La matemática superior y modelo de congruencia educativa

17

Nelson Córdova –Eladio Oliveros-Moisés Villena

Resumen

Este documento presenta un modelo que nos proporciona una guía para el desarrollo de destrezas en la ciencia Matemática. Este es un sistema que permite organizar el aprendizaje en pasos metodológicos. Su nombre es MODELO AFINADO DE CONGRUENCIA EDUCATIVA (Córdova y Estay, 2002). Este modelo se viene aplicando desde hace varios años en las materias de Matemática y Estadística en las carreras de Ingeniería Comercial, Ingeniería de Marketing, Ingeniería en Informática de Gestión, Ingeniería de Gestión en Negocios Internacionales y en Economía, que imparte la Universidad Santa María, Campus Guayaquil. El modelo está constituido por 4 niveles o etapas, cada una con 3 fases, las cuales que proveen un orden lógico y promueven una congruencia entre los tres ejes del sistema enseñanza –aprendizaje: Objetivos, Técnicas de Enseñanza y Evaluación. El sistema metodológico general es la conjugación de 12 fases como XQ�VLVWHPD�GH�FODVLÀFDFLyQ�\�RUGHQDPLHQWR��$GHPiV�HV�XQ�VLVWHPD�TXH�VH�SXHGH�LU�LPSOHPHQWDQGR�SRU�etapas, hasta lograr (según los autores) una de las etapas óptimas en la enseñanza: “EL NIVEL CREATIVO”. (Q�HVWH�GRFXPHQWR�VyOR�SUHVHQWDUHPRV�OD�FODVLÀFDFLyQ�GH�SUREOHPDV�HQ�HO�QLYHO�FRUUHVSRQGLHQWH�

Palabras claves: Modelo de Congruencia Educativa, Etapas o Niveles, Fases, Destrezas.

1.- Introducción

La Matemática ha sido y será una de las ciencias más difíciles de enseñar dentro del sistema educativo, debido a su esencia eminentemente lógica y secuencial. En consecuencia, el estudiante se expone a un alto nivel de concentración para comprender una gran cantidad de conceptos, habilidades y estrategias de trabajo. Un estudiante que no ha interiorizado los conceptos y habilidades básicas, seguramente “tropezará” al querer transitar por niveles superiores. Por ejemplo, un estudiante de primer año en la Universidad, que proviene de un colegio cuyos niveles de matemática sólo alcanzaron un trabajo mecánico, no puede pretender tener éxito cuando le están exigiendo trabajo analítico. Esto se compararía a un jugador de fútbol amateur, que lo llevan a jugar a una liga profesional, donde la exigencia es claramente superior y se necesitan destrezas de más alto nivel para permanecer allí.

En la Universidad Santa María Campus Guayaquil promovemos alejarnos de un sistema meramente mecanicista y adaptar un Modelo que permite diferenciar Etapas y niveles de aprendizaje. El proceso comienza con un curso inicial llamado MATEMÁTICA 0, cuyos temas a tratar son Lógica, Números Reales, Orden en los Reales y Trigonometría, donde lo más importante es llenar vacíos, reforzar elementos

conceptuales y semánticos que brinden al estudiante una base sólida de conocimientos y destrezas.

Las Etapas o niveles principales del Modelo son 4: El primero es el Nivel Reproductivo o Etapa Reproductiva, es aquella en la que el estudiante debe adquirir entre otras, la nomenclatura básica y debe reconocer conceptos, convenciones y teoremas, YDOLGDQGR��KHFKRV�HVSHFtÀFRV��$TXt�OD�SULPHUD�IDVH�es la repetitiva que se necesita para construir una base de conocimientos con una fuerte concepción semántica, pero para seguir a los niveles superiores, es necesario cruzar por otra etapa intermedia de adaptación y acomodación, llamada fase transitoria o adaptativa, donde el estudiante acomoda nuevos conocimientos y elimina otros obsoletos, esto le SHUPLWLUi�ÀQDOPHQWH�DYDQ]DU�KDVWD�OD�IDVH��ÀQDO�de esta Etapa, que es la fase de interiorización, y consiste básicamente en ordenar y asimilar todos los conocimientos básicos tratados en las fases anteriores, haciendo mucho hincapié en el aspecto semántico. 8QD�YH]�ORJUDGR�HVWR��VH�GD�SRU�ÀQDOL]DGR�HO�1LYHO�Reproductivo, dando paso al siguiente Nivel.

La segunda Etapa o Nivel es el Transferencial, aquí el estudiante toma lo aprendido, lo procesa y WUDQVÀHUH�D�XQ�FRQWH[WR�GLIHUHQWH�GRQGH�DFRPRGD�la información según las necesidades, luego aplica y ejecuta en áreas de solucionar problemas.

La matemática superior y modelo de congruencia educativaLa matemática en la Universidad Santa María y el modelo de congruencia educativa

La matemática en la Universidad Santa María y el modelo de congruencia educativa Nelson Córdova – Eladio Oliveros-Moisés Villena

18La matemática en la Universidad Santa María y el modelo de congruencia educativa Nelson Córdova – Eladio Oliveros-Moisés Villena

Este nivel requiere de un orden metodológico, el mismo que a su vez comienza con la fase transferencial directa el cual se conecta con el nivel Reproductivo de la siguiente manera:

a.- Recepción de la información.

b.- El análisis y acomodación.

c.- Aplicación directa de lo elaborado.

Luego dentro del Nivel Trasferencial, viene la fase de transferencia indirecta en que utilizamos adaptaciones de hechos anteriores para poder aplicarlos en situaciones no convencionales, para avanzar a la fase de transferencia resolutiva en donde aplicando pasos en forma óptima y lógicamente encadenados, se resuelve todo tipo de problemas e interpreta y entrega resultados coherentes como consecuencia de un trabajo conjunto de estas dos etapas iniciales.

La tercera Etapa o Nivel es el Crítico. Aquí el estudiante deberá contrastar, evaluar, analizar, inferir, deducir. Es claro que, en este Nivel el estudiante

debe ejecutar un tipo de pensamiento mucho más elaborado y basado en toda la experiencia de las etapas previas, sin las cuales sería imposible tener éxitos en esta nueva Etapa.

(O�1LYHO�&UtWLFR�D�VX�YH]�VH�SXHGH�FODVLÀFDU�HQ�diferentes fases: En primer lugar inferencial-analógico y deductivo según cual fuere su orientación, luego una fase analítica- constructiva como por ejemplo XQD�GHPRVWUDFLyQ�PDWHPiWLFD�\�ÀQDOPHQWH�HO�analítica- estructurada que sigue a una estructura TXH�SXHGH�VHU�PiV�VRÀVWLFDGD�\�FRPSOHMD�FRPR�SRU�ejemplo la construcción de un artículo.

La cuarta Etapa o nivel es el Creativo, que también HO�PRGHOR�OR�FODVLÀFD�HQ�WUHV�IDVHV��/D�,QFXEDWLYD��donde se generan las ideas, la Combinativa donde VH�PRGLÀFDQ��ÁH[LELOL]DQ��\�VH�UHDGDSWDQ�SDUD�EXVFDU�la originalidad, para llegar a la fase Productivida donde se necesita un producto creativo concreto.

En este artículo mostraremos algunos ejemplos de FyPR�SRGHPRV�DSOLFDU�HVWH�PRGHOR�DO�FODVLÀFDU�ejercicios para enseñar algunos temas básicos en Matemática.

19

2.- EJEMPLOS DE APLICACIÓN DEL MODELO EN CADA CURSO2.1 EJEMPLOS DE NIVEL REPRODUCTIVO.

1) Calcula:a) |–4| (Reconocimiento directo: Repetitiva)

E��_�²¥�_��5HFRQRFHU�HO�FRQFHSWR�GH�YDORU�DEVROXWR�HQ�RWUD�VLWXDFLyQ��Adaptativa)

c) |a–b| con a y b reales (Interiorización)

2) Expresa el conjunto solución de la inecuación en cada caso:a) |x|< 0 (Reconocimiento directo del concepto de valor absoluto: Repetitiva)

b) |6x–1|< 0 (Escenario distinto: Adaptativa)

c) |5–2x|> –3 (Adaptativa)

G��_[_��Interiorización)

e) |x2 –4|> 0 (Se combina el reconocimiento con otras propiedades: Interiorización)


Productiva

Combinativa

Incubativa

Analíticaestructurada

Analíticaconstructiva

Inferencial-Analógica

Resolutiva

Aplicación indirecta

Aplicación directa

Interiorización

Adaptiva

Repetitiva

CR

IÍTIC

O

CR

EATI

VO

TRA

NSFE

REN

CIA

L

REP

RO

DU

CTI

VO

Creación total

Combinación deideas

Producción deideas

Evaluación y Análisisorganizados estructuralmente

Combinación de derivaciones lógicas a un argumento

Análisis, síntesis, y evaluaciónde argumentos

Aplicar varias acciones a la resoluciónde un problema

Aplicación de acciones con unfin distinto al usual

Aplicación de acciones reproductivaspara un fin

Hacer parte de uno

Reproducción aplicada enescenarios distintos

Reproducción total, mismo lugar,mismos elementos

Resumen del Modelo [6]

20

3) &DOFXOD��05 ƒ(x)dx conociendo que ƒ(x) =

�5HFRQRFHU�HO�FRQFHSWR�GH�LQWHJUDO�GHÀQLGD��VX�LQWHUSUHWDFLyQ�JHRPpWULFD�\�HO�FiOFXOR�GLUHFWR��Interiorización)

4) Dado el polinomio P(x) = (x – 1)(x + 3)(x – a)a) Halla P(1) (Cálculo directo y reconocimiento del cero: Repetitiva)

b) Escribe el grado del polinomio P(x) (Se mide el concepto de grado de un polinomio en una situación diferente: Adaptativa)

c) ¿Qué valor debe tomar el parámetro a para que el número –5 sea un cero del polinomio P(x)?(Reconocimiento del concepto cero de un polinomio en un escenario diferente: Adaptativa)

d) ¿Es el trinomio x2 + 2x – 3 un divisor del polinomio P(x)?(Evaluando el concepto de factor, pero combinado con una cuidadosa observación: Interiorización)

5) De una función ƒ�VH�FRQRFH�TXH��¦·�� ²��'HFLGH�FXiOHV�GH�ODV�VLJXLHQWHV�DÀUPDFLRQHV�VRQ�YHUGDGHUDV�\�FXiOHV�VRQ�IDOVDV��-XVWLÀFD�WXV�GHFLVLRQHV�a) La función ƒ es continua en el punto x = 2

b) La recta tangente a la curva ƒ en el punto x = – 1 tiene pendiente m = 2

c) La función ƒ es creciente en el punto x = 2

d) Se deduce que ƒ(2) = – 1

e) ƒ(2) existe y es un valor negativo.

f) La derivada de la función ƒ�H[LVWH�SDUD�ORV�LQÀQLWRV�SXQWRV�VLWXDGRV�HQ�XQ�HQWRUQR�SHTXHxR�GH��

(En estos literales se mide el reconocimiento de conceptos y propiedades básicas de las derivadas y se ubican en las tres fases del Nivel Reproductivo).

6) Para una función continua ƒ�VH�KD�GHWHUPLQDGR�TXH��73 ƒ(x)dx = 8

(Q�EDVH�D�HVWD�DÀUPDFLyQ��GHWHUPLQD�OD�YHUDFLGDG�GH�FDGD�XQD�GH�ODV�SURSRVLFLRQHV�VLJXLHQWHV�

� D��53 ƒ(x)dx = 4

� E��37 3ƒ(x)dx = 24

� F��36�¦�[�G[��6

7 ƒ(x)dx = 8

� G��37 [ƒ(x) + 2]dx = 10

� H��73 ƒ(x)dx = 8

�(Q�WRGRV�ORV�FDVRV�VH�H[LJH�HO�UHFRQRFLPLHQWR�GHO�FRQFHSWR�GH�LQWHJUDO�GHÀQLGD�\�VX�LQWHUSUHWDFLyQ�geométrica. Están presentes las tres fases del Nivel Reproductivo).

En general, para resolver este tipo de ejercicios correspondientes al nivel reproductivo se requiere el uso de algunas destrezas generales del pensamiento, entre las cuales podemos citar las siguientes:

A) Observación. Los estudiantes aprenden a observar antes de escribir. B) El uso de la semántica.�(VWR�UHTXLHUH�XQ�DSUHQGL]DMH�VLJQLÀFDWLYR�SUHYLR��HV�GHFLU��TXH�HO�HVWXGLDQWH�� KD\D�FRPSUHQGLGR�OR�TXH�VLJQLÀFD�R�UHSUHVHQWD�FDGD�HOHPHQWR�GHO�FRQFHSWR�R�SURSLHGDG�HPSOHDGD� C) Retroalimentación y sistematización. Deben recordar contenidos previos y enlazarlos con los nuevos conocimientos para usarlos en responder nuevas preguntas en un nivel superior.


��VL��[��2 si x>1{

21

2.2 EJEMPLO DE NIVEL TRANSFERENCIAL NIVEL BÁSICO EN MATEMÁTICAS I

Tema: Límites

Problema: “Calcular el , determinando la forma que tiene la curva alrededor del número 1,

HVWDEOHFLHQGR�VX�JUiÀFDµ�\�KDJD�XQ�DQiOLVLV�GH�OD�VLWXDFLyQ�

Solución: Cuando es un límite algebraico que presenta un tipo de indeterminación de la forma 0/0, conlleva el siguiente procedimiento:

Proceso habitual:

1. Evaluar por 1

2. Factorizar por x – 1

� ��6LPSOLÀFDU�ODV�H[SUHVLRQHV��[�²��

4. Evaluar para x = 1

TABLA 2. CLASIFICACIÓN DE DESTREZAS POR NIVELES

NIVELES CONCEPTOS DESTREZAS PROCESOS

REPRODUCTIVO Reconocimiento de la diferencia de cubos

Factorizar diferencia de cubos

Seguir pasos o procedimientos

TRANSFERENCIAL Aplicación de la factorización de cubos al proceso de cálculo de límites

$QiOLVLV�JUiÀFR'HÀQLU�HO�SRUTXp�GH�OD�forma de la curva.Concepto de tendencia

6LPSOLÀFDU

Ubicación del límite en el JUiÀFR

Proceso de evaluación

Interpretación y explicación de la forma de la curva y la exacta ubicación de los elementos involucrados

CRÍTICO Asociar la curva con la parábola resultante

Manejo del concepto de indeterminación

*UDÀFDU�OD�FXUYD�resultante y asociar el OtPLWH�FRQ�OD�JUiÀFD

CREATIVO No es un ejercicio creativo

FUENTE : ELABORACIÓN PROPIA

Solución


22

Análisis:

Cuando x tiende a 1 por la izquierda o por la derecha el límite es 3.Esto quiere decir que cuando tomamos preimágenes que se acercan por ambos costados hacia 1, las LPiJHQHV�GH�HVWRV�YDORUHV�WLHQGHQ�D��SRU�OR�WDQWR�OD�FXUYD�WLHQGH�D�XQLUVH�HQ�HO�SXQWR��GHO�JUiÀFR��SHUR�HVWH�SXQWR�QR�SHUWHQHFH�DO�JUiÀFR�GH�OD�IXQFLyQ��HV�GHFLU�H[LVWH�XQ�KXHFR�HQ�HVH�SXQWR��SRUTXH�HO��QR�SHUWHQHFH�DO�GRPLQLR�GH�OD�IXQFLyQ��3RU�OR�WDQWR��HO�JUiÀFR�HV�DSUR[LPDGDPHQWH�HO�VLJXLHQWH�

*UiÀFR�

2.2.1 OBSERVACIÓN:

Vemos que si sólo se pidiera calcular el límite el ejercicio sería meramente transferencial directo; pero al SHGLU�HO�DQiOLVLV�JUiÀFR��HO�HMHUFLFLR�SDVD�D�XQ�QLYHO�FUtWLFR�EiVLFR�

2.3 EJEMPLO DE NIVEL CRÍTICO Y CREATIVO NIVEL BÁSICO EN MATEMÁTICAS III TEMA : LÍMITES EN VARIAS VARIABLES:

UN EJEMPLO DE NIVEL CRÍTICO Y CREATIVO ES EL SIGUIENTE:

Problema: Determinar una sucesión de curvas en D R2, dominio de la función F, donde:

Tales que el límite no exista.

1. Demuestre que para todas las curvas de tipo y = mxa o (t,mta) con a > 0, el límite es igual a 0. Además,

2. Encontrar una curva en la que el límite exista y sea distinto de 0.

� ��(QFRQWUDU�LQÀQLWDV�FXUYDV�TXH�DO�DFHUFDUVH�SRU�HOODV�D�(0,0), el límite no exista.


23

Demostración

1.- Demostración de que para todas las curvas de tipo y = mxa o (t,mta) el límite es igual a 0.

2.- Como [��\ , entonces W��PWa ��W�PWa –1 – 1) es decira.- W��A��PWa –1 – 1)b.- Si P��entonces D��c.- Si D�� entonces P��

3.-

, pues ambos denominadores son distintos de cero,

SDUD�HO�SULPHU�IDFWRU�YHU�UHVWULFFLyQ��D��\��SDUD�HO�VHJXQGR�IDFWRU�YHULÀFDU�TXH�VX�GLVFULPLQDQWH�HV�QHJDWLYR�

4. ¿CÓMO ENTONCES HALLAR ESAS CURVAS?

Como existe una recta de la cual no pertenece al dominio de F (y = x), estos valores anulan el GHQRPLQDGRU�GH�OD�H[SUHVLyQ�TXH�GHÀQH�D�F y el límite de las variables x e y es cero entonces debemos construir un conjunto de curvas que cumplan lo siguiente:

De esta manera aseguramos que el límite no exista cuando nos acercamos al (0,0) porque el denominador tiende a cero más rápido que el numerador de la expresión.

Por lo tanto, concluimos que deben ser unas curvas tipo “Flat” por ejemplo y = x2n, esta curva a medida que n crece es más plana alrededor de (0,0), sea n=2,4,6,…


x

y

24

Entonces , debemos hacerle una rotación en para que la recta x = y sea como el eje x�HQ�OD�JUiÀFD�anterior, para ello :

Escritura matricial

= = =

= ÀQDOPHQWH

5. Ahora debemos hallar para que valor de n, el límite no existe.

=

Entonces si a) 2n – 18 > 0 �HO�OtPLWH�HV�LQÀQLWR�HV�GHFLU�QR�H[LVWH��SRU�OR�WDQWR�HQFRQWUDPRV�XQD�VXFHVLyQ�GH�IXQFLRQHV

, con n > 9


25

Talque el límite no existeb) Si n = 9 entonces el límite siguiente existe y es distinto de 0.

��

Conjetura: (elaboración propia)

TEOREMA: Sea F: D R2 R, función talque ��HV�XQD�VXSHUÀFLH�FRQWLQXD�\�H(x,y) = 0 es una curva

continua que pertenece a ��HQWRQFHV��H[LVWHQ�LQÀQLWDV�WUD\HFWRULDV�SHUWHQHFLHQWHV

a D, es decir en D R2, cuyas imágenes bajo F�´VH�YDQ�DO�LQÀQLWRµ�FXDQGR�(x,y)

tiende a cualquier punto de la curva H(x,y) = 0.


26

7DEOD��&ODVLÀFDFLyQ�GH�GHVWUH]DV�SRU�QLYHOHV


REPRODUCTIVO Dominio yLímite de funciones en dos variablesCurva parametrizada

Matriz de rotación

Potenciación

Concepto de rotación

Evaluar límites

Manejo de variables

Evaluar límites en curvas parametrizadas

Factorización

TRANSFERENCIAL Relación de la matriz de rotación con el proceso.

Relación de las curvas simples con el proceso.

Sintetizar el Proceso

Captar la ubicación de las expresiones.

Conceptualización y visualización del “movimiento” en el plano.

Análisis concatenado para descubrir relaciones.

CRÍTICO Asociar la curva con la parábola resultante

Manejo del concepto de indeterminación

*UDÀFDU�OD�FXUYD�resultante y asociar el OtPLWH�FRQ�OD�JUiÀFD

CREATIVO Lluvia de ideas

Flexibilidad

Saber buscar una expresión simple y práctica.

Adaptación de curvas simples al proceso creativo.

Búsqueda de solución.

2.4 EJEMPLO DE NIVEL CREATIVOMATEMÁTICAS II :

TEMA : DERIVADA IMPLÍCITA:

Un ejemplo de nivel creativo es el siguiente:

Encuentre una ecuación de grado mayor o igual que 2, que contenga las variables x e y con: de modo que al derivarla implícitamente el resultado de la derivada de igual a 1, para todo punto ( x,y ) en un dominio abierto de , por ejemplo:

, para [��\��A��[��²�\


27

TABLA 4.CLASIFICACIÓN DE DESTREZAS POR NIVELES


REPRODUCTIVO Derivada implícita

Dominio abierto

Derivar aplicando propiedades

Resolver ecuaciones

TRANSFERENCIAL Aplicar derivadas simples Conexión de los pasos inversos

Calculo de la derivada implícita

CRÍTICO Síntesis del concepto de derivada

Sintetizar el Proceso

Captar la ubicación de las expresiones

Análisis concatenado

CREATIVO Lluvia de ideas Saber buscar una expresión simple y práctica

Elegir una expresión adecuadadevolverse

SOLUCIÓN :

��3ULPHUR�GHEHPRV��SHQVDU��FXiO�SXHGH�VHU�HO�GHQRPLQDGRU�ÀQDO�2. Supongamos que queremos que sea x – y, entonces:3. En el miembro izquierdo de la ecuación después de derivar debería contener una expresión de la forma:

o equivalentemente

Esto equivale a

4. Además el resultado en el lado derecho de la ecuación debe contener y – x y esto es:

,

��6LPSOLÀFDQGR�WHQHPRV�

, por lo tanto el lado derecho – x es

Por lo tanto tenemos:

lo que equivale a


28

COMPROBACIÓN:

Sea la ecuación , derivando implícitamente tenemos

Para ��\�²�[��


29

2.5 EJEMPLO EN PREUNIVERSITARIO

CREATIVO BÁSICO

Encuentre un polinomio de grado dos que tenga dos raíces reales diferentes y que al sumarle 1, el nuevo SROLQRPLR�WHQJD�UDtFHV�FRPSOHMDV�FRQMXJDGDV��¢(V�SRVLEOH�FDUDFWHUL]DU�HVWRV�SROLQRPLRV"�'H�VHU�DÀUPDWLYD�su respuesta, indique cuál es la característica.


REPRODUCTIVO Concepto de raíz de una ecuación cuadrática.

Concepto de discriminante.

Concepto de raíz de una ecuación cuadrática.

Manejo Propiedades de las desigualdades.

Resolución de una ecuación cuadrática.

Manejo algebraico básico.

TRANSFERENCIAL Aplicación y manipulación de la expresión cuadrática y el uso del discriminante.

Manejo y aplicación del concepto de discriminante.

Manejo de resolución ecuaciones e inecuaciones cuadráticas.

Aplicar propiedades del discriminante en una ecuación cuadrática.

CRÍTICO Análisis de inecuacionesGeneralización de conceptos.

Saber analizar inecuaciones y sintetizar características de expresiones algebraicas.

Hacer Inferencias lógicas que derivan en un argumento.

Análisis holístico e inferencial.

Asimilación de inferencias y puesta en marcha.

CREATIVO Lluvia de ideas idóneas \�ÁH[LELOL]DFLyQ�GH�expresiones algebraicas.

Elegir un polinomio adecuado.

Saber caracterizar conclusiones.

SOLUCIÓN :

Un polinomio de grado dos tiene la forma

Para que tenga raíces reales se debe cumplir que b2 – 4ac > 0 (1).

Al sumarle uno al polinomio, tenemos p(x) + 1:ax2 + bx + c + 1. Para que este polinomio tenga raíces

complejas conjugadas se debe cumplir que b2 – 4a(c + 1) < 0 (2) entonces b2 – 4ac – 4a < 0.

Por un lado 4a > b2 – 4ac y como b2 – 4ac > 0, se deduce que necesariamente a > 0. Por otro lado;

despejando c, tenemos .


30

Ahora despejemos c en la ecuación (1). Se obtiene .

Por lo tanto se concluye que .

Con la conclusión anterior podemos dar un ejemplo de un polinomio que tenga las características

deseadas. Si elegimos a = 1 y b = 4, entonces 3 < c < 4, por ejemplo el polinomio

satisface. Compruébelo.

3.- CONCLUSIONES

6H�KDQ�PRVWUDGR�GLIHUHQWHV�SUREOHPDV�GRQGH�SXGLPRV�KDFHU�XQD�FODVLÀFDFLyQ�GH�FDGD�XQR�GH�HOORV�D�través de las etapas del modelo. Esto ofrece una idea general de cómo puede proceder el docente para LQFUHPHQWDU�JUDGXDOPHQWH�OD�GLÀFXOWDG�HQ�FDGD�XQD�GH�ODV�WHPiWLFDV�TXH�FRQWHPSOD�HO�V\OODEXV�TXH�OH�corresponde impartir.

Es claro que la aplicación de un modelo como el que aquí se presenta presupone una profunda preparación por parte del docente, no exenta de tropiezos y preguntas, muchas veces sin respuesta, en la SODQLÀFDFLyQ�GH�QXHVWUD�DFWLYLGDG��/DV�QHFHVDULDV�FRQVXOWDV�TXH�GHEH�KDFHU�HO�SURIHVRU�GHEHQ�DEDUFDU�ORV�más diversos textos, así la inmensa gama de artículos y memorias que aparecen en revistas especializadas y en el amplio espacio de la internet.

Sin lugar a dudas, al hacer un uso reiterado de la semántica y profundizar en el mundo conceptual, el modelo que se expone va encaminado al desarrollo del pensamiento, lo que se traduce en formar las capacidades en los estudiantes para resolver problemas de diversa índole y promover en ellos el espíritu de la investigación en el ámbito de la ciencia matemática. Por ello, no es aconsejable usar este modelo cuando no se ha asegurado una sólida base conceptual.

Esperamos que el estudio y revisión de este documento sirva para conseguir el anhelado mejoramiento de la enseñanza de la Matemática en el nivel universitario.

4. BIBLIOGRAFÍA

>�@�%ORRP��%HQMDPLQ��\��RWURV��7D[RQRPtD�GH�ORV�REMHWLYRV�GH�HGXFDFLyQ��FODVLÀFDFLyQ�GH�ODV�PHWDV�HGXFDWLYDV��$OFR\�0DUÀO��SS��

[2] Gardiner, Lion F. (2000). Cognitive Levels: The "Bloom" taxonomy. Rutgers University. http://dfcm19.med.utoronto.ca/tp/bloom_taxonomy'.htm. Junio 5. Leído el 21/10/2000.

[3] Ramírez P., Carlos; Recabarren, Margot; y, Palma, Alfredo. (1988). Manual de Capacitación pedagógica.

Dirección de Instrucción de la Armada. Chile.

[4] CastillejoJ.L.;Vásquez G.;colom A.J;SamarronaJ.(1993).”Teoría de la educación.” Taurus Universitaria/Ciencias de la educación.Elfo , 32.28027 Madrid .

[5] Córdova, N. y Estay-Niculcar,C (2002) ,Elementos de innovación docente y su impacto en la mejora del aprendizaje: modelo de congruencia y su aplicación en la mejora de las matemáticas en Guayaquil. En actas CIDUI 2002, Congreso Internacional “ Docencia Universitaria e Innovación”, Tarragona, Julio 1-3. ISBN: 84-88795-63-7.


31

Licenciado en Educación, especialidad Matemática, es catedrático e investigador, posee una amplia trayectoria académica desarrollada en Cuba, Alemania, Mozambique y Ecuador. Es profesor a tiempo completo en la Universidad Santa María (Campus Guayaquil), donde labora hace 4 años. Ha desempeñado cargos como Director del Instituto de Ciencias Exactas de la ciudad de Holguín-Cuba, Metodólogo de Matemática, Asesor y consultor internacional para la enseñanza de la Matemática en la Editorial Harcourt, Orlando, USA. Entrenador de Talentos matemáticos y editor de textos para la enseñanza de la Matemática. Catedrático Pregrado. Tiene amplia formación docente-pedagógica. Ha trabajado, desde 1975 en la formación de profesores de Matemática. Ha realizado estudios de postgrado en Alemania y de Maestría en Matemática Superior en la Universidad Pedagógica de Holguín, Cuba. Su espíritu autodidacta es la fuente principal de su preparación.

Actualmente es profesor a tiempo completo en el área de matemática de la Universidad Santa María, Campus Guayaquil.

Moisés Villena Muñoz, Master en Docencia e Investigación Educativa, es catedrático e investigador, posee trayectoria académica en la Universidad Santa María (Campus Guayaquil), Escuela Superior Politécnica del Litoral (ESPOL), Universidad de Especialidades Espíritu Santo (UEES). Ha desempeñado cargos como Coordinador Académico del área de Matemática en el Ingreso a la ESPOL, catedrático de Pregrado y Posgrado.Es autor del libro Matemáticas Básicas. Ha elaborado folletos de cálculo diferencial e integral para ingeniería, folletos de cálculo aplicado a la Administración y la Economía. Ha participado en seminarios, cursillos y ciclos de conferencias relacionados a la matemática y a la docencia.

Actualmente es profesor a tiempo completo en el área de matemática de la Universidad Santa María, Campus Guayaquil.

AutorAutorMgs. Eladio [email protected]

Msc. Moisés [email protected]


Ha sido catedrático en la Universidad Santa María desde el año 1991 en las materias de Álgebra 1 y 2 Cálculo 1,2 y 3, Matemáticas I, Matemáticas II y Matemáticas III. Es profesor de la materia Gestión estratégica, Campus Guayaquil

También es profesor de la maestría en Docencia Universitaria, Universidad de Cuenca y profesor de curso nivelatorio en la Maestría en Administración de Empresas en la Universidad Santa María Campus Guayaquil.

Ha dictado Seminarios de Pedagogía en Universidad Santa María Campus Guayaquil y realiza asesorías Pedagógicas y capacitación a colegios de Guayaquil.

Ha sido profesor guía de tesis en pre y post grado de la USM y actualmente es coordinador de Matemáticas en la Universidad Santa María, Campus Guayaquil.

AutorMBA Nelson Có[email protected]

Documents

La matemática superior y modelo de congruencia educativa