (et sa proche banlieu), qu’en deduit on ?

Exercice 12. Que pensez-vous de l’affirmation suivante ? Dans cette classe, deux etudiant-e-s connaissentle meme nombre d’etudiant-e-s. (On suppose que si Amandine connaıt Beatrice, alors Beatrice connaıtAmandine.)

Exercice 13. Un etudiant se preparant a un concours, decide de faire au moins un exercice parjour, mais au plus dix exercices par semaine, pour ne pas s’epuiser. Montrer que, s’il commence sapreparation suffisamment longtemps a l’avance, on peut trouver une serie de jours consecutifs durantlesquels il a resolu exactement 23 exercices.(sauf celui-ci !)

2.2 Arithmetique

Exercice 1.Quel est le nombre divisible par 3 ? 103, 206, 111, 94Quel est le nombre divisible par 9 ? 205, 628, 525, 324Quel est le nombre divisible par 2 et par 3 ? 205, 315, 261, 528Quel est le nombre divisible par 2 et par 9 ? 228, 432, 357, 422

Exercice 2.1. Determiner le chiffre x pour que 53x2 soit divisible par 9.2. Determiner le chiffre y pour que 53y4 soit divisible par 3 et par 4.

Exercice 3.Combien 15! = 1× 2× 3× · · · × 15 admet-il de diviseurs ?

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Exercice 4.1. Rechercher toutes les facons possibles d’ecrire 20 sous la forme du produit de deux entiers naturels.En deduire la liste de tous les diviseurs de 20.2. Etablir la liste de tous les diviseurs de 60, de 49, de 91 et de 97

Exercice 5Quel est le plus petit entier naturel dont les divisions euclidiennes par 8, 15, 18 et 24 ont respectivementpour restes 7, 14, 17 et 23.

Exercice 6.1. Montrer que si x et y sont des entiers naturels tels que x2 divise y2, alors x divise y. 2. Montrer que√

2 n’est pas un nombre rationnel.

Exercice 7.Montrer que si x et y sont des nombres entiers somme de deux carres, alors xy est egalement some dedeux carres.

Exercice 8. Soit n un entier naturel.Determiner les valeurs de n pour que 67n − 1 soit divisible par 15.

Exercice 9. Si on divise 4294 et 3521 par un meme entier, on obtient respectivement pour restes 10et 11. Quel est ce nombre ?

Exercice 10.1. Demontrer que le produit de trois entiers consecutifs est divisible par 6.2. En deduire que le produit de trois entiers pairs consecutifs est divisible par 48.

Exercice 11.On appelle diviseur propre d’un entier naturel tout diviseur positif de cet entier autre que 1 et lui-meme. Deux entiers naturels sont dits amicaux lorsque la somme des diviseurs propres de chacun estegale a l’autre. Montrer que 220 et 284 sont amicaux.

Exercice 12. La difference de deux entiers est 538. Si l’on divise l’un par l’autre, le quotient est 13et le reste 22. Quels sont ces deux entiers ?

Exercice 13. Determiner tous les couples d’entiers naturels dont le pgcd vat 18 et le ppcm vaut 9072.

Exercice 14.1. Un nombre est dit parfait s’il est egal a la somme de ses diviseurs autres que lui-meme. Montrer

33

que les nombres 6, 28 et 496 sont parfaits.2. Montrer que si n = 2p − 1 est premier, alors n(n + 1)/2 est un nombre parfait. Citer un nombreparfait autre que les precedents.

Exercice 15.

5416042

56 90 72 ×

Placer dans les neuf cases du tableau les nombres entiersde 1 a 9 de facon a ce que les produits de trois facteurs dechaque ligne et de chaque colonne soient egaux aux nombresindiques.

2.3 Geometrie plane

Exercice 1.

Realiser cette figure, en utilisant uniquement la regle et lecompas, sachant que les arcs interceptent les cotes d’un tri-angle equilateral, et que le bord de la figure est ”lisse”.

Exercice 2.1. ABCD est un carre, I le milieu de [CD]. Tracer le cercle(C1) de diametre [CD] et le segment [IA]. Soit T le symetriquede D par rapport a la droite (IA). Que dire des trianglesADI et ATI ? T est-il sur le cercle ? Justifier la reponse.Que dire de la droite (AT ) ?

2. La droite (IT ) coupe (BC) en K. Que dire des trianglesATK et ABK ? Calculer l’angle ˆIAK.3.A, T, I et D sont cocycliques et appartiennent au cercle(C2) de diametre [AI]. Soit O milieu de [AI] son centre. SoitM le deuxieme point d’intersection de ce cercle et de la droite(AK). Sur le cercle (C2), l’angle inscrit ˆIAM et l’angle aucentre ˆIOM interceptent l’arc IM . En deduire que ˆIOM estdroit et que (MO)//(TD).4. La droite (AT ) coupe (BC) en E. Montrer que ET = EC.5. Montrer que OMEI est un carre

34

Exercice 3.

ABCD est un carre de milieu E.BDF est un triangle equilateral.Montrer que A, E, C et F sont alignes

A

BC I

JK

P

Q

R

H

G

Exercice 4.

Hauteurs et medianes dans un triangle.Montrer que IJKP est un trapeze isoc‘ele. Montrerque I est un point de la mediatrice de [RQ].

Exercice 5.D’un triangle ABC, seuls ont survecu I milieu de [AB], J milieu de [BC] et K milieu de [CA]. Re-constituez le triangle ABC.Exercice 6.Tracer trois droites (d1), (d2) et (d3) concourantes au point G. Construire un triangle ABC dont lesdroites (d1), (d2) et (d3) sont les medianes.Indication : Placer un point I sur la droite (d3). La droite (d′2) symetrique de (d2) par rapport a Icoupe (d1) en A. Completer et justifier

Exercice 7.a. Du triangle ABC, il ne reste que le cote [AB] et l’orthocentre H. Construire le point C a la regleet au compas. Expliquer la construction.b. Du triangle, il ne reste que le triangle orthique ABC forme des pieds des hauteurs. Retrouver letriangle initial.

Exercice 8.Tracer trois droites (d1), (d2) et (d3) concourantes au point H et non perpendiculaires deux a deux.Construire un triangle ABC dont les droites (d1), (d2) et (d3) sont les hauteurs.

Exercice 9.a. Du triangle ABC, il ne reste que le cote [AB] et le point O, intersection des bissectrices. Construirele point C a la regle et au compas. Expliquer la construction.b. Tracer trois droites (d1), (d2) et (d3) concourantes au point I et non perpendiculaires deux a deux.Construire un triangle ABC dont les droites (d1), (d2) et (d3) sont les bissectrices.

Exercice 10.Tracer trois droites (d1), (d2) et (d3) concourantes au point O et non perpendiculaires deux a deux.Construire un triangle ABC dont les droites (d1), (d2) et (d3) sont les mediatrices.

35

2.4 Geometrie dans l’espace

Exercice 1. Dessiner des cubes1. Reproduire l’empilement de cubes ci-contre, en perspec-tive cavaliere2. Dessiner en pointilles les arretes cachees3. Dessiner l’empilement de cubes en perspectivesavec deux points de fuite, puis trois.

Exercice 2. Sections de tetraedresDeterminer :

1. l’intersection des plans (IJK) et (ABC)2. la section du tetraedre ABCD avec le plan (IJK)

dans les cas suivants :

BBBBBBBB

BBBBBBBB

BBBBBBBB@

@@@@@

@@@@@@

@@@@@@

D D D

A A AB B B

C C C

•I

•J

•K •I

•J•K

J est sur la face ABD

K est sur la face BCD

I

•J•K

J est sur la face ABD

K est sur la face BCD

I est sur la face ACD

Exercice 3. Construction plane . . . et explication spatiale- Tracer deux droites d et d′ non paralleles, dont le point d’intersection est situe hors de la feuille etM un point hors des droites.- Placer les points A, B sur d et A′, B′ sur d′, et un point R sur la droite (AM) de sorte que : (AA′)et (BB′) se coupent sur la feuille en Q et (MA′) coupe (RQ) en P sur la feuille.- Les droites (PB′) et (RB) se coupent en M1

Montrer que d, d′ et (M1M) sont concourantes en considerant PMM1R comme un tetraedre.

B

O

J

R

M

V

Exercice 4. Encore des cubes1. Sachant que les cubes sont identiques, et que les faces encontact sont de la meme couleur, quelle est la couleur de laface indiquee par la fleche ?

R = rouge J = jauneB = bleu O = orangeM = mauve V = vert

2. Combien y a-t-il de developpements possibles d’un cube ?3. Combien y a-t-il de facons differentes de peindre un cube avec six couleurs differentes (une couleurpar face) ?

Exercice 5.1. Dessiner les 5 solides platoniciens.

36

2. Remplir le tableau suivant ou :– F est le nombre de faces– A est le nombre d’arretes– S est le nombre de sommets

TETRAEDRE CUBE OCTAEDRE DODECAEDRE ICOSAEDRE

FAS

F-A+S

Exercice 6.Sachant qu’un cheval boit trente litres d’eau par jour, combien de chevaux peuvent s’abreuver par joura ce bassin1. lorsqu’il est plein ?2. lorsqu’il est rempli aux trois quarts de sa hauteur ?

-1.80 m

6

?

40 cm

37

Figure 14 – Persepective conique a 2 points de fuite

Figure 15 – Persepective conique a 3 points de fuite

38

3 Examens

3.1 Decembre 2007

Duree 1h30.Les calculatrices sont autorisees. Les documents ne sont pas autorises.Les exercices sont independants.Il sera tenu compte de la qualite de la redaction et de la presentation.

Exercice 1. [6 pts] Eureka !

Dans cet exercice il est demande de poser toutes les operations

Vitruve rapporte que Heron II de Syracuse aurait demande a Archimede de verifier si la couronne qu’ilavait fait faire a un artisan etait en or, ou bien si celui-ci y avait mis de l’argent a la place. Sachantque le roi avait donne 347, 4 g d’or a l’artisan, Archimede eut l’idee de plonger la couronne dans unbassin carre de 18 cm2 de cote et constata que le niveau d’eau s’elevait alors de 1.2 cm.

1. Sachant que la masse volumique de l’or est de 19.3 t/m3, qu’en a deduit Archimede ?

2. Sachant par ailleurs que la masse volumique de l’argent est de 10.5 t/m3, quel poids d’or qui a eteremplacee par de l’argent ? (question longue et difficile)

Exercice 2. [3 pts] Tableau magique

2740336

24 120 126 ×

Placer dans les neuf cases du tableau les nombres entiersde 1 a 9 de facon a ce que les produits de trois facteurs dechaque ligne et de chaque colonne soient egaux aux nombresindiques.

Exercice 3. [4 pts] Preuve par 9

1. Posez et effectuez l’operation suivante 4567× 1234.

2. Comment obtenir le reste d’une division par 9 sans poser la division ?

3. Remplir le tableau ci-contre ou

1. a est le reste de la division par 9 du nombre 4567,

2. b est le reste de la division par 9 du nombre 1234,

3. ab est le reste de la division par 9 du nombre a× b,4. r est le reste de la division par 9 du nombre 4567× 1234.

Que constate-t-on ?

4. Enoncez un principe general permettant de savoir si une multiplication est fausse. Ce principepermet-il de savoir si elle est juste ?

5. Justifiez brievement le principe precedent.

39

+A

+B

+C

Exercice 4. [3 pts] Triangle1. Les points A et B sont les sommets d’un triangle dont l’orthocentre est le point H. Construisez ala regle et au compas le troisieme sommet de ce triangle2. Expliquez et justifiez votre construction.

Exercice 5. [4 pts] QCMA chaque question, entourez la seule bonne reponse.

1. Un paralleleogramme est toujours :

(a) un carre (b) un losange(c) un rectangle (d) un trapeze isocele

2. Si un triangle ABC est isocele en A, alors

(a) ABC est rectangle en A(b) la bissectrice issue de A est perpendiculaire a (BC)(c) le centre de gravite est le centre du cercle inscrit(d) l’orthocentre est a l’interieur du triangle

3. Un losange n’est pas toujours

(a) un carre (b) un parallelogramme(c) un quadrilatere (d) un trapeze isocele

4. On ne peut pas toujours construire a la regle et au compas

(a) un carre (b) une hauteur(c) une bissectrice (d) une trisectrice

3.2 Janvier 2008

Duree : 2h.Les documents et le materiel electronique ne sont pas autorises.Ce “Questionnaire a Choix Multiples” contient 15 questions independantes. Pour chaque question, uneseule reponse est correcte. Entourez de facon visible la reponse que vous avez choise.Le bareme est le suivant :

- bonne reponse = 3 points,- mauvaise reponse = -1 point,- absence de reponse = 0 point.

40

Question 1. Quel est le nombre divisible par 2 et par 3 ?a. 2004 b. 2005d. 2006 d. 2007

Question 2. Quel est le plus petit entier qui, divisA© par 20, 36, 45, et 24, a pour reste, respective-ment 19, 35, 44, et 23 ?

a. 179 b. 224c. 719 d. 359

Question 3. Laquelle de ces affirmations est vraie ?a. Tout nombre entier est la somme de deux carres d’entiers.b. Tout nombre entier est la somme de quatre carres d’entiers.

c. Il existe 27 nombres premiers inferieurs A 100.d. 36547× 97854 = 3576273138 .

Question 4. Deux horloges sont mal synchronisees. L’une (A) fait entendre un top toutes les minutes,tandis la seconde (B) donne un top toutes les 62 secondes. Les deux horloges sont mises en marche amidi.

a. Les deux horloges sonneront en meme temps pour la premiere fois a 13h32.b. A 13h00, elles auront sonne deja 2 fois en meme temps.c. Peu apres la mise en marche, (B) sonne 16 secondes apres (A) : il est 12h07.d. Elles sonneront en meme temps a 12h31.

Question 5. Le bronze a miroir est un alliage compose principalement de cuivre et d’etain. Sa masseest composee d’au moins 60 pc de cuivre et entre 30 pc et 35 pc d’etain. La masse volumique du cuivreest de 8,92t/m3, et celle de l’etain est de 7,31 t/m3. Rappelons qu’un materiau (A) est dit plus legerqu’un materiau (B) lorsque la masse volumique de (A) est plus petite que celle de (B).

a. L’etain est plus lourd que le cuivre.

b. La masse volumique du bronze est inferieur A 9,4t/m3.c. L’etain est plus leger que le bronze.d. Le bronze est plus leger que le cuivre.

Question 6. Dans un triangle,a. le centre de gravite n’est pas toujours A l’interieur du triangle.b. les medianes se coupent en leur milieu.c. le point d’intersection des bissectrices est le centre du cercle circonscrit.d. les hauteurs sont les bissectrices du triangle orthique.

Question 7. Dans un rectangle,a. les diagonales n’ont pas toujours les memes longueurs.b. les medianes sont toujours perpendiculaires.c. les medianes ont la meme longueur.d. les diagonales sont perpendiculaires.

41

Question 8. Il n’y a qu’un seul triangle possible lorsquea. les mediatrices sont connues.b. les hauteurs sont connues.c. on ne connaıt que le centre de gravite.d. le triangle orthique est connu.

Question 9. Dans une perspective cavaliere,a. un carre peut representer un cube.b. un carre peut representer une sphere.c. une sphere pleine est representee par un disqued. un cube est represente par un losange

Question 10. Dans une perspective a point de fuite, a chaque plan est associea. une ligne d’horizon. b. un point de fuite.c. le point de non retour. d. un tour d’horizon.

Question 11. Soit ABC un triangle. Soient I le milieu du cote [BC], G le centre de gravitdu triangle,M l’intersection des mediatrices, H l’intersection des hauteurs, et O le centre du cercle circonscrit autriangle orthique.

a. Les points A, G et H sont alignes.b. Les points B, O et H sont alignes.c. Les points M, H et O sont alignes.d. Les points I, O et A sont alignes.

Question 12. Soit ABC un triangle. Soient encore G le centre de gravite du triangle, M l’intersectiondes mediatrices, H l’intersection des hauteurs, et O le centre du cercle circonscrit au triangle orthique.Appelons respectivement I, J et K les milieux des cotes [BC], [AC] et [AB]. Alors le centre du cerclecirconscrit au triangle IJK est :

a. aucun des trois suivants.b. le point O.c. le point M.d. le point H.

Question 13. Dans un parc naturel en Afrique, les zebres sont comptes tous les 5 ans. Les jumentssont reparties sur deux classes : jeunes juments (de 0 a 4 ans, dans les cinq premieres annees de vie) ;juments adultes (de 5 ans ou plus). En 1990, on a trouve la distribution suivante : 150 jeunes juments,60 juments adultes. On sait que les juments adultes ont en moyenne 1,2 poulain femelle tous les 5 anset que parmi les jeunes juments seulement 1 sur 2 a un poulain femelle dans les 5 ans qui suivent.D’autre part, au bout des 5 ans, on estime que les 1/3 des jeunes juments auront survecus tandis queseulement 1/4 des juments adultes auront survecus. En 2000, la population de juments sera environ :

a. 136 jeunes, 45 adultes b. 147 jeunes, 65 adultesc. 151 jeunes, 65 adultes d. 154 jeunes, 67 adultes

Question 14. Les figures 1 et 2 sont censees representer en perspective cavaliere l’ombre portee parle soleil dans une piece a travers une fenetre. Quelle(s) est(sont) celle(s) qui respecte(nt) les regles de

42

la perspective cavaliere ?a. La figure 1 seulement.b. La figure 2 seulement.c. Les deux figures.d. Aucune des deux.

Figure 1. Figure 2.

Question 15.

La figure ci-contre represente un cube dont les faces opposees sont decorees avecle meme motif.

a. Seul le patron no 1 est un patron du cube.b. Seuls les patrons no 1 et 3 sont des patrons du cube.c. Seul le patron no 2 n’est pas un patron du cube.d. Les patrons no 2 et 3 ne sont pas des patrons du cubes.

3.3 Octobre 2008

Duree : 2hLes calculatrices et les documents ne sont pas autorises.Les operations a effectuer dans les exercices doivent apparaıtre sur la copie.Les exercices sont independants.

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Exercice 1. [Carres modulo 8]1. Justifier l’affirmation suivante :

“ Si n est un nombre impair, alors n2 ≡ 1 (mod 8). ”

Soient trois entiers impairs a, b et c.2. Determiner le reste modulo 8 de a2 + b2 + c2 et celui de 2(ab+ ac+ bc).3. En deduire que ces deux nombres ne sont pas des carres puis que ab+ ac+ bc non plus.

Exercice 2. [Critere de divisibilite par 11]1. Justifier l’affirmation suivante :

“ Si n = 10k, alors n ≡ (−1)k (mod 11). ”

(autrement dit, 10 ≡ −1 (mod 11), 100 ≡ 1 (mod 11),...)2. Soit n un entier naturel, dont l’ecriture en base 10 est akak−1 · · · a1a0. Montrer que

n ≡ (−1)kak + · · · − a1 + a0 (mod 11) .

3. A partir de 2., enoncer une regle de divisibilite par 11, puis tester cette regle sur le nombre51234579321486.

Exercice 3. [Laiton]Le laiton est un alliage de cuivre et de zinc, en proportion variable. La masse volumique du cuivre estde 8920 kg/m3 et celle du zinc est de 7140 kg/m3.1. Quelle est la masse en g de 1 cm3 de cuivre ?2. Quelle est la masse volumique d’un laiton dont les deux tiers du volume sont du cuivre ?3. Quelle est la masse volumique d’un laiton dont 1/3 de la masse est du zinc ?4. Un laiton possede une masse volumique de 8400 kg/m3. Quel est le pourcentage du volume de cuivredans ce laiton ? Quel est le pourcentage de la masse de zinc dans ce meme laiton ?5. Vous disposez d’une bobine de fil de cuivre, mais comme elle est cassante, vous soupconnez qu’ils’agit d’un alliage en laiton. Quelle experience simple peut-elle vous permettre de le decouvrir ?

Exercice 4. [Epidemiologie]Un individu vit dans un milieu ou il est susceptible d’attraper une maladie par piqure d’insecte. Il peutetre dans l’un des trois etats suivants : immunise (I), malade (M), sain (S), c’est-a-dire non maladeet non immunise. D’un mois a l’autre, son etat peut changer selon les regles suivantes :

– etant immunise I, il peut le rester avec une probabilite 0, 9 ou passer a l’etat S avec uneprobabilite 0, 1 ;

– etant dans l’etat sain S, il peut le rester avec une probabilite 0, 5 ou passer a l’etat M avec uneprobabilite 0, 5 ;

– etant maladeM , il peut le rester avec une probabilite 0, 3, ou passer a l’etat I avec une probabilite0, 6, ou encore passer a l’etat S avec une probabilite 0.1.

On suppose que la population est compose d’un tiers de personnes dans chacun des trois etats. Quelleest, apres deux mois, la proportion de personnes malades dans la population ?

44

3.4 Janvier 2009

QCM [10 points] Les documents et le materiel electronique ne sont pas autorises.Ce “Questionnaire a Choix Multiples” contient 10 questions independantes. Pour chaque question, uneseule reponse est correcte. Entourez de facon visible la reponse que vous avez choise.Le bareme est le suivant :

- bonne reponse = 3 points,- mauvaise reponse = -1 point,- absence de reponse = 0 point.

Le nombre de points obtenus est alors divise par trois, de sorte que finalement chaque reponse justerapporte 1 point, chaque reponse fausse enleve 1/3 de point.

1. [Ensembles de Nombres]a.√

3 ∈ Qb.√11√44∈ N

c. 0.99999 . . . ∈ Qd. 1

(√5−1)×(

√5+1)

∈ N

2. [Bases]a. En base 8, le nombre 83 + 1 s’ecrit (777)8.b. Un nombre est divisible par 7 lorsque la somme de ses chiffres en base 8 est aussi divisible par 7.c. Dans une base n quelconque, on a [(1000)n]× [(1000)n] = (100000)n.d. En base 2, le nombre 83 + 1 s’ecrit (111111)2

3. [Masses et Volumes]Le plomb a une masse volumique de 11.34t/m3. L’or a une masse volumique de 19.30t/m3. Un alliagede plomb et d’or est dit plus leger qu’un autre lorsque sa masse volumique est inferieure.a. Un alliage dont la masse est constitue a 80% de plomb est plus leger qu’un alliage dont le volumeest constitue a 80% de plomb.b. Un alliage dont la masse est constitue a 80% de plomb est plus lourd qu’un alliage dont le volumeest constitue a 80% de plomb.c. Un alliage dont la masse est constitue a 80% de plomb et un alliage dont le volume est constitue a80% de plomb ont la meme masse volumique.d. On ne peut pas savoir, car cela depend des quantites en jeu.

4. [Les inconnues]Pour une resoudre un probleme avec 2 inconnues, on n’utilise jamaisa. une methode par substitution,b. une methode de fausse position,c. un systeme d’equations,d. la methode des jalousies.

5. [Les trains]Le train 1 quitte la ville A a 10H24 en direction de la ville B, situee a 140 km en roulant a la vitessede 50m/s. Le train 2 quitte la ville B 10min plus tard, et se dirige vers la ville A a la vitesse de150 km/h.a. Lorsque les trains se croisent, il est plus de 11H00.b. Lorsque les trains se croisent, le train B a parcouru plus de kilometres.c. Lorsque les trains se croisent, le train A a roule moins de 35min.d. Lorsque les trains se croisent, le train B a roule plus de 25min.

6. [Saint-Germain des Pres]Dans une universite, la note finale a un module d’enseignement de mathematiques contenant a partsegales de l’arithmetique et de la geometrie, est calculee en attribuant le coefficient 1/3 au controle

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continu, et 2/3 a l’examen final. Sachant que le controle continu ne portait que sur l’arithmetique,il faut, pour que celui-ci compte autant que la geometrie dans la note finale, que les questionsd’arithmetique dans l’examen final portent sura. 5 points.b. 6 points.c. 7 points.d. 8 points.

7. [Points remarquables du triangle]Dans un triangle, on peut affirmer que :a. le centre de gravite n’est pas toujours a l’interieur du triangle,b. l’orthocentre est a l’interieur du triangle,c. les bissectrices se croisent a l’interieur du triangled. le centre du cercle circonscrit est a l’interieur du triangle

8. [Regle et compas]Un seul des problemes suivants admet une solution ”a la regle et au compas” :a. la construction d’un polygone regulier a 17 cotesb. la duplication du cubec. la quadrature du cercled. la construction de la trisectrice d’un angle quelconque

9. [Angles et Cercles]

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est fausse ?

a. BNA = BAT ′

b. 2BMA = BOAc. BAT = MAT ′

d. AMB = BAT

10. [Tout triangle est equilateral]Considerons le raisonnement suivant :

Soit un triangle quelconque ABC dont nous tracons la bissectriceen A et la mediatrice de [BC] en H. Comme le triangle est quelconque,la mediatrice et la bissectrice ne sont pas confondues et se coupent enO. Tracons les perpendiculaires aux cotes [AB] et [AC], passant parO, ce qui nous donne respectivement les points J et K.

Premiere constatation : Les deux triangles AOJ et AOK sont egaux,puisqu’ils ont des angles egaux et une hypothenuse commune.Deuxieme constatation : Les distances OB et OC sont egales puisquele point O est sur la mediatrice.Notons R = OB = OC.

En tracant ci-contre les deux trianglesegaux AOJ et AOK, et en tracant le memesegment de longueur R, on obtient deux fi-gures totalement symetriques.

D’ou AB = AC. Nous venons de demontrer qu’un triangle quelconque est isocele. En reprenant lameme demonstration, avec une bissectrice en B, on montrerait de la meme maniere que BA = BC.Conclusion : UN TRIANGLE QUELCONQUE EST EQUILATERAL !

46

Ce raisonnement aboutissant a un resultat manifestement faux, il contient une erreur. L’erreur estque :a. le point O n’existe pas.b. le point O est a l’exterieur du triangle.c. la premiere constatation est fausse.d. la deuxieme constatation est fausse.

Exercice 1. [ 5 points ]1. Representer un empilement de deux cubes identiques l’un sur l’autre en perspective conique avec 3points de fuite en utilisant la regle seule, et en laissant apparant les traits de construction.2. Expliquer les etapes importantes de la construction.

Exercice 2. [ 5 points ]1. Soient ABCS un quadrilatere. Soient A′, B′ et C ′ des points respectivement sur (AS), (BS) et(CS). On suppose que (A′B′) coupent (AB) en P ; que (B′C ′) coupe (BC) en Q ; et que (A′C ′) coupe(AC) en R. Faire une figure illustrant la situation et faisant apparaıtre l’alignement des points P,Qet R.2. Montrer cette derniere propriete en utilisant la geometrie dans l’espace, c’est-a-dire en considerantABCS comme un tetraedre.

3.5 Novembre 2009

Exercice 1. [Arithmetique] 8 points

Pour tout entier naturel n non nul, on considere les nombres :

an = 4× 10n − 1 ; bn = 2× 10n − 1 ; cn = 2× 10n + 1 .

Partie 1.1. Calculer a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b2 et c3.2. Montrer que an et cn sont toujours divisibles par 3.(Indication. Utiliser les regles des restes.)3. Comment montrer que b3 est premier, en utilisant la liste des nombres premiers inferieurs a 100ci-desous ? On admettra par la suite que b3 est effectivement premier.

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97

4. Montrer que a2n = bn × cn. En deduire la decomposition en facteurs premiers de a6.5. Montrer que bn et cn sont premiers entre eux.(Indication. Remarquer que si d divise bn et cn, alors d divise cn − bn.)

Partie 2.On considere maintenant l’equation (E) d’inconnues les entiers relatifs x et y, suivante :

(E) : b3x+ c3y = 1 .

6. Justifier, en utilisant la question precedente, que l’equation (E) possede au moins une solution.7. En utilisant l’algorithme d’Euclide, determiner une solution particuliere de l’equation (E).8. Apres avoir resolu l’equation (F) d’inconnues les entiers relatifs x′ et y′, suivante :

(F ) : b3x′ + c3y

′ = 0 ,

resoudre l’equation (E).

47

Exercice 2. [Laiton] 6 pointsLe laiton est un alliage de cuivre et de zinc, en proportion variable. La masse volumique du cuivre estde 8920 kg/m3 et celle du zinc est de 7140 kg/m3.1. Quelle est la masse en g de 1 cm3 de cuivre ?2. Quelle est la masse volumique d’un laiton dont les deux tiers du volume sont du cuivre ?3. Quelle est la masse volumique d’un laiton dont 1/3 de la masse est du zinc ?4. Vous disposez d’une bobine de fil de cuivre, mais comme elle est cassante, vous soupconnez qu’ils’agit d’un alliage en laiton. Quelle experience simple peut-elle vous permettre de le decouvrir ?

Exercice 3. [QCM : entourez la bonne reponse] 6 points

Question 1. Lors d’un match de tennis, Hugolin a effectue 486 coups droits, 156 revers, et 39 volees.Sachant que 1 coup droit sur 9, un revers sur 6, et une volee sur 3 sont arrives dans le filet, combienHugolin a t-il envoye de balles au dessus du filet ?

a) 681 b) 93 c) 588

Question 2. Gaspard a gagne son match de tennis et paie un coup a boire a ses copains. Les boissonscoutent 1.60 euro et ses 21 copains sont presents. Gaspard n’a que 30 euros. Combien de ses copainsn’auront pas a boire ?

a) 3 b) 2 c) 1

Question 3. Il y a une fuite d’eau dans le robinet : 1 millilitre d’eau s’ecoule toutes les 6 secondes. Sion ne repare pas la fuite, quelle quantite d’eau va s’ecouler en une annee ? (1 annee = 365 jours)

a) 4256 l b) 5.156m3 c) 5.256m3

3.6 Janvier 2010

Exercice 1.Representer un cube en perspective conique avec 3 points de fuite en utilisant la regle seule, et enlaissant apparant les traits de construction, et les arretes cachees en pointilles.

Exercice 2.

Sur un cube on a trace deux diagonales. Quelle est la mesure del’angle forme par ces deux diagonales ?

Exercice 3.Deux droites (d) et (d′) se coupent en I en dehors de la feuille. Construire la bissectrice del’angle forme par les droites (d) et (d′).

Exercice 4.Soit un cercle C de diametre [AB], et M un point interieur au cercle.

Construire, a la regle non-graduee seulement, la perpendiculaire a la droite (AB) passant par M .

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Exercice 5. Peut-on recouvrir une table carree de 90 cm de cote avec 2 nappes rondes de diametre 1m ?

Exercice 6.On augmente la longueur d’un rectangle de 10% et on diminue sa largeur 10%. Quel est la poucentagede variation de sa superficie ?

Exercice 7. [Paris-Marseille]Une mouche volant a 400 km/h part de Paris a 8 heures du matin en longeant la ligne TGV. Unpremier TGV part de Paris en meme temps qu’elle a 200 km/h ; a 9 heures du matin, un autre TGVpart de Marseille a 300 km/h. La distance Paris-Marseille est de 700 km.La mouche vole le long de la ligne jusqu’a ce-qu’elle rencontre le second TVG et repart instantanementen direction du premier TGV, puis vers le second lorsqu’elle rencontre le premier, etc. Lorsque les deuxtrains se croisent la mouche meurt. Sur quelle distance a-t-elle vole ?

Exercice 8.Le point (P ) appartient a la droite d. L’image de P par la symetrie orthogonale d’axe a appartientencore a d

- si et seulement si a passe par P ;- si et seulement si a et d sont perpendiculaires ;- si et seulement si a et d sont confondudes ;- si et seulement si a passe par P ou est perpendiculaires a d ;- si et seulement si a et d sont perpendiculaires ou confondues.

3.7 Novembre 2010

Les documents et le materiel electronique ne sont pas autorises.Les cinq exercices sont independants, et peuvent etre traites dans l’ordre souhaite.

Exercice 1.Un ouvrier dispose de plaques de metal de 770cm de longueur et de 616cm de largeur. Il a recu laconsigne de decouper dans ces plaques des carres, tous identiques, les plus grands possibles, de facona ne pas avoir de pertes.a) Quelle sera la longueur du cote d’un carre ?b) Combien obtiendra-t-on de carres par plaques ?

Exercice 2.Quel est le plus petit entier qui, divise par 20, 36, 45 et 24 donne pour reste, respectivement 19, 35, 44et 24 ?

Exercice 3.David desire offrir un bouquet de fleurs a une amie. Il se rend chez la fleuriste qui dispose de differentstypes de fleurs :1. de grands gerbas a 1.50 epiece,2. de lys blancs a 2.25 epiece,3. d’oeillets royaux a 3.75 epiece,4. de statis a 6.75 epiece.David souhaite un bouquet compose de 2 varietes de fleurs et son budget est d’exactement 30 e.Combien de bouquets differents la fleuriste peut-elle lui proposer ?

Exercice 4.Le plomb a une masse volumique de 11.34t/m3. L’or a une masse volumique de 19.30t/m3. Un alliage

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de plomb et d’or est dit plus leger qu’un autre lorsque sa masse volumique est inferieure.Dites, pour chacune des affirmations suivantes, si elle est vraie ou non, en justifiant votre reponse.a. Un alliage dont la masse est constitue a 80% de plomb est plus leger qu’un alliage dont le volumeest constitue a 80% de plomb.b. Un alliage dont la masse est constitue a 80% de plomb est plus lourd qu’un alliage dont le volumeest constitue a 80% de plomb.c. Un alliage dont la masse est constitue a 80% de plomb et un alliage dont le volume est constitue a80% de plomb ont la meme masse volumique.

Exercice 5. [Critere de divisibilite par 11]1. Justifier l’affirmation suivante :

“ Si n = 10k, alors n ≡ (−1)k (mod 11). ”

(autrement dit, 10 ≡ −1 (mod 11), 100 ≡ 1 (mod 11),...)2. Soit n un entier naturel, dont l’ecriture en base 10 est akak−1 · · · a1a0. Montrer que

n ≡ (−1)kak + · · · − a1 + a0 (mod 11) .

3. Enoncer une regle de divisibilite par 11, puis tester cette regle sur le nombre 51234579321486.4. Enoncer une regle (preuve par 11) pour tester le resultat d’une multiplication en considerant lesfacteurs et le produit modulo 11. Determiner si la multiplication suivante obtenue par un eleve estjuste, sans la poser :

36547× 97854 = 3575370138 .

5. [Hors bareme] Que permet de dire la preuve par 9 sur la multiplication precedente ?

3.8 Janvier 2011

Les documents et le materiel electronique ne sont pas autorises.

Exercice 1.Demontrer le theoreme suivant. (On pourra se referer a la figure 16)

Theoreme de Desargues. On considere trois droites non coplanaires, concourantes en un point O.Sur chacune de ces droites, on prend deux points A,A′;B,B′;C,C ′, distincts de O. On suppose queles droites(BC) et (B′C ′) (resp. (AC) et (A′C ′), resp. (AB) et (A′B′)) se coupent en U (resp. V ,resp. W ). Alors, les points U, V et W sont alignes.

Exercice 2.

On considere un tetradedre ABCD. On se donne troispoints M,N et P situes respectivement sur les aretes [AB],[AC] et [AD] comme sur la figure ci-contre. Construire l’in-tersection du plan (MNP ) avec l’arete [BD].

Exercice 3.Le but de cet exercice est de construire une triangle ABC,connaissant le point A et les demi-droites [Ab) et [Ac) quiporteront respectivement les cotes [AB] et [AC]. Les ques-tions sont alors independantes.

1. Construire un triangle ABC connaissant la longueur AC et la longueur de la mediane AA′, lepoint A′ etant le milieu de [BC].

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Figure 16 – Theoreme de Desargues

2. Construire un triangle ABC connaissant la longueur AC et la longueur de la hauteur AH.Discuter.

Exercice 4.On dispose pour cloturer un terrain restangulaire de sept barrieres rectilignes de longueurs 11,10,9,7,4,3et 2 (en metres). Quelles sont les aires des terrains qu’il est possible d’entourer ainsi.

Exercice 5.On considere dans le plan euclidien une droite ∆ et deux points distincts B et I n’appartenant pas a∆ et situes du meme cote de ∆. Soit C le projete orthogonal de I sur ∆. L’objectif de cet exercice est

de construire un point A ∈ ∆ tel que (AI) soit la bissectrice interieure de l’angle BAC.1. On suppose la construction realisee. Soit J le projete orthogonal de I sur (AB). Montrer queIJ = IC.2. Realiser la construction. Discuter. En particulier on precisera, selon la position de B par rapport aI et ∆, dans quels cas il y a une solution unique, et dans quels cas il n’y en a aucune.

Exercice 6.1. Quelles sont les congruences possibles des nombres premiers impairs modulo 4 ? Donner 3 exemplesde chaque cas possible.2. Soit n un nombre entier. Montrer que si n ≡ 3( mod 4), alors n possede au moins un diviseurpremier p | n tel que p ≡ 3( mod 4). (On raisonnera par l’absurde).3. Soit q un nombre premier. On considere le nombre

Q = 2× 3× 5× 7× · · · × q ,

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produit des nombres premiers ≤ q. Soit S = Q+ 1. Montrer que S ≡ 3( mod 4).4. [Hors bareme] En deduire qu’il existe une infinite de nombres premiers congrus a 3 modulo 4. (Onpourra considerer un facteur premier de S).

3.9 Novembre 2011

Les documents et le materiel electronique ne sont pas autorises.Les cinq exercices sont independants, et peuvent etre traites dans l’ordre souhaite.

Exercice 1. Resoudre les problemes suivants a l’aide de la methode de la fausse supposition, ou uneautre methode de votre choix.

1. Trouvez quatre nombres dont la somme est 194 et qui different de 5 d’un nombre voisin A l’autre.

2. Trois enfants se partagent des billes. Le premier en recoit le tiers ; le deuxieme le tiers du resteet le troisieme le tiers du nouveau reste. Il reste alors 32 billes.

Exercice 2.Quel est le plus petit entier qui, divise par 20, 36, 45 et 24 donne pour reste, respectivement 19, 35, 44et 24 ?

Exercice 3.Trouvez un nombre qui possede les caracteristiques suivantes :1. Son dernier chiffre n’est pas 7,2. Il est le carre d’un nombre entier,3. La somme de ses trois chiffres est 9,4. Tous les chiffres sont differents.

Exercice 4.Les premiers alliages plomb etain ont ete utilises au Ier millenaire av. J.-C. en Chine et en Egypte. Ilsetaient composes d’environ 90 % d’etain et de 10 % de plomb, en masse. Sachant que la masse volumiquede l’etain est de 5.77 g.cm−3 et que celle du plomb est de 11.35 g.cm−3, calculer le pourcentage duvolume d’etain dans un tel alliage.

Exercice 5. [Critere de divisibilite par 13]1. Trouver deux nombres entiers a et b tels que 10a+ 13b = 1 .2. Soit x un entier naturel, dont l’ecriture en base 10 est anan−1 · · · a1a0. Montrer que x ≡ 0(mod 13)si et seulement si

a× 10(an × 10n−1 + · · ·+ a1) + a× a0 ≡ 0 (mod 13) .

3. En deduire une regle de divisibilite 13, puis tester cette regle sur le nombre 42276.

3.10 Janvier 2012

Les documents et le materiel electronique ne sont pas autorises.Exercice 1. [Paralleles]

Soit d une droite et A un point n’appartenant pas a d. On donne le programme de construction suivant :– Soit C un cercle de centre A coupant d en deux points B et un autre point.– Le cercle de centre B et de rayon [AB] coupe d en C et un autre point.– Le cercle de centre C et de rayon [BC] coupe le cercle C en deux points : B, et un second nommeD

– Tracer le droite (AD).

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Realiser ce programme sur une figure soignee.Que dire des droites d et (AD) ? Justifier votre reponse.

Exercice 2. [Section de cube]Tracer la section du cube ABCDEFHG par le plan (IJK) dans la figure 17.

Figure 17 – Section de cube

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Exercice 3. [Constructions]On donne un triangle dont le sommet S est a l’exterieur de la feuille.

1. Construire (sans utiliser le point S), la mediane issue de S. Justifier votre reponse.

2. Construire (sans utiliser le point S), la bissectrice de l’angle en S. Justifier votre reponse.

Le mot ”construire” signifie ici ”construction a la regle non graduee et au compas”, avec detail duprogramme de construction en legende de la figure. Les deux constructions seront donnees sur desfigures separees.

Exercice 4.Combien y a-t-il de nombres dont le quotient dans la division par 1259 est 6 et dont le reste dans ladivision par 50 est 17 ?

Exercice 5.Affirmation : Il existe au moins un nombre entier compris entre 11 000 et 12 000, dont le plus granddiviseur commun avec 2 180 est 545. Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier votre reponse.

Exercice 6.Une enseigne est formee de deux boules pleines, de rayons differents, constituees du meme bois. L’unepese 24 kg et l’autre pese 3 kg. La quantite de peinture pour les recouvrir est proportionnelle a lasurface a peindre. Il faut 900 g de peinture pour recouvrir la grosse boule.Combien faut-il (en g) de peinture pour recouvrir la petite boule ?Rappel : La surface d’une boule de rayon r est 4πr2 et son volume 4

3πr3.

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