La Matematica Dell'Arte

LA MATEMATICA DELLARTE

(visione, enumerazione, misurazione, rappresentazioneed astrazione: dagli oggetti alle forme)

Gemma Faraco1 e Mauro Francaviglia2

1 Dipartimento di Matematica, Universita` della Calabria, Via P. Bucci, Cubo30/B, Arcavacata di Rende (CS) [email protected]

2 Dipartimento di Matematica, Universita` di TorinoVia Carlo Alberto 10, 10123 Torino [email protected]

Sommario. La Matematica classica e moderna, la sua storia, le sue applicazioni, leforti correlazioni tra la Matematica e lArte, le strutture matematiche presenti nelleopere darte di ogni tempo. E` questo il filo conduttore del volume LA MATEM-ATICA DELLARTE (visione, enumerazione, misurazione, rappresentazione ed as-trazione: dagli oggetti alle forme).Il libro cui si accompagna un CD-Rom per visualizzare sul proprio PC lavori mul-timediali esplicativi di alcune teorie chiave della Matematica, e` dedicato a chi siaccinge a diventare un artista, a chi vuole operare nel mondo dellIndustria Cul-turale e si confronta quotidianamente con problemi di visione, enumerazione, mis-urazione, rappresentazione ed astrazione. Il testo, come recita il sottotitolo .... daglioggetti alle forme vuole offrirsi come una guida per conoscere, affrontare, applicarecon efficacia quegli strumenti della Matematica essenziali per il bagaglio culturale diun artista moderno (sia esso operatore del cinema, della televisione, della computergraphics .....) che si prefigge di rappresentare e di trasmettere con ogni mezzo lanostra realta` quotidiana fatta di oggetti, di numeri, di geometria. Lobiettivo princi-pale del volume e` infatti quello di rapportare la matematica, nel suo sviluppo storicoe nella sua modernita`, alle discipline artistiche siano esse figurative, plastiche, visive,acustiche o costruttive. Il linguaggio utilizzato e` semplice e diretto; e` stato ridottoal minimo il bagaglio di dimostrazioni e luso di formalismi preferendo ricorrerea dimostrazioni di natura piu` euristica ed intuitiva. Seppure i destinatari elettivisono studenti di dottorato, di scuole avanzate e di specializzazione, il libro puo` es-sere utile anche agli insegnanti delle scuole Medie Superiori che possono trovare inesso molti spunti per comunicare la matematica in una maniera diversa, accostan-dola allespressione artistica. E questo puo` risultare motivante e coinvolgente pergli studenti che possono cos` guardare alla Matematica non come ad una disciplinaostica, ricca di formalismi, fine a se stessa bens` come a qualcosa che trova ap-plicazione in tutti i campi, anche in quelli piu` impensati e tipicamente lontani dacio` che comunemente viene inteso come scienza.

2 Gemma Faraco e Mauro Francaviglia

1 Introduzione

Molte teorie matematiche nascono e si sviluppano dallesigenza di quantifi-care, misurare, descrivere e razionalizzare aspetti della realta` quotidiana. Uninsegnamento moderno della Matematica non puo` ignorare i legami che essapresenta con il mondo reale; bisogna insegnare a riconoscere la Matematicaimplicita nelle diverse situazioni, contenuta in oggetti apparentementelontani come quadri, sculture, opere architettoniche realizzate spesso seguendoapposite geometrie, rapporti numerici, proporzioni, in una parola, strutturematematiche. La Matematica puo` e deve essere considerata come uno stru-mento essenziale non solo per le discipline scientifiche e tecnologiche ma ancheper le discipline umanistiche ed in particolare per quelle artistiche, e propriodallarte si puo` partire per proporre un nuovo approccio allinsegnamentodella Matematica e delle sue applicazioni. Il percorso didattico che il volumepresenta nasce dalla convinzione che lo sviluppo delle discipline matematichee` avvenuto in maniera parallela, e in alcuni casi ha anticipato, un analogosviluppo non solo della filosofia e della scienza, ma anche del nostro mododi percepire, descrivere e rappresentare il mondo sensibile attraverso larte. Ilpassaggio dalla Geometria Euclidea del mondo greco alla Geometria Prospet-tiva del Rinascimento, alla Geometria non Euclidea del diciottesimo e deldiciannovesimo secolo, alla Geometria delle forme topologiche nel ventes-imo secolo, puo` e deve essere letto come parallelo al passaggio dalla staticita`dellarte e dellarchitettura antica, alla giusta rappresentazione spaziale e allaperfezione delle opere rinascimentali, allevoluzione delle forme artistiche neldiciottesimo secolo (divisionismo, espressionismo, impressionismo) fino allacompleta rottura della simmetria nelle forme darte moderne e contempora-nee. Oggigiorno la Matematica assume un ruolo importante in tutte le formedarte, siano esse figurative, plastiche, visive, acustiche o costruttive; teoriee metodi anche sofisticati dellAnalisi e della Geometria sono utilizzate pergenerare arte e musica con lausilio di calcolatori e di dispositivi elettron-ici. Un ruolo particolare e` ricoperto in questo campo dai metodi topologicimoderni, basati sulla rinuncia alle figure predefinite ed anche sul concetto difrattale inteso come entita` dotate di proprieta` di autosimilarita`.Il percorso delineato persegue lobiettivo di rapportare la Matematica, nel suosviluppo storico e nella sua modernita`, alle discipline artistiche. Esso partedalla Geometria Euclidea per arrivare fino alla Geometria Riemanniana. Con-cetti elementari sui Frattali, la Teoria dei Nodi, la Teoria del Suono e dei col-ori vengono introdotti e integrati nel percorso principale a piu riprese senzaper questo e con questo rinunciare ad una omogeneita` del percorso stesso.Pur preferendo un linguaggio non eccessivamente matematico (non sono stateintrodotte dimostrazioni ne` pesanti formalismi), e` stato fatto ricorso a di-mostrazioni di natura piu` euristica ed intuitiva allo scopo di sottolineare ilsenso estetico della Matematica stessa (Fig. (1)).La trattazione dei diversi argomenti vuole essere al contempo rigorosa ed ele-mentare, fornendo al fruitore quanti piu` strumenti possibili per comprendere

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Fig. 1. Un esempio di dimostrazione effettuata utilizzando la multimedialita` (Lafigura e il corrispondente filmato sono stati realizzati da D. Fiorelli)

il profondo intreccio tra Matematica ed Arte (anche nelle loro piu` moderneaccezioni) ma riducendo al minimo il bagaglio di dimostrazioni e di calcoli,per i quali opportuni percorsi di approfondimento sono di volta in volta sug-geriti attraverso schede o richiami bibliografici. Analogamente si e` cercatodi enucleare quelle incidenze in campo artistico che appaiono piu` significa-tive od emblematiche, riservando - con il medesimo taglio - schede e riferi-menti bibliografici per ulteriori estensioni ed approfondimenti. Nel presentarele interazioni tra Matematica ed Arte si e` cercato di mantenere per quantopossibile unatteggiamento storicista, di cogliere cioe` il sottile parallelismoche, seguendo il progresso del pensiero e delle conoscenze, ha visto evolverenel tempo - talora in modi apparentemente slegati ma, invero, sempre pro-fondamente interconnessi - il pensiero matematico, la nostra percezione delmondo fisico ed il nostro modo di concepire o sviluppare larte come mezzoper riempire armonicamente, o descrivere e rappresentare esteticamente, op-pure trascendere e trasfigurare il mondo sensibile e percepito.Il volume consta di 14 moduli didattici ognuno dedicato ad un argomentomatematico ben definito e si articola su due diversi livelli: uno di base e laltrodi approfondimento. Ogni modulo infatti e` corredato da schede di richiamo e diapprofondimento oltre che da riferimenti bibliografici sia di carattere storico-matematico che artistico. Nelle sezioni seguenti presenteremo alcuni spuntisignificativi del forte parallelismo tra la Matematica e lArte e nel dettaglio,indicheremo gli argomenti matematici presenti nel volume, riportandone (perintero) lindice.


2 Matematica e Arte: due mondi paralleli

E` universalmente riconosciuto il forte legame tra la Matematica, mezzo per lascoperta e la descrizione della realta` e lArte che questa stessa realta` vuole raf-figurare. La storia della civilta` e` testimone delle forti influenze che la Matem-atica ha avuto ed ha sullArte. Larte classica obbedisce a regole su misure eproporzioni, gli artisti (in senso lato: pittori, scultori, architetti) utilizzano ilrettangolo aureo, fanno ricorso alla sezione aurea, alla teoria delle proporzioniche era alla base della Geometria e della Scienza Greca. Nella civilta` Grecauno dei criteri per lArte e` proprio la teoria delle proporzioni. Oggetti matem-atici, creati da filosofi e matematici greci, sono stati considerati essere i simbolidella bellezza classica. Ci riferiamo ad esempio, ai solidi platonici (esaedro,tetraedro, ottaedro, icosaedro e dodecaedro) definiti da Platone nel Timeocome gli oggetti piu` belli delluniverso. Nel Rinascimento lartista si presentacome un intellettuale completo: e` pittore, scultore, architetto, matematico,uomo di scienza e non solo dipinge, scolpisce, progetta, ma pubblica operedi argomento matematico e geometrico di interesse. Tanto e` vero che Pierodella Francesca, Durer, Brunelleschi e Alberti possono essere considerati trai matematici dellepoca. Lesigenza dei pittori di rappresentare fedelmente ilmondo tridimensionale su tele a due dimensioni finisce con il mettere in crisila geometria introdotta e formalizzata da Euclide e porta alla nascita di nuoveteorie geometriche che diano ragione dei punti di fuga. Da questo intreccio traMatematica e Arte nasce la geometria proiettiva.Nella seconda parte del diciannovesimo secolo muta lidea di spazio e dellasua descrizione; la negazione del V postulato di Euclide porta alla geometriaiperbolica e in campo artistico allaffermarsi dellimpressionismo. Si scopreche lo spazio visivo non e esattamente euclideo, ma iperbolico (Rudolf Lunen-berg, 1947) e gli artisti cominciano a mettere su tela cio che locchio effetti-vamente vede e non cio che esso dovrebbe vedere. Lintroduzione del tempocome quarta dimensione da affiancare ad altezza, larghezza e profondita at-tribuisce dinamicita agli oggetti. E il problema della loro rappresentazionesu tele bidimensionale sembra insormontabile. Eppure artisti come GiacomoBalla (Dinamismo di un cane al guinzaglio), Umberto Boccioni (Dinamismo diun ciclista) e Marcel Duchamp (Nudo che scende le scale) riescono a dare unarappresentazione pittorica del movimento. Il dinamismo viene poi coronatocon e dalle sequenze cinematografiche e dunque con lintroduzione del tempocome quarta dimensione su cui far scorrere immagini tridimensionali. E questaidea di far scorrere sezioni a n-1 dimensioni per rappresentare oggetti a n di-mensioni e utilizzata anche nelle arti figurative. Il grande Picasso (Ritratto diAmbroise Voilard) raffigura una immagine (tre dimensioni) come riflessa intante schegge di vetro (due dimensioni). Dal (Corpus Hypercubicus) raffigurauna croce di otto cubi ottenuti sezionando un ipercubo quadridimensionale inmodo da aprirlo nello spazio tridimensionale.A questo salto di tipo culturale segue, alla fine degli anni 60, un salto di tipotecnologico: si sviluppa la Computer Graphics e, con essa, si intensificano


le interazioni tra Matematica e Arte. Gli artisti cominciano ad utilizzare ilcomputer per realizzare e riprodurre opere darte. Si pensi ad esempio allariproduzione da parte dellartista contemporaneo Vila della bellissima cestadi frutta del Caravaggio, realizzata interamente con tecniche di ComputerGraphics sfruttando le potenzialita` di moderni programmi di grafica bi e tridimensionali.La storia della civilta` e` dunque testimone delle influenze che la matematica haavuto sullarte e sugli artisti. Lo stesso M. C. Escher indiscusso inventoredi oggetti impossibili e di mondi immaginari fu influenzato, nel realizzare lesue opere piu` belle e note, dalle teorie matematiche di Poincare` e Penrose.Da una analisi delle influenze della Matematica nellArte e` inoltre possibilededurre che nel corso del tempo e` cambiato il modo stesso di utilizzare laMatematica da parte degli artisti. Nellarte classica e anche in quella Ri-nascimentale la Matematica e` stata utilizzata come strumento tecnico. Conlutilizzo di canoni matematici ben precisi, quali ad esempio le misure e le pro-porzioni, gli artisti dellepoca rappresentano forme caratterizzate dallessererigide ed immutabili, rispondenti a canoni di invarianza metrica. Cio` e` evi-dente in opere come la Venere di Botticelli, lUomo Vitruviano di Leonardoo il Battesimo di Cristo di Piero della Francesca(cfr. Fig. 2). Osservando laVenere, possiamo ad esempio osservare lutilizzo della sezione aurea consid-erata la chiave mistica dellarmonia: lombelico e` posto ad una altezza chee` in rapporto aureo con laltezza della figura rappresentata. Lopera di Pierodella Francesca (attualmente alla National Gallery) e` realizzata su una tavolacostituita da due quadrati sovrapposti sormontati da un semicerchio il cuicentro geometrico coincide con la Colomba posta sulla testa del Cristo. IlCristo stesso e` posto sullasse centrale dellopera. Guardando infine allUomoVitruviano, uno dei disegni piu` noti di Leonardo, e` possibile osservare chelartista sdoppia la figura umana in due posizioni: una rispetto al quadratoe laltra rispetto al cerchio. Luomo risulta cos` sospeso tra queste due figuregeometriche.

Fig. 2. Luso della Matematica nellarte figurativa classica


In campo architettonico, se si guarda alla pianta del Partenone (cfr. Fig. 3) sipuo` notare in essa un rettangolo con lati di dimensioni tali che la lunghezza siapari a radice di 5 volte la larghezza e nellarchitrave in facciata il rettangoloaureo e` ripetuto piu` volte.

Fig. 3. Luso della Matematica nellArte Architettonica

Mentre nellarte classica la Matematica e` utilizzata come strumento tecnico,nellarte contemporanea essa diventa uno strumento creativo, gli artisti silasciano ispirare da essa, le opere ricordano oggetti matematici ben precisie codificati. Si pensi ad esempio ad opere come Numeri Innamorati di Gia-como Balla la quale raffigura, tra gli altri, alcuni numeri che compaiono nellasuccessione di Fibonacci e alla bellisima scultura di Max Bill che raffigura ilNastro di Moebius, uno degli oggetti topologici piu` affascinanti.

3 I moduli didattici

Il volume, come annunciato, contiene 14 moduli didattici, ognuno dedicatoad un ben preciso argomento matematico affrontato con dovizia di partico-lari e con un linguaggio accessibile anche a chi non fa il matematico dimestiere. Come si puo` osservare scorrendo lindice del volume non mancanoapprofondimenti e alcuni fugaci ma emblematici riferimenti specifici allArte,alla sua storia e alle interazioni con la Matematica e lo sviluppo del pensiero.Il primo modulo e dedicato a richiami di geometria elementare del piano e dellospazio. Si parte dalla geometria intesa come arte del misurare e il metododeduttivo con lintroduzione del come nasce e si sviluppa questa disciplinaidentificata con il nome di geometria euclidea; del concetto di spazio a cui vieneassegnato un ruolo di entita` immateriale conosciuta a priori, arena allinternodella quale si svolgono tutti i fenomeni fisici visibili ed esperimentabili; del


concetto intuitivo di dimensione e di osservatore; di come viene percepito unpunto osservato, di oggetti reali o fenomeni reali; del concetto di realta` matem-atica assegnando alla parola reale una valenza para-oggettiva o, perlomeno,non eccessivamente soggettiva e valida, quasi universalmente, per una interaclasse di soggetti, di fenomeni e loro possibili modellizzazioni. Lo strumentogeometrico euclideo viene affrontato con spirito critico e non dogmatico, es-sendo esso limpianto logico deduttivo secondo il quale - per gli antichi e inbuona misura ancora oggi - si potevano analizzare, descrivere e comprenderegli oggetti dotati di estenzione spaziale. Vengono introdotti via via la strut-tura dello spazio euclideo, il parallelismo di rette, gli angoli, i triangoli, il Vpostulato di Euclide, la misura degli angoli, i poligoni, il primo (noto) e ilsecondo (meno noto) Teorema di Pitagora, le funzioni trigonometriche e ilTeorema di Talete.Il secondo modulo e dedicato a richiami di teoria elementare dei numeri, conlintroduzione dei numeri naturali, degli interi, dei razionali e dei reali. Cisi sofferma sullirrazionalita di alcuni numeri come

2,3,5 dando indi-

cazioni su come dimostrare lirrazionalita degli stessi. Si introduce la misura ingradi e in radianti per gli angoli e si raccontano la teoria delle proporzioni,la sezione aurea, le successioni.Il terzo modulo volge lo sguardo alla Meccanica Classica. Una delle chiavidi lettura con cui si vuole percorrere il cammino di sviluppo parallelo tra laMatematica e lArte e` una sua visione in parte anche meccanicistica, legatacioe`, se pur debolmente, ai concetti di movimento e di accelerazione tempo-rale. Nellintrodurre nozioni elementari della geometria euclidea non a casosi fa uso - seppure a livello embrionale - del concetto di moto rigido, che e`in effetti una delle basi di comprensione della struttura euclidea stessa. Nonva poi dimenticato che - se nellarte classica pittura e architettura rappresen-tano un mondo sostanzialmente statico, gia` la scultura si pone il problema delmovimento, seppure congelato; mentre le arti visive moderne (fotografia,cinematografia, grafica computerizzata) non possono, nel loro sviluppo e nellaloro comprensione, prescindere da un minimo di basi fisico-matematiche. Eper questo che un modulo e` dedicato alla Meccanica Classica di cui viene pre-sentato un breve excursus richiamandone i concetti fondamentali.Il quarto modulo discute delle basi della geometria sintetica introducendola teoria degli insiemi, gli spazi astratti e strutturati, i morfismi, le trasfor-mazioni tra spazi usando il linguaggio elementare delle categorie. Sono in-trodotti oggetti privi di forma - o meglio, la cui forma non segue i canoniestetici del nostro occhio euclideo. Viene in questo modo a crearsi un con-tatto con la matematica moderna: spazi non-strutturati e loro trasformazioni,spazi con strutture generiche, il concetto di gruppo come chiave principale dilettura della Matematica moderna. Anche la topologia viene qui introdottacome parte della Matematica che si interessa a figure strane, bizzarre. Lacostruzione degli oggetti impossibili (oggetti che non possono essere disegnatio modellati per costruirne modelli tridimensionali) viene presentata e propostaagli artisti prima ancora di definire formalmente cosa si intende in Matemat-


ica per topologia e spazio topologico. Questa parte culmina con la trattazionedel programma di Erlangen, gli studi di Klein quindi che guardano alla ge-ometria in una maniera diversa definendo quale oggetto della geometria leproprieta` inverianti rispetto al gruppo delle trasformazioni.Nel quinto modulo sono discusse le strutture astratte piu` semplici che si in-contrano nel contesto euclideo, sia nel piano P ' IR2 che nello spazio euclideotridimensionale E ' IR3, ovvero la struttura lineare e la struttura affine aquesta associata. Nella fattispecie, le strutture algebriche individuate dai con-cetti di vettore, di retta, di piano e di traslazione, unitamente alle categorieda esse individuate e dai morfismi in esse, che esprimono cio` che in linguaggiocomune corrisponde alla linearita`.Nel sesto modulo didattico prendendo le mosse dalla struttura euclidea diun qualunque IRn (che generalizzi quella pitagorica del piano e dello spazioeuclideo IR2 ed IR3, rispettivamente) si spiega in maniera piu` approfonditacosa significhi la nozione generale di conservare la lunghezza (e quella piu`debole di conservare gli angoli). I casi di maggiore interesse diretto - quellidi IR2 ed IR3 - sono qui affrontati con dovizia di particolari (piu` approfondi-tamente il caso bidimensionale e piu` superficialmente il caso tridimensionale),pervenendo alle strutture dei corrispondenti gruppi di rotazione (euclidea).En passant, si introduce la struttura complessa del piano e si accenna a quelladi quaternione (di IR4). Il naturale completamento di questo modulo e` miratoa far comprendere - in modo elementare - come si debba ricorrere ad unospazio con una dimensione in piu` (IRn+1) per comprendere la struttura affinee la struttura asintotica di uno spazio IRn, attraverso il concetto elementaredi spazio proiettivo e di punti impropri di uno spazio IRn.Il settimo modulo, dedicato alla simmetria nel piano e nello spazio e` quellopiu` vicino allArte. In esso viene rivisitato il ruolo che le simmetria euclideesvolgono nella descrizione e nella visualizzazione di forme geometriche pianee anche solide. Si parla dei poligoni regolari, di poliedri regolari e delle lorogeneralizzazioni in dimensioni piu` alte (quarto o piu`). Il modulo e` conclusoda alcune schede di approfondimento piu` propriamente artistico dedicate adopere architettoniche e figurative che utilizzano dimensioni piu` alte; si pensiad esempio a Corpus Hypercubicus di Salvator Dal` e allArc De La Defence.Nellottavo modulo si affronta in modo succinto e necessariamente schematicoil problema di come cio` che e` visto e percepito si rapporta - matematicamente- a cio` che viene rappresentato o descritto dallimpianto geometrico del dis-egno, della pittura e dallarte visuale in genere. Vengono introdotte le illusioniottiche (viste comunque nel contesto matematico e non psico-cognitivo) (cfr.Fig. 4) e la teoria dellOttica Euclidea, considerata come elemento preparato-rio allimpianto prospettico che viene ad essere introdotto nella parte inizialedel modulo 9 successivo, in cui vengono affrontate in modo piu` sistematico lastruttura e le proprieta` degli spazi proiettivi, prendendo lo spunto ed avendoin mente la loro genesi storica ed il loro effettivo ruolo nella piena compren-sione delle regola della rappresentazione prospettica, anche attraverso luso di


punti allinfinito (con regole formali e di calcolo che permettono di considerarlialla stregua di punti ordinari dello spazio).

Fig. 4. ..... Parallelismo? ..... Curvatura? (la figura e il corrispondente video sonostati realizzati da M. Cirelli e D. Fiorelli)

Il modulo 10 dedicato alle curve speciali nel piano e nello spazio; geometriaelementare delle superfici e` invece di carattere piu` tecnico. In esso si affrontabrevemente lo studio di alcune tra le principali curve elementari del piano esuperfici elementari dello spazio, scelte fra quelle che piu` frequentemente siincontrano nelle applicazioni artistiche (in pittura, scultura ed architettura,in campo classico - ma anche nelle moderne forme di arte generativa). Ilmodulo si conclude con alcune proprieta` analitiche delle curve e delle super-fici, secondo la visione ottocentesca di Gauss, preludendo cos` agli sviluppi chefaranno capolino nel Capitolo 14, che concludera` lopera con lintroduzione deimoderni concetti della Geometria Differenziale.Il modulo 11 presenta ulteriori cenni di ottica e acustica. Ci si sofferma sulleleggi elementari della propagazione luminosa, sulla riflessione e la rifrazione.Si accenna alle sorgenti luminose e allattenuazione luminosa, alle lenti e aglispecchi. Si introduce lequazione della curva vibrante, la soluzione dellequa-zione delle onde e la frequenza di una vibrazione. Si termina con la luce elet-tromagnetica e il metodo dello sviluppo in serie di Fourier.Il modulo 12 introduce le tassellazioni e strutture spaziali regolari e contes-tualmente i lavori di Escher, con riflessioni sulla classificazione delle operedello stesso Escher come gruppi cristallografici. Si conclude con gli specchi ei gruppi di Coxeter.Il modulo 13 introduce nodi e frattali. Si comincia con una breve introduzionealla teoria elementare dei nodi e si prosegue con la teoria matematica deimedesimi definendo in maniera formale i nodi torali e i nodi semplici. Viene poianalizzata la grande rilevanza che questi hanno rivestito nelle diverse epochestoriche. Sono introdotti ed evidenziati i nodi presenti nelle opere artistiche diogni tempo. Viene poi introdotto il concetto di frattale e di dimensione frat-tale. Sono costruiti e raffigurati molti frattali classici (Fig. 5) ed analizzatii frattali nellarchitettura e nella pittura.Il modulo 14 - conclusivo - e` dedicato a complementi di geometria differenzialee riemanniana. In esso sono introdotti alcuni cenni elementari alla moderna


teoria delle varieta` differenziabili, che completa in senso generale gli studidi Gauss e Riemann sulle possibili geometrie di superfici non euclidee esulla loro generalizzazione in dimensione arbitraria. Ci si limita, in verita`,a pochissimi cenni, e ci si dedica soprattutto alle definizioni fondamentali ead una breve introduzione al problema della classificazione Riemanniana. Siconclude quindi con larte non euclidea e non riemanniana.

Fig. 5. Linsieme di Julia (la figura e` stata realizzata da A. Gabriele)


4 La matematica dellarte: lindice degli argomenti

Le figure che seguono mostrano lindice del volume dal quale si evincono gliargomenti affrontati che, come indicato nella sezione precedente abbraccianotutta la matematica classica, quella moderna e le sue applicazioni soprattuttoin campo artistico.

Fig. 6. La Matematica dellArte - Indice degli argomenti

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