La commande

Été 2011

2

Types de commande Rétroaction (Feedback)

P, PI, PD, PID

Par « FeedForward » Commande prédictive

Par cascade

La plus

utilisée

3

Constituants d’une boucle de contrôle par rétroaction

4

Exemple - CSTR

5

Équations de l’exemple Pour analyser les différentes

stratégies de contrôle, analysons le système suivant (en Laplace):

Ts

TQ

s

VF

VF

i

VC

VF

p

1

6

Système CSTR Équation différentielle

correspondante: dT

d t

F

VT T

Q

VCip

7

Paramètres du système à étudier V = 10 pi3; F = 2.5 pi3/min; ρCP = 61.3 BTU/pi3/°F; Ti = 50°F Tss = 60°F

8

Système CSTR avec les paramètres : En régime permanent :

02 5

1 05 0 6 0

1 0 6 1 3

1 5 3 2 5 2 7

3

33 3

.

.

.

.

p im in

BTUF pi

BTUm in

p iF F

Q

pi

Q kW

d T F

u Q

y T F

i

BTUm in

5 0

1 5 3 2 5

6 0

.

9

Fonction de transfert du procédé résultante Voici le schéma bloc du système :

1VC

FV

P

s

FV

FVs

d s( )

u s( ) y s( )16 13

0 25s .

0 2 5

0 2 5

.

.s d s( )

u s( ) y s( )

12

Fonctions de transfert en boucle fermée Entrée vs sortie :

Perturbation vs sortie :

y s

y s

g g g

g g ghd

c v

c v

( )

( )

1

y s

d s

g

g g ghd

c v

( )

( )

1

13

Pour notre système(posant gv = h = 1)

Entrée vs sortie :

Perturbation vs sortie :

y s

y s

g

s gd

c

c

( )

( ) .

6 1 3 1 5 3 2 5

y s

d s s g c

( )

( )

.

.

1 5 3 2 5

6 1 3 1 5 3 2 5

Car rapides

14

Contrôle proportionnel Soit p(t) un signal pneumatique

entre 3 et 15 psig (un signal électrique entre 4 et 20 mA) émis par le contrôleur.

Soit ps la valeur de commande qui fait en sorte que l’erreur ε(t) soit nulle.

15

Contrôle proportionnel (2) Alors un contrôleur proportionnel

aura comme équation :

Le signal de commande se définit comme étant :

p t K t pP s( ) ( )

c t p t p K ts P( ) ( ) ( )

16

Contrôle proportionnel (3) La fonction de transfert résultante

sera donc :c s

sg Kc P

( )

( )

17

En pratique Dans les contrôleurs industriels, ce

n’est pas le gain proportionnel KP qui est ajusté, mais bien la bande proportionnelle PB.

Définition de PB: PB

K P

(% ) 1 0 0 éten d u e m ax im ale d e la so rtie d u co n tro leu r

é ten d u e m ax im ale d e la v a riab le m esu rée

18

Effets du contrôle proportionnel sur le CSTR Entrée vs sortie :

Perturbation vs sortie :

y s

y s

K

s Kd

P

P

( )

( ) .

6 1 3 1 5 3 2 5

y s

d s s K P

( )

( )

.

.

1 5 3 2 5

6 1 3 1 5 3 2 5

19

Réponses

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Temps (min)

Te

mp

éra

ture

(°F

)Comportement du CSTR avec contrôle proportionnel

Kp=0.1 Kp=1 Kp=10 Kp=100 Kp=1000

Échelon de

1°F

à t = 1 min

20

Réponses

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Perturbation sur CSTR avec contrôle P

Temps (min)

Te

mp

éra

ture

(°F

)

Kp=0.1 Kp=1 Kp=10 Kp=100 Kp=1000

Échelon de

1°F

à t = 1 min

21

Bilan Le système en boucle fermée est

stable. Racine de l’équation caractéristique

est réelle et inférieure à 0. (Kp>0)6 1 3 1 5 3 2 5 0

1 5 3 2 5

6 1 30

s K

sK

P

P

.

.

22

Bilan (2) Une erreur persiste entre la valeur

de sortie en régime permanent et la consigne. Seul un gain infini règle ce problème. Pour certains systèmes, cette erreur

n’est pas dramatique.

0

1( ) lim 1

613 153.25 153.25P P

sP P

K Kt s

s s K K

23

Bilan (3) Une perturbation provoque une

erreur non corrigée complètement par le contrôleur proportionnel.

0

1 153.25 153.25( ) lim 0

613 153.25 153.25sP P

t ss s K K

24

Contrôle proportionnel-intégral La représentation du signal p(t) est

:

p t K t d pCI

t

s( ) ( ) ( )

1

0

25

Contrôle PI (2) La fonction de transfert résultante

sera donc :

c s

sg K

sc CI

( )

( )

1

1

Reset Rate

26

Effets du contrôle PI sur le CSTR Entrée vs sortie :

Perturbation vs sortie :

y s

y s

K s

s K s Kd

C I

I C I C

( )

( ) .

1

6 1 3 1 5 3 2 52

y s

d s

s

s K s KI

C I C

( )

( )

.

.

1 5 3 2 5

6 1 3 1 5 3 2 52

27

Réponses

0 20 40 60 80 100 1200

0.5

1

1.5

Temps (min)

Te

mp

éra

ture

(°F

)

Comportement du CSTR avec contrôle PI (KC = 10)

taui=1

taui=1/2

taui=1/4

taui=1/8

taui=1/16

Échelon de

1°F

à t = 1 min

KC = 10

28

Réponses

0 20 40 60 80 100 120-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Temps (min)

Te

mp

éra

ture

(°F

)

Perturbation sur CSTR avec contrôle PI (KC = 10)

taui=1

taui=1/2

taui=1/4

taui=1/8

taui=1/16

Échelon de

1°F

à t = 1 min

KC = 10

29

Bilan Le système en boucle fermée est

stable sous certaines conditions. Choix limité de KC et tI.

s

K K KC C I C

I

1 5 3 2 5 1 5 3 2 5 4 6 1 3

2 6 1 3

2. .

30

Bilan Critère de Routh-Hurwitz.

6 1 3 1 5 3 2 5

1 5 3 2 5

I C I

C

C I

K

K

K

.

.

31

Bilan (2) Il n’y a plus d’erreur entre la valeur

de sortie en régime permanent et la consigne.

20

11( ) lim 1

613 153.25C I

sI C I C

K sT s

s s K s K

32

Bilan (3) Une perturbation provoque une

erreur transitoire qui fini par disparaître complètement.

20

153.251( ) lim 0

613 153.25I

sC I C

sT s

s s K s K

33

Contrôle proportionnel-dérivée La représentation du signal p(t) est

:

p t K td t

d tpC D s( ) ( )

( )

34

Contrôle PD (2) La fonction de transfert résultante

sera donc :

c s

sg K sc C D

( )

( ) 1

Derivate time constant

35

Effets du contrôle PD sur le CSTR Entrée vs sortie :

Perturbation vs sortie :

y s

y s

K s

K s Kd

C D

C D C

( )

( ) .

1

6 1 3 1 5 3 2 5

y s

d s K s KC D C

( )

( )

.

.

1 5 3 2 5

6 1 3 1 5 3 2 5

36

Réponses

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Temps (min)

Te

mp

éra

ture

(°F

)

Comportement du CSTR avec contrôle PD (KC = 10)

taud=1

taud=10

taud=20

taud=0.1

taud=0.0

Échelon de

1°F

à t = 1 min

KC = 10

37

Réponses

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Temps (min)

Te

mp

éra

ture

(°F

)

Perturbation sur CSTR avec contrôle PD (KC = 10)

taud=1

taud=10

taud=20

taud=0.1

taud=0.0

Échelon de

1°F

à t = 1 min

KC = 10

38

Bilan Le système en boucle fermée est

stable. s

K

KC

C D

1 5 3 2 5

6 1 30

.

39

Bilan (2) Comportement identique au cas

proportionnel, mais l’effet de la partie dérivée est de ralentir le système.

40

Contrôle PID La fonction de transfert du

contrôleurc s

sg K s

sc C DI

( )

( )

1

1

41

Effets du contrôle PD sur le CSTR Entrée vs sortie :

Perturbation vs sortie :

y s

y s

K s s

K s K s Kd

C D I I

C D I C I C

( )

( ) .

2

2

1

6 1 3 1 5 3 2 5

y s

d s

s

K s K s KI

C D I C I C

( )

( )

.

.

1 5 3 2 5

6 1 3 1 5 3 2 52

42

Réponses

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Temps (min)

Te

mp

éra

ture

(°F

)

Comportement du CSTR avec PID (KC = 10, tau

i = 1/4)

taud=0

taud=1

taud=10

taud=20

taud=40

Échelon de 1°F

à t = 1 min

KC = 10, t I =

1/4

43

Réponses

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Temps (min)

Te

mp

éra

ture

(°F

)

Perturbation sur CSTR avec PID (KC = 10, tau

i = 1/4)

taud=0

taud=1

taud=10

taud=20

taud=40

Échelon de 1°F

à t = 1 min

KC = 10, t I =

1/4

44

Bilan Le système en boucle fermée est

stable sous certaines conditions. Choix limité de KC , tI et tD.

45

Bilan (2) L’ajout du terme dérivée ralenti le

système et augmente la longueur de la période d’oscillation.

46

Contrôle d’un système instable en boucle ouverte Soit le système suivant :

Le système à un pôle à +1/5 = 0.2 et est donc instable en boucle ouverte.

y s

u s s

( )

( )

1

5 1

47

Contrôle P d’un système instable en boucle ouverte En boucle fermée :

Si KC > 1, le système devient stable. Un contrôleur P stabilise le système. Erreur en régime permanent.

( )

( ) 5 1C

d C

Ky s

y s s K

48

Contrôle PI d’un système instable en boucle ouverte En boucle fermée :

Pas d’erreur en régime permanent KC > 1

2

1( )

( ) 5 1C I

d C I C I C

K sy s

y s K s K s K

49

Contrôle d’un système à réponse inverse Système dit aussi « à phase non-

minimale ». Zéro instable. Exemple:

( ) 10( 2)

( ) ( 1)( 3)

y s s

u s s s

50

Contrôle P d’un système à réponse inverse En boucle fermée :

Si KC > 4/10, le système devient instable. Un contrôleur P peut stabiliser le

système. Erreur en régime permanent.

2

10 ( 2)( )

( ) 4 10 20 3C

d C C

K sy s

y s s K s K

51

Contrôle PI d’un système instable en boucle ouverte En boucle fermée :

Pas d’erreur en régime permanent Plage de KC et de τI

3 2

10 1 ( 2)( )

( ) 4 10 3 20 10 20C C

I I

C I

K Kd I C C

K s sy s

y s s K s K s

52

TECHNIQUES DE DESIGN DE CONTRÔLEURS

53

Technique par placement de pôles Pour faire le design d’un

contrôleur, on peut simplement fixer les pôles que l’on désire attribuer au système en boucle fermée.

54

Exemple - PI Soit la fonction de transfert du

CSTR avec contrôle PID.

Le dénominateur étant du deuxième ordre, on peut choisir de placer les pôles en p1 et p2.

y s

y s

K s

s K s Kd

C I

I C I C

( )

( ) .

1

6 1 3 1 5 3 2 52

55

Exemple – PI(suite)

Fonction cible :

Dénominateur de la fonction :

s p s p s p p s p p 1 22

1 2 1 2

s

Ks

KC C

I

21 5 3 2 5

6 1 3 6 1 3

.

56

Exemple – PI(suite)

Gain KC :

Constante tI :

K p pC 6 1 3 1 5 3 2 51 2 .

ICK

p p

6 1 3 1 2

57

Exemple – PI(suite)

Ainsi: K C 1 0 7 2 7 5. I 0 8 7 5.

Ex.: p1 = -1-j et p2 = -1+j

58

Utilisation des marges de stabilité Une approche proposée par Ziegler

et Nichols propose une méthode de réglage basée sur: Connaissance de la limite de stabilité; Spécification du contrôleur faisant en

sorte que la décroissance des maxima fasse en sorte que le second maxima soit le ¼ du premier.

59

Méthode de Ziegler-Nichols Méthodologie:

Trouver le gain ultime KCU qui fasse en sorte que le système entre en oscillation. Le contrôleur doit être proportionnel

seulement Donc les valeurs des paramètres dérivée et

intégrales ajusté pour annuler ces effets.

Mesurer la période d’oscillation PU.

60

Méthode de Ziegler-Nichols Méthodologie:

Utiliser les paramètres de la table suivante pour déterminer les gains optimaux.Type de

contrôleur

KC τI τD

P 0.5KCU - -

PI 0.45KCU PU/2 -

PID 0.6KCU PU/2 PU/8

61

Exemple - PI Système G(s):

En boucle fermée :

G ss s

( ).

1

0 1 12

G s

K s

s s K s Kc I

I I c c

( )

1

13 2

62

Exemple - PI Système G(s):

En boucle fermée :

G ss s s

( )

1

2 2 13 2

G s

K s

s s s K s Kc I

I I I c I c

( )

1

2 2 14 3 2

63

Exemple - PI Oscille si KC = 3 avec une période

d’environ 5 minute. PI => KC = 1.35 et tau_I = 4.17

min

64

Méthodes basées sur des modèles empiriques Certaines approches présentées

par Ziegler-Nichols Cohen-Coon Minimum ITAE (Smith, Murrill et al)

... sont basées sur des modèles empiriques.

65

Paramètres Délais « alpha » Gain statique K Constante de temps « tau »

Mesuré suite à une réponse à un échelon en boucle ouverte.

66

Ziegler-Nichols(modèle approximatif)

Tableau (exige que ) :

Type de contrôleur

KC τI τD

P - -

PI -

PID

1

K

0 9.

K

1 2.

K

3 3 3.

2 0. 0 5.

0 1 1 0.

67

Cohen-Coon(modèle approximatif)

Tableau (exige que ) :Type de

contrôleurKC τI τD

P - -

PI -

PID

PD -

11

1

3K

3 0 3

9 2 0

0 1 1 0.

10 9

1

1 2K

.

1 4

3

1

4K

1 5

4

1

6K

3 2 6

1 3 8

6 2

2 2 3

4

11 2

68

Minimum ITAE – (perturbation)(modèle approximatif)

Tableau (exige que ) :

Type de contrôleur

KC τI τD

P - -

PI -

PID

0 4 9 1 0 8 4. .

K

0 6 7 4

0 6 8 0

.

.

0 1 1 0.

0 3 8 10 9 9 5

..

0 8 5 9 0 9 7 7. .

K

1 3 5 7 0 9 4 7. .

K

0 8 4 2

0 7 3 8

.

.

69

Minimum ITAE – (consigne)(modèle approximatif)

Tableau (exige que ) :

Type de contrôleur

KC τI τD

P - - -

PI -

PID

1 0 3 0 1 6 5. .

0 1 1 0.

0 3 0 80 9 2 9

..

0 5 8 6 0 9 1 6. .

K

0 9 6 5 0 8 5 5. .

K

0 7 9 6 0 1 4 7. .

70

Exemple - PI Système G(s):

Système approximé :

G ss s s

( )

1

3 1 4 1 5 1

G se

sapprox

s

( ).

.

2 8 9

1 5 5 3 1

71

Exemple - PI

Ziegler-Nichols

Cohen-Coon ITAE

KC 4.84 4.92 2.73

tau I 9.62 6.94 15.41

72

Exemple - PI

Time (sec.)

Am

plit

ude

Step Response

0 2000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

ITAE

ZN et CC

MÉTHODES AVANCÉES

- Cascade- Prédictive

Commande en « Feedforward » Cette commande est utile

lorsqu’une perturbation est mesurée et lorsque son impact sur le système peut être significatif, puisque la mesure de contrôle se fait en sortie.

La température du liquide entrant dans le CSTR est un bon exemple.

Commande en « Feedforward » Exemple du CSTR

16 13

0 25s .

0 2 5

0 2 5

.

.s d s( )

u s( ) y s( )

Commande en « Feedforward » En régime permanent, uss(s) = 0

implique yss(s) = 0.

Mais, si une perturbation survient :

y ss

d s( ).

.( )

0 2 5

0 2 5

Structure d’une contrôleur « Feedforward » Schéma bloc :

gst(s)yd g(s)

u

gff(s)

gd(s)

d

y

Sortie y avec le « Feedforward » La sortie y est obtenue par la

fonction de transfert suivante :

Si yd = 0, alors :

y s y s g s d s g s g s d s g sd st ff d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

y s g s g s g s d sff d( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Calcul du compensateur Comme on désire que y soit

indépendant de d, il suffit donc que :

Ce qui donne :

g s g s g sff d( ) ( ) ( ) 0

g sg s

g sffd( )

( )

( )

Exemple - CSTR Calcul du compensateur :

Le compensateur est donc facile à réaliser, car c’est un gain pur.

g s

s

sff ( ). .

..

0 2 5 0 2 5

0 2 51 5 3 2 51

6 1 3

Exemple #2 Système ayant :

Le compensateur :

g sK

s a

g sK

s a s b

dd( )

( )( )

g s

K s b

Kffd( )

Non faisable

Exemple #3 Système ayant :

Le compensateur :

g sK

s a s b

g sK

s a

dd( )

( )( )

g sK

K s bffd( )

Faisable

Exemple #4 Système ayant :

Le compensateur :

g sK e

s a

g sK e

s a

dd

ds

cs

( )

( )( )

g sK

Keff

d d c s( )

Faisable si d≥c

Bilan Ce contrôleur peut réduire l’effet

de la perturbation. En autant qu’elle puisse être

mesurée. En autant que le compensateur soit

faisable. Alternative: enlever tout l’aspect

dynamique. Souvent combiné avec un contrôle en

« Feedback ».

Structure d’un contrôleur Cascade Schéma bloc :

gC1(s)u'yd gC2(s) g2(s)

gd2(s)

d2

g1(s)

gd1(s)

d1

yu

h2(s)

h1(s)

Fonction de transfert de la boucle intérieure La sortie u en fonction de u’ et d2

est obtenue par la fonction de transfert suivante :

u sg g

g g hu s

g

g g hd sc

c

d

c

( ) ' ( ) ( )

2 2

2 2 2

2

2 2 221 1

g*d2g*

2

Structure modifiée Nouveau schéma bloc :

gC1(s)u'yd g*2(s)

g*d2(s)

d2

g1(s)

gd1(s)

d1

yu

h1(s)

Fonction de transfert du système La sortie y en fonction de yd, d1 et

d2 est obtenue par :

y sg g g

g g g hy s

g g

g g g hd s

g

g g g hd s

c

cd

d

c

d

c

( ) ( ) ( )

( )

*

*

*

*

*

*

1 2 1

1 2 1 1

2 1

1 2 1 12

1

1 2 1 11

1 1

1