LA METHODE DU DECREMENT ALEATOIRE - ISIMA · Isaure DUNAUD & Elyès EL MOUELHI RESUME, ABSTRACT Projet Troisième Année ISIMA RESUME, ABSTRACT Résumé Henri Cole a découvert le

Institut Supérieur d’Informatique de Modélisation et de leurs Applications

Projet ISIMA Troisième Année Filière F4 : Calcul et Modélisation Scientifique

LA METHODE DU DECREMENT ALEATOIRE

Rédigé par : Isaure DUNAUD et Elyès EL MOUELHI Tuteur ISIMA : Michel FOGLI Date de la soutenance : le 14 Mars 2011

Isaure DUNAUD & Elyès EL MOUELHI REMERCIEMENTS

Projet Troisième Année ISIMA

REMERCIEMENTS

Nous tenons tout d’abord à remercier M. Michel FOGLI, notre tuteur lors de ce projet, pour son aide à la compréhension du sujet, pour nous avoir expliqué ce qu’était le décrément et nous avoir fait découvrir un outil d’estimation statistique qui pouvait être util dans de nombreux domaines.

Merci également à M. Hamid BADI, thésard à l’IFMA (Institut Français de Mécanique

Avancée), pour son aide dans la génération des trajectoires et pour sa disponibilité.

Isaure DUNAUD & Elyès EL MOUELHI GLOSSAIRE


GLOSSAIRE

Autocorrélation C'est la corrélation croisée d'un signal par lui-même. L'autocorrélation permet de détecter des régularités, des profils répétés dans un signal comme un signal périodique perturbé par du bruit.

Corrélation croisée Mesure de la similarité entre deux signaux Ergodique Les moyennes temporelles du processus sont identiques aux

moyennes d'ensemble du processus Moyennes d’ensemble

Au processus X(t) on associe à chaque instant une densité de probabilité . à cette densité de probabilité, on peut associer les moments appelés moyennes d’ensemble :

Isaure DUNAUD & Elyès EL MOUELHI RESUME, ABSTRACT


RESUME, ABSTRACT

Résumé Henri Cole a découvert le décrément aléatoire à la fin des années 60, début des

années 70. Il était alors ingénieur à la NASA. Le but du décrément aléatoire est de construire des fonctions de décrément et à partir de la construction de ces fonctions, d’extraire les paramètres modaux d’une structure. La méthode est très rapide, et peut-être plus rapide que l’algorithme de la transformation rapide de Fourier (FFT).

Et c’est le but de ce projet : à quel point la méthode du décrément estime bien les fonctions d’autocorrélation de processus aléatoires.

Nous avons implémenté en C++ le décrément aléatoires sur certains processus aléatoires. Nous nous sommes ainsi rendu compte que le décrément donnait une très bonne estimation des fonctions d’autocorrélation de ces processus et même une meilleure que celles fournies par les estimateurs usuels.

Mot-clé : décrément aléatoire, fonctions de décrément, fonctions d’autocorrélation, processus aléatoires, estimateurs usuels

Abstract Henri Cole discovered the Random Decrement, in the late 60’s. He was an engineer

at the NASA. The purpose of the random decrement is to construct decrement functions and thus to have the opportunity to extract the modal parameters of the structure. The method can be very fast to be computed, approximately 100 times faster than the Fast Fourier Transform, which is an equivalent method.

In this context, the goal of this project was to determine how good the Random

Decrement is to estimate the autocorrelation function of a random process? We implemented, in C++, the random decrement on specific random processes. We

observed that it gives an accurate estimation of the autocorrelation function of these processes and especially a better one than any other statistical estimation tool tested.

Keyword: Random Decrement, decrement functions, autocorrelation function, other statistical estimation tool.

Isaure DUNAUD & Elyès EL MOUELHI TABLE DES MATIERES


TABLE DES MATIERES

REMERCIEMENTS .................................................................................................................................... 2

GLOSSAIRE ............................................................................................................................................... 3

RESUME, ABSTRACT ................................................................................................................................ 4

TABLE DES MATIERES .............................................................................................................................. 5

TABLE DES FIGURES ................................................................................................................................. 6

INTRODUCTION ....................................................................................................................................... 7

PREMIERE PARTIE : .................................................................................................................................. 8

Introduction de l’Étude ........................................................................................................................... 8

1. Rappel du sujet ............................................................................................................................ 9

2. Analyse du problème ................................................................................................................... 9

3. Etude du problème .................................................................................................................... 10

DEUXIEME PARTIE : Théorie du décrément et Méthode ..................................................................... 11

1. La Théorie du décrément aléatoire ........................................................................................... 12

1. Principe de la méthode ......................................................................................................... 12

2. Le lien entre décrément aléatoire et fonction d’autocorrélation ......................................... 14

3. Les conditions de déclenchement ......................................................................................... 15

2. Conception de la solution .......................................................................................................... 18

1. Qu’est-ce qu’un oscillateur scalaire ?.................................................................................... 18

2. Comment pratiquement avons-nous mis en place le décrément ? ...................................... 18

TROISIEME PARTIE : Résultats et discussions ....................................................................................... 23

1. Résultats .................................................................................................................................... 24

1. Un estimateur usuel : l’estimateur non biaisé ...................................................................... 24

2. Les estimations fournies par le décrément ........................................................................... 24

2. Discussion .................................................................................................................................. 31

3. Chronologie de notre travail ..................................................................................................... 32

CONCLUSION ......................................................................................................................................... 33

BIBLIGRAPHIE ........................................................................................................................................ 34

Isaure DUNAUD & Elyès EL MOUELHI TABLE DES FIGURES


TABLE DES FIGURES

Figure I - 1 : Comment implémenter le décrément ? ........................................................................... 10

Figure II - 1 : Visualisation des instants de déclenchement ................................................................. 12

Figure II - 2 : Une section finissante ..................................................................................................... 13

Figure II - 3 : Comment fabriquer le décrément ? ................................................................................ 19

Figure II - 4 : Décrément aléatoire du Processus factice ...................................................................... 20

Figure III - 1 : Tableau récapitulatif des tests effectués ....................................................................... 25

Figure III - 2 : Application du test 1 au franchissement de niveau ....................................................... 25

Figure III - 3 : Application du test 1 au franchissement du point positif .............................................. 26

Figure III - 4 : Application du test 1 au franchissement d'un intervalle ................................................ 26

Figure III - 5 : Comparaison entre l'estimation faite par le décrément aléatoire et par l'estimateur non

biaisé ..................................................................................................................................................... 27

Figure III - 6 : Comparaison entre l'estimation faite par le décrément aléatoire et la fonction xcor de

matlab.................................................................................................................................................... 27

Figure III - 7 : Qualité de l'estimation en fonction du nombre de points : 4 000 ................................. 28

Figure III - 8 : Qualité de l'estimation en fonction du nombre de points : 8 864 ................................. 29

Figure III - 9 : Qualité de l'estimation en fonction du nombre de points : 14 651 ............................... 29

Figure III - 10 : Qualité de l'estimation en fonction du nombre de points : 48 640 ............................. 30

Figure III - 11 : Les instants de franchissement ne sont pas donnés .................................................... 31

Figure III - 12 : Chronologie non exhaustive du projet ......................................................................... 32

Isaure DUNAUD & Elyès EL MOUELHI INTTRODUCTION

7


INTRODUCTION

Lors de notre troisième année d’étude à l’Institut Supérieur d’Informatique, de Modélisation

et de leurs Applications, nous avons réalisé un projet pendant une durée de 120 heures réparties sur

6 mois, d’octobre 2010 à mars 2011. Notre tuteur de projet était M. Michel FOGLI et il a su nous

orienter, quand cela a été nécessaire vers M. Hamid BADI.

La méthode du décrément aléatoire a été développée à la fin des années 70, par H. A. Cole,

ingénieur à la NASA. Le principe est d’estimer les fonctions de décréments aléatoires. Le décrément

aléatoire en général est utilisé pour estimer les paramètres modaux d’une structure, par exemple les

paramètres modaux d’un rail de train. Dans notre cas, le but est d’estimer les fonctions

d’autocorrélation de processus aléatoire.

L’objectif de ce projet est, après avoir compris ce que c’était, d’implémenter le décrément

aléatoire, pour estimer qualitativement et quantitativement ses performances. En effet, on sait

d’après de nombreuses thèses qui ont été écrites sur le sujet que la méthode est très performante

pour estimer les fonctions d’autocorrélation de processus aléatoires. On peut donc se demander quel

est le lien entre décrément aléatoire et fonction d’autocorrélation, et à quel point l’estimation par le

décrément est bonne.

Nous présenterons dans une première partie l’objet de l’étude. Dans une deuxième partie,

nous expliquerons la théorie du décrément aléatoire en elle-même, puis nous expliquerons la

méthode de mise en place du décrément aléatoire. Enfin, dans une dernière partie, nous

présenterons les résultats obtenus, nous analyserons la justesse du décrément aléatoire après

comparaison avec d’autres estimateurs. C’est dans cette partie que l’on trouvera la chronologie de

notre projet et une ouverture sur l’amélioration de la précision de notre décrément.

Isaure DUNAUD & Elyès EL MOUELHI PARTIE I

8


PREMIERE PARTIE :

Introduction de l’Étude


9


1. Rappel du sujet

La méthode du décrément aléatoire est un outil d’estimation statistique qui à partir des

trajectoires des processus aléatoire peut fournir de très bonnes estimées de leurs fonctions

d’autocorrélation. Son intérêt est très varié et elle est performante dans les domaines tels que par

exemple celui des mathématiques financières ou celui de la mécanique aléatoire.

Il existe déjà des méthodes qui permettent d’estimer les fonctions d’autocorrélation des

processus aléatoire. L’intérêt du décrément est qu’il est très facile à mettre en œuvre et qu’il donne

des estimations encore plus proches de la fonction d’autocorrélation exacte.

L’objet de l’étude consiste dans un premier temps à comprendre ce qu’est le décrément,

dans un deuxième temps à le coder et enfin à le mettre en œuvre sur quelques exemples. Ainsi le but

final sera de comparer ses performances à celles de méthodes d’estimation standards basées sur les

estimateurs classiques de la fonction d’autocorrélation. Pour comparer les résultats donnés par les

estimateurs usuels et ceux donnés par le décrément nous avons choisi comme estimateur usuel

« l’estimateur non biaisé », dont on donnera la description en partie 3. Il en existe d’autres, non

traités ici, comme « l’algorithme de la transformation rapide de Fourier (FFT) ».

2. Analyse du problème

La méthode du décrément aléatoire a été développée par la NASA (National Aeronautics and

Space Administration) de façon empirique à la fin des années 60 et au début des années 70 par Henri

Cole ([1]). Son utilité vient du fait que c’est une méthode plutôt aisée à implémenter, qu’elle a des

performances élevées et que la méthode est assez robuste. Selon la façon dont on utilise la méthode,

il a été montré qu’elle était un excellent estimateur de la fonction d’autocorrélation.

Pourtant, on sait qu’il existait déjà avant le développement de la méthode du décrément

aléatoire un certain nombre d’estimateurs classique de fonction d’autocorrélation. Il convient alors

de savoir si la méthode du décrément est vraiment avantage certain pour ces estimations, et si oui

en quoi.

On s’est finalement aperçu que les estimateurs classiques, à l’inverse du décrément aléatoire

étaient beaucoup plus difficiles à implémenter, ce qui donnait déjà un large avantage à la méthode

du décrément aléatoire. Le but de cette étude est finalement de montrer l’implémentation faite pour

le décrément, puis de comparer les résultats donnés par le décrément aux résultats donnés par les

estimateurs classiques. Ainsi on pourra montrer si oui ou non la méthode du décrément aléatoire est

performante, et à quel point.


10


3. Etude du problème

La méthode de décrément aléatoire a déjà été implantée par bon nombre de personnes. Le

décrément consiste à effectuer une trajectoire moyenne lissée de tout phénomène aléatoire. Ainsi à

partir de cette moyenne on peut obtenir, selon la méthode choisie, la fonction d’autocorrélation du

processus. Comme on l’a dit précédemment, le décrément est facile à implémenter, il faut donc

comprendre toute la théorie sous-jacente, qui elle est beaucoup moins simple. Pourquoi à partir

d’une simple moyenne on peut obtenir la fonction d’autocorrélation du processus ? Peut-on obtenir

en toute circonstance la fonction d’autocorrélation.

Pour cette raison on pourra trouver en figure I - 1 un schéma expliquant les étapes à suivre

lorsqu’on code le décrément aléatoire. On pourra voir ce que notre implémentation devait suivre

pour analyser le décrément dans son approximation de la fonction d’autocorrélation.

Figure I - 1 : Comment implémenter le décrément ?

Isaure DUNAUD & Elyès EL MOUELHI PARTIE II

11


DEUXIEME PARTIE :

Théorie du décrément et Méthode


12


1. La Théorie du décrément aléatoire

1. Principe de la méthode

Pour pouvoir étudier le décrément aléatoire, nous partons d’une trajectoire observée de la

réponse d’une structure à des sollicitations. Outre estimer la fonction d’autocorrélation d’un

processus aléatoire, le décrément permet en effet, d’extraire les paramètres modaux de la structure.

Par exemple on pourra regarder la réponse de l’action d’un TGV sur un pont ferroviaire.

Lorsque l’on considère que la réponse dont on dispose est une observation scalaire de la

réponse dynamique d’une structure en régime vibratoire libre ou entretenu. Le processus est

aléatoire à partir du moment où les conditions initiales le sont. Nous fixons un niveau a et nous

considérons le processus ponctuel des instants auxquels Y franchit ce niveau. C'est-à-dire que l’on

a : on pourra visualiser les sur la figure II – 1.

Les différents points sont appelés instants de déclenchements. Ils sont définis à partir de

certaines conditions qui seront expliquées dans le paragraphe 3 : les conditions de déclenchement.

Comme on considère un processus aléatoire, on peut être sûr que les sont aléatoires.

Pour chaque nous considérons le reste de la trajectoire après . : les sections finissantes.

Nous les ramenons à l’origine et nous effectuons ensuite la moyenne de ces sections. On pourra

Figure II - 1 : Visualisation des instants de déclenchement


13


visualiser sur la figure II – 2 l’une des sections finissantes (en rouge sur la figure). On a considéré celle

qui démarrait à partir de l’instant sur la figure précédente.

Après avoir effectué la moyenne, le processus obtenu est appelé la fonction de décrément

aléatoire associé au franchissement de niveau a (il est qualifié d’aléatoire car le processus Y est un

processus aléatoire). On s’aperçoit qu’en pratique on ne peut utiliser qu’un nombre fini de sections.

Pour N sections considérées, on définit la fonction du décrément d’ordre N par la formule suivante :

Le processus est stationnaire, et on étudie le comportement asymptotique de

lorsque . Le nombre de dépend du nombre de données, mais aussi de la longueur de

la dernière section finissante qui définit la longueur disponible pour le décrément. Il faut donc choisir

le nombre de termes afin d’obtenir une longueur suffisante pour le calcul du décrément.

Figure II - 2 : Une section finissante


14


2. Le lien entre décrément aléatoire et fonction d’autocorrélation

Le décrément est une méthode qui transforme les processus stochastiques X(t) et Y(t) en des fonctions de décrément aléatoire. Les fonctions de décrément aléatoire sont définies comme la valeur moyenne d’un processus stochastique avec la condition, dit de déclenchement, T :

(1)

(2)

La condition générale théorique du déclenchement définit une condition de réduction

d’historique à des segments temporels à partir desquels une valeur moyenne est calculée. Les conditions sont des conditions de déclenchement. Les conditions de déclenchements

définissent une condition de réduction d’historique à des segments temporels, à partir desquels une valeur moyenne est calculée.

On souhaite établir le lien qui existe entre fonction d’autocorrélation et décrément aléatoire.

On considère les deux processus vectoriels, { } et { }. La démonstration sera fortement inspirée de

celle effectuée dans la thèse référencée [3].

X(t) est pris comme étant un processus stationnaire gaussien, on peut donc en déduire que et

sont non corrélés et indépendants. On peut alors écrire les fonctions d’autocorrélation de la

forme suivante :

et

assez facilement on peut en déduire

Et on a aussi

:


15


On calcule donc enfin le décrément de { } avec la condition de déclanchement { }.

Si l’on pose : , on obtient alors la formule suivante :

(3)

Or, lorsqu’on a posé , comme on sait que , on

peut en déduire que les deux conditions sont égales. Avec les formules (1) et (2) on voit que l’expression précédente (la (3)) est égale à des fonctions de décrément aléatoire. Donc finalement après quelques calculs, on peut en déduire la relation entre décrément aléatoire et fonction d’autocorrélation suivante :

3. Les conditions de déclenchement

Les conditions de déclenchements définissent une condition de réduction d’historique à des

segments temporels, à partir desquels une valeur moyenne est calculée.

(i) Franchissement d’un niveau a non nul

On se donne un niveau et on définit la condition de déclenchement par le

franchissement de ce niveau par la réponse Y. La suite ( est donc

constituée des instants où Y vérifie : . On a donc :

où

or le nombre N de points de déclenchement est fini dès que a≠0. N dépend de plus du niveau a, tout

comme les instants de franchissement , la constante et le décrément . De plus, la suite

des comprend un nombre pair de termes, elle est alternée et ses termes consécutifs (donc de


16


signes opposés) sont proches en valeur absolue. On peut donc en déduire que la constante est

proche de 0. On peut donc finalement écrire :

(ii) Franchissement en croissant du niveau zéro

La suite ( qui correspondant à cette condition de déclenchement est ici

constituée des instants où la réponse Y vérifie : et . Après quelques calculs

([2]), on obtient :

où est une constante fonction du processus aléatoire étudié.

(iii) Franchissement d’un point positif

La condition de point positif est une généralisation de la condition de franchissement de

niveau. C’est la condition de déclenchement la plus utilisée. On se donne deux niveaux

. La suite ( est donc constituée des instants où Y

vérifie : . On a alors :

C’est l’article *4+ qui nous permet de différencier les cas « franchissement de niveau » et

« franchissement d’un point positif ». Ainsi pour le « franchissement de niveau » il sera judicieux de

prendre et dans le cas du « franchissement d’un point positif » il sera judicieux de

prendre

.


17


(iv) Franchissement d’un intervalle

La condition est définie comme la condition de franchissement d’un point positif : on se

donne deux niveaux

. La suite ( est donc

constituée des instants où Y vérifie : . On a alors :

En revanche on aura un a différent ([6]) : ici, on aura :

On rappel que le but de ce projet est d’estimer la fonction d’autocorrélation des processus

aléatoire. On se rend donc assez facilement compte qu’il est beaucoup plus judicieux de prendre

comme condition de déclenchement soit le « franchissement d’un niveau » soit le « franchissement

d’un point positif » soit enfin le « franchissement d’un intervalle ». Ainsi après avoir appliqué le

décrément aléatoire au processus étudié, il suffira d’effectuer une simple règle de proportionnalité

pour obtenir la fonction d’autocorrélation.

On aura alors la formule suivante :

Et suivant que l’on utilise « franchissement d’un niveau », le « franchissement d’un point

positif », ou le « franchissement d’un intervalle », on choisira le a en conséquence :

- lorsqu’on choisit le « franchissement d’un niveau »

-

. lorsqu’on choisit le « franchissement d’un point positif ».

-

lorsqu’on choisit le « franchissement d’un intervalle ».


18


2. Conception de la solution

1. Qu’est-ce qu’un oscillateur scalaire ?

Comme on l’a déjà dit, le but de l’implémentation du décrément est de pouvoir lui faire

estimer quelques fonctions d’autocorrélation connues. Nous nous sommes donc basés sur les

fonctions d’autocorrélation des oscillateurs scalaires. Cela nécessite donc de rappeler ce qu’est un

oscillateur scalaire ([8]).

Les oscillateurs scalaires sont dirigés par une équation différentielle linéaire du second ordre

sur R de la forme :

avec la pulsation, le taux d’amortissement critique supposé <<1, et l’excitation

(avec = ( (t), t R) un bruit blanc gaussien normalisé scalaire, et un réel non nul.

On s’intéresse alors à la réponse stationnaire (ce qui justifie qu’on n’ait pas fourni de

conditions initiales) de l’équation de l’oscillateur scalaire. Y(t) est un processus

gaussien stationnaire centré caractérisé par sa fonction d’autocorrélation

définie sur R à valeurs dans R, et qui s’écrit, :

avec

et , ou

est la variance de la réponse stationnaire Y.

2. Comment pratiquement avons-nous mis en place le décrément ?

(i) Sur un processus factice

Afin de pouvoir avancer notre travail, nous n’avons pas commencé notre travail par appliquer

directement le décrément sur un oscillateur scalaire. Nous avons commencé par appliquer le

décrément à un processus qui aurait été dirigé par une équation sinusoïdale. Cela signifie que nous

avons supposé dans un premier temps que le signal était de la forme :

Nous l’avons discrétisée sur l’intervalle [0 ; 10] avec un intervalle entre chaque point de

dt = 0.05. Nous avons simulé un franchissement de niveau 1. Le but était d’appliquer le décrément


19


sur une fonction factice, pour éviter de perdre du temps dans l’obtention du bon fonctionnement ou

non du décrément.

Grâce à ce processus factice, nous avons mis en place le décrément aléatoire. On pourra

suivre sa mise en place sur le schéma ci-dessous (figure II – 3).

Nous avons donc discrétisé la fonction f donnée précédemment pour ainsi créer un vecteur

de f. Cela nous a permis de construire un vecteur qui répertoriait les indices où f franchit a (on

rappelle que l’on a pris comme condition de déclenchement le « Franchissement d’un niveau a non

nul ») : on appelle alors ce vecteur « VecteurFranchissement ». Une fois ce vecteur construit, le but

est d’aller chercher directement dans le vecteur de f la section finissante commençant de l’indice

contenu dans VecteurFranchissement jusqu’à la fin du vecteur de f, pour chaque indice contenu dans

VecteurFranchissement. On parcourt ainsi tout VecteurFranchissement. Une fois que l’on a parcouru

en entier VecteurFranchissement, on effectue une moyenne des sections finissantes. Cette moyenne

Figure II - 3 : Comment fabriquer le décrément ?


20


n’est pas calculée sur tout les éléments de toutes les sections finissantes, mais uniquement pour les

m premiers termes des sections où m correspond à la taille de la dernière section finissante. La

moyenne est assez facile à calculer puisque l’on divise par la taille de VecteurFranchissement : il y

aura en effet autant de sections finissantes qu’il y a d’indices contenus dans VecteurFranchissement.

Le nouveau vecteur ainsi fabriqué (grâce à la moyennisation des sections finissantes) est le

vecteur de décrément aléatoire. Il est à noter qu’il fait la taille, comme on l’a dit précédemment, de

la dernière section finissante de f. Il nous suffit alors d’appliquer à ce vecteur la formule ci-dessous

chacun des points contenus dans le vecteur de décrément :

Nous avons alors obtenu la fonction d’autocorrélation pour notre fonction factice qui était

censée représenter un processus aléatoire.

On pourra visionner le résultat sur la figure II – 4. La figure en haut à gauche présente la

trajectoire du processus factice ainsi que le niveau a de franchissement. En haut à droite sont

présentées les trois premières sections finissantes et en bas à gauche est présenté le décrément

aléatoire obtenu.

Figure II - 4 : Décrément aléatoire du Processus factice


21


(ii) Sur un oscillateur stationnaire

La trajectoire du processus aléatoire que nous avons pu récupérer était la réponse

stationnaire d’un oscillateur scalaire du second ordre, dont on rappelle l’équation :

(α)

avec la pulsation, le taux d’amortissement critique supposé <<1, et l’excitation

(avec = ( (t), t R) un bruit blanc gaussien normalisé scalaire, et un réel non nul.

Nous avions les données suivantes :

- =

- = 0.01

- =

Nous avons récupéré des données qui se présentaient grossièrement sous forme d’un

tableau de données réparties selon un pas de temps . Cela nous a permis de nous baser

sur le calcul du décrément effectué sur le processus factice : on obtenait les données sous une forme

semblable (on pourra regarder à nouveau la figure II – 3).

Nous avons finalement implémenté le décrément pour les trois conditions de

déclenchements « franchissement d’un niveau », « franchissement d’un point positif » et donc

implémenté les fonctions d’autocorrélation correspondantes à chaque condition correspondante. On

rappelle que :

Avec :

- lorsqu’on choisit le « franchissement d’un niveau »

-

. lorsqu’on choisit le « franchissement d’un point positif ».

-

lorsqu’on choisit le « franchissement d’un intervalle ».


22


Le but est alors que les deux fonctions d’autocorrélation calculées se superposent quasiment,

et qu’elles soient très proches voire identiques à la fonction d’autocorrélation théorique, dont on

rappelle la formule :

(β)

avec

et

Le but final du projet était alors de comparer les estimations faites par le décrément que ce

soit avec la condition « franchissement d’un niveau » ou la condition « franchissement d’un point

positif » avec les estimations données par les estimateurs standards.

Isaure DUNAUD & Elyès EL MOUELHI PARTIE III

23


TROISIEME PARTIE :

Résultats et discussions


24


1. Résultats

1. Un estimateur usuel : l’estimateur non biaisé

On a déjà dit que le but final du projet était de comparer la fonction d’autocorrélation

trouvée avec le décrément avec celle trouvée avec d’autres estimateurs, dit standards. Pour la

comparaison, nous avons utilisé « l’estimateur non biaisé » ([5]).

On peut rappeler que la fonction d’autocorrélation d’un processus aléatoire ergodique est

défini par :

où N est la taille de l’échantillon.

L’estimateur non biaisé prend en compte le nombre des échantillons restant à l’indice k. On

pourra alors estimer la fonction d’autocorrélation du processus par la formule suivante :

où cas est l’indice auquel on considère la fonction d’autocorrélation.

2. Les estimations fournies par le décrément

Les tests sont faits sur le serveur « ETUD » de l’ISIMA. Le serveur en de type PC sous Linux

CentOS 5.5, quadri processeur AMD Quad Core (32 cœurs logiques) comportant 64G0 de RAM. Pour

effectuer ces tests, nous avons estimé la fonction d’autocorrélation de la réponse à l’oscillateur

scalaire précédemment présenté (Partie II-2.2.ii : (α)). Les trajectoires fournies contenaient 524288

points avec . Nous avons testé les différentes conditions de déclenchement utilisables :

« franchissement d’un niveau », le « franchissement d’un point positif », et le « franchissement d’un

intervalle ».

On pourra trouver ci-dessous un tableau récapitulatif indiquant : - le numéro du test - le nombre de point (taille du décrément) - le type de condition (à défaut il s’agit de l’estimateur non biaisé) - le temps de calcul

- l’erreur par rapport par rapport à la fonction théorique (Partie II-2.2.ii : (β))


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Numéro du test

Nombre de points (taille du décrément)

Type de condition Temps de

calcul (en s) Erreur

1 14651

franchissement de niveau

2.72 0.00317335

franchissement d’un point positif

860.86 0.00238039

franchissement d’un intervalle

237.27 0.00524688

Estimateur non biaisé

1782,49 0,00298008

2 8864


2.31 0.00211535


538.18 0.000972069

franchissement d’un intervalle

149.57 0.00364514


1075.57 7.3786e-04

3 48640


10.4 0.00836883


2803.04 0.00521072


5636.61 0.00780889

Figure III - 1 : Tableau récapitulatif des tests effectués

Les figures suivantes sont relatives au test 1.

Figure III - 2 : Application du test 1 au franchissement de niveau


26


Sur la figure III – 2, on a représenté l’estimation donnée par le décrément aléatoire en bleu et en rouge la fonction théorique d’autocorrélation. L’estimée était faite avec la condition de

franchissement de niveau avec un niveau . Sur la figure III – 3, on a représenté l’estimation donnée par le décrément aléatoire en bleu et

en rouge la fonction théorique d’autocorrélation. L’estimée était faite avec la condition de

franchissement du point positif avec un niveau

.

Sur la figure III – 4, on a représenté l’estimation donnée par le décrément aléatoire en bleu et

en rouge la fonction théorique d’autocorrélation. L’estimée était faite avec la condition de

franchissement d’intervalle avec un niveau .

Figure III - 3 : Application du test 1 au franchissement du point positif

Figure III - 4 : Application du test 1 au franchissement d'un intervalle


27


Sur la figure suivante (figure III – 5) on a présenté la comparaison entre l’estimation faite par le décrément aléatoire et celle faite par l’estimateur non biaisé. On peut voir que l’on a une quasi superposition des deux estimations, on peut donc en déduire que l’estimation faite par le décrément est bonne.

Sur la figure suivante (figure III – 6) on a présenté la comparaison entre l’estimation faite par

le décrément aléatoire et celle faite par la fonction xcor de Matlab. Cette dernière utilise l’algorithme de la FFT pour calculer l’autocorrélation. On peut voir alors que l’on a une quasi superposition des deux estimations, on peut donc en déduire que l’estimation faite par le décrément est bonne.

Figure III - 5 : Comparaison entre l'estimation faite par le décrément aléatoire et par l'estimateur non biaisé

Figure III - 6 : Comparaison entre l'estimation faite par le décrément aléatoire et la fonction xcor de matlab


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On peut remarquer que la taille de la dernière section finissante donne la taille du décrément

et par conséquent, la taille de la fonction d’autocorrélation (l’intervalle d’estimation).

Soit Y la trajectoire qui représente la réponse d’une structure S et N sa taille. Y est défini sur

I = [0…N-1]. Soit M la taille de la dernière section finissante c’est donc aussi la taille du décrément.

Les sections finissantes qui correspondent aux conditions de déclenchement ont été calculées sur I’ =

[0…(N-1)-M].

Si la taille du décrément M augmente l’intervalle d’étude I’ diminue donc le nombre de

sections finissantes à traiter diminue. Si la taille du décrément M diminue l’intervalle d’étude I’

augmente donc le nombre de sections finissantes à traiter augmente

On rappelle que la fonction du décrément est une moyenne sur les sections finissantes, on a

en effet le décrément de la forme :

On voit donc que plus le nombre de section finissante est grand, meilleure est la précision de

l’estimation. Ainsi sur les figures III – 7 à III – 10, la qualité diminue en fonction du nombre de points.

On voit donc que si M la taille du décrément diminue alors l’erreur diminue

Ainsi avec une taille petite du décrément on obtient une meilleure estimation mais il faut

d’autre part que la taille du décrément soit suffisante pour pouvoir extraire des informations. Ce

compromis (longueur du décrément/qualité d’estimation) est à fixer par l’utilisateur de l’estimateur.

C’est pourquoi dans notre programme, nous avons donné la possibilité à l’utilisateur de fixer la taille

du décrément.

Figure III - 7 : Qualité de l'estimation en fonction du nombre de points : 4 000


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30




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2. Discussion

Lorsque nous avons construit le décrément par la condition de franchissement de niveau,

nous nous sommes rendu compte d’un problème sur la trajectoire que nous construisions. Nous

nous sommes rendu compte que suivant l’intervalle qui séparait chaque point donné par la

trajectoire le franchissement de niveau ne tombait pas forcément « pile » sur un point. C’est ce que

nous montre la figure suivante III – 11.

Comme on peut le voir sur la figure précédente, les différents , où représente le temps

entre le moment où le processus franchit effectivement a et celui donné en entrée, ne sont pas tous

de la même taille. Fatalement, si l’on veut considérer l’instant où le processus franchit effectivement

a on va se trouver face à un problème assez important : les points ne seront pas sur la même

verticale.

Pour faire à ce problème, il faut faire appel au théorème de Shannon. Nous avons donc utilisé

le théorème de Shannon sur chaque section finissante. Le théorème de Shannon permet de

reconstruire un signal qui aurait été discrétisé. On doit appliquer le théoréme de Shannon car on

verra par la suite qu’il prend en compte les . Comme les différents ne sont pas de la même taille,

il est nécessaire d’appliquer le théorème de Shannon à chaque section finissante. Le théorème de

Shannon donne la formule suivante, pour la section finissante numéro i :

avec l’intervalle de discrétisation que l’on voudra donner à terme : on note que c’est un

choix arbitraire que nous avons fait.

Figure III - 11 : Les instants de franchissement ne sont pas donnés


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3. Chronologie de notre travail

Comme on l’a déjà dit, notre travail consistait dans un premier temps à connaitre la théorie

du décrément aléatoire pour pouvoir la coder au mieux.

Travailler sur le décrément aléatoire nécessite de plus d’avoir de très bonnes bases de

probabilité. Même si nous en avions déjà une plutôt certaine, il était nécessaire de s’assurer qu’elle

était suffisante pour la compréhension du décrément. Revoir les acquis de probabilité a donc

constitué la première partie de notre travail.

Une fois à jour en probabilité, nous pouvions nous intéresser au décrément proprement dit.

C’est à ce moment là que nous avons commencé à lire un bon nombre de thèses portant sur le

décrément (citées en bibliographie).

Enfin nous avons pu mettre en place le décrément. Une fois le décrément implémenté nous

l’avons appliqué à des trajectoires de processus aléatoires dont nous connaissions la fonction

d’autocorrélation. Cela nous a permis de comparer le résultat obtenu avec la fonction

d’autocorrélation réelle, et enfin de comparer l’estimation fournie par le décrément avec celles

données par les estimateurs usuels.

La figure III - 12 récapitule la chronologie de notre travail. Il est à noter que le rapport de

projet et la présentation de soutenance ont été faits en parallèle durant toute l’année.

Figure III - 12 : Chronologie non exhaustive du projet

Isaure DUNAUD & Elyès EL MOUELHI CONCLUSION

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CONCLUSION

Dans la première partie du rapport, nous avons présenté l’objet de l’étude, notamment le problème, son analyse et son étude.

Puis dans une deuxième partie, nous avons donné la théorie du décrément aléatoire, son lien avec la fonction d’autocorrélation, nous avons donné ce qu’était une condition de déclenchement et expliqué lesquelles et pourquoi nous les avions implémentées. Dans cette deuxième partie, nous avons aussi expliqué comment nous avions implémenté concrètement le décrément.

Dans une troisième partie, nous avons présenté les résultats obtenus. Nous avons ainsi

donné l’estimateur que nous avons utilisé pour comparer l’estimation de la fonction

d’autocorrélation donnée par le décrément et celui-ci. Nous avons parlé de possibles possibilités

d’amélioration, notamment avec le théorème de Shannon. Enfin nous avons montré la chronologie

de la réalisation de ce projet.

Nous avons ainsi montré un moyen très simple d’obtenir le lien entre décrément aléatoire et

fonction d’autocorrélation. Nous avons aussi donné une estimation qui montrait à quel point

l’estimation faite par le décrément aléatoire était puissante en la comparant à celle faite par les

estimateurs standards.

Finalement, ce projet nous a apporté de nombreuses connaissances dans un domaine alors

assez peu connu. Ce fut assez intéressant car c’était une poursuite de l’apprentissage de théorie sur

les processus aléatoires.

Isaure DUNAUD & Elyès EL MOUELHI CONCLUSION

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BIBLIGRAPHIE

[1] H. A. COLE On the line Analysis of Random Vibrations. AIAA Paper, 68-288, 1968

[2] Ignace Davy MENDOUME

MINKO Identification des Systèmes Dynamiques Stochastiques. Application à l’Evaluation Dynamique des Ponts Sous Sollicitations Ambiantes Thèse Soutenue Publiquement le 07 octobre 2005

[3] Alireza ALVANDI Contribution à l’Utilisation Pratique de l’Évaluation Dynamique

pour la Détection d’Endommagement dans les Ponts Thèse Soutenue Publiquement le 10 octobre 2003

[4] Brincker R., Krenk S.,

Jensen J.L.

“Estimation of correlation functions by the random decrement technique” Proceedings of IMAC 9, 14-18, 1991

[5] Saïd Mammar Cours de Traitement du Signal TS31

Génie Électrique et Informatique Industrielle 3ème Année Génie des Systèmes Industriels 3ème Année IUP d’Évry

[6] J. C. Asmussen, S. R.

Ibrahim et R. Brincker “Random Decrement and Regression analysis of traffic responses of bridges” 1996

[7] Christian CREMONA, Flàvio

de Souza BARBOSA STRUCTURAL DYNAMIC MONITORING UNDER AMBIENT VIBRATION 2002, Laboratoire Central des Ponts et Chaussées, Paris, France

[8] Pierre GRANGE, Michel

FOGLI Formules numériques pour l’estimation des caractéristiques statistiques du second ordre (moyenne, variance, DSP, fonction d’autocorrélation) d’un processus stochastique réel d’ordre deux, stationnaire du second ordre Université Blaise Pascal, Novembre 2005

[9] Ignace Davy Mendoume

Minko, Pierre Bernard & Michel Fogli

Décrément aléatoire et identification des systèmes mécaniques sous sollicitations dynamiques ambiantes. LaMI-UBP & IFMA Septembre 2005

[10] J. C. Asmussen, S. R.

Ibrahim et R. Brincker “Random Decrement : Identification of Structures Subjected to Ambient Excitation” 1998

Documents

LA METHODE DU DECREMENT ALEATOIRE - ISIMA · Isaure DUNAUD & Elyès EL MOUELHI RESUME, ABSTRACT Projet Troisième Année ISIMA RESUME, ABSTRACT Résumé Henri Cole a découvert le