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La Derivada y las Reglas Básicas
de Diferenciación
MATE 3031 – Cálculo 1
28/01/2016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 26
Cálc
ulo
1 -
MA
TE
3031
Actividades 1.5
• Referencia: Sección 2.1 Derivación, Ver ejemplos 1 al 5;
Ejercicios de Práctica: Impares 1 – 17. Sección 2.2 Las Reglas básicas de derivación y razón de cambio; Ver ejemplos 1, 3 y 7.; Ejercicios de Práctica: Impares 1 – 63.
Asignación: Sección 1.5: #18; Sección 2.2 #32 (incluya copia de la imagen de la gráfica), 58, 60
• Referencia en el Web: Khan Academy – Introducción a las Derivadas Calculus Phobe Tutorials - The Difference
Quotient Khan Academy – The Power Rule Calculus Phobe – The Power Rule
Prof. José G. Rodríguez Ahumada28/01/2016 2 de 26
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MA
TE
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Definición
• La derivada de una función en un número
denotada por f’(a), es
• si este límite existe. En ese caso, se dice que
la función es diferenciable en a
28/01/2016
h
afhafaf
h
)()(lim)('
0
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Ejemplo 1
• Encuentre la derivada de la función f en el valor 2,
donde:
• Solución:
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1)( 2 xxf
h
fhff
h
)2()2(lim)2('
0
h
h
h
]1)2[(]1)2[(lim
22
0
h
hh
h
3]142[lim
22
0
h
hh
h
4lim
2
0
h
hh
h
)4(lim
0
4
La derivada de la
función f en x=2 es 4
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 4 de 26
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Interpretación Geométrica de la Derivada
• La derivada en x es la pendiente de la recta
tangente a una curva en x:
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h
xfhxfxf
h
)()(lim)('
0
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Ejemplo 2
Encuentre una ecuación de la recta tangente a la
gráfica de la función en x = 2 dado que:
Solución:
• La derivada de f en 𝑥 = 2 es la pendiente de la
recta tangente en el punto (𝟐,−𝟏) .
• Como 𝑓 ’(2) = 3, la pendiente de la tangente es 𝟑.
𝑦 – (−1) = 3(𝑥 – 2)
𝑦 + 1 = 3𝑥 − 6
𝑦 = 3𝑥 − 7
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f
1)2( f 3)2(' f
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Interpretación de la Derivada como razón
de cambio
ab
afbfab
)()(lim
28/01/2016
• La razón de cambio instantánea de un función f
cuando x = a, está dado por:
siempre que este límite exista.
• La razón de cambio instantánea de un función cuando
x = a es la derivada de la función en a. Esto es, f’(a).
h
xfhxfh
)()(lim 0
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Ejemplo 3
xxxf 5)( 2
28/01/2016
• Encuentre la razón de
cambio promedio entre
los valores -2 a 3.
)2(3
)2()3(
ff
5
)6(24
ab
afbf
x
y
)()(
• Encuentre la razón de
cambio instantáneo en 3.
h
xfhxfxf
h
)()(lim)('
0
h
fhff
h
)3()3(lim)3('
0
h
hh
h
)]3(53[)]3(5)3[(lim
22
0
h
hhh
h
]24[]51569[lim
2
0
)11(lim0
hh
11
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La Derivada como función
28/01/2016
1sin)( 2 xxxf
222 cos2sin)( xxxxf
31 x
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Ejemplo 4
28/01/2016
Encuentre la función f’(x), si f(x) = x3.
h
xfhxfxf
h
)()(lim)('
0
h
xhx
h
33
0
)()(lim
h
xhxhhxx
h
33223
0
)()33(lim
h
hxhhx
h
322
0
33lim
22
033lim hxhx
h
23x
23)(' xxf
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3031
¿Cuándo deja una función ser
diferenciable?• Gráfica tiene:
discontinuidad.
una tangente vertical.
28/01/2016
Observe: Función es
continua en P. Pero no
es diferenciable en P
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¿Cuándo deja una función ser
diferenciable?
• Gráfica termine en una esquina o pico.
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Reglas de diferenciación (1)
• Si 𝑓 𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜, entonces 𝑓′ 𝑥 = 0
• Ejemplos:
Si 𝑓(𝑥) = 5, entonces 𝑓’(𝑥) = 0
Si 𝑓(𝑥) = 𝜋, entonces 𝑓’(𝑥) = 0
• Si f(x) = xn, entonces 𝑓′ 𝑥 = 𝑛𝑥𝑛−1 para cualquier
número real 𝑛 diferente de 0.
• Ejemplos
Si 𝑓(𝑥) = 𝑥8, entonces 𝑓’(𝑥) = 8𝑥7
Si 𝑓(𝑥) = 𝑥−3, entonces 𝑓’(𝑥) = −3𝑥−4
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Reglas de diferenciación (2)
• Si 𝑓 𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 ∙ 𝑔 𝑥 entonces 𝑓′ 𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 ∙ 𝑔′ 𝑥
• Ejemplo:
Si 𝑓 𝑥 = 3𝑥6, entonces
𝑓′ 𝑥 = 3 ∙ 6𝑥5
= 18𝑥5
Si 𝑓 𝑥 = 6𝑥−2, entonces
𝑓′ 𝑥 = 6 ∙ −2𝑥−2−1
= −12𝑥−3
=−12
𝑥3
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Determine f’(x) si
Ejemplo 5
2
5)(
xxf
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25)( xxf
1)2()2(5)(' xxf
310 x
3
10
x
xxf 3)(
1)(
21 2
1
)(3)('
xxf
21
3)( xxf
21
2
3 x
21
2
3
x
21
21
x
x
x
x
2
3 21
x
x
2
3
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Ejercicios #1
1. F(x) = x4
2. F(x) =
3. F(x) = 9x
4. F(x) = -4x3
5. F(x) = -4x -2
6.
Prof. José G. Rodríguez Ahumada28/01/2016
Determine la función derivada:
5
34)( xxF
0)( xF
9)( xF
212)( xxF
3
8)(
xxF
131
3
1)('
xxF
32
3
1 x
32
3
1
x
x
x
3
3
31
31
x
x
3)( xxF 3
1
x
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Ejemplo 6
• Problema: Si 𝑓 𝑥 = 5𝑥3 calcule la derivada de la
función en 𝑥 = 2.
• Solución:
Paso 1 – calcule la función derivada 𝑓′(𝑥)
Paso 2 – Evalúe la función derivada en 𝑥 = 2
• Otras maneras de presentar el mismo problema:
Calcule la pendiente de la recta tangente cuando 𝑥 = 2
Calcula la razón de cambio instantáneo cuando 𝑥 = 2
Prof. José G. Rodríguez Ahumada28/01/2016
𝑓′ 𝑥 = 5 ∙ 3𝑥3−1 = 15𝑥2
𝑓′ 2 = 15 2 2 = 60
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Reglas de diferenciación:
Adición y Sustracción
• Si f(x) = u(x) + v(x) entonces:
f’(x) = u’(x) + v’(x)
• Si f(x) = u(x) - v(x) entonces:
f’(x) = u’(x) - v’(x)
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• Encuentre la función derivada de:
• Solución:
• Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la
función f en 𝑥 = 1
Ejemplo 7
xxxxf
358)( 33
Prof. José G. Rodríguez Ahumada28/01/2016
13 358)( 31
xxxxf
11113 )1(33
15)3(8)(' 3
1
xxxxf
22 33
524 3
2
xxx
224x x
x
3
53
2
3
x
2
124)1(f
13
153
21
3=
58
3
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Nomenclatura
• Primera derivada (“funcíon derivada”):
• La primera derivada en 𝑥 = 5
• Segunda derivada
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)(' xf 'ydx
dy
dx
df fDx
)('' xf ''y2
2
dx
yd2
2
dx
fd fDx2
)5('f5xdx
dy
5xdx
df fDx 55
'x
y
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Ejercicio #2
a)
b)
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151
5
1 x
Determine:
121
2
1 x 2
3
2
1 x
23
2
1
x
22x
x
54
5
1
x54
5
1
x
21
21
23
2
1
x
x
x
51
51
54
5
1
x
x
x
x
x
5
5
xdx
da
1 ) 5 ) x
dx
db
21
xdx
d
51
xdx
d
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Derivadas de funciones
trigonométricas
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xxdx
d cos) (sin
xxdx
d sin) (cos
xxdx
d sec) (tan 2
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Ejemplo 8
1. Calcule:
2. Calcule:
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)tancos(sin x xxdx
d x
dx
d x
dx
d x
dx
dtancossin
xcos xsin x2sec
xxx 2secsincos
𝑑𝑦
𝑑𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑥=𝜋
= cos 𝜋 + sin 𝜋 + 𝑠𝑒𝑐2(𝜋)
= −1 + 0 +1
𝑐𝑜𝑠2𝜋
= −1 + 0 + 1
= 0
¿Cómo se podrá describer la recta tangente por el punto (𝜋, 𝑓(𝜋)) ?
Recuerde: Si la derivada de una función en un valor 𝑥 es igual 0,
entonces la recta tangente por el punto (𝑥, 𝑓(𝑥)) será una recta
horizontal.
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Ejercicio #3
Aproxime a cuatro lugares decimales:
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𝑑𝑦
𝑑𝑥𝑥2 − tan 𝑥
𝑥=2
= 2𝑥 - 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑥=2
= 2 2 − 𝑠𝑒𝑐2(2)
= 4 −1
𝑐𝑜𝑠2(2)
≈ 4 − 5.774399204
≈ −1.774399204
≈ −1.7744
= 4 −1
[cos 2 2
24 de 26