Acta UniversitariaISSN: 0188-6266actauniversitaria@ugto.mxUniversidad de GuanajuatoMxico

Malacara Hernndez, DanielLa metrologa ptica y sus aplicaciones

Acta Universitaria, vol. 15, nm. 1, enero-abril, 2005, pp. 5-12Universidad de Guanajuato

Guanajuato, Mxico

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VOL. 15 No. 1 ENERO-ABRIL 2005 5

Guanajuato, Gto., Mxico

RESUMEN / ABSTRACT

En este trabajo se presenta una intro-duccin al campo de la metrologaptica y de su herramienta principalque es la interferometra. Tambin sepresenta un panorama de los diferen-tes mtodos empleados en metrologadescribiendo con especial detalle losavances ms recientes en este campo.

La Metrologa ptica y susAplicaciones*.

Daniel Malacara Hernndez**.

PALABRAS CLAVE: Metrologa ptica; Interferometra.

KEYWORDS: Optical metrology; Interferometry.

In this work an introduction tooptical metrology is presented with abrief description of its main toolwhich is interferometry. Also, asurvey of the main different methodsused in optical metrology is describedwith a special emphasis on the mostrecent developments.

* Artculo por invitacin.

** Centro de Investigaciones en p-tica, A. C. Loma del Bosque 115.Len, Gto. Correo electrnico:dmalacara@cio.mx

INTRODUCCIN

Por mltiples razones prcticas el hombre cada vez ms tienela necesidad de medir propiedades fsicas con ms precisin.En su solucin viene la ptica como una herramienta mara-villosa con la cual se pueden tomar medidas pequesimas noimaginables por otros medios. Una de las propiedades fsicas masnecesarias de medir es la topografa de superficies. Aqu menciona-remos algunos de los mtodos mas frecuentemente empleados yalgunas de sus principales aplicaciones.

En algunas aplicaciones es necesario medir la forma absoluta dela superficie, por ejemplo, si se desea saber si una superficie planade algn instrumento es realmente plana y cuanto se desva de eseideal. Otro caso es la medicin de la forma de las superficies de lalente o los espejos de los instrumentos pticos. Aqu la superficieno debe desviarse de la forma terica ideal ms de una pequeafraccin de la longitud de onda de la luz, que es lo que se usacomo unidad de longitud, en lugar de usar milmetros o pulgadas.La longitud de onda de la luz depende del color de la luz, peropara el rojo de los lseres de gas es de 632 nanmetros, o lo que eslo mismo, 6.32 diezmilsimos de milmetro. En el caso de laslentes o espejos de instrumentos de alta precisin tpicamente elerror permitido no es mayor de un cuarto de longitud de onda. Lasituacin se complica todava ms cuando esta superficie ptica esde grandes dimensiones, como en el caso de los instrumentosastronmicos. La lente principal u objetivo de un telescopio astro-nmico profesional tiene un dimetro de algunos metros. Susuperficie ni siquiera es esfrica, sino que tiene la forma de unhiperboloide de revolucin. Un ejemplo notable muy conocido esel telescopio espacial Hubble, que su espejo objetivo es unhiperboloide de revolucin que tiene un dimetro de cuatro me-tros. Cuando fue puesto en rbita por primera vez se desilusiona-ron los astrnomos porque las imgenes de las estrellas no eran tanclaras como se esperaban. Ms tarde se descubri que debido a unerror durante la construccin y las pruebas de este espejo haba

CURRICULUM VITAE

Daniel Malacara-Hernndez recibi suDoctorado en ptica en la Universityof Rochester. Es Fellow de la OpticalSociety of America y de la InternationalSociety for Optical Engineering.

Su campo dentro de la ptica es laingeniera ptica, en especial lainterferometra y las pruebas pticas.Su obra cientfica incluye la publica-cin de alrededor de ciento veinte art-culos de investigacin y de varios librosen ingeniera ptica.

Ha recibido varios reconocimientos asu labor, entre los cuales estn el A. E.Conrady Award for ScientificAchievement, de la International Societyfor Optical Engineering, U.S.A., en1994, el Premio Galileo Galilei, de laInternational Commission for Optics en1997 y el Premio Nacional de Tecnolo-ga y Diseo, otorgado por el GobiernoFederal de Mxico, en 1976.

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habido un error que produjo una desviacin dela superficie de apenas media de longitud deonda en la orilla del espejo. Esto fue suficientepara hacer inservible el telescopio. Hubo necesi-dad de poner en rbita personal altamente espe-cializado para colocar lentes adicionales en eltelescopio que corrigieran este error. Este ejem-plo da idea de la importancia de desarrollar cadavez mejores mtodos para medir estas superfi-cies pticas.

La interferometra ptica es la herramientaprincipal para realizar medidas tan precisas comose requiere, produciendo unas imgenes a las quellamamos interferogramas Estos interferogramasson el resultado de la interferencia de dos frentesde onda como veremos a continuacin.

COMO SE PRODUCEN LOSINTERFEROGRAMAS

Los interferogramas se producen superponien-do en un plano de observacin dos frentes deonda, uno de ellos con una forma esfrica oplana perfecta para actuar como referencia. Elotro frente de onda pasa por el sistema o elemen-to ptico que se desea probar. Cualquier defor-macin en la superficie ptica produce una de-formacin en el frente de onda. (Malacara, 1992).Ejemplos de interfermetros donde se formanestos frentes de onda y se hacen interferir es elinterfermetro de Twyman-Green, el de Fizeau,muy similar al anterior y los llamados de trayec-toria comn (Fig. 1a). En otro tipo diferente deinterfermetro no hay un frente de onda perfec-to de referencia, sino que se hacen interferir dosfrentes de onda distorsionados, es decir, con losdefectos a medir (Fig. 1b). Sin embargo, en estosinterfermetros estos dos frentes de onda estndesplazados lateralmente uno respecto al otro.Estos son los llamados interfermetros de des-plazamiento lateral.

Interfermetro de Twyman-Green

En este interfermetro se superponen en elplano de observacin un frente de onda perfecta-mente plano o perfectamente esfrico que puede

tener una pequea inclinacin dada por los coefi-cientes a y b, con otro frente de onda que sepretende medir, representado aqu por W(x, y).La luz se divide en dos trayectorias diferentes enuna placa de vidrio cubierta con una capasemireflectora. Despus los dos haces se recom-binan en la misma placa despus de reflejarse endos espejos M

1 y M

2, para hacerlos interferir,

como se muestra en la Figura 2. La diferencia enlas fases de estos dos frentes de onda es directa-mente proporcional a la diferencia de los cami-nos pticos recorridos por los dos haces lumino-sos. El camino ptico se ha definido como ladistancia por el ndice de refraccin de los me-

Figura 1. Frentes de onda interfiriendo. a) En un interfermetrode Twyman-Green, b) En un interfermetro de des-plazamiento lateral.

Figura 2. Esquema ptico de un interfermetro Twyman-Green.

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dios atravesados. Esta diferencia de camino pti-co se representa por OPD y est dada por:

)y + x( c +y b + x a + y) (x, W = y) (x, OPD 22

El coeficiente c es la pequea curvatura esf-rica que puede tener el frente de onda de refe-rencia. Como un ejemplo de uso de esteinterfermetro, si se inserta una placa de vidriotransparente en la trayectoria de uno de loshaces, por ejemplo, cerca del espejo M

2, la parte

del frente de onda que pasa a travs de la placase distorsiona produciendo franjas de interferen-cia de forma muy diversa, como se muestra enla Figura 3. Las aberraciones de las lentesdistorsionan el frente de onda de una maneracaracterstica, Para el caso de las aberracionesprimarias llamadas de Seidel (Kingslake, 1925-1926) los interferogramas que se obtienen semuestran en la Figura 4.

Intefermetros de Desplazamiento Lateral

En los interfermetros de desplazamiento la-teral los dos frentes de onda que producen elinerferograma tienen las mismas deformacionesW(x, y) pero esta uno de ellos desplazado late-ralmente respecto al otro una distancia S comose ilustra en la Fig. 5. La diferencia de caminoptico en este caso est dada por:

y) S,- (x W + y) (x, W = y) (x, OPD

Figura 3. Prueba de una placa de vidrio en uninterfermetro Twyman-Green.

Figura 4. Interferogramas de las aberraciones primarias en uninterfermetro de Twyman-Green.

Si el desplazamiento lateral S es pequeo conrespecto al dimetro del frente de onda pode-mos hacer una aproximacin en serie de Taylorpara la diferencia de camino ptico OPD, dadapor:

x y) (x, W S = y) (x, OPD

donde el desplazamiento lateral S es en la direc-cin x.

Las franjas representan el lugar geomtricode los puntos del frente de onda que tienen lamisma pendiente en la direccin x. En un hazluminoso convergente como este, esta pendien-te en la direccin de x est relacionada con laaberracin transversal TA

x en la misma direc-

cin por la expresin:

rTA- =

x y) (x, W

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donde r es el radio de curvatura del frente deonda convergente. A fin de medir los dos com-ponentes de la aberracin transversal tanto en ladireccin de x como en la direccin de y esnecesario medir dos interferogramas de despla-zamiento lateral, en direcciones ortogonales, unaen la direccin x y otra en la direccin y.

Existen muchas configuraciones experimen-tales para el interfermetro de desplazamientolateral, pero la ms popular debido a su simpli-cidad es la que se muestra en la Figura 6, debidaa Murty (1964). La Figura 7 muestra algunosinterferogramas tpicos obtenidos con las abe-rraciones primarias de una lente.

MEDICIN E INTERPRETACINDE LOS INTERFEROGRAMAS

Hemos visto como se obtienen los interfero-gramas pero una vez obtenidos hay que medir-los e interpretarlos para determinar la formaexacta del frente de onda que los form con lamayor precisin posible (Malacara et al., 1998).La forma ms sencilla es mediante un examenvisual, de manera cualitativa nicamente. Sepuede introducir una inclinacin al frente deonda referencia con respecto al frente de onda amedir, moviendo uno de los ajustes de los espe-jos que lo muevan angularmente, introduciendoas un gran nmero de franjas en el campo. Si elfrente de onda a medir es perfecto, es decirplano como el de referencia, las franjas introdu-Figura 5. Frentes de onda en un interfermetro dedesplazamiento lateral.

Figura 6. Esquema ptico de un interfermetro de desplazamiento lateral.

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cidas sern rectas, equidistantes y paralelas. Noser as, si el frente de onda a medir no esperfecto. La forma de las franjas representaaproximadamente la forma del frente de ondaen el interfermetro de Twyman-Green. En elde desplazamiento lateral representa la variacinen su pendiente, es decir, su derivada en ladireccin del desplazamiento lateral.

En el caso de interfermetro de Twyman-Green, si la desviacin de la franja respecto a lalnea recta es una fraccin k de la separacin dentre las franjas, la deformacin del frente deonda ser igual a /k. Para apreciar mejor estasdesviaciones de las franjas se acostumbra a colo-car una regla frente al interferograma. La figura6 representa las franjas para una deformacinigual a /2.

Una mejora del mtodo visual es la medi-cin de la forma de las franjas de una mane-ra un poco ms precisa, midiendo con elcursor de una tableta grfica digitalizadoraconectada a una computadora. La deforma-cin sobre los puntos medidos en los centrosde las franjas tendr un valor n donde n esel orden de interferencia, que es un nmero

entero. Se le puede asignar cualquier nme-ro, porque solamente interesan las deforma-ciones relativas del frente de onda. El ordende interferencia difiere en uno entre dosfranjas consecutivas. Desde luego, no sabe-mos en que direccin aumenta o disminuye,produciendo una incertidumbre en el signode las deformaciones medidas del frente deonda, el cual se puede determinar con infor-macin experimental obtenida en el momen-to de formar el interferograma. Por ejemplo,se puede introducir la inclinacin del frentede onda de referencia teniendo cuidado deanotar el signo, es decir la direccin en lacual se introdujo. Para hacer una estimacinde las deformaciones del frente de onda enuna gran densidad de puntos se hace unainterpolacin de los resultados obtenidos (Kim1982). Es lgico pensar, sin embargo que eneste procedimiento se supone que el frente deonda no tiene variaciones muy pronunciadasen una regin pequea de la abertura, lo cualmuy frecuentemente no es cierto.

El mtodo anteriormente descrito funcionabastante bien, pero nicamente si las franjasson relativamente sencillas y abiertas, como semuestra en la Figura 8. Si forman figuras ce-rradas como elipses o crculos, como se mues-tra en la Figura 9, la interpretacin y el asignara cada franja un orden de interfererencia n esbastante ms complicado. En las siguientes sec-ciones describiremos dos maneras que se handesarrollado en los ltimos aos para realizaruna interpretacin ms precisa y confiable delos interferogramas.

DEMODULACIN DEINTERFEROGRAMAS CON UNA

PORTADORA LINEAL

La interpolacin de los resultados se puedeevitar si las mediciones se hacen no solamentesobre las cimas de las franjas con una tabletagrfica, sino que se miden los valores de la

Figura 7. Interferogramas de las aberraciones primarias en uninterfermetro de desplazamiento lateral.

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irradiancia luminosa sobre una gran densidad depuntos (pixeles) al igual que lo hace ahora unacmara digital. Esto es perfectamente posibledesde el advenimiento de las cmaras digitales,pero la limitacin es que el orden de interferen-cia resulta muy complicado si las franjas no sonaproximadamente rectas (Kujawinska 1993).

Figura 8. Interferograma con franjas de interferencia abiertasmostrando su nmero de orden de interferenciarelativo.

Figura 9. Interferograma con franjas de interferencia cerradasmostrando su nmero de orden de interferenciarelativo.

La solucin al problema mencionado es in-troducir una inclinacin relativamente fuerte alfrente de onda de referencia, introduciendo asun gran nmero de franjas que aunque no sonnecesariamente rectas, por lo menos son abier-tas. Tcnicamente, en gran analoga con las co-municaciones elctricas, decimos que as se in-troduce una portadora lineal a la seal, que sonlas deformaciones del frente de onda. Tambinen analoga con las comunicaciones elctricas,decimos que el patrn de franjas de interferen-cia est modulado en fase debido a las deforma-ciones W(x, y). Si la inclinacin introducida elfrente de onda de referencia es sobre el eje y, lairradiancia (seal) I(x, y) se puede escribir como:

y)] W(x, k - x f [2 b + a = y) I(x, cosdonde los coeficientes a y b son constantes,aunque en ocasiones pueden variar un poco paradiferentes puntos del interferograma si la ilumi-nacin no es uniforme sobre la abertura. Lafrecuencia espacial (franjas por milmetro) de laportadora introducida por la inclinacin en elfrente de onda de referencia es f = sin /. Semuestra un ejemplo de este tipo de interfero-grama en la Figura 8. La funcin moduladoraW(x, y) se puede obtener usando tcnicas comu-nes en la teora de la comunicacin elctrica.Para lograr esta demodulacin es necesario quela inclinacin entre los dos frentes de onda seescoge de tal manera que la diferencia de laspendientes de los dos frentes de onda no cam-bie de signo en ningn punto dentro de laabertura. As se evita que se formen franjascerradas. Esto se logra con la condicin:

x

y) W(x, > max

sin

Para demodular multiplicamos los valores dela irradiancia I(x,y) en cada punto por dos fun-ciones ortogonales de referencia, ambas con fre-cuencia espacial f

r. Esta frecuencia f

r es cercana a

la frecuencia espacial f (portadora espacial) delinterferograma. Estas dos funciones ortogonalesde referencia son cos (2 f

r x) y sin (2 f

r x) as,

obtenemos dos funciones S y C dadas por:

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x) f (2 y) (x, I = S rsin[ ]y) (x, W K - x )f + (f 2 b 0.5 + x )f (2 a = rr sinsin

[ ] y) (x, W K - x )f - (f 2 b 0.5 + rsiny

x) f (2 y) (x, I = C rcos[ ]y) (x, W K - x )f + (f 2 b 0.5 + x )f (2 a = rr coscos

[ ] y) (x, W K - x )f - (f 2 b 0.5 + rcosEl primer trmino de estas expresiones tiene

una frecuencia espacial a lo largo de x igual a lafrecuencia de referencia. El segundo trminotiene una frecuencia f + f

r que es muy cercana a

2 fr. El tercer trmino tiene la frecuencia espa-

cial ms baja, igual a (fr - f). Este ltimo trmi-

no es el que contiene la informacin sobre lafase, es decir, sobre las deformaciones a medirdel frente de onda

El siguiente paso sera aplicar un filtro pasabajos a estas dos funciones a fin de eliminar lasfrecuencias ms altas que estn contenidas en losprimeros dos trminos. Este filtraje se puedeaplicar digitalmente por medio del proceso dela convolucin con el filtro matemtico apro-piado. Entonces, estas dos funciones s y c des-pus del filtrado se transforman en S y Ccomo sigue:

[ ] y) ,(x W k - x ) f - (f 2 b 0.5 = S rsiny

[ ] y) ,(x W k - x )f -(f 2 b 0.5 = C rcosAs es fcil ver que las fases y por lo tanto la

deformacin buscada del frente de onda a medirest dada por

[ ]CS - = y) ,(x W k - x )f - (f 2 rtan

INTERFEROMETRA DEDESPLAZAMIENTO DE FASE

En este proceso igual que en el anteriormen-te descrito, la imagen del interferograma se ob-tiene muestreando su irradiancia en un arreglobidimensional de pixeles mediante una cmaradigital, o bien con una cmara de televisindigital con un detector de CCD. Entonces, lairradiancia I(x, y) en cada pixel se mide paravarios valores de la diferencia de fase (x, y)entre los dos frentes de onda (Greivenkamp yBruning 1992). El valor de I(x, y) se debe medirpara al menos tres diferentes valores n de lafase, separados por intervalos conocidos. Esto esposible solamente si se toman tres diferentesinterferogramas con diferentes fases, obteniendoas tres diferentes valores de la fase para cadapixel. Para un punto (pixel) dado con coorde-nadas x, y y una fase (x, y) la irradiancia I(x, y)est dada por

y) (x, y) (x,I y) (x,I 2 + y) (x,I + y) (x,I = ) y, (x, I 2121 cos

En este proceso no importa si las franjasestn cerradas o abiertas, pero la densidad defranjas, es decir, la frecuencia espacial no debeser tan alta que los pixeles del detector nopuedan detectarlas. Si la separacin mnimaentre las franjas es menor que tres veces laseparacin entre los pixeles de la cmara deci-mos que viola el lmite de Nyquist y el proce-so se hace imposible.

Como se dijo antes, el mnimo nmero defases, es decir, de interferogramas es de tres.Tomemos como ejemplo tres valores con fa-ses relativas

1 = 600,

2 = 1800 y

3 = 3000

(Figura 10). As, podramos obtener con unpoco de manipulacin algebraica el siguien-te resultado para la fase

I + I 2 - II - I 3 - =

321

31tan

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Este es el proceso ms preciso usado ahorapara medir los interferogramas. Cuando se re-quiere el mximo de precisin e inmunidad afactores externos indeseables como vibracin,turbulencia atmosfrica y otros es necesario to-mar ms interferogramas.

CONCLUSIN

Se han descrito aqu los mtodos modernosusados en la metrologa ptica, incluyendo elanlisis de los interferogramas. Este anlisis sepuede hacer con procedimientos muy variadoscon diferentes ventajas y desventajas. El mtodoperfecto no existe, por lo que los investigadoresen este campo siguen buscando nuevos mtodosque permitan aumentar no solamente la preci-sin sino tambin la confiabilidad para evitar enel futuro desastre como el del Hubble. Por otrolado, mejores mtodos permitiran la fabrica-cin de superficies pticas ms complicadas ydifcil de medir pero que su uso permitira fa-bricar sistemas pticos ms eficientes y msbaratos que los actuales.

Figura 10. Tres interferogramas del mismo frente de onda condiferentes fases obtenidos en un interfermetro dedesplazamiento de fase.

REFERENCIAS

Greivenkamp J. E. and J. H. Bruning. (1992). A PhaseShifting Interferometers,@ in Optical Shop Testing,D. Malacara, New York, Ed., John Wiley and Sons,1992.

Kim, C.-J., (1982). A Polynomial Fit of Interferograms,@

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Kingslake, R., (1925-1926). A The Interferometer PatternsDue to the Primary Aberrations,@ Trans. Opt. Soc.,27, 94.

Kujawinska M., (1993). A Spatial Phase MeasurementMethods,@ in Interferogram Analysis, D. W. Robinsonand G. T. Reid, Eds., Institute of Physics Publ.,Bristol and Philadelphia, p. 294.

Malacara D., Ed., (1992). Optical Shop Testing, 2nd.Edition, John Wiley and Sons, New York.

Malacara-Hernndez, D., M. Servn and Z. Malacara-Hernndez, (1998). Interferogram Analysis for OpticalTesting, New York, Ed., Marcel Dekker.

Murty M. V. R. K., (1964). A The Use of a Single PlaneParallel Plate as a Lateral Shearing Interferometer witha Visible Gas Laser Source,@ Appl. Opt., 3, 531-351.