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Cruz, M. (2006): La enseanza de la Matemtica a travs de la Resolucin de Problemas. Tomo 1 La Habana: Educacin Cubana.

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rgano Editor EDUCACIN CUBANA, 2006 Sistema de Informacin para la Educacin Ministerio de Educacin

Miguel Cruz Ramrez, 2006 Universidad de Holgun "Oscar Lucero Moya" Departamento de Matemtica mcruzr@facinf.uho.edu.cu

ISBN 959-18-0137-8 Depsito Legal: 435-2006

NDICE INTRODUCCIN ........................................................................................................1 1. ANTECEDENTES HISTRICOS............................................................................4

1.1 Los primeros trabajos ...................................................................................5 1.2 La obra cartesiana........................................................................................9 1.3 Los aportes de otros grandes matemticos................................................11 1.4 Primeras influencias de la psicologa .........................................................21 1.5 La obra de Polya ........................................................................................25 1.6 La era dorada .............................................................................................30 Bibliografa para el captulo 1 .................................................................................36

2. EL CEREBRO HUMANO COMO SOPORTE MATERIAL....................................39

2.1 La extraordinaria capacidad del cerebro humano ......................................40 2.2 Retos de la actualidad ................................................................................45 Bibliografa para el captulo 2 .................................................................................52

3. CONCEPTOS Y PROCESOS BSICOS..............................................................54

3.1 Epistemologa de la resolucin de problemas ............................................54 3.2 Sobre los conceptos de ejercicio y problema .............................................65 3.3 Bases psicolgicas de la resolucin de problemas ....................................74

3.3.1 La cognicin y el proceso del pensamiento..........................................74 3.3.2 La resolucin de problemas como habilidad generalizada ...................79 3.3.3 Convergencia y divergencia del pensamiento ......................................93

3.4 La Enseanza Problmica de la Matemtica ...........................................106 3.5 Consideraciones retrospectivas sobre los fundamentos tericos.............114 Bibliografa para el captulo 3 ...............................................................................125

INTRODUCCIN La Matemtica es una de las ciencias ms antiguas y, a lo largo de los aos, ha sido utilizada con fines diversos. Esta ciencia es extraordinariamente dinmica y cambiante, a tal punto que sus conceptos primarios sufren transformaciones relativamente rpidas y hasta su propia concepcin, aunque de modo ms lento, experimenta cambios tangibles. La Matemtica es un fenmeno cultural universal, pues cualquier civilizacin crea una Matemtica. Imaginar un mundo, en el cual los cambios y la complejidad subsistentes no puedan ser organizados mentalmente en relaciones, dependencias y modelos, es ciertamente difcil. Un mundo as constituira un verdadero caos, una anttesis del cosmos.1

Definir o caracterizar qu es la Matemtica constituye un complejo problema filosfico. Algunos cientficos llegan a plantear cuestiones verdaderamente sorprendentes. Por ejemplo, V. Arnold ha aseverado que [t]oda la Matemtica se divide en tres partes: la Criptografa (pagada por la CIA, la KGB y semejantes), la Hidrodinmica (sostenida por constructores de submarinos atmicos) y la Mecnica Celeste (financiada por militares y otras instituciones que comercian con misiles como la NASA). [] La existencia de una relacin misteriosa entre estos diferentes dominios no tiene explicacin racional.2 Aunque Arnold, al parecer, solo reconoce la matemtica occidental, es positivo el hecho de resaltar las necesidades objetivas como motor impulsor de la ciencia. Adems, la relacin misteriosa puede verse en 1 Sierpinska, A. (1998) WMY 2000: Some themes for discussion. World Mathematical Year 2000, Newsletter 6 of IMU, p. 1. 2 La Criptografa comprende la Teora de Nmeros, la Geometra Algebraica, la Combinatoria, la Computacin, etctera; la Hidrodinmica incluye el Anlisis Complejo, las Ecuaciones en Derivadas Parciales, los Grupos de Lie, etctera; y la Mecnica Celeste abarca los Sistemas Dinmicos, el lgebra Lineal, la Topologa, el Clculo Variacional, la Geometra Simplxtica, etctera. Vase Arnold, V. I. (2000) Polymathematics: Is mathematics a single science or a set of arts? In: V. Arnold et al. (Eds.) Mathematics: frontiers and perspectives, IMU & AMS, p. 403.

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un sentido metafrico en el mejor de los casos, pues el materialismo dialctico explica con suficiente rigor el origen de esta relacin.3

Sin dudas la Matemtica ha experimentado un crecimiento exponencial, planteando nuevos retos para ensearla y aprenderla. En el finalizado siglo XX, con la denominada Revolucin CientficoTcnica, la correspondiente evolucin didctica alcanz una velocidad sin precedentes, as que el abordaje de la realidad actual no es tarea sencilla. Puede decirse que esta evolucin alcanz su mximo esplendor en el ltimo cuatridecenio, tal y como se ver en el primer captulo. En lo que se refiere a enseanzaaprendizaje de la Matemtica, son dismiles los temas que hoy constituyen objeto de estudio. Por ejemplo, es de peculiar inters la formacin de conceptos, las creencias y concepciones, la aplicacin de las herramientas computacionales, la formacin del profesorado, la Ingeniera Didctica, la Heurstica, el trabajo con estudiantes de alto aprovechamiento, el desarrollo del pensamiento (en sus mltiples enfoques: lgicoformal, geomtricoespacial, combinatorio, ), la resolucin de problemas, etctera. Justamente el ltimo campo mencionado constituye un amplio objeto de anlisis, al cual se le dedicar ntegramente el presente libro. La resolucin de problemas constituye un verdadero dilema para la enseanza de la Matemtica. Cuando se habla de problemas no debe referirse a la versin trivializada de los ejercicios con texto, tambin acuados como story problems en lengua inglesa. Por el contrario, aqu el trmino se refiere a situaciones verdaderamente complejas, capaces de potenciar el desarrollo del pensamiento, y de proporcionar modos de actuacin para enfrentar los retos de la ciencia y la tcnica. Situaciones as, son difciles de encontrar en la prctica educativa. Actualmente, algunos investigadores han hiperbolizado la bsqueda de tales situaciones exclusivamente en contextos prcticos. En efecto, muchas veces se espera que la enseanza de la Matemtica se base en problemas contextualizados; o sea, aplicables directamente a las necesidades objetivas o subjetivas del estudiante. Esto se apoya en fundamentos de naturaleza psicolgica, principalmente de orden afectivo y motivacional, pasando por alto otros aspectos de naturaleza epistemolgica y matemtica. Por ejemplo, tratar de vincular la enseanza de las funciones cuadrticas con la prctica, lleva muy pronto al agotado tema del lanzamiento del proyectil. La bsqueda de otros ejemplos conduce desafortunadamente a ejercicios demasiado artificiosos y, con ello, a un efecto negativo en la enseanza. La contextualizacin es necesaria, siempre y cuando sea pertinente su inclusin en el saln de clases. No es posible olvidar que los contenidos matemticos tienen tambin el propsito de desarrollar el pensamiento, y de sentar las bases para el aprendizaje de otros conocimientos ms elevados. Si bien la resolucin de problemas ocupa un lugar central en la enseanza de la Matemtica, los saberes acumulados se encuentran dispersos, simulando en ocasiones una desconexin aparente. Ciertas obras enfocan el tema enfatizando el enfoque psicolgico lo cual, si bien agota una arista importante del problema, 3 Un trabajo excelente sobre la naturaleza de la Matemtica puede verse en: Stewart, I. (2004) De aqu al infinito. Las matemticas de hoy (captulo 1, pp. 1323). Barcelona: Crtica.

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margina otros aspectos no menos importantes. Por el contrario, algunos textos han enfatizado tanto los elementos de la epistemologa de la Matemtica, que desatienden por completo el axioma esencial de que el proceso analizado es eminentemente humano y no puede aislarse de su esfera afectivamotivacional. Son dismiles las preguntas que salen a colacin: qu entender por problema matemtico en el mbito escolar?, qu acciones tienen lugar durante la resolucin de problemas?, qu procesos psquicos se asocian a esta actividad humana?, qu papel juegan las creencias y concepciones que el sujeto resolverte tiene sobre la Matemtica?, qu relacin existe entre el proceso de resolucin de problemas y otros procesos como la imaginacin espacial, la formulacin de problemas, el razonamiento y la bsqueda de relaciones? Muy bien podran seguirse enumerando varias preguntas ms, donde cada una ha constituido el punto de mira de dismiles investigaciones. Esto es solo una muestra de cuan amplia y rica es la Didctica de la Matemtica. El presente libro ha aceptado el reto de enfocar la enseanza de la Matemtica a travs de la resolucin de problemas. Cada una de las cuestiones anteriores se examina procurando no herrar en disquisiciones de corte absolutista, pero sin pasar por alto la necesidad de mantener un profundo espritu crtico. Ninguna pregunta contar con una respuesta acabada, por el contrario, cada anlisis generar nuevos enigmas para investigaciones ulteriores. Esta obra constituye un pequeo homenaje a una dcada de notables esfuerzos, desarrollados por muchos investigadores en el Instituto Superior Pedaggico Jos de la Luz y Caballero. Desde la primera edicin de la Maestra en Didctica de la Matemtica (en 1995) se han generado casi un centenar de investigaciones, muchas de las cuales tomaron como objeto la resolucin de problemas en el contexto escolar. Las temticas abordadas han sido diversas, pero parten de una visin objetiva de su objeto de investigacin y se erigen sobre los presupuestos ms nobles de la pedagoga cubana. Diez de estas investigaciones han tenido continuidad y han sido defendidas exitosamente en esta institucin como disertaciones doctorales. En su conjunto, esta obra puede servir de material de consulta para investigadores de todos los niveles, principalmente para aquellos que se inclinan por el fascinante campo de la resolucin de problemas. Tambin puede ser de utilidad para el profesorado de Matemtica, tanto en formacin como en servicio. En todos los casos se requiere de un estudio profundo y crtico. Si al hacer referencia a este libro, los maestros e investigadores lejos de asumir tcitamente sus consideraciones, exploran con avidez y opinin propia cualquier idea aqu abordada, entonces el objetivo ser cumplido.

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1. ANTECEDENTES HISTRICOS El mtodo histricolgico es sumamente poderoso para desentraar ciertas regularidades que ocurren en el objeto de estudio de cualquier ciencia. No es posible un anlisis completo de la teora sobre Resolucin de Problemas (en lo adelante RP, tanto en singular como en plural) en la escuela sin su correspondiente abordaje histrico. As, en el presente captulo se estudiar la evolucin que ha tenido la enseanzaaprendizaje de la Matemtica desde tiempos inmemoriales hasta la actualidad, con nfasis en la RP. Un hecho significativo consiste en el desafo actual de esclarecer la naturaleza de la Didctica de la Matemtica (en lo que sigue DM), pues no existe consenso respecto a si es o no una disciplina cientfica. Algunos afirman categricamente que s, mientras otros defienden el criterio de que se trata de una especie de confluencia de saberes originados en diferentes campos del conocimiento cientfico. Para ganar en precisin, es justo sealar que el trmino manejado (DM) es una traduccin al castellano del trmino Didactics of Mathematics, equivalente del angloamericano Mathematics Education. Esta denominacin procede de Europa Continental y cuenta con varias traducciones (Didaktik der Mathematik, Didattica della Matematica, Dydaktyka Matematyki, etctera). Slo en Francia (Didactique des Mathmatiques) se da un caso especial con el significado del trmino, ya que un grupo de investigadores franceses (G. Brousseau, Y. Chevallard, entre otros) lo restringen a un fenmeno especial, cuyos conceptos claves son situacin didctica, contrato didctico, transposicin didctica, ingeniera didctica,

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etctera. Desde esta ltima perspectiva, puede considerarse la obra de estos investigadores como un subconjunto (actualmente muy importante) de la DM. Algunos autores han llegado al consenso de admitir el siglo XIX como alborada de la DM, en conexin con la institucionalizacin social de la escuela y el maestro, influida por el crecimiento exponencial y por los cambios metodolgicos acaecidos en las matemticas puras y aplicadas4. El hecho de fijar una fecha, o un siglo para ser ms ortodoxo, puede ser cuestionado si se asume otro criterio de lo que realmente es la DM. Por ejemplo, para algunos investigadores rusos su respectiva historia comenz en 1703, con la publicacin de un antiguo libro de texto. No podran decir los griegos lo mismo respecto a los Elementos de Euclides? Sobre la base de esta ltima idea, a continuacin se ensayar un anlisis que se remonta ms atrs de la Antigua Grecia. 1.1 Los primeros trabajos Hasta la actualidad ha llegado referencia de que, en civilizaciones tan antiqusimas como la egipcia, la babilonia y la china, se enseaba matemtica. As, por ejemplo, los problemas matemticos con textos son tan antiguos como la propia enseanza de esta asignatura. Tanto en las tablillas de barro, como en los papiros ms antiguos, comnmente pueden encontrarse problemas totalmente idealizados. Se trata de pretextos, concebidos con el nimo de ensear los rudimentos aritmticos elementales. Por ejemplo, en un papiro egipcio de mediados del segundo milenio antes de la Era Comn (aEC) aparecen varios problemas destinados a la enseanza de los jvenes escribas. Uno de los problemas es el siguiente: Una pirmide. El lado tiene 140 [codos] y la inclinacin es de 5 palmos y 1 dedo [por codo]. Cul es la altura?5

4 Aproximadamente desde 1830, con la fundamentacin del Anlisis Matemtico por A. Cauchy, el descubrimiento de las geometras no euclideanas por N. Lobachevsky y J. Bolyai, as como la aparicin del concepto de estructura algebraica, motivada por la angosta obra de E. Galoys. 5 Se trata de un papiro de 34 siglos que decan haba sido hallado en las ruinas de Tebas. Fue adquirido en 1858 por el anticuario escocs H. Rhind, en la ciudad egipcia de Luxor. El documento en un principio haba sido un rollo de unos 5.5 m de largo por 33 cm de alto, pero estaba roto en dos pedazos y le faltaban algunos fragmentos. Algunos de estos fragmentos aparecieron, medio siglo ms tarde, en los archivos de la Historic Society, de Nueva York. Haban sido obtenidos por el coleccionista Edwin Smith. El papiro de Rhind fue adquirido, a la muerte de ste, por el British Museum, donde se conserva en la actualidad. El rollo consiste en un manual prctico de la matemtica egipcia, escrito hacia el 1700 aEC y constituye actualmente la principal fuente de conocimientos acerca de cmo contaban, calculaban y medan los egipcios. Fue compuesto por un escriba llamado Ahmos en tiempos del rey hicso Ekenenre Apopi, que rein aproximadamente entre 1788 y 1580 aEC, quien lo copi "fielmente" segn se lee al comienzo del texto. El papiro de Rhind no es un tratado sino una coleccin de ejercicios matemticos y ejemplos prcticos. Est escrito en hiertico (forma cursiva del jeroglfico) y contiene unos 85 problemas. Muestra el uso de fracciones, la resolucin de ecuaciones simples y de progresiones, la medicin de reas de tringulos, trapezoides y rectngulos, el clculo de volmenes de cilindros y prismas, y por supuesto la superficie del crculo.

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En general, en estos textos se inicia con una exposicin del problema matemtico que se trata de resolver, y los datos se presentan como cifras concretas y no como variables abstractas. A continuacin se expone la forma de solucionarlo; cada nuevo paso se basa en el resultado de un paso anterior o bien en uno de los datos facilitados al principio. No se recurre a ningn argumento para justificar el procedimiento ni se da la menor explicacin de la frmula empleada. Tal y como ocurre con muchos libros de texto actuales, los problemas figuran por colecciones y, al parecer, el alumno quedaba as capacitado para resolver cualquier otro problema del mismo tipo que pudiera presentrsele. J. Ritter ha sealado que [l]a finalidad principal de los ejercicios matemticos escolares era familiarizar al futuro escriba con las tcnicas matemticas para resolver problemas. El objetivo que se trataba de alcanzar era la instruccin tcnica y no la aplicacin directa, motivo por el que muchos de los problemas aparentemente prcticos que figuraban en estos textos tenan que ver muy poco con la vida real. [] La finalidad pedaggica de estos ejercicios salta a la vista.6 Un ejemplo de este surrealismo matemtico se aprecia el siguiente problema: Tres veces me reduzco yo, un tercio de m, un quinto de m se me aade; estoy completo. Cul es el nmero que habla? Segn A. H. Schoenfeld, el filsofo griego Scrates fue capaz de aislar la nocin resolver problemas7 para someterla a estudios. Este hecho resulta sumamente notable para su poca, tratndose del siglo V aEC. Si bien es cierto que este sabio negaba la cognoscibilidad del mundo fsico y absolutizaba el hecho de que el hombre solo puede conocerse a s mismo, hay que destacar en l ciertas reminiscencias metacognitivas. Desde el idealismo socrtico, resolver problemas era una cuestin de recordar. Esta doctrina no puede juzgarse por su obra, pues nunca escribi nada, sino por el dilogo Menn o de la Virtud de su discpulo Platn.8 En este dilogo, Scrates ocupa a un esclavo de Menn en la solucin de un problema geomtrico. Realizando una serie de preguntas capciosas y haciendo correcciones muy sutiles, lo conduce a probar que en la siguiente figura a2 = 8, cuando c = 2. He aqu un pasaje del Dilogo: SCRATES. Dime, joven: Sabes que esto es un cuadrado?9ESCLAVO. S. SCRATES. El espacio cuadrado, no es aquel que tiene iguales las cuatro

lneas que vez? ESCLAVO. Seguramente. SCRATES. No tienes tambin estas otras lneas, tiradas por medio, iguales? ESCLAVO. S.

6 Ritter, J. (1989) Las fuentes del nmero. El Correo de la UNESCO, Noviembre, p. 16 (sin itlicas). 7 Schoenfeld, A. H. (1987) A brief and biased history of problem solving, p. 28. In: F. R. Curcio (Ed.) Teaching and Learning: A problem Solving Focus. Reston, VA: NCTM. 8 Su nombre original era Aristocles. Recibi este apodo (Plato) por el significado del mismo en griego: el de anchas espaldas. 9 Scrates le hace ver un cuadrado que ha trazado sobre la arena; esto es PQRS en la figura 1.

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SCRATES. No puede haber un espacio semejante ms grande o ms pequeo?

ESCLAVO. Sin duda. SCRATES. Si este lado fuese de dos pies y este otro tambin de dos pies,

cuntos pies tendra el todo? Considralo antes de esta manera. Si este lado fuese de dos pies y ste de un pie slo, no es cierto que el espacio tendra una vez dos pies?

ESCLAVO. S, Scrates.

c

A

a

S

R

P

D C Q

B

Figura 1. Al comparar las reas de los cuadrados ABCD y PQRS se revela que c2 = 2a2

SCRATES. Pero como este otro lado es igualmente de dos pies, no tendr el

espacio dos veces dos? ESCLAVO. S. SCRATES. Luego el espacio tiene dos veces dos pies? ESCLAVO. S. SCRATES. Cuntos son dos veces dos pies? Dmelo despus de haberlos

contado. ESCLAVO. Cuatro, Scrates. SCRATES. No podra formarse un espacio doble que ste y del todo

semejante, teniendo como l todas sus lneas iguales? ESCLAVO. S. SCRATES. Cuntos pies tendra? ESCLAVO. Ocho. SCRATES. Vamos; procura decirme cul es la longitud de cada lnea de este

otro cuadrado. Las de ste son de dos pies. Dime cuntos sern las del cuadro doble?

ESCLAVO. Es evidente, Scrates, que sern dobles. SCRATES. Ya ves, Menn, que yo no le enseo nada de todo esto, y que no

hago ms que interrogarle. l imagina ahora saber cul es la lnea con que debe formarse el espacio de ocho pies. No te parece as?

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MENN. S. 10 Como se puede observar, por su trivialidad, los impulsos de Scrates desaprovechan las verdaderas potencialidades del pensamiento del esclavo. As, cada pregunta presupone una respuesta inmediata. El intervalo que implica un razonamiento pasa desapercibido. Es notable que si bien el binomio ScratesEsclavo simula una relacin estmulorespuesta, de manera implcita, algo similar pasa con ScratesMenn (vase la ltima pregunta y la ltima respuesta). Hay que destacar que Platn es fundador del idealismo objetivo. A diferencia de su maestro, supona que no es posible obtener conocimiento de las cosas ni de los fenmenos sensoriales, sino tan solo formarse una opinin probable. Para l la fuente del conocimiento est en los recuerdos del alma inmortal del hombre antes de instalarse en el cuerpo mortal, por esto resalta la manera en que Scrates extrae de la mente del esclavo un conocimiento eterno e inmutable. En la obra de Platn no solo afloran tempranas meditaciones psicolgicas como la aptitud es una feliz disposicin del alma para aprender rpidamente y la reflexin es la meditacin laboriosa y en el silencio, sino tambin ideas referidas al aprendizaje como el arte de ensear es el arte de dar educacin y la educacin es la cultura del alma.11 Todo esto muestra cuan grandioso lleg a ser el mundo griego, aun cuando estos anlisis no llegaron a ser abordados a lo Demcrito. La influencia de esta poca llega hasta hoy de muchas maneras. Por solo poner un ejemplo, cuando Platn cre su Academia,12 coloc un cartel en la entrada que adverta: que no pase quien no sepa Geometra. Por Geometra se entenda la Matemtica de estos tiempos, as que aqul que quisiera entrar a la Academia para aprender a filosofar deba saber antes Matemtica. Nada ms similar a las pruebas de ingreso a las universidades actuales. Como puede observarse, desde entonces, dominar esta ciencia ha sido un indicador para medir el desarrollo del pensamiento. Entre los ms destacados matemticos y pensadores de la antigedad, posteriores a Platn, surgi el denominado ars invendi o heurstica. Tal era el nombre de una ciencia bastante mal definida y que se relacionaba tan pronto con la lgica, como con la filosofa o la psicologa. Se expona frecuentemente los mtodos geomtricos, pero raras veces sus detalles, y tena como objeto de estudio las reglas y mtodos del descubrimiento u invencin.13 En el sptimo libro de sus Collectiones, el matemtico griego Pappus ( s. III aEC) trata un tema que llama (analyomenos) que, segn Polya14, puede traducirse como tesoros del anlisis o

10 Platn ( antes del 395 aEC/1946) Menn o de la Virtud. Obras Completas de Platn, t. 2. Buenos Aires: Ediciones Anaconda, pp. 224225. 11 Ibd. t. 4, p. 609, 614 y 616. 12 Fundada por Platn en el ao 387 aEC, en un jardn pblico de las afueras de Atenas cuyo propietario Academo (habitante del tica) haba donado al pueblo ateniense. Se considera a menudo como la primera universidad europea. En este recinto Platn instruy a sus seguidores (el ms grande de los cuales fue Aristteles) en Astronoma, Biologa, Matemtica, Teora Poltica y Filosofa. 13 Vase Polya, G. (1945/1957) How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method (p. 101). 2nd Ed., Princeton University Press. 14 Ibd., p. 133.

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arte de resolver problemas. Un estudio profundo de las ideas de Pappus revela que este trmino sirve de gnesis para el concepto actual de heurstica. En este libro, Pappus describe los mtodos de resolucin de varios problemas geomtricos, y se refiere a formas regresivas y progresivas de razonar. Sin embargo, todo esto lo hace implcitamente.15

Polya comenta como Pappus reconoci en las obras de Euclides, Apolonio y Aristaeus un uso sistemtico de los mtodos de anlisis y sntesis. Particularmente, destaca dos tipos de anlisis; el primero es el anlisis de los problemas de demostracin, cuyo objeto es establecer teoremas como verdaderos; el otro es el anlisis de los problemas por resolver, cuyo objeto es determinar la incgnita. Bsicamente, en la metodologa de resolucin subyace la influencia del mtodo analtico de Platn. La aportacin de Pappus fue aplicar este ltimo a la resolucin de problemas concretos, tanto matemticos como relacionados con la prctica. 1.2 La obra cartesiana Durante el Medioevo, el hito fundamental fue marcado por el filsofo, matemtico y fsico R. Descartes. Este genio francs fue el fundador del racionalismo, que se form como resultado de interpretar de manera unilateral el carcter lgico del conocimiento matemtico. Dado que la naturaleza universal y necesaria de este conocimiento le pareca a Descartes derivada de la naturaleza del intelecto mismo, en el proceso de conocer asign un papel extraordinario a la deduccin, basada en axiomas plenamente fidedignos, alcanzables por va intuitiva. Para obtener el conocimiento, l crea necesario ponerlo todo en duda, salvo la cognoscibilidad. Este principio se manifiesta en su mxima cogito, ergo sum (pienso, luego existo). En el mbito de la RP, la trascendencia ms especial se centra en dos de sus principales tratados: Discours de la Mthode (Discurso del Mtodo, publicado por primera vez en Leyden, en 1637) y Regul ad Directionem Ingenii (Reglas para la Direccin del Espritu, publicado post mortem en Obras Pstumas, Amsterdam, 1701). En 1627 comenz a redactar sus Reglas en tres tomos, con una docena de ellas cada uno; pero despus de arribar a la mitad del segundo volumen, solo alcanz a poner el ttulo de tres reglas ms, ya que la muerte vino a sorprenderlo en febrero de 1650. En esta obra el gran pensador explica a los mortales corrientes como ellos podran pensar como l, y como, siguiendo su mtodo, podran resolver problemas tal y como l lo hizo. El origen de sus Reglas queda descrito por l mismo al plantear: Cuando, en mi juventud, o hablar de invenciones ingeniosas, trataba de saber si no podra inventarlas yo mismo, sin incluso leer al autor, as advert que me conformaba a ciertas reglas.16 La utopa de su gran proyecto descansaba sobre un plan muy

15 Vase una traduccin del griego por P. V. Eecke: La Collection Mathmatique (2 vols.). Paris: Albert Blanchard, 1982. 16 Descartes, R. (1701/1971) Reglas para la direccin del espritu. Obras de Renato Descartes. Editorial de Ciencias Sociales, pp. 301362.

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simple, conformado por tres fases: (I) reducir cualquier problema algebraico a la resolucin de una ecuacin simple; (II) reducir cualquier problema matemtico a un problema algebraico; y fase (III) reducir cualquier problema a un problema matemtico. En cada tomo se discutira, respectivamente, cada fase de manera detallada. Como puede apreciarse, Descartes intentaba matematizar cualquier problema, reducindolo paulatinamente a una ecuacin algebraica. Como ejemplos concretos de la segunda fase, figuran el estudio de problemas geomtricos en el dominio del lgebra (la Geometra Analtica creada por l), la reduccin de una ecuacin diferencial mediante el uso de la transformada de Laplace, etctera. A continuacin se enuncian algunas reglas de manera sucinta. Regla I: Dirigir el espritu de manera que forme juicios slidos y verdaderos de todos los objetos que se presentan: tal debe ser el fin del estudio. Regla III: En el objeto que el estudio se propone hay que buscar lo que se pudiera ver claramente, con evidencia, o con certeza. Regla IV: Es necesario ser sistemtico; el mtodo17 es necesario para descubrir la verdad de la naturaleza. Reglas V y VI: Descomponer los sistemas complejos en componentes simples, dominar las partes simples, y reensamblar las partes comprensibles en un todo comprensible. Regla VII: Para complementar la ciencia, es preciso, por un movimiento continuo del pensamiento, recorrer todos los objetos que se relacionan con el fin propuesto, abrazndolos en una enumeracin suficiente y metdica. Regla VIII: Si en la serie de casos a examinar, aparece alguno que no se entiende bien, hay que abstenerse de examinar los siguientes porque el trabajo que se emplear ser superfluo. El primer libro culmina con las reglas IXXII, que ayudan a consolidar el conocimiento. Enfatiza la necesidad de profundizar en las cuestiones ms simples, en la importancia de la ejercitacin, en la bsqueda de relaciones entre proposiciones simples, y en el empleo ptimo de cuatro facultades: la inteligencia, la imaginacin, los sentidos y la memoria. Respecto a las facultades empleadas en el conocimiento, Descartes destaca que slo la inteligencia puede percibir la verdad, pero no debe dejar de ayudarse del resto de las facultades sealadas. En el segundo libro se examinan cuestiones ms complicadas. He aqu las reglas ms significativas (tambin de forma sucinta): Regla XIII: Cuando se comprende perfectamente una cuestin, es necesario abstraerla de toda concepcin superflua, reducirla a sus ms simples elementos y subdividirlas en tantas partes como sea posible, por medio de la enumeracin. 17 Es preciso aclarar que para Descartes el mtodo consiste en aquellas reglas ciertas y fciles cuya rigurosa observacin impide que se suponga como verdadero lo falso, y que [] el espritu llegue al verdadero conocimiento de todas las cosas accesibles a la inteligencia humana. No suponer verdadero lo que es falso y llegar al conocimiento de todas las cosas. Ibd., p. 315.

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Regla XIV: La misma regla debe ser aplicada a la extensin real de los cuerpos; y es necesario representarla completa a la imaginacin por medio de figuras claras; de este modo sera mucho mejor comprendido por la inteligencia. Regla XV: Es de gran utilidad trazar figuras y representarlas a los sentidos externos, a fin de conservar la atencin del espritu. Como podemos apreciar, estas reglas son muy adecuadas para emprender la solucin de un problema. En el primer caso se incita a descomponer el problema en otros ms sencillos, en el resto se sugiere la construccin de una figura de anlisis. Las reglas restantes se refieren al trabajo con el tecnicismo algebraico.18

Por otra parte, su primera obra publicada, El Discurso del Mtodo, no es ms que una vuelta a las ideas bsicas plasmadas en sus Reglas. Comienza narrando dnde, cundo y cmo arrib a sus ideas, para luego exponer de manera concentrada (en cuatro preceptos) su mtodo. Adems, destaca la existencia exclusiva de las actas del entendimiento por medio de las cuales es posible llegar al conocimiento de todas las cosas: la intuicin y la deduccin. Lo expuesto hasta aqu constituye, por lo menos, la gnesis de lo que Schoenfeld llama heurstica moderna. Ya en estos tiempos Descartes se haba preocupado, incluso, por el concepto de problema, pero esto se ver ms adelante.19

1.3 Los aportes de otros grandes matemticos La Matemtica es una ciencia cuyas aportaciones nunca pierden valor, en la medida que pasan los aos. Todos sus hallazgos constituyen una fuente inagotable de conocimientos, y sirven de soporte para los trabajos de innumerables cientficos, generacin tras generacin. Los conceptos se enriquecen, los teoremas se generalizan, surgen nuevas ramas y objetos de investigacin. En todos los casos, los nuevos matemticos parten del legado de sus predecesores. Como muestra de ello, en 1676, I. Newton (16421727) envi una carta a R. Hooke (16351703), donde escribi el clebre aforismo: si he logrado ver ms lejos, ha sido porque he subido a hombros de gigantes.20 Muchos de estos gigantes fueron capaces de

18 Vase Ibd., pp. 355362. 19 Un estudio exhaustivo de la filosofa del pensamiento cartesiano puede verse en Litker, Ya. (1975/1990) Descartes. La Habana: Ciencias Sociales. 20 Esta frase es una de las ms famosas citas de Newton; sin embargo, es muy probable que l no sea el autor. De hecho, antes la frase ya estaba en circulacin y sola ser atribuida a San Buenaventura, un filsofo escolstico del siglo XIII. Pero Buenaventura tampoco era original, porque un siglo antes ya haban usado la frase Bernardo de Chartres y Pedro de Blois. Al parecer el primero en hacerlo haba sido Lucano, el poeta latino que en el siglo I haba escrito en su Bellum Civile que los pigmeos que pueden erguirse sobre la espalda de los gigantes, alcanzan a ver ms lejos que ellos. En tiempos de Newton, Lucano haba sido traducido al ingls por Marlowe. Sin embargo, algunos piensan que Newton sac la referencia del libro La Anatoma de la Melancola, de Robert Burton, considerado el primer libro sobre psicologa moderna. Este libro est lleno de prrafos brillantes y, entre sus citas, figura la siguiente: Un enano parado sobre los hombros de un gigante ver ms all que el gigante mismo.

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escribir obras de incalculable valor para las nuevas generaciones; inclusive de carcter pedaggico. Probablemente, el matemtico ms antiguo que escribi para la posteridad sus ideas sobre cmo resolver problemas, fue el genio siracusano Arqumedes ( 287212 aEC21). l consign por escrito sus tratados ms importantes durante los ltimos aos de su vida, antes de ser asesinado por un soldado romano, durante la toma de Siracusa por las tropas del general Marcelo. En su obra El Mtodo de los Teoremas Mecnicos, revel cmo haba obtenido varios de sus resultados, incluyendo la determinacin del rea de un segmento parablico, el rea y volumen de una esfera, y el volumen de un elipsoide. Esta obra extraordinaria se crea perdida, pero el 27 de octubre de 1998 el diario New York Times report la subasta de un palimpsesto del siglo XIII, el cual contena varios trabajos de Arqumedes, incluyendo su Mtodo. Un palimpsesto (del griego palin, otra vez, y psao, raspar) es un manuscrito antiguo que ha sido raspado para escribir nuevamente sobre l, lo cual fue una prctica comn antes de la invencin del papel. En este caso se trataba de un viejo compendio de obras de Arqumedes, escrito en el Bizancio del siglo X. Tres siglos despus, algn monje rasp esta obra pagana para escribir textos litrgicos, pero afortunadamente quedaron huellas de la antigua escritura en griego. As pas desapercibido durante unos 600 aos, hasta que en 1906 el fillogo dans J. L. Heiberg, de la Universidad de Copenhague, lo encontr por referencias en la biblioteca de la Iglesia del Santo Sepulcro en Constantinopla (actual Estambul). Fotografi varias de sus pginas y luego, haciendo uso de una lupa, public su hallazgo en 1913. Ms tarde, despus de la guerra turcogriega de 1922, el libro fue a parar a manos de una familia francesa, hasta que reapareci en la mencionada subasta. All fue adquirido por un coleccionista privado en alrededor de 1.2 millones de dlares.22

La lectura del Mtodo en este palimpsesto revela dos caractersticas esenciales del pensamiento arquimedeano:

a) La combinacin de consideraciones provenientes de la Matemtica Pura y de la Fsica. Colocando segmentos y secciones de objetos geomtricos sobre una

21 Dando crdito a Tzetzes, un polgrafo bizantino del siglo XII que afirm que Arqumedes trabaj en geometra hasta edad avanzada viviendo 75 aos (Quiliades, 2, historia xxxv), puede ubicarse su nacimiento hacia el ao 287 aEC. 22 Este pequeo libro de 18x15 cm contiene 174 pginas de piel de oveja, encuadernadas con tapas de madera. El coleccionista (hasta ahora desconocido) se lo prest al Walters Art Museum, con sede en Baltimore, para que ah se realizaran las tareas de conservacin y anlisis necesarias, a fin de ofrecer al mundo el contenido del documento. Abigail Quandt, conservadora de manuscritos y libros raros de dicho museo, ha sealado que el pergamino est perforado en las partes donde entraron hongos y se comieron el colgeno; en estas reas el texto de Arqumedes desapareci por completo. Sin embargo, el Instituto Tecnolgico de Rochester y la Universidad Johns Hopking, aplicando distintas tcnicas (obtencin de imgenes multiespectrales, fluorescencia hiperespectral, microscopa confocal, etctera), lograron recuperar alrededor del 80 % del texto. En 2003, un fsico de la Universidad de Stanford, U. Bergmann, propuso emplear un acelerador de partculas para producir rayosX sincrotrnicos y as poder ver detrs de las ilustraciones. Se espera concluir la restauracin hacia el 2008, con una versin en DVD de las obras de Arqumedes. Solo entonces volver el palimpsesto a manos de su annimo comprador.

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balanza, Arqumedes se las ingeni para medir reas y volmenes. En otras palabras, sus descubrimientos geomtricos fueron hechos bajo un razonamiento fsicoexperimental.

b) La capacidad de ejecutar sumas infinitas. Por ejemplo, l tom una esfera y calcul su volumen como la suma infinita de los crculos que la componen. Al sumar infinitamente y obtener un valor finito, Arqumedes se adelant dos milenios, anticipando lo que sera el concepto de lmite y el Clculo Infinitesimal.23

A continuacin se reproduce un fragmento del epgrafe Sobre la esfera y el cilindro (El Mtodo, I, Corolario 34). Se trata de una especie de realismo matemtico, respecto a las propiedades inmanentes de los objetos geomtricos: Estas propiedades ya eran inherentes por naturaleza a tales figuras, pero las ignoraban quienes se haban dedicado antes que nosotros a la Geometra, porque nadie haba reparado en la simetra que hay entre estas figuras.24 El uso sistemtico de esta simetra, junto a la combinacin de razonamientos fsicomatemticos con sumas infinitas, constituye la esencia heurstica de su Mtodo. Arqumedes quera dejar por escrito estas enseanzas, lo cual constituye un rara avis para un matemtico de su tiempo. He aqu el fragmento:25

Proposicin:

Es posible investigar por el mtodo [mecnico] las proposiciones siguientes: a) Cualquier esfera es, respecto al slido contenido, cuatro veces el cono con base

igual al mayor de sus crculos, y altura igual a su radio. b) El cilindro con base igual al mayor crculo de la esfera, y altura igual al dimetro,

es una y media veces la esfera.

Demostracin:

(a) Sea ABCD el mayor crculo de la esfera, AC y BD dimetros perpendiculares entre s (vase la figura 2). Considrese el crculo de dimetro BD, en el plano perpendicular a AC. Sobre este crculo, tomado como base, sea el cono descrito con vrtice A. La superficie de este cono es cortada por un plano paralelo a su base, a travs de C. Su seccin ser un crculo de dimetro EF. Sobre este ltimo crculo, tomado como base, considrese el cilindro de altura y eje AC, donde H es un punto de dicho eje, tal que AH = CA. Considrese CH como la barra de una balanza, donde A es el punto medio. Trazando cualquier lnea recta MN en el plano del crculo ABCD y paralela a BD,

23 Vase Castro, I. y Hernndez, J. (2004) Primeros antecedentes sobre lo infinitamente pequeo. Universitas Scientiarum, 9 (1), 1322. Pontificia Universidad Javeriana. http://www.javeriana.edu.co/ ciencias/universitas/vol9n1/articulo%202.pdf. Cf Stewart, Ibd., pp. 7980. 24 Prefacio de Commentarii in libros de sphaera et cylindro en Heiberg, J. L. & Stamatis, E. (1915/ reprint 1972) Archimedis opera omnia cum commentariis Eutocii. Vol 3. Leipzig: Teubner, pp. 2224. 25 El lector puede encontrar otros ejemplos similares en Netz, R. (2000) The origins of mathematical physics: new light on old question. Physics Today on the Web (http://aip.org/pt/june00/origins.htm).

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resulta que MN corta al crculo en O y P, al dimetro AC en S, y a las rectas AE y AF en Q y R, respectivamente. Considrese el plano perpendicular a AC, que corta el cilindro en un crculo de dimetro MN, la esfera en un crculo de dimetro OP, y el cono en un crculo de dimetro QR. Ahora, ya que CA = MS y AS = SQ, resulta:

P

D

A

H

FYCWE

B K

RQ G

X

S V

O L

M H A K2r rN

Figura 2. Un problema resuelto por Arqumedes aplicando su Mtodo

MSSQ = CAAS = AO2

= OS2 + AS2

= OS2 + SQ2. Y como HA = CA, se obtiene:

HA : AS = CA : AS

= MS : SQ

= MS2 : (MSSQ) = MS2 : (OS2 + SQ2), de lo anterior,

= MN2 : (OP2 + QR2)

= (crculo de dimetro MN) : (crculo de dimetro OP + crculo de dimetro QR).

Esto es:

HA : AS = (crculo en el cilindro) : (crculo en la esfera + crculo en el cono).

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Por tanto, el crculo en el cilindro, ubicado donde est, est en equilibrio respecto al punto A, con el crculo en la esfera junto al crculo en el cono, si los centros de gravedad de estos ltimos son trasladados hacia H. De manera similar, esto ocurrir para cualquiera de las tres secciones en que un plano perpendicular a AC corta las tres figuras. Trabajando de igual manera con todos los conjuntos de tres crculos, en los cuales los planos perpendiculares a AC cortan el cilindro, la esfera y el cono, se sigue que el cilindro, en el lugar donde est, estar en equilibrio respecto al punto A con la esfera y el cono juntos, si los centros de gravedad de estos ltimos se trasladan hacia H. Por tanto, en virtud de que K es el centro de gravedad del cilindro:

HK : AK = (cilindro) : (esfera + cono AEF). Pero HA = 2AK. Por tanto,

cilindro = 2(esfera + cono AEF). Sabiendo que:

cilindro = 3(cono AEF), Euclides XII, 10, resulta que:

cono AEF = 2(esfera). Ahora, en vista de que EF = 2BD,

cono AEF = 8(cono ABD); por tanto,

esfera = 4(cono ABD). (b) Trazando ahora VBW y XDY, paralelas a AC, es posible imaginar un cilindro de eje AC, con crculos bases de dimetros VX y WY, respectivamente. Por tanto,

cilindro VY = 2(cilindro VD) = 6(cono ABD), Euclides XII, 10, = 112 (esfera), de la relacin anterior.

QED.26

Basndose en este resultado, Arqumedes dedujo que el rea de la superficie de una esfera, equivale al cudruplo de la de su mayor crculo. Adems, partiendo del hecho de que un crculo tiene la misma rea que un tringulo, cuya base y altura

26 QED es la abreviatura de la locucin latina quod erat demonstrandum (literalmente, como queda demostrado). Arqumedes y Euclides utilizaban esta frase sistemticamente al culminar sus demostraciones, pero en griego: (hper dei dexai). Arqumedes consideraba la relacin entre la esfera y el cilindro su mayor logro, y le encarg a sus deudos que una representacin del mismo fuese erigida sobre su tumba (Cicern, Tusculan Disputationes, V, xxiii; y Plutarco, Marcelo, xvii). A modo de desagravio, el general Marcelo orden la construccin de un cilindro y una esfera sobre la tumba de Arqumedes. La tumba fue descubierta 137 aos despus por Cicern en la isla de Sicilia. La reconoci precisamente por la esfera y el cilindro. El monumento ya se ha perdido para la historia.

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equivalen en longitud al permetro y al radio, respectivamente, dedujo que una esfera tiene el mismo volumen que un cono, cuya base y altura equivalen a la superficie y al radio, respectivamente.27

Como puede observarse, el Mtodo pone de relieve la forma en que a Arqumedes se le ocurran sus ideas. Como la mayora de los matemticos, obtena primero una serie de resultados utilizando procedimientos totalmente faltos de rigor, y luego los pula mediante una demostracin adecuada. La costumbre de redactar las obras cientficas bien acabadas, ha privado a generaciones de investigadores de conocer la gnesis de las ideas de sus predecesores. R. Netz, un estudioso de la Universidad de Stanford, defiende la naturaleza heurstica de esta parte de la obra arquimedeana. Segn l, una prueba de este carcter heurstico reside en el hecho de que los diagramas que figuran en el palimpsesto tampoco son lo suficientemente rigurosa. Por ejemplo, dibujar un arco de circunferencia para ilustrar una parbola.28 Los mtodos heursticos expuestos por Arqumedes permitan intuir la respuesta de muchos problemas (como el caso de rebanar slidos en una cantidad infinita de porciones de espesor infinitesimal y suspenderlos de los brazos de una balanza imaginaria), de manera que resultaba ms fcil una resolucin rigurosa ulterior. Durante muchos siglos, despus de la cada del Imperio Romano en el ao 476, la enseanza de las ciencias no fue un asunto esencial. El escaso conocimiento que se haba rescatado de las culturas griega y romana, estuvieron asociados a la Iglesia Catlica y, sobre todo, a las necesidades que ella tena (como, por ejemplo, en los servicios religiosos y en la lectura de libros sagrados). Debe decirse que en toda esta poca no haba mucha matemtica disponible, aunque en el currculo educativo (para las pocas escuelas que haba) se le dio cierto nfasis a la Matemtica. El modelo educativo estaba formado por lo que se llama el cuadrivium y el trivium. El primero estaba constituido por Aritmtica, Msica, Geometra y Astronoma; mientras que el segundo estaba integrado por Retrica, Gramtica y Dialctica. El cuadrivium es una prueba de la influencia griega, pues se corresponde con la concepcin de la Matemtica por parte de Pitgoras y la escuela pitagrica, los cuales distinguan cuatro ramas: dos discretas, que son la Aritmtica (absoluta) y la Msica (relativa); y dos continuas, que la Geometra (esttica) y la Astronoma (dinmica).29

La razn fundamental del bajo nivel cientfico era la ausencia de factores que estimularan el desarrollo del conocimiento. Para la Iglesia de esos tiempos, la fuente de la verdad slo se encontraban en la revelacin divina, y los estudios tenan que orientarse hacia la lectura y anlisis de los textos sagrados, donde se supona se encontraban la verdad y el conocimiento. En ese sentido, los mtodos empricos o experimentales estaban prcticamente excluidos para la investigacin del mundo

27 Vase Heath, T. L. (1953) The Works of Archimedes with the Method of Archimedes. New York: Dover Publications. 28 Netz, 2000, op. cit. 29 Tres de estas ramas siguen constituyendo las fuentes del progreso matemtico actual, a las cuales se aade la nocin de probabilidad. De esta manera, en la actualidad existen al menos cinco fuentes distintas de conceptos matemticos: el nmero, la forma, el modo de ordenar, el movimiento y el azar. Vase Stewart, op. cit., pp. 1415.

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circundante. Como los temas principales de reflexin y anlisis eran el pecado, el temor al infierno, la salvacin o cmo ascender al cielo, el estudio del mundo fsico real no solo se consideraba fuera de los fines de la educacin y el conocimiento por parte de la Iglesia, sino que, muchas veces, era considerado algo estril y, en ocasiones, hasta hertico. Alrededor del siglo XII, el mundo medieval comenz a estremecerse por el descubrimiento de las grandes contribuciones de la Antigua Grecia en ciencias, artes y literatura. Fue a travs del comercio y los viajes que hicieron contacto con obras que haban sido conservadas, traducidas e incluso ampliadas por los rabes. Los intelectuales y religiosos de la poca retomaron estos trabajos, estableciendo una unidad entre el pensamiento aristotlico y las doctrinas del catolicismo; as crearon lo que se conoce por Escolstica. A pesar de ello, no pusieron sus nfasis en los aspectos naturalistas o ms relacionados con la indagacin emprica, sino en los aspectos ms metafsicos: en la lgica y en las premisas cosmolgicas que menos entraban en contradiccin con los dogmas establecidos.30 Por eso, a pesar de que se lograron algunos resultados matemticos de inters, stos no fueron de gran trascendencia. La situacin slo cambiara bajo la accin de importantes transformaciones sociales, culturales y polticas que se suelen asociar con los trminos del Renacimiento. El fin de la Edad Media, abriendo paso al Renacimiento, suele ubicarse en el ao 1453, despus de la cada de Constantinopla en manos turcas. El Renacimiento fue un perodo en el que el estudio de la Matemtica y los clsicos alcanz un gran esplendor. A partir del siglo XV, en las universidades de Europa se comenz a ensear el conocimiento prctico, adems del terico que vena ensendose desde dos siglos atrs. En particular, empez a ensearse lo que entonces se llam "matemtica comercial". Los jvenes que deseaban convertirse en mercaderes o comerciantes tenan la oportunidad de formarse en la prctica, como ayudantes y aprendices de mercaderes reconocidos en su ciudad, esto es sin tener que asistir a la universidad. El desarrollo mercantil en Europa a partir del siglo XV fue tan importante, que los mercaderes se vieron en la necesidad de estudiar tcnicas matemticas que les permitieran perfeccionar su trabajo. Adems, ellos mismos empezaron a ensear a sus hijos y ayudantes estas tcnicas. Muy pronto la Matemtica se convirti en una parte inseparable del comercio. Esta situacin fue desarrollndose de tal modo, que para el siglo XVI los jvenes que aspiraban a ser comerciantes aprendan, con mucha precisin y velocidad, las operaciones aritmticas que se necesitaban para el comercio de aquella poca. Para favorecer esta sed de clculo, alrededor de 1545 G. Cardano escribin su Artis Magnae, una obra muy elogiada que resume el lgebra del Renacimiento.31

Durante el Renacimiento Italia era uno de los mejores lugares para aprender matemtica comercial, pues los matemticos italianos fueron los primeros en publicar diversos libros y tratados de Aritmtica, fundamentales para el desarrollo del 30 De aqu la gnesis del palimpsesto de Arqumedes, tal y como se coment anteriormente. 31 Parte de los resultados fueron birlados a otros autores como Niccol Fontana (Tartaglia). En todos los casos con los debidos agradecimientos, pero sin su permiso.

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comercio y herramientas indispensables para los mercaderes y comerciantes de la poca. Estos libros, llamados "Aritmticas", contenan toda la teora matemtica que los mercaderes necesitaban: en ellos se poda aprender a sumar, restar, multiplicar y dividir; tambin se explicaban problemas aplicando la regla de tres y ecuaciones de primer grado. Pero adems de teora, todas las "Aritmticas" contenan tambin datos muy concretos sobre precios y distribucin de productos como, el azafrn, la pimienta, la canela, el trigo, la plata, la lana, la cera y el algodn. Las condiciones estaban creadas para un esplendoroso siglo XVII. Durante el fragor del desarrollo cientfico del siglo XVII, vivi el eminente matemtico y filsofo G. W. Leibniz (16461716). Este connotado cientfico, creador junto con Newton del Clculo Infinitesimal, constituy uno de los fundadores de la dialctica idealista alemana. Leibniz era partidario del racionalismo idealista y orientaba la teora del conocimiento contra el sensualismo y el empirismo, al negar que la experiencia sensorial constituya la fuente de la universalidad y necesidad del saber; l afirmaba que slo el entendimiento puede ser dicha fuente. Desde sus primeros trabajos, Leibniz manifiest inters por la Matemtica y sus aplicaciones. Su primera obra Dissertatio de Arte Combinatoria,32 editada en 1666, aparece como consecuencia de sus estudios en la universidad de Leipzig. En ese escrito se encuentra buena parte de sus ideas fundamentales sobre combinatoria, y algunas de sus reglas bsicas o mtodo de investigacin cientfica, que l llam el Arte de Inventar. All propuso el desarrollo de un mtodo sugerido por R. Lull y algunos matemticos y filsofos modernos. Este mtodo consista, antes que todo, en el anlisis de trminos complejos en funcin de trminos simples, resolviendo un trmino dado en sus partes formales para poder definirlo. Despus deberan resolverse esas partes en sus propias partes, a travs de la asignacin de definiciones a los trminos de la primera definicin, hasta llegar a las partes simples o trminos indefinibles. Estos trminos simples corresponderan a las operaciones bsicas que han de realizarse y que estaran contenidos en los subproblemas originados tras las sucesivas divisiones. El segundo paso consistira en representar esos trminos indefinibles, utilizando smbolos matemticos. Solo entonces se encontrara el modo adecuado de "combinar" dichos smbolos. Leibniz pensaba que ste sera el proceso para formar una lgica deductiva del descubrimiento, que servira no solamente para demostrar verdades ya conocidas, sino tambin para descubrir verdades nuevas. Nada ms cercano del pensamiento cartesiano. Por otra parte, tambin se conoce que Leibniz trat de construir un clculo lgico aritmetizado, en forma de una mquina calculadora. De esta manera esperaba poder determinar, mediante el clculo y conforme a las reglas formuladas, qu es verdad y qu es falsedad (sin recurrir, por supuesto, a la prctica); pero no pas de ser una quimera esa nocin de Leibniz, sobre la suplantacin completa del pensamiento humano por una mquina calculadora.33

32 Leibniz, G. W. (1966/1992) Disertacin acerca del arte combinatorio. Traduccin de M. Correia, Santiago de Chile: Ediciones Universidad Catlica de Chile. 33 Vase Gutmanova, A. (1989) Lgica. Mosc: Progreso. Cf. p. 115 y pp. 281284.

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A la altura del siglo XVIII, un papel trascendental correspondi al matemtico suizoruso L. Euler (17071783). Este eminente cientfico no lleg a plantear explcitamente, como Descartes, un conjunto de reglas para abordar los problemas; ni siquiera, como Leibniz, se propuso hacerlo. El mrito fundamental radica en la educacin heurstica manifestada en su praxis pedaggica. Segn testimonios del marqus de Condorcet (M. J. A. N. de Caritat, 17431794): [Euler] prefera instruir a sus alumnos con la pequea satisfaccin de sorprenderlos; l nunca crey haber hecho suficiente por la ciencia si no hubiese aadido a los descubrimientos la ntegra exposicin de la simplicidad de la idea que le llev a ellos.34

En la obra euleriana, los descubrimientos por analogas ocupan un lugar sumamente destacado. He aqu un ejemplo clsico: J. Bernoulli (16541705) descubri la suma de varias series infinitas, pero fracas con la suma de los recprocos de los cuadrados: 1 + 1/4 + 1/9 + 1/25 + El problema interes a Euler, quien despus de varios intentos, encontr el valor exacto. La analoga le haba conducido al establecimiento de una conjetura. As, tras considerar la ecuacin senx = x x3/3! + x5/5! x7/7! + = 0, l dice que, como el miembro izquierdo es de grado infinito, no es extraa la presencia de una infinidad de races: 0, , 2, 3, (ya que el seno se anula, exclusivamente, cuando toma por argumento los mltiplos enteros de ). A continuacin, descarta la raz nula y divide ambos miembros por x (factor lineal correspondiente a dicha raz), obteniendo 1 x2/ 3! + x4/5! x6/7! + = 0, con races , 2, 3, Luego concluye, por analoga respecto a la factorizacin de polinomios, que 1 x2/ 3! + x4/5! x6/7! + = (1 x2/2)(1 x2/42)(1 x2/92) Eliminando parntesis y comparando coeficientes obtiene 1/23 = 1/2 + 1/42 + 1/92 + de donde resulta la solucin correspondiente al problema de Bernoulli:

2/6 = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/25 + Este y otros ejemplos aportados por Euler, no dejan duda alguna respecto a la potencialidad de los razonamientos por analoga. Sin embargo, en la lgica formal, el mtodo anterior constituye una falacia indebida, pues se aplic una regla a un caso para el cual no estaba demostrada (una regla para las ecuaciones algebraicas a una ecuacin no algebraica). Desde el punto de vista lgico, el paso de Euler no estaba justificado; no obstante, la analoga lo justificaba. Las razones para confiar en su descubrimiento no son demostrativas, pues l no analiza retrospectivamente los fundamentos de su conjetura, examinando tan solo las consecuencias. Ulteriormente, esta metodologa recibi el nombre de induccin euleriana, y contribuy a la solucin de mltiples problemas. Otro matemtico notable que, sin aportar ningn procedimiento o regla heurstica en particular, s se propuso recopilar y divulgar los modos de actuacin de los hombres de talento, fue B. Bolzano (17811848). En el libro Wissenschaftslebre, este cientfico checo expresa sus intenciones de asentar las reglas y los caminos 34 History of the Royal Academy of Sciences 1783, Paris 1786, pp 3768. Una versin en ingls aparece disponible en http://www.math.dartmouth.edu/~euler/historica/condorcet.html.

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seguidos por los matemticos tras cada descubrimiento. Con suma modestia, Bolzano esperaba que su empresa tuviera aplicacin ms tarde. Por su parte, N. I. Lobachevski (17921856), reflej su marcada tendencia progresista en el libro Instrucciones para los Maestros de Matemtica de los Gimnasios. En efecto, en esta obra que data de 1830, el insigne matemtico destaca la necesidad de ayudas visuales en la educacin, as como la importancia de tomar en consideracin las peculiaridades de la edad de los estudiantes. No todos los grandes matemticos escribieron sus memorias sobre la forma en que arribaban a sus ideas; un ejemplo de ello fue K. F. Gauss (17771855). Segn l, cuando se ha terminado de construir un edificio, no debe dejarse a la vista el andamiaje. Por este motivo, C. G. J. Jacobi (18041851) comparaba a Gauss con un zorro, (el zorro de las matemticas), porque iba borrando con su cola las huellas que dejaba en la arena. Un caso similar ya haba ocurrido con Newton aos atrs. En su Philosophiae naturalis principia mathematica, no queda ningn vestigio sobre cmo lleg a sus resultados. Estos aparecen expuestos al estilo geomtrico clsico. Newton se asegur de que su arma (el Clculo) permaneciera oculta; probablemente para que sus mtodos resultaran ms familiares a sus contemporneos, para evitar controversias, o quizs por su profunda admiracin por la geometra clsica griega. En una poca ms cercana, a principios del siglo XX, un grupo de matemticos influy notablemente en la DM, y muy especialmente en los mtodos para ensear a resolver problemas. Se trata del grupo Bourbaki, conformado por A. Weil, J. Delsarte, S. Mandelbrojt, P. Dubreil, J. Dieudonn, R. de Possel, H. Cartan, C. Chevalley y J. Leray. Ellos enarbolaron el lema Abajo Euclides, en el sentido de formalizar la Matemtica. La obra enciclopdica que llevaron a cabo cal profundamente en los currculos de mediados del siglo pasado, tal y como se ver ms adelante. La conformacin de este controvertido grupo ocurri en una poca difcil. As comenta en una entrevista H. Cartan (n. 1904), el ltimo de sus sobrevivientes: Despus de la I Guerra Mundial no haba muchos cientficos (quiero decir buenos cientficos) en Francia porque la mayora haba muerto. ramos la primera generacin despus de la guerra. Despus de nosotros haba un gran vaco y era necesario renovarlo todo. Algunos de mis amigos se fueron al extranjero, fundamentalmente a Alemania, a fin de ver qu se haca all. All fue el debut de una Matemtica renovada. Esta renovacin se debi a gente como Weil, Chevalley, []. Las mismas personas, respondiendo a la iniciativa de Weil, se reunieron para formar el grupo Bourbaki. En este grupo he aprendido mucho. Casi todo lo que s de Matemtica lo he aprendido con y en el seno del grupo Bourbaki.35

35 Allyn, J. (2000) Un entretien avec Henri Cartan. Gazette des Mathmaticiens, 84, p. 8. Nicols Bourbaki fue el nombre elegido como pseudnimo por un grupo de matemticos franceses en los aos treinta del siglo pasado. Se trata de un misterio acompaado de leyendas. Una de las versiones ms aceptadas es que adoptaron el apellido de un general francs de la guerra francoprusiana: Charles Denis Sauter Bourbaki, al que en 1862 le ofrecieron ser rey de Grecia. Se deca que en Nancy (con cuya universidad estaban relacionados varios de estos matemticos) haba una estatua suya.

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1.4 Primeras influencias de la psicologa En la alborada del siglo XX surgieron los aportes de H. Poincar, matemtico francs que se ocup sobremanera de la metodologa general de la ciencia. Poincar consideraba que las leyes de la ciencia no pertenecen al mundo real, sino que constituyen acuerdos convencionales para hacer ms cmoda y til la descripcin de los fenmenos correspondientes. En su The Foundations of Science (1913), Poincar dedica un apartado al anlisis de la creacin matemtica. Esta seccin recibi el ttulo de Mathematical Creation36, y haba sido publicada originalmente en L'Enseignement Mathmatique (1908). A pesar de las limitaciones filosficas de este autor, lo ms plausible en esta obra es la distincin que hace respecto al acto creativo. En efecto, sobre la base de su experiencia personal37, destaca cuatro fases: a) Saturacin (actividad consciente que implica trabajar en el problema hasta donde

sea posible), b) Incubacin (el subconsciente es el que trabaja), c) Inspiracin (la idea surge repentinamente), d) Verificacin (chequear la respuesta hasta asegurarse de su veracidad). El germen de estas ideas subyace en las vivencias que experiment con sus propios descubrimientos. Particularmente, Poincar narra como encontr la solucin de un problema en el que haba estado muy enfrascado durante 15 das. Habiendo salido de Caen, durante una excursin geolgica, l comenta: Los cambios del viaje me hicieron olvidar mi trabajo matemtico. Habiendo llegado a Coutances, abordamos un mnibus para ir a algn lugar. En el momento que puse el pie en el estribo me vino la idea, sin que nada en mis pensamientos anteriores hubiese allanado el camino []38. Ms adelante resalta: Pudiera decirse que el trabajo consciente ha sido ms fructfero porque ha sido interrumpido y el descanso le ha devuelto a la mente su fuerza y frescura. Pero es ms probable que el descanso haya estado lleno de trabajo inconsciente y que el resultado de este trabajo se haya revelado posteriormente [].39

A decir verdad, la historia recuerda muchas otras ancdotas que, en parte, coinciden con lo anterior. Por ejemplo, el descubrimiento de la estructura anillada del benceno, cuando F. A. Kekule so con una serpiente mordindose la cola (fase 2); y el problema referido a la corona del rey Hern que condujo al eureka arquimedeano (fase 3). Sin embargo, las ideas de Poincar no devienen paradigmas para describir el quehacer matemtico, y mucho menos la actividad matemtica en el contexto escolar. En Materialismo y Empiriocritisismo, V. I. Lenin expresa: La esencia de la original teora de Poincar se reduce a la negacin [] de la realidad objetiva y de

36 Captulo III, segunda parte, libro I (La Ciencia y el Cientfico). En: Poincar, H. (1913/1982) The foundations of Science, University Press of America, Inc., pp. 383394. 37 Ibd., pp. 387388. 38 dem. 39 Ibd., p. 389.

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las leyes objetivas de la naturaleza.40 Efectivamente, no se trata de que la actividad mental (particularmente el pensamiento creativo) carezca de procesos inconscientes, sino de evitar reducirla a ellos. Otra importante contribucin fue realizada por J. Hadamard (18651963) en su libro An Essay on the Psychology of Invention in the Mathematical Field, publicado en 1945. Hadamard prosigue y profundiza el punto de vista de Poincar, resaltando la actividad consciente, la reflexin y el trabajo inconsciente. De manera similar, este matemtico propone un esquema algo ms exhaustivo para explicar el proceso de creacin matemtica. Sus fases eran las siguientes: a) Documentacin (informarse, leer previamente, escuchar, discutir); b) Preparacin (realizar un proceso de ensayoerror sobre diferentes vas e

hiptesis, considerando un cambio eventual de actividad en caso de no obtener ningn progreso);

c) Incubacin (al cambiar de actividad, tal como haca Einstein al tocar un violn, la solucin se est gestando en el subconsciente);

d) Iluminacin (ocurre la idea repentina); e) Verificacin (la idea debe someterse al anlisis y comprobacin, al juicio crtico); f) Conclusin (ordenacin y formulacin rigurosa de los resultados). En su poca estas ideas fueron bastante progresistas. Por primera vez se intentaba explorar los fenmenos que ocurren en el cerebro humano, durante la RP. Ya no se trataba de describir ciertas reglas para conducir el pensamiento, sino de estudiar el pensamiento mismo. No es casual que, en estos mismos aos, la Psicologa estaba sufriendo un desarrollo trascendental y una divisin en varias corrientes mecanicistas e idealistas. Una de las corrientes ms conocidas, surgida como respuesta al asociacionismo imperante, fue la Gestaltpsychologie (surgida en Alemania, en 1912) que consideraba a ciertas formaciones psquicas (Gestalten, del alemn Gestalt = forma, totalidad) fundamentales de la psiquis. Esta teora parte de la separacin entre el individuo, su medio externo y su actividad prctica. Los partidarios de dicha corriente explican la totalidad de las formaciones psquicas por leyes subjetivas inmanentes, lo cual les lleva al idealismo. Como ha podido apreciarse, las ideas de Poincar y Hadamard son un arquetipo de explicacin gestalt a la RP matemticos. La mayor dificultad estriba en la referencia constante al inconsciente sin conocer su naturaleza. Los gestaltistas evadieron la responsabilidad de explicar las acciones que tienen lugar en el subconsciente. Ellos tenan profundas fisuras en el orden metodolgico, pues su herramienta fundamental, la introspeccin, tenda a no ser confiable. Otra corriente psicolgica notable fue el Behaviorismo (del ingls behavior = conducta), cuya base filosfica es el pragmatismo. Esta teora es completamente mecanicista, pues reduce los fenmenos psquicos a reacciones del organismo;

40 Lenin, V. I. (1920/1990) Materialismo y Empiriocriticismo (p. 155). La Habana: Pueblo y Educacin.

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adems, identifica conciencia y conducta, considerando que la unidad fundamental de esta ltima es el nexo estmulorespuesta. Como ejemplos ilustrativos pueden tomarse los trabajos sobre fisiologa del aprendizaje de B. F. Skinner. Este investigador trat de aplicar sus resultados obtenidos con ratas al aprendizaje de estudiantes de la Universidad de Harvard. Las principales ideas del enfoque de Skinner eran: el anlisis cuidadoso de una tarea y el refuerzo. El Behaviorismo influy notablemente sobre los currculos de matemtica. Desde esta perspectiva, deba resolverse paso por paso una serie de ejercicios. As se supona que los estudiantes podran desarrollar habilidades bsicas, las cuales se pondran en accin durante la RP. Segn J. Wyndhamn41, esto ltimo significa poder aplicarlas a situaciones donde algunas caractersticas especficas (estmulo) provoca conductas especficas (respuesta). En fin, el conjunto de razonamientos del estudiante se reduce a la simple suma de todas sus partes. 42

Esta teora caus un fuerte impacto en la elaboracin de los libros de texto (vase la figura 3), los cuales eran fragmentados en muchas partes disjuntas y abarrotadas de tareas para ejercitar durante la leccin. Las tareas presentadas se caracterizaban por estar enlazadas unas con otras sin admitir interferencias. En muchos casos, los ejercicios con textos sobre la vida real aparecan precedidos por encabezamientos tales como: Usa la divisin para resolver los siguientes problemas. Desde esta ptica el aprendizaje se consegua tras una cadena lineal de estmulos y respuestas. El pensamiento humano pasaba inadvertido, enclaustrado en una caja negra hasta los tiempos de Piaget y Vigotsky. Otros aportes de la Psicologa a la RP han girado en torno a la inteligencia humana. En este caso, la mayora de los autores clasifican las teoras de diversas formas. Un caso especial lo constituyen las teoras psicomtricas (o diferenciales), lascuales tuvieron como precursores a C. Spearman y L. L. Thurstone. Spearman aplic por primera vez el anlisis factorial, para investigar la estructura intelectual. La tabla de correlaciones que obtuvo de la aplicacin de diversos tests a una poblacin numerosa y heterognea, mostr una correlacin alta y positiva, por lo que concluy la existencia de un factor general G, o habilidad general. Esta ltima sera la encargada de las operaciones de abstraccin y razonamiento, es decir, de obtener relaciones y correlatos. El factor G de la inteligencia, tal y como es definido por Spearman y al que denomin educcin, consiste en que, dado un fundamento y una relacin, ha de extraerse el otro fundamento (educcin de correlatos), y dados ambos fundamentos, extraer la relacin (educcin de relaciones). Las dos formas de educcin, junto a la autoconciencia, configuran las leyes que Spearman llam neogenticas. 41 Wyndhamn, J. (1993) ProblemSolving Revisited. On School Mathematics as a situated practice. Doctoral dissertation. Linkping Studies in Arts and Science, No. 98, p. 10. Linkping University, Sweden. 42 Para un estudio ms profundo, vase Talzina, N. (1988) Psicologa de la enseanza (p. 254 y ss.) Mosc: Progreso.

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EJERCICIOS DE SUSTRACCIN Problemas para la prctica No 6: Efecta las siguientes sustracciones: 1. 56 83 76 34 42 52 2. 667 835 798 352 514 237 3. Problemas para la prctica No 7: Pedrito compr 56 caramelos y ya se ha comido 34. Cuntos caramelos le quedan? En una escuela estudian 352 nios, pero la matrcula es 667. Cuntas nias estudian en la escuela?

Figura 3. Un ejemplo de conductismo propuesto por Wyndhamn (con ligeras modificaciones)

La obtencin de correlaciones altas y positivas entre los resultados de los tests, admite otra interpretacin diferente a la dada por la escuela inglesa: la inexistencia de un factor general y la afirmacin de factores independientes o factores de grupo que integran la inteligencia. Thurstone desarroll un procedimiento matemtico, denominado anlisis factorial mltiple, que le permiti identificar un nmero limitado de aptitudes mentales primarias que para l configuran la inteligencia. Se trata de las capacidades de comprensin verbal, de fluidez verbal, capacidad numrica, espacial, de memoria, de razonamiento, y de rapidez de percepcin. En investigaciones posteriores, Thurstone observ que las aptitudes mentales primarias no slo son interdependientes, sino que adems son complejas y susceptibles de organizarse jerrquicamente. Otro representante de las teoras psicomtricas de la inteligencia es J. P. Guilford, de cuya obra se abordarn algunos elementos en el 3.3.3. En un segundo conjunto aparecen las teoras del procesamiento de la informacin, donde se destacan los trabajos de H. Gardner y R. J. Sternberg, los cuales sern analizados en el 2.2. La perspectiva del procesamiento de la informacin aborda el problema de la naturaleza de la inteligencia, describindola como un sistema de procesamiento de la informacin (codificacin, almacenamiento, organizacin y recuperacin) para llevar a cabo actividades como la propia RP.

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1.5 La obra de Polya En materia de RP, es corriente que los historiadores y estudiosos escindan sus anlisis en dos etapas, claramente delimitadas por el ao 1945. La razn es simple: en ese ao sali a la luz How to Solve It, del matemtico y pedagogo hngaro G. Polya (18871985). La obra didctica de Polya nace en el prefacio de Aufgaben und Lehrstze auf der Analysis. En las indicaciones sobre el uso de este libro los autores dan una breve recomendacin, a fin de lograr un pensamiento productivo. Ellos sealan: Reglas generales, capaces de prescribir detalladamente la ms til disciplina del pensamiento, no son conocidas por nosotros. Sin embargo, si tales reglas pudieran ser formuladas, ellas no seran muy tiles []; uno tiene que asumirlas en carne y hueso y tenerlas listas para un uso inminente []. La resolucin independiente de problemas difciles ayudar al estudiante mucho ms que los aforismos que l sigue, aunque para un comienzo estos puedan no daarlo.43

En How to Solve It Polya no se contenta con este simple aforismo, as que realiza un estudio introspectivo del mtodo cartesiano. Aunque su alcance se vio limitado al modesto enfoque de la heurstica, hay que destacar dos aspectos fundamentales: el aislamiento de cuatro fases claramente identificables durante el proceso de RP, y la elaboracin de un pequeo diccionario complementario. En primer lugar, destaca la existencia de cuatro fases durante la resolucin de un problema: a) Comprensin del problema, b) Concepcin de un plan, c) Ejecucin del plan, y d) Visin retrospectiva. En cada una, Polya propone una serie de reglas heursticas bastante sugerentes, pero lo ms notorio consiste en que la mayora de ellas van dirigidas a la segunda fase, de lo que l denomin su lista. Por tanto, por vez primera las pesquisas eran dirigidas hacia las fuentes de la inspiracin poincareana. Entre estas preguntas figuran las siguientes: a) Se ha encontrado un problema semejante? []; b) Podra enunciar el problema en otra forma? []; c) [] Podra imaginarse un problema anlogo un tanto ms accesible? []; d) [] Ha considerado todas las nociones esenciales concernientes al

problema?44

43 Polya, G. & Szeg, G. (1925/1972) Problems and Theorems in Analysis I, p. vii. Springer, New York. 44 Polya, 1957, Ibd., p. 19.

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Las reglas y procedimientos heursticos reciben un uso sistemtico en todo el libro; muchas de ellas tienen races cartesianas, tales como descomponer y recomponer el problema (cf. regla XIII) y dibujar un diagrama (cf. reglas XIV y XV). Es necesario precisar que la idea de separar las fases para su estudio (no pasos como errneamente se ha interpretado) tiene su origen mucho antes de How to Solve It. Segn una separata del rgano de los Crculos Matemticos de Estudiantes, tomo III, nmeros 1, 2 y 3 (1934), Polya pronunci una conferencia en Zurich en 1931 bajo el ttulo Cmo Buscar la Solucin de Problemas Matemticos. En las pginas 23 y 24 se publica un extracto de la misma, en la que se enuncian cuatro fases y algunas sugerencias (heursticos) para progresar en cada fase. Es ms, lo original y prctico de Polya son las sugerencias, pues la consideracin de fases en la RP, no exclusivamente matemticas, ya haban sido tratadas por otros autores.45 En segundo lugar, elabor un Breve Diccionario de Heurstica, que consiste en una coleccin de tcnicas y notas histricas, ordenadas alfabticamente y un tanto elaboradas. Aqu analiza en qu consiste la generalizacin, la analoga, las reglas del descubrimiento, el profesor de matemtica tradicional, el razonamiento heurstico, etctera. Polya, por ejemplo, diferencia heurstica de heurstica moderna. En el primer caso se refiere a una ciencia bastante mal definida y que se relaciona con la lgica, la filosofa y la psicologa, en la cual se exponen mtodos generales de manera poco exhaustiva. En cambio, en el segundo caso se trata de comprender el mtodo que conduce a la solucin del problema, en particular las operaciones mentales tpicamente tiles en este proceso. Un estudio serio de la heurstica debe tener en cuenta el trasfondo tanto lgico, como psicolgico [].46 A pesar de que How to Solve It marc un hito en el campo de la DM, en su fecha de aparicin no caus gran impacto, pues los currculos escolares estaban fuertemente influenciados por los asociacionistas, los cuales propugnaban un aprendizaje por repeticin. Aun as, Polya continu su emprendedora obra y en 1954 public Mathematics and Plausible Reasoning. Este libro estaba compuesto por dos volmenes: Induction and Anology in Mathematics y Patterns of Plausible Inference. En Matemtica y Razonamiento Verosmil47 Polya analiza diversos ejemplos histricos relacionados con la invencin matemtica, inquiriendo en su punto ms neurlgico: el insight. El autor asume el punto de vista empirista de la matemtica, al considerarla como una ciencia del descubrimiento; adems, proporciona una serie de problemas difciles para que el lector desarrolle habilidades por s mismo. 45 Cf., por ejemplo, Dewey, J. (1910) How we think. Boston: Heath; y Wallas, G. (1926) The art of thought. NY: Harcout Brace Jovanovich. En este libro el autor define el pensamiento crtico como reflexivo, dirigido a suspender los criterios preestablecidos, a mantener un alto escepticismo y el ejercicio de una mente abierta. Propone varias etapas para la RP: experimentar una situacin provocadora, definir el problema, buscar datos e informacin, formular posibles soluciones del problema (comparando hiptesis alternativas), planificar y realizar las acciones, verificar las soluciones propuestas, y evaluar los resultados. En este ltimo punto precisa la necesidad de modificar las creencias previas, lo cual ser abordado en el captulo 4. 46 Ibd., p. 102. 47 Traduccin correcta de Mathematics and Plausible Reasoning. A menudo algunas editoriales traducen este ttulo incorrectamente, como Matemtica y Razonamiento Plausible.

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El impacto de esta ltima obra tambin fue limitado, sin embargo, cuando la extinta Unin Sovitica lanz su primer Sputnik (4 de octubre de 1965) el mundo capitalista, encabezado por los Estados Unidos se sinti profundamente preocupado. Ellos tambin queran sumarse a la conquista del espacio, hecho que presupona una revolucin inmediata en la enseanza de las ciencias. Particularmente, en la DM, tal revolucin recibi el nombre de Matemtica Moderna, y su esencia consista en inyectar el formalismo de la escuela Bourbaki en los currculos escolares. Uno de los defensores de esta corriente, W. Kenneth comenta que los cursos tradicionales, anteriores a la Matemtica Moderna: a) no consideraban los avances realizados durante el siglo XX, b) no alcanzaban los requerimientos profesionales contemporneos en la sociedad

industrial, y c) provean la aplicacin mecnica de las reglas y tcnicas sin fomentar ninguna

comprensin genuina de los procesos matemticos implicados en la RP.48 Por estos aos la obra de Polya comenz a difundirse por todo el mundo. Esto era un proceso claramente objetivo, motivado por la necesidad de realizar cambios metodolgicos tras los ya eventuales cambios curriculares. No obstante, es en 1962 y luego en 1965 que salen a la luz, respectivamente, los dos tomos de su obra cumbre: Mathematical Discovery. En este trabajo, Polya realiza un anlisis profundo sobre dos temas fundamentales, explorados por l durante toda su carrera: la estructura de la matemtica y la naturaleza del descubrimiento matemtico. El autor incluye un compendio de problemas diversos que proporcionan algunas tcnicas importantes y conducen al estudiante hacia una nueva concepcin de la Matemtica. Adems, tal y como seala Schoenfeld, el libro tambin ofrece una descripcin terica del proceso de RP, complementado con ejercicios tales, que el estudiante vive la matemtica, justo ms que su lectura. En sntesis, esta obra es clsica. 49

No puede afirmarse que las memorias escritas de Polya sean perfectas. Desde luego, ninguna obra humana lo es. Desafortunadamente, algunos investigadores asumen sus postulados tcitamente, con una ausencia evidente de crticas oportunas. Un ejemplo de crtica adecuada y necesaria ha sido dado por L. Puig, profesor de la Universidad de Valencia. Comentando el captulo El patrn cartesiano, del libro Mathematical Discovery, Puig destaca la falta de precisin en la parfrasis de Polya sobre el mtodo cartesiano. En efecto, interpretando las reglas cartesianas XIIIXVI, Polya seala: En primer lugar, comprender bien el problema, luego convertirlo en determinacin de cierto nmero de cantidades desconocidas.50 Puig reprocha con justeza que: Aunque Polya diga que con esta frase parafrasea cuatro

48 Kenneth, W. (1971) La Revolucin de la Enseanza, p. 91. Editorial Pueblo y Educacin, La Habana. 49 Schoenfeld, Ibd., p. 38. 50 Polya, G. (19621965/1981) Mathematical Discovery: On Understanding, Learning and Teaching Problem Solving (combined edition), p. 27. New York: Wiley.

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de las reglas de Descartes, en realidad la regla XIII contiene todo lo que parafrasea.51

Parte de las mayores contribuciones pedaggicas de Polya estuvieron dirigidas hacia la formacin del personal docente. Schoenfeld seala que Polya fue un participante activo en los cursos de verano para profesores de Matemtica en Stanford, durante la dcada de los 60, los mismos aos en que los dos volmenes de Mathematical Discovery fueron definidos, validados y publicados52. Una muestra importante de este trabajo aparece en el epgrafe 14 de esa misma obra, bajo el ttulo On Learning, Teaching, and Learning Teaching. Segn B. Hodgson53, la gnesis de las ideas de Polya aparece en el tem Reglas de Enseanza, de su Breve Diccionario de Heurstica. En efecto, aqu l apunta: La primera regla de la enseanza es saber qu usted supone que va a ensear. La segunda regla de la enseanza es saber un poco ms de lo que usted va a ensear [N]o debera olvidarse que un maestro de matemtica debe conocer alguna matemtica, y que un maestro que desee transmitir a sus estudiantes una adecuada actitud mental respecto a los problemas debera haberla adquirido l primeramente.54

Las mismas ideas vuelven a repetirse en su Ten Commandments for Teachers, y se sintetizan en Mathematical Discovery bajo los tems 1, 2 y 5: a) Estar interesado en su materia; b) Conocer su materia; [] c) Dar a sus estudiantes no solo informacin, sino destreza, actitudes del ingenio, el

hbito de trabajar metdicamente.55 Desde esta perspectiva, el conocimiento se subdivide en dos partes esenciales: informacin y destreza (en ingls information y knowhow, respectivamente). La destreza matemtica ha sido descrita por Polya como la habilidad para resolver problemas, para construir demostraciones, y para examinar crticamente soluciones y demostraciones.56 Adems, l lleg a establecer un nivel de jerarqua entre ambos componentes del conocimiento: La destreza es ms importante que la mera posesin de la informacin.57

Polya fue capaz de notar que, aun habiendo culminado la enseanza secundaria, los profesores de la poca casi siempre aprendan su magisterio con un

51 Vase Puig, L. (2003) Historia de las ideas algebraicas: componentes y preguntas de investigacin desde el punto de vista de la Matemtica Educativa (pp. 13). Disponible en http://www.uv.es/puigl/ granada%2003%20oral. Cf. 1.2, reglas XIII y VII. 52 Ibd., p. 39. 53 Hodgson, B. (1996) Primary and secondary school teacher education in mathematics: Role and responsibilities of the mathematician, p. 44. In: N. Din Tri et al. (Eds.) Proceedings of the Seventh Southeast Asian Conference on Mathematics Education (SEACME 7), Hanoi. 54 Polya, 1957, Ibd., p. 173. 55 Polya, 1981, Ibd., p. 116. 56 Ibd., p. 118. 57 dem.

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desconocimiento o con un conocimiento inseguro de la Matemtica58 de este nivel escolar. Obviamente, la preparacin universitaria era muy pobre para enfrentar la docencia desde su dimensin ms integral. Al referirse a esta preparacin J. Kilpatrick comenta: En la perspectiva de Polya, los departamentos de matemtica enfatizan informacin abstrusa en detrimento del desarrollo de destrezas matemticas, por cuanto, la educacin escolar insiste muy tristemente sobre un contenido libre de mtodos de enseanza.59

Esto, por supuesto, sin negar la preparacin cientfica relativa al contenido. Al respecto, Hodgson plantea: El remedio de Polya abogaba porque se le diera a la perspectiva de los profesores una oportunidad para dedicarse a investigaciones matemticas por ellos mismos a un nivel apropiado para sus intereses y experticia: esta fue la idea tras su seminario sobre RP para maestros, donde el conocimiento necesario era del nivel escolar y las dificultades de los problemas, justamente un poco superior al nivel escolar.60 La utilizacin del trmino remedio se justifica, en el sentido de que Polya no hace explcitas sus ideas.61 De la misma forma, Schoenfeld utiliza el trmino de heurstica la Polya62, pues segn l las estrategias aportadas son ms descriptivas que prescriptivas.63

Entre los aos finales de la dcada de los 50 a los 60 la Matemtica Moderna encontr muchos seguidores. Un comentario de Kenneth da prueba de ello: al ser tan abstracta, se pudo pensar que la Nueva Matemtica sera an ms difcil [] sin embargo, parece que los nios. Aun en temprana edad, armonizan con un razonamiento matemtico puro a niveles que antes se pensaba estaban ms all de su comprensin.64 Sin embargo, desde bien temprano, muchos previeron el inevitable fracaso de esta panacea. Por ejemplo, R. P. Feynman en su artculo New textbooks for the New Mathematics critica la bsqueda de precisin mediante el uso del lenguaje de conjuntos. Ridiculizando el exceso de precisin escribe: Un guardin del zoo, para mandar a su ayudante que saque los lagartos enfermos de la jaula, podra decir: Toma el conjunto de animales, formados por la interseccin del conjunto de los lagartos con el conjunto de los lagartos enfermos, y scalos de la jaula.65

Muchas fueron las causas que condujeron esta corriente al fracaso, pero no es objetivo de este epgrafe discutirlas. Aparejadamente, la didctica evolucionaba rpidamente. Los trabajos de W. Klafki, E. Weniger y O. Willman llevan a la construccin dual de las tareas tericas de la didctica, enfatizando dos perspectivas 58 Polya, G. (1959/1984) Ten commandments for teachers. In: G.C. Rota (Ed.) George Polya: Collected Papers. Vol. 4, p. 531, MIT Press. 59 Kilpatrick, J. (1987) Is teaching teachable? George Polyas views on the training of mathematics teacher. In: Teaching and learning, a problem solving focus, p. 87. Reston, VA: NCTM. 60 dem, sin itlicas. 61 Ibd., p. 45. 62 Ibd., p. 42. 63 Schoenfeld, A. H. (1992) Learning to think mathematically: Problemsolving, metacognition, and sense making in mathematics. In: D. Grows (Ed.) Handbook of research on mathematics teaching and learning (p. 353). NY: Macmillan Publishing Company. 64 Sic, Ibd., p. 90. 65 Citado por Kline, M. (1973/1981) El Fracaso de la Matemtica Moderna. Por qu Juanito no sabe sumar?, pp. 8586. Siglo Veintiuno Editores, Madrid.

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fundamentales: la didctica como construccin pedaggica del dominio de conocimientos, con nfasis en el contenido curricular (qu ensear?); y la didctica como coreografa de la enseanza y el aprendizaje, con nfasis en el binomio enseanzaaprendizaje (cmo ensear y cmo aprender?). Podra decirse que la Matemtica Moderna fue un intento apresurado por estatuir el primer punto, y que los trabajos de Polya fueron los primeros designios por desarrollar el segundo; pero lo cierto es que, entre tanto, la enseanza de la matemtica estaba sufriendo una profunda crisis. En las escuelas se continuaba implementando el aprendizaje memorstico tradicional y la prctica interminable de ejercicios bsicos de fijacin. Este proceso regresivo recibi el nombre de Back to Basic (regreso a lo bsico). 1.6 La era dorada El fuerte rechazo experimentado por la New Math a finales de la dcada de los 60 y principios de los 70, conllev al nacimiento de un nuevo movimiento reformista. Ante el desafortunado Back to Basic, un grupo de figuras encabezadas por P. Halmos, A. H. Schoenfeld, J. Kilpatrick y Y. Chevallard revolucionaron la DM durante la dcada de los 80. Objetivamente estaban dadas las condiciones para la ocurrencia de un salto cualitativo, pues las propias concepciones de la Matemtica haban cambiado con el libro Proofs and Refutations de I. Lakatos (19221974). Esta obra se basa en su disertacin doctoral Essays in the Logic of Mathematical Discovery, de 1961, y fue publicada entre los aos 19631964 en cuatro partes, en la British Journal for Philosophy of Science. Lakatos describe la evolucin histrica de un teorema de Euler, mostrando como el concepto demostracin se sale de los marcos platnicos, para convertirse en un concepto mutante. As, nace el punto de