LA METODOLOGÍA DE VECTORES AUTORREGRESIVOS (VAR)

La metodología VAR es, en cierta forma, una respuesta a la imposición de restricciones a priori que caracteriza a los modelos econométricos keynesianos: en un sistema de ecuaciones simultáneas se requiere imponer restricciones sobre los parámetros de las mismas para garantizar la identificación, y posible estimación, de las ecuaciones que lo conforman. Para ello, además, es indispensable diferenciar entre las variables endógenas y las predeterminadas, es decir, aquéllas cuyos valores no son determinados por el modelo en el período actual. Estas últimas pueden ser exógenas o endógenas rezagadas.

ESPECIFICACION

El VAR presenta alternativamente, un sistema de ecuaciones simultáneas en el que cada una de las variables son explicadas por sus propios rezagos y los del resto de variables del sistema. Es decir, no se admiten restricciones a priori y todas las variables son consideradas endógenas. La única información a priori que se incluye está referida al número de rezagos de las variables explicativas, que se incorporan en cada ecuación a partir del análisis de la data. No obstante, en términos operativos, una correcta especificación del sistema requiere que la determinación de las variables a ser incluidas en él se base en el conocimiento de un modelo teórico relevante.

Un VAR tiene, en general, la siguiente especificación:

t

p

iitit yy µ+∑ Π=

=−

1

donde yt é yt-i son vectores de orden m (m es el número de variables del sistema) y Πi es la matriz (cuadrada de orden m) de coeficientes del rezago i de las variables explicativas de las m ecuaciones. De esta forma, se puede observar que deberán estimarse tantas matrices Πi como rezagos se incluyan en el sistema. Matricialmente, y utilizando una especificación de operadores de rezago:

(1)

En este sistema:

yy

y

a a aa a

a a

yy

y

t

t

mt

L L m L

L m L

m L mm L

t

t

mt

t

t

mt

1

2

11 12 1

21 2

1

1

2

1

2

M

LO

M ML

M M

=

+

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

µµ

µ

[ ]E jµ µt t - j' = ∀ ≠0 0

[ ]E µ µt t' = ∑

(2)

(3)

(4)

es decir, no se tiene autocorrelación entre los errores de una misma ecuación pero se observa correlación contemporánea entre los errores de las diferentes ecuaciones.Veamos, por ejemplo, el caso de un VAR(1) con dos variables, de la forma:

yt1-t121-t11t1210t zyzy εββγβ +++−=

zt1-t221-t21t2120t zyyz εββγβ +++−=(5)

donde yt y zt son variables endógenas estacionarias, εyt y εzt son ruidos blancos y no están correlacionados entre sí. La ecuación (5) sería entonces la forma estructural del sistema ya que se tienen endógenas como explicativas. Si se quiere obtener la forma reducida, es decir, expresar la endógenas en función sólo de predeterminadas (rezagos de las endógenas), se debe resolver:

lo que se puede rescribir en términos vectoriales como:

+

+

=

zt

yt

1-t

1-t

2221

1211

20

10

t

t

21

12

zy

zy

11

εε

ββββ

ββ

γγ

tε++=Γ 1-t10t XBBXsiendo Xt un vector que contiene a yt y zt

t1

1-t11

01

t XBBX ε−−− Γ+Γ+Γ=

(6)

es decir:

t1-t10t XAAX e++=

1t1-t121-t1110t zyy eaaa +++=

2t1-t221-t2120t zyz eaaa +++=

La ecuación 8 es la forma reducida del VAR(1) de la ecuación 5. En ella los errores sí están correlacionados debido a que recogen la presencia de yt y zt como explicativas del VAR original. Así:

(7)

(8)

donde

∆∆−

∆−

∆=Γ−

1

1

21

121

γ

γ

21121 γγ−=∆ y,

∆

+∆

−

==Γ−

zte εγε

εγε

ε21yt

zt12yt

tt1

-

(9)

(10)

ya que

=

zt

yt

εε

ε t

La ecuación anterior no va a ser cero siempre que:

( )

∆

−++−=Ε

2

212122121

2

ztytztztytztytytEee

εγεεγγεεγε(11)

( ) 02

2z12

2y21

ztyt ≠∆

−−=Ε

σγσγee (12)

0 ,0 1221 ≠≠ γγ

es decir, mientras que yt y zt estén presentes en la forma estructural del VAR.

ESTIMACION

Trabajando en general con un VAR(p) de la forma:

tp-tp2-t21-t10t XAXAXAAX e+++++= Kse puede observar que:

1º Se tiene un problema de sobreparametrización: hay que estimar m2 p + m parámetros, lo que produce un grave problema de pérdida de grados de libertad. No obstante, el objetivo de un VAR es encontrar la interrelación entre las variables y no realizar predicciones de corto plazo, lo que reduce la importancia del problema.

(13)

2º Dado que se trabaja con la forma reducida, los errores de cada ecuación no están autocorrelacionados y tienen varianza constante, el mejor método de estimación es aplicar MCO ecuación por ecuación. No obstante, para que sea un estimador eficiente todas las ecuaciones deben tener igual número de rezagos de cada explicativa.

En términos prácticos se recomienda utilizar la siguiente receta:

1º Limpiar cada una de las series de cualquier tipo de no estacionariedad. Es decir: aplicar el ploteo, correlograma (AC y PAC), DFA y el Test de Zivot y Andrews (Testde quiebre estructural).

El Test de Zivot y Andrews determina en que periodo se debe agregar una variable dummy para corregir el quiebre que puede ser en: intercepto, tendencia o ambos.

Este Test considera tres modelos:MODELO A: Quiebre con intercepto.

MODELO B: Quiebre en tendencia.tt DuY εββ ++= 10

MODELO C: Quiebre en ambos.

tt DuttDuY εββββ ++++= *3210

tt DuttY εβββ +++= *210

2º Estimar por MCO cada ecuación, individualmente.3º Determinar el número de rezagos de las variables

explicativas que deben permanecer en cada ecuación. Para ello se sugieren dos tipos de test:

* El test F por bloques, para probar la hipótesis nula de que un número i de rezagos deben incluirse como explicativas en cada ecuación, versus la alternativa de que dicho número es i+r>i. Este testtiene el problema de que debe ser aplicado individualmente a cada ecuación, pudiendo llegarse a la conclusión de que el número de rezagos a incluirse en ellas es diferente en cada caso. Esto le restaría eficiencia al estimador de MCO.

• El Test de Máxima Verosimilitud (LikelihoodRatio Statistic - LR) para el conjunto de ecuaciones. Nos sirve para determinar el número de rezagos óptimo de un VAR, SIMS (1980).

• La hipótesis nula de este test es que el sistema tiene un número i de rezagos versus la alternativa de que este número es i+r. El estadístico sería:

[ ] 2loglog*)( qriicT χ≈−− +ΣΣ (14)

donde:log |Σ a | = logaritmo natural del determinante de la matriz de varianzas y covarianzas para el modelo con “a” rezagos.T = número de observaciones.c = número de parámetros estimados en cada ecuación del sistema no restringido. Es decir: c = m(r+i).q = grados de libertad, número de restricciones en todo el modelo. Es decir:q = m2 r.

Este test se distribuye χ2 con grados de libertad igual al número de restricciones en el sistema (q=m2r). Este test tiene poco poder para rechazar test sucesivos de restricción de rezagos; por ello el rezago referencial debe ser el de mayor valor en el sistema, es decir, cualquier hipótesis nula debe ser contrastada contra el rezago (i+r).Si se acepta la hipótesis nula (H0), procedemos a verificar con un rezago menor.

4º No se debe utilizar el test t ni dar importancia a los signos de los coeficientes, ya que existe una gran multicolinealidadentre las variables de cada ecuación. La magnitud de los coeficientes es un indicador relativo de la significancia de la variable (un coeficiente pequeño generalmente acompaña a una variable poco significativa).

Función Impulso-respuesta

Esta función es simplemente la representación de medias móviles asociada con el modelo estimado y explica la respuesta del sistema a shocks en los componentes del vector de perturbaciones.

La función impulso-respuesta traza la respuesta de las variables endógenas en el sistema ante un shock en los errores. Un cambio en e1 cambiaría inmediatamente el valor de Y . Ello además cambiaría todos los valores futuros de las demás variables endógenas del sistema, debido a la estructura dinámica del sistema.

En una función impulso-respuesta, separa los determinantes de las variables endógenas dentro de los shocks o identifica innovaciones con variables específicas. Entonces, traza el efecto corriente y valores futuros de las variables endógenas ante un “shock” de una desviación estándar a las innovaciones (variables estocásticas).

Si todos los componentes estocásticos de nuestro sistema VAR son incorrelativos, la interpretación es directa, e1 es la innovación Y , e2 es la innovación X, y así sucesivamente. Una función impulso-respuesta para e2 mide el efecto de una desviación estándar ante un shock en X actual y futuro para las variables endógenas.

Por desgracia, este no es casi nunca el caso pues los errores son totalmente incorrelativos. Cuando los errores se correlacionan, ellos tienen un componente común el cual no puede ser identificado con cualquier variable específica. Un método algo arbitrario de negociación con este problema es atribuir todo el efecto a cualquier componente común a la variable, aquel que venga primero en el sistema VAR. En nuestro sistema, el componente común de e1 y e2 es totalmente atribuido a e1, porque e1 precede a e2; e1 es la innovación Y y e2 es la innovación X transformado o removido el componente común.

Más técnicamente los errores son ortogonalizados por una descomposición Choleski, así la matriz de covarianza resultante es triangular inferior (los elementos por encima de la diagonal principal son cero).

La descomposición Choleski es extensamente usada, es un método un poco arbitrario de atribución de efectos comunes. Cambiando el orden de las ecuaciones, se puede cambiar dramáticamente las funciones impulso-respuesta, hay que tener cuidado con las interpretaciones de estas funciones.

Descomposición de la Varianza del error de predicción.

La descomposición de la varianza de un VAR brinda información acerca de la potencia relativa de innovaciones aleatorias para cada variable endógena. Este ejercicio consiste en descomponer la varianza de las variables endógenas en componentes que permitan aislar el porcentaje de variabilidad de una endógena explicado por una de las innovaciones para distintos horizontes predictivos. Tal descomposición se obtiene luego de “ortogonalizar” el vector de perturbaciones, que consiste en distribuir la responsabilidad de las correlaciones reflejadas en la matriz de covarianza entre los distintos componentes del vector de perturbaciones.

La intensión al hacer explícita esta conexión entre el modelo originalmente estimado y el obtenido, es clarificar que el modelo obtenido una vez realizada la ortogonalización, no es una forma reducida, sino una forma estructural; y que por tanto, el proceso de ortogonalización es de hecho una forma de identificación.

De esta manera se pueden calcular las contribuciones de las innovaciones sobre el error de predicción del período siguiente. Es de esperar que en el corto plazo la propia innovación explique la mayor proporción de este error.