LABORATORIO No.2

TAPÓN CÓNICO

Alejandro García Ramírez

Luis Alejandro Tamayo Uribe

Napoleón Ruiz Rave

Mecánica de Fluidos

Profesora

Jennifer Montaño Muñoz

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLIN

FACULTAD DE MINAS

ABRIL 2013

1. Objetivos

Poner en práctica los conceptos vistos en clase a través de un experimento de tapón cónico. Identificar y analizar el efecto de las fuerzas hidrostáticas en un sistema en equilibrio. Analizar un modelo idealizado y compararlo con una serie de datos obtenidos experimentalmente. Utilizar herramientas estadísticas para analizar fenómenos físicos y determinar sus márgenes de incertidumbre.

2. Marco teórico

La estática de fluidos trata de los problemas relacionados con los fluidos en

reposo. En la estática de fluidos no se tiene en cuenta el movimiento relativo entre

capas adyacentes del fluido y, por lo tanto, no se tienen esfuerzos cortantes

(tangenciales) en este que traten de deformarlo. El único esfuerzo que se trata en

la estática de fluidos es el esfuerzo normal, el cual es la presión, la variación de

esta solo se debe al peso del fluido.

La descripción completa de fuerza hidrostática resultante que actúa sobre una

superficie sumergida demanda determinar la magnitud, la dirección y la línea de

acción de la fuerza.

Los principales principios que utilizamos son el de pascal y Arquímedes donde

pascal dice que la presión ejercida por un fluido incompresible y en equilibrio

dentro de un recipiente de paredes indeformables se transmite con igual

intensidad en todas las direcciones y en todos los puntos del fluido y Arquímedes

dice que un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido en reposo, recibe

un empuje de abajo hacia arriba igual al peso del volumen del fluido que desaloja.

Primero se debe calcular la fuerza hidrostática resultante FR que actúa sobre la

superficie del tapón que para esto debo hallar sus componentes (FH y FV) cada

una por separado. Para esto se considera un diagrama de cuerpo libre del tapón.

Figura 1. Diagrama de cuerpo libre.

Muestre que aplicando el equilibrio estático al tapón cónico se obtiene una relación

para la Hc de la siguiente forma:

(

) *

(

)

( )

+

Asumiendo que la temperatura es constante y por tanto la densidad del fluido no

cambia:

Fuerzas hacia abajo, se tiene el peso del tapón y el peso del fluido encima del

tapón:

( ) (

)

Fuerzas hacia arriba, se tiene la boyancia, la tensión y la fuerza de fricción entre el

cono y el orificio:

, donde: (

)

Como se tiene poleas ideales (no existe fricción), la tensión T es el peso de la tara

más los pesos metálicos.

T = w

*

( )

+

Sustituyendo:

[ (

)]

*

( )

+

Igualando y despejando Hc obtenemos:

* (

)+

*

(

)+

*

(

)+ (

)

Finalmente se obtiene:

(

) *

(

)

( )

+ ( )

En el diagrama de cuerpo libre es posible ver que la fuerza f corresponde a la fuerza de

fricción que ejerce el orificio sobre el tapón cónico.

Montaje

Un tapón cónico de diámetro D, peso W y altura L se coloca de manera invertida en el fondo de un depósito tapando un orificio de diámetro d. De la base del tapón se coloca un cable que se hace pasar por un sistema de poleas de tal manera que al otro extremo se sostenga un plato (tara) con diversos contrapesos. El recipiente se llena con agua hasta una altura Hc, medida desde el fondo del depósito, hasta que rompa el equilibrio estático y permita la salida del fluido (agua). El tapón, en el instante antes de su liberación, produce la acción de las siguientes fuerzas: peso W del tapón, la tensión en el cable (asumida igual al peso de la tara y los contrapesos colocados sobre ella), el empuje hidrostático sobre las caras del tapón, y una fuerza actuando entre las superficies de contacto entre el tapón y el orificio en el fondo del depósito (fuerza de fricción). Para varios contrapesos colocados en la tara, medir la altura Hc a la cual se rompe el equilibrio estático sobre el tapón.

Figura 2. Montaje del experimento.

3. Datos preliminares

Tabla 1. Datos del nivel del agua y peso correspondiente

Hc [m] w [N]

0,495 8,3130

0,465 7,3350

0,432 6,3570

0,368 5,3790

0,306 4,4010

0,265 3,4230

0,236 2,4450

0,198 1,4670

0,128 0,4890

Tabla 2. Condiciones del ensayo

Altura tapón L [m] 0,369

Diámetro tapón D [m] 0,102

Diámetro orificio d [m] 0,055

Densidad agua ρ [Kg/m3] 998,2

Gravedad g [m/s2] 9,78

Peso tara Wtara [Kgf] 0,0975

Peso Tapón Wtapón [Kgf] 0,3259

4. Cálculos y resultados

Usando los pares de valores (Hc, w), halle f

Teniendo en cuenta la expresión (1) se considera una regresión lineal simple de la forma

( )

Donde

*

(

)

( )

+ ( )

Sean x = w; y = Hc. Se realizan los cálculos estadisticos para determinar los

parametros de regresión α y β con su respectiva incertidumbre en base a las

siguientes expresiones:

Expresiones para estimar el valor de los parametros de regresión

∑

∑

∑ ( )

∑ ( )

( )

Expresiones para determinar la incertidumbre de las observaciones

∑ ( )

∑ ( )

∑

(

)

*

( )

+

Tabla 3. Cálculos estadisticos para estimar los parametros de la regresión

Hc [m] w [N] xi² [N²] xiyi [Nm]

0,495 9,267 85,879 4,597

0,465 8,289 68,700 3,854

0,432 7,311 53,444 3,168

0,368 6,333 40,101 2,330

0,308 5,355 28,671 1,659

0,265 4,377 19,154 1,160

0,236 3,399 11,550 0,802

0,198 2,421 5,869 0,489

0,128 1,443 2,081 0,185

μy [m] μx [N] Σxi² [N²] Σxiyi [Nm]

0,322 5,355 315,430 18,205

Con los valores obtenidos de la tabla 3 y las expresiones para estimar α y β se

obtiene:

β = 0,0471 [m/N]

α = 0,0695 *m+

Tabla 4. Cálculos para determinar la incertidumbre de las observaciones

(yi - μy)² (xi - μx)² Syx0²

0,0300 15,3037 0,00156

0,0205 8,6084 0,00109

0,0122 3,8259 0,00076

0,0021 0,9565 0,00056

0,0002 0,0000 0,00050

0,0032 0,9565 0,00056

0,0073 3,8259 0,00076

0,0153 8,6084 0,00109

0,0375 15,3037 0,00156

Sy² Sx² Sxy²

0,0161 7,1736 0,0902

rxy² 0,783

S² 0,0045

Con los resultados obtenidos en la tabla 4 y dada la expresión:

Con para ( ) , se calculan las bandas de

confianza para la regresión.

Tabla 5. Intervalo de confianza para cada una de las observaciones

α + βxi + t(α/2,n-2)*Syx0 [m] α + βxi - t(α/2,n-2)*Syx0 [m]

0,5993 0,4126

0,5381 0,3817

0,4791 0,3485

0,4239 0,3116

0,3744 0,2689

0,3317 0,2195

0,2948 0,1642

0,2617 0,1053

0,2307 0,0441

Figura 3. Regresión lineal w contra Hc con bandas de confianza al 95%

y = 0,0471x + 0,0692

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

0,700

0,000 1,000 2,000 3,000 4,000 5,000 6,000 7,000 8,000 9,000 10,000

Hc

[m]

w [N]

Expresiones para calcular la incertidumbre de los parámetros de regresión

∑ ( )

√

∑ ( )

√

√

De estas expresiones se obtiene la tabla 6

Tabla 6. Cálculos para estimar la incertidumbre de los parámetros de regresión

Sxx 8,198

Sd 0,0126

Δβ *m/N+ 0,0104

Δα *m+ 0,0568

Así:

β = 0,05 [m] 0,01 [m]

α = 0,07 [m] 0,06 [m]

Despejando f de la expresión (3), obtenemos:

[

(

)

]

( )

Usando α = 0,0695 se tiene ft = -3,4798

Ahora despejando f de la ecuacion original (1) y reemplazando los datos Hc y w de

la tabla 3 se obtiene:

* (

)

(

)+ ( )

Tabla 7. Cálculo de la friccion a partir de la expresion (5) y error según ft

fe (N) %error

-2,870 17,51%

-2,588 25,62%

-2,376 31,73%

-2,882 17,18%

-3,342 3,96%

-3,315 4,74%

fe (N) %error

-3,010 13,51%

-2,913 16,29%

-3,559 2,26%

Promedio Promedio

-2,984 14,76%

La fuerza de fricción es negativa porque es en dirección contraria a la supuesta en la

demostración de la expresión (1).

Utilizando la ecuación (2) obtenemos un Hct correspondiente a cada w, este se compara

con los Hc observados en el experimento:

Tabla 8. Diferencia entre Hct y Hc para cada valor de w con su correspondiente error.

Hct (Hc - α - βw) % error

0,51 0,011 2,1%

0,46 0,005 1,2%

0,41 0,018 4,5%

0,37 0,000 0,1%

0,32 0,015 4,8%

0,28 0,010 3,8%

0,23 0,007 2,9%

0,18 0,015 8,1%

0,14 0,009 6,7%

promedio promedio

0,010 3,8%

5. Conclusiones

En la expresión (1) se define Hc como la altura a la cual el sistema pierde el

equilibrio estático, pero las mediciones tomadas en el laboratorio no corresponden

del todo a estas, ya que el contacto del tapón con el orificio se ha perdido por

completo.

Se considera importante tener en cuenta el material del tapón, por ejemplo si es

de un material elástico y al introducirlo en el orificio se pueden generar fuerzas por

expansión del material que no se están teniendo en cuenta en el modelo.

Si se altera la densidad del fluido en un factor λ, el peso del fluido sobre el cono

aumentaría en ese mismo factor, igualmente el empuje hidrostático aumentaría el

factor λ. Sin embargo:

Dada la expresión.

(

)

( )

Si reemplazamos ρ por λρ se tiene:

(

)

( )

De esta expresión se puede concluir que para una densidad λρ se altera la altura

de equilibrio, de modo que si la densidad aumenta la altura disminuye.

Al demostrar la expresión (1) se asume que no hay fuga del fluido por el orificio,

sin embargo al realizar el experimento se da esta situación perdiéndose parte del

empuje y alterándose las fuerzas horizontales, generando un par que es visible

cuando el equilibrio falla empezando a rotar el tapón debido a la fuerza centrífuga.

Además el contacto del tapón con el orificio se ve afectado y por ende la fricción

entre ellos también.

BIBLIOGRAFIA

Mecánica de fluidos – IRVING H. SHAMES tercera edición 1995

Fundamentos de mecánica de fluidos- BRUCE MUNSON, DONALD

YOUNG, THEODORE OKIISHI primera edición

Jiménez Mejía José Fernando, Tratamiento de datos experimentales,

Universidad Nacional de Colombia 2009.

Sotelo A., G., Hidráulica general. Volumen I, Editorial LIMUSA S.A. Sexta

edición, México, 1982.

Carvajal Luis Fernando, Una Guía para el curso de Mecánica de Fluidos,

Universidad Nacional de Colombia, 2012.