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La recta Numerica y los números reales
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La recta numéricaLa recta numérica es una línea recta en la que asociamos cada número
con un punto de la recta.
La recta la dibujamos horizontal, se elige un punto arbitrario, llamado origen, que representa al 0 y un punto a la derecha que representa al 1 .
Los demás enteros positivos se colocan en orden tomando como unidad la distancia entre 0 y 1.
Nota: En general la recta puede ser vertical o inclinada, sobretodo para las aplicaciones. Pero al principio es recomendable empezar con la recta horizontal.
La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente. Frecuentemente es usada como ayuda para enseñar la adición y la sustracción simples, implicando especialmente números negativos.
La recta numérica. Aunque la imagen de arriba muestra solamente los números enteros entre -9 y 9, la recta incluye todos los números reales, continuando "ilimitadamente" en cada sentido.
RECTA NUMÉRICA REAL
La recta numérica real o recta de coordenadas es una representación geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real.
La recta numérica esta dividida por segmentos de un mismo tamaño, un segmento es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.
La recta se dice que es infinita porque esta comprendida por puntos que no tienen un limite, estos puntos pueden ser tanto positivos como negativos.
Los usos que tiene la recta son:
En un plano cartesiano
Para la suma y resta
Para la medir la temperatura
Longitud
Presión
Línea cronológica
Siempre entre dos números reales hay otro número real; de ahí que se asocie al conjunto de los números reales con una recta. La recta está formada por infinitos puntos y cada punto representaría un número real, de ahí que a dicha recta suela llamársele recta real o eje real.
La recta numérica real (R)
- -3 -2 -1 0 1 2 3
3 2
Recta numérica
Ejemplo de una recta real
Acapulco.
Sinaloa.
NÚMEROS REALES
Los números naturales son los que nos sirven para contar: 0, 1, 2, 3, 4, ......., 100, 101, 102, ......
Al conjunto de los números naturales lo designaremos:
Es un conjunto perfectamente ordenado, es decir, elegidos dos números naturales cualesquiera, siempre uno es menor o igual que el otro.
Pueden representarse sobre una recta de la siguiente manera:
0 1 2 3 4 5 6 ...
A veces para contar se requieren también números negativos: el saldo de una cuenta podría ser -234 euros, los pulsadores de un ascensor pueden contener botones que marquen -1 ó -2 indicando 1º o 2º sótano, ...
Los números enteros negativos junto con los números naturales forman el conjunto de los números enteros, que designaremos por:
Se pueden representar también sobre una recta del siguiente modo:
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6
Esta forma de ser representados supone el siguiente criterio de ordenación:
● Los naturales (enteros positivos) ya estaban ordenados● Todo entero positivo es mayor que uno negativo● Si un nº natural a es menor que otro b, entonces -a es mayor que -b
Para medir cantidades no enteras utilizamos las fracciones y números decimales, por ejemplo cuando decimos que nos corresponden 2/3 de una cantidad, o cuando algo nos cuesta 2'35 euros. Las fracciones pueden convertirse a forma decimal (exacta, periódica pura o periódica mixta) y viceversa.
Éstas forman los números racionales, conjunto que representaremos por:
Si en una fracción el numerador es múltiplo del denominador, dicha fracción es un número entero, por tanto:
También los número racionales pueden todos ser representados sobre una recta:
Aún cuando representásemos todos los números racionales sobre la recta, quedarían puntos de la recta sin cubrir, dicho de manera coloquial “quedarían agujeros”.
-5'9 -10/3 -3/2 ½ 2'2 6'7
Hay números decimales que no son exactos, ni periódicos puros ni periódicos mixtos. Por ejemplo, si con la calculadora calculamos:
2 1,414213562 ......Observamos que sus cifras decimales son infinitas y no siguen ninguna periodicidad, no es por tanto un número racional.
Los números con esa expresión decimal son los números irracionales, conjunto que representaremos por:
I●Todas las raíces no exactas son irracionales.●El número p = 3,141592654... es irracional.●Existen otros muchos números irracionales entre los que destaca el número de Oro o número Aúreo: 1 5
2
Ahora si representásemos los irracionales sobre la misma recta que habíamos representado los racionales, ya quedarían cubiertos todos los puntos de la misma. Al conjunto formado por los racionales junto con los irracionales lo llamaremos conjunto de los números Reales y lo denotaremos:
IA cada punto de la recta le corresponde un número real y viceversa, cada número real tiene su punto. Por esto diremos que los nºs reales son un conjunto completo.
EL ESQUEMA DE LOS CONJUNTOS DE NÚMEROS QUE CONOCEMOS QUEDA DE LA SIGUIENTE MANERA:
50
12 1
125 .....
-3
-14
-6-18
-1 .....
23
1'6
15
12'36 3'25167
I2
1'42356713946...
3 5
;I I
1.3 Propiedades de los Números Reales
Son postulados que no requieren demostración
Forman un conjunto de reglas fundamentales para fácil manejo algebraico
Si p, q, r son tres números reales cualesquiera y pertenecen al conjunto de los números reales veamos las propiedades:
Clausura
De la suma
p + q
La suma de dos números reales es otro
número real
De la multiplicación
p q
El producto de dos números reales es otro número real
Elemento Identidad o Neutro
De la suma
p + 0 = p
0 + p = p
El número 0 es el único elemento que conserva la identidad en la operación
de suma
De la multiplicación
p 1 = p1 p = p
El número 1 es el único elemento que conserva
la identidad en la operación de multiplicación
Elemento Inverso
De la suma
p + –p = 0
Para todo número p existe un número –p
llamado inverso aditivo (opuesto) que genera su
elemento identidad
De la multiplicación
p = 1Para todo número p (excepto
0) existe un número llamado inverso
multiplicativo (recíproco) que genera su elemento
identidad
p1
p1
Asociativa
De la suma
(p + q) + r = p + (q + r)
De la multiplicación
(p q) r = p (q r)
En ambos casos la forma en que se agrupan no alteran el resultado final ni en
la suma ni en la multiplicación.
Esto no aplica en la resta ni en la división.
Conmutativa
De la suma
p + q = q + p
De la multiplicación
p q = q p
En la suma y en la multiplicación el orden no altera el resultado.
Esto no aplica en la resta ni en la división.
Distributiva
De la suma
p(q + r) = pq + pr(q + r)p = qp + rp
Aquí la multiplicación distribuye a la suma y puede extenderse a varios
números dentro del paréntesis
