UNIVERSIDAD DE MATANZAS.

FACULTAD DE INFORMÁTICA.

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA GENERAL.

Titulo: La resolución de problemas en la Matemática I y II de la

carrera de Agronomía.

Tesis en opción al grado científico de

Doctor en Ciencias Pedagógicas.

AUTOR: LIC. ISRAEL MAZARÍO TRIANA.

TUTORA: DRA. TERESA SANZ CABRERA.

Matanzas, 2002

SÍNTESIS.

Uno de los aspectos más importantes de la enseñanza de la Matemática pero donde es

mayor el índice de fracaso de los estudiantes es el de la resolución de problemas. Por ello

es que, desde hace tiempo, se ha configurado como una de las principales líneas de

investigación didáctica tal como muestra una abundante bibliografía.

Dentro de este contexto pedagógico se enmarca la realización de esta investigación que

aborda el proceso de enseñanza-aprendizaje de la resolución de problemas matemáticos,

formulándose como objetivo a lograr, la instrumentación de una propuesta pedagógica

para contribuir al desarrollo de la habilidad resolver problemas de Matemática en

estudiantes del primer año de la carrera de Agronomía en la Universidad de Matanzas

“Camilo Cienfuegos”.

Así pues, la propuesta didáctica se fundamenta en una estructuración operacional de la

resolución de problemas matemáticos como habilidad, considerando además otros

elementos cognoscitivos y educativos inherentes al proceso de resolución de problemas.

La hipótesis que se plantea, su fundamentación, el trabajo realizado y los resultados

obtenidos se recogen en esta tesis con la siguiente distribución por capítulos:

En el Primer Capítulo se presentan los fundamentos teóricos de la tesis, se hace un análisis

sobre la problemática de la enseñanza de la Matemática para ingenieros agrónomos y

algunos aspectos necesarios al abordar la resolución de problemas en el campo de la

Didáctica de la Matemática. Así, se abordan la definición del concepto de “problema”, la

revisión crítica de algunos modelos de resolución de problemas y se describe el sistema de

acciones que estructuran la habilidad resolver problemas de Matemática. En el Segundo

Capítulo se exponen las características generales de la experiencia pedagógica desde la

perspectiva metodológica que se sigue en la investigación. De este modo, se identifican y

formulan sus lineamientos metodológicos esenciales, considerándose los aspectos

pedagógicos que la sustentan y su instrumentación en el proceso de enseñanza-aprendizaje

de la resolución de problemas matemáticos. En el Tercer Capítulo se presenta el análisis de

los resultados de la investigación. Además, se recogen las opiniones de los estudiantes y

profesores sobre la experiencia pedagógica de manera de mostrar la valoración que ellos

hacen de la misma.

INDICE.

Contenido Página

INTRODUCCIÓN 5

CAPÍTULO 1. LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. UN RETO PARA LA

EDUCACIÓN MATEMÁTICA CONTEMPORÁNEA..

1.1 La resolución de problemas matemáticos en la carrera de 13

Agronomía

1.2.El Enfoque Histórico Cultural como marco teórico-metodológico 17

1.3. La definición de problema y algunas de sus derivaciones educativas 20

1.4. Algunos enfoques en la clasificación de los problemas 24

1.5. Revisión crítica de algunos modelos de resolución de problemas 25

1.6. Definición y estructura de la habilidad resolver problemas de Matemática 40

1.6.1 Hacia una definición y clasificación de la habilidad resolver problemas de

Matemática 40

1.6.2 Caracterización del sistema de acciones para resolver problemas de Matemática

41

1.7 Algunas consideraciones acerca de la resolución de problemas como proceso

cognoscitivo 48

1.8 Conclusiones

CAPÍTULO 2. ESTRUCTURACIÓN DE LA EXPERIENCIA PEDAGOGICA.

2.1 La necesidad de una propuesta pedagógica para enseñar a resolver problemas de

Matemática: la visión del profesorado como participe de un problema común 53

2.2 Caracterización de los componentes de la experiencia pedagógica y sus funciones en

el proceso de resolución de problemas de Matemática 56

2.3 Fases del proceso de resolución de problemas 84

2.4 Conclusiones 89

CAPÍTULO 3. EL ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DE LA EXPERIENCIA

PEDAGÓGICA.

3.1 Resultados del diagnóstico inicial 90

3.2 Presentación y análisis de los resultados correspondientes al modo en que los

estudiantes resuelven los problemas de Matemática 92

3.3 La resolución de problemas y la organización de situaciones didácticas que faciliten la

utilización del pensamiento reflexivo de los estudiantes 96

3.4 Caracterización del proceso de enseñar y aprender a resolver problemas : datos

cualitativos y análisis cualitativo 99

3.4.1 Análisis de los resultados de la Primera Etapa 99

3.4.2 Análisis de los resultados de la Segunda Etapa 107

3.4.3 Validación estadísticas de los datos experimentales 117

3.4.4 Presentación y análisis de los resultados de la Prueba de Solidez 118

3.5 Opiniones de los estudiantes sobre la experiencia pedagógica 119

3.6 Opiniones de los profesores sobre la experiencia pedagógica 121

3.7 Conclusiones 123

CONCLUSIONES GENERALES 124

RECOMENDACIONES 125

BIBLIOGRAFÍA 126

ANEXOS

INTRODUCCIÓN.

La situación actual de la enseñanza de las Ciencias, y de la Matemática en particular,

presenta algunas características que es necesario se tengan en cuenta con el fin de

mejorarlas, por esta razón, cuando se reflexiona sobre el proceso de enseñanza y

aprendizaje de esta disciplina y los problemas que en ella se abordan en los centros de

educación superior del país, es posible identificar un amplio campo de investigación, que

necesita de la atención cuidadosa de la comunidad de docentes.

Por otra parte, la sociedad exige de sus profesionales una mayor independencia y

capacidad de decisión que se traduzca en la posibilidad de enfrentar los problemas más

diversos.

La educación superior debe, pues, favorecer el aprendizaje que contribuya a que el

estudiante este entrenado en función de buscar respuestas a los nuevos problemas que se

plantean constante y rápidamente, lo cual está determinado por el ritmo en que recibimos la

información y que hace que un problema sea reemplazado inmediatamente por otro.

Además, la educación sería un esfuerzo inútil de no ser por el hecho, de que el hombre

pueda aplicar, para resolver numerosas situaciones, lo asimilado concretamente.

En la actualidad se reconoce que los problemas de enseñanza y de aprendizaje de las

Matemáticas son muy complejos, situación que en los ciclos básicos universitarios no

parece ser una excepción. Este reconocimiento redimensiona el papel del docente, lo

compromete con la función social de la institución escolar y lo induce a aprovechar el

potencial de su disciplina como herramienta intelectual primordial para dar respuesta a un

sin número de intereses y problemas.

En esta perspectiva se asume realizar un trabajo enfocado al desarrollo de la habilidad

resolver problemas de Matemática en la carrera de Agronomía a través de una propuesta

pedagógica que favorezca la incorporación, en el desempeño del estudiante, de acciones

efectivas dentro de un contexto de enseñanza-aprendizaje donde se integren el actuar y

reflexionar sobre su propia actividad.

Sin embargo, plantear o escribir algo sobre lo que se considera propicio al aprendizaje de

la resolución de problemas de Matemática resulta extremadamente difícil. Son muchos los

estudios que al respecto se han efectuado, lo cual se puede percibir a través del volumen

de información existente, no obstante, la respuesta de cómo se debe enseñar a resolver

problemas no es definitiva y las investigaciones científicas que se realizan, al tratar de

buscar respuesta a esta interrogante, tampoco deben encasillarse en propuestas “válidas” y

“no válidas”, pero si tendientes a aproximarse sucesivamente a una solución, lo cual

satisface y motiva a investigar.

Ahora bien, ¿Cabe acaso, por ejemplo, que se acepte como lógico e inevitable que

considerable número de estudiantes universitarios presenten dificultades en la resolución de

problemas?. ¿Qué se puede expresar (y qué medidas adoptar) frente a las dificultades

conceptuales y la motivación de los estudiantes?. Por otra parte, ¿Es suficiente el tiempo y

la información que se maneja y transmite cuando se abordan problemas?. ¿Qué criterios se

pueden emplear para evaluar la eficiencia de la estrategia pedagógica aplicada?. ¿Qué

variables son relevantes para favorecer un adecuado aprendizaje de los problemas de

Matemática?. ¿Cómo enseñar a resolver problemas?...

Las preguntas se multiplican y de hecho, algunas fueron objeto de atención en trabajos que

se vienen realizando desde hace varios cursos, por lo que resultó de gran utilidad el análisis

de los resultados de investigaciones llevadas a cabo dentro de la problemática de la

Educación Superior en Cuba y que culminaron en tesis doctorales que sirvieron de

fundamento para la elaboración de esta propuesta: N. Santos (1988), T. Sanz (1989),

C.M. Alvarez (1989), H. Hernández (1989), P. Pérez (1989), L. Valverde (1990), V.

Alvarez (1991), T. Rodríguez (1991), I. Beltrán (1992), F. Martínez (1993), P. Torres

(1993), R. Calderón (1996), R. Delgado (1998), M.J. Llivina (1999), G. Vidal (1999), R.

Nuñez (1999), A. Ferrat (1999), R. Hernández (2000), M.C. Pérez (2001), entre otras.

Esta actividad permitió advertir la magnitud de la tarea asumida.

La solución pedagógica adecuada a todas las interrogantes que tenemos los educadores de

estos días no es precisamente una tarea exenta de dificultades; el reto es grande y la meta

se ubica en acercarnos al limite entre el problema educativo y su solución. Lo importante es

la búsqueda de una docencia de excelencia para construir una sociedad de hombres

eficientes mediante el paradigma de calidad, una vía para satisfacer las expectativas que la

sociedad tiene en las generaciones que formamos.

Para lograr tal fin, el estudio y conocimiento cada vez más profundo de la Didáctica de la

Matemática, y la paulatina familiarización con aportes provenientes de la epistemología del

conocimiento científico y la historia de la ciencia, la psicología, la filosofía, etc.; nos

permitieron la comprensión de las condiciones históricas socioculturales como fuentes de

generación del conocimiento matemático y fueron brindándonos un marco referencial

sistematizador, que favorece en términos generales una orientación más eficiente hacia:

? La detección de problemas en la enseñanza y en el aprendizaje de la Matemática.

? Una toma de conciencia sobre problemáticas del proceso docente-educativo que antes

no se percibían con toda claridad.

? Un fortalecimiento entre los vínculos de la docencia y la investigación en Educación

Matemática.

Además, a través de la revisión bibliográfica se confirma que en lo concerniente a la

resolución de problemas de Matemática aun quedan cuestiones a plantear sobre el tema.

Sin embargo, en la actualidad muchos autores, entre ellos: M. de Guzmán (1993), J.

Fernández (1995), P. Gómez (1995b), A. Orton (1996), Concilio Nacional de Maestros

de Matemática (NCTM, por sus siglas en inglés, 2000), comparten el criterio de que la

resolución de problemas ha de jugar un papel fundamental en la enseñanza de la

Matemática. Al respecto, argumentan que a través de la resolución de problemas se pone

en práctica el principio general de aprendizaje activo propugnado por la escuela

contemporánea, posibilitándose además, enfatizar en los procesos de pensamiento y

contenidos matemáticos, ya que es aquí donde los supuestos y los propósitos de su

enseñanza se ponen a prueba para promover un buen desempeño escolar.

En efecto, la resolución de problemas matemáticos se ha de ver, no sólo como una

actividad cognoscitiva dentro de la Matemática y para la Matemática, sino como actividad

que permite la reflexión, la comunicación de ideas, la conexión de conceptos y que ayude a

resolver problemas sociales de la vida cotidiana.

Por otro lado, son importantes algunos cuestionamientos que se han hecho a la enseñanza y

el aprendizaje de la resolución de problemas matemáticos por especialistas en este tema.

En este sentido se comparten las opiniones siguientes:

L. Campistrous y C. Rizo (1996, p. X) plantean que: “Las investigaciones demuestran

que existen muchas dificultades en los alumnos para resolver problemas en general”

– y puntualizan - “En la profundización que se ha realizado sobre la causa de este

problema, pueden verse algunas muy importantes relacionadas con la metodología

de su tratamiento. Por lo general los procedimientos metodológicos que se dan están

dirigidos a acciones que debe realizar el maestro, es decir, es una metodología de

enseñanza y no está dirigida a la búsqueda de procedimientos de actuación para el

alumno”.

Otros puntos de vista complementarios lo aportan J.M. Bransford y B.S. Stein (1988),

quienes consideran al referirse a la resolución de problemas que lo importante no es que

unas personas sean más capaces de ello que otras, sino que, a resolver problemas puede

aprenderse y si un conocimiento no se asimila, es casi siempre porque no se imparte con

los requerimientos necesarios.

A.H Schoenfeld (1991b), por su parte, considera que la responsabilidad fundamental del

maestro de matemáticas es la de enseñar a los alumnos a pensar, destacando así la

importancia que tiene el desarrollo del pensamiento reflexivo en el proceso de enseñanza-

aprendizaje de la Matemática.

Toda la argumentación anterior nos permite aproximarnos a un planteamiento preciso del

problema de investigación de este trabajo.

En tal sentido, la situación con respecto a la resolución de problemas de Matemática

dentro de los marcos de la Enseñanza Superior, para el caso que nos ocupa, presenta las

siguientes características: se observa, por una parte, el considerable nivel de fracaso en

esta actividad en los estudiantes que ingresan a formarse como Ingenieros Agrónomos en

la Universidad de Matanzas y, por otra, en el Programa de la Disciplina Matemática de los

Planes de Estudio C y C´, aplicados sucesivamente en dicha carrera, se plantea entre sus

objetivos resolver problemas de Matemática relacionados con su perfil profesional, con

otras asignaturas y con la vida real.

Lo anterior indica fuertemente la necesidad de una investigación científica que enfoque el

tratamiento pedagógico de la resolución de problemas matemáticos a partir de las

dificultades que presentan los estudiantes del primer año de la carrera de Agronomía. Las

dificultades que se presentan con mayor frecuencia están relacionadas con: el análisis de los

enunciados, la ausencia de una línea directriz en términos de la secuencia de acciones que

se dan en el proceso, los recursos intelectuales utilizados por los estudiantes y con la

verificación de la efectividad del proceso de resolución y de los resultados.

Ante esta situación resulta interesante reflexionar en la búsqueda de una solución, pues

como se sabe, existe una relación importante entre la forma que se lleva a cabo el proceso

de enseñanza-aprendizaje de la resolución de problemas en nuestras aulas y dicha

problemática. En efecto, las dificultades detectadas requieren, dada su importancia, de una

intervención didáctica adecuada en el marco de la enseñanza de la Matemática.

Por otra parte, en la elección del tema de investigación incidió una fuerte motivación

personal. A lo largo de 15 años, he venido desarrollando las labores de docencia e

investigación con estudiantes del Primer Año de la carrera de Agronomía y he compartido

postgrados con colegas de todos los niveles de enseñanza. Dicha labor me permitió

percibir la preocupación por el proceso de resolución de problemas en nuestras aulas.

En este contexto se ubica nuestro trabajo investigativo, en interés de proporcionar a los

estudiantes, a través de la resolución de problemas, herramientas matemáticas básicas para

su desempeño social y profesional.

A partir de las consideraciones anteriores, se investiga el siguiente problema:

Problema:

¿Cómo contribuir a desarrollar en los estudiantes la habilidad resolver problemas de

Matemática aplicando los contenidos del Cálculo Diferencial e Integral correspondientes a

la Carrera de Agronomía?.

El objetivo de esta investigación es el siguiente:

Objetivo general:

? Diseñar e instrumentar una experiencia pedagógica que favorezca el desarrollo de la

habilidad resolver problemas de Matemática en estudiantes del Primer Año de la

carrera de Agronomía.

El objeto de estudio de la investigación se circunscribe a la habilidad resolver

problemas en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática. Su campo de

acción se ubica en el contexto de una experiencia pedagógica orientada a promover el

desarrollo de la habilidad resolver problemas en el proceso de enseñanza-aprendizaje de

las asignaturas Matemática I y II que se imparten en el Primer Año de la carrera de

Agronomía.

Como hipótesis de trabajo se plantea que:

Hipótesis:

Es posible favorecer en los estudiantes el desarrollo de las acciones correspondientes a la

habilidad resolver problemas de Matemática aplicando los contenidos del Cálculo

Diferencial e Integral para la Carrera de Agronomía, a través de la estructuración y

aplicación de una experiencia pedagógica sustentada en el enfoque histórico cultural.

En correspondencia con el objetivo general, para lograr los propósitos de este trabajo se

realizaron las siguientes tareas de investigación:

1) Análisis de la bibliografía especializada y delimitación de los supuestos teóricos-

metodológicos de la experiencia pedagógica.

2) Diseño y aplicación de la experiencia pedagógica para la resolución de problemas de

Matemática en el primer año de la carrera de Agronomía.

3) Valoración del efecto que produce en los estudiantes su participación en la experiencia

pedagógica en cuanto al desarrollo de la habilidad resolver problemas de Matemática.

Con el fin de verificar el cumplimiento de la hipótesis y en correspondencia con los

objetivos y tareas propuestas se utilizaron en la investigación como métodos teóricos

fundamentales: el análisis y la síntesis, imprescindibles para poder estructurar la

experiencia pedagógica e integrar sus diversas componentes y la inducción y deducción

que permiten indistintamente obtener conclusiones generales o particulares a partir de las

relaciones que se dan en el proceso estudiado.

A nivel empírico se utilizaron la experimentación, la observación tanto individual como

grupal y otras técnicas de investigación como entrevistas y encuestas; de gran utilidad en el

estudio de la información, sometida finalmente a validaciones estadísticas.

El marco conceptual de la investigación tiene como fundamento teórico-metodológico:

el Enfoque Histórico Cultural de L.S. Vigostky (1982, 1987), la Teoría de la Actividad de

A.N. Leóntiev (1979, 1981, 1986) y algunos aspectos de la Teoría de la Formación por

Etapas de las Acciones Mentales de P. Ya. Galperin (1974, 1983, 1986, 1987), lo que se

complementa con los trabajos de otros autores cubanos y extranjeros con igual referencia

y que tienen sus raíces en la filosofía social de Marx y Engels.

Se cuenta, además, con la valiosa información que sobre el tema de resolución de

problemas y algunos de sus principales modelos, exponen importantes autores e

investigadores como: G. Polya (1989), Mason-Burton-Stacey (1989), A.H. Schoenfeld

(1980,1985, 1991a, 1991b), A.F. Labarrere (1987a, 1987b, 1988, 1996), M. de

Guzmán (1991, 1993), J. Gascón (1994), L. Campistrous y C. Rizo (1996), y otros, que

se han consultado para la realización de este trabajo.

La novedad científica de esta tesis radica en que por primera vez se desarrolla una

experiencia pedagógica con los contenidos del cálculo diferencial e integral para la carrera

de Agronomía en Cuba, que contribuye a elevar el nivel de desarrollo de la habilidad

resolver problemas de Matemática en estudiantes del primer año.

A su vez, la inserción de la experiencia pedagógica en el Programa de la Disciplina

Matemática para ingenieros agrónomos contribuye a perfeccionar el proceso de

enseñanza-aprendizaje al reorganizarse en función de la resolución de problemas

matemáticos dicho proceso.

El aporte teórico del trabajo se expresa en el enriquecimiento de la caracterización

teórica del sistema de acciones y operaciones que componen la habilidad resolver

problemas de Matemática.

Se logra una sistematización teórica de los trabajos y modelos que sobre resolución de

problemas han tenido una mayor significación en el tratamiento de esta problemática tanto

a nivel nacional como internacional.

La significación práctica se manifiesta en:

- El trabajo constituye un aporte al desarrollo de la Didáctica de la Matemática en la

enseñanza superior, lo cual esta dado fundamentalmente por la elaboración de un

conjunto de tareas cuyas características estructurales modelan las acciones de la

habilidad resolver problemas de Matemática logrando así la formación de estas con un

buen nivel de generalización.

- Se diseña e instrumenta una experiencia pedagógica donde se reestructura el proceso

de enseñanza-aprendizaje de la Matemática I y II para la carrera de Agronomía que

contribuye a desarrollar los conocimientos y acciones vinculadas con la habilidad

resolver problemas de Matemática.

- Se elaboran un conjunto de enunciados de problemas matemáticos que no aparecen en

la bibliografía de la carrera y que favorecen la ejecución de las acciones que

estructuran la habilidad resolver problemas de Matemática.

- Se diseñan varios medios de enseñanza (orientaciones para resolver problema de

Matemática, folleto para los estudiantes con problemas resueltos, hoja de trabajo de

los estudiantes y guía didáctica del estudiante para la resolución de problemas) que

orientan y favorecen el proceso de interiorización de las acciones que estructuran la

habilidad resolver problemas de Matemática.

- El sistema de evaluación orientado tanto a la valoración del desarrollo del proceso

como al resultado ofrece un conjunto de recursos didácticos (hoja de diagnóstico, ficha

de evaluación de los estudiantes, pruebas orales, entre otros) que garantizan la

retroalimentación del proceso y una mayor calidad de formación de la acción.

La investigación se lleva a cabo a través del experimento pedagógico de tipo

cuasiexperimental. Para este estudio se seleccionaron durante varios cursos grupos de

estudiantes que ingresaron a la Carrera de Agronomía en la Universidad de Matanzas

“Camilo Cienfuegos”, carrera esta que se considera de gran importancia por responder a

necesidades básicas de la sociedad en todos los tiempos. En efecto, las ciencias o práctica

agrícola, es una de las profesiones más antiguas del mundo, y fundamental para la

supervivencia del ser humano, lo que se comprueba en libros tan antiguos como La Biblia,

y sobre la que Martí (1990, p.114) dijera: “La agricultura es la única fuente constante,

cierta e intensamente pura de riquezas”; entre otras muchas argumentaciones que se

pueden señalar. Es por esto que se requiere motivar y preparar adecuadamente al

estudiante para superar las dificultades y enfrentar los problemas y de lo que se reafirma

la decisión de investigar sobre dicha temática.

El trabajo experimental con estudiantes de Primer Año se inicia como experiencia piloto en

el curso 1993-94. En esta etapa se aplicaron, transformaron y ensayaron problemas para

disponer de un número conveniente de enunciados que sirvieran de base al trabajo en los

cursos siguientes, se elaboró el diseño de investigación pedagógica para contrastar la

hipótesis y se aplicaron los cuestionarios para recopilar la opinión de los docentes

consultados sobre la investigación con el propósito de obtener una visión más general del

trabajo con los problemas en las clases.

La experimentación rigurosa y la toma de datos para arribar a conclusiones se realiza

durante los cursos 1994-95,1995-96, 1996-97, 1997-98 y 1999-2000, en la modalidad

de grupo único, siendo el autor de este trabajo quien realiza el experimento durante todas

las etapas.

La tesis consta de tres capítulos con la siguiente distribución. En el Primero se realiza el

análisis teórico a partir de la bibliografía consultada que sustenta la experiencia pedagógica.

En el Segundo Capitulo se exponen los características generales de la experiencia

pedagógica y el Tercero contiene el análisis de los resultados alcanzados durante el

desarrollo de la experiencia pedagógica.

Finalmente se exponen las conclusiones y recomendaciones alcanzadas, la bibliografía que

sirvió de soporte y los anexos que complementan o ilustran el trabajo.

CAPÍTULO 1.

LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. UN RETO PARA LA EDUCACIÓN

MATEMÁTICA CONTEMPORÁNEA.

En este capítulo se presenta un análisis del papel que tiene la Matemática en el Plan de

Estudio de la carrera de Agronomía y la importancia que en ella asume la resolución de

problemas. Se realiza una revisión crítica de algunos modelos de resolución de problemas,

caracterizándose el sistema de acciones que conforman la habilidad de resolver problemas

de Matemática que se asume en esta tesis. Se abordan también las principales ideas del

Enfoque Histórico-Cultural, marco teórico y metodológico en que se sustenta la

investigación.

1.1 La resolución de problemas matemáticos en la carrera de Agronomía.

Las razones de que se incluya la Matemática en los currículos escolares son múltiples y

variadas. Por un lado, constituye una eficaz herramienta de trabajo (tanto intelectual como

práctico); y por otro, las Matemáticas conforman un área de estudio que intenta

comprender los modelos que impregnan el mundo que nos rodea y cuya actividad se

podría resumir mediante la expresión “resolución de problemas”.

Por otra parte, en la sociedad actual, que experimenta un creciente desarrollo científico,

tecnológico y social, se considera cada vez más importante tener una buena preparación

matemática que opere como vía de acceso a dichos conocimientos.

Sin embargo, no es sólo porque está presente en todos los órdenes de la vida moderna por

lo que se justifica estudiar esta disciplina. En general, la necesidad de enseñar matemáticas,

se atribuye a diversos fines, los cuales se resumen en: la Matemática como instrumento que

posibilita resolver diferentes problemas del entorno sociocultural, su valor formativo al

contribuir al desarrollo intelectual e integral de la personalidad y la Matemática como

lenguaje universal de las ciencias (W. Jungk (1979), K. Ríbnikov (1987), G. García et al

(1999)).

La formación matemática que deben tener los ingenieros agrónomos o los estudiantes que

se forman para ejercer esta profesión, no se puede limitar a un listado más o menos

pormenorizado de “contenidos mínimos”, es necesario enmarcar el análisis en

consideraciones más amplías: perfil del profesional que se desea formar, especificidades de

sus motivaciones y de sus requerimientos formativos, etc., y avanzar, en ese marco, hacia

una reflexión crítica acerca de aspectos tales como, objetivos del plan o programa de

estudio, eficiencia de los métodos de enseñanza, entre otros. En este contexto, la

problemática educativa vinculada a la resolución de problemas aparece como un aspecto

importante en el aprendizaje de la disciplina.

Desde esta perspectiva, se viene acometiendo por el Ministerio de Educación Superior de

nuestro país, la tarea de perfeccionar los Planes de Estudio implantados sucesivamente,

hasta llegar a la aplicación de los denominados C y C´, donde se alcanza un nivel superior

al confeccionarse un documento único, el Programa de la Disciplina, que enfatiza los

aportes de la Matemática a los estudiantes de la carrera de Agronomía, tal como se

comprueba en la formulación del sistema de objetivos del programa de las asignaturas

Matemática I y II que se reportan en el Anexo 1.A (que incluye también el sistema de

conocimientos y habilidades).

Como se puede apreciar, aunque aparecen separados los objetivos instructivos de los

educativos por exigencias metodológicas del Ministerio de Educación Superior para la

confección de los planes de estudio, en dichos programas se toma en consideración el

papel de la instrucción como una de las condiciones básicas fundamentales de la relación

del estudiante con su entorno natural y social, vinculado con aspectos educativos. Este

último aspecto de la personalidad, no puede formarse sin considerar los componentes

cognoscitivos, como expresión del principio de la unidad que en el plano psicológico se da

entre lo afectivo y lo cognoscitivo (L.S. Vigotsky, 1982).

En estos programas la actividad cognoscitiva del estudiante, la apropiación y aplicación de

conocimientos, el desarrollo del pensamiento teórico y reflexivo, las capacidades y

habilidades intelectuales vinculadas a la profesión, son el resultado fundamental de la

educación, concepción que responde a un proceso de aprendizaje activo, creador y

transformador de la propia personalidad del estudiante en su condición de sujeto activo del

aprendizaje.

Todos estos factores integrados armónicamente en el proceso docente educativo crearán

las condiciones que definen el modo de actuación de nuestros profesionales agrícolas tal

como se plantea en el Documento para el Perfeccionamiento del Plan de Estudio C

(28/1/97, p.4) como “Productor a partir de la dirección y la solución de problemas de

la producción agropecuaria, utilizando métodos activos y participativos, que

estimulan el espíritu innovador y su formación permanente”.

No obstante el notable avance alcanzado con la aplicación de los Planes de Estudio C y

C´, se debe señalar que en las indicaciones metodológicas y de organización de las

asignaturas Matemática I y II de dichos programas, en lo que se refiere a la resolución de

problemas, no se especifican ni sugieren estrategias metodológicas, aspecto que dada su

complejidad, requiere de un mayor espacio de reflexión y de orientaciones más concretas

para los profesores.

Así, por ejemplo, se observa que en el apartado de orientaciones metodológicas del

Programa de la Disciplina Matemática Superior (Plan de Estudio C, p.16) se plantea con

respecto a los temas que se abordan en la asignatura Matemática Superior I: “Durante

toda la asignatura deben aparecer actividades integradoras así como problemas que

tengan que modelar y resolver donde el alumno tenga que analizar cual es la vía de

solución”. De la misma forma, con respecto a la asignatura Matemática Superior II sólo se

indica (p.16): “Se pudiera plantear algún problema físico, químico o biológico que

conduzca a una ecuación diferencial ordinaria que se resuelva a través de la

integración” – y más adelante (p.18), se propone – “Realizar actividades integradoras

donde se trabaje fundamentalmente con integrales definidas, integrales impropias de

primera especie e integrales de línea así como problemas que tengan que modelar y

resolver donde el alumno tenga que decidir la vía de solución”.

Con relación a los objetivos del programa, se observa que en ambas asignaturas, la

resolución de problemas se plantea en varios de sus objetivos vinculados a diferentes

contenidos específicos, evidenciándose la importancia que tiene el desarrollo de la

habilidad resolver problemas matemáticos para la formación del ingeniero agrónomo.

Con respecto al Programa de la Disciplina Matemática del Plan de Estudio C´ para la

carrera de Agronomía, al igual que en el programa anterior, uno de sus objetivos más

importantes es la resolución de problemas, pero, en sus orientaciones metodológicas y de

organización de la disciplina no se enfatiza ni argumenta sobre el tratamiento de los

problemas.

Por ello, es esencial que se tracen líneas o estrategias de trabajo que garanticen elevar

sustancialmente las posibilidades de la Matemática para contribuir a la formación del

ingeniero agrónomo y así favorecer que los contenidos matemáticos sean una herramienta

útil en otras disciplinas, para conseguir resolver con éxito los problemas a que se enfrenta

el alumno a lo largo de su carrera.

Desde estos puntos de vista, se debe subrayar la importancia de la resolución de

problemas matemáticos en el perfil del agrónomo que demanda la agricultura cubana, tal

como se confirma en el Plan de Estudios de la carrera. En efecto, los ingenieros

agrónomos deben solucionar diversos problemas que se generan en la producción agrícola

y es la universidad la encargada de formar a los profesionales que trabajarán con este

propósito.

1.2 El Enfoque Histórico Cultural como marco teórico-metodológico.

Por constituir el proceso de construcción del conocimiento matemático un fenómeno social

y cultural que tiene entre sus metas la resolución de problemas, esta investigación se

fundamenta en una concepción psicológica de fuerte implicación pedagógica y que se

sustenta en la base epistemológica marxista leninista, el Enfoque Histórico Cultural de L.S.

Vigotsky y sus continuadores (A.N. Leóntiev, P. Ya. Galperin, N.F. Talízina, entre otros

autores).

En esta perspectiva se señalan algunos principios e ideas fundamentales que sustentan la

propuesta metodológica que se presenta:

? Unidad de lo afectivo y lo cognitivo, lo que significa reconocer la vinculación entre el

aprendizaje y el afecto.

? Centra la atención en el sujeto activo, consciente y orientado hacia un objetivo.

? El aprendizaje se produce más fácilmente en situaciones colectivas que favorecen

conductas de cooperación. La actividad humana transcurre en un determinado

contexto sociocultural, en activa interacción con otras personas a través de variadas

formas de colaboración y comunicación.

? Importancia de los procesos de internalización: Los procesos de aprendizaje inician y

van conformando los procesos de desarrollo. El desarrollo humano se produce de

afuera hacia adentro por medio de la internalización de procesos interpsicológicos, es

decir, a través de la participación en situaciones sociales que propicien el aprendizaje.

En este sentido cuando el estudiante es capaz de utilizar el lenguaje para fundamentar,

explicar y argumentar, sus interacciones con el medio social se enriquecen y se van

haciendo cada vez más complejas.

De igual forma, la importancia del enfoque histórico cultural se ve reflejado en la tesis a

partir del carácter rector de la enseñanza para el desarrollo psíquico, considerándolo fuente

de ese desarrollo, al analizar las posibilidades y asegurar las condiciones para que el

estudiante se eleve mediante la colaboración a un nivel superior. En este sentido es

fundamental el concepto de Zona de Desarrollo Próximo introducido por L..S. Vigotsky.

Se observa de este modo que en el proceso de aprendizaje es posible distinguir un nivel

real de desarrollo (dado por las acciones que un individuo puede desarrollar por sí solo) y

un nivel potencial (que se manifiesta a través de las acciones que un individuo puede

desarrollar bajo la guía de un experto o en colaboración de un compañero más capaz),

esta última constituye la zona de desarrollo próximo (L.S. Vigotsky, 1987).

La zona de desarrollo próximo enfatiza la importancia de la interacción de los estudiantes

con el profesor y de los estudiantes entre sí, a fin de favorecer el desarrollo de procesos

cognitivos y afectivos que aún no se han desarrollado en toda su potencialidad.

Para delimitar este concepto se deben tener presente dos aspectos. En primer lugar, la

importancia del contexto social a la que ya hemos aludido y segundo, en lugar de insistir en

trabajar con el conocimiento o la habilidad ya consolidada, planificar actividades que

impliquen un esfuerzo cognoscitivo para los estudiantes, enfocando el interés no al nivel de

desarrollo actual, sino al potencial.

Por otro lado y a partir de la concepción vigostkyana del desarrollo como el proceso a

través del cual el individuo se apropia de la cultura social e históricamente desarrollada

como resultado de su actividad, resulta conveniente se precise que la resolución de

problemas forma parte fundamental de la actividad del sujeto.

Al respecto, la Teoría de la Actividad de A.N. Leóntiev (1979, 1981) permite el análisis

de la actividad de estudio, entre las que se incluye la resolución de problemas. De acuerdo

con esta teoría los principales componentes de las actividades los constituyen las acciones,

que a su vez se realizan a través de operaciones.

Las acciones son procesos subordinados a la representación del resultado que debe

alcanzarse, o sea el proceso subordinado a un objetivo consciente y las operaciones son

microacciones que le dan a la acción esa forma de proceso continuo. Es decir, toda acción

puede descomponerse en varias operaciones con determinada lógica, consecutividad (N.F.

Talízina, 1988).

Otro punto de interés cuando se refieren acciones componentes de la actividad, es el que

establece las funciones que las acciones cumplen dentro de la actividad, enfocándose tres

aspectos diferentes; acciones de orientación, de ejecución y de control. La motivación

debe mantenerse a lo largo de todo este proceso. En la teoría de P.Ya. Galperin (1983,

1986), se describen estos momentos funcionales de gran importancia pedagógica.

Dentro de esta concepción, describe N. F. Talízina (1988, pp.59-60): “La parte

orientadora de la acción está relacionada con la utilización por el hombre del

conjunto de condiciones concretas, necesarias para el exitoso cumplimiento de la

acción dada, que entraron en el contenido de la base orientadora de la acción. La

parte ejecutora – parte de trabajo de la acción - asegura las transformaciones

dadas en el objeto de la acción (ideales o materiales). La parte del control de la

acción está dirigida a seguir la marcha de la acción, a confrontar los resultados

obtenidos. Con su ayuda se hace la corrección necesaria tanto en la parte

orientadora como en la ejecutora de la acción”.

En lo referente al control es necesario que en el proceso de enseñanza-aprendizaje se

atienda tanto el control externo, es decir, el realizado por el docente o un compañero de

aula, así como también el interno o autocontrol, este último debe ir sustituyendo

paulatinamente al control externo.

Es muy importante que la fase de control se realice durante todo el proceso de realización

de la acción, y no solo en su parte final (producto o resultado). Someter a control nos

garantiza efectuar las correcciones necesarias de la acción, por la comparación de los

resultados que se van obteniendo con el modelo dado.

Por tanto: “El aprendizaje presupone la apropiación del conocimiento necesario para

ejecutar una o varias acciones y ejecutarlas con la finalidad en que estas se

transformen en una habilidad, en correspondencia con el conocimiento adquirido. El

resultado de esta transformación depende del conocimiento que se tenga sobre la

acción en sí. No es posible que se logre un aprendizaje eficiente sin tener un

conocimiento de cómo actuar. Si un estudiante no tiene idea de las acciones que debe

realizar para resolver un ejercicio o problema, que se le proponga, hará muchos

intentos fallidos al procurar resolverlo si no dispone de manera consciente de la

orientación para ello” (S. Hernández y H. Hernández, 1998, p.59).

1.3 La definición de problema y algunas de sus derivaciones educativas.

La experiencia demuestra que el desarrollo de actividades docentes donde se identifiquen

y resuelvan problemas contribuye a potenciar el desarrollo de habilidades en los

estudiantes. En este sentido, la Matemática proporciona el marco adecuado para

reflexionar sobre los problemas que surgen del contenido de su propia enseñanza.

Consecuentemente, aceptar que resolver problemas es un elemento vital en el aprendizaje

de la Matemática, implica la necesidad de que se tenga una idea clara de lo que se entiende

por problemas y cómo los incorporamos en las clases.

Las definiciones de problema que aparecen en diferentes textos (S.L. Rubinstein (1966),

W. Jungk (1979), S. Krulik y K. Rudnick (1980), M.I. Majmutov (1983), L. Davidson

(1988), G. Polya (1989), A.H. Schoenfeld (1991a), A. Rodríguez (1991), F.J. Perales

Palacios (1993), M. Sánchez (1995)), aunque diferentes conceptualmente, presentan

elementos comunes o al menos no contradictorios. En general, todas coinciden en señalar

que un problema es una situación que presenta dificultades para las cuales no hay solución

inmediata.

En el proceso de enseñanza-aprendizaje, por el contrario, es común explicar los

problemas como algo que se sabe hacer, cuya solución se conoce, que no genera

expectativas. Para el docente, incluso, no es un problema. Se precisa así en la investigación

del proceso de resolución de problemas de una definición del concepto “problema”. Las

referencias bibliográficas que se exponen plantean los diferentes puntos de vista de sus

autores al respecto.

? R. Delgado (1998, p.2), considerando la situación problémica de la cual es

consciente el sujeto, define el término problema como: “Situación verdaderamente

problémica para el resolutor, para la cual, teniendo conciencia de ella, no conoce una

vía de solución”.

? I. Alonso (2001, p.13), enfoca el problema matemático desde el punto de vista de la

información y estructura del problema y cómo el estudiante se lo representa y resuelve.

Al respecto plantea su concepción de problema matemático como: “Una situación

matemática que contempla tres elementos: objetos, características de esos

objetos y relaciones entre ellos; agrupados en dos componentes:

- condiciones y

- exigencias relativas a esos elementos; y que motiva en el resolutor la

necesidad de dar respuesta a las exigencia o interrogantes, para lo cual

deberá operar con las condiciones, en el marco de su base de conocimientos y

experiencias”.

? G.A. Ball (citado por A.F. Labarrere,1987a, p.6), “caracteriza el problema como

aquella situación que demanda la realización de determinadas acciones

(prácticas o mentales) encaminadas a transformar dicha situación”.

? La definición de A.F. Labarrere (1996, p.19), resume acertadamente el consenso

entre las definiciones consultadas: “Un problema es determinada situación en la

cual existen nexos, relaciones, cualidades, de y entre los objetos que no son

accesibles directa e inmediatamente a la persona”, o sea, “una situación en la que

hay algo oculto para el sujeto, que este se esfuerza por hallar”.

En cuanto a la diferenciación entre los términos problema y ejercicio, tema de gran interés

desde el punto de vista didáctico, algunos autores que han abordado dicha cuestión

señalan:

? M.J. Llivina (1999, p.48), precisa cuando un ejercicio tiene carácter de problema.

Sobre esta base expresa: “Un ejercicio es un problema si y sólo si la vía de

solución es desconocida para la persona”.

? J. Martínez Torregrosa (citado por un colectivo de autores, 1999, p.3), en el mismo

sentido de la reflexión anterior argumenta: “Un correcto planteamiento didáctico de

la resolución exige la distinción entre ejercicios y problemas. Para los ejercicios

el alumno tiene ya disponibles respuestas satisfactorias para las que ha sido

preparado y – al contrario de lo que sucede en un verdadero problema – no hay

incertidumbre en su comportamiento”.

Estas mismas ideas se presentan implícita o explícitamente cuando se caracteriza la

resolución de problemas. Así, A. Orton (1996, p.51), expresa que la resolución de

problemas “se concibe como generadora de un proceso a través del cual quien

aprende combina elementos del conocimiento, reglas, técnicas, destrezas y conceptos

previamente adquiridos para dar solución a una situación nueva”.

Por su parte, R. Delgado (1998, p.69), considera la resolución de problemas como una

habilidad matemática y señala que resolver: “es encontrar un método o vía de solución

que conduzca a la solución de un problema”.

Según M.J .Llivina (1999, p.59), “la resolución de problemas matemáticos es una

capacidad específica que se desarrolla a través del proceso de enseñanza-aprendizaje

de la matemática y que se configura en la personalidad del individuo al sistematizar,

con determinada calidad y haciendo uso de la metacognición, acciones y

conocimientos que participan en la resolución de estos problemas”.

Es conveniente se enfatice, según refieren D. Gil et al (1992, pp.76-77), que algunos

autores insisten justamente en el hecho de que la existencia de dificultades no es una

característica intrínseca de una situación y que depende también de los conocimientos,

experiencias, etc. En este sentido, citan a Elshout, quien desarrolla la idea de “umbral de

problematicidad” diferente para cada persona y por encima del cual se puede considerar

que una situación constituye un verdadero problema para la persona implicada; en esta

idea de problema y umbral de problematicidad infieren una primera comprensión de los

resultados negativos que pueden alcanzarse en la enseñanza habitual.

Como parte de lo anterior, es importante se destaquen los siguientes puntos de

coincidencia entre las definiciones consultadas:

a) La persona que se enfrenta a un problema debe estar consciente de la existencia de

una dificultad y tener interés en resolverla, pero no cuenta con los conocimientos y

experiencias que le permitan directa o inmediatamente darle solución.

b) La resolución de problemas constituye un proceso de razonamiento donde la

Psicología y la Didáctica encuentran puntos de referencia imprescindibles.

c) Los problemas siempre deben ser portadores de nuevos elementos para el que

aprende. No se consideran problemas aquellos ejercicios rutinarios que se presentan

en las clases de Matemática para desarrollar algunas habilidades específicas y que en

ocasiones promueven la memorización y el mecanicismo.

d) La resolución de problemas es un proceso “productivo” y no meramente

“reproductivo”.

Desde la misma perspectiva teórica, se considera que las situaciones de aprendizaje

sustentadas en la resolución de problemas, deben tener tres elementos distintivos para que

adquieran su verdadero significado:

- Motivación: El estudiante ha de experimentar un desafío, una contradicción que lo

impulse hacia la búsqueda de la solución.

- Sincretismo: La situación se presenta de forma tal que al inicio, no se identifican con

claridad o precisión algunas de sus componentes.

- Acciones: El estudiante debe ser consciente de que para poder resolver el problema

debe ejecutar una serie de acciones conducentes a su solución.

En este orden de ideas, se analiza que por la relevancia que tienen estos tres aspectos para

esta investigación, es necesario se integren en una nueva definición de problema sobre la

base del estudio teórico realizado. Así, se elabora la siguiente definición:

Un problema es una situación o dificultad prevista o espontánea, con algunos elementos

desconocidos para el sujeto, pero capaz de provocar la realización de acciones sucesivas

para darle solución.

Por otro lado, se considera la resolución de problemas como una habilidad, y como tal se

caracteriza y estructura posteriormente en la tesis, todo ello en base a determinadas

acciones, que son las que permiten acceder a las vías para resolver los problemas.

Para finalizar este punto, se plantea otro aspecto pedagógico que deben reunir los

problemas, el que respondan en lo posible a los intereses y necesidades de los estudiantes.

Los elementos que contenga el problema deben estar en estrecha relación con el círculo de

ideas, conocimientos y experiencias del alumno dentro del nivel de enseñanza que curse.

Confirma lo anterior lo expresado por David Hilbert (citado por J. Stewart, 1998, p.VIII):

“Un problema matemático debe ser difícil para que nos seduzca, pero no inaccesible

para que no se burle de nuestros esfuerzos”.

1.4 Algunos enfoques en la clasificación de los problemas.

En cuanto a la clasificación de los problemas, en la bibliografía consultada ésta se realiza

atendiendo a diversos criterios: campo disciplinario, tipo de tarea, naturaleza del

enunciado, etc., pero siempre apuntando a diferentes tipos de problemas que por tanto

deben enfrentarse de distintas maneras.

De entre varias perspectivas posibles (W. Jungk (1979), A.F. Labarrere (1987a), E.

Carballal y C. Díaz (1990), y otros)), los problemas conviene clasificarlos por la naturaleza

de la solución en “abiertos” y “cerrados” (R.M. Garret, 1995, p.8). Se consideran

problemas cerrados aquellos que tienen una solución única, son objetivos, a veces hay un

algoritmo de trabajo que garantiza la respuesta o requieren de un conocimiento específico

o técnica para su solución. Los problemas abiertos son los que tienen varias posibles

soluciones, son subjetivos, sólo podemos hallar su mejor respuesta, la heurística puede

guiar la reflexión y requieren de una amplia gama de información.

J.I. Pozo et al (1994), establecen una diferenciación interesante entre problema científico,

problema docente (escolar) y problema cotidiano.

Un problema científico, según estos autores, conlleva un interés personal del que

pretende solucionarlo y una metodología científica de trabajo, que consiste en un modelo

idealizado con las correspondientes hipótesis de origen enmarcadas en un contexto

científico.

El problema docente tiene otras implicaciones motivacionales, ya que el estudiante se

enfrenta a la búsqueda de su solución para dar respuesta a un planteamiento que le hace el

docente, sus posibilidades de formulación de hipótesis se reducen y las interrogantes, o la

temática objeto de estudio, centra la atención en factores tratados con anterioridad.

El tercer caso, es decir, los problemas cotidianos, son asumidos por los individuos y su

finalidad es obtener un resultado, que no tiene que implicar la comprensión ni explicación

científica. Su procedimiento de resolución se fundamenta en la experiencia personal, su

similitud con otras situaciones o en técnicas de ensayo-error.

En esta investigación se utilizan esencialmente los problemas docentes (cerrados o

abiertos) con texto o enunciados, que además, son por lo general, los que el estudiante

reconoce como tales, sin que por ello se dejen de considerar otras situaciones que no

poseen textos, pero que bajo determinadas circunstancias, son consideradas como

problemas. Estos últimos también se pueden resolver aplicando muchos de los aspectos

considerados en este trabajo.

1.5 Revisión crítica de algunos modelos de resolución de problemas.

Según A. Latorre y M. C. Fortes (1990, p.57): “la definición de <modelo> es la de un

sistema figurativo que reproduce la realidad bajo una forma esquemática,

intentando hacerlo de un modo más comprensible. Un modelo es una construcción,

una estructura que podemos utilizar como referencia, una imagen analógica que

permite algunas veces materializar una idea o un concepto”.

El análisis de diferentes modelos de resolución de problemas que se vienen planteando en

los últimos tiempos y que se inscriben en diversas tendencias permite categorizarlos de

forma general en diferentes tipos, unos con orientaciones de tipo psicológico, pedagógico e

idiosincrásico y otros, de tipo filosófico-científico. Aunque en ocasiones resulta difícil

precisar la filiación de un modelo en algún apartado, estos se pueden caracterizar

brevemente en:

1. Las investigaciones que se ocupan de contrastar los mecanismos incorporados por

aquellos resolutores con mejores desempeños para los cuales se comparan los

procedimientos utilizados por expertos y novatos (Newell y Simon en C. Klingler y G.

Vadillo, 1999) o dicho de otra manera los solucionadores de problemas con éxito o sin

él (Bloom y Broder 1950 en O.P. Ausubel et al, 1991).

2. Las investigaciones algorítmicas, que se proponen aumentar la efectividad en la

resolución de problemas mediante la prescripción exacta del orden determinado en que

han de ejecutarse un sistema de operaciones para resolver todos los problemas de un

cierto tipo. Tienen un componente importante de indicaciones dadas a través de un

programa de acciones y operaciones.

3. Las investigaciones que consideran la creatividad como elemento fundamental en el

proceso de solución.

4. Las investigaciones que consideran que pueden conseguirse avances en el proceso de

resolución a través de un cambio conceptual, metodológico y actitudinal.

En nuestro país también es posible identificar un conjunto de investigaciones sobre

resolución de problemas que tienen en común su fundamentación en la psicología soviética

y el pensamiento pedagógico cubano, sin dejar de considerar otros aportes significativos a

la práctica pedagógica.

Estos trabajos han aportado reflexiones en torno a la enseñanza de la resolución de

problemas. Haciendo un balance general, se citan los siguientes: G. Martínez (1984) sobre

el tránsito de la formación de conceptos matemáticos a la solución de problemas

aritméticos en la escuela primaria; A.F. Labarrere (1987a, 1996) sobre los fundamentos

psicopedagógicos de la enseñanza de la resolución de problemas; L. Campistrous y C.

Rizo (1996, 2001) sobre estrategias, modelación y proceder generalizado en la resolución

de problemas; P. Torres (1993) sobre la enseñanza problémica de la Matemática en el

Nivel Medio; R. Delgado (1999) sobre la estructuración del contenido y el desarrollo de

habilidades generales matemáticas para lograr la eficacia al resolver problemas; M.J.

Llivina (1999) sobre una propuesta metodológica para contribuir al desarrollo de la

capacidad resolver problemas matemáticos; R. Nuñez (1999) sobre la problematización

del contenido en el proceso de formación del Licenciado en Matemáticas; R. Hernández

(2000) sobre una propuesta didáctica para identificar y resolver problemas que requieren

del cálculo de una integral definida o de la derivada de una función real en un punto; A.

Rebollar (2000) sobre una variante para la estructuración del proceso de enseñanza-

aprendizaje de la resolución de problemas matemáticos a partir de una nueva forma de

organizar el contenido en la escuela media cubana; M.C. Pérez (2001) sobre una

estrategia didáctica para la solución de problemas de Geometría Descriptiva; I. Alonso

(2001) sobre una alternativa didáctica para la resolución de problemas matemáticos

centrada en la representación, entre otros.

Esto nos demuestra que en los últimos años se han incrementado las investigaciones

relacionadas con la resolución de problemas en Cuba. No obstante, se considera que en

este momento es importante propiciar mayores espacios de reflexión entre los docentes de

los diferentes niveles de enseñanza de la cual se derive un trabajo coordinado entre todos

los factores que inciden en la eficacia del tratamiento de los problemas a manera de

sistematizar los resultados de las experiencias investigativas, y así ofrecer nuevas estrategias

didácticas en este campo, que lejos de estar acabado en sí mismo, abre muchas

perspectivas a la investigación; por lo que al igual que otros, se continuará perfeccionando

y enriqueciendo a partir de resultados científicos posteriores.

Por estas razones, si bien se considera que los trabajos relacionados constituyen un punto

de referencia para toda investigación pedagógica que se realiza en nuestro país en este

campo, aun existen aspectos que no han sido abordados o que pueden ser enfocados de

otra forma. En el caso de esta tesis nos referimos a otras líneas de investigación o

estrategias alternativas para enseñar a resolver problemas de Matemática, a la introducción

de nuevos medios de enseñanza y acciones intelectuales, para mejorar el proceso de

enseñanza-aprendizaje y que se pueden concebir a partir de las necesidades o problemas

detectados en la carrera de Agronomía .

A continuación se realiza una valoración crítica de algunos modelos de resolución de

problemas que por su trascendencia constituyen una importante referencia en esta

investigación.

1.5.1 Modelo de G. Polya.

La propuesta de modelo teórico de resolución de problemas de G. Polya, a partir de su

libro “Cómo plantear y resolver problemas” consta de cuatro fases, que se consideran

esenciales para fundamentar algunos puntos de esta investigación. Esto se debe a que

todos los modelos de resolución de problemas derivados a partir de este trabajo, están

estructurados a partir de un fundamento común, las cuatros fases expuestas por este autor,

y que propone los siguientes pasos:

? Aceptar y comprender las condiciones del problema.

? Planificar su solución.

? Llevar a cabo el plan planificado; y

? Comprobar, verificar la solución.

Esta propuesta no indica más que una coincidencia estructural esencialmente formal entre

los distintos modelos de resolución de problemas y apunta a consideraciones básicas

comunes a todos los problemas.

Dichas etapas teóricas a pesar de analizarse independientemente unas de otras, en la

práctica no siempre se presentan tan separadas, lo cual puede depender de las

características del problema. Se tienen problemas en los que comprender su enunciado

está estrechamente vinculado a poder llegar a su solución, a diferencia de otros casos

donde la dificultad consiste en aplicar la estrategia planificada.

Como se deduce, el numero de situaciones que se pueden presentar es difícil de

determinar, la apreciación personal del resolutor influye mucho en el momento de abordar

el problema debido a que los seres humanos tenemos toda nuestra información

conceptualizada en correspondencia a las experiencia vividas, que no es más que los

conocimientos construidos socialmente, por lo que es imposible concebir algo uniforme y

válido para todos, situación que debe tener presente el docente al abordar los problemas

en clases.

Comenzando por la primera fase que es la aceptación y comprensión del enunciado, se

considera está determinada por dificultades a vencer por parte del estudiante tales como:

análisis de los textos, conocimientos teóricos básicos, extracción de ideas principales y

secundarias, organización de la información, etc.

La planificación de la estrategia de solución se expresa en la posibilidad del resolutor de

explorar, buscar información, establecer relaciones, su originalidad y creatividad, entre

otros factores, lo que se continúa con la ejecución de la estrategia planificada, donde se

aplican conocimientos específicos de una disciplina o de diversos campos del

conocimiento.

Con respecto a la cuarta fase: la comprobación y verificación de la solución. Es necesario

revisar todo el proceso de resolución si se quiere que el problema deje una huella

perdurable en el aprendizaje del estudiante, para ello se debe validar si la respuesta

encontrada tiene sentido, coherencia, veracidad, etc. De la misma manera, analizar si la

estrategia seguida es susceptible a transformaciones, si es posible aplicarla en situaciones

análogas y destacar sus pasos esenciales.

Los aspectos tratados sobre estas cuatro fases del modelo de G. Polya nos dan una

concepción general de la habilidad a desarrollar y de los pasos a seguir al abordar un

problema.

Sin embargo, a pesar de la significación de este modelo, comenta L.M. Santos Trigo

(1994, p.18): “En la enseñanza de la Matemática, las ideas de Polya empezaron a

implantarse significativamente alrededor de los ochenta. Las estrategias heurísticas

como dibujar diagramas, buscar submetas, considerar casos particulares, y resolver

problemas más simples, se consideraban como parte esencial en la instrucción

matemática”, y agrega, “los resultados de este tipo de instrucción no mostraron una

diferencia notable en el aprovechamiento matemático de los estudiantes”, pues a

decir de Begle (1979): “Esfuerzos simplistas para mejorar las habilidades de los

estudiantes en la resolución de problemas no serán suficientes” .

Tal como ocurre con otros aspectos temáticos, para lograr la aplicación del modelo de G.

Polya es necesario incorporarlo de forma sistemática a las tareas de resolución de

problemas.

Lo anterior constituye una clara evidencia de que un trabajo dirigido en este sentido se

debe proyectar en la búsqueda de otros modelos y propuestas más actuales para reforzar

la resolución de problemas, se estima además, que el modelo de G. Polya y sus etapas,

están presentes de una forma u otra en modelos posteriores y es susceptible a ser

enriquecido con nuevos elementos, sin perder la vigencia de su propuesta.

1.5.2 Modelo de A.H. Schoenfeld.

El modelo de A.H. Schoenfeld que aparece en el libro “Mathematical Problem Solving”

(1985), y enriquecido en algunos trabajos posteriores de este autor (1991a, 1991b,

presenta el interés de retomar algunas ideas de G. Polya, profundizando en el análisis de la

heurística y considerando las reflexiones que sobre los problemas matemáticos se han

hecho hasta ese momento en campos avanzados de la Computación como la Inteligencia

Artificial y en el de la Teoría Psicológica del Procesamiento de la Información. Desde estos

contextos, incluso introduce el concepto informático de control para seleccionar la

estrategia correcta al resolver un problema.

Como resultado, su trabajo muestra una considerable superación en lo referente a

categorías y otros puntos de vista sobre el tema que nos ocupa.

Es así, que a partir de los resultados de sus investigaciones, A.H. Schoenfeld considera

cuatro dimensiones en el proceso de resolución de problemas:

1) Dominio de conocimientos y recursos: Expresados a través de lo que el sujeto conoce

y la forma de aplicar experiencias y conocimientos ante situaciones de problemas. En el

contexto de la enseñanza, se manifiesta en la posibilidad real de los estudiantes de

utilizar los conocimientos adquiridos en las actividades docentes así como también sus

gestiones para plantear, comprobar y modificar sus acciones y operaciones al

realizar las tareas.

2) Estrategias cognoscitivas: Categoría que contempla el conjunto de estrategias generales

que pueden resultar eficaces para acceder a la solución de un problema. Dentro de la

misma se pueden identificar recursos heurísticos que recopilan también otras

publicaciones sobre este tema y que son usualmente incorporados al abordar

problemas matemáticos (analogía, inducción, generalización, entre otras).

Por lo anterior A.H. Schoenfeld sugiere que las estrategias de resolución de problemas

se enseñen explícitamente, en forma sistemática, con el fin de favorecer el aprendizaje

de los estudiantes.

3) Estrategias metacognitivas: Se caracteriza como la conciencia mental de las estrategias

necesarias para resolver un problema, para planear, monitorear, regular o controlar el

proceso mental de sí mismo. En los trabajos de A.H. Schoenfeld se pueden identificar

además dentro de este punto la tendencia a reflexionar sobre el pensamiento propio,

reconocer problemas, seleccionar estrategias, estar consciente de los recursos

necesarios, ser receptivo a la retroalimentación y evaluar la efectividad de las acciones

propias con el propósito de garantizar la culminación exitosa de la tarea.

4) Sistema de creencias: Esta conformado por las ideas, concepciones o patrones que se

tienen en relación con la Matemática y la naturaleza de esta disciplina. Además, cómo

esta se relaciona o identifica con algunas tendencias en la resolución de problemas. Las

creencias conforman el contexto a través del cual los recursos, las heurísticas y el

control se manifiestan.

Los elementos anteriores caracterizan, según A.H. Schoenfeld, el comportamiento de

resolución de problemas. Por tanto los aspectos básicos de su trabajo se orientan a los

recursos, la heurística y el control (incluyendo su aspecto metacognitivo).

En relación a estos aspectos del modelo, es importante desde el punto de vista teórico y

práctico que se consideren sus categorías cuando se explora en el pensamiento matemático

de los estudiantes, favoreciendo actividades donde se propicien la interpretación y

búsqueda de soluciones a los problemas, a manera de mostrar la experiencia de los hechos

y relaciones matemáticas en una totalidad coherente. Pero también, y esto es fundamental,

ya que no se hace evidente en el modelo, debe quedar manifiesto el carácter social de esta

ciencia.

1.5.3 Modelo de Mason-Burton-Stacey.

La selección del modelo de J. Mason, L. Burton y K. Stacey que aparece publicado en la

obra “Pensar Matemáticamente” (1989) para su análisis valorativo, se fundamenta en las

siguientes razones:

- El tránsito entre las fases de trabajo con el problema no se realiza de forma lineal.

- La resolución de problemas se concibe como un proceso dialéctico, donde las tareas

pueden sufrir altibajos, es decir, se puede avanzar, también retroceder. Esta

característica le otorga singularidad al modelo.

- La persona que resuelve el problema tiene un papel fundamental, ya que sus

características psicológicas son un recurso más a utilizar en el logro de su objetivo.

Además, la concepción del problema es de gran importancia didáctica, lo que se debe a:

- Se le da un enfoque positivo al hecho de no poder avanzar en la resolución del

problema.

- Se le asigna una gran importancia a la fase de revisión, con frecuencia no abordada

con suficiente profundidad.

- Se utiliza el rotulado como recurso para no olvidar, para recordar o destacar algo,

para organizar y estructurar el pensamiento.

- El modelo no se presenta como un planteamiento estructurado sobre la resolución de

problemas, sino que trasciende y analiza lo que constituye el pensamiento y la

experiencia aportada por la Matemática, ilustrando una manera de enfocar la vida al

mismo tiempo que posibilita conocerse uno mismo.

Con estos elementos previos, se puede exponer en qué consiste resolver un problema

según estos autores.

Evidentemente, existen pautas e ideas rectoras que se repiten sea cual sea el modelo. No

obstante, uno de los aportes más estimulantes del que ahora se trata, es que considera la

implicación personal tanto afectiva como cognoscitiva del resolutor al enfrentar el

problema, factores a considerar para favorecer la actividad humana.

El itinerario a transitar desde que se presenta el problema hasta que se llega al final consta

de tres fases con una aparente estructura lineal: abordaje, ataque y revisión.

La fase de abordaje incluye toda actividad encaminada a familiarizarse, comprender e

interiorizar el mensaje que encierra el enunciado. En la misma se aclaran los objetivos y

respuestas que se quieren obtener, además de seleccionar, buscar y repasar ideas y

conocimientos previos que de forma inmediata fluyen a medida que nos introducimos en el

problema. Se recomienda proceder con cautela, sin precipitación (a diferencia de como

frecuentemente se observa que los estudiantes proceden en la práctica).

Esta fase se da por concluida, cuando la persona es capaz de expresar su propio

enunciado, ilustrar gráficamente o representarse la situación del problema.

La fase siguiente, es decir, la de ataque, incluye todos los recursos intelectuales o prácticos

que se activan e interaccionan para resolver un problema, por lo que no presenta una

estructura lineal, su principal regularidad consiste en que en la misma se tratan de

reorganizar, relacionar y combinar las ideas de las fase anterior.

En tercer lugar se ubica la fase de revisión, se le debe prestar gran interés para garantizar la

efectividad de las dos precedentes, ya que una vez concluida la resolución de un problema

se hace indispensable comprobar y valorar críticamente la solución, analizar

cuidadosamente cada paso del proceso, cuestionarse el efecto de cada dato en la

conclusión final, variar algún dato para modificar el resultado, transformar total o

parcialmente el enunciado, generalizar o particularizar y establecer relaciones con otros

problemas tratados.

La ejecución de esta última fase, si se lleva a cabo de la forma sugerida enriquece y

optimiza el proceso de tratamiento de problemas en el aula.

Una vez conocida la estructura “externa” del modelo procedemos a un análisis interno del

mismo, en este aspecto se destaca la recomendación de que el individuo no abandone la

resolución del problema, aunque el control permanente que sugiere arroje resultados

erróneos. Para ello se proponen recursos tales como gráficos, escribir todo el proceso de

reflexión del problema, es decir, los conceptos aplicados, operaciones realizadas, dividir el

problema en otros más sencillos, etc.

Ante tal circunstancia, el resolutor debe poner en función el monitor interior (definido por

sus autores como aquello que desde dentro va guiando hacia la solución o sugiriendo lo

que se debe hacer), este monitor, debe ayudar a mantener el interés por efectuar acciones

más o menos adecuadas que motiven al esfuerzo por conseguir las respuestas.

Sin embargo, cuando se reflexiona sobre el modelo, este tiene puntos concretos como el

de “monitor interior” que puede constituir una dificultad para los estudiantes que no han

desarrollado suficientemente la habilidad resolver problemas, lo que hace difícil adaptarlo

al contexto del aula, por lo que en este caso, se considera más recomendable que el

estudiante al presentar dificultades acuda a un “monitor exterior”, que puede ser el

docente, un compañero de aula, material didáctico, etc., lo que de inicio puede ser un

recurso más efectivo para favorecer la resolución de problemas.

Con lo anterior también se quiere significar que el modelo tiene una concepción muy

enfocada a lo individual, lo que constituye una limitación, ya que en la resolución de

problemas la interacción con otras personas, es decir, lo que podemos percibir o aprender

a través de los demás, es fundamental.

1.5.4 Modelos de resolución de problemas que consideran las diferencias entre

expertos y novatos.

Las diferencias que se establecen entre expertos y novatos al enfrentar los problemas es un

punto de vista ineludible en los trabajos de investigación, por lo que se considera revisar

cuidadosamente este aspecto.

El estudio de las diferencias entre expertos y novatos se incluye en el campo de la

Psicología Cognitiva y tiene su origen en la extensión de los estudios relativos a la

concepción del aprendizaje como procesamiento de información. El fuerte impulso que han

recibido estas investigaciones está relacionado con el desarrollo del diseño de sistemas

informáticos expertos en la solución de problemas específicos (J. Cuena, 1986).

Un aspecto básico del diagnóstico que establecen estos estudios es obviamente que existen

buenos y malos resolutores, o expertos y novatos, así como la valoración de que las

diferencias entre ambos tipos de resolutores se deben a diferente estructuración del

conocimiento. De ahí que se comparan los procesos empleados por ambos grupos en la

resolución de problemas. El objetivo de estas investigaciones es arribar a criterios que

posibiliten a los novatos conocer o acceder a formas de actuación eficientes para mejorar

su desempeño al resolver problemas.

Como se resume de R. Glaser (1984), O.P. Ausubel et al (1991) y C. Klingler y G.

Vadillo (1999), las ideas esenciales que se encuentran en la base de todos los análisis

comparativos entre expertos y novatos son:

- Los novatos observan los componentes de la tarea, mientras que los expertos tienden a

percibir los patrones.

- Los expertos dedican de inicio un tiempo para realizar un análisis del problema, en

tanto el novato comienza inmediatamente la resolución.

- Los expertos son más resueltos al elegir un punto para comenzar la resolución, lo que

indica una mayor atención y comprensión en relación con los novatos.

- Los expertos se concentran más en el problema a resolver y no en los aspectos no

esenciales del mismo.

- La diferencia de conocimientos entre expertos y novatos no esta determinada

solamente por “saber más” sino además por tener mejor organizados los

conocimientos.

- Las habilidades del experto surgen como resultado de la práctica continuada y el

aprendizaje, descartándose, por tanto, la creencia de algunos estudiantes de que son

los factores innatos y las diferencias individuales las que influyen en su aprendizaje.

- Las actitudes de los expertos son más positivas y optimistas por lo que a diferencia de

los novatos tienden a perseverar en la búsqueda de soluciones.

- A medida que aumenta el nivel de complejidad y abstracción de las definiciones y

conceptos, se acentúan las dificultades y diferencias entre expertos y novatos.

- Y otras...

En relación con este modelo, y a pesar de la información que del mismo es posible

obtener, se considera que no se profundiza suficientemente aún en el por qué de las

diferencias entre expertos y novatos al resolver problemas, aunque se pueden tener

criterios al respecto. No obstante, a partir de tales diferencias se infieren recomendaciones

y pasos concretos para acortar la “distancia” entre un tipo de resolutor y otro. Además,

resulta importante acercar a los estudiante a desempeños expertos ya sea a través del

despliegue por parte del profesor de todas las acciones que inciden en la resolución de un

problema o favoreciendo las interacciones con otras personas, propiciando de esta forma

que los estudiantes puedan acceder en algún momento a tal condición.

1.5.5 Modelos algorítmicos de resolución de problemas.

En términos matemáticos, y en las Ciencias en general, se define algoritmo como el

procedimiento que a través de la ejecución de acciones u operaciones secuenciadas

permite resolver ejercicios o problemas de cierto tipo.

Por otra parte, se consideran resueltos un conjunto de problemas standard o tipo cuando

se ha encontrado un algoritmo de solución, búsqueda que además no se excluye de los

propósitos esenciales de la Matemática.

Partiendo de formulaciones análogas a las que se exponen en los modelos de resolución de

problemas basados en el procesamiento de la información (A. Newell y H.A. Simon,

1972), es decir, aquellos que suponen que el funcionamiento del cerebro humano se

puede describir a través de algoritmos matemáticos e incorporarlos en programas

computacionales, desconociendo el componente afectivo, las motivaciones, entre otras

características de los seres humanos, han surgidos modelos de resolución que tratan de

establecer similitudes entre lo que hacen las computadoras cuando procesan la información

y lo que hace la mente humana para enfrentar problemas (R. Chrobak, 1998).

En consecuencia, se admite que de esta forma sólo se enseña a los estudiantes a resolver

problemas que puedan remitirse a algún problema tipo cuya solución se trata previamente,

lo que se corresponde con la teoría del procesamiento de la información en la cual se

enmarca este método. Dada esta premisa la resolución de problemas infiere dos procesos:

recuperar de la memoria la información pertinente y aplicarla de acuerdo a los

requerimientos del problema (R. Good y M. Smith, 1987).

Como se viene señalando, la primera fase consiste en la comprensión del enunciado y

análisis de la situación para entender qué se debe obtener. Esta forma de comenzar la

resolución es análoga para la mayoría de los modelos de resolución e independiente de su

referencia psicológica, como se puede comprobar en este capítulo.

La segunda fase para establecer si es un problema tipo o si existe la posibilidad de

transformarlo en tal, tiene como propósito recuperar desde la memoria un problema

previamente abordado, lo que determina según R.F. Kempa (1986), que el factor

<memoria> predomine con respecto al de <análisis y estrategia> para determinar si se

acierta o no en la resolución del problema. Otros autores también exponen objeciones

desde otros ángulos, señalando:

La conversión sistemática de los problemas en ejercicios tipo limita ejercitar el pensamiento

productivo y la creatividad (R.M. Garret, 1987).

El conocimiento de reglas que conducen directamente a la solución sin que sea necesario

dudar, induce un falso sentido de seguridad en el resolvente que puede derivar en la

incapacidad para enfrentar satisfactoriamente situaciones nuevas (M.J. Frazer y R.J. Sleet

(1982), R.M. Garret et al (1990)).

Desde otro punto de vista N. Krinitski (1988, pp.42-43), atribuye un valor peculiar a los

algoritmos acumulados en Matemática, ya que esta rama penetra en otras ciencias y su

riqueza es el tesoro de todas las ciencias, y argumenta:

Los algoritmos son:

1) una forma de expresar resultados científicos; 2) una guía para la acción al resolver los

problemas ya estudiados, y como consecuencia: 3) un medio que permite economizar el

trabajo intelectual; 4) una etapa necesaria al automatizar la solución de problemas; 5) un

procedimiento (instrumento) que se utiliza para investigar y resolver nuevos problemas

(sobre todo eso se refiere a los algoritmos matemáticos); 6) uno de los medios de

renovación de las matemáticas; 7) uno de los modos para describir procesos complejos.

A la vez se subraya que los algoritmos, siendo una parte importante de cada ciencia, no

agotan su contenido.

Los criterios, muy justificados de los autores consultados permiten se reflexione sobre

este modelo y concluir que la automatización fundamentada en algoritmos no puede

conducir a extremos, hay problemas que no puede resolver un algoritmo. Sin embargo

cuando un estudiante soluciona un problema, incorporando en su desempeño una estrategia

eficiente que puede derivar en un algoritmo para enfrentar otros similares, y reflexiona

cuando esta no puede ser aplicada y debe buscar otros recursos, entonces, se puede

confirmar la validez de su aprendizaje. Además, aplicando algoritmos, pueden resolverse

un número significativo de problemas.

1.5.6 Modelo de resolución de problemas como investigación.

Son múltiples los factores que determinan se analice este modelo. De inicio y a partir de la

clasificación de los problemas se plantea la necesidad de tratar en clases no solamente

problemas cerrados sino además los denominados abiertos, lo que se relaciona de forma

particular con el interés de darle a la Matemática, en cierta medida, un carácter

experimental, que a veces no se tiene presente al impartir esta disciplina. Muy en relación

con el comentario anterior, M. de Guzmán et al (1991, p.129), expresa: “La Matemática

es, en buena medida una ciencia experimental, al hacer experimentos con los datos

del problema te familiarizarás con ellos y más fácilmente se te ocurrirá lo que debes

hacer para resolverlo”.

Estas concepciones conducen a revisar la descripción y fundamentación del modelo de

resolución de problemas como investigación (D. Gil y J. Martínez-Torregrosa, 1983),

incorporado con posterioridad por otros autores.

Se exponen a continuación sus fases principales (D. Gil et al, 1991):

I. Considerar cual puede ser el interés de la situación problémica abordada a partir de

una discusión previa sobre el interés de la misma, que proporcione una concepción

preliminar y favorezca el interés y la motivación hacia la tarea.

II. Comenzar por un estudio cualitativo de la situación, intentando acotar y definir de

manera precisa el problema, explicando las condiciones que se consideran reinantes,

etc.

III. Emisión de hipótesis fundadas sobre los factores de los que puede depender el

resultado buscado y sobre la forma de esta dependencia, imaginando, en particular,

casos límite que den verosimilitud a las soluciones buscadas.

IV. Elaboración de estrategias previas a la resolución que guiarán dicho proceso.

V. Resolución propiamente dicha, verbalizando al máximo, fundamentando lo que se

hace y evitando operativismos carentes de significación..

VI. Contrastación del resultado obtenido, valorando su coherencia interna en relación a

las hipótesis emitidas.

VII. Considerar las perspectivas abiertas por la investigación realizada contemplando,

por ejemplo, el interés de abordar la situación a un nivel de mayor complejidad o

considerando sus implicaciones teóricas (profundización en la comprensión de algún

concepto) o prácticas (posibilidad de aplicaciones técnicas).

Estas fases, como corresponde a un trabajo de orientación científica sobre la resolución de

problemas, no constituyen un rígido procedimiento a seguir (precisan sus autores), lo que

estará en correspondencia, entre otros factores, con los recursos y tiempo disponible, la

preparación adecuada de la actividad por parte del profesor y las características del grupo

de estudiantes a que va dirigida la tarea.

En efecto, a pesar de sus puntos de contacto con la actividad investigativa, no está entre

los objetivos de este modelo reproducir exactamente el comportamiento científico, sino

más bien se trata de propiciar que los estudiantes apliquen procedimientos de probada

eficiencia en la resolución de problemas por los científicos, como son: analizar las

condiciones de la situación hasta llegar al problema preciso, emitir hipótesis, elaborar

estrategias de resolución, entre otras acciones incluidas en la metodología científica.

Otra evidencia a favor de este modelo es que integra con los procedimientos propios,

otros considerados necesarios por diversos modelos desde orientaciones distintas, y esto

no se produce como una fusión de etapas inconexas sino de una estructura coherente y

funcional.

No obstante, a partir del análisis, se pueden hacer algunas consideraciones críticas de este

modelo, que aunque no fue concebido para la Matemática, si tiene características que

establecen formas de trabajo accesibles a cualquier ciencia.

En primer lugar, se alerta de que los procedimientos seleccionados en este modelo se

dirigen más hacia la metodología de la ciencia que a los procesos mediante los cuales se

aprende ciencia. Consecuentemente, es importante al considerar aspectos del mismo el no

limitarse a implementar una serie de técnicas que emplean los científicos (observación,

interpretación, comprobación de hipótesis, etc), sin dejar de mencionar que el trabajo

científico se desarrolla en un contexto más amplio y requiere de un mayor esfuerzo y

dedicación, sin excluir presiones procedentes del medio social, mayor responsabilidad,

recursos, y otras condiciones. Esta visión se debe llevar al alumno.

Sin embargo, se incluyen en el modelo procedimientos útiles a los estudiantes, como buscar

y seleccionar información, comprender textos, organizar conocimientos, etc., que son muy

necesarios y lo orientan al trabajar con los temas del programa y los ejercicios y problemas

que se proponen.

Como resulta posible comprobar, también son ejemplos representativos de modelos de

resolución de problemas, los de J.D. Bransford y B.S. Stein (1988), E.L. Pizzini et al

(1989), O.P. Ausubel et al (1991), A. Rodríguez (1991); R.H. Davis et al (1997) y otros,

consultados para esta investigación.

1.5.7 Aplicabilidad y aportes de los modelos de resolución de problemas a la

experiencia pedagógica.

Se han presentado diversos modelos que enfocan la resolución de problemas desde la

perspectiva de varios autores.

Sin embargo, se observa que sus prescripciones se encaminan a facilitar la resolución de

problemas que no son los que generalmente se abordan en las aulas universitarias. Esto

hace difícil su implementación en el proceso de enseñanza-aprendizaje donde hay una

dinámica entre objetivos-contenidos-proceso y otros factores que conducen a la búsqueda

de recursos más próximos a las condiciones en que se desarrolla nuestra docencia.

No obstante, dentro del contexto teórico de referencia y por encima de la complejidad que

conlleva el estudio de todos estos modelos, no se puede perder de vista su contribución a

la práctica educativa. En efecto, los aspectos que se plantean sobre la temática estudiada

enriquecen su campo conceptual. Desde este ángulo, se expusieron las razones por las que

cada uno de los modelos puede contribuir, en cuestiones específicas, a hacernos entender

el proceso de enseñanza-aprendizaje de la resolución de problemas matemáticos y a

mejorar el trabajo docente en general; por estas razones no nos circunscribimos al análisis

de un solo modelo ya que ello significa que nos veamos privados de aclarar aspectos

concretos del trabajo.

Por otra parte, en general en cada modelo se considera la resolución de problemas como

un proceso complejo que implica transitar por una serie de fases, pasos o etapas y aplicar

conocimientos y experiencias para llegar a una solución.

En este sentido, se coincide con L. Campistrous y C. Rizo (1996, pp.62-63), cuando

expresan que: “...el esquema básico de todos los procesos es el de Polya, pero

consideramos que este esquema hay que abrirlo, hay que dar recursos para profundizar en

el significado de cada paso y en el qué hacer para lograr la meta en cada caso”, y añaden,

“Se busca que el alumno deje de ser objeto de enseñanza y pase a ser sujeto de su

aprendizaje, es decir, describir el procedimiento en acciones para el alumno”.

Lo anterior es indicativo de la necesidad de que se conciban investigaciones científicas que

aborden el tratamiento didáctico de los problemas de Matemática en el proceso de

enseñanza-aprendizaje a partir de las necesidades o problemas que se detecten, de manera

de aportar herramientas a profesores y estudiantes que contribuyan a salvar la “distancia”

que existe entre los principios básicos generales de una disciplina y su aplicación a la

resolución de problemas. Desde este punto de vista, los ejemplos que se han citado sobre

las experiencias realizadas por investigadores de diferentes instituciones de nuestro país

constituyen intentos por abrir direcciones en la enseñanza de la resolución de problemas de

Matemática.

1.6 Definición y estructura de la habilidad resolver problemas de Matemática.

La realización de acciones con un propósito determinado es producto del desarrollo social

que van alcanzando las personas a través de su actividad. En este proceso, en la medida

que el hombre adquiere conocimientos teóricos y los lleva a la práctica, llega a dominar la

acción a manera de “saber hacer”, condición indispensable para la realización de cualquier

actividad. A continuación se define la habilidad resolver problemas de Matemática y se

hace una caracterización de la misma.

1.6.1 Hacia una definición y clasificación de la habilidad resolver problemas de

Matemática.

En lo que respecta a las habilidades, estas han sido abordadas en la Ciencias Psicológica y

Pedagógica por diferentes autores: K. Tomaschewski (1966), A.V. Petrosvki (1978),

M.A. Danilov y M.N. Skatkin (1978), G.N. Aleksandrov (1979), G. Arias et al (sin

fecha), N. Talízina (1985), P. Ya. Galperin (1983), G. Fariñas et al (1986), H. Brito et al

(1987), N. Santos (1988), Colectivo de autores (1989), R.M. Avendaño y A.F.

Labarrere (1989), M. López (1990), H. Hernández (1990), O. González (1995), C.

Castillo y F. Barreras (1998), M. Rodríguez et al (1999), C. Samper de Caicedo (1999) y

otros, los cuales coinciden en afirmar que la habilidad es el dominio de un complejo sistema

de acciones psíquicas y prácticas necesarias para la regulación racional de la actividad con

ayuda de los conocimientos y experiencias que la persona posee.

Realmente, en el proceso de enseñanza-aprendizaje, se coincide con J. Zilberstein et al

(1999, p.14), cuando expresan: “Como parte del contenido de la enseñanza, la habilidad

implica el dominio de las formas de la actividad cognoscitiva, práctica y valorativa, es

decir, “el conocimiento en acción” ”.

Ahora bien, sin desconocer el aporte teórico de todos estos trabajos, con el propósito de

precisar, se define en esta tesis a la habilidad resolver problemas de Matemática

como: “proceso que implica la realización de una secuencia o serie de acciones para la

obtención de una respuesta adecuada a una dificultad con intención de resolverla, es decir,

la satisfacción de las exigencias (meta, objetivo) que conducen a la solución del problema

matemático”.

Se considera que esta definición enfatiza el carácter de proceso con que se identifica a

dicha habilidad en este estudio, lo que responde al hecho de descomponerse en diferentes

acciones progresivas que se deben desarrollar integralmente, sucediéndose unas a otras

hasta obtener un resultado (la solución del problema matemático).

En lo que respecta a la clasificación de las habilidades, en la bibliografía consultada se

les consideran desde diversos puntos de vista: prácticas o intelectuales (K. Tomaschewski,

1966), generales o particulares (M. López, 1990), automatizadas y no automatizadas,

conscientes o no conscientes, concretas o abstractas, sólidas o estables o no estables,

materiales y mentales (P. Ya. Galperin, 1974).

Por otra parte, G. Fariñas (1999, p.3), incluye entre otras, a las habilidades relacionadas

con el planteamiento y solución de problemas, en las que denomina, Habilidades

Conformadoras del Desarrollo Personal porque a diferencia de otras habilidades “dan de

forma directa una amplia perspectiva al crecimiento de la personalidad, del yo,

tanto en un sentido cualitativo como cuantitativo, porque le permiten su desarrollo

en una forma constructiva, independiente o autodidácta”.

Sin embargo, lo anterior no implica que la habilidad resolver problemas de Matemática se

ubique en un grupo excluyendo su pertenencia a otro, dada la relatividad de toda

clasificación, determinada por los criterios de que se parte. De esta manera es posible

revelar otras peculiaridades de la habilidad que conduzcan a que se le incluya en otra

clasificación.

1.6.2 Caracterización del sistema de acciones para resolver problemas de

Matemática.

Entre las cuestiones teóricas que se plantean sobre la actividad, nos interesa

particularmente aquella que se refiere al análisis estructural-operacional de la habilidad

resolver problemas de Matemática.

Este interés se relaciona fundamentalmente con el propósito de determinar un sistema de

acciones lo suficientemente generales como para que una vez aplicado a la resolución de

cualquier problema matemático de los que se abordan en el aula, se puedan transferir,

mediante la enseñanza adecuada, a cualquier situación nueva que se presente a los

estudiantes. Por ello, se especifica que en este trabajo cuando se refieren acciones

generales, no quiere decir acciones universales. El carácter general de los acciones es

siempre relativo, ya que se relaciona con aquellos tipos de problemas a cuya solución se

puede acceder mediante la aplicación de tales acciones.

El docente sólo puede indicar ciertas formas de llegar a la solución del problema que en

parte orienten las acciones del estudiante, pero no las determinan completamente. El

resolutor debe mientras resuelve el problema, encontrar y llevar a cabo las acciones que la

situación requiera.

De hecho es imposible conocer o prever todas las operaciones que serán necesarias para

resolver un problema. Para resolver múltiples problemas la cuestión no es simplemente la

de aplicar ciertos conocimientos y medios de acción a una situación concreta, más bien se

trata de aprender lo que aún no se ha aprendido y de descubrir lo desconocido. Además,

las operaciones que implica la resolución de problemas son muy diversas para

presentarlas en una lista completa y definitiva.

Sin embargo, se concuerda con L.N. Landa (1978), cuando expresa que enseñar a actuar

con base en el conocimiento de las acciones facilita y acelera considerablemente el

desarrollo de habilidades, y a un tiempo mejora su calidad. El conocimiento de las

acciones permite controlarlas conscientemente y a voluntad, lo que propicia una

generalización más amplia y rápida de las operaciones. De esta manera, el desarrollo de

una habilidad se manifiesta a través del ajuste de las acciones que el estudiante debe hacer

a las condiciones del objeto.

A partir de estos argumentos, y considerando las fases de los modelos de resolución de

problema y la experiencia adquirida por el autor a través de quince años de labor docente

en la carrera de Agronomía, se formula el siguiente sistema de acciones para estructurar

la habilidad resolver problemas de Matemática (ver gráfico del Anexo 2):

1) Analizar el problema.

2) Generar estrategias de trabajo.

3) Valorar las consecuencias de la aplicación de la estrategia que se considere más

adecuada.

4) Ejecutar o desarrollar la estrategia seleccionada.

5) Evaluar los logros y dificultades durante la ejecución.

En este sistema de acciones, a diferencia de otros modelos de resolución de problemas,

se explicita la acción “valorar las consecuencias de la aplicación de la estrategia que se

considere más adecuada”, pues se estima que la ejecución de esta acción permite valorar

especialmente el grado en que el proceso de resolución del problema implica una

planificación previa, una reflexión sobre la vía que conduce a la solución del problema y

los medios requeridos para acceder a dicha solución, así como del posible resultado a

lograr.

1.6.2.1 Descripción del sistema de acciones para resolver problemas de

Matemática.

1.- Analizar el problema.

Esta acción se manifiesta desde el momento en que el estudiante enfrenta el problema y

trata de descomponerlo en sus partes integrantes con el objetivo de identificar los datos

que le aporta el enunciado, las relaciones establecidas entre los diferentes componentes de

la situación planteada y, simultáneamente, determinar las interrogantes que debe

responder. Sin embargo, esta actividad analítica se complementa con otra de síntesis en la

cual se logra una restructuración consciente de la situación que se desea resolver. De

conformidad con esta acepción, M. Heller (1998, p.84), considera que a través de la

síntesis “el individuo estructura situaciones por sí mismo, va más allá de la

información que le brinda el medio organizándola e integrándola con sus

necesidades e intereses”, estas características no son exclusivas del pensamiento

matemático, sino que se hacen presentes en todas las formas de pensar, de aquí que sean

importantes para la formación del futuro profesional.

Ante esta situación, cuando a los estudiantes se les presentan problemas, el lenguaje es

utilizado como un medio para transmitir las instrucciones que preceden el objetivo a lograr,

esta información es dada en forma verbal o escrita, pero es usual combinarla o reforzarla

con la incorporación del recurso visual (gráfica, tablas, diagramas, etc.), que contribuye a

que los estudiantes ganen claridad en la comprensión del problema. Estos recursos

pueden ser ilustrados por el profesor, por los estudiantes o considerarse parte del

problema.

“La comprensión del problema es la primera condición, necesaria pero no suficiente,

para resolver problemas. Comprender el enunciado solamente posibilita formularse

el problema” (J.M. Sánchez, 1995, p.38) y asegura este autor que la forma en que un

problema se describe inicialmente es vital para determinar si la resolución del mismo será

fácil o difícil.

En este proceso se manifiesta y aplica toda la experiencia acerca de los objetos externos,

lo cual posibilita el manejo de los datos añadiendo nuevas ideas acerca de su composición,

relaciones, orígenes, etc.

Por otra parte, profundizando en cómo se analizan los problemas, se observa que se

requiere que el estudiante exceda el límite de la dependencia directa con respecto a los

materiales didácticos (aquellos capaces de traducir o sugerir ideas matemáticas) para

analizar un problema, lo que implica: un análisis estructural para determinar el contenido

objetivo del problema (magnitudes, variables, objetos, etc), un análisis cualitativo para

examinar las características o condiciones del problema y las relaciones entre las

magnitudes, y también, un análisis operacional para considerar los pasos, acciones u

operaciones que se deben ejecutar para solucionar el problema. Esto no significa que se

tenga que clasificar cada tipo de análisis, pues en este proceso se integran estas tres

direcciones de la actividad analítica. Lo importante es establecer relaciones coherentes

entre las mismas a manera de identificar los elementos estructurales del problema, las

causas y efectos de la situación del problema y los principios y conceptos que se deben

incorporar para resolverlo.

2.- Generar estrategias de trabajo.

Esta acción consiste en que el alumno se plantee una visión general del procedimiento o

procedimientos que conduzcan a la solución del problema, es decir, planifique una

estrategia directriz para evitar el proceder de modo prematuro sin disponer de un plan

para obtener la solución.

Se refiere a la lógica utilizada por el estudiante para inferir unos conocimientos a partir de

otros. Este proceso consiste esencialmente en dos formas de razonamiento mediante las

cuales se pasa de un conocimiento general al conocimiento de casos particulares

(deducción) o a partir del estudio de casos particulares se llega a determinadas

generalizaciones (inducción); especialmente se asocian con valorar la posibilidad del

estudiante para relacionar la información en el interior de las diferentes áreas de

conocimiento específico que integran el programa de estudio. Una hipótesis todavía muy

necesitada de futuros estudios, hace meditar que los procesos inferenciales (de

conexiones) del estudiante dependen fundamentalmente de sus esquemas mentales previos

a través de los cuales, se supone, instrumentan y desarrollan sus capacidades académicas

(A.A. Smirnov et al (1961), R. Glaser (1984), N.B Songer and M.C Linn (1991), O.P.

Ausubel et al (1991)).

Los aspectos señalados, de una manera u otra, se relacionan con el proceso de resolución

de problemas y nos hacen recurrir a las distinciones tradicionales entre los pensamientos

(razonamientos) inductivo y deductivo.

Definido en términos de habilidades para resolver problemas el pensamiento inductivo

señala la aptitud para descubrir leyes y principios en los que a partir de unos datos o

situación particular hay que inferir la ley o principio general que los rige.

El pensamiento deductivo indica la aptitud para llegar a conclusiones procediendo de lo

universal a lo particular.

La inducción agrega a la síntesis la convicción de que los hechos o fenómenos que ocurran

en el futuro serán iguales a los que ya hemos observado.

En términos generales se puede decir que el método debe ser inductivo y deductivo, toda

deducción se funda casi siempre en proposiciones obtenidas mediante la inducción, y la

inducción viene a ser una deducción hecha para verificar las hipótesis.

Existen otras estrategias que intervienen en la resolución de problemas y, de una manera

general, probablemente constituyen una mezcla de inducción y deducción con otras

estrategias como las heurísticas que “...constituyen el método principal para buscar los

medios matemáticos concretos que se necesitan para resolver un problema. Por

tanto se llaman también estrategias de búsqueda” (H. Müller (1987, p.22). La

heurística en este contexto se refiere a la forma novedosa de incorporar estrategias y

conocimientos en la resolución de los problemas.

El análisis de estos factores por el docente determina en que medida debe orientar al

alumno con vistas a mejorar su desempeño para generar estrategias de trabajo.

Para valorar este desempeño a partir de las tareas (problemas) propuestos en clases, se

establecen tres niveles básicos en función de los cuales caracterizar la generación de

estrategias de trabajo: un primer nivel, caracterizado por trabajar con datos presentes en el

problema y de escasa carga conceptual, prescindiendo de cualquier proceso inferencial,

para su activación o asimilación, un nivel intermedio, en el que el estudiante opera con

datos ausentes, de cierta complejidad conceptual y trata de organizarlos y analizarlos

mediante razonamientos lógicos y, por último, un tercer nivel en el que, tras haber

analizado la información, ésta es integrada en conceptos, principios o estrategias generales

que van más allá de los problemas concretos previamente abordados en clases.

La necesidad de esta estrategia se debe expresar en la conciencia de que el proceso de

resolución de un problema requiere siempre de un conjunto de pasos, que deben

precisarse, antes de lanzarse a su solución.

El desarrollo y perfeccionamiento de esta acción es una tarea cada vez más importante y

urgente, ya que en ella radica la base sobre la cual deberá construir su futuro el “alumno de

hoy”.

3.- Valorar las consecuencias de la aplicación de la estrategia que se considere

más adecuada.

El pronosticar sobre las consecuencias de una forma específica de proceder para resolver

un problema y posteriormente observar su cumplimiento, es también una acción mental.

Supone la capacidad de pensar antes de actuar, de predecir cómo será la acción o

ejecución y habitúa al estudiante a realizar esta “práctica cognitiva previa” con mayor

eficacia.

Al seleccionar entre varias estrategias “la mejor opción” se debe tener en cuenta que esta

es una acción que conduce al estudiante del modo más ventajoso a la solución de un

problema. Esta es una situación básica a la que se enfrenta el estudiante al resolver un

problema y que se interpreta en términos de resultados, lo cual significa adelantarse a los

mismos con el propósito de planificar las acciones adecuadas.

Resulta interesante elaborar y desarrollar la estrategia conveniente para resolver el

problema a partir de lo previamente diseñado. Sin la comprensión previa la práctica

carece de sentido, pero tampoco lo tiene la habilidad o procedimiento que no pueda ser

contrastado con una aplicación real, es decir, construir sobre lo que se conoce. De esta

forma se generan expectativas, se supone y anticipa, se profundiza a mayor nivel y se

producen múltiples posibilidades de reproducir, transformar, predecir, anticipar,

conjeturar, hipotetizar, etc.

Según criterio del investigador, con esta acción debe quedar definitivamente elaborado el

modelo matemático reconocido teóricamente en la tarea. En lo que sigue se aplican las

restantes acciones formuladas hasta llegar a conclusiones que interpretamos como

información acerca del mundo real, de esta forma se obtienen explicaciones o predicciones

sobre el objeto de estudio.

4.- Ejecutar o desarrollar la estrategia seleccionada.

Una vez planificadas las acciones a realizar para solucionar el problema y valoradas sus

posibles consecuencias, el paso siguiente consiste en la ejecución del plan, pues ninguna

idea, planteamiento o estrategia será definitivamente válida si el sujeto no es capaz de

desarrollarla en su totalidad y por consiguiente llevarla a la práctica.

La ejecución consiste en la aplicación sistemática de las operaciones y los medios de

trabajo previstos para solucionar el problema.

Su desarrollo supone el dominio eficiente de modelos, estrategias y procedimientos de

resolución de problemas, que permiten realizar acciones progresivas que conducen a un

resultado, la solución del problema.

De esta forma, describe A.F. Labarrere (1988, p.7): “La ejecución de la solución no es

una simple reproducción de la vía concebida, sino un verdadero proceso, donde la

inmensa mayoría de las veces, el alumno asimila nuevos conocimientos acerca del

problema que resuelve, que pueden llegar incluso a modificar el curso de la solución,

a alterarlo respecto al plan concebido, en el sentido de ajustarlo a las nuevas

condiciones y datos del problema que el alumno va revelando”.

5.- Evaluar los logros y dificultades durante la ejecución.

Esta acción consiste en ir valorando los aciertos y deficiencias a través de todo el proceso

de resolución del problema matemático de manera de realizar los ajustes necesarios que

posibiliten la correcta solución del mismo.

Una de las recomendaciones más importantes que la didáctica de resolución de problemas

está proponiendo en los últimos años es la de favorecer el metaaprendizaje, es decir, la

reflexión de los estudiantes sobre su propio proceso de aprendizaje (C. Klingler y

G.Vadillo (1999), M. Rodríguez et al (1999)).

Reconociendo que la metacognición tiene su antecedente en la escuela del enfoque

histórico cultural de L.S. Vigostky, las autoras C. Klingler y G.Vadillo (1999, p.85), la

definen en general como: “la conciencia mental y regulación del pensamiento propio,

incluyendo la actividad mental de los tipos cognitivo, afectivo y psicomotor”.

Dos características se pueden atribuir a la metacognición a partir del trabajo de estas

autoras, una alude a su contenido, la otra a su función. En primer lugar, la metacognición

es un proceso relacionado con el conocimiento que puede alcanzar el sujeto de sus

propios procesos mentales, en segundo lugar, el hecho de poder acceder a sus propios

procesos cognitivos le permite un mejor control de su actividad. Esta doble acepción del

término se señala en toda la bibliografía consultada al respecto. No obstante han surgido

distintas líneas de investigación que atribuyen nuevos matices a ese concepto.

Al margen de las grandes interrogantes todavía pendientes en torno a esta acción, P.A.

Alexander y J.E. Judy (1988), proponen que: evaluar al metaconocimiento del estudiante

implica aclarar el nivel de conocimientos que este posee acerca del funcionamiento de su

propio sistema cognitivo en tres cuestiones básicas: a) la conciencia de la complejidad de

los problemas con que se enfrenta en su estudio así como los pasos fundamentales que

serán necesarios para resolverlos <variables de tarea>; b) el nivel de conocimientos que se

tiene sobre el grado en que va consiguiendo sus metas paso a paso, es decir, a través de la

selección y utilización de estrategias, así como la eficacia de las mismas en relación con los

niveles de logro implicados en la consecución de tales metas (facilidad, dificultad, medidas

remediales, algoritmos, heurísticos, estrategias, etc.) <variables estratégicas>, y, por

último; c) el autocontrol sobre la marcha de las diferentes estrategias que está aplicando

con el propósito del éxito final, y de su actividad interior <variables personales>.

La metacognición, en definitiva, dirige la conciencia del aprendiz en cuanto a regular su

propia actividad.

A lo largo de la descripción presentada, es fácil constatar que el objetivo de las acciones

en la resolución de problemas (léase: analizar-generar-valorar-ejecutar-evaluar) es siempre

transformar una situación inicial (dada por el problema) en una situación final (lo que se

busca, resultado, tesis).

1.7 Algunas consideraciones acerca de la resolución de problemas de Matemática

como proceso cognoscitivo.

Es necesario destacar las relaciones que se establecen entre las acciones del pensamiento

como elemento clave para la resolución de cualquier problema matemático. Es así que

cuando se hace referencia al carácter de proceso de la resolución de problemas, se alude a

la actividad mental, es decir, a la forma peculiar en que las acciones básicas del

pensamiento del alumno se manifiestan, a cómo se estructuran e inteactúan dinámicamente

entre sí. Las acciones del pensamiento en su interacción, determinan el mecanismo principal

de solución de cualquier problema (A.F. Labarrere, 1987).

Es por esto que en la enseñanza de la resolución de problemas de Matemática no sólo se

debe atender la comprensión y aplicación de los conceptos implicados durante el proceso

de resolución, sino además a las acciones del pensamiento. Esta relación se manifiesta a

través de una doble subordinación. Por una parte, la asimilación y aplicación de los

contenidos constituye una condición necesaria para la formación de las habilidades y a su

vez estos contenidos se adquieren o consolidan en el propio proceso de desarrollo de las

habilidades.

De esta manera, para apropiarse conceptualmente del conocimiento matemático y

aplicarlo adecuadamente a la resolución de problemas se requiere; primero, la actividad del

sujeto y segundo, un proceso de reflexión de éste sujeto sobre su propia actividad. Desde

esta concepción se pretende llevar al aula el verdadero proceso de crear matemáticas.

Diferentes autores e investigadores han abordado la reflexión como un rasgo fundamental

del pensamiento teórico y metodológico. En Cuba el tema ha sido tratado por P. Urquijo

(1991), A. González (1997), J. Zilberstein et al (1999), V. Canfux (2001), y otros. En el

ámbito internacional, por autores como: A.V. Zajarova y M.E. Botsmanova (1987),

Mason-Burton-Stacey (1989), M.V. Tríanes et al (1992), J.M. Cooper (1993), D.

Perkins (1994), M. Sánchez (1995), G.L.Morrisey (1996), R.S. Nikerson (1998), R.

Gallego Badillo (1999), y otros.

A pesar de que se relacionan teóricos de distintas extracciones, se plantean en sus trabajos

algunos puntos de similitud, todos consideran la reflexión como una herramienta básica

para explorar la realidad, explicarla, predecirla y actuar en ella.

A partir de este marco de referencias, se adoptan algunos criterios importantes para la

investigación. Dentro de ellos, P. Urquijo (1991, pp.15-16), define la reflexión como “una

acción que permite la comprensión e interpretación por el hombre de sus acciones,

para esclarecer su génesis, y añade, dentro de los límites del pensamiento científico-

teórico, esta génesis constituye las relaciones esenciales entre los objetos, sobre cuya

base forman y resuelven problemas de algún tipo. El conocimiento del hombre del

tipo de problema resuelto puede ser el indicador de que él interpreta su actuación y

comprende lo que no es casual, porque es esencial”.

Desde el punto de vista del docente que propicia la reflexión del alumno, V. Canfux

(2001, p.9), expresa: “...el profesor debe enseñar al alumno a actuar

“estratégicamente” ante una actividad de enseñanza-aprendizaje, esto implica

enseñarlos a reflexionar y analizar las operaciones mentales que deben realizar y las

decisiones que tomarán y a su vez que el profesor reflexione sobre su manera de

enseñar”.

Por otra parte, J. Zilberstein et al (1999, p.19), destacan la implicación reflexiva del

alumno en la búsqueda del conocimiento cuando afirman: “La solución y/o planteamiento

de problemas, la formulación de hipótesis y la elaboración de preguntas deben

provocar que en la búsqueda del conocimiento se entrene el pensamiento reflexivo,

no sólo la memoria sino el razonamiento, la búsqueda de las causas, las relaciones y

las consecuencias”.

Visto de estas formas, en la actividad intelectual del hombre la reflexión cumple una función

muy importante: regula el proceso de resolución de los problemas a través del

planteamiento y sustitución de hipótesis, el control y valoración del proceso y el resultado.

Por estas razones, en la literatura consultada se asocian a la reflexión operaciones tales

como modelar, controlar, valorar y verbalizar.

Los criterios de estos especialistas abren direcciones sobre las formas de proceder

reflexivamente en el proceso de enseñanza-aprendizaje, por lo que tienen implicaciones

muy amplias, no sólo para enfrentarse a problemas matemáticos, sino mucho más

generales, ya que el desarrollo de cada estudiante depende significativamente de cómo

enfrente los problemas y cómo reflexione sobre esa experiencia.

1.8 Conclusiones.

A modo de síntesis se presentan las conclusiones de la exposición anterior en los siguientes

puntos:

- A través de la importancia que se le concede a la resolución de problemas

matemáticos para la formación básica del profesional agrícola en los Programas de la

Disciplina Matemática para la carrera de Agronomía y el creciente interés de

educadores e investigadores por el estudio del proceso de resolución de problemas, se

pudo constatar la importancia y actualidad del tema que se aborda en esta tesis.

- La potencialidad del marco conceptual aportado por el Enfoque Histórico-Cultural nos

ha permitido sustentar los lineamientos y acciones educativas que se promueven en este

trabajo para favorecer el desempeño de los estudiantes al resolver problemas de

Matemática.

- Se elabora una definición de problema a manera de aprovechar su potencial intelectual,

práctico y educativo, teniendo en cuenta tres elementos distintivos de las situaciones de

aprendizaje sustentadas en la resolución de problemas de Matemática: la motivación

del estudiante, las características de las situación del problema y las acciones

conducentes a la solución.

- El análisis crítico de los modelos de resolución de problemas posibilitó que se

establecieran un conjunto de consideraciones teóricas para caracterizar y estructurar la

habilidad resolver problemas de Matemática.

- El sistema de acciones para resolver problemas matemáticos que se propone (léase:

analizar-generar-valorar-ejecutar-evaluar), constituye una vía para conducir el proceso

de enseñar y aprender a resolver problemas de Matemática.

- El proceso de enseñanza-aprendizaje de la resolución de problemas de Matemática,

constituye un campo de operaciones privilegiado para la tarea de desarrollar formas

de pensamiento eficaces, a manera de que los educandos desarrollen procedimientos

generales de razonamiento y aprendan a pensar en un nivel productivo-aplicativo; a

reflexionar frente a los problemas.

CAPÍTULO 2.

ESTRUCTURACIÓN DE LA EXPERIENCIA PEDAGÓGICA.

En este capítulo se presenta la estructuración y organización de la experiencia pedagógica

a partir de los objetivos propuestos para promover el desarrollo de la habilidad resolver

problemas de Matemática. El enfoque metodológico que se propone en las páginas

siguientes se considera esencial para lograr una experiencia transformadora en el aula.

En correspondencia con el problema de la presente investigación, que expresa:

¿Cómo contribuir a desarrollar en los estudiantes la habilidad resolver problemas

matemáticos aplicando los contenidos del Cálculo diferencial e Integral correspondientes a

la carrera de Agronomía?.

Se plantea la siguiente hipótesis:

Es posible favorecer en los estudiantes el desarrollo de las acciones correspondientes a la

habilidad resolver problemas de Matemática aplicando los contenidos del Cálculo

Diferencial e Integral para la Carrera de Agronomía, a través de la estructuración y

aplicación de una experiencia pedagógica sustentada en el enfoque histórico cultural.

Definiciones conceptuales:

Habilidad resolver problemas de matemática: Proceso que implica la realización de

una secuencia o serie de acciones para la obtención de una respuesta adecuada a una

dificultad con intención de resolverla, es decir, la satisfacción de las exigencias (meta,

objetivo) que conducen a la solución del problema matemático.

Experiencia pedagógica: Conjunto de acciones coordinadas entre el profesor y los

estudiantes que se realizan en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la resolución de

problemas para conseguir una finalidad, contribuir al desarrollo de la habilidad resolver

problemas de Matemática.

En el logro de esta meta influyen tres factores esenciales: acciones del profesor (para

enseñar), acciones de los estudiantes (para aprender y desarrollarse personal y

socialmente), y, la interrelación profesor-acciones-estudiantes. De ahí que estas acciones

no se pueden implementar de forma desordenada, se requiere determinada organización y

un tránsito gradual por determinadas fases planificadas cronológicamente en relación con

las acciones educativas.

El experimento pedagógico de tipo cuasiexperimental se realizó en la variante de series de

tiempo, modalidad de caso o grupo único donde se refieren aquellas situaciones en las que

varias mediciones u observaciones se han obtenido antes y después de aplicar

determinado tratamiento a un grupo (M.P. Colás y L. Buendía, 1992, pp.120-124).

El trabajo experimental se inició como experiencia piloto durante el curso 1993-94, la

experimentación rigurosa y la toma de los datos utilizados para extraer conclusiones se

realizó durante los cursos 1994-95, 1995-96, 1996-97 y 1997-98 (en estos cursos estuvo

vigente el Plan de Estudio C). Posteriormente, con la aplicación del Plan de Estudio C´, se

repitió la experiencia en el curso 1999-2000.

La población que formó parte de esta experiencia pedagógica se conformó con los

estudiantes matriculados en el Primer Año de la carrera de Agronomía en la Universidad

de Matanzas “Camilo Cienfuegos” durante cinco cursos, integrada en su totalidad por 119

estudiantes de los cuales 63 son hembras y 56 son varones. Estos últimos representan el

54%; 34%; 45,65%, 55,55% y 51,85% respectivamente en cada grupo. Otros datos de

interés como el índice de ingreso y centro de procedencia de estos alumnos se reportan en

el Anexo 3 del trabajo.

Por la incidencia que tienen en el proceso de enseñanza-aprendizaje se consideraron

además algunas características de esta población según datos aportados en las reuniones

de colectivo de año y otros tomados de entrevistas directas a los estudiantes o consultados

en el expediente escolar. Es importante en este sentido que:

- El 42,85% de los estudiantes que ingresaron a la carrera a través del escalafón no la

solicitaron en primera opción.

- El 30,52% expresó no sentirse motivados por el estudio de la carrera y un 26,89 %

planteó dudas al respecto.

- El 43,69% manifestó sentir poca disposición por el estudio de la Matemática,

argumentando, entre otras razones, que no la aplicaban suficientemente en problemas y

situaciones prácticas.

- El 33,61% planteó que al concluir el curso tenían previsto cambiarse a otra carrera.

Los alumnos conocieron desde el comienzo las metas hacia las cuales se debían dirigir. Se

les hizo saber por tanto, los objetivos de la investigación y las características del

experimento, a fin de que pudieran involucrarse tanto cognoscitiva como afectivamente en

el proyecto y valorar su desempeño escolar.

2.1 La necesidad de una propuesta pedagógica para enseñar a resolver problemas

de Matemática: la visión del profesorado como participe de un problema

común.

A partir del análisis valorativo del capítulo anterior se estudió la posibilidad de un

replanteamiento en la forma de abordar la resolución de problemas en la enseñanza de la

Matemática.

Se consideró pertinente conocer los criterios de un grupo de profesores de Matemática y

obtener de esta forma una visión del tratamiento didáctico a los problemas en el aula.

Así, se trata de que los docentes expresaran a través de una encuesta sus criterios sobre

las dificultades más frecuentes que presentan los estudiantes al resolver problemas

matemáticos. Con este propósito se confeccionó la guía para el análisis de las opiniones de

los docentes que se reporta en el Anexo 4.A.

La muestra se conformó con 56 profesores de Matemática de los cuales 16 trabajan en la

Enseñanza Media, 2 de ellos, es decir el 12,5% tiene menos de 5 años de experiencia

docente y el resto más de 10 años, lo que representa un 87,5%. En el caso de los 40

restantes que trabajan en la Enseñanza Superior, 2 tienen menos de 5 años de experiencia,

12 entre 10 y 15 años y 26 más de 15, lo que representa un 5%, 30% y 65%

respectivamente. En todos los casos ha existido contacto directo, previo a la respuesta,

del investigador con los encuestados.

Para obtener información, se solicitó a los docentes responder la siguiente pregunta: ¿A

qué atribuye usted las dificultades en la resolución de problemas matemáticos?.

Para facilitar el análisis de las respuestas de los profesores, la encuesta contiene items a

valorar dicotómicamente (excepto en el punto 1), para evitar así posibles ambigüedades,

aunque se previó un espacio para que los docentes expresaran en los apartados 2 y 3

otros criterios que consideraran pertinentes. Desde las particularidades de la situación

expuesta, esos items debían indagar sobre:

- La responsabilidad en las dificultades en la resolución de problemas de Matemática.

- Causas relacionadas con la concepción del problema. Serían las relativas al carácter

excesivamente directivo de los enunciados, la insuficiente utilización del pensamiento

productivo, la explicación de estrategias antes o durante la resolución o las referidas a

la contrastación de resultados.

- Causas no relacionadas con la concepción del problema. Serían las relacionadas con

deficiencias en los conocimientos teóricos generales de los estudiantes.

Como inicio de los comentarios a los criterios de los docentes que se reportan en el

Anexo 4.B, es relevante que entre los dos colectivos encuestados, únicamente un profesor

haya considerado que en su opinión, no existen dificultades en la resolución de problemas

de Matemática.

El 87,5% y 95% de los profesores de los niveles medio y superior, opinaron que las

dificultades se debían a deficiencias del alumnado y solo tres docentes (el 5,35%)

consideraron su responsabilidad de forma definitiva, lo que al parecer indica que no se

cuestionan la didáctica empleada. No obstante, del conjunto de sus respuestas se deduce

la necesidad y el interés por la aplicación de una metodología eficaz, lo que hace suponer

indicios de insatisfacción con respecto a la forma en que se realiza dicho proceso

habitualmente.

Respecto a los items 2 (a, b, c, d), los profesores consideran que una resolución

mecánica-memorística es la causa de las dificultades en la resolución de problemas de

Matemática, lo que pone de manifiesto una preocupación por cómo resuelven éstos los

estudiantes, pero no por el tratamiento didáctico que puede estar incidiendo en este

problema.

Sin embargo, si los profesores consideran que la forma de abordar los problemas en

clases no estaba influyendo en las dificultades de los estudiantes al resolver problemas, es

una apreciación que no se vio favorecida por los porcentajes (45% y 37,5%), con que

ambos colectivos de docentes respectivamente valoró la metodología de presentación de

los problemas de poco atractiva (item 3.d), criterio que por demás puede tener

implicaciones en la motivación de los alumnos hacia la resolución de problemas de

Matemática.

Es interesante destacar, que más de la mitad de los profesores expresaron que no se

insiste suficientemente en el análisis del resultado de los problemas. En consecuencia, no se

enseña habitualmente al estudiante a dudar del resultado, además de ser un indicio de que

muchas veces se muestra al estudiante la resolución como un proceso lineal, seguro, en el

que no se precisa dudar. Esto puede ser también un indicador de que los problemas no se

presentan como tales, sino como ejercicios de aplicación cuyo proceso de resolución

resulta familiar.

En correspondencia con lo anterior en los items 3 (a, b, c), las respuestas más

generalizadas entre los encuestados indican otras causas atribuidas a los estudiantes:

deficiente manejo de los aspectos teóricos, dificultades con la comprensión de los

enunciados, entre otras.

Dentro de este mismo punto, en el item 3. e) donde se indaga sobre otros criterios que

pudieran tener los profesores, estos expresaron preocupación por el tiempo destinado a

las actividades docentes para resolver problemas, lo que también se relacionó con la

frecuencia de ejecuciones que requiere el desarrollo de otras habilidades previstas en los

programas de estudio.

Otro aspecto que merece ser discutido con posterioridad y que aparece de manera

implícita o explícita en las opiniones de los docentes es si se deben incorporar desde el

inicio del tratamiento de los temas los problemas en clases o si por el contrario, estos se

deben ubicar al final.

Sobre la base de estas opiniones y del análisis realizado en el marco teórico y contextual

se sustentan muchas de las decisiones adoptadas en este trabajo científico.

2.2 Características de los componentes de la experiencia pedagógica y sus

funciones en el proceso de resolución de problemas de Matemática.

Para la aplicación concreta de la experiencia pedagógica se hizo necesario introducir

cambios en la implementación de los programas de las asignaturas Matemática I y II de

modo de “insertar” adecuadamente la experiencia en el proceso de enseñanza-

aprendizaje de la Matemática para ingenieros agrónomos. Así, es válido suponer que estos

cambios debían operar compatiblemente con todos los elementos implicados en el

proceso docente-educativo, pero al mismo tiempo conllevarían una transformación en el

trabajo metodológico de cada una de la asignaturas.

Los cambios abarcaron decisiones básicas tales como: la reformulación de algunos

objetivos del programa sobre la base de la habilidad a formar, la introducción de nuevas

formas de organización de la enseñanza con la consecuente redistribución del tiempo

asignado a cada una de ellas, la organización por fases del proceso de asimilación, la

incorporación de tareas vinculadas al objeto de conocimiento, la evaluación continúa tanto

cualitativa como cualitativa, etc. Todo ello por supuesto condicionó los métodos y medios

de enseñanza adecuados a cada situación de aprendizaje.

Por último, pero no menos importante, fue que el estudiante aprendiera otras formas de

actuar en las clases de Matemática, sobre todo en las que tenía que resolver problemas,

que organizara sus propias actividades escolares, que participara en el trabajo grupal,

etc., para de esta forma garantizar su aprendizaje. Para ello se debían ir desarrollando

actitudes favorables hacia esta forma de aprender.

Trabajar con esta concepción exigió por una parte que se considerara vital la acción del

sujeto que aprende, y por otra, la función del docente, es decir, su acción en relación con

la del alumno a través de actividades y tareas. De forma que, en el trabajo en el aula, la

función del docente como orientador del desarrollo del proceso de aprendizaje se

mantuvo, pero con otras opciones diferentes o adecuadas a cada situación de aprendizaje.

Esto significó una serie de acciones metodológicas, de orientaciones y ayudas concretas

para plantear y resolver los problemas de Matemática, entre las que son fundamentales

aquellas que favorecen la emisión de preguntas, el planteamiento de hipótesis, la aplicación

de lo aprendido, los debates en grupo, el pensamiento reflexivo, etc. Estas acciones

metodológicas caracterizadas por el trabajo interactivo entre el docente y el grupo de

alumnos se mantuvieron abiertas durante el transcurso de la experiencia pedagógica.

De esta manera, se asignan a la actuación del estudiante y del profesor papeles diferentes,

pero complementarios e importantes en ambos casos.

En cuanto a la descripción de los componentes y acciones metodológicas que se

establecen a través de esta experiencia pedagógica, en la bibliografía especializada en la

planificación de proyectos o programas didácticos (R. Kaufman (1973), R. Davis et al

(1997) y otros), es usual que se identifiquen un conjunto de recomendaciones,

características y principios que deben reunir los modelos de enseñanza-aprendizaje. Por

consiguiente, se organiza este apartado siguiendo las indicaciones del modelo de

intervención pedagógica propuesto por N. Talízina (1985), cuya concepción responde al

enfoque histórico cultural y de la actividad y se corresponde con los principios teóricos y

metodológicos en los que se sustenta la escuela superior cubana.

En este modelo educativo, en la selección de los diversos componentes se consideran las

relaciones causales más relevantes que se dan entre estos de manera de formar la red de

interacciones que posibilita su funcionamiento y el logro de los objetivos propuestos.

Es por ello que la experiencia pedagógica que se presenta en esta tesis incluye entre sus

componentes: objetivos, contenidos, métodos, tareas, medios, formas y evaluación.

Esto sin obviar otros elementos cognoscitivos y educativos que se manifiestan en el

proceso de enseñanza-aprendizaje de la resolución de problemas de Matemática.

Desde luego, lo anterior no implica que se siga estrictamente el orden de presentación de

estos componentes, ni que no se introduzcan nuevos elementos, se trata solamente de

considerar algunas indicaciones en relación con el enfoque metodológico que se sigue en

esta investigación. Además, se incorporan alternativas conceptuales de otros autores

cuyos trabajos se relacionan en alguna medida con el de N. Talízina.

En efecto, conseguir la finalidad de la investigación está determinado por la calidad e

interdependencia con que se logren implementar en la práctica todos estos elementos

(objetivos, contenidos, métodos, formas, tareas, medios de enseñanza, orientaciones y

recomendaciones didácticas, evaluación), al realizar actividades de diversa índole.

En este caso los elementos considerados tienen un carácter especial, ya que no se puede

estudiar ningún aspecto de la práctica educativa sin considerar una de sus categorías con

independencia de las demás.

Así, los objetivos determinan el contenido de la enseñanza y constituyen un criterio

importante para valorar los resultados del trabajo. No obstante, el contenido no tiene

carácter pasivo ante el objetivo, pues de él parten impulsos retroactivos que enriquecen la

determinación y cumplimiento de los objetivos.

Los objetivos, los contenidos y las condiciones de realización del proceso docente-

educativo determinan a su vez los métodos, las tareas y las formas de organización del

proceso de enseñanza, lo que también lleva implícito, la elaboración y utilización de otros

recursos y medios.

La funcionalidad del diseño de la experiencia se sustenta en considerar todas las

interacciones posibles entre sus componentes y organizarlas para que funcionen de forma

coherente.

Así pues, la descripción que sigue corresponde a una necesidad analítica, de ningún modo

hay que entender que estos componentes pueden incorporarse por separado en el

proceso de enseñanza-aprendizaje, todos ellos se integran en la actividad docente de

forma coherente.

2.2.1 Objetivos.

El objetivo constituye la meta o propósito previamente planificado que se desea alcanzar

durante el desarrollo de esta experiencia pedagógica.

En la formulación de los objetivos se tuvo en cuenta su correspondencia con el objetivo

general de la investigación. Además, se consideraron otras características en su

elaboración, entre estas se señalan:

- Se definen y formulan como tareas concretas del estudiante que orientan la selección e

integración de los contenidos.

- Su contribución a otros objetivos del primer año de la carrera de Agronomía, de la

propia disciplina Matemática y del perfil profesional, según se indica en el Programa

de las Asignaturas Matemática I y II.

- A partir del objetivo general se definen objetivos específicos para cada uno de los

programas de las asignaturas Matemática I y II.

- Estos objetivos constituyen la vía conductora de la experiencia pedagógica que

permiten la identificación y definición del contenido, las formas organizativas de la

enseñanza, la metodología y la evaluación, al expresar la transformación planificada

que se desea lograr en el alumno al finalizar la experiencia.

Objetivo general:

? Resolver problemas matemáticos aplicando los contenidos del Cálculo Diferencial e

Integral correspondientes a la carrera de Agronomía.

Objetivos específicos:

? Definir e interpretar los conceptos de derivada y diferencial de funciones reales de una

y dos variables.

? Resolver problemas de optimización, cálculo de razones de cambio relacionadas,

cálculo del valor aproximado de una función y trazado de curvas, aplicando los

conceptos de derivada y diferencial, así como los teoremas y propiedades

relacionados con estos conceptos.

? Definir e interpretar los conceptos de integral indefinida y definida.

? Resolver problemas de cálculo de áreas entre curvas, cálculo de la distancia recorrida

por un móvil conociendo su velocidad en un intervalo de tiempo y de ecuaciones

diferenciales aplicando los conceptos de integral indefinida y definida, así como los

teoremas y propiedades relacionados con estos conceptos.

2.2.2 Contenidos.

Comprende los temas de Límite y Continuidad, Cálculo Diferencial e Integral y Ecuaciones

Diferenciales, que a través de sus conceptos, teoremas, demostraciones, propiedades,

etc., son considerados no como conocimientos aparte, aprendidos en abstracto, sino

como elementos que hay que incorporar a través de tareas o problemas.

En la selección de estos contenidos influyó el hecho de que los mismos constituyen los

grandes núcleos temáticos de las asignaturas Matemática I y II, y es donde el programa

enfatiza la presentación de los problemas.

Los contenidos seleccionados se organizan de dos formas a partir de los Programas de las

Asignaturas Matemática I y II que se reportan en el Anexo 1.A: a) en la tipificación de los

contenidos y su agrupamiento en temas, y b) la secuenciación de los contenidos a lo largo

de la experiencia.

Además, en el tratamiento de los contenidos no específicos se considera importante

incorporar informaciones históricas como formas de acceder al conocimiento matemático,

pues estas constituyen un instrumento especialmente válido para ofrecer al estudiante datos

de interés sobre algunos problemas que se tratan en clases y algunas nociones sobre

personalidades eminentes de la Matemática y la Ciencia en cuanto a su relevancia para

enfocar cierto tipo de problemas, sobre todo en su relación con las acciones de los

individuos dentro de un contexto socio-económico determinado. La explicación coherente

de ese pasado desde ciertos ángulos del presente, orienta a nuevas situaciones y

problemas.

Igualmente esta concepción, trae como consecuencia otorgar una mayor importancia a las

múltiples aplicaciones de las matemáticas, e implica que se favorezca el estudio gradual y

paulatino de los conceptos matemáticos.

En esta dirección también se trata de establecer una fructífera relación entre los contenidos

de la Matemática y los de otras disciplinas del Plan de Estudio de la carrera de Agronomía

tales como la Práctica Agrícola, Química, Física, Riego y Drenaje, Economía

Agropecuaria, etc. Este enfoque apunta al desarrollo de los contenidos matemáticos con

una visión más amplia, que incorpora conocimientos de otras ciencias para integrarlos en

sus propias formas de hacer, pero que de ningún modo significa la sustitución de sus

propios métodos.

Desde esta perspectiva, se consideran algunos cambios en la presentación de los

contenidos, con respecto a lo que se venía haciendo con anterioridad. Estos consisten en

trabajar respectivamente los temas de Cálculo Diferencial e Integral para las funciones de

una variable hasta llegar a las de varias variables. De esta forma, se logra una mejor

integración en la presentación y orientación de los temas a través de las relaciones que se

establecen entre las nociones e ideas básicas del cálculo diferencial e integral, lo que

también resulta útil para obtener una visión general de estos contenidos y de las situaciones

que le dan sentido a su estudio.

2.2.3 Métodos.

En este trabajo se asume la definición de método de enseñanza dada por G. Barraqué

(citado por P.A. Hernández, 1999, p. 1), que expresa es: “...el modo mediante el cual el

maestro o profesor, vinculado con los alumnos, realizan actividades – acciones y

operaciones - teóricas y prácticas con el fin de lograr los objetivos y tareas

planteados en el proceso de enseñanza-aprendizaje”.

De ahí que desde el punto de vista particular de esta experiencia, se pone de manifiesto

que la enseñanza de la resolución de problema no es algo aislado, por el contrario, es un

elemento de primordial importancia del sistema integral de la enseñanza de las matemáticas

y de las ciencias en general, que esta conformado por una gran variedad de métodos y

procedimientos y que por otra parte, considera los métodos (expositivo, ilustrativo,

interrogativo, etc), sin rechazarlos, pero declarándolos insuficientes, en las condiciones de

aprendizaje de nuestros días.

Los métodos expositivos, si son correctamente incorporados en el proceso docente,

propician un aprendizaje activo, tanto de los estudiantes que escuchan el tema objeto de

estudio, como de aquellos que participan, al menos mentalmente, en la solución de los

problemas (P.A. Hernández, 1999).

A partir de estos criterios, se aplicaron especialmente en las clases planificadas para

resolver problemas de Matemática, combinados con los métodos expositivos, los métodos

activos y participativos utilizados por la escuela contemporánea (para ampliar consultar:

D. Gil y M. de Guzmán (1993), Colectivo de autores (1998), S. Ballester (1999), M.

Carnero y A. García (1999), P.A. Hernández (1999), C.M. Alvarez de Zayas (1999)).

El empleo de estos métodos en la experiencia pedagógica constituye una vía para que en

las actividades de resolución de problemas de Matemática se propicien situaciones de

aprendizaje donde los estudiantes desempeñen un papel activo, consciente y

transformador, enfatizándose en el desarrollo de habilidades y capacidades mentales

generales, que permiten al alumno reflexiones sobre su propio proceso de pensamiento y

la adquisición de experiencias a través de su investigación personal, es decir, aprender

haciendo y participando.

Además, para seleccionar los métodos de enseñanza se toma en cuenta su relación con

otros componentes del proceso de enseñanza-aprendizaje. Esto se expresa por medio de:

- Los métodos de enseñanza dependen de los objetivos concretos de cada clase.

- La utilización de determinado método depende del contenido específico a tratar.

- Características del grupo de estudiantes.

- La selección del método en función del tiempo disponible.

2.2.4 Formas.

Las formas de organización de la enseñanza según expresan G. Labarrere y G.E. Valdivia

(1988, pp. 118-119) son: “las distintas maneras en que se manifiesta externamente la

relación profesor-alumno, es decir, la confrontación del alumno con la materia de

enseñanza bajo la dirección del profesor”.

Las formas organizativas del proceso de enseñanza-aprendizaje en la experiencia

pedagógica son: conferencias, clases prácticas, seminarios y talleres.

Cada tema se inicia con una conferencia orientadora a partir de la cual se efectúan las

clases prácticas, seminarios y talleres con los propósitos que a continuación se indican:

1. Conferencias: Clases “teóricas” donde el docente expone para orientar e ilustrar la

aplicación de una metodología general. Permite a los estudiantes obtener la orientación

necesaria para la búsqueda y el estudio de la información complementaria, con el

objetivo de ampliar y profundizar los conocimientos.

2. Clases Prácticas: Clases donde se realizan ejercicios y problemas con el objeto de

valorar las habilidades que van adquiriendo los estudiantes y, señalar y trabajar en las

dificultades propias del proceso. Posibilita que los estudiantes integren y generalicen

determinados métodos de trabajo de las asignaturas.

3. Seminarios: Clases que tienen por objetivo fundamental que los alumnos consoliden,

amplíen, profundicen, integren, comparen y generalicen los contenidos orientados. El

trabajo en seminario es particularmente apropiado para que se aborden los problemas

mediante el modelo propuesto desde posiciones reflexivas del alumno, que estimulen

el desarrollo de la expresión oral, el pensamiento productivo-aplicativo, la búsqueda

independiente o colectiva del conocimiento y las formas de comunicación en el aula.

4. Talleres: Clases que tienen por objetivo analizar y debatir el proceso de resolución de

tareas de enunciados abiertos para valorar la mejor propuesta de resolución.

Constituye una forma propicia para que los estudiantes adquieran conocimientos y se

involucren en tareas docentes propuestas a resolver como pequeñas investigaciones.

La utilización del taller como forma de trabajo en la clase, se concibe como sesiones

prácticas que incluyen cuatro momentos: introducción, ejecución o práctica,

procedimiento y conclusión, en las que cada integrante del grupo tiene determinada

responsabilidad (para ampliar, ver I. Mazarío, 1999b, pp. 40-42).

La distribución del fondo de tiempo de las asignaturas para cada una de estas formas de

enseñanza se reporta en el Anexo 1.B.

2.2.5 Tareas.

La tarea es la situación concreta a que se enfrenta el estudiante y a la cual debe dar

solución, por tanto, es la vía para lograr el desarrollo de habilidades. En ella se modelan

las acciones que queremos realice el estudiante (O. González, 1995, p.101).

De esta manera, las tareas constituyen un conjunto de propuestas concretas que tienen la

finalidad de modelar las acciones que conforman la habilidad resolver problemas de

Matemática. Esto tiene importantes derivaciones pedagógicas, por lo cual en el trabajo

docente se deben considerar aspectos tales como: selección o elaboración de las tareas,

frecuencia de su realización y tiempo que se necesita para resolverla.

El sistema de tareas está formado por los siguientes tipos de tareas:

1. Las enfocadas a la comprensión conceptual.

2. Resolver los problemas de lápiz y papel.

3. Resolver problemas a través de una pequeña investigación.

Se observa que con la planificación de las tareas del primer tipo se tuvo en cuenta que las

mismas tributen a la resolución de problemas matemáticos, ya que el desarrollo de

habilidades cognoscitivas (donde se incluye la resolución de problemas de Matemática)

esta estrechamente vinculado con la comprensión teórica de los conceptos, así como de

los teoremas y propiedades relacionados con estos conceptos, que se estudian en clases.

De acuerdo a esta posición, en la experiencia pedagógica se trata de propiciar la

asimilación gradual de los conceptos matemáticos simultáneamente con su aplicación en

diferentes problemas.

Las tareas relacionadas se describen del siguiente modo:

1. Las enfocadas a la comprensión conceptual: Consisten en solicitar a los

estudiantes que expliquen, interpreten o describan de forma oral o escrita cada uno de

los conceptos tratados en clase y posteriormente confrontar la definición con la que

aparece en el texto o con las de otros compañeros, también se puede verificar con el

profesor. En efecto, al trabajar los problemas se indica a los estudiantes la confección

de un listado que incluya los conceptos fundamentales abordados en clases,

considerando no sólo el conjunto de características esenciales que constituyen el

concepto, sino además, las situaciones que le dan sentido para su estudio y algunas de

sus aplicaciones, como un recurso útil al analizar los problemas.

Estas tareas se presentaron a los estudiantes de las siguientes formas:

a) Explicar con sus propias palabras los siguientes conceptos....

b) Elaborar un resumen sobre los aspectos teóricos tratados en clase y relacionarlos

con otros conceptos o aspectos abordados en algún tema anterior.

c) Establecer similitudes y diferencias entre conceptos relacionados entre sí.

d) Leer y analizar textos y materiales para profundizar en determinados aspectos del

programa.

2. Resolver problemas de lápiz y papel: Se elaboraron un conjunto de problemas que

se orientan a los estudiantes durante el desarrollo de las clases para resolver tanto

dentro como fuera del aula, a través de los cuales se modelan las acciones

correspondientes a la habilidad resolver problemas de Matemática. Estos problemas

se seleccionan de los libros de texto o se elaboran para ser aplicados en clases, y

pueden ampliarse o modificarse sus enunciados de modo que de uno puedan derivarse

varios.

Esta tarea se presentó a los estudiantes de las siguientes formas:

a) Resolver los problemas propuestos por el profesor. En este punto es fundamental

que se garantice que los estudiantes resuelvan problemas nuevos o con los que no

estén previamente familiarizados. Es importante, además, que lo resuelvan de

forma independiente utilizando las orientaciones dadas en clases.

b) i) Proponer a un estudiante que seleccione un problema con el que esté

ampliamente familiarizado. Redactarlo en una hoja (sin olvidar incluir su nombre) y

pasarlo a otro integrante del grupo. Al mismo tiempo recibirá un problema que ha

sido elaborado por alguno de sus compañeros.

ii) Trata de resolverlo y devuélvalo a su autor, luego de identificarse en la hoja.

iii) A su vez recibirá de vuelta el problema por usted redactado. Evalúe el

proceso de resolución y entregue el trabajo al profesor.

3. Resolver problemas a través de una pequeña investigación: Constituyó una

manera de involucrar a los estudiantes y hacerlos trabajar en la búsqueda

independiente o grupal de la solución a través de una pequeña investigación mediante

la cual el propio alumno, al detectar la existencia de un problema por lo general de

enunciado abierto, lo formula independientemente, llega a conclusiones y valida los

resultados. De esta manera se pretendía favorecer el aprendizaje de la Matemática

como ciencia, con un marcado carácter científico-experimental, sobre la base de las

condiciones concretas de la enseñanza superior y de las experiencias acumuladas.

Con la incorporación de esta variante de tarea también se favorecieron el interés y la

motivación de los estudiantes al planteárseles actividades no sólo con un formato

académico sino también en escenarios cotidianos y significativos para el alumno,

procurando que establezca conexiones entre ambos tipos de situaciones y además le

permite la “visualización social” de las situaciones matemáticas al enfocarse la práctica del

aula en un contexto social determinado.

Para que esta actividad tenga sentido se organizó por medio de un diseño del trabajo a

realizar, de un guión que le permitía a los estudiantes coordinar las acciones, dentro de las

cuales se encuentran: plantear el problema a investigar, ordenar las interrogantes, recopilar

toda la información posible y organizarla en gráficos o tablas, plantear alguna hipótesis o

conjetura, es decir, saber en cada momento qué están buscando, qué datos necesitan o

qué esperan encontrar en tal o cual información. Por último, se le solicitó a los estudiantes

redactar un informe sobre los aspectos abordados y prepararse para su discusión.

En los Anexos 5.A y 5.B se reportan ejemplos de tareas resueltas y propuestas en clases

y que responden a las variantes consideradas en este apartado. Otras peculiaridades de

estas tareas se precisan a continuación.

2.2.5.1 Las características estructurales de las tareas.

Para lograr que los estudiantes sean capaces de resolver los problemas

independientemente y a su vez garantizar un adecuado nivel de generalización de la acción,

es necesario se identifiquen las características estructurales más sobresalientes de las

tareas. Desde un punto de vista práctico, este análisis estructural permite que se

planifiquen diversas variantes en la presentación de las tareas. Pero además, un supuesto

básico fundamental en todo entrenamiento para la formación de habilidades es que se

transformen o transfieran las condiciones de aprendizaje de una situación a otra para

garantizar así el tránsito a ejecuciones más complejas a partir de otras más simples. De ahí

que se deban tener en cuenta éstos argumentos para garantizar que el alumno se prepare

para enfrentar las tareas más diversas.

Ello requirió una atención especial debido a que la Matemática se presenta en el Programa

de Estudio y libros de texto fragmentada disciplinariamente y subdividida en temas. Así se

hace necesario establecer vínculos entre los conceptos, ejercicios y problemas de los

diferentes temas, de forma que permitan estructurar un sistema que favorezca las

relaciones entre el todo y las partes. De lo contrario, el estudiante, cuando se le enseña

Matemática sólo capta elementos aislados, sin tomar en cuenta las relaciones entre éstos.

Por eso resulta vital que se proporcionen a través de las tareas las condiciones que

favorezcan la construcción de esquemas de generalización.

De ahí que un alto grado de generalización, según se establece en la tesis, signifique no

sólo la posibilidad de resolver satisfactoriamente los casos típicos de tareas planteadas,

sino además solucionar de forma correcta situaciones nuevas, no abordadas en clases,

transfiriendo conocimientos, experiencias y acciones para obtener la solución de los

distintos problemas.

Así pues, para lograr un adecuado nivel de generalización de la acción se tuvo en cuenta

que en la estructura de las tareas se presentaran las más diversas variantes combinatorias

de los siguientes elementos:

a) La estructura matemática del problema: Dada por la cantidad de operaciones a

realizar y por las dificultades conceptuales que impliquen su solución.

b) La forma de estructurar el problema (oral, escrita, gráfica, etc); considerando los

siguientes aspectos:

? Condiciones bajo las cuales se ofrecen los datos (se dan todos los datos, no se da

ningún dato, se dan algunos datos). Ejemplo: En el Anexo 5.A se reportan tareas con

estas características. En particular en el Problema #1 se ofrecen todos los datos

necesarios para su resolución, sin embargo, en el problema #2 no aparecen los datos y

en el Problema #3 se necesita buscar datos para poder resolverlo.

? Tipo de enunciado (abierto, cerrado, real, académico) Ejemplo: En el Anexo 5.B los

Problemas #19 y #20 son representativos de enunciados abierto y cerrado,

respectivamente, ambos se corresponden con situaciones reales. Para los problemas

cuyos enunciados se elaboran teniendo en cuenta las condiciones en que se

desenvuelven los estudiantes, como es el caso del problema #21 que aparece en el

mismo anexo de los anteriores, se contó con la colaboración de los profesores que

imparten la Práctica Agrícola (disciplina integradora de la carrera). Estos profesores

presentaron a los estudiantes ejemplos de situaciones netamente agrícolas donde se

requería calcular el área de una superficie que los estudiantes no podían efectuar por

no contar, en esos momentos, con las herramientas matemáticas necesarias.

Precisamente en las clases de Matemática, a través del tema de Cálculo Integral, se

proporcionaron las herramientas para resolver esta tarea.

? Grado de conocimiento de la situación de problema (conocida, poco conocida,

desconocida). Aunque durante la realización de este trabajo se observó que existe

una estrecha relación entre las experiencias de los alumnos y el conocimiento de la

situación de problema, por mencionar algunos casos, el Problema #1 que se reporta

en el Anexo 5.A, presenta una situación conocida, en general, por todos los

estudiantes. Sin embargo, el Problema #3, de este mismo Anexo, resultó de mucho

interés por la información que se necesita para resolverlo y que en detalle no conocían

la gran mayoría de los estudiantes.

? Preguntas (al final del problema, al comienzo del problema, número de preguntas,

etc). Ejemplo: En el Anexo 5.B en los Problemas #1 y #2 se plantean una y dos

preguntas al final de cada problema respectivamente, en el Problema #5 la pregunta se

ubica al inicio del mismo, en el Problema #8 se realiza una pregunta final, común para

las tres variantes de situaciones presentadas en dicho problema y en el Problema #13

las preguntas se encuentran, una intercalada en el texto del problema y otra al final.

? También se consideró en la estructuración de la tarea: El vocabulario y la

estructura de las frases del enunciado, la organización de la información, los aspectos

visuales (tablas, gráficas, entre otras ilustraciones), etc.

Como se evidencia a través de los ejemplos presentados un mismo problema se puede

considerar para ilustrar los diferentes aspectos que se combinan en la estructura de una

tarea, esto significa que en los problemas, por lo general, dichos elementos no se

presentan aislados, sino integrados en una misma situación. Al mismo tiempo, a través de

las diversas relaciones entre los elementos involucrados en los problemas, se manifiestan

las dificultades objetivas y subjetivas de las tareas.

Al respecto, se le explicó a los alumnos que el trabajo limpio, los cálculos ordenados, la

exactitud en los planteamientos matemáticos y pasos del problema, no constituyen sólo

una exigencia estética, sino que debido a la creciente dificultad de los problemas, son

premisas indispensables para alcanzar el éxito en el proceso de resolución.

Atendiendo a estos factores, en este trabajo se relacionan problemas muy sencillos,

“elementales”, pero que resultan estimulantes o instructivos, problemas más difíciles, que

pueden resultar trabajosos, pero también importantes. La vinculación con los

conocimientos de otras disciplinas del Plan de Estudios de la carrera constituyó una guía

en la elaboración de muchos de estos problemas.

2.2.5.2 La periodicidad y frecuencia en la ejecución de las tareas.

Se ha señalado que la formación de habilidades se modela a través de tareas específicas

que le descubren al estudiante paulatinamente las acciones y rasgos esenciales generales

que se transfieren a diferentes objetos de conocimiento, con esta finalidad se planifica y

organiza la ejecución de acciones que permitan a corto, mediano o largo plazo la

formación de tales habilidades. En estos casos, la periodicidad esta dada por la

distribución temporal de la ejecución de acciones y operaciones (planificación del tiempo),

lo que se organiza siguiendo la estrategia de no estar ni muy distantes ni próximas

temporalmente entre sí. La frecuencia esta dada por el número de veces que se efectúan

las acciones y operaciones en un determinado intervalo de tiempo, el criterio de

distribución que se establece en este caso es ejecutarlas la cantidad necesaria y suficiente

de veces, ya que de ser insuficientes no se consolidan y de ser excesivas, su efecto sería

contraproducente. Por lo tanto, en el proceso docente educativo la cantidad de

ejecuciones se pueden estimar a partir del diagnóstico y control que del desempeño de los

estudiantes al resolver las tareas realiza el docente.

De ahí que el número de tareas se planificaron en función del tiempo semanal disponible y

del número de horas requerido para el aprendizaje de cada tema. En efecto, se estimó

conveniente que los alumnos resolvieran entre 5 y 10 problemas como mínimo en una

semana y, por otra parte, para los temas que requerían más tiempo de aprendizaje, se

dispusieron, proporcionalmente, un mayor número de tareas.

En lo que respecta a las actividades docentes donde se abordan solamente problemas,

estas ocuparon entre un 15 y 20% del tiempo de clases previsto en el Programa de las

Asignaturas. Estas se distribuyeron de la forma más uniforme posible a lo largo de un

curso académico o dos semestres.

Un aspecto a analizar en la experiencia pedagógica es la incorporación de los problemas

desde el momento inicial en que se abordan los temas.

Una argumentación al respecto nos remite necesariamente a las características de la

enseñanza tradicional planteadas por diferentes autores: V. Davídov (1987), D. Gil y M.

de Guzmán (1993), J. Ontiveros (1994), V. Canfux (1995), P. Gómez (1995b), G.H.

Bower y E.B. Hilgard (1995), A. Camilloni et al (1996), A. González (1997), y otros, de

donde se puede inferir el siguiente proceso en la forma de <hacer> del profesor: a)

Presentación y explicación del tema objeto de estudio; b) Selección de ejemplos que

ilustran el proceso anterior; c) Realización de ejercicios donde se gradúan las dificultades,

de sencillos a otros de mayor complejidad y, <por último>; d) Resolución de problemas

(que en muchas ocasiones no responden a la definición más general de este término).

Con base en lo anterior, se señala que en los Programas de Disciplina y en los libros de

texto de Matemática, la secuencia en la estructuración de los temas de estudio, por lo

general, se diseña a partir de la teoría (definiciones, teoremas, demostraciones), para

posteriormente tratar las aplicaciones, fundamentalmente a través de problemas con texto.

Este orden, en muchas ocasiones es también incorporado en la presentación de los

contenidos en el aula.

No es intención del autor, entrar en contradicción, ni mucho menos rechazar el método

hipotético-deductivo característico de las Matemáticas, sino valorar su implementación en

la práctica docente, de forma tal de revertir este proceso, lo que se fundamenta a partir de

los conocimientos que aporta el estudio de la Historia de la Matemática y de la Ciencia

sobre la génesis de las ideas matemáticas esenciales, donde se destacan de inicio, las

situaciones reales como generadoras de las definiciones y métodos que en etapas

posteriores ha formalizado el pensamiento matemático (J.D. Bernal (1967), K. Ríbnikov

(1987), J.A. Serrano (1991), U.P. González (1992), J.M. Navarro y T. Calvo (1992), M.

Kline (1992), L. Batard (1997), D. Jiménez (1999), G. García et al (1999), A.C. Medina

(2001), entre otros).

Esto significó en la experiencia pedagógica, según el criterio del autor, no dejar para el final

de un tema la presentación de los problemas, incorporándose estos, por muy sencillos que

resultaran, desde el mismo momento que se comenzaron a tratar las temas objeto de

estudio que ofrecían esta posibilidad, lo que en ningún momento contradice que se

pudieran concluir o integrar temas con la incorporación de problemas. De esta manera

también los estudiantes se relacionaban paulatinamente con los problemas y se facilitaba la

incorporación gradual de procedimientos de resolución.

En la bibliografía se pueden encontrar dos artículos (1999a, 2000) en los que he tratado de

proporcionar una argumentación más detallada de esta forma de proceder.

2.2.6 Medios de Enseñanza.

Según V. González (1986, p.48): “... podemos referirnos a los medios de enseñanza

como todos los componentes del proceso docente educativo que actúan como soporte

material de los métodos (instructivos y educativos) con el propósito de lograr los

objetivos planteados”- y comenta – “... estos medios constituyen un sistema cuando se

integran de forma tal que produzcan un resultado superior a la aplicación aislada o a

las combinaciones parciales de sus componentes. Es de la relación entre ellos en la

que cada uno se enriquece a sí mismo y acentúa la acción de los demás”.

En esta experiencia pedagógica, con el propósito específico de favorecer el desarrollo de

la habilidad resolver problemas se conciben los siguientes medios: orientaciones para

resolver problemas de Matemática, folleto de problemas, hoja de trabajo para los

estudiantes y guía didáctica para el estudiante. A continuación, se procede a describir cada

uno de los medios elaborados:

? Orientaciones para resolver problemas de Matemática: Constituyen un

“ordenamiento” de las operaciones necesarias para la realización exitosa de las

acciones de la habilidad resolver problemas de Matemática. Estas orientaciones se

dieron a los estudiantes de forma oral al resolver los problemas en clases.

A continuación, se exponen de manera sucinta, algunas de las orientaciones que sirven de

guía para realizar las acciones correspondientes a la habilidad resolver problemas de

Matemática:

I- Analizar el problema.

Objetivo:

Analizar el problema, identificando lo que se pide y la información necesaria para

resolverlo.

Orientación:

1. Lea (comprensivamente) el enunciado del problema o plantéese el mismo, aclarando

el significado de todos los términos que aparecen en el texto e interprete la información

que se brinda no solamente a través del enunciado, sino también en gráficas o tablas.

2. Asigne variables a las magnitudes requeridas y ordénelas del modo más conveniente

para su estudio, es decir, disponga los datos de manera que se muestren de forma

clara, ordenada y simultánea. Establezca relaciones entre ellos a modo de determinar lo

que se necesita para resolver el problema y lo que no es pertinente.

3. Valore la posibilidad de ilustrar la situación del problema a través de un gráfico, figura,

tabla, etc., a partir de la información recogida.

4. Centre la atención en lo que se debe encontrar, interprete las indicaciones y establezca

qué relación debe hacerse operativamente: a) busque patrones; b) descarte

posibilidades; c) aísle la fuente de dificultad; d) descubra los aspectos parciales que

dificultan el problema; e) determine la información que falta y; f) decida en qué sector

está la dificultad, es decir, si esta es estrictamente personal y se requiere para su

solución, recurrir al libro de texto, material didáctico, compañeros de grupo o profesor.

II- Generar estrategias de trabajo.

Objetivo:

Concebir el procedimiento más apropiado para solucionar el problema.

Orientación:

1. Relacione la situación dada en el problema con sus conocimientos y

experiencias.

2. Determine si se han solucionado en clases problemas análogos al que se le

propone o pregúntese (investigue) que han hecho otros para resolverlos.

3. Establezca si es posible formular hipótesis o conjeturas provisionales como guías

para la solución del problema.

4. Pruebe experimentar de manera implícita o explícita diferentes estrategias que

orienten hacia la búsqueda de resolución.

5. Intente concebir estrategias alternativas para resolver el problema antes de

asumir cualquier estrategia.

III- Valorar las consecuencias de la aplicación de la estrategia que se

considere más adecuada.

Objetivo:

Analizar previamente las opciones posibles para resolver el problema tratando de

seleccionar la más adecuada.

Orientación:

Dedique tiempo a pensar, planear y reconsiderar la estrategia de resolución antes de

decidirte a resolver el problema.

Valore la posibilidad de decidir la forma de resolución más adecuada posible o que te

resulte más conveniente.

Determine a partir de este análisis cual es la estrategia a desarrollar.

IV- Ejecutar o desarrollar la estrategia seleccionada.

Objetivo:

Aplicar la estrategia planificada para resolver el problema.

Orientación:

1. Precise su dominio de los conocimientos necesarios para obtener la solución.

2. Estructure todo el problema en grupos de problemas más sencillos o subproblemas.

3. Pruebe las hipótesis que surjan del análisis de casos sencillos.

4. Realice las operaciones controlando cada paso.

5. Pruebe con soluciones gráficas y otros procedimientos que lleven hacia métodos

sistemáticos.

6. Escriba con claridad y explique brevemente lo que hace.

7. Señale con recuadros, subrayados, etc., lo que considere más importante en la

resolución del problema.

V- Evaluar los logros y dificultades durante la ejecución.

Objetivo:

Comprobar que la solución es correcta, si satisface las condiciones dadas en el problema.

Orientación:

1. Revise el problema asegurándose de que la solución obtenida corresponde a la

pregunta formulada.

2. Pregúntese si la respuesta tiene sentido, si se corresponde con sus estimaciones o

predicciones razonables.

3. Refleje en el papel todos los cálculos realizados con conocimientos matemáticos o con

el auxilio de la calculadora, lo que posibilita el poder realizar rectificaciones y seguir el

proceso, comprobando que no se han cometido errores de cálculo (sobre todo si

conducen a respuestas carentes de sentido), que las unidades sean correctas y que

satisface las condiciones del problema.

4. Revise con profundidad lo que se ha hecho (ensaye el camino inverso, elimine datos y

agréguelos valorando su influencia en la solución).

Por supuesto, a pesar de que se ha intentado un “ordenamiento de orientaciones” en base

a determinadas operaciones o microacciones que frecuentemente se asocian con la

resolución de problemas, es imposible establecer todas las operaciones que serán

necesarias para resolver los problemas, el orden necesario de las mismas y la relación

entre las operaciones y las situaciones específicas.

Sin embargo, la cantidad , naturaleza y carácter de la información que diariamente recibe

un estudiante hace necesario que se le indiquen ciertas formas de llegar a la solución que

en parten orienten las acciones y microacciones del resolutor, aunque no las determinen

completamente. El estudiante al incorporar tales instrucciones debe, mientras resuelve el

problema encontrar y llevar a cabo las acciones que la situación requiera.

Para que se pueda lograr lo anterior, el docente procede comenzando por resolver

problemas él mismo, especificando la dirección de la búsqueda de la solución y efectuando

las operaciones correspondientes al proceso de resolución, para de este modo hacer

conscientes a los estudiantes de las mismas durante este proceso y llevarlos gradualmente

a la determinación independiente de las operaciones en las condiciones específicas de las

tareas. Además, se trata de que los alumnos participen en la construcción de esta base

orientadora de las acciones de manera de implicarlos afectiva y cognoscitivamente en su

propio proceso de asimilación de los conocimientos y habilidades.

Si bien se ha planteado una secuencia de orientaciones para resolver los problemas, esta

línea de trabajo metodológico no constituye una “receta operatoria” para que el alumno la

repita o realice mecánicamente, las necesidades y exigencias del aula pasan a través de la

creatividad constante del profesor, quien es el agente orientador, innovador y dinamizador

del proceso docente-educativo.

En concordancia con estas ideas, en el proceso de enseñanza se trabaja para incentivar en

el estudiante su motivación e interés por resolver los problemas apelando a todos los

recursos a su alcance. En este caso, el problema más sencillo puede resultar oportuno para

estimular en el alumno la reflexión a partir de las acciones y operaciones que realice, así

obtendrá nociones de su propio progreso personal.

? Folleto para los estudiantes con problemas resueltos (ver Anexo 6): Contiene

un conjunto de problemas que recorren los contenidos fundamentales del programa de

las asignaturas pero presentados con apuntes sobre los conceptos aplicados y

describiendo con detalles los pasos seguidos durante la resolución. A través del mismo

el estudiante puede obtener una visión general de una forma de proceder que en

ocasiones no aparece en el libro de texto donde por cuestiones de espacio y estética

no se presentan de este modo. Se utilizó como ayuda (ya sea dentro o fuera del salón

de clases) para ejemplificar algunas situaciones que complementan las abordadas en

las clases o en el texto, como orientación para la realización de tareas y para ilustrar la

relación entre conceptos y problemas.

? Hoja de Trabajo de los estudiantes (ver Anexo 7): Son las hojas donde los

estudiantes resuelven los problemas, estas contienen las tareas a resolver y se van

integrando hasta conformar un cuaderno. También resultan útiles para que los alumnos

elaboren o transformen los enunciados de los problemas a resolver. A su vez, la

estructura de la Hoja de Trabajo da la posibilidad al docente y al estudiante de ir

valorando las insuficiencias y los progresos alcanzados durante el transcurso de la

experiencia, ya que se anotan, en el espacio disponible a tal efecto, las dificultades y

logros detectados al analizar tanto el resultado como el proceso mediante el cual los

alumnos acceden a la solución del problema. Este medio que se utiliza

fundamentalmente en las Clases Prácticas, ofrece al docente la ventaja de poder

solicitar en cualquier momento al estudiante la entrega de una o varias tareas con el

propósito de revisarlas y discutirlas con él posteriormente.

? Guión o guía didáctica del estudiante para la resolución de problemas de

Matemática (ver Anexo 8): Conjunto de preguntas y recomendaciones

metodológicas que se elaboran y ordenan mediante el trabajo interactivo entre el

profesor y los estudiantes con el objeto de orientar el proceso de resolución de

problemas. Las informaciones que reciben los estudiantes a través de esta guía

conducen sus esfuerzos en la resolución de los problemas. Por tanto, su objetivo es

ayudar al alumno cuando por sí mismo no puede resolver el problema y necesita de

indicaciones o apoyo externo.

Para confeccionar esta guía, se requiere de inicio, disponer de pancartas, plumones y cinta

adhesiva, posteriormente, cuando los estudiantes la reclaman para uso individual, se

reproduce su contenido en papel.

Pero, ¿En qué consiste la novedad de este medio?. ¿No se han planteado siempre

preguntas y recomendaciones a los estudiantes para resolver los problemas?. ¿Cuál es su

utilidad?. La respuesta a estas interrogantes se encuentra en la técnica que se propone

para confeccionar la guía.

Para ello, se colocan pancartas o carteles en lugares estratégicos del aula (uno para cada

acción considerada en la resolución de problemas) donde se escriben todas las preguntas

y recomendaciones razonables que se realicen en el salón de clases durante el proceso de

enseñanza-aprendizaje de la resolución de problemas en la etapa inicial de la experiencia.

Con este propósito se le solicita a los estudiantes que aporten todas las ideas posibles al

problema, que formulen preguntas y sugerencias sobre el material que se aprende.

Todas las sugerencias adecuadas se aceptarán y después de categorizadas por su

pertinencia a determinada acción y debatidas con el grupo, se anotarán ordenadas

convenientemente en el cartel correspondiente, en este momento la acción directa del

docente es fundamental porque tiene que atender la organización definitiva de las preguntas

y recomendaciones y simultáneamente generar la participación activa del estudiante en la

construcción de la base orientadora de la acción a través del propio proceso de resolución

de los problemas. Se observa que este medio queda definitivamente elaborado al

transcurrir varias sesiones de trabajo con los problemas, en tanto se revelan precisamente

las operaciones esenciales para resolver gradualmente los mismos, es decir, una vez que se

llega a determinar un conjunto de operaciones y sugerencias interrelacionadas que

constituyen prescripciones que especifican el proceso de resolución de problemas,

posteriormente se registra el listado en papel. Los estudiantes trabajaran durante un

tiempo con esta guía hasta que puedan prescindir de este medio.

Obviamente, la efectividad de este recurso presupone que los alumnos se familiaricen

paulatinamente con sus instrucciones y las interioricen, para que posteriormente, al

aplicarlas, realicen los ajustes en relación al tipo de problema a solucionar. En efecto, las

preguntas y sugerencias que contiene la guía no pueden ser incorporadas en su totalidad a

todos los problemas, ni agotan todas las que puedan surgir.

Por otra parte, a pesar de que la incorporación de medios computacionales no está en la

proyección de este trabajo, se considera conveniente aclarar que en determinados

momentos de la experiencia resultó apropiado el trabajo con algunos sistemas algebraicos

para computadora (DERIVE, MATHEMATICA), de manera de proporcionar también

estas experiencias al estudiante.

2.2.7 Evaluación.

Actualmente en las investigaciones y trabajos sobre didáctica, en general, se enfatiza la

necesidad de fundamentar la toma de decisiones en información fidedigna, válida, precisa y

actualizada, proveniente de los resultados de la evaluación.

La evaluación según expresa M. González (2000, p.35): “Es el proceso y resultado de

juzgar la valía de un objeto o fenómeno de la realidad, en sus características

esenciales, sus manifestaciones particulares, su devenir, estado de desarrollo actual

y previsible, de acuerdo con criterios de referencia pertinentes a la naturaleza del

propio objeto y a los propósitos que se persiguen”.

Para los efectos de este trabajo, esta definición tiene importantes implicaciones:

1. Por ser un proceso continuo, la evaluación no se realiza sólo al finalizar la etapa de

aplicación de la experiencia. Se realiza antes, durante y después de finalizada la misma.

2. El sistema de evaluación esta orientado a valorar cómo el alumno se apropia de las

acciones correspondientes a la habilidad resolver problemas matemáticos, pero

además, debe analizar si la forma de abordar la resolución de los problemas de

Matemática mediante las acciones metodológicas propuestas resulta eficaz.

3. Debe garantizar a través de instrumentos precisos, reunir la información necesaria que

posibilite en un momento dado, identificar dificultades susceptibles a ser mejoradas

mediante una adecuada intervención didáctica.

Las principales formas de evaluación son:

Evaluación inicial (Prueba de Diagnóstico): Se aplica al comienzo de la experiencia

pedagógica para valorar el nivel de desarrollo de la habilidad resolver problemas de

Matemática de cada estudiante.

Evaluaciones frecuentes (orales y escritas): Se realizan durante el desarrollo de las

clases, de modo continuo, integral y coherente, por lo que contribuyen al estudio

sistemático y la retroalimentación del proceso al permitirnos constatar los logros y

rectificar los errores de los alumnos en el momento en que se cometen.

En efecto, la retroalimentación es otro mecanismo mediante el cual se propician en el aula

las interacciones profesor-alumno y alumno-alumno, visto como un proceso comunicativo,

necesario para el aprendizaje de la resolución de problemas. La información de la

retroalimentación se presenta a través de diferentes medios: notas, comentarios,

sugerencias, una señal de aprobación, un gesto interrogante, etc, posibilitando obtener

información de cómo actuar e implementar las acciones de la habilidad que se esta

desarrollando. Pero a la vez, permite al docente conocer cómo sus acciones son

percibidas por los estudiantes, que al mismo tiempo lo retroalimentan, es decir, le informan

acerca de la validez o no entre sus propósitos y acciones.

Al respecto se puede añadir que dada la sistematicidad del proceso de formación de

habilidades, se requiere de un perfeccionamiento continuo de cada tarea que realizan los

alumnos, por lo que el docente atiende los errores en los que estos incurren de manera que

se reconozcan e insistan hasta corregirlos, es decir, aprendan del error en el sentido de J.

Piaget (1986, p.225), quien recomienda no rectificar los errores de los estudiantes

directamente, “sino más bien mostrarles contraejemplos que permitan a él corregir

sus propios errores”.

Con este propósito, se atienden en este trabajo los siguientes aspectos:

a) Detectar los errores, las razones por las que se cometen y sus soluciones.

b) Entrenar a los estudiantes en identificar y solucionar sus errores.

c) Analizar los errores en pizarra, lo que puede ser un importante recurso metodológico si

se emplea en toda su extensión.

Como parte de la evaluación oral, se aplican específicamente en la semana 13 de cada

semestre, en ambiente normal de clases, dos pruebas utilizando la técnica conocida en la

bibliografía como “thinking aloud” o “pensar en voz alta”, posibilidad que se favorece por

el número no muy alto de estudiantes en cada grupo o su subdivisión habitual en

subgrupos.

La técnica denominada “pensar en voz alta”, fue introducida por Newell y Simon para

contrastar el desempeño entre resolutores expertos y novatos. Esta consiste en que el

sujeto objeto de estudio exprese en voz alta todos sus pensamientos, en este caso durante

la resolución de un problema de Matemática.

La técnica anterior se combina con una entrevista semiestructurada focalizada (L. Münch y

A. Angeles, 1998, p.63), a modo de favorecer un proceso interactivo entre el

experimentador y el sujeto, donde el primero hace preguntas al último con el objetivo de

obtener la información sobre los procesos internos cuando resuelve un problema.

Usualmente el sujeto escribe y habla. Normalmente no es interferido por el experimentador

hasta que no concluye su exposición, aunque no se excluye la posibilidad de hacerlo.

La decisión de recurrir a la aplicación simultánea de ambas técnicas se asocia con las

exigencias de la investigación, donde se propone valorar el desarrollo de la habilidad

resolver problemas de Matemática a través de acciones presentes en esta actividad,

posibilidad que reporta la incorporación de este tipo de prueba. Por otra parte, el

razonamiento en voz alta es muy frecuente en las investigaciones sobre resolución de

problemas y heurística porque propicia, a modo de acción exterior, que los estudiantes se

vean obligados a analizar con exactitud el problema, y logren así reconocer paso a paso lo

verdaderamente esencial del proceso de resolución.

Se puede pensar que reproducir en voz alta el proceso mental que se sigue durante la

resolución de problemas supone una dificultad o limita la secuencia principal de este

proceso. Sin embargo se ha comprobado experimentalmente que en la resolución de

problemas matemáticos, la atención exigida para pensar en voz alta no afecta a la

obtención de la solución (R. Gorodetsky y R. Hoz, 1980). Esto se relaciona en alguna

medida con la teoría de P. Ya. Galperin (1986,1987), ya que en la etapa de la acción

verbal, a través del lenguaje externo, el docente puede controlar no solo el resultado de la

acción, sino también su desarrollo, y puede corregir los errores inmediatamente. El

estudiante tiene que actuar conscientemente y formular con precisión cada paso en forma

verbal.

Así, para la obtención de información relacionada con estas pruebas, se elabora una guía

para el profesor (consultar Anexo 9.A), donde se establecen las pautas a seguir para el

análisis cualitativo de las resoluciones y de esta forma valorar si la secuencia de ejecución

de las acciones se aproxima o corresponde con la sugerida en este trabajo, brindando

además información sobre el contenido y corrección de la acción.

También resulta importante atender si los estudiantes identifican los problemas de la prueba

con otros, standard, cuya solución le es conocida, para inmediatamente, sin considerar

ninguna posible peculiaridad de la situación del problema, avanzar en la resolución sin

justificar sus acciones hasta alcanzar un resultado del cual no se cuestiona su validez.

Los problemas que se eligen para la realización de estas dos pruebas orales son en la

primera, relativamente sencillos y en la segunda de un grado de complejidad medio, pues,

con su aplicación, más que valorar la eficacia del alumno como resolutor se pretende

conocer el proceso mental seguido en la resolución y sobre todo profundizar en aspectos

metodológicos tales como las reflexiones iniciales, la selección y elaboración de estrategias

y la decisión de dar por finalizado el proceso de resolución.

El hecho de que se vincule esta prueba con la entrevista semiestructurada focalizada

responde a los mismos aspectos anteriores, durante su aplicación y de acuerdo con los

procedimientos característicos de la misma, se parte de propiciar que el estudiante resuelva

el problema de la manera que lo concibe. Posteriormente el docente indaga sobre los

aspectos más complejos de la situación del problema presentado, registrando las

reflexiones del estudiante, sus contradicciones. De esta forma pueden originarse

modificaciones en los problemas abordados y nuevos procedimientos o estrategias de

solución. Los interrogatorios indagan la génesis de las ideas expuestas por los alumnos,

analizando sus acciones para fundamentar estrategias de resolución. A partir de esta

información se trabaja posteriormente para mejorar el desempeño individual de los

estudiantes al resolver problemas de Matemática.

Evaluaciones parciales: Se planifican un total de tres evaluaciones de este tipo en las

semanas 9 y 18 del Primer Semestre y en la semana 9 del Segundo Semestre. Se realizan

para evaluar los conocimientos y habilidades adquiridas por los estudiantes durante

determinada etapa y abarcan el contenido de uno o varios temas, es decir, para

comprobar el logro de objetivos que exigen mayor nivel de asimilación y desarrollo de

habilidades y en función de los cuales se ha trabajado durante cierto tiempo.

Evaluación final de la experiencia: Se planifica en la semana 18 ó 19 del Segundo

Semestre del curso escolar. Esta evaluación consiste en un problema de aplicación del

Cálculo Diferencial e Integral a las ecuaciones diferenciales (ver temarios en el Anexo 10),

a partir de la información obtenida de esta evaluación se puede comprobar en qué medida

los estudiantes han desarrollado al habilidad resolver problemas de Matemática y que nivel

de generalización tiene la misma.

Trabajos o Tareas Extraclase:. Se utilizan durante el transcurso de la experiencia para

abordar tareas que recaban de más tiempo y dedicación del estudiante para su resolución.

Esta variante de evaluación se puede iniciar en la clase y continuar realizándose fuera de

ella, además de ser una valiosa forma de que los alumnos adquieran conocimientos y

experiencias independientemente. Las dos evaluaciones de este tipo que se realizan

específicamente para la experiencia se consideran evaluaciones frecuentes. En ambos

semestres, estas tareas se orientan en la semana 10 y se recogen en la semana 15,

posteriormente se evalúan y discuten con los estudiantes.

En los diferentes tipos de evaluaciones que se relacionaron, los problemas se incorporan

con otros ejercicios en las evaluaciones frecuentes, parciales y finales de las asignaturas

Matemática I y II.

La decisión de evaluar para la experiencia pedagógica los problemas incluidos en las

evaluaciones habituales de estas asignaturas responde al propósito de no recargar el curso

con evaluaciones, en definitiva, el objetivo de resolver problemas está muy explícito en el

programa de las asignaturas, y además, como se aprecia en la propuesta, se trata de

establecer un equilibrio entre todos los aspectos del programa, donde los problemas se

integren de forma natural y sistemática, a modo de favorecer el desarrollo de la habilidad

resolver problema de Matemática conjuntamente con la asimilación de otros

conocimientos y habilidades no excluidos de esta actividad.

A las quince semanas de finalizada la experiencia, se aplica la Prueba de Solidez para

valorar la permanencia de la habilidad desarrollada en el transcurso del tiempo.

Los temarios de las tres evaluaciones parciales escritas, de la prueba final y de la prueba

de solidez se reportan en el Anexo 10, para las dos tareas extraclase se seleccionan los

problemas # 20 y # 21 que aparecen en el Anexo 5.B. Los resultados de todas estas

evaluaciones se analizan en el siguiente capítulo.

Para proceder a una valoración individual, se realiza el análisis cualitativo de los

indicadores para determinar el rendimiento de cada estudiante. Al indagar sobre estos

aspectos, se establecen como indicadores cualitativos de la habilidad a formar en los

estudiantes, la aplicación adecuada de conocimientos y procedimientos en la resolución de

problemas de Matemática mediante la secuencia de acciones y operaciones

correspondientes a cada tarea. Así, se reporta en el Anexo 11 la escala de graduación

para obtener información precisa sobre el desarrollo de la habilidad. Como se observa en

este Anexo, cada indicador puede ser valorado con las categorías de “deficiente” hasta

“muy bien”.

Por estas razones, se presta atención al control del proceso de asimilación, lo que significa

la comparación de las acciones realizadas por los alumnos y sus resultados, con lo previsto

en los objetivos que se desean alcanzar durante el desarrollo de la experiencia pedagógica.

En este caso, el control no siempre está asociado a una calificación, sino también a los

criterios y recomendaciones que el docente ofrece a cada estudiante sobre su desempeño

en las actividades.

En relación con lo anterior, se decide que este control no lo ejerza solo el docente, como

tradicionalmente se ha hecho, sino darle al alumno una partición activa en el proceso de

evaluación, a través de la consideración crítica del propio trabajo realizado o del de sus

compañeros, de manera que el docente ofrezca la información oportuna y realice las

correcciones necesarias en las tareas, solo cuando los estudiantes no puedan hacerlo por

sí mismos.

Así, con el propósito de incentivar a los estudiantes para que emitan sus juicios sobre su

propio desempeño y el de sus compañeros al resolver los problemas, se elabora la Ficha

de Evaluación que aparece en el Anexo 12. Esta consiste en un modelo a través del cual

se registran las opiniones de los estudiantes sobre cómo valoran el aprendizaje

demostrado por cada equipo y el suyo propio al resolver los problemas en el aula.

También, durante el transcurso de las clases se da la oportunidad de intercambio entre los

integrantes del grupo que realizan la presentación y justificación de las resoluciones de los

problemas, y los restantes miembros del aula, detectándose de esta forma los errores y

dificultades en que incurren. En dicha instancia, los alumnos analizan los errores comunes

que se cometen y tienen la posibilidad de comparar diferentes formas de resolver una

tarea.

En este punto, se enfatiza la importancia de la valoración por el estudiante de todo el

trabajo realizado, permitiendo la asesoría, sugerencias y recomendaciones del profesor.

Esta forma de trabajo en la clase además de permitir que se valore el trabajo grupal, es

una vía mediante la cual el docente puede aproximarse a una evaluación individualizada.

Se observa de este modo que los aspectos anteriores se complementan a los efectos de la

recogida y análisis de datos, con la realización de una evaluación diagnóstica adecuada.

Para ello es necesario contar con instrumentos oportunos que faciliten la recopilación

sistemática de datos, con este propósito se confecciona la Hoja de Diagnóstico para las

dificultades individuales (ver Anexo 13), diseñada a objeto de obtener información sobre

el proceso de formación de las acciones de la habilidad resolver problemas, es decir,

valorar y no cuantificar la actuación del alumno.

La Hoja de Diagnóstico permite mediante observaciones personalizadas y anotaciones en

papel determinar las dificultades y tomar las medidas correctivas en el trabajo.

Para realizar el diagnóstico, se indica marcar con una cruz delante de cada uno de los

aspectos considerados en la manera de actuar del estudiante. En ese sentido, cada acción

de la habilidad resolver problemas, constituye una unidad de análisis. Esto requiere precisar

una serie de aspectos que caracterizan la ejecución de las acciones en la resolución de

problemas, y establecer la frecuencia (siempre, muchas veces, algunas veces, nunca) de su

realización, por cada estudiante. Finalmente, a partir de la frecuencia mensual obtenida, se

reflejan los resultados en la tabla de resumen del diagnóstico.

El diagnóstico se realiza en determinadas actividades para todos o algunos estudiantes de

la clase mediante la revisión de las tareas (escritas, orales, prácticas, teóricas, individuales,

grupales, ...), según se considere pertinente.

Cabe destacar aquí, que no todas las características del trabajo que se consignan en la

Hoja de Diagnóstico deben tener relación con dificultades del proceso de enseñanza-

aprendizaje, pueden también consignarse aquellas que no representan buenas técnicas de

trabajo, pero que conducen a resultados satisfactorios y que por tanto son susceptibles a

mejorarse o corregirse.

Las correcciones del proceso para mejorar el aprendizaje de los alumnos tienen el

propósito de orientar las actividades intensivas o correctivas necesarias para que el

estudiante logre el mayor rendimiento posible, por lo que se deben generar las

recomendaciones más adecuadas a nivel individual y grupal.

Es así como a partir de tareas concretas a realizar por los alumnos se aplica un programa

de atención individualizada para contribuir a la superación gradual de las deficiencias

detectadas. También fue necesario planificar consultas con frecuencia quincenal donde se

atendían no solo las dificultades con los problemas sino otros aspectos del programa,

posibilitando el trabajar con alumnos con dificultades y de esta forma favorecer una

atención más directa a estos estudiantes.

2.2.7.1 La generalización y la solidez como indicadores cualitativos de la habilidad

resolver problemas de Matemática.

Toda acción humana se caracteriza por una serie de parámetros que utilizados como

indicadores pueden servir para determinar diferentes niveles de apropiación de la acción.

De aquí, que una de las cuestiones a precisar en la tesis esté relacionada con la selección

de las características o cualidades de la acción que se aspira formar en los estudiantes.

La definición de las cualidades de las acciones constituye un aporte relevante de la teoría

de la asimilación por etapas de las acciones mentales de P.Ya. Galperin (1974,1986).

En virtud de enriquecer el proceso de valoración del desarrollo de la habilidad resolver

problemas de Matemática, se seleccionan para su análisis dos características de esta

acción que se atienden particularmente durante el transcurso de la experiencia pedagógica:

el grado de generalización y la solidez o estabilidad.

Con respecto a la generalización, esta ha sido abordada en la literatura psicológica y

pedagógica por: W. Jungk (1979), V.V. Davýdov (1981), P. Ya. Galperin (1983), G.

Martínez (1983), A.F. Labarrere (1987), N. Talízina (1988), P. Urquijo (1991), entre

otros.

En particular, N. Talízina (1985), caracteriza el grado de generalización en relación con la

extensión del concepto, como el límite de aplicación de la acción. Como toda acción tiene

sus límites de aplicación, el grado de generalización es la relación entre las situaciones a las

que el sujeto aplica el concepto y las objetivamente posibles.

Esta definición se asume en la tesis como criterio para evaluar la calidad de asimilación de

la acción. Los indicadores para el control de la generalización se reportan en el Anexo

14.

En este sentido, se considera que en el proceso de resolución de problemas matemáticos la

generalización de la acción desempeña un papel esencial en el desarrollo de la acción o

habilidad, ya que los estudiantes deben reconocer (a partir de la variedad de tareas

concretas que se les presenten) las acciones que se realizan, cómo se realizan y el por qué

deben hacerlo, mediante el establecimiento de nexos entre los diferentes problemas o

condiciones específicas de las tareas, hasta alcanzar el grado de generalización de la acción

previsto con la aplicación de la experiencia pedagógica.

Como se ha expresado, en la elaboración de las tareas se identifican un conjunto de

características estructurales (cantidad de operaciones matemáticas implicadas en su

resolución, tipo de enunciado, ubicación de las preguntas, entre otras) de manera de

enfrentar al estudiante con múltiples situaciones y así propiciar que la habilidad se forme

con un buen nivel de generalización.

Por tanto, durante la experiencia se prepara al estudiante para resolver los problemas más

diversos. Sólo hay una forma de lograrlo: establecer procedimientos suficientemente

generales al abordar las resoluciones específicas de problemas concretos, es decir, se trata

de que los enfoques generales cubran una gran cantidad de casos particulares.

Además de la generalización, para valorar la calidad de la habilidad formada, se considera

la solidez.

La solidez se relaciona con la permanencia en el tiempo de la habilidad formada. Esta

característica se vincula de forma importante al grado de generalización, lo que significa

que la acción será más sólida en la medida en que se planifique su recorrido por la vía de la

generalización gradual del procedimiento matemático al resolver los problemas basado en

la pluralidad de variación de cierto conjunto de casos particulares.

Como indicadores para el control de la solidez se utilizan los mismos que de forma general

se asumen en este apartado (ver Anexo 11).

2.3 Fases de la experiencia pedagógica.

En la experiencia pedagógica el desarrollo del proceso correspondiente a cada tema se

concibe a través de un ciclo de tres fases donde se tienen en cuenta los tres momentos

principales de cualquier actividad: orientación, ejecución y control (ver gráfico del Anexo

15). Las características de estas fases son:

? Fase de preparación.

Se presenta el problema o la situación del problema propiciando las reflexiones de los

estudiantes sobre la importancia y el posible interés que puedan generar las situaciones

presentadas, las causas que den sentido para su estudio y sus posibles implicaciones

en la carrera.

Se orientan las microacciones (operaciones) particulares para realizar cada una de las

acciones, las indicaciones para su control y se muestra cómo realizarlas. En lo

referente al contenido, se tienen en cuenta los conocimientos teóricos que constituyen

prerrequisitos para el desarrollo de la habilidad y se ponen a disposición del estudiante

los recursos necesarios para garantizar la resolución de los problemas (materiales de

orientación).

? Fase de ejecución.

1. Se ejecutan las acciones, trabajando con el apoyo del profesor y los materiales

previstos. Se resuelven problemas sencillos o con un nivel medio de dificultad

simultáneamente con otros ejercicios sobre los conceptos tratados y que puedan

incidir en el proceso de resolución, de modo que las situaciones sean apropiadas para

que se establezcan las relaciones adecuadas entre los conocimientos previos y las

experiencias nuevas. El trabajo por parejas o en equipos, en esta etapa, donde se

aprende por participación directa, favorece la “acumulación de experiencias” para

solucionar los problemas. Así, en tanto la acción material se interioriza, como

consecuencia de este proceso los estudiantes van tomando conciencia de los

problemas que deberán resolver y las estrategias para resolverlos.

2. Se organiza el debate en grupos a través de seminarios y talleres con el objeto de

entrenar el razonamiento teórico a través del análisis de los pasos de la acción, su

fundamentación y control, lo que conduce a la generalización de las acciones y juega

un papel determinante en el desarrollo de las acciones mentales de la resolución de

problemas. La interacción y la cooperación movilizan la reflexión sobre la acción, lo

que es considerado como un mecanismo básico para acceder a los niveles superiores

de abstracción e internalización. En un primer momento de esta fase el lenguaje

externo se constituye en un instrumento para el análisis de los problemas y

posteriormente se establecen las representaciones mentales de las acciones. De esta

forma, el estudiante reproduce para sí mismo las características y condiciones del

ejercicio o problema planteado.

3. El estudiante soluciona independientemente los problemas, se analizan las

consideraciones de posibles perspectivas (replanteamiento del estudio a otro nivel de

complejidad, problemas derivados, etc), lo que se complementa con un esfuerzo

integrador que considere la inserción del tema tratado en el sistema de conocimientos

así como su posible implicación por la transferencia de sus resultados, métodos e ideas

a otras áreas del conocimiento. Se realizan además las reflexiones críticas sobre los

resultados obtenidos al resolver los problemas.

? Fase de control.

Esta fase tiene por objetivo verificar el proceso de resolución. Por lo tanto, incluye

actividades que abarcan desde la planificación del proceso de resolución del problema, el

monitoreo de lo que se lleva a cabo y la evaluación de todo lo realizado.

De este modo, durante el proceso de resolución de problemas matemáticos se propicia

que el control se dirija al proceso y no sólo a los resultados.

Es preciso también atender las actividades de valoración y autocontrol, es decir, enseñar

a los estudiantes a evaluar lo que realizan, a obtener conocimiento de cómo actuar y que

acciones se deben implementar como resultado de la retroalimentación, lo que estimula el

componente metacognitivo de su pensamiento.

Este proceso se favorece al propiciar la autogestión del estudiante en la detección y

corrección de los errores, ya que en muchas ocasiones se tiende a concentrar el análisis de

los errores en dificultades operatorias o de contenido y no en el proceso, es decir, en la

conexión de ideas y la forma en que las desarrollan los alumnos al resolver problemas. De

esta manera, es necesario saber detectar los errores, las causas que los originan y sus

soluciones.

Durante el desarrollo de estas fases se conduce la incorporación de los estudiantes en la

realización de las tareas a resolver, propiciando su participación, motivándoles por

descubrir por sí mismos la esencia del proceso de construcción de los conocimientos,

recordando a través de los pasos propuestos aspectos esenciales de la resolución de

problemas, los que deben trabajarse permanentemente en la enseñanza de la Matemática

y no sólo en algunas actividades aisladas.

Bajo esta perspectiva general de la investigación, se identifican en el proceso de

enseñanza-aprendizaje un grupo de características, que reúne la experiencia pedagógica,

inherentes también al sistema de acciones para resolver problemas de Matemática que se

describió en la tesis. En particular se enfatiza en:

- Carácter flexible y abierto: Porque admite la incorporación de otras microacciones,

y se manifiestan a través de la resolución de diversos tipos de problemas. Por ejemplo,

al ejecutar acciones que se relacionan de forma más directa con actividades de

resolución de problemas diseñadas como pequeñas investigaciones o al aplicar

habilidades matemáticas tales como el cálculo de longitudes, áreas y volúmenes, que

se incorporan a través de la resolución de problemas, además de otro cúmulo de

actividades aritméticas, algebraicas y geométricas que se exigen para el desarrollo

integral del profesional. Además, la función del sistema de acciones no sólo se limita al

desarrollo de la habilidad resolver problemas de Matemática, sino que favorece la

calidad del proceso al permitir que los estudiantes alcancen, entre otras, generalidad,

independencia, criticidad y consecutividad de pensamiento. Estas particularidades del

pensamiento de los alumnos se manifestaron al aplicar procedimientos generales para

resolver diversos problemas, expresar su punto de vista personal sobre el tratamiento

de los problemas, resolver los problemas con recursos propios y aplicar

ordenadamente la secuencia de acciones para obtener las soluciones de los

problemas. Estas características no son exclusivas del pensamiento matemático sino

que se hayan presentes en todas las otras formas de pensar.

- Carácter continuo: Porque se aplican de acuerdo a una frecuencia y periodicidad

que establece su incorporación diaria y sistemática en el proceso de enseñanza-

aprendizaje de la resolución de problemas ya sea dentro o fuera del aula.

- Carácter interacctivo: Porque las actividades de resolución de problemas se llevan a

efecto a través de variadas formas de cooperación y comunicación en un contexto

donde se propician el establecimiento de las relaciones estudiante-estudiante,

profesor-estudiante y profesor-estudiante-conocimiento matemático.

- Carácter dinámico: Porque se parte de una concepción social y cultural del

conocimiento matemático, donde la práctica de la misma no se identifica como una

actividad controlada en sentido estricto por definiciones, teoremas o axiomas, pues es

a partir de la argumentación, el debate, la conjetura, la cooperación, que se construye

el conocimiento matemático y se resuelven los problemas. Este punto de vista

dinámico de las matemáticas trae como consecuencias que se asuma como disciplina

cambiante, dialéctica, tal como se le considera a otras disciplinas productos de la

actividad humana, que se atribuya importancia a las múltiples aplicaciones de las

matemáticas y sobre todo que se abran las posibilidades para que los estudiantes

desarrollen sus conocimientos matemáticos en el proceso de resolución de problemas.

2.4 Conclusiones.

A modo de síntesis se presentan las conclusiones de la exposición anterior en los siguientes

puntos:

- La gran mayoría de los profesores consultados consideran que las dificultades en la

resolución de problemas de Matemática se deben a deficiencias en el aprendizaje de

los alumnos, sin embargo, se manifiestan criterios que hacen imprescindible acceder a

otros tipos de explicaciones de carácter pedagógico, como puede ser la forma en que

se desarrolla el proceso de enseñanza-aprendizaje.

- La definición e instrumentación de los diferentes componentes (objetivos, contenidos,

métodos, formas de enseñanza, tareas, medios, evaluación) y acciones propuestas a

través de esta experiencia pedagógica permiten el reconocimiento de la resolución de

problemas de Matemática dentro del proceso de enseñanza-aprendizaje con un

enfoque holístico y dialéctico.

- Se determinan las fases de preparación, ejecución y control al planificarse las acciones

educativas durante la experiencia. Para ello se toman en cuenta los momentos de

orientación, ejecución y control de las acciones que realiza el estudiante durante el

proceso de formación de la habilidad resolver problemas de Matemática.

- El sistema de tareas se elabora considerando preparar al estudiante para resolver los

problemas más diversos y de esta forma establecer procedimientos generales al

abordar las resoluciones específicas de problemas concretos, es decir, se trata de que

los enfoques generales de las resoluciones cubran una considerable cantidad de casos

particulares.

- El sistema de evaluación se diseña en correspondencia con el objetivo de la

experiencia pedagógica, considerando que la calidad de la formación de la habilidad

viene dada por las características de la acción que deben poseer las habilidades

trazadas en los objetivos del programa de las asignaturas.

CAPÍTULO 3.

ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DE LA EXPERIENCIA PEDAGÓGICA.

Este capítulo está dedicado al análisis de los resultados de la investigación, los datos y

apuntes registrados se explican a partir de las valoraciones sistemáticas realizadas por el

investigador a través de la evaluación de un conjunto de variables o indicadores de

progreso, que ofrecen una visión del proceso de formación y desarrollo de la habilidad

resolver problemas de Matemática en los alumnos durante el transcurso de la experiencia

pedagógica.

Finalmente resultó de mucho interés contar con las opiniones de los docentes acerca de la

efectividad de las acciones educativas llevadas a cabo y de los propios estudiantes bajo las

condiciones en que se desarrollaron los experimentos.

3.1 Resultados del diagnóstico inicial.

Al inicio de cada curso escolar se aplicó la Prueba de Diagnóstico a los cinco grupos de

estudiantes que participaron en la experiencia.

Con relación a los temarios, para cada una estas pruebas, se elaboraron dos problemas

donde los estudiantes debían aplicar sus conocimientos sobre sistemas de ecuaciones

lineales y trigonometría (ver Anexo 10), contenidos que se imparten en la Enseñanza

General Media. Los problemas utilizados, en general, corresponden a situaciones análogas

a las abordadas en este nivel de enseñanza, ya sea en clases o libros de texto, lo cual fue

debidamente confirmado en el proceso de trabajo previo a la aplicación de esta prueba.

Para su realización los alumnos contaban con un tiempo de cincuenta minutos.

Para analizar las resoluciones de los problemas se utilizaron los indicadores del nivel de

desarrollo de la habilidad resolver problemas de Matemática (ver tabla del Anexo 11).

Los resultados de esta prueba mostraron en buena medida las dificultades específicas de

aprendizaje de los estudiantes tratados, lo que se comprueba por los porcentajes de los

que se ubicaron en los Niveles I (Muy Bien), II (Bien) y III (Regular): 28,12%; 28,57%;

32,14%; 27,77% y 37,05%, en cada grupo respectivamente. Por otra parte, es

significativo -en relación con el número total de alumnos ubicados en los tres primeros

niveles- el por ciento de estudiantes en el Nivel II (12,50%; 7,14%; 10,71%; 11,11% y

14,81%) y en el Nivel I (6,25%; 14,28%; 7,14%; 5,55% y 14,81%) sucesivamente en

cada uno de los cursos en que se realizó el estudio (ver Anexo 16.A).

Los resultados de la evaluación diagnóstica – de manera particular, el problema No.1 -

arrojaron los siguientes datos: más del 90%, exactamente 30, 11, 26, 17 y 24 de los

alumnos de cada grupo comenzaron la resolución con el planteo de los datos, alrededor de

un 60% (20, 9, 17, 12 y 14 estudiantes) identificó que se trataba de un problema a

resolver a través de un sistema de ecuaciones lineales, aunque no sea correcta la

modelación en todos los casos, alrededor de un 25% (7, 4, 9, 6 y 4 alumnos) plantea una

ecuación (lineal, cuadrática, etc) y otros (el 6%), 2 del Grupo I, 3 del Grupo II y 2 del

Grupo V, no intentaron resolver el problema.

En cuanto al Problema No.2, que se ubica en el tema de Trigonometría, para facilitar su

resolución se requería representar gráficamente la situación del problema. De ahí que nos

llamara poderosamente la atención la ausencia del recurso gráfico en las resoluciones de

los estudiantes, solo lo hacen o intentan alrededor del 40%, es decir, 14, 6, 11, 9 y 8

estudiantes en cada grupo. No obstante, el 62% de los alumnos (22, 8, 19, 10 y 15 por

grupo) identificó aspectos tratados en Trigonometría como el instrumento teórico a aplicar,

lo que se constata por la presencia en la hoja de la prueba de identidades, valores

funcionales, fórmulas, etc., de esta rama de la Matemática, aunque su aplicación al

problema no sea correcta.

Son oportunas otras dos valoraciones: la primera, que el 61%, específicamente 18, 10, 16,

11 y 17 de los estudiantes de cada grupo; identificó qué conocimientos matemáticos se

necesitaban para resolver los problemas pero no la forma de proceder para obtener sus

soluciones y la segunda, que a pesar de que en una gran mayoría de las resoluciones, la

modelación no es correcta, el proceso de resolución en base a esta modelación (en 8, 4,

10, 5 y 11 de las resoluciones, el 32%), excluyendo los estudiantes ubicados en los

Niveles I (Muy bien) y II (Bien), nos demostró que los alumnos tenían dominio de otros

conocimientos y habilidades previstas en los programas de estudio, pero no siempre el

procedimiento o estrategia general de resolución se desarrollaba de la forma más

adecuada.

Sobre las respuestas de los problemas, generalmente, estas se indicaban con alguna

señalización del resultado numérico, solo alrededor de un 15% (4, 2, 4, 3 y 5 alumnos) lo

hace de forma literal. También se pudo constatar que el 21%, en cada grupo (5, 3, 5, 4 y 8

estudiantes), consideraba como solución de un problema, números o magnitudes

“desconectados” o que no tenían relación lógica con la situación del mismo, lo que indica

que los alumnos no reflexionaron sobre este particular.

En resumen, los errores más comunes que se detectaron estuvieron asociados a cálculos

numéricos, representación gráfica de la situación, al análisis de los enunciados, la forma de

presentar el proceso de resolución y respuestas absurdas.

De las características más comunes que aparecieron en las resoluciones de esta prueba se

muestra el ejemplo del estudiante G.H.: En el Problema #1 que se resuelve mediante un

sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas se constató que los datos no fueron

expresados correctamente, seguidamente se planteó el sistema de ecuaciones lineales, con

un error de signo en una de las ecuaciones. El alumno procedió a resolver el sistema

formado por estas tres ecuaciones aplicando correctamente el método de adición y

sustracción. Aunque el procedimiento de resolución fue correcto, los valores hallados para

cada variable no se correspondían con la situación del problema, pero sobre este particular

el alumno al parecer no reflexionó ya que no se evidenció revisión alguna en busca de

posibles errores en el proceso de resolución. Por último, el estudiante no dio respuesta

textual al problema, sólo señalizó los valores obtenidos (esto lo interpretamos como la

respuesta al problema).

En el Problema #2 a resolver aplicando conocimientos de trigonometría, el alumno no

intenta representar gráficamente la situación del enunciado del problema, limitándose sólo a

plantear algunas identidades en la hoja de la prueba.

Del análisis anterior se puede concluir, que al resolver los problemas, los estudiantes por lo

general, del planteo de los datos, pasan a la modelación y de esta a la aplicación de

operaciones algebraicas y cálculos numéricos, incurriendo en las dificultades que se

mencionaron. Este proceso habitual, según el sentido de la investigación, debe ser

reforzado por las acciones educativas que se formularon en el capítulo anterior.

A partir de estos elementos preliminares, se realizó el trabajo con los estudiantes, tal como

se refiere a continuación.

3.2 Presentación y análisis de los resultados correspondientes al modo en que los

estudiantes resuelven los problemas de Matemática.

En virtud de que se trataban de explorar los cambios que se producían en los alumnos fue

necesario que las acciones de la habilidad resolver problemas de Matemática se

compatibilizaran con la práctica del estudiante, y demostrar que el procedimiento aplicado

en la experiencia pedagógica para formar y desarrollar las acciones propuestas, resultara

eficaz y duradero; además, como toda actividad didáctica, para tener éxito ha de ser

satisfactoria para el alumnado. A partir de estas consideraciones se analizaron las

resoluciones de los estudiantes.

De este modo, se prestó especial atención a las acciones o secuencias operativas que se

iban ejecutando a través de todo el proceso de resolución.

Además, la presentación comentada de algunas de las resoluciones de los alumnos y la

elaboración de esquemas secuenciales o comentarios reflejando los pasos seguidos en la

resolución de los problemas, nos permitieron comprobar si estas actuaciones se realizaban

de acuerdo con las orientaciones dadas en el aula y a su vez, valorar el efecto de la nueva

concepción pedagógica de enseñanza, en la calidad de la asimilación de las acciones por

los estudiantes.

Por otra parte, en la investigación se consideraron las fases de preparación, ejecución y de

control de todo el proceso de trabajo con los problemas. En este sentido, como parte de

las condiciones pedagógicas creadas en la etapa inicial de trabajo, se puso a disposición

del estudiante la guía didáctica para resolver problemas, hasta que el alumno pudiera

prescindir de la misma.

Incluso para aquellos estudiantes que no necesitaban de ninguna indicación resultó útil

revisar, en un primer momento, el tratamiento propuesto en la guía.

Así, se pudo comprobar que durante el desarrollo de la experiencia, aproximadamente el

10% de los estudiantes la incorporó sólo durante las primeras dos o tres semanas, un 50%

utilizó la guía durante un período de tiempo que oscilaba entre las seis y nueve semanas, un

15% extendió su uso a unas diez o doce semanas y otro 10% tuvo que incorporarla por

más tiempo, el resto, que constituye un 15%, apenas la llegó a utilizar. Aunque estos datos

no son absolutos, no se manifestaron diferencias sustanciales sobre su tiempo de aplicación

entre los diferentes cursos.

Se observó que la elaboración y utilización adecuada de esta guía en el proceso de

enseñanza-aprendizaje de la resolución de problemas brindó a los estudiantes las siguientes

ventajas:

- Posibilidad de manipular y explorar el objeto de estudio.

- Orientar y organizar el proceso de resolución de problemas de Matemática.

- Individualiza el proceso de formación de la habilidad resolver problemas de

Matemática, ya que cada estudiante puede contar con un apoyo externo.

- Familiarización paulatina con las preguntas y recomendaciones de la guía.

- Implementación de las acciones como resultado del análisis de la guía.

- Involucrarse activamente en el proceso de resolución de los problemas.

- Contar con una base de análisis para el “descubrimiento” de procedimientos y

relaciones entre diversos problemas.

Otro medio de enseñanza que también resultó de gran utilidad, es el folleto de problemas

resueltos, como se dijo, a través del mismo los estudiantes recibían indicaciones para

resolver diferentes problemas. Lo utilizaron el 100% de los estudiantes durante todo el

transcurso de la experiencia.

Por otra parte, desde los inicios del trabajo se observó que entre los estudiantes, algunos

estaban especialmente sensibilizados a cuestiones profesionales, otros a desafíos de

problemas específicos de la Matemática o de aplicación de esta disciplina. Algunos

alumnos aumentaron su interés cuando se abordaron problemas desde un marco histórico

que proporcionaba una visión dinámica de la evolución de la Matemática. Desde este

amplio contexto social y cultural se buscaron estrategias de motivación que estimularon a

los estudiantes a indagar en sus recursos propios y su desarrollo intelectual en general.

Además, considerando la importancia del componente educativo dentro del proceso

cognoscitivo, se trabajó durante el transcurso de la experiencia para que los estudiantes:

participaran del trabajo en grupo, juzgaran su propio desempeño y el de los demás, y a su

vez, desarrollaran cualidades tales como la perseverancia, la disposición por solucionar los

problemas, entre otras.

Para el logro de los propósitos anteriores, se plantea una exigencia para el docente:

propiciar un equilibrio adecuado entre las actividades que el estudiante realiza

individualmente y las que realiza en colaboración con otros miembros del grupo. A tal

efecto, se describe brevemente la estrategia aplicada en las sesiones de clases con los

problemas, en esta actividad se enfoca el proceso de desarrollo de habilidades de cada

alumno desde el trabajo en grupo.

En este sentido, desde el inicio de la experiencia, al abordarse los problemas en el aula se

presentó una excelente oportunidad para la realización de tareas colectivas (por parejas o

equipos hasta de seis integrantes), dirigidas por el profesor. Particularmente se da la

posibilidad de organizar actividades mediante un trabajo grupal que promueva la discusión

de los aspectos más controvertidos del Programa de las Asignaturas, donde obviamente

se incluye la resolución de problemas, desarrollando la cooperación y la enseñanza

recíproca entre los estudiantes. Esto sería útil también para atender a la diversidad y

conseguir que todas las personas de la clase obtengan logros en la medida de sus

posibilidades y empeños, hasta que progresivamente adquieran experiencia y puedan

realizar las tareas de forma individual.

Por otra parte, el trabajo en pequeños grupos ha sido motivo de amplia discusión en la

investigación didáctica y ha sido recomendado por diversos autores: L. Klingberg (1978),

K. Mujina y N. Cherkes-Zade (1981), A. Amador (1987), G. Labarrere y G.E. Valdivia

(1988), y otros.

Dentro de este marco se señala que la resolución de problemas será más efectiva cuando

se realice en pequeños grupos de trabajo, pues ofrece la posibilidad de enriquecimiento, el

grupo proporciona apoyo y estimulo, permite contrastar los progresos, etc.

En este proceso el profesor puede también participar para que las ideas progresen,

revisando y valorando el trabajo y ofreciendo sugerencias que ayuden a resolver un

determinado problema (M. de Guzmán, 1993).

Otra importante argumentación al respecto advierte que en un debate cooperativo, la

presión social puede empujar al colectivo hacia consensos rápidos que no contemplen los

ritmos o los razonamientos individuales (J.A. Rowell et al, 1990).

Contando con estas referencias y atendiendo al contexto en que se realizan las actividades

docentes, desde el punto de vista educativo los marcos conceptuales del Enfoque

Histórico Cultural, proporcionan elementos suficientes para fundamentar la organización

del proceso de resolución de problemas en las aulas partiendo de la experiencia que

puede asimilar un estudiante a través de actividades grupales.

En efecto, a través del grupo se van produciendo las configuraciones sociales de la

experiencia personal. De este modo, mediante la interacción entre los miembros del grupo

se proporciona a cada estudiante los puntos de referencia para establecer jerarquías entre

los problemas que se le proponen resolver y distinguir las acciones que conducen a su

solución. A su vez, cada problema sirve de retroalimentación y motivación para otros.

Proporcionar al estudiante actividades que cumplan estas premisas genera conocimiento

personal nuevo, el cual se integra a los recursos cognitivos del estudiante.

Así pues, a partir de la formación de equipos que contaban inicialmente con cinco o seis

estudiantes, el docente trata de que se vayan fragmentando paulatinamente a través de las

sesiones de trabajo, hasta constituirse en grupos de dos integrantes. Esta fragmentación

hace posible la participación de todos, que exponen sus ideas, necesariamente, en un clima

mucho más informal, con ello se logra, desde la heterogeneidad de los miembros, la

aportación de variados puntos de vista. De esta forma además se “obliga” a los

estudiantes a realizar un esfuerzo progresivo en la resolución de las tareas.

Por otro lado, si bien el trabajo grupal resulta fundamental para el desarrollo de la

habilidad resolver problemas de Matemática, no se puede perder de vista el trabajo

individual, ambos están estrechamente relacionados.

Es así como después de realizar algunas tareas en grupo se organizan actividades de

aprendizaje que permiten observar el nivel de desarrollo de cada estudiante, de forma que

el docente identifique a los que requieren de una atención especial y se asuman las

medidas pertinentes.

3.3 La resolución de problemas y la organización de situaciones didácticas que

faciliten la utilización del pensamiento reflexivo del estudiante.

Para lograr que las diferentes acciones que supone enfrentar el proceso de resolución de

problemas de Matemática tengan un efecto duradero fue necesario que los estudiantes

constaran con toda claridad lo aprendido concretamente. Para ello resultó importante la

reflexión habitual en el aula sobre el trabajo realizado, pero también fue conveniente

realizar actividades consistentes en que cada alumno reflexionara sobre lo que se había

aprendido al final de cada tema, comparándolo con el punto de partida, explorar en los

diferentes pasos realizados, comprobar cual ha sido su participación en las tareas, así

como los aportes que han sido posibles desde el trabajo en grupo o con la ayuda del

profesor, es decir, que aprendiera de las experiencias matemáticas reflexionando sobre lo

realizado. De esta forma los estudiantes conocen qué es lo que han hecho correctamente,

qué es lo que han hecho incorrectamente y cómo pueden superarlo.

De acuerdo con esta concepción, se elaboraron medios de enseñanza por parte del

docente, de los cuales se derivaron una serie de acciones metodológicas que ayudaron a

plantear y resolver los problemas. Entre estas acciones son particularmente importantes

aquellas que favorecieron el pensamiento generalizador, crítico y reflexivo, las que

facilitaron la emisión de preguntas y sugerencias, propiciaron el análisis de la información, el

debate de las ideas, etc.

Lo anterior constituye un argumento a favor de la necesidad de que se crearan a través de

la experiencia pedagógica los espacios para que los estudiantes pudiera reflexionar. Esto se

tuvo en cuenta a la hora de planificar las secuencias de actividades y su desarrollo temporal

y por supuesto al seleccionar los problemas.

Así, de modo general algunas de las acciones que promovieron la reflexión individual y

colectiva en la experiencia pedagógica fueron:

- Se proporcionó al estudiante la orientación que necesitaba sobre el proceso de

resolución de problemas de Matemática, realizándose una labor de ayuda dirigida más

a hacer preguntas y fomentar en los alumnos el hábito de preguntarse, que a dar

respuestas a sus preguntas.

- Se analizaron los enunciados de los problemas en grupo y en caso de ser necesario se

redactaron de otra manera, lo que resultó muy eficaz para la elaboración de nuevos

enunciados o al estructurar un enunciado a partir de los datos, lo que simultáneamente

dio la posibilidad al docente de reflexionar sobre “su enunciado”. Además, modificar el

formato de los problemas, en ocasiones, con los estudiantes, evitó que el alumno

identificara una forma de presentación con determinado tipo de problema.

- Se plantearon tareas abiertas que admitían varias propuestas de solución.

- Se diversificaron los contextos planteando tareas que vincularon al estudiante con su

futura práctica profesional y con otras disciplinas del currículo. Igualmente, se propició

que el estudiante trabajara los mismos tipos de problemas en distintos momentos y con

diferentes grados de dificultad, lo que favoreció la generalización y facilitó la

aplicación de los conocimientos en nuevos problemas.

- Se estimuló a los estudiantes para que planificaran varias estrategias de solución antes

de optar por una de ellas.

- Se trató de habituar al alumno a adoptar sus propias decisiones sobre el proceso de

resolución, concediéndoles una independencia creciente en el proceso de toma de

decisiones.

- Se fomentó la cooperación entre los estudiantes en la realización de las tareas, pero

también se incentivaron los puntos de vista diversos, que obligaron a explorar el

problema, confrontar soluciones y vías de solución alternativas y ser críticos de sus

propias ideas, hasta que la situación lo exija.

- Se trató de motivar a los estudiantes para que no se detuvieran cuando el proceso de

resolución se viera impedido, regresando sobre sus pasos y reconsiderando la vía de

solución.

- Se concedió un tiempo al estudiante cuando concluía la tarea para pensar sobre lo

realizado, profundizando en los momentos claves del proceso de resolución.

- Se facilitó que el estudiante valorara cuál había sido su participación en las tareas, la

ayuda aportada por el profesor, así como las contribuciones que habían sido posibles

desde el trabajo en grupo.

- Entre otras ... que se reconocen a lo largo del trabajo.

Lo anterior indica que desde el punto de vista del investigador, la apropiación de

conocimientos y procedimientos matemáticos requieren; primero, de la actividad del sujeto;

y segundo, de un proceso de reflexión del sujeto sobre su propia actividad.

Esta línea central de trabajo estuvo enmarcada en un contexto de enseñanza definido por

un conjunto de actividades, experiencias y situaciones que se seleccionaron por su

potencial educativo y sustentaron un conjunto de principios orientadores sobre la

resolución de problemas de Matemática cuya estructura cognitiva permitió a los estudiantes

generar reflexión y juzgar sus propias formas de actuar.

3.4 Caracterización del proceso de enseñar y aprender a resolver problemas de

Matemática: datos cuantitativos y análisis cualitativo.

De acuerdo con la estructura general del trabajo, se presentan los resultados de las

evaluaciones aplicadas a los estudiantes en dos etapas que se corresponden

respectivamente con los semestres en que se impartieron las asignaturas Matemática I y II,

simultáneamente se analizan las características generales de ambas etapas.

3.4.1 Análisis de los resultados de la Primera Etapa.

En esta etapa, las evaluaciones que se aplicaron fueron: la Primera Prueba Parcial Escrita,

la Primera Prueba Oral, la Primera Tarea de Control Extraclase y la Segunda Prueba

Parcial Escrita. Los resultados de estas evaluaciones se valoran de forma general para los

cinco grupos que participaron en la experiencia.

En los Anexos 10, 16.A y 16.B se reportan los resultados cuantitativos y los problemas

que contenían los temarios confeccionados para evaluar.

La Primera Prueba Parcial Escrita se aplicó en la semana 9 del Primer Semestre del curso

escolar sobre el tema de Cálculo Diferencial, específicamente tuvo por objetivo que los

estudiantes fueran capaces de resolver problemas de cálculo aproximado utilizando el

diferencial como aproximación del incremento (ver Anexo 10).

Para el análisis de las respuestas se aplicaron los indicadores del nivel de desarrollo de la

habilidad resolver problemas de Matemática (ver anexo 11).

En esta Primera Prueba Parcial, los estudiantes consideraron primeramente analizar con

más cuidado el enunciado del problema, lo que se infirió a través de la disposición de los

datos o algún que otro intento de graficación.

A su vez, se pudo apreciar claramente que persistían las dificultades con la elaboración de

la estrategia de resolución y en consecuencia con la ejecución propiamente dicha, pero

resultó de interés comprobar que alrededor de un 25% (7, 4, 6, 3 y 9 de los estudiantes de

cada grupo) escribían anotaciones al respecto y un por ciento superior (41%), es decir, 11,

7, 11, 9 y 10 alumnos por grupo, explicaban brevemente los pasos seguidos durante el

proceso de resolución, aunque en muchos casos estos no se expresaron con suficiente

claridad o no fueran los requeridos. No obstante, aún en el caso de las peores

resoluciones, los comentarios sobre las reflexiones realizadas indicaban que se intentaba

elaborar una estrategia coherente (no apareciendo suficientemente desarrollada en

numerosos casos, que representan el 24% (5, 3, 8, 2 y 10 estudiantes), por ser

consideradas innecesarias estas precisiones por algunos alumnos.

A todo esto hay que agregar que se tuvo más cuidado al plantear la respuesta del

problema, ya que 18 estudiantes, 4, 2, 5, 3 y 4 por grupo (16%), con resultados que no

satisfacían las condiciones del enunciado, reconocían a través de este aspecto la existencia

de alguna dificultad durante el proceso de resolución. En ese caso, se consideró en este

momento de la experiencia como muy favorable que un alumno pudiera reconocer la

validez o no de la solución, aunque no pudiera detectar donde había cometido el error.

En cuanto al número de estudiantes que no fueron capaces de realizar el problema,

abandonando o no realizando intentos de resolución, los porcentajes fueron de 12,50%;

28,57%; 7,14%; 16,66% y 18,51% respectivamente en cada grupo, lo que pudo deberse

a varias causas: falta de motivación e interés por esta actividad, dificultades con el dominio

de los contenidos matemáticos o con asumir las orientaciones para resolver los problemas.

Resumiendo, la localización de dificultades desde el análisis del enunciado de los

problemas hasta la aplicación de los conceptos matemáticos y la valoración de la respuesta

obtenida, interferían el proceso de resolución. En estas direcciones evidentemente, había

que reforzar el trabajo con los estudiantes.

En los casos de estudiantes con mayores dificultades, para superar las deficiencias

detectadas resultó conveniente que no sólo se planificaran prácticas adicionales sino

también reorientar las tareas de la mejor manera o regresar a los estudiantes a la fase

preparatoria del proceso de aprendizaje de la resolución de problemas de Matemática.

Como se ha expresado, para valorar el nivel de desarrollo de la habilidad investigada, se

realizaron también evaluaciones orales. Corresponde ahora analizar los resultados de la

Primera Prueba Oral aplicada en la semana 13 del Primer Semestre y en la que se

presentaron problemas de aplicación del Cálculo Diferencial.

Es conveniente se aclare, que a pesar de que se les explicó a los estudiantes los beneficios

que reporta este tipo de prueba oral, tuvimos dificultades para concretarla en esta primera

etapa pues los alumnos se “resistían” a un cambio en este sentido, prefiriendo la forma

tradicional escrita e individual. Se observa que esta actitud se revirtió en el segundo

semestre, debido a que ya en esa etapa de la investigación gran parte del alumnado había

comprendido las implicaciones del objetivo planteado y por otro lado, percibían una

significativa mejoría en su aprendizaje.

Los resultados más relevantes obtenidos con la aplicación de esta prueba se exponen a

continuación y se cuantifican en el Anexo 9.B:

- Los estudiantes (el 97%) comenzaron el proceso de resolución inmediatamente,

utilizando los datos directamente y tratando de identificar el tipo de problema. Como

resultado, se estima que esta forma de proceder proviene o conduce a la memorización

y a la repetición de esquemas prácticos ya desarrollados en clases, sin duda los

alumnos aprenden a retener y reproducir información, lo que se evidenció en las

preguntas que el investigador realizó al respecto. Excepcionalmente, sólo 3 alumnos

del Grupo III y 1 del Grupo V (el 3%), de la lectura del enunciado del problema

prosiguieron con un análisis estructural, cualitativo y operacional del mismo o con

alguna reflexión al respecto.

- El estudio reveló otro dato de interés, durante la realización de la prueba casi la mitad

de los alumnos, 12, 7, 11, 9 y 13 de cada grupo respectivamente (el 44%), siempre

trataban de realizar acciones, aunque en estas se evidenciara que desconocían o no

comprendían la situación del problema. Esto indicaba que, por lo general ejecutaban

pasos similares a los de “otro problema resuelto con anterioridad” lo que se atribuyó a

una insuficiente reflexión sobre los problemas que se les proponían.

- El tiempo empleado en la resolución, incluyendo la lectura del enunciado, no superaba

generalmente los 10 minutos en los casos de estudiantes que tenían dificultades. Sin

embargo, los estudiantes con mejores desempeños, se tomaban más tiempo para

resolver el problema.

- La mayoría de los estudiantes (30, 14, 25, 17 y 27 en cada grupo respectivamente, el

95%) no consideraban en las resoluciones estrategias alternativas. Excepto 2 alumnos

del Grupo I, 3 del Grupo III y 1 del Grupo V que presentaron variantes de estrategias

de resolución.

- Se comprobó que un 38% de los estudiantes (10, 7, 11, 6 y 11 en cada grupo)

presentaba dificultades con algunas operaciones matemáticas que debían aplicar para

resolver los problemas, por ejemplo, con las operaciones aritméticas elementales y el

calculo de derivadas. Además, cuando las fundamentaciones remitían a enunciar

conceptos y teoremas tratados en clase, los alumnos manifestaron que les resultaba

difícil explicarlos con el lenguaje apropiado.

- Pocos estudiantes (el 15%), entre los que se encontraban 4 del Grupo I, 2 del Grupo

II, 5 del Grupo III, 4 del grupo IV y 3 del Grupo V, dudaron de la validez de la

solución alcanzada. El resto de los alumnos daban por finalizado el proceso de

resolución al obtener un resultado numérico, pero que frecuentemente no se

correspondía con las condiciones del enunciado. Además, la respuesta correcta, en

ocasiones, podía ser accidental. Esto indica que no se analizaba suficientemente lo que

se preguntaba, particularidad que se detectó cuando el profesor indagaba al respecto.

El reconocimiento de estas deficiencias conlleva una valoración desde diferentes ángulos;

en primer lugar, el análisis de las respuestas reveló que los estudiantes de los diferentes

grupos tenían dificultades similares en el nivel de desarrollo de las acciones estudiadas, lo

que se manifestó en:

- Dificultades para realizar el análisis estructural, cualitativo y operacional de los

problemas.

- Dificultades para ejecutar operaciones y cálculos matemáticos.

- Dificultades para explicar el procedimiento seguido al resolver el problema. En este

caso se presentaron dos situaciones:

a) El proceso de resolución es correcto, pero no se explica adecuadamente.

b) Tanto el proceso de resolución como la explicación son incorrectas.

En segundo lugar, del intercambio con los estudiantes se comprobó que muchas veces

estos actuaban de forma mecánica, sin comprender, en esencia, la situación del problema,

aunque lo hayan resuelto casi correctamente. Conviene entonces preguntarse por la

tendencia a utilizar datos directamente, por la incorporación de estrategias que reproducen

de forma no reflexiva un algoritmo aprendido, por no plantearse modificaciones de

actuación respecto a lo que se recuerda y no dudar del resultado obtenido. Estos podrían

ser argumentos necesarios para que se enfatice al estudiante en la necesidad de reflexionar

sobre la secuencia de acciones y operaciones que conduzcan a una solución satisfactoria

del problema.

Estas conclusiones extraídas después de la aplicación de la Primera Prueba Oral, nos

permitieron determinar “zonas” para trabajar y accionar con los estudiantes con el

propósito de inducir un modo de actuación que favorezca el encadenar coherentemente las

acciones para que resulten eficaces al resolver problemas de Matemática.

La Primera Tarea de Control Extraclase que se orientaba en la semana 10 y evaluaba en la

15, contenía un problema abierto (ver Problema #20 en el Anexo 5.B) cuya resolución

requería de una pequeña investigación.

En cuanto al desempeño respuestas de los estudiantes en esta tarea, se pudo comprobar

una mejoría en las resoluciones, tal como indicaban la búsqueda de los datos, el análisis

cualitativo preliminar de la situación, las alternativas de resolución, la organización del

proceso de resolución y las soluciones obtenidas.

Se manifestaron algunas deficiencias en el cálculo aritmético, no obstante la cantidad de

respuestas correctas en todos los grupos siempre fue superior al 55%.

Consecuentemente, los resultados cuantitativos que se reportan en el Anexo 16.B muestran

los siguientes porcentajes de estudiantes ubicados en los Niveles I (Muy Bien), II (Bien) y

III (Regular): 56,25% (Grupo I), 64,28% (Grupo II), 65,38% (Grupo III), 61,11%

(Grupo IV) y 62,96% (Grupo V).

Durante la realización de esta tarea se observó que los estudiantes mostraron curiosidad

por indagar y explorar en situaciones de la vida real, interés por obtener informaciones a

través de diversas fuentes (profesores, bibliografía, etc), confianza en sus propias

potencialidades y disposición por elaborar estrategias de resolución personales y por el

resultado de la tarea. Estas características se estima fueron favorecidas por la situación del

problema y por el trabajo realizado en el aula.

En la Segunda Prueba Parcial Escrita, que se aplicó en la semana 18 del curso escolar, se

propuso a los estudiantes resolver un problema de optimización y en el caso del grupo V

(Plan C´), un problema de aplicación del Cálculo Integral, los temarios de estas pruebas se

reportan en el Anexo 10.

El análisis de algunas de las situaciones de estos problemas, se favorecía si los estudiantes

consideraban realizar su representación gráfica.

En cada grupo, más del 85% de los estudiantes que llegaron a esta etapa de la experiencia

realizaron intentos en este sentido, logrando más del 60% (24, 10, 18 y 15 alumnos de los

Grupos I, II, III y IV respectivamente) representar gráficamente la situación del problema.

En el caso del Grupo V, aunque no se requería necesariamente de un gráfico para apoyar

el proceso de resolución, 15 estudiantes representaron correctamente la función lineal que

aparece en el enunciado del problema.

También se pudo comprobar que alrededor del 56% modelaron correctamente el

problema, lo que indica la asimilación progresiva de las acciones propuestas. Este hecho

gradual está en dependencia de un conjunto de factores ya referidos que se propiciaron en

la experiencia pedagógica a partir de la propia práctica y además apuntan al desarrollo de

la habilidad resolver problemas de Matemática, situación que a su vez se confirmó a través

de los comentarios que iban apareciendo sucesivamente en los pasos de las resoluciones y

en la validez de las respuestas de los problemas.

Otro aspecto que se destaca en los resultados es el índice de estudiantes que abandonaron

la resolución del problema o aplicaron estrategias no comprensibles, el cual no supera el

20% en el peor de los casos (Grupo II). Esta situación se sigue atribuyendo a la ausencia

de un análisis profundo de la situación planteada en el problema y poca iniciativa para

avanzar en el proceso de resolución.

Se puede decir, por tanto, que los estudiantes fueron tomando conciencia de no abandonar

la resolución del problema aunque no “comprendieran” de inmediato la forma de

resolverlo, y trataban de analizar y fundamentar, hasta poder plantear una estrategia que

aunque no fuera correcta, al menos intentaba ser coherente.

En cuanto al porcentaje de estrategias operativamente correctas, el promedio entre los

grupos no es inferior al 55% en el problema considerado. Los grupos con más bajos

resultados fueron el I y el II, debido a las deficiencias señaladas con anterioridad.

Por otra parte, las dificultades de coordinación entre las partes y el todo se manifestaron en

la forma de elaborar y presentar en la hoja de prueba los pasos de la resolución, es decir,

algunos estudiantes, específicamente 5 del Grupo I, 3 del Grupo II, 1 del Grupo III, 2 del

Grupo IV y 4 del Grupo V (el 14%) no organizaron la resolución correctamente, a pesar

de ello se aproximaron al resultado. Sin embargo, tal y como se procedió, esto no resultó

difícil de rectificar a partir de un análisis riguroso del proceso seguido, recurriendo al

aspecto “reflexivo” para reorganizar dicho proceso y no incurrir de nuevo en las

dificultades.

Retomando a modo de ejemplo el proceso de resolución seguido por el estudiante G.H.,

en esta segunda prueba donde debía resolver un problema de optimización se observó una

mejoría considerable en su ejecución, ya que: 1º) Planteó correctamente los datos y los

hizo corresponder con la representación gráfica de la situación del enunciado del problema;

2º) Determinó la función cuyo máximo se debía obtener; 3º) Procedió a solucionar

matemáticamente el problema (cometiendo un error al derivar la función); y 4º) Escribió

(no señaló) la respuesta del problema en base al error cometido.

Durante este proceso se constataron aun insuficiencias en la ejecución de acciones de

control del proceso de resolución del problema.

En el Anexo 17 se muestran algunas de las resoluciones de éste (y otros estudiantes) en

clases y pruebas.

Al valorar los resultados obtenidos con la aplicación de las dos primeras pruebas parciales

escritas se observó que como promedio, el porcentaje de estudiantes que en cada grupo

se ubicó en el Nivel III (Regular) fue: 25,35%; 25,14%; 29,41%; 25% y 14,40%, en el

Nivel II (Bien): 12,79%; 17,85%; 12,90%; 13,63% y 20,77%, y en el Nivel I (Muy Bien):

9,57%; 7,14%; 18,13%; 13,63% y 16,75%. En general, si se promedia el por ciento de

alumnos distribuidos en los niveles anteriores en todos los grupos, los resultados que se

obtienen son: en la primera 48,40% y en la segunda 56,30%, lo que representa entre

ambas un poco más de la mitad (52,35%) de los estudiantes ubicados en las categorías

anteriores.

Aunque la diferencia entre los resultados de ambas pruebas no son significativos, esto es

previsible, ya que como se reporta en diversos estudios: A.A. Smirnov et al (1961), K.

Tomasheswki (1966), A.V. Petrovski (1986), y otros, el progreso inicial en el desarrollo

de las habilidades es seguido por un proceso de desarrollo más lento, y aún más, períodos

de estancamiento. Fundamentan estos autores que las acciones y operaciones más difíciles

precisan de la coordinación y perfección de otras más fáciles o elementales, por lo que a

través de la continuidad del ejercicio es que se superan estos períodos y se van

produciendo nuevos adelantos.

Una actividad tan compleja como la resolución de problemas, requiere ejercitar sus

componentes o acciones de forma gradual y sistemática para favorecer la adquisición de la

habilidad correspondiente que se refuerza cuando la actividad se orienta a un fin consciente

y premeditado. Estos factores se constataron en la experiencia pedagógica tanto en un

plano práctico como teórico.

Por otra parte, durante el transcurso de la experiencia se registraron en la Hoja de

Diagnóstico un promedio de diez ejecuciones semestrales por estudiante, a lo que se

agregaron los resultados de las pruebas aplicadas en cada semestre. Esto nos permitió

valorar el nivel de generalización de la acción estudiada.

El análisis del nivel de generalización muestra que los sujetos en la primera etapa (ver

Anexo 14) se agrupan esencialmente en los niveles: Deficiente (24,54%) y Regular

(32,72%). El resto se distribuye en las categorías de Bien (27,27%) y Muy Bien

(15,45%).

Para precisar algunas características de estudiantes ubicados en un mismo o diferentes

niveles se comparan los siguientes casos:

A.F. : Se ubicó en el nivel más alto (Muy bien) ya que ejecutó con el máximo rigor de

coherencia y organicidad todas las acciones propuestas a las tareas que se le asignaron.

Algunas de estas tareas eran completamente diferentes a las abordadas en el aula.

T.C. : Ubicado en el mismo nivel anterior, cometió en la realización de dos de las tareas

que se le propusieron para resolver en el aula errores de cálculo aritmético. Se consideró

que estos errores no fueron detectados por el alumno ya que no influyeron

significativamente en las soluciones de ambas tareas.

B.G. : Concluye esta etapa ubicado en la categoría de Bien debido a que al resolver dos

de las tareas propuestas mostró una insuficiente elaboración de las acciones de control del

proceso de resolución y de los resultados obtenidos.

Y.H.: Se incluyó en la categoría de Regular debido a su tendencia a operar directamente

con los datos del problema y sobrevalorar la respuesta obtenida y no el proceso mediante

el cual la obtuvo. De esta forma, al no establecer correctamente toda la secuencia de

acciones, resolvió sólo parcialmente cuatro de las tareas que se le asignaron.

E.R.: Se ubica en el mismo nivel anterior por dificultades análogas, pero se añade que en

algunas tareas (tres) se le detectaron dificultades en el trabajo algebraico.

M.V.: Se le incluye en el nivel inferior (Deficiente) por sus insuficientes conocimientos

teóricos y por desconocer las acciones generales para resolver los problemas de

Matemática.

Por tanto, un alto grado de generalización implica no sólo la posibilidad de resolver

satisfactoriamente problemas similares a los resueltos en clases o en los libros de

Matemática, sino también situaciones nuevas que puedan presentarse. Así, cada alumno

debía solucionar distintas tareas, transfiriendo las acciones estudiadas de una situación a

otras, lo que no significa que estas se apliquen de forma exacta sino a través de una

reestructuración donde se manifieste conocimiento personal de la relación y conexión entre

los diversos temas y problemas.

En este sentido, el estudio reveló que las tareas donde se presentaron mayores dificultades

fueron las que requerían de la búsqueda de datos o fórmulas (por ejemplo, la # 4 y #5 que

se muestran en el Anexo 5.B) o en las que se aplicaba el sistema de acciones a situaciones

nuevas, lo que aportó nuevos elementos para explicar los resultados obtenidos.

De acuerdo con lo anterior, se observó que las dificultades que se presentaban durante la

resolución de los problemas iban condicionando a su vez las reorientaciones y correcciones

durante el proceso y el número de tareas que debían asignarse a los estudiantes para

incrementar el nivel de generalización de la acción.

De ello se puede concluir que no obstante las dificultades detectadas, las mismas se debían

resolver durante el transcurso de la experiencia mediante la organización de determinadas

condiciones pedagógicas que justificaran el trabajo realizado.

3.4.2 Análisis de los resultados de la Segunda Etapa.

En el segundo semestre del curso se estableció un esquema de trabajo similar al de la

Primera Etapa. De esta manera, las pruebas parciales y final aplicadas en la asignatura

Matemática II contenían algunos de los problemas que se evaluaron en la experiencia

pedagógica durante esta Segunda Etapa.

Estas evaluaciones fueron: la Tercera Prueba Parcial Escrita, la Segunda Prueba Oral, la

Segunda Tarea de Control Extraclase y la Prueba Final de la experiencia. En este orden, se

ubicaron las dos primeras en las semanas 9 y 13 respectivamente. La Segunda Tarea de

control Extraclase se orientaba en la semana 10 y evaluaba en la 15 y la Prueba Final de la

experiencia se aplicaba en las semanas 18 ó 19.

Para el análisis de las resoluciones, se siguen en este apartado los mismos criterios

utilizados en los anteriores. No obstante, se debe resaltar que en esta etapa del curso ya se

puede hacer referencia a una estrategia global que incluye todos los problemas que se

sometieron a análisis, caracterizada a su vez por ejecuciones que responden al modelo de

acciones propuesto para contribuir al desarrollo de la habilidad resolver problemas de

Matemática.

Al respecto, en la Tercera Prueba Escrita sobre problemas de aplicación del Cálculo

Diferencial e Integral (ver temarios en el Anexo 10) se redujeron notablemente los errores

que en las resoluciones se imputaban a un insuficiente análisis del enunciado, lo que se

comprobó a partir del planteo de los datos, identificación de las operaciones que se debían

aplicar para resolver el problema y validez de las respuestas, más del 60% de los

estudiantes de cada grupo resolvieron satisfactoriamente los problemas (ver Anexo 16.A).

Además, se observó que sólo el 8% de los estudiantes (3 del Grupo I, 1 del Grupo II, 2

del Grupo III y 2 del grupo V) presentaron estrategias de resolución no comprensibles o

dejaron de resolver el problema. Estos resultados mostraron que los alumnos gradualmente

trataban de elaborar vías de solución, con mayor o menor éxito, dependiendo de la tarea,

pero con una disminución en la tendencia a desistir en la búsqueda de la solución del

problema.

En cuanto al proceso de resolución, se manifestó un incremento en las explicaciones o

señalizaciones de la secuencia de pasos en la resolución, lo que determinó que el 31,03%,

33,33%, 38,09%, 35,29% y 42,10% de los estudiantes de cada grupo se ubicara en los

Niveles I (Muy Bien) y II (Bien) de desarrollo de la habilidad resolver problemas de

Matemática. Esto puso de manifiesto no sólo en la elaboración de una estrategia previa a la

resolución sino en su fundamentación más rigurosa y una considerable disminución de

errores conceptuales.

De interés también resultaron los porcentajes de estudiantes ubicados en los tres primeros

niveles: 62,06%; 75%; 76,19%; 64,47% y 73,07% respectivamente en cada curso, pero

estas cifras resultan significativas si se analiza que representaron un incremento de un

10,45%; 25%; 9,53%; 8,92% y 15,38% con respecto a una valoración similar realizada

después de aplicada la prueba escrita anterior.

Sin embargo, con respecto al resultado que se obtuvo con la aplicación de esta prueba en

el Grupo I (62,06%), se debe señalar que en dicho grupo algunos estudiantes (alrededor

de 10) manifestaron más que disposición y potencialidades para un satisfactorio

aprendizaje, un considerable desinterés y bajo nivel de motivación no sólo por el estudio

de la Matemática sino por la carrera. Esto determinó, a pesar del trabajo realizado tanto

por el colectivo de profesores que le impartían docencia como por la dirección de la

Facultad de Agronomía, que sus resultados finales fueran los más bajos con respecto a

otros grupos que participaron en la experiencia.

Con la aplicación de la Segunda Prueba Oral se pudo comprobar la superación, en un

grado satisfactorio, de muchos aspectos que según el sentido de la propuesta, limitan el

desempeño del estudiante al resolver problemas de Matemática.

Esto se explica a partir del análisis cuantitativo que se reporta en el Anexo 9.B, donde se

resumen los datos recogidos con la aplicación de las dos pruebas orales. De esta manera,

si se comparan los resultados obtenidos en ambas pruebas, puede apreciarse en la última

una tendencia a la superación de las dificultades detectadas que resulta significativa en la

mayoría de los items valorados. A partir de este análisis se plantea:

- Al comenzar la resolución los esfuerzos de los alumnos, tres de cada cinco (60%) se

concentraban en el análisis de la situación del problema. En este sentido, es

conveniente se aclare que las dificultades derivadas del análisis de los enunciados se

superaron notablemente en esta etapa, incluso algunos estudiantes - 1del Grupo I, 2

del Grupo III, 3 del Grupo IV y 4 del Grupo V (el 8%) - transformaban el texto de los

enunciados de los problemas, lo que llamó poderosamente la atención. Se observó que

un número mayor de estudiantes se mostraban hábiles en el análisis de las situaciones,

sin embargo, en ocasiones no se planificaba correctamente el plan de solución.

- En relación con lo anterior, durante el análisis de la situación, es necesario en esta

etapa de problemas donde hay un mayor grado de dificultad, centrar el interés en la

representación gráfica (si es que el problema lo requería), llamó la atención, que en

algunas ocasiones, tal representación suponía retroalimentar experiencias y

conocimientos que se imparten en niveles anteriores (funciones, representación de

cuerpos, etc), e incluso experiencias personales. No es de sorprender que el estudio

haya revelado una correlación muy interesante: por una parte el sujeto capaz de

representar gráficamente la situación la comprendía y explicaba mejor y por otra había

correspondencia entre dicha representación y la calidad de la ejecución de los pasos

siguientes. Lo anterior se manifestó en el 56% (13, 8, 16, 12 y 18 alumnos en cada

grupo) de las resoluciones presentadas.

- Otro aspecto de interés fueron los argumentos de los estudiantes para fundamentar el

proceso de resolución de los problemas, esta argumentación es muy importante, como

se sabe, argumentar es expresar señalamientos válidos para sustentar una idea. Por lo

tanto, implica también valorar críticamente otros puntos de vista y comunicarse

adecuadamente con otros miembros del grupo y con el profesor. En este contexto, se

consideraron las argumentaciones de los estudiantes como la base del análisis

conceptual. De esta forma el docente valoraba todas las explicaciones, manteniéndolas

como opciones posibles mientras no se demostrara lo contrario, propiciando la

reflexión y emitiendo sus propios criterios. Además, a lo anterior se agrega que el

docente siempre debe exigir a los estudiantes un argumento que defienda sus puntos de

vista. En esta dirección, el estudio indicó claramente que el 38% (8 del Grupo I, 5 del

Grupo II, 11 del Grupo III, 7 del Grupo IV y 14 del Grupo V) de los alumnos

argumentó adecuadamente su resolución, el 27% (5 del Grupo I, 4 del Grupo II, 7 del

Grupo III, 6 del Grupo IV y 10 del Grupo V) tuvo algunas imprecisiones durante su

intervención y el 35% (7 del Grupo I, 5 del Grupo II, 10 del Grupo III, 7 del Grupo

IV y 13 del Grupo V) no pudo argumentar o no resolvió correctamente el problema.

- Es importante destacar que los estudiantes al explicar las acciones que realizaban, en

ocasiones no se ajustaban a la secuencia real seguida, algunos revisaban sus

resoluciones para consultar lo que habían hecho (uno de cada tres, 33%), otros

enriquecían considerablemente su ejecución a través de las explicaciones (47%). En

esta segunda prueba, en lo referente a los aspectos formales de utilización del lenguaje

propio de la matemática, se apreciaron avances en cuanto a la explicación verbal para

fundamentar las acciones, alcanzándose una expresión adecuada al nivel universitario,

es decir, incorporar el lenguaje matemático con rigor, claridad y precisión. Al mismo

tiempo, esto constituye una evidencia de que por medio de la resolución de problemas

se puede acceder a etapas superiores de asimilación del conocimiento matemático.

- Cuando se señalaban errores a los estudiantes, se observaba que por lo general estos

procedían a tratar de hacer las correcciones, pero se aferraban a los elementos

“válidos” de una respuesta que en su conjunto resultaba incorrecta. Los alumnos - 7

del Grupo I, 3 del Grupo II, 8 del Grupo III, 4 del Grupo IV y 8 del Grupo V (el

25%) - no podían considerar otras alternativas de resolución, temiendo perder una

parte correcta del proceso. A veces esto no podía hacerse de forma inmediata y el

estudiante requería tiempo para revisar las ideas.

- Sin embargo, los resultados anteriores expresan que tal vez la confirmación más

importante de la validez del estudio en esta etapa la constituye el hecho de que los

estudiantes que al inicio de la experiencia mostraban dificultades en su desempeño

tanto personal como académico al resolver las tareas en la medida que se fue

desarrollando el proceso de aprendizaje no sólo asimilaron contenidos sino formas de

actuar, reflexionar, confrontar y justificar.

En cuanto a la Segunda Tarea de Control Extraclase que se evaluaba en la semana 15, ésta

contenía un problema abierto de aplicación del Cálculo Integral (ver Problema #21 en el

Anexo 5.B) cuya resolución requería de una pequeña investigación para determinar el área

de una superficie de interés por su relación con la práctica agrícola.

En la realización de esta tarea se reveló que los estudiantes habían explorado (investigado)

en las situaciones sugeridas en la misma, tal como indicaban la búsqueda de los datos, el

análisis cualitativo preliminar de la situación, las alternativas de resolución, la organización

del proceso de resolución y las soluciones obtenidas.

Los resultados cuantitativos (ver Anexo 16.B) muestran los siguientes porcentajes de

alumnos ubicados en los tres primeros niveles de desarrollo de la habilidad: 75,86% del

Grupo I, 83,33% en el Grupo II, 76,19% en el Grupo III, 82,35% en el Grupo IV y

80,76% en el Grupo V.

Con la aplicación de esta tarea los estudiantes pudieron explorar (investigar) para

determinar la vía de solución más adecuada para el problema planteado, valorando a su

vez la importancia de las mediciones y estimaciones en la vida cotidiana mediante algunos

objetos cercanos a sus intereses o relacionados con la práctica profesional. Durante la

realización de esta actividad los alumnos mostraron una disposición favorable hacia el

trabajo en grupos o interacción con otras personas en la búsqueda de datos,

representación e interpretación de la información.

En cuanto a los resultados de la Prueba Final de la experiencia (ver Anexo 16.A), en el

análisis de las resoluciones se revelan algunas dificultades para determinar las conexiones

entre los datos a partir de la situación del problema, de lo cual dependía su solución

exitosa. Así, los resultados obtenidos indicaron que alrededor del 17% de los estudiantes -

8 del Grupo I, 1 del Grupo II, 3 del Grupo III, 2 del Grupo IV y 4 del Grupo V - incurrió

en errores con el análisis del enunciado. En este caso, las deficiencias estaban relacionadas

directamente con el aumento de las dificultades, ya que se trataba de un problema de

aplicación de ecuaciones diferenciales (ver temarios en el Anexo 10).

No obstante, resultó alentador constatar que solamente 9 de los alumnos dejaron sin

resolver el problema, de ellos 2 pertenecían al Grupo I, 4 al Grupo II, 1 al Grupo IV y 2

al Grupo V. El resto de los desaprobados al menos realizaron intentos en este sentido.

Por otra parte, resultó significativo que el 37,93% de los alumnos del Grupo I, el 45,45%

del Grupo II, el 38,09% del Grupo III, el 37,50% del Grupo IV y el 42,85% del Grupo V

(alrededor del total 40% de los estudiantes) se distribuyeran entre los Niveles I y II (muy

bien y bien respectivamente) en esta prueba final de la experiencia, lo que indica que las

acciones que estructuran la habilidad resolver problemas de Matemática se ejecutaron sin

incurrir en errores.

Obviamente, el hecho de que un 65,50%; 72,72%; 71,42%; 75% y 80,76%

respectivamente de los estudiantes de cada grupo resolvieran el problema propuesto en

esta prueba demostró un adecuado manejo de los procedimientos operativos. En las

resoluciones se pudieron distinguir sus dos componentes: el algorítmico, necesario para el

proceso de cálculo matemático y el heurístico, dado a través de la comprensión de las

operaciones realizadas. Esto se vio reflejado en la prueba a través de la interpretación que

se hace en el problema de los resultados teóricos obtenidos por procedimientos

matemáticos, en la incorporación del sistema de acciones en una nueva situación y en las

propias respuestas al problema.

Después de presentar el resumen de los datos aportados por esta última prueba; y dado

que previamente se analizaron para otros momentos de la experiencia, tanto los resultados

de los estudiantes como el proceso mediante el cual lo obtienen, es importante destacar

que a pesar de que por requerimientos analíticos, durante la caracterización del proceso de

formación de las acciones de la habilidad estudiada estas por lo general se presentaron de

forma aislada una con respecto a las otras, en efecto, ellas no se manifiestan

independientemente. De esta manera, los datos también revelaron que estas acciones se

fueron integrando a través de toda la diversidad de condiciones en las que los alumnos

tenían que actuar hasta constituirse en un sistema estructural y funcionalmente hablando, es

decir, hasta alcanzar como cualidad lo que pudiera denominarse un plan de acción

generalizado.

Es así como los resultados que se obtuvieron en esta segunda etapa indican un

determinado nivel de desarrollo de esta cualidad. En este punto el análisis del nivel de

generalización muestra que los alumnos se distribuyen fundamentalmente en los niveles:

Muy Bien (27,18%) y Bien (33%). Los restantes se agrupan en las categorías de Regular

(20,38%) y Deficiente (20,38%). Debe señalarse que estos resultados muestran en general

una tendencia a expresar un mayor desarrollo de la generalización en relación con la etapa

anterior (ver Anexo 14).

En este sentido resulta interesante caracterizar el desempeño de algunos estudiantes en esta

segunda etapa de la experiencia pedagógica. Así:

B.G. : Logró acceder al nivel superior (Muy bien) al solucionar con el máximo rigor

matemático todas las tareas propuestas durante esta segunda etapa. En esta ubicación, fue

determinante el hecho de que este alumno logrará resolver dos tareas de aplicación de las

ecuaciones diferenciales, completamente diferentes a las realizadas en clases.

G.H.. : Finaliza la experiencia ubicado en la categoría de Bien debido a que al resolver

algunas de las tareas propuestas (tres) no estableció adecuadamente la secuencia de

acciones correspondientes a la habilidad, mostrando una marcada tendencia a la obtención

de los resultados más que por el proceso a través del cual los obtuvo.

K.S.: Permaneció durante todo el transcurso de la experiencia en la categoría de Regular

debido a que se mantenía dentro de lo estrictamente exigido por la tarea sin trascender o

avanzar más allá, logrando en cuatro ocasiones solo resolver las tareas parcialmente.

Durante la realización estas tareas presentó dificultades al analizar aquellas que requerían

de datos no explicitados en los enunciados de los problemas.

S.F.: Se ubica en el mismo nivel anterior (Regular), pero retrocediendo del nivel inmediato

superior (Bien), ya que en esta segunda etapa mostró falta de coherencia al aplicar en

cinco tareas las secuencia de acciones, por lo que sólo las pudo resolver parcialmente. En

estas resoluciones se evidenciaron dificultades para buscar y organizar la información, la

ilustración de las situaciones en dos de los problemas no se correspondía exactamente con

lo planteado en los enunciados, omisión de pasos al calcular la derivada de una función que

generó errores que no fueron detectados por el estudiante y en tres ocasiones no se

planteó respuesta textual en problemas que así lo requerían.

E.R.: Se le incluyó en el nivel inferior (Deficiente) en ambas etapas debido a su

desconocimiento de la secuencia de acciones o etapas generales para resolver problemas

de Matemática y no demostrar interés por asimilarlas.

A continuación se comparan a través de un diagrama de barras los niveles de desarrollo

inicial y final de la habilidad resolver problemas de Matemática alcanzados por cada uno

de los grupos que participaron en la experiencia pedagógica.

Toda la argumentación anterior se complementa con el análisis de una curva de aprendizaje

donde se expresa gráficamente el proceso de formación de la habilidad resolver problemas

de Matemática en cada uno de los grupos durante el transcurso de la experiencia (ver

Anexo 18).

Para ello, en un sistema de ejes coordenados rectangulares en el plano, se representa en el

eje horizontal (abscisas) el tiempo (en meses) de duración de la experiencia. Los resultados

alcanzados (%), se disponen en el eje vertical (ordenadas).

Se observa así que al inicio esta habilidad se encuentra en su punto más bajo de desarrollo,

para elevarlo se exigen la práctica y el aprendizaje adecuado. En ese sentido, es

fundamental que el estudiante sepa valorar por sí mismo los avances e insuficiencias en el

trabajo, establecer las causas que lo determinan y orientarse en los medios que requiere

para mejorar el rendimiento de sus tareas, a lo cual debe prestar atención el docente y

proponer medidas concretas.

Transcurridos dos o tres meses ya comienzan a superarse las dificultades de los estudiantes

consiguiéndose no solo la realización con una mayor calidad de las tareas sino la

posibilidad de darse cuenta de los errores cometidos durante su ejecución.

En la segunda etapa (entre los cinco y siete meses), se observa una tendencia a un

desarrollo más lento, lo que esta relacionado con la realización de tareas más difíciles.

Todos estas consideraciones explican que al comienzo de la experiencia la curva se eleva

más rápidamente que en su etapa final.

3.4.3 Validación estadística de los datos experimentales.

En esta investigación, dadas las características de la hipótesis formulada y los objetivos

trazados, se requiere del procesamiento estadístico de los datos obtenidos para confirmar

si con la aplicación de la experiencia pedagógica se favorece el desarrollo de la habilidad

resolver problemas de Matemática.

Estos factores, entre otros que se explican, nos inclinan por la selección de la prueba

estadística no paramétrica de MacNemar (S. Siegel, 1987, pp.86-91) para comprobar la

hipótesis.

Esta prueba para la significación de los cambios observados se aplica para valorar la

efectividad de un tratamiento particular, resultando apropiada para los diseños de “antes” y

“después” en los que cada persona es usada como su propio control.

En este punto, para probar la significación de cualquier cambio a través de este método

estadístico, se ordenaron las frecuencias observadas en una tabla de cuatro entradas que

represente al primer y último conjunto de respuestas de los mismos individuos. Para ello se

utilizó el Paquete de Técnicas Estadísticas Computarizadas SPSS V.10.

Por tanto, de acuerdo con el análisis de los resultados de las pruebas realizadas durante el

transcurso de la experiencia que nos permitieron establecer su estado inicial y final, se

ubican en la celda superior izquierda aquellos estudiantes que disminuyeron

significativamente sus dificultades al resolver problemas demostrando un nivel de

apropiación satisfactorio de las acciones, en la celda superior derecha los que al inicio del

estudio presentan grandes dificultades y lo concluyen en una situación similar.

En la celda inferior izquierda aquellos alumnos que mantienen un desempeño satisfactorio

durante todo el curso, y por último, en la celda inferior derecha los que inicialmente

mostraron satisfactorios resultados y posteriormente presentaron dificultades.

De este modo, se aplica la prueba de MacNemar, para el caso de dos muestras

relacionadas a un nivel de significación de 0,05, considerándose como hipótesis nula (H0)

la aseveración de que no se favorece en los estudiantes el desarrollo de la habilidad

resolver problemas de Matemática después de haber participado en la experiencia

pedagógica y como hipótesis alterna (H1) lo contrario, es decir, que se favorece.

De acuerdo a los resultados que se obtuvieron (ver Anexo 19), la probabilidad conforme a

H0 asociada con la ocurrencia observada es p, menor que ? , el valor observado ? 2 está en

la región de rechazo y se rechaza H0 para aceptar H1. Así, de los datos obtenidos en cada

grupo experimental se concluye que los estudiantes mostraron una tendencia significativa a

desarrollar la habilidad investigada después de haber participado durante un curso en la

experiencia pedagógica.

3.4.4 Presentación y análisis de los resultados de la Prueba de Solidez.

Para comprobar si el desarrollo de la habilidad resolver problemas de Matemática que se

produce en los estudiantes tratados tiene un tiempo de retención grande se solicitó a los

estudiantes que habían participado en la investigación durante un curso, que resolvieran un

problema, a través de la Prueba de Solidez, después de haber concluido la experiencia.

Los temarios de estas pruebas para cada grupo se reportan en el Anexo 10 y contienen

problemas de aplicación de extremos de funciones de dos variables.

Así, dada la recopilación de datos que confirmaron la hipótesis del trabajo, se espera

encontrar que la habilidad adquirida permanezca al cabo del tiempo sin mucha disminución

(pérdida) como una habilidad para la resolución de problemas de Matemática.

Por otra parte, también se propone valorar si la experiencia y el reconocimiento de

determinado tipo de problema muy asentado en la mente del resolutor en los inicios de la

investigación pueden “contaminar” la habilidad adquirida provocando ejecuciones no

reflexivas o que antes del análisis del enunciado se busquen en la memoria soluciones a

partir de problemas similares.

Se pudo comprobar que el proceso seguido en la resolución del problema propuesto a

resolver en esta Prueba, se realizó en la gran mayoría de los casos, con una secuencia

marcada por la ejecución de las acciones trabajadas durante la investigación, sus

resultados, que se muestran en el Anexo 20, reportaron que los estudiantes se agruparon

en los niveles de desarrollo de la habilidad de la siguiente forma: Deficiente (34,61%),

Regular (30,76%), Bien (26,92%) y Muy Bien (7,69%).

Como un elemento más a favor de la validez de la experiencia pedagógica para desarrollar

la habilidad resolver problemas de Matemática, se presentan a través de dos instrumentos

distintos los resultados de las valoraciones de estudiantes y profesores, sobre el trabajo

realizado en el aula, después de haber sido experimentado el modelo.

3.5 Opiniones de los estudiantes sobre la experiencia pedagógica.

En este punto se quiere verificar si la aplicación continuada de las acciones educativas

propuestas favorecen la motivación y satisfacen los intereses cognoscitivos de los

estudiantes con respecto a la resolución de problemas de Matemática.

Indagar sobre este particular en muy importante ya que en diversas publicaciones y

estudios experimentales se argumenta que la enseñanza de la Matemática es una tarea

difícil (M. de Guzmán, 1993) y que los estudiantes manifiestan rechazo por su estudio (H.

Santana, 1994), lo que se proyecta en actitudes desfavorables hacia esta Ciencia.

No obstante estas actitudes no son innatas sino que se aprenden, y en consecuencia las

actitudes positivas podrán enseñarse (M. Shrigley y M.J. Frazer, 1974).

Considerar lo anterior al diseñar cualquier estrategia de enseñanza-aprendizaje es

fundamental, pues cualquiera que sea la capacidad mental inherente a un alumno éste tiene

completo poder de veto sobre si aprende algo o nada en absoluto (M.B. Ormerod, 1983).

Precisamente por lo que expresan estos autores, nos interesamos por conocer si la

participación de los estudiantes en la experiencia pedagógica ha dejado su huella o tenido

algún efecto favorable o desfavorable en este sentido.

Con el propósito de conocer los criterios al respecto, se elaboró la guía de análisis para las

opiniones de los estudiantes acerca de la experiencia pedagógica (ver Anexo 21.A). Las

cuestiones objeto de indagación son contestadas de forma anónima e individual, sin límites

de tiempo, por los alumnos que habían participado de forma continua en la investigación. El

resumen de los resultados (en %) aportados por la aplicación de este instrumento se

reporta en el Anexo 21.B.

Resulta oportuno aclarar que la expresión experiencia pedagógica, se sustituye por el

término metodología en las encuestas realizadas en este y el siguiente apartado, ya que

este último término es el que por lo general adoptaron los encuestados para referirse a la

investigación.

Sobre esta base, en el cuestionario aplicado a los estudiantes, se les pidió una valoración

para cada item (los que constituyen un recorrido por los aspectos esenciales del modelo

de resolución de problemas experimentado) y del procedimiento utilizado con anterioridad.

De la comparación entre sí de los porcentajes de las calificaciones para cada item se

obtiene la valoración de la efectividad de la experiencia pedagógica desde el punto de vista

de los alumnos.

Los cuestionarios aplicados se han confeccionado a partir de preguntas o indicaciones

dirigidas a los estudiantes, solicitándoles que emitan una calificación que exprese su mejor

opinión en base a una escala conocida, cuya equivalencia cualitativa y cuantitativa les

resulta familiar. Al respecto, se asumieron los siguientes:

Criterios de evaluación.

Muy bien. Bien. Regular. Mal.

5 4 3 2

Se considera que la encuesta así presentada evita ambigüedades, lo que facilita el trabajo

con los datos obtenidos y la valoración de los aspectos básicos abordados.

Durante la aplicación de la encuesta los estudiantes consideraron importante reflexionar

antes de emitir una calificación que establece una comparación entre la forma de resolver

problemas que denominamos habitual (antes de incorporarse a la experiencia) y la

desarrollada durante el curso experimental.

Los datos obtenidos son muy sugerentes y casi nos limitaremos a destacar que en la

valoración de los estudiantes, la experiencia pedagógica obtuvo calificaciones de 4 y 5

(por encima del 65%) en todos los casos, y como se puede comprobar con marcadas

diferencias con respecto a propuestas anteriores en muchos de los aspectos que se

consideraron.

En particular, se confirma en el item 1 que los problemas abordados fueron del interés de

los estudiantes, en la misma medida los items 6 y 7 son de resultados muy alentadores

(más del 80% de los alumnos le otorgó las máximas calificaciones) pues demuestran que se

supera considerablemente la predisposición desfavorable hacia la resolución de problemas.

De igual forma a través del item 10 se reconoce la importancia de la reflexión

metacognitiva necesaria para identificar y corregir los errores conceptuales y operativos en

que se puede incurrir durante el proceso de resolución.

Los estudiantes manifestaron además que esta forma de abordar los problemas les reportó

cambios positivos en su forma habitual de estudiar, un mayor grado de responsabilidad con

los estudios, mejora sus relaciones interpersonales y les dio la posibilidad de darse cuenta

de sus recursos individuales.

Finalmente, resultó muy satisfactorio constatar que al comparar las dos metodologías,

ningún estudiante planteara que la organización metodológica general de la propuesta

experimental fuera igual a la de cursos precedentes, que un 38,83% opinara que es distinta

y un 62,13% que es completamente diferente, lo que es indicativo de las transformaciones

introducidas en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Además, se insistió en que resultaba

particularmente importante conocer las deficiencias y aciertos de la nueva forma de enseñar

y aprender a resolver problemas de Matemática, por lo que no debían vacilar en escribir

sus criterios. Se citan a continuación varios de ellos:

B.F.: “Considero que la metodología aplicada me ayudó mucho al resolver los problemas y

a comprender la Matemática en lugar de quejarme de ella”.

A.F.: “He comprendido en este curso que puedo ser mucho mejor resolviendo problemas

de Matemática de lo que siempre pensé”

L.C.: “A través del trabajo con los problemas me pude relacionar mejor con mis

compañeros y con el profesor y aprender más”.

Y.H.: “Cuando supe que iba a participar en un experimento me asusté pensando que no

iba a estar ni una semana en la universidad, hoy me doy cuenta que aprendí mucho y que

me gustaría estudiar otras asignaturas de esta manera”.

R.P.: “Las clases no se dieron de la forma normal. Me parece que el método mediante el

cual resolvimos los problemas es muy bueno. Nunca antes había podido resolver tantos

problemas”.

3.6 Opiniones de los profesores sobre la experiencia pedagógica.

Los criterios de los profesores sobre los efectos que se pueden producir o inducir en los

estudiantes a través del modelo aplicado para contribuir al desarrollo de la habilidad

resolver problemas de Matemática, se consideran de gran interés, pues son ellos los que

posibilitarían su incorporación en el aula.

De esta valoración se habrá de considerar si los docentes aceptan o rechazan los

supuestos teóricos y metodológicos que aquí se presentan.

Con este objetivo se procedió a elaborar la guía de análisis para recoger las opiniones de

los profesores (ver Anexo 22.A) que conocían del trabajo de investigación a través de

intercambios personales, tanto con el investigador como con los estudiantes. Estos

contactos han propiciado también la realización conjunta de actividades tales como:

publicación de artículos, presentación de trabajos en eventos nacionales e internacionales,

cooperación en investigación educativa, seminarios y cursos de postgrado.

Tal como se ha indicado, se les pidió a los profesores que valoraran dos metodologías: la

metodología de trabajo habitual y la propuesta en la tesis, a modo de establecer

comparaciones entre ambas. El cuestionario fue diseñado con las mismas características

que el de los estudiantes, persigue objetivos similares y pretende además profundizar en

cuanto al grado de aplicabilidad, la satisfacción de las expectativas y en general la forma de

proceder en esta propuesta didáctica.

Los resultados de la encuesta aplicada se reportan en el Anexo 22.B. Es de resaltar que en

todos los casos las calificaciones de los profesores a las acciones docentes propuestas a

través de la experiencia pedagógica (más del 75% las calificó con las máximas

puntuaciones) superan a las que se han denominado habituales.

Se observa así que los profesores expresaron criterios muy favorables sobre el desarrollo

de la experiencia, opinando que las indicaciones metodológicas planteadas en el trabajo

tienen un considerable nivel de aplicación, tanto desde el punto de vista personal como

académico-profesional, lo que posibilita transferir lo aprendido en la Matemática a otras

asignaturas específicas.

Los resultados (en %) muestran que los docentes otorgaron las mayores calificaciones a

los items relacionados con el análisis de los aspectos cualitativos del problema (item 2), la

estructuración del proceso de resolución (item 5), la búsqueda de estrategias alternativas

de resolución (item 4) y la motivación para resolver los problemas de Matemática (item

1). Además, se manifestó interés por profundizar en el estudio de algunas cuestiones

específicas de la resolución de problemas de Matemática que se abordan en la tesis, lo que

es un indicador muy satisfactorio de la opinión de los docentes sobre la experiencia

pedagógica.

De acuerdo a los resultados obtenidos, se puede considerar que con la aplicación de la

experiencia pedagógica, se logró que los estudiantes resolvieran los problemas de

Matemática de acuerdo a la secuencia trazada por el modelo propuesto y,

consecuentemente fue valorado positivamente por los profesores. Al respecto se citan

algunos criterios de estos docentes sobre la experiencia pedagógica:

J.D.: “El modelo pedagógico propuesto ofrece una reflexión clara y explícita sobre el

proceso de resolución de problemas de Matemáticas en las condiciones en que

desarrollamos la docencia por lo que también da la posibilidad de incorporarlo “desde

dentro” de nuestras aulas. Ambas condiciones son las que nos permitirán realizar

propuestas propias ajustadas a las peculiaridades de los estudiantes”.

C.M.: “La teoría y la práctica se conjugan en esta experiencia pedagógica, a mi modo de

ver, de forma dialéctica, esto permite que podemos valorar muchas de sus indicaciones

para aplicarlas en el trabajo en las aulas”.

R.V.: “Los intercambios sobre esta investigación científica me han permitido conocer sobre

muchos de los aspectos que están implicados en la efectividad del proceso de enseñanza-

aprendizaje de la resolución de problemas de Matemática y al mismo tiempo me indica

nuevas estrategias y recursos para enfrentar dicha problemática en el aula”

3.7 Conclusiones.

A modo de síntesis se presentan las conclusiones de la exposición anterior en los siguientes

puntos:

- El análisis del desempeño de los estudiantes muestra, en un inicio, que sus resoluciones

son esencialmente reproducciones mecánico-memorísticas de procedimientos

aprendidos. Sus características principales son: tendencia a la utilización directa de los

datos sin un suficiente análisis de la situación planteada en el texto del problema,

dificultades para elaborar estrategias previas a la resolución, desconocimiento de las

acciones generales para la resolución de problemas y tendencia a valorar el resultado

final más que el proceso de resolución, entre otras.

- El efecto metodológico provocado por la aplicación sistemática de las acciones de la

propuesta pedagógica permitió que la habilidad de resolver problemas matemáticos se

formara con niveles satisfactorios de generalización y solidez, lo que se evidenció en

que la mayoría de los estudiantes resolviera diferentes tipos de problemas y en la

permanencia en el tiempo de la habilidad formada.

- Los estudiantes se manifestaron muy favorablemente con respecto a la propuesta

metodológica experimentada en comparación con la metodología a que estaban

habituados ya que consideraron que la misma les permitió: aplicar los conocimientos,

una mejor preparación y comunicación con sus compañeros de aula y profesor, una

mayor motivación y responsabilidad con los estudios, y explorar y darse cuenta de sus

potencialidades individuales.

- Los profesores valoraron positivamente la experiencia pedagógica, manifestando que la

misma ofrece una alternativa viable para orientar la enseñanza de la resolución de

problemas matemáticos.

Conclusiones Generales.

Los resultados alcanzados con esta investigación permiten plantear las siguientes

conclusiones:

- Se logró con la aplicación de la experiencia pedagógica el enriquecimiento del sistema

de acciones y operaciones que estructuran la habilidad resolver problemas de

Matemática, lo que se evidencia a través de:

a) La caracterización de la habilidad resolver problemas de Matemática considerando

cinco acciones: 1) Analizar el problema; 2) Generar estrategias de trabajo; 3)

Valorar las consecuencias de la aplicación de la estrategia que se considere más

adecuada; 4) Ejecutar o desarrollar la estrategia seleccionada y 5) Evaluar los

logros y dificultades durante la ejecución.

b) La acción “Valorar las consecuencias de la aplicación de la estrategia que se

considere más adecuada” no se explicita en los modelos de resolución de

problemas.

c) La estructuración de la habilidad resolver problemas de Matemática en base a

estas acciones permite a su vez reconocer la estructura operacional de las mismas

en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la resolución de problemas de

Matemática.

- La experiencia pedagógica realizada con estudiantes del primer año de la carrera de

Agronomía sustentada en el enfoque Histórico Cultural en el contexto de la escuela

superior cubana actual, constituye una alternativa valida para desarrollar en los

estudiantes la habilidad resolver problemas de Matemática.

- Se logró formar la habilidad resolver problemas de Matemática con satisfactorios

niveles de generalización y solidez. Esto se evidenció en que los estudiantes

interiorizaron las diferentes acciones de la habilidad logrando aplicarlas en diversos

tipos de problemas matemáticos y en diferentes momentos.

- Las tareas diseñadas para modelar las acciones correspondientes a la habilidad

resolver problemas de Matemática, así como los medios de enseñanza que brindaron

un apoyo externo a los estudiantes durante el proceso de formación de la habilidad,

constituyen dos elementos fundamentales que se integraron en la experiencia

pedagógica, propiciando en gran medida la formación de las acciones

correspondientes a la habilidad.

- Se apreció que con la aplicación de la experiencia pedagógica se favoreció un mayor

nivel de reflexión del estudiante en el proceso de resolución de los problemas de

Matemática.

Recomendaciones.

Por último se señalan algunas perspectivas y nuevos problemas derivados de este trabajo:

- Con el fin de revalidar la propuesta, se sugiere una replica de su implementación con

carácter experimental en otras carreras y niveles de enseñanza.

- Trabajar con los estudiantes por modificar una predisposición desfavorable a priori

hacia la resolución de problemas de Matemática. Este cuadro desfavorable puede

modificarse si se aplica una estrategia eficiente de enseñanza y aprendizaje sobre la

resolución de problemas.

- Divulgar los resultados teóricos y prácticos de la investigación entre educadores e

investigadores en el campo de la Matemática Educativa, tanto del nivel medio como

superior de enseñanza, con el propósito de trabajar por incorporar en el proceso de

enseñanza-aprendizaje estrategias alternativas y acciones educativas generales para

resolver problemas.

- Se estima que es necesario seguir profundizando y encontrar nuevas aristas a la

problemática que aborda la tesis. En esta dirección, dejamos planteada la propuesta

para construir nuevas hipótesis y generar nuevas expectativas sobre el tema.

De esta forma, las recomendaciones y perspectivas que esta investigación deja

abierta son muchas y están estrechamente relacionadas con diversos aspectos que

podrían tener importante influencia en la eficiencia de la práctica educativa.

Consecuentemente, se puede continuar diseñando un amplísimo programa global de

investigación sobre la didáctica de la Matemática en la Enseñanza Superior, capaz

de convocar a una tarea colectiva, creativa y rigurosa de búsqueda científica y que

sin dudas, contribuirá al enriquecimiento y la profundización de todo el trabajo

realizado.

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185. Songer, N.B. and M.C. Linn (1991): How do studensts views of science

influence knowledge integration?. Journal of Reseach in Science Teaching, 28(9).

186. Stewart, J. (1998): Cálculo. Conceptos y contextos. International Thomson

Editores, México.

187. Talízina, N. (1985): Conferencia sobre: Los fundamentos de la enseñanza en la

Educación Superior. DEPES, Universidad de La Habana.

188. Talízina, N. (1988): Psicología de la Enseñanza. Editorial Progreso, Moscú.

189. Tomascheswski, K. (1966): Didáctica General. Editorial Grijalbo S.A., México.

190. Torres, P. (1993): La enseñanza problémica de la Matemática del nivel medio

general. Tesis de Doctorado. ISPEJV, La Habana.

191. Tríanes, M.V. et al. (1992): Psicología de la Educación para profesores.

Departamento de psicología Evolutiva de la Educación. Edita Secretariado de

Publicaciones. Universidad de Málaga, España.

192. Ulloa, M. et al. (1985): La investigación pedagógica. En: Temas de Superación.

Editorial Pueblo y Educación, La Habana, pp. 56-64.

193. Urquijo, P. (1991): Estudio de la formación de las acciones intelectuales de análisis,

reflexión y generalización durante la enseñanza de las prácticas de laboratorio de

Química General en estudiantes Universitarios. Tesis de Doctorado, La Habana.

194. Valverde, L. (1990): Un método para contribuir a desarrollar la habilidad para

fundamentar-demostrar una proposición matemática, tomando como base una

asignatura de Algebra de primer año de los ISP. Tesis de Doctorado. ISPEJV, La

Habana.

195. Vázquez, C. (1992): Estadística Básica. Santillana S.A., España.

196. Vidal, G. (1999): Una concepción didáctica integradora de la Química General

para las carreras de ciencias Naturales. Tesis de Doctorado. Universidad de La

Habana.

197. Vigostky, L.S. (1982): Pensamiento y lenguaje. Editorial Pueblo y Educación, La

Habana.

198. Vigostky, L.S. (1987): Historia del desarrollo de las funciones psíquicas

superiores. Editorial Científico Técnica, La Habana.

199. Zajarova, A.V. y M. E. Botsmanova. (1987): Las particularidades de la reflexión

como neoformación psíquica en la actividad docente. En: Formación de la actividad

docente de los escolares. Editorial Pueblo y Educación, La Habana, pp. 158-170.

200. Zilberstein, J. et al. (1999): Didáctica integradora de las ciencias. Experiencia

cubana. Editorial Academia. La Habana.

PUBLICACIONES DEL AUTOR RELACIONADAS CON EL TEMA DE LA

TESIS.

? Mazarío, I. (1997a): Un aspecto esencial en la resolución de problemas: la

comprensión de su enunciado. Publicado en las memorias del evento COMAT´97,

Universidad de Matanzas.

? Mazarío, I. (1997b): Sobre la utilización de la Historia de la Ciencia en la Educación.

Publicado en las memorias del evento COMAT´97, Universidad de Matanzas.

? Mazarío, I. et al. (1997c): Experiencias didácticas en la organización sistemática del

proceso de enseñanza de la Matemática para las carreras de ingeniería. Resúmenes de

la Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa en la Universidad Michoacana

de San Nicolás de Hidalgo. Morelia. Michoacán, México.

? Mazarío, I. et al. (1998): Algunos aspectos generales de la resolución de problemas

en la enseñanza de la Matemática. Publicación Científica del “Area de Estudios sobre

Educación Superior”. Educación Universitaria. No.1, Universidad de Matanzas.

? Mazarío, I. (1999a): La historia de la Matemática y las Ciencias como estrategia en la

didáctica de la resolución de problemas. Publicación Científica del “Area de Estudios

sobre Educación Superior”. Educación Universitaria. No.2, Universidad de Matanzas.

? Mazarío, I. (1999b): El desarrollo de habilidades en la resolución de problemas.

Revista Cubana de Educación Superior. Vol. XIX.No.2, La Habana.

? Mazarío, I. et al. (1999c): El desarrollo de habilidades en la resolución de problemas

en las clases de ciencias. Publicación Científica del “Area de Estudios sobre Educación

Superior”. Educación Universitaria. No.2, Universidad de Matanzas.

? Mazarío, I. (1999d): La resolución de problemas en Matemática: reflexiones sobre

una línea de investigación. Publicado en las memorias del evento COMAT´99,

Universidad de Matanzas.

? Mazarío, I. (2000a): Reflexiones sobre la incidencia de las matemáticas y las ciencias

en la resolución de problemas. Publicación Científica del “Area de Estudios sobre

Educación Superior”. Educación Universitaria. No.3, Universidad de Matanzas.

? Mazarío, I. (2001a): Un sistema didáctico para la resolución de problemas de

Matemática en la carrera de Agronomía. Publicado en las memorias del evento

COMAT´2001, Universidad de Matanzas.

? Mazarío, I. (2001b): El trabajo grupal y la resolución de problemas. Memorias del

Congreso COMAT´2001, Universidad de Matanzas.

? Mazarío, I. et al. (2001c): Las técnicas participativas en el trabajo grupal. Congreso

Internacional Pedagogía 2001, La Habana.

? Mazarío, I. et al. (2002a): Formas organizativas del proceso docente educativo y el

tratamiento de los problemas. Publicación Científica del “Area de Estudios sobre

Educación Superior”. Educación Universitaria, Universidad de Matanzas.

? Mazarío, I. (2002b): Propuesta de un sistema de acciones y operaciones para

estructurar la habilidad resolver problemas. Monografía: “La resolución de problemas”,

Universidad de Matanzas.

? Mazarío, I. et al. (2002c): Propuesta de un diseño de trabajo grupal para abordar los

problemas en las clases de ciencia. Monografía: “La resolución de problemas”,

Universidad de Matanzas.

? Mazarío, I. et al. (2002d): Algunas sugerencias que favorecen la evaluación de los

problemas en clases. Monografía: “La resolución de problemas”, Universidad de

Matanzas.

OTRAS ARTÍCULOS PUBLICADOS.

? Mazarío, I. (1988): Aplicación del sistema de principios en asignaturas. Monografía

Didáctica #3. Aplicación del sistema de principios en la Educación Superior. Instituto

Superior Agroindustrial “Camilo Cienfuegos”, Matanzas.

? Colectivo de autores (1995): Articulación entre la Matemática y la Física. Revista

“Tradición”. Universidad Ricardo Palma. Año II. No.5. Julio, Perú.

? Colectivo de autores (2000): Bloqueos: un problema?. Publicación Científica del

“Area de Estudios sobre Educación Superior”. Educación Universitaria. No.3,

Universidad de Matanzas.

? Colectivo de autores (2001): La dimensión afectiva del aprendizaje de las ciencias y

las relaciones CTS. Revista de la Facultad de Ciencia y Tecnología. Universidad

Pedagógica Nacional. No.9., Bogotá D.C.

Indice de Anexos.

Contenido.

Anexo 1.A Sistema de objetivos, contenidos y habilidades de las asignaturas Matemática

Superior I y II para la carrera de Agronomía (Planes C y C´).

Anexo 1.B Distribución del fondo de tiempo para las diferentes formas organizativas de

enseñanza..

Anexo 2 Estructura de la habilidad resolver problemas de Matemática.

Anexo 3. Datos generales de los estudiantes que ingresan al Primer Año de la Carrera de

Agronomía.

Anexo 4.A Guía para la encuesta a profesores acerca de las dificultades de los estudiantes

en la resolución de problemas de Matemática.

Anexo 4.B Resultados del análisis de las opiniones de los docentes sobre las dificultades

de los estudiantes en la resolución de problemas.

Anexo 5.A Ejemplos de tareas resueltas en clases.

Anexo 5.B Ejemplos de tareas propuestas a resolver en clases.

Anexo 6 Folleto para los estudiantes con problemas resueltos.

Anexo 7 Hoja de Trabajo de los estudiantes.

Anexo 8 Guía didáctica del estudiante para la resolución de problemas de Matemática.

Anexo 9.A Guía para el análisis de las resoluciones en la Prueba Oral.

Anexo 9.B Resultados del control de las Pruebas Orales.

Anexo 10 Ejemplos de Tareas de Control.

Anexo 11 Niveles de desarrollo de la habilidad resolver problemas de Matemática.

Anexo12 Ficha de evaluación a llenar por los estudiantes.

Anexo 13 Hoja de Diagnóstico del profesor.

Anexo 14 Caracterización del nivel de generalización.

Anexo 15 Fases del proceso de aprendizaje de la resolución de problemas en la

experiencia pedagógica.

Anexo 16.A Resultados del control de las Pruebas Escritas Parciales y Final.

Anexo 16.B Resultados del control de las Tareas Extraclases.

Anexo 17 Muestra de algunas de las resoluciones de problemas de los estudiantes.

Anexo 18 Curva de aprendizaje.

Anexo 19 Validación estadística de los datos experimentales.

Anexo 20 Control de la solidez de los contenidos de Matemática Superior I y II.

Anexo 21.A Encuesta a los estudiantes sobre sus criterios acerca de la experiencia

pedagógica.

Anexo 21.B Resultados del análisis de las opiniones de los estudiantes.

Anexo 22.A Encuesta a los profesores sobre sus criterios acerca de la experiencia

pedagógica.

Anexo 22.A Resultados del análisis de las opiniones de los profesores.

Anexo 1.A

Programa de las asignaturas Matemática Superior I y II.

Plan C

Carrera: Agronomía.

Disciplina: Matemática Superior.

OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA.

OBJETIVOS EDUCATIVOS.

1. Contribuir a consolidar en los estudiantes la concepción científica del mundo a partir de

la enseñanza de las teorías de la disciplina y de cómo surgieron y se desarrollaron los

conceptos y métodos fundamentales de la matemática.

2. Consolidar en los estudiantes la convicción sobre las posibilidades de la Matemática

de resolver y modelar problemas científico-técnicos relacionados con el perfil

profesional , con otras asignaturas y con la vida real.

3. Desarrollar las formas de pensamiento lógico y algorítmico y la capacidad de

razonamiento de los alumnos mediante el análisis de los conceptos y el desarrollo de

habilidades en la reafirmación de los mismos , así como de los métodos, algoritmos y

reglas de la resolución de problemas prácticos.

4. Contribuir a desarrollar en los estudiantes la habilidad en el trabajo independiente y la

autopreparación consultando sistemáticamente no sólo el texto básico de las

asignatura, sino la literatura auxiliar y complementaria, la estética general del trabajo

diario; la constancia, el hábito de proceder reflexiva y creadoramente y evaluar

críticamente los resultados de su trabajo.

5. Lograr la generalización en el campo escalar y vectorial de funciones de una o más

variables relacionadas con el cálculo diferencial.

OBJETIVOS INSTRUCTIVOS.

1. A partir del concepto de espacio vectorial sobre R, definir funciones de n variables

escalares y vectoriales, estableciendo las diferencias entre estas; realizar operaciones

entre vectores de R2 y R3 y representar planos, cilindros, elípticos y circulares,

elipsoides y esferas, así como curvas y superficies de nivel.

2. Definir el concepto de límite finito y continuidad de funciones de una y dos variables

cuando la variable tiende a un valor finito, calcular limites y reconocer la continuidad y

discontinuidad de funciones de una variable, dadas en forma gráfica y analítica.

3. Definir los conceptos de derivadas de funciones de una variable, escalares y

vectoriales, derivadas parciales, derivada direccional y calcular las mismas aplicando

las reglas y teorema estudiados.

4. Resolver problemas de cálculo aproximado utilizando el diferencial como aproximación

del incremento.

5. Resolver problemas de extremos de funciones hasta de tres variables; así como

problemas de extremos condicionados utilizando el método de multiplicadores de

Lagrange.

6. Aplicar el cálculo diferencial al trazado de curvas, a los problemas de optimización, a

problemas físicos, biológicos, geométricos y químicos

7. Resolver problemas de cálculo aproximado así como de representación de funciones

mediante la utilización de programas de computación.

Asignatura: Matemática Superior I.

Año que se imparte: Primero (Primer Semestre).

Total de horas: 76

SISTEMA DE CONOCIMIENTOS.

Espacio vectorial sobre R. Rn como espacio vectorial sobre R. Combinación lineal.

Dependencia e independencia lineal. Base y dimensión.

Funciones de n variables, escalares y vectoriales. Concepto de campo escalar. Concepto

de campo vectorial.

Operaciones entre vectores de Rn (suma, producto por un escalar, producto escalar).

Producto vectorial. Determinantes. Norma de un vector.

Sistemas de coordenadas cartesianas y polares. Representación de algunas superficie.

Curvas de nivel. Superficies de nivel.

Límite de funciones escalares de una y dos variables y de funciones vectoriales de una

variable.

Propiedades. Límites fundamentales. Indeterminaciones.

Funciones continuas de una y dos variables. Propiedades. Teorema de Bolzano.

Concepto de derivada (una variable). Interpretación física y geométrica. Reglas de

derivación. Regla de la cadena. Derivadas de orden superior. Teorema de la inversa de

una función.

Teorema de Rolle, Lagrange y Cauchy. Regla de L´Hospital.

Diferencial de funciones de una variable.

Extremos de funciones de una variable. Problemas de optimización.

Concavidad, convexidad, puntos de inflexión y asíntotas. Trazado de curvas.

Derivadas parciales. Derivadas de orden superior. Regla de la cadena. Diferencial total.

Extremos de funciones de dos y tres variables. Extremos condicionados.

Problemas de optimización. Gradiente de un campo escalar. Derivada direccional.

Derivada de funciones vectoriales de una variable. Interpretación física y geométrica.

Divergencia y rotacional de un campo vectorial.

SISTEMA DE HABILIDADES.

Derivar funciones de una variable.

Calcular límites aplicando la regla de L´Hospital.

Hallar el diferencial de funciones de una y más variables.

Utilizar el diferencial como aproximación del incremento.

Hallar extremos de funciones hasta de tres variables.

Resolver problemas de optimización aplicando la teoría sobre extremos y el método de los

multiplicadores de Lagrange.

Hallar intervalos de concavidad, convexidad, puntos de inflexión y asíntotas.

Trazar curvas.

Calcular derivadas parciales. Calculas derivadas direccionales- Calcular derivadas de

funciones vectoriales. Calcular divergencia y rotacional de un campo vectorial.

Modelar y resolver problemas físicos y geométricos.

Asignatura. Matemática Superior II.

Año que se imparte: Primero (Segundo Semestre).

Total de horas: 54

OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA.

OBJETIVOS EDUCATIVOS.

1. Contribuir a consolidar en los estudiantes la concepción científica del mundo a partir de

la enseñanza de las teorías de la disciplina y de cómo surgieron y se desarrollaron los

conceptos y métodos fundamentales de la matemática.

2. Consolidar en los estudiantes la convicción sobre las posibilidades de la Matemática

de resolver y modelar problemas científico-técnicos relacionados con el perfil

profesional, con otras asignaturas y con la vida real.

3. Desarrollar las formas de pensamiento lógico y algorítmico y la capacidad de

razonamiento de los alumnos mediante el análisis de los conceptos y el desarrollo de

habilidades en la reafirmación de los mismos, así como de los métodos, algoritmos y

reglas de la resolución de problemas prácticos.

4. Contribuir a desarrollar en los estudiantes: la habilidad en el trabajo independiente y la

autopreparación consultando sistemáticamente no sólo el texto básico de las

asignatura, sino la literatura auxiliar y complementaria, la estética general del trabajo

diario; la constancia, el hábito de proceder reflexiva y creadoramente y evaluar

críticamente los resultados de su trabajo.

5. Lograr la generalización en el campo escalar y vectorial de funciones de una o más

variables relacionado con el cálculo integral.

6. Familiarizar a los estudiantes con el uso de la computación y lograr que comprendan la

importancia que tiene la misma para resolver problemas científico-técnico.

OBJETIVOS INSTRUCTIVOS.

1. Definir el concepto de integral indefinida y calcular éstas aplicando los conocimientos

de derivadas, propiedades, los métodos de integración: cambio de variables y partes,

así como utilizando la tabla de integrales.

2. Definir el concepto de integral definida, integrales impropias, integral doble, integral

triple, en coordenadas cartesianas, integral de línea e integral de superficie logrando

habilidades de cálculo en integrales definidas, impropias de primera especie y de línea,

así como la modelación y resolución de problemas que conduzcan algunas de estas

integrales.

3. Resolver problemas de cálculo aproximado de integrales definidas utilizando

programas de computación.

4. Definir los conceptos de ecuaciones diferenciales ordinarias, orden, grado, solución

general, solución particular, resolviendo ecuaciones diferenciales ordinarias de variables

separables, exactas, lineales de primer orden y primer grado y de segundo orden y

primer grado lineal, así como modelando y resolviendo problemas que conduzcan a

estas.

SISTEMA DE CONOCIMIENTOS.

Integral indefinida. Propiedades. Fórmulas inmediatas de integración. Métodos de

integración (cambio de variable y partes). Manejo de tablas.

Integral definida. Teoremas fundamentales. Integración numérica. Integrales impropias.

Integral doble en coordenadas cartesianas. Teorema fundamental. Integral de línea

(primera forma escalar y forma vectorial). Teorema de Green en el plano. Integral triple en

coordenadas cartesianas. Teorema fundamental. Integrales de superficies. Teorema

fundamental. Teorema de la divergencia y de Stokes. Aplicaciones del cálculo integral.

Definición de ecuación diferencial ordinaria y grado. Solución general y particular.

Variables separables, exactas y lineales de primer orden y grado.

Números complejos. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden y primer grado

con coeficientes constantes homogéneas y no homogéneas.

SISTEMA DE HABILIDADES.

Calcular integrales indefinidas aplicando las propiedades, los métodos estudiados y

utilizando la tabla.

Calcular integrales definidas aplicando el segundo teorema fundamental del cálculo.

Calcular aproximadamente integrales definidas normalmente y utilizando programas de

computación.

Calcular integrales impropias de primera especie.

Calcular integrales de línea.

Modelar y resolver problemas mediante alguna de estas integrales.

Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de variables separables, exactas y lineales de

primer orden y primer grado, así como lineales de segundo orden y primer grado con

coeficientes constantes homogéneas y no homogéneas.

Modelar y resolver problemas que conduzcan a ecuaciones diferenciales ordinarias

aplicando los métodos estudiados.

Programa de las asignaturas Matemática I y II.

Plan C´

Carrera: Agronomía.

Año que se imparte: Primero.

OBJETIVOS GENERALES.

OBJETIVOS EDUCATIVOS.

Que los estudiantes sean capaces de:

1. Pensar lógicamente con capacidad de razonamiento, análisis y síntesis mediante el

análisis de los conceptos y el desarrollo de habilidades en la aplicación de los mismos,

así como de los métodos algorítmicos y reglas en la resolución de problemas prácticos.

2. Trabajar en forma independiente y creadora, así como evaluar críticamente los

resultados de su trabajo.

3. Trabajar con estética, constancia y reflexivamente

4. Realizar el análisis y valoración de los resultados incorporando elementos técnicos

propios de las especialidades agropecuarias.

5. Comprender el lugar que le corresponde a la disciplina en la evaluación de los

resultados y la toma de decisiones.

OBJETIVOS INSTRUCTIVOS.

1. Aplicar los conceptos y métodos de cálculo diferencial e integral en problemas afines a

las especialidades agropecuarias.

2. Modelar, resolver e interpretar problemas relacionados con las especialidades

agropecuarias a través de ecuaciones diferenciales y la programación lineal.

3. Utilizar la computación para el procesamiento de la información y la toma de

decisiones.

MATEMÁTICA I.

OBJETIVOS EDUCATIVOS.

Que los estudiantes sean capaces de:

1. Pensar lógicamente con capacidad de razonamiento, análisis, síntesis mediante el

análisis de los conceptos y desarrollo de habilidades en la aplicación de los mismos, así

como de los métodos algorítmicos y reglas en la resolución de problemas prácticos.

2. Trabajar de forma independiente y evaluar críticamente los resultados de su trabajo.

3. Trabajar con estética, constancia y reflexivamente.

OBJETIVOS INSTRUCTIVOS.

1. A partir del concepto de espacio vectorial sobre R, identificar si una función es escalar

o vectorial, de una o más variables, realizar operaciones entre vectores de Rn.

2. Identificar y : representar planos, cilindros (elípticos y rectos), elipsoides y esferas.

3. Calcular límites y reconocer la continuidad y discontinuidad de funciones de una

variable.

4. Calculas derivadas de funciones de una variable (escalares y vectoriales), derivadas

parciales, derivadas direccionales, así como modelar y resolver problemas de

aplicación utilizando los conceptos anteriores.

5. Calcular integrales indefinidas, definidas, dobles y de líneas, así como la modelación y

resolución de problemas que conduzcan a estas integrales.

CONOCIMIENTOS.

Espacios vectoriales sobre R. Rn como espacio vectorial sobre R. Combinación lineal.

Dependencia e independencia lineal. Base y dimensión. Funciones de n variables escalares

y vectoriales. Concepto de campo escalar. Concepto de campo vectorial. Operaciones

entre vectores de Rn. (suma, producto por un escalar, producto escalar). Producto

vectorial. Determinante. Norma. Representación de algunas superficies (planos, elipsoides,

esferas y cilindros (circulares y elípticos).

Límite y continuidad de funciones escalares de una variable. Propiedades. Límites

fundamentales. Indeterminaciones. Teorema de Bolzano.

Derivadas de funciones escalares de una variable. Interpretación física y geométrica.

Reglas de derivación Derivadas de funciones compuestas. Derivadas de orden superior.

Teorema de la derivada de la función inversa. Teoremas sobre funciones derivables (Rolle,

Cauchy, Lagrange). Regla de L´Hospital. Derivadas parciales. Derivadas parciales de

orden superior. Regla de la cadena. Diferencial. Gradiente de un campo escalar. Derivada

direccional. Derivadas de funciones vectoriales de una variable. Interpretación física y

geométrica. Divergencia y rotacional de un campo vectorial.

Integral indefinida. Propiedades. Integración inmediata. Métodos de integración (cambios

de variable y partes). Manejo de tablas.

Integral indefinida. Propiedades. Integración inmediata. Métodos de integración (cambio

de variables y partes). Manejo de tablas.

Integral definida. Teoremas fundamentales. Integrales impropias. Integrales dobles en

cartesianas. Teorema fundamental. Integral de línea (Primera forma escalar y vectorial).

Teorema de Green en el plano. Integrales triples. Integrales de superficie.

HABILIDADES.

Diferenciar si una función es escalar o vectorial y si es de una o más variables.

Realizar operaciones entre vectores.

Calcular determinantes.

Representar planos, elipsoides, esferas y cilindros.

Calcular límites de funciones escalares de una variable.

Reconocer la continuidad y discontinuidad de una función escalar de una variable y

clasificar puntos de discontinuidad.

Derivar funciones de una variable.

Calcular límites aplicando L´Hospital.

Calcular derivadas parciales.

Hallar el diferencial de una función de una o más variables.

Utilizar el diferencial como aproximación del incremento.

Calcular derivadas direccionales.

Calcular derivadas de funciones vectoriales de una variable.

Calcular integrales indefinidas, aplicando las propiedades, los métodos estudiados y

utilizando la tabla.

Calcular integrales definidas.

Calcular integrales impropias de primera especie.

Calcular integrales dobles en cartesianas.

Calcular integrales de línea.

MATEMATICA II.

OBJETIVOS EDUCATIVOS.

Que los estudiantes sean capaces de :

1. Pensar lógicamente con capacidad de razonamiento, análisis y síntesis mediante el

análisis de los conceptos y el desarrollo de habilidades en la aplicación de los mismos,

así como de los métodos algorítmicos y reglas en la resolución de problemas prácticos.

2. Trabajar en forma independiente y creadora, así como evaluar críticamente los

resultados de su trabajo.

3. Trabajar con estética, constancia y reflexivamente

4. Realizar el análisis y valoración de los resultados incorporando elementos técnicos

propios de las especialidades agropecuarias.

5. Comprender el lugar que le corresponde a la disciplina en la evaluación de los

resultados y la toma de decisiones.

OBJETIVOS INSTRUCTIVOS.

1. Aplicar el cálculo diferencial al trazado de curvas, problemas de extremos y extremos

condicionales utilizando Multiplicadores de Lagrange.

2. Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de variables separables, exactas, lineales

de primero y segundo orden con coeficientes constantes y modelar, resolver

problemas que conduzcan a estos.

3. Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss.

4. Construir el modelo de programación lineal correspondiente a una situación dada

vinculada con el perfil agropecuario, resolverlo utilizando programas de computación e

interpretar la solución obtenida

CONOCIMIENTOS.

Extremos de funciones de una variable. Concavidad y convexidad. Asíntotas. Trazado de

curvas. Extremos de funciones de dos variables. Extremos condicionados. Problemas de

optimización. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Solución general y particular. Ecuaciones

diferenciales de variables separables, exactas y lineales de primer orden. Números

complejos. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes

homogéneos y no homogéneos. Métodos de los coeficientes indeterminados.

Matrices. Algebra de matrices. Determinante asociado a una matriz. Sistemas de

ecuaciones lineales. Teorema de Roche-Frobenius. Métodos de Gauss. Sistemas de

inecuaciones lineales. Solución gráfica de un sistema de inecuaciones lineales en dos

variables.

El problema de programación lineal. Supuestos del modelo. Construcción de modelos de

PL. Conjuntos convexos. Propiedades. Puntos extremos. Hiperplanos. Solución gráfica de

un problema de programación lineal. Ideas básicas del Método Simplex. Resolución de

problemas de programación lineal utilizando programas de computación. Interpretación de

la solución óptima.

HABILIDADES.

Hallar extremos de funciones de hasta dos variables.

Resolver problemas de optimización aplicando la teoría sobre extremos y el Método de los

multiplicadores de Lagrange.

Hallar intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas.

Trazar curvas.

Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de variables separables, exactas, lineales de

primer orden y lineales de segundo orden con coeficientes constantes, homogéneas y no

homogéneas mediante coeficientes indeterminados.

Modelar y resolver problemas que conduzcan a ecuaciones diferenciales de los tipos

anteriores.

Efectuar sumas y productos de matrices.

Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el métodos de Gauss.

Modelar fenómenos que conduzcan a problemas de programación lineal.

Resolver problemas de programación lineal utilizando la computación.

Interpretar la solución óptima.

Anexo 1.B

Distribución del fondo de tiempo por formas organizativas de enseñanza.

Plan C.

Asignatura.

Conferencias.

Clases

Prácticas.

Seminarios.

Talleres.

Evaluaciones.

Total de

horas.

Matemática

Superior I.

22

42

4

4

4

76

Matemática

Superior II.

12

30

4

4

4

54

Total.

34

72

8

8

8

130

Plan C´

Asignatura.

Conferencias.

Clases

Prácticas.

Seminarios.

Talleres.

Evaluaciones.

Total de

horas.

Matemática

Superior I.

24

46

4

4

2

80

Matemática

Superior II.

20

46

4

4

2

74

Total..

44

92

8

8

4

154

Anexo 2

Estructura de la habilidad resolver problemas de Matemática.

?

?

?

Analizar el problema.

Generar estrategias de trabajo.

Valorar las consecuencias de la aplicación

de la estrategia que se considere más

adecuada.

Ejecutar o desarrollar la estrategia

seleccionada.

?

Anexo 3

Datos generales de los estudiantes que ingresan al Primer Año de la Carrera de

Agronomía en la Universidad de Matanzas.

Indice de

ingreso

Grupo I Grupo II Grupo III Grupo IV Grupo V

95-100 4 1 3 3 4

90-94 4 3 5 1 7

80-89 8 5 9 5 9

70-79 7 3 7 7 3

60-69 9 2 4 12 4

Total 32 14 28 18 27

Centro de Grupo I Grupo II Grupo III Grupo IV Grupo V

Evaluar los logros y dificultades

durante la ejecución.

Procedencia

Pre-univer. 6 2 5 2 5

Orden-18 6 2

Diferidos. 3 2 1 4

Decreto 91 2 1

Politécnico. 18 7 15 13 16

Extranjeros. 1 6 2

Total 32 14 28 18 27

Anexo 4.A

Guía para la encuesta sobre las opiniones de los docentes acerca de las

dificultades de los estudiantes en la resolución de problemas de Matemática.

1. Las causas de las dificultades en la resolución de problemas se deben exclusiva o

mayoritariamente a:

a) Dificultades del alumnado.

b) Dificultades del profesorado.

c) No existen dificultades.

2. Opiniones derivadas de la presentación, concepción y análisis del problema:

a) Los enunciados favorecen la reflexión y el análisis de la situación

expuesta.

b) Se plantean conjeturas, hipótesis y/o se elaboran estrategias previas a

la resolución.

c) Se realiza análisis del resultado.

d) El proceso de resolución es mecánico-memorístico.

e) Otras opiniones.

3. Otras causas no relacionadas con la concepción del problema.

a) Se realiza lectura comprensiva del enunciado.

b) Deficientes conocimientos teóricos.

c) Deficiente manejo de las relaciones matemáticas.

d) Se abordan los problemas con una metodología poco atractiva.

e) Otras opiniones.

Anexo 4.B

Resultados del análisis de la opiniones de los profesores acerca de las dificultades

de los estudiantes en la resolución de problemas de Matemática.

Muestra: Profesores Universitarios: 40

Profesores de la Enseñanza Media: 16

Aspectos considerados.

Profesores

Universitarios.

%

Profesores de la

Enseñanza Media.

%

1. Las causas de las dificultades se deben

Exclusiva o mayoritariamente a:

a) Dificultades del alumnado.

b) Dificultades del alumnado.

c) No existen dificultades.

95

5

0

87,5

6,25

6,25

2. Opiniones derivadas de la presentación,

concepción y análisis del problema :

a) Los enunciados favorecen la reflexión y

el análisis de la situación expuesta.

60

62,50

b) Se plantean conjeturas, hipótesis y/o se

elaboran estrategias previas de

resolución.

c) Se realiza análisis del resultado.

d) La resolución es mecánico-memorística.

e) Otras opiniones.

55

30

55

15

37,50

31,25

37,50

12,50

3. Otras causas no relacionadas con la concepción

del problema:

a) Lectura comprensiva del enunciado.

b) Deficientes conocimientos teóricos.

c) Deficiente manejo de las relaciones

Matemáticas.

d) Metodología poco atractiva.

e) Otras opiniones.

60

60

55

45

15

43,75

31,25

25

37,5

0

Anexo 5.A

Ejemplos de algunas sesiones de trabajo sobre resolución de problemas.

En este apartado se presentan actividades de resolución de problemas que se desarrollan,

cada una de ellas, durante una sesión de trabajo de 45 minutos.

Estas actividades se basan en el análisis de algunos problemas que se presentan a los

estudiantes.

Problema # 1.

La Empresa de Cítricos “Héroes de Girón” de Jagüey Grande dispone de 520 m de malla

para cercar un campo rectangular que limita con un canal recto, por lo que no requiere

cerca a lo largo del canal. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno que determinan la

mayor área posible?.

Solución.

Se trata de un problema característico del trabajo agrícola pero que puede hacerse

extensivo a otros problemas prácticos, su enunciado se elabora conjuntamente con los

estudiantes a partir de las características de la situación expuesta por el docente.

Por otra parte los métodos para calcular valores extremos estudiados en el tema de

aplicaciones de la derivada, como se comprueba tienen diversas aplicaciones prácticas en

muchas esferas de la vida.

Para resolver este problema el reto más grande lo puede constituir la conversión del texto

del problema en un problema matemático de aplicación, es decir, establecer la función que

se debe maximizar o minimizar.

Conviene entonces reafirmar lo estudiado sobre el tema de aplicaciones de la derivada y

tratar de adaptarlo a esta situación.

Secuencia a seguir:

Como primer paso se realiza la lectura comprensiva del texto del problema, hasta que se

entienda con claridad. Para ello se pueden sugerir las siguientes preguntas.

- ¿Puedes expresar de qué trata el problema?.

- ¿Puedes expresar la situación a través de un gráfico que te ayude a resolverlo?.

- ¿Cuáles son las condiciones dadas?.

- ¿Qué datos puedes extraer del problema?, etc.

Esto permite precisar la situación del problema: En la empresa se necesita cercar un

terreno que con 520 m de cerca tenga el área máxima.

Seguidamente para aproximarnos a dicha situación, experimentamos algunos casos

particulares para buscar patrones que nos permitan ilustrar la situación y descartar

posibilidades.

Para ello se presentan varias formas posibles de utilizar los 520 m de cerca.

Largo del terreno: 220 m Largo del terreno: 60 m

Ancho del terreno: 80 m Ancho del terreno: 400 m

A = 80 m. 220 m = 17 000 m2 A = 400 m . 60 m = 24

000 m2

CANAL

CANAL

CANAL

Largo del terreno: 320 m

Ancho del terreno: 100 m

A = 320 m. 100 m = 32 000 m2

Si interpretamos la información que ofrecen estos tres gráficos se observa que si cercamos

terrenos rectangulares donde predominen el largo o el ancho indistintamente, se obtienen

áreas más pequeñas que si se adaptan las dimensiones señaladas en la tercera figura, cuyas

dimensiones intermedias permiten establecer la mayor área, utilizando esta información

podemos proceder a resolver tal situación y determinar la función cuyo máximo se desea

obtener, en términos de las variables del problema.

A = ? y

L= 520 m

x

CANAL

Sean:

A: área del terreno en metros cuadrados.

y: longitud del lado paralelo al canal.

x: longitud del otro lado del campo rectangular.

ÁREA

L: longitud total de los tres lados que se desean cercar.

De esta forma el objetivo es maximizar el área del rectángulo, por lo que podemos

expresarla en términos de x e y.

A = x . y

Se debe expresar A en términos de una sola variable. Como dato se tiene que L = 520 m,

información que podemos utilizar.

Por lo tanto:

L = 2x + y.

Sustituyendo por L = 520 m

520 = 2x + y

A partir de esta ecuación se tiene que:

y = 520 – 2x

Sustituyendo en A = x . y, se tiene:

A = x (520 – 2x)

De donde:

A = 520 x – 2 x2

Observe que:

26002600

????

xxyx

De tal manera que la función que se quiere maximizar es:

A(x) = 520 x – 2 x2

Los valores críticos se obtienen a partir de:

A´(x) = 520 – 4 x

A´(x) = 0 si 520 – 4 x = 0

De donde resulta: - 4 x = - 520

x = 130

Este valor corresponde a un máximo ya que por el criterio de la segunda derivada se

obtiene:

A´´ (x) = - 4 < 0 para todo x.

De modo alternativo podemos utilizar el criterio de la primera derivada para determinar el

carácter del punto crítico.

+ _ +

A´(x) = 0__________________________________________

0 130 260

En consecuencia el valor de y es:

y = 520 – 2 x

y = 520 – 2 (130)

y = 520 – 260

y = 260

Respuesta: En términos agrícolas el terreno rectangular de mejores dimensiones debe

tener 130 m de ancho y 260 m de largo.

Observaciones: La forma de control del resultado de este problema se inicia por la relación

entre las figuras de análisis y los resultados obtenidos, indiscutiblemente más “próxima” a la

tercer figura considerada que a las dos primeras, además en cuanto al cálculo de los

valores críticos la aplicación de los criterios de la primera y segunda derivada para obtener

resultados también puede servir para comprobar que el proceso de resolución es correcto.

Por otra parte se tiene que el valor máximo de A debe darse para el valor crítico x = 130

o en uno de los puntos extremos del intervalo, es decir, para

x = 0 y x = 260, pero como A(0) = 0, A(130) = 33800 y A(260) = 0, resulta que el valor

máximo local A(260) es también un máximo absoluto en el intervalo cerrado considerado.

De lo que resulta: A = 33 800 m2.

Todos estos elementos son útiles para verificar que el proceso de resolución es correcto.

Problema # 2.

Un niño lanza un balón verticalmente hacia abajo desde la ventana de un edificio y golpea

la tierra unos segundos después. ¿Cuál es la velocidad inicial del balón?.

Para resolver este problema los alumnos deben tener conocimientos de física y

relacionarlos con el Cálculo Diferencial e Integral. En este caso, puede aprovecharse la

situación para reflexionar una vez más sobre esta fructífera relación.

Solución.

La situación planteada parece, de inicio, relativamente sencilla, y pueden esperarse

reflexiones de los estudiantes.

Secuencia a seguir: Es útil, en este sentido, pedir a los alumnos que representen

gráficamente la situación descrita a manera de favorecer la visualización y acotar la

situación.

? ? Altura. Al dibujar esta figura se puede constatar que

algunos estudiantes se plantean la altura a que

se encuentra la ventana y el tiempo que demora el

balón hasta golpear en tierra.

?

?

?

Se decide por consenso, ya que se trata de un problema abierto resuelto en conjunto por

todo el grupo, considerar como altura 20,5 metros y como tiempo de vuelo 4 segundos.

En este punto del debate se plantean las diferencias entre lanzar y caer, pues son

situaciones diferentes estudiadas en la Física.

En cualquier caso resulta conveniente solicitar precisiones sobre las condiciones de la

situación y acotar el problema.

De lo que resultan las siguientes consideraciones que se van exponiendo sucesivamente los

estudiantes:

- Se trata de un problema de distancia y velocidad en una situación relativa a la caída

libre de los cuerpos.

- Dentro de esta situación se pone limite al tiempo de caída, en dependencia de la altura.

- Con estas condiciones establecidas se precisa que se trata de un problema típico de

lanzamiento vertical, por lo que se necesitan la altura, el tiempo y la velocidad inicial.

- En tal situación la aceleración de los cuerpos en caída libre no cambia, es invariable. Si

lanzamos un cuerpo hacia abajo le comunicamos una velocidad inicial v0, o sea, el

cuerpo no comienza su movimiento con velocidad inicial v0 igual a cero. Además, para

observar la caída libre de un cuerpo es conveniente tomar como origen de referencia el

punto del cual comienza a caer, y orientar el eje de coordenadas en el sentido del

movimiento, es decir, verticalmente hacia abajo, caso en el cual el sentido de los

vectores desplazamiento, velocidad y aceleración coinciden y sus proyecciones sobre

el eje de coordenadas son iguales a los módulos de los propios vectores.

- Las ecuaciones para la velocidad y el desplazamiento durante la caída libre del cuerpo

son análogas a las obtenidas para el movimiento rectilíneo con aceleración constante.

En este momento el docente citando a Resnick y Halliday 1966, p.71 puntualiza:

“Tomaremos como nuestro sistema de referencia, un sistema unido rígidamente a la tierra.

El eje de las y se tomará como positivo verticalmente hacia arriba. Entonces la aceleración

debida a la gravedad g, será un vector apuntando verticalmente hacia abajo (hacia el

centro de la tierra) en la dirección negativa de las y. Esta convención es un tanto arbitraria.

En otros problema puede resultar conveniente escoger el sentido hacia abajo como

positivo”. Para la situación del problema la velocidad del cuerpo en un instante cualquiera

de tiempo se expresa por la ecuación v = vo + g.t, donde v0 es la velocidad del cuerpo en

el instante inicial de referencia, a = - g para problemas de caída libre.

- Se decide que para continuar es necesario obtener la expresión de la velocidad y

poder aplicar integrales para encontrar la expresión del desplazamiento en función del

tiempo, ya que la distancia es la integral de la velocidad.

- Todo el análisis cualitativo y cuantitativo conduce a concluir que si: dtds

v? , lo que se

puede escribir ds = v dt e integrando obtener: ?? dtvS . Además, la altura de la

ventana es h = 20, 5 m cuando t = 0 y v = vo – g.t, donde g (aceleración de la

gravedad) = 9,8 m/s2.

Entonces:

? ?? ?? dttgvs 0

ctgtvs ??? 2. 20

Sustituyendo y efectuando:

20,5 m = v0 (0) – 4,9 (0) + c

c = 20,5

Sabemos que s = 0 cuando t = 4 s y s = v0 t – 4,9 t2 + 20,5; de donde obtenemos:

0 = v0 (4) – 4,9 (4,0)2 + 20,5

0 = 4 V0 – 4,9.16 + 20,5

4 v0 = 57,9

v0 = 14,47 m/s

Respuesta: La velocidad inicial del balón era de 14,47 m/s.

Observación: Se complementa este problema proponiendo a los estudiantes resolver otro

análogo pero donde en el instante inicial de referencia el cuerpo se deja caer.

Problema # 3.

Un hueso fosilizado es encontrado y contiene 1/1000 de la cantidad original de C-14.

Determine la edad del fósil.

Solución:

Este problema a pesar del interés general que despierta en los estudiantes siempre resulta

difícil su análisis ya que requiere información sobre la situación que aborda para poder

acceder a su solución.

Secuencia a seguir:

Para reconocer el punto de partida son múltiples las preguntas que se formulan y resulta

difícil para los estudiantes en ocasiones darle una respuesta satisfactoria. Por tratarse de un

problema con estas características es necesario se precisen en el aula los siguientes

aspectos.

A mediados del siglo XX el químico estadounidense Willard Libby descubre un método

usando carbono radiactivo que permite determinar aproximadamente la edad de un fósil.

Por dicho trabajo recibió el premio Novel de Química en 1960.

Para un ingeniero agrónomo es interesante conocer que este científico demostró que todos

los seres vivos - animales y plantas – tienen en su composición química una pequeña

cantidad de carbono 14, elemento radiactivo que empieza a desintegrarse en el mismo

momento de la muerte del organismo en cuestión. La vegetación lo absorbe a través de la

atmósfera y la vida animal lo asimila a través de las cadenas alimentarias.

De esta forma cuando una planta o un animal mueren, dejan de reemplazar carbono y la

cantidad del mismo empieza a decrecer exponencialmente.

Analizando muestras orgánicas se puede deducir la fecha en que se produjo la muerte.

Para ello basta una simple fórmula matemática, pues el carbono 14 se desintegra siguiendo

un ritmo fijo aproximado de 5600 años para reducirse a la mitad, descubriendo cuánto

material radiactivo queda, se puede obtener una estimación razonable de la edad o época

en que el ser vivo se desarrolló.

Es necesario enseñar a los alumnos a interpretar la información que se ha dado, ellos deben

discernir entre aquellos datos que necesitan y los que no son pertinentes. En este momento,

es más importante organizar y reflexionar sobre la información que resolver el problema en

sí.

A partir de este análisis es ya identificado por los estudiantes el modelo de decrecimiento

radiactivo incorporado a través de las ecuaciones diferenciales.

Para ello consideremos la ecuación diferencial: A(t) = A0 ekt, donde A(t) es la masa

restante a partir de la masa inicial A0 de la sustancia después de un tiempo t. Para nuestro

problema cuando t = 5600 años y ? ?2

0AtA ? , con lo cual podemos determinar el valor

de k como sigue:

00012378,05600

2ln

2ln21

ln5600

25600

00

????

?????

???

?

?

K

k

eAA k

Por lo tanto: A(t) = A0 e-o,00012378t

Cuando 1000

)( 0AtA ? , tenemos teA

A 00012378,00

0

1000?? . Por lo que:

añost

t

8005500012378,0

1000ln

1000ln1000

1ln00012378,0

??

?????

?????

Respuesta: La edad del fósil es aproximadamente de 55 800 años.

Observación: El resultado alcanzado y el proceso de resolución seguido sirve de modelo

para enfrentar problemas análogos, además de resultar de mucho interés y motivación para

los estudiantes, lo que se evidencia al indagar por otros métodos de datación. En este

punto se recomienda a los estudiantes estudiar la dendrocronología, que muy en relación

con su carrera, estudia los anillos de crecimiento de los árboles.

Anexo 5.B

Ejemplos de Tareas propuestas a resolver por los estudiantes.

? # 1.- Una pelota que se lanza directamente hacia arriba se mueve según la ley:

S=20 t – 4 t2. Si S se mide en metros y t en segundos halle:

a) Su velocidad al cabo de 2 s.

b) Su altura cuando su velocidad se anule.

? # 2.- Al medir un bloque paralelepípedo de madera, han resultado, para sus

dimensiones, los valores 12, 15 y 21 cm respectivamente con un error probable de

0,05 cm en cada una. Hallar aproximadamente, el máximo error que se puede cometer

al evaluar el área total del bloque.

? # 3.- Se desea construir un depósito abierto de cemento de base cuadrada, debe tener

capacidad para 5 500 litros de agua destinada al regadío de una pequeña parcela de

viandas y hortalizas. ¿Cuáles han de ser sus dimensiones para que se precise la menor

cantidad de cemento?

? # 4.- En una fabrica se necesitan depósitos cilíndricos (sin tapa) de1 3m de capacidad.

¿Qué dimensiones deberán tener los depósitos para que el costo del material con que

se fabriquen se reduzca al mínimo?.

? # 5.- Hallar el radio de la base y la altura de un cilindro inscrito en una esfera de radio

R en cada uno de los siguientes casos:

a) El volumen del cilindro es máximo.

b) El área lateral del cilindro es máxima.

? # 6.- Las márgenes de un río tienen por ecuaciones: x - y = 3, x – y = -3. Dos

ciudades A(-3;2) y B(4;0), se van a unir por una línea de ferrocarril que cruzará el río

perpendicularmente. ¿En qué puntos de ambas orillas se construirá el puente para que

el trayecto sea mínimo?.

? # 7.- Un veterinario cuenta con 50 m de tela metálica y quiere construir 6 jaulas para

pollos levantando primero una cerca alrededor de la región rectangular, y dividiendo

luego la región en 6 rectángulos iguales mediante 5 rejas paralelas a uno de los lados.

¿Cuáles deben ser las dimensiones de la zona rectangular para que el área total sea

máxima?.

? # 8.- Un campesino dispone de 100 m de cerca para cercar un recinto rectangular:

a) Limitado por un muro en uno de sus cuatro lados.

b) Limitado por la cerca en sus cuatro lados.

c) Limitado por dos muros que concurren en dos de sus lados consecutivos.

¿Cuáles son las dimensiones que proporcionan en cada caso la mayor superficie

cercada?.

? # 9.- En una región, un río tiene la forma de la curva y = ¼ x3 - x2 + x y es cortado

por un camino dirigido según la dirección del eje ox.

a) Trace el gráfico que representa la posición del río y del camino.

b) Tomando como unidad de medida el km, calcula el área del terreno comprendido

entre el río y el camino.

c) Sabiendo que se piensan sembrar 40 arboles frutales en cada hectárea de este

terreno. Diga cuántos árboles se pueden sembrar en el terreno si se planifican

sembrar 40 árboles por hectárea (Dato: 1ha = 10000m2).

? # 10.- Si suponemos que el momento actual corresponde al valor x = 0 de la variable

tiempo, las pérdidas o ganancias de una empresa (y) fundada el año pasado siguen una

ley de tipo yx

x?

? 1. Apoyándote en la representación gráfica de la función,

determina:

a) El momento (valor de x) a partir del cual la empresa tendrá ganancias.

b) La ganancia máxima previsible en el futuro, si existe.

d) ¿Existirá algún momento en el futuro en que las ganancias comiencen a disminuir?.

? # 11.- Supongamos que el rendimiento r en % de un estudiante en un examen de una

hora viene dado por r = 300t (1 - t), donde 0 ? t ? 1 es el tiempo en horas. Se pide.

a) ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?

b) ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?

b) ¿Cuándo se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?.

? # 12.- En un grupo de oficinas de una empresa se esta aplicando un plan de ahorro

para el consumo de energía eléctrica durante un mes, y se determina que el consumo

esta dado por la función:

? ?E t t( ) sen? ? ????

???

800 103

10?

KVH

KVH: Kilovatios hora.

Calcular el consumo promedio entre los días 15 y 25 del mes.

? # 13.- En una cooperativa un Ingeniero Agrónomo ha podido determinar que el

aumento diario de qq/cab del plátano vianda sin riego a partir del primer mes y hasta

el cuarto mes de producción tiene un comportamiento aproximado de f(t) = 0,48 t - 3,

donde t representa los días. ¿Cuántos quintales produce cada caballería entre el

primero y el cuarto mes de producción del plátano vianda sin riego?

El resultado de este problema lo puedes verificar en la tabla que representa la

producción de distintas variedades de plátano en diferentes etapas (según datos

aportados por los estudiantes del CPT que trabajan en la Empresa de Cultivos

Varios del municipio de Matanzas).

Plátano. Primer mes de

producción.

Segundo mes

de producción.

Tercer mes de

producción.

Cuarto mes de

producción.

Fruta con riego. 400 550 800 8500

Fruta sin riego. 200 270 360 4200

Vianda con riego.

250 300 420 5200

Vianda sin

riego.

150 190 260 3000

Además, se tienen los siguientes datos sobre el tiempo de producción:

- Plátano fruta: 10 meses con riego.

- Plátano fruta: 12 meses sin riego.

- Plátano vianda: 12 meses con riego.

- Plátano vianda: 15 meses sin riego.

- Epoca de siembra óptima: Abril – Julio.

Se te pide además, plantear el modelo matemático que exprese la producción de otras

variedades de plátano a partir de la información suministrada.

? # 14.- Después de un incendio forestal, la vegetación crece rápidamente. Se ha

podido determinar que para una cierta especie de árbol, el número de nuevos árboles

por km2 después del fuego está dado por: r t t( ) ;? ?90 9 donde t es el número

de años transcurridos desde el incendio forestal. ¿Cuántos árboles crecerán

aproximadamente durante los 10 primeros años después del fuego?

? # 15.- Se lanza una pelota rodando por una superficie horizontal con una velocidad

inicial de 20 m/s. debido al rozamiento, la velocidad disminuye 5 m/s. Calcule la

distancia que recorre la pelota hasta detenerse.

? # 16.- Un terreno está situado entre una carretera rectilínea y un río. El ancho y (en

metros) del terreno a una distancia x de la carretera viene dada por:

X 0 20 40 60 80 100 120

Y 0 22 41 53 38 17 0

Hallar, aproximadamente, el área del terreno.

? # 17.- Para calcular el caudal de un río es necesario, entre otras cosas, determinar el

área de una sección cualquiera del mismo. Tomando medidas de profundidad y a

intervalos iguales desde una orilla a la otra, es posible trazar el perfil de la sección.

Calcule aproximadamente el área utilizando los siguientes datos:

x (en

metros)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

y (en

metros)

0 2,8 5 6,5 7 6 5,2 3 0

? # 18.- Un medicamento es suministrado para prevenir que el ganado porcino contraiga

y desarrolle cierto parásito. Después de suministrado su cantidad decrece

proporcionalmente a la cantidad aplicada.

a) Escriba la ecuación diferencial para la cantidad de medicamento Q que permanece en

el cuerpo del animal al cabo de un tiempo t.

b) Resuelva la ecuación diferencial, planteando la cantidad Q en función del tiempo t.

c) Si la mitad del tiempo de eficacia del medicamento en el animal es de 15 horas, Utilice

esta información para determinar la constante de proporcionalidad Q.

? # 19.- La ley de crecimiento de una cierta bacteria viene dada por d Nd t

N? 0 25, .

Sabiendo que inicialmente N = 200. Hallar N en el instante t = 6.

? # 20.- Se plantea a un Ingeniero Agrónomo la construcción de silos, con la condición

de determinar sus dimensiones para que el costo sea mínimo. Presente su proyecto

para resolver esta situación.

? # 21.- El problema de calcular el área de una superficie ha ocupado al hombre desde

tiempos remotos. Seguramente en algún momento de tu vida también habrás tenido

necesidad de realizar dicho cálculo, para dar solución a una determinada situación.

Para ello se puede recurrir a la Geometría y al Cálculo Integral, que constituyen

herramientas imprescindibles de la Matemática Aplicada. Como futuro Ingeniero

Agrónomo la situación descrita se inserta dentro de las tareas que deberás resolver.

En esta carrera, específicamente, se define a la Agrimensura como el arte de medir

prácticamente la superficie de los terrenos, y por otra parte, el trabajo agrícola ofrece

una gran variedad de situaciones que van desde medir terrenos de forma triangular,

cuadrada, rectangular, poligonal, elíptico terreno de lindes curvas, terreno circular,

comenzando por los más elementales y después, los complicados o de terreno

inaccesible. No sólo estas situaciones se te pueden presentar, pudieran señalarse

muchas otras, como el cálculo del caudal de un río o canal de regadío, para lo cual

resulta necesario conocer el área de una sección cualquiera del mismo.

Tomando de base estas referencias se te pide que realices una investigación donde se

exponga como resolver estas situaciones, u otras análogas que sean de tu interés,

siempre que sean netamente agrícolas. Por lo que debes seguir las orientaciones dadas

al respecto para acometer tareas propuestas como investigación.

Se recuerda que además de la bibliografía a consultar puedes acudir a tus profesores

para recibir orientaciones al respecto del tema seleccionado. Los resultados del

trabajo, deben presentarse por escrito, la semana anterior al Taller organizado para

exponer los resultados.

Anexo 6

Folleto para los estudiantes con problemas resueltos.

Nota introductoria.

Se presentan a continuación un conjunto de problemas que contienen información teórica

útil y los pasos seguidos en su resolución. Esto puede ayudarte en tu preparación pera

enfrentar otras tareas propuestas en clases.

Se te recomienda que los trabajes individualmente y cuando hayas llegado a su solución, o

bien si no has podido llegar a esta, confrontes o revises la que te proponemos. Es posible

que tu tratamiento sea diferente al nuestro pero también válido, por lo que aunque no

necesites de estas recomendaciones para resolver los problemas resulta importante

reflexionar sobre otros enfoques o procesos diferentes y comprobar la coincidencia de las

soluciones.

Problema # 1.

Un depósito tiene forma de prisma recto, siendo sus bases triángulos equiláteros de 1m de

lado. La altura del depósito es de 10 m.

El depósito inicialmente se encuentra lleno y pierde líquido por la válvula inferior a

velocidad constante de 800 cm3/ min. Halle el tiempo de vaciado empleando la rapidez

con que desciende la altura.

? Situación del problema.

Se presenta un problema que trata de los cambios y, en particular, de la razón de cambio

de las cosas, por lo que se debe construir un modelo matemático para describir y medir la

razón de cambio o lo que sería, el concepto de derivada de una función.

? Para resolver el problema recuerda.

Si dos o más variables que dependen del tiempo están relacionadas por una ecuación, se

puede conocer la razón de cambio de una de ellas conocidas las razones de las otras.

? La estrategia a seguir sería.

a) Realizar un gráfico si es necesario, en caso de ser posible.

b) Determinar la cantidad suficiente y necesaria de variables del problema.

c) Determinar los datos del problema.

d) Establecer una relación entre todos los datos y variables del problema.

e) Derivar respecto al “tiempo” la ecuación obtenida en el paso anterior y se despeja

para obtener la solución del problema.

? Resolución.

Gráfico:

Como datos se tienen la longitud de los lados del triángulo de las bases, por tratarsede un

triángulo equilátero y la altura del prisma que es de 10 m.

Se recuerda que el volumen de un prisma se calcula aplicando la fórmula V = Ab. h

Además, en el triángulo equilátero podemos aplicar el teorema de Pitágoras y calcular su

altura para obtener el área de la base del prisma.

Tenemos entonces que:

? ?? ?

? ?

h

A m

A cm

b

b

? ? ? ? ?

? ?

?

1 12 1 1

43

2

1 32

23

4

34 100

2

2

2

Ab = 2500 3 cm2

V = 2500 3 . h

Por lo tanto:

1m

1m

10 m

h

dvdt

dhdt

? 2500 3

800 cm3/ min = 2500 3 2cmdhdt

Lo que implica: 8

25 30 184? ?

d hd t

cm min, /

Hallemos entonces el tiempo de vaciado:

1 min._________ 0,184 cm

x _________ 10 cm

De donde el tiempo de vaciado: x = 1 100184min cm

cm.

,

x = 54,12 min.

Respuesta.

El tiempo de vaciado es de 54,12 minutos.

Problema # 2.

Un estudio ambiental en cierta comunidad agrícola e industrial sugiere que dentro de t años

el nivel medio de monóxido de carbono en el aire será de:

q(t) = 0,05t2 + 0,1t +3,4mg.L-1.

Por lo que debe estudiarse esta situación. Determine cuánto cambiará

aproximadamente el nivel de monóxido de carbono en los próximos 6 meses.

? Situación del problema.

El problema propuesto corresponde al tema de aplicaciones de la derivada. Se trata del

típico problema de diferenciales y sus aplicaciones donde a partir del propósito de indagar

cuánto cambiará el nivel de monóxido de carbono en un tiempo determinado se utilizan las

diferenciales para obtener aproximaciones.

? Para resolver el problema recuerda.

Las diferenciales se aplican con frecuencia para calcular valores aproximados.

Fórmula básica: df = f ´ (x0) dy.

? Resolución.

Datos.

dq = ? dq = q´ (t) dt

t = 0.5 dq = (0,1t + 0.1) dt

dt = 0.5 dq = (0.1.0.5 + 0.1) 0.5

dq = 0.075 mg.L-1.

Respuesta.

En los próximos 6 meses el nivel de monóxido de carbono cambiará aproximadamente

0.075 mg.L-1.

Problema # 3.

El área en mm2 ocupada por una lesión infectada en la ubre de una vaca se desarrolla a

partir del instante t = 0 según la función: 1

8)(2 ?

??t

ttf .

a) Calcular la superficie (en mm2 ) ocupada por la infección al principio.

b) Hallar el instante en que es máxima el área infectada y calcular dicha área.

c) Estudiar qué ocurre con el transcurso del tiempo ¿ Se estabiliza o desaparece la

infección?

? Situación del problema.

Se da una función que, se dice, proporciona el área ocupada por una lesión infectada, a

partir de esta consideración se hacen preguntas relacionadas con la infección.

? Para resolver el problema recuerda.

Traducir en términos matemáticos las preguntas que se plantean y utilizar los

conocimientos de funciones, límites y derivadas, para contestarlas. Por lo que se deben

tener presente en cada inciso las siguientes recomendaciones:

- En el a) al evaluar la función para t = 0 (instante inicial), o para cualquier otro valor de t,

se obtiene, según la información dada en el texto del problema, la superficie ocupada por la

infección.

- En el b) se trata de un problema de optimización, inicialmente se deben dominar las

definiciones de extremo, punto de extremo relativo o local, de punto estacionario y punto

crítico; así como utilizar los criterios necesarios y suficientes para determinar si un punto

crítico es de extremo local. Es importante que se considere la aplicación de los criterios de

suficiencia alternativamente, selección que estará en dependencia de las características de

la función determinada, así como las de sus derivadas. Se debe tener presente que si

estamos investigando el carácter de un punto crítico en el cual la función no es derivable,

únicamente podemos utilizar el criterio de la primera derivada.

En el ejemplo se aplica a modo de ilustración el criterio de la segunda derivada, que

expresa:

Si t0 es un punto estacionario, para determinar si es punto de máximo relativo o de mínimo

relativo, aplicando el criterio seleccionado, debemos calcular la segunda derivada de la

función f y evaluarla en el punto t t? 0 . Entonces:

a Si f t entonces t esun puntodeminimo localb Si f t entonces t esun puntodemaximo local

) "( ) , .) "( ) , .

0 0

0 0

00

??

- En el c), para estudiar que ha ocurrido en el transcurso del tiempo calculamos el límite de

f(t) cuando f t( )? ? , el análisis del resultado permite concluir si se estabiliza o

desaparece la infección.

? Resolución.

Si 1

8)(2 ?

??t

ttf proporciona el área infectada en el instante t, podemos afirmar

que:

a) La superficie inicial es f(0) = 8 mm2.

b) Como ? ?

f tt

t'( )?

?

?

1

1

2

2 2 , resulta que f’ (t) = 0 para t = 1 y t = -1. Este último instante no

se toma en consideración.

Como ? ?

f tt t

t''( )

( )?

?

?

2 3

1

2

2 3 , en t = 1, f ¨(1) < 0 y hay un máximo para t = 1. En este

momento el área infectada es 8, 5 mm2.

c) Es evidente que para t > 0 se tiene f(t) > 0 y que 8)( ???

tfLimx

de modo que la

infección crece desde t = 0 a t = 1, aquí, en t = 1, alcanza su máximo de 8,5 y luego

decrece y tiende a 8.

Problema # 4.

En una empresa elaboradora de pienso se ha calculado una función de costo que expresa

el costo anual de la compra, posición y mantenimiento de sus materias primas en términos

del tamaño de cada pedido. Si la función de costo es:

Cq

q? ? ?625000

10 150000

donde q es el pedido (en toneladas) y C el costo anual del inventario.

a) Determine el tamaño del pedido q que minimice el costo anual del inventario.

b) ¿Cuáles se esperan que sean los mínimos costos del inventario?

? Situación del problema.

Se trata de un problema de mínimos (optimización), donde debe determinarse el tamaño

de un pedido de manera que se minimice el costo.

? Para resolver el problema recuerda.

En este caso se requieren orientaciones análogas a las que aparecen en el problema

anterior, solo que se aplicará el criterio de la primera derivada, por lo que se recuerda:

Si la primera derivada cambia de signo, el punto crítico analizado es un punto de extremo

local, se trata de un punto de máximo local, si el signo de la derivada cambia de positivo a

negativo y de un punto de mínimo local si el signo de la derivada cambia de negativo a

positivo. De no cambiar el signo de la derivada, el punto crítico analizado, no es un punto

de extremo local

? Resolución.

Conocida la función a optimizar:

Cq

q? ? ?625000

10 150000

Se determinan los puntos críticos resolviendo la ecuación C´ = 0

Cq

q' ?

?10 6250002

2

10 q2 - 625000 = 0

q ? 625000

De donde: q1 = 250 y q2 = - 250 son los puntos críticos.

Se aplica el criterio de la primera derivada para determinar el carácter de los puntos

críticos.

+ - - +

C’ ____________________________________________

-250 0 250

Resultando: qmín. = 250

El mínimo de la función se obtiene evaluando la función C para el valor crítico

q = 250.

Se obtiene: C = 155000

Respuesta.

El tamaño del pedido que minimiza el costo anual del inventario es de 250 toneladas, con

las que el costo será de $155 000,00.

Problema # 5.

Se dispara una bala perpendicularmente hacia arriba con un arma y a una velocidad inicial

de v0 = 300 m/s. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bala?

Observación: No se toma en cuenta la resistencia del aire.

? Situación del problema.

Como se conoce, los cuerpos por sí solos no pueden moverse hacia arriba, es necesario

lanzarlos, para lo cual debe comunicarles alguna velocidad inicial v0, dirigida en este caso

verticalmente hacia arriba.

Además, un cuerpo lanzado hacia arriba se mueva con igual aceleración que durante su

caída libre. Esta aceleración debida a la gravedad se denota por g (g? 10 m/s2) y esta

dirigida verticalmente hacia abajo.

Este movimiento del cuerpo lanzado hacia arriba es también un movimiento rectilíneo con

aceleración constante y las ecuaciones para la caída libre de un cuerpo son también

aplicadas en este caso. No obstante es importante considerar que el vector aceleración

tiene sentido contrario al vector velocidad inicial, es por esto que la velocidad del cuerpo

no aumenta modularmente sino que disminuye.

El eje de coordenadas está dirigido hacia arriba, la proyección de la velocidad inicial v0 es

positiva, la de la aceleración es negativa y la ecuaciones son:

v = v0 – g t y h = f(t) = v0 t – ½ g t2

Debido a que la velocidad de un cuerpo lanzado hacia arriba disminuye, llega el instante en

el cual la velocidad del cuerpo se anula, en ese instante el cuerpo alcanza su altura máxima.

? Para resolver el problema recuerda.

Se trata de un problema de optimización donde se pide la altura máxima. El cálculo

diferencial es la herramienta matemática a aplicar para resolver el problema, las sugerencias

de los problemas # 3 y # 4 constituyen la estrategia a seguir para obtener la solución.

? Resolución.

Se conoce que la relación entre la distancia y el tiempo en un lanzamiento perpendicular

hacia arriba se formula de la forma siguiente:

h = f(t) = v0 t – ½ g t2 (t ?0), con g ? 10 m/s2 y v0 = 300 m/s.

De ahí que podamos plantear la función h(t), de forma tal que:

h(t) = 300 t – ½ .10 t2

h(t) = 300 t – 5 t2

Procedemos a determinar los ceros de h´(t):

h´(t) = 300 – 10 t

300 – 10 t = 0

10 t = 300

t = 30

Evaluando h´´(x) para t = 30, aplicando el criterio de la segunda derivada para determinar

extremos locales:

h´´(x) = - 10 para todo t>0, luego

h´´(30) = - 10 < 0, por lo que en t = 30 s, h(x) tiene un máximo local, que se determina

sustituyendo en la fórmula inicial: h = f(t) = v0 t – ½ g t2

h(30 s) = 300 m/s. 30 s – ½ m/s2. (30 s)2

h(30 s) = 9 000 m – 5. 900 m

h(30 s) = 9 000 m – 4500 m

h(30 s) = 4500 m

Respuesta.

La bala disparada alcanza una altura máxima aproximada de 4500 m.

Problema # 6.

Al realizar la medición de un depósito de azúcar a granel con tapa de forma

paralelepípeda, resultan sus dimensiones 8m, 10m y 12m respectivamente.

Si en cada medida hay un error por exceso de 0,02 m y el m2 del material con que fue

construido el depósito es de $8,00. Hallar aproximadamente el valor del error cometido en

el cálculo del costo.

? Situación del problema.

Con frecuencia se realizan mediciones, como las del problema propuesto o análogas,

donde se cometen imprecisiones, aunque en ocasiones no es necesario el estricto rigor al

respecto, es necesario tener presente que el uso de las diferenciales permite la estimación

de los errores que ocurren debido a mediciones aproximadas.

? Para resolver el problema recuerda.

Se trata de un problema de diferencial total, que puede definirse para una función

u = f(x,y,z) como: duux

dxuy

dyuz

dz? ? ???

??

??

y nos permite calcular variaciones

aproximadas de una función para variaciones fijas de las variables.

Considerando lo anterior es posible determinar un valor aproximado de una función en un

punto a través de un modelo matemático que responda al problema.

? Resolución.

En este caso el área del paralelepípedo con tapa es: A = 2xy + 2xz + 2yz, y se conoce

que:

x = 8 m, y = 10 m y z = 12 m, además dx = dy = 0,02 m.

Como la función del costo es la que se necesita se tiene:

Ct = 8 (2xy + 2xz + 2yz)

Ct = 16 (xy +xz + yz)

Para calcular el error aproximado, el diferencial dc será:

dzzc

dyyc

dxxc

dc??

??

??

???

donde:

? ?

? ?

? ?

??????

cx

y z

cy

x z

cz

x y

? ?

? ?

? ?

16

16

16

De modo que:

dc = 16 ( y + z) dx + 16 (x + z ) dy + 16 (x + y) dz

? ? ? ? ? ?? ?dc y z dx x z dy x y dz? ? ? ? ? ?16

sustituyendo los valores dados:

? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?

dc

dc

dc

dcdc

? ? ? ? ? ?

? ? ?

? ? ?

??

16 10 12 0 02 8 12 0 02 8 10 0 02

16 22 0 02 20 0 02 18 0 02

16 0 44 0 40 0 36

161 219 20

, , ,

. , . , . ,

, , ,

. ,,

Respuesta. El valor aproximado de error en el costo es $19,20.

Problema # 7.

En un laboratorio se experimenta con cierta variedad de árboles frutales para determinar la

temperatura t en 0 F y el porcentaje de humedad relativa h que más le favorecen.

Un ingeniero concluye que a través de la función:

f t h t ht h t h( , )? ? ? ? ? ?1200 2 2 200 2602

se pueden determinar las condiciones atmosféricas óptimas que favorecen el cultivo y

desarrollo de las plantas. Calcule cuáles son estos valores.

? Situación del problema.

Se trata de un problema de extremos relativos para funciones de dos variables donde a

través de una función se quieren establecer las condiciones de temperatura y humedad que

favorecen a determinado cultivo.

? Para resolver el problema recuerda.

Para determinar los extremos relativos de una función de dos variables continuas en una

región D ? ? 2 y con derivadas parciales de 1er. y 2do. orden también continuas,

procedemos de la siguiente forma:

a) Se hallan las derivadas parciales de la función.

b) Se hallan los valores críticos, para lo cual se aplica la condición necesaria y se

resuelve el sistema de ecuaciones obtenido.

c) Se hallan las segundas derivadas parciales.

d) Se aplica la condición suficiente para cada uno de los puntos críticos.

e) Evaluamos la función para los puntos críticos (donde existan extremos) y

obtenemos su valor máximo y/o mínimo.

? Resolución.

Para dar solución a este problema determinamos los extremos de la función:

f t h t ht h t h( , )? ? ? ? ? ?1200 2 2 200 2602 .

Comenzamos por calcular las derivadas: ??

??

ft

fh

, .

????

ft

t h

fh

t h

? ? ? ?

? ? ? ?

2 2 200

2 4 260

Condición necesaria: ??

??

ft

fh

? ?0 0,

Resultando el sistema:

-2t - 2h + 200 = 0

-2t - 4h + 260 = 0

Resolvemos el sistema y obtenemos que el punto crítico es: P(65,30).

Calculamos las derivadas segundas, es decir, aplicamos la condición suficiente para el

punto crítico.

Af

tB

fh t

Cf

hA B C

A C B

A C B

? ? ?

? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ?

??

?? ?

??

2

2

2 2

2

2 2

2

2 2 4

2 4 2 8 4 4 0

0

.. ( ).( ) ( )

.

Pero A < 0 por lo que existirá un punto de máximo en P(65,30).

Respuesta.

Una temperatura de 65 0 F y un 30 % de humedad relativa proporcionan la temperatura

óptima (máxima) para el cultivo.

Problema # 8.

Una empresa usa tres materias primas X, Y y Z para manufacturar un producto cuya

función de producción está dada por:

? ?f x y z x y z, , ? 502

51

51

5

el presupuesto total es de $24 000.00 y la empresa puede adquirir X, Y y Z por $80,00

$12,00 y $10,00 respectivamente, por unidad. ¿Qué combinación de materias primas

podría maximizar la producción?

? Situación de problemas.

Se trata de un problema de extremos condicionados donde la expresión dada para la

función de producción se encuentra sujeta a las restricciones dadas por el presupuesto total

con que cuenta la empresa y el costo de la materia prima.

? Para resolver el problema recuerda.

Para determinar máximos o mínimos de una función ? ?u f x y z? , , con la condición

? ?g x y z, , ? 0, se procede del siguiente modo:

a) Se plantea la función auxiliar ? ?F x y z, , ,?

b) Se hallan las primeras derivadas de esta función y se resuelve el sistema de ecuaciones

para hallar los valores críticos y ? .

La solución de este sistema nos dará los puntos donde existirán máximo(s) y/o mínimo(s),

es decir, los puntos críticos.

c) La naturaleza de estos extremos condicionados se obtiene utilizando el enunciado del

problema.

d) Si se solicita en el problema, se halla el valor (es) máximo (s) o mínimo (s) de la función

? ?u f x y z? , , .

? Resolución.

Se necesita maximizar la función.

? ?f x y z x y z, , ? 502

51

51

5

cuyas variables están relacionadas por la ecuación:

? ?g x y z x y z, , ? ? ? ?80 12 10 24000

de manera que la función objetivo o de Lagrange es:

? ? ? ?F x y z x y z x y z, , ,? ?? ? ? ? ?50 80 12 10 240002

515

15

los posibles puntos de extremo condicionado son aquellos puntos que son soluciones del

sistema:

024000101280

01010

01210

08020

54

51

52

51

54

52

51

51

53

????

?????

?????

?????

?

?

?

zyx

zyxzF

zyxyF

zyxxF

?

?

?

Para resolver el sistema despejamos ? en las ecuaciones anteriores, se obtiene:

51

54

52

51

51

53

65

41

zyx

zyx?

?

?

?

?

?

? ?? ? ?

?x y z

x y z

25

15

45

80 12 10 24000

Eliminando z en las dos primeras ecuaciones, se obtiene : x y? 0 3,

Eliminando x el la segunda y tercera ecuaciones, se obtiene: z y? 1 2,

Sustituyendo x y z en la ecuación de enlace se tiene:

80 (0,3 y) + 12 y + 10 (1,2 y) = 24000

24 y + 12 y + 12 y = 24000

48 y = 24000

y = 500

Y además: ? ? ? ?x z

x z

? ?

? ?

0 3 500 1 2 500

150 600

, . , .

Respuesta:

La producción se maximiza con x = 150, y = 500 y z = 600 y la correspondiente

producción en f(150, 200, 600) = 4622 unidades.

Problema # 9.

Un objeto se mueve de forma tal que su velocidad a los t segundos es:

V(t)= 4+ t + 2t2 m/s.

a) ¿Qué distancia recorrerá el objeto durante el tercer segundo?. ¿Y durante sexto

segundo?.

b) ¿Cuál es la velocidad media durante el período de tiempo que abarca desde el tercer

segundo hasta el sexto?

? Situación del problema.

Se trata de un problema de distancia y velocidad en una situación relativa a un movimiento

en que la velocidad no es uniforme y viene dada por una función cuadrática.

? Para resolver el problema recuerda.

La distancia puede obtenerse mediante la integral de la función que representa la velocidad.

? Resolución.

La distancia recorrida desde el instante t = 0 hasta un instante t perteneciente al dominio

de la función, viene dada por:

d t v s ds s s dstt

( ) ( ) ( ) .? ? ? ??? 4 2 2

00

a) Por tanto, la distancia recorrida durante el tercer segundo es:

? ?? ??

???

??? ?????

3

2

3

2

2 16,196115

3224

32

24 mmdsss

sss

La distancia recorrida durante el sexto segundo es:

? ?4 2 4216 70 162

5

6

? ? ? ?? s s ds m m,

Respuesta :

La distancia que recorre el objeto durante el tercer y sexto segundos, es de 19,16 m y

70,16 m respectivamente.

b) En la pregunta del enunciado se puede interpretar que lo que se pide es la distancia

recorrida por el objeto durante el período que va desde el tercer segundo hasta el sexto

(inclusive); entonces habría que calcular.

? ?4 2 5123 170 662

2

6

? ? ? ?? s s ds m m,

pues el tercer segundo comienza en t = 2 y el sexto acaba en t = 6.

Respuesta:

La velocidad media de este período es 170,66 : 4 = 42,66 m/s.

Anexo 7

Hoja de trabajo para los estudiantes resolver los problemas.

Problema (s). Columna para las

anotaciones del profesor

Problema No. 1 En esta columna el profesor

refleja cualquier aspecto que

se considere de interés

sobre el desempeño del

estudiante en la resolución

del problema.

Anexo 8

Guía didáctica del estudiante para la resolución de problemas de Matemática.

? Para analizar el enunciado:

Después de la lectura cuidadosa del enunciado, debes preguntarte:

1. ¿ Cuáles son los elementos del problema que más te han llamado la atención?.

2. ¿ Has comprendido todas las palabras del enunciado del problema?.

3. ¿ Lo puedes relacionar con algún concepto, disciplina, experiencia, situación o

problema anterior?.

4. ¿ Puedes expresar de qué trata el problema?.

5. ¿ Debes repetir la lectura del enunciado del problema para comprenderlo?. ¿ Puedes

precisar los elementos del mismo que te generan dificultad en su comprensión?.

6. ¿ Qué se pide hallar o ya conoces la demanda de la tarea?. ¿ Se trata de obtener una

cosa o varias?.

7. ¿ Qué datos puedes extraer del problema?.

8. ¿ Consideras que los datos del problema son suficientes para resolverlo, están de

acuerdo con los que has manejado en alguna experiencia previa?.

9. ¿ Existe alguna relación entre estos datos?.

10. ¿ Puedes representar estos datos o la situación que se te presenta a través de un

gráfico, tabla, etc., que te ayude a resolverlo?.

11. ¿ Consideras que necesitas para resolver el problema algún dato que no aparece en el

mismo?.

12. ¿ Qué conocimientos matemáticos o de otras disciplinas consideras convenientes para

resolver el problema?.

13. ¿ Conoces algún algoritmo o estrategia para resolver el problema?.

14. Por último, piensa de otra forma o escribe de otra forma el problema, para facilitarte el

que puedas comprenderlo.

? Para generar y diseñar el plan:

1. Analizado el problema, ¿Consideras qué puedes resolverlo?.

2. ¿ Has resuelto este problema o alguno muy similar con anterioridad?.

3. ¿ Podrías determinar de qué tipo de los estudiados es este problema?.

4. En caso de ser afirmativa la respuesta anterior, ¿ Qué relación puedes establecer

entre ellos?. ¿Cuáles son los elementos que los diferencian?. ¿ Te puede facilitar o

servir esta relación para resolverlo?. ¿ Puedes auxiliarte en los mismos razonamientos

o necesitas considerar algún cambio para obtener su solución?.

5. En caso de ser diferentes, entonces debes considerar: volver sobre tus pasos a las

preguntas iniciales y, continuar con las valoraciones siguientes:

6. De las partes que consideras más fáciles. ¿Podrías resolver alguna parte intermedia, u

otra parte?.

7. Trata de representarte una situación similar a la del problema para posibilitar que

pueda surgir alguna idea para la solución o trata si es posible de expresarla

cuantitativamente y retoma las ideas gráficas. Todos estos elementos analizados con

profundidad, en ocasiones pueden sugerir un camino de solución.

8. ¿ Conoces algún teorema, fórmula, propiedad, algoritmo que relacione todos los

datos?.

9. Recorre las ideas del problema retrospectivamente, suprime lo que te parece

innecesario a los datos, en busca de alguna idea.

10. Si llegas a concluir que no puedes resolver el problema, entonces cuestiónate: puedes

probar un nuevo intento de resolución, concluyes que los datos o situación del

problema son contradictorios, carentes de sentido o difíciles de comprender. En

resumen, está fuera de tus posibilidades resolverlo. Entonces, agotados estos recursos,

se debe recurrir a algún compañero, material didáctico, libro de texto o al profesor en

busca de orientación. En estos casos es recomendable que compares las limitaciones

que se te presentaron, con las ideas o sugerencias que incorporaste a partir de las

sugerencias que se te plantearon.

? Para ejecutar el plan:

1. Antes de iniciar la resolución del problema, revisa nuevamente los datos, las unidades

en que están expresados y los conceptos, ideas, estrategias, modelo que aplicarás.

Trata de superar las dificultades que puedan aparecer.

2. Si te encuentras alguna dificultad, regresa al principio de la situación, rectifica los

posibles errores e intenta de nuevo.

3. Si te encuentras con situaciones muy difíciles, valora otra vía de solución, o si se

requiere de un dato adicional para continuar.

4. Si consideras por terminada la tarea de solución del problema, revisa nuevamente

todos los elementos considerados en su solución, antes de pasar a validar la respuesta

obtenida.

? Para revisar y evaluar la ejecución:

1. Cuando consideres concluido el problema, nunca te plantees definitivamente que todo

esta correcto. Recorre antes todo el proceso, cerciorándote paso a paso de que no

cometiste errores.

2. Escribe ordenadamente y con claridad todo el proceso de resolución seguido, destaca

entre cuadros o subraya lo que consideres más importante, partiendo del enunciado

comprueba que la respuesta obtenida es la que se te pide, para esto:

3. Valora si la solución del problema es lógicamente posible, es decir, si tiene sentido en

el contexto del problema.

4. Añade a la solución del problema una explicación literal breve que indique lo que has

hallado.

5. Valora si es posible obtener otro resultado o solución, si se puede resolver de otra

forma o con un enfoque más general.

6. Intenta explicar el problema a otra persona.

7. Utiliza la experiencia y conocimientos adquiridos en el planteamiento y solución de

nuevos problemas.

Anexo 9.A

Guía del profesor para el análisis cualitativo de las resoluciones realizadas por los

estudiantes pensando en voz alta.

Aspectos considerados:

1. ¿ Se procede a identificar inicialmente el problema con uno ya visto?.

2. ¿ Se utilizan directamente los datos, sin ningún tipo de análisis previo?. ¿ Los datos

aparecen inmediatamente?. ¿ Se concreta lo que se busca?.

3. ¿ Se realiza un análisis cualitativo de la situación?.

4. ¿ En la fase inicial recoge mentalmente o por escrito ideas, conexas o no, relacionadas

con el problema?.

5. ¿ Se emite alguna conjetura o hipótesis?.

6. ¿ Se elabora una estrategia antes de resolver o se actúa directamente o por ensayo-

error u otro procedimiento?.

7. ¿ La estrategia que se sigue es correcta?.

8. ¿ Se reflejan o expresan elementos literales en la resolución?. ¿ Se va comentando o

ilustrando lo que se hace?.

9. ¿ Abandona la resolución del problema?.

10. ¿ Se analiza el resultado o este se da por definitivo sin ningún tipo de contraste?.

¿ Este resultado es correcto?.

Anexo 9.B

Resultados del análisis de la resolución de problemas de Matemática

por estudiantes con la técnica de “pensar en voz alta”.

Aspectos considerados.

Grupo I N = 32 % No.1 No.2

Grupo II N = 14 % No.1 No.2

Grupo III N = 28 % No.1 No.2

Grupo IV N = 18 % No.1 No.2

Grupo V N = 27 % No.1 No.2

1.-Sobre las reflexiones, análisis, etc, previos a la resolución del problema: -Se comienza por extraer los datos. -Se hace un análisis cualitativo. -Se explica lo que se busca. -Se establecen limitaciones para definir el problema.

100 90 25 62 15 71 15 59

100 100 14 43 14 57 7 37

92 71 7 42 7 53 0 50

100 100 5 38 13 72 3 16

96 85 29 44 33 62 33 48

2.- Sobre la construcción de estrategias de resolución: - Se explica una estrategia. - Se consideran estrategias

alternativas.

18 59 6 28

14 42 0 21

7 17 0 10

33 61 5 11

29 55 14 18

3.- Sobre la resolución propiamente dicha : - Se comenta la información

teóricamente útil. - Se utilizan variables. - Se utilizan directamente los

datos numéricos. - Se hacen comentarios

explicativos.

18 59 62 78 68 78 21 71

14 57 21 64 14 57 7 64

4 53 82 89 92 82 10 71

33 72 72 83 83 72 22 72

33 74 74 81 66 81 37 74

4- Sobre el análisis de los

resultados: - Se interpretan. - Se contrastan. - Se analizan unidades.

15 65 6 46 21 78

14 78 0 42 21 64

7 67 0 21 10 82

11 38 5 33 22 83

25 62 25 40 18 77

Anexo 10

Ejemplos de tareas de control.

Curso 1994-95.

Prueba de Diagnóstico.

? En una librería se ponen a la venta tres libros de Matemática sobre los temas de

Algebra, Geometría y Trigonometría por un precio total de $19,25. Si el precio del

libro de Geometría duplica al de Älgebra y a su vez el de Trigonometría cuesta la

tercera parte del de Geometría. ¿Qué precio tiene cada libro?. Además, si la librería

vende en un día 7 ejemplares del libro de Trigonometría, 10 de Algebra y 5 de

Geometría. ¿Cuánto recaudó ese día por la venta de los tres libros?.

? Un árbol y un observador se encuentran en orillas opuestas de un río. El observador

mide el ángulo que forma su visual con el punto más alto del árbol y obtiene 350 ,

retrocede 10 m y mide de nuevo el ángulo, obteniendo un resultado de 250 . ¿Qué

altura tiene el árbol?.

Primera Prueba Parcial Escrita.

? Una ventana de un almacén de fertilizantes tiene forma de cuadrado coronado por un

semicírculo. La base de la ventana se mide como si tuviera un ancho de 65 cm, con un

error posible en la medición de 0,1 cm. Calcule aproximadamente el error posible

máximo al calcular el área de la ventana.

Segunda Prueba Parcial Escrita.

? Los directivos de una CPA observan que está próxima la cosecha de tomates y deben

tomar medidas para recoger los frutos y trasladarlos a una ciudad cercana. Dada la

extensión del campo y el volumen de la recogida planifican fabricar cajas rectangulares

abiertas en su base superior para lo cual cuentan con 1000 metros de madera. ¿Cuáles

deben ser las dimensiones para que la capacidad sea máxima?

Tercera Prueba Parcial Escrita.

? Una población de animales crece a razón de f(t) = 200 + 50 t al año (en donde t se

mide en años). ¿En cuánto aumenta la población de animales entre el cuarto y el

décimo año?

Prueba Final Escrita.

? En química se usa la notación X + Y ? Z para indicar que debido a la interacción de

dos sustancias se forma otra. Si para la situación dada, la velocidad a que se forma Z

varía como el producto de las cantidades instantáneas de los productos X y Y, y

además su formación requiere 3 kg de X por cada kg de Y. Si inicialmente hay 12 kg

de X y 36 de Y y en 10 minutos se han formado 9 kg de Z, determine la cantidad de

Kg de Z considerando cualquier tiempo.

Prueba de Solidez.

? En una empresa se elaboran dos tipos de medicamentos, siendo x e y la cantidad a

producir por jornada de cada uno respectivamente. Si se deben producir 200 unidades

de estos productos y la función de costos totales está dada por C(x,y) = 2x2 + xy + y2

+200. ¿Cómo se debe distribuir la producción por jornada de cada medicamento para

minimizar los costos de producción?

Curso 1995-96.

Prueba de Diagnóstico.

? Si al doble de los sacos de malanga recogidos en una jornada de trabajo voluntario por

los estudiantes del primer año de la Facultad de Agronomía se le suman los recogidos

por los estudiantes de segundo año, se obtienen los recogidos por los de tercer año

aumentado en 32. Si al tercio de los recogidos por los de segundo año se le suman el

doble de los de tercero, se obtiene los recogidos por los de primero aumentado en 9, y

el tercio de los recogidos entre los grupos de primero y segundo es 1 menos que los de

tercero. ¿Cuántos sacos recogió cada grupo?.

? En un campo de entrenamiento de las MTT las fuerzas milicianas se encuentran en las

posiciones A y B y en la posición C se encuentra ubicado el enemigo de forma tal que

forman un triángulo rectángulo en C. Si conocemos que la distancia entre la fuerzas

milicianas es de 50 metros y el ángulo BAC es de 600. Calcule la menor distancia que

existe entre el enemigo y los milicianos.

Primera Prueba Parcial Escrita.

? Se midió el radio de un tanque de forma esférica y se determinó que era de 62 cm, con

un error mínimo de 0,06 cm. ¿Cuál es el error máximo al utilizar este valor del radio

para calcular el volumen de la esfera?.

Segunda Prueba Parcial Escrita.

? Un recipiente de los que se utilizan el los laboratorios químicos para reacciones tiene la

forma de un cilindro abierto por arriba y un volumen de 500 ml. ¿Qué valores hay

deben tener la altura y el radio de la circunferencia de su base para que el área de su

superficie total sea mínima?

Tercera Prueba Parcial Escrita.

? Una de las reacciones más importantes que se verifican en los suelos es la oxidación de

nitrito a nitrato, reacción que se lleva a cabo por medio de las bacterias del género. Si

se conoce que una población de las mismas, en una muestra de suelo se inicia con 500

unidades formadoras de colonia (UFC) y crece a razón de f(t) = 310e0,3t bacterias

por hora, siendo t el tiempo en horas. ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 10 horas?.

Prueba Final Escrita.

? Se tira una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 30,5 m/s.

a) ¿Cuál será su velocidad transcurridos 2 y 4 segundos?.

b) ¿Qué tiempo demora para volver a su posición inicial?.

c) ¿Qué altura máxima alcanza antes de retornar ?.

Prueba de Solidez.

? En un envasadora de café se está planificando enlatar 100 g de este producto en un

envase cilíndrico de altura h y radio de la base r. Si el material tiene un costo de 6

centavos por cm2.

a) ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la lata para minimizar el costo?.

Dato: 1 g ocupa 1 cm3.

Curso 1996-97.

Prueba de Diagnóstico.

? La Empresa de Frutas Selectas proporciona para un día de excursión a un grupo de

estudiantes 110 frutas entre naranjas, mangos y guayabas. Si las 1/8 partes del número

de naranjas más la 1/9 partes del número de mangos más 1/5 del número de guayabas

es igual a 15, y el total de naranjas y guayabas es 65. ¿Cuántas frutas de cada tipo se

tienen para la excursión?

? Un hombre se encuentra frente un edificio que tiene una altura de 42 metros y a una

distancia de 60 metros del mismo y mira hacia arriba. ¿Cuál será el ángulo que forma

con otro hombre que esta parado encima del edificio?.

Primera Prueba Parcial Escrita.

? Un veterinario está estudiando el desarrollo de un tumor de forma esférica situado en el

cuerpo de un animal. Determine su crecimiento aproximado al cabo de un período de

tiempo cuando su radio aumenta de 1, 2 cm a 1,3 cm.

Segunda Prueba Parcial Escrita.

? En un centro genético se plantea la necesidad de construir silos para almacenar

alimento para el ganado. Cada silo tendrá una capacidad de 2500 m3. Considere el silo

como un cilindro abierto por una de sus bases y determine su área mínima.

Tercera Prueba Parcial Escrita.

? En una granja avícola los pollos alcanzan en el primer mes de vida 1 ½ libras de peso y

en el siguiente mes mediante el suministro de una nueva ración de pienso el aumento en

libras puede expresarse aproximadamente a través de la función f(x) = x2 + x + 1/x2

(donde x expresa los meses de nacido). ¿Cuántas libras alcanzan aproximadamente los

pollos durante los dos primeros meses de vida?.

Prueba Final Escrita.

? Un cultivo de bacterias se inicia con 400 y crece con una rapidez proporcional a su

tamaño. Después de 2 horas, hay 6000 bacterias.

a) Halle una expresión para la cantidad de bacterias después de t horas.

b) Encuentre la cantidad de bacterias después de 5 horas.

Prueba de Solidez.

? En la Empresa Citrícola de Jagüey Grande se producen diferentes tipos de cítricos, por

ejemplo naranja y toronja cuyos costos medios constantes son de 50 y 60 centavos

por kilogramo respectivamente. Si el precio de venta del primero es de x ctvs./kg y el

del segundo y ctvs./kg y el número de kilogramos que puede venderse por semanas de

cada producto viene dado por V1 = 250 (y – x) y V2 = 32000 + 250(x – 2y).

Demuestre que para una máxima ganancia los precios de venta son 89 y 90 ctvs./kg

respectivamente.

Curso 1997-98.

Prueba de Diagnóstico.

? El promedio de las edades de Cristina, María y Ana es de 11 años. La tercera parte

de la edad de Cristina más la de María es igual a la de Ana disminuida en 5. La mitad

de la edad de María más la de Ana es igual al triplo de la de Cristina aumentada en 4.

Halle las edades de cada una dentro de 5 años.

? Un ingeniero desea conocer el ancho de un río y camina 8 metros en línea recta

bordeando el río desde un punto que se encuentra directamente frente a un árbol hasta

ubicarse en un segundo punto que forma con la línea de su vista un ángulo de 600 con

respecto al árbol. ¿Cuál es en ancho del río?.

Primera Prueba Parcial Escrita.

? Se encontró que la arista de un cubo es de 40 cm, con un error posible en la medición

de 0,1 cm. Determine el error posible máximo al calcular su volumen y área total.

Segunda Prueba Parcial Escrita.

? Un recipiente ortoédrico para almacenamiento de agua, con la parte superior abierta,

debe tener un volumen de 12 m3. El largo de su base es el doble de su ancho. El

material para su base cuesta 8 pesos por metro cuadrado y el material para los

costados 5 pesos por metros cuadrados. Encuentre el costo de los materiales para

obtener el más económico de los recipientes.

Tercera Prueba Parcial Escrita.

? El motor de un camión consume gasolina a razón ? ? 292 tttf ?? litros por hora,

donde t es el tiempo en horas Si el camión se enciende en t = 0. ¿Cuánta gasolina

consume en 2 horas de marcha?.

Prueba Final Escrita.

? En un movimiento rectilíneo a = - 4/3 s – v siendo además v = 3 y s = 0 cuando t = 0.

Hallar la ecuación del movimiento.

?

Prueba de Solidez.

? En el envasadero de cítricos del complejo citrícola “Victoria de Girón” de Jagüey

Grande, se utilizan las máquinas A y B durante a y b horas respectivamente para la

producción de las cajas de cartón que servirán de envase para las frutas. Si la

producción diaria P es función de a y b y P(a,b) = 4,5 a +5 b – 0,5 a2 – b2 – 0,25 ab.

Hallar los valores de a y b que maximizan P.

Curso 1999-2000.

Prueba de Diagnóstico.

? Si de los estudiantes que optan por la carrera de Ingeniería Industrial en cada uno de

los tres grupos A, B, y C de un IPUEC, la hubiera solicitado un estudiante más en el

Grupo A y uno menos en el Grupo C, entonces los tres grupos tendrían la misma

cantidad de estudiantes solicitando la carrera en cada grupo. Pero si en el Grupo C la

hubieran solicitado 5 estudiantes más, entonces dicha cantidad sería el doble de las que

solicitaron en el Grupo C. ¿Cuántos estudiantes solicitaron la carrera en cada grupo?.

? Una escalera de 4,4 m de largo se encuentra recostada en la pared de un edificio. Si el

pie de la escalera se encuentra a una distancia de 1,4 m de la pared. ¿Cuál será el

ángulo formado por la escalera y la pared?

Primera Prueba Parcial Escrita.

? Una pieza esférica de metal tiene 20 cm de diámetro y se le quiere aplicar una pintura

anticorrosiva. ¿Qué cantidad aproximada de pintura se necesita para aplicar una mano

de pintura de 0, 05 cm de espesor?.

Segunda Prueba Parcial Escrita.

? Se conoce que la raza de ganado “Mambí” alcanza un promedio de 35 kg de peso a

los 45 días de nacido. A través de una serie de estudios dietéticos se pudo comprobar

que suministrándole un pienso especial desde los 45 días y hasta el primer año de

nacido, el aumento en kg del animal puede expresarse aproximadamente por la

función F(t) = ½ (0,001 t – 0,2), donde t expresa los días de nacido.

a) ¿Cuántas kilogramos aumenta aproximadamente cada animal entre los 60 y 100

días de nacido?.

b) ¿Cuántos kilogramos pesan aproximadamente transcurrido un año?.

Tercera Prueba Parcial Escrita.

? En la Planta Libertad de Colón se fabrica el puré de mango “Osito” cuyas latas deben

llevar una etiqueta de papel de 75 cm2 el la cual se destaquen las cualidades del

producto. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de estas etiquetas para gastar la menor

cantidad de papel posible?.

Prueba Final Escrita.

? Se sabe que la velocidad de crecimiento de un cultivo de hongos es proporcional a la

cantidad de hongos presente en cualquier instante dado. Si se determina que el número

de hongos se duplica en 6 horas. ¿Cuál será el número de hongos transcurridas 24

horas?.

Prueba de Solidez

? Si F (a,b) = 1,08a2 – 0,03a3 + 1,68b2 –0,08b3 es una función de producción de la

Empresa Rayonitro de Matanzas donde a es la cantidad de sacos de fertilizante

compuesto y b la cantidad de sacos de fertilizante granulado que se producen cada una

hora. Halle la cantidad de sacos de cada tipo de fertilizante que maximizan la

producción.

Anexo 11

Niveles de desarrollo de la habilidad resolver problemas de Matemática.

Escalas de graduación.

Nivel. Indicadores. Calidad.

I

El alumno resuelve más del 90% de la tarea aplicando correctamente la

secuencia de acciones correspondientes a la habilidad resolver problemas

de Matemática.

? ?9,00,1 ?? R

Muy bien.

II

El alumno resuelve entre el 80% y 90% de la tarea aplicando

correctamente la mayoría de las acciones correspondientes a la habilidad

resolver problemas de Matemática.

? ?8,09,0 ?? R

Bien.

III

El alumno resuelve entre el 70% y 80% de la tarea aplicando

correctamente algunas de las acciones correspondientes a la habilidad

resolver problemas de Matemática.

? ?7,08,0 ?? R

Regular.

IV

El alumno resuelve menos del 70% de la tarea aplicando incorrectamente

las acciones correspondientes a la habilidad resolver problemas de

Matemática.

? ?07,0 ?? R

Deficiente.

Anexo 12

Ficha de evaluación a llenar por los estudiantes.

Compañero estudiante:

Has participado en una actividad sobre resolución de problemas por lo que se pide valores

el desempeño de los diferentes equipos y dentro del mismo los integrantes que a tu juicio

resultaron destacados desde el punto de vista del nivel demostrado para resolver

problemas, asignando las categorías de Deficiente, Regular, Bien y Muy bien, y

argumentando tu criterio, para lo cual puedes basarte en los siguientes aspectos:

1.- Analizar el enunciado del problema.

2.- Generar estrategias de trabajo.

3.- Valorar las consecuencias de la aplicación de la estrategia que considere

más conveniente.

4.- Ejecutar la estrategia planificada (presentación de la información).

5.- Evaluar los logros y dificultades durante la ejecución.

Equipos: Estudiante (s):

Equipo No.1_______ __________________________________

Equipo No.2_______ __________________________________

Equipo No.3_______ __________________________________

Equipo No.4_______ __________________________________

Equipo No.5_______ __________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Por último, valora tu propio desempeño:____________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Te damos las gracias por la colaboración.

Anexo 13

Hoja de Diagnóstico para las dificultades individuales.

Diagnóstico del profesor para el estudiante No. ________

Fecha del diagnóstico: ____________________________

Diagnóstico preliminar: ___________________________

Marcar con una cruz (X) delante de cada acción u operación observada durante la

ejecución del estudiante al resolver problemas de Matemática:

1.- Sobre las reflexiones, análisis, aproximaciones cualitativas, etc., previos a la resolución

propiamente dicha.

_____ Dificultades con el análisis de la situación del enunciado.

_____ Tendencia acentuada a operar directamente con los datos del problema.

_____ Dificultad para hallar datos adicionales, no explícitos en el texto del problema.

_____ Dificultades con los conocimientos previos.

_____ Dificultades con el lenguaje gráfico.

_____ Dificultades con la elaboración de hipótesis y la formulación de conjeturas.

_____ Otras.

2.- Sobre la construcción de estrategias de resolución.

_____ Dificultades con la previsión y puesta en práctica de procedimientos de

resolución.

_____ Insuficiente conocimiento teórico sobre las fases del modelo de resolución

de problemas, sus elementos componentes y estructura.

_____ Análisis superficial de los nexos, relaciones y propiedades de los objetos y

situaciones incluidos en el problema.

3.- Sobre la evaluación de la estrategia que considere más adecuada.

_____ Dificultades con el manejo del modelo matemático que corresponde a la

situación del problema.

_____ Dificultades para transitar etapas (organización y planificación) y con el

proceso mental de resolución.

_____ Dificultad para establecer analogías entre situaciones y modelos simbólicos.

_____ Otras.

4.- Sobre la resolución propiamente dicha.

_____ Dificultades para organizar la información.

_____ Insuficiente dominio de los procedimientos generales y específicos de

resolución de problemas.

_____ Dificultades con las operaciones de cálculo, unidades para expresar las

magnitudes y operatoria en general de los problemas.

_____ Otras.

5.- Sobre el análisis de los resultados.

_____ Dificultades con la validación de los resultados.

_____ Dificultades para predecir y justificar resultados

_____ Dificultades con la capacidad de generalizar los resultados a fenómenos

iterativos.

_____ Otras.

6.- Comunicación de la información:

_____ Oral.

_____Escrita

Acción u operación no relacionada anteriormente:

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Observaciones:________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Tabla resumen del diagnóstico.

Estudiante No.___ Siempre. Muchas veces. Algunas veces. Nunca.

1.- Analiza el enunciado del

problema.

2.- Genera estrategias de

trabajo.

3.- Valora las consecuencias

de aplicar la estrategia.

4.- Ejecuta la estrategia

seleccionada.

5.- Revisa y evalúa logros y

dificultades.

Anexo 14

Caracterización del nivel de generalización.

Variable: RG__

Definición: Relación entre el número de tareas correctas y el número total de tareas.

Escalas de graduación.

Nivel. tareasdeTotal

correctasTareasRG ? Calidad.

I 9,00,1 ?? GR Muy Bien.

II 8,09,0 ?? GR Bien.

III 7,08,0 ?? GR Regular.

IV 07,0 ?? GR Deficiente.

Control de la Generalización.

Primera Etapa.

Grupo. Nivel I. Nivel II. Nivel III. Nivel IV.

I 16,12 22,58 35,48 25,80

II 7,14 35,71 28,57 28,57

III 19,04 28,57 28,57 23,80

IV 16,16 27,77 22,22 33,34

V 15,38 26,92 42,30 15,38

Segunda Etapa.

Grupo. Nivel I. Nivel II. Nivel III. Nivel IV.

I 31,03 37,93 10,34 20,68

II 36,36 18,18 18,18 27,27

III 23,80 28,57 28,57 19,04

IV 25,00 31,25 18,75 25,00

V 23,06 34,61 26,92 19,23

Anexo 15

FASES DEL PROCESO DE APRENDIZAJE DE LA RESOLUCIÓN

DE PROBLEMAS EN LA EXPERIENCIA PEDAGÓGICA.

Fase de

Preparación

? Presentación de situaciones de problemas. ? Orientaciones para

Fase de Control ? Valoración del

proceso de resolución.

?

Fase de Ejecución ? Resolución de los

problemas.

Anexo 16.A

Resultados de las Pruebas Escritas de Diagnóstico, Parciales y Final aplicadas

durante la experiencia pedagógica.

Primera Etapa.

Prueba de Diagnóstico Inicial.

Grupo. Total de

Estudiantes.

Nivel I.

Nivel II.

Nivel III. Nivel IV.

I 32 6,25 12,50 9,00 71,87

II 14 14,28 7,14 7,00 71,42

III 28 7,14 10,71 14,28 67,85

IV 18 5,55 11,11 11,11 72,22

V 27 14,81 14,81 7,40 62,29

Primera Prueba Escrita.

Grupo. Total de

Estudiantes.

Nivel I. Nivel II. Nivel III. Nivel IV.

I 32 6,25 9,37 28,12 56,25

II 14 7,14 14,28 28,57 50,00

III 26 7,69 11,53 34,61 46,15

IV 18 11,11 11,11 27,27 50,00

V 27 14,18 18,51 11,11 55,55

Segunda Prueba Escrita.

Grupo. Total de

Estudiantes.

Nivel I. Nivel II. Nivel III. Nivel IV.

I 31 12,90 16,21 22,58 48,38

II 14 7,14 21,42 21,42 50,00

III 21 28,57 14,28 23,80 33,33

IV 18 16,16 16,16 22,22 44,44

V 26 19,23 23,03 15,38 42,30

Segunda Etapa.

Tercera Prueba Escrita.

Grupo. Total de

Estudiantes.

Nivel I. Nivel II. Nivel III. Nivel IV.

I 29 13,79 17,19 31,03 37,93

II 12 16,16 16,16 41,66 25,00

III 21 14,28 23,80 38,09 23,80

IV 17 17,64 17,64 29,41 35,29

V 26 7,69 34,61 30,76 26,92

Prueba Final de la experiencia.

Grupo. Total de

Estudiantes.

Nivel I. Nivel II. Nivel III. Nivel IV.

I 29 20,68 17,64 27,58 34,48

II 11 27,27 18,18 27,27 27,27

III 21 19,09 19,09 33,33 28,57

IV 16 12,50 25,00 37,50 25,00

V 26 15,38 30,76 34,61 19,23

Anexo 16.B

Resultados de las Tareas de Control Extraclases aplicadas durante la

experiencia pedagógica.

Primera Etapa.

Tarea de Control Extraclase #1

Grupo. Total de

Estudiantes.

Nivel I. Nivel II. Nivel III. Nivel IV.

I 32 9,37 15,62 31,25 43,75

II 14 14,28 14,28 35,71 35,71

III 26 11,53 15,38 38,46 34,61

IV 18 11,11 16,16 33,33 38,88

V 27 14,81 7,40 40,74 37,03

Segunda Etapa.

Tarea de Control Extraclase #2

Grupo. Total de

Estudiantes.

Nivel I. Nivel II. Nivel III. Nivel IV.

I 29 17,24 13,79 44,82 24,13

II 12 16,16 33,33 33,33 16,16

III 21 23,80 19,04 33,33 23,80

IV 17 23,52 23,52 35,29 17,64

V 26 26,92 15,38 38,46 19,23

Anexo 17

Muestra de algunas de las resoluciones de problemas de los estudiantes.

A continuación se muestran algunas de las resoluciones de los estudiantes a los problemas

presentados en clases o pruebas. Al respecto, se comenta brevemente:

? Las tres primeros problemas son ilustrativos de las resoluciones presentadas por el estudiante G.H.

en tres momentos de la experiencia pedagógica (inicial, intermedio y final). Se observa que en la

Prueba de Diagnóstico, este estudiante, en el Problema #1, inicialmente, no plantea correctamente los

datos, lo que indica que no analizó debidamente el enunciado. Sin embargo, llegó a reconocer de

que se trata de un problema a resolver a través de un sistema de ecuaciones lineales de tres

ecuaciones con tres incógnitas, pero plantea una de las ecuaciones con un error de signo. Así,

continúa el proceso de resolución hasta encontrar los valores de las variables. No se plantea

respuesta textual al problema, solamente se señalizan los valores obtenidos para cada variable. En lo

referente al Problema #2, no lo resolvió, pero reconoció que se trata de un problema a resolver con

conocimientos de trigonometría.

? En cuanto al problema de aplicación del cálculo integral, el estudiante G.H., a pesar de incurrir en

algunas imprecisiones o errores durante su resolución (no encierra en paréntesis el integrando, utiliza

la implicación en lugar de la igualdad para relacionar los pasos al calcular la integral), si detectó que el

resultado obtenido no podía ser la solución y procedió a realizar correcciones recurriendo a encerrar

en un módulo dicho resultado y aun más, a plantear la propiedad de permutación de extremos de la

integral definida. Esto es indicativo de una superación gradual de las dificultades, lo que se confirma

en el análisis de la siguiente resolución de este alumno donde se observa que al finalizar la experiencia

logró solucionar un problema de aplicación de las ecuaciones diferenciales.

? En cuanto a la cuarta resolución que se presenta, donde se identifica al estudiante como D.A., se

evidencia que a pesar de que procede a calcular correctamente la razón media de cambio, no puede

hallar la razón instantánea de cambio, evidenciándose un insuficiente dominio de las aplicaciones del

cálculo diferencial.

? Para la última resolución, se selecciona la del estudiante que se identifica como Y.M., quien

demuestra a través de todo el proceso de resolución de un problema de optimización no sólo

dominio de los conceptos sino también “mostrar” el modelo de acciones propuesto.

Anexo 18. Curva de Aprendizaje.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Tiempo (meses)

%

curso 1994-95

curso 1995-96

curso 1996-97

curso 1997-98

curso 1999-00

Anexo 19

Prueba Estadística.

Aplicación de la Prueba de MacNemar.

Resultados correspondientes al Grupo I (N = 29).

Después.

- +

Antes. + 17 7

- 3 2

E = 9,5; ? 2 = 10,31 y df = 1; p < 0,005; ? ? 0 05, ; p < ? .

Resultados correspondientes al Grupo II (N = 11).

Después.

- +

Antes. + 9 0

- 1 1

E = 5; ? 2 4 9? , y df = 1; p < 0,025; ? ? 0 05, ; p < ? .

Resultados correspondientes al Grupo III (N = 21).

Después.

- +

Antes. + 12 2

- 4 3

E = 7,5; ? 2 = 4,2; df = 1; p < 0,025; ? ? 0 05, ; p < ? .

Resultados correspondientes al Grupo IV (N = 16).

Después.

- +

Antes. + 11 2

- 2 1

E = 6; 75,62?? y df = 1; p < 0,01; ? ? 0 05, ; p < ? .

Resultados correspondientes al Grupo V (N = 26).

Después.

- +

Antes. + 17 2

- 4 3

E = 10; 45,82 ?? y df = 1; p < 0,005; ? ? 0 05, ; p < ? .

Decisión: Se rechaza la hipótesis nula y se concluye que si existe diferencia significativa en

el desempeño del los estudiantes, es decir, en el desarrollo de la habilidad resolver

problemas de Matemática antes y después de aplicada la experiencia pedagógica.

Anexo 20

Control de la solidez.

Grupo. Nivel I. Nivel II. Nivel III. Nivel IV.

I 6,89 20,68 34,48 37,93

II 9,09 27,27 27,27 36,36

III 4,76 28,57 28,57 38,09

IV 12,50 18,75 31,25 37,50

V 7,69 26,92 30,76 34,61

Anexo 21.A

Guía para la encuesta sobre las opiniones de los estudiantes acerca de la

experiencia pedagógica.

Aspectos considerados:

1. Propicia tratar experiencias cotidianas o relacionadas con la profesión en el aula.

2. Habitúa a reflexionar antes de resolver el problema.

3. Facilita la comprensión de los conceptos.

4. La situación y el lenguaje utilizado en los enunciados favorece el interés por los

problemas.

5. Exige reflexionar sobre los conceptos.

6. Produce autoconfianza en el momento de resolver el problema.

7. Reduce o elimina la posibilidad de abandonar la resolución ante un problema

desconocido.

8. Habitúa a emitir hipótesis y favorece la creatividad.

9. Habitúa a reflexionar sobre diferentes formas de resolver un problema.

10. Habitúa a analizar cuidadosamente los resultados.

11. Favorece en general un mejor desempeño al resolver problemas.

12. Induce generalmente al planteamiento de nuevos problemas.

13. Otras opiniones.

Por último se solicita a los estudiantes reflejar su opinión sobre lo siguiente: La metodología

utilizada este curso en la resolución de problemas de Matemática comparada con cursos

anteriores es:

Igual:____________________________

Distinta:_________________________

Completamente diferente:____________

Anexo 21.B

Resultados del análisis de las opiniones de los estudiantes acerca de la

experiencia pedagógica.

Para expresar tu opinión sobre la metodología de resolución de problemas que has

trabajado durante el curso en comparación a la cursos anteriores, califica de 2 a 5 (siendo

5 la puntuación más favorable) los siguientes aspectos.

Número de estudiantes: 103

M.H.: Metodología Habitual. M.P.: Metodología propuesta.

Aspectos a considerar. Calificación

de 2 puntos.

(%)

M.H. M.P.

Calificación

de 3 puntos.

(%)

M.H. M.P.

Calificación

de 4 puntos.

(%)

M.H. M.P.

Calificación

de 5 puntos.

(%)

M.H. M.P.

1- Propicia el tratamiento de

experiencias cotidianas o

relacionadas a la profesión

en el aula.

2- Habitúa a reflexionar antes de

intentar resolver el problema.

3- Facilita la comprensión de los

conceptos.

4- La situación y el lenguaje

28,15 3,38

10,87 1,94

7,76 4,85

58,25 2,91

67,96 4,85

78,64 1,94

87,37 1,94

29,12 3,88

1,94 25,24

7,76 19,41

2,91 34,95

8,73 4,85

1,94 66,01

1,94 77,66

1,94 58,25

3,88 88,34

utilizado en los enunciados

favorece el interés por el

problema.

5- Exige reflexionar sobre los

conceptos.

6- Favorece la autoconfianza en

en el momento de resolver el

problema.

7- Reduce la posibilidad de

abandonar la resolución de un

problema desconocido.

8- Habitúa a emitir hipótesis

y favorece la creatividad.

9- Habitúa a reflexionar sobre

diferentes formas de resolver

un problema.

10- Habitúa y ayuda a analizar

cuidadosamente los resultados.

11- Favorece un mejor

desempeño en la resolución de

problemas.

12- Induce generalmente al

planteamiento de nuevos

problemas.

13- Otras.

55,33 2,91

52,42 1,94

55,33 2,91

35,92 1,94

48,54 2,91

50,48 2,91

58,25 1,94

48,51 2,91

23,30 7,76

31,06 1,94

31,06 7,76

21,35 19,41

30,09 4,85

22,33 1,94

11,65 3,88

24,27 19,41

9,73 38,83

8,73 6,79

9,70 11,67

13,59 9,70

15,53 9,70

15,53 2,91

20,38 2,91

12,62 7,76

11,65 50,48

5,82 91,26

3,88 77,66

30,09 67,96

5,82 82,52

11,65 92,23

8,73 92,33

14,56 69,90

Marca con una cruz (X) la respuesta que refleje tu opinión sobre la siguiente consideración:

la metodología o forma utilizada este curso para resolver los problemas, comparada con la

de cursos anteriores es:

Igual ---------------------------- 0 %

Distinta ------------------------- 38,83 %

Completamente diferente --------- 62,13 %

Anexo 22.A

Guía para la encuesta sobre las opiniones de los profesores acerca de la

experiencia pedagógica.

Aspectos considerados:

1. Motivación e interés de los estudiantes.

2. Cuidadosa atención a los aspectos cualitativos de la situación antes utilizar datos,

conceptos, etc.

3. Posibilidad de utilizar las ideas intuitivas de los alumnos o transformarlas.

4. Entrenamiento en emisión de conjeturas, hipótesis, búsqueda de estrategias alternativas

de resolución, representaciones gráficas, etc.

5. Propicia desarrollar el pensamiento lógico de los estudiantes a partir de la derivación

de consecuencias pertinentes a partir de principios generales: estructuración del

proceso de resolución.

6. Introduce en los estudiantes el hábito de dudar de los resultados y de analizarlos

cuidadosamente.

7. Favorece la comprensión de los conceptos matemáticos fundamentales.

8. Favorece las actitudes positivas hacia la profesión, las Matemáticas y su aprendizaje.

9. Favorece la autoconfianza de los estudiantes al abordar problemas desconocidos.

10. Favorece el desarrollo de la habilidad resolver problemas de Matemática.

11. Otras opiniones.

Anexo 22.B

Resultados del análisis de las opiniones de los profesores acerca de la experiencia

pedagógica.

Muestra: Profesores universitarios 40

Profesores de la Enseñanza Media 16

Valorar de 2 a 5 en que grado se favorece la consecución de los aspectos tratados

en cada una de las metodologías.

M.H.: Metodología Habitual. M.H.: Metodología Propuesta

Aspectos a considerar.

Calificación

de 2 puntos.

(%)

M.H. M.P.

Calificación

de 3 puntos.

(%)

M.H. M.P.

Calificación

de 4 puntos.

(%)

M.H. M.P.

Calificación

de 5 puntos.

(%)

M.H. M.P.

1. Motivación de los estudiantes.

2. Cuidadosa atención a los aspectos

cualitativos de la situación antes de

utilizar datos, conceptos, etc.

8,92 1,78

3,57 3,57

37,50 14,28

41,07 1,78

51,78 75,00

33,92 14,28

1,78 8,92

21,42 80,35

3. Expresión de las ideas intuitivas de

los estudiantes y su transformación.

4. Entrenamiento en emisión de

hipótesis, búsqueda de estrategias

alternativas de resolución,

representaciones gráficas, etc

5. Pensamiento lógico (derivación de

consecuencias pertinentes a partir de

principios generales: estructuración

del proceso de resolución).

6. Favorece en los estudiantes el hábito

de dudar de los resultados y

analizarlos cuidadosamente.

7. Favorece la comprensión de

conceptos matemáticos

fundamentales.

8. Actitudes positivas hacia su

profesión, las matemáticas y su

aprendizaje.

9. Autoconfianza de los estudiantes

para abordar problemas

desconocidos.

10. Favorece el desarrollo de la

habilidad resolver problemas de

Matemática.

11. Otras.

21,41 1,78

30,35 3,57

1,78 1,78

50,00 3,57

14,28 3,57

17,84 1,78

25,00 1,78

3,57 3,57

5,35 3,57

60,71 5,35

46,42 12,50

73,21 10,71

16,07 10,71

53,57 14,28

64,28 14,28

57,14 5,35

28,57 1,78

66,07 1,78

10,71 21,24

17,75 30,35

21,42 5,35

32,14 3,57

25,00 17,85

16,07 21,42

14,28 25,00

62,50 12,50

17,85 1,78

7,14 71,25

5,35 53,57

3,57 82,14

1,78 82,14

7,14 64,28

1,78 62,50

3,57 67,85

5,35 82,14

8,92 83,92