La nocin de razn y proporcin en Grecia Germn Martnez Ortega
Introduccin a la historia y filosofa de la matemtica Maestra en
Enseanza de las Ciencias Exactas y Naturales Universidad Nacional
de Colombia Cuando se propuso el trabajo final del curso
introduccin a la historia y filosofa de las matemticas, de
inmediato se me vino a la mente el tema de proporcionalidad, ya que
lo relacione con dos grandes personajes cuyos aportes en las
matemticas son un baluarte para el desarrollo de la humanidad,
Tales de Mileto y Euclides, lo que no advert en ese momento, fue
por un lado, lo extenso del tema, y por otro, las falencias que
presentan, no solo los estudiantes de bsica en su apropiacin, sino
tambin los profesores en la forma de ensearlo, debido al
desconocimiento, entre otras cosas, de la evolucin histrica del
tema. Godino- Batanero (2002) advierten una de estas dificultades
al tratar la nocin de razn Es importante, sin embargo, estudiar con
ms detalle el uso que se hace del trmino razn, ya que no siempre es
sinnimo de fraccin, lo cual puede acarrear dificultades de
comprensin para los estudiantes. Uno de los errores que ellos
mencionan al respecto es, Las razones no son siempre nmeros
racionales. Por ejemplo, la razn de la longitud de una
circunferencia a su dimetro C/D es el nmero , Esta es una
diferencia esencial entre razn y fraccin, ya que las fracciones son
siempre interpretables como cociente de enteros. En el trabajo hare
una breve resea histrica de los conceptos de razn y proporcin en
los griegos, y luego esbozare una idea desde donde se puede abordar
el tema en la escuela Iniciemos pues nuestro recorrido por la
historia de concepto de proporcin, En Maza Gmez (2000) menciona que
Digenes Laercio (S III y II a.C), comenta indirectamente que Tales
(S VI a.C) fuera conocido por su medicin de las pirmides de Egipto,
observando el momento en que su sombra era igual a su
altura la relacin que yo establezco con mi sombra es la misma
que la pirmide con la suya en el mismo instante en que mi sombra
sea igual que mi estatura, la sombra de la pirmide ser igual que su
altura . De igual manera, se atribuye a Tales otras medidas, como
la distancia de un observador en la costa a un barco en el mar,
razn por lo cual Tales deba conocer las relaciones entre tringulos
semejantes. Como podemos ver el origen del concepto de proporcin es
geomtrico y es atribuido en esencia al trabajo de Tales, sin
embargo, se debe reconocer que civilizaciones ms antiguas a la
griega, Babilonia, China y Egipto, tenan nocin de una de las
proporciones ms notables, la relacin entre el permetro y el dimetro
de una circunferencia. Para esta poca (S V aC) aun no hay
consolidada un teora de proporcionalidad, por lo tanto el concepto
de razn es expresada en trminos geomtricos, en Valvide-Garbin(2008)
afirman que Hipocrates y Democrito convienen en que las razones no
pueden expresarse como nmeros, debido a la inconmensurabilidad de
algunos segmentos, utilizando la razn bajo esta concepcin
geomtrica, Hipcrates deduce que: "las reas de los dos polgonos
inscritos estn a la "misma razn" que la de los cuadrados de los dos
radios de los dos crculos. Sucede igual para las reas de los
crculos. Asimismo, que la diferencia entre el rea del crculo y el
polgono inscrito se puede hacer tan pequea como se quiera. Por otro
lado, Demcrito logra fragmentar o descomponer el slido (pirmides,
cilindros) en partes, al calcular el volumen de un cuerpo
geomtrico. Con ello infiere por ejemplo, que el volumen de un cono
es la tercera parte de un cilindro. Las dos visiones descritas, la
de Hipcrates y Demcrito, requieren de los procesos infinitos y
probablemente de la idea intuitiva de proporcin. Otro de los
aportes importantes al concepto de proporcin se hace mas tarde en
la escuela Pitagorica. En Mankiewicz (2005) se comenta que el libro
V de Euclides presenta la teora general de la proporcin segn
Eudoxio Cnido (S IV y III a.C), a
l se acreditan dos descubrimientos la teora de las proporciones
y el mtodo de exhaucion. Comenta Mankiewicz, que la crisis de los
inconmensurables se pudo salvar gracias a la habilidad para manejar
sus productos y razones mediante proporciones Eudoxianas. Al
respecto comenta Bell la teora Eudoxiana de la proporcin dio
validez indirectamente a la regla emprica de los egipcios para el
volumen de un tronco de pirmide y completo el trabajo de los
pitagricos sobre nmeros similares. Certifico tambin el mtodo de
agotamiento y despus de Dedekind (1872) el uso del clculo integral
en la determinacin de longitudes reas y volmenes En resumen
proporciono una base para el sistema de los nmeros reales de
anlisis matemtico. Son varias las consecuencias del trabajo de
Eudoxio, entre otras cosas Ruiz (1990) menciona que aunque Eudoxio
segua una tradicin Pitagrica, a partir de la teora de las
proporciones, la matemtica griega daba un giro hacia la geometra y
no hacia la aritmtica y los nmeros, que para los pitagricos era el
componente fundamental de la realidad. Otra consecuencia que se
comenta all mismo radica en que Eudoxio al introducir las
magnitudes como un mecanismo para utilizar inconmensurables en la
geometra, esto, supone el uso de la deduccin a partir de un sistema
axiomtico, lo que debi influir en la obra clsica que afirmo la
axiomtica y el mtodo deductivo en matemticas: Los Elementos de
Euclides. En el libro V se encuentra como definicin Razn es la
relacin cualitativa en lo que se refiere a la dimensin entre dos
cantidades homogneas. La proporcin es la igualdad entre razones.
Esta definicin se mantuvo hasta el siglo XIX, fue Dedekind quien
formular la actual teora de las proporciones. Como lo mencione en
la introduccin del trabajo el tema es bastante amplio, quizs se me
escapen varios personajes que incidieron en la evolucin de tan
importante concepto, pero lo que quiero recalcar aqu es la
importancia que tiene para los profesores de matemticas conocer la
evolucin histrica de un concepto,
ya que con base en esa evolucin es como se debe planear las
secuencias didcticas para el aprendizaje del mismo. Para finalizar,
me gustara sugerir una forma de abordar el concepto de proporcin a
partir de su relacin con el arte, muchos artistas y matemticos a lo
largo de la historia, han puesto de manifiesto que la bsqueda de lo
bello est ntimamente ligado al concepto de proporcin. En pintura,
arquitectura y escultura es comn el uso de la proporcin, y porque
no, de la desproporcin. Sea pues esta una excusa no solo para
trabajar con escalas, semejanza, proporcin aurea, sino tambin, para
hacer un recorrido por la historia del arte y de la matemtica.
Bibliografia. Batanero, Carmen y Godino, Juan D. (2002.)
Proporcionalidad y su didctica para maestros. Bell, Eric (1997)
Historia de las matemticas. Garbin, Sabrina y Valdiv, Carmen
(2008). Relime v.11 n.3 Mxico Estudio de los esquemas conceptuales
epistemolgicos asociados a la evolucin histrica de la nocin de
infinitesimal. Mankiewicz, Richard (2005). Historia de las
matemticas Del clculo al caos. Maza, Carlos (2000). Las matemticas
de la antigedad y su contexto histrico. Ruiz, ngel (1990). Historia
y filosofa de las matemticas.
