La Tierra de las Raíces Unitarias Jesús Gonzalo U. Carlos III de Madrid

La Tierra de las Raíces UnitariasLa Tierra de las Raíces Unitarias

Jesús Gonzalo U. Carlos III de Madrid

Por que nos debemos preocupar por la existencia de raíces Por que nos debemos preocupar por la existencia de raíces unitarias?unitarias?

• Crecimiento (check el libro The First Measured Century)

• Predicción

• El efecto de un “shock”

• Regresión espurea

• Resultados asintóticos

• Contraste de raices unitarias

• Problemas de estos contrastes

• Cambios Estructurales

Algunos graficos: InflaciónAlgunos graficos: Inflación

Algunos graficos: Producción

Algunos graficos: Indice de un mercado bursatilAlgunos graficos: Indice de un mercado bursatil

Como modelamos crecimiento?Como modelamos crecimiento?

La mayoría de las series macroeconómicas, GNP, C, I, etc muestran un crecimiento continuado durante el tiempo. Este comportamiento es imposible de ser recogido con nuestros modelos ARMA estacionarios:

)(ˆlim)|()(ˆ

)()(

)(

0

22

lZZElZ

ZVarZE

aLZ

nl

nlnn

iiatt

tt

tZ

tt

Como describimos tendencias como la siguiente?

Como modelizamos el Crecimiento? (cont)Como modelizamos el Crecimiento? (cont)

Dos opciones:

• Un modelo ARMA estacionario con un componente tendencial deterministico (TS=Trend Stationary)

• Un proceso con Raiz Unitaria y una deriva (DS=difference stationary)

t

tcZEaLtcZ ttt )(

ttt aZZ 1

1. Componente Tendencial Deterministico

2. Tendencia Estocastica. Proceso de Raiz Unitaria

tcZEaLtcZ ttt )(

ttt aZZ 1

21

0

1

0

21

0

2

0

1

00

210212

101

)(),cov(

var

?0......,

................................................

2

a

t

jjt

t

jjttt

a

t

jjttt

t

jjtt

taaEZZ

tat

ZatZZ

aaZaZZ

aZZ

Paseo Aleatorio con deriva

1:con comparado grande para

)()(

)(22

2

t

tt

t

aa

a

tt

Como relacionamos los procesos 1. y 2. ?

ttt

tt

aZZ

aLtcZ

1.2

)(.1

PredicciónPredicción

Tendencia Deterministica (TS):

t

tal

alnln

lnlnnlnln

nlnln

lnln

tt

Z

aLMSE

lZZEMSE

aaaale

aalnclZ

aLlncZ

aLtcZ

deia estacionar parte

)(var....)1(lim

)...1())(ˆ(

....)(

....)()(ˆ

)()(

)(

222

21

221

22

21

2

112211

11

Predicción (cont)Predicción (cont)Raiz Unitaria:

........

....)|(

.........

......)|(

)|(......)|()|()|(

......

).....()()(

...)(ˆ

)()1(

121

11

121

1111

11

11

1211

11

nl

nllnnln

nnn

nlnlnlnlnln

nnnnlnnlnnln

nnlnlnln

nnnlnlnlnlnln

nlnln

t

Z

t

a

aZlZE

Zaa

aaaaZE

ZZEZEZEZE

ZZZZZ

ZZZZZZZZ

aalZ

aLZL

t

Predicción: EjemplosPredicción: Ejemplos

nnnln

ttt

nnln

tt

aZlZE

aaZL

ZlZE

aZL

)|(

0...;)1(.2

)|(

0....)1(.1

3211

21

Error de Predicción

2

2221

21

2

112122111

1122111111

11

)(ˆlim

.....)1()1(1)(ˆ

)...1(......)1()1(

.....)....()....(

)())1(ˆ(....))1(ˆ())(ˆ(

)(ˆ)(

lZZE

lZZE

aaaa

aaaaaaa

ZZZZlZZlZZ

lZZle

nlnl

anln

nllnlnln

nnllnlnnllnln

nnnnnlnnln

nlnn

(l elementos en la suma)

Predicción: Ejemplos (cont)Predicción: Ejemplos (cont)Ejemplo

ARIMA(0,1,1)

22

221

21

2

11

)1)(1(1

)1(....)1(1)(ˆ

)1(

a

anln

ttt

l

lZZE

aaZL

El efecto de un shockEl efecto de un shock

Shock Transitorio:

Shock Permanente: 0tahtZ

h

0tahtZ

h

Ejemplos:

(1)

h cuando 0

....Z

Z

1||

...22

1ht

...22

1t

1

h

t

ht

th

hththt

ttt

ttt

a

Z

aaaa

aaa

aZZ

t

ht

a

Z

El efecto de un shock (cont)El efecto de un shock (cont)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

T-1 TT+1

T+2T+3

T+4T+5

T+6T+7

T+8T+9

T+10T+11

T+12

e

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

T-1 TT+1

T+2T+3

T+4T+5

T+6T+7

T+8T+9

T+10T+11

T+12

y

Funcion Respuesta a un impulso unitario en el shock de un AR(1) process yt = 0.8 yt-1 + et


El efecto de un shockEl efecto de un shock(2)

h as 0h1tahtZ

....ta...2hta1htahtahtZ...2ta1tatatZ

| ta1tZtZ

(3)

0)1(tahtZ

hta)L(~

L1hta

)1(htZ

ta)L(~

L1ta

)1(tZ

ta)L(~

)L1(ta)1(ta)L(tZ)L1(

t

ht

a

Z


Q1: Calcular el efecto de un impulso en la perturbación at en el siguiente modelo TS:

tttt aLuutcZ )( donde

t

ht

a

Z

Regresión EspuriaRegresión Espuria

Considera dos paseos aletorios independientes:

0,01

1

kttkttstttt

ttt

vEvuEustvEuvxx

uyy

Por construcción no hay ninguna relacion entre las variables x e y.Considera la regresión

ttt xy e

Q2: Que valores esperas que tomaran las estimaciones de y y sobre el R2? La respuesta la semana que viene.

Algunos Resultados AsintóticosAlgunos Resultados Asintóticos

Considera el caso de

t

t

ttt

t

t

ttt

y

y

y

yyOLS

12

1

12

1

ˆ:e

11 e ttt yy

Asintoticamente (CLT) de clases anteriores:

)1,0()ˆ( 2 NT

Algunos Resultados Asintóticos (cont)Algunos Resultados Asintóticos (cont)

Cuando el resultado asintotico no es valido para realizar inferencias porque

1

degenerada ióndistribuccuna tieneˆ

0)1ˆ(0)ˆvar(

T

Que hacer cuando ?1

Fuller - Dickeyde tribucción Dis

:standard-no ióndistribuccuna tiene

t

t

ttt

t

t

ttt

y

y

y

y

12

1

12

1

1ˆ:1under ;ˆe

e

tt

ttt

yT

yT

T2

12

1

1

1

)1ˆ(e

t

ttyT

?1

1e)1,0(),0(

0.....

2

011

Nt

ytNy

yy

tt

ttt

eee

12

11

1

2

1

2

11

2

1

2

11

2

1)(

2

1)(

2

1

)(2

1

2)(

2112

(por LLN)

2

2

2

12

221

220

221

221

21

221

211

221

2

221

e

e

e

ee

eee

ee

eee

D

ttt

tt

T

ttt

ttT

ttt

ttT

tt

t

t

tt

ttt

ttttt

ttttttt

yT

TT

yy

T

Ty

Ty

T

yyyyy

yyy

yyyy

?1

12

2

t

tyT

cero. es no limite el ena la varianz porquealeatoria variable

unaa esia convergencla estohacer Al . Tpor suma la dividir que tenemosque asi

T )1)(1()3/1()(

2

)1()1(

)1()var())1(,0(

2

2221

2

221

21

2

21

221

OrderttttyVar

TTtEyyE

tytNy

t

t

t t

t

t

t

tt

En resumen, el estadistico

t

t

ttt

yT

yT

T1

22

1

1

1

)1ˆ(e

tiene una distribucción no-standard conocida como distribucción de Dickey-Fuller que esta dominada por la chi-cuadrado del numerador.

Podemos construir un pseudo-t estadistico como

1

1ˆ

ˆ1ˆ

2

2

21

22ˆ

ˆ

T

sy

st tt

tt

e

ee

Este pseudo-t test no tiene la distribuccion lilmite Gaussiana usual

-1.95

5%

%5)65.1(

%595.1ˆ

1ˆ

ZP

P

Distribucción Dickey-Fuller

Distribucción normal.Se rechaza la raiz unitaria demasiadasveces si usasemos la normal.


Las distribuciones asintoticas se pueden escribir de forma mas compacta

e

1

0

2W

)12)1(W)(2/1(1

0

2W

1

0

WdW

t

21ty

2T

1t

t1tyT

1

)1ˆ(T

2)dr2)r(W(

)12)1(W)(2/1(

2)dr2)r(W(

WdW

ˆˆ1ˆ

t


donde W(r) es un Movimiento Browniano (vease los applets de esta leccción).Un Movimiento Browniano se define por las siguientes propiedades:•W(0)=0•W(t) tiene estacionarios e independientes incrementos y para todo t and s es tal que para t>s tenemos W(t)-W(s) is N(0, (t-s))•W(t) es N(0,t) para cada t•W(t) sus trayectorias con continuas.

Contraste de Raices Unitarias (contraste DF )Contraste de Raices Unitarias (contraste DF )

Problema: Los contrastes de raices unitarias son condicionales a la existencia de regresores deterministicos y vice-versa.

Reparametrización del modelo

eidad)(stacionar0:

unitaria) (raiz0:

)1(

1

0

11

111

eee

H

H

yyy

yyyy

ttttt

ttttt

Dickey-Fuller considera tres modelos de regresión diferentes:

ttt

ttt

ttt

yty

yy

yy

ee

e

1

1

1

)3(

)2(

)1(

RM3regresion

RM2regresion

RM1regresion

0:

0:

1

0

H

H

ttt

ttt

ttt

tt

tt

ytyRM

yyRM

yyRM

yDGP

y

ee

e

ee

1

1

1

)3(

)2(

)1(

Fuller-Dickey de contraste el para sregresione Tres

:2

:DGP1

:considerar a process) generating (data DGPs Dos

05.0)41.3t(P

05.0)86.2(P

05.0)95.1(P

05.0)64.1e(P

Contrastando por Raices Unitarias: DF testContrastando por Raices Unitarias: DF test

En clase se demostrará via simulaciones que:

El contraste DF en la RM1 NO es invariante a las condiciones iniciales.

El contraste DF en la RM2 NO es invariante a los valores de la deriva.

El contraste en la RM3 es invariante a las condiciones iniciales y a la deriva.

Diseña una estrategia para contrastar raices unitarias en las dos variables de tu proyecto empirico. En clase se recomendara:RM3 si se rechaza se para, si no se rechaza se contrasta existencia de deriva (regresando (1-L)yt sobre constante). Si existe se para. Si no existe se realiza contraste en RM2.

Contraste de Dickey-Fuller AumentadoContraste de Dickey-Fuller Aumentado

Los resultados previos solo son validos cuando el termino error et es iid.

Si este no es el caso, por ejemplo si et sigue un proceso lineal:

entonces se puede probar que podemor re-escribir la regresion del contraste de DF

añadiendo retardos de los incrementos de (1-L)yt-1 hasta que el termino de error llega a ser iid. Esto resuelve el problema y la estrategia es la misma que en el caso anterior.

ta)L(t e

t

p

iititt ayyty

11

Q3: Piensa en dos formas diferentes de elegir el orden “p” correcto.

Q4: Discute brevemente por que tratamos como nula el caso de raíz unitaria (no-estacionareidad) en vez de tratar la nula de estacionareidad.

Q5: A partir de ahora vas a oír, leer, muchas veces que los contrastes de raíces unitarias no tienen potencia. Que crees que pasa con los demás contrastes? Algún comentario.

Cambios Estructurales versus raíces Cambios Estructurales versus raíces unitariasunitarias

Se discutirá en clase.

Una referencia es la Parte IV de “Unit Roots, Unit Roots, Cointegration and Structural ChangeCointegration and Structural Change” por Maddala and Kim. Cambridge University Press 1998.

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