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LA CONSTRUCTION DU CONCEPT DE NOMBRE CHEZ UN ENFANT AYANT REÇU UN DIAGNOSTIC D’AUTISME
Mémoire
Isabelle Malouin
Maîtrise en psychopédagogie – adaptation scolaire
Maître ès arts (M.A.)
Québec, Canada
© Isabelle Malouin, 2014
iii
RÉSUMÉ
Le présent projet de recherche vise à décrire les progrès réalisés, par un élève autiste, dans
l‟apprentissage du concept de nombre en travaillant dans une pédagogie développementale
basée sur le jeu. On cherche à vérifier s‟il est possible de soutenir la construction du
concept de nombre chez les enfants ayant reçu un diagnostic d‟autisme sans utiliser les
méthodes béhavioristes habituelles, comme A.B.A. et T.E.A.C.C.H., mais plutôt en mettant
en place un projet d‟intervention pédagogique basé sur la littératie et le jeu.
Pour ce faire, une expérimentation a été réalisée auprès d‟un enfant autiste de 10 ans, à
raison de 3 heures par jour, pendant deux années scolaires, pour travailler, entre autres, la
construction du concept de nombre. La cueillette de données consiste en quatre entrevues
semi-dirigées portant sur des tâches mathématiques liées à la construction du nombre,
entrevues réalisées sur ces deux années pour vérifier l‟évolution de la compréhension de
l‟aspect ordinal et de l‟aspect cardinal du nombre chez l‟enfant. Les résultats indiquent, au
terme de ces deux années d‟intervention, que l‟enfant a progressé au niveau de sa
représentation du nombre.
v
TABLE DES MATIÈRES
RÉSUMÉ ........................................................................................................................................... iii
TABLE DES MATIÈRES .................................................................................................................. v
LISTE DES TABLEAUX .................................................................................................................. ix
LISTE DES FIGURES ....................................................................................................................... xi
AVANT-PROPOS ........................................................................................................................... xiii
INTRODUCTION .............................................................................................................................. 1
1. Problématique ......................................................................................................................... 3
1.1. L‟autisme ........................................................................................................................ 3
1.2. La scolarisation des enfants autistes................................................................................ 4
1.2.1.La méthode A.B.A. ................................................................................................ 5
1.2.2.La méthode T.E.A.C.C.H. ..................................................................................... 6
1.3. Les contextes d‟intervention privilégiés pour travailler le nombre ................................. 8
2. Cadre théorique ....................................................................................................................... 9
2.1. L‟abstraction ................................................................................................................. 11
2.1.1.Le nombre ............................................................................................................ 13
2.1.1.1 Aspect ordinal ........................................................................................ 16
2.1.1.2 Aspect cardinal ....................................................................................... 17
2.1.1.3 Opérations à construire ........................................................................... 18
2.1.1.3.1 La correspondance terme à terme ........................................... 18
2.1.1.3.2 La conservation ...................................................................... 20
2.1.1.3.3 Le comptage ........................................................................... 26
2.1.1.4 Autre procédure possible et difficultés reconnues.................................. 30
2.2. Question générale .......................................................................................................... 34
3. Approche d‟intervention pédagogique .................................................................................. 37
3.1. Idées maîtresses d‟une approche développementale ..................................................... 37
3.1.1. La complexité de la tâche ................................................................................... 37
3.1.2. Le sens des erreurs .............................................................................................. 38
3.1.3. La zone proximale de développement ................................................................ 38
3.2. Projet pédagogique d‟ensemble .................................................................................... 39
3.3. Contextes mathématiques aux fins du mémoire ............................................................ 40
3.3.1. Le calendrier ....................................................................................................... 40
vi
3.3.2. Les jeux de règles ............................................................................................... 43
3.3.2.1 Jeu de Cher Ours polaire … ................................................................... 44
3.3.2.2 Autres jeux pour favoriser la construction du concept de nombre ......... 45
4. Méthodologie......................................................................................................................... 49
4.1. But et objectifs de la recherche ..................................................................................... 49
4.2. Type d‟étude .................................................................................................................. 49
4.3. Sujet ............................................................................................................................... 50
4.4. Modalités et temps d‟intervention ................................................................................. 51
4.5. Collecte de données ....................................................................................................... 51
4.6. Protocole d‟entrevue semi-dirigée ................................................................................. 52
4.6.1. Description des items du protocole d‟entrevue ................................................... 53
4.6.1.1 Items portant sur l‟aspect ordinal du nombre ......................................... 53
4.6.1.1.1 Item 1 : Sériation d‟objets de tailles différentes ..................... 53
4.6.1.1.2 Item 2 : Sériation d‟objets faisant une course ......................... 54
4.6.1.2 Items portant sur l‟aspect cardinal du nombre ........................................ 54
4.6.1.2.1 Item 1 : Comparaison de collections d‟objets identiques
(correspondance terme à terme) ............................................................. 54
4.6.1.2.2 Item 2 : Comparaison de collections d‟objets différents
(correspondance terme à terme) ............................................................. 56
4.6.1.2.3 Item 3 : Conservation de quantités continues ......................... 57
4.6.1.2.4 Item 4 : Conservation de quantités discontinues..................... 60
4.6.1.2.5 Item 5 : Comptage .................................................................. 61
4.6.1.2.6 Item 6 : Cardinalité ................................................................. 61
4.7. Plan d‟analyse des données ........................................................................................... 63
5. Analyses des résultats ............................................................................................................ 65
5.1. Évaluation 1 : Octobre 2011 .......................................................................................... 65
5.1.1. Items vérifiant la compréhension de l‟aspect ordinal du nombre ....................... 65
5.1.1.1 Item 1 : Sériation d‟objets de tailles différentes ..................................... 65
5.1.1.2 Item 2 : Sériation d‟objets faisant une course ......................................... 67
5.1.2. Items vérifiant la compréhension de l‟aspect cardinal du nombre ...................... 69
5.1.2.1 Item 1 : Comparaison de collections (correspondance terme à terme) ... 69
5.1.2.2 Item 2 : Conservation de quantités continues ......................................... 72
5.1.2.3 Item 3 : Conservation de quantités discontinues .................................... 75
5.1.2.4 Item 4 : Comptage .................................................................................. 80
vii
5.1.2.5 Item 5 : Cardinalité ................................................................................. 84
5.1.3. Synthèse de la compréhension de l‟enfant en octobre 2011 ............................... 88
5.2. Évaluation 2 : Mai 2012 ................................................................................................ 89
5.2.1. Items vérifiant la compréhension de l‟aspect ordinal du nombre ....................... 90
5.2.1.1 Item 1 : Sériation d‟objets de tailles différentes ..................................... 90
5.2.1.2 Item 2 : Sériation d‟objets faisant une course ........................................ 92
5.2.2. Items vérifiant la compréhension de l‟aspect cardinal........................................ 94
5.2.2.1 Item 1 : Comparaison de collections d‟objets identiques (correspondance
terme à terme)..................................................................................................... 94
5.2.2.2 Item 2 : Conservation de quantités continues ......................................... 97
5.2.2.3 Item 3 : Conservation de quantités discontinues .................................. 102
5.2.2.4 Item 4 : Comptage ................................................................................ 106
5.2.2.5 Item 5 : Cardinalité ............................................................................... 109
5.2.3. Synthèse de la compréhension de l‟enfant en mai 2012 ................................... 114
5.3. Évaluation 3 : Février 2013 ......................................................................................... 115
5.3.1. Items vérifiant la compréhension de l‟aspect ordinal du nombre ..................... 115
5.3.1.1 Item 1 : Sériation d‟objets de tailles différentes ................................... 115
5.3.1.2 Item 2 : Sériation d‟objets faisant une course ...................................... 117
5.3.2. Items vérifiant la compréhension de l‟aspect cardinal du nombre ................... 120
5.3.2.1 Item 1 : Comparaison de collections d‟objets identiques (correspondance
terme à terme)................................................................................................... 120
5.3.2.2 Item 2 : Comparaison de collections d‟objets différents (correspondance
terme à terme)................................................................................................... 124
5.3.2.3 Item 3 : Conservation de quantités continues ....................................... 126
5.3.2.4 Item 4 : Conservation de quantités discontinues .................................. 129
5.3.2.5 Item 5 : Comptage ................................................................................ 132
5.3.2.6 Item 6 : Cardinalité ............................................................................... 135
5.3.3. Synthèse de la compréhension de l‟enfant en février 2013 .............................. 140
5.4. Évaluation 4 : Juillet 2013 ........................................................................................... 141
5.4.1. Items vérifiant la compréhension de l‟aspect ordinal du nombre ..................... 142
5.4.1.1 Item 1 : Sériation d‟objets de tailles différentes ................................... 142
5.4.1.2 Item 2 : Sériation d‟objets faisant une course ...................................... 144
5.4.2. Items vérifiant la compréhension de l‟aspect cardinal du nombre ................... 148
viii
5.4.2.1 Item 1 : Comparaison de collections d‟objets identiques (correspondance
terme à terme) ................................................................................................... 148
5.4.2.2 Item 2 : Comparaison de collections d‟objets différents (correspondance
terme à terme) ................................................................................................... 153
5.4.2.3 Item 3 : Conservation de quantités continues ....................................... 155
5.4.2.4 Item 4 : Conservation de quantités discontinues .................................. 159
5.4.2.5 Item 5 : Comptage ................................................................................ 161
5.4.2.6 Item 6 : Cardinalité ............................................................................... 165
5.4.3. Synthèse de la compréhension de l‟enfant en juillet 2013 ................................ 171
6. Discussion ........................................................................................................................... 173
6.1. Synthèse des résultats .................................................................................................. 173
6.1.1. Sériation ............................................................................................................ 178
6.1.2. Correspondance terme à terme.......................................................................... 179
6.1.3. Conservation ..................................................................................................... 180
6.1.4. Comptage .......................................................................................................... 182
6.1.5. Cardinalité ......................................................................................................... 183
6.2. Les implications pédagogiques .................................................................................... 185
6.3. Les limites de l‟étude .................................................................................................. 186
6.4. Avenues prospectives .................................................................................................. 187
CONCLUSION ............................................................................................................................... 189
RÉFÉRENCES ................................................................................................................................ 191
ANNEXES ...................................................................................................................................... 195
ix
LISTE DES TABLEAUX
Tableau 1 Organisation de la collection …………………………………………… 31
Tableau 2 Limite de la reconnaissance visuelle ………..…………………………… 32
Tableau 3 Problème lors de regroupements ………………………………............... 33
Tableau 4 Exemple de matériel utilisé pour faire un calendrier ……………............. 41
Tableau 5 Utilisation de divers jeux de règles commerciaux ………………………. 46
Tableau 6 Données collectées ………………………………………………............ 52
Tableau 7 Synthèse de la progression de l‟enfant ………………………………….. 175
xi
LISTE DES FIGURES
Figure 1 Schéma conceptuel de l‟émergence de la construction du nombre …………. 9
Figure 2 Relation inclusive des nombres jusqu‟à 4 …………………………………... 15
Figure 3 Collections de jetons éparpillés ………………………………....................... 19
Figure 4 Utilisation de la correspondance terme à terme pour comparer deux
collections …………………………………………………………………… 19
Figure 5 Item de conservation des quantités continues ……………………..………... 23
Figure 6 Collection initiale de jetons …………………………………………............ 24
Figure 7 Collection de jetons modifiée une première fois ……………………………. 24
Figure 8 Collection de jetons modifiée une deuxième fois …………………………... 25
Figure 9 Présentation des jetons par l‟expérimentateur ………………………………. 31
Figure 10 Échec à la reproduction d‟une rangée-modèle ……………………………… 34
Figure 11 Plateau du jeu Cher Ours polaire … ……………………………………….. 44
Figure 12 Sériation de cinq pailles réalisée en octobre 2011..………………………..... 66
Figure 13 Droites de projection imaginée ajoutées sur la sériation de cinq pailles…...... 66
Figure 14 Ordre des voitures faisant la course ………………………………………… 67
Figure 15 Comparaison de collections inégales de jetons ……………………………... 70
Figure 16 Comparaison de collections inégales de jetons après déplacement en octobre
2011 …………………………………………………………………………. 71
Figure 17 Première transformation effectuée avec la pâte à modeler …………............. 72
Figure 18 Deuxième transformation effectuée avec la pâte à modeler ………………... 73
Figure 19 Troisième transformation effectuée avec la pâte à modeler ………………… 74
Figure 20 Rangée d'images présentée à l'enfant lors de l'item 3 ………………………. 76
Figure 21 Construction d'une rangée équivalente en octobre 2011 ……………………. 76
Figure 22 Disposition des rangées pour la comparaison de collections et pour la
conservation des quantités discontinues en octobre 2011 …………………... 79
Figure 23 Première disposition de jetons à dénombrer ………………………………... 84
Figure 24 Seconde disposition de jetons à dénombrer ………………………………… 85
Figure 25 Troisième disposition de jetons à dénombrer ……………………………….. 87
xii
Figure 26 Sériation de pailles réalisée en mai 2012 …………………………………… 90
Figure 27 Déplacement des collections inégales en mai 2012 ………………………… 94
Figure 28 Construction d'une rangée équivalente en mai 2012 ………………………... 102
Figure 29 Disposition des rangées pour la comparaison de collections et pour la
conservation des quantités discontinues en mai 2012 ………………………. 104
Figure 30 Seconde disposition de jetons à dénombrer en mai 2012 …………………… 111
Figure 31 Sériation de cartons réalisée en février 2013 ……………………...………... 116
Figure 32 Alignement des coureurs en février 2013 …………………………………... 117
Figure 33 Comparaison de collections inégales d'objets identiques présentées à
l'enfant en février 2013 …………………………………………………….. 120
Figure 34 Comparaison de collections égales d'objets identiques présentées à l'enfant
en février 2013 ……………………………………………………………… 122
Figure 35 Comparaison de collections égales réduites d'objets identiques présentées à
l'enfant en février 2013 ……………………………………………………… 123
Figure 36 Comparaison de collections d'objets différents en février 2013 ……………. 125
Figure 37 Rangée d'images présentée à l'enfant en février 2013 ………………………. 129
Figure 38 Construction d'une rangée équivalente en février 2013 …………………….. 129
Figure 39 Modification des rangées en conservation des quantités discontinues en
février 2013 …………………………………………………………………. 131
Figure 40 Présentation d'une rangée de bâtonnets à l'enfant …………………….…... 135
Figure 41 Modification de la rangée de bâtonnets ………………………....................... 136
Figure 42 Cinq dames à habiller ……………………………………………………….. 138
Figure 43 Sériation de cartons réalisée en juillet 2013 ………………………............. 142
Figure 44 Alignement des coureurs en juillet 2013 …………………………………..... 145
Figure 45 Comparaison de collections inégales d'objets identiques présentées à
l'enfant en juillet 2013 ………………………………………………............. 149
Figure 46 Comparaison de collections égales d'objets identiques présentées à l'enfant
en juillet 2013 ………………………………………………………………. 151
Figure 47 Comparaison de collections d'objets différents en juillet 2013 ……………... 154
Figure 48 Rangée d'images présentée à l'enfant en juillet 2013 ……………………….. 159
Figure 49 Construction d'une rangée équivalente en juillet 2013 ……………………… 159
xiii
AVANT-PROPOS
Tout d‟abord, je voudrais remercier ma petite Marianne et sa famille d‟être passées dans ma
vie. Merci à vous, chers parents, de m‟avoir confiée ce que vous aviez de plus précieux.
Je voudrais exprimer ma profonde gratitude envers ma directrice de recherche, madame
Hélène Makdissi, pour la confiance qu‟elle a su me témoigner et pour m‟avoir confié un
projet de recherche si gratifiant! Merci Hélène de m‟avoir permis de réfléchir tout haut avec
toi, pour tes clins d‟œil, pour nos discussions ô combien formatrices, pour ton implication
et ton soutien sans borne, pour ton temps et pour la qualité de tes commentaires et de tes
conseils. Même si parfois j‟étais découragée devant leur ampleur, ils m‟ont aidée à
progresser et à devenir une meilleure intervenante. Je tiens à remercier ma codirectrice,
madame Izabella Oliveira. Muito obrigado! Vous avez réussi à convertir une linguiste et
m‟avez redonné le goût des mathématiques, ce n‟est pas rien! Merci également à madame
Andrée Boisclair d‟avoir bien voulu réfléchir avec nous et d‟avoir accepté de corriger ce
mémoire.
À mes amies et collègues de bureau, Alice, Camille, Claudia et Marie-Pierre, merci pour les
dîners divertissants et pour vos conseils. Un merci particulier à Marie-Pierre et Claudia de
m‟avoir soutenue et rassurée, soit pendant l‟année d‟intervention ou pendant celle de
rédaction. Merci à mon amie, linguiste et future orthophoniste, Marie-Hélène, pour les
périodes de détente et de loisir qui étaient nécessaires pour survivre à ce processus si
intense que nous vivions, chacune dans notre pavillon.
Je n‟aurais pu mener ce projet à terme sans le soutien de mes parents, Céline et Marc, et de
mon frère, Sébastien. Je sais que l‟aboutissement de mon projet vous tenait profondément à
cœur et vous m‟avez toujours démontré que vous croyiez en moi, même quand je ne le
faisais plus. À ma famille, merci d‟avoir compris la distance et le temps nécessaire à
l‟atteinte de mes rêves. Finalement, à celui qui partage ma vie, David, je veux te remercier
pour tes encouragements, ton objectivité, ta compréhension, ton soutien et ton amour lors
de ce long processus.
1
INTRODUCTION
Au Québec, les méthodes favorisées dans les écoles pour travailler avec les élèves autistes
sont les méthodes A.B.A. ( Applied Behavioral Analysis ) et T.E.A.C.C.H. ( Treatment and
Education of Autistic and related Communication handicapped CHildren ) (Lovaas, 1987;
Lovaas, Freitas, Nelson & Whalen, 1974; Rogers, 1998; Schopler, Brehm, Kinsbourne et
Reichler, 1971; Schopler, Reichler & Lansing, 1988). Ces deux méthodes sont très
inspirées du courant béhavioriste de la psychologie qui est basé sur un système de
récompenses et de punitions. Toutefois, plusieurs apprentissages scolaires, comme celui du
concept de nombre, ne peuvent se réduire à de telles associations de réponses attendues par
autrui. En effet, la construction du nombre et les opérations qui y sont inhérentes prennent
beaucoup de temps et d‟effort. Il faut plusieurs années pour que les élèves puissent bien
comprendre le système numérique et faire des opérations sur les nombres qui le composent
(ministère de l‟Éducation du Québec, 2001).
Le présent projet de recherche consiste en une étude de cas menée avec une enfant autiste
de 10 ans qui a été suivie en intervention individuelle, trois heures par jour, sur une période
de deux années scolaires. L‟objectif général de la présente étude est de décrire les progrès
réalisés, par un élève autiste, dans l‟apprentissage du concept de nombre en travaillant les
notions mathématiques par une pédagogie développementale basée sur le jeu. Le mémoire
comprend un premier chapitre qui dresse la problématique à laquelle ces enfants sont
exposés lors de leur scolarisation. Le deuxième chapitre, le cadre théorique, permet de
comprendre les concepts clés impliqués dans l‟émergence et dans la construction du
concept de nombre chez un enfant. Dans le troisième chapitre, l‟approche d‟intervention
pédagogique mise en place pendant ces deux années sera explicitée. Le quatrième chapitre
abordera la méthodologie qui a été utilisée dans le cadre de cette recherche. Le cinquième
chapitre présentera les analyses des résultats à partir des données recueillies lors de cette
étude. Et, finalement, le sixième chapitre comportera une discussion générale sur
l‟ensemble des résultats observés, au regard d‟autres études sur la construction du nombre
présentes dans la littérature.
3
1. Problématique
Ce chapitre tentera d‟expliciter ce qu‟est l‟autisme, de décrire les principales modalités
d‟intervention reconnues pour la scolarisation des enfants autistes (qui se basent
principalement sur les méthodes A.B.A. et T.E.A.C.C.H.) en les mettant en tension par
rapport aux contextes d‟interventions qui sont privilégiés pour travailler le nombre avec les
enfants.
1.1. L’autisme
Vers la fin des années 1930, Leo Kanner, pédopsychiatre de formation, s‟intéressa à 11
enfants qui présentaient des caractéristiques communes, en souffrant toutefois de troubles
non répertoriés. En 1943, au terme de 8 années de recherche auprès de ces enfants, il dressa
le tableau clinique de « l‟autisme infantile précoce ». À l‟époque, l‟autisme tel que défini
par Kanner était considéré comme une psychose, au même titre que la schizophrénie
(Ferrari, 1999). Les enfants observés par Kanner avaient principalement deux choses en
commun : l‟isolement de l‟enfant (appelé aloneness) et son désir d‟immuabilité, son
intolérance aux changements (ou sameness) (Kanner, 1943; Lenoir, Malvy & Bodier-
Rethore, 2007).
Depuis ce temps, un manuel diagnostique et statistique des troubles mentaux a été créé par
l‟American Psychiatric Association comme ouvrage de référence afin de classifier et de
catégoriser les critères diagnostiques des troubles mentaux spécifiques. À travers les
diverses éditions du Diagnostic and Statistical Manuel of Mental Disorders (DSM),
l‟autisme, tel que décrit par Kanner, a été catégorisé de plusieurs façons. Dans les deux
premières versions (DSM-I et DSM-II) parues respectivement en 1952 et 1968, l‟autisme
était considéré comme une réaction schizophrénique de type infantile (Chamak, 2010;
Habimana, Éthier, Petot & Tousignant, 1999). Par contre, dès la troisième édition,
l‟appellation de « troubles envahissants du développement » est utilisée au lieu de psychose
4
(American Psychiatric Association, 1989, 2003). En effet, lors des années 1980, on réalise
qu‟il ne s‟agit pas d‟un trouble infantile, mais bien d‟un dérèglement du développement,
d‟où la raison pour laquelle ce trouble est décelé pendant l‟enfance (Frith, 1996).
En général, les enfants atteints d‟un trouble envahissant du développement dans la lignée de
l‟autisme présentent des déficits dans trois domaines en particulier : une altération
qualitative des interactions sociales, une altération qualitative de la communication et un
caractère restreint, répétitif et stéréotypé des comportements, des intérêts et des activités
(American Psychiatric Association, 2003; Habimana, Éthier, Petot & Tousignant, 1999).
Comme le développement de ces enfants peut sembler différent de celui des enfants tout-
venant en ce qu‟il présente un écart par rapport à une norme établie, certaines mesures
d‟intervention ont été conçues dans une optique behavioriste pour favoriser leur acquisition
d‟autonomie1. À cet effet, plusieurs thérapies et méthodes de prise en charge des enfants
autistes ont été élaborées, dont les méthodes A.B.A. (Applied Behavioral Analysis) et
T.E.A.C.C.H. (Treatment and Education of Autistic and related Communication
handicapped CHildren) (Ferrari, 1999; Lenoir, Malvy & Bodier-Rethore, 2007; Rogers,
1998).
1.2. La scolarisation des enfants autistes
Au Québec, au tournant des années „90, le ministère de l‟Éducation a changé sa vision de la
scolarité que doivent recevoir les enfants ayant un trouble autistique (Maertens, 2004;
MELS, 2007; MEQ, 1999; Saint-Laurent, 2008). Si auparavant ces enfants devaient être
placés dans des classes spécialisées ou même dans des écoles particulières, on prône depuis
de plus en plus l‟inclusion scolaire pour la majorité des élèves dits à risque (c‟est-à-dire
1 Le développement des enfants atteints d‟un trouble autistique est considéré comme différent par les
spécialistes qui mettent en place des méthodes béhavioristes d‟intervention. Ces dernières seront
explicitées plus loin. Par contre, comme il sera possible de le constater à la lecture de ce mémoire, la
posture ici adoptée se distingue de ce postulat. Dans une perspective développementale, il semble plutôt
fécond, sous l‟angle pédagogique, d‟envisager plutôt un retard ou un décalage dans le développement de
ces enfants que de le considérer comme atypique. C‟est justement pour pallier ce décalage que les
hypothèses et les pratiques d‟intervention ont été élaborées.
5
ceux ayant de grandes difficultés d‟apprentissage ou de comportement ou une déficience
intellectuelle légère) et pour la majorité des élèves handicapés (soit, ceux ayant une
déficience intellectuelle plus prononcée, une déficience au niveau sensoriel ou moteur ou
présentant un trouble envahissant du développement, etc.). Selon leurs besoins, ils
bénéficient de mesures particulières, soit un accompagnement en tout temps par un
professionnel (un technicien en éducation spécialisée par exemple) ou d‟un
accompagnement régulier (l‟enfant peut recevoir pendant quelques heures durant la
semaine un soutien fréquent d‟une personne qualifiée) (MELS, 2007).
En ce qui concerne les enfants ayant un trouble autistique, ils peuvent être accompagnés en
tout temps d‟un spécialiste dans une classe régulière ou être scolarisés dans une classe
spécialisée pour enfants ayant des troubles similaires, selon la décision de la commission
scolaire où est scolarisé l‟enfant (MELS, 2007). Dans ces classes spécialisées, diverses
méthodes sont utilisées pour travailler avec les enfants autistes, dont principalement les
méthodes A.B.A. et T.E.A.C.C.H., ces méthodes seront donc explicitées.
1.2.1. La méthode A.B.A.
La méthode A.B.A. (Applied Behavioral Analysis) a été initiée par O. Ivar Lovaas dans les
années „60. Ce chercheur norvégien s‟intéressait aux comportements sociaux et langagiers
des enfants autistes. Dans ses recherches, il développe une méthode d‟intervention
béhavioriste ayant pour but de contrôler les comportements de ces enfants pour favoriser
leur communication (même si la plupart des enfants observés par son équipe n‟avaient pas
développé de langage formel autre que l‟écholalie) et leur autonomie dans les aptitudes
sociales (Lovaas, 1987; Lovaas, Freitas, Nelson & Whalen, 1974; Rogers, 1998).
Pour que les enfants modifient leurs comportements, ils doivent suivre un programme
intensif pendant plus de 30 heures par semaine. Pendant ce temps d‟intervention, les
thérapeutes veulent « enseigner » aux enfants explicitement les comportements qui sont
6
acceptables en recourant à l‟imitation2. Les comportements travaillés sont ceux pour
lesquels l‟enfant présente des « déficits ». L‟adulte effectue le comportement correctement
et il attend de l‟enfant que ce dernier le réalise de la même façon. Pour ce faire, le
thérapeute doit entraîner l‟enfant; chaque fois que ce dernier reproduit le comportement
cible qui se rapproche de celui de l‟adulte (c‟est-à-dire du comportement attendu), l‟enfant
reçoit une récompense, comme une bouchée de sa nourriture préférée (Lovaas & al, 1974).
Par cette brève description, il est possible de constater que cette méthode est avant tout
comportementale. Lovaas et ses collaborateurs cherchaient à rendre l‟enfant autiste le plus
autonome possible pour favoriser sa communication et ses habiletés sociales. Pour ce faire,
l‟adulte doit, d‟une part, servir d‟exemple pour que l‟enfant manifeste les comportements
qui sont attendus de lui et, d‟autre part, récompenser l‟enfant aussitôt qu‟il les réalise.
1.2.2. La méthode T.E.A.C.C.H.
Parallèlement à la méthode A.B.A. et dans la même optique béhavioriste, la méthode
d‟intervention comportementaliste T.E.A.C.C.H. (pour Treatment and Education of Autistic
and related Communication handicapped CHildren) a été mise sur pieds par Eric Schopler
lors des années „60. Elle est basée sur le conditionnement opérant, tel que décrit dans la
psychologie béhavioriste (Chamak, 2010; Rogers, 1998; Schopler, Brehm, Kinsbourne &
Reichler, 1971; Schopler, Reichler & Lansing, 1988). Les thérapeutes qui utilisent cette
méthode ont comme ligne de conduite le principe que, si on travaille pendant une période
de temps suffisante, tout comportement indésirable peut être changé si des méthodes de
renforcement sont appliquées (Schopler, Reichler & Lansing, 1988). Ces renforcements
peuvent prendre la forme de récompenses : recevoir des bonbons lorsqu‟un exercice est
bien réalisé selon les attentes du thérapeute, pouvoir accumuler des minutes pour jouer avec
un jouet préféré ou pour écouter la télévision, etc. Elles servent principalement à motiver
2 La définition sous-entendue ici pour l‟imitation est celle utilisée dans la psychologie béhavioriste qui se
limite à une association directe et non différée d‟un comportement attendu. Il ne s‟agit pas de l‟imitation
au sens piagétien.
7
l‟enfant dans son travail et à favoriser sa socialisation, car cette méthode vise l‟acquisition
d‟un maximum d‟autonomie pour les personnes étant atteintes d‟un trouble du spectre
autistique, tout au long de leur vie (Chamak, 2010).
Pour que l‟enfant réussisse les tâches qui lui sont problématiques, l‟adulte peut la
décomposer en sous-étapes qui seront illustrées par des pictogrammes. De cette manière,
lorsque l‟enfant vit de petites réussites (chaque sous-étape bien réalisée), il sera alors
récompensé. Tout le matériel nécessaire à la réalisation d‟une tâche doit se trouver dans un
même endroit (par exemple dans un panier) pour conserver l‟attention de l‟enfant sur des
éléments jugés pertinents à la tâche par l‟adulte. Tout le matériel non nécessaire est rangé
dans d‟autres paniers. Pour que cette méthode soit efficace, elle doit être utilisée autant à
l‟école qu‟à la maison, avec le même système de pictogrammes, de paniers et de
récompenses. Dans une étude menée en 1971, Schopler, Brehm, Kinsbourne et Reichler
montraient que les enfants autistes réagissaient beaucoup mieux (c‟est-à-dire avaient de
meilleurs comportements) lorsque les tâches étaient structurées et menées par le thérapeute
que lorsqu‟elles étaient non structurées et décidées en cours de réalisation par l‟enfant
(Schopler, Brehm, Kinsbourne & Reichler, 1971). Le fait de fournir à l‟enfant une structure
qui peut être réutilisée à la maison permet de fournir à l‟enfant autiste des repères stables
entre ces deux milieux (pour répondre à son besoin de sameness, présenté précédemment).
Cette brève présentation permet de comprendre la posture épistémologique derrière cette
méthode : pour rendre la personne autiste autonome, il suffit de lui offrir un contrôle
externe sur son comportement par des récompenses alimentaires ou autres, en suivant un
horaire structuré constant. Pour y arriver, les tâches qui normalement posent problème à la
personne autiste sont décomposées en étapes par le thérapeute. Ces différentes étapes sont
souvent présentées par des activités isolées (des exerciseurs visant l‟automatisation) et
rangées dans des paniers qui contiennent tout le matériel nécessaire à leur réalisation.
8
1.3. Les contextes d’intervention privilégiés pour travailler le nombre
Comme démontré précédemment, on sait que les méthodes utilisées dans les écoles
québécoises pour accompagner les enfants autistes sont principalement A.B.A. et
T.E.A.C.C.H. Ces méthodes, bien qu‟elles soient considérées comme éducatives, servent
principalement à contrôler le comportement plutôt qu‟à réaliser des apprentissages
scolaires. Malgré cela, elles sont tout de même utilisées par les pédagogues pour soutenir
des apprentissages complexes, comme la langue et le nombre par exemple.
A contrario, pour les enfants tout-venant, les apprentissages scolaires sont plutôt basés sur
un programme par compétences3, qui doivent être construites par les enfants avec le soutien
des enseignants :
[Le Programme de formation de l‟école québécoise] propose une
organisation des savoirs sous forme de compétences de manière à leur
donner sens et ouverture et, d‟autre part, il retient un cadre conceptuel qui
définit l‟apprentissage comme un processus actif et continu de construction
des savoirs (p.4, MEQ, 2001).
En ce sens, le ministère adopte une position socioconstructiviste des savoirs pour les
enfants tout-venant et dans les classes régulières dans lesquelles les enfants autistes peuvent
être intégrés, alors qu‟une position béhavioriste est préconisée en classes spéciales.
Le nombre et le système de numération positionnelle est un construit social ayant subi
plusieurs transformations et complexifications à travers l‟histoire (Gingras, Keatin &
Limoges, 1999; Mainzer, 1999; Ross & Charbonneau, 2002; Sultan, 2008). Ils constituent
des objets de savoir complexes exigeant de multiples abstractions. Or, le nombre n‟ajuste
pas ses exigences aux enfants autistes. Il pose les mêmes exigences de conceptualisation et
d‟abstraction, ce qui ne peut être produit par des imitations béhavioristes ou par de simples
associations. La prochaine section vise précisément à étayer les fondements de la
construction du nombre.
3 Pour le MEQ (2001), une compétence est vue comme : « un savoir-agir fondé sur la mobilisation et
l‟utilisation efficaces d‟un ensemble de ressources » (p.4).
9
2. Cadre théorique
Le présent cadre théorique permet d‟examiner les notions-clés à partir desquelles des
interventions pédagogiques peuvent être construites pour travailler le concept du nombre
avec tout enfant autiste, sans recourir aux méthodes habituelles, comme A.B.A. et
T.E.A.C.C.H. La figure 1 tente de schématiser l‟émergence de la construction du concept
de nombre chez l‟enfant.
Figure 1 : Schéma conceptuel de l‟émergence de la construction du nombre4
4 Comme on s‟intéresse à la construction du concept du nombre chez un enfant, le schéma conceptuel du
nombre ne représente pas le nombre comme il sera une fois acquis (à ce moment, les aspects ordinal et
cardinal seraient alors fusionnés), mais bien son émergence et les concepts qui y contribuent.
10
Cette figure met en relief la relation inclusive qui existe entre l‟abstraction et le nombre. En
ce sens, pour que les nombres puissent être utilisés, le sujet doit faire preuve d‟abstraction.
De plus, l‟abstraction ne se réduit pas seulement au nombre, elle est notamment présente
lors de la construction et de l‟utilisation du langage. Le nombre en soi peut être décomposé
en deux aspects : ordinal et cardinal. Lorsque le nombre est réellement construit, ces deux
aspects convergent et s‟imbriquent pour devenir indissociables. Comme on s‟intéresse à la
construction du concept du nombre chez un enfant, ce schéma conceptuel du nombre ne
représente pas le nombre comme il sera une fois acquis (à ce moment, les aspects ordinal et
cardinal seraient alors fusionnés), mais bien son émergence et les concepts qui y
contribuent. Le schéma ici se penche sur l‟émergence du concept de nombre et de sa
construction progressive vers une représentation mature. Si dans une compréhension
mature, on peut envisager que les aspects ordinal et cardinal convergent et se combinent
dans une vision unifiée du nombre, il n‟en demeure pas moins que cette fusion provient
d‟un long travail de construction chez le jeune enfant. C‟est pourquoi le schéma présente
ces deux aspects du nombre en sous-ensembles distincts qui devront progressivement être
unifiés par l‟enfant notamment par trois opérations majeures à construire : le comptage, la
correspondance terme à terme et la conservation. Ces deux dernières opérations peuvent
émerger dans des contextes hors de ceux sollicitant directement le nombre, comme lors de
comparaison (pour la correspondance terme à terme) et avec des quantités continues
comme de la pâte à modeler (pour la conservation), voire en français dans la
correspondance graphème-phonème du système alphabétique (correspondance terme à
terme) et la conservation d‟une même chaîne de lettres pour représenter un même mot.
Afin d‟étayer plus en profondeur ce schéma conceptuel de l‟émergence de la construction
du nombre, l‟abstraction sera d‟abord explicitée, car elle demeure l‟assise fondamentale à la
construction du nombre. Ensuite, le concept même de nombre sera défini, ainsi que les
deux aspects qui permettent de le construire, soit l‟aspect ordinal et l‟aspect cardinal. Puis,
11
différentes opérations5 que l‟enfant doit construire pour identifier et travailler avec le
nombre, soit la correspondance terme à terme, la conservation et le comptage.
2.1. L’abstraction
Pour pouvoir déterminer le cardinal d‟une collection ou établir un ordre entre les éléments
la composant, l‟enfant doit être en mesure de faire abstraction des différences qui
pourraient être présentes entre les éléments pour les considérer comme un ensemble
possédant une caractéristique commune abstraite de chacun des objets de l‟ensemble, que
ce dernier soit plus ou moins homogène ou plus ou moins hétérogène. Dans ses nombreux
ouvrages, Piaget établit deux catégories principales d‟abstraction : l‟abstraction empirique
(ou abstraction simple) et l‟abstraction réfléchissante (Piaget, 1977; Piaget & Szeminska,
1964).
Tout objet possède des propriétés physiques qui peuvent être observables par le sujet,
comme sa couleur, sa forme, sa texture, etc. Pour pouvoir considérer ces propriétés, le sujet
doit faire preuve d‟abstraction empirique (Kamii, 1980; Kamii & DeVries, 1981; Piaget,
1977). Pour ce type d‟abstraction, l‟attention de l‟enfant est centrée sur une propriété de
l‟objet, habituellement physique (comme la couleur, la forme ou le type d‟objet) plutôt que
sur l‟ensemble de ses caractéristiques (Kamii, 1980). À titre d‟exemple, lorsqu‟une assiette
remplie de raisins lui est présentée lors de la collation, l‟enfant peut ignorer leur couleur
pour énoncer le nombre total de raisins, plutôt que de distinguer les 8 raisins verts des 12
raisins rouges. L‟abstraction repose précisément sur l‟ignorance de critères spécifiques au
profit de la construction d‟un critère générique, ici raisin.
5 La section sur les opérations à construire qui sera présentée en 2.1.1.3 ne se trouve pas être une subdivision
du nombre comme le sont l‟aspect ordinal et l‟aspect cardinal du nombre. Cette section devrait plutôt être
subordonnée, à la fois, à l‟aspect ordinal et à l‟aspect cardinal du nombre, car la fusion de ces deux aspects
du nombre provient de multiples actions de sériation et de classification faites par l‟enfant et de la
construction progressive de régularités qui mèneront l‟enfant à envisager le comptage, la correspondance
terme à terme et la conservation comme une opération. C‟est alors que la fusion des deux aspects sera
possible et c‟est pourquoi ces trois opérations sont représentées, dans la figure 1, par des flèches d‟actions
potentielles pouvant agir sur les aspects ordinal et cardinal du nombre.
12
Le nombre, quant à lui, en raison de sa conception hiérarchique et inclusive (en ce sens que
4 inclut 3, qui inclut 2, qui inclut 1), exige que l‟abstraction qui lui est portée soit tout autre
et qu‟elle concerne davantage les relations qui existent entre les éléments comparés, dans ce
cas-ci, les nombres eux-mêmes et les opérations qui y sont effectuées, peu importe les
objets physiques qu‟ils représentent et leurs caractéristiques. C‟est l‟abstraction
réfléchissante qui permet au sujet de réagir à la suite des opérations ou des actions qui ont
été apportées en créant et en établissant des relations entre divers éléments (Kamii &
DeVries, 1981). Les relations ainsi établies sont basées sur la coordination des actions qui
peuvent être effectuées de façon inconsciente et pourront, dans le futur, créer des prises de
conscience et de conceptualisations chez l‟enfant (Piaget, 1977). Ces relations sont d‟ordre
logico-mathématique et elles se construisent sur des construits antérieurs de l‟enfant,
notamment sur la base de multiples abstractions empiriques. Ce type d‟abstraction n‟est pas
tiré des objets en tant que tels, comme le serait une seule abstraction empirique, mais bien
des actions que l‟on peut effectuer, comme réunir des objets en une classe plus générale,
ordonner, mettre en correspondance, etc. (Piaget, 1968). Il convient d‟illustrer cette notion
par deux exemples.
D‟abord, lorsque l‟on tente de comparer la hauteur de la tour de Pise et la hauteur de la tour
Eiffel, cette relation n‟existe pas ni dans la tour Eiffel même ni dans la tour de Pise, par
contre, l‟enfant est capable de visualiser ces deux tours en connaissant leur hauteur6 : « la
tour Eiffel est plus haute que la tour de Pise » peut être énoncée en tentant d‟établir une
relation de correspondance entre leurs hauteurs respectives. Pour ce faire, l‟abstraction doit
être réfléchissante, car elle ne concerne pas les caractéristiques des tours en soi, mais bien
la relation qui existe entre leurs hauteurs respectives, soit 324 mètres est plus grand que 56
mètres.
Dans un même ordre d‟idées, on peut dresser une collection de 6 objets devant un enfant.
Ce dernier arrive à les compter en utilisant une abstraction empirique. Il peut, en plus, faire
preuve d‟abstraction réfléchissante lorsqu‟il énonce que la quantité ne changera pas, même
6 La tour Eiffel mesure 324 mètres et la tour de Pise, environ 56 mètres.
13
si l‟ordre et la disposition des éléments sont modifiés; il coordonne alors la cardinalité et
l‟identité de la collection (DeBlois, 1993). C‟est ce type d‟abstraction qui permet de mettre
les nombres en relation, comme lorsque l‟enfant est questionné sur quel nombre est le plus
grand ou s‟il y a égalité.
2.1.1. Le nombre
Plusieurs auteurs abordent la définition du nombre (Baruk, 1995, 2003; Gelman &
Gallistel, 1986; Piaget, 1967; Piaget & Szeminska, 1964; Van Nieuwenhoven, 1999). Parmi
eux, Baruk (1995) établit deux sens très différents à la notion de nombre. Selon son sens
mathématique premier, un nombre peut être défini comme : « un élément d‟un ensemble de
nombres » (p.762), les ensembles de nombres étant, selon Baruk (1995, 2003) et Van
Nieuwenhoven (1999), les nombres entiers naturels ( ), les nombres entiers relatifs ( ), les
nombres rationnels ( ), les nombres réels ( ) et les nombres complexes ( ). Ces
ensembles de nombres sont inclusifs, en ce sens que les nombres entiers naturels font partie
de la classe des entiers relatifs, qui font partie de la classe des rationnels, etc. Pour travailler
les nombres de cette façon, le sujet doit faire preuve d‟abstraction réfléchissante pour
comprendre les relations qui existent entre ces classes de nombres, qui semblent pourtant
assez différentes. Le deuxième sens, qui relève davantage du sens commun, évoque l‟idée
de quantité liée au nombre, que Baruk (1995, 2003) nomme le « nombre-de ». À cet effet,
dans un ouvrage paru en 2003, cette auteure écrit :
Certains caractères d‟une quantité peuvent s‟exprimer grâce aux nombres,
mais doivent en être distingués : pour cela, il suffit que des nombres suivis
de ce qu‟ils comptent, évaluent ou mesurent soient appelés des nombres-de
(p.32).
De plus, il n‟y a rien dans l‟appellation du nombre en soi (dans le mot nombre) qui exprime
ou représente une quantité, en ce sens que cela demeure arbitraire. La combinaison des
phonèmes /d/, /i/ et /s/ qui forment le mot « dix » n‟a aucune valeur en soi, car le signifiant
(le mot « dix ») et le signifié (ce qu‟est 10, le concept même, la représentation mentale que
l‟on s‟en fait) sont unis arbitrairement. Piaget (1968) souligne, en exposant les conceptions
de Saussure, que le signifiant n‟a rien dans ses caractéristiques phonétiques qui peuvent
informer le lecteur ou l‟auditeur sur le contenu du signifié. Cela ne s‟applique pas
14
seulement aux mots nombres, mais bien à tous les mots du langage. Par contre, il est
possible d‟affirmer que le nombre, s‟il est accompagné d‟un substantif nominal qui
explicite ce qui est représenté, peut être utilisé dans le but de représenter une quantité. À
titre d‟exemple, si on énonce « 6 » ou « 6 bonbons », le sens du nombre utilisé dans ces
deux énoncés n‟est pas le même; dans le deuxième cas, il s‟agit nécessairement d‟un
« nombre-de » au sens de Baruk. L‟enfant aura plus de facilité à conceptualiser « 6
bonbons », car il lui est possible de recourir à la visualisation de ces bonbons qui pourront
être alors dénombrés, chose qui lui est beaucoup plus difficile à faire avec le nombre,
comme objet mathématique, « 6 ». Si l‟on s‟intéresse à la construction du nombre et à son
émergence chez le jeune enfant, la distinction de « nombre-de » qu‟apporte Baruk au
nombre est plus pertinente dans le cadre de ce mémoire que la définition proprement
mathématique.
Quant à eux, Piaget et Szeminska (1964) présentent deux aspects au nombre7 : l‟aspect
ordinal et l‟aspect cardinal. En effet, au sein d‟une série d‟objets ordonnés, il est possible
d‟utiliser des nombres pour représenter la position des éléments (aspect ordinal) et pour
représenter la totalité des éléments (aspect cardinal). À titre d‟exemple, lors d‟une fête
d‟Halloween, les enfants veulent amasser le plus de bonbons et organisent un concours.
Celui qui aura obtenu le plus grand nombre de bonbons est celui qui possède la collection
qui a le plus grand cardinal. Il sera le grand gagnant et donc terminera le concours premier.
Il s‟agit de deux aspects du nombre en partie paradoxaux : en ce qui concerne l‟aspect
cardinal, en général, il est préférable d‟obtenir le plus grand résultat (nombre de bonbons
amassés, nombre de billes, nombre de buts lors d‟une partie de hockey, etc.) alors qu‟en ce
qui concerne l‟aspect ordinal, il vaut mieux obtenir un petit nombre (il est préférable d‟être
le premier plutôt que le trentième, bien que trente soit plus grand qu‟un).
La maîtrise des aspects du nombre doit permettre au sujet de comprendre que celui qui est
né en 2005 est plus âgé que celui né en 2010 bien que, dans son aspect cardinal, à l‟inverse,
7 Ces aspects seront définis plus amplement dans la prochaine section.
15
2005 est plus petit que 2010. D‟ailleurs, Piaget et Szeminska (1964) décrivent ce paradoxe
comme suit :
[…] une série dont les termes, tout en se succédant selon les relations
d‟ordre que leur assignent leurs rangs respectifs, sont également des unités
équivalentes les unes aux autres et par conséquent susceptibles d‟être réunies
cardinalement (p.204).
Dans cette optique, chez les piagétiens, la maîtrise du nombre est acquise lorsque l‟enfant
est en mesure d‟établir ces deux types de relations entre les nombres : l‟ordre (aspect
ordinal) et l‟inclusion hiérarchique (aspect cardinal). Ces deux relations sont interreliées;
lorsque des éléments sont mis en ordre au sein d‟une même collection, ils sont forcément
inclus dans un ensemble plus grand (la collection elle-même) qui est régi par une certaine
hiérarchie (comme le 4e élément qui englobe à la fois le 3
e, le 2
e et le 1
er). En effet, comme
le souligne Fayol (1990), à l‟instar de Piaget, « l‟apprentissage “par cœur” de la chaîne
numérique verbale […] ne permettrait pas de dénombrer n‟importe quelle collection au
cardinal jusqu‟alors ignoré » (p.38). À cet effet, il est nécessaire de comprendre ce que
représente le nombre et l‟inclusion qui existe dans la chaîne numérique (Figure 2).
Figure 2 : Relation inclusive des nombres jusqu‟à 4.
Comme ce mémoire s‟intéresse aux assises premières de la construction du concept de
nombre par la maîtrise de ses aspects ordinal et cardinal, la définition de Piaget et
Szeminska (1964) sera privilégiée, car elle concerne, à la fois, les aspects ordinal et
cardinal du nombre, plutôt que celles de Baruk qui n‟abordent que le nombre proprement
mathématique et la cardinalité. Étant donné leur importance dans la constitution et dans la
compréhension du nombre, il convient d‟approfondir dans un premier temps les aspects
ordinal et cardinal du nombre. Ces assises permettront d‟ouvrir ensuite sur le comptage.
16
2.1.1.1 Aspect ordinal
Dans une perspective piagétienne, pour bien saisir la relation d‟ordre entre les nombres, il
est nécessaire de définir ce qu‟est l‟aspect ordinal du nombre. L‟aspect ordinal permet
d‟identifier une position au sein d‟un ensemble ordonné préalablement établi. À titre
d‟exemple, parmi un ensemble de sept voitures faisant une course, le nombre 5 désigne la
voiture qui est à la cinquième position dans la course.
Van Nieuwenhoven (1999) ajoute que les nombres ordinaux « sont utilisés pour désigner
un élément individuel par sa position à l‟intérieur d‟un ensemble plutôt que pour quantifier
un ensemble comme un tout » (p.106). L‟aspect du nombre qui permettrait de quantifier
l‟ensemble comme un tout serait l‟aspect cardinal du nombre. Ce dernier sera défini sous
peu. Un exemple d‟aspect ordinal du nombre peut être observé au sein du calendrier. Dans
le cas du calendrier grégorien, il débute toujours par le mois de janvier (1er
mois) et il se
termine par le mois de décembre (12e mois), ce qui fait référence à une collection
quantifiable prédéterminée au sein de laquelle un ordre est établi. Il y a douze mois dans
une année et chaque mois conserve toujours la même position.
L‟aspect ordinal du nombre se développe de façon progressive chez l‟enfant, ce dernier
passant par trois stades lors de cette acquisition (Piaget & Szeminska, 1964). À titre
d‟exemple, voyons comment se différencient les actions et les raisonnements d‟un enfant
dans le contexte d‟une tâche de sériation pour chacun de ces trois stades. Au premier stade,
l‟enfant ne parvient pas à dresser les éléments selon leur taille, il échoue la sériation. S‟il lui
est demandé de sérier des pailles de différentes longueurs, l‟enfant prendra n‟importe quelle
paille au hasard pour les placer l‟une à côté de l‟autre. Il peut également réussir à constituer
de petites séries juxtaposées ou tenter de « créer un effet d‟escalier » en ne considérant que
la partie supérieure de la paille (et donc, en ne plaçant pas les pailles sur une ligne
horizontale). À ce stade, il fait preuve d‟un jugement pré-sérial. Au deuxième stade,
l‟enfant parvient à sérier les pailles en effectuant plusieurs tâtonnements. Il arrive à
construire la série correctement, au bout de plusieurs tentatives, mais il n‟est pas en mesure
d‟établir des relations entre les éléments qui la composent. Son raisonnement est encore
principalement basé sur les intuitions et sur sa perception. Finalement, au troisième stade,
17
l‟enfant comprend la sériation, en ce sens qu‟il considère qu‟une même paille peut être, à la
fois, plus petite et plus grande qu‟une autre. Sa sériation n‟est plus basée sur sa perception
et sur des intuitions, elle est opératoire due à une coordination des relations qui deviennent
alors réversibles.
2.1.1.2 Aspect cardinal
Pour pouvoir comptabiliser les éléments d‟une collection une seule fois, il est nécessaire
d‟utiliser une certaine organisation, d‟où l‟utilité de sérier les éléments avant d‟en faire le
décompte pour déterminer leur nombre. En ce sens, Piaget et sa collaboratrice Szeminska
définissent le nombre cardinal comme étant : « une classe dont les éléments sont conçus
comme des unités équivalentes les unes aux autres et cependant comme distinctes, leurs
différences consistant alors seulement en ceci que l‟on peut les sérier, donc les ordonner »
(1964, p.204).
Si l‟on reprend l‟exemple précédent des voitures qui font la course, sur l‟ensemble des sept
voitures, le nombre 5 désigne une quantité de voitures faisant la course : si l‟enfant en
possède 5 sur un total de 7, il est celui qui en a le plus. Dans le même sens, pour connaître
le nombre de fruits qui sont dans le panier, l‟enfant entreprend le comptage des éléments
qui s‟y trouvent. Il compte 3 bananes, 2 oranges et 4 pommes. Il lui est nécessaire de sérier
les bananes, les oranges et les pommes pour ne pas recompter un même fruit à plusieurs
reprises. La banane qui est comptée en premier doit conserver sa première position pour
que le dénombrement soit exact. De plus, pour connaître le nombre total de fruits, il doit
considérer cet ensemble hétérogène comme un tout, d‟où l‟importance de la notion
d‟inclusion hiérarchique : il doit regrouper les 3 bananes, les 2 oranges et les 4 pommes
pour énoncer qu‟il y a 9 fruits. Il y a donc nécessité d‟abstraction réfléchissante permettant
de réunir en une seule collection selon un critère commun ses éléments hétérogènes et
distincts.
18
2.1.1.3 Opérations à construire
Pour pouvoir affirmer que le concept de nombre est construit, il est important de vérifier si
l‟enfant a précédemment construit plusieurs opérations qui lui seront nécessaires, comme la
correspondance terme à terme, la conservation et le comptage.
2.1.1.3.1 La correspondance terme à terme
Dans une perspective piagétienne, si l‟on souhaite que le comptage et la chaîne numérique
ne prennent pas le sens d‟une simple comptine, il faut privilégier, chez le jeune enfant,
l‟action concrète répétée et la réflexion sur elle pour favoriser les mises en relation. Pour ce
faire, la procédure de correspondance terme à terme peut être réalisée de deux façons : 1)
en faisant correspondre des éléments de deux collections distinctes ensemble, ce qui ne
nécessite aucun comptage; ou 2) en énonçant un mot nombre par élément dénombré lors
d‟un comptage.
Lors de la comparaison de collections, la correspondance terme à terme entre leurs
éléments permet à l‟enfant d‟établir l‟égalité ou la non-égalité entre des collections
distinctes qui lui seraient présentées. Par contre, pour pouvoir se prononcer sur la différence
qu‟il soulève entre les collections, il devra recourir au comptage ou du moins à certaines
notions qui le supposent : à cet effet, il devra faire correspondre un mot nombre pour
chaque élément dénombré. À titre d‟exemple, après avoir fait des correspondances entre les
éléments de deux collections de différentes tailles (12 éléments contre 15), l‟enfant énonce
que la deuxième en contient plus parce qu‟il en reste 3 et qu‟il n‟y en a plus de l‟autre côté.
À cette fin, il opère sur le nombre, il compare et il parvient à identifier quelle collection
comporte le plus d‟éléments et laquelle en a le moins. L‟enfant se dote ainsi d‟un outil pour
expliquer sa réponse, et ce, même si sa chaîne numérique ne se rend pas à 15. C‟est en
partie en ce sens que l‟opération pour Piaget précède et constitue le nombre et le comptage,
19
contrairement à ce que postule Gelman et Gallistel (1986) et Van Nieuwenhoven (1996,
1999).
La correspondance terme à terme peut même devenir une opération8 en ce sens que si l‟on
déplace les éléments devant l‟enfant, ce dernier pourrait utiliser des arguments de
réversibilité, de non-ajout et de non-retrait pour maintenir sa réponse, et ce, même si le
nombre d‟objets en jeu dépasse la chaîne numérique maîtrisée par l‟enfant. Viser à ce que
l‟enfant procède par correspondance terme à terme et à ce qu‟il conceptualise cette action
comme une opération devient donc un objectif essentiel dans la construction même du
nombre, beaucoup plus que de simplement étendre la chaîne des nombres.
À titre d‟exemple, à la figure 3, deux collections de jetons sont éparpillées sur la table et
sont présentées à l‟enfant. On lui demande si les deux collections comportent le même
nombre de jetons ou si l‟une des deux est plus nombreuse. Ensuite, on demande à l‟enfant
d‟expliquer comment il peut le savoir. Pour ce faire, il peut utiliser cette correspondance
terme à terme comme démontré à la figure 4.
Figure 3 : Collections de jetons éparpillés
Figure 4 : Utilisation de la correspondance terme à terme pour comparer deux
collections
8 Ici, pour le terme « opération », c‟est la définition piagétienne tirée de Legendre-Bergeron (1980) qui est
préconisée. Une opération est « une action intériorisée, c‟est-à-dire effectuée symboliquement ou en
pensée et réversible » (p.139). Plus précisément, on s‟intéresse aux opérations logico-arithmétiques, car
ces dernières portent sur « des éléments discrets réunis en classe, sériés ou dénombrés et sont
indépendants de l‟espace et du temps » (p.140).
20
Lorsque la correspondance terme à terme dans la comparaison de collections est bien
utilisée (en organisant les jetons de manière à pouvoir comparer les deux collections
visuellement, c‟est-à-dire sans avoir besoin de compter), l‟enfant est capable de vérifier
rapidement si les collections qui lui sont présentées sont équivalentes ou non. Même
lorsque les jetons de la deuxième rangée sont déplacés, de sorte que les jetons dépassent à
droite et à gauche, l‟enfant confirme que c‟est toujours pareil, car il énonce qu‟il est
possible de les remettre comme ils étaient avant. Cela témoigne qu‟il comprend la
réversibilité mise en jeu. La correspondance terme à terme devient dès lors une opération
logico-arithmétique au sens piagétien, car elle porte sur des éléments discrets sériés dans
des collections, indépendant de l‟espace occupé (Legendre-Bergeron, 1980). Elle est
intériorisée symboliquement puisque l‟enfant établit ici l‟équivalence avant même l‟action
pratique en anticipant que s‟il fait de nouveau une correspondance (lorsqu‟il veut remettre
les éléments à leur état initial), il obtiendra ce qu‟il avait au départ. De cette façon, l‟enfant
est en mesure de comparer des collections, et ce même s‟il ne parvient pas toujours à en
déterminer le cardinal. Pour y arriver, il devra recourir à un nouvel outil : le comptage
utilisé en correspondance terme à terme (un mot nombre par élément dénombré).
2.1.1.3.2 La conservation
Si l‟on conçoit l‟importance de l‟opération de la correspondance terme à terme dans la
construction du nombre, il convient dès lors de la mettre en relation avec la capacité
d‟établir la conservation. En effet, lors de la construction des deux aspects du nombre
(l‟aspect ordinal et l‟aspect cardinal), il est important de vérifier si l‟enfant est capable de
maintenir un jugement rationnel sur des quantités lorsque leur apparence est modifiée par
une tierce personne, donc faire preuve de conservation.
Pour ce faire, l‟enfant doit faire preuve d‟abstraction réfléchissante, telle que définie
précédemment et faire preuve de conservation. À l‟instar de Piaget, Legendre-Bergeron
(1980) explique la conservation comme étant « la capacité de dégager les aspects invariants
de l‟objet au travers des transformations qu‟il subit » (p.60). Vilette (1996) établit que
l‟enfant a compris la notion de conservation lorsqu‟il est en mesure de comprendre la
réversibilité (retour à l‟état antérieur) et les différences perçues entre les modifications. Les
21
tâches mathématiques proposées aux jeunes enfants visant la conservation ont été
développées à l‟origine par Jean Piaget. Dans celle-ci, l‟enfant ne constate pas seulement
les différences entre les collections qui lui sont présentées, mais il considère également les
modifications qui y ont été apportées sous ses yeux. Malgré la différence qui subsiste
visuellement entre les deux quantités à comparer, l‟enfant est capable de faire preuve
d‟abstraction réfléchissante et d‟imaginer un possible retour à l‟état précédent sans avoir
besoin de manipuler les collections elles-mêmes. Lorsque la conservation est acquise,
Piaget et Inhelder (1967) décrivent que :
[…] les états sont dorénavant subordonnés aux transformations et celles-ci,
étant décentrées de l‟action propre pour devenir réversibles, rendent compte
à la fois des modifications en leurs variations compensées et de l‟invariant
impliqué par la réversibilité (p.77).
La conservation peut être observée, entre autres, sur des quantités continues (comme des
longueurs, du volume, ou du poids) et sur des quantités discontinues.
2.1.1.3.2.1 Quantités continues
La conservation de quantités continues peut être définie par la capacité de l‟enfant à faire
abstraction de la forme pour déterminer la grandeur d‟une quantité comparativement à celle
d‟une autre. Elle s‟acquiert en trois stades, qui sont assez similaires pour la conservation
des quantités discontinues : 1) l‟absence de conservation; 2) les réponses intermédiaires; et
3) la conservation nécessaire (Piaget & Szeminska, 1964). Ce type de conservation est
généralement évalué, chez les jeunes enfants, à l‟aide de boules de pâte à modeler. Lorsque
les sujets sont plus âgés, la conservation de quantités continues peut être vérifiée à l‟aide de
variation de longueurs, de volume et de poids, mais les stades sont les mêmes pour tous ces
items. Si un adulte présente deux boules de pâte à modeler de même taille, l‟enfant doit
établir l‟égalité entre ces deux parts de pâte. Lorsque l‟égalité a été établie, l‟adulte prend
une des deux boules et la transforme sous les yeux de l‟enfant en trois temps : en galette, en
rouleau et en miettes. Entre chaque transformation, il y a un retour à l‟état initial, c‟est-à-
dire la formation de boule de même grosseur que celle de référence.
Au premier stade (absence de conservation), le fait que la part de pâte n‟ait plus la même
apparence laisse croire à l‟enfant qu‟il s‟agit d‟une nouvelle quantité. Piaget et Szeminska
22
(1964) parlent de ce stade en l‟appelant « le stade de la quantité brute », en ce sens que
l‟enfant utilise principalement sa perception pour déterminer la grosseur de la collection au
lieu de recourir à une procédure plus efficace, telles que la quantification et l‟établissement
de relations entre les éléments mis à sa disposition. L‟absence de conservation des quantités
continues peut être observée lorsque l‟enfant pense que la modification de la forme (comme
une boule de pâte à modeler qui est transformée en galette) entraine une modification dans
la quantité. Si l‟apparence d‟une de ces deux boules est modifiée (en faisant un rouleau, une
galette ou des miettes par exemple), l‟enfant énoncera qu‟une des deux parts contient plus
de pâte que l‟autre (soit la boule initiale qui n‟a pas été modifiée ou la boule transformée),
même si aucun ajout ou retrait de pâte n‟a été effectué. À ce moment, l‟enfant utilise
seulement sa perception pour déterminer la ressemblance ou la différence de quantité des
deux parts de pâte qui lui sont présentées. Pour un enfant « non conservant », il est
inconcevable qu‟une quantité de matière « puisse demeurer invariante au travers des
changements de forme » (Piaget & Szeminska, 1964, p.22). Cette absence de conservation
est présente jusqu‟à 4 ou 5 ans.
Au deuxième stade (réponses intermédiaires), l‟enfant fournit des réponses qui montrent
qu‟il a compris l‟idée de conservation quand les différences entre les quantités ne sont pas
très importantes, mais lorsque les changements sont importants, il a tendance à douter de lui
et il redevient « non conservant ». À ce stade, la quantification devient de plus en plus
importante dans les réflexions de l‟enfant. En effet, l‟enfant tente de considérer, à la fois,
l‟aspect perceptif et les relations opératoires effectuées sur les quantités pour fournir une
réponse, mais il n‟y parvient pas toujours. Vers 6 ans, l‟enfant commence à comprendre
que la quantité n‟est pas modifiée, mais ce n‟est pas stable encore dans son esprit. Lorsque
la transformation est plutôt simple (comme lorsque l‟on écrase la boule pour en faire une
galette), l‟enfant peut affirmer qu‟il s‟agit toujours de la même pâte que l‟on avait
initialement. Par contre, lors de la transformation en rouleau ou en miettes, comme
l‟apparence n‟est plus la même et que la pâte n‟occupe plus le même espace, un doute peut
survenir chez lui; il fournit alors des réponses qui montrent que, pour lui, les quantités
continues ne sont pas conservées à la suite de transformations. Lors de la transformation de
la boule en miettes (Figure 5), l‟enfant doit prendre en considération l‟espace occupé par
les miettes bleues, mais aussi leur grosseur : malgré le fait qu‟elles soient plus nombreuses
23
que la boule jaune, elles sont beaucoup plus petites. Les enfants du deuxième stade ont de
la difficulté à intégrer toutes ces informations lors de leurs réflexions.
Figure 5: Item de conservation des quantités continues
Au troisième stade (conservation nécessaire), il n‟y a plus de doute dans l‟esprit de
l‟enfant : peu importe les modifications qui sont apportées, il affirme qu‟il s‟agit toujours
de la même quantité. L‟enfant n‟utilise plus seulement sa perception pour déterminer si les
quantités sont égales ou non. Il est capable d‟analyser les changements qui ont été apportés
et de comprendre que, même si la forme est différente, il s‟agit toujours de la même pièce
de pâte à modeler. Ce stade est atteint vers l‟âge de 7 ans selon Piaget et Szeminska (1964)
et vers 9 ans selon Meljac et Lemmel (2007).
2.1.1.3.2.2 Quantités discontinues
La conservation de quantités discontinues peut être définie par la capacité de l‟enfant de
faire abstraction de la disposition des objets pour déterminer et maintenir le cardinal d‟une
collection. Cette abstraction est réfléchissante, telle que définie précédemment. L‟enfant
doit évaluer les relations entre les quantités qui lui sont présentées pour pouvoir les
comparer. Son acquisition est caractérisée par trois grandes étapes de développement : 1)
l‟absence de conservation; 2) le début de constitution d‟un ensemble; et 3) la conservation
et la coordination (Piaget & Szeminska, 1964).
Au premier stade (absence de conservation), l‟enfant croit que les modifications qui sont
faites par une autre personne sous son observation affectent la quantité des éléments qui
avaient été préalablement dénombrés. Il ressent alors le besoin de dénombrer chaque fois
qu‟une modification est faite à la collection par l‟expérimentateur, même si aucun ajout ni
retrait n‟est fait. À ce moment, il ne se fie qu‟à sa perception, en ne considérant pas les
modifications en tant que telles, mais seulement le résultat final, ce qui le laisse croire à un
24
changement de la quantité d‟éléments qu‟il a toujours sous les yeux. Selon Piaget et
Szeminska (1964), « les quantités sont d‟abord évaluées simplement en fonction des
rapports perceptifs non coordonnés entre eux […] et c‟est cette incohérence initiale qui
explique à la fois les continuelles contradictions entre les jugements successifs de l‟enfant
et l‟absence de tout critère de conservation » (p.45). À titre d‟exemple, dans un premier
temps, une rangée de six jetons comme suit est présentée à un enfant :
Figure 6 : Collection initiale de jetons
L‟enfant dénombrera la collection correctement et indiquera qu‟il y a six jetons.
L‟expérimentateur prendra les mêmes six jetons et les déplacera légèrement de manière à
ce que les jetons soient plus distancés, comme illustré à la figure 7 :
Figure 7 : Collection de jetons modifiée une première fois
À ce moment, l‟enfant qui n‟a pas compris l‟idée de conservation dénombrera à nouveau
les jetons, même si aucun ajout ni retrait n‟a été apporté par l‟expérimentateur. Selon Piaget
et Szeminska (1964), la non-conservation du nombre peut être présente jusqu‟à l‟âge de 5
ans.
Au deuxième stade (début de constitution d‟un ensemble), les réflexions de l‟enfant se
situent entre la perception (les quantités brutes) et la quantification. L‟enfant hésite, car il
sait qu‟aucun élément n‟a été ajouté ou retiré de l‟ensemble dénombré, mais l‟apparence
n‟est plus la même; cela le pousse à les dénombrer de nouveau, ce qui est caractéristique
d‟une non-conservation. À ce stade, la conservation du nombre commence à apparaître
dans le raisonnement de l‟enfant (alors âgé de 5 ou 6 ans, selon les travaux de Piaget),
même s‟il est possible de voir que ce n‟est pas toujours stable. Si, toujours à partir de la
même rangée de départ (Figure 6), l‟expérimentateur prend les jetons et les regroupe de
manière à faire un tas, comme démontré à la figure 8, l‟enfant pourrait revenir avec des
25
conceptions issues de la non-conservation. Les réponses aux questions de conservation
montrent que parfois le jugement est conservatoire pour l‟une des situations (la rangée plus
espacée comme à la figure 7), mais non conservatoire pour l‟autre (les jetons rassemblés
comme à la figure 8) ou l‟enfant hésite beaucoup et ne semble pas certain de ses
réponses (Kamii, 1980). L‟enfant doit donc prendre l‟expérience de ce type de
confrontation et réfléchir sur elle de multiples fois et dans une variété de contextes afin de
construire une conservation solide.
Figure 8: Collection de jetons modifiée une deuxième fois
Au troisième stade (conservation et coordination), l‟enfant est convaincu que les
changements de disposition n‟affectent pas la quantité qui lui est présentée. Pour justifier
ses réflexions sur la conservation, l‟enfant peut recourir à trois types d‟argument, selon
Kamii (1980), à l‟instar de Piaget : d‟identité, de réversibilité ou de compensation.
L‟argument d‟identité est lorsque l‟enfant affirme que la quantité est la même, car il s‟agit
toujours de la même collection, car il n‟y a eu aucun ajout ni aucun retrait. Un argument de
réversibilité serait que l‟enfant sait qu‟il est possible de replacer les jetons à leur endroit
initial pour vérifier s‟ils sont encore tous présents, ce raisonnement témoigne d‟une
réflexion plus évoluée de l‟enfant : il ne se fie plus seulement à sa perception, il considère
maintenant les changements apportés à la collection qu‟il a sous les yeux. Il est maintenant
capable de visualiser un retour à l‟état initial avant de le réaliser. Et finalement, pour
l‟argument de compensation, l‟enfant analyse la collection qui lui est présentée et il
comprend que, à titre d‟exemple, si la rangée est plus longue, elle ne contient pas
nécessairement plus de jetons, car les dit-jetons sont plus espacés les uns des autres.
Lorsque la conservation du nombre est maîtrisée, le changement d‟apparence de la
collection n‟affecte pas le raisonnement de l‟enfant. Comme le décrivait Van
Nieuwenhoven (1999), « être conservant [avoir acquis la notion de conservation], c‟est
admettre que le nombre d‟objets présents dans une collection ne peut être modifié que par
l‟addition ou le retrait d‟un ou de plusieurs éléments : tous les autres changements étant non
26
pertinents, sans impact » (p.31). Selon certains auteurs (Piaget & Szeminska, 1964; Meljac
& Lemmel, 2007), la conservation du nombre serait maîtrisée vers l‟âge de 7 ans.
2.1.1.3.3 Le comptage
En plus de vérifier si l‟enfant est en mesure d‟établir des correspondances terme à terme et
de se prononcer sur des questions de conservation, il est important de vérifier plusieurs
habiletés, dont la capacité de l‟enfant à compter et à opérer sur les nombres avant d‟établir
que son concept de nombre est construit. Piaget insistera sur la nécessité que ce comptage
soit assis sur l‟opération (N+1, N+2, N+n', etc.), sur une construction solide des aspects
ordinal et cardinal du nombre, reposant sur de multiples abstractions empiriques et
réfléchissantes dans des actions concrètes de collections, de sériation, de comparaison, etc.
Le comptage permet à l‟enfant, entre autres, d‟évaluer des quantités d‟objets à l‟aide de la
suite numérique et de raisonner sur ces quantités. Par contre, cette activité doit avoir du
sens pour l‟enfant et avoir un but particulier, qui peut être lié très fortement à la cardinalité.
En effet, le comptage, entre autres, permet d‟identifier le nombre d‟éléments dénombrés.
Certains auteurs, comme Fuson (1988, 1991), Gelman et Gallistel (1986) et Van
Nieuwenhoven (1996, 1999) font passer au premier plan l‟importance du comptage,
préalablement et comme soutien à l‟opération ultérieure. Ces derniers affirment que :
À l‟origine, les enfants ne peuvent raisonner sur les nombres sans avoir des
références sur ce qu‟ils représentent. Ces représentations sont obtenues par le
comptage. Les jugements d‟équivalence ou de mise en ordre, l‟application
d‟opérations d‟addition, de soustraction, l‟identité des nombres et les
processus de résolution dépendent tous du comptage (Gelman & Gallistel,
1986, p.244)9.
Bien que ce mémoire se rattache davantage à la conception piagétienne de la construction
du nombre misant sur l‟importance que la chaîne numérique soit assise sur l‟opération sur
le nombre, la grille d‟analyse portant sur le comptage développé par Gelman et Gallistel
9 Traduction libre.
27
demeure intéressante pour interpréter quelques conduites de l‟enfant dans leur
dénombrement.
Les collections que l‟enfant aura à compter doivent être visibles et manipulables pour qu‟il
puisse conceptualiser le nombre qui est formé par ses éléments. L‟enfant doit donc dépasser
le stade de l‟abstraction empirique pour pouvoir opérer sur les nombres; pour ce faire, il
peut utiliser le comptage. Les jeunes enfants ont besoin de matériel concret pour pouvoir
comprendre le nombre, ce qui rejoint le concept d‟abstraction abordé par Piaget. Tout
comme l‟apprentissage de la suite des mots nombres (chaîne numérique) ne suffit pas à
maîtriser le comptage, ce dernier ne suffit pas non plus à la compréhension du système
numérique (Fayol, 1990; Fuson, 1988, 1991; Gelman & Gallistel, 1986; Van
Nieuwenhoven, 1996; Vergnaud, 1981).
En ce sens, Gelman et Gallistel (1986), qui ont été repris par Van Nieuwenhoven (1996,
1999), se sont questionnés sur le processus de comptage et en sont venus à 5 principes de
comptage qui doivent être maîtrisés pour pouvoir acquérir le nombre : 1) principe de la
correspondance terme à terme entre le mot nombre utilisé et l‟élément dénombré (one-one
principle); 2) principe d‟ordre stable (stable-order principle); 3) principe cardinal (cardinal
principle); 4) le principe d‟abstraction (abstraction principle); et 5) le principe de la non-
pertinence de l‟ordre (order-irrelevance principle).
1) Le principe de la correspondance terme à terme est utilisé lors des dénombrements
et est circonscrit à la correspondance entre un objet dénombré et la chaîne
numérique. Pendant cette activité, chaque mot nombre doit être associé à un seul
élément dénombré. Ce principe comporte deux phases importantes : la séparation
des éléments (en comptés et non comptés) et le marquage de ces éléments (pour ne
pas les compter plusieurs fois ou en oublier).
2) Le principe d‟ordre stable requiert que la séquence de mots nombres de la chaîne
numérique soit stable, en ce sens qu‟à toutes les fois qu‟un comptage est effectué,
les mots nombres sont toujours à la même position (comme le 5 qui est entre le 4 et
le 6). Ce principe est acquis lorsque chaque terme utilisé conserve toujours la même
position dans la chaîne numérique : les éléments qui le précèdent et qui le suivent
sont toujours les mêmes.
28
3) Pour le principe cardinal, l‟enfant doit comprendre que le dernier mot nombre
énoncé lors d‟un comptage représente la quantité totale d‟éléments dénombrés.
4) Le principe d‟abstraction permet à la personne qui compte de ne pas considérer les
différences physiques qui peuvent exister entre les éléments comptés et de les
considérer ainsi comme un tout, malgré leur hétérogénéité.
5) Le dernier principe, celui de non-pertinence de l‟ordre, permet de mettre en exergue
que l‟ordre dans lequel les éléments sont dénombrés n‟a aucune incidence sur le
résultat du comptage, tant que les quatre principes précédents sont respectés
également10
. Ce principe relève également de l‟aspect arbitraire et temporaire du
comptage : n‟importe quel élément peut être à la position X, il doit seulement être le
seul à avoir ce marquage lors de ce comptage en particulier (pour respecter les
autres principes). Selon Fuson (1991), contrairement au contexte cardinal, le
contexte ordinal demeure stable et immuable, peu importe les éléments qui
nécessitent son utilisation. Le premier élément compté sera toujours le 1er
, le 2e sera
toujours compté après le 1er
, etc., peu importe l‟objet et sa position spatiale dans la
collection.
Pour le deuxième principe de Gelman et Gallistel (le principe d‟ordre stable), Fuson (1988)
a ajouté quelques précisions. En effet, l‟auteure souligne que l‟acquisition de la chaîne
numérique procède par niveaux de connaissances, qu‟elle a fixés au nombre de 5 : le
chapelet, la chaîne non sécable, la chaîne sécable, la chaîne dénombrable et la chaîne
bidirectionnelle. Certains de ces niveaux de connaissance sont repris et expliqués par Van
Nieuwenhoven (1996, 1999).
Au premier niveau, celui du chapelet, l‟enfant récite les mots nombres l‟un à la suite
de l‟autre, sans leur accorder une signification particulière, un peu comme une
10 Lorsque ce principe est acquis, et seulement à partir de ce moment en particulier, l‟enfant est en mesure de
faire preuve d‟abstraction réfléchissante sur les nombres en établissant des relations entre les divers
éléments qui lui sont présentés.
29
chanson qu‟il aurait apprise par cœur. Les mots nombres n‟ont pas nécessairement
de signification numérique pour lui.
Au second niveau, la chaîne non sécable, les mots nombres ont une signification, en
ce sens que l‟enfant sait qu‟il existe une différence entre 1, 2, 3, etc., mais les
nombres font toujours partie d‟un ensemble qu‟il lui est impossible de séparer. À ce
niveau, l‟enfant est en mesure de répondre à des questions sur ce qui suit et précède
immédiatement un nombre. Pour réussir, il doit réciter la chaîne du début jusqu‟à
l‟élément recherché. Si, à titre d‟exemple, on demande à l‟enfant ce qui vient après
8, il doit commencer par le début de la chaîne numérique pour connaître la réponse
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, _ ). 11
Au troisième niveau, la chaîne sécable, l‟enfant a une assez bonne maîtrise de la
chaîne numérique pour pouvoir débuter par un mot nombre autre que 1. Van
Nieuwenhoven (1996), en expliquant les niveaux de connaissances de Fuson (1988,
1991), ajoute que « la chaîne sécable est une chaîne de liens connectés qui peut être
entamée à n‟importe quel point d‟entrée (mot nombre), ces points peuvent donc être
arbitraires » (p.298). À ce niveau, l‟enfant n‟a pas besoin de réciter la chaîne au
complet pour connaître ce qui précède et ce qui suit un nombre, il est en mesure de
donner instantanément la réponse. Par contre, il arrive que l‟enfant fasse quelques
méprises. Même si la chaîne est ainsi assise sur l‟opération, car la chaîne numérique
repose sur un nombre maintenant opérable offrant réversibilité, elle n‟est pas encore
totalement dénombrable, en raison des erreurs encore fréquentes de l‟enfant.12
L‟enfant est en mesure de le faire, mais il ne réussit pas toujours; en ce sens, la
chaîne n‟est pas parfaitement dénombrable. Dans l‟exemple donné précédemment,
l‟enfant qui possède une chaîne sécable est en mesure de répondre directement que
c‟est 9 qui vient après 8, sans devoir réciter les éléments qui le précèdent dans la
11 Ceci suppose une certaine maîtrise du principe de la correspondance terme à terme, expliqué précédemment.
12 Ceci suppose donc une compréhension de l‟inclusion hiérarchique inhérente dans la chaîne numérique.
L‟importance de cette inclusion est soutenue par Piaget et ses collaborateurs et elle est également reprise par
Fayol (1990). Cela pourrait témoigner de la capacité de l‟enfant de faire preuve d‟abstraction réfléchissante sur
les nombres.
30
chaîne numérique. À ce niveau, l‟enfant peut également compter en tenant compte
d‟une borne inférieure et supérieure, autant à l‟endroit (en ordre croissant) qu‟à
l‟envers (en ordre décroissant). Il est en mesure de compter, en respectant les
bornes, par exemple de 9 à 15 : 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 et il peut également le faire
à l‟envers en comptant de 15 à 9 : 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9. Toutefois, il ne serait pas
en mesure de répondre à la question 15 – 9.
Au quatrième niveau, la chaîne est dénombrable13
. À partir de ce moment, l‟enfant
peut effectuer un comptage en tenant compte d‟une borne inférieure et d‟une borne
supérieure sans erreur. Il peut également opérer sur la série (autant en moins, qu‟en
plus). L‟enfant est en mesure de répondre à une question telle que : « Tu as 12
bonbons et tu en retires 5, combien t‟en reste-t-il? » Donc, comme le disait Van
Nieuwenhoven (1996), c‟est à ce moment que « la signification de la suite de
comptage et la cardinalité fusionnent » (p.299). L‟enfant, dans ce cas-ci, parvient à
faire 12-1-1-1-1-1, sans perdre de vue qu‟il doit soustraire seulement à 5 reprises, et
non indéfiniment.
Finalement, au dernier niveau, la chaîne est bidirectionnelle. L‟enfant réussit à
compter à l‟endroit, à l‟envers et à partir d‟un nombre quelconque. Il parvient même
à passer de l‟endroit à l‟envers et vice-versa sans problème et à décomposer les
nombres en termes, comme 5 = 1+4, 2+3, 3+2 et 4+1. Il s‟agit alors d‟un réel
comptage numérique, selon Fuson (1988, 1991).
2.1.1.4 Autre procédure possible et difficultés reconnues
Avant d‟entamer le comptage, l‟enfant peut déplacer les éléments afin d‟organiser son
comptage. Il peut également déplacer les éléments dénombrés au fur et à mesure qu‟il
effectue la tâche. Cette procédure est assez efficace lorsque le comptage est bien réalisé. En
effet, l‟enfant doit énoncer un seul mot nombre pour chaque objet et déplacer un seul objet
par mot nombre énoncé. De plus, il ne doit pas perdre le fil de son comptage et doit bien
13 Le domaine numérique est l‟étendue de nombres qui composent la chaîne numérique dénombrable.
31
séparer les éléments dénombrés des éléments non comptés pour ne pas les compter plus
d‟une fois. En ce sens, deux procédures seront présentées : la construction d‟une
représentation visuelle et la correspondance terme à terme.
Pour pouvoir identifier le nombre d‟éléments contenus dans une collection, l‟enfant peut
recourir à la représentation visuelle (ou l‟aspect figural chez Piaget). Il s‟agit d‟un outil
auquel l‟enfant peut recourir pour connaître le nombre d‟éléments d‟une collection, sans
avoir besoin de les dénombrer. Si, à titre d‟exemple, une collection non organisée de jetons
lui est présentée (Figure 9) et qu‟il doit identifier leur nombre, l‟enfant pourra les ordonner,
de façon à ce qu‟ils soient plus faciles à reconnaître le nombre (Tableau 1).
Figure 9 : Présentation de jetons par l‟expérimentateur
Tableau 1 : Organisation de la collection de jetons
Organisation
linéaire
Aspect figural
Dans les deux organisations présentées dans le tableau précédent, l‟enfant n‟a pas toujours
besoin de compter les éléments pour en déterminer le nombre. Il lui suffirait de les placer
de façon à ce qu‟il puisse associer un nombre à une forme qui lui est familière, comme la
disposition des points sur les faces d‟un dé ou comme les symboles sur les cartes à jouer
par exemple. Le nombre n‟est alors pas nécessairement conceptualisé comme une quantité,
mais comme un nom associé à une image, au même titre que le nom d‟une personne peut
32
être associé à son visage ou à sa photo. Cette forme de reconnaissance ne reposant pas
nécessairement sur une opération demeure extrêmement fragile. Il ne s‟agit qu‟un seul
élément soit déplacé pour que l‟enfant n‟identifie plus le nombre (Tableau 2).
Tableau 2 : Limite de l‟aspect figural
5 N‟est plus 5
Pendant les tâches de comptage et de comparaison de collections, certaines difficultés
peuvent survenir chez des enfants aux débuts de leur apprentissage du concept du nombre.
Lorsque les éléments à dénombrer sont très nombreux, ces difficultés peuvent prendre la
forme d‟un manque d‟organisation ou encore d‟un échec lors de l‟utilisation d‟une
procédure de comptage. En effet, si la collection comporte beaucoup d‟éléments et que ces
derniers sont éparpillés sans représenter une forme ou une certaine régularité dans la
disposition, l‟enfant peut commettre certaines erreurs lors du dénombrement ou de la
correspondance. Une erreur que l‟enfant pourrait faire lors de son comptage serait de ne pas
faire correspondre son comptage avec les objets : nommer un nombre sans pointer ou
pointer un objet sans nommer ou compter plusieurs fois un même objet (Fuson, 1991).
L‟enfant pourrait également échouer lors de la tentative de comptage par groupements si
ces derniers ne sont pas réguliers (certains groupes de 7, d‟autres de 4 ou de 10,
dépendamment de la position des éléments à compter). De plus, l‟enfant doit avoir atteint le
niveau de chaîne sécable et bien organiser ses regroupements, sinon d‟autres problèmes
peuvent survenir, comme en témoigne le tableau 3.
33
Tableau 3 : Problème lors de regroupement
Chaîne non sécable
Chaîne sécable
Si l‟enfant ne compte pas les éléments, il peut tout de même faire face à quelques
difficultés lors de l‟exécution des procédures présentées. En effet, l‟enfant pourrait tenter de
manipuler les éléments qu‟il doit compter pour représenter une figure reconnaissable et
échouer à cette tâche. À titre d‟exemple, si l‟enfant a 7 jetons qu‟il doit dénombrer, il se
pourrait que, comme ce nombre ne se retrouve pas sur les dés standards, il ne soit pas en
mesure de reproduire une forme qu‟il connaît.
Si l‟enfant n‟utilise pas d‟emblée le comptage et qu‟il n‟a pas construit la correspondance
terme à terme, il se peut également que, dans le cas où une rangée lui est présentée comme
modèle à reproduire, qu‟il privilégie uniquement l‟aspect perceptif de la collection plutôt
que l‟aspect de la quantité pour établir une égalité. Si, par exemple, on place six jetons
devant l‟enfant en lui demandant de mettre le même nombre de jetons en face, l‟enfant
pourrait utiliser l‟aspect de la longueur pour déterminer combien il doit en placer sans
compter le nombre de jetons dans la rangée qu‟il doit reproduire et expliquer que les deux
rangées sont égales parce qu‟elles commencent et terminent au même endroit (Figure 10).
34
Figure 10 : Échec à la reproduction d‟une rangée-modèle
Ce recours à traiter les objets dénombrés uniquement de manière figurale pourra amener
l‟enfant à produire des erreurs dans ses comparaisons de collections. Par exemple, s‟il place
ses jetons plus près les uns des autres que dans la rangée de référence, il pourra placer plus
de jetons que le modèle et confirmer qu‟il a mis le même nombre de jetons. Il ne vérifie
donc pas que les deux collections qui lui sont présentées comportent le même nombre
d‟éléments; il ne ressent pas le besoin de se vérifier, car sa perception de l‟espace occupé
indique que les deux rangées sont identiques (en longueur) et conclut qu‟elles comportent
donc forcément le même nombre d‟éléments.
2.2. Question générale
Aux termes de ce cadre théorique, il est possible de retenir que la définition du nombre
choisie s‟inscrit dans une pensée piagétienne, comme quoi le nombre se divise en deux
aspects : ordinal et cardinal. L‟aspect ordinal entre en jeu lorsque l‟on cherche à indiquer la
position d‟un objet dans un rang (comme le deuxième, le troisième, etc.). L‟aspect cardinal
concerne plutôt la quantification des éléments d‟un même ensemble (dans mon sac, il y a
deux poupées et trois ballons, donc cinq jouets). Pour en arriver à ces conceptions du
nombre, l‟enfant doit faire preuve d‟abstraction d‟abord empirique en portant attention aux
caractéristiques physiques des objets, puis réfléchissante en établissant des relations entre
les éléments qui lui seront présentés. Cette capacité d‟abstraction se complexifie
notamment par la construction de deux opérations interreliées, la correspondance terme à
terme et la conservation, qui serviront à la conceptualisation même du nombre et du réel
comptage, par l‟emploi d‟une chaîne numérique bidirectionnelle.
35
Malgré quelques distinctions concernant la construction du nombre chez l‟enfant tout-
venant entre les perspectives présentées par Piaget et ses collaborateurs (1964, 1967, 1967,
1977) d‟une part, et d‟autre part, par Gelman et Gallistel (1986), Van Nieuwenhoven (1996,
1999) et Fuson (1988, 1991), l‟ensemble de la littérature scientifique consultée en
psychologie et en didactique des mathématiques semble s‟entendre à savoir que le nombre
se construit par l‟action même du sujet et sa réflexion sur elle. Aucune étude ne semble
promouvoir la construction du nombre par simple répétition d‟un comportement numérique
attendu et « imité » par l‟enfant guidé par un adulte qui le renforce positivement par des
récompenses motivantes, comme le promeuvent A.B.A. et T.E.A.C.C.H. S‟il en est ainsi
pour l‟enfant tout-venant, et si la construction du nombre nécessite la construction
d‟abstraction et d‟opération, est-il possible de soutenir la construction du nombre chez
l‟enfant autiste dans la même perspective développementale?
37
3. Approche d’intervention pédagogique
Pour tenter de répondre à cette question, une approche d‟intervention pédagogique a été
mise en place dans une perspective développementale. Ce chapitre permettra d‟exposer les
idées maîtresses d‟une approche développementale, de présenter le projet pédagogique dans
son ensemble ainsi que les contextes mathématiques qui ont été mis en place aux fins du
présent mémoire.
3.1. Idées maîtresses d’une approche développementale
Une pédagogie basée sur une approche développementale doit respecter quelques principes
importants, dont la complexité de la tâche proposée à l‟enfant, le sens donné aux erreurs et
que l‟intervention soit située dans la zone proximale de développement de l‟enfant. Ces
trois idées maîtresses seront ici explicitées.
3.1.1. La complexité de la tâche
Dans l‟optique de soutenir la construction du concept de nombre chez l‟enfant autiste dans
une perspective développementale, il convient d‟emblée d‟exposer les assises de l‟approche
d‟intervention pédagogique. L‟intervenant ne doit pas décomposer les tâches considérées
« difficiles » pour l‟enfant; il doit constamment lui proposer des tâches complexes (Lavoie,
2004; Prince, 2011). L‟objectif lors du choix des tâches est de proposer un problème qui
peut être assimilé par l‟enfant, tout en causant un conflit cognitif qui l‟amène à sortir de sa
zone de confort (où aucun apprentissage ne peut être effectué, en raison que l‟enfant est
déjà en mesure d‟accomplir certaines de ces tâches par lui-même). L‟intervenant apporte
son soutien lors de la résolution des tâches complexes en permettant à l‟enfant d‟exprimer
son raisonnement ou en le questionnant sur l‟action qu‟il aura posée pour résoudre la tâche.
Les actions de l‟enfant et ses réflexions sur ces dernières permettent au raisonnement de
devenir « opérable ».
38
3.1.2. Le sens des erreurs
On cherche également à comprendre le sens des erreurs produites par l‟enfant pour
décortiquer sa logique et, ainsi, améliorer les enseignements mis en place. Les erreurs ne
doivent plus seulement être identifiées, mais on doit plutôt tenter de comprendre pourquoi
elles surviennent et comment on peut amener l‟enfant à ne plus les commettre. En ce sens,
Astolfi (1997) attribue un rôle nouveau à l‟erreur : « celui d‟indicateur et d‟analyseur des
processus intellectuels en jeu » (p.17). Un intérêt pour les erreurs commises par les élèves
dans le but de modifier les méthodes d‟enseignement se retrouve également chez Baruk
(2003).
3.1.3. La zone proximale de développement
Pour que ces interventions soient bénéfiques pour l‟enfant, ils doivent être à un niveau
particulier, défini par la zone proximale de développement (Z.P.D.). Ce concept, élaboré
par Vygotski dans les années 1930, met en lumière le fait que le niveau réel de l‟enfant ne
peut être établi seulement par les tâches qu‟il accomplit seul; il importe de considérer
également ce qu‟il peut faire en collaboration avec un adulte (Vygotski, 1997). En ce sens,
l‟adulte accompagne le sujet dans ses raisonnements mathématiques et le guide pour
favoriser les apprentissages. Lorsque l‟enfant ne répond pas correctement à une question
mathématique, il provoque en soutenant son raisonnement pour approfondir
l‟apprentissage, en exagérant les erreurs que l‟enfant commet afin que ce dernier parvienne
à réfléchir sur ses erreurs. De cette manière, on parvient à faire progresser l‟enfant peu à
peu, en le sortant de sa zone de confort et en bousculant ses conceptions actuelles sur le
nombre. Comme le souligne d‟ailleurs Vygotski, « la zone prochaine de développement [ou
zone proximale de développement] a une signification plus directe pour la dynamique du
développement intellectuel et la réussite de l‟apprentissage que le niveau présent de leur
développement. » (p.352, 1997).
39
3.2. Projet pédagogique d’ensemble
Un projet d‟intervention pédagogique basé sur la littérature de jeunesse et sur le jeu a été
mis sur pied. La période de temps pendant laquelle s‟étendent les interventions se divise en
plusieurs univers de connaissances différents orientés par le choix des livres de littérature
de jeunesse (Le Pôle Nord par exemple peut être travaillé pendant les mois de décembre à
février). En fonction de cet univers, l‟intervenante crée du matériel pour jouer
symboliquement (des marionnettes d‟animaux du pôle Nord, la construction d‟une
maquette de banquise, d‟un igloo …) et tous les livres qui seront utilisés abordent différents
aspects de la vie au Pôle Nord. En plus des récits, il est important de choisir des
documentaires en lien avec cet univers, pour apporter des connaissances sur le monde aux
enfants avec qui on élabore ce projet. Les récits seront utilisés à un rythme d‟un par
semaine, qui sera discuté en lecture interactive chaque jour. En lien avec ces histoires, des
jeux de règles (ou jeux de société) peuvent être élaborés pour travailler les notions
mathématiques.
Dans le cadre des interventions qui se sont déroulées de manière concomitante à ce
mémoire, les périodes de travail ont toujours été basées sur un même horaire, qui a une
durée d‟environ trois heures. D‟abord, un calendrier est construit avec l‟enfant pour
travailler les notions mathématiques de nombre et de temps. Après le travail en
mathématiques, la lecture du récit est effectuée. Lors de cette activité, l‟intervenante pose
des questions sur le récit afin d‟aider l‟enfant à construire la trame causale de l‟histoire
(comme : Que veut-il? Pourquoi fait-il cela? etc.). En plus de favoriser la structuration du
récit, la lecture interactive permet de consolider certains aspects logico-mathématiques,
comme les relations de causalité et de transitivité, notamment lors des questionnements à
propos des buts des personnages. Le nombre est travaillé une seconde fois à l‟aide d‟un jeu
de règles. Chaque jour de la semaine, un jeu est utilisé pour travailler différentes notions :
la comparaison, la classification, la sériation, etc. Ensuite, on s‟invente une histoire que l‟on
joue symboliquement (que ce soit avec de petites figurines ou des marionnettes sur la
maquette ou grandeur nature en incarnant des personnages). Lors du jeu symbolique,
l‟intervenante peut utiliser les informations recueillies dans les documentaires pour élargir
les connaissances sur le monde de l‟enfant et elle peut travailler des notions mathématiques,
40
telles que la classification et la hiérarchisation des connaissances exploitées dans le
contexte abordé.
Bien que les concepts logico-mathématiques soient impliqués ainsi dans tous les contextes,
la construction du nombre est travaillée plus spécifiquement dans deux contextes distincts
aux fins de ce mémoire : la construction d‟un calendrier et les jeux de règles (couramment
nommés jeux de société). Dans la prochaine section, ces contextes d‟interventions seront
explicités.
3.3. Contextes mathématiques aux fins du mémoire
Certains contextes d‟intervention permettent à l‟adulte de centrer ses questionnements sur
les nombres utilisés, les opérations et les relations s‟y rattachant pour viser la construction
du nombre dans ses aspects ordinal et cardinal. Dans le cadre de ce mémoire, deux
contextes sont privilégiés: la discussion et les manipulations autour du calendrier et dans les
jeux de règles.
3.3.1. Le calendrier
Dans le cadre de ce projet d‟intervention, on demande à l‟enfant de construire un calendrier
mural, en remplissant chaque jour une feuille avec la date, le nom de la journée et des
informations sur la température où sur les activités qui étaient planifiées. Quand cette
feuille est complétée, on lui demande d‟aller la coller sur un mur (ou un grand carton) qui
sert alors de calendrier. De cette manière, l‟intervenante peut constater certaines
organisations de temps chez l‟enfant. Dans le tableau 4, la feuille fournie à l‟enfant pour
illustrer chaque journée se trouve à gauche et un exemple de calendrier rempli se trouve à
droite.
41
Tableau 4 : Exemple de matériel utilisé pour faire un calendrier
Exemple de feuille de calendrier Exemple d‟une feuille remplie par un enfant
Exemple d‟un mois de calendrier rempli par un enfant
Voici comment se déroulent les interventions. Pour chaque journée, l‟intervenante
questionne l‟enfant sur les notions de temps. Elle lui demande « Quel jour de la semaine
sommes-nous? Quelle est la date d‟aujourd‟hui? » pour que l‟enfant soit en mesure de se
situer dans le temps.
42
L‟enfant doit inscrire le jour de la semaine et la date sur une petite feuille puis elle est
invitée à dénombrer de petits blocs emboîtables pour représenter le nombre de la date du
jour (série et quantité). Ensuite, à l‟oral, l‟intervenante la questionne sur la construction du
nombre. Des questions telles que : « Dans la date d‟aujourd‟hui, combien y aura-t-il de
paquets de dix et combien y aura-t-il de blocs tout seul? » sont posées pour représenter les
dizaines et les unités. Quand l‟enfant a répondu à ces questions, l‟intervenante l‟invite à
procéder au regroupement par 10 des blocs emboitables pour qu‟elle puisse concrètement
vérifier ses hypothèses sur la construction du nombre. L‟intervenante questionne l‟enfant à
nouveau pour savoir, une seconde fois lorsque tous les blocs sont organisés en groupement
de 10 sur la table, « Combien y a-t-il de paquets de dix et de blocs tout seuls? » et « Dans
tous ces paquets, il y a combien de blocs? ». L‟enfant peut alors manipuler et vérifier le
nombre à l‟aide des blocs emboitables (une dizaine ou un « paquet de dix » est représenté
par un bâton de dix blocs emboitables) et les coller sur la feuille de la journée représentée.
Cette feuille peut finalement être ajoutée au calendrier mensuel qui se trouve au mur.
Ensuite, l‟intervenante questionne l‟enfant sur les jours de la semaine et les dates d‟hier,
d‟avant-hier, de demain et d‟après-demain et sur les notions de semaine et de mois. Ces
questionnements ont pour but de travailler les opérations sur les nombres connus par
l‟enfant en ce sens que l‟enfant doit se souvenir de la date de la journée et additionner ou
soustraire 1 et 2 journées. L‟enfant peut, par contre, regarder le calendrier mural pour
guider ses réponses. Enfin, quand les feuilles quotidiennes sont ajoutées au calendrier, un
travail d‟observation et de comparaison est réalisé à l‟oral. L‟intervenante demande à
l‟enfant de lui indiquer quelle feuille contient le plus de blocs et quelle date y est inscrite.
Elle pose également les mêmes questions à propos de la feuille qui contient le moins de
blocs. Elle lui demande quel est le plus petit nombre et quel est le plus grand nombre
présent sur le calendrier et l‟enfant doit chercher une régularité (comme le 1 est toujours au
début et il ne contient pas beaucoup de blocs, mais le plus grand nombre change tous les
jours, comment cela se peut-il? etc.). Les objectifs derrière cette activité sont de favoriser le
dénombrement entre 1 et 31, de comprendre les notions de temps (comme les journées, les
43
semaines et les mois) et de réaliser des opérations sur la chaîne numérique, ce qui sollicite
la correspondance terme à terme entre le bloc et le nombre énoncé par l‟enfant14
.
3.3.2. Les jeux de règles
Pour travailler les différents aspects du nombre, divers jeux de règles peuvent être utilisés.
Chaque fois, l‟objectif pédagogique précis est de soutenir l‟enfant dans sa construction du
concept du nombre. Pour ce faire, l‟intervenante questionne l‟enfant sur les nombres
utilisés dans le cadre du jeu, sur les relations et sur les opérations qui peuvent y être
effectuées, que ce soit dans leur aspect ordinal ou cardinal selon le contexte du jeu, tout en
demeurant dans sa zone proximale de développement. À titre d‟exemple, voici un jeu qui a
été construit dans le cadre de ce projet d‟intervention pédagogique à partir d‟un livre de
littérature de jeunesse, Cher Ours polaire… de Barry Ablett15
dans le but de construire le
concept du nombre.
14 Travaillant prioritairement sur le petit nombre, il convient de préciser que le travail sur la dizaine est sans
doute précoce. Comme ce sont des avancées et des discussions que l‟on fait avec les jeunes enfants tout-
venant en train de construire les assises même du petit nombre par l‟opération sur ce dernier, ces
questionnements sur le regroupement de 10 n‟ont pas été évités. L‟intention derrière n‟étant pas d‟exiger
une réussite et une pleine compréhension immédiate de la base 10, mais strictement de susciter une
expérience répétée de regroupement sur lequel, le temps venu, l‟enfant sera poussé à construire des
régularités sur cette base. Autrement dit, ce travail se faisait en pleine connaissance et en considération du
niveau de l‟enfant. Par exemple, sans conservation du nombre, les 21 blocs séparés ne représentaient sans
doute pas la même quantité pour l‟élève qu‟une fois emboités. Il convenait de prendre le temps de
recompter, ceci pouvant contribuer à soulever, à long terme, une problématisation chez l‟enfant. 15
Cher Ours polaire… est l‟histoire d‟un ours polaire qui est triste parce qu‟il est seul. Il décide donc d‟écrire
des lettres à ses amis et de les envoyer avec Pingouin le facteur. Il demande à Koala de lui envoyer
quelque chose pour décorer son igloo, car celui-ci est triste et vide. Ensuite, il écrit à l‟Ours malais pour
lui demander de lui envoyer quelque chose de bon à manger parce que la nourriture qu‟il a au Pôle Nord
est gelée. Puis, il demande à son ami Panda s‟il n‟aurait pas une astuce pour se réchauffer, car il a froid au
Pôle Nord. Celui-ci lui envoie des vers à soie. Ne sachant pas ce que c‟était, il envoie une lettre à son amie
Grizzly pour lui dire qu‟il s‟ennuie et lui demande conseil pour les vers. À la tombée de la nuit, il ne voit
pas bien toutes les belles choses qui se trouvent dans son igloo. Il écrit une lettre à l‟Ours à lunettes pour
savoir comment voir dans le noir. L‟Ours polaire est heureux que tous ses amis aient pu l‟aider et il leur
écrit une dernière fois pour les remercier. Quelques jours plus tard, le facteur lui apporte un énorme colis
contenant tous ses amis.
44
3.3.2.1 Jeu de Cher Ours polaire …
Figure 11 : Plateau du jeu Cher Ours polaire …
Les joueurs sont des petits pingouins facteurs qui doivent distribuer les lettres de l‟Ours
polaire à ses amis. Un joueur doit piger une lettre et la lire à voix haute. Tous les pingouins
doivent aller porter cette lettre. Celui qui atteint le destinataire en premier gagne la lettre et
doit en piger une nouvelle, qui devra être remise par un pingouin. À la fin de la partie, les
joueurs comptent le nombre de lettres qu‟ils ont remises et le vainqueur est celui qui en a
donné le plus.
Par ce jeu, nous pouvons travailler la construction du nombre ainsi que la comparaison.
Pour avancer les pions, un dé numéroté de 1 à 6 est utilisé. Certaines questions sont posées
lors des parties pour travailler le nombre. Quand nous devrons rejoindre un ami de l‟Ours
polaire, l‟intervenante demande : « Combien de cases est-ce qu‟il te manque pour donner la
lettre? Et il m‟en manque combien? Qui est le plus proche? Qui est le plus loin? Qui va
arriver en premier? Par quel chemin vas-tu passer?». Par ces questions, les aspects du
nombre et la comparaison sont travaillés. Cette dernière question exige, à la fois, que
l‟enfant dénombre les cases entre le point de départ et le point d‟arrivée, qu‟il établisse un
cardinal pour chaque chemin possible et qu‟il utilise ces cardinaux pour comparer les divers
chemins et choisir le plus rapide, selon la destination du moment. À titre d‟exemple, si le
pion de l‟intervenante se retrouve à 3 cases de Koala et que celui de l‟enfant est à 4 cases, il
doit vérifier lequel entre les deux est le plus proche en comptant le nombre de cases
45
séparant les pingouins de Koala. L‟enfant peut faire une correspondance terme à terme avec
son doigt pour s‟assurer de bien compter les cases, mais il doit aussi concevoir la
cardinalité, en ce sens que les cases dénombrées représentent une quantité précise révélée
par le dernier mot nombre énoncé. On peut également travailler la comparaison grâce aux
enveloppes que l‟on peut acquérir pendant la partie grâce à des questions du type : « Qui en
a le plus? Qui en a le moins? Est-ce qu‟on en a le même nombre? Montre-moi pourquoi. »
L‟utilisation des enveloppes facilite la comparaison, car il est possible de les manipuler,
contrairement aux cases entre les pions et la destination.
3.3.2.2 Autres jeux pour favoriser la construction du concept de nombre
Pour atteindre les objectifs pédagogiques qui permettent de construire le nombre, certains
jeux commerciaux peuvent être utilisés si l‟intervenante oriente ses questionnements à cet
effet. À titre d‟exemple, les jeux16
Croque-carotte© et Allez les escargots
©17 peuvent s‟y
prêter. Le tableau 5 donne un aperçu de ces jeux, des contraintes mathématiques qu‟ils
contiennent et des exemples de questionnements mathématiques appropriés.
16 Ces deux jeux sont commercialisés par la compagnie Ravensburger
®.
17 Dans le jeu original, les deux dés sont colorés et chaque escargot avance d‟une case à la fois. Pour
augmenter le niveau, un dé numéroté peut être utilisé pour travailler les concepts mathématiques.
46
Tableau 5 : Utilisation de divers jeux de règles commerciaux
Jeu Contraintes
mathématiques
Questionnements
mathématiques
But : Atteindre la carotte avec
l‟un de ses lapins, sans que les
lapins ne disparaissent dans les
trous de la montagne.
- Avancer de 1, 2 ou 3
cases, selon la carte pigée,
en utilisant la
correspondance terme à
terme entre le nombre sur
la carte et le nombre de
cases à parcourir.
- Plateau non linéaire (les
lapins doivent gravir la
montagne en tournant
autour).
- Combien dois-tu obtenir
pour atteindre la carotte?
- Quel lapin se trouve le
plus près de la carotte?
- Quel lapin se trouve le
plus loin de la carotte?
- Quel lapin est le premier?
- Quel lapin est le dernier?
- Quel lapin est devant?
Lequel est derrière?
- Pour éviter les cases
dangereuses, de combien
de cases dois-tu avancer?
But : Atteindre la ligne
d‟arrivée avec tous les
escargots.
- Utilisation d‟un dé
numéroté de 1 à 6 pour le
déplacement.
- Compter le nombre de
cases de déplacement.
- Utilisation des notions de
position.
- Quelle est la position de
l‟escargot X?
- Qui est premier?
Deuxième? Troisième?...
- Qui est dernier?
- Qui est le plus près de la
ligne d‟arrivée? Qui est le
plus loin? De combien de
cases est-il le plus loin?
- Qui est devant l‟escargot
X? Qui est derrière lui?
- Est-ce qu‟il y a des
escargots qui sont à la
même position?
- Combien lui manque-t-il
de cases pour gagner?
47
En somme, la construction du concept de nombre peut être travaillée de diverses manières.
Dans le cadre de ce mémoire, deux contextes particuliers sont abordés: le calendrier et les
jeux de règles. Dans le cadre du calendrier, les objectifs pédagogiques visaient à
complexifier la compréhension des notions de temps et de contribuer à la construction du
nombre. Dans le cadre des jeux de règles, les objectifs pédagogiques visaient à travailler les
opérations de comparaison, de quantification, de sériation et de classification sur les
nombres. Pour ce faire, divers jeux de règles peuvent être utilisés, comme des jeux
construits par l‟intervenant ou des jeux commerciaux.
49
4. Méthodologie
Une fois l‟approche pédagogique décrite en lien avec la construction du nombre chez un
enfant, la méthodologie de la recherche ainsi réalisée peut être décrite. Dans les prochaines
sections, le but et les objectifs de la recherche seront circonscrits. Ensuite, le type d‟étude,
le sujet, les modalités d‟intervention, la collecte de données, le protocole d‟entrevue semi-
dirigée et le plan d‟analyse des données seront présentés, en lien avec le but et les objectifs
spécifiques de cette recherche.
4.1. But et objectifs de la recherche
Il convient de rappeler que le présent projet de recherche vise à répondre à la question
suivante : « Si avec l‟enfant tout-venant les méthodes A.B.A. et T.E.A.C.C.H. ne sont pas
utilisées pour favoriser la construction du nombre, pouvons-nous soutenir cette même
construction chez l‟enfant autiste en délaissant ces méthodes au profit d‟une pédagogie
développementale? » La recherche de réponse à cette question fait émerger à son tour deux
sous-questions : « Quelle compréhension des aspects ordinal et cardinal du nombre l‟enfant
autiste démontre lors de la résolution de tâches mathématiques? » et « En quoi cet enfant
évolue dans la compréhension des aspects ordinal et cardinal du nombre à la suite
d‟intervention basée sur la construction d‟un calendrier et sur le jeu? ».
Dans cette optique, le but de cette étude est de décrire les progrès réalisés par un enfant
autiste dans l‟apprentissage du concept de nombre en travaillant les notions mathématiques
par une pédagogie développementale basée sur le jeu. Deux objectifs spécifiques ont ainsi
été circonscrits :
1. Décrire la progression de la compréhension de l‟aspect ordinal du nombre;
2. Décrire la progression de la compréhension de l‟aspect cardinal du nombre.
4.2. Type d’étude
Ce projet de recherche est une étude de cas réalisée dans le cadre d‟un projet d‟intervention
pédagogique basé sur la littératie et sur le jeu visant, dans le cas qui nous intéresse ici, à
50
construire le concept de nombre chez un enfant. En ce sens, cette recherche s‟inscrit dans
un courant phénoménologique et herméneutique, car il ne s‟agit pas seulement de décrire
les phénomènes observés, il faut également les comprendre (Van Manen, 1984, cité par
Anadón, 2006; Van der Maren, 1995).
Pour avoir accès aux raisonnements de l‟enfant pendant toute la durée des interventions,
afin de constater les progrès ou les reculs vis-à-vis du nombre et ainsi établir la zone
proximale de développement où les interventions devaient être réalisées, la méthode de
recherche-action a été utilisée. L‟intervenante-chercheure devait constamment ajuster son
approche pour répondre aux besoins de l‟enfant, tout en conservant ses objectifs
pédagogiques en tête. Cette méthode est très dynamique et se déroule en trois grandes
étapes, qui ne suivent pas forcément un ordre linéaire : 1) l‟action; 2) l‟observation; et 3) la
réflexion. Chacune de ces étapes est présentée sous forme de boucle (ou de spirale) pour
illustrer le processus par lequel passe le chercheur (Dolbec & Clément, 2004).
4.3. Sujet
Le sujet de cette étude est une enfant de 10 ans au début de l‟étude et de 12 ans à la fin
ayant reçu un diagnostic d‟autisme et de déficience intellectuelle qui se nomme Marianne18
.
Les parents, qui sont des professionnels, sont très présents et à l‟écoute des besoins de leur
enfant. Cette dernière a un demi-frère plus âgé de 27 ans qui ne vit plus à la maison. La
scolarisation antérieure de l‟enfant s‟est déroulée amplement autour d‟interventions
béhavioristes promues par les méthodes A.B.A. et T.E.A.C.C.H., telles que décrites
précédemment.
Comme on cherchait à tracer la progression d‟une enfant autiste pour laquelle des
interventions d‟ordre développemental devaient être déployées au quotidien, cela a exigé de
sélectionner un seul sujet pour qui les parents acceptaient cette « intrusion » dans leur vie; il
18 Il s‟agit d‟un nom fictif.
51
s‟agit d‟un cas « par convenance »19
. La définition d‟étude de cas utilisée ici s‟apparente à
celle qualifiée d‟ « intrinsèque » par Stake (1994), qui considère l‟étude de cas comme un
choix du sujet à étudier plutôt que comme un choix méthodologique. C‟est le sujet étudié
en soi qui amène à se questionner sur la construction du nombre dans ses aspects ordinal et
cardinal. Ce type d‟étude de cas signifie pour cet auteur que l‟on s‟intéresse à traiter en
profondeur un seul sujet, pas parce qu‟il est représentatif d‟un échantillon, mais bien parce
qu‟il représente des atouts permettant de répondre aux questions inhérentes à la recherche
en soi (Karsenti & Demers, 2000; Stake, 1994).
4.4. Modalités et temps d’intervention
La recherche se déroule dans un mode d‟intervention pédagogique individuelle ayant une
visée développementale, tel que décrit au chapitre précédent. Lors de la première année
d‟intervention (réalisé en 2011-2012 par une autre intervenante-chercheure20
), les
rencontres se déroulaient à la maison, à raison de 5 demi-journées par semaine. Le reste du
temps, l‟enfant était scolarisée dans une classe spécialisée pour enfants ayant une
déficience intellectuelle moyenne ou sévère. Lors de la deuxième année, les rencontres
individuelles avaient lieu dans un local de l‟école où était scolarisée l‟enfant, à raison de 4
demi-journées par semaine. Ces rencontres étaient également réalisées selon l‟approche
pédagogique décrite précédemment.
4.5. Collecte de données
Pendant les deux années d‟intervention auprès de cette enfant, des données ont été prises à
quatre moments pour tenter de tracer sa progression dans la construction du concept de
19 Il s‟agit d‟un cas par convenance, au même sens qu‟un échantillon de convenance, c‟est-à-dire un
échantillon de population choisi pour sa praticité et son accessibilité lors d'une enquête (Miles et
Huberman, 2007). 20
Cette intervenante-chercheure était madame Marie-Pierre Baron, doctorante en psychopédagogie. Il
convient, par le fait même, de la remercier d‟avoir bien voulu partager ses données sur le nombre aux fins
de ce mémoire.
52
nombre, soit en octobre 2011, en mai 2012, en février 2013 et en juillet 2013. Les deux
premières évaluations ont été réalisées au domicile de l‟enfant où se déroulaient les
interventions à ce moment et les deux dernières ont eu lieu à l‟école primaire de l‟enfant et
au camp de vacances pour le mois de juillet, car c‟était à ces endroits que prenaient place
les interventions.
Tableau 6 : Données collectées
Octobre 2011 Mai 2012 Février 2013 Juillet 2013
Entrevue semi-
dirigée, retranscrite
en verbatim
Entrevue semi-
dirigée, retranscrite
en verbatim
Entrevue semi-
dirigée, retranscrite
en verbatim
Entrevue semi-
dirigée, retranscrite
en verbatim
Interventions quotidiennes de trois heures pendant les années scolaires 2011-2012 et 2012-
2013.
Chaque évaluation était étalée sur une semaine, ceci ayant pour but de réaliser quelques
items par jour (d‟une durée maximale de 30 minutes), pour conserver l‟implication de
l‟enfant dans la tâche et ainsi d‟avoir une idée juste de son niveau. En ce sens, comme il
s‟agit toujours de la même personne qui est évaluée à plusieurs moments distincts sur une
période de temps préétablie pour tracer une évolution, cette recherche est donc
longitudinale (Zazzo, 1967).
4.6. Protocole d’entrevue semi-dirigée
Afin de répondre aux deux objectifs spécifiques suivants : 1) décrire la progression de la
compréhension de l‟aspect ordinal du nombre; et 2) décrire la progression de la
compréhension de l‟aspect cardinal du nombre, un protocole d‟entrevue semi-dirigée,
fortement inspiré des travaux de Piaget, a été élaboré. Un exemplaire du protocole se
retrouve à l‟annexe 1. Les items du protocole ont été réalisés sans soutien important de la
part de l‟adulte. Ils ont tous été vidéofilmés et retranscrits sous forme de verbatims par
l‟intervenante-chercheure.
53
4.6.1. Description des items du protocole d’entrevue
Les items21
du protocole peuvent être divisés en deux groupes : ceux qui vérifient la
compréhension de l‟aspect ordinal du nombre (objectif spécifique 1) et ceux qui vérifient la
compréhension de l‟aspect cardinal du nombre (objectif spécifique 2).
4.6.1.1 Items portant sur l’aspect ordinal du nombre
Deux items ont été réalisés pour vérifier la compréhension de l‟aspect ordinal du nombre
chez l‟enfant : la sériation d‟objets de tailles différentes et la sériation d‟objets faisant une
course.
4.6.1.1.1 Item 1 : Sériation d’objets de tailles différentes
Le premier item concerne la sériation en ordre croissant d‟objets. L‟intervenante-
chercheure présente une série de cartons de différentes longueurs qu‟elle dépose de façon
aléatoire sur la table. Elle demande à l‟enfant de les placer en ordre en commençant par le
plus petit jusqu‟au plus grand. Cet item sert à vérifier si l‟enfant est capable de sérier des
éléments en fonction de leur taille.
- Placer X cartons de différentes longueurs sur la table. « Peux-tu les placer du plus
petit au plus grand?»
21 Au départ, seules les évaluations réalisées lors de la deuxième année devaient être analysées. Par contre,
comme l‟intervenante de la première année a accepté de partager ses données sur le nombre, il est possible
d‟établir une progression de la compréhension du nombre sur une plus longue période de temps. Le
protocole utilisé pendant les deux premières évaluations et pendant les deux dernières n‟est pas le même,
bien que les deux protocoles élaborés (le premier ayant été réalisé par la première intervenante, madame
Marie-Pierre Baron) observent les mêmes éléments par différentes tâches. Dans le cadre de ce mémoire,
seul le protocole utilisé lors de la deuxième année sera décrit.
54
4.6.1.1.2 Item 2 : Sériation d’objets faisant une course
Le deuxième item concerne la sériation d‟éléments d‟une même collection. L‟intervenante-
chercheure utilise des escargots en bois de différentes couleurs et les dispose en ligne,
comme s‟ils faisaient une course. Elle questionne l‟enfant sur la position de chaque
escargot (« Quelle est la position de l‟escargot bleu? De l‟escargot jaune? Qui est le
dernier? Qui est le premier? », etc.) et sur des éléments spatiaux également (« Qui est
devant l‟escargot bleu? Qui est derrière le deuxième? », etc.).
- Placer les 6 escargots de couleur (bleu, rose, orange, rouge, vert, jaune) en ligne.
«Lequel est le premier? Lequel est le dernier? L‟escargot orange est à quelle
position?», «Quel escargot est devant le orange? Quel escargot est derrière le
orange? Si l‟escargot orange est le troisième, quelle est la position de l‟escargot
rose? Et si l‟escargot rouge est après le orange, c‟est quoi sa position?»
4.6.1.2 Items portant sur l’aspect cardinal du nombre
Six items ont été réalisés pour vérifier la compréhension de l‟aspect cardinal du nombre
chez l‟enfant : la comparaison de collections d‟objets identiques et d‟objets différents
(correspondance terme à terme), la conservation de quantités continues et discontinues, le
comptage et la cardinalité.
4.6.1.2.1 Item 1 : Comparaison de collections d’objets identiques (correspondance
terme à terme)
Le premier item concerne la correspondance terme à terme et se déroule en deux étapes
distinctes. Premièrement, devant l‟enfant, l‟intervenante-chercheure dresse deux collections
de jetons de couleurs différentes, comportant un nombre légèrement différent (un seul jeton
de différence entre les deux collections), pour que l‟enfant ne puisse pas seulement utiliser
des éléments perceptifs pour répondre. Ces derniers doivent être placés pêle-mêle sur la
55
table. La question : « Est-ce qu‟il y a plus de jetons ici (première collection), ici (deuxième
collection) ou c‟est pareil? » est posée et reformulée à deux reprises pour que les choix ne
se retrouvent pas toujours dans le même ordre, pour éviter que l‟enfant ne fasse que
répondre le dernier élément énoncé par l‟intervenante-chercheure en utilisant l‟effet de
récence. Par la suite, elle questionne l‟enfant pour comprendre comment elle peut faire pour
le savoir. Si l‟enfant n‟y arrive pas, l‟intervenante-chercheure modifie le nombre de jetons
des collections pour qu‟il y ait une grosse différence entre les deux cardinaux. Le même
questionnement doit être utilisé.
- Disposer sur la table deux collections inégales. «Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici
ou c‟est pareil? Est-ce qu‟il y en a pareil, plus ici ou plus ici?»
- «Qu‟est-ce que tu peux faire pour que ce soit égal?»
Deuxièmement, l‟intervenante-chercheure retire les jetons utilisés précédemment et dresse
deux nouvelles collections comportant, cette fois-ci, le même nombre de jetons. Son
questionnement reste le même : « Est-ce qu‟il y en a plus ici (première collection), ici
(deuxième collection) ou c‟est pareil? » sans oublier de varier l‟ordre des choix de
réponses. Elle demande également à l‟enfant comment elle peut savoir que c‟est pareil ou
s‟il y a une collection qui comporte plus de jetons que l‟autre (selon la réponse donnée par
l‟enfant).
56
- Disposer sur la table deux collections égales. « Est-ce qu‟il y en a plus ici, ici ou c‟est
égal? Est-ce qu‟il y en a égal ou plus ici ou ici? » (Réduire les collections si elle ne
réussit pas.)
Le but de cet item est de vérifier les stratégies utilisées par l‟enfant lors d‟une tâche de
comparaison de collections formées par une autre personne : est-ce qu‟elle recourt au
comptage, à la correspondance terme à terme, à la reconnaissance visuelle…?
4.6.1.2.2 Item 2 : Comparaison de collections d’objets différents (correspondance
terme à terme)
Le deuxième item concerne à la fois la conservation de quantités discontinues et la
correspondance terme à terme. Premièrement, l‟intervenante-chercheure place sur la table
des images de fruits pêle-mêle (6 images de pommes et 4 images de framboises). Elle
demande à l‟enfant s‟il y a plus de pommes, plus de framboises ou si c‟est pareil, en
prenant soin de la poser trois fois, en variant l‟ordre des choix de réponse pour vérifier que
l‟enfant ne réponde pas seulement en utilisant l‟effet de récence.
- Placer 6 images de pommes et 4 images de framboises sur la table. Demander à
l‟enfant «Est-ce qu‟il y a plus de pommes ou plus de framboises? Est-ce qu‟il y en a
plus ici, ici ou c‟est pareil?» (Reformulation de la question pour éviter l‟effet de
récence.)
Deuxièmement, l‟adulte forme une rangée de trois pommes et une autre de quatre
framboises. Toutefois, les deux rangées occupent la même longueur sur la table, en raison
de l‟espacement entre les images. L‟adulte questionne l‟enfant pour savoir s‟il y a plus de
57
pommes, plus de framboises ou si c‟est pareil. Tout comme les items précédents, cette
question est reformulée deux fois pour varier l‟ordre des choix de réponses et l‟enfant est
questionnée sur son choix (« Comment tu fais pour le savoir? ») pour vérifier la stratégie
utilisée dans ce contexte. Ensuite, elle espace les images de pommes pour que cette rangée
dépasse la rangée de framboises à la droite et à la gauche, en raison de l‟augmentation de
l‟espace laissé entre chaque image. L‟enfant est questionnée à nouveau, de la même façon.
Ces questionnements permettent à l‟expérimentatrice de vérifier si l‟enfant a construit la
conservation des quantités discontinues.
- Former 2 rangées : une avec 3 images de pommes et l‟autre avec 4 images de
framboises. «Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici ou c‟est pareil?» Déplacer les images
de pommes pour que cette rangée soit plus longue que celle de framboises ou déplacer
les images de framboises pour que cette rangée soit moins longue que la rangée de
pommes et questionner l‟enfant : «Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici ou c‟est pareil?
Pourquoi? »
4.6.1.2.3 Item 3 : Conservation de quantités continues
Le troisième item concerne la conservation de quantités continues. En raison du niveau de
développement de l‟enfant qui évolue autour de la construction du nombre dont il est
question dans ce mémoire, l‟observation de la conservation sera circonscrite autour de
certaines des quantités continues (avec une substance comme de la pâte à modeler), car
elles sont acquises plus tôt dans le développement des enfants, comparativement à la
conservation du poids ou du volume, par exemple. Cet item est tiré des travaux de Piaget.
L‟intervenante-chercheure présente deux boules de pâte à modeler de même taille à
l‟enfant. Celle-ci doit confirmer qu‟elles contiennent toutes deux la même quantité de pâte
en répondant à une question : « Est-ce qu‟il y a plus de pâte ici (en pointant la première
boule), ici (en pointant la seconde boule) ou c‟est pareil? » Celle-ci est reformulée à deux
58
reprises en changeant l‟ordre des éléments pour s‟assurer que l‟enfant ne fait pas qu‟utiliser
l‟effet de récence en nommant le dernier élément énoncé par l‟adulte.
- Faire deux boules de pâte à modeler de même grosseur, de couleur différente. «Est-ce
que les deux boules sont pareilles?»
Ensuite, lorsque l‟égalité est convenue, l‟intervenante-chercheure prend une boule et la
transforme, sous les yeux de l‟enfant, en galette en l‟écrasant de la main. Elle demande à
l‟enfant si les deux parts contiennent la même quantité de pâte, en reprenant les mêmes
questions.
- Faire une galette avec une des deux boules. «Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici ou
c‟est pareil? Est-ce qu‟il y en a pareil, plus ici ou plus ici?»
L‟adulte effectue un retour à l‟état initial en reformant une boule avec la galette et en
redemandant à l‟enfant de confirmer l‟égalité.
- Reformer les deux boules. «Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici ou c‟est pareil? Est-ce
qu‟il y en a pareil, plus ici ou plus ici?»
Puis, l‟adulte reprend la boule, la transforme cette fois-ci en rouleau et elle questionne
l‟enfant à nouveau sur l‟égalité entre les deux parts de pâte.
59
- Prendre une boule et faire un rouleau avec. ««Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici ou
c‟est pareil? Est-ce qu‟il y en a pareil, plus ici ou plus ici?».
Pour une seconde fois, l‟adulte effectue un retour à l‟état initial et questionne l‟enfant.
- Reformer les deux boules. «Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici ou c‟est pareil? Est-ce
qu‟il y en a pareil, plus ici ou plus ici?»
Finalement, elle transforme la boule en plusieurs miettes et questionne à nouveau l‟enfant
s‟il y a un endroit où il y a le plus de pâte ou si c‟est égal. Cet item a pour but de vérifier si
l‟enfant comprend les modifications qui sont effectuées ou si elle ne se fie qu‟à sa
perception lorsqu‟elle affirme que les deux parts ne sont plus égales, bien que
l‟intervenante-chercheure n‟ait fait aucun ajout ni aucun retrait de pâte lors de
l‟expérimentation.
- Prendre une boule et faire des miettes. «Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici ou c‟est
pareil? Est-ce qu‟il y en a pareil, plus ici ou plus ici?»
60
4.6.1.2.4 Item 4 : Conservation de quantités discontinues
Le quatrième item concerne la conservation de quantités discontinues et elle a été vérifiée
par deux tâches distinctes. Lors de la première tâche, l‟intervenante dresse une rangée de 5
images de pomme sur la table. Elle demande à l‟enfant de construire une rangée pareille
avec des images de framboise.
- Faire une rangée avec 5 images de pomme sur la table. «Peux-tu me mettre la même
chose de framboises que j‟ai de pommes?»
Puis, l‟intervenante modifie l‟apparence de la rangée d‟images de pomme en rapprochant
les images l‟une de l‟autre de manière à ce que la rangée de l‟enfant (alors non modifiée)
soit plus longue ou en éloignant les images l‟une de l‟autre de manière à ce que la rangée de
l‟enfant soit plus courte. À la suite de ces modifications, elle questionne l‟enfant pour
savoir si l‟une des deux rangées comporte plus d‟éléments que l‟autre.
- Sous les yeux de l‟enfant, déplacer les images de la rangée de référence de manière à
ce que cette rangée dépasse celle de l‟enfant à droite et à gauche, en raison de
l‟espacement entre les images. « Y a-t-il plus de pommes, plus de framboises ou c‟est
pareil? » Modifier l‟ordre des choix de réponses pour éviter que l‟enfant ne réponde
qu‟en utilisant l‟effet de récence.
Cet item vise à vérifier la conservation des quantités discontinues (ou du nombre). Si
l‟enfant a construit une opération de conservation, les modifications apportées par
l‟expérimentatrice n‟affecteront pas le compte des images de fruits et elle ne ressentira pas
le besoin de les recompter chaque fois. Si, par contre, le nombre n‟est pas conservé, elle
énoncera qu‟une rangée de fruits comporte plus d‟éléments, même si les deux rangées sont
équivalentes.
61
4.6.1.2.5 Item 5 : Comptage22
Le cinquième item en est un de comptage, qui se déroule en plusieurs étapes.
L‟intervenante-chercheure demande d‟abord à l‟enfant de compter le plus loin possible,
dans le but de déterminer l‟étendue de la chaîne numérique correctement réalisée par
l‟enfant pour pouvoir fixer les limites dans laquelle elle peut la questionner sur le nombre.
- «Peux-tu compter le plus loin possible?» L‟enfant se rend jusqu‟à Y.
Ensuite, elle lui demande de compter en tenant compte d‟une borne supérieure, d‟une borne
inférieure, en tenant compte de ces deux bornes à la fois et de compter à rebours.
- «Peux-tu compter jusqu‟à Z (Z plus petit que Y)»
- «Peux-tu compter à partir de X?» X est plus petit que Y
- «Peux-tu compter à partir de X jusqu‟à Z?»
- «Peux-tu compter à l‟envers à partir de Z?»
Le soutien de l‟intervenante-chercheure doit être apporté seulement pour recentrer l‟enfant
dans la tâche; pour ce faire, elle répète exactement ce que l‟enfant a formulé précédemment
pour l‟emmener à poursuivre d‟elle-même ou lui reformule la consigne qui était demandée.
En aucun cas, elle ne doit donner les réponses à l‟enfant. Cet item a pour but de connaître
l‟étendue de la chaîne numérique connue par l‟enfant et les opérations qu‟elle est capable
d‟y faire.
4.6.1.2.6 Item 6 : Cardinalité
Le sixième item tente de vérifier la cardinalité et le recours au comptage chez l‟enfant, par
l‟intermédiaire de deux tâches distinctes. Lors de la première tâche, l‟intervenante-
22 L‟item de comptage a été classé comme faisant seulement appel à l‟aspect cardinal du nombre. Par contre,
lorsque le nombre est réellement bien construit, les deux aspects (ordinal et cardinal) sont totalement
imbriqués et, par le fait même, impliqués conjointement lors de tout comptage.
62
chercheure présente une rangée horizontale de bâtonnets de bois, en veillant à laisser un
espace entre chacun, devant l‟enfant et elle lui demande combien il y en a.
- Déposer X bâtonnets sur la table, en rangée. «Combien est-ce qu‟il y a de bâtonnets
sur la table?»
L‟intervenante-chercheure reprend les mêmes bâtonnets, les éparpille sur la table et
redemande à l‟enfant combien il y a de bâtonnets. Lorsque l‟enfant a répondu, elle les
reprend et reforme une ligne horizontale en espaçant tous les bâtonnets et redemande à
l‟enfant combien il y en a.
- En déplaçant les bâtonnets qui ont été comptés : «combien y a-t-il de bâtonnets
maintenant?» Une première fois en les plaçant pêle-mêle et une seconde fois en
reformant une rangée espacée.
Elle reforme la ligne initiale horizontale avec les bâtonnets et questionne à nouveau l‟enfant
de gauche à droite pour savoir combien il y en a et de droite à gauche.
- Lorsque les bâtonnets sont replacés en une rangée : «Et si tu commences par ici,
combien tu vas en avoir? Et si on commence de l‟autre côté? Combien tu auras de
bâtonnets?»
Lors de la deuxième tâche, l‟intervenante-chercheure place 5 silhouettes de femmes sur la
table. Elle met l‟enfant en contexte : elle devra aller au centre commercial (représenté ici
par une table à l‟autre bout du local) pour dénicher des tenues de soirée pour les dames.
63
Chacune d‟elles doit avoir une robe, des chaussures et trois bracelets. L‟enfant est invitée à
se rendre au centre commercial pour apporter les éléments nécessaires en une seule fois. Si
l‟enfant n‟y arrive pas, l‟intervenante-chercheure peut lui suggérer de retourner une
deuxième fois au magasin en sachant combien de morceaux exactement elle a besoin. Cet
item a pour but de forcer l‟enfant à recourir au comptage, car elle n‟est plus en mesure,
dans un contexte comme celui-ci où les éléments qu‟elle doit apparier ne se retrouvent pas
au même endroit, d‟utiliser la correspondance terme à terme.
- Prendre 5 dames en carton. Apporter un ensemble de robes, de souliers et de bijoux
pour habiller les dames. «Tu devras aller au magasin chercher des vêtements et des
accessoires pour toutes les mesdames. Prends les vêtements que tu as besoin pour
que chaque dame soit prête pour aller au bal. Les dames doivent avoir une robe, des
souliers et trois bracelets. Le magasin ferme bientôt, donc on doit faire notre
commande au complet.» (Si l‟enfant n‟y arrive pas en une seule fois, lui permettre
de retourner au magasin une deuxième fois.)
4.7. Plan d’analyse des données
Pour pouvoir se prononcer sur la compréhension des aspects ordinal et cardinal du nombre
chez le sujet, on s‟intéresse ici à ses réponses; ces dernières seront analysées puis appuyées
sur la discussion autour de ces réponses pour établir la construction de certains éléments du
nombre. Cette recherche s‟inscrit donc dans une démarche qualitative d‟analyse de
données, car on interprète le sens et la signification des phénomènes humains observés
(Merriam, 1998; Mucchielli, 2009).
L‟implication de la chercheure au sein même de la recherche amène le besoin de prendre
certaines précautions méthodologiques. En ce sens, pour réduire au maximum les
64
possibilités de subjectivité et de biais de la part de la chercheure, toutes les analyses ont été
réalisées en interjuges avec une professeure de l‟Université Laval23
.
23 Cette professeure est madame Hélène Makdissi, directrice de cette recherche, qui a construit le projet
d‟intervention pédagogique. En raison du faible nombre de données à analyser (seulement 4 moments
d‟évaluation), l‟ensemble des items ont été évalués séparément par la professeure Makdissi et
l‟intervenante-chercheure, puis mis en commun par la suite jusqu‟à entente en prenant soin de préciser
dans les analyses les éléments nécessaires à l‟entente.
65
5. Analyses des résultats
La présente section sera divisée en quatre parties distinctes correspondant chacune à un
temps d‟évaluation différent : octobre 2011, mai 2012, février 2013 et juillet 2013. Chacune
de ces parties se divisera en trois sous-parties : une analyse des items vérifiant la
compréhension de l‟aspect ordinal du nombre, une analyse des items vérifiant la
compréhension de l‟aspect cardinal du nombre et une synthèse de la compréhension de
l‟enfant ainsi inférée à chacun de ces quatre temps d‟évaluation.
5.1. Évaluation 1 : Octobre 2011
Lors de la première évaluation, qui a été réalisée en octobre 2011, la compréhension de
l‟aspect ordinal du nombre de Marianne a été évaluée par deux items du protocole, soit la
sériation d‟objets de tailles différentes et la sériation d‟objets faisant une course. La
compréhension de l‟aspect cardinal du nombre a été évaluée par cinq items du protocole,
soit la comparaison de collections, la conservation de quantités continues et de quantités
discontinues, le comptage et la cardinalité.
5.1.1. Items vérifiant la compréhension de l’aspect ordinal du nombre
La présente section expose, d‟une part, les analyses concernant la capacité de l‟enfant à
sérier en ordre de grandeur cinq pailles différentes et, d‟autre part, sa capacité à considérer
les diverses positions d‟objets d‟une série.
5.1.1.1 Item 1 : Sériation d’objets de tailles différentes
L‟intervenante demande à l‟enfant de sérier quatre pailles, puis d‟en ajouter une cinquième
à la série élaborée. Cet item a pour but de vérifier la sériation effectuée par l‟enfant en
portant particulièrement l‟attention sur la réalisation de l‟épreuve en soi, plutôt que sur la
sériation produite. La figure 12 présente la sériation effectuée par l‟enfant, la dernière paille
ajoutée étant indiquée par une ligne plus large que les quatre autres.
66
Figure 12 : Sériation de cinq pailles réalisée en octobre 2011
Extrait 124
1I :
2M :
3I :
4M :
5I :
6M :
7I :
8M :
(Place 4 pailles sur la table, devant l’enfant, la paille 1 étant toujours la plus petite.) J‟ te donne ces
pailles-là. [...] Est-ce que tu peux les mettre en ordre? Du plus petit au plus grand, les pailles.
(Place les pailles en ordre : 4-2-3-1.)
Est-ce que c‟est du plus grand au plus petit ou ... Est-ce qu‟i‟ sont corrects? Est-ce qu‟i‟ sont en ordre de
grandeur?
(Acquiesce de la tête.)
O.K. [...] (Sort une 5e paille, qui devrait être la paille numéro 2.) Regarde, j‟en avais oublié une!
Pour Marianne!
Peux-tu la mettre à sa place? Où a‟ va, cette paille-là? C‟est où sa grandeur?
(Place la nouvelle paille, en avant-dernier, soit dans l’ordre : 5, 3, 4, 2, 1.) Ici. […]
Lors de la réalisation de la tâche, Marianne ne semble pas comparer les pailles entre elles.
Elle discute avec l‟intervenante, prend une paille à la fois dans l‟ensemble qui lui est
proposé et elle l‟ajoute à la fin. Elle comprend qu‟elle doit les placer en ordre, donc elle
entreprend de les placer en ligne, ce qui est une bonne idée. On voit également, par la
considération du bas des pailles, une tentative de mise en relation de la plus petite à la plus
grande paille (Figure 13).
Figure 13 : Droites de projection imaginée ajoutées sur la sériation de 5 pailles
24 Dans chaque verbatim, les participants des échanges sont l‟intervenante (I), Marianne (M) et, dans certains
cas, Hélène Makdissi (H). Les propos sont transcrits en caractères standards, les faits et gestes sont
transcrits entre parenthèses en italiques et […] indique une partie de conversation retirée quand l‟enfant
parle d‟autre chose que la tâche ciblée.
(5-3-4-2-1)
67
En ce sens, on peut penser qu‟elle tente de comparer les pailles entre elles pour déterminer
leur rang dans la série. Par contre, elle ne voit pas la nécessité d‟aligner le bas des pailles
pour établir la comparaison des longueurs à partir d‟un point d‟origine commun. Elle se
situerait donc au premier stade de Piaget, c‟est-à-dire qu‟elle n‟arrive pas à réaliser sa
sériation en considérant, à la fois, la relation qui lie les pailles entre elles et les limites
perceptives qu‟elle doit respecter.
Lors de cet item, un ensemble de cinq pailles est présenté à l‟enfant qui doit les
sérier. Marianne prend les pailles une à une et ne réussit pas la sériation. Elle se
situe au premier stade. Bien qu‟elle tente une mise en relation des grandeurs dans
la série en faisant une « échelle » du bas des pailles, elle n‟arrive pas à une
sériation adéquate, faute de considérer un point d‟origine commun pour les cinq
pailles. On peut souligner que Marianne se centre sur une des extrémités des
pailles pour procéder à sa sériation. Elle ne procède pas par une opération
d‟ensemble lui permettant d‟envisager de manière coordonnée les deux extrémités
des pailles de manière simultanée en établissant la nécessité d‟une ligne d‟origine
commune pour déployer sa série.
5.1.1.2 Item 2 : Sériation d’objets faisant une course
L‟intervenante présente un ensemble de voitures à l‟enfant, prétextant que ces dernières
font une course. L‟intervenante questionne l‟enfant à propos de la position des voitures au
sein de la course. Cette mise en situation cherche à vérifier si l‟enfant démontre une
certaine compréhension de l‟aspect ordinal pouvant exister dans une série, en référant aux
positions des coureurs et en utilisant des notions perceptives. La figure 14 expose l‟ordre
des voitures faisant la course.
Figure 14 : Ordre des voitures faisant la course
Extrait 2
1I:
2M :
3I :
[...] C‟est laquelle la voiture qu‟i‟ est en premier?
(Touche la voiture rose.) Rose.
La rose. C‟est laquelle la voiture qu‟i‟ est en dernier?
68
4M :
5I :
6M :
7I :
8M :
9I :
10M :
11I :
12M :
13I :
14M :
15I :
16M :
17I :
18M :
19I :
20M :
21I :
22M :
23I :
24M :
25I :
26M :
27I :
28M :
29I :
30M :
31I :
32M :
(Touche la voiture verte.) Vert.
C‟est celle qui est en dernier?
Ouais.
C‟est laquelle la voiture qu‟i‟ est au milieu?
Rouge.
La rouge. C‟est laquelle la voiture qui est en avant de la voiture orange?
(Pointe la voiture orange.) Celle-là.
Ouais, ça c‟est la voiture orange. C‟est laquelle qui est en avant d‟elle?
Jaune. [...]
C‟est laquelle la voiture qui est après la voiture verte?
Rouge.
Oui. C‟est laquelle la voiture qui est avant la voiture orange?
Jaune.
Jaune. [...] C‟est laquelle la voiture qui est à la troisième position? Hein? C‟est laquelle la troisième?
(Pointe la voiture jaune.) Celle-là.
C‟est celle-là qui est en troisième?
Oui.
Remontre-moi celle qui est en troisième.
(Pointe la voiture jaune, puis la orange, puis la mauve.)
C‟est lequel ton choix?
Mauve.
Qui est à la troisième position?
Ouais.
O.K. P‟is la voiture jaune là, est à quelle position?
(Ne répond pas.)
Hein? La voiture jaune est à quelle position? C‟est quoi son numéro?
Rose.
Non, la jaune. Est à quelle position? C‟est quoi son numéro?
2. […]
Lorsque l‟intervenante lui demande quelle voiture est en premier, Marianne parvient à
identifier qu‟il s‟agit de la voiture rose [lignes 1-2]. Elle arrive également à répondre que la
voiture rouge se situe « après » la voiture verte [lignes 13-14]. Il y a toutefois chez
Marianne, dans cette situation, une confusion entre « avant » et « après ». Peu importe si
l‟intervenante lui demande « avant » ou « après », Marianne nomme la voiture qui se trouve
après celle ciblée [lignes 9-10; 13-14; 15-16]. Également, on note une confusion pour le
terme « dernier ». Il semble que, pour Marianne, le dernier soit associé immédiatement et
de manière proximale au premier [lignes 3 à 6]. Identifiant adéquatement la première
position, la dernière position devient ainsi, en réalité, la deuxième position. En outre, elle
ne parvient pas à identifier adéquatement plusieurs positions : le milieu (elle répond que
c‟est la rouge [lignes 7-8]), la troisième position (elle répond que c‟est la mauve [lignes 17
à 24]). Lorsqu‟on lui demande la position de la voiture jaune, elle répond que c‟est la
« deux » [lignes 27 à 32]. Marianne était toutefois consciente que la série débutait par la
voiture rose [lignes 1-2]. Il est possible de penser que la sixième position à identifier ne se
69
situait pas dans une « zone confortable » de la construction du nombre chez Marianne25
.
Ainsi, ceci l‟a possiblement poussée à considérer le début de la série par la fin, la menant
ainsi à identifier la voiture jaune comme étant à la deuxième position [lignes 27 à 32].
Lors de cet item, une série de voitures faisant une course est présentée à l‟enfant.
L‟intervenante la questionne alors sur la position des participants. Même si elle
parvient à identifier la première position et l‟élément qui se situe après un autre,
Marianne éprouve non seulement beaucoup de difficulté à identifier correctement
les positions des objets d‟une série, mais également demeure confuse face à
plusieurs termes nécessairement convoqués pour parler d‟une série, comme
« avant », « milieu » et « dernier ».
5.1.2. Items vérifiant la compréhension de l’aspect cardinal du nombre
La présente section expose les analyses concernant la capacité de l‟enfant à comparer des
collections d‟objets, à établir la conservation (de quantités continues et discontinues), à
procéder au comptage et à considérer l‟aspect cardinal d‟une quantité dénombrée.
5.1.2.1 Item 1 : Comparaison de collections (correspondance terme à terme)
L‟intervenante dresse deux rangées de sept jetons devant l‟enfant. Elle ajoute deux jetons à
l‟une des deux rangées et demande à Marianne combien il y a de jetons dans les rangées.
Cet item sert à vérifier si l‟enfant est en mesure de comparer deux collections d‟objets
identiques et surtout comment elle procède pour le faire : en se fiant à un aspect figural de
la présentation des collections ou en établissant une opération.
25 En effet, bien que la chaîne numérique des nombres connus de Marianne va beaucoup plus loin que
« sept », on le verra plus loin dans l‟analyse de l‟aspect cardinal, Marianne, à cette même époque, a de la
difficulté, sans soutien de l‟adulte, à commencer à partir d‟un autre nombre que « un » (voir extrait 13,
lignes 1 à 4) et à compter à rebours à partir de « sept » (voir extrait 14, lignes 1 à 10). Ceci permet de
penser que le petit nombre, déjà en haut de « cinq », est peu construit et très fragile.
70
Figure 15 : Comparaison de collections inégales de jetons
Extrait 3
1I :
2M :
3I :
4M :
5I :
6M :
7I :
8M :
[…] (Ajoute 2 jetons à la rangée du haut, un de chaque côté.) J‟en ai mis d‟autres dans ma ligne à
moi. Regarde. (Compte les jetons qui se trouvent dans la rangée du haut.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
9.
9. Et p‟is là [rangée du bas], i‟ en a combien?
7.
P‟is là [rangée du haut], i‟ en a?
8.
(Fait signe à l’enfant de monter.)
9. […]
L‟extrait 3 montre que Marianne est en mesure de dénombrer adéquatement chacune des
collections en établissant une correspondance terme à terme parfaite entre le mot nombre
dit et chaque objet dénombré dans chacune des collections. Toutefois, cette habileté de
comptage, bien qu‟elle-même assise sur une correspondance terme à terme, ne garantit pas
d‟emblée que le dénombrement, aussi adéquat puisse-il être, assure la construction du
nombre abstrait et issue d‟une opération de la pensée comme le montre si bien l‟extrait 4
qui suit.
En effet, dans le prochain extrait, l‟intervenante modifie l‟apparence de la rangée de neuf
jetons en rapprochant les jetons les uns des autres pour que cette rangée soit moins longue
que celle qui contient toujours sept jetons. Elle interroge l‟enfant à savoir quelle rangée
comporte le plus de jetons en conservant le même but qui est de vérifier si l‟enfant est en
mesure de comparer deux collections d‟objets et la façon dont elle s‟y prend.
71
Figure 16 : Comparaison de collections inégales de jetons après déplacement en octobre
2011
Extrait 4
1I :
2M :
3I :
4M :
5I :
6M :
7I :
8M :
9I :
10M :
[…] P‟is là, moi j‟ fais ça. (Prend les jetons de la rangée du haut et les colle les uns sur les autres.
De cette manière, la rangée du haut est plus courte que la rangée du bas.) Où est-ce qu‟i‟ en a plus
de jetons? Plus ici [rangée du haut], plus ici [rangée du bas] ou c‟est pareil?
Plus pareil.
Plus pareil? P,‟is est-ce que c‟est pareil, ou i‟ en a plus ici [rangée du bas] ou plus ici [rangée du
haut]?
(Ne pointe rien.) Plus ici.
C‟est lequel ton ici? Ici où? […] Est-ce qu‟i‟ a la même chose ou est-ce qu‟i‟ en a plus ici [rangée du
bas] ou plus ici [rangée du haut]?
(Ne pointe rien.) Plus ici.
C‟est lequel ton ici? Montre-moi avec ton doigt où est-ce qu‟i‟ en a plus ici.
(Met sa main au-dessus des deux rangées.) Plus ici, ici.
C‟est quelle ligne? C‟est celle-là [rangée du bas] ou c‟est celle-là [rangée du haut]?
(Pointe la rangée du bas.) C‟est celle-là. […]
Bien que Marianne soit en mesure de compter les deux collections correctement [extrait 3],
malgré plusieurs tentatives et questionnements de la part de l‟intervenante dans ce
quatrième extrait, elle n‟arrive toujours pas à identifier la rangée qui comporte le plus de
jetons une fois la représentation figurale des collections transformée. Elle répond souvent le
dernier élément énoncé par l‟adulte en utilisant l‟effet de récence. En fait, Marianne recourt
à une stratégie de comparaison reposant sur l‟aspect figural des collections. C‟est pourquoi
elle ne semble pas établir de relation entre les deux quantités dénombrées pour déterminer
quelle collection est la plus nombreuse. Ainsi, le nombre 9 ne provient pas de la
construction d‟une opération qui inclut les nombres qui le précèdent. Sa quantité demeure
relative à l‟espace que les objets de la collection occupent. Il n‟en est donc pas abstrait, ce
qui pousse Marianne à penser que 9 est plus petit que 7.
72
Lors de cet item, il est demandé à Marianne de comparer deux collections de
jetons pour identifier laquelle est la plus nombreuse, donc qui contient le plus
grand cardinal. Marianne est en mesure d‟utiliser la correspondance terme à terme
pour procéder au comptage de chacune des collections. Toutefois, l‟aspect
cardinal du nombre n‟est pas solidement construit étant donné que la quantité de
chaque collection n‟est pas considérée pour les comparer. Au contraire, c‟est
l‟aspect figural qui domine pour établir la comparaison. Ainsi, il est possible de
souligner ici que, sans une correspondance terme à terme conçue comme une
opération réversible, le comptage, même s‟il est adéquat, n‟assure pas la
construction de l‟aspect cardinal du nombre.
5.1.2.2 Item 2 : Conservation de quantités continues
L‟intervenante présente deux boules de pâte à modeler de même taille à l‟enfant en lui
demandant si l‟une des deux boules contient plus de pâte. Lorsque l‟enfant a établi l‟égalité,
l‟intervenante prend une des deux parts et la transforme à trois reprises sous les yeux de
l‟enfant, soit en rouleau, en galette puis en miettes. À chaque fois, elle questionne l‟enfant
pour savoir si l‟une des deux parts contient plus de pâte à modeler. Cet item a pour but de
vérifier si l‟enfant comprend la conservation de quantités continues et si elle est capable de
faire abstraction des transformations effectuées par l‟adulte par des arguments d‟identité, de
réversibilité ou de compensation qui feraient de la conservation une réelle opération.
Figure 17 : Première transformation effectuée avec la pâte à modeler
Extrait 5
1I :
2M :
3I :
4M :
5I :
6M :
7I :
8M :
9I :
[…] Est-ce que c‟est pareil, est-ce qu‟i‟ a plus de pâte à modeler ici [rouleau] ou plus de pâte à
modeler ici [boule]?
(Ne pointe rien.) Ici.
Ici où?
(Touche la boule puis touche le rouleau.)
Lequel?
(Touche la boule.)
Comment ça se fait que, toi, tu penses qu‟i‟ a plus de pâte à modeler? Où est-ce qu‟i‟ a le plus de
pâte à modeler? Ou que c‟est pareil?
(Touche le rouleau puis touche la boule.) Celle-là p‟is celle-là.
Ouais, i‟ a celui-là p‟is celui-là. Est-ce qu‟i‟ a plus de pâte à modeler dans celui-là [rouleau], est-ce
qu‟i‟ a plus de pâte à modeler dans celui-là [boule] ou si i‟ a la même chose de pâte à modeler dans
73
10M :
11I :
12M :
13I :
14M :
15I :
16M :
les deux?
La même pâte à modeler dans les deux.
I‟ a la même chose de pâte à modeler dans les deux, tu penses. P‟is est-ce qu‟i‟ a la même chose dans
les deux ou i‟ a plus de pâte à modeler ici [boule] ou i‟ a plus de pâte à modeler ici [rouleau]?
Pâte à modeler dans les deux.
Pas de pâte à modeler comme les deux?
Non. Plus de pâte à modeler comme les deux.
Plus de pâte à modeler comme les deux. Hein? Explique-moi. C‟est quoi ça plus de pâte à modeler
comme les deux?
(Ne répond pas.) […]
Lors de cette première transformation, Marianne semble comprendre la conservation. Plutôt
que de répondre à la question, elle touche les deux parts de pâte à modeler [lignes 5 à 10].
Par contre, quand l‟intervenante la questionne à plusieurs reprises, elle énonce qu‟une des
deux parts contient plus de pâte, en l‟occurrence, la boule [lignes 5-6]. Cela peut laisser
croire à un début de compréhension de la conservation, mais que ce serait encore très
fragile, d‟où l‟incapacité de l‟enfant à expliquer sa réponse [lignes 14 à 16].
L‟intervenante prend le rouleau rouge et le transforme en boule de même grosseur que celle
de référence. L‟enfant confirme alors leur égalité. Puis, l‟intervenante reprend la boule
rouge et la transforme en galette devant les yeux de l‟enfant.
Figure 18 : Deuxième transformation effectuée avec la pâte à modeler
Extrait 6
1I :
2M :
3I :
4M :
5I :
6M :
7I :
8M :
9I :
10M :
11I :
12M :
13I :
14M :
[…] (Prend une des deux boules et la transforme en galette.)
Est-ce qu‟elles sont pareilles?
Est-ce que c‟est pareil ou est-ce qu‟i‟ a plus de pâte à modeler ici [galette] ou ici [boule]?
(Pointe la galette.) Ici.
Plus de pâte à modeler ici, tu penses?
(Touche la boule et la galette.) Non.
Est-ce qu‟i‟ a la même chose de pâte à modeler ou i‟ a plus de pâte à modeler ici [boule] ou ici
[galette]?
(Pointe la galette.) Ici.
Ici, tu penses. Pourquoi? Comment ça se fait?
J‟ sais pas.
Tu sais pas, mais tu as peut-être une idée.
(Ne répond pas.)
Hein? As-tu une idée, toi? Si i‟ a plus de pâte à modeler ici [galette], ici [boule] ou si i‟ a la même
chose dans les deux?
I‟ a la même chose dans les deux.
74
15I :
16M :
17I :
18M :
I‟ a la même chose dans les deux. Ah oui? Tu penses ça, toi?
Oui.
C‟est toi l‟experte. […] Alors, toi, tu m‟as dit qu‟i‟ en avait plus ici [galette], plus ici [boule] ou i‟ en
avait pareil de la pâte à modeler?
(Ne répond pas.) […]
Lors de cette seconde transformation, les propos de Marianne témoignent de la réelle
fragilité du début de conservation que l‟on pouvait voir à l‟extrait 5. Ici, Marianne utilise
l‟aspect figural pour répondre à la question de l‟intervenante à plusieurs reprises [lignes 4;
8]. Par contre, à un moment, elle indique à l‟intervenante que ce sont les deux parts qui
contiennent le plus de pâte [lignes 5-6; 13-14], mais elle ne parvient pas à expliquer ses
réponses, autant celle qui établit l‟égalité entre les deux parts [ligne 6] que celle qui énonce
que la galette comporte plus de pâte [lignes 8 à 12].
L‟intervenante prend la galette rouge et la transforme en boule de même grosseur que celle
de référence. L‟enfant confirme alors leur égalité. Puis, l‟intervenante reprend la boule
rouge et la transforme en miettes devant les yeux de l‟enfant.
Figure 19 : Troisième transformation effectuée avec la pâte à modeler
Extrait 7
1I :
2M :
3I :
4M :
5I :
6M :
7I :
8M :
9I :
10M :
11I :
12M :
13I :
14M :
15I :
16M :
17I :
[…] Toi là, Marianne, est-ce que tu penses qu‟i‟ a plus de pâte à modeler ici [boule], ici [miettes] ou
c‟est pareil?
(Passe sa main au-dessus des miettes.) Ici.
Ici?
Ouais.
Comment ça se fait que tu penses qu‟i‟ en a plus ici [miettes] que là [boule]?
Je sais pas.
Pourquoi? […] Est-ce que i‟ en a plus ici [miettes], ici [boule] ou c‟est pareil?
(Passe sa main au-dessus des miettes.) C‟est pareil.
(Met une main au-dessus des miettes et une main au-dessus de la boule.) Ça p‟is ça, c‟est pareil?
Ouais.
Ah! Comment ça se fait que c‟est la même chose, tu penses?
(Ne répond pas.)
Hein? Comment ça se fait que c‟est la même chose ça [miettes] p‟is ça [boule]?
Je sais pas.
Tu sais pas? I‟ a tu une place où i‟ en a plus de pâte à modeler?
Ouais.
Où? […] Tu m‟as dit quoi déjà, dans ma p‟tite tête de souris? Est-ce que ça ici [miettes] p‟is ça ici
75
18M :
19I :
20M :
21I :
22M :
23I :
24M :
25I :
26M :
[boule], c‟est pareil? I‟ en a plus ici [boule] ou i‟ en a plus là [miettes]?
I‟ en a plus.
Où?
(Met sa main au-dessus des miettes.) Ici.
P‟is comment ça se fait qu‟i‟ en a plus là?
Je sais pas.
T‟ as peut-être une idée. […]
(Montre les miettes.) Regarde ici.
Toi, tu penses qu‟i‟ en a plus ici?
Oui. […]
Le raisonnement de Marianne lors des épreuves de conservation témoigne d‟une absence de
conservation. Comme on peut le constater, quand les boules de pâte à modeler sont
transformées par l‟intervenante, elle répond souvent en utilisant l‟effet de récence [lignes 7-
8] ou en se laissant influencer par l‟aspect figural (comme l‟espace occupé par les miettes
sur la table) [lignes 2; 8; 20; 24]. De plus, Marianne n‟arrive pas à justifier ses choix [lignes
9 à 12; 13-14; 21-22]. Elle ne démontre pas clairement une construction de la conservation
de la matière. Elle se situerait donc au premier stade en ce qui concerne la conservation de
quantités continues.
Lors de cet item, l‟intervenante propose deux parts égales de pâte à modeler à
l‟enfant. Par la suite, elle réalise trois transformations avec l‟une des deux parts
devant ses yeux : une fois en rouleau, une fois en galette et une fois en miettes. À
chaque fois, l‟enfant doit se prononcer sur les quantités de pâte à modeler dans
chaque part. Marianne ne démontre pas clairement une construction de la
conservation des quantités continues. Elle répond aux questions de l‟adulte en
utilisant principalement l‟aspect figural et l‟effet de récence.
5.1.2.3 Item 3 : Conservation de quantités discontinues
D‟abord, l‟intervenante dresse une rangée de sept images de chevalier. L‟enfant, pour sa
part, doit construire une rangée équivalente avec des images de princesse. Cet item vise à
vérifier la capacité de l‟enfant à utiliser la correspondance terme à terme pour comparer des
collections et à établir une conservation des quantités à la suite d‟une transformation de
l‟aspect figural de l‟une des deux collections.
76
Figure 20 : Rangée d‟images présentée à l‟enfant lors de l‟item 3
Figure 21: Construction d‟une rangée équivalente en octobre 2011
Extrait 8
1I :
2M :
3I :
4M :
5I :
6M :
7I :
8M :
9I :
10M :
11I :
12M :
13I :
(Place 7 images de chevaliers dans une rangée sur la table.) Là, moi, je mets des chevaliers, comme
ça. Toi, est-ce que tu peux mettre la même chose de princesses que de chevaliers? Toi, tu t‟occupes
des princesses. Je veux que tu mettes pareil de princesses que de chevaliers. Pour que chaque
chevalier ait sa princesse.
Oui.
Hein, on va faire 2 lignes : une ligne où c‟est moi et une ligne où c‟est toi.
(Prend les images de princesses une à une et les place en rangée. Elle ne fait que placer toutes les
images qu’elle a sous la main, soit 10 images de princesses. Même si les deux rangées sont éloignées
l’une de l’autre, on peut voir que 7 premières princesses se trouvent sous les 7 chevaliers.)
Est-ce qu‟i‟ a pareil de princesses que de chevaliers? I‟ a tu la même chose?
Oui.
I‟ a combien de chevaliers?
J‟ vais compter. (L’intervenante pointe chaque chevalier pendant que Marianne fait le décompte.) 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7.
Ça veut dire que je veux combien de princesses? Si j‟ai 7 chevaliers, j‟ veux combien de princesses?
Tu n‟en veux.
Pareil.
(Pointe les images de princesses, en faisant le décompte.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Oui. P‟is là, toi, tu m‟as dit que j‟ai 7 chevaliers p‟is j‟ veux pareil de princesses. Pas de princesses
de plus, j‟ veux la même chose de princesses.
77
14M :
15I :
16M :
17I :
18M :
19I :
20M :
21I :
22M :
Oui.
Ça veut dire que ça va me prendre combien de princesses, si j‟ai 7 chevaliers?
J‟ vais en enlever.
Ouais, mais t‟ en enlèves combien?
3.
Oui.
O.K. (Retire toutes les princesses et recommence sa rangée.)
Ça prend pareil de princesses que de chevaliers. […]
(Replace les 10 images de princesses sur la table.)
La construction de la rangée de princesses a été difficile pour Marianne. Même si elle
semble être en mesure d‟opérer sur les collections lorsque l‟intervenante lui demande
combien elle doit retirer de princesses pour en avoir le même nombre [lignes 15 à 17], on
voit que ce raisonnement est très fragile. En effet, entre les lignes 20 et 22, on peut voir que
Marianne retire toutes ses princesses et recommence la construction de la rangée plutôt que
d‟en retirer trois, comme elle venait tout juste de le souligner [ligne 18]. Marianne ne se
sert ni de la correspondance terme à terme relativement bien établie entre les chevaliers et
les princesses, ni du dénombrement qu‟elle fait adéquatement pour construire, au final, une
collection de même quantité. Pourtant, elle sait que, quand on lui pose la question
« combien » [ligne 7], elle doit compter [ligne 8]. Ce comptage, toutefois, ne mène pas à la
construction de la cardinalité de la collection puisque, en fin de compte, elle replace dix
princesses pour établir sa collection équivalente à son avis à sept chevaliers [ligne 22].
Il est difficile de s‟expliquer ici comment Marianne est parvenue à identifier qu‟il fallait
retirer trois princesses aux dix présentes dans la collection pour arriver à sept princesses
« pareil que » sept chevaliers. Deux hypothèses peuvent être suggérées. Premièrement, on
peut penser que Marianne a opéré mentalement sur le nombre (par soustraction 10-7 ou par
complétion 8, 9, 10). Pour parvenir à une telle opération, il faudrait que l‟aspect cardinal du
petit nombre soit bien construit. L‟extrait 4, où Marianne affirme que 7 est plus que 9 en se
centrant sur l‟aspect figural des collections de jetons, suggère fortement que l‟aspect
cardinal du nombre est loin d‟être construit, ce qui pousse à rejeter cette première
hypothèse. La seconde hypothèse pourrait reposer sur l‟idée que Marianne comprend qu‟il
y a trop de princesses et donc qu‟il faut en retirer. Le nombre 3 étant relativement bien
construit (à cette époque Marianne parvenait seule à compter à rebours à partir de 3 dans les
interventions quotidiennes), Marianne énonce ce nombre qui s‟avère être le plus grand dans
la « zone de confort » de sa chaîne numérique. De plus, la disposition des chevaliers et des
78
princesses laisse trois princesses à l‟écart qui débordent la ligne des chevaliers, ce qui peut
l‟amener à considérer ce qui excède comme le retrait à faire pour que les deux collections
débutent et terminent au même endroit. Ici, la correspondance terme à terme sert de soutien
pour comparer les deux collections et identifier l‟excédent, mais elle délaissera ce soutien
dès qu‟elle retirera des princesses [lignes 20 à 22], changeant ainsi l‟aspect figural. La
correspondance terme à terme n‟est donc pas pleinement une opération réversible. C‟est
plutôt cette dernière hypothèse qui est retenue et qui est également soutenue par la suite de
cet extrait 8 et par l‟extrait 9 qui suit.
Il convient toutefois de mettre en exergue ici que la demande de comparaison et les
relations à établir entre les deux collections pour parvenir à identifier qu‟il y a trois
princesses à retirer, possiblement soutenu par la correspondance terme à terme entre les
chevaliers et les princesses, précède la construction de l‟aspect cardinal des quantités en jeu
(ici 7 et 10). Cela permet de penser que l‟action de l‟enfant à procéder à des comparaisons
et à des correspondances terme à terme, et ce, même si ces actions ne sont pas encore
conçues comme des opérations impliquant sine qua non la réversibilité, contribueront à
construire l‟aspect cardinal du nombre pour donner un réel sens numérique à la comptine
des nombres. Autrement dit, ici, ce n‟est pas la comptine des nombres et l‟aspect cardinal
construit qui permet la mise en relation et l‟opération de comparer les deux collections,
mais bien l‟inverse : c‟est l‟exigence d‟opération imposée par l‟adulte dans la demande de
comparaison qui pousse l‟enfant à mettre en relation les deux collections par l‟action de
correspondance terme à terme qui semble devenir un tremplin servant la construction de
l‟aspect cardinal du nombre.
Par la suite, lorsque les deux rangées comportent le même nombre d‟éléments,
l‟intervenante espace les images de chevaliers devant les yeux de l‟enfant et elle lui
demande s‟il y a une rangée qui en a le plus. On cherche alors à vérifier si l‟enfant
comprend la conservation des quantités discontinues et si elle est capable de faire
abstraction des transformations effectuées par l‟intervenante par des arguments d‟identité,
de réversibilité ou de compensation, qui ferait de la conservation une opération.
79
Figure 22 : Disposition des rangées pour la comparaison de collections et pour la
conservation des quantités discontinues en octobre 2011
Extrait 9
1I :
2M :
3I :
4M :
5I :
6M :
7I :
8M :
9I :
10M :
11I :
12M :
13I :
14M :
15I :
16M :
17I :
18M :
19I :
20M :
21I :
22M :
23I :
24M :
25I :
26M :
27I :
28M :
29I :
30M :
31I :
32M :
[…] (À ce moment, les chevaliers ne sont pas décalés.) Est-ce que j‟ai pareil de princesses p‟is de
chevaliers?
Oui.
Oui! P‟is là, moi, j‟ vais faire ça, comme ça. (Espace les images de chevaliers pour que la rangée
dépasse à la droite et à la gauche de la rangée de princesses.) […] Est-ce que c‟est pareil les
chevaliers p‟is les princesses ou si j‟en ai plus ici [princesses] ou plus ici [chevaliers]?
Oui.
Oui, quoi?
C‟est pareil.
C‟est la même chose de chevaliers p‟is de princesses?
Oui.
Est-ce que c‟est la même chose ou si j‟en ai plus ici [princesses] ou plus ici [chevaliers]? […] Ici, est-
ce que c‟est la même chose ou i‟ a plus de chevaliers ou i‟ a plus de princesses?
I‟ a plus de princesses.
Tu penses qu‟i‟ a plus de princesses?
Oui.
Comment ça se fait? Explique-moi, voir. […] Toi, tu m‟as dit qu‟i‟ en avait plus ici [chevalier], plus
ici [princesses] ou c‟est pareil?
(Pointe la rangée de princesses.) Ici.
I‟ en a plus ici? Comment ça se fait que tu sais ça? […] Comment ça se fait qu‟i‟ a plus de
princesses?
Je sais pas, moi. […]
Moi, là, mon ami qui est tout petit m‟a dit qu‟i‟ avait plus de chevaliers parce que la ligne est plus
longue que la ligne de princesses. Penses-tu qu‟i‟ a raison?
(Acquiesce de la tête.)
Tu penses qu‟i‟ a raison le p‟tit garçon?
Oui.
Le p‟tit garçon dit qu‟i‟ en a plus là [chevaliers] p‟is, toi, tu dis qu‟i‟ a raison?
Oui.
Mais, toi, tantôt, tu m‟as dit qu‟i‟ avait plus de princesses.
Oui.
C‟est où qui en a le plus ou c‟est pareil?
(Pointe la rangée de chevaliers.) Ici.
Comment ça se fait qui en a plus là?
J‟ sais pas.
Tu sais tantôt, quand on a mis un amoureux p‟is une amoureuse ensemble, on avait dit qu‟i‟ en avait
pareil, Hein?
Ouais.
P‟is là, toi, tu me dis qu‟i‟ en a plus ici? C‟est tu ça?
Ouais. […]
80
Lors de cet item, sous la demande de l‟intervenante et avec son soutien, Marianne compte
les images lors de la construction de la rangée, mais elle ne recourt plus au comptage par la
suite. Elle ne semble pas non plus établir de correspondance terme à terme entre les deux
collections. De ce fait, elle n‟arrive pas à affirmer que les deux rangées comportent toujours
sept éléments et, donc, qu‟elles sont toujours identiques. En affirmant qu‟une rangée
compte plus d‟images que l‟autre [lignes 10; 14; 26], Marianne se situe au premier stade en
ce qui concerne la conservation de quantités discontinues. Pour répondre aux questions de
l‟intervenante, elle utilise principalement l‟aspect figural des collections et l‟effet de
récence plutôt que de recourir à des opérations, telles que la correspondance terme à terme
entre les deux rangées et le comptage. Lorsqu‟une contre-suggestion lui est proposée,
même si cette dernière est incorrecte, Marianne change d‟avis et énonce que c‟est le petit
garçon qui a raison [lignes 17 à 20; 23 à 26]. De plus, comme Marianne ne parvient pas à
expliquer ses réponses en recourant aux arguments d‟identité, de réversibilité et de
compensation, la conservation n‟est pas une opération pour elle [lignes 13 à 16; 27-28].
Lors de cet item, une rangée de sept images de chevalier est présentée à Marianne.
Cette dernière doit construire une rangée équivalente avec des images de
princesse. Sans soutien de la part de l‟intervenante, Marianne n‟y parvient pas.
Elle n‟utilise pas le comptage pour comparer les deux collections, mais elle utilise
adéquatement la correspondance terme à terme entre le mot nombre dit et l‟image
dénombrée. Cette mise en correspondance terme à terme établie à tâtons semble
permettre des mises en relation permettant de comparer les collections qui servira
la construction ultérieure de l‟aspect cardinal des nombres en jeu dans la
comparaison. Toutefois, la correspondance terme à terme n‟est pas encore utilisée
comme opération réversible. En effet, si l‟intervenante modifie l‟apparence de
l‟une des rangées en espaçant les images l‟une de l‟autre, de sorte que cette rangée
dépasse l‟autre rangée des deux côtés, Marianne affirme qu‟une des deux rangées
compte alors plus d‟images que l‟autre en utilisant l‟aspect figural, ce qui
témoigne également que Marianne n‟a pas construit la conservation des quantités
discontinues.
5.1.2.4 Item 4 : Comptage
Sans utiliser de matériel, l‟intervenante demande à l‟enfant de compter le plus loin possible.
Cette demande a pour but de vérifier l‟étendue de la chaîne numérique de l‟enfant.
81
Extrait 10
1M :
2I :
3M :
4I :
5M :
6I :
7M :
8I :
9M :
[…] 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30.
En connais-tu d‟autres après?
Non.
Après 30, c‟est … (Laisse l’enfant compléter.)
31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40.
P‟is après?
41, 42, 42, 43, 45, quarante-seize, 46, 47, 48, 49, 30. J‟ suis bonne, Hein?
Oui, tu es bonne! Qu‟est-ce qu‟i‟ a après?
(Réfléchit.) 41, 42, 43, 45, 46, 47, 48, 49, 30. […]
Marianne connaît bien la comptine numérique jusqu‟à 49 [lignes 1; 5; 7]. Ensuite, elle
énonce 30 et recommence la dizaine de quarante [lignes 7 à 9].
Ensuite, l‟intervenante lui demande de compter en tenant compte d‟une borne supérieure,
fixée à 9 [extrait 11]. Puis, l‟intervenante lui demande de compter en tenant compte d‟une
borne inférieure fixée à 3 [extrait 12]. Ceci a pour but de vérifier si la chaîne numérique de
Marianne est sécable ou non.
Extrait 11
1I :
2M :
3I :
4M :
[…] Marianne, es-tu capable de compter jusqu‟à 9?
Oui.
À 9, on arrête. Vas-y.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. […]
Marianne réussit à compter en tenant compte d‟une borne supérieure [ligne 4].
Extrait 12
1I :
2M :
3I :
4M :
5I :
6M :
[…] Es-tu capable de compter à partir de 3. On commence pas à 1, on commence à 3.
Oui. 1, 2, 3.
C‟est beau! P‟is là, si on commence à 3? Hein? 3 … (Laisse l’enfant compléter.)
2, 1.
Excellent! P‟is là, si on compte, p‟is on part à 4 et après ça on continue. 4 … (Laisse l’enfant
compléter.)
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. […]
Avec un léger soutien de l‟adulte, Marianne parvient à compter à partir de 4 [lignes 5-6].
L‟intervenante lui demande ensuite de compter en considérant, à la fois, la borne inférieure
5 et la borne supérieure 9.
82
Extrait 13
1I :
2M :
3I :
4M :
5I :
6M :
7I :
8M :
9I :
10M :
[…] Es-tu capable de compter si on part à 5 et on continue jusqu‟à 9?
Oui.
On commence à 5, p‟is on arrête à 9.
Oui. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Wow! Et p‟is là, si on commence pas à 1. On commence à compter à 5.
Oui.
Hein, on commence pas à 1. On les dit dans notre tête, p‟is rendu à 5, on les dit fort. De 5 jusqu‟à 9.
J‟ veux compter.
Vas-y.
1, 2, 3, 4, 5, 6… 5. […]
Marianne n‟est pas en mesure de compter avec une borne inférieure et une borne
supérieure. Elle réussit à respecter la borne supérieure, mais elle débute toujours avec 1
[lignes 4; 10]. Ainsi, la chaîne numérique de Marianne ne semble pas être une chaîne
sécable, mais davantage non sécable. Seule, Marianne ne semble pas en mesure de compter
en commençant par un mot nombre autre que 1.
Finalement, l‟intervenante demande à l‟enfant de compter à rebours à partir de 7. Ceci
permet de vérifier si la chaîne numérique de l‟enfant est dénombrable. Selon Fuson (1988,
1991), Gelman et Gallistel (1986) et Van Nieuwenhoven (1996, 1999), cette chaîne
dénombrable assure un aspect cardinal au nombre, car l‟enfant peut ainsi considérer le
nombre de départ, ici 7, et de là, opérer N, soit dans ce cas-ci, N-1, mais ce, si et seulement
si l‟enfant n‟a pas appris la comptine inverse.
Extrait 14
1I :
2M :
3I :
4M :
5I :
6M :
7I :
8M :
9I :
10M :
[…] P‟is si on commence à compter à 7, p‟is là on descend? Hein, on va à l‟envers. Qu‟est-ce qui
vient avant 7?
8.
Ça c‟est après. Avant, c‟est quoi?
6.
Après ça, avant?
7.
Ça c‟est après. Qu‟est-ce qui vient avant 6?
(Ne répond pas.)
On a dit : 7, 6, … (Laisse l’enfant compléter.)
7.
Marianne n‟arrive pas à compter à rebours à partir de 7 [lignes 4 à 6; 7 à 10]. Cela concorde
avec ce qui a été observé plus tôt : comme sa chaîne numérique n‟est pas encore sécable,
Marianne ne parvient pas à comprendre la réversibilité qui existe au sein de cette chaîne, ce
83
qui est nécessaire lors d‟un comptage à rebours. L‟intervenante demande à l‟enfant de
compter à rebours, mais cette fois à partir de 5.
Extrait 15
1I :
2M :
3I :
4M :
5I :
6M :
7I :
8M :
9I :
10M :
11I :
12M :
13I :
14M :
15I :
16M :
[…] Si, moi, j‟ compte à l‟envers à partir de 2. Ça fait : 2, 1. Es-tu capable si on commence à 5?
Hein? Si on commence à 5, p‟is on compte à l‟envers? On descend. 5… (Laisse l’enfant compléter.)
4, 3, 2, 1.
0! T‟ es bonne! Et si on commence à 6, es-tu capable?
Oui.
Vas-y!
1, 2, 3, 4, 5, 6.
Et si je commence à 6 et j‟ veux aller jusqu‟à 1? Ça fait … (Laisse l’enfant compléter.)
6, 7.
Par en bas. 6, … (Laisse l’enfant compléter.)
Après?
Tu l‟as fait tout à l‟heure, qu‟est-ce qui vient avant 6?
5.
Après?
8.
Avant 5?
6. […]
Avec le soutien de l‟adulte, elle réussit à compter à rebours en débutant par 5 [lignes 1-2],
mais elle n‟arrive pas à le faire en débutant par 6, même avec du soutien de la part de
l‟intervenante [lignes 7-8]. Ensuite, il est difficile de se prononcer, car l‟intervenante
soutient l‟enfant pour identifier le nombre avant 6 [lignes 11-12], mais le soutien peut
devenir confus par la suite puisque l‟intervenante lui demande « après » (au sens de
« continue ») alors qu‟elle veut savoir « avant » [ligne 13]. L‟enfant peut alors avoir
compris qu‟il fallait nommer un nombre « après », comme 8 [ligne 14] au lieu de continuer
le comptage à rebours en nommant ce qui précède 5.
Lors de cet item, on cherche à vérifier la construction de la chaîne numérique de
l‟enfant. Marianne arrive à compter seule jusqu‟à 49, à tenir compte d‟une borne
supérieure telle que 9, d‟une borne inférieure telle que 3 et à compter à rebours à
partir de 5. Par contre, elle n‟est pas en mesure de considérer, à la fois, une borne
inférieure et une borne supérieure, ni à compter à rebours à partir de 6. La chaîne
numérique de Marianne serait donc considérée comme non sécable lorsque le
nombre est supérieur à 3, car elle n‟est pas en mesure de compter à partir d‟un mot
nombre autre que 1, 2 ou 3, qui se trouve être son domaine numérique opérable à
ce moment.
84
5.1.2.5 Item 5 : Cardinalité
L‟intervenante place dix-huit jetons pêle-mêle sur la table devant l‟enfant. Elle demande
alors à Marianne de les dénombrer. Cet item tente de vérifier les méthodes de comptage
utilisées par Marianne ainsi que sa compréhension de la notion de cardinalité.
Figure 23 : Première disposition de jetons à dénombrer
Extrait 16
1M :
2I :
3M :
4I :
5M :
6I :
7M :
8I :
9M :
10I :
11M :
12I :
13M :
[…] (Compte les jetons en recomptant plusieurs jetons à deux reprises et en conservant un doigt sur
le même jeton pour les 5 derniers nombres.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,
19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30.
Tu penses qu‟i‟ en a 30?
Oui.
Combien t‟ as dit qu‟i‟ en avait, déjà?
6.
I‟ en a combien?
16.
16? Hein? Dans ma p‟tite tête de souris, tu m‟as dit qu‟i‟ en avait combien, ici?
(Chuchote.) Siiiii Siiiiii.
6?
Non, 9.
9? Ah, O.K. Et si je les prends comme ça et que je les mets ici. (Déplace l’ensemble des jetons sur la
table.) Combien tu penses qu‟i‟ en a?
9. […]
Au premier comptage, Marianne en dénombre 30 [ligne 1]. Elle commet plusieurs
méprises, comme compter plusieurs jetons à deux reprises par manque d‟organisation et,
rendue à 25 à la fin de son « comptage », elle conserve son doigt sur un même jeton et
continue de compter jusqu‟à 30. Moins d‟une minute plus tard, quand l‟intervenante lui
demande à nouveau combien il y en avait, elle répond qu‟il y en a 6, puis 16, puis 9 [lignes
5; 7; 11; 13]. Pour elle, le comptage ne permet pas d‟identifier le cardinal d‟une collection
car il ne repose pas sur l‟établissement d‟une quantité à ce qui est dénombré.
85
L‟intervenante déplace les jetons sur la table et demande à l‟enfant combien il y en a, sans
les compter. Ensuite, il est demandé à l‟enfant de compter les jetons pour vérifier son
hypothèse.
Extrait 17
1I :
2M :
3I :
4M :
[…] O.K. Et si je les prends comme ça et que je les mets ici. (Déplace l’ensemble des jetons sur la
table.) Combien tu penses qu‟i‟ en a?
9.
9, aussi. Peux-tu les compter? Pour vérifier, voir, combien i‟ en a?
(Compte les jetons à nouveau, en comptant plusieurs jetons à plusieurs reprises.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30. […]
Lors du recomptage, elle arrive encore à 30, en comptant plusieurs jetons plus d‟une fois
[ligne 4]. Marianne semble avoir de la difficulté à bien utiliser la correspondance terme à
terme entre le mot nombre dit et l‟objet dénombré quand le nombre est supérieur à 10. En
raison des difficultés de l‟enfant, l‟intervenante retente le même exercice, mais avec un
ensemble de cinq jetons.
Figure 24 : Seconde disposition de jetons à dénombrer
Extrait 18
1I :
2M :
3I :
4M :
5I :
6M :
7I :
8M :
9I :
10M :
11I :
12M :
13I :
14M :
15I :
16M :
[…] (Retire les 18 jetons de la table et en place 5.) I‟ a combien de jetons, ici, tu penses?
(Ne répond pas.)
Veux-tu les compter?
Oui. (Compte les jetons, en comptant un même jeton à 2 reprises.) 1, 2, 3, 4, 5, 6.
I‟ en a combien, déjà?
(S’apprête à les compter.)
Sans les compter, combien i‟ en avait?
6.
6. Et p‟is, si je les prends et que j‟ les mets comme ça [ils sont alors déplacés sur la table], i‟ en a
combien?
(S’apprête à les compter.)
Sans les compter, combien tu penses qu‟i‟ en a? […]Sans les compter, combien tu penses qu‟i‟ en a?
4.
Veux-tu les compter, voir?
(Compte correctement les jetons.) 1, 2, 3, 4, 5.
Wow! Tu m‟as dit qu‟i‟ en avait 5. T‟ es b‟en bonne! T‟ as raison! Et p‟is là, moi, j‟en mets 2 autres.
I‟ en a combien maintenant?
6.
86
17I :
18M :
19I :
20M :
21I :
22M :
23I :
24M :
25I :
26M :
27I :
28M :
29I :
30M :
31I :
32M :
J‟en ai mis 2 autres.
6.
Veux-tu compter? [...] Vas-y, compte-moi ça pour me dire combien i‟ en a.
6.
Veux-tu compter pour vérifier?
(Compte les jetons en comptant plusieurs jetons, à plusieurs reprises.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Wow! C‟est super, ça. Et p‟is là, toi, tu dis qu‟i‟ en a 9. T‟ es une championne. Moi, j‟en prends un
p‟is je l‟enlève. Combien tu penses qu‟i‟ en a? I‟ en avait 9 p‟is, moi, j‟en ai enlevé 1.
Oui.
Qu‟es‟ ça fait si j‟en ai enlevé 1? I‟ en avait 9 p‟is j‟en ai enlevé 1.
Pourquoi?
Pour le remettre dans mon sac. Combien tu penses qu‟i‟ en a, maintenant?
(Chante.)
Hein? I‟ en a combien, maintenant? J‟en avais 9 p‟is j‟en ai enlevé 1. Ça fait combien?
6.
Ça fait 6? J‟en avais 9 p‟is j‟en ai enlevé 1.
6. […]
Au premier essai, Marianne compte les jetons trop rapidement et elle compte un même
jeton à deux reprises [ligne 4]. Bien que spontanément Marianne souhaitait compter de
nouveau les jetons à la demande de l‟adulte (« Il y en a combien déjà? » [lignes 5-6], elle
parvient, sous l‟exigence de l‟adulte [ligne 7], à ne pas compter et à maintenir le dernier
mot nombre énoncé lors du premier comptage [ligne 8], ce qui permet de souligner une
émergence de construction de cardinalité. Au deuxième essai, Marianne réussit à compter
les cinq jetons seule, en utilisant bien la correspondance terme à terme en touchant
seulement un jeton par mot nombre énoncé et en ne comptant pas de jeton à plusieurs
reprises [ligne 14]. Toutefois, le principe de cardinalité n‟est pas encore solidement
construit chez Marianne : lorsque l‟intervenante lui demande combien il y a de jetons une
seconde fois, Marianne recommence son comptage [lignes 6; 10] puis elle ne maintient pas
le dernier mot nombre dit à la suite d‟un déplacement des objets par l‟adulte [lignes 9 à 12].
Pour elle, le dernier mot nombre dit ne tient pas toujours lieu de cardinal de la collection ce
qui ne lui permet pas de constituer une chaîne dénombrable de N sur laquelle on peut
ajouter ou retirer un nombre quelconque (N-n'). De ce fait, elle ressent le besoin de
recompter à chaque fois. D‟ailleurs, elle n‟arrive pas à réaliser des opérations d‟addition et
de soustraction sur ce nombre [lignes 15 à 20; 29 à 32]. Comme Marianne éprouve encore
quelques difficultés, l‟intervenante lui propose la même tâche avec un ensemble de trois
jetons.
87
Figure 25 : Troisième disposition de jetons à dénombrer
Extrait 19
1M :
2I :
3M :
4I :
5M :
6I :
7M :
8I :
9M :
10I :
11M :
12I :
13M :
14I :
15M :
16I :
17M :
[…] (Compte les jetons.) 1, 2, 3.
I‟ en avait combien?
(S’apprête à les compter.)
Compte-les pas. Dis-moi combien tu en avais compté tantôt.
3.
3. Là, moi, j‟ les prends et j‟ les amène ici. (Déplace les 3 jetons sur la table.) I‟ en a combien
maintenant?
3.
3? Vérifie donc! Compte-le avec ton doigt.
1, 2, 3.
I‟ en a 3, t‟ as raison. Et p‟is là, j‟en ai 2 qui étaient là tantôt et qui veulent revenir. Si j‟en ai 3 et que
j‟en ajoute 2, ça va faire combien tu penses? Sans compter. J‟en ai 3 p‟is j‟en ajoute 2, ça fait
combien?
3.
Oui, j‟en ai 3, t‟ as raison. P‟is j‟en ai 2 autres qui viennent les trouver. Ça fait combien, tout
ensemble?
3.
Veux-tu vérifier?
Oui.
Vérifie.
(Compte les jetons.) 1, 2, 3, 4, 5. […]
Avec trois jetons, Marianne réussit son comptage dès la première fois. Ce comptage tient
lieu de cardinal puisqu‟elle parvient à identifier et à maintenir la quantité de jetons à la suite
de leur déplacement par l‟adulte [ligne 7]. Même avec un petit nombre déjà construit, cet
aspect cardinal est encore relativement fragile puisque Marianne cherche spontanément à
compter de nouveau [ligne 3]. De plus, elle ne parvient pas à effectuer une addition sur ce
petit nombre correctement, elle répond que même si on ajoute deux jetons, il y en aura
toujours trois jetons [lignes 11 à 13]. Ceci témoigne que la comptine des nombres n‟a pas
une valeur de chaîne dénombrable intégrant une construction relativement solide de la
cardinalité.
88
Lors de cet item, une collection de jetons est présentée pêle-mêle à Marianne.
Cette dernière doit la dénombrer et réaliser des opérations d‟addition et de
soustraction. Marianne parvient à compter les collections de cinq et de trois jetons
en utilisant bien la correspondance terme à terme entre le mot nombre énoncé et
l‟élément dénombré, mais elle n‟y arrive pas avec dix-huit jetons. En ce qui
concerne les opérations qu‟elle devait réaliser sur ces nombres, elle ne les a pas
réussies. De plus, peu importe la grandeur de la collection, Marianne ressent
toujours le besoin de la recompter pour connaître le nombre d‟éléments qui la
composent. Ces éléments indiquent que sa chaîne numérique est encore non
sécable, et par le fait même, non dénombrable. Comme la cardinalité n‟est pas
encore maîtrisée par Marianne, sa chaîne numérique, même si elle est étendue,
n‟est pas opérable. Toutefois, on note une émergence de l‟aspect cardinal sur le
petit nombre 3.
5.1.3. Synthèse de la compréhension de l’enfant en octobre 2011
Pour la compréhension de l‟aspect ordinal du nombre, Marianne tente de mettre en série
cinq pailles en établissant un ordre de grandeur en considérant seulement l‟une des
extrémités. Elle éprouve ainsi de la difficulté à sérier des objets de tailles différentes, car
elle n‟utilise pas un point d‟origine commun pour tous les éléments et elle ne parvient pas à
identifier l‟ensemble des positions dans une série. À ce moment, elle se situerait donc au
premier stade de développement de l‟aspect ordinal selon Piaget.
En ce qui concerne l‟aspect cardinal du nombre, bien que Marianne soit capable de réciter
la chaîne numérique jusqu‟à 49, elle n‟a pas construit le petit nombre (en bas de 10), c‟est-
à-dire qu‟elle n‟a pas compris la valeur de ces nombres et qu‟ils ne sont pas opérables. En
ce sens, elle est en mesure d‟utiliser correctement la correspondance terme à terme mot
nombre énoncé et objet dénombré lorsque les collections comportent moins de dix
éléments. Même si Marianne n‟utilise pas la correspondance terme à terme comme une
réelle opération, impliquant sine qua non la réversibilité, l‟identité ou la compensation, elle
peut utiliser la correspondance terme à terme établie pour comparer et mettre en relation
deux collections pour identifier la nécessité de retirer trois objets pour rendre les collections
équivalentes. L‟exigence d‟opération de l‟adulte par une demande de comparaison entre
deux collections de cardinal inférieur à dix semble précéder la construction même des
aspects cardinaux des collections comparées (7 et 10) et semble indiquer que la
89
correspondance terme à terme, même si elle n‟est pas encore une pleine opération, est un
précurseur de l‟aspect cardinal du nombre.
La chaîne numérique de Marianne est encore non sécable : elle connaît la comptine des
mots nombres, mais elle doit toujours commencer son comptage par 1, d‟où sa difficulté à
compter à rebours et à considérer, à la fois, une borne inférieure et une borne supérieure.
Elle n‟utilise pas le comptage pour comparer les collections qui lui sont présentées ni pour
en connaître le cardinal : ce principe de comptage n‟est donc pas encore construit chez elle.
Le petit nombre inférieur à 3 semble construit; c‟est donc le domaine numérique de
Marianne à cette époque. Au-delà de 3, la chaîne des nombres, même si elle est stable
jusqu‟à 49, représente ainsi davantage une comptine plutôt qu‟une réelle chaîne numérique
inhérente au dénombrement.
Dans les tâches de conservation, Marianne répond principalement en se laissant influencer
par l‟aspect figural des éléments et n‟arrive pas à justifier ses réponses. Marianne n‟a donc
pas encore construit la conservation des quantités continues et discontinues. À ce moment,
la correspondance terme à terme, la conservation et le comptage ne sont pas construits
comme des opérations et elle se situerait au premier stade de développement de la
conservation selon Piaget.
5.2. Évaluation 2 : Mai 2012
Lors de la deuxième évaluation, qui a été réalisée en mai 2012, la compréhension de
l‟aspect ordinal et de l‟aspect cardinal de Marianne a été analysée à l‟aide des mêmes items
que lors de la première évaluation. L‟aspect ordinal du nombre a été évalué par deux items :
la sériation d‟objets de tailles différentes et la sériation d‟objets faisant une course. L‟aspect
cardinal, quant à lui, a été évalué par cinq items : la comparaison de collections, la
conservation de quantités continues et de quantités discontinues, le comptage et la
cardinalité.
90
5.2.1. Items vérifiant la compréhension de l’aspect ordinal du nombre
La présente section expose, d‟une part, les analyses concernant la capacité de l‟enfant à
sérier en ordre de grandeur cinq pailles différentes et, d‟autre part, sa capacité à considérer
les diverses positions d‟objets d‟une série.
5.2.1.1 Item 1 : Sériation d’objets de tailles différentes
L‟intervenante demande d‟abord à l‟enfant de sérier quatre pailles, puis d‟en ajouter une
cinquième à la série élaborée. Cet item a pour but de vérifier la sériation effectuée par
l‟enfant en portant particulièrement l‟attention sur la réalisation de l‟épreuve en soi, plutôt
que sur la sériation produite. La figure 26 présente la sériation effectuée par l‟enfant, la
dernière paille ajoutée (N) étant indiquée par une ligne plus large que les quatre autres.
(4-1-2-3-N)
Figure 26 : Sériation de pailles réalisée en mai 2012
Extrait 20
1I :
2M :
3I :
4M :
5I :
6M :
7I :
8M :
(Place 4 pailles sur la table.) Je te place des pailles, ici. Est-ce que tu peux les placer de la plus petite à
la plus grande?
Oui.
Place-les, en ordre de grandeur. De la plus petite à la plus grande.
(Place les pailles une par une, les dépose de la gauche à la droite, en considérant un point d’origine
commun.. Elles sont placées dans cet ordre : 2-3-1-4, 1 étant la plus petite.)
Il faut les placer de la plus petite à la plus grande.
Ouais.
Est-ce qu‟i‟ sont placées de la plus petite à la plus grande?
Non.
91
9I :
10M:
11I :
12M:
13I :
14M:
15I :
16M:
17I :
18M :
Place-les comme il faut. […] Il faut les placer de la plus petite à la plus grande.
Où?
Sur la table. I‟ faut les ranger de la plus petite à la plus grande. […]
(Prend la plus grande paille et la déplace au début, en la décalant un peu vers le bas.)
On les place de la plus petite à la plus grande. On met la plus petite au début. […]
(Déplace les pailles. Elles sont maintenant dans l’ordre : 4-1-2-3.)
Est-ce qu‟elles sont mises de la plus petite à la plus grande?
Oui.
Oui. (Sort une nouvelle paille N, qui irait au milieu, soit entre la 2 et la 3 de la première série.) Celle-
là, on la mettrait où?
(Ajoute la paille à la fin : 4-1-2-3-N.) J‟ai gagné! […]
Lors de la réalisation de la tâche, Marianne prend les pailles une par une dans l‟ensemble
pour les placer à la fin de la série. Une fois cette première sériation établie en quelque sorte
par l‟ordre dans lequel elle a pris chaque paille [ligne 4], on peut poser l‟hypothèse qu‟elle
ajuste sa série en effectuant des tâtonnements entre les pailles [lignes 12; 14]. Elle
entreprend de les placer en ligne en considérant un point d‟origine commun pour les pailles.
Marianne semble comprendre que pour sérier les pailles, elle doit les comparer et, pour ce
faire, elles doivent nécessairement avoir un même point d‟origine. À sa première sériation
[ligne 4], sous le questionnement de l‟adulte, elle réalise que sa série ne respecte pas un
ordre de grandeur. Elle semble écarter la plus longue paille en la replaçant au début [ligne
12]. Ce faisant, elle semble considérer seulement les trois pailles qui restent et parvient à
déplacer la plus petite devant les deux autres qui la précèdent [ligne 14]. Toutefois, à l‟ajout
de la cinquième paille, Marianne reprend sa procédure initiale d‟ajouter la dernière paille
prise à la fin de la série sur la droite [ligne 28]. Ainsi, en se centrant sur l‟alignement du bas
des pailles, elle n‟a pas réussi à sérier totalement les cinq pailles entre elles en considérant
de manière coordonnée et simultanée les deux extrémités lors du déploiement de la série.
Elle se situerait donc au premier stade de Piaget, c‟est-à-dire qu‟elle n‟arrive pas à réaliser
92
sa sériation en considérant, à la fois, la relation qui lie les pailles entre elles et les limites
perceptives qu‟elle doit respecter.
Lors de cet item, un ensemble de cinq pailles est présenté à l‟enfant qui doit les
sérier. Marianne prend les pailles une à une et ne réussit pas la sériation. Elle se
situe au premier stade. Bien qu‟elle comprenne que toutes les pailles doivent
partager un point d‟origine commun, elle ne parvient pas à mettre en relation les
grandeurs des pailles entre elles. Elle ne procède pas par une opération d‟ensemble
lui permettant d‟envisager de manière coordonnée les deux extrémités des pailles
de manière simultanée, même si on semble voir émerger la compréhension que les
pailles doivent avoir un point d‟origine commun pour déployer sa série. Elle
semble privilégier un tâtonnement qui lui permet de considérer la sériation de trois
éléments.
5.2.1.2 Item 2 : Sériation d’objets faisant une course
L‟intervenante présente un ensemble de voitures à l‟enfant, prétextant que ces dernières
font une course. L‟intervenante questionne l‟enfant à propos de la position des voitures au
sein de la course. Cette mise en situation cherche à vérifier si l‟enfant démontre une
certaine compréhension de l‟aspect ordinal pouvant exister dans une série, en référant aux
positions des coureurs et en utilisant des notions perceptives. La figure 14 expose l‟ordre
des voitures.
Figure 14 : Ordre des voitures faisant la course
Extrait 21
1I :
2M :
3I :
4M :
5I :
6M :
7I :
8M :
9I :
[…] Regarde : première, deuxième, troisième, quatrième, cinquième, sixième, septième. […] C‟est
laquelle la voiture qui est en premier?
(Pointe la rouge, qui est troisième en réalité.) Celui-là.
P‟is c‟est laquelle la voiture qui est en dernier?
(Pointe la bleue, qui est quatrième en réalité.) Celui-là.
P‟is c‟est laquelle la voiture qui est au milieu?
(Pointe la orange, qui est cinquième en réalité.) Celui-là. […]
Dans ces voitures-là, c‟est laquelle qui est en première position? C‟est laquelle qui est en premier?
(Pointe la bleue, qui est quatrième en réalité.) Celui-là.
C‟est laquelle la voiture qui est en dernière position, qui est en dernier?
93
10M :
11I :
12M :
13I :
14M :
15I :
16M :
17I :
18M :
19I :
20M :
21I :
22M :
23I :
24M :
25I :
26M :
27I :
28M :
29I :
30M :
31I :
32M :
33I :
34M :
35I :
36M :
(Réfléchit et pointe la orange, qui est cinquième en réalité.) Celui-là.
C‟est laquelle la voiture qui est au milieu?
(Pointe la voiture jaune, qui est sixième en réalité.) Celui-là.
C‟est laquelle la voiture qui est en avant de la voiture orange?
Jaune.
C‟est laquelle la voiture qui est après la voiture verte?
Rose.
Qui est après la voiture verte?
Rouge.
C‟est laquelle la voiture qui est en avant de la voiture orange?
Bleue.
C‟est laquelle la voiture qui est au milieu?
Orange.
C‟est laquelle la voiture qui est en première position?
Jaune.
C‟est laquelle qui est en dernière position?
Violet.
C‟est laquelle la voiture qui est à la troisième position? La troisième position.
Personne. […]
C‟est laquelle qui est à la troisième position?
Bleue?
Et la voiture jaune, elle est à quelle position, elle?
Violet.
Non, écoute ma question. La voiture jaune est à quelle position?
Violet.
Je te demande c‟est quoi le numéro de sa position à la voiture jaune. Est à quelle position? C‟est quoi
son numéro de position?
3. […]
Lorsque l‟intervenante lui demande une première fois quelle voiture est « en avant » de la
orange [ligne 13] et « après » la verte [ligne 15], Marianne ne répond pas correctement en
inversant les positions : elle répond que la voiture jaune est en avant de la orange [ligne 14],
alors qu‟elle se trouve « après », et elle nomme la voiture rose comme étant après la verte
[ligne 16], alors qu‟elle se trouve « avant ». L‟intervenante questionne l‟enfant à nouveau à
propos de ces voitures [lignes 19 et 17, respectivement] et cette dernière répond
correctement [lignes 20 et 18, respectivement]. Marianne réussit à identifier la voiture qui
se trouve en dernière position lors d‟une troisième tentative [lignes 25-26]. Par contre, en ce
qui concerne les autres positions des voitures, elle n‟arrive pas à les identifier correctement
[lignes 1 à 12] : la première (elle indique que c‟est la rouge [lignes 1-2], puis que c‟est la
jaune [lignes 23-24]), celle du milieu (elle indique que c‟est la orange [lignes 21-22]) et la
troisième position (elle répond qu‟il n‟y a personne [lignes 27-28], ensuite que c‟est la
bleue [lignes 29-30] et elle attribue également cette position à la voiture jaune [lignes 35-
36]).
94
Lors de cet item, une série de voitures faisant une course est présentée à l‟enfant.
L‟intervenante la questionne alors sur la position des participants. Même si elle
parvient à identifier, avec beaucoup d‟insistance et de soutien de la part de
l‟adulte, le dernier élément de la série ainsi que les éléments qui se trouvent
« avant » et « après » un autre, elle éprouve beaucoup de difficulté à identifier les
autres positions des objets au sein de la série. Elle ne semble pas comprendre
certains termes nécessairement convoqués pour une série, comme « premier » et
« milieu ».
5.2.2. Items vérifiant la compréhension de l’aspect cardinal
La présente section expose les analyses concernant la capacité de l‟enfant à comparer des
collections d‟objets, à établir la conservation (de quantités continues et discontinues), à
procéder au comptage et à considérer l‟aspect cardinal d‟une quantité dénombrée.
5.2.2.1 Item 1 : Comparaison de collections d’objets identiques (correspondance
terme à terme)
L‟intervenante dresse deux rangées de sept jetons devant l‟enfant en les faisant d‟emblée
correspondre comme l‟illustre la figure 27. Elle ajoute deux jetons à l‟une des deux rangées
et demande à Marianne combien il y a de jetons dans les rangées. Cet item vise à vérifier si
l‟enfant est en mesure de comparer deux collections d‟objets et surtout comment elle
procède pour le faire : en se fiant à l‟aspect figural de la présentation des collections ou en
établissant une opération.
Figure 27 : Déplacement des collections inégales en mai 2012
Extrait 22
1I :
2M :
3I :
[…] Est-ce que les deux lignes sont pareilles?
Oui, elles sont pareilles.
Alors, toi, tu me dis que, les deux lignes, i‟ sont pareilles. Regarde bien. (Ajoute 2 jetons à la rangée
du haut, un à gauche et un à droite.) Moi, j‟ajoute 2 jetons à celle d‟en haut. Ça veut dire qu‟i‟ en a
maintenant 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ici [rangée du haut], i‟ en a 9 et ici [rangée du bas], i‟ en a 7. Je
prends celle-là d‟en haut et je fais ça ici. (Rapproche les 9 jetons l’un de l’autre, de manière à ce
95
4M :
5I :
6M :
7I :
8M :
9I :
10M :
11I :
12M :
13I :
14M :
15I :
16M :
17I :
18M :
19I :
20M :
21I :
22M :
23I :
24M :
25I :
26M :
27I :
28M :
qu’il n’y ait plus d’espace entre eux.) Peux-tu me dire où est-ce qu‟i‟ a le plus de jetons? Est-ce qu‟i‟
a plus de jetons ici [rangée du haut], ici [rangée du bas] ou c‟est pareil?
(Pointe la rangée du haut.) Ici.
Ici en haut. Pourquoi, tu sais ça, toi?
Pourquoi je sais ça, moi?
Ouais. Comment ça se fait que tu sais ça qu‟i‟ a plus de jetons ici [rangée du haut] que ici [rangée du
bas]?
(Pointe la rangée du bas.) Ici, je sais.
Où est-ce qu‟i‟ a le plus de jetons? Ou est-ce que c‟est pareil ou i‟ a plus de jetons quelque part?
I‟ a plus de jetons.
Où?
(Pointe la rangée du bas.) Ici.
Celle-là, pourquoi?
(Ne répond pas.)
Explique-moi.
(Pointe la rangée du bas.) Plus de jetons.
Oui. Explique-moi pourquoi tu penses qu‟i‟ a plus de jetons sur celle-là.
I‟ a plus de jetons là-bas [rangée du bas].
Oui. Pourquoi?
I‟ avait plus de jetons en arrière, à droite, à gauche.
Ouais.
P‟is i‟ en avait doucement sur ici [rangée du haut].
Ouais.
I‟ en avait doucement. Doucement. […]
P‟is là, maintenant, où est-ce qu‟i‟ en a plus des jetons?
B‟en ici. (Passe sa main rapidement au-dessus des deux rangées.)
En haut ou en bas?
En bas. […]
Au début de l‟extrait 22, Marianne affirme qu‟il y a plus de jetons dans la rangée du haut
[ligne 4]. Par contre, quand l‟intervenante lui demande de s‟expliquer, elle change d‟idée et
indique qu‟il y a plus de jetons dans la rangée du bas, ce qu‟elle soutiendra pendant toute la
durée de l‟échange [lignes 8 à 12; 16 à 18; 25 à 28]. Avec le questionnement de l‟adulte,
elle parvient à expliquer sa pensée par un raisonnement reposant sur l‟aspect figural. En
effet, pour Marianne, il semble que la rangée du bas, constituée de sept jetons, ait « plus de
jetons » que celle du haut, constituée de neuf jetons, parce que « i‟avait plus de jetons en
arrière, à droite, à gauche » [lignes 18 à 20]. Elle ajoute également : « P‟is, i‟ en avait
doucement sur ici » en pointant la rangée du haut [ligne 22]. Il est difficile d‟interpréter
avec une dose de certitude cette réponse originale et spontanée de Marianne. Conjugué à la
ligne 20, on peut penser, sous toute réserve, que Marianne compare encore de manière
figurale les jetons qui avancent « doucement » dans la rangée du haut, ces derniers
occupant une plus petite distance que les jetons qui avancent à grands pas dans la ligne du
bas. Quoi qu‟il en soit, on peut constater que le nombre en soi, pour Marianne, n‟est pas
96
garant de la quantité, et donc ne représente pas le cardinal de la collection. Pour identifier
quelle collection est la plus grande, elle utilise l‟aspect figural en s‟appuyant sur
l‟apparence de la collection, même si la collection a été modifiée par l‟adulte devant elle et
même si l‟adulte au départ a dénombré devant elle les deux collections en affirmant
« j‟ajoute deux jetons à celle d‟en haut » [ligne 3].
Par la suite, l‟intervenante remet les jetons des deux rangées en correspondance l‟un avec
l‟autre, la rangée du haut dépassant d‟un jeton de chaque côté. Elle questionne à nouveau
l‟enfant à savoir si l‟une des deux rangées comporte plus de jetons.
Figure 15 : Comparaison de collections inégales
Extrait 23
1I :
2M :
3I :
4M :
5I :
6M :
7I :
8M :
9I :
10M :
11I :
12M :
13I :
14M :
15I :
16M :
17I :
18M :
19I :
20M :
[…] (Replace la rangée de 9 jetons, comme elle était au début, avec un jeton dépassant la rangée du
bas de chaque côté.) Où est-ce qu‟i‟ en a plus de jetons, maintenant?
(Ne pointe rien.) Ici.
En haut ou en bas?
En bas.
En bas aussi? […] Est-ce que tu peux me dire si i‟ a plus de jetons ici [rangée du haut], ici [rangée du
bas] ou c‟est pareil?
C‟est pareil.
Comment ça se fait que tu sais ça? Explique-moi voir.
Je vais les compter, Marie-Pierre.
O.K. Compte-les. […]
(Compte la rangée du haut.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Ouais.
Est-ce que je peux compter encore?
Oui, laquelle tu veux compter?
Là [rangée du bas]. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Est-ce que i‟ a plus de jetons ici [rangée du haut], ici [rangée du bas] ou c‟est pareil?
C‟est pareil.
C‟est pareil. I‟ a la même chose. Et si je fais ça? (Déplace les 7 jetons de la rangée du bas pour que
la rangée dépasse la rangée du haut à droite et à gauche.) Est-ce qu‟i‟ a plus de jetons ici [rangée du
haut], ici [rangée du bas] ou c‟est pareil?
C‟est pareil.
C‟est pareil? Comment tu fais pour savoir ça, toi?
(Ne répond pas.) […]
À la suite du déplacement des jetons, Marianne ne parvient pas à identifier correctement la
rangée qui comporte le plus de jetons; elle répond principalement le dernier élément énoncé
97
par l‟adulte par effet de récence [lignes 3-4; 5-6; 15-16; 17-18]. Pour expliquer son choix,
elle décide spontanément de recourir au comptage [ligne 8]. Bien qu‟elle soit en mesure de
bien dénombrer les deux rangées de jetons en établissant une correspondance terme à terme
parfaite entre le mot nombre dit et chaque jeton dénombré [lignes 10; 14], les nombres
obtenus ne tiennent pas lieu de cardinal des collections puisque les nombres 7 et 9 sont
considérés comme « pareils ». Elle ne réussit pas à comparer les deux nombres par
l‟intermédiaire du dénombrement, même si ce dernier est exécuté adéquatement. En ce
sens, Marianne nous enseigne que ni la comptine numérique ni même un dénombrement
adéquat ne peuvent être considérés garants d‟une solide construction du nombre. Ainsi,
vérifier les habiletés de dénombrement, même si nécessaire, ne semble pas suffisant en soi
pour se prononcer sur la construction du nombre chez l‟enfant.
Lors de cet item, l‟intervenante demande à Marianne de comparer deux collections
de jetons pour identifier laquelle est la plus nombreuse, donc qui contient le plus
grand cardinal. Marianne est en mesure d‟utiliser la correspondance terme à terme
entre le mot nombre dit et l‟élément dénombré pour procéder au comptage de
chacune des collections. Toutefois, comme c‟était le cas en octobre 2011, l‟aspect
cardinal du nombre n‟est pas solidement construit, car elle n‟utilise pas la quantité
de chaque collection pour les comparer. Au contraire, Marianne s‟appuie
amplement sur l‟aspect figural dans sa conception du nombre. Bien que Marianne
maintienne une comptine stable jusqu‟à 10 et puisse dénombrer adéquatement des
collections, elle n‟a pas une construction solide du nombre puisque le
dénombrement n‟assure pas la conceptualisation de l‟aspect cardinal du nombre,
conception qui pousse Marianne à affirmer parfois que 7 = 9 ou parfois 7 9.
5.2.2.2 Item 2 : Conservation de quantités continues
L‟intervenante présente deux boules de pâte à modeler de même taille à l‟enfant en lui
demandant si l‟une des deux boules contient plus de pâte. Lorsque l‟enfant a établi l‟égalité,
l‟intervenante prend une des deux parts et la transforme à trois reprises sous les yeux de
l‟enfant : en rouleau, en galette, puis en miettes. À chaque fois, elle questionne l‟enfant
pour savoir si l‟une des deux parts contient plus de pâte à modeler. Cet item a pour but de
vérifier si l‟enfant comprend la conservation de quantités continues et si elle est capable de
faire abstraction des transformations effectuées par l‟adulte par des arguments d‟identité, de
réversibilité ou de compensation qui feraient de la conservation une réelle opération.
98
Figure 17 : Première transformation effectuée avec la pâte à modeler
Extrait 24
1I :
2M :
3I :
4M :
5I :
6M :
7I :
8M :
9I :
10M :
11I :
12M :
13I :
14M :
15I :
16M :
17I :
18M :
19I :
20M :
21I :
22M :
23I :
24M :
25I :
26M :
27I :
28M :
29I :
30M :
31I :
32M :
33I :
34M :
35I :
36M :
[…] Est-ce qu‟il y a la même chose de pâte à modeler dans les deux ou est-ce qu‟i‟ a plus de pâte à
modeler dans le boudin ou est-ce qu‟i‟ a plus de pâte à modeler dans la boule?
Plus de pâte à modeler dans la boule.
Pourquoi i‟ a plus de pâte à modeler dans la boule?
Je sais pas.
Hein? Explique-moi. Comment ça se fait qu‟i‟ a plus de pâte à modeler ici [boule jaune] que ici
[boudin rouge]? […] Toi, tu me dis qu‟i‟ a plus de pâte à modeler ici [boule jaune]. Comment ça se
fait? […] Comment ça se fait que toi, tu penses qu‟i‟ en a plus ici [boule jaune]?
(Ne répond pas.) […]
I‟ en a plus dans la boule? Pourquoi toi, tu penses qu‟i‟ a plus de pâte à modeler ici [boule jaune] que
ici [boudin rouge]?
(Ne réponds pas.)
Faut que tu m‟expliques pourquoi i‟ en a plus ici [boule jaune].
(Pointe la boule jaune.) Là!
Oui, pourquoi i‟ en a plus là? […] Pourquoi i‟ a plus de pâte à modeler dans la boule que dans le
boudin?
Dans le boudin.
Quoi dans le boudin?
De la pâte à modeler.
I‟ a plus de pâte à modeler dans le boudin?
Oui.
Que dans la boule?
Oui.
[…] Pourquoi? Pourquoi i‟ en a plus dans le boudin, tu penses?
I‟ en a assez.
Ouais.
Dans le boudin?
Mais pourquoi i‟ en a plus dans le boudin, tu penses?
(Ne répond pas.)
Hein Marianne? Pourquoi tu penses qu‟i‟ en a plus dans le boudin? Comment ça se fait?
(Réfléchit.) Oui.
Oui? Pourquoi i‟ en a plus dans le boudin, tu penses? Comment ça se fait? Moi, je comprends pas
pourquoi i‟ en a plus là.
Parce que i‟ avait un boudin dans la boule… jaune.
Parce qu‟i‟ avait un boudin dans la boule jaune?
Oui.
Un boudin quelle couleur dans la boule jaune?
(Pointe le boudin rouge.) Ici.
Ouais. P‟is c‟est où qu‟i‟ a plus de pâte à modeler? Ou i‟ ont la même chose de pâte à modeler?
(Ne répond pas.)
Est-ce que c‟est la même chose de pâte à modeler dans ou i‟ en a un qui a plus de pâte à modeler que
l‟autre?
(Pointe le boudin rouge.) Ici. […]
99
Le raisonnement de Marianne lors de cette première transformation semble assez
ambivalent. Tout d‟abord, elle indique que la boule contient plus de pâte à modeler en
utilisant l‟effet de récence [lignes 2; 10], sans toutefois être en mesure d‟expliquer sa
réponse [lignes 4; 6; 8]. Puis, elle énonce qu‟il y a plus de pâte à modeler dans le rouleau
(ou boudin) [lignes 12 à 18]. Ensuite, elle parvient à expliquer l‟une de ses réponses en
formulant « qu‟il y avait un boudin dans la boule » [ligne 28]. Il semble que, pour
Marianne, la transformation soit comprise comme des actions juxtaposées qui permettent de
faire l‟hypothèse de plus de pâte à modeler, comme si boule + boudin boule. Malgré le
fait qu‟elle semble comprendre que le rouleau a été formé à partir d‟une boule identique,
elle ne parvient pas à identifier clairement que les deux parts de pâte à modeler contiennent
la même quantité de pâte, indiquant plutôt que le boudin contient plus de pâte à modeler.
L‟intervenante prend le rouleau rouge et le transforme en boule de même grosseur que celle
de référence. L‟enfant confirme alors leur égalité. Puis l‟intervenante reprend la boule
rouge et la transforme en galette devant les yeux de l‟enfant.
Figure 18 : Deuxième transformation effectuée avec la pâte à modeler
Extrait 25
1I :
2M :
3I :
4M :
5I :
6M :
7I :
8M :
9I :
10M :
11I :
12M :
13I :
14M :
15I :
[…] Est-ce qu‟i‟ a la même chose dans la boule p‟is dans la galette ou i‟ a plus de pâte à modeler
dans la galette ou dans la boule?
Dans la boule.
I‟ en a plus dans la boule. Est-ce qu‟i‟ a plus de pâte à modeler dans la boule, dans la galette ou c’est
pareil, i‟ a la même chose de pâte à modeler dans les deux?
C‟est pareil.
C‟est pareil. Concentre-toi bien. Écoute-moi bien, reste concentrée. Est-ce qu‟i‟ a la même chose de
pâte à modeler dans les deux ou i‟ en a plus ici [boule jaune] ou plus ici [galette rouge]?
(Touche la galette rouge, mais ne regarde pas.) Plus ici.
Ici où?
(Ne répond pas et ne regarde pas.)
Tu dis qu‟i‟ en a plus ici, lequel? La boule ou la galette? La galette ou la boule?
La galette.
I‟ en a plus dans la galette, tu penses?
Oui.
Comment ça se fait? […] Comment ça se fait que tu penses qu‟i‟ en plus dans la galette que dans la
boule?
Dans la boule.
Est-ce qu‟i‟ a la même chose de pâte à modeler dans les deux ou i‟ a plus de pâte à modeler ici [boule
100
16M :
17I :
18M :
19I :
20M :
21I :
22M :
23I :
24M :
25I :
26M :
27I :
28M :
29I :
30M :
31I :
32M :
33I :
34M :
jaune] ou ici [galette rouge]?
(Pointe la galette rouge.) Ici.
Ici où?
Dans la boule.
Dans la boule? Pourquoi i‟ a plus de pâte à modeler dans la boule?
Oui.
Comment ça se fait? Comment ça se fait qu‟i‟ a plus de pâte à modeler dans la boule? Comment tu
fais pour savoir ça, toi?
(Réfléchit.) Oui. […]
Est-ce qu‟i‟ a la même chose de pâte à modeler dans les deux ou i‟ en a plus dans l‟une que dans
l‟autre?
Est-ce que … c‟est pareil.
Tu penses que c‟est la même chose?
B‟en oui.
Ah oui? I‟ a la même chose de pâte à modeler dans la galette p‟is dans la boule?
Bien oui!
Est-ce qu‟i‟ en a un qui a plus de pâte à modeler que l‟autre?
Oui.
Lequel? […] Est-ce que c‟est pareil ou i‟ en a un qui a plus de pâte à modeler?
Plus que la pâte à modeler.
Où ça? Où est-ce qu‟i‟ a plus de pâte à modeler?
Dans la boule jaune. […]
Les propos de Marianne dans cet extrait 25 nous permettent de constater qu‟elle n‟a
toujours pas construit la notion de conservation des quantités continues, du moins pas
solidement. En effet, lorsque l‟intervenante la questionne à savoir si une part de pâte
contient plus de pâte à modeler ou si les deux quantités sont égales, Marianne répond
principalement le dernier élément énoncé par l‟intervenante, par effet de récence [lignes 2;
4; 6; 14;16]. De plus, quand les questions de l‟intervenante sont fermées, Marianne répond
toujours par l‟affirmative [lignes 12; 26; 28; 30] et elle ne parvient pas à expliquer ses
réponses [lignes 19 à 23]. Il est vrai toutefois que l‟enfant soulève la possibilité de
l‟égalité par la question : « Est-ce que c‟est pareil? » [ligne 24]. Si cet énoncé de Marianne,
qui peut provenir d‟une imitation différée [ligne 3], peut laisser entrevoir une émergence, il
n‟en demeure pas moins que cela demeure extrêmement fragile, comme le montre
l‟ensemble de l‟extrait 25.
L‟intervenante prend la galette rouge et la transforme en boule de même grosseur que celle
de référence. L‟enfant confirme leur égalité. Puis, l‟intervenante reprend la boule rouge et
la transforme en miettes devant les yeux de l‟enfant.
101
Figure 19 : Troisième transformation effectuée avec la pâte à modeler
Extrait 26
1I :
2M :
3I :
4M :
5I :
6M :
7I :
8M :
9I :
10M :
11I :
12M :
13I :
14M :
15I :
16M :
17I :
18M :
19I :
20M :
[…] Est-ce que tu penses qu‟i‟ a la même chose de pâte à modeler dans la boule que dans toutes les
miettes ensemble ou i‟ a plus de pâte à modeler dans la boule ou plus de pâte à modeler dans les
miettes?
Dans les miettes.
I‟ a plus de pâte à modeler dans les miettes, tu crois?
Oui.
Comment ça se fait?
(Ne répond pas.)
Comment ça se fait, tu penses, qu‟i‟ a plus de pâte à modeler dans les miettes que dans la boule? […]
Est-ce qu‟i‟ a la même chose de pâte à modeler dans toutes les miettes mauves ensemble p‟is dans la
boule ou est-ce qu‟i‟ a plus de pâte à modeler dans toutes les miettes mauves ou plus de pâte à
modeler dans la boule?
Dans la boule.
I‟ a plus de pâte à modeler dans la boule.
Oui.
Est-ce que i‟ a plus de pâte à modeler dans la boule, plus de pâte à modeler dans les miettes mauves
ou c‟est la même chose les deux? […] Je veux savoir : est-ce qu‟i‟ a la même chose de pâte à
modeler dans la boule jaune p‟is dans les miettes rouges toutes ensemble ou est-ce qu‟i‟ a plus de
pâte à modeler ici [miettes rouges] ou plus de pâte à modeler ici [boule jaune]?
(Ne pointe rien.) Plus de pâte … plus de pâte à modeler ici.
Où ça?
(Pointe les miettes.) Ici.
Dans les miettes?
Oui.
Comment ça se fait?
(Met sa main au-dessus des miettes, en faisant un rond.) Parce qu‟elles sont ici.
Parce qu‟i‟ sont ici.
Oui. […]
Le raisonnement de Marianne lors de ces tâches de conservation témoigne d‟une absence
de conservation. Lorsque les boules de pâte à modeler sont transformées, elle répond
principalement en utilisant l‟effet de récence [lignes 2; 8; 12], sans être en mesure de
s‟expliquer [lignes 5-6]. Cependant, Marianne fournit une explication plus claire, à l‟aide
d‟un geste, lorsqu‟elle doit expliquer pourquoi elle pense qu‟il y a plus de pâte à modeler
dans les miettes que dans la boule [lignes 12 à 18]. Son explication permet de bien
comprendre qu‟elle se fie à l‟aspect figural pour juger de la quantité. En effet, elle délimite
102
un grand rond « imaginaire » pour couvrir l‟ensemble des miettes, ce rond prenant plus
d‟espace que la boule [ligne 18].
Lors de cet item, l‟intervenante propose deux parts égales de pâte à modeler à
l‟enfant. Par la suite, elle réalise trois transformations avec l‟une des deux parts
devant ses yeux : une fois en rouleau, une fois en galette et une fois en miettes. À
chaque fois, l‟enfant doit se prononcer sur les quantités de pâte à modeler dans
chaque part. Comme en octobre 2011, Marianne ne démontre pas clairement une
construction de la conservation des quantités continues. Elle répond aux questions
de l‟adulte en utilisant principalement l‟effet de récence. Par contre, il y a une
émergence de tentative d‟explication en se basant sur l‟aspect figural.
5.2.2.3 Item 3 : Conservation de quantités discontinues
D‟abord, l‟intervenante dresse une rangée de sept images de chevalier. L‟enfant, pour sa
part, doit construire une rangée équivalente avec des images de princesse. Cet item vise à
vérifier la capacité de l‟enfant à utiliser la correspondance terme à terme pour comparer les
collections et à établir une conservation des quantités à la suite d‟une transformation de
l‟aspect figural de l‟une des deux collections.
Figure 20 : Rangée d‟images présentée à l‟enfant lors de l‟item 3
Figure 28 : Construction d‟une rangée équivalente en mai 2012
103
Extrait 27
1I :
2M :
3I :
4M :
5I :
6M :
7I :
8M :
9I :
10M :
11I :
12M :
13I :
14M :
15I :
16M :
17I :
18M :
19I :
20M :
21I:
22M:
23I:
24M:
25I:
26M:
27I:
28M:
29I:
30M:
[…] (Place une rangée de 7 images de chevalier sur la table.) Ça, c‟est des… (Laisse l’enfant
compléter.)
Chevaliers!
I‟ en a combien? Veux-tu les compter?
Oui.
S‟il-te-plaît.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Très bien! Là, j‟ vais te donner les princesses. Je veux que tu mettes la même chose de princesses que
de chevaliers. Qu‟i‟ aille pareil de princesses que de chevaliers. […] Faut qu‟i‟ aille pareil de
chevaliers que de princesses. Faut que chaque chevalier ait une princesse.
Oui.
Oui. Faut faire une ligne de princesses en d‟ssous…
(Pointe sous la rangée de chevaliers.) Là?
Oui.
(Fait une nouvelle rangée de princesses sous celle de chevaliers. Elle s’arrête, car elle n’a plus de
princesses dans les mains. Il y en a 6 sous les 7 chevaliers et 4 devant elle, près du bord de la table.)
Est-ce que chaque chevalier a une princesse?
Oui.
I‟ avait combien de chevaliers?
3.
Combien? Compte-les. Combien i‟ a de chevaliers?
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
I‟ a 7 chevaliers. Ça veut dire que ça prend combien de princesses, pour que ce soit pareil?
8.
Pour que ce soit pareil.
8.
Si i‟ a 7 chevaliers, i‟ faut la même chose de princesses. Ça veut dire … (Laisse l’enfant compléter.)
(Ne répond pas.)
I‟ a 7 chevaliers et i‟ faut que chaque chevalier ait sa princesse. I‟ faut pareil de princesses. Pour que
ce soit égal, ça veut dire que ça prend combien de princesses?
9. […]
I‟ a combien de chevaliers?
7.
Ça veut dire qu‟i‟ faut … (Laisse l’enfant compléter.)
8 princesses. […]
Au départ, Marianne compte les sept chevaliers correctement en utilisant la correspondance
terme à terme entre le mot nombre dit et l‟élément dénombré [ligne 6]. Encore ici, on voit
que le dénombrement, aussi adéquat soit-il, n‟assure pas la cardinalité du nombre [lignes 6;
16; 20; 22; 28; 30]. Ensuite, elle met six princesses sous les chevaliers en utilisant les
limites perceptives. Les deux lignes semblent de même longueur si on se fie à l‟aspect
figural des collections. Malgré les questions de l‟intervenante, Marianne ne parvient pas à
identifier que la rangée de princesses devra également comporter sept images pour être
équivalente [lignes 20; 22; 26; 30], même si elle dénombre adéquatement les sept
chevaliers [ligne 28].
104
L‟intervenante rectifie la situation en ajoutant une princesse à la ligne formée par l‟enfant.
Une fois les deux rangées égalisées, l‟intervenante modifie l‟apparence de la rangée de
chevaliers pour qu‟elle dépasse celle de princesses de chaque côté. On cherche alors à
vérifier si l‟enfant comprend la conservation des quantités discontinues et si elle est capable
de faire abstraction des transformations effectuées par l‟intervenante par des arguments
d‟identité, de réversibilité ou de compensation, qui ferait de la conservation une opération.
Figure 29 : Disposition des rangées pour la comparaison de collections et pour la
conservation des quantités discontinues en mai 2012
Extrait 28
1I :
2M :
3I :
4M :
5I :
6M :
7I :
8M :
9I :
10M :
11I :
12M :
13I :
14M :
15I :
16M :
17I :
18M :
19I :
20M :
21I :
22M :
23I :
24M :
[…] (Déplace les chevaliers pour qu’ils ne soient plus en correspondance avec les princesses. La
rangée des chevaliers dépasse à gauche et à droite celle des princesses.) Est-ce qu‟i‟ a encore le
même nombre de chevaliers que de princesses ou i‟ en a plus ici [rangée de chevaliers] ou i‟ en a plus
ici [rangée de princesses]?
(Pointe entre les deux rangées approximativement.) Ici.
Ici où?
En bas [rangée de princesses].
I‟ en a plus en bas.
Oui.
Pourquoi?
Parce que.
Comment ça se fait qu‟i‟ en a plus en bas, toi, tu penses?
Parce que … i‟ avait des princesses.
Ouais? P‟is est-ce qu‟i‟ a plus de … Est-ce qu‟i‟ en a plus ici [rangée de princesses], i‟ en a plus ici
[rangée de chevaliers] ou c‟est pareil?
C‟est pareil.
P‟is est-ce que c‟est pareil, i‟ en a plus ici [rangée de princesses] ou plus ici [rangée de chevaliers]?
Plus ici.
Ici où? Où est-ce qu‟i‟ en a plus?
En bas [rangée de princesses].
En bas, pourquoi tu penses qu‟i‟ en a plus en bas?
Parce que … i‟ en a en bas.
Ouais, mais i‟ en a en haut aussi. Pourquoi tu penses qu‟i‟ en a plus en bas?
Parce qu‟i‟ en a en haut. […]
Tu te souviens? Tantôt, tu m‟avais dit qu‟i‟ en avait pareil ou pas pareil dans les deux lignes?
Pas pareil.
P‟is c‟est où est-ce qu‟i‟ en a le plus?
(Pointe la rangée de princesses.) […]
105
Marianne utilise le comptage pour construire la collection de princesses [extrait 27, lignes
6; 18], mais elle ne recourt plus à ce comptage comme un outil mettant en relief la
cardinalité au service de la comparaison des deux collections. Elle utilise principalement
l‟aspect figural des collections quand elle énonce que la rangée de princesses comporte plus
d‟éléments que celle de chevaliers [lignes 4; 10; 16; 24]. Il est possible de penser que
Marianne se soit centrée ici non pas sur les limites perceptives des deux collections, comme
c‟était le cas dans l‟extrait 27, mais davantage sur les longs espacements entre les
chevaliers qui lui donnent l‟impression qu‟il y a plus de princesses étant donné la densité
que cela occasionne. Elle répond également à quelques reprises en utilisant l‟effet de
récence [lignes 1 à 4; 11-12]. En affirmant que l‟une des deux rangées comporte plus
d‟éléments que l‟autre à la suite du déplacement des éléments, Marianne se situe au premier
stade en ce qui concerne la conservation de quantités discontinues. Elle ne recourt pas à des
opérations comme la correspondance terme à terme ni au comptage pour comparer les deux
collections, privilégiant l‟aspect figural. De plus, tout comme en octobre 2011, Marianne ne
parvient pas à expliquer ses réponses en recourant aux arguments d‟identité, de réversibilité
et de compensation [lignes 7 à 11; 17 à 20].
Lors de cet item, une rangée de sept images de chevalier est présentée à Marianne.
Cette dernière doit construire une rangée équivalente avec des images de
princesse. Sans un soutien de l‟adulte, Marianne n‟y arrive pas. Pour comparer les
deux collections, elle privilégie l‟aspect figural, plutôt que la correspondance
terme à terme et le comptage. Ce dernier est utilisé, mais le cardinal qui lui est
inhérent dans une compréhension du nombre mature n‟est pas construit chez
Marianne. En ce sens, lorsque l‟intervenante modifie l‟apparence de l‟une des
deux collections, Marianne affirme que l‟une des deux rangées comporte plus
d‟éléments en se centrant sur un des aspects figuraux, ce qui témoigne que
Marianne n‟a toujours pas construit la conservation des quantités discontinues,
puis ce qui explique que la cardinalité n‟est pas inhérente à son comptage. Tout
apparaît comme si Marianne a appris une procédure mécanique de comptage sans
avoir compris le raisonnement opératoire qu‟elle sous-tend.
106
5.2.2.4 Item 4 : Comptage
Sans utiliser de matériel, l‟intervenante demande à l‟enfant de compter le plus loin possible.
Cette demande a pour but de vérifier l‟étendue de la chaîne numérique de l‟enfant.
Extrait 29
1M :
2I :
3M :
4I :
5M :
6I :
7M :
8I :
9M :
[…] 1, 2 (Regarde ailleurs.) 3, 4, 5, 6, (Regarde ailleurs.) 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,
20!
Vas-y. 20 …
21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30.
Continue.
31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40!
Oui. Vas-y, continue. […] Continue, 40…
41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49,30.
Continue. […] Tu es rendue où?
49, 50, 51, 52, 54, […] 55, 56, 57, 58, 59, 40! 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 60! 61, 62, 63, 64, 68.
[…]
Comme elle le faisait déjà en octobre, Marianne compte jusqu‟à 49 sans erreur [lignes 1; 3;
5; 7]. Après 49, elle retombe à 30 [ligne 7]. Elle discute et reprend à 49. Elle compte
jusqu‟à 59 en omettant 53. Une fois à 59, elle recommence avec 40, compte jusqu‟à 49 et
continue de 60 à 68 en omettant le 63, le 65, le 66 et le 67 [ligne 9].
Ensuite, l‟intervenante lui demande de compter en tenant compte d‟une borne supérieure,
fixée à 9 [extrait 30]. Par la suite, l‟intervenante lui demande de compter en tenant compte
d‟une borne inférieure fixée à 3 [extrait 31]. Ceci a pour but de vérifier si la chaîne
numérique de Marianne est sécable ou non.
Extrait 30
1I :
2M :
3I :
4M :
5I :
6M :
[…] Moi là, j‟aimerais ça que tu comptes jusqu‟à 9. […]
9.
Jusqu‟à 9.
9, 10, 11…
Là, toi tu comptes à partir de 9. Moi, je veux du début p‟is on arrête à 9. Jusqu‟à 9, vas-y.
1. (Pause.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. […]
Marianne réussit à compter en tenant compte d‟une borne supérieure fixée à 9 [ligne 6] et
elle réussit également à compter en utilisant ce même nombre 9 comme borne inférieure,
probablement car elle ne semble pas avoir bien compris la question [lignes 1 à 4]. Malgré le
fait que Marianne ait réussi à considérer 9 comme borne inférieure [extrait 30],
107
l‟intervenante lui demande de compter à partir de 3 [extrait 31], en visant le même but qui
était de vérifier si la chaîne numérique de Marianne est sécable ou non.
Extrait 31
1I :
2M :
3I :
4M :
5I :
6M :
7I:
8M:
9I:
10M:
[…] P‟is là, j‟aimerais ça que tu comptes à partir de 3. On commence à 3.
Oui.
Vas-y.
1.
Ah! On commence à 3. On commence pas à 1, on commence à 3. Vas-y.
1, 2, 3.
Ouais, ça c‟est jusqu‟à 3. Moi, je veux qu‟on compte à partir de 3. Tu commences à compter à partir
de 3.
Oui.
Ton premier chiffre, c‟est 3. Vas-y.
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. […]
Marianne parvient à compter à partir de 3 [ligne 10]. L‟intervenante lui demande ensuite de
compter en considérant, à la fois, la borne inférieure 5 et la borne supérieure 9.
Extrait 32
1I :
2M :
3I :
4M :
5I :
6M :
[…] On commence à 5 p‟is on arrête à 9. […] Le premier chiffre c‟est 5 et on arrête rendues à 9.
(Montre 5 avec ses doigts.) […]
On commence à 5 et on termine à 9. Vas-y.
5, 9.
5, après 5?
6, 7, 8, 9. […]
Marianne réussit cette tâche, avec un léger soutien de l‟adulte [lignes 5-6]. Lors de la même
tâche réalisée en octobre, Marianne éprouvait de la difficulté à respecter, à la fois, une
borne inférieure et supérieure [extrait 13], ce qui permettait de poser que sa chaîne
numérique était non sécable à l‟époque. A contrario, le fait qu‟elle puisse considérer deux
bornes fixées par l‟adulte en même temps peut signifier que sa chaîne numérique soit
devenue sécable : Marianne est maintenant en mesure de commencer un comptage par un
108
mot nombre autre que 1 [extraits 30; 31; 32].26
Il convient toutefois de souligner que cette
nouvelle capacité d‟une chaîne sécable n‟est donc pas, elle non plus, garante de l‟aspect
cardinal du nombre, tel que démontré dans l‟extrait 30 qui impliquait notamment des
nombres de sa chaîne numérique sécable.
Finalement, l‟intervenante demande à l‟enfant de compter à rebours à partir de 7. Ceci
permet de vérifier si la chaîne numérique de l‟enfant est dénombrable.
Extrait 33
1I :
2M :
3I :
4M :
5I :
6M :
7I:
8M:
9I:
10M:
11I:
12M:
13I:
14M:
15I:
16M:
17I:
18M:
[…] Moi, je veux savoir qu‟est-ce qui vient avant. Hein? Comme quand je compte p‟is que je fais : 3,
2, 1. Là, on va faire pareil, mais on commence par 7. 7, (Laisse l’enfant compléter.)
8.
(Fait non de la tête.) On recule. […] Qu‟est-ce qui vient avant 7?
Oui.
C‟est quoi le chiffre qu‟on dit juste avant de dire 7?
6.
Oui. 7, 6, (Laisse l’enfant compléter.)
(Ne répond pas.)
On continue de reculer : 7, 6, (Laisse l’enfant compléter.)
7.
7, 6, on continue. Qu‟est-ce qui vient avant 6?
5.
Oui! On continue.
8.
Qu‟est-ce qui vient avant 5?
8.
Hein? 7, 6, 5, (Laisse l’enfant compléter.)
4, 3, 2, 1. […]
Avec un soutien important de la part de l‟adulte, Marianne arrive à compter à rebours à
partir de 7 [lignes 5 à 12]. Par contre, rendue à 5, elle y arrive seule [lignes 17-18]. Le fait
que Marianne soit en mesure de compter plus aisément à rebours qu‟elle le faisait en
octobre concorde avec le fait que sa chaîne numérique soit maintenant sécable. En ce sens,
sa chaîne numérique commence à s‟asseoir sur l‟opération, permettant la réversibilité, ce
qui est nécessaire lors d‟un comptage à rebours. Toutefois, sa chaîne numérique ne peut
26 Il convient de rappeler que cette amélioration de la chaîne numérique de l‟enfant survient aux termes
d‟interventions pédagogiques qui se sont déroulées pendant l‟année, non pas sur la chaîne numérique en
soi et son extension, mais sur les opérations sur le petit nombre comme cela a été décrit au chapitre 3.
109
être considérée dénombrable pour le moment, en raison des erreurs encore fréquentes,
notamment lors des comparaisons de collection où « 7 est plus que 9 » [extrait 22].
Lors de cet item, on cherche à vérifier la construction de la chaîne numérique de
l‟enfant. Marianne arrive à compter seule sans erreur jusqu‟à 49, à tenir compte de
bornes supérieure et inférieure fixées à 9 et de compter à rebours, avec un soutien
de l‟adulte, à partir de 7. La chaîne numérique de Marianne peut être considérée
comme sécable au moins pour les nombres inférieurs à 10, car elle est en mesure
de compter à partir de 9, seule sans erreur. La prise de maturité dans la chaîne
numérique n‟assure toutefois pas la construction de la cardinalité inhérente au
nombre si l‟on compare les réponses adéquates de Marianne dans cet item par
rapport à ce qu‟elle a répondu, par exemple, à l‟extrait 22 : 7 9 ou, parfois, à
l‟extrait 23 : 7 = 9.On peut également souligner que la progression de la chaîne
numérique de Marianne est survenue dans un contexte pédagogique qui a
amplement mis l‟accent, non pas sur l‟extension de la chaîne numérique, mais
bien sur les opérations sur le petit nombre.
5.2.2.5 Item 5 : Cardinalité
L‟intervenante place dix-huit jetons pêle-mêle sur la table devant l‟enfant. Elle demande
alors à Marianne de les dénombrer. Cet item tente de vérifier les méthodes de comptage
utilisées par Marianne ainsi que sa compréhension de la notion de cardinalité, bien que
cette dernière puisse être inférée par l‟intermédiaire d‟autres items précédents.
Figure 23 : Première disposition de jetons à dénombrer
110
Extrait 34
1I :
2M :
3I :
4M :
5I :
6M :
7I:
8M :
[…] Compte-les. Je veux savoir i‟ en a combien.
(Entreprend le comptage de façon assez organisée, elle compte en ligne, mais compte 2 jetons à 2
reprises, donc elle n’arrive pas au bon compte.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,
18, 19, 20.
Excellent! Très, très bien! […] I‟ en avait combien déjà? J‟ me souviens p‟us combien i‟ en avait.
7.
I‟ en a 7?
Oui.
T‟ en as compté 7, toi?
Oui, j‟en ai compté 7.
Marianne en dénombre 20 [ligne 2], ce qui se rapproche beaucoup plus du réel cardinal de
la collection, que lors de l‟évaluation d‟octobre 2011 où Marianne dénombrait 30 jetons
[extrait 16]. Bien que l‟adulte laisse sous-entendre par la formulation de sa question que la
quantité (« combien ») est issue du comptage [ligne 1], quand l‟adulte lui demande de
nouveau combien il y en avait [ligne 3], elle répond qu‟il y en a 7 [lignes 4; 8]. De plus,
comme c‟était le cas lors de l‟évaluation d‟octobre 2011, Marianne éprouve encore
quelques difficultés à bien utiliser la correspondance terme à terme entre le mot nombre dit
et l‟élément dénombré lorsque les collections comportent plus de 10 éléments.
L‟intervenante déplace les jetons sur la table et demande à l‟enfant combien il y en a, sans
les compter. Ensuite, il est demandé à l‟enfant de compter les jetons pour vérifier son
hypothèse.
Extrait 35
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M:
7I :
8M :
9I :
10M:
[…] Là, je les prends et je fais ça. (Prend les jetons et les disperse sur la table.) Sans compter là,
combien tu penses qu‟i‟ en a, des jetons?
(Regarde ailleurs.) 8.
Tu penses qu‟i‟ en a 8?
(Acquiesce de la tête.)
Est-ce que tu peux les compter maintenant pour vérifier?
(Ne fait rien.)
On les compte pour vérifier. […] Combien i‟ a de jetons?
Oui. (Ne compte pas.) 8.
O.K. Compte-les.
(Compte les jetons, en faisant 2 oublis et en comptant 2 fois 2 jetons, donc elle obtient le bon total,
par hasard.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18. […]
À la suite du déplacement, Marianne énonce qu‟il y a huit jetons [lignes 2; 8]. Ce nombre
ne correspond ni au décompte qu‟elle avait réalisé précédemment [extrait 34, ligne 2], ni au
111
nombre qu‟elle avait énoncé à l‟adulte [extrait 34, lignes 4; 8]. Cela témoigne que Marianne
n‟a pas encore construit totalement le principe de cardinalité. Lors de la vérification,
Marianne obtient un bon compte en faisant deux types de méprises : elle oublie deux jetons
et en compte deux à deux reprises [ligne 10]. Elle est donc en mesure de bien réaliser la
correspondance terme à terme entre le mot nombre énoncé et l‟élément compté, mais elle
éprouve de la difficulté à bien organiser son comptage. En raison des difficultés que
présente l‟enfant à travailler avec une collection de 18 éléments, l‟intervenante tente de
nouveau le même exercice, mais avec un ensemble de cinq jetons. Il convient de souligner
que le nombre 5 fait partie de sa chaîne numérique sécable [extrait 32] et que Marianne
parvient à ce moment de l‟année à compter à rebours à partir de 5 [extrait 33, ligne 18].
Figure 30 : Seconde disposition de jetons à dénombrer en mai 2012
Extrait 36
1M:
2I:
3M:
4I:
5M:
6I:
7M:
8I:
9M:
10I:
11M:
12I:
13M:
14I:
15M:
[…] (Compte en touchant chaque jeton.) 1, 2, 3, 4, 5.
Combien i‟ en a déjà? Combien t‟as dit?
5.
I‟ en a 5! Ah, super! (Déplace les jetons sur la table et les éparpille à nouveau.) Compte-les pas. Dis-
moi combien tu penses qu‟i‟ en a?
8.
Ah, O.K. Compte-les voir, pour vérifier. […] Peux-tu compter pour vérifier?
(Ne fait rien.)
Compte-les. Tu m‟as dit qu‟i‟ en avait combien? Combien tu penses qu‟i‟ en a?
(Compte les jetons en comptant un même jeton 2 fois.) 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Recompte-les voir.
(Recompte les jetons, en faisant la même méprise.) 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Très bien. Si je les mets comme ça. (Place les 5 jetons pour former une ligne horizontale.) Là, i‟ en a
combien? Peux-tu les compter s‟il te plait?
Oui.
Compte-les voir.
1, 2, 3, 4, 5. […]
Marianne dénombre correctement les jetons dès la première tentative [ligne 1]. Quand
l‟intervenante lui demande combien il y avait de jetons, elle est en mesure de répondre 5,
sans avoir besoin de les recompter [lignes 2-3]. Par contre, quand l‟intervenante déplace la
collection sur la table, Marianne énonce qu‟il y a huit jetons [ligne 5], ce qui était déjà son
112
hypothèse lors de l‟échange précédant alors qu‟il y avait dix-huit jetons [extrait 35, lignes 2
à 8]. Au moment du recomptage, Marianne fait une méprise de compter un même jeton à
deux reprises, ce qui lui donne un total de six jetons [lignes 9 et 11]. L‟intervenante forme
alors une ligne avec les cinq jetons, ce qui permet à l‟enfant de bien organiser son
comptage et d‟arriver au bon total [lignes 12 à 15].
Ensuite, l‟intervenante demande à l‟enfant d‟opérer sur cette rangée de jetons en posant une
hypothèse, qui sera vérifiée en ajoutant ou en retirant des jetons.
Extrait 37
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M:
7I :
8M :
9I :
10M:
11I:
12M:
13I:
14M:
15I:
16M:
17I:
18M:
19I:
20M:
[…] Oui, i‟ en a 5. Moi, j‟en ajoute 1. J‟en mets un autre. I‟ va en avoir combien?
6.
Oui. On l‟essaie. J‟en mets 1. Peux-tu les compter?
Oui.
Très bien. Compte-les. Tu m‟as dit qu‟i‟ allait en avoir 6. Essaie-le. […] I‟ en a combien?
1, 2, 3, 4, 5, 6.
Très, très bien! Mais là, toi, tu m‟as dit qu‟i‟ en avait 6. […] Tu m‟as dit qu‟i‟ en avait combien déjà?
(Compte les jetons.) 1, 2, 3, 4, 5, 6. Très bien. Moi, je vais en enlever 2. I‟ va en avoir combien si j‟en
enlève 2?
(Ne répond pas.)
Hein? I‟ en a 6 et j‟en enlève 2. I‟ va en avoir combien?
3.
3?
(Réfléchit.) Oui, i‟ va en avoir 3.
O.K. On l‟essaie. (Compte 2 jetons.) 1, 2, je les enlève. I‟ en reste combien?
(Ne compte pas.) 427
.
I‟ en a 4. Oui! Et p‟is là, tu m‟as dit i‟ en a 4. Et si j‟en mets 2 autres, i‟ va en avoir combien?
5.
Si j‟en mets 2 autres?
I‟ va en avoir 5!
On l‟essaie. (Ajoute 2 jetons à ceux déjà sur la table.) Compte-le, i‟ en a combien?
(Compte les jetons, en comptant 2 fois un même jeton.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. […]
Lorsque la collection comporte cinq jetons, elle arrive à réaliser l‟opération d‟un seul ajout
[lignes 1-2; 13-14]. Par contre, dans tous les cas, elle semble comprendre le vocabulaire
relié aux opérations qui lui sont demandées. En ce sens, lorsqu‟on lui demande d‟ajouter
des jetons, elle répond par un nombre plus grand que celui de départ [lignes 15-16] et
lorsqu‟on lui demande de retirer des jetons, elle répond par un nombre plus petit que celui
113
de départ [lignes 9-10]. De plus, on observe la non-réversibilité qui subsiste dans sa chaîne
numérique [lignes 13 à 16]. Au cours de cet échange, Marianne répond adéquatement la
quantité restante à la suite du retrait des deux jetons, et ce, sans dénombrer oralement les
jetons. Cette réussite apporte plusieurs hypothèses. D‟abord, comme les jetons étaient
placés en ligne à ce moment, il est possible que Marianne ait reconnu l‟aspect figural d‟une
rangée de quatre éléments. Elle peut également avoir résolu mentalement la soustraction 6-
1-1, étant capable de compter à rebours à partir de 5. Finalement, elle peut avoir compté
mentalement les jetons disposés sur la table avant de répondre à la question de
l‟intervenante. Étant donné la rapidité de Marianne à répondre 4, l‟hypothèse du
dénombrement mental, c‟est-à-dire sans avoir pointé avec son doigt les objets comptés, est
rejetée. Bien que le nombre 5 soit relativement bien construit (si le compte à rebours à
partir de 5 est possible, il ne demeure pas le cardinal d‟une collection dénombrée [extrait
36]), rien ne montre dans les données colligées jusqu‟à ce moment que c‟est le cas pour 6.
C‟est pourquoi l‟hypothèse d‟une reconnaissance figurale est retenue, d‟autant plus que
Marianne recourt encore très souvent, et de manière dominante, à l‟aspect figural dans
l‟ensemble de ses raisonnements. Cette hypothèse est d‟ailleurs confortée par la difficulté
de Marianne à faire l‟opération inverse d‟addition (l‟ajout de deux jetons aux quatre déjà
présents) où elle répond cinq. Les réponses aux questions témoignent que la capacité à
opérer sur les nombres est en développement chez Marianne, bien que sa chaîne numérique
soit maintenant sécable. Il convient donc de travailler sur le petit nombre et d‟y faire des
opérations afin que la comptine numérique prenne un réel sens cardinal et que la cardinalité
vienne soutenir le dénombrement.
Lors de cet item, une collection de jetons est présentée pêle-mêle à Marianne.
Cette dernière doit la dénombrer et réaliser des opérations d‟addition et de
soustraction. Marianne parvient à compter correctement la collection de cinq
jetons en utilisant bien la correspondance terme à terme entre le mot nombre
énoncé et l‟élément dénombré, mais elle n‟y arrive pas avec dix-huit jetons. En ce
qui concerne les opérations qu‟elle devait réaliser sur ces nombres, lorsque le
nombre de départ est inférieur ou égal à 5, elle parvient à réaliser l‟addition ou la
soustraction de 1 élément. Par contre, sa chaîne numérique semble être non
réversible : un retrait de deux éléments suivi d‟un ajout de deux éléments ne sont
pas compris comme étant des opérations inverses par Marianne, étant donné
qu‟elle ne rétablit pas la quantité d‟origine avant ce retrait suivi du même ajout.
114
5.2.3. Synthèse de la compréhension de l’enfant en mai 2012
Pour la compréhension de l‟aspect ordinal du nombre, Marianne a prouvé qu‟elle a fait des
avancées en ce qui a trait à la sériation. Elle n‟arrive toujours pas à sérier les éléments,
même avec un soutien de l‟adulte, mais elle est en mesure de constater les erreurs et de
replacer des objets au sein d‟une série de trois éléments; ce qui prouve l‟avancée de sa
réflexion. De plus, elle considère maintenant la nécessité d‟utiliser une ligne d‟origine
commune lors du déploiement d‟une série. Par ailleurs, lorsqu‟elle est questionnée sur les
positions d‟une série, Marianne parvient à identifier ce qui se trouve « avant » et « après »,
mais pas les positions occupées par les participants à une course. À ce moment, elle se
situerait au premier stade de développement de l‟aspect ordinal selon Piaget.
En ce qui a trait à l‟aspect cardinal du nombre, Marianne se trouve sensiblement au même
niveau qu‟en octobre 2011. Sa comptine numérique est toujours élaborée, sans pour autant,
que le nombre comme tel soit bien construit. Elle utilise correctement la correspondance
terme à terme entre le mot nombre énoncé et l‟objet dénombré, mais celle-ci n‟est toujours
pas utilisée comme une opération réversible qui mène à la construction de l‟aspect cardinal
du nombre.
La chaîne numérique de Marianne est maintenant sécable, ce qui constitue une avancée à ce
sujet. Elle connaît bien la comptine des mots nombres et il lui est possible d‟entamer un
comptage par un mot nombre autre que 1, notamment 9 dans l‟un des items. Malgré le fait
que les nombres inférieurs à 10 sont de plus en plus partie prenante d‟une chaîne numérique
sécable pour Marianne, le comptage n‟est toujours pas utilisé comme une opération
permettant de comparer des collections et d‟identifier correctement le cardinal d‟une
collection.
Dans les tâches de conservation, comme c‟était le cas en octobre 2011, Marianne répond
principalement en utilisant l‟aspect figural des collections et l‟effet de récence. Elle n‟arrive
pas clairement à expliquer ses réponses, quoique cela semble être en émergence. Marianne
n‟a donc pas encore construit la conservation des quantités continues et discontinues. À ce
moment, la correspondance terme à terme, la conservation et le comptage ne sont pas
115
construits comme des opérations et elle se situerait au premier stade de développement de
la conservation selon Piaget.
5.3. Évaluation 3 : Février 2013
Lors de la troisième évaluation, qui a été réalisée en février 2013, des tâches similaires à
celles d‟octobre 2011 et de mai 2012 ont été proposées à l‟enfant pour vérifier sa
compréhension du nombre, mais sans utiliser nécessairement des items identiques.
Toutefois, les items permettaient de vérifier les mêmes éléments constitutifs du nombre28
.
5.3.1. Items vérifiant la compréhension de l’aspect ordinal du nombre
La présente section expose, d‟une part, les analyses concernant la capacité de l‟enfant à
sérier en ordre de grandeur cinq cartons différents et, d‟autre part, sa capacité à considérer
les diverses positions d‟objets d‟une série.
5.3.1.1 Item 1 : Sériation d’objets de tailles différentes
L‟intervenante présente cinq cartons de tailles différentes à l‟enfant. Elle lui demande de les
placer du plus petit au plus grand. Cet item a pour but de vérifier la sériation effectuée par
l‟enfant en portant toujours l‟attention sur la réalisation de la tâche en soi, plutôt que
simplement sur la sériation produite. La figure 31 présente la première sériation réalisée par
l‟enfant.
28 Il convient de rappeler que, à partir de cette troisième évaluation, l‟intervenante de l‟enfant est également
la chercheure du présent mémoire.
116
(5-3-2-1-4)
Figure 31 : Sériation de cartons réalisée en février 2013
Extrait 38
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M:
7I :
8M :
9I:
10M:
[…] Es-tu capable de les placer du plus petit au plus grand?
(Les place dans cet ordre : 5-1-3-2-4) Youhou!
Est-ce qu‟ils sont placés du plus petit au plus grand?
Oui.
C‟est lequel le plus petit?
(Pointe le carton 1.)
Est-ce que tu l‟as mis en premier?
(Prend le plus court et le déplace : 5-3-2-1-4.)[Voir Figure 31.] Oui! (Rit.)
Là, ils sont placés du plus petit au plus grand?
Oui. […]
Lors de la réalisation de la tâche, comme c‟était le cas avec les pailles en octobre 2011 et en
mai 2012, Marianne semble prendre les cartons l‟un après l‟autre en discutant d‟autre chose
et elle les place systématiquement à la droite de ceux déjà en place. Ainsi, l‟ordre de la
série semble correspondre davantage à l‟ordre dans lequel elle a pris chaque carton plutôt
que d‟être établi sur un critère de grandeur. Toutefois, on peut remarquer que Marianne ne
semble pas prendre les cartons au hasard. Elle semble créer des couples dichotomiques plus
petit/plus grand et juxtaposer ces couples les uns après les autres, sans pouvoir coordonner
les deux premiers couples ensemble. L‟extrait 38 montre également qu‟elle est en mesure
de repérer le plus petit carton [lignes 5-6] dans la série ainsi établie, et ce, même si elle ne
le place pas en premier [ligne 8]. On remarque qu‟elle parvient à sérier en ordre de
grandeur trois éléments au milieu de la série à la suite d‟une certaine organisation basée sur
l‟établissement de couple dichotomique plus petit/plus grand. Également, on remarque
qu‟elle maintient la nécessité de partir d‟un point d‟origine pratiquement commun, du
moins à l‟œil, pour sérier les cinq éléments.
117
Lors de cet item, un ensemble de cinq cartons est présenté à l‟enfant qui doit les
sérier. Marianne prend les cartons un à la fois et les place systématiquement à la
droite du dernier carton posé. Elle semble créer des couples dichotomiques plus
petit/plus grand et juxtaposer ces couples les uns après les autres sans pouvoir
coordonner les deux premiers couples ensemble. Malgré le fait qu‟elle soit en
mesure de considérer une ligne d‟origine commune aux cinq cartons, elle ne
réussit pas à déployer seule la série correctement. Elle parvient à sérier quatre
éléments.
5.3.1.2 Item 2 : Sériation d’objets faisant une course
L‟intervenante présente un ensemble d‟escargots en bois à l‟enfant, prétextant qu‟ils font
une course pour retourner le plus rapidement possible à la maison. Elle questionne l‟enfant
à propos de la position des escargots au sein de la course. Cette mise en situation cherche à
vérifier si l‟enfant démontre une certaine compréhension de l‟aspect ordinal pouvant exister
dans une série, en référant aux positions des coureurs et en utilisant des notions perceptives.
La figure 32 illustre l‟alignement des escargots faisant la course.
Figure 32 : Alignement des coureurs en février 2013
Extrait 39
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M:
7I :
8M :
9I:
10M:
11I:
12M:
13I:
14M:
15I:
16M:
17I:
[…] I : C‟est lequel le premier? C‟est lequel qui est le plus près de la maison?
M : (Pointe le jaune.)
I : Elle est où la maison?
M : (Pointe la maison.)
I : Ah! Et qui est le plus près de la maison?
M : L‟escargot bleu.
I : Oui, l‟escargot bleu! Ça veut dire qu‟il est le… (Laisse l’enfant compléter.)
M : Plus près de la maison.
I : Oui, il est le plus près. C‟est le … (Laisse l’enfant compléter.)
M : Plus près de la maison.
I : Oui, c‟est aussi le … (Laisse l’enfant compléter.)
M : Premier.
I : Le bleu c‟est le premier, le rose c‟est le … (Laisse l’enfant compléter.)
M : Dernier.
I : C‟est le rose qui est en dernier?
M : Oui.
I : Tu penses?
118
18M:
19I:
20M:
31I:
32M:
33I:
34M:
35I:
36M:
37I:
38M:
39I:
40M:
41I:
42M:
43I:
44M:
M : Oui.
I : L‟escargot orange, il est à quelle position? C‟est quoi son numéro le orange?
M : Deux.
I : C‟est le deux le orange, montre-moi?
M : (Pointe le jaune.)
I : Est-ce que c‟est lui le orange?
M : Non.
I : C‟est lequel le orange? Est-ce que tu le vois?
M : Oui. (Pointe le vert et ensuite le orange.)
I : Ah! Et il est à quelle position? Le bleu c‟est le un, ensuite?
M : (Pointe le rose.)
I : Lui c‟est quoi?
M : Le deux.
I : Le deux! Et le orange?
M : Le trois.
I : Il est à quelle position?
M : Troisième. […]
Avec un léger soutien de l‟adulte, Marianne identifie correctement l‟escargot qui occupe la
première position [lignes 9 à 12]. Précédemment, elle avait identifié l‟escargot jaune
comme celui qui occupait la première position [lignes 1-2]. Cette réponse de l‟enfant nous
amène à poser l‟hypothèse que Marianne a été influencée par le fait que la maison, qui
représente ici la ligne d‟arrivée de la course, a été posée à la droite de la table et non à la
gauche. De ce fait, comme l‟enfant est habituée à dénombrer les objets de gauche à droite,
elle identifie alors le dernier escargot comme étant le premier. De plus, lorsque
l‟intervenante demande à l‟enfant quelle position est occupée par l‟escargot orange [ligne
19], Marianne répond qu‟il se trouve en deuxième [ligne 20]. Pour se justifier, elle pointe
l‟escargot jaune [lignes 31-32]. À ce moment, l‟intervenante a identifié ce geste comme une
réponse, mais peut-être qu‟il s‟agissait plutôt du début de réflexion sur la position de
l‟escargot orange (pour trouver cette position inconnue, elle devait forcément commencer la
série avec la première position qui était occupée, selon son hypothèse de départ, par
l‟escargot jaune). L‟intervenante, qui n‟avait alors pas compris la démarche possible de
l‟enfant, lui apporte son soutien pour qu‟elle puisse répondre à la question. Une fois la
première position identifiée correctement, elle énonce que le rose occupe la dernière
position [lignes 13 à 18]. Cette réponse concorde avec les évaluations d‟octobre 2011 et de
mai 2012, où Marianne confondait la deuxième position avec la dernière. Pour elle, le
terme « dernier » est associé immédiatement et de manière proximale au terme « premier ».
On peut voir également qu‟avec le soutien de l‟adulte, Marianne parvient à identifier la
119
deuxième et la troisième position. L‟extrait 40 présente les autres questionnements autour
des positions des participants à la course.
Extrait 40
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M:
7I :
8M :
9I:
10M:
11I:
12M:
13I:
14M:
[…] Dis-moi, quel escargot est devant l‟escargot orange? Qui est devant lui dans la course aux
escargots?
(Pointe le bleu.)
Oui, c‟est vrai qu‟il est devant lui. Est-ce qu‟il y en a un autre qui est aussi devant lui?
(Pointe le vert.)
Est-ce qu‟il est devant lui? […] Qui est devant l‟escargot orange? Qui est juste juste devant lui?
(Pointe le rose.)
Oui, bravo! Qui est juste derrière l‟escargot orange?
(Pointe le rouge.)
Bravo ma belle! Si l‟escargot orange est le troisième, l‟escargot rose est à quelle position lui?
(Pointe le rose.)
S‟il est devant l‟escargot numéro trois? Ça veut dire que c‟est le numéro… (Laisse l’enfant
compléter.)
Quatre.
Si l‟escargot orange est le troisième, celui qui est devant lui, c‟est lequel?
(Pointe le rouge.) […]
Marianne parvient à identifier les escargots qui occupent les positions « devant » et
« derrière » un autre escargot [lignes 1 à 6; 7-8]. D‟abord, elle indique à l‟intervenante que
l‟escargot bleu se trouve devant le orange [lignes 1-2], ce qui demeure vrai; il n‟est
seulement pas l‟escargot qui se trouve proximalement devant le orange. Avec un soutien de
la part de l‟intervenante, elle identifie qu‟il s‟agit de l‟escargot rose [lignes 3 à 6]. En ce qui
concerne la position « derrière », comme Marianne éprouvait de la facilité lors des
évaluations précédentes à identifier le participant d‟une série qui se trouvait « après » un
autre, elle identifie correctement et sans soutien l‟escargot rouge comme étant derrière le
orange [lignes 7-8]. On voit également qu‟elle parvient à opérer sur cette série. Lorsque
l‟intervenante lui demande d‟identifier la position de l‟escargot qui se trouve devant le
troisième, ce qui nécessite de réaliser une soustraction sur une position, elle répond en
effectuant plutôt une addition [lignes 11-12], donc elle opère « plus 1 ». C‟est donc dire que
l‟opération effectuée par Marianne l‟amène à une mauvaise réponse. Toutefois, cette
réponse nous montre qu‟elle opère sur la série. Le nœud réside ici sur un paradoxe
concernant la construction du nombre : pour être « plus » en avant dans une série, je dois
faire « moins 1 » et non pas « plus 1 ». Par la suite, lorsque l‟intervenante la questionne
pour savoir qui se trouve devant l‟escargot orange, elle identifie le rouge [lignes 13-14], qui
120
se trouve en réalité « après », et ce, sans doute, en raison de la quatrième position qu‟elle
venait d‟identifier pour répondre à cette même question.
Lors de cet item, une série d‟escargots faisant une course est présentée à l‟enfant.
L‟intervenante la questionne alors sur la position des participants. Marianne est en
mesure d‟identifier les participants se trouvant « devant » et « derrière » un autre.
Avec un soutien de la part de l‟adulte, elle parvient à identifier plusieurs positions,
comme la première, la deuxième et la troisième, ce qui constitue une avancée. Par
contre, sans soutien de la part de l‟adulte, il subsiste toujours une confusion entre
la deuxième position et la dernière. De plus, bien que cela mène à une réponse
inadéquate, elle démontre qu‟elle opère sur la série. Ceci représente une avancée.
5.3.2. Items vérifiant la compréhension de l’aspect cardinal du nombre
La présente section expose les analyses concernant la capacité de l‟enfant à comparer des
collections d‟objets, à établir la conservation (de quantités continues ou discontinues), à
procéder au comptage et à considérer l‟aspect cardinal d‟une quantité dénombrée.
5.3.2.1 Item 1 : Comparaison de collections d’objets identiques (correspondance
terme à terme)
L‟intervenante place deux collections de jetons sur la table devant l‟enfant. D‟un côté, il y a
huit jetons bleus et de l‟autre sept jetons rouges. L‟intervenante questionne l‟enfant afin de
savoir s‟il y a un côté qui comporte plus de jetons que l‟autre ou non et comment cette
dernière peut le savoir. Cet item a pour but de vérifier comment va procéder Marianne pour
comparer les deux collections : en recourant à la correspondance terme à terme ou en
comptant les jetons. La figure 33 illustre les deux collections de jetons.
Figure 33 : Comparaison de collections inégales d‟objets identiques présentées à l‟enfant
en février 2013
121
Extrait 41
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M:
7I :
8M :
9I:
10M:
11I:
12M:
13I:
14M:
15I:
16M:
17I:
18M:
19I:
20M:
[…] Je suis toute mêlée, tu m‟as dit trois choses différentes. Tu m‟as dit que c‟était égal, qu‟il y en
avait plus ici [7 rouges] et qu‟il y en avait plus ici [8 bleus]. Comment on fait pour le savoir?
Hein?
Comment on pourrait faire pour le savoir pour vrai où est-ce qu‟il y en a plus? Qu‟est-ce qu‟on
pourrait faire tu penses?
(Ne répond pas.)
Comment on fait pour savoir il y en a plus où, où est-ce qu‟il y en a plus? Est-ce que tu aurais un
truc?
Oui.
Ce serait quoi ton truc?
Il y en a plus ici. (Pointe les 8 bleus.)
Il y en a plus ici? Comment tu fais pour le savoir?
J‟ suis bonne. […] (Compte tous les jetons rouges.) 7.
7! Et ici [les bleus], combien on en a? Tu vas les compter, vas-y.
(Compte les jetons en faisant deux méprises un oubli et un recomptage du même jeton. Elle arrive
donc au bon résultat.) 8.
Les rouges, tu m‟as dit 7 et ici tu m‟as dit 8. Est-ce qu‟il y a un endroit où i‟ en a plus ou c‟est pareil?
Est-ce qu‟il y a une des deux couleurs où on en a le plus ou c‟est pareil?
C‟est pareil.
Ici [rouges], on en a 7 et ici [bleus] on en a 8. Est-ce qu‟il y en avait un qui avait plus ou c‟est pareil?
C‟est plus.
C‟est où qu‟il y en a plus?
(Pointe les bleus.) Là.
C‟est là qui en a plus?
Oui. […]
Dans le cadre de cette tâche, Marianne n‟utilise pas d‟emblée la correspondance terme à
terme pour comparer les deux collections. Elle ne procède pas non plus d‟emblée au
comptage. Après avoir donné tous les choix de réponses possibles [repris par l‟adulte à la
ligne 1], elle identifie les jetons bleus comme étant plus nombreux [ligne 8]. Sous
l‟insistance de l‟adulte qui demande des explications, elle effectue un comptage des jetons
[lignes 10; 12], mais ce comptage ne mène pas à la conception de la cardinalité des
collections dénombrées puisque ce comptage amène Marianne à affirmer que « c‟est
pareil ». Ce faisant, Marianne ne se sert pas des résultats de son comptage pour établir la
comparaison. Il semblerait donc qu‟elle n‟ait pas encore construit le principe cardinal
inhérent au comptage mature. De plus, pour répondre aux questions de l‟intervenante, elle
utilise l‟effet de récence [ligne 1] et quand l‟intervenante demande la façon dont elle peut
identifier la collection la plus nombreuse, Marianne n‟arrive pas à répondre [lignes 2 à 6].
122
Malgré cela, elle identifie à plusieurs reprises que la collection de jetons bleus comporte le
plus de jetons [lignes 8; 16 à 20].
Par la suite, l‟intervenante modifie les collections qui sont présentes sur la table. Elle retire
l‟ensemble des jetons sous les yeux de l‟enfant et dispose deux nouvelles collections de six
jetons chacune, en poursuivant le même but, c‟est-à-dire de vérifier comment allait
procéder l‟enfant pour comparer les deux collections.
Figure 34: Comparaison de collections égales d‟objets identiques présentées à l‟enfant en
février 2013
Extrait 42
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M:
7I :
8M :
9I:
10M:
11I:
12M:
13I:
14M:
15I:
16M:
17I:
18M:
19I:
20M:
21I:
22M:
23I:
24M:
25I:
26M:
27I:
[…] (Change les deux collections de jetons. D’un côté, il y a 6 jetons rouges et de l’autre il y a 6
jetons bleus.) Maintenant, je les ai changés et on va refaire la même chose. Est-ce que tu penses qu‟il
y en a plus ici [6 rouges], plus ici [6 bleus] ou c‟est pareil?
(Ne répond pas.)
Je les ai changés, c‟est plus pareil. Comment on va faire pour savoir il y en a combien? […] Est-ce
qu‟il y en a plus ici [rouges], ici [bleus] ou c‟est pareil?
C‟est pareil.
Est-ce que c‟est pareil, il y en a plus ici [bleus] ou ici [rouges]?
Ici. (Pointe les rouges.)
Et est-ce qu‟il y en a plus ici [rouges], c‟est pareil ou il y en a plus ici [bleus]?
Plus ici [bleus].
O.K. Comment on peut le vérifier?
On peut compter.
Vas-y.
(Compte les bleus.) 6.
Il y a 6 bleus. Et des rouges, on en a combien?
(Compte les rouges.) 6.
On en a combien?
6.
Et des bleus, on en a combien?
6.
Est-ce qu‟il y a un des deux qui en a plus?
Oui.
Lequel?
6.
C‟est lequel qui a 6?
(Pointe les bleus.)
Et l‟autre [les rouges], il y a combien?
6.
Est-ce qu‟il y en a un qui en a plus?
123
28M:
29I:
30M:
31I:
32M:
33I:
34M:
35I:
36M:
37I:
38M:
39I:
40M:
41I:
42M:
43I:
44M:
Oui.
Lequel?
(Pointe les rouges.) Lui.
Les rouges?
Oui.
O.K. […] Les bleus il y en avait combien tu m‟as dit?
(Recompte les bleus.) 6.
Il y en a 6! Et les rouges, on en a combien?
(Compte les rouges.) 6.
Qu‟est-ce que ça veut dire ça?
Qu‟on a gagné.
Oui, on a gagné. T‟ as bien raison. Mais est-ce qu‟il y en a un des deux qui en a plus?
Oui.
Lequel?
(Pointe les rouges.) Lui.
Est-ce que c‟est égal?
Non. […]
Marianne identifie correctement le cardinal des deux collections en utilisant correctement le
comptage [lignes 12; 14]. Pendant l‟échange avec l‟intervenante, l‟enfant ne ressent pas le
besoin de recompter le nombre de jetons pour pouvoir énoncer leur quantité [lignes 16; 18;
22; 26]. Malgré le fait qu‟elle sache pertinemment que les deux collections comportent six
jetons, elle identifie toujours l‟une des deux collections comme étant la plus nombreuse
[lignes 24; 30; 42] et elle affirme que les deux collections sont inégales [lignes 43-44].
Cette conversation avec Marianne dans l‟extrait 42 pourrait laisser le lecteur sceptique en
ce qu‟il peut soulever son incertitude à savoir si l‟enfant comprend réellement les termes
utilisés (« pareil » et « égal »). C‟est pourquoi la même situation a été refaite avec un
nombre plus petit et mieux construit chez Marianne. L‟extrait 43 qui suit permet de faire
l‟hypothèse forte que Marianne comprend bien les termes utilisés, c‟est donc réellement la
conception du nombre qui est en jeu.
Figure 35 : Comparaison de collections égales réduites d‟objets identiques présentées à
l‟enfant en février 2013
124
Extrait 43
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M:
7I :
8M :
9I:
10M:
11I:
12M:
[…] Regarde sur la table maintenant. On va faire la même chose. Ici [les 3 bleus], tu en as combien?
(Compte les jetons.) 3.
Et tu as combien de rouges?
(Compte les jetons.) 3.
Est-ce qu‟il y en a un des deux qui en a plus?
Oui
Lequel?
(Pointe sur la table entre les deux collections.) Lui pis lui.
Les deux?
Oui.
Ça veut dire qu‟elles sont … (Laisse l’enfant compléter.)
Égales! […]
Quand les collections sont réduites à trois jetons de chaque côté, Marianne est en mesure de
bien les dénombrer [lignes 2; 4] et d‟affirmer que les deux collections comportent le plus de
jetons [ligne 8 à 10] et, donc, qu‟elles sont égales [lignes 11-12].
Lors de cet item, il était demandé à Marianne de comparer deux collections de
jetons pour identifier laquelle est la plus nombreuse, donc qui contient le plus
grand cardinal. Marianne dénombre correctement les jetons en utilisant la
correspondance terme à terme entre le mot nombre dit et l‟élément dénombré,
mais ces outils ne sont pas encore utilisés comme des opérations permettant la
comparaison. Le comptage effectué par Marianne ne tient pas non plus lieu de
cardinal de chacune des collections. Malgré cela, elle parvient à identifier à
quelques reprises correctement la collection comportant plus de jetons, sans
toutefois être en mesure de l‟expliquer. Quand deux collections au même cardinal
lui sont présentées, elle dénombre correctement les éléments, sans toutefois
concevoir les deux quantités comme équivalentes lorsque celles-ci sont
supérieures à 5. Quand les quantités sont inférieures à 5, elle est en mesure
d‟énoncer leur égalité.
5.3.2.2 Item 2 : Comparaison de collections d’objets différents (correspondance
terme à terme)
L‟intervenante place sur la table une rangée de trois images de pomme et une de quatre
images de framboise. Elle demande alors à l‟enfant d‟identifier quelle rangée est la plus
nombreuse. Cet item sert à vérifier si l‟enfant est en mesure de comparer des collections
d‟objets différents et comment elle procède pour le faire : en se fiant à l‟aspect figural de la
125
collection ou en établissant une opération comme la correspondance terme à terme ou le
comptage.
Figure 36: Comparaison de collections d‟objets différents en février 2013
Extrait 44
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M:
7I :
8M :
9I:
10M:
11I:
12M:
[…] Est-ce qu‟il y en a plus ici [framboises], plus ici [pommes] ou c‟est pareil?
C‟est pareil.
Montre-moi que c‟est pareil. Anne-Sophie va me dire « Comment ça c‟est pareil? Moi, je trouve que
c‟est pas pareil ». Comment tu vas lui expliquer à Anne-Sophie que c‟est pareil?
(Pointe une pomme.)
Ça? Qu‟est-ce que tu vas lui dire? Tu dois parler pour expliquer.
(Pointe une pomme et une framboise.)
Ça et ça, O.K.
(Pointe deux framboises pour une pomme.)
O.K., est-ce que c‟est pareil?
Non.
Non, c‟est pas pareil. Montre-moi où i‟ en a plus.
(Pointe les pommes.) […]
Marianne ne compte pas directement l‟ensemble des éléments de chaque rangée. Au départ,
elle dit à l‟intervenante que les deux rangées sont pareilles, en utilisant l‟effet de récence
[lignes 1-2]. Ensuite, elle tente une explication en utilisant la correspondance terme à terme
entre les deux rangées [lignes 4 à 6; 8]. Elle indique le fait que deux framboises
correspondent à la même pomme [lignes 8 à 10], sans être en mesure de l‟expliquer
oralement. Malgré cela, quand l‟intervenante lui demande où il y en a plus, elle répond que
ce sont les pommes [ligne 12]. Il y a toutefois ici une légère avancée. En effet, c‟est la
première fois que Marianne, malgré l‟aspect figural, utilise spontanément une comparaison
terme à terme pour comparer. À l‟une des correspondances entre les deux rangées, elle
pointe deux framboises pour une pomme en parvenant à dire que ce n‟est pas pareil. Il y a
quand même une avancée à comparer chaque correspondance établie comme sous-
ensemble dans la comparaison, et ce, de manière juxtaposée. Elle ne parvient toutefois pas
126
à coordonner ces comparaisons de deux couples et d‟un trio pour établir la collection la
plus nombreuse là où il y a deux framboises pour une pomme.
Lors de cet item, il est demandé à Marianne de comparer deux collections inégales
d‟objets non identiques pour identifier celle qui est la plus nombreuse. D‟abord,
Marianne répond en utilisant l‟effet de récence. Puis, lorsque l‟intervenante lui
demande pourquoi, elle tente spontanément une explication basée sur la
correspondance terme à terme. En effet, elle pointe une pomme pour une
framboise, puis une pomme pour deux framboises. Elle parvient à indiquer à
l‟intervenante que ce n‟est pas pareil. Ceci représente un avancement par rapport à
mai 2012. Malgré cela, elle répond qu‟il y a plus de pommes, en se basant sur
l‟aspect figural des deux collections. Elle parvient à juxtaposer des
correspondances exactes entre les deux collections, sans toutefois les coordonner
en un tout dans le but de les comparer.
5.3.2.3 Item 3 : Conservation de quantités continues
L‟intervenante présente deux boules de pâte à modeler de même taille à l‟enfant en lui
demandant si l‟une des deux boules contient plus de pâte. Lorsque l‟enfant a établi l‟égalité,
l‟intervenante prend une des deux parts et la transforme à trois reprises sous les yeux de
l‟enfant, soit en rouleau, en galette puis en miettes. À chaque fois, elle questionne l‟enfant
pour savoir si l‟une des deux parts contient plus de pâte à modeler. Cet item a pour but de
vérifier si l‟enfant comprend la conservation de quantités continues et si elle est capable de
faire abstraction des transformations effectuées par l‟adulte par des arguments d‟identité, de
réversibilité ou de compensation qui feraient de la conservation une réelle opération.
Figure 17 : Première transformation effectuée avec la pâte à modeler
Extrait 45
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M:
[…] Est-ce qu‟il y en a plus ici [boule], ici [rouleau] ou c‟est pareil?
(Pointe le rouleau.) C‟est pareil.
C‟est pareil. Est-ce que c‟est pareil, il y en a plus ici [rouleau] ou ici [boule]?
Ici. (Pointe la boule.)
Est-ce qu‟il y en a plus ici [boule], ici [rouleau] ou c‟est pareil?
C‟est pareil.
127
7I :
8M :
9I:
10M:
Est-ce que c‟est pareil, ou il y en a plus ici [boule] ou ici [rouleau]?
(Elle pointe vaguement entre les deux.)
Quelle couleur tu m‟as dit qu‟il y en avait plus?
Pareil. […]
À la suite de la première transformation de pâte à modeler, Marianne semble démontrer
légèrement un début de conservation. Bien qu‟elle réponde quelque fois avec l‟effet de
récence [lignes 2; 4; 6], quand l‟intervenante lui demande la couleur où il y a le plus de pâte
à modeler, celle-ci répond que c‟est pareil [ligne 10]. On note toutefois une grande fragilité,
comme c‟était le cas lors des évaluations précédentes.
L‟intervenante prend le rouleau rouge et le transforme en boule de même grosseur que celle
de référence. Puis, elle reprend la boule rouge et la transforme en galette devant les yeux de
l‟enfant.
Figure 18 : Deuxième transformation effectuée avec la pâte à modeler
Extrait 46
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M:
7I :
8M :
[…]Est-ce qu‟il y a un endroit où i‟ en a plus? Ici [jaune], ici [rouge] ou c‟est pareil?
C‟est pareil.
Est-ce que c‟est pareil ou il y en a plus ici [galette rouge] ou ici [boule jaune]?
Il y en a plus ici. (Ne pointe pas.)
Lequel des deux?
(Ne répond pas.) […] Ici. (Pointe la boule jaune.)
Ici, O.K.! Est-ce qu‟il y en a plus ici [boule jaune], c‟est pareil ou il y en a plus ici [galette rouge]?
Ici. (Pointe la galette rouge.) […]
Lors de cette seconde transformation, Marianne répond aux questions de l‟intervenante par
l‟effet de récence [lignes 1-2; 3 à 6; 7-8], ce qui témoigne que, pour elle, la transformation
de l‟apparence peut modifier la quantité en soi, ou du moins, la conservation n‟est pas une
évidence construite qui stabilise ses réponses aux questions, peu importe l‟ordre des choix
donnés par l‟adulte.
128
L‟intervenante prend la galette rouge et la transforme en boule de même grosseur que celle
de référence. Puis, elle reprend la boule rouge et la transforme en miettes devant les yeux
de l‟enfant.
Figure 19 : Troisième transformation effectuée avec la pâte à modeler
Extrait 47
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M:
7I :
8M :
9I:
10M:
11I:
12M:
13I:
14M:
15I:
16M:
[…] Si on fait ça. (Prend la boule rouge et l’émiette.) Est-ce que c‟est pareil ou il y en a plus ici
[miettes rouges] ou ici [boule jaune]?
Ici [miettes rouges].
Ici [miettes rouges], ici [boule jaune] ou c‟est pareil?
C‟est pareil. (Pointe les miettes rouges.)
Est-ce qu‟il y a un endroit où il y en a plus?
Oui.
Où? Quelle couleur?
Rouge.
Rouge! Est-ce que c‟est pareil?
Oui.
C‟est pareil aussi? C‟est pareil, il y en a plus ici [miettes rouges] ou ici [boule jaune]?
Ici. (En pointant vaguement vers la table.)
Ah, je peux pas deviner lequel tu montres. C‟est lequel ça?
(Pointe les miettes rouges.)
Les rouges, il y en a plus?
Oui. […]
Si, lors de la transformation de la boule en rouleau, Marianne semblait faire preuve d‟un
début de conservation en énonçant que la boule et le rouleau étaient pareils alors que
l‟intervenante lui demandait où il y en avait le plus, induisant ainsi qu‟il était acceptable de
penser qu‟il y en avait plus à un endroit [extrait 45, lignes 9-10], elle témoigne tout de
même d‟une absence de conservation lors de la transformation de la boule de pâte à
modeler en galette et en miettes. Elle répond systématiquement que les miettes rouges sont
plus nombreuses. Même lorsque, par effet de récence, elle répète la formulation « c‟est
pareil » énoncée précédemment par l‟adulte, elle pointe les miettes rouges [ligne 4]. Son
raisonnement repose ainsi sur l‟aspect figural pour répondre, notamment avec la dernière
transformation où la boule est transformée en miettes. Ces dernières (de couleur rouge)
129
prenant plus d‟espace sur la table peuvent donner l‟impression d‟une plus grande quantité
de pâte à modeler que dans la boule de référence (de couleur jaune).
Lors de cet item, l‟intervenante propose deux parts égales de pâte à modeler à
l‟enfant. Par la suite, elle réalise trois transformations avec l‟une des deux parts
devant ses yeux : une fois en rouleau, une fois en galette et une fois en miettes.
Chaque fois, l‟enfant doit se prononcer à savoir s‟il y avait plus de pâte à modeler
à un endroit ou si c‟était pareil. Comme lors des évaluations précédentes,
Marianne ne démontre pas clairement une construction de la conservation des
quantités continues. Il y a toutefois émergence de la conservation lors de la
première transformation, bien que celle-ci soit fragile. Si, lors de la transformation
en rouleau, à la suite de plusieurs réponses témoignant de l‟effet de récence, elle
énonce que les deux parts sont égales, ses réponses lors des deux autres
transformations se basent principalement sur l‟aspect figural et sur l‟effet de
récence.
5.3.2.4 Item 4 : Conservation de quantités discontinues
D‟abord, une rangée de 5 images de pomme est faite par l‟intervenante. L‟enfant, pour sa
part, doit construire une rangée équivalente avec des images de framboise. Cet item vise à
vérifier la capacité de l‟enfant à établir une conservation des quantités à la suite d‟une
transformation de l‟aspect figural de l‟une des deux collections.
Figure 37 : Rangée d‟images présentée à l‟enfant en février 2013
Figure 38 : Construction d‟une rangée équivalente en février 2013
130
Extrait 48
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M:
7I :
8M :
9I:
10M:
11I:
12M:
[…] (Place une rangée de 5 pommes sur la table.) Ça c‟est mes pommes à moi. Tu vas me donner
des framboises comme moi, pareil.
(Place 9 framboises collées les unes aux autres et ne les compte pas pour vérifier. Elle établit
l’équivalence par les limites perceptives.)
T‟ as fini, c‟est pareil?
Oui.
Bravo, t‟ es bonne! I‟ a combien de pommes?
1, 2, 3, 4, 5.
Bravo! Et il y a combien de framboises?
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Bravo! Est-ce que c‟est pareil?
Oui.
Est-ce que il y en a plus ici [pommes], ici [framboises] ou c‟est pareil?
C‟est pareil. […]
Avant de construire sa rangée, Marianne ne semble pas vérifier le nombre d‟images de
pomme posées par l‟adulte en comptant à voix haute. On peut poser l‟hypothèse qu‟elle
l‟ait fait mentalement, sans ressentir le besoin de l‟oraliser en raison du faible nombre
d‟éléments à dénombrer. Cette hypothèse est vite infirmée : la rangée réalisée nous indique
qu‟elle n‟a pas recouru au comptage pour construire sa rangée. En effet, Marianne pose
neuf images de framboise comme équivalence à la rangée de cinq pommes [ligne 2].
Lorsque l‟intervenante lui demande combien il y a de fruits, elle recourt correctement au
comptage et à la correspondance terme à terme entre le mot nombre énoncé et l‟élément
dénombré [lignes 5 à 8]. Toutefois, ce nombre ne tient pas lieu de cardinal de la collection
ni d‟un outil de comparaison pour Marianne qui énonce à deux reprises que les deux
rangées sont pareilles [lignes 9 à 12].
Dans un second temps, l‟intervenante prend les cinq images de pomme et les déplace sur la
table, de manière à ce que cette rangée soit étirée par rapport à son apparence initiale. Cette
rangée dépasse alors la rangée de neuf framboises de chaque côté.29
29 Étant donné que Marianne avait établi une égalité entre ces deux collections, une conservation établie
oblige à considérer le maintien de l‟égalité comme une réponse validant la conservation. Ce sont les
pommes qui ont été étendues, car elles constituent la collection la moins nombreuse. En effet, sachant que
Marianne raisonne sur une base figurale, l‟allongement de la rangée devrait être celle identifiée comme
plus nombreuse, ce qui permettra de rejeter la conservation des quantités discontinues. Toutefois, si ce
sont les framboises qui sont allongées et que l‟enfant affirme qu‟il y en a plus, on ne pourra plus rejeter la
131
Figure 39 : Modification des rangées en conservation de quantités discontinues en février
2013
Extrait 49
1I :
2M :
3I :
4M :
[…] Regarde bien! (Prend les pommes et les distance pour que cette ligne dépasse celle de
framboises). Là, est-ce qu‟il y a plus de pommes, plus de framboises ou c‟est pareil?
C‟est pareil.
Est-ce que c‟est pareil ou il y a plus de pommes ou de framboises?
Il y a plus de pommes. […]
À la suite de la modification, Marianne ne parvient pas à répondre correctement aux
questions de l‟intervenante. Elle répond en utilisant l‟effet de récence [ligne 2] ou en se
fiant à l‟aspect figural de la collection [ligne 4], ce qui laisse croire que Marianne n‟aurait
pas encore construit la conservation des quantités discontinues comme une opération, car
elle ne recourt pas à des arguments d‟identité ou de réversibilité.
Lorsque sa collection est dressée, elle affirme tout de même que les deux collections (la
sienne et celle de référence) sont égales. À ce moment, elle démontre une absence de
conservation de quantités discontinues, car elle n‟arrive pas à maintenir la quantité sans
avoir recourt à un recomptage.
conservation des quantités discontinues, car on garderait le doute à savoir si l‟enfant reconsidère sa
réponse et auquel cas, de surcroit, l‟amènerait à une bonne réponse, et ce, même si elle emprunte un
raisonnement basé sur l‟aspect figural.
132
Lors de cet item, une rangée de cinq images de pomme est présentée à Marianne.
Cette dernière doit construire une rangée d‟images de framboise équivalente.
Marianne, se fiant à l‟aspect figural de la rangée de pommes, ne réussit pas la
tâche. Elle pose neuf images de framboise pour cinq images de pomme et affirme
que les deux rangées sont pareilles. Par la suite, lorsque l‟adulte modifie
l‟apparence de la rangée de pommes, Marianne modifie sa réponse en affirmant
qu‟il y a plus de pommes lorsque ces dernières sont très distancées les unes des
autres, alors qu‟en réalité, il y en a moins.
5.3.2.5 Item 5 : Comptage
Sans utiliser de matériel, l‟intervenante demande à l‟enfant de compter le plus loin possible.
Cette demande a pour but de vérifier l‟étendue de la chaîne numérique de l‟enfant.
Extrait 50
1M :
2I :
3M :
4I :
5M:
6I :
7M :
8I :
9M :
10I :
11M :
[…] 1, … , 21, 23, 24, … , 30, 31, 32, 33, […], 32, 33, 34, …, 40!
Wow! Es-tu capable de compter encore?
Non.
On arrête à 40? Sais-tu qu‟est-ce qui vient après?
40, 41,
B‟en oui, t‟as raison
42, 43, 44, 45, 46, 45, 46, 47, 48, 49, 50!
Woo, es-tu capable de continuer après 50 aussi?
Oui.
Montre-moi voir.
50, 51, 52, 53, 54, 55. (Elle s’arrête.) […]
Marianne compte jusqu‟à 55 en faisant une omission (elle oublie le 22) et en disant un
nombre deux fois, parce qu‟elle s‟était mise à parler d‟autre chose [lignes 1; 5; 7; 11]. Sa
chaîne a donc sensiblement la même étendue que lors des évaluations précédentes, où elle
comptait jusqu‟à 49, sans erreur [extraits 10; 29].
Ensuite, l‟intervenante lui demande de compter en tenant compte d‟une borne supérieure
fixée à 20.
133
Extrait 51
1I :
2M :
3I :
4M :
[…] Et maintenant, es-tu capable de compter jusqu‟à 20? (Ne répond pas.) Es-tu capable d‟arrêter à
20?
Oui! (Compte jusqu’à 28 rapidement sans arrêt.)
Wow, tu vas loin! Mais es-tu capable d‟arrêter à 20?
Oui! 29, 30, …[…]
Comme la borne fixée à 20 était trop élevée, l‟intervenante l‟a réduite à 15.
Extrait 52
1I :
2M :
3I :
4M :
5I :
6M :
7I :
8M :
9I :
10M :
11I :
12M :
[…] Non, on commence au début et tu vas arrêter à 15. Es-tu capable?
À 20.
À 20, tu penses? Tu vas être capable d‟arrêter à 20?
Oui.
Montre-moi.
(Compte jusqu’à 23.)
À combien on arrête?
À 3.
À 3? Vas-y.
1, 2, 3.
Bravo, tu es une championne! Es-tu capable d‟arrêter à 12?
(Compte jusqu’à 12.) […]
Marianne ne parvient pas à compter en tenant compte d‟une borne fixée à 20. À chaque fois
[extraits 51 et 52], elle compte rapidement et ne s‟arrête pas à la borne [ligne 6]. Elle est
toutefois en mesure de s‟arrêter à 12 [ligne 12]. Le nombre 20 doit donc se retrouver à
l‟extérieur de son domaine numérique opérable. De plus, comme il s‟agit d‟un nombre
élevé, il est possible que Marianne, trop emportée par son comptage, perde l‟objectif de vue
et ne parvienne pas à s‟arrêter à ce nombre.
Ensuite, l‟intervenante demande à Marianne de compter en considérant, à la fois, une borne
inférieure fixée à 430
et une borne supérieure fixée à 9. Cette demande a pour but de vérifier
si la chaîne numérique de Marianne est sécable ou non.
30 Lors de cette évaluation, il n‟a pas été demandé à l‟enfant de compter en tenant compte seulement d‟une
borne inférieure, en raison de sa réussite lors de la deuxième évaluation (où elle parvenait à compter seule
134
Extrait 53
1I :
2M :
3I :
4M :
5I :
6M :
7I :
8M :
9I :
10M :
[…] Es-tu capable de compter en commençant à 4 et en arrêtant à 9? Ça, c‟est difficile!
Oui.
Vas-y.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Championne! Es-tu capable de commencer à 4?
Oui.
Tu comptes à partir de 4 et on monte. Es-tu capable?
Oui.
Vas-y.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. […]
Marianne n‟est pas en mesure de compter en tenant compte des deux bornes à la fois, même
si cette tâche avait été réussie avec soutien lors de l‟évaluation précédente. Lors de chaque
comptage, elle débute par 1 au lieu de considérer la borne inférieure fixée par l‟adulte
[lignes 4; 10]. Comme la chaîne numérique de Marianne avait été considérée comme
sécable en mai 2012, cette non-réussite pourrait être expliquée potentiellement par le
niveau d‟implication et de concentration de l‟enfant dans la tâche. Finalement, il lui a été
demandé de compter à rebours à partir de 9. Ceci permet de vérifier si la chaîne numérique
de l‟enfant est dénombrable.
Extrait 54
1I :
2M :
3I :
4M :
5I :
6M :
7I :
8M :
9I :
10M :
11I :
12M:
13I :
14M:
15I :
16M:
[…] On va commencer à 9 et on va se rendre à 1. Vas-y.
1.
On commence avec 9 et on descend jusqu‟à 1, on recule. Comme 3, qu‟est-ce qui vient avant?
1.
3,
2.
2.
1.
1! On va faire la même chose en commençant à 9. 9 … (Laisse l’enfant compléter.)
3.
Qu‟est-ce qui vient avant 9?
10.
Avant?
(Ne répond pas.)
9… huuuuuuu … (Laisse l’enfant compléter.)
8.
à partir de 9). Toutefois, cette habileté sera vérifiée lors de la mise en commun des bornes inférieure et
supérieure présentée ici.
135
17I :
18M:
19I :
20M :
21I :
22M :
23I :
24M :
Qu‟est-ce qui vient avant?
7.
Avant?
6.
6.
7.
Avant?
8. […]
Même avec un soutien de la part de l‟intervenante, Marianne n‟a pas été en mesure de
compter à rebours à partir de 9 [lignes 15 à 24]. Toutefois, elle réussit l‟exemple en
comptant à rebours à partir de 3 avec l‟intervenante [lignes 3 à 8], cela indique qu‟elle avait
bien compris la consigne.
Lors de cet item, on cherche à vérifier la construction de la chaîne numérique de
l‟enfant. Marianne arrive à compter seule sans erreur jusqu'à 55 et à tenir compte
d‟une borne supérieure fixée à 12. Par contre, elle ne parvient pas à compter en
tenant compte d‟une borne inférieure et d‟une borne supérieure. Comme les
évaluations précédentes le démontrent, Marianne a plus de facilité à considérer
une borne supérieure qu‟une borne inférieure, alors, elle n‟est pas en mesure de
considérer de façon concomitante les deux bornes pour guider son comptage,
ignorant la borne inférieure qui était fixée par l‟adulte. De plus, elle ne parvient
pas à compter à rebours à partir de 9, même avec un soutien de la part de l‟adulte.
Cela peut laisser croire que le nombre 9 se situe hors de son domaine numérique
opérable, c‟est-à-dire qu‟il n‟est pas encore dénombrable pour elle.
5.3.2.6 Item 6 : Cardinalité
La compréhension de la cardinalité chez l‟enfant a été vérifiée, entre autres choses, à l‟aide
de deux tâches distinctes. Lors de la première tâche, l‟intervenante dresse une collection de
onze bâtonnets devant l‟enfant. Cette dernière doit identifier le nombre de bâtonnets
présents sur la table.
Figure 40 : Présentation d‟une rangée de bâtonnets à l‟enfant
136
Extrait 55
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M :
[…] (Place 11 bâtonnets en une rangée sur la table devant Marianne.) Es-tu capable de les compter?
Oui.
Vas-y.
(Compte jusqu’à 11.)
T‟ en a 11?
Oui. […]
Marianne est en mesure de bien utiliser le comptage et la correspondance terme à terme
entre le mot nombre énoncé et l‟élément dénombré pour déterminer le nombre de bâtonnets
[ligne 4].
Devant les yeux de l‟enfant, l‟intervenante prend tous les bâtonnets dans ses mains et les
dépose de façon pêle-mêle sur la table.
Figure 41 : Modification de la rangée de bâtonnets
Extrait 56
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M :
[…] (Déplace les 11 bâtonnets et les place pêle-mêle sur la table.) Et maintenant, on en a combien?
(Compte les bâtonnets en en oubliant un.) 10.
10 … (Pointe celui qui reste.)
11.
Là, on en a combien?
11. […]
À la suite du premier déplacement effectué par l‟intervenante, Marianne recompte les
bâtonnets pour répondre à la question, en faisant une méprise [ligne 2]. Cette conversation
avec Marianne permet de mettre en relief que cela ne lui posait pas problème d‟affirmer
qu‟il y avait dix bâtonnets [ligne 2] alors qu‟elle venait d‟en compter onze avant le
déplacement de ces derniers. En soi, cela montre comment le dénombrement de Marianne
ne prend pas le sens de la cardinalité de la collection dénombrée. Il n‟y a pas réelle
construction de la cardinalité ou du principe cardinal. Avec un soutien de l‟adulte, elle
arrive au bon compte [lignes 3-4].
137
Devant les yeux de l‟enfant, l‟intervenante prend tous les bâtonnets dans ses mains et les
dépose en une rangée sur la table, comme ils étaient positionnés au départ. Elle demande
d‟abord à l‟enfant combien il y en a et ensuite, combien il y en a si on commence par la fin
(donc en comptant de droite à gauche, plutôt que de gauche à droite).
Figure 40 : Présentation d‟une rangée de bâtonnets à l‟enfant
Extrait 57
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M :
7I :
8M :
9I :
10M:
11I :
12M:
13I :
14M:
15I :
16M:
17I :
18M:
19I :
[…] (Refait une rangée avec les 11 bâtonnets.)Si je les mets comme ça, on en a combien?
(Compte les bâtonnets.) 11.
11, t‟ as bien raison. Mais, j‟ai une question. Si on commence par ici [l‟autre bout], on va en avoir
combien?
1.
1, mais si on s‟en va par là [vers la gauche de Marianne], on va en avoir combien?
2. (Ne regarde pas les bâtonnets et fixe l’intervenante.)
2, ensuite? On va en avoir combien en tout?
3. (Ne regarde pas les bâtonnets et fixe l’intervenante.)
Juste 3?
Oui. […]
Tu penses qu‟on en a juste 3? Si on compte comme ça? (Pointe de gauche à droite.) Est-ce que tu es
capable de compter à l‟envers?
Oui
Vas-y, on va commencer ici et on va aller par là. Combien on va en avoir?
2.
Il y en a juste 2? […] Est-ce que tu peux compter à partir de là?
Oui.
Parce que d‟habitude, on compte comme ça [de gauche à droite]. Mais si on compte comme ça [droite
à gauche], on va en avoir combien?
2.
O.K., vas-y. (Pointe les bâtonnets avec son doigt.)[…]
Marianne est dans l‟obligation de recompter les bâtonnets chaque fois qu‟une modification
est apportée à leur disposition [extraits 56; 57]. Le nombre n‟est pas maintenu si on
commence à compter à un autre endroit [lignes 3 à 9; 17 à 19]. À ce moment, elle démontre
une absence de conservation de quantités discontinues, car elle n‟arrive pas à maintenir la
quantité de la collection à laquelle rien n‟a été ajouté ou retiré. De plus, on voit que
Marianne n‟a pas construit le principe de la non-pertinence de l‟ordre. Compter la
collection à partir d‟un autre endroit, pour Marianne, contribue à changer la quantité.
138
Lors de la deuxième tâche, cinq images de dames sont déposées sur la table devant
Marianne. Cette dernière est invitée à aller au magasin pour chercher une robe, des
chaussures et trois bracelets pour chacune des dames. Pour ce faire, elle doit choisir ce
qu‟elle veut parmi 15 paires de chaussures, 15 robes et 25 bracelets présents au magasin.
Lors de cette épreuve, l‟intervenante veut vérifier quelle stratégie Marianne utilise pour
déterminer les morceaux dont les dames ont besoin pour aller au bal. Cette épreuve, créant
une contrainte, engendre la nécessité d‟avoir recours au dénombrement pour résoudre la
situation en empêchant la correspondance terme à terme dans l‟action immédiate.
Figure 42 : Cinq dames à habiller
Extrait 58
1I :
2H :
3I :
4M :
5I :
6M :
7I :
8M :
9I :
10M :
11I :
12M:
[…] Elles ont froid et ce soir, il y a un bal. Elles doivent aller au bal et s‟habiller comme des
princesses. Pour aller au bal, on a besoin d‟une robe, des souliers et des bijoux. On doit aller chercher
une robe, des souliers et 3 bracelets pour les madames.
Pour chacune des madames.
Oui. Moi je vais être au magasin et il va falloir que tu viennes chercher des morceaux pour habiller les
madames, mais le magasin ferme bientôt.
(Se dirige tout de suite au magasin.)
Bonjour madame! Bienvenue au magasin de princesses. De combien de morceaux avez-vous besoin
aujourd‟hui?
2.
2 quoi?
Robes.
Vous avez besoin de 2 robes? Vous pouvez les choisir. Avez-vous besoin d‟autre chose? Nous avons
des robes, des souliers et des bracelets. […]
(Prend ses 2 robes, 1 bracelet et 1 soulier.)
Vous avez 2 robes, 1 bracelet et 1 soulier, c‟est suffisant?
Oui. […]
Au lieu de compter les morceaux dont elle a besoin, Marianne se dirige tout de suite au
magasin et prend quelques articles [lignes 4 à 10]. De retour à la table, même s‟il lui
manque des morceaux, elle ne compte pas les dames, ni les morceaux supplémentaires
qu‟elle doit aller chercher. Elle ne recourt pas au comptage pour connaître le nombre de
139
dames pour déterminer le nombre de robes nécessaires, pas plus que les pieds pour les
chaussures. Plus tard, un questionnement semblable est réalisé autour de la recherche du
bon nombre de souliers.
Extrait 59
1H :
2I:
3M :
4I :
5M :
6I :
7H :
8M :
9H :
10M :
11H :
12M :
13H :
14M :
15I :
16M :
17I :
18M :
19I :
20M :
[…] Marianne, maintenant tu dois aller au marchand de chaussures. Vite, il va fermer sa boutique. Va
chercher des chaussures pour toutes les madames.
Oui, bonjour je suis le marchand de chaussures. De combien de chaussures avez-vous besoin?
(Se dirige au magasin.) 2.
Voilà, avez-vous besoin d‟autres chaussures?
Non.
D‟accord, aurevoir.
Mais là, Marianne j‟ai un problème. Est-ce que toutes tes princesses sont prêtes pour aller au bal? Est-
ce qu‟elles ont des chaussures?
Non.
Va demander au chaussurier des chaussures pour toutes les madames. Combien de chaussures tu vas
lui demander?
2.
Ça va être assez pour toutes les madames?
Oui.
Regarde bien si tu as assez de chaussures pour habiller toutes les filles si tu en achètes 2?
Oui.
Bonjour, mon magasin est fermé. Combien de chaussures avez-vous besoin?
2.
Est-ce que c‟est suffisant?
Oui.
Combien de dames avez-vous à habiller?
C‟est tout, bye! […]
Même avec un soutien important de la part des intervenantes, Marianne ne recourt pas au
comptage pour déterminer le nombre de morceaux nécessaires à la réalisation de la tâche.
Elle ne semble pas comprendre que le comptage peut être utilisé pour connaître le cardinal
d‟une collection, et donc qu‟elle saurait tout de suite combien de robes et d‟accessoires
dont elle a besoin. Elle procède plutôt par essai-erreur en allant chercher 1 ou 2 morceaux à
la fois [lignes 3; 10]. Lorsque l‟adulte la questionne pour savoir si deux chaussures seront
suffisantes pour toutes les filles, elle répond par l‟affirmative [lignes 13-14]. Elle sait donc
que deux chaussures sont nécessaires, mais elle ne dénombre pas les pieds des filles à
habiller [lignes 15 à 20].
140
Cet item a été réalisé en deux parties distinctes. Lors de la première tâche,
l‟intervenante dresse une rangée de onze bâtonnets de bois devant l‟enfant.
Marianne doit la dénombrer, ce qu‟elle réussit. L‟intervenante modifie l‟apparence
de la collection, et ce, à deux reprises : en déposant les bâtonnets pêle-mêle et en
les replaçant en ligne droite. À la suite de chaque modification, l‟enfant ne
parvient pas à identifier le cardinal de la collection sans devoir recompter les
éléments à chaque fois. De surcroît, faisant une méprise dans son second
dénombrement, Marianne n‟a pas de problème à arriver à un autre nombre que
celui énoncé précédemment pour la même collection. De plus, lorsque
l‟intervenante lui demande de commencer son comptage à un nouvel endroit, elle
n‟est pas en mesure d‟énoncer qu‟il y aurait toujours onze bâtonnets, préférant les
recompter. Bien plus, elle maintient que la quantité est de trois en commençant
d‟un nouvel endroit. Cela témoigne que Marianne n‟a toujours pas construit la
conservation des quantités discontinues. Du coup, ni le principe cardinal, ni la
non-pertinence de l‟ordre n‟apparaissent dans les raisonnements de Marianne.
Lors de la deuxième tâche, l‟intervenante présente un ensemble de cinq dames à
l‟enfant. Cette dernière doit aller au magasin chercher des vêtements pour que les
dames puissent aller au bal. Pour ce faire, Marianne doit dénombrer les éléments à
aller chercher avant de se rendre au magasin, ce qu‟elle n‟est pas en mesure de
faire. Même avec un soutien de la part de l‟adulte, Marianne ne recourt pas au
comptage pour identifier le nombre de dames à habiller, et donc le nombre de
robes à aller chercher. Elle procède par tâtonnements, allant chercher un ou deux
morceaux à la fois.
5.3.3. Synthèse de la compréhension de l’enfant en février 2013
Pour la compréhension de l‟aspect ordinal du nombre, Marianne se situe environ au même
niveau que lors de l‟évaluation de mai 2012. Elle est en mesure d‟identifier ses erreurs au
sein d‟une série et de considérer un point d‟origine commun pour tous les éléments, mais
elle ne parvient pas à déployer la série en ordre de grandeur au-delà de trois éléments. Dans
une série établie, elle identifie correctement les participants qui se trouvent « devant » et
« derrière » un autre et elle arrive, avec un soutien de l‟adulte, à identifier correctement les
participants qui occupent la première, la deuxième et la troisième position. À ce moment,
elle se situerait au premier stade du développement de l‟aspect ordinal selon Piaget.
La comptine numérique est toujours élaborée, bien que le nombre supérieur à 6 ne soit pas
bien construit. En effet, 6 peut être plus grand que 6 pour Marianne [extrait 42] et 9
141
demeure toujours non dénombrable puisque Marianne ne parvient pas à établir de décompte
à rebours à partir de ce nombre [extrait 54]. L‟aspect cardinal du nombre n‟est pas encore
construit chez Marianne, du moins pas au-delà de 3 [extrait 43]. Bien que la
correspondance terme à terme entre le mot nombre dit et l‟élément dénombré soit juste,
celle-ci n‟est pas encore utilisée comme une opération permettant de comparer des
collections entre elles.
La chaîne numérique de Marianne est sécable, comme c‟était déjà le cas en mai 2012. Le
comptage n‟est toujours pas utilisé comme une opération permettant de comparer des
collections. Elle a moins besoin de recompter une collection déjà dénombrée à plusieurs
reprises, sans toutefois être en mesure d‟utiliser ce cardinal comme outil de comparaison.
L‟item l‟invitant à aller chercher des objets pour habiller des dames est assez éloquent à cet
égard [extraits 58; 59].
Dans les tâches de conservation, on peut voir une émergence de la conservation en ce qui
concerne les quantités continues. Lors de la transformation de la boule en rouleau,
Marianne énonce que les deux parts de pâte sont pareilles. Par contre, dès la seconde
transformation, elle répond en utilisant principalement des éléments de l‟aspect figural.
Marianne se situerait donc au premier stade de développement de la conservation selon
Piaget.
À ce moment d‟évaluation passée en février 2013, la correspondance terme à terme, la
conservation et le comptage ne sont pas encore construits comme des opérations, ce qui
montre l‟absence de la conceptualisation de la cardinalité bien que Marianne parvienne à
dénombrer adéquatement des collections diverses.
5.4. Évaluation 4 : Juillet 2013
Lors de la dernière évaluation, qui a été réalisée en juillet 2013, les tâches proposées à
l‟enfant étaient les mêmes que celles de l‟évaluation de février 2013.
142
5.4.1. Items vérifiant la compréhension de l’aspect ordinal du nombre
La présente section expose, d‟une part, les analyses concernant la capacité de l‟enfant à
sérier en ordre de grandeur cinq cartons différents et, d‟autre part, sa capacité à considérer
les diverses positions d‟objets d‟une série.
5.4.1.1 Item 1 : Sériation d’objets de tailles différentes
L‟intervenante donne cinq cartons de tailles différentes à l‟enfant. Elle lui demande alors de
les placer du plus petit au plus grand. Cet item a pour but de vérifier la sériation effectuée
par l‟enfant en portant toujours l‟attention sur la réalisation de la tâche en soi, plutôt que sur
la sériation produite.
(1-2-3-4-5)
Figure 43 : Sériation de cartons réalisée en juillet 2013
Extrait 60
1I :
2M:
3I :
4M :
5I :
6M :
7I:
8M :
(Dispose cinq cartons de différentes longueurs sur la table, devant l’enfant.) Tu te souviens? Je
t‟avais donné des petits cartons comme ça et je t‟avais demandé de les placer en commençant du plus
petit jusqu‟au plus grand. Est-ce que t‟ es encore capable de le faire?
(Rigole.) Oui. (Déplace le 5 complètement à droite et prend le 1. Prend le 4 et le place à la gauche
du 5.Place le 2 à la gauche du 1 et prend le carton 3 et le place à la gauche du 4. L’ordre à ce
moment est : 2-1-3-4-5.)
O.K. Comme ça, est-ce qu‟ils sont du plus petit au plus grand?
Non.
Est-ce que tu commences avec le plus petit sur la table?
Non.
Ah ben! (Pointe le carton 2.) Ça veut dire que lui c‟est pas le plus petit?
Non. (Le retire de la série et le place plus haut sur la table.)
143
9I :
10M :
11I :
12M :
13I:
14M :
15I :
16M :
17I :
18M :
C‟est lequel le plus petit?
(Prend le carton 1 dans ses mains.)
OK. [À ce moment, il n‟y a que le carton 2 qui n‟est pas encore placé.] (Pointe le carton 2.) Lui, il va
où?
(Le place devant le 1.) Ici.
(Pointe le 1.) Est-ce qu‟il est plus petit que celui-là?
Non. (Le place entre le 1 et le 3. À ce moment, l’ordre est 1-2-3-4-5.)
Est-ce qu‟ils sont placés du plus petit au plus grand?
(Ne regarde pas la table.) Non.
Regarde la table. Est-ce qu‟ils sont placés du plus petit au plus grand?
Oui, comme ça. […]
Contrairement aux fois précédentes, Marianne ne place plus les cartons de gauche à droite
en ordre chronologique de ses prises. Elle donne à chaque carton qu‟elle place un ordre
relatif, et ce, non seulement en considérant les deux cartons, mais en créant une relation
approximative avec ceux qui demeurent à sérier. En effet, la ligne 2 de l‟extrait 60 montre
qu‟elle prend en premier le plus grand carton et elle le déplace complètement à droite. Ce
déplacement à l‟extrême droite permet d‟inférer que Marianne considère le carton 5 en
fonction de ceux qui restent. Ensuite, de manière dichotomique, elle sélectionne le plus
petit carton qu‟elle place à gauche, ce qui suppose une comparaison avec le carton 5. Dans
ce qui reste Marianne prendra toujours le plus grand, le carton 4, puis le plus petit, le carton
2, comme s‟il y a un début d‟organisation de la sériation basée sur la dichotomie plus
grand/plus petit dans la construction des couples de cartons. Puis, elle vient placer d‟abord
le carton 4 à gauche du carton 5, établi comme le plus grand. Son erreur réside strictement
sur l‟idée de toujours placer à gauche, même lorsqu‟elle série les plus petits, ceci l‟amène à
placer le carton 2 à gauche du 1. De retour dans ce qui reste, elle prend le carton 3, le plus
grand qui reste, et le met à gauche du 4, « le dernier plus grand placé ». Cette organisation
relativement bien structurée présente un avancement certain puisqu‟elle prend la forme
d‟une opération. D‟autant plus que, en analysant sa série avec l‟adulte, Marianne parvient à
corriger sa série adéquatement. Il n‟est pas étonnant de voir que Marianne sort de la série le
carton 2 mal placé [ligne 8]. Ainsi, Marianne reprend ce qui reste, le carton 2, et tente de le
remettre dans la série. Mais voilà qu‟elle n‟a plus de points de repère par rapport au dernier
144
placement, le carton 3. Avec un léger soutien de l‟adulte [ligne 13], Marianne parvient à
finir adéquatement la série [ligne 14].
Ainsi, seule, elle parvient à sérier quatre éléments en ordre, en respectant une ligne
d‟origine commune [lignes 2 à 8]. En outre, sa procédure de dichotomiser le plus grand du
plus petit lui permet de considérer d‟une façon coordonnée les deux extrémités de tous les
éléments à sérier de façon simultanée, et ce, par l‟établissement d‟une comparaison par
couple.
Lors de cet item, l‟intervenante présente un ensemble de cinq cartons à l‟enfant
qui doit les sérier. Elle prend les cartons dans l‟ensemble présenté en prenant le
plus grand, puis le plus petit. Elle les place ensuite aux extrémités, pour poursuivre
avec le plus grand et le plus petit de ceux qui restent qu‟elle place à la gauche du
dernier élément placé. Elle parvient à réaliser une réelle opération d‟ensemble lors
du choix des éléments à placer. Elle est en mesure de considérer, à la fois, la ligne
d‟origine commune et la longueur des cartons pour les sérier correctement, ce qui
constitue une révolution cognitive.
5.4.1.2 Item 2 : Sériation d’objets faisant une course
L‟intervenante présente un ensemble d‟escargots en bois à l‟enfant, prétextant qu‟ils font
une course pour retourner le plus rapidement possible à la maison. L‟intervenante
questionne l‟enfant à propos de la position des escargots au sein de la course. Cette mise en
situation cherche à vérifier si l‟enfant démontre une certaine compréhension de l‟aspect
ordinal pouvant exister dans une série, en référant aux positions des coureurs et en utilisant
des notions perceptives. La figure 44 illustre l‟alignement des escargots faisant la course.
145
Figure 44 : Alignement des coureurs en juillet 201331
Extrait 61
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M:
7I :
8M :
9I:
10M:
11I:
12M:
13I:
14M:
15I:
16M:
17I:
18M:
[…] Regarde, ils font la course. La maison est la ligne d‟arrivée. C‟est quoi la position de l‟escargot
bleu?
M : Arrivée.
I : Il est le … (Laisse l’enfant compléter.)
M : Premier.
I : Premier. Le jaune?
M : Dernier.
I : Le jaune, c‟est le dernier? Le orange?
M : Le troisième.
I : Le troisième. Le rose?
M : Le quatrième.
I : Le quatrième. Le rouge?
M : Le cinquième.
I : Le cinquième. Et le vert?
M : Le sixième.
I : Le sixième. C‟est lequel le deuxième?
M : (Pointe le rose.)
I : Le rose, c‟est le deuxième?
M : Oui. […]
Au début de l‟échange, Marianne identifie correctement le premier [lignes 1 à 4], le
troisième [lignes 7-8], le quatrième [lignes 9-10], le cinquième [lignes 11-12] et le sixième
[lignes 13-14]. Par contre, il y a une confusion entre le deuxième et le dernier [lignes 5-6;
15-16]. Tout comme lors des évaluations précédentes, lorsqu‟elle énonce les positions, elle
dit « premier » et elle enchaîne avec « dernier » au lieu de « deuxième ». Toutefois, on peut
souligner une extension des rangs chez Marianne. En effet, lors des évaluations
précédentes, elle ne se rendait pas plus loin que le troisième [extrait 39]. L‟extrait 62
31 Le changement d‟orientation de la série par rapport à l‟évaluation de février 2013 a pu influencer les
réponses de l‟enfant. Cela a pu, en quelque sorte, soutenir l‟enfant par rapport à l‟évaluation de février
2013 puisque, en cours d‟année, pendant les interventions, Marianne dénombrait généralement les
éléments de gauche à droite.
146
présente le questionnement et le soutien apporté par l‟intervenante à propos de ces deux
positions.
Extrait 62
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M:
7I :
8M :
9I:
10M:
11I:
12M:
13I:
14M:
15I:
16M:
17I:
18M:
19I:
20M:
21I:
22M:
23I:
24M:
25I:
26M:
27I:
28M:
29I:
30M:
[…] C‟est lequel qui est en premier dans la course en ce moment?
Le bleu.
Le bleu! Tu as bien raison! Qui est derrière lui?
Le jaune.
Le jaune. Ça veut dire qu‟il est le … (Laisse l’enfant compléter.)
Premier.
Est-ce qu‟il a quelqu‟un devant lui, le jaune?
Non.
Le bleu, tu m‟as dit que c‟était le premier. Le jaune, c‟est le … (Laisse l’enfant compléter.)
Dernier.
Est-ce qu‟il a des gens derrière lui?
(Ne regarde pas.) Non.
Derrière lui, est-ce qu‟il y a des gens?
Oui.
Est-ce qu‟il peut être le dernier, s‟il a des gens derrière lui?
Non.
Non. (Pointe le bleu.) Lui, c‟est le premier. (Pointe le jaune.) Lui?
Premier… Dernier!
Après le premier, c‟est le … (Laisse l’enfant compléter.)
Troisième.
O.K. On va les compter, d‟accord? (Pointe le bleu.) Le premier, c‟est le un. Ensuite? (Pointe le
jaune.)
Premier.
Après le un, c‟est le … (Laisse l’enfant compléter.)
Deux.
Si c‟est le deux, il est … (Laisse l’enfant compléter.)
Le deuxième.
Le deuxième, t‟ as bien raison. Le bleu, c‟est le premier. Le jaune, c‟est le … (Laisse l’enfant
compléter.)
Dernier.
Le d… (Laisse l’enfant compléter.)
Deuxième. […]
On peut constater que, même avec un grand soutien de la part de l‟adulte, la confusion entre
« deuxième » et « dernier » persiste chez Marianne. Elle est en mesure d‟identifier
correctement la première position et celle-ci est associée de façon proximale à la dernière
147
position [lignes 9-10; 17-18; 27-28].32
De plus, tel que démontré dans l‟extrait 63,
Marianne parvient à opérer sur la série.
Extrait 63
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M:
7I :
8M :
9I:
10M:
11I:
12M:
13I:
14M:
15I:
16M:
I : […] Qui est devant l‟escargot rose?
M : L‟escargot orange.
I : L‟escargot orange. Il est à quelle position l‟escargot orange si le rose est le quatrième?
M : (Ne répond pas.)
I : L‟escargot orange, c‟est lequel?
M : (Pointe le orange.)
I : Si le rose, c‟est le quatrième, le orange, c‟est le … (Laisse l’enfant compléter.)
M : (Ne répond pas.)
I : Il est devant lui, c‟est le … (Laisse l’enfant compléter.)
M : (Ne répond pas.)
I : Si le rose est quatrième et que l‟escargot orange est devant lui. Avant le quatrième, c’est le …
(Laisse l’enfant compléter.)
M : (Chuchote.) Le septième.
I : Avant le quatrième, c’est le … (Laisse l’enfant compléter.)
M : Troisième.
I : Troisième. Bravo! Si le rose est quatrième, qui est derrière lui?
M : Le r... orange.[…]
Marianne est en mesure d‟identifie la couleur de l‟escargot se trouvant devant un autre
[lignes 1-2]. Par contre, elle ne parvient pas seule à identifier sa position. Toutefois, avec le
soutien de l‟adulte qui lui indique la position de l‟escargot qui se trouve derrière lui [lignes
5 à 10; 11], elle y arrive [ligne 15]. C‟est également ici une avancée. On voit d‟abord
l‟hésitation de Marianne à répondre à la question de l‟adulte à savoir la position de
l‟escargot orange devant le rose qui, lui, est quatrième [lignes 3 à 8]. Quand l‟adulte lui
précise que l‟escargot orange est « devant », l‟enfant hésite encore [ligne 10], puis chuchote
sa réponse en augmentant le rang à 7, comme si l‟enfant pensait : « si je suis plus en avant,
je dois faire « plus » dans la comptine ». Toutefois, si l‟on pense que le chuchotement de
32 Comme c‟était le cas lors des trois évaluations précédentes, deux hypothèses se posent. Premièrement, on
peut poser l‟hypothèse que cette confusion relève d‟une difficulté liée au langage. Toutefois, comme elle
parvient à identifier correctement plusieurs autres positions [extrait 61], cette hypothèse peut être
rapidement rejetée, car, langagièrement, il n‟est pas plus difficile d‟arriver à « deuxième » à partir de
« deux » que d‟arriver à « troisième » à partir de « trois ». La seconde hypothèse serait plutôt d‟ordre
conceptuel. Marianne associe de façon proximale « premier » et « dernier ». C‟est sa conception de ce
qu‟est le « dernier » qui doit prendre une maturité pour approcher de la convention imposée par ce langage
mathématique. C‟est cette hypothèse qui sera conservée dans ce mémoire.
148
Marianne pouvait être un signe de son incertitude et de sa réflexion, on voit, sous
l‟insistance de l‟adulte [ligne 13] qui énonce strictement de nouveau sa question avec la
même formulation [ligne 11], que Marianne parvient à opérer adéquatement « moins 1 »
sur la série [ligne 14]. 33
Lors de cet item, l‟intervenante présente une série d‟escargots faisant une course à
l‟enfant. Elle la questionne alors sur la position des participants. Marianne
parvient à nommer les rangs jusqu‟à la 6e position, bien qu‟une confusion persiste
toujours pour la 2e position qu‟elle identifie « dernier » de manière proximale au
« premier ». Elle est en mesure d‟identifier correctement qui se trouve « derrière »
ou « devant » un autre participant. Elle parvient également à opérer sur la série, ce
qui constitue un avancement cognitif important.
5.4.2. Items vérifiant la compréhension de l’aspect cardinal du nombre
La présente section expose les analyses concernant la capacité de l‟enfant à comparer des
collections d‟objets, à établir la conservation (de quantités continues ou discontinues), à
procéder au comptage et à considérer l‟aspect cardinal d‟une quantité dénombrée.
5.4.2.1 Item 1 : Comparaison de collections d’objets identiques (correspondance
terme à terme)
L‟intervenante place deux collections de jetons sur la table devant l‟enfant. D‟un côté, il y a
huit jetons bleus et de l‟autre sept jetons rouges. L‟intervenante questionne l‟enfant afin de
savoir s‟il y a un côté qui comporte plus de jetons que l‟autre ou non et comment cette
dernière peut le savoir. Cet item a pour but de vérifier comment va procéder Marianne pour
comparer les deux collections : en recourant à la correspondance terme à terme ou en
comptant les jetons. La figure 45 illustre la comparaison de deux collections de jetons.
33 Pour le lecteur sceptique qui soulèverait l‟hypothèse que Marianne aurait pu, pendant l‟échange verbal,
identifier la troisième position en comptant « dans sa tête » à partir de la première position, il convient de
préciser que l‟opération 4e – 1 = 3
e a été absolument nécessaire puisque, pendant cet échange verbal,
Marianne regardait l‟intervenante et non pas la série d‟escargots.
149
Figure 45 : Comparaison de collections inégales d‟objets identiques présentées à l‟enfant
en juillet 2013
Extrait 64
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M:
7I :
8M :
9I:
10M:
11I:
12M:
13I:
14M:
15I:
16M:
17I:
18M:
19I :
20M:
21I :
22M:
[…] Tu vois, i‟ en a des rouges et i‟ en a des bleus. Est-ce que tu pourrais me dire où est-ce qu‟i‟ en a
plus?
M : (Pointe les rouges.) Ici.
I : Tu penses qu‟i‟ en a plus ici?
M : Non.
I : Non? Tu penses qu‟i‟ en a plus où?
M : (Pointe les bleus.) Ici.
I : Ici? […] Où est-ce qu‟i‟ en a plus Marianne?
M : (Pointe les rouges.)
I : Où?
M : (Pointe les rouges.)
I : Quelle couleur?
M : Rouges.
I : Rouges. Comment on peut faire pour le savoir?
M : (Rigole.)
I : Comment on peut faire pour le savoir où est-ce qu‟i‟ en a plus?
M : (Pointe les bleus en riant.)
I : Tu peux dire la couleur. Où est-ce qu‟i‟ en a plus?
M : (Pointe les bleus en riant.)
I : C‟est quelle couleur?
M : (Rigole doucement.) Bleus.
I : Bleus? Comment on peut faire pour le savoir?
M : (Ne répond pas.) […]
D‟abord, l‟intervenante questionne Marianne de façon ouverte pour vérifier comment elle
procède pour identifier quelle collection comporte plus de jetons. Elle ne recourt pas au
comptage ni à la correspondance terme à terme pour répondre à l‟intervenante. Elle répond
parfois que les rouges sont plus nombreux [lignes 2; 8; 10 à 12] et parfois que les bleus sont
plus nombreux [lignes 6; 16 à 22].
Au bout d‟un moment, comme l‟enfant n‟établit pas de relation oralement ou manuellement
entre les deux collections, l‟intervenante indique à l‟enfant qu‟un de leurs amis leur avait
150
déjà donné un truc pour savoir où il y avait plus d‟éléments, ce qui amènera l‟enfant à
compter les jetons.
Extrait 65
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M:
7I :
8M :
9I:
10M:
11I:
12M:
13I:
14M:
15I:
16M:
[…] Comment tu fais pour le savoir? Est-ce qu‟on peut utiliser un truc?
Non.
Que Simon nous a donné?
Non.
Non?
Oui.
Oui. C‟est quoi le truc que Simon nous a donné?
(Pointe les rouges.) Lui.
Mais c‟est quoi le truc pour savoir? Est-ce qu‟on sait combien il y en a des jetons?
Oui.
Combien?
(Compte les rouges.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Ah! I‟ a 7 rouges. Et des bleus, il y en a combien?
(Compte les bleus.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Où est-ce qu‟i‟ en a plus?
(Pointe les bleus.) Ici. […]
L‟extrait 65 démontre que Marianne ne recourt pas d‟emblée à la correspondance terme à
terme ni au comptage pour résoudre la tâche proposée par l‟intervenante. Par contre,
lorsque l‟adulte lui demande si elle sait « combien » il y a de jetons, Marianne comprend
que, pour ce faire, elle doit les dénombrer [lignes 9 à 14].
Par la suite, l‟adulte questionne l‟enfant pour savoir laquelle des deux collections comporte
le plus de jetons.
Extrait 66
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M:
7I :
8M :
9I:
10M:
11I:
12M:
13I:
14M:
15I:
16M:
[…]Les rouges, i‟ en a combien?
(Pointe les rouges.) Ici.
I‟ en a combien?
(Compte les rouges.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
P‟is des bleus, i‟ en a combien?
(Compte les bleus et en oublie un.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
7 et … (Pointe celui qui manque.)
8.
Où est-ce qu‟i‟ en a plus?
Dans 8.
Dans 8. Où est-ce qu‟i‟ en a moins?
Dans 7.
Dans 7. Est-ce que c‟est égal?
Non.
Est-ce que i‟ en a plus ici [bleus], ici [rouges] ou c‟est pareil?
C‟est pareil.
151
17I :
18M:
19I :
20M:
21I :
22M:
23I :
24M:
25I :
26M:
27I :
28M:
29I :
30M:
31I :
32M:
7 et 8, c‟est pareil?
Non.
Est-ce que c‟est pareil, i‟ en a plus ici [bleus] ou plus ici [rouges]?
(Pointe les rouges.) Ici.
(Pointe les rouges.) Ici, i‟ en avait combien?
7.
(Pointe les bleus.) Et ici, i‟ en avait combien?
8.
(Pointe les rouges.) Est-ce qu‟ici, i‟ en a plus?
Non.
Non. Où est-ce qu‟il y en a plus?
Dans 7.
Dans 7 i‟ en a plus que dans 8?
Non, i‟ en a moins.
I‟ en a moins que dans 8. Donc, où est-ce qu‟il y en a plus? Quelle couleur?
(Pointe les bleus.) Bleus. […]
Une fois les jetons bien comptés, elle répond aux questions par le dernier élément dit par
l‟adulte, en utilisant l‟effet de récence [lignes 15-16; 19-20]. Par contre, quand l‟adulte ne
lui formule pas de choix de réponses, elle arrive à identifier que 8 est plus grand que 7
[lignes 9 à 12; 21 à 26; 29 à 32], ce qui constitue une avancée par rapport aux trois
premières évaluations où Marianne ne parvenait pas à mettre les cardinaux de deux
collections en relation [extraits 4; 22; 41], mais cette avancée demeure très fragile comme il
sera possible de le noter dans l‟extrait 67 qui suit.
Par la suite, l‟intervenante modifie les collections qui sont présentes sur la table, elle retire
l‟ensemble des jetons sous les yeux de l‟enfant et dispose deux nouvelles collections de six
jetons chacune, en poursuivant le même but, c‟est-à-dire de vérifier comment allait
procéder l‟enfant pour comparer les deux collections.
Figure 46 : Comparaison de collections égales d‟objets identiques présentées à l‟enfant en
juillet 2013
152
Extrait 67
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M:
7I :
8M :
9I:
10M:
11I:
12M:
13I:
14M:
15I:
16M:
17I :
18M:
19I :
20M:
21I :
22M:
23I :
24M:
[…]Tu m‟as dit : ici [rouges], i‟ en a 6 et ici [bleus], i‟ en a 6. Est-ce qu‟il y a un côté qui en a plus?
Non.
Non?
Oui.
Oui? Lequel?
Le bleu.
Le bleu? I‟ en a combien le bleu?
(Compte les bleus.) 1, 2, 3, 4, 5, 6.
6, wow bravo! Et les rouges, i‟ en a combien?
(Compte les rouges.) 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Les bleus, i‟ en a 6 et les rouges, i‟ en a 6. Où est-ce qu‟i‟ en a plus?
Oui.
Où est-ce qu‟i‟ en a plus?
(Pointe les rouges.) Ici.
Les rouges? Tantôt c‟étaient les bleus, maintenant ce sont les rouges. C‟est lequel qui en a plus? Est-
ce qu‟i‟ en a un qui en a plus?
Non.
Non. Qu‟est-ce que ça veut dire si i‟ en a pas un qui en a plus?
(Pointe les bleus.) C‟est les rouges.
Tu me dis les rouges et tu me montres les bleus. J‟ pense que t‟ es dans les …
PATATES! (Rigole.) […]
(Pointe les rouges.) Ici, tu m‟as dit les rouges i‟ en a 6. Et les bleus, tu m‟as dit i‟ en a 6. Est-ce qu‟i‟
a un côté qui en a plus?
Oui.
Oui? Lequel?
(Pointe les bleus.)[…]
Quand deux collections comportant le même nombre de jetons lui sont proposées,
Marianne ne parvient pas à établir l‟égalité quand elles comportent 6 jetons. Elle est en
mesure de bien dénombrer chacune des collections [lignes 8; 10], mais ce dénombrement
ne tient pas lieu de cardinal de collection pouvait être utilisé comme outil de comparaison.
Elle énonce parfois qu‟il y a plus de bleus [lignes 6; 24] et parfois qu‟il y a plus de rouges
[lignes 14; 18]. Jamais Marianne ne soulève l‟hypothèse d‟égalité. Ceci n‟est pourtant pas
lié au langage, mais représente bel et bien un nœud d‟ordre conceptuel puisque, pour
faciliter la comparaison à partir d‟un nombre plus petit, la même tâche est reprise en
réduisant les collections à quatre jetons de chaque côté. Très clairement et de manière
stable, Marianne postule l‟égalité.
Extrait 68
1M :
2I :
3M :
4I:
[…] (Compte les rouges.) 1, 2, 3, 4.
Et des bleus, i‟ en a … (Laisse l’enfant compléter.)
(Ne compte pas les bleus.) 4.
Qu‟est-ce que ça veut dire? Les rouges i‟ en a 4 et les bleus i‟ en a 4?
153
5M:
6I :
7M :
8I:
9M:
10I:
11M:
12I:
13M:
14I:
15M:
(Compte les bleus.) 1, 2, 3, 4.
Les rouges i‟ en a 4 et les bleus i‟ en a 4. Est-ce qu‟il y a un côté où i‟ en a plus?
Non.
Ça veut dire qu‟ils sont … (Laisse l’enfant compléter.)
Égal.
Égal. Est-ce que les bleus i‟ en a plus?
Oui… Non!
Est-ce que les rouges i‟ en a plus?
Non.
Ils sont … (Laisse l’enfant compléter.)
Égal! […]
Quand les collections sont réduites à quatre jetons de chaque côté, Marianne est en mesure
non seulement de les dénombrer correctement [lignes 1; 5], mais elle parvient également à
reconnaître l'aspect cardinal du nombre 4. Elle ressent le besoin de compter les jetons dès le
départ pour énoncer qu'il y a quatre jetons rouges [ligne 1].
Lors de cet item, l‟intervenante demande à Marianne de comparer deux collections
de jetons pour identifier laquelle est la plus nombreuse, donc qui contient le plus
grand cardinal. Marianne dénombre correctement les jetons en utilisant
correctement la correspondance terme à terme entre le mot nombre énoncé et
l'élément dénombré. Par contre, même si elle est en mesure d'affirmer à quelques
reprises que 7 8, lorsque l'intervenante la questionne à propos des collections de
jetons, elle ne réussit pas à affirmer que la collection de huit jetons bleus est plus
nombreuse que celle de sept jetons rouges. Quand deux collections de même
cardinal lui sont présentées, elle réussit à les dénombrer correctement, mais elle
n'est pas en mesure d'établir leur égalité lorsque leur cardinal est 6. Par contre, elle
y arrive lorsque leur cardinal est 4.
5.4.2.2 Item 2 : Comparaison de collections d’objets différents (correspondance
terme à terme)
L‟intervenante place sur la table une rangée de trois images de pomme et une de quatre
images de framboise. Elle demande alors à l‟enfant d‟identifier quelle rangée est la plus
nombreuse. Cet item sert à vérifier si l‟enfant est en mesure de comparer des collections
d‟objets différents et comment elle procède pour le faire : en se fiant à l‟aspect figural de la
collection ou en établissant une opération comme la correspondance terme à terme ou le
comptage.
154
Figure 47 : Comparaison de collections d‟objets différents en juillet 2013
Extrait 69
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M:
7I :
8M :
9I:
10M:
11I:
12M:
13I:
14M:
15I:
16M:
17I:
18M:
19I:
20M:
21I:
22M:
23I:
24M:
[…] Tu te souviens, avec les jetons. Quand on avait des jetons bleus et des jetons rouges, J‟ te
demandais : « Où est-ce qu‟il y en a plus? » et tu m‟as trouvé un truc. C‟était quoi notre truc pour
savoir combien i‟ en avait?
Les framboises.
Tu penses que c‟est les framboises qu‟i‟ a plus? C‟est vrai?
Oui.
O.K. Comment on fait pour le savoir? I‟ en a combien des framboises? Est-ce qu‟on le sait?
Où est-ce qu‟il y en a plus? [...] I' a combien de framboises?
(Compte les framboises.) 1, 2, 3, 4.
4. Et i‟ a combien de pommes?
(Compte les pommes.) 1, 2, 3.
3. Où est-ce qu‟il y en a plus?
(Ne regarde pas et met sa main au-dessus des deux rangées.) Ici.
C‟est où ici?
(Fait un rond au-dessus des deux rangées.) Là.
Tout ensemble?
Non!
Non. Où est-ce qu‟il y en a plus? […] I‟ a combien de pommes?
(Compte les pommes.) 1, 2, 3.
Et des framboises?
(Compte les framboises.) 1, 2, 3, 4.
Où est-ce qu‟il y en a plus?
(Passe sa main au-dessus des fruits.) Ici.
Est-ce que c‟est pareil 3 et 4?
Non.
Lequel qui en a plus? Les framboises ou les pommes?
Les framboises. […]
Marianne n'utilise pas d'emblée le comptage comme outil de comparaison entre les deux
collections et elle identifie tout de suite qu'il y a plus de framboises [lignes 1 à 4]. Lorsque
l'intervenante lui demande « Combien? », elle exécute un comptage [lignes 5-6]. Elle
parvient à différencier les deux cardinaux en jeu, soit 3 et 4, pour énoncer qu'il y a plus de
framboises, sans recourir à l'effet de récence [lignes 21 à 24]. De plus, Marianne ne se
laisse pas influencer par l'aspect figural des deux collections : en effet, elle répond qu'il y a
plus de framboises, même si la rangée de pommes, qui contient trois éléments, est plus
longue. Ceci représente une belle avancée pour Marianne.
155
Lors de cet item, l‟intervenante demande à Marianne de comparer deux collections
inégales d‟objets non identiques pour identifier celle qui est la plus nombreuse.
Marianne est en mesure d'identifier qu'il y a plus de framboises avant même de
recourir au comptage et même si l'aspect figural peut indiquer le contraire. Elle
semble laisser de côté cet indice figural qu'elle utilisait systématiquement pour
déterminer la collection qui contenait le plus grand cardinal. Maintenant, elle
parvient à comparer des collections de 3 et 4 éléments et à affirmer qu'il y a plus
de framboises. Le fait que Marianne délaisse l'aspect figural pour utiliser des
outils plus mathématiques représente une belle avancée. De plus, ici, les nombres
3 et 4 ont vraiment un sens cardinal qui permet à Marianne de les comparer.
5.4.2.3 Item 3 : Conservation de quantités continues
L‟intervenante présente deux boules de pâte à modeler de même taille à l‟enfant en lui
demandant si l‟une des deux boules contient plus de pâte. Lorsque l‟enfant a établi l‟égalité,
l‟intervenante prend une des deux parts et la transforme à trois reprises sous les yeux de
l‟enfant, soit en rouleau, en galette puis en miettes. À chaque fois, elle questionne l‟enfant
pour savoir si l‟une des deux parts contient plus de pâte à modeler. Cet item a pour but de
vérifier si l‟enfant comprend la conservation de quantités continues et si elle est capable de
faire abstraction des transformations effectuées par l‟adulte par des arguments d‟identité, de
réversibilité ou de compensation qui feraient de la conservation une réelle opération.
Figure 17 : Première transformation effectuée avec la pâte à modeler
Extrait 70
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M:
7I :
8M :
9I:
10M:
[…] Si je prends la boule et que je fais un rouleau comme ça avec. (La boule rouge est alors
transformée en rouleau.) Où est-ce qu‟i‟ en a plus?
(Pointe la boule jaune et le rouleau rouge.) Ici, ici.
Ça veut dire qu‟ils sont … (Laisse l’enfant compléter.)
Pareils.
Sont pareils?
Sont différents.
Sont pareils ou sont différents?
Différents.
Où est-ce qu‟i‟ a le plus de pâte à modeler? Est-ce qu‟i‟ en a un qui a plus de pâte à modeler?
Non.
156
11I:
12M:
Ça veut dire qu‟i sont … (Laisse l’enfant compléter.)
Pareilles. […]
À la suite de la première transformation, Marianne postule l‟égalité, ce qui fait foi de la
construction de la conservation. En effet, au départ, elle indique à l'intervenante que la
boule jaune et le rouleau rouge contiennent plus de pâte [lignes 1-2], cette formulation peut
vouloir dire qu'elle considère les deux parts de pâte à modeler comme équivalentes, ce
qu'elle confirme en énonçant qu'elles sont pareilles en complétant les propos de l'adulte
[lignes 4; 11-12]. Toutefois, on peut constater qu'il semble exister encore un léger doute
chez elle quand elle énonce qu'ils sont « différents » [lignes 6; 8] lorsque l'intervenante lui
demande s'ils sont pareils, en reprenant ses propos [ligne 5]. Malgré cela, la conservation
semble construite plus solidement que lors de l'évaluation de février 2013, car l‟hésitation
de l‟enfant ne perdure pas.
L‟intervenante prend le rouleau rouge et le transforme en boule de même grosseur que celle
de référence. Puis, elle reprend la boule rouge et la transforme en galette devant les yeux de
l‟enfant.
Figure 18 : Deuxième transformation effectuée avec la pâte à modeler
Extrait 71
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M:
7I :
8M :
9I:
10M:
11I:
12M:
13I:
14M:
15I:
[…] (Pointe la jaune.) Celle-là, on la laisse comme ça. Si je prends la rouge et que je fais ça.
(L’écrase pour faire une galette.) Est-ce qu‟i‟ a un endroit où i‟ a plus de pâte?
Oui.
Où?
(Pointe la galette rouge.) Ici.
Est-ce qu‟il y en a plus ici [galette rouge], ici [boule jaune] ou c‟est pareil?
C‟est pareil.
C‟est pareil. Est-ce que c‟est pareil, i‟ en a plus ici [boule jaune] ou ici [galette rouge]?
(Pointe la galette rouge.) Ici.
P‟is, est-ce que i‟ en a plus ici [boule rouge], c‟est pareil ou i‟ en a plus ici [boule jaune]?
I‟ en a plus ici [boule jaune].
O.K. C‟est lequel qui en a plus?
(Met sa main par-dessus la boule jaune pour toucher la galette rouge.) Là.
Les deux, est-ce qu‟i‟ sont pareilles?
Oui. (Pause.) Non. (Pause.) Oui.
Hum? Tu m‟as dit toutes les réponses. Est-ce qu‟elles sont pareilles?
157
16M:
17I:
18M:
19I:
20M:
21I:
22M:
B‟en oui.
Oui? Est-ce qu‟il y a un endroit où i‟ en a plus?
(Prend la galette rouge et la boule jaune dans ses mains.) Oui. […]
Est-ce qu‟i‟ a un endroit entre les deux où est-ce qu‟i‟ en a plus?
Oui.
Lequel?
(Pointe la galette rouge.) Ici. […]
Lors de cette seconde transformation, Marianne répond aux questions de l‟intervenante par
l‟effet de récence dans la majorité des cas [lignes 5-6; 7-8; 9-10]. Lorsque l‟intervenante lui
demande si les deux parts de pâte à modeler sont pareilles, elle répond par l‟affirmative
[lignes 14; 16]. Par contre, elle affirme également qu‟il y en a un endroit où il y en a plus
[lignes 14-18; 19-20]. Même si elle semble parfois indiquer qu‟elle comprend que la
quantité de pâte à modeler est toujours la même malgré les transformations apportées par
l‟adulte en pointant, à la fois, la boule et la galette [ligne 18], sa compréhension de la
conservation est encore fragile. En effet, à la fin de l‟échange, Marianne affirme que la
galette contient plus de pâte [ligne 22].
L‟intervenante prend la galette rouge et la transforme en boule de même grosseur que celle
de référence. Puis, elle reprend la boule rouge et la transforme en miettes devant les yeux
de l‟enfant.
Figure 19 : Troisième transformation effectuée avec la pâte à modeler
Extrait 72
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M:
7I :
8M :
9I:
[…] Oui, regarde. Si j‟ fais ça (Prend la boule rouge et l’émiette.), où est-ce qu‟i‟ en a plus?
(Pointe les miettes rouges.) Ici.
Ici. Est-ce qu‟il y en a plus ici [miettes rouges], ici [boule jaune] ou c‟est pareil?
(Met sa main au dessus des miettes rouges.) C‟est pareil.
C‟est pareil, i‟ en a plus ici [miettes rouges] ou ici [boule jaune]?
(Pointe la boule jaune.) Ici.
Ici. Est-ce qu‟il y en a plus ici [boule jaune], c‟est pareil ou il y en a plus ici [miettes rouges]?
(Pointe les miettes rouges.) Ici.
Où est-ce qu‟i‟ en a plus? Est-ce qu‟il y a un endroit où i‟ en a plus?
158
10M:
11I:
12M:
13I:
14M:
15I:
16M:
17I:
18M:
19I:
20M:
21I:
22M:
23I:
24M:
25I:
26M:
Oui.
C‟est où?
À la maison.
(Rit.) Mais entre la jaune et la rouge, est-ce qu‟il y a un endroit où i‟ en a plus?
Oui.
Où?
(Regarde ailleurs et ne répond pas.)
Sur la table ici, est-ce qu‟il y a un endroit où il y en a le plus?
Oui.
Où?
(Pointe les miettes rouges.) Ici.
Ici. (Pointe la boule jaune.) Ça veut dire qu‟ici i‟ en a … (Laisse l’enfant compléter.)
Pareil. Plus. […]
Est-ce qu‟il y a un endroit où i‟ en a plus?
Oui.
Où?
(Pointe les miettes rouges.) Ici. […]
Le raisonnement de Marianne, lors de ces épreuves, témoigne d‟un début de compréhension
de la conservation. Si, lors de la transformation de la boule en rouleau, Marianne parvient à
établir la conservation entre les deux parts de pâte [extrait 70], ce début de conservation
n‟est pas observable avec les autres transformations. En effet, lors des deux autres
transformations, Marianne fait preuve d‟une absence de conservation en affirmant que la
galette et les miettes contiennent plus de pâte à modeler que la boule de référence [extrait
71, ligne 22; extrait 72, ligne 26]. Dans ce dernier extrait, bien qu‟elle réponde en utilisant
l‟effet de récence [lignes 1 à 8], Marianne pointe les miettes rouges, même si, par effet de
récence, elle énonce que les deux parts sont pareilles [ligne 4]. Marianne semble
comprendre qu‟elle ne peut plus seulement répondre aux questions de l‟adulte en reprenant
le dernier élément nommé, elle doit se fier à ses propres conclusions, d‟où la réponse finale
qu‟il y avait plus de pâte dans les miettes [lignes 23 à 26].
Lors de cet item, l‟intervenante propose deux parts égales de pâte à modeler à
l‟enfant. Par la suite, elle réalise trois transformations avec l‟une des deux parts
devant ses yeux : une fois en rouleau, une fois en galette et une fois en miettes. À
chaque fois, l‟enfant doit se prononcer sur les quantités de pâte à modeler dans
chaque part. Lors de la transformation de la boule en rouleau, Marianne fait
preuve de conservation en énonçant que les deux parts de pâte sont pareilles. Ceci
montre le début d‟une révolution cognitive : l‟émergence de la conservation des
quantités continues. Par contre, lors des autres transformations, elle recourt encore
à l‟aspect perceptif pour énoncer que la galette et les miettes contiennent plus de
pâte.
159
5.4.2.4 Item 4 : Conservation de quantités discontinues
D‟abord, l‟intervenante dresse une rangée de cinq images de pomme. L‟enfant, pour sa
part, doit construire une rangée équivalente avec des images de framboise. Cet item vise à
vérifier la capacité de l‟enfant à établir une conservation des quantités à la suite d‟une
transformation de l‟aspect figural de l‟une des deux collections.
Figure 48 : Rangée d‟images présentée à l‟enfant en juillet 2013
Figure 49 : Construction d‟une rangée équivalente en juillet 2013
Extrait 73
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M:
7I :
8M :
9I:
10M:
11I:
12M:
[…] (Place 5 images de pommes en rangée sur la table.) Tu vois les pommes que j‟ai mises? Est-ce
que tu les vois bien?
Oui.
Je vais te donner des framboises et le chef cuisinier veut faire une salade de fruits avec des pommes et
des framboises. Là, il a demandé notre aide, parce qu‟il dit Marianne et Isabelle se sont des
championnes dans ces jeux-là. Il m‟a dit que pour faire la salade de fruits, il a besoin d‟avoir le même
nombre de pommes et de framboises. Est-ce que tu es capable de lui donner le même nombre de
framboises que son nombre de pommes?
Oui.
Vas-y. Le chef cuisinier a besoin de toutes ces pommes-là et il a besoin de la même chose de
framboises. Est-ce que t‟es capable de lui donner?
(Prend une pomme dans ses mains.)
Tu dois mettre le même nombre de framboises qu‟il y a des pommes.
(Prend les framboises une à une, les enligne avec les pommes et s’arrête à 5.)
Est-ce que c‟est pareil?
Oui.
Oui! Bravo! T‟en a mis combien des framboises?
(Compte les framboises.) 1, 2, 3, 4, 5.
160
13I:
14M:
15I:
16M:
Et i‟ a combien de pommes?
(Compte les pommes.) 1, 2, 3, 4, 5.
Si j‟ai 5 pommes et 5 framboises, qu‟est-ce que ça veut dire?
C‟est pareil. […]
Ici aussi, il est possible de souligner la révolution cognitive de Marianne. En effet, de
manière concomitante au début de la conservation des quantités continues, on peut voir ici
que Marianne utilise spontanément la correspondance terme à terme pour établir une
collection équivalente. Elle arrive à construire une collection de framboises équivalente à
celle de cinq pommes déjà placée par l‟intervenante en utilisant spontanément la
correspondance terme à terme, sans soutien et sans que ce ne soit une suggestion de l‟adulte
[ligne 8]. Il s‟agit d‟une avancée chez Marianne. Dans le cadre de cette tâche, la
correspondance terme à terme est utilisée comme un début d‟opération permettant la
construction d‟une collection équivalente à une déjà construite. Sous la demande de
l‟adulte, elle recourt au comptage pour identifier le nombre de pommes et de framboises
présentes sur la table [lignes 11-12; 13-14].34
Dans un second temps, l‟intervenante prend les cinq images de framboise et les déplace sur
la table, de manière à ce que cette rangée soit étirée par rapport à son apparence initiale.
Cette rangée dépasse alors la rangée équivalente de cinq pommes.
Extrait 74
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M:
7I :
8M :
9I:
10M:
11I:
[…] Regarde bien. Si je fais ça. (Prend la rangée de framboises et l’étire pour qu’elles soient très
espacées et que la rangée dépasse celle des pommes.) Est-ce qu‟i‟ en a un des deux qui en a plus?
Oui.
Lequel?
(Pointe les framboises.) Lui.
C‟est lequel?
Les framboises.
I‟ a plus de framboises, c‟est vrai? I‟ en a combien maintenant?
(Compte les framboises.) 1, 2, 3, 4, 5.
P‟is les pommes, i‟ en avait combien?
(Compte les pommes.) 1, 2, 3, 4, 5.
Est-ce qu‟i‟ en a un qui en a plus?
34 Cependant, il est vrai ici que l‟item a été contextualisé autour de la fabrication d‟une salade de fruits, ce qui
a pu influencer les réponses et les productions de l‟enfant. Il n‟en demeure pas moins que l‟on observe ici
une avancée majeure qui doit être soulignée.
161
12M:
13I:
14M:
15I:
16M:
17I:
18M:
Oui.
Lequel? […] I‟ a 5 pommes et 5 framboises, est-ce qu‟il y en a un des deux qui en a plus?
Oui.
Est-ce que tu peux dire lequel en a plus?
Oui. […]
C‟est lequel?
Les framboises. […]
Même si Marianne est en mesure de construire une rangée équivalente [extrait 73], par
l‟intermédiaire de la correspondance terme à terme marquant un début ou une assise de
l‟opération, l‟extrait 74 démontre que l‟opération de correspondance terme à terme n‟est
pas construite étant donné que l‟enfant n‟imagine pas le retour possible à la correspondance
qu‟elle a établie pour maintenir l‟égalité (par l‟argument de réversibilité). Au contraire,
lorsque l‟apparence de l‟une des rangées est modifiée par l‟intervenante, elle répond que
l‟une des deux rangées comporte plus d‟éléments que l‟autre, dans ce cas-ci, plus de
framboises [lignes 4; 6; 18]. Cela prouve que la conservation des quantités discontinues
n‟est toujours pas construite chez Marianne.
Lors de cet item, l‟intervenante présente une rangée de cinq images de pomme à
Marianne. Cette dernière doit construire une rangée équivalente avec des images
de framboise. Marianne réussit cette tâche en utilisant spontanément la
correspondance terme à terme pour construire sa rangée. Elle dispose une
framboise en correspondance avec chaque pomme. Malgré cela, même si elle est
en mesure de compter les deux rangées de cinq éléments, leur cardinal ne peut pas
encore être utilisé comme outil de comparaison. Lorsque l‟apparence de l‟une des
deux rangées est modifiée par l‟intervenante, Marianne semble raisonner les
quantités en se basant sur l‟aspect figural des collections, comme elle le faisait
précédemment. Cela témoigne qu‟elle n‟a pas encore construit la conservation des
quantités discontinues.
5.4.2.5 Item 5 : Comptage
Sans utiliser de matériel, l‟intervenante demande à l‟enfant de compter le plus loin possible.
Cette demande a pour but de vérifier l‟étendue de la chaîne numérique de l‟enfant.
162
Extrait 75
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M:
7I :
8M :
9I:
10M:
11I:
12M:
13I:
14M:
15I:
16M:
17I:
18M:
19I:
20M:
21I:
22M:
23I:
24M:
25I:
26M:
27I:
28M:
29I:
30M:
[…] Est-ce que tu peux compter le plus loin possible, comme si tu voulais jamais arrêter pour montrer
comment t‟ es bonne?
Oui.
Vas-y.
Jusqu‟à quoi?
Le plus loin possible, jusqu‟à temps que tu sois dans les patates.
[…] (Compte sans erreur jusqu’à 48). 49, 30!
Après 49, c‟est … (Laisse l’enfant compléter.)
(Ne répond pas.)
48, 49, … (Laisse l’enfant compléter.)
50.
50! Qu‟est-ce qui vient ensuite?
(Compte sans erreur de 50 à 58.) 59, 30.
Qu‟est-ce qui vient après 59?
60.
60! Qu‟est-ce qui vient ensuite?
62.
Après 60, c‟est … (Laisse l’enfant compléter.)
(Ne répond pas.)
59, 60, … (Laisse l’enfant compléter.)
61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 69.
Qu‟est-ce qui vient après? Est-ce que tu l‟ sais?
69.
69, qu‟est-ce qui vient ensuite?
Soixante-troi… Soixante-trente.
Soixante-trente.
70.
70.
69.
69.
Soixante-quarante.
Marianne parvient à compter seule jusqu‟à 69, sans erreur [lignes 6; 12; 14; 20]. Ensuite,
elle enchaîne avec soixante-trente et soixante-quarante [lignes 24; 30]. Il s‟agit d‟une
amélioration par rapport aux évaluations précédentes où elle comptait jusqu‟à 55 [extrait
50].
Ensuite, l‟intervenante lui demande de compter en tenant compte d‟une borne supérieure
fixée à 20.
Extrait 76
1I :
2M :
3I :
4M :
[…] Maintenant, est-ce que tu peux compter jusqu‟à 20?
Oui.
Vas-y.
(Compte jusqu’à 20 sans erreur.) […]
163
Contrairement aux évaluations précédentes, Marianne réussit à compter jusqu‟à 20, sans
soutien de la part de l‟intervenante [ligne 4].
Extrait 77
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M:
7I:
8M:
9I:
10M:
11I:
12M:
[…] Est-ce que tu peux compter en commençant à 5?
Après on arrête?
On commence à 5 et on continue.
1.
On commence avec 5. 5, … (Laisse l’enfant compléter.)
6, 7, 8, 9, 10, 11. C‟est assez.
Oui, on commençait à 5, c‟est bizarre hein? On dirait qu‟on est dans les patates! Mais t‟ es bonne!
Est-ce que t‟es capable de commencer avec 11?
Oui.
Vas-y.
1.
On commence avec 11, vas-y. 11… (Laisse l’enfant compléter.)
11, 12, 13, 14. […]
Lors de cette évaluation, Marianne arrive à compter en tenant compte d‟une borne
inférieure fixée par l‟adulte. Avec un léger soutien de l‟adulte, elle réussit à compter à
partir de 5 [lignes 5-6] et à partir de 11 [lignes 11-12].
Ensuite, l‟intervenante a demandé à Marianne de compter en considérant, à la fois, une
borne inférieure fixée à 5 et une borne supérieure fixée à 20. Cette demande a pour but de
vérifier si la chaîne numérique de Marianne est sécable ou non.
Extrait 78
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M:
[…] Maintenant, est-ce que tu peux commencer avec 5 et on arrête à 20?
Oui.
D‟accord, on commence avec 5. 5 … (Laisse l’enfant compléter.)
20!
Oups, 5, 20. (Rit.)
(Rit et compte de 5 à 20 sans erreur.) […]
Marianne parvient à considérer les deux bornes à la fois, sans difficulté [ligne 6]. Cela
permet de constater que sa chaîne numérique est sécable sur une plus grande étendue que
lors des évaluations précédentes.
Finalement, il lui a été demandé de compter à rebours à partir de 9 et de 12. Ceci permet de
vérifier si la chaîne numérique de l‟enfant est dénombrable.
164
Extrait 79
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M:
7I:
8M:
9I:
10M:
11I:
12M:
13I:
14M:
15I:
16M:
17I:
18M:
19I:
20M:
21I:
22M:
23I:
24M:
25I:
26M:
27I:
28M:
29I:
30M:
31I:
32M:
[…] Maintenant, on va commencer à 9.
Après ça, on arrête?
Jusqu‟à 1 et après ça, c‟est terminé. 9, qu‟est-ce qui vient avant?
1.
Tout de suite? (Rit.)
Non. (Rit.) 10.
10, ça c‟est après. Bravo! Qu‟est-ce qui vient avant 9? 9, … (Laisse l’enfant compléter.)
8. (Ne répond plus).
On descend jusqu‟à 1 et c‟est terminé. 9, 8.
7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.
T‟ es bonne, bravo! Est-ce que tu serais capable de commencer à 12, tu penses? Est-ce que tu penses
que tu serais capable?
B‟en oui! (Rit.)
Tu penses? Ah b‟en, ça c‟est vraiment une tâche de 6e année.
Non, de 7e année!
De 7e année même! J‟ pense que tu as raison! Tu penses que tu serais capable? […] Tu penses que tu
serais capable de commencer à 12? Vas-y!
(Rit.)
On commence avec 12 et on descend jusqu‟à 1. […] 12, qu‟est-ce qui vient avant?
11.
(Acquiesce.)
10, 9, 8, 7. Après?
Avant.
6, 5, 4, 3. (Regarde ailleurs.) 3.
3. Et on descend jusqu‟à 1. Qu‟est-ce qui vient avant 3?
2!
2, et … (Laisse l’enfant compléter.)
Stop!
On arrête à 2?
Non, à 1.
À 1. Qu‟est-ce qu‟i‟ manque?
(Ne répond pas.)
Tu m‟as dit : 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, qu‟est-ce qu‟i‟ manque?
1! […]
Avec un soutien de la part de l‟intervenante, Marianne parvient à compter à rebours à partir
de 9 [lignes 7 à 10] et à partir de 12 [lignes 17-18; 20; 22; 24; 31-32]. Cela indique que le
petit nombre est plus solide chez Marianne que lors des évaluations précédentes. Le fait
qu‟elle soit capable de compter à rebours à partir de 12 indique que le nombre 12 fait
maintenant partie de sa chaîne numérique sécable.
165
Lors de cet item, on cherche à vérifier la construction de la chaîne numérique de
l‟enfant. Marianne arrive à compter seule jusqu‟à 69. Elle parvient également à
compter à partir d‟une borne inférieure fixée à 11, de compter jusqu‟à une borne
supérieure fixée à 20, de considérer, à la fois, une borne inférieure fixée à 5 et une
borne supérieure fixée à 20. De plus, contrairement à l‟évaluation précédente, elle
est en mesure de compter à rebours à partir de 12, ce qui peut laisser croire que le
nombre 12 se trouve à l‟intérieur de sa chaîne numérique sécable. Cette avancée
dans la chaîne n‟est cependant pas garante de l‟aspect cardinal du nombre puisque
au même moment, Marianne ne fait pas toujours preuve de conservation et elle
énonce qu‟une collection dont l‟apparence est modifiée change de quantité (extrait
74).
5.4.2.6 Item 6 : Cardinalité
La compréhension de la cardinalité chez l‟enfant a été vérifiée, entre autres choses, à l‟aide
de deux tâches distinctes. Lors de la première tâche, l‟intervenante dresse une collection de
onze bâtonnets devant l‟enfant. Cette dernière doit identifier le nombre de bâtonnets
présents sur la table.
Figure 40 : Présentation d‟une rangée de bâtonnets à l‟enfant
Extrait 80
1I :
2M :
3I :
4M :
5I:
6M :
7I:
8M:
[…] Ma belle Marianne, combien il y en a sur la table?
Je sais pas.
Comment on peut faire pour savoir combien il y en a?
(Entreprend le comptage et s’arrête.) 1, 2, 3.
Il y en a juste 3?
Non.
Ah. I‟ en a combien? […] T‟ as combien de bâtonnets sur la table?
(Compte les bâtonnets avec son doigt.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. […]
Comme c‟était le cas en février 2013, lorsque la rangée de bâtonnets lui est présentée,
Marianne est en mesure de bien utiliser le comptage et la correspondance terme à terme
166
entre le mot nombre énoncé et l‟élément dénombré pour connaître le nombre de bâtonnets
[ligne 8].
Devant les yeux de l‟enfant, l‟intervenante prend tous les bâtonnets dans ses mains et les
dépose de façon pêle-mêle sur la table.
Figure 41 : Première modification d‟une rangée de bâtonnets
Extrait 81
1I :
2M :
[…] (Prend tous les bâtonnets, en fait un tas et les éparpille sur la table.) Si je fais ça, il y en a
combien?
(Compte les bâtonnets avec son doigt.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. […]
À la suite du premier déplacement effectué par l‟intervenante, Marianne recompte les
bâtonnets pour répondre à la question [ligne 2]. À ce moment, elle ne semble pas faire
preuve de conservation : même si aucun élément n‟a été ajouté ou retiré, elle ressent le
besoin de compter les bâtonnets de nouveau.
Devant les yeux de l‟enfant, l‟intervenante prend tous les bâtonnets dans ses mains et les
dépose en une rangée sur la table, comme ils étaient positionnés au début. Elle demande
d‟abord à l‟enfant combien il y en a et ensuite, combien il y en a si on commence par la fin
(donc en comptant de droite à gauche, plutôt que de gauche à droite).
Figure 40 : Présentation d‟une rangée de bâtonnets à l‟enfant
Extrait 82
1I :
(Prend les bâtonnets qui étaient éparpillés sur la table et reforme une rangée horizontale.)
Maintenant, il y en a combien?
167
2M :
3I :
4M :
5I:
6M :
7I :
8M :
9I :
10M:
11I :
12M:
13I :
14M:
15I :
16M:
17I :
18M:
19I :
20M:
21I:
22M:
23I:
24M:
(Compte les bâtonnets en comptant deux fois le même.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
On en a 12 maintenant?
Oui.
Est-ce que tu penses que tu penses que tu es dans les patates?
Oui.
Ah! On va les recompter, moi, j‟ pense que t‟es dans les patates. Recommence.
(Rit.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
Et si je fais … (Pointe de droite à gauche.) Si on compte comme ça, il va en avoir combien?
(Ne répond pas.)
Quand tu as compté comme ça (Pointe de gauche à droite.), il y en avait 11.
(Dit quelque chose d’inaudible.)
Ouais, quand on compte comme ça [de gauche à droite], i‟ en a 11. Si on compte comme ça [de droite
à gauche], i‟ va en avoir combien?
1.
I‟ en a juste 1?
Non.
I‟ va en avoir combien?
(Ne répond pas.)
(Pointe le premier en commençant par la droite.) Si on commence par celui-là, tu penses qu‟il va en
avoir combien?
11.
Tu penses qu‟i‟ va en avoir 11? Est-ce qu‟on vérifie? (Toujours le doigt pointé vers le bâton.)
Commence ici.
1…
(Retire son doigt.) Vas-y.
(Prend les bâtonnets pendant qu’elle les compte et déplace ceux qu’elle a comptés pour qu’ils
reforment une ligne de gauche à droite.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. […]
Lors du premier recomptage, Marianne fait une méprise [ligne 2]. Pour tenter de rectifier le
tout, l‟intervenante lui suggère qu‟elle « est dans les patates », une formulation utilisée lors
de l‟année d‟intervention pour dédramatiser l‟erreur et pour ne pas décourager l‟enfant
[lignes 5 à 7]. Une fois les bâtonnets bien comptabilisés, Marianne pose l‟hypothèse qu‟il y
aurait onze bâtonnets en comptant de droite à gauche [lignes 19-20]. Pour se vérifier, elle
entreprend de déplacer les éléments comptés pour les replacer en commençant de la gauche
à la droite. Il s‟agit d‟une belle procédure utilisée spontanément par Marianne. De plus, la
compréhension du principe de non-pertinence de l‟ordre lors d‟un comptage est une
avancée pour Marianne. En effet, maintenant, elle est en mesure d‟énoncer qu‟une
collection comportera le même nombre de jetons si l‟on commence à compter à partir d‟un
autre endroit, comme ici de la droite à la gauche [lignes 19-20].
Lors de la deuxième tâche, cinq images de dame sont déposées sur la table devant
Marianne. Cette dernière est invitée à aller au magasin pour chercher une robe, des
chaussures et trois bracelets pour chacune des dames. Pour ce faire, elle doit choisir ce
168
qu‟elle veut parmi 15 paires de chaussures, 15 robes et 25 bracelets présents au magasin.
Lors de cette épreuve, l‟intervenante veut vérifier quelle stratégie Marianne utilise pour
déterminer les morceaux dont les dames ont besoin pour aller au bal. Cette épreuve, créant
une contrainte, engendre la nécessité d‟avoir recours au dénombrement pour résoudre la
situation en empêchant la correspondance terme à terme dans l‟action immédiate.
Figure 42 : Cinq dames à habiller
Extrait 83
1I :
2M :
3I :
4M :
5I :
6M :
7I :
8M :
9I :
10M :
11I :
12M:
13I :
14M:
15I :
16M:
17I :
18M:
19I :
20M:
21I:
22M:
23I:
24M:
25I:
[…] Tu dois venir voir la vendeuse de robes. Quand tu vas venir me voir, tu dois savoir combien de
robes tu as besoin pour que tes filles puissent aller au bal. Quand tu sais combien de robes tu as
besoin, tu peux venir au magasin acheter tes robes.
(Ne regarde pas les silhouettes sur la table.) Je veux venir.
Tu veux venir? Tu sais combien de robes tu as besoin pour que tes madames puissent aller au bal?
Oui.
D‟accord, tu peux venir me voir.
(Se lève et se dirige au magasin, sans avoir compté les dames.) […]
Bonjour Madame Marianne! Bienvenue au magasin de robes! Combien de robes avez-vous besoin
aujourd‟hui? Combien?
2.
Vous avez besoin de 2 robes?
Oui.
Est-ce que toutes vos princesses vont avoir des robes, si je vous en donne seulement 2?
Oui.
Oui? D‟accord. (Lui donne les 2 robes.) Voilà! Bonne journée et à bientôt! […] Avec les robes que tu
as achetées, est-ce que tu as assez de robes pour toutes tes princesses?
Oui. (Retourne à la table et place les robes sur la dame 2 et la dame 3.)
Maintenant que tu as installé tes robes, est-ce que toutes les princesses ont des robes?
Non.
Combien de robes il te manque?
(Regarde la première dame.) 1.
Il t‟en manque seulement une?
Non.
Et toutes tes princesses vont avoir des robes?
Non.
Tu dois savoir combien tu en as besoin pour revenir au magasin.
(Ne regarde pas les dames et rigole.)
Quand tu vas avoir trouvé le bon nombre de robes, tu peux revenir au magasin. Quand tu reviens au
magasin, tu dois savoir exactement combien de robes tu as besoin parce que le magasin ferme très,
très bientôt. Combien de robes as-tu besoin pour que toutes tes princesses puissent aller au bal?
169
26M:
27I:
28M:
29I:
30M:
31I:
32M:
33I:
34M:
35I:
36M:
(Ne répond pas.)
Ensuite, tu pourras venir me voir pour les acheter.
Je vais venir les acheter. (Se dirige au magasin sans avoir compté oralement le nombre de robe
manquante.)
Est-ce que tu sais exactement combien de robes tu as besoin?
Oui.
Oui? Tu peux venir les acheter. [Au magasin.] Bienvenue Madame Marianne! Bienvenue au magasin
de robes! […] Combien de robes avez-vous besoin pour aujourd‟hui?
2.
Avec 2 robes, est-ce que toutes vos princesses vont avoir des robes?
Oui.
Êtes-vous bien certaine? Parce qu‟ensuite, le magasin de robes va être fermé. Est-ce que toutes les
princesses vont être habillées?
Oui. […]
Comme lors de l‟évaluation de février 2013, au lieu de compter les morceaux dont elle a
besoin, Marianne se dirige tout de suite au magasin et prend quelques articles [lignes 6 à
12; 28 à 36]. De retour à la table, même s‟il lui manque des morceaux, elle ne compte pas
les dames, ni les morceaux supplémentaires qu‟elle doit aller chercher [lignes 14 à 18]. Elle
ne recourt pas au comptage pour connaître les nombres de dames pour déterminer le
nombre de robes nécessaires. Plus tard, un questionnement semblable est réalisé autour de
la recherche du bon nombre de souliers.
Extrait 84
1I :
2M :
3I :
4M :
5I :
6M :
7I :
8M :
9I :
10M :
11I :
12M:
13I :
14M:
15I :
16M:
17I :
18M:
19I :
20M:
[…] D‟accord! Maintenant, pour aller danser, nous avons besoin d‟une belle robe et des … (Laisse
l’enfant compléter.)
Chaussures.
Des chaussures. Combien de chaussures as-tu besoin pour que toutes les princesses puissent aller au
bal? […] On en a besoin de combien?
(Ne répond pas.)
Est-ce qu‟on peut le savoir?
Oui.
Comment on peut le savoir? Si on regarde bien nos madames sur la table, comment on peut faire pour
savoir combien de chaussures nous avons besoin pour qu‟elles puissent aller au bal?
(Regarde ailleurs.)
Si tu regardes sur la table, combien de chaussures nous avons besoin pour aller au bal?
3.
Avec trois chaussures, est-ce que toutes les princesses vont pouvoir aller au bal?
Non.
Non. Ça prend combien de chaussures?
2.
Si j‟ t‟en donne seulement 2, est-ce que toutes les princesses vont pouvoir aller au bal?
Non.
Combien tu dois venir en acheter au magasin?
2.
Si je t‟en donne 2, est-ce que toutes les princesses vont pouvoir aller au bal?
Oui. […]
170
Même avec un soutien important de la part de l‟intervenante, Marianne ne recourt pas au
comptage pour déterminer le nombre de morceaux nécessaires à la réalisation de la tâche.
Elle ne semble pas comprendre que le comptage peut être utilisé pour connaître le cardinal
d‟une collection, et donc qu‟elle saurait tout de suite combien de robes et d‟accessoires elle
a besoin. Lorsque l‟intervenante lui demande si le nombre de chaussures qu‟elle demande
sera suffisant pour toutes les dames, elle répond par la négative [lignes 11-12; 14-16]. Elle
semble savoir qu‟elle n‟en aura pas assez, sans toutefois être en mesure de concevoir le
comptage des dames comme un outil visant à connaître le cardinal d‟une collection fournie,
et donc, permettant la correspondance terme à terme non proximale entre les dames et les
articles du magasin. Cette tâche semble donc se trouver dans sa zone de développement
proximale pour la suite des apprentissages.
Cet item a été réalisé en deux parties distinctes. Lors de la première tâche,
l‟intervenante dresse une rangée de onze bâtonnets de bois devant l‟enfant.
Marianne devait la dénombrer, ce qu‟elle réussit. L‟intervenante modifie
l‟apparence de la collection, et ce, à deux reprises : en déposant les bâtonnets pêle-
mêle et en les replaçant en ligne droite. À la suite de chaque modification, l‟enfant
ne parvient pas à identifier le cardinal de la collection sans devoir recompter les
éléments à chaque fois. Lorsque l‟intervenante lui demande de commencer son
comptage à un nouvel endroit, elle parvient à poser l‟hypothèse qu‟il y aurait onze
bâtonnets. Les raisonnements de Marianne laissent croire qu‟elle comprend
maintenant la non-pertinence de l‟ordre, ce qui représente une avancée.
Lors de la deuxième tâche, l‟intervenante présente un ensemble de cinq dames à
l‟enfant. Cette dernière doit aller au magasin chercher des vêtements pour que les
dames puissent aller au bal. Pour ce faire, Marianne doit dénombrer les éléments à
aller chercher avant de se rendre au magasin, ce qu‟elle n‟a pas été en mesure de
faire. Même avec un soutien de la part de l‟adulte, Marianne ne recourt pas au
comptage pour identifier le nombre de dames à habiller, et donc le nombre de
robes à aller chercher. Elle procède par tâtonnements, allant chercher un ou deux
morceaux à la fois. Elle se situe au même niveau que lors de l‟évaluation
précédente.
171
5.4.3. Synthèse de la compréhension de l’enfant en juillet 2013
La compréhension de l‟aspect ordinal du nombre s‟est complexifiée. Marianne parvient à
sérier cinq éléments de différentes tailles en effectuant une opération d‟ensemble sur la
série. En ce qui concerne les positions, Marianne est capable d‟identifier le premier, le
troisième, le quatrième, le cinquième et le sixième participant d‟une course correctement.
Par contre, une confusion subsiste entre la deuxième position et la dernière. Marianne
commence à opérer sur la série, ce qui constitue un bel avancement.
La comptine numérique est toujours bien élaborée. Le nombre jusqu‟à 9 semble
relativement bien construit. En effet, Marianne parvient à identifier qu‟une collection de
huit éléments est plus nombreuse qu‟une collection de sept éléments à plusieurs reprises.
Ceci demeure toutefois très fragile, car elle n‟arrive pas à établir l‟égalité entre deux
collections de six éléments. De plus, Marianne utilise parfois la correspondance terme à
terme comme une opération permettant de construire une collection équivalente à une posée
par l‟adulte. Elle est maintenant en mesure de compter à rebours seule à partir de 12, ce qui
constitue une belle avancée.
La chaîne numérique de Marianne est toujours sécable, comme c‟était déjà le cas en mai
2012, mais elle est plus étendue. Même si la chaîne est maintenant sécable sur une plus
grande étendue, l‟aspect cardinal du nombre est construit seulement jusqu‟à 4. De plus, le
comptage n‟est toujours pas utilisé comme une opération permettant de comparer des
collections. Lors de la tâche de cardinalité avec les bâtonnets, Marianne témoigne qu‟elle
comprend mieux le principe de non-pertinence de l‟ordre.
Dans les tâches de conservation, on peut voir une émergence de la conservation en ce qui
concerne les quantités continues. Comme c‟était le cas en février 2013, lors de la
transformation de la boule en rouleau, Marianne énonce que les deux parts de pâte sont
pareilles de façon assez décidée. Ceci montre une révolution cognitive considérable.
Toutefois, lors de l‟item avec les quantités discontinues, Marianne répond principalement
en se basant sur l‟aspect figural. Donc, elle se situerait donc toujours au premier stade de
développement de la conservation selon Piaget.
172
À ce moment d‟évaluation passée en juillet 2013, la conservation et le comptage ne sont
pas encore construits comme des opérations. Par contre, Marianne commence à utiliser la
correspondance terme à terme comme opération lui permettant de construire et de comparer
des collections, ce qui représente une avancée.
173
6. Discussion
Sur la base des méthodes d‟enseignement béhavioristes déployées auprès des enfants
autistes et des problèmes que cela peut poser dans la construction de concepts comme le
nombre, ce projet de recherche visait à vérifier s‟il était possible de favoriser la
construction du nombre chez l‟enfant autiste en intervenant pédagogiquement d‟une autre
manière, d‟une manière plus développementale et plus proche de ce qui se fait avec l‟enfant
tout-venant. Dans cette optique, le but de cette étude était de décrire les progrès réalisés par
un enfant autiste dans l‟apprentissage du concept de nombre en travaillant les notions
mathématiques par une pédagogie développementale basée sur le jeu. Deux objectifs
spécifiques ont ainsi été circonscrits : 1) décrire la progression de la compréhension de
l‟aspect ordinal, et 2) décrire la progression de la compréhension de l‟aspect cardinal du
nombre. Dans un premier temps, une synthèse des analyses vise à mettre en relief la
progression de Marianne à ces égards. Par la suite, à la lumière de cette synthèse, les
implications pédagogiques, les limites de l‟étude et les avenues prospectives de recherche
seront envisagées.
6.1. Synthèse des résultats
Dans le but de décrire les progrès réalisés par Marianne dans l‟apprentissage du concept de
nombre, plusieurs éléments doivent être explicités en lien avec les réponses de Marianne
aux évaluations. La figure 1, qui était présentée au début du chapitre 2, sera utilisée pour
mettre la progression de Marianne en relief, en ce qui concerne le concept de nombre.
Le lecteur se souviendra qu‟il avait été étayé que le nombre mature est réellement construit
lorsque l‟aspect ordinal et l‟aspect cardinal convergent et s‟imbriquent l‟un dans l‟autre à la
suite de multiples abstractions réfléchissantes. Pour que cela puisse être fait, les opérations
de conservation, de correspondance terme à terme et de comptage doivent être, elles aussi,
bien construites. Dans le cas de Marianne, les opérations de conservation et de
174
correspondance terme à terme sont en construction. Le tableau 735
permet de mettre en
relief la progression de Marianne à travers les deux années d‟intervention.
35 Dans ce tableau, certains éléments constitutifs du nombre s‟entrecroisent, notamment la correspondance
terme à terme, la conservation et la cardinalité. Le tableau 7 met en relief ces trois éléments constitutifs du
raisonnement sur le nombre en les gardant associés aux items dans lesquels ils ont émergé afin que le
raisonnement de l‟enfant demeure situé en contexte.
175
Tableau 7 : Synthèse de la progression de l‟enfant
Octobre 2011 Mai 2012 Février 2013 Juillet 2013
Sériation
5 pailles (ou cartons) à sérier
- Tente une mise en relation des
grandeurs dans la série en
faisant une « échelle » du bas
des pailles.
- Ne considère pas un point
d‟origine commun.
- Se centre sur une des
extrémités des pailles pour
procéder à sa sériation.
- Parvient à identifier la
première position et l‟élément
qui se situe après un autre.
- Éprouve de la difficulté à
identifier correctement les
positions des objets.
- Demeure confuse face à
plusieurs termes
nécessairement convoqués
pour parler d‟une série,
comme « avant », « milieu » et
« dernier ».
- Comprend que toutes les pailles
doivent partager un point
d‟origine commun, même si elle
ne parvient pas à mettre en
relation les grandeurs des pailles
entre elles.
- Ne procède pas par une
opération d‟ensemble lui
permettant d‟envisager de
manière coordonnée les deux
extrémités des pailles de
manière simultanée.
- Semble privilégier un
tâtonnement qui lui permet de
considérer la sériation de 3
éléments.
- Comprend que tous les
cartons doivent partager un
point d‟origine commun.
- Construction de couples
dichotomiques plus
petit/plus grand et
juxtaposition de ces couples.
- Ne procède pas par une
opération d‟ensemble lui
permettant d‟envisager de
manière coordonnée les
deux extrémités des cartons
de manière simultanée.
- Parvient, avec un léger
soutien de l‟adulte, à sérier 4
éléments.
- Réalise sa sériation de manière
organisée.
- Construction de couples
dichotomiques plus petit/plus
grand et vient placer les
nouveaux éléments à la gauche
de ceux déjà sériés, début de
coordination des couples.
- Considère, d‟une façon
coordonnée, les deux extrémités
de tous les éléments à sérier de
façon simultanée.
ou
- Parvient à identifier la 1re
position et l‟élément qui se
situe après un autre.
- Éprouve de la difficulté à
identifier correctement les
autres positions des objets
d‟une série.
- Demeure confuse face à
plusieurs termes
nécessairement convoqués
pour parler d‟une série,
comme « avant », « milieu » et
« dernier ».
- Identifie, avec beaucoup
d‟insistance et de soutien de la
part de l‟adulte, le dernier
élément de la série ainsi que les
éléments qui se trouvent avant et
après un autre.
- Éprouve beaucoup de difficulté
à identifier les autres positions
des objets au sein d‟une série.
- Ne semble pas comprendre
certains termes nécessairement
convoqués pour une série,
comme « premier » et
« milieu ».
- Est en mesure d‟identifier les
participants se trouvant
« devant » et « derrière » un
autre.
- Parvient à identifier
plusieurs positions, comme
la 1re
, la 2e et la 3
e avec
soutien de l‟adulte.
- Confusion 2e et dernière
position.
- Commence à opérer sur la
série, bien que cette
opération ne mène pas
nécessairement à la bonne
réponse.
- Identifie correctement ce qui se
trouve « derrière » ou «devant»
un autre participant.
- Identifie, avec le soutien de
l‟adulte, le participant avant un
autre et même d‟en identifier la
position par opération.
- Arrive à nommer la 1re
, la 3e, la
4e, la 5
e et 6
e position.
- Confusion 2e et dernière
position, associée, de manière
proximale, à la 1re
position,
bien qu‟avec le soutien de
l‟adulte, elle parvient à nommer
la 2e position.
176
Correspondance terme à terme
ou
ou
- Est en mesure d‟utiliser la
correspondance terme à terme
entre le mot nombre dit et
l‟objet pointé pour procéder au
comptage de chacune des
collections.
- Ne procède pas spontanément
à la correspondance terme à
terme pour comparer.
- N‟envisage pas le comptage
comme moyen de comparer
les collections.
- Le comptage ne mène pas à
une conception de l‟aspect
cardinal du nombre.
- Base ses réponses sur l‟aspect
figural principalement. Ainsi,
9 < 7.
- Est en mesure d‟utiliser la
correspondance terme à terme
entre le mot nombre dit et
l‟objet pointé pour procéder au
comptage de chacune des
collections.
- Ne procède pas spontanément à
la correspondance terme à terme
pour comparer.
- N‟envisage pas le comptage
comme moyen de comparer les
collections.
- Le comptage ne mène pas à une
conception de l‟aspect cardinal
du nombre.
- Base ses réponses sur l‟aspect
figural principalement. Ainsi,
9 < 7 ou 9 = 7 selon la
disposition des objets.
- Est en mesure d‟utiliser la
correspondance terme à
terme entre le mot nombre
dit et l‟objet pointé pour
procéder au comptage de
chacune des collections.
- Tente spontanément une
explication basée sur la
correspondance terme à
terme.
- Émergence de l‟aspect
cardinal pour le nombre plus
petit que 5.
- Le comptage ne mène pas à
une conception de l‟aspect
cardinal du nombre quand il
est plus grand que 5.
- Parvient à juxtaposer des
correspondances exactes
entre les deux collections,
sans toutefois les coordonner
en un tout dans le but de les
comparer (1 pomme pour 1
framboise, 1 pomme pour
deux framboises, mais
maintient l‟égalité des
collections).
- Est en mesure d‟utiliser la
correspondance terme à terme
entre le mot nombre dit et l‟objet
pointé pour procéder au comptage
de chacune des collections.
- Ne procède pas spontanément à la
correspondance terme à terme
pour comparer.
- Est en mesure d'affirmer à
quelques reprises que 7 8, cela
demeure très fragile dans le sens
où il demeure facile de retomber
dans l‟effet de récence.
- Arrive à énoncer l'égalité, par le
comptage, pour une collection au
cardinal inférieur à 5. Mais 6 ≠ 6.
Utilise le comptage pour
comparer.
- Est en mesure d'identifier la
collection la plus nombreuse
même si l'aspect figural peut
indiquer le contraire pour des
collections de 3 et 4.
- Les nombres 3 et 4 ont vraiment
un sens cardinal.
Conservation
ou
ou
- N‟utilise pas la
correspondance terme à terme
pour constituer une rangée
équivalente. Si la rangée de
princesses débute à la même
place que les chevaliers, elle
dépasse amplement à la fin
(elle place toutes les
princesses à sa disposition,
10).
- Ne maintient pas l‟égalité des
collections dès qu‟une des
deux collections est distancée.
- Absence de conservation.
- Base ses réponses sur l‟aspect
figural ou sur l‟effet de
récence.
- N‟utilise pas la correspondance
terme à terme pour établir une
rangée équivalente de
princesses. Elle construit sa
rangée équivalente en respectant
relativement les limites
perceptives de la rangée des
chevaliers (7 = 6).
- Ne maintient pas l‟égalité des
collections dès qu‟une des deux
collections est distancée.
- Absence de conservation.
- Base ses réponses sur l‟effet de
récence.
- Tentative de début d‟explication
basée, mais sur l‟aspect figural.
- La cardinalité n‟est pas
inhérente au comptage.
- N‟utilise pas la
correspondance terme à
terme pour établir une
rangée équivalente de
framboises. Elle construit sa
rangée équivalente en
respectant les limites
perceptives de la rangée de
pommes (5 = 9).
- Fragile émergence de la
conservation des quantités
continues boule – boudin.
-Absence de conservation des
quantités discontinues.
- Base principalement ses
réponses sur l‟aspect figural
ou sur l‟effet de récence.
- Est en mesure de construire une
collection équivalente en utilisant
la correspondance terme à terme.
- Réel début de conservation des
quantités continues clairement
établie lors de la transformation
boule- boudin.
- Base ses réponses sur l‟aspect
figural dans les autres cas.
- Le cardinal ne peut pas encore être
utilisé comme outil de
comparaison pour les nombres
supérieurs à 4.
177
Comptage
Compter le plus loin
Bornes inférieure et supérieure
Compter à rebours
- Arrive à compter seule jusqu‟à
49.
- N‟est en mesure, seule, de
considérer une borne
inférieure fixée à 3.
- Est en mesure de considérer
une borne supérieure fixée à 9.
- Compte à rebours à partir de 5.
- Sa chaîne numérique est non
sécable et non opérable.
- Arrive à compter seule jusqu‟à
49.
- Est en mesure de considérer des
bornes inférieures et supérieures
fixées à 9, de façon non
simultanée.
- Compte à rebours à partir de 7,
avec beaucoup de soutien.
- Sa chaîne numérique est sécable
pour les nombres inférieurs à
10.
- Arrive à compter seule
jusqu‟à 55.
- Est en mesure de considérer
une borne supérieure fixée à
12.
- Ne parvient pas à compter à
rebours à partir de 9.
- Arrive à compter seule jusqu‟à 69.
- Est en mesure de considérer une
borne inférieure fixée à 11 et une
borne supérieure fixée à 20, de
façon non simultanée.
- Est en mesure de considérer, à la
fois, une borne inférieure fixée à 5
et une borne supérieure fixée à 20.
- Compte à rebours à partir de 12.
Cardinalité
ou
ou
- Parvient à dénombrer sans
erreur des collections au
cardinal inférieur à 10.
- Recompte toujours la
collection à partir de 1 pour
répondre à la question
combien il y en a dès que la
collection est plus grande que
3.
- Ne parvient pas à opérer sur le
nombre.
- Ne comprend pas le principe
cardinal du comptage.
- Parvient à dénombrer sans erreur
des collections au cardinal
inférieur à 10.
- Ne recompte pas la collection
pour nommer le cardinal plus
petit ou égal à 5 si aucune
transformation spatiale n‟a été
faite sur la collection.
- Ne maintient pas la quantité de
la collection à 5 éléments si les
objets de la collection sont
déplacés.
- Parvient à opérer +/- 1 sur un
nombre comme 5.
- Sa chaîne numérique est non
réversible, en ce sens que si X
est ajouté puis retiré le nombre
d‟origine n‟est pas maintenu.
- Ne comprend pas le principe
cardinal du comptage.
- Le nombre n‟est pas
maintenu si on commence à
compter d‟un autre endroit
(avec 11).
- Recompte à chaque fois une
collection si la disposition
est modifiée et cela ne lui
pose pas de problème si elle
ne recompte pas le même
nombre de bâtonnets si une
méprise arrive dans son
comptage.
- Ne comprend pas le principe
cardinal du comptage ni la
non-pertinence de l‟ordre.
- Recompte à chaque fois une
collection si la disposition est
modifiée, mais, avec l‟aide de
l‟adulte, cela lui pose problème si
elle ne recompte pas le même
nombre de bâtonnets si une
méprise arrive dans son comptage
(une avancée importante pour la
construction de l‟aspect cardinal).
- Comprend le principe de non-
pertinence de l‟ordre lors d‟un
comptage.
- N‟utilise toutefois pas
spontanément le comptage
comme moyen pour déterminer la
cardinalité (elle ne compte pas les
dames pour savoir combien de
robes elle doit aller chercher).
178
6.1.1. Sériation
Au fil des moments d‟évaluation, les habiletés et les procédures de sériation de Marianne
ont nettement évolué. En octobre 2011, on voit qu‟elle commence d‟abord à établir sa
sériation en se centrant sur le bas des pailles et en y établissant un escalier, sans toutefois se
préoccuper de faire partir les pailles d‟une ligne d‟origine commune. Par la suite, en mai
2012, on voit que Marianne construit la nécessité de faire partir les éléments à sérier d‟une
même ligne d‟origine (avec quelques écarts). Ce faisant, Marianne parvient à mettre en
série trois éléments selon leur grandeur. Sur ces bases, bien qu‟elle ne procède pas par une
opération d‟ensemble permettant d‟envisager de manière systématique et coordonnée les
deux extrémités des cartons simultanément, Marianne semble ensuite construire une
organisation pour la mise en ordre de grandeur. Puis, en février 2013, elle semble construire
des couples dichotomiques plus petit/ plus grand qu‟elle juxtapose. Avec un léger
questionnement de l‟adulte, elle ajuste ce premier jet de sériation qui l‟amènera à sérier
adéquatement quatre éléments. À la fin de l‟expérimentation, en juillet 2013, Marianne crée
toujours ses couples dichotomiques, mais elle ne fait plus simplement les juxtaposer, elle
coordonne la sériation de ces couples en plaçant toujours à gauche du plus grand, puis du
plus petit de la série le nouveau couple plus grand/ plus petit à insérer.
Ces dernières procédures de Marianne montrent une organisation qui marque la progression
de l‟aspect ordinal du nombre. Elles sont la manifestation d‟abstractions empiriques qui, si
l‟on se fie à Kamii (1980), Kamii et DeVries (1981) et Piaget (1977), deviendront le
terreau pour les abstractions réfléchissantes qui la conduiront au nombre mature. Il est
intéressant de souligner que cette organisation des séries basée sur la coordination des
couples dichotomiques, qui présente une amorce de l‟opération, émerge au même moment
que Marianne parvient à identifier plusieurs positions dans la série et même à réaliser des
opérations sur elle, bien que cela ne la mène pas nécessairement vers une réponse adéquate.
Avant ce moment charnière de l‟organisation de la série par construction de couples
dichotomiques, Marianne ne semblait pas comprendre plusieurs termes nécessairement
convoqués pour une série, comme ceux des différentes positions.
179
6.1.2. Correspondance terme à terme
Entre octobre 2011 et juillet 2013, l‟utilisation de la correspondance terme à terme de
Marianne a changé. On voit que, lors des deux premières évaluations en octobre 2011 et en
mai 2012, la correspondance terme à terme était utilisée uniquement entre le mot nombre
énoncé et l‟élément dénombré. De plus, elle n‟y recourait pas spontanément; il fallait une
certaine insistance de la part de l‟adulte pour qu‟elle compte les collections en utilisant la
correspondance terme à terme. Toutefois, comme le principe cardinal inhérent au comptage
n‟était pas construit chez elle, elle n‟était pas en mesure d‟utiliser le résultat de son
comptage pour procéder à une comparaison entre deux collections. À ces deux moments,
Marianne répond principalement aux questions de l‟intervenante en se basant sur l‟aspect
figural des collections, sans être en mesure de fournir des explications ou sans même
procéder à une manipulation quelconque, entre autres choses, à la correspondance terme à
terme. De ce fait, elle peut affirmer que 9 est plus petit que 7, et parfois même qu‟ils sont
égaux, dépendamment de la présentation de la collection. Par la suite, en février 2013, on
voit que Marianne, même si elle recourt encore à l‟aspect figural pour déterminer l‟étendue
d‟une collection, tente d‟expliquer ses réponses en utilisant la correspondance terme à
terme. Elle semble comprendre le principe cardinal résultant d‟un comptage lorsque les
collections comptent moins de cinq éléments; au-delà de ce nombre, le comptage ne mène
plus à un aspect cardinal. Elle parvient également à juxtaposer des correspondances terme à
terme exactes entre deux collections, sans toutefois, les coordonner dans le but de comparer
l‟ensemble de la collection. À titre d‟exemple, la comparaison entre 3 pommes et 4
framboises amène Marianne à établir deux couples 1 pomme/1framboise, puis à identifier
un couple 1 pomme/2 framboises, ce qui la pousse à affirmer que ce dernier couple n‟« est
pas pareil », sans pour autant lui permettre de coordonner ses manipulations pour établir la
collection qui contient le plus d‟éléments . À la fin de l‟expérimentation, en juillet 2013,
même si elle recourt toujours à la correspondance terme à terme principalement lors du
dénombrement et qu‟elle ne l‟utilise pas d‟emblée pour comparer, elle parvient à énoncer
l‟égalité entre deux collections au cardinal inférieur à 5 et à identifier la collection la plus
nombreuse entre des collections de 3 et 4 éléments, malgré le fait que l‟aspect figural peut
indiquer le contraire. Cette habileté de Marianne apparaît précisément au même moment où
180
elle se sert spontanément de la correspondance terme à terme pour établir une collection
équivalente. Lorsque les collections à comparer comportent 7 et 8 éléments, elle est en
mesure d‟affirmer à plusieurs reprises que 7 est plus petit que 8, sans toutefois que cela ne
soit solide. En effet, lors de cette même tâche, elle répond à nouveau par l‟effet de récence.
Cela témoigne que les nombres 3 et 4 ont maintenant un réel sens cardinal pour elle,
contrairement aux nombres 7 et 8.
Ce faisant, les progrès de Marianne permettent de remettre en question les propos de Fuson
(1988, 1991), Gelman et Gallistel (1986) et de Van Nieuwenhoven (1996, 1999) comme
quoi le comptage doit précéder l‟opération, ceci menant souvent l‟intervenant à agir sur le
comptage délaissant l‟opération. Or, tel qu‟il a été présenté dans le chapitre précédent, le
fait que Marianne ait une chaîne numérique étendue ne signifie pas que son nombre soit
réellement construit et qu‟elle soit en mesure d‟opérer sur le nombre. Il apparaît en fait que
ce soit davantage la construction de la correspondance terme à terme sur les éléments de
collections à comparer qui mène la voie vers l‟opération servant à établir un comptage et
appuyant une chaîne dénombrable. En ce sens, à l‟instar de Piaget, qui affirmait que
l‟opération précède et constitue le nombre et le comptage, Marianne nous enseigne que ni
la comptine numérique ni même un dénombrement adéquat ne peuvent être considérés
garants d‟une solide construction du nombre.
6.1.3. Conservation
Aux termes des deux années d‟intervention, les raisonnements et la compréhension de
Marianne à propos de la conservation ont évolué. Au moment de la première évaluation en
octobre 2011, Marianne ne parvient pas à utiliser la correspondance terme à terme comme
une opération réversible permettant de construire une rangée équivalente. Si elle place le
premier élément d‟une rangée en concordance avec le premier élément d‟une seconde, elle
n‟utilise plus les limites perceptives par la suite, plaçant plutôt toutes les images qu‟elle a à
sa disposition. Elle ne parvient pas à maintenir l‟égalité aussitôt que l‟apparence de l‟une
des deux collections est modifiée. Elle ne semble pas avoir construit la conservation, basant
plutôt ses réponses sur l‟aspect figural et sur l‟effet de récence. Par la suite, en mai 2012,
elle ne recourt pas encore à la correspondance terme à terme pour construire une rangée
181
équivalente, mais elle utilise dès lors les limites perceptives de la rangée de référence pour
guider le nombre d‟éléments à poser. Elle ne maintient toujours pas l‟égalité lorsque
l‟apparence de l‟une des deux collections est modifiée et elle ne fait pas preuve de
conservation. Ses réponses se basent toujours sur l‟effet de récence et sur l‟aspect figural, à
partir duquel elle tente d‟expliquer son raisonnement. Ensuite, en février 2013, elle présente
une émergence de compréhension de la conservation des quantités continues lors de la
transformation de la boule en rouleau, mais celle-ci est très fragile. Avec les quantités
discontinues, elle ne fait pas preuve de conservation, ses réponses se basant principalement
sur l‟aspect figural ou sur l‟effet de récence. À la fin de l‟expérimentation, en juillet 2013,
elle utilise correctement la correspondance terme à terme pour construire une collection
équivalente, ce qui constitue une belle avancée. Elle présente également un réel début de
conservation des quantités continues, lors de la transformation de la boule en rouleau. Par
contre, dans les autres cas, ses réponses se basent toujours sur l‟aspect figural. À partir de
ce moment, le cardinal d‟une collection peut être utilisé comme outil de comparaison
seulement s‟il est inférieur à 4.
Les réponses et les tentatives d‟explication de Marianne au sein des quatre temps
d‟évaluation témoignent qu‟elle n‟est pas encore totalement en mesure de faire preuve
d‟abstraction réfléchissante en ce qui concerne le nombre et ses composantes. En ce sens, le
fait qu‟elle réponde principalement aux questions de l‟intervenante en se basant sur l‟aspect
figural le montre. Par contre, lors de la dernière évaluation, un réel début de conservation
des quantités continues est observé. La détermination de Marianne à affirmer que les deux
parts de pâte à modeler sont « pareilles », malgré la transformation faite par l‟adulte,
représente une révolution cognitive qui pourrait indiquer qu‟elle arrive maintenant à faire
preuve d‟une certaine abstraction réfléchissante. À l‟instar de Piaget et Szeminska (1964),
on peut constater que le début de compréhension de la conservation que présente Marianne
n‟est pas sans lien avec le fait qu‟elle parvienne maintenant à sérier des éléments en
organisant des couples dichotomiques, à opérer sur la série et à recourir à la correspondance
terme à terme comme un début d‟opération servant la comparaison. De plus, le fait que
Marianne éprouve plus de facilité avec les items concernant la conservation des quantités
continues plutôt que discontinues concorde avec l‟évolution développementale tracée par
ces auteurs à ce sujet (Piaget & Szeminska, 1964).
182
6.1.4. Comptage
Entre octobre 2011 et juillet 2013, la chaîne numérique de Marianne s‟est développée.
Même si, on voit que, dès la première évaluation en octobre 2011, Marianne connaît bien la
comptine numérique jusqu‟à 49, cette chaîne est non sécable. En ce sens que, à ce moment,
elle n‟est pas en mesure de compter à partir d‟une borne inférieure autre que 1. Elle
parvient cependant à compter à rebours à partir de 5. À ce même moment également, elle
n‟utilise pas la correspondance terme à terme ni pour établir une collection équivalente, ni
pour comparer deux collections. Par la suite, en mai 2012, sa comptine numérique s‟est
maintenue jusqu‟à 49 et elle est maintenant en mesure de considérer une borne inférieure et
une borne supérieure fixées à 9 de façon non simultanée. Cela indique que sa chaîne
numérique est sécable pour les nombres inférieurs à 10. Elle arrive à compter à rebours à
partir de 7 avec un soutien de l‟adulte. Par contre, lors d‟une tâche de correspondance terme
à terme réalisée au même moment, elle énonce que deux collections au cardinal de 7 et 9
sont égales et parfois que celle de 7 comporte plus de jetons que celle de 9. Cela prouve
que, même si sa chaîne est sécable, celle-ci n‟est pas dénombrable, donc pas opérable, pour
autant. Par la suite en février 2013, elle arrive à compter jusqu‟à 55 seule et elle est en
mesure de tenir compte d‟une borne supérieure fixée à 12. À ce moment, elle ne parvient
pas à compter à rebours à partir de 9. Entre ces deux moments d‟évaluation, sa chaîne
numérique ne se serait donc pas complexifiée. À la fin de l‟expérimentation, en juillet
2013, elle arrive à compter seule jusqu‟à 69, à tenir compte d‟une borne inférieure fixée à
11 et d‟une borne supérieure fixée à 20, de façon non simultanée et à tenir compte, à la fois,
d‟une borne inférieure fixée à 5 et d‟une borne supérieure fixée à 20. Elle arrive également
à compter à rebours seule à partir de 12. La nouvelle capacité de Marianne à considérer des
bornes fixées par l‟adulte et à compter à rebours montre que sa chaîne numérique est
maintenant sécable jusqu‟à 12.
En ce sens, Marianne nous montre que le fait d‟être très avancée dans la comptine
numérique et de posséder une chaîne numérique sécable ne mène pas forcément à la
compréhension de la cardinalité, comme le soulignait Fayol (1990) à l‟instar de Piaget.
Même si Marianne est en mesure de compter jusqu‟à 69 seule et de compter à rebours à
partir de 12 sans soutien, elle n‟est toujours pas en mesure de comparer des collections de 7
183
et 8 objets entre elles et d‟établir l‟égalité entre deux collections de 6 éléments. Donc, les
différentes productions et réponses de Marianne, lors de ces quatre moments d‟évaluation,
indiquent que, même si le compte à rebours permet une chaîne sécable, il n‟est pas garant
de l‟aspect cardinal du nombre. En fait, si Van Nieuwenhoven (1996) affirme que le
comptage doit en venir à prendre une signification cardinale, les productions de Marianne,
tout comme les travaux de Piaget (Piaget & Szeminska,1964) indiquent plutôt que la
construction de l‟aspect cardinal est en soi une opération qui semble reposer grandement
sur la correspondance terme à terme, non pas limitée au mot nombre servant le strict
comptage, mais ancrée sur les manipulations de celle-ci pour qu‟elle devienne une réelle
opération assurant la réversibilité. C‟est donc l‟intervention provoquant la correspondance
terme à terme chez l‟enfant qui assurerait la construction de l‟opération nécessaire à la
compréhension cardinale du nombre bien plus que le comptage et les cinq principes lui
étant inhérents définis par Gelman et Gallistel (1986) (ordre stable, correspondance terme à
terme entre mot nombre dit par objet, cardinalité inférée par la réponse de l‟enfant à la
question «combien de», abstraction limitée à la capacité de compter des objets hétérogènes
et non-pertinence de l‟ordre).
6.1.5. Cardinalité
Aux termes des deux années d‟intervention, Marianne a progressé en ce qui concerne la
cardinalité. Au premier moment d‟évaluation, en octobre 2011, Marianne parvient à
dénombrer des collections au cardinal inférieur à 10 sans commettre d‟erreur. Par contre,
elle recompte toujours la collection lorsque l‟intervenante lui demande combien il y a
d‟éléments si la collection en comporte plus que 3, nombre qui était déjà son domaine
numérique avant même le début des interventions relatées dans ce mémoire. Elle ne
parvient pas à opérer sur le nombre et ne comprend pas le principe cardinal du comptage;
elle recompte sans cesse une même collection et ne parvient pas à utiliser son comptage
pour comparer. Au second temps d‟évaluation, en mai 2012, lorsque les collections ont un
cardinal égal ou inférieur à 5, elle ne ressent plus le besoin de recompter les éléments si
aucune modification n‟a été faite à la collection. Toutefois, si cette collection est déplacée,
Marianne ne maintient plus le cardinal et elle la compte de nouveau. Elle est également en
mesure d‟opérer un ajout ou un retrait d‟un élément sur un ensemble de cinq éléments. Sa
184
chaîne numérique n‟est pas encore réversible puisque si on retire X éléments que l‟on
rajoute par la suite, elle ne maintient pas le nombre d‟origine. Elle ne maîtrise pas le
principe cardinal du comptage. Par la suite, en février 2013, lorsqu‟une collection lui est
présentée, le nombre n‟est pas maintenu si on commence à compter à partir d‟un nouvel
endroit; ce qui implique qu‟elle ne comprend pas le principe de non-pertinence de l‟ordre.
De plus, elle compte de nouveau chaque fois qu‟une collection de 11 éléments est déplacée
ou si son apparence est modifiée. Si, lors de son recomptage, elle arrive à un autre total
parce qu‟elle aurait fait une méprise, cela ne lui pose aucun problème. Cela témoigne
qu‟elle n‟a toujours pas construit le principe cardinal du comptage. Pour elle, le comptage
ne semble pas permettre de connaître la quantité. Toutefois, à la fin de l‟expérimentation,
en juillet 2013, lorsqu‟elle recompte une collection si celle-ci est déplacée, elle cherche à
obtenir le même total, ce qui prouve une avancée importante pour la construction de
l‟aspect cardinal du nombre. De plus, elle comprend maintenant le principe de non-
pertinence de l‟ordre lors d‟un comptage, sans toutefois recourir à ce dernier pour connaître
la cardinalité d‟un ensemble; ce principe serait donc encore en construction.
Les réponses de Marianne indiquent que, à l‟instar de Fayol (1990), Fuson (1988, 1991),
Gelman et Gallistel (1986), Van Nieuwenhoven (1996) et Vergnaud (1981), le comptage ne
suffit pas à comprendre le système numérique. En ce sens que, même si la chaîne
numérique de Marianne est élaborée, elle n‟est pas encore en mesure d‟opérer aisément sur
le petit nombre. Marianne est en mesure de compter à rebours à partir de 12, ce qui rend ce
nombre sécable, mais, au même moment, cette enfant ne parvient pas à comparer deux
ensembles de 7 et 8 jetons, tel que démontré précédemment, ni à énoncer qu‟un même
ensemble de 11 bâtonnets contiendra toujours 11 bâtonnets, même s‟ils sont déplacés par
l‟adulte. De plus, les résultats lors de l‟item de cardinalité réalisé lors des deux premières
évaluations témoignent que, comme le soulignait Baruk (2003), lorsque l‟enfant est mis en
contexte, par l‟utilisation de « nombre-de », dans ce cas-ci, de nombre de jetons, cela
favorise la visualisation qui peut permettre à l‟enfant de réussir la tâche, plutôt que de lui
demander, sans matériel à sa disposition, d‟opérer sur le « nombre ». Concrètement, le fait
de voir les jetons sur lesquels elle devait opérer a pu soutenir Marianne lors de la réalisation
de la tâche, d‟où sa capacité à opérer sur le nombre 5 en mai 2012.
185
La synthèse des résultats de recherche et de leur analyse permet d‟envisager qu‟il est
effectivement possible de soutenir la construction du nombre sans recourir aux méthodes
A.B.A. et T.E.A.C.C.H. avec l‟enfant autiste, tout comme on le fait avec l‟enfant tout-
venant. En effet, au début des interventions, comme le témoignent les réponses de
Marianne lors de la première évaluation, le nombre plus grand que 3 n‟était pas construit
chez elle, bien qu‟elle était scolarisée avec les méthodes A.B.A. et T.E.A.C.C.H. depuis
déjà de nombreuses années. À la suite des deux années d‟interventions, le concept du
nombre est en pleine construction et de belles avancées ont été réalisées, notamment en ce
qui concerne la sériation, la correspondance terme à terme et la conservation des quantités
discontinues.
6.2. Les implications pédagogiques
Les progrès observés chez Marianne peuvent être considérés sous l‟angle d‟implications
pédagogiques. La chaîne numérique a été servie non pas par des activités visant
spécifiquement son extension, mais par les opérations sur le petit nombre lors des
interventions pédagogiques. En effet, au quotidien, le travail en mathématique était fait
dans le jeu et par la construction d‟un calendrier, tel que décrit au troisième chapitre. Dans
chacune de ces activités, des questionnements mathématiques étaient formulés à l‟élève
pour réfléchir sur le nombre et construire du sens à partir de son action et de son
raisonnement. De cette façon, l‟enfant était amenée à décomposer le nombre pour pouvoir
le comprendre, principalement en manipulant du matériel. La progression réalisée par
Marianne en ce qui concerne les opérations de conservation et de correspondance terme à
terme n‟est pas due à un enseignement explicite de ces tâches. Le fait de questionner
l‟enfant à propos des nombres lors de différents contextes l‟amène à développer sa pensée.
Comme le soulignait Piaget (1977), lorsque l‟enfant réalise de multiples abstractions
empiriques, cela lui permet d‟établir des relations logico-mathématiques entre des éléments
qui lui sont présentés. Le fait que l‟enfant coordonne certaines relations l‟amène à effectuer
des prises de conscience et à complexifier ses conceptualisations. C‟est de cette façon que
les interventions ont été mises en place.
186
Dans le cadre de ce mémoire, des interventions pédagogiques ont été mises en place dans
une perspective développementale. De ce fait, les tâches proposées étaient complexes et se
situaient dans la zone proximale de développement de l‟enfant, sans que l‟attention de
l‟adulte ne soit portée exclusivement sur les erreurs commises, mais plutôt sur le
cheminement et les raisonnements de l‟élève lors de la réalisation de la tâche. Les résultats
obtenus témoignent que cette posture d‟enseignement peut être bénéfique pour construire le
concept du nombre chez un enfant autiste, sans avoir besoin d‟utiliser un système
béhavioriste, comme les méthodes A.B.A. et T.E.A.C.C.H.
6.3. Les limites de l’étude
Cette étude comportait plusieurs limites méthodologiques. D‟abord, lors des évaluations, le
protocole mathématique n‟a pas été dirigé de la même façon. En effet, quelques variations
ont été portées au protocole pour pouvoir obtenir une réelle lecture du niveau maximal de
l‟enfant, entre autres, lors du changement d‟orientation de la série d‟escargots lors de l‟item
2 de l‟aspect ordinal en juillet 2013 par rapport à février 2013 et lors de la mise en contexte
de construction de salade de fruits lors de l‟item 4 de l‟aspect cardinal de juillet 2013 par
rapport à février 2013. Ces changements à eux seuls peuvent avoir contribué au sens
accordé à la tâche par Marianne et, ainsi, influencer sa capacité à répondre.
Puis, pendant la passation des items, l‟intervenante recourt très rarement aux contre-
suggestions. Ce type particulier de questionnement (comme « Ah oui, tu penses ça? J‟ai un
ami de maternelle qui m‟avait dit l‟inverse. Comment tu pourrais lui expliquer pour qu‟il
comprenne? »), qui peut être utilisé en cas de réussite ou d‟échec de la part de l‟enfant,
permet de soutenir l‟enfant afin qu‟il explicite son propre raisonnement si nécessaire, tout
en « bousculant » ses croyances, dans une visée pédagogique développementale. Étant mis
dans un contexte où il doit expliquer à un ami plus jeune, l‟enfant est porté à exprimer ses
réflexions, chose qu‟il n‟aurait peut-être pas faite si l‟adulte lui avait seulement demandé
« Pourquoi tu penses ça? Comment tu fais pour savoir? Montre-moi », comme il a été
principalement fait dans le cadre des évaluations relatées dans ce mémoire. On voit
d‟ailleurs que les quelques fois où ces contre-suggestions ont été utilisées avec Marianne,
cette dernière a davantage explicité son raisonnement. Si ce type de contre-suggestions
187
avait été utilisé plus systématiquement, peut-être que Marianne serait parvenue à mieux
rendre son raisonnement sur le nombre.
En outre, les protocoles d‟entrevue ont été réalisés par deux personnes différentes (octobre
2011 et mai 2012 pour l‟une et février 2013 et juillet 2013 pour l‟autre). Or, ce type
d‟entrevue d‟exploration critique avec l‟enfant n‟est pas aseptisé de la relation établie entre
l‟adulte et l‟enfant. L‟adulte doit pouvoir s‟ajuster à l‟enfant au moment opportun (Ferreiro,
1997) pour accéder à la théorie en action de l‟enfant. Or, si ce type d‟entrevue convoque les
habiletés conversationnelles de l‟enfant, il engage aussi celles de l‟adulte tout en les
colorant de ses représentations de l‟enfance, de l‟apprentissage, du statut de l‟erreur, etc.
(Masciotra, 2004). On comprend, dès lors que la variation de l‟adulte peut avoir eu un
impact sur les productions de Marianne que l‟on ne peut plus isoler dans la progression
relatée.
Finalement, le choix d‟une étude de cas implique que les résultats ne soient pas
généralisables, les conclusions y demeurent circonscrites et situées (Karsenti & Demers,
2000; Stake, 1994). Elles gardent toutefois leur pertinence théorique. Ainsi, l‟intervention
pédagogique basée sur la littératie et le jeu ayant permis à cette enfant de complexifier sa
construction du concept du nombre permet de soulever l‟hypothèse que, même si les
résultats ne sont valables que pour cette enfant, dans ce type particulier d‟intervention et
d‟évaluation, le travail effectué en mathématiques par la construction d‟un calendrier et par
les jeux de règles, tout en favorisant les manipulations et diverses correspondances terme à
terme, pourrait permettre à des enfants, atteints d‟un trouble autistique ou non, de construire
le concept du nombre.
6.4. Avenues prospectives
Dans une étude ultérieure, il serait intéressant de mener une recherche du même type avec
un échantillon plus considérable d‟enfants autistes et d‟utiliser un groupe contrôle
travaillant le nombre avec les méthodes A.B.A. et T.E.A.C.C.H. afin de vérifier si la
méthode d‟intervention développementale mise en place dans le cadre de ce mémoire peut
être utilisée quotidiennement dans les classes spécialisées et servir une progression
significativement plus marquée. Dans un même ordre d‟idée, cette comparaison entre les
188
deux types d‟enseignement pourrait offrir des alternatives pédagogiques aux enseignants,
aux éducateurs et aux parents d‟enfants autistes.
De plus, en tant que pédagogue, ce mémoire comporte une vision différente de
l‟enseignement des mathématiques aux enfants autistes. En ce sens, si les méthodes A.B.A.
et T.E.A.C.C.H. ne semblent pas porter fruit au niveau de la conceptualisation chez l‟enfant
et ne lui permettent pas de développer son plein potentiel, une pédagogie développementale
basée sur le jeu, telle que décrite au troisième chapitre, pourrait être une alternative à mettre
en place. De plus, comme il a été démontré tout au long de ce mémoire, étant donné que
l‟enfant autiste ne se développe pas différemment de l‟enfant tout-venant, une telle
pédagogie pourrait être utilisée avec des jeunes en difficultés d‟apprentissage et même dans
des classes dites « régulières ». Il suffit que l‟enseignant fixe ses objectifs pédagogiques en
fonction de la zone proximale de développement de ses élèves pour y réaliser ses
interventions au juste niveau conceptuel que ce dernier a construit et qu‟il ne base pas ses
enseignements strictement sur l‟âge de ses élèves, ou sur le cursus scolaire prévu pour cet
âge et le degré scolaire y correspondant.
189
CONCLUSION
Ce projet de recherche a été mené auprès d‟une enfant autiste entre l‟âge de 10 ans et 12
ans. Cette dernière a reçu, pendant deux années scolaires complètes, des interventions
pédagogiques quotidiennes basées sur la littératie et le jeu dans une perspective
développementale. Ces interventions avaient pour but de construire le concept du nombre.
Chaque jour, le nombre était travaillé dans deux contextes en particulier : lors de la
construction d‟un calendrier mural et lors des jeux de règles. Pour évaluer la progression de
l‟enfant, un protocole mathématique a été expérimenté à quatre reprises pendant les deux
années. Les résultats montrent que les interventions pédagogiques orientées sur le nombre
ont permis à l‟enfant de complexifier sa compréhension des aspects ordinal et cardinal du
nombre, notamment par l‟intermédiaire d‟opérations à élaborer sur le petit nombre.
En effet, aux termes des deux années d‟interventions, Marianne parvient à utiliser la
correspondance terme à terme comme le début d‟une opération permettant de construire des
collections équivalentes, commence à comprendre de façon plus solide la conservation des
quantités continues, parvient à sérier des éléments selon leurs tailles et à opérer sur la série.
Même si sa chaîne numérique est étendue, même quand une partie de cette chaîne est
sécable, la cardinalité mérite toujours une grande attention de la part de l‟intervenant, car
elle n‟est pas assurée par l‟extension de la chaîne puisque Marianne énonce parfois que 7
est plus grand que 8 et que deux collections au cardinal de 6 ne sont pas égales, ces
nombres faisant partie de son domaine numérique.
Les résultats de cette recherche permettent d‟établir des liens entre la démarche
d‟intervention pédagogique mise en place et la construction du concept de nombre. Dans
une recherche ultérieure, il serait intéressant d‟utiliser cette démarche d‟intervention, non
seulement avec un échantillon d‟enfants autistes, mais également dans des classes
d‟adaptation scolaire pour travailler avec ces jeunes à un juste niveau, déterminé par leur
zone proximale de développement.
191
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ANNEXES
Annexe 1 : Protocole mathématiques utilisés en février 2013 et en juillet 2013
Items concernant l’aspect ordinal
1. Sériation d’objets de tailles différentes
- Placer X cartons de différentes longueurs sur la table. «Peux-tu les placer du plus petit au
plus grand?»
2. Sériation d’objets faisant une course
- Placer les 6 escargots de couleur (bleu, rose, orange, rouge, vert, jaune) en ligne. «Lequel
est le premier? Lequel est le dernier? L‟escargot orange est à quelle position?», «Quel
escargot est devant le orange? Quel escargot est derrière le orange? Si l‟escargot orange est
le troisième, quel est la position de l‟escargot rose? Et si l‟escargot rouge est après le
orange, c‟est quoi sa position?»
Items concernant l’aspect cardinal du nombre
1. Comparaison de collections d’objets identiques (correspondance terme à
terme)
- Disposer sur la table deux collections inégales avec une très petite différence de cardinal.
«Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici ou c‟est pareil? Est-ce qu‟il y en a pareil, plus ici ou
plus ici? Qu‟est-ce que tu peux faire pour que ce soit égal?» Si l‟enfant échoue, lui
présenter deux collections comportant des cardinaux assez différents.
196
- Disposer sur la table deux collections égales. « Est-ce qu‟il y en a plus ici, ici ou c‟est
égal? Est-ce qu‟il y en a égal ou plus ici ou ici? » Réduire les collections si l‟enfant ne
réussit pas.
2. Comparaison de collections d’objets différents (correspondance terme à terme)
- Placer 6 images de pommes et 4 images de framboises sur la table. Demander à l‟enfant
«Est-ce qu‟il y a plus de pommes ou plus de framboises? Est-ce qu‟il y en a plus ici, ici ou
c‟est pareil?» (Reformulation de la question pour éviter l‟effet de récence.)
- Former 2 rangées : une avec 3 images de pommes et l‟autre avec 4 images de framboises.
«Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici ou c‟est pareil?» Déplacer les images de pommes pour
que cette rangée soit plus longue que celle de framboises ou déplacer les images de
framboises pour que cette rangée soit moins longue que la rangée de pommes et
questionner l‟enfant : «Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici ou c‟est pareil? Pourquoi? »
3. Conservation des quantités continues
- Faire deux boules de pâte à modeler de même grosseur, de couleurs différentes. «Est-ce
que les deux boules sont pareilles?»
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- Faire une galette avec une des deux boules. «Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici ou c‟est
pareil? Est-ce qu‟il y en a pareil, plus ici ou plus ici?»
- Reformer les deux boules. «Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici ou c‟est pareil? Est-ce
qu‟il y en a pareil, plus ici ou plus ici?»
- Prendre une boule et faire un rouleau avec. ««Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici ou
c‟est pareil? Est-ce qu‟il y en a pareil, plus ici ou plus ici?».
- Reformer les deux boules. «Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici ou c‟est pareil? Est-ce
qu‟il y en a pareil, plus ici ou plus ici?»
- Prendre une boule et faire des miettes. «Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici ou c‟est
pareil? Est-ce qu‟il y en a pareil, plus ici ou plus ici?»
198
4. Conservation de quantités discontinues
- Faire une rangée avec 5 images de pomme sur la table. «Peux-tu me mettre la même chose
de framboises que j‟ai de pommes?»
- Une fois la rangée de l‟enfant construite, dénombrer chacune des collections et
questionner l‟enfant pour savoir si l‟une des deux collections est plus nombreuse.
- Sous les yeux de l‟enfant, déplacer les images de la rangée de référence de manière à ce
que cette rangée dépasse celle de l‟enfant à droite et à gauche, en raison de l‟espacement
entre les images. « Y a-t-il plus de pommes, plus de framboises ou c‟est pareil? » Modifier
l‟ordre des choix de réponses pour éviter que l‟enfant ne réponde qu‟en utilisant l‟effet de
récence.
5. Comptage
- «Peux-tu compter le plus loin possible?» L‟enfant se rend jusqu‟à Y.
- «Peux-tu compter jusqu‟à Z (Z plus petit que Y)»
- «Peux-tu compter à partir de X?» X est plus petit que Y
- «Peux-tu compter à partir de X jusqu‟à Z?»
- «Peux-tu compter à l‟envers à partir de Z?»
6. Cardinalité
- Déposer X bâtonnets sur la table, en rangée. «Combien est-ce qu‟il y a de bâtonnets sur la
table?»
- En déplaçant les bâtonnets qui ont été comptés : «combien y a-t-il de bâtonnets
maintenant?» Une première fois en les plaçant pêle-mêle et une seconde fois en reformant
une rangée espacée.
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- Lorsque les bâtonnets sont replacés en une rangée : «Et si tu commences par ici,
combien tu vas en avoir? Et si on commence de l‟autre côté? Combien tu auras de
bâtonnets?»
- Prendre 5 dames en carton. Apporter un ensemble de robes, de souliers et de bijoux pour
habiller les mesdames. «Tu devras aller au magasin chercher des vêtements et des
accessoires pour toutes les mesdames. Prends les vêtements que tu as besoin pour que
chaque dame soit prête pour aller au bal. Les dames doivent avoir une robe, des souliers et
trois bracelets. Le magasin ferme bientôt, donc on doit faire notre commande au complet.»
(Si l‟enfant n‟y arrive pas en une seule fois, lui permettre de retourner au magasin une
deuxième fois.)