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La propagation des ondes sismiques appliquée à la sismique

UM II / M1 RéservoirsC. Champollion

Plan

• Les différents types d’ondes sismiques• La vitesse des ondes sismiques• Principe de Huyghens / Principe de Fermat• Principes de propagation• Amplitude des ondes

Les différents types d’ondes sismiques

• Ondes P et S

Les solides élastiques, sous l’effet d’une contrainte quelconque, subissent des déformations de deux types : compression et cisaillement.

La théorie de l’élasticité et le principe fondamental de la dynamique montrent qu’il en résulte une propagation d’ondes sismiques par deux mécanismes différents, qui donnent naissance à deux types d ’ondes se propageant de manière indépendante :-> Les ondes de compression P-> Les ondes de cisaillement S


• Les ondes P

Vp= λ+2μρ

Paramètres de Lamé (module de cisaillement; la compressibilité du milieu) /ρdensité


• Les ondes P

Sel et Anhydrite: 4.6 – 6.9 km/s

Granites / R. Métam.: 4.0 – 5.8 km/s

Calcaire / Dolomie: 2.7 – 5.2 km/s

Grès / Argile: 0.8 – 3.4 km/s

Eau: 1.45 – 1.5 km/s


• Les ondes S

Vs= μρ

Cisaillement, nul dans les liquides => Pas d’onde S dans les liquides densité

Vs toujours inférieur à Vp => S onde seconde, P onde Première


• Les ondes S

Il existe 2 ondes S :- Sv : Le mouvement des particules est contenu dansle plan vertical, perpendiculairement au sens de propagation- Sh : Le mouvement des particules est contenu dansle plan horizontal, perpendiculairement au sens de propagation


• Les ondes de surface (Rayleigh)

Dans un milieu infini, homogène, isotrope, seulement P et S existent. Cependant quand il y a une surface qui séparent des milieux aux propriétés élastiques différentes, il existe des ondes de surface. Leur amplitude décroît avec la profondeur.

La plus importante en sismique: l ’onde de Rayleigh qui se déplace le long d’une surface libre (air). On l’appelle « Ground Roll ».





- Vr ~ 0.9Vs dans le même milieu

- A un point donné de la surface une particule décrit une ellipse dans le plan vertical xz. L’axe horizontal fait les 2/3 de l’axe vertical. La particule tourne dans le sens anti-horaire pour une onde se déplaçant de la gauche vers la droite.

- L’onde de Rayleigh est dispersive quand la vitesse du milieu varie vite avec la profondeur : les grandes longueurs d’ondes vont plus vite que les courtes longueurs d ’ondes.


• Exemple

Profil

Ondes P(réflexion, réfraction)(

Onde aérienne(340 m/s)

Dispersiondes ondes desurface

La vitesse des ondes sismiques

• Le rapport Vp/Vs

Indétermination

Suivant la composition exacte et/ou la porosité, grès et calcaires peuvent être indifférentiables sur la base de Vp seul.

=> On introduit le rapport Vp/Vs qui ne dépend que du coefficient de Poisson ν.



VpVs

=2 1−ν 1−2ν

ν=λ2 λ+μ

=O .5 VpVs 2−1

VpVs 2−1

ν=−ε yy

εxx

Vp /Vs=3

ν est le coefficient de Poisson : c’est le rapport de la compression dans une direction à l’extension dans la direction perpendiculaire

Si ν = 0.25 (valeur standard si ~ μ) ,

Dans un milieu solide, l'onde P va environ 1.7 fois plus vite que l'onde S



Le rapport Vp/Vs permet toujours de différencier les grès des calcaires grâce aux coefficients de Poisson très différent du quartz (~0.08) et de la calcite (~0.31).




• Effet de la porosité

1Vp

=ΦVf

1−ΦVm

Pour les roches sédimentaires, la vitesse dépend de la porosité de la roche.

Relation de Wyllie :

Vf = Vitesse de l’onde dans le fluideVm = Vitesse de l’onde dans la matrice solide

-> Valable pour une porosité intergranulaire (primaire)-> Moins bonne pour une porosité résultant de dissolution et/ou de fracture (secondaire)

Willie s’écrit aussi : 1/Vp= A + BΦ. Expression simple mais interprétation difficile (B dépend de la géométrie des pores, de la pression, …)


• Effet de la saturation

Vp= K+43

μ

ρ

Vs=μρ

K=1χ=−

1V

∂V∂ P

Si on compare les vitesses Vp et Vs en milieu sec et saturé on observe :Vp(sec) < Vp(saturé)Vs(saturé) < Vs(sec)

Pourquoi ?

On peut écrire :

Coeff. d ’incompressibilité

K augmente en milieu saturéμ constantρ augmente en milieu saturé, moins que K

=>Vp augmente en milieu saturéVs diminue en milieu saturé


• Effet de la saturation

Cas de la saturation incomplète :

Avec une porosité importante, on a d’abord un effet prédominent de ρ, puis K prend le dessus

=> la courbe Vp(S) présente un minimum


• Effet de la température

Les vitesses Vp et Vs diminuent lorsque la température augmente. Mais cette diminution est faible.

En moyenne la décroissance de Vp et Vs n’excède pas 5% pour un ΔT de 100°C.

Si on a fusion, Vs décroît brutalement.


• Effet de la pression

L’effet de la pression est plus important :

- Pression de confinement : à vide, ferme les pores => Vp et Vs augmentent- Pression de pore : effet opposé

=> On a une croissance rapide des vitesses quand la pression augmente tant que les pores ne sont pas fermés. Ensuite, on a une croissance lente.

Principe de Huyghens

• Tout point atteint par l’onde sismique se comporte comme s’il était lui même source d’ébranlement.

– Nous pourrons le prendre comme origine pour tracer des surfaces d’ondes, dont l’enveloppe constitue de front d’onde, surface séparant les milieux en état vibratoire du milieu non encore atteint par l’ébranlement. Une ligne perpendiculaire en tout point au front d’onde est un rai sismique

Principe de Fermat

• Entre 2 points atteint successivement par un front d ’onde, le trajet suivi par le rayon sismique correspondant est tel que le temps de propagation soit minimum.

Principes de propagation

• Loi de Snell-Descartes

sin iV1

=sin tV2

i = r


• Diffraction

– Le schéma précédent n’est valable que si l’interface peut être considéré comme plan. Ceci n’est pas vrai si :

• Le rayon de courbure du réflecteur est plus petit que la longueur d ’onde du signal

• Le réflecteur s’arrête brutalement par exemple par une faille.

– Dans ce cas on observe un nouveau phénomène, le phénomène de diffraction.

• Le point diffractant suit le principe de Huyghens et devient une nouvelle source générant un nouveau front d ’onde


• Diffraction


• Diffraction


• Angle critique

sin ic=V1V2


• Onde directe, réfléchie, réfractée, réfractée critique et conique:


• Onde directe, réfléchie, réfractée, réfractée critique et conique:

Hodochrones

• Onde directe :

• Onde réfléchie :

• Onde conique :

t1=x

V 1

t2=4h1

2 +x2

V 1

t3=x

V 2

2hcos ic

V 1

Quand x tant vers l’infini, l’onde réfléchie tend vers l’onde directe

Amplitude des ondes

• Contrôlée par plusieurs facteurs :• Atténuation géométrique• Atténuation physique• Les coefficients de transmission et de réflexion

Amplitude des ondes

• Atténuation géométrique :

Du fait de la divergence sphérique, l ’amplitude diminue en raison inverse de la distance parcourue

Front d’onde sphérique :

- On peut montrer que l’énergie est % au carré de l ’amplitude du signal :

E ~ A2

- La surface sur laquelle se répartie l’énergie est % au carré de r :

E ~ 1/r2

=> A ~ 1/r

Amplitude des ondes

• Atténuation physique :

– C’est une perte d’énergie due aux imperfections de l ’élasticité : il y a conversion de l’énergie élastique en chaleur

– On peut montrer que là encore l ’amplitude diminue en raison inverse de la distance parcourue

=> Atténuation physique + géométrique : A~1/r

Amplitude des ondes

• Coefficients de réflexion et transmission

– 2 cas : incidence verticale et incidence oblique

– Incidence verticale • Continuité du déplacement (1)• Continuité des contraintes (2)

Amplitude des ondes


1 => R+T= 12 => ρ1 V 1 1+R =ρ 2 V 2 T

=>

R=ρ2 V 2−ρ1 V 1

ρ1 V 1+ρ2 V 2

T=2ρ1 V 1

ρ1V 1+ρ 2V 2

• Souvent on considère une densité constante et on ne prend donc pas le rapport avec les impédances acoustiques mais simplement le rapport avec les vitesses :

• Souvent V1 ~V2, par exemple V1=2200 m/s et V2=2400 m/s => R =1/23 : Peu d ’énergie réfléchie, beaucoup d ’énergie transmise => Les ondes peuvent pénétrer profondément.

• Quelques valeurs :– Fond de mer : R=1/3– Surface de la mer : R=-1– Forte réflexion normale : R=1/5

Amplitude des ondes

R=V 2−V 1

V 1+V 2T=

2V1

V 1+V 2

Flat / Bright Spot

Sismique 4D: Exemples de l’industrie

Injection souterraine de gaz dans le Galfacs réservoir (mer du Nord) visible dans l’amplitude de la réflexion à l’interface (Statoil).

Injection souterraine d’eau dans le champ de Meren, Nigeria.

Amplitude des ondes


– Incidence oblique • Intervient le phénomène de conversion d ’onde :

– Pi -> Pr, SVr, Pt, SVt– Svi -> SVr, Pr, SVt, Pt

Propagation des ondes sismiques

• Amplitude des ondes

Interactions ondes / milieu

Pourquoi traiter les signaux sismiques ?

Modèle initial Fronts d'onde

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