1

La forza fra i nucleoni

I nucleoni sono composti dai quark, particelle puntiformi di spin 1/2

I quark sono tenuti assieme dall’interazione forte derivante dallo scambio di altri quark e gluoni di spin 1

La forza fra i nucleoni (la forza nucleare forte) è un problema a molti corpi in cui

• i quark non si comportano come se fossero completamente indipendenti all’interno del volume nucleare

• nè si comportano come se fossero completamente legati in modo da formare protoni e neutroni

La forza nucleare forte perciò non è calcolabile in dettaglio al livello dei quark e può essere solo dedotta empiricamente a partire dai dati nucleari

esempio: interazione pp

2

Caratteristiche generaliIl fatto che un nucleo esiste implica che la forza nucleare è

Forte: più forte della forza elettromagnetica, debole e gravitazionale

A corto range: i nuclei sono soggetti all’interazione forte a piccole distanze (∼ 2 fm) quando cominciano a sovrapporsi

Attrattiva

Core repulsivo: Il volume è ∼ A, e il nucleo non collassa verso densità infinita

Saturata: B/A ∼costante; in un nucleo i nucleoni sono attratti solo dai nucleoni vicini

Indipendente dalla carica: non c’è distinzione fra protoni e neutroni. Si ha evidenza di ciò dalla tendenza dei piccoli nuclei ad avere N=Z e dalla somoglianza dei livelli di bassa energia di coppie di nuclei speculari

3

Nuclei speculari

Illustrano la simmetria di carica

interazione p-p = interazione n-n

Ciò non implica che p-n = p-p o n-n perchè il numero di coppie p-n è lo stesso in entrambi i nuclei

Esempio 2311Na 23

12Mg

4

L’isospinProtone e neutrone possono essere considerati come due stati quantici di una stessa entità, il nucleone. Possiamo quindi definire un numero quantico intrinseco detto isospin

nntppt zz 21 ,

21

−==

Definendo τz = 2tz, abbiamo

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≡⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≡⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= −+ 10

,01

,10

01ηητ npz

Le altre due componenti dell’isospin sono definite in analogia con lo spin

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

00

,0110

ii

yx ττ

[ ] kijkji i τεττ 2, =

5

Possiamo definire degli operatori di conversione protone ↔ neutrone

0 ,

,0 ,

==

==

−−

++

nnp

ppn

ττ

ττche sono tali che

In questo formalismo l’operatore di carica può essere espresso come

yx

yx

i

i

τττ

τττ

−=

+=

−

+

( )

0 ,

12

==

+=

nQpepQ

eQ zτ

6

Sistema di due nucleoni.

Abbiamo

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+

+

−−

−+−+

++

neutrone-neutrone )2()1( 1neutrone-protone 2/)1()2()2()1( 0 protone-protone )2()1( 1

ηη

ηηηηηη

zT

L’isospin si compone come lo spin. Abbiamo quindi un tripletto di isospin 1

e un singoletto di isospin

21 ttT +=

[ ] neutrone-protone 2/)1()2()2()1( −+−+ − ηηηη

Viceversa, uno stato protone-neutrone è una sovrapposizione di stati di isospin 0 e 1

[ ] 2/0,00,1 ==+=== zz TTTTpn

7

Funzione d’onda.

Nel formalismo di isospin i due nucleoni sono considerati come particelle indistinguibili. La funzione d’onda complessiva deve essere quindi completamente antisimmetrica. Abbiamo due casi

1. La funzione d’onda spaziale è simmetrica: ϕS(r1,r2). Allora la funzione d’onda totale è

⎩⎨⎧

=⊗==⊗=

⊗=Ψzz

zzS

TTSSTTSS

rr,1,0,0,1

),()2,1( 21ϕ

2. La funzione d’onda spaziale è antisimmetrica: ϕA(r1,r2). Allora la funzione d’onda totale è

⎩⎨⎧

=⊗==⊗=

⊗=Ψzz

zzA

TTSSTTSS

rr,0,0

,1,1),()2,1( 21ϕ

L’isospin non è solo un conveniente formalismo matematico → osservabile fisica

8

Se i due nucleoni sono in uno stato di momento angolare orbitale L, la simmetria dello stato è

dispari 1)1()1()1( 11 =++⇒−=−−− ++ TSLTSL

Se due nucleoni formano uno stato legato, è plausibile che lo stato di energia più bassa abbia L = 0 ⇒ S + T = dispari.

Poichè non si osservano stati legati di tripletto di isospin p-p e n-n, lo stato legato p-n (il deutone) deve essere un singoletto di isospin.

⇒ S = 1 e J = L + S = 1

⇒ confermato dall’esperimento

Esistono due nuclei con A = 3 che formano un doppietto di isospin T = 1/2

22/2/112/2/1

3332

3331

+=+==+=+=−=

TAQTHeTAQTH

Esiste un solo nucleo con A = 4 (42He) che è un singoletto di isospin ed è una

configurazione particolarmente stabile con energia di legame pari a 28.3 MeV

9

Il pione esiste in tre stati carichi π+, π-, π0 . Di conseguenza possiamo definire un tripletto di isospin I=1 e la carica è data da

L’isospin è conservato nelle interazioni forti. Consideriamo ad esempio le reazioni

0 )( , )( ππ +→++→+ + dnpiidppi

3IQ =

I=1 I=0,1I=0 I=1 I=0 I=1

21

)()(

=iii

σσ

10

In generale l’hamiltoniana di un nucleo è

Se la carica totale del sistema si conserva, allora l’operatore carica Q definito da

deve commutare con H:

NC VVTH ++=

Somma delle energie cinetiche

Indipendenza dalla carica

Energia potenziale coulombiana

Energia potenziale di interazione nucleare

ψψ EH =

ψψ ZeQ =

[ ] 0, =QH

Mentre T e VC commutano per definizione con Q, la conservazione della carica pone delle condizioni sulla forma di VN.

11

Terza componente dell’isospin totale

Abbiamo quindi la richiesta

[ ] [ ] 0, 0, 3 =⇒= TVTV NN

r

Poichè Q può essere espressa come

∑=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

A

i

itTTAeQ1

333 ,2

Gli operatori Tl sono i generatori di rotazioni (attorno all’asse l) nello spazio dell’isospin, per cui questo esprime l’invarianza dell’interazione nucleare per rotazioni nell’isospazio.

Questo implica che VC deve essere uno scalare nello spazio dell’isospin, e l’interazione fra due nucleoni deve avere la forma

jijiijC rfjiV ττσσ ⋅= ),,(),(

L’interazione non dipende dalla componente 3 dell’isospin, ma porterà a energia diverse a seconda che T=0 o T=1.

Indipendenza dalla carica

12

La proprietà di invarianza dalla carica è legata alla proprietà di simmetria dell’interazione forte rispetto a trasformazioni di isospin. Consideriamo l’azione dell’operatore τx

L’operatore

)()2()1(),,2,1( AA xxx τττ LL =Π

agendo su una funzione d’onda nucleare converte tutti i neutroni in protoni e viceversa

np

pn

x

x

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

10

01

0110

01

10

0110

τ

τ

),,2,1,,,2,1(),,2,1,,,2,1(),,2,1( NZNZA LLLLL ψψ =Π

protoni neutroni neutroni protoni

Simmetria di carica

13

La simmetria di carica deve implicare

per cui

( ) ( )ψψ HH Π=Π

[ ] 0, =ΠH

Esempio Potenziale di scambio fra due nucleoni

jijiijij rfV ττσσ ⋅= ),,(

commuta con Π.

In generale avremo che, definito l’isospin totale del nucleo con , si ha∑=

=A

iitT

1

[ ] 0, =TH

Invarianza per rotazioni nell’isospazio. Poichè una generica rotazione cambia protoni in neutroni e viceversa, la forza nucleare è indipendente dalla carica

L’indipendenza dalla carica è una condizione più forte della simmetria di carica

14

Il potenziale nucleone-nucleone

Studiamo le caratteristiche dettagliate attraverso le interazioni fra due nucleoni:

Il deutone e lo scattering nucleone-nucleone

15

Il deutone (2H o 2D)Il deutone è il solo stato legato a due nucleoni (n-p). Non esistono stati legati p-p o n-n.

Riassunto delle proprietà:

Energia di legame B = 2.23 MeV

JP = 1+

µ = +0.857 µΝ

Q = +2.83x10-31 m2

R = 2.1 fm

Non si osservano stati eccitati

Deduzioni:

stato legato n-p 3S1 (L = 0, S = 1, ↑↑): µ = µp + µn = 0.88 µN1S0 (L = 0, S = 0, ↑↓): µ = µp - µn = 4.71 µN

Valore sperimentale µ = 0.857 µN

n = 1 → non ci sono (quasi) contributi orbitali a µ (L = 0)

Il deutone è uno stato 3S1

16

Sistema di due particelleL’hamiltoniana di un sistema di due particelle è

Introduciamo le variabili

212

22

1

21 )(

22rrrrV

mp

mp rrrr

rr

−=++

2121

2211 ,R rrrmm

rmrm rrrrrr

−=++

=

Possiamo allora scrivere

rmm

mmRmrmprmm

mmRmrmp &r&r&r&r&r&r&r&r

21

212222

21

211111 ,

+−==

++==

Il momento totale del sistema è

Rmmpp &rrr )( 2121 +=+

R = centro di massa

r = coordinata relativa

17

L’energia cinetica totale è

Abbiamo l’equazione di Schrodinger per il moto relativo attorno al centro di massa21

21

22

2

22

1

21

111 ,

,21

21

22

mmmmmM

rmRMmp

mp

+=+=

+=+ &r&rrr

)(2

)()(21 2

2 rM

PErrVrm tot ψψ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

r&

Consideriamo un potenziale centrale

Il sistema è invariante per rotazioni → Consideriamo una rotazione infinitesima

)()( rVrV =r

ϑϑϑϑϑϑ

xyyxyyxyxx

+≈+=−≈−=

cossin'sincos'

M=massa totale

m = massa ridotta

18

dopo la rotazione la funzione d’onda è

Richiedendo che troviamo

xy

yx

yxxyyxyx ϑψϑψψϑϑψψ∂∂

+∂∂

−≈+−≈ ),(),()','(

)'()'( ),()( rErHrErH ψψψψ ==

L’operatore

ψψψ Hxy

yx

Exy

yx

xy

yx

H ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

−= xy

yxi

Lzh

è la componente del momento angolare lungo l’asse z. Troviamo quindi

[ ] [ ] 0, ,0, 2 == LHLH z

r

Il momento angolare è una costante del moto ed un buon numero quantico

19

Si dimostra

da cui

( ) priprprL rrh

rrrrr⋅+⋅=⋅+ 2222

Poichè in coordinate polari arriviamo all’equazione r

ri

pr∂∂

=⋅hrr

Ponendo

ψψψ ErVmrL

rrrr

rrm=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

− )(2

112 2

22r

h

( )[ ]priprLr

p rrh

rrr⋅−⋅+= 22

22 1

),()(),,( ϕϑϕϑψ lmnlm YrRr =

),()1(),( 22 ϕϑϕϑ lmlm YYL += llhr

si ha

Equazione di Schrodinger in coordinate polari

Armoniche sferiche

Funzione d’onda radiale

20

Abbiamo quindi una separazione delle variabili e arriviamo all’equazione radiale

Si ha

022

)1()(2222

2

22

2

=+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+ ERmR

mrrVmR

drd

rdrd

h

llh

h

arriviamo al risultato finale

Poniamo R=u(r)/r – r = distanza fra i nucleoni

Probabilità che la particella si trovi fra r e r + dr

drrudrrRr 222 )()( =

2

2

2

2 12dr

udrr

udrd

rdrd

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

022

)1()(222

2

22

2

=+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++− Eumu

mrrVm

drud

h

llh

h

21

Rispetto al caso undimensionale abbiamo due differenze.

La prima è che il potenziale è modificato da un termine repulsivo dipendente da L

Per uno stato legato E < 0 = - energia di legame

b = range dell’interazione

2

2

2)1(

mrVV +

+→llh

La seconda è che u(r=0) = 0 affinchè R resti finita nell’origine. Questo equivale ad assumere che V = +∞ a sinistra.

Consideriamo una buca quadra

22

Ricerchiamo stati legati caratterizzati da un’energia di legame B

Per L = 0 la funzione u soddisfa l’equazione

)()()(2 2

22

rEururVdr

udm

=+−h

Abbiamo due regioni

1) r < b

0)()(2 02

22

=−+− ruVBdr

udmh

La soluzione generale è

BEVbrBEVVbr

−==>−=−=<

0 0

)(2 cossin)( 022 BVmkkrCkrAru −=+=

h

Il problema del deutone

23

Richiediamo che R(r) = u(r)/r sia finita per r → 0 ⇒ C = 0 vale a dire, non vogliamo una densità infinita |R(r)|2 al centro del nucleo) Quindi

2) r > b

La soluzione generale è

brkrAru <= sin)(

0)(2 2

22

=+− rBudr

udmh

22

''

2'

)(

h

mBk

FeDeru rkrk

=

+= −

Per r → ∞ exp(βr) → ∞ per cui F = 0 Quindi

brDeru rk >= − )( '

24

Richiediamo che in r = b sia u(r) che du(r)/dr siano continue

Il rapporto ci dà

Assumiamo che V0 >> B. Le due incognite sono b e V0 Abbiamo

'cos /)( sin )(

'

'

bk

bk

DekkbkAdrrduDekbAru

−

−

−=

=

2/1

0

'cot ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=−=BV

Bkkkb

Per b = 2 fm ⇒ V0 ∼ 25 MeV (c.f. B/A ∼ 8 MeV)

V0 è la profondità minima che dà luogo allo stato legato

( ) 22822

20

22

022 m MeV 10

822

,2

5,2

3,2

0cot

−≈≈⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=≈

=≈

MbVbVMkb

kbkb

h

h

K

ππ

πππenergia minima

25

Grande probabilità di trovare protone e neutrone separati a una distanza > b

u(r) non dipende molto dalla forma esatta di V(r)

La dimensione del deutone è determinata dall’energia di legame non dal range della forza

La lunghezza caratteristica

fm 32.4)(2 0

=−

=BVm

RDh

su cui u(r) diminuisce di 1/e è detta il raggio del deutone. Questo è più del doppio del range b del pontenziale.

Quindi i nucleoni hanno una considerevole probabilità di trovarsi al di fuori della buca di potenziale → in media si trovano sui suoi bordi

26

Dipendenza dallo spinSe non ci fosse dipendenza dallo spin nel potenziale del deutone, ci aspetteremmo di osservare entrambi gli stati legati J=0 e J=1 con la stessa energia.

Si osservano soltanto gli stati J=1 (↑↑)

Inoltre, non si osservano stati legati n-n e p-p che richiederebbero gli spin antiparalleli a causa del principio di esclusione

Richiediamo che il momento angolare e la parità siano conservati

⇒ potenziale scalare, il più semplice è

Lo spin del deutone

SS(r) 21s ⋅≈ V

( )

[ ] 2221121

212

222

112

2 21

2

)1()1()1(21SS

SS2)1()1()1(

SS

h

hhh

+−+−+=⋅

⋅++++=+

+=

SSSSJJ

SSSSJJ

J

J=1, S1, S2=1/2

J=0

4/SS 221 h>=⋅<

4/3SS 221 h−>=⋅<

Diversi potenziali per gli stati di tripletto e singoletto

27

Il termine non centrale: forze tensorialiIl deutone ha un piccolo ma non trascurabile momento di quadrupolo elettrico, Q=2.82x10-31 m2. Quindi il potenziale nucleonico non è sfericamente simmetrico.

Tuttavia, 3S1 L = 0, J = 1 ↑↑ è uno stato simmetrico

E’ richiesta una qualche dipendenza angolare nella funzione d’onda p del deutone.

Per J = 1 altri possibili stati sono

Il deutone ha parità +1 per cui stati con L = 1 sono esclusi. La funzione d’onda è una sovrapposizione di L = 0 e L = 2

l)1(

121101SL

13

13

11

−=P

DPP

e lo stato D contribuisce per il 4-5%.

In questo stato una misura di L fornirà talvolta 0 talvolta 2 con probabilità 95% e 5% rispettivamente, mentre lo spin totale si conserva (S = 1).

Questo spiega anche la piccola differenza nel momento magnetico atteso µ = 0.88 µN e quello misurato µ = 0.857 µN

DS aa ψψψ 21 +=

28

L’interazione della forma

è uno scalare, non viola l’invarianza rotazionale dello spazio e quindi conserva J=L+S violando sia la conservazione di L che di S. Tuttavia, abbiamo un vincolo addizionale: la conservazione della parità nelle interazioni forti.

rSrAV rr⋅= )( T

Consideriamo una riflessione spaziale: Pr = -r. abbiamo

SSP

rrr

rr

=

−=rP r è un vettore

S è uno pseudovettore

Dire che la parità è conservata significa che l’hamiltoniana del sistema è invariante sotto P, PH = H.

Consideriamo ad esempio la buca simmetrica. La funzione d’onda ψ è simmetrica o antisimmetrica

)()( xxP ψψ ±=Se PH = H la parità di ogni autostato è fissata,

)()( , xxPEH nnnnn ψψψψ ±==

29

L’interazione è proibita dalla conservazione della parità

La possibile interazione successiva è

rSrAV rr⋅= )( T

E’ uno scalare, per cui conserva J = L + S. Conserva la parità poichè

rSrArSrArSrPA rrrrrr⋅−=−⋅=⋅ )()()()(

Viola la conservazione di L perchè è un tensore nello spazio delle coordinate

Abbiamo le proprietà di trasformazione

ji

i

rrrr 2r

( )( )rSrSrVH nprrrr

⋅⋅= )(int

rSrArSrPA

rSrArSrPA

nn

pprrrr

rrrr

⋅−=⋅

⋅−=⋅

)()(

)()(

( )( ) 3,2,1, , ==⋅⋅ jirrSSrSrS jijipinp

rrrr

scalare

vettore

tensore

30

L’interazione effettiva è un tensore del secondo ordine nello spazio delle coordinate, ma è uno scalare nello spazio del momento angolare totale.

Possiamo scrivere

rSrSrV nprrrr

⋅⋅ )(

Mentre S12 non commuta con L, commuta con lo spin totale σtot=σ1+σ2,

12T21221

TT )( 3)( SrVr

rrrVV ≡⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅−

⋅⋅= σσσσ

Quindi L non è più un buon numero quantico, mentre lo spin totale resta tale.

Nel caso del deutone si può mostrare che

0, ,0, 12

2

12

2≠⎥⎦

⎤⎢⎣⎡≠⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ SSSL

)1cos3)((2 2TT −>=< ϑrVV

Il potenziale tende ad allineare r con z modificando la densità del sistema → momento di quadrupolo positivo

31

Riassunto sul deutone Oltre alle caratteristiche generali dell’interazione nucleone-nucleone, le proprietà del deutone implicano

Profondità del potenziale nucleonico . V0 ∼ 25 MeV per un raggio nucleare b = 2 fm

La forza nucleare dipende dallo spin

Termini non centrali nel potenziale

Potenziale a due nucleoni

Limitazioni:

Un solo stato può essere studiato

Non abbastanza informazioni per determinare tutti i parametri richiesti

Non ci sono informazioni per L = 0 diverso da zero e per gli stati eccitati

⇒ Studiamo lo scattering nucleone-nucleone

L++⋅+= ),()( 21 SrVSSVrVV TSC

32

Teoria dello scattering

La funzione d’onda prima dello scattering è

2cos /2 , hmEkee ikrikzin === ϑψ

Onda piana

Scattering elastico dal centro di un nucleo

nucleoz

ref

ikr

)(ϑ

Lo stadio finale dell’interazione è dato dalla sovrapposizione di ψin e di questa onda sferica

refe

ikrikz

out )(ϑψ +=

onda piana incidente

onda sferica scatterata

r2dΩdΩnel processo di scattering ψin interagisce con V(r). Dal centro di interazione diverge un’onda sferica della forma

33

Sezione d’urtoAssumendo che la densità numero di particelle incidenti sia 1, il flusso è

Sia dΦ il numero di particelle incidenti/sec scatterate sull’area r2dΩ

vveikz ==Φ2

La sezione d’urto per definizione è

Ω=Φ dvrr

efdikr

22

)( ϑ

22 )( )( ϑσϑσ fdddfdd =

Ω⇒Ω=

ΦΦ

=

incidente flussoin scatterate /secparticelle di n. 2 Ω

=drdσ

da cui

34

L’analisi quantitativa richiede la soluzione dell’equazione di Schrodinger in coordinate sferiche. Quando V(r) = 0 la soluzione generale è

∑∞

===

0cos )(cos)(

l ll ϑψ ϑ PrBeikrin

Polinomio di Legendre

dove

L

l ll

l

,cos)(

sin ,sin)()12()(

210 krkr

krkrj

krkrj

krjirB

−==

+=Funzione di Bessel sferica

Nello studio del processo, ci interessano le particelle lontano dal centro di scattering.

Per lo stadio iniziale, descritto da ψin, abbiamo asintoticamente

reerj

krikri )2/()2/(

)(ππ ll

l

−−− −∝

onda sferica divergente dal centro di scattering

onda sferica convergente verso il centro di scattering

35

Nel processo di scattering compare un’ulteriore onda sferica addizionale. Quindi la relazione fra onda convergente e divergente deve cambiare in

se non c’è assorbimento, il flusso di particelle nelle due onde non deve cambiare. Quindi

l

lδieS 2=

δl è reale ed è detto spostamento di fase

reeSrj

krikri )2/()2/(

)(ππ ll

ll

−−− −→

Abbiamo quindi

[ ])2/()2/(0

)(cos2

)12( ππϑψ lllll

ll −−−∞

=−

+= ∑ krikri

out eeSPikr

i

Questa può essere riscritta anche come

reSP

ike

ikrikr

out )1)((cos2

)12(0

cos −+

+= ∑∞

= lll

l ϑψ ϑ

36

A grandi distanze l’influenza del campo è così debole che la funzione d’onda mantiene la sua forma originale salvo che per la comparsa dello spostamento di fase

In particolare la funzione d’onda per L = 0 sarà data da

e

Poichè δl + nπ producono lo stesso valore, la fase è determinata nell’intervallo -π/2,+π/2

)(cos)2/sin( ϑδπψ ll

l

l Pkr

kr +−∝

krkr )sin(

0lδψ +

∝

kkrrru )sin()( 00

lδψ +∝=

37

Il segno della fase è determinato dalla natura della forza

Attrazione: u(r) è spinta verso la buca attrattiva e la funzione d’onda acquista uno spostamento di fase positivo

Repulsione: u(r) è espulsa dal range del potenziale repulsivo e acquista uno spostamento di fase negativo

Il segno della fase non influisce sulla sezione d’urto → modulo quadro dell’ampiezza

Determinazione del segno della fase

•interferenza fra scattering nucleare e coulombiano

•interferenza di due scattering nucleari con diverse orientazioni dello spin

Spostamento di fase

Spostamento di fase

Particella libera

Potenziale attrattivo

Potenziale repulsivo

38

Poichè ψout = exp(ikz) + f(θ) exp(ikr)/r otteniamo

definendo l’ampiezza di scattering per l’onda parziale L

La sezione d’urto totale è data da

∫ Ω= df 2)(ϑσ

)(cos sin)12(

)1)((cos2

)12()(

0

0

ϑδ

ϑϑ

δ

lll

lll

l

l

l

Pk

e

SPik

f

i

∑

∑∞

=

∞

=

+=

−+

=

sin)( ll

l

δϑδ

kef

i

= )(cos )()12()(0

ϑϑϑ llll Pff ∑∞

=+=

Tenendo conto dell’ortogonalità dei polinomi di Legendre otteniamo la sezione d’urto di scattering elastico

∑∞

=+=

02

2 sin)12(4l ll δπσ

k

39

A basse energie (E ≤ 10 MeV) è necessario considerare solo il termine L = 0 Esempio: un nucleone di 10 MeV (5 MeV nel cms)

Per un range della forza nucleare pari a 2 fm solo l’onda parziale L = 0 è importante a energie del fascio ≤ 10 MeV

fm MeV 197 1, fm 348.0

MeV/c 940 MeV 6.68

2/ ridotta massa 52

94022

1-

2

===

==

≈=⋅⋅==

c

m

mMMEk

n

n

hh

Coefficiente |Bl(R)|2

nell’espansione in onde parziali

|Bl(R)|2

krr = 2 fm

Scattering in onda S

0=l

40

Per un’onda con L = 0 abbiamo

da cui

00 sin)(0

δϑδ

keff

i

==

02220

222

02

20 cot

4sin4 sinδ

πδπσδσkkkk

fdd

+====

Ω

La dipendenza della fase da k può essere determinata risolvendo l’equazione di Schrodinger nella regione di interazione

Questo permette di stabilire una relazione col potenziale di interazione potenziale

Consideriamo una buca rettangolare

41

L’equazione d’onda radiale per u(r) = r R(r) è

Regione I (r < b) V = -V0

)()( )()(2 2

22

rEururVdr

rudm

=+−h

( )

h

h

/)(2 ,sin)(

0)( 2)(

0

022

2

VEmkkrAru

ruEVmdr

rud

I +==

=++

Regione II (r > b) V = 0

h

h

/2' ),'sin()(

0)(2)(

0

22

2

mEkrkAru

rEumdr

rud

II =+=

=+

δ

Supponiamo che la buca abbia la stessa profondità della buca del deutone e assumiamo che E ( > 0 ) sia simile all’energia di legame B (quindi abbiamo scattering a bassa energia)

42

Possiamo ricavare la fase congiungendo la soluzione interna a quella esterna in r = b. La derivata logaritmica della soluzione esterna in r = b è

)'cot(''0δ+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

bkkuu

br

La derivata logaritmica della soluzione interna in r = b è

kbkuu

br

cot'=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

Uguagliando le due derivate troviamo

bkkbkk 'cot'

cot 10 −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= −δ

Dato un insieme di parametri V0 e b, δ0 può essere paragonato al valore misurato estratto da σ = 4πsin2δ0 / k2 in funzione di E

Esempio: usando i parametri di tripletto del deutone V0b2=10-28 MeV m2, b=2 fm, V0=25 fm ricaviamo

barn 5=σ scattering p(↑)n(↑) in onda S

43

Energia della particella incidente molto piccola → kb << 1

0cot'' δkuu

br

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

Se facciamo riferimento al problema del deutone abbiamo inoltre

Dbr RmEkbk

uu 12cot'

2 −=−==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= h

Uguagliando le due derivate troviamo

DRk 1cot 0 −=δ

La costanza di k cot δ0 significa che f0 ha un limite reale per k → 0. Poniamo

Lunghezza di scattering

00

000 cot1limlim a

ikkf kk −=

−= →→ δ

Lunghezza di scattering

44

Nell’approssimazione fatta

20

000 4

cot1lim aR

ka Dk πσ

δ==−= →

Quindi questa lunghezza di scattering corrisponde a scattering n(↑)p(↑)

sinkr e sin(k’r + δ0) si congiungono in r = b. Sarà possibile sviluppare stati legati solo se kb > π/2 cosicchè sinkr si trasforma nel ramo discendente di sin(k’r + δ0) (si ricordi la funzione d’onda del deutone)

00

000

sincos cossincossin)'sin(

δδδδδ

+≈+≈+

krkrkrrk

Questa è una linea retta che interseca r = 0 in a0.

Quindi per lo sviluppo di uno stato legato dobbiamo avere a0 > 0. D’altra parte, se la buca non è sufficientemente profonda allora kb < π/2 e in questo caso a0 < 0

⇒ Il segno della lunghezza di scattering determina la natura della soluzione del problema di scattering.

Poichè il deutone non ha stati legati di singoletto, ci aspettiamo che la lunghezza di scattering di singoletto sia negativa

taa 00 =

45

Scattering n-p

a basse energie σ = 20 barn. D’altra parte abbiamo calcolato σ ∼ 5 barn

La sezione d’uro di scattering n-p è formata da una miscela di interazioni negli stati n-p

S = 0 1S0 ↑↓ - ↓↑S = 1 3S1 ↑↑, ↓↓, ↑↓ + ↓↑

barn 65 41

43

≈⇒+= sst σσσσ

Se le orientazioni dei neutroni nel fascio incidente e dei protoni nel bersaglio sono random, allora

In termini di lunghezza di scattering per k → 0

fm 24|| fm 3.4 ),3( 22 =⇒=+= stst aaaaπσ

Ma nessuna informazione sul segno → non sappiamo se lo stato di singoletto è legato

46

Scattering n su orto e para H2

Per separare i contributi di σt e σs, consideriamo l’interazione di neutroni di energia molto bassa (E < 1 KeV) con orto- e para-idrogeno (H2)

orto-H2 p(↑)p(↑) SH2 = 1 para-H2 p(↑)p(↓) SH2 = 0

Neutroni di bassa energia: λ >> separazione dei protoni in H2

Abbiamo quindi scattering coerente

( )2 ampiezze∑=σ

(nel caso di scattering incoerente avremmo σ = Σ(ampiezze)2 )

Introduciamo gli operatori che proiettano le parti di singoletto e tripletto di spin della funzione d’onda p-n

0 ,1 )()( 0

1 ,0 )()( 1

==↓↑=

==↑↑=

nptnps

nptnps

npS

npS

ψπψπ

ψπψπ

47

Possiamo esprimere questi operatori come

Attraverso questi operatori possiamo esprimere l’ampiezza di scattering di un neutrone su un protone (nell’approssimazione della lunghezza di scattering) come

Infatti

2

2

4341

h

rrh

rr

pnt

pns

SS

SS

⋅+=

⋅−=

π

π

24 , pttssp aaaa πσππ =+=

[ ]

⎩⎨⎧

↑↑=↓↑=

=

+−+−+−++=

⋅−++=

)()( 1 )()( 0

)1()1()1(21)(

43

41

)(43

41

2222

2

npSanpSa

SSSSSSaaaa

SSaaaaa

t

s

ppnnstts

pnsttsp

hhhh

h

rr

48

Quindi nel caso di scattering coerente di un neutrone sui due protoni dell’idrogeno possiamo scrivere

Nel caso del para-H2 abbiamo Sp1+Sp2 = 0 per cui

Nel caso dell’orto-idrogeno possiamo scrivere

( )2

21

2121

)(23

21

)()(

h

rrrppn

stts

tttsssp

SSSaaaa

aaa

+⋅−++=

+++= ππππ

( )

[ ]

⎩⎨⎧

=+=

=

+−+−+−++=

+⋅−++=

2/1 /22/32/3 2

)1()1()1(21)(

23

21

)(23

21

222

222

221

TOTts

TOTt

nnHHTOTstts

ppnsttsp

SaaSa

SSSSSSaaaa

SSSaaaaa

hhhh

h

rrr

2

para 23

214

23

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+= tstsp aaaaa πσ

49

Arriviamo quindi al risultato

para-H2 ↑↓

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

22

orto

2

para

21

23

312

324

23

214

tst

ts

aaa

aa

πσ

πσ

orto-H2 ↑↑

↑ ↑↑ ↑ ↓↓

n o-H2 n o-H2

Ad alte temperature il rapporto del numero di molecole orto e para è 3:1. A basse temperature (diciamo 20 K) la maggior parte delle molecole sono nel loro stato fondamentale.

Lo stato fondamentale di orto-H2 è 0.015 eV più alto di para-H2 ⇒ Quindi a 20 K H2 è tutto para-idrogeno

Se la forza nucleare fosse indipendente dallo spin, σt = σs e at = as per cui σpara e σorto sarebbero uguali.

Sperimentalmente

⇒ La forza nucleare è dipendente dallo spin

b 130 b, 4 == ortopara σσ

50

La grande differenza fra i valori misurati mostra che at ≠ as e che at e as devono avere segni diversi in modo da rendere σpara piccola

↑↓ lo stato di singoletto non è legato ↑↑ lo stato di tripletto è legato

fm 7.23 fm, 4.5 −== st aa

A energie maggiori l’approssimazione della lunghezza costante deve essere sostituita da

eff2

000 2

11)(

1cot rkaka

k −==− δ

reff = range efficace = distanza media fra protone e neutrone durante l’interazione

In questo modo si trova

fm 76.2 fm 75.1

fm 7.23 fm, 4.5

==

−==s

efft

eff

st

rr

aa

51

particelle identiche

Studiamo la dipendenza dalla caricha della forza nucleare confrontando lo scattering p-p e n-n

Esiste un’importante differenza rispetto allo scattering n-p

Dipendenza dalla carica

La funzione d’onda totale deve essere antisimmetrica

Per L = 0 (cioè a bassa energia) lo scattering è possibile soltanto nello stato di singoletto ↑↓

Non possiamo distinguere

Dobbiamo includere l’interferenza fra le due possibilità

52

Scattering p-p. E’ presente sia l’interazione coulombiana che forte. Espressione teorica di dσ/dΩ per lo scattering p-p

[ ]2/cos2/sin

2/tanlncos2/cos

1

2/sin1

41

4

22

2

4

42

22

ϑϑϑη

ϑ

ϑπσ

−+

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Ω Te

dd

scattering Rutherford

termine classico Rutherford

termine di interferenza

correzione per due particelle identiche

Scattering Mott

[ ] [ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

++

−2/cos

2/coslncos2/sin

2/sinlncossin22

20

2

20

0 ϑϑηδ

ϑϑηδδ

ηTermini di interferenza fra parte coulombiana e nucleare

⎭⎬⎫

+ 02

2 sin4 δη

potenziale nucleare

T= energia cinetica nel lab θ = angolo di scattering nel c.m.s. η = (e2/4π)β-1 (β = v/c) δ0=spostamento di fase L = 0

53

δ0 è l’unica incognita

Dalla misura di dσ/dΩ ricaviamo il segno e il modulo di δ0

L’interferenza permette di determinare il segno

Nell’approssimazione del range efficace troviamo

fm 17 fm, 8.2 0 −== spp

eff ar

Buon accordo con lo scattering n-p in singoletto – non ci sono stati legati pp

b 1.07.36 ±=ppσ

dσ/dΩ

θ(cms)

Totale

Mott

interferenza

54

Scattering n-n. Difficile poichè non esistono bersagli composti solo da neutroni

Usiamo reazioni per creare 2 neutroni a distanza reciproca minore del range nucleare (paragonabili a un esperimento di scattering)

termine di interferenza

Se 2n legato ⇒ γ monocromatico, stato finale a due corpi

Se n-n non legato ⇒ energia ripartita fra 3 particelle

fm) 1.07.36(fm 8.18.33

±=±=

pp

nn

σσ

⇒ La forza nucleare è indipendente dalla carica

55

Gli elettroni atomici sono soggetti a un accoppiamento spin-orbita derivante dall’interazione degli spin elettronici col campo magnetico dell’atomo

I nucleoni sono soggetti ad un accoppiamento spin-orbita derivante dall’interazione dello spin nucleonico e del momento angolare orbitale.

Si ha evidenza di un termine di spin-orbita dalla polarizzazione dei nucleoni scatterati

Polarizzazione: numero di nucleoni con spin up N(↑) diverso dal numero di nucleoni con spin down N(↓)

Una forza dipendente dal momento può essere rappresentata da un termine di spin-orbita nel potenziale

Potenziale spin-orbita

- P = ± 1 100 % polarizzazione - P = 0 assenza di polarizzazione

SLrVSO

rr⋅)(

)()()()(ionepolarizzaz

↓+↑↓−↑

=NNNN

56

Abbiamo 3 possibilità:

(i) il nucleone del fascio ha spin ↑, il nucleone bersaglio ha spin ↑, lo spin totale è S = 1

Osserviamo la polarizzazione del nucleone scatterato quando fascio e bersaglio non sono polarizzati

Assumiamo

Nucleone 1: L = r x p nel piano V > 0 repulsivo

Nucleone 2: L = r x p fuori dal piano V< 0 attrattivo

SLrVV SO

rr⋅−≈ )(

negativo SLrr

⋅positivo SL

rr⋅

Tutti gli spin ↑ incidenti su spin ↑ (bersagli) sono deflessi nella stessa direzione a causa del potenziale spin-orbita

57

(ii) il nucleone del fascio ha spin ↓, il nucleone bersaglio ha spin ↓, lo spin totale è S = 1

Nucleone 1: L = r x p nel piano V > 0 repulsivo

Nucleone 2: L = r x p fuori dal piano V< 0 attrattivo

positivo SLrr

⋅negativo SL

rr⋅

L’interazione spin-orbita deflette la componente di spin ↑ del fascio incidente a sinistra e la componente di spin ↓ del fascio incidente a destra

⇒ Abbiamo polarizzazione

(iii) il nucleone del fascio ha spin ↓ o ↑, il nucleone bersaglio ha spin ↓ o ↑, lo spin totale è S = 0

non c’è deflessione a causa dell’accoppiamento spin-orbita0=⋅ SLrr

58

Qualunque singolo nucleone che passa attraverso l’interno di un nucleo incontrerà in media un ugual numero di nucleoni con spin ↑ e spin ↓, per cui l’interazione spin-orbita complessiva è nulla.

Un’interazione di spin-orbita non nulla si ha per quei nucleoni che passano vicino allasuperficie del nucleo

L’effetto si osserva soltanto quando l’energia del fascio incidente è abbastanza alta da poter avere L > 0

La polarizzazione cresce con l’energia

59

A 300 MeV lo spostamento di fase diventa negativo ⇒ forza repulsiva

Classicamente

Il core repulsivo λ del nucleone incidente ≤ range della forza nucleare

⎪⎩

⎪⎨

⎧

><<−

<∞+=

RrRrRV

RRV core

core

0

0

mpERpL lab 2

,2

max =≈

Per Elab = 300 MeV abbiamo p ∼ 1.7 fm-1. Con Lmax ≤ 1 troviamo

fm 6.0core ≤R

60

dove in generale ciascun termine Vi (i = C, LS, ecc.) è funzione delle distanze e velocità relative, del momento angolare orbitale e isospin,

Riassunto sui potenziali fenomenologici

( ) ( )

( )( ) ( )( )[ ]LLLLQ

prSL

ppprrr

rrrrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

⋅⋅+⋅⋅=

⋅⋅×=⋅

−=−=

122112

21

2121

2121

)(21 ,

σσσσ

σσ

( )( ) 1221 1221 QVppVSVVSLVVV LLpTLSCNN +⋅⋅++⋅+⋅+=rrrrrrrr

σσσσ σσ

Riassumendo, la forma più generale del potenziale nucleone-nucleone è

21),,(),,( τττ rr⋅+= LprVLprVVi i

oi

Inoltre abbiamo

parte “isoscalare” parte “isovettoriale”

operatore quadratico di spin-orbita

61

E ha uno spettro continuo

L’equazione di Lippmann-Schwinger

( ) ψψ

φφ

EVH

EH

=+

=

0

0

Consideriamo un processo di scattering descritto da H = H0 + V, dove H0 = p2 / 2m. Nel caso di scattering elastico richiediamo che H e H0 abbiano gli stessi autovalori

Cerchiamo una soluzione tale che |ψ> → |φ> per V → 0:

φψψ +−

= VHE 0

1

Problema: 1 / (E - H0) è singolare → rendiamo E complesso

φψε

ψ +±−

=± ViHE 0

1 Equazione di Lippmann-Schwinger

Introducendo la base della posizione possiamo riscrivere

' ''1 3

0

xdVxxiHE

xxx ∫ ±−+=± ψ

εφψ

62

| φ> è uno stato di onda piana di momento p,

Per andare avanti dobbiamo determinare il kernel dell’equazione integrale

Utilizzando la completezza della base del momento possiamo riscrivere

Adesso usiamo

'12

)',(0

2

xiHE

xm

xxGε±−

=±h

2/3

/

)2( h

hrr

πφ

xpiex⋅

=

''' '''''2/'

1''2

)',( 332

2

pdpdxppimpE

ppxm

xxG ∫ ±−=± εh

2/3

/''

2/3

/'

2

3

2

)2('' ,

)2('

2/')'''(''

2/'1'

hh

hr

hr

ππ

εδ

εxpixpi expepx

impEppp

impEp

⋅−⋅

==

±−−

=±−

63

Questo ci permette di riscrivere

Ponendo E = ħ2k2/2m e p’ = ħq

Consideriamo G+. Abbiamo due poli in

3

3

2

)'('2

)2('

2/'2)',(

h

rhrr

rrr

πεpd

impEe

mxxG

xxpi

∫ ±−=

−⋅

±

21kikq ε

+±=

qdqikq

eexxi

diqk

eddqqm

xxG

xxiqxxiq

xxiq

∫

∫∫∫∞+

∞−

−−−

−

−∞

±

−−

−−=

±−=

επ

ϑε

ϕϑπ

mrr

hrr

22

)'()'(

2

1

122

cos)'(2

00

22

'1

81

cos2

)',(

εikq +≈1

εikq −−≈2

64

Risolviamo l’integrale

Considerando un contorno nel semi-piano positivo del piano q complesso e applicando il teorema dei residui

Analogamente, calcoliamo I2 con un contorno nel semi-piano negativo

qdqikq

exxi

Ixxiq

∫+∞

∞−

−

−−−−=

επ 22

)'(

21 '1

81 rr

'81

22

'1

81

))(()(2lim

'1

81

)'()'(

2

)'(

21

121 1

xxeei

xxi

qeqqqq

qqixxi

I

xxikxxik

xxiqqq

rrrr

rr

−−=

−−=

−−−

−−=

−−

−→

ππ

π

ππ

'81

'1

81

)'(

22

)'(

22

xxe

qdqikq

exxi

I

xxik

xxiq

rr

rr

−−=

−−−−=

−

+∞

∞−

−−

∫

π

επ

65

Poichè

arriviamo a

Quindi

21 IIG +=±

'41

)'(

xxeG

xxik

rr−

−=−±

± π

' ''4

2 3'

2 xdVxxx

emxxxxik

∫ −−=

−±

ψπ

φψh

Consideriamo un potenziale locale

)'''()'(''' 3 xxxVxVx −= δ

±±± == ∫ ψψψ ')'( '''''''' 3 xxVxdxxVxVx

66

In questo modo arriviamo a

Facciamo le seguenti approssimazioni

Infine, assumendo che |φ> = |k>, r

xx

rkkeee

xrrxx

rrxrxr

xkiikrxxik

1'

ˆ' ,

'ˆ'

' ,' ,

1

'''

≈−

=≈

⋅−≈−

>>==

−

⋅±−±

rr

r

rrr

rr

rrm

' ')'('4

2 3'

2 xdxxVxx

emxxxxik

∫ ±−±

±

−−= ψ

πφψ

h

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=⎯⎯ →⎯

⋅

±⋅−+ ∫

rekkfe

rexdxxVemkxx

ikrxki

ikrxki

)',()2(

1

' ')'(2

2/3

3''2

grander

rr

h

rr

rr

π

ψψ

r = direzione di osservazione k = momento incidente k’ = momento dell’onda scatterata

67

Abbiamo quindi trovato un’espressione che lega direttamente l’ampiezza di scattering al potenziale

Se l’effetto dello scatteratore non è molto forte, possiamo fare l’approssimazione

' ')'()2(

)2(241)',( 3

2/3

''3

2 xdxxVemkkfxki

∫ +⋅−

−= ψπ

ππ

rr

h

rr

L’approssimazione di Born

2/3

'

)2(''

πφψ

xkiexxrr

⋅+ =→

Questo porta all’ampiezza di Born al primo ordine

' )'(241)',( 3')'(

2 xdxVemkkf xkki∫ ⋅−−−=rrr

h

rr

π

In altre parole, a parte un fattore costante, l’ampiezza di scattering al primo ordine è la trasformata di Fourier tridimensionale del potenziale V rispetto a q = k – k’.

68

La forza nucleare ha molte proprietà complesse che richiedono un’ulteriore quantificazione prima di cominciare a sviluppare un qualunque modello nucleare.

Un modello che spiega molte caratteristiche della forza nucleare è il Modello di Scambio

L’evidenza del modello si scambio proviene dallo studio dello scattering n-p ad alte energie. Si osserva un picco pronunciato nella sezione d’urto a piccoli angoli. Tuttavia, si osserva anche un grosso picco a 1800. Questo non può essere spiegato per mezzo di processi elastici standard.

Il modello della forza di scambio

scattering atteso

p

np

n

ϑπ − ϑπ −

ϑϑ

69

Una spiegazione viene offerta dal modello di scambio. Durante l’urto, una particella carica viene scambiata fra protone e neutrone, cosicchè il neutrone incidente diventa un protone e il protone diventa un neutrone

Spiegazione naturale nelle teorie di campo in cui il campo di forza è descritto dallo scambio di quanti (particelle) del campo

70

Poichè il processo spontaneo di creazione di una particella “virtuale” viola la conservazione dell’energia, vale la relazione di indeterminazione

h≈∆∆ tE

dove ∆E = mc2 è l’energia richiesta per creare la particella (trascurando l’energia cinetica ). Se la particella si muove alla velocità della luce, allora ∆t ∼ R / c cosicchè otteniamo il range

2mccR h

≈ lunghezza d’onda Compton della particella

Per ottenere un range di circa 2 fm la massa deve essere circa 100 MeV (hc = 200 MeV fm)

71

In QED particelle di massa nulla, i fotoni, soddisfano l’equazione di campo (eq. di Poisson)

L’idea dello scambio di particelle massive

)()()( )3(2 rerr δρϕ ==∇−

La soluzione di questa equazione si ottiene integrando sul volume

222 mpE +=

Possiamo ricavare un’equazione d’onda relativistica per una particella di massa non nulla a partire dall’invariante

rer 1

4)(

πϕ =

Operando le sostituzioni

)1 ,1( , ==∇−→∂∂

→ cipt

iE hrr

Questo porta all’equazione d’onda

02

222 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−−∇ ϕt

mr

Equazione di Klein-Gordon

→ Equazione del moto della particella libera

72

Consideriamo la soluzione in condizioni statiche per cui ∂φ/∂t = 0.

In QED le cariche elettriche sono le sorgenti del campo e.m. (i fotoni). In analogia con la QED, se supponiamo che i nucleoni siano sorgenti di queste particelle di massa m possiamo porre

Assumendo che i nucleoni siano infinitamente massivi e fissi nell’origine

regr

mr−

=π

ϕ4

)(rLa soluzione di questa equazione è il potenziale di Yukawa

( ) )()( 22 xxgm ψψρϕ ==−∇r

( ) )()( )3(22 rgrm rrrδϕ =−∇

A causa della forma esponenziale, diretta conseguenza del carattere massivo delle particelle, questo potenziale ha il desiderato range finito

MeV 138per fm 4.11=== m

mR

73

Questa stima è abbastanza piccola: il pione comincia a dominare proprio oltre questo range. Applicando un fattore 3 o 4 si ottiene una stima più realistica.

L’energia di interazione fra un nucleone e un pione è

Possiamo valutare l’ordine di grandezza della costante di accoppiamento forte g, considerando la sezione d’urto di interazione nucleone-nucleone. Abbiamo

reg

rdrrrg

rdgrdU

mr−

−=

−−=

−=−=

∫∫∫

π

ϕδ

ϕψψϕρ

4

)'( )'(

2

33

33

rrr

L’integrale è il propagatore del campo bosonico

rdr

egemqfrm

rqiN

rr rr 3-2

44

1)( ∫ ⋅−−=π

ππ

22

2 14

)(mq

gmqf N +=

π

74

Assumiamo che la sezione d’urto totale (a bassa energia k → 0) sia

D’altra parte

∫ ≈≈Ω= 222 44)(

π

ππσm

Rdqf

L’ordine di grandezza della costante di accoppiamento è dunque

[ ]

∫ ≈+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

224

2222

2 222

2222

4)/2(1

44

cos)(

2/sin44)(

πππ

π

πππ

ϕϑσ

ϑπ

mmkmmgddqf

mkmgqf

N

N

r

r

1371

41.0

4

22

=>>≈≈ππ

π emmg

N

come ci aspetta dal fatto che a r = 1/m l’interazione nucleare fra protoni deve essere molto maggiore della repulsione coulombiana

75

L’equazione di Poisson di un dipolo elettrico nell’origine è

Il potenziale viene ottenuto da

Un potenziale più realistico

[ ]

)(

)()(

)()()()(

)3(

)3()3(

)3()3(2

rded

rdred

rdrerr

rrr

rrr

rrrrr

δ

δδ

δδρϕ

∇⋅=

−+=

−+==∇−

rde

rdrrr

derdrr

rr

14

')'('

14

'')'(

41)( 3)3(3

∇⋅=

−∇⋅=

−= ∫∫

rr

rrrr

rrrrr

rr

π

δπ

ρπ

ϕ

Il modello svuluppato è semplice ma limitato. Descrive lo scambio di particelle neutre di spin 0, mentre sappiamo che possono essere scambiate anche particelle cariche. Inoltre, non descrive la dipendenza dallo spin dell’interazione.

Possiamo andare oltre continuando l’analogia con la QED.

76

Consideriamo ora 3 pioni distinti ϕ(i) accoppiati ai nucleoni tramite una densità

matrice di isospin del nucleone (i = 1,2,3)

)'()( )()( rrmfr ii rrrrv −∇⋅−= δστρ π

matrice di spin del nucleone

Il ruolo dello spin del nucleone è interpretabile come un dipolo magnetico dall’analogia con la QED.

Sempre sfruttando l’analogia con la QED per la soluzione del potenziale, abbiamo la soluzione dell’equazione di Klein-Gordon

re

mfr

mrii

−

∇⋅−=rrv στϕ π )()( )(

Poichè ci sono tre operatori di isospin, questo porta a tre campi (tre particelle distinte).

In teoria dei campi queste diventano degli operatori agenti sugli stati di particella (protoni o neutroni in un processo di scattering).

77

Nei processi

L’operatore di isospin del campo pionico non deve cambiare la carica. Questo è possibile sono per τ3

nnpp −== 33 , ττ

Quindi il campo di un pione neutro deve contenere τ3

Nei processi

)(00 rrϕπ =

L’operatore di isospin deve trasformare il neutrone in un protone e viceversa. Sappiamo che

( ) pnpni ==±= −+± τττττ , ,21

21

Definiamo quindi i campi π+ e π-

( )21

21 ϕϕπ i±=±

78

L’energia di interazione fra un nucleone in r2 e il pione generato da un altro nucleone posto in r1 è

Integrando su tutto lo spazio arriviamo al potenziale di scambio di un pione

Sostituendo il campo pionico arriviamo a

( ) rdrrmfrdU ii rrrrr 3

2)(

1)(

223

12 )( ∫∫ −⋅∇⋅−=−= δϕτσϕρ π

( ) ( )( ) rdrrrr

emfU

rrm

rrrrr

rrrrrrrr

rr

32

)3(

1221121 )(

1

−−

∇⋅∇⋅⋅−= ∫−−

δσσττπ

( ) ( )( ) 41

21212

2

re

mfU

mr−

∇⋅∇⋅⋅=rrrrrr σσττ

ππ

Facendo agire gli operatori gradiente su exp(-mr)/r arriviamo al risultato finale

( )[ ] )()(34 122121

22

mrfSmrfmfU tc +⋅⋅= σσττππ rrrr

potenziale centrale (dip. dallo spin) potenziale tensoriale

79

Buca di potenziale: scambio di due pioni

Core duro repulsivo: scambio omega

Parte a lungo range: scambio di un pione (Yukawa)

80

sistemi di due particelle, teoria dello scattering:

1. Quantum mechanics - Sakurai

2. Quantum physics - Gasiorowicz

Forze nucleari:

3. Introduzione alla fisica nucleare - Alberico

4. The meson theory of nuclear forces - Machleidt (adv. nucl. phys. 19 (1989) 189

Letture aggiuntive