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Sommario
• Quantificatori• Predicati e nomi• Formalizzazione• Regole di formazione• Modello e varianti
Osservazioni introduttive
• Nella logica proposizionale abbiamo utilizzato interi enunciati legati logicamente da operatori verofunzionali
• Nelle asserzioni categoriche abbiamo considerato la forma interna, considerando anche la quantificazione (portava alla distinzione tra asserzioni universali e particolari), che non è verofunzionale
• La logica dei predicati è un’estensione della logica proposizionale che permette di analizzare la struttura interna degli enunciati attraverso l’uso di predicati e di operatori di quantificazione
Struttura proposizioni semplici
I tipo: proposizioni che asseriscono che un individuo specifico ha una certa proprietà o che esiste una certa relazione tra individui specifici• un certo individuo ha una certa proprietà: “Bob è
americano”, “3 è dispari”, ecc.• tra due o più individui sussiste una certa relazione:
“Dario è più alto di Aldo”, “Anna legge la Divina Commedia”, “Dario è figlio di Anna e Bob”, “I punti A, B, C, D sono i vertici di un quadrato”, ecc.
• usando descrizioni definite: “Il figlio di Anna e Bob è più alto di Aldo”, “Il filosofo greco che bevve la cicuta era maestro di Platone”, ecc.
Struttura proposizioni semplici (2)
• II tipo: proposizioni che asseriscono che una certa proprietà è posseduta da qualche individuo (senza specificare da chi specificamente) o da tutti, o che stabilisce l’esistenza di una relazione – “Tutti gli uomini sono mortali”, “Qualche numero è
dispari”, “Tutte le mogli del sultano sono bellissime”, ecc.• Ci sono modi diversi di quantificare (“tanti”,
“pochi”, “una parte trascurabile”, “più della metà”, “la maggior parte”, “quasi tutti”, ecc.)
• Si considerano solo due quantificatori: “ogni” e “qualche”, nel linguaggio ordinario esprimibili anche in molti modi diversi
Formalizzazione prop. I tipo
• Introduciamo lettere minuscole (a, b, c, …) dette costanti individuali per indicare i nomi degli individui
• Introduciamo lettere maiuscole (A, B, C, …) dette costanti predicative per indicare proprietà e relazioni
• In generale, le proposizioni del I tipo si formalizzano scrivendo una costante predicativa seguita da una o più costanti individuali– Aa, Bac, Cbba
Esempi
• Predicati a un posto (proprietà)– Bob è un uomo (b=Bob, U=uomo) Ub– Carla studia (c=Carla, S=studia) Sc
• Predicati a due posti (relazionali)– Carla ama Bob (c=Carla, b=Bob, A=ama) Acb– Bob è più studioso di Carla (b, c, S) Sbc
• Predicati a tre posti (relazionali)– Carla ha regalato un pesce a Bob (c,p,b,R) Rcpb– Carla ha inviato un’email a Bob Iceb
• Predicati a quattro posti (relazionali)– Alice è più alta di Dario di quanto Bob lo sia di Carla
Aadbc
Costantiindividuali? Costantipredicative?
Esempi con connettivi
Bob e Dario sono studentiBob o Dario sono studentiAnna è uno studente o un professoreAnna è più alta di Bob ma non di CarlaDario e Bob sono più alti di AnnaAd Anna piace Bob o DarioBob ha fatto conoscere Anna a DarioBob ha fatto conoscere Anna a Dario ma non a CarlaCarla si è fatta conoscere a Dario ma non ad Anna
Sb & SdSb v SdSa v PaAab & ~AacAda & AbaPab v PadCbadCbad & ~Cbac
Cccd & ~Ccca
Convenzione:d’orainpoiprendiamolaletterainizialedelnomeodellaproprietà/relazioneperdesignareunacostanteindividualeopredicativa.
Proposizioni che quantificano
“qualcuno ama Bob” ->“esiste un x tale che x ama Bob” ->“esiste un x tale che Axb” ->-> ∃xAxb“tutti amano Bob” ->“per ogni x, x ama Bob” ->“per ogni x si ha che Axb” ->-> ∀xAxb x
variabile individuale
(posto vacante)Funzioni proposizionali
Axb
ProposizioniAab∃xAxb∀xAxb
∃quantificatore
particolare
∀quantificatore
universale
Formalizzare le asserzioni universali
• Ogni S è P, ovvero:per ogni individuo, se esso è S allora esso è P– abbiamo esplicitato un condizionale– sostituiamo ‘x’ a ‘individuo’:
per ogni x, se x è S, allora x è P– dunque: ∀x(Sx→Px)
• Ogni S non è P– per ogni x, se x è S, allora x non è P– abbiamo esplicitato un condizionale e la
negazione del conseguente– dunque: ∀x(Sx→~Px)
Formalizzare le asserzioni particolari
• Qualche S è P– per qualche x, x è S e x è P– abbiamo esplicitato una congiunzione– dunque: ∃x(Sx&Px)
• Qualche S non è P– per qualche x, x è S e x non è P– abbiamo esplicitato una congiunzione e la
negazione del secondo congiunto– dunque: ∃x(Sx&~Px)
Chiarimento
• Perché “Ogni S è P” si formalizza con ∀x(Sx→Px) e non con ∀x(Sx&Px)?– Usando la congiunzione si asserirebbe che tutti gli
individui dell’universo sono contemporaneamente uomini e mortali, il che in generale è banalmente falso
• Se ‘ogni S è P’ si formalizza con ∀x(Sx→Px), perché ‘qualche S è P’ non si formalizza con ∃x(Sx→Px) ?– Poiché il condizionale è automaticamente vero quando
l’antecedente è falso, se non esiste nessun U allora ∃x(Sx→Px) sarebbe sempre vera
– Invece ∃x(Sx&Px) è vero solo se esiste davvero un S che è anche P
Esempi
I pesci sono rossiQualche pesce è rossoQualche pesce non è rossoNon ci sono pesci rossiNessun pesce è rosso
Esistono pesci non rossiNon tutti i pesci sono rossiNon esistono pesci non rossiNessun pesce non è rosso (ogni pesce non è non-rosso)
∀x(Px→Rx)∃x(Px&Rx)∃x(Px&~Rx)~∃x(Px&Rx)(1)∀x(Px→~Rx)(2) ~∃x(Px&Rx)∃x(Px&~Rx)~∀x(Px→Rx)~∃x(Px&~Rx)∀x(Px→Rx)
Forza espressiva
• Possiamo rappresentare tutte le strutture logiche proposizionali/categoriali, isolatamente e in combinazione, e strutture non rappresentabili in nessuna delle due teorie– "Tutto ha un costo” (predicato C) ∀xCx– "Qualcosa mi puzza” (predicato P) ∃xPx
• Possiamo quantificare su più individui– "C’è qualcosa che vogliono tutti" ∃x∀yVyx– "Tutti vogliono tutto" ∀x∀yVxy
• Possiamo considerare più di 2 predicati– “Gli atleti sono in forma e in salute” ∀x(Ax→(Fx&Sx))– "C’è una ragazza desiderata da tutti gli studenti maschi”
(R,D,S,M) ∃x(Rx&∀y((Sy&My)→Dyx))
Esempi formalizzazione
I pesci rossi non sono grandi
Ogni pesce è o rosso o grandeCerti pesci sono rossi ma non grandiI pesci sono rossi ma non grandi
Nessun pesce che boccheggia è grandeCi sono pesci rossi che, se fa freddo, boccheggianoI pesci rossi non nuotano se non fa freddoAlcuni pesci rossi nuotano solo se fa freddoI pesci rossi sono più belli dei pesci gialli
(1) ∀x((Px&Rx)→~Gx)(2) ~∃x((Px&Rx)&Gx)∀x(Px→(Rx v Gx))
∃x(Px&(Rx&~Gx))(1) ∀x(Px→(Rx&~Gx))(2) ∀x(Px→Rx)&∀x(Px→~Gx))
∀x((Px&Bx)→~Gx)∃x((Px&Rx)&(F→Bx))
(1) ~F→∀x((Px&Rx)→~Nx)(2) ~F→~∃x((Px&Rx)&Nx)
∃x((Px&Rx)&(Nx→F))
∀x((Px&Rx)&∀y((Py&Gy)→Bxy))∀x((Px&Rx)→∀y((Py&Gy)&Bxy))
Cautele e osservazioni
• L’individuazione delle forma logica non è meccanica– “Anna ama Bob”, “Bob è amato da Anna”, “Anna ha la proprietà
di amare Bob”
• La scelta delle variabili non influenza il significato– ∃x∀yPyx e ∃y∀zPzy sono equivalenti
• Variabili differenti non si riferiscono a oggetti necessariamente diversi– In “a qualcuno piace tutto” (∃x∀yPyx) si asserisce che a
quel qualcuno piace anche se stesso• Le stesse variabili usate in congiunzione con due
quantificatori non designano necessariamente gli stessi oggetti– ∃xPbx&∃xPcx
Alfabeto del linguaggio predicativo
• Simboli logici– connettivi: ~, v, &, →, ⟷– quantificatori: ∀, ∃– variabili: lettere minuscole (da ‘u’ in poi) e
pedici (u1, u2, ecc.)– parentesi: (, )
• Simboli non logici – Costanti individuali: lettere minuscole (da ‘a’ a
‘t’) e pedici– Costanti predicative: lettere maiuscole e pedici
Formule
• Una formula è una qualunque sequenza di simboli logici e non logici nel dizionario– ~∀xTxc ∀x∀yGxy &xG→c
• Una formula è atomica se consiste di una sola lettera predicativa seguita da nessuna o da alcune costanti individuali– B Ga Dabc
Regole di formazione e formule ben formate (fbf)
• Nella logica predicativa le regole sono:1)qualunque formula atomica è una fbf2)se ϕ è una fbf, allora lo è anche ~ϕ3)se ϕ e ψ sono fbf, allora lo sono anche (ϕ&ψ),
(ϕvψ), (ϕ→ψ) e (ϕ⟷ψ)4)se ϕ è una fbf contenente una costante
individuale α, allora qualunque espressione ∀βϕβ/α o ∃βϕβ/α è una fbf, dove ϕβ/α è il risultato della sostituzione di una o più occorrenze di α in ϕ con una variabile β non presente in ϕ
5)niente altro è una fbf
Osservazioni
Una variabile può essere introdotta solo con la regola 4, per cui un quantificatore la deve precedere
– ∀xTxc [fbf: Tbc à∀xTxc] Txc [non-fbf: x?]
Non si può aggiungere una variabile già presente– ∀x∃x(Tx&Bx) [non-fbf: quantificazione di Tx? Bx?]
È possibile che più quantificatori usino la stessa variabile solo quando ciò avviene attraverso le regole 2) e 3)
– ∀xTx & ∃xBx [fbf]
Perché non sono fbf?
• ∃xPxy• (Gc)• ∀xGx&Hx• ∀x(Gx)• (∀xGx)• ∃x∀yGx• ∀x∃x(Gx&~Hx)• ∃xGx & ~∃xHx
– Se mancano solo le parentesi più esterne si accetta per convenzione come fbf
Semantica predicativa
• I quantificatori non sono verofunzionali – cioè non possiamo determinare il valore di verità di
‘∃xAx’ in termini di ‘Ax’ in quanto quest’ultimo non è un enunciato
• L’idea è di interpretare ‘x’ all’interno di un modello (o struttura interpretativa), cioè una coppia <D, I> in cui – D è un dominio (o universo, o un insieme di oggetti)– I è un’interpretazione dei simboli non logici (costanti e
predicati) che compaiono nelle fbf, con cui si assegna un significato alle costanti individuali e ai predicati
Verità/Falsità nel modello
Predicato a 0 posti (es.: P)valore di verità dato direttamente dal modello
Predicato a n posti con costanti individuali (es.: Tab) Vero nel modello ⟷ gli oggetti designati dalle costanti appartengono alla classe di oggetti designati dal predicato;
fbf che inizia con quantificatore universale (∀xBx) Vera nel modello ⟷ è vero ogni suo esempio;
fbf che inizia con quantificatore particolare (∃xDx)Vera nel modello ⟷ è vero almeno un suo esempio
Esempio
• Dominio: l’insieme {Trump, Conte, Mattarella}.
• Costanti e predicatit Trumpj Jovanottim MattarellaA {Trump, Jovanotti}B {Jovanotti, Mattarella}D insieme degli italianiP insieme delle personeE relazione di maggiore età (il 1^ più anziano del 2^)
DjBtEmjAt & Bm~DjDt→Bm∃x~Dx∀x(Dx & Ax)∀x(Px→Dx)
VFVVFVVFF
Esempio di c-variante
• Dominio: l’insieme delle cose di questo mondo
• Costanti e predicatit Trumpj Jovanottim MattarellaD insieme degli
italianiP insieme delle
persone• c individuo
qualsiasi
∃x~Px ?Costruiamo la c-variante (ogni interpretazione di c dà un nuovo modello)Nella c-variante in cui ‘c’ è interpretata come il Colosseo si ha che ~Pc è vera, dunque∃x~Px V∀xPx ?Nella c-variante in cui ‘c’ è interpretata come il Colosseo è falsa, dunque ∀xPx F
Esempio Interpretazione∃x(~Tx&Nx)∃x(Cx&~Gx)∃x((Cx&Gx)&Bx)∀x(Bx→Cx)∀x(Px→Tx)∀x((Bx&~Cx)→~Px)∃x((Cx&Px)vTx) ∃x(Tx&Nx)&∃xCx∀x(Cx→∀y(Ty→Dxy) ∃x(Cx&∃y(Ty&Sxy))
‘T’staper‘triangolo’, ‘C’ staper‘cerchio’,‘N’ staper‘nero’, ‘B’ staper‘bianco’,‘P’ staper‘piccolo’, ‘G’ staper‘grande’,‘D’ staper‘piùadestradi’,‘S’ staper‘piùasinistradi’.
VFVFVVVVFV
Verità/falsità logica e validità
• Due definizioni importanti nel par 6.5 (Varzi) • Nella logica predicativa (Varzi, p. 185) una fbf è:
– logicamente vera se è vera in ogni modello (ad es. ∃xPx v ~∃xPx)
– logicamente falsa se è falsa in ogni modello (ad es. ∃xPx & ~∃xPx)
• Una forma argomentativa è (Varzi, p. 175): – valida se non esiste alcun modello in cui le premesse
sono vere mentre la conclusione è falsa– invalida se esiste almeno un modello in cui le premesse
sono vere mentre la conclusione è falsa• Se una forma è valida, allora la conclusione è
conseguenza logica delle premesse
Il ruolo particolare dell’identità
Alice e Bob hanno la stessa mamma
Alice e Bob hanno un papà diverso∃xMxa & ∃yMyb
∃xPxa & ∃yPyb
Sarebbe utile avere un predicato a 2 posti con1) corrispondente al predicato “è identico a” (I)2) significato stabile∃x∃y(Mxa & Myb & Ixy)
∃x∃y(Pxa & Pyb & ~Ixy)
Per la stabilità ed il suo ruolo particolare adottiamo 2 convenzioni: “=“, in mezzo (a=b)
m A. Manzoni I è scrittore italianod Dante Alighieri M è migliore dic La Divina Commedia S ha scritto
Manzoni non è DanteLa Divina Commedia esisteDante ha scritto la Div. Comm.Se Manzoni è Dante, ha scritto la Div. Com.Solo Dante ha scritto la Div. Comm.Dante è il miglior scrittore italianoNessuno scrittore italiano è meglio di Dante Esiste almeno uno scrittore italianoEsiste al massimo uno scritt. italianoEsiste esattamente uno scritt. ItalianoMeno di 2 individui hanno scritto la D.C.
~m=d∃x x=cSdcm=d → Smc
∀x(Sxc⟷x=d)Id&∀x((Ix&~x=d)→Mdx)
∀x(Ix→~Mxd)~∃x(Ix&Mxd)∃xIx
∀x∀y((Ix&Iy)→x=y)∃x(Ix&∀y(Iy→x=y)∀x∀y((Sxc&Syc)→x=y)
m A. Manzoni I è scrittore italianod Dante Alighieri M è migliore dic La Divina Commedia S ha scritto
Meno di 2 individui hanno scritto la D.C.
Almeno 2 individui hanno scritto la D.C.
Esattamente 2 individui hanno scritto la D.C.
Al più 2 individui hanno scritto la D.C.
Più di 2 individui hanno scritto la D.C.
∀x∀y((Sxc&Syc)→x=y)
∃x∃y((Sxc&Syc)&~x=y)
∃x∃y((Sxc&Syc)&~x=y)&∀z(Szc→(z=x v z=y))
∀x∀y∀z(((Sxc&Syc)&Szc)→((z=x v z=y)v x=y))
∃x∃y∃z(((Sxc&Syc)&Szc)&((~z=x & ~z=y)& ~x=y))
Esempi formalizzazione
Alcune cose sono rosseNon esistono cose rosse Non si dà il caso che qualunque cosa sia rossaEsistono cose rosse e cose non rosseO tutto è rosso o niente lo è
Tutto è o rosso o non rossoAlcuni pesci sono rossi e altri noCerti pesci sono rossi e grandiQualche pesce rosso è grandeAlcuni pesci rossi non sono grandiCerti pesci sono rossi, altri sono grandiNon esistono pesci rossi
∃xRx~∃xRx~∀xRx
∃xRx&∃x~Rx(1) ∀xRx v ~∃xRx(2) ∀xRx v ∀x~Rx∀x(Rx v ~Rx)∃x(Px&Rx)&∃x(Px&~Rx)∃x(Px&(Rx&Gx))∃x((Px&Rx)&Gx)∃x(Px&Rx)&~Gx)∃x(Px&Rx)&∃x(Px&Gx)
~∃x(Px&Rx)
Esempi formalizzazione
Tutti i pesci rossi sono grandiTutti i pesci rossi boccheggianoEsistono pesci rossi che non boccheggianoTutti i pesci rossi, se non fa freddo, boccheggianoSe fa freddo i pesci non nuotano
Alcuni pesci rossi nuotano solo se fa freddo
∀x((Px&Rx)→Gx)∀x((Px&Rx)→Bx)∃x((Px&Rx)&~Bx)
∀x((Px&Rx)&(~F→Bx))
F→∀x(Px→~Nx)F→~∃x(Px&Nx)∃x((Px&Rx)&(Nx→F))
Esempi formalizzazione
Senza eccezioni, i pesci sono rossiSe qualcosa è rosso allora è un pesceSe c’è qualcosa rossa, c’è un pesceSe una cosa è rossa, è un pesceSe una cosa è rossa, i pesci sono rossiSe ogni cosa è rossa, allora i pesci sono rossiA volte i pesci sono rossi…(e a volte non sono rossi?)Un pesce è rosso (?)…(uno solo?)…(tutti?)Un pesce è sempre rosso Solo i pesci sono rossi I pesci boccheggianti nuotano
∀x(Px→Rx)∀x(Rx→Px)∃xRx→∃xPx∀x(Rx→Px)∃xRx→∀x(Px→Rx)∀xRx→∀x(Px→Rx)
∃x(Px&Rx)∃x(Px&Rx)&∃x(Px&~Rx)
∃x(Px&Rx)∀x(Px→Rx)∀x(Px→Rx)∀x(Rx→Px)∀x((Px&Bx)→Nx)
Esempi formalizzazione
Solo i pesci boccheggianti nuotano Se qualcosa boccheggia non è un pesce rossoSe c’è qualcosa rosso che nuota, non è un pesceI pesci che nuotano boccheggianoTutti i pesci che nuotano boccheggiano, a meno che non siano rossiTutti e soli i pesci rossi nuotanoTra tutti i pesci che nuotano, solo quelli rossi boccheggianoTra tutti i pesci che nuotano, solo quelli rossi non boccheggiano
∀x(Nx→(Px&Bx))∀x(Bx→~(Px&Rx))
∃x((Rx&Nx)→~Px)
∀x((Px&Nx)→Bx)∀x((Px&Nx)→(~Rx→Bx))
∀x((Px&Rx)⟷Nx)∀x((Px&Nx)→(Bx→Rx))
∀x((Px&Nx)→(~Bx→Rx))
Esempi formalizzazioneBob vuole tuttoQualcuno vuole tuttoA Bob non piace nullaNulla piace a BobC’è qualcosa che a Carla non piaceC’è qualcosa che piace a Bob e AnnaA Bob piace qualcosa che piace a AnnaC’è qualcosa che piace a Bob, e qualcosa che piace a AnnaLe cose che piacciono a Bob non piacciono a AnnaSe Bob si piace, allora a Bob piace qualcosaSe Bob non si piace, allora non gli piace nulla
∀xVbx∃x∀yVxy∀x~Pxb∀x~Pxb∃x~Pxc∃x(Pxb & Pxa)∃x(Pxb & Pxa)∃xPxb & ∃xPxa
∀x(Pxb→~Pxa)
Pbb→∃xPbx
~Pbb→∀x~Pxb
Esempi formalizzazione
Se a Bob piace qualcosa, allora gli piace qualunque cosaA tutti piace almeno qualcosaC’è almeno qualcosa che piace a tuttiC’è almeno una cosa a cui piace tuttoA tutti piace tutto
Ad Anna piace uno studenteAd uno studente piace una ballerinaA qualche studente piace ogni ballerinaC’è una ballerina che piace a tutti gli studentiBob ha fatto conoscere una ballerina a uno studenteUno studente ha fatto conoscere un suo amico a una ballerina
∃xPxb→∀xPxb
∀x∃yPyx∃x∀yPxy∃x∀yPyx∀x∀yPyx
∃x(Sx&Pxa)∃x∃y((Sx&By)&Pyx)∃x(Sx&∀y(By→Pyx))∃x(Bx&∀y(Sx→Pxy)
∃x∃y(Bx&(Sy&Cbyx)
∃x∃y∃z((Sx&By)&(Axz&Cxzy))
Esempi formalizzazioneOgni triangolo è più a destra dei cerchi
I triangoli sono più in alto di un cerchio
I triangoli neri sono più a sinistra dei cerchi
Un cerchio è più in alto di un quadrato bianco
C’è un triangolo nero piccolo a destra di un cerchio grande
Tutti i cerchi bianchi sono più destra dei quadrati neri
∀x(Tx→∀y(Cy→Dxy))
∀x(Tx→∃y(Cy&Axy))
∀x((Tx&Nx)→∀y(Cy→Sxy))
∃x(Cx&∃y((Qy&By)&Axy))
∃x(((Tx&Nx)&Px)&∃y((Cy&Gy)&Dxy))
∀x((Cx&Bx)→∀y((Qy&Ny)→Dxy))‘T’staper‘triangolo’, ‘Q’ staper‘quadrato’,‘C’ staper‘cerchio’, ‘N’ staper‘nero’,‘B’ staper‘bianco’, ‘P’ staper‘piccolo’,‘G’ staper‘grande’, ‘A’ staper‘piùinaltodi’,‘D’ staper‘piùadestradi’, ‘S’ staper‘piùasinistradi’.
Esempi formalizzazione
∃x(~Tx&Nx)
∃x(Cx&~Gx)
∃x((Cx&Gx)&Bx)
∀x(Bx→Cx)
∀x(Px→Tx)
∀x((Bx&~Cx)→~Px)
∃x((Cx&Px)vTx)
~∃x(Qx&Gx)
C’è un oggetto nero che non è un triangolo
C’è un cerchio che non è grande
C’è un cerchio grande bianco
Tutti gli oggetti bianchi sono cerchi
Gli oggetti piccoli sono triangoli
Gli oggetti bianchi che non sono cerchi non sono piccoli
C’è un cerchio piccolo oppure un triangolo
Non c’è alcun quadrato grande
Esempi formalizzazione
∃x((Tx&Gx)&Nx)&∃x(Cx&Bx)
∃x(Qx&Nx)&∃x(Qx&Px)
∀x(Qx→∀y(Cy→Sxy))
∀xQx→∀y(Cy→By)
∀x((Cx&Gx)→∃y(Ty→Sxy))
~∀x(Cx→∃y(Qy&Dxy))
∃x((Tx&Bx)&∀y(Cy→Axy))
Ci sono un triangolo grande nero e un cerchio bianco
Ci sono un quadrato nero ed un piccolo
I quadrati sono più a sinistra dei cerchi
Se sono tutti quadrati allora ogni cerchio è bianco
Ogni cerchio grande è più a sinistra di ogni triangolo
Non tutti i cerchi hanno più a destra un quadrato
C’è un triangolo bianco più in alto di ogni cerchio
Esempi Interpretazione∃x(~Tx&Nx)∃x(Cx&~Gx)∃x((Cx&Gx)&Bx)∀x(Bx→Cx)∀x(Px→Tx)∀x((Bx&~Cx)→~Px)∃x((Cx&Px)vTx)
‘T’staper‘triangolo’, ‘Q’ staper‘quadrato’,‘C’ staper‘cerchio’, ‘N’ staper‘nero’,‘B’ staper‘bianco’, ‘P’ staper‘piccolo’,‘G’ staper‘grande’, ‘A’ staper‘piùinaltodi’,‘D’ staper‘piùadestradi’, ‘S’ staper‘piùasinistradi’.
VFVFVVV
Esempi Interpretazione~∃x(Qx&Gx) ∃x((Tx&Gx)&Nx)&∃x(Cx&Bx)∃x(Qx&Nx)&∃x(Qx&Px)∀x(Qx→∀y(Cy→Sxy))∀xQx→∀y(Cy→By)∀x((Cx&Gx)→∃y(Ty&Sxy))~∀x(Cx→∃y(Qy&Dxy))∃x((Tx&Bx)&∀y(Cy→Axy))
FVFVVVFF
‘T’staper‘triangolo’, ‘Q’ staper‘quadrato’,‘C’ staper‘cerchio’, ‘N’ staper‘nero’,‘B’ staper‘bianco’, ‘P’ staper‘piccolo’,‘G’ staper‘grande’, ‘A’ staper‘piùinaltodi’,‘D’ staper‘piùadestradi’, ‘S’ staper‘piùasinistradi’.
Esempi Interpretazione∃x((Cx&Bx)&∃y((Qy&Ny)&Dxy))∃x((Tx&Nx)&∀y((Cy&Gy)→Dxy)) ∀x((Cx&Bx)→∀y((Cy&Ny)→Axy)) ~∃x((Qx&Nx)&∀y(Cy→Axy))
VVVV
‘T’staper‘triangolo’, ‘Q’ staper‘quadrato’,‘C’ staper‘cerchio’, ‘N’ staper‘nero’,‘B’ staper‘bianco’, ‘P’ staper‘piccolo’,‘G’ staper‘grande’, ‘A’ staper‘piùinaltodi’,‘D’ staper‘piùadestradi’, ‘S’ staper‘piùasinistradi’.
Esempi formalizzazione
∀x(Ix→Sex)
∀x(Px→∀y((Sy&Cyl)→Ayx))
∀x((Px&~Ixl)→Nx)
∀x(Px→∃y(Sy&Axy))
∀x((Sx&∀yCxy)→∀z(Pz→Azx))
∀x((Px&~Ixl)→∀z(Sz→~Czl))
∀x(Ex→∀y((Sy&Pyx)→Syx))
Chiunque si impegna superera ̀ l’esame di logica. (I,S,e)
Ogni professore è apprezzato dagli studenti che capiscono la logica. (P,A,S,C)I professori che non insegnano logica sono noiosi. (P,I,N,l)
Ogni professore annoia qualche studente. (P,S,A)
Gli studenti che capiscono tutto sono annoiati da qualunque professore. (S,C,A,P)Se un professore non insegna bene la logica, gli studenti non la capiscono. (P,I,S,C,l)Ogni studente che prepara bene un esame lo supera.
Esempi formalizzazione∃xSx
∃x∃y(Sx&Sy&~(x=y))
∃x∃y∃z(Sx&Sy&Sz&~(x=y)&~(x=z)&~(y=z))
∀x∀y((Sx&Sy)→x=y)
∀x∀y∀z((Sx&Sy&Sz)→(x=y v x=z v y=z))
∃x(Sx&∀y(Sy→x=y)
∃x∃y((Sx&Sy&~(x=y))&∀z(Sz→((z=x)v(z=y))))
C’e ̀ almeno uno studente.Ci sono almeno due studenti.Ci sono almeno tre studenti.
C’e ̀ al massimo uno studente.
Ci sono al massimo due studenti.
C’è esattamente uno studente.
Ci sono esattamente due studenti.