LA NOZIONE DI DERIVATA

LA NOZIONE DI DERIVATA

Definizione 1

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I e

EMBED Equation.DSMT4 I.

Il rapporto:

con x I-{}si chiama rapporto incrementale di f relativo al punto .

Si dice che la funzione f derivabile in se il rapporto incrementale di f relativo ad convergente in e, in tale ipotesi, il limite si chiama la derivata di f in e si denota con uno dei seguenti simboli:

; D; ().In conclusione

purch il limite del secondo membro esista e sia finito.

Definizione 2Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I e

EMBED Equation.DSMT4 .

I limiti: ; se esistono finiti si chiamano rispettivamente la derivata sinistra e la derivata destra di f in e si denotano con uno dei simboli: () ;

; () ;

EMBED Equation.DSMT4 .In conclusione :

()

EMBED Equation.DSMT4 ;()

EMBED Equation.DSMT4 .

Osservazione

E evidente che vale la seguente equivalenza

( f derivabile in)(()=()=)Conseguentemente:

(()

EMBED Equation.DSMT4 ())(f non derivabile in )

Definizione 3Si dice che la funzione f derivabile nellintervallo I se f derivabile in ogni punto di I. In tal caso la funzione xIf(x) si chiama la derivata della funzione f nellintervallo I e si denota con uno dei simboli f, Df, oppure anche f(x), Df(x), (x).

La nozione di derivata si generalizza mediante la seguente definizione:

Definizione 3 (generalizzata)Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I e

EMBED Equation.DSMT4 I. Se accade che

=

si dice che la funzione f ha in derivata infinita.

Osservazione 1Una volta data questa definizione se f derivabile in e

EMBED Equation.DSMT4 R si dice anche che f ha derivata finita.Osservazione 2

Se nel rapporto incrementale di una funzione f :

poniamo h=x-, risulta: = e quindi =.

Analogamente, posto

EMBED Equation.DSMT4 , si ha = .Tali notazioni sono utili quando si voglia calcolare la derivata di f in un punto di I che non si voglia precisare. Infatti =. .La differenza si chiama incremento della funzione f.Ci il motivo per cui la funzione si chiama rapporto incrementale.

Proposizione

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I e

EMBED Equation.DSMT4 I. V.s.i.(f derivabile in )(f continua in )

Dim

Conseguentemente (aggiungo e sottraggo f(x0))

.ESEMPI1) se c una costante reale risulta Dc=0 infatti se f(x)=c , si ha:

e quindi

2) risulta Dx=1 .

posto f(x)0x si ha:===1

e quindi

Dx===1.3) Risulta e cio la funzione f(x)= ha in 0 derivata infinita

infatti: .4) La funzione non derivabile nel punto 0.

infatti

conseguentemente e ci implica che

OPERAZIONI CON LE DERIVATE Teorema(sulle operazioni con le derivate)

Siano e due funzioni definite nellintervallo I e

EMBED Equation.DSMT4 I.

valgono le seguenti implicazioni

1) (f e g derivabili in )

SOMMA2) (f e g derivabili in )

EMBED Equation.DSMT4 PRODOTTO

3)

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 RAPPORTOLa prima di queste tre implicazioni di facile verifica e non ce ne occuperemo.Dim. 2)Sottraendo e aggiungendo f() g(x) risulta

===

Ponendo il limite persi ha la tesi, tenendo conto che g(x) continua in perch ivi derivabile ed inoltre il teorema sulle operazioni con i limiti.

Dim. 3)

Osserviamo innanzitutto che essendo , per il teorema della permanenza del segno, esiste un intorno di in cui risulta ancora . In tale intorno si ha, sottraendo e aggiungendo ;

=

Passando al limite pertenuto conto che le funzioni f e g sono continue inperch derivabili e il teorema sulle operazioni con i limiti(limite della somma e limite del prodotto), si ha la tesi.

3)DERIVATE DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI Ci proponiamo di calcolare le derivate di alcune funzioni elementari sfruttando i limiti fondamentali ed il teorema sulle operazioni con le derivate. A tale scopo bene osservare che, per le regole di derivazione del prodotto, tenuto conto che la derivata di una costante nulla, si ha:

Infatti :

Conseguentemente lecito portare le costanti fuori dal campo di derivata.

1-

Dimostrazione

Osservazione

si noti che, in particolare . Infatti:

2-

Dimostrazione

Osservazione si noti che, in particolare, .3-

Dimostrazione

4- Dcosx=-sinx

Dimostrazione analoga al numero35-

Dimostrazione

Osservazione

Si noti che risulta anche

6-

Dimostrazione analoga al numero 5

TEOREMA DI DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTEConsideriamo la funzione g(f(x)) con composta mediante le funzioni f(x) (componente interna) e g(y) (componente esterna);Vale la seguente implicazione

Dim.

Supporremo, per semplificare la dimostrazione, che esista un intorno di nel quale risulti .Inoltre utilizzeremo il teorema sul limite delle funzioni composte effettuando la sostituzione y=f(x);Ci premesso si ha:

e ponendo l limite per :

EMBED Equation.DSMT4 ===

Osservazionesi noti che la regola di derivazione

significa che la derivata della funzione composta g(f(x)) calcolata nel punto x uguale al prodotto della derivata della componente esterna g(y) calcolata nel punto y=f(x) per la derivata della componente interna f(x) calcolata nel punto x.

Ne consegue che, se la funzione composta g(f(x)) derivabile in un intervallo, allora la derivata della funzione composta uguale al prodotto della derivata di g rispetto ad f(x) (pensata come una variabile indipendente) per la derivata di rispetto ad x.Corollario(derivata della potenza) ( ) derivabile e si ha

Dimostrazione

Essendo, per la regola di derivazione delle funzioni composte risulta:

Osservazionesi noti che, in particolare, per si ha:

5)DERIVATE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE INVERSEVogliamo ora calcolare la derivata della funzione arcsin. Ricordiamo che si tratta dellinverso della funzione seno rispetto allintervallo per cui risulta con e .

Vogliamo provare che:

1)

Sia e tale che si ha:

Osservazioni

Si noti che il procedimento lecito perch:

1- La funzione seno continua e strettamente crescente in

2- La funzione seno(di cui arcoseno linversa) derivabile con derivata maggiore di zero in

EMBED Equation.DSMT4 .

Si noti anche che dal calcolo effettuato risulta (*)

Essendo possiamo affermare che la derivata della funzione arcoseno(inversa della funzione seno) in un punto uguale alla reciproca della derivata della funzione seno calcolata nel punto, corrispondente di mediante il seno, e cio nel punto tale che . Il risultato espresso dalla formula (*) vale in generale. Sussiste infatti il seguente Teorema di derivazione delle funzioni inverse

Sia f(x) una funzione continua e strettamente monotona in un intervallo I. V.s.i.

In maniera analoga, oppure anche utilizzando il teorema di derivazione delle funzioni inverse si dimostra la D arcos y e la D arctg y (vedi fotocopie pag12)SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA DERIVATA(grafico pag 13)

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I. Considerato il diagramma di tale funzione, fissiamo su di esso il punto e indichiamo con s la retta secante passante per ed un qualsiasi punto

del diagramma. Indicata con y=mx+n lequazione di una generica retta(non verticale), imponendo le condizioni di passaggio di tale retta per i punti P e , si ha:

da cui sottraendo membro a membro ed utilizzando poi la seconda di queste uguaglianze

;

Sostituendo in y=mx+n si ha infine

e cio la secante s la retta per avente per coefficiente angolare che il rapporto incrementale di f relativo ad

Ci posto si ha la seguente

Definizione

Si dice che il diagramma di f ha in retta tangente quando il coefficiente angolare della secante s convergente in e cio quando la funzione f derivabile in.In tale ipotesi la retta e cio la retta passante per ed avente per coefficiente angolare la derivata di f in si chiama retta tangente al diagramma di f nel punto .Osservazione 1 Da questa definizione si deduce il significato geometrico della derivata. La derivata di una funzione f nel punto rappresenta il coefficiente angolare della tangente al diagramma nel punto .

Osservazione 2(grafico pag. 14)

Se dichiariamo con la misura in radianti formato dalla secante s con lasse x risulta e cio che il coefficiente angolare della secante s uguale alla tangente trigonometrica dellangolo.

E evidente allora che.

Queste condizioni giustificano la seguenteDefinizione

Si dice che il diagramma di f ha nel puntotangente verticale quando f ha in derivata infinita. In tale ipotesi la retta verticale di espressione x= si chiama la tangente del diagramma di f nel punto .(da pagina 15 a pagina 18 si possono trovare esempi, esercizi ed un elenco di derivate notevoli)

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