LABORATOIRE DE PHYSIQUE DES MATERIAUXfsr.um5.ac.ma/cours/physique/Belayachi/Manuel-TP... · TP 1 : Mesures et incertitudes TP 2 :Les réseaux de Bravais – Réseau direct et réseau

La Physique des Matriaux Travaux Pratiques

Pr. A. Belayachi Sciences de la Matire Physique Semestre 5

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LABORATOIRE DE PHYSIQUE DES MATERIAUX

Introduction

TP 1 : Mesures et incertitudes

TP 2 :Les rseaux de Bravais Rseau direct et rseau rciproque

TP 3 : Les structures usuelles

TP 4 : Dtermination des structures par diffraction des rayons X

TP 5 : Mesure de la conductivit lectrique des matriaux

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Session Automne 2014 2015 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------



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La Physique des Matriaux

Le monde qui nous entoure contient de la matire condense sous de nombreuses formes. On trouve

les matires biologiques, de l'ADN aux enzymes, et les matriaux gologiques, du granit au mica. Il y a

des milliers d'alliages mtalliques et des millions de composs en chimie organique. Tous ces corps

sont forms des atomes d'une centaine d'lments chimiques. Les diffrences observes entre les

diverses formes de la matire condense sont dues aux diffrences dans la distribution des lectrons et

des noyaux et particulirement des proprits des lectrons externes et des atomes ioniss. La

physique des matriaux s'intresse ltude de ces matriaux soit dans ltat naturel dans lequel ils

existent, soit en suivant le processus depuis leur fabrication jusqu leur utilisation finale.

Dans cette srie de travaux pratiques on sintressera dabord ltude des difices cristallins. Nous

verrons quun cristal idal peut tre construit par une rptition rgulire, dans tout l'espace d'units

structurales identiques. Dans les cristaux les plus simples comme le cuivre, l'argent, l'or et les alcalins,

l'unit structurale contient un seul atome. Plus gnralement l'unit structurale contient plusieurs

atomes ou molcules, jusqu' environ 100 dans des cristaux minraux et 104 dans les cristaux de

protines. Dans le cas des matriaux cristallins un langage symbolique a t labor pour dcrire les

structures cristallines. Quelqu'un connaissant le langage de la cristallographie peut reconstruire une

structure cristalline partir de la lecture de quelques symboles.

Dans certaines circonstances, il est possible d'obtenir au microscope une image directe de la structure

d'un cristal. Un microscope lectronique avec un pouvoir de rsolution de lordre de 2 Angstrms peut

distinguer les plans de cristaux laminaires comme le graphite, mais la rsolution du microscope

lectronique ne permet pas pour l'instant la dtermination directe et exacte de structures cristallines

inconnues. Cependant laide du microscope force atomique on peut maintenant effectuer des

relevs topographiques au niveau atomique. La rsolution latrale est donc de l'ordre de la dizaine de

nanomtres, mais la rsolution verticale est par contre de l'ordre de l'Angstrm : on peut aisment

visualiser des marches atomiques sur une surface propre. Les microscopes lectroniques

transmission TEM permettent dobserver larrangement des atomes dans un matriau ou la

morphologie dune nanostructure avec une rsolution de lordre du dixime du nanomtre, voir

dtudier ses caractristiques lectriques ou sa composition chimique.

Pour explorer les structures des cristaux on tudie les figures de diffraction d'ondes qui interfrent

avec les atomes et dont la longueur d'onde est comparable la distance inter atomique. Ltude de la

diffraction des ondes par le cristal permet de dterminer la taille de la maille, la position des atomes et

la distribution des lectrons dans la maille. Dans le cas des systmes bidimensionnels, on utilise la

diffraction des lectrons RHEED (Rflexion High Energy Electron Diffraction) par les atomes du rseau.



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Mesures et incertitudes

1. Utilisation dun multimtre

Les modles de multimtres sont trs varis, nanmoins leurs principes d'utilisation sont assez semblables. Nous avons choisi l'un d'eux pour illustrer la manire de les utiliser en voltmtre, ampremtre ou ohmmtre. Pour les mesures en courant continu mettre le slecteur sur la position DC, alors que pour les mesures en courant alternatif le mettre sur la position AC.

1.1 Mesure d'une tension continue

Placer l'index du slecteur sur le plus grand calibre (1 000 V) de la plage V. Pour mesurer une tension UAB entre les deux bornes A et B d'un circuit, connecter respectivement A et B aux bornes V et COM du multimtre. Le multimtre est alors branch en drivation. Placer ensuite l'index du slecteur sur le calibre juste suprieur la valeur absolue de la tension mesurer: on obtient ainsi une meilleure prcision. La valeur de la tension mesure est algbrique. Un calibre trop petit est signal l'cran par un clignotement ou (et) l'affichage de 1. ou -1.

1.2 Mesure dune intensit de courant continu

- Placer l'index du slecteur sur le plus grand calibre (20 A). Pour mesurer l'intensit I du courant circulant dans la branche AB oriente de A vers B, connecter le multimtre en srie dans la branche AB. Le fil reli A est insr dans la borne 10 A, et le fil reli B dans la borne COM. - Si la valeur absolue de l'intensit est infrieure 200 mA, dconnecter le fil de la borne 10 A, placer le commutateur sur le calibre 200 mA et rebrancher le fil la borne mA. Ajuster ventuellement un calibre infrieur 200 mA. L'appareil signale galement tout dpassement de calibre. Attention : Il faut respecter cet ordre, dbrancher avant de modifier le calibre. L'intensit a une valeur algbrique. Si I > 0, le sens du courant va de A vers B, si I < 0, le sens du courant va de B vers A.

1.3 Mesure d'une rsistance

- Placer l'index du slecteur sur le calibre le plus lev (2000 M) de la plage . - Connecter l'une des bornes de la rsistance la borne COM du multimtre, et l'autre la borne V. Ajuster ensuite le calibre la valeur mesure. - Si la rsistance est insre dans un circuit, on ne peut mesurer sa valeur sans avoir pralablement dconnect au moins l'une de ses bornes. - Lorsqu'il fonctionne en ohmmtre, l'appareil se comporte en gnrateur. La mesure de l'intensit I du courant dans la rsistance et de la tension ses bornes permet d'en dduire la valeur de la rsistance par le calcul du rapport :

=

Attention : Il ne faut pas laisser l'appareil fonctionner longtemps en ohmmtre cela puise ses piles.

1.4 Arrt de l'appareil

En fin d'utilisation, dbrancher l'appareil du circuit et replacer l'index du slecteur sur la position OFF.

2. Incertitudes de mesure

2.1 Mesure physique et erreur

Il est impossible de mesurer exactement la valeur d'une grandeur physique. La mesure est toujours entache d'erreurs, due l'instrument de mesure utilis et son protocole d'utilisation. Les caractristiques d'un instrument de mesure sont :



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La fidlit: un instrument de mesure est fidle si ses indications sont les mmes quand il mesure plusieurs fois une grandeur de mme valeur. La justesse: l'appareil doit avoir t talonn rigoureusement, sinon les mesures effectues seront fausses. La sensibilit: c'est la plus petite variation de la grandeur mesure que l'appareil peut dtecter. Par exemple, une rgle gradue en millimtres est plus sensible qu'une rgle gradue en centimtres. Une exprience comporte souvent des mesures qui se traduisent par un rsultat. Ce rsultat nest jamais rigoureusement exact. Lutilisation dappareils de mesure entrane des erreurs dincertitude qui peuvent tre divises en deux catgories : les erreurs systmatiques et les erreurs alatoires. Les erreurs systmatiques sont dues au dfaut de justesse de lappareil, la drive du zro, lerreur de parallaxe (appareils aiguilles). Elle tient compte de lerreur due la mthode de mesure, du fait de lintroduction des appareils dans le montage choix du montage convenable en courte drivation (aval) ou longue drivation (amont) pour les mesures avec voltmtre et ampremtre. On peut toujours dans ce cas effectuer une correction si l'on connat les caractristiques spcifiques des appareils. Les erreurs alatoires et fortuites sont imprvisibles et non rptitives, elles sont dues au dfaut de fidlit de lappareil (vtust, frottements mcaniques, temprature, humidit). Par exemple lincertitude commise sur la mesure dune grandeur laide dun appareil lectrique gradu se dtermine laide de la classe de la prcision donne par le constructeur:

=

100

Lorsquon utilise un appareil numrique la prcision de lecture sur une grandeur est donne par:

= % + 1 UL

% est un pourcentage donn par le constructeur, si rien nest indiqu on prendra 0,5%, 1 UL est une unit de lecture qui dpend du calibre choisi. Par exemple pour U = 2,127 V, 1 UL = 1 mV.

2.2 Incertitude type sur une grandeur

2.2.1 Type dvaluation

Lincertitude type sur une grandeur mesure est la diffrence entre la valeur exacte e (inconnue) de la grandeur et la valeur donne par une mesure. Elle est note (ou parfois () de langlais ). Lvaluation de lincertitude sur la mesure peut tre de deux types. Type A : valuation de lincertitude en effectuant un grand nombre de mesure suivi dun traitement statistique. La valeur mesure est la moyenne des mesures, et lcart type renseigne sur la dispersion des rsultats, donc sur lerreur commise. Type B : valuation non statistique, par exemple lors dune mesure unique. Il faut valuer lincertitude laide de la prcision des appareils, des erreurs de lecture, de point etc.

2.2.2 Loi de distribution des erreurs Des mesures indpendantes dune gradeur physique se rpartissent selon une loi de distribution gaussienne du type :

() =1

2 (

( )2

22)

: est la moyenne des mesures et lcart type.

2.2.3 Intervalle de confiance La probabilit quune mesure soit dans lintervalle [ ; + ], avec rel positif est donne par :

()+

Lintervalle [ ; + ] est lintervalle de confiance, pour le niveau de confiance choisi. - Si = 1, on trouve une probabilit de 68% . - Si = 2, on trouve une probabilit de 95% . - Si = 3, on trouve une probabilit de 97,4% .

En gnral on travaille plutt 2, soit une probabilit de 95%.

2.3 Prcision

Elle est reprsente par lincertitude relative

gale au quotient de lincertitude type par la valeur fournie par la

mesure. Elle est exprime en pourcentage. Plus lincertitude relative est petite plus la prcision est grande.

2.4 Estimation pratique de lincertitude type

2.4.1 Evaluation des incertitudes sur une srie de mesures (type A)

Soit 1, ..., n, les valeurs mesures. La valeur moyenne est note m et la confiance accorder ce rsultat est value laide dun nombre appel lcart type n-1



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=1

=

=1

1 = 1

1( )

2

=

=1

Lcart type permet de fixer un intervalle centr sur la moyenne dans lequel on a une certaine chance de trouver la valeur cherche. Cest lintervalle de confiance un taux de confiance choisi. Les bornes de lintervalle de confiance dpendent du nombre de mesures et du choix de taux de confiance et sont gales :

= 1

est un coefficient issu de la loi de Student, dpend de et du taux de confiance choisi (gnralement 95%). Le tableau suivant donne les valeurs du coefficient pour deux taux de confiance 95% et 99%.

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t95 12.7 4.30 3.18 2.78 2.57 2.45 2.37 2.31 2.26 t99 63.7 9.93 5.84 4.60 4.03 3.71 3.50 3.36 3.25 n 12 14 16 18 20 30 50 100

t95 2.20 2.16 2.13 2.11 2.09 2.04 2.01 1.98 1.96 t99 3.11 3.01 2.95 2.90 2.86 2.76 2.68 2.63 2.57

2.4.2 Evaluation des incertitudes sur une de mesure unique (type B)

Pour une grandeur mesure laide dun instrument gradu par lecture sur une chelle ou un cadran, pour un intervalle de confiance de 95%, lincertitude de mesure est lie la lecture par:

=2

12

Par exemple on mesure le diamtre dun CD laide dune rgle, le rsultat est 12,1 cm, la prcision sur la mesure est:

=

2

121 12

= 0,50%

Lorsque la mesure ncessite une double lecture, les incertitudes lies la lecture peuvent se cumuler ou se compenser, totalement ou partiellement. Pour un niveau de confiance de 95%, lincertitude lie la lecture est estime :

= 2 (2

12)

2

= 2

La mesure de la priode T dun signal priodique affich sur lcran dun oscilloscope ncessite de reprer deux points de la courbe. On a:

= 2 2 0,02

12

Lorsque la mesure est obtenue avec un appareil pour lequel le constructeur indique la tolrance (note ), lincertitude lie la tolrance de cet appareil est estime :

=2

3

On mesure un volume = 10,0 mL laide dune pipette jauge ( = 0,02 mL). Lincertitude sur la mesure du volume lie la tolrance de la pipette est:

=2 0,02

3

=2,310-2 mL La prcision est alors :

= 0,2 %

Remarque : Lincertitude totale lors dune lecture sur un instrument avec tolrance est donne par :

() = ()2 + ()

2 Lorsque la valeur mesure se situe dans un intervalle (mise au point optique appareil photo, lentille, microscope, etc.) on prendra comme incertitude:

() =

12



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Par exemple la mesure de la position OA de limage A dun point objet A travers une lentille convergente se fait en observant la nettet de limage sur un cran, limage reste nette pour une distance 23,1 < OA < 23,6 cm. La valeur moyenne est : 23,35 cm. Lincertitude type est : 0,14 cm. La prcision sur cette mesure est :

()

=

0,14

23,35= 0,6 %

Remarque importante : Lincertitude sexprime au plus avec deux chiffres significatifs.

2.4.3 Incertitudes sur une mesure indirecte

Cest le cas quand la grandeur est dtermine par la connaissance de deux autres grandeurs et tel que

= (, ). Pour calculer lerreur dans une mesure indirecte on dispose de deux mthodes.

Mthode classique

On applique les rgles de calcul diffrentiel la fonction = (, ), en prenant, suivant le cas, des diffrentielles

ordinaires ou logarithmiques. On regroupe les termes relatifs une mme diffrentielle, on remplace les

coefficients par leurs valeurs absolues et les diffrentielles par les valeurs absolues des incertitudes.

Exemple : = (, ) = , alors :

= ||

+ ||

Mthode avec conservation de lintervalle de confiance La mthode prcdente augmente la confiance (vrifiable sur des cas simples). On peut montrer que pour conserver le mme intervalle de confiance, il faut combiner les incertitudes de manire quadratique. Dans le cas de lexemple prcdent :

= (

)

2

+ (

)

2

3. Rsultat dune mesure et chiffres significatifs

Les applications numriques que nous sommes conduits faire en physique font intervenir des donnes qui rsultent le plus souvent de mesures. Ces mesures tant entaches derreurs, la valeur calcule est donc une valeur approche. Avec combien de chiffres, alors appels chiffres significatifs, convient-il dexprimer un rsultat ?

3.1 Nombre de chiffres significatifs

Dans un nombre, les chiffres autres que zro sont toujours significatifs. Les zros sont significatifs lorsqu'ils se trouvent entre d'autres chiffres ou leur droite; ils ne le sont pas lorsqu'ils se trouvent leur gauche. 317,0 : tous les chiffres sont significatifs et la valeur exacte est comprise entre 316,9 et 317,1. 0,00326 : seuls les trois derniers chiffres sont significatifs et la valeur exacte est comprise entre 0,00325 0,00327. Ce nombre peut aussi s'crire, tout aussi prcisment en notation scientifique 3,26 10-3.

3.2 Chiffres significatifs et oprations

Le rsultat d'un calcul ne doit pas tre exprim avec une prcision suprieure celle de la donne utilise la moins prcise. Ainsi, aprs une addition, soustraction, multiplication ou division le rsultat ne doit pas avoir plus de dcimales que le nombre qui en comporte le moins:

220,2 + 968,114 -12,51 = 1175,804 36,54 58,4 = 2133,936 235,45 : 42,3 = 5,56619

le premier rsultat doit tre arrondi 1176 puisque le premier nombre et le dernier ne possde que 4 chiffres significatifs ; le deuxime rsultat doit tre arrondi 2,13 103 ; et le troisime rsultat doit tre arrondi 5,57. Un nombre entier naturel est considr comme possdant un nombre illimit de chiffres significatifs; il en est de mme de son inverse.

2 126,9 = 253,8 2 tant ici un entier naturel, la valeur trouve est correcte puisqu'elle a le mme nombre de chiffres significatifs que lautre nombre. Lorsqu'un calcul ncessite une suite d'oprations, celles-ci sont faites en utilisant les donnes avec tous leurs chiffres significatifs. La dtermination du nombre de chiffres significatifs du rsultat final s'effectue



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la fin de toutes les oprations, en respectant les rgles ci-dessus. Si la valeur ainsi trouve est rutilise dans un calcul, elle ne doit pas tre arrondie.

4. Traitement et exploitation de donnes exprimentales

Lexploitation des rsultats de mesure d'une grandeur g en fonction d'un paramtre x peut se faire en utilisant, soit une mthode numrique soit une mthode graphique. La mthode numrique consiste trouver une relation mathmatique = () entre la grandeur et le paramtre . Dans la mthode graphique on reprsente graphiquement la variation de la grandeur physique en fonction du paramtre . Si la variation () est linaire on utilise lune des mthodes suivantes pour trouver lquation de la droite reprsentant ().

4.1 Droite des moindres carrs Considrons un ensemble de points i(i,i) avec 1 N. Si la variation i=(i) est modlise par une fonction affine :

= + les coefficients et peuvent tre dtermins laide dune simple calculatrice scientifique, une calculatrice graphique ou un tableur (Excel.) :

=(

==1 ) (

==1 ). (

==1 )

( 2=

=1 ) ( ==1 )

2 ; =(

==1 ). (

2==1 ) (

==1 ). (

==1 )

( 2=

=1 ) ( ==1 )

2

4.2 Mthodes numriques Si la variation de la grandeur = () nest pas linaire, ou complexe on fait appel :

- des logiciels informatiques permettant de traiter les donnes laide de tableurs (Excel, ) ; - des logiciels de calcul formel (Mathmatica, Maple, Matlab,).

5. Analyse dimensionnelle

Lquation aux dimensions est la formule qui permet de dterminer lunit dans laquelle doit tre exprim le rsultat dune mesure physique. Cest une quation de grandeurs dans laquelle on reprsente les phnomnes mesurs par un symbole. Une grandeur est un paramtre mesurable qui sert dfinir un tat. La mesure dune grandeur fait appel la mtrologie qui dfinit les rfrences ou talon (Annexe 1). Une unit se dfinie partir dunits existantes appeles talons. Dans le systme international de mesure on dispose de sept talons :

Grandeur dimensionne abrviation Nom de lunit symbole Longueur L mtre m

Masse M kilogramme kg Temps T seconde s

Intensit de courant lectrique I ampre A Temprature thermodynamique kelvin K

Quantit de matire n mole mol Intensit lumineuse J candela cd

Le choix de ces sept grandeurs est une construction historique, les grandeurs ont t choisies depuis le 18 sicle en fonction des besoins et des talons que lon pouvait fabriquer de manire prcise et simple. La dimension dune grandeur est la manire dont se compose son talon partir des sept talons de base. Par exemple la dimension dune vitesse est une longueur divise par une dure quon note :

[] =[]

[]=

= 1

Lunit utilise pour la vitesse reprsente cette quation aux dimensions, cest le m.s-1. Lanalyse dimensionnelle permet de trouver la solution de certains problmes sans avoir rsoudre dquations grce au thorme de Buckingham appel thorme des . Deux exemples clbres sont le calcul de la puissance de la premire bombe atomique et le modle de Kolmogorov de la turbulence homogne isotrope.



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Annexe 1. Systme international de mesure

Grandeur Nom Symbole Dfinition

Longueur mtre m C'est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumire

pendant une dure de 1

299 792 458 s.

Masse kilogramme kg C'est la masse du prototype en platine iridi conserv au Bureau international des Poids et Mesures Svres (Hauts-de-Seine France).

Temps seconde s C'est la dure de 9192631770 priodes de la radiation correspondant la transition entre deux niveaux hyperfins de l'tat fondamental de l'atome de csium 133.

Intensit du courant

lectrique ampre A

C'est l'intensit d'un courant lectrique constant, qui maintenu dans deux conducteurs parallles rectilignes, de longueur infinie, de section circulaire ngligeable, et placs dans le vide produirait entre ces conducteur une force de 2 10-7 Newton par mtre de longueur.

Temprature kelvin K C'est la fraction 1

273,16 de la temprature du point triple de l'eau.

Quantit de matire

mole mol C'est la quantit de matire d'un systme contenant autant d'entits lmentaires qu'il y a d'atomes dans 0,012 kg de carbone 12.

Intensit lumineuse

candela cd

C'est l'intensit lumineuse dans une direction donne, d'une source qui met un rayonnement monochromatique de frquence 5401012 Hz et dont l'intensit nergtique dans cette direction est

1

683 Watt par stradian.

Annexe 2. Constantes usuelles

Constante Valeur Constante Valeur

Llectron volt : 1 eV 1,60 10-19 J Clrit de la lumire: 2,99793 108 m.s-1

Masse de llectron: e 9,10908 10-31 kg Charge lmentaire: 1,60210 10-19 C

Masse du proton p 1,67261 10-27 kg Permittivit du vide: 0 8,85418 10-12 F.m-1

Permabilit du vide: 0 4 10-7 H.m-1 Constante de Boltzmann : 1,38054 10-23 J.K-1

Constante de Planck: 6,62559 10-34 J.s Magnton de Bohr: B 9,27410 10-24 J.T-1

Constante dAvogadro: A 6,02252 1023 mol-1 Constante des gaz parfaits : 8,314 J.K-1.mol-1

6. Manipulation

6.1 Chiffres significatifs

Le paramtre dun rseau cubique peut tre calcul laide de la formule suivante :

=2 + 2 + 2

2

langle de diffraction des rayons X par le plan dindices de Miller , et . Calculer et donner sa valeur en notation scientifique pour les valeurs suivantes :

= 1,541 , = = = 1 et = 29,1.

6.2 Intervalle de confiance sur une mesure

Une srie de mesures sur une grandeur physique donne les rsultats suivants :

1,20 1,31 1,10 1,22 1,35 1,25 1,40 1,15 1,30 1,40

1. Calculer la valeur moyenne de . 2. Calculer lcart type. 3. En dduire lintervalle de confiance sur la grandeur pour les deux taux de confiance 95% et 99%.



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6.3 Calcul dincertitude type

1. On mesure le diamtre dun cylindre laide dun pied coulisse on obtient : 2,576 2,578 cm

Dterminer la prcision sur cette mesure. = 0,02 .

2. On mesure la priode T dun signal laide dun oscilloscope, dterminer la valeur de T et donner sa prcision.

Dure de balayage : 500 s.div-1.

6.4 Analyse dimensionnelle

Effectuer lanalyse dimensionnelle et donner lunit de la grandeur dfinie par :

= 22( 1)2

4003

et tant des entiers naturels, la charge lmentaire en coulomb (C), 0 la permittivit du vide et 0 une longueur sexprimant en mtre (m).

6.5 Calcul dincertitude indirecte

La pulsation dun diple LC scrit :

=1

On donne = 1,00 0,01 H et = 12,10 0,05 nF. Les incertitudes sont dtermines avec un intervalle de confiance de 95%. A laide des rsultats du paragraphe 2.3.3, calculer de deux manires la prcision sur la pulsation . Commenter les rsultats obtenus.



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Les rseaux de Bravais

1. Rseaux de Bravais

1.1 Dfinitions

Un rseau est une abstraction mathmatique. Un rseau est form de nuds de sorte que pour remonter la structure, on associe chaque nud une base (motif). Un motif (ou base) est latome ou groupement datomes constituant lunit structurale affecte un nud du rseau. Cette base doit tre identique en composition, orientation et position des atomes de sorte quune structure peut tre dcompose en un rseau plus le motif. La maille conventionnelle est une maille qui appartient lun des 14 rseaux de Bravais. La maille lmentaire est la plus petite maille que lon peut obtenir. Une maille lmentaire contient un seul nud. Le nombre datomes dune maille lmentaire est donn par le nombre datomes dans la base. Si la maille conventionnelle contient le nombre N de nuds : - N nuds correspond le volume V de la maille conventionnelle ;

- 1 nud correspond le volume Ve de la maille lmentaire. Le volume de la maille lmentaire est donn par :

=

Un plan rticulaire est dtermin par trois entiers h, k, appels indices de Miller. On dtermine les indices de Miller d'un plan de la manire suivante: - On exprime les coordonnes des intersections du plan avec les trois axes (que ces axes soient fondamentaux ou non). - On prend linverse des nombres trouvs et on prend un triplet de nombres entiers (habituellement les plus petits) dans le mme rapport entre eux que ces inverses. Le rsultat est plac entre parenthses (). Si lune des intersections est rejete linfini, lindice de Miller correspondant est nul. Une range [] est toute droite contenant au moins 2 nuds tel quun rseau peut tre group en une srie de ranges parallles note []. La range [] a la coordonne suivant O ; suivant O et suivant O. Les indices dune direction dans un cristal sont exprims par lensemble des plus petits entiers ayant le mme rapport entre eux que les composantes dun vecteur colinaire la direction considre. Dans un cristal cubique laxe est la direction [100]; laxe est la direction [010]. On parle souvent de la direction [] et de ses quivalences ou tout simplement des directions []. Dans les cristaux cubiques, la direction [] est toujours perpendiculaire au plan () possdant les mmes indices, il nen est, en gnral, pas de mme pour un autre systme cristallin. La figure suivante donne quelques exemples de plans et de ranges dans un rseau cubique.

1.2 Rseaux de Bravais bidimensionnels

Rseau Maille conventionnelle

Carr Carr

Rectangulaire simple Rectangle

Rectangulaire centr Rectangle

Oblique Paralllogramme

Hexagonal ou triangulaire Losange 60

1.3 Rseaux de Bravais tridimensionnels

A trois dimensions, il existe 14 rseaux de Bravais. Un rseau est dfini par les vecteurs 1, 2 et 3, nots parfois

aussi, , et , et les angles tels que : = (2, 3), = (3, 1), = (1, 2)

Les quatorze types de rseaux de Bravais peuvent tre groups en sept systmes daprs les sept types conventionnels de mailles : triclinique, monoclinique, orthorhombique, ttragonal, cubique, trigonal et hexagonal.



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Triclinique : a b c Monoclinique P, C: a b c ;

Orthorhombique P, C, I, F: a b c ;

Hexagonal: a = b c ; Ttragonal P,I : a = b c ; Trigonal a = b = c ;

Cubique P, I, F: : a = b = c ; =

a

b

c

a

b

c

a

b

c

a

b

c

a

b

c

a

b

c

a

b

c

a b

c

a

b

c

a

b

c

a

bc

a

b

c

a

b

c

ab

c



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Sur la figure ci-dessus sont reprsents les 14 rseaux de Bravais, les mailles figures sont les mailles conventionnelles qui ne sont pas toujours primitives ou lmentaires. La distinction entre les diffrents systmes se fait en donnant les relations qui lient les vecteurs. Les mailles reprsentes dans le tableau ci-dessous sont des mailles conventionnelles. Les notations sont P : primitif, I : corps centr (I de lallemand Innenzentrierte), F : faces centres et C : bases centres.

Systme Nombre de rseaux Nature de la maille

Cubique 3 : P - I - F 1 = 2 = 3; = = = 90 Quadratique - Ttragonal 2 : P - I 1 = 2 3; = = =

Orthorhombique 4 : P - C - I - F 1 2 3; = = = Monoclinique 2 : P - C 1 2 3; = =

Triclinique 1 : P 1 2 3; Rhombodrique ou Trigonal 1 : P 1 = 2 = 3; = = ; < 120

Hexagonal ou triangulaire 1 : P 1 = 2 3; = = ; = 120

Dans le systme Cubique, on trouve trois rseaux : le rseau cubique simple (P) dont la maille est lmentaire, le rseau cubique centr (I) et le rseau cubique faces centres (F). Dans le systme Ttragonal ou Quadratique, la maille la plus simple est un prisme base carre ; cette maille est lmentaire. Un autre type existe avec une maille centre (I). Dans le systme Orthorhombique, il y a quatre types rticulaires : un rseau dont la maille est lmentaire (P), un rseau base centre (C), un rseau centr; et un faces centres (F). Dans le systme Monoclinique, on trouve deux types rticulaires, lun dont la maille est lmentaire (P) et un autre dont la maille est conventionnelle, elle peut tre bases centres (C) ayant alors des nuds au centre des rectangles du plan. Dans le systme Triclinique, on trouve un seul type rticulaire avec une maille lmentaire (P) dont les 3 vecteurs et les 3 angles ont des mesures diffrentes. Dans le systme Trigonal ou Rhombodrique, on choisit gnralement un rhombodre comme maille. Cest une maille lmentaire. Dans le systme Hexagonal ou triangulaires empils, la maille conventionnelle est un prisme droit dont la base est un losange dangle 60. Ce rseau est simple et la maille est lmentaire.

2. Groupe de symtrie

2.1 Dfinition

Le groupe ponctuel de symtrie d'un systme cristallin est le groupe (au sens mathmatique) regroupant l'ensemble des oprations de symtrie qui laissent un nud du rseau invariant. Ce nud est donc situ l'intersection de toutes les oprations de symtrie, dont la translation ne fait pas partie. Il existe 32 groupes ponctuels de symtrie distincts. Le groupe d'espace d'un systme cristallin regroupe l'ensemble des oprations de symtrie du groupe ponctuel, auxquelles s'ajoutent les oprations de translation. Vers 1890, Fedorov et Schnflies indpendamment l'un de l'autre dmontrrent l'existence de 230 groupes, qui reprsentent toutes les combinaisons possibles de rseaux et d'oprations de symtrie. La figure suivante donne la hirarchie des symtries entre les sept systmes cristallins. Chaque groupe ponctuel dun rseau de Bravais contient tous ceux qui peuvent tre atteint partir de lui en suivant la flche.

2.2 Centre de symtrie

Pour un paralllpipde, le centre de gravit est le centre de symtrie (pour toute figure finie, s'il y a un centre de symtrie c'est obligatoirement le centre de masse). Pour un rseau construit par juxtaposition de paralllpipdes, les centres de symtries sont les nuds du rseau, les centres des faces, les milieux des arrtes et les centres des paralllpipdes. La proprit "tout nud du rseau est centre de symtrie" est valable pour tout rseau quel que soit les vecteurs 1 2 et 3 et les angles .

http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_ponctuel_de_sym%C3%A9triehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_%28math%C3%A9matiques%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Sym%C3%A9trie_%28transformation_g%C3%A9om%C3%A9trique%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Translationhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_d%27espacehttp://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Fedorov&action=edithttp://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Schoenflies&action=edit



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2.3 Axe de symtrie

On appelle axe direct dordre n un axe tel que si on applique une rotation du rseau de 2

autour de cet axe, le

rseau reste invariant, il est not . Une rotation inverse est note .

Axe direct dordre 4 dans le cube (AB, BC, CD, DA)

2.4 Plan de symtrie

Une symtrie par rapport un plan passant par un nud est note m. La symtrie inverse, cas de particulier d'une rotation inverse, est forme du produit d'une rotation dangle et d'une symtrie par rapport un plan perpendiculaire l'axe de rotation.

2.5 Cas du systme cubique

La figure ci-dessous donne diffrents plans et axes de symtrie du rseau cubique : la premire range (a) montre les plans parallles aux faces du cube, la deuxime et troisime range (b) donnent les plans diagonaux, (c) les axes quaternaire, (d) les axes ternaires, (e) les axes binaires.



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3. Quelques Caractristiques des rseaux de Bravais

3.1 Taux de remplissage dun rseau

On appelle taux de remplissage le rapport du volume occup par les sphres au volume total.

=

tant le nombre de sphres dans la maille, s le volume dune sphre gal 4

33; tant le rayon de la sphre

et le volume de la maille.

3.2 Existence des sites

Dans le rseau il reste de lespace inoccup entre les atomes en contact. Dans ce volume on peut dfinir des cavits ou sites, lieux o on pourra ventuellement placer dautres atomes. On appelle site ttradrique une cavit situe au centre dun ttradre rgulier dfini par 4 atomes en contact. On appelle site octadrique une cavit situe au centre dun octadre rgulier dfini par 6 atomes en contact.

3.3 Densit rticulaire

On appelle densit rticulaire dun plan () la grandeur note et dfinie par :

=

tant le nombre de nuds contenus dans la surface S.

4. Manipulation

4.1 Rseaux de Bravais bidimensionnels

1. Donner les caractristiques des diffrents rseaux de Bravais bidimensionnels. 2. Dessiner les diffrents rseaux de Bravais bidimensionnels en faisant apparatre les vecteurs fondamentaux de translations et langle entre ces vecteurs. 3. Dessiner la maille lmentaire ou maille de Wigner-Seitz dun rseau bidimensionnel oblique.

4.2 Rseaux de Bravais tridimensionnels

A laide des modles disponibles au laboratoire, identifier et caractriser les diffrents rseaux de Bravais tridimensionnels. On prsentera les rsultats sous forme dun tableau.

4.3 Caractristiques d'un rseau cubique

Pour chacun des rseaux de Bravais cubique simple, centr et faces centres de paramtre a, donner : 1. Le volume de la maille conventionnelle V. 2. Le nombre de nuds par maille N et le nombre de nuds par unit de volume. 3. Les mailles lmentaires et leurs volumes Ve. 4. Le nombre des premiers et seconds proches voisins (PPV, SPV). 5. Les distances entre les premiers proches voisins. 6. Les distances entre les seconds proches voisins. 7. Le taux de remplissage . 8. Les densits rticulaires des plans (100), (110) et (111). 9. Pour le rseau cubique centr donner : - la position ; - le nombre ; - la taille ; des sites ttradriques et octadriques. 10. Pour le rseau cubique faces centres donner : - la position ; - le nombre ; - la taille ; des sites ttradriques et octadriques.

4.4 Elments de symtrie Dfinir le groupe ponctuel dun rseau en prcisant les diffrents lments de symtrie qui le composent. Donner en le justifiant le groupe de symtrie de chacun des quatorze rseaux de Bravais.



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Les structures

1. Structure cristalline

Un cristal physique peut tre dcrit en donnant son rseau de Bravais sous-jacent, ainsi quune description de larrangement des atomes, molcules, ions, etc., lintrieur dune maille primitive particulire. Lorsquon met laccent sur la diffrence entre lensemble des points constituant le rseau de Bravais et un cristal rel (idalis(1) en considrant quil est infini) incarnant ce rseau, on utilise le terme technique Structure cristalline ou rseau motif . Une structure cristalline est constitue de copies identiques de la mme unit physique appele motif ou base, situe sur tous les points du rseau de Bravais (ou de manire quivalente translate par tous les vecteurs du rseau de Bravais). On peut aussi dcrire un rseau de Bravais comme un rseau motif en choisissant une maille conventionnelle non primitive afin de mettre laccent sur des lments de symtrie du rseau. -------------------------- (1)

Un cristal idal peut tre construit par une rptition rgulire, dans tout l'espace, d'units structurales identiques.

Dans les cristaux les plus simples comme le cuivre, l'argent, l'or et les alcalins, l'unit structurale contient un seul

atome. Dans d'autres structures elle peut contenir jusqu' plusieurs milliers d'atomes ou de molcules.

2. Exemple de structure cristalline : le dioxyde de carbone

2.1 Dioxyde de carbone

Le dioxyde de carbone sous forme solide ou glace carbonique appele aussi Carboglace ou glace sche est issue du CO2 liquide sous forme de neige carbonique qui est ensuite compacte pour devenir glace carbonique. Cette glace carbonique se sublime en ne laissant aucun rsidu et produit trs rapidement une grande quantit de froid. Il peut tre utilis : - sous forme de pellets (de la taille d'un grain de riz de 3 mm de diamtre) : essentiellement pour le nettoyage et le dcapage cryognique ; - en sticks (btonnet de 16 mm) : pour la conservation, le transport des produits sous temprature dirige (produits pharmaceutique, transport de surgels, transport d'chantillons, etc.) pour la recherche fondamentale ou applique. - pour la vinification : ralentit la fermentation et vite l'oxydation. - en plaquettes ou en blocs : pour le ravitaillement arien (catering), les traiteurs, les pompes funbres, etc. Le dioxyde de carbone CO2 cristallise sous la forme prsente ci-dessous. Le groupement formulaire est une molcule forme dun atome de carbone et deux atomes doxygne. Les molcules de CO2 se positionnent aux sommets de la maille et aux centres des faces. Le rseau correspondant est cubique faces centres. C'est un cristal molculaire.

3. Structures non cristallines

3.1 Les cristaux liquides

Il existe des liquides, au sens ordinaire de ce mot (substances de faible viscosit, pousant dans un temps court en regard de temps d'observation la forme du rcipient qui les contient) qui prsentent un certain degr d'ordre. Ce sont les "cristaux liquides". Sans entrer dans les dtails des multiples possibilits d'organisation, nous nous contenterons d'en nommer les principales (voir figure 1). Dans tous les cas ci-dessous, ces substances sont constitues de molcules allonges, quasi-rectilignes. Celles-ci peuvent se disposer paralllement (ou presque) les unes aux autres, les centres des molcules ayant une position quelconque : ce sont les cristaux nmatiques. Elles peuvent se grouper par couches d'gales paisseurs, les molcules tant normales aux couches (cristaux smectiques A) ou inclines par rapport celle-ci (cristaux smectiques C). Elles peuvent s'assembler en sorte qu'il existe un plan P auquel elles demeurent parallles, leur direction locale tournant rgulirement autour d'une direction perpendiculaire P : ce sont les cristaux cholestriques. Il est manifeste que les proprits physiques (lastiques, optiques, mobilit des molcules ...) sont, dans tous les cas prcdents, fortement anisotropes.

Figure 1: Trois structures de cristaux liquide

(a)- Structure nmatique. Les molcules sont seulement parallles une direction zz' donne.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cryog%C3%A9niehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Conservation_des_alimentshttp://fr.wikipedia.org/wiki/Vinificationhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Fermentationhttp://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9action_d%27oxydo-r%C3%A9ductionhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Catering



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(b)- Structure smectique A. Les molcules parallles une direction zz', sont en plus rassembles en feuillets - ou plans quidistants.

(c)- Structure cholestrique. Les molcules sont parallles une direction dans un plan = 0, la direction tournant rgulirement lorsque 0 varie.

Le cas le plus frquent est cependant celui o l'organisation, atomique ou molculaire, ne prsente pas d'ordre grande distance. Seul existe un ordre courte distance impos notamment par l'impossibilit de superposer deux atomes (ou deux molcules). Ainsi, pour un liquide suppos monoatomique, un nombre (proche de 12) d'atomes s'agglomrent autour d'un atome donn une distance voisine de la distance interatomique de l'tat solide. Plus gnralement, si l'on prend l'origine des coordonnes sur un atome donn, le nombre d'atomes situs dans l'lment de volume d3 r autour du point r , soit n0 g( r ) d3 r (n0 = densit atomique moyenne) permet de dfinir la fonction de distribution de paires g( r ) qui traduit les corrlations de positions entre atomes. Si le liquide est isotrope, on a g( r ) = g(r). La connaissance complte de la structure atomique implique la

connaissance des fonctions de corrlation 2, mais aussi 3... p ... atomes. Ainsi n g (r ... r ) d r ... d r0p

p 1 p3

13

p est

le nombre d'atomes situs dans les volumes lmentaires d3 r 1 ... d3 r p situs en r 1 ... r p. On sait dterminer exprimentalement les fonctions de corrlation, en tudiant la diffusion d'une onde monochromatique (par exemple rayons X) sur le liquide (prochain T.P).

3.2 Amorphes

Dans certains cas enfin, on peut observer des substances solides (viscosit trs grande) o les atomes (ou les molcules) ne prsentent aucun ordre grande distance mais seulement un ordre courte distance dcrit, comme dans le cas des liquides, par une fonction de distribution. Ce sont les verres ou encore les amorphes. C'est le cas, bien sr, de nombreux silicates. C'est le cas aussi de certains alliages (souvent mtal-mtallode) obtenus par "trempe" trs rapide, par vaporation sur substrat froid, ou par irradiation. Le cas des trempes est le mieux connu : on fait couler l'alliage liquide (par exemple Fe-B ou Fe-B-Si) sur un rouleau tournant grande vitesse. L'alliage se refroidit brutalement en forme de ruban mince qui peut tre amorphe. Ces alliages amorphes, dnus de joints de grains, prsentent dans certains cas des proprits magntiques intressantes et une bonne tenue la corrosion.

Figure 2: Fonction de distribution de paires g(r) dans un solide amorphe. Ici atomes de palladium dans un alliage Pd80Si20

obtenu par refroidissement rapide (106 degrs.s-1) depuis la phase liquide

Un exemple de fonction de distribution de paires, mesure par diffusion des rayons X, pour les atomes de Pd dans un alliage amorphe Pd80Si20 est donn sur la figure 2. On voit clairement l'absence d'atome de 0 2 puis une srie de maxima qui s'estompent peu peu, correspondant la 1re, puis la 2me ... "couche" d'atomes de palladium.

3.3 Cristaux quasi-priodiques

Si on regarde la figure 3, il est clair que les paralllogrammes emplissent le plan en vrifiant les deux proprits ci-dessous : - ils constituent un pavage complet en ce sens que leur juxtaposition couvre le plan sans vide ni superposition; - le pavage ainsi ralis est priodique au sens de l'quation (symtrie de translation).

Figure 3 : Pavage priodique plan. Figure 4 : Pavage de Penrose construit sur deux losanges d'angles

et

.



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A trois dimensions, le pavage priodique le plus simple est obtenu avec des pavs cubiques. On connat cependant des pavages complets qui ne sont pas priodiques. En 1979, le mathmaticien Penrose a propos un

pavage du plan construit l'aide de deux quadrilatres comprenant des angles multiples de

5. De tels angles

interdisent que le pavage soit priodique. Une proprit importante d'un pavage de Penrose est que tout morceau fini de ce pavage est reproduit, en d'autres endroits du plan pav, une infinit de fois ce qui permet de parler ici de quasi-priodicit. Ce concept a t prcis par Duneau et Katz qui ont gnralis toutes les dimensions le pavage plan de Penrose en montrant qu'un pavage quasi-priodique est une projection d'un pavage priodique ralis dans un espace de dimension suprieure. De la mme manire, on peut obtenir un pavage non priodique de l'espace R3 en projetant convenablement un rseau cubique dans R6. Une caractristique remarquable de ces rseaux quasi-priodiques est que leur transforme de Fourier est constitue d'un rseau de points - lui-mme non priodique - dans l'espace rciproque. Si un pavage priodique est muni d'atomes, une exprience de diffraction (par exemples d'lectrons) donne lieu des faisceaux diffracts bien dfinis. Le diagramme de diffraction correspondant manifeste une symtrie d'ordre 5, impossible justifier pour des cristaux. C'est ainsi qu'ont t dcouverts les "cristaux quasi-priodiques", ou quasi-cristaux, dans des alliages mtalliques Al-Mn. On le voit, contrairement ce qu'on a cru longtemps, la priodicit de l'arrangement atomique est une condition certes suffisante pour observer la diffraction, mais non ncessaire.

4. Les nanostructures

Elles dcrivent la structure des nanomatriaux constitus de grains contenant au plus quelques dizaines de milliers datomes et dont les dimensions ne dpassent pas 100 nanomtres. En raison de leurs proprits spcifiques, les nanomatriaux trouvent des applications dans de nombreuses branches de lindustrie. La production dun nanomatriau peut tre dcompose en deux grandes tapes : la synthse des agrgats nanomtriques, puis leur agglomration. Les proprits des nanomatriaux justifient leur dveloppement, aux dpens des matriaux normaux constitus des mmes lments chimiques. Grce aux diffrentes techniques de synthse utilises, on peut en effet obtenir des matriaux plus durs, plus mallables ou encore plus transparents. Outre ces trois proprits caractristiques (duret, mallabilit, transparence), les nanomatriaux offrent dautres avantages dapplications plus restreintes : fonction catalytique, possibilit de prsenter plusieurs couleurs, absorption des ultraviolets, proprits lectromagntiques, etc. Les nanotubes sont forms dun assemblage d'atomes ayant une taille de lordre du nanomtre et une forme cylindrique. Les nanotubes ont t observs la premire fois en 1991 par S. Tijima. Comme les autres objets de taille comparable mais sphriques (fullernes, oignons de carbone), ils appartiennent la famille des nanoparticules. Actuellement les nanotubes les plus tudis sont constitus datomes de carbone, mais il existe des nanotubes en nitrure de bore (azote et bore) ou en nitrure de carbone (azote et carbone). Ils sont constitus de plusieurs couches d'atomes (des feuillets) enrouls sous forme de cylindres. Ces cylindres sont coaxiaux et le plus souvent ferms leur extrmit. Leur diamtre est compris entre 4 et 30 nm et leur longueur est gale ou suprieure au micromtre (millionime de mtre). Lune des mthodes de fabrications des nanotubes de carbone est le dpt chimique catalytique en phase vapeur. Il consiste envoyer dans un racteur une solution contenant du carbone et un catalyseur mtallique. Aprs vaporation et dcomposition, cette solution libre des nanoparticules qui se dposent sur les parois des racteurs. Celles-ci vont ensuite catalyser, partir du carbone de la solution, la formation des nanotubes de carbone comme le montre le schma suivant : injection de la solution ; dcomposition chimique de la solution ; formation des nanotubes de carbone ; croissance des nanotubes de carbone ; rcupration des nanotubes de carbone.

L'intrt port ces nanomatriaux provient notamment de leurs exceptionnelles proprits mcaniques potentielles : des calculs prvoient quun nanotube de carbone serait beaucoup plus rsistant qu'un fil d'acier de mme section. Malgr une rigidit 10 fois suprieure celle de lacier, il est possible de plier en deux un nanotube sans quil se rompe. Les proprits lectriques des nanotubes sont, elles aussi, prometteuses : selon leur forme gomtrique, ceux-ci peuvent tre isolants, conducteurs ou mme semi-conducteurs. Il serait ainsi possible de raliser des circuits lectriques extrmement petits en utilisant ces objets comme des nano-fils lectriques, voire mme des transistors fonctionnant avec un seul lectron. Lutilisation des nanotubes comme mini-canons lectrons permettrait de raliser des crans plats ayant des performances et une longvit hors du commun. Il est possible d'emprisonner des atomes d'autres lments (notamment mtalliques) lintrieur de telles structures, pour les protger dagressions chimiques par exemple.



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Les applications des proprits des nanomatriaux sont nombreuses et se sont rapidement dveloppes. Ainsi, ce qui ntait quun objet de recherche scientifique il y a une vingtaine dannes fait aujourdhui partie de la vie courante, utilis par llectronique, lindustrie automobile, lingnierie biomdicale ou encore les cosmtiques.

5. Manipulation

5.1 Structures cristallines usuelles

A laide des modles disponibles au laboratoire on se propose de dcrire quelques structures cristallines usuelles.

5.1.1 Chlorure de csium CsCl

1. Quel est le rseau de Bravais du chlorure de csium ? 2. Donner la Base associe cette structure. 3. Quelle est la coordinence de cette structure ? 4. On pose :

=+

Sachant + = 169 pm et = 181 pm, en supposant le contact cation-anion dterminer le paramtre de la maille et montrer que :

3 1 < 1 5. Donner lexpression de la compacit C fonction de , , et . Calculer sa valeur.

5.1.2 Structure du Cuivre mtallique

1. Quel est le rseau de Bravais du cuivre ? 2. Donner la Base associe cette structure. 3. Quel est lempilement permettant de dcrire la structure du cuivre. 4. Calculer la compacit de la structure. 5. Calculer larte de la maille cubique dont la densit vaut = 8,96. En dduire le rayon atomique du cuivre.

5.1.3 Chlorure de sodium NaCl

1. Quel est le rseau de Bravais du chlorure de sodium ? 2. Donner la Base associe cette structure. 3. Quelle est la coordinence de cette structure ? 4. On pose :

=+

Donner la condition de stabilit de la structure. 5. Sachant que = 181 pm et + = 95 pm, calculer le paramtre de la maille et la compacit de cette structure. Commenter le rsultat.

5.1.4 Structures diamant et blende

1. Quel est le rseau de Bravais associ aux structures diamant et blende ? 2. Donner la Base associe chacune de ces deux structures. 3. Quelle est la coordinence de cette structure ? 4. Dcrire la structure avec deux atomes identiques (cas du diamant. Calculer la compacit de cette structure. 5. Dcrire la structure avec deux atomes diffrents (cas de la blende ZnS). 6. Quelle est la diffrence fondamentale entre les deux structures ?

5.1.5 Magnsium

1. Quel est le rseau de Bravais du magnsium ? 2. Donner la Base associe cette structure. 3. Quel est lempilement permettant de dcrire la structure du magnsium. Comparer cet empilement avec celui du cuivre. 4. Quelle est la coordinence de cette structure ? 5. Montrer que le rapport des paramtres de la maille est telle que :

= 2

2

3

6. Calculer la compacit de cette structure.

5.1.6 Graphite

Le graphite est la forme hexagonale du carbone (structure diamant). 1. Quel est le rseau de Bravais du graphite ?



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2. Donner la Base associe cette structure. 3. Quelle est la coordinence de chaque atome ? 4. Sachant que = 246 pm et = 670 pm, calculer la compacit de la maille. 5. Pourquoi le carbone diamant est transparent alors que le graphite est noir ?

5.1.7 Structure hexagonale du sulfure de zinc wurtzite

La structure wurtzite est la forme hexagonale de la structure blende cubique. 1. Quel est le rseau de Bravais de la structure wurtzite ? 2. Donner la Base associe cette structure. 3. Donner les caractristiques de la structure hexagonale du sulfure de zinc.

5.2 Les structures dsordonnes

1. Structure microscopique a. Quest-ce quun corps amorphe ? b. Quel paramtre est prendre en compte lorsquon tudie les matriaux lchelle microscopique ? c. Comment le dsordre a-t-il t progressivement introduit pour passer dun matriau cristallin un matriau amorphe ? d. Donner quelques exemples de corps amorphes. f. Dans quelle zone du matriau plastique lordre est-il maintenu ? Dans quelles zones le dsordre est-il install ? g. Expliquer pourquoi les diffrents dfauts sont source de dsordre dans un solide cristallin. 2. Proprits physiques macroscopiques a. Dcrire les proprits mcaniques et chimiques au niveau dun dfaut dans un solide cristallin. b. Quelles proprits distinguent les alliages amorphes mtal-mtallode ? c. Lorganisation au niveau microscopique a-t-elle une influence sur les proprits physiques des matriaux. Justifier en citant un exemple.

3. Proprits physiques a. Quelle proprit physique du benzoate de cholestrol avait surpris Reinitzer et Lehmann ? b. Dfinir ce que sont les cristaux liquides. c. Quelles sont les trois structures des cristaux liquides ? d. Que peut-on dire des proprits des cristaux liquides ? e. Comment peut-on dterminer les fonctions de corrlation des cristaux liquides ? 4. Structure microscopique a. Les phases nmatiques et smectiques sont-elles bien ordonnes ? Justifier. b. Pourquoi peut-on dire que les molcules sont doublement organises dans un cristal liquide cholstique ? c. Quelle grandeur caractrise lordre dans un cristal liquide cholstique ? Quel nom pourrait-on lui donner ? d. Lorganisation des molcules a-t-elle une influence sur les proprits physiques de ces matriaux ? e. Un solide cristallin est trs ordonn, contrairement un liquide. La dnomination de cristal liquide convient-elle ces matriaux ? 5. Rechercher quelques applications des cristaux liquides bases sur leurs proprits optiques. 6. Quelles sont les varits de carbone rencontres dans la nature ? 7. Quest-ce que les nanostructures ? Comment est produit un nanomatriau ? 8. Citer trois proprits qui distinguent les nanomatriaux. 9. Quest-ce que les nanotubes ? Citer une technique de fabrication des nanotubes. 5. Quel est lintrt des proprits mcaniques et lectriques des nanotubes. 6. Justifier pourquoi les nanoparticules de dioxyde de titane principalement de structure rutile sont utiliss dans les cosmtiques de protection solaire.



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Dtermination des structures cristallines par diffraction des rayons X

Le principe de base de ltude de la diffraction est linteraction rayonnement-matire. Dans ce T.P nous allons mettre en vidence comment la distribution des rayons X diffracts par un rseau rigide et priodique datomes rvle les positions de ces atomes lintrieur de cette structure. Les distances interatomiques typiques dun solide sont de lordre de langstrm (symbole , 1 = 10-8 cm). Pour sonder la structure microscopique dun solide laide dune onde lectromagntique, il faut que sa longueur donde soit au moins aussi petite, ce qui correspond une nergie de lordre de 12,3 keV. De telles nergies sont caractristiques des rayons X.

1. Diffraction des rayonnements par les difices cristallins

Trois types de rayonnement peuvent tre utiliss pour la dtermination des structures cristallines: les neutrons, les lectrons et les rayons X. Les neutrons interagissent avec les noyaux. Ce type d'interaction est pratiquement indpendant de l'lment diffuseur. La longueur donde d'un rayonnement neutrons est lie leur nergie par :

() =0,28

()) (1)

Les neutrons, cause de leurs moments magntiques, interagissent avec les moments magntiques permanents des atomes du solide et les mthodes neutroniques sont extrmement valables pour les tudes de structures des cristaux magntiques. La longueur donde d'un rayonnement lectrons est lie leur nergie par :

() =12

()) (2)

Les lectrons sont chargs lectriquement et interagissent fortement avec la matire. Ils pntrent relativement peu dans le cristal. faible nergie , leur profondeur de pntration est trs faible ~ 500 pm, ce qui favorise les lectrons pour l'tude des surfaces, les couches minces, les cristaux trs fins et les gaz. Les rayons X interagissent principalement avec les lectrons lis aux atomes. Ce type d'interaction est donc plus important chez les lments diffuseurs lourds que les lments lgers. Les informations obtenues par les trois types de rayonnement sont complmentaires. Nous nous limiterons ltude du dernier type de diffraction.

2. Loi de diffraction de Bragg

Il existe deux manires quivalentes de voir la diffraction des rayons X par une structure parfaitement priodique, dues Bragg et von Laue. Les deux points de vue sont encore largement utiliss. Lapproche de von Laue qui exploite le rseau rciproque, est plus proche de lesprit de la thorie moderne de ltat solide, mais celle de Bragg est toujours dun usage courant chez les cristallographes spcialistes des rayons X.

2.1 Condition de diffraction de Bragg

Dans des matriaux cristallins, pour certaines longueurs donde et certaines directions incidentes dfinies avec prcision, W. L. Bragg observa des pics intenses de rayonnements diffracts appels pics de Bragg. Il les expliqua en considrant un cristal comme tant compos de plans dions parallles, spars dune distance d (c'est--dire, les plans rticulaires dcrits au premier T.P). Les conditions dobtention dun pic aigu de rayonnement diffract taient : Les rayons X devraient tre rflchis comme dans un miroir par les ions de chaque plan. Les rayons rflchis par des plans successifs doivent interfrer de manire constructive.

Figure 1 Figure 2



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Si on appelle la diffrence de marche entre deux rayons diffracts par deux plans rticulaires spars par une

distance , on aura une interfrence constructive pour un multiple de la longueur d'onde A laide de la figure 1 ci-dessus on montre que la relation de diffraction de Bragg s'crit :

. (, , ). = (3)

Lentier est appel ordre de la rflexion correspondante. On peut non seulement avoir des rflexions dordre lev partir dun ensemble donn de plans rticulaires, mais il faut aussi savoir quil existe de nombreuses faons de dcomposer le cristal en plans, chacune delle produisant de nouvelles rflexions. La figure 2 ci-dessus reprsente la mme portion du rseau de bravais que celle de la figure 1 avec une dcomposition diffrente en plans rticulaires. Sur la figure 2 le rayon incident est le mme que celui de la figure 1 prcdente mais la direction (indique dans la figure) ainsi que la longueur donde (dtermine par la loi de Bragg avec d remplac par d) du rayon rflchi sont diffrentes dans les deux figures. Des rflexions sont possibles, en gnral, quelle que soit la manire de dcomposer le rseau en plans. Pour chaque type de rseau il existe une quation reliant

la distance d(, , ) aux paramtres du rseau a, b, c ainsi quaux indices de Miller () dune famille de plan. Chaque ensemble de valeur de () peut donner lieu ou non une raie lorsquon varie langle dincidence des rayons X. Lexistence et lintensit de chaque raie dpend entre autres dun paramtre important appel facteur

de structure. Il arrive que pour certains plans rticulaires () le facteur de structure soit nul et lamplitude de diffraction aussi. Par exemple, des raies de diffractions correspondantes certains plans () seront prsentes dans le diagramme dun rseau cubique simple mais seront absentes sur le diagramme dun rseau cubique faces centres comme nous allons le dmontrer au paragraphe suivant.

2.2 Facteur de structure et amplitude de londe diffuse

2.2.1 Calcul des facteurs de structure pour le systme cubique

Par dfinition pour un plan dindices de Miller () le facteur de structure s'crit:

(, , ) =

Nj

j

jjjj zkyhxif1

2 exp (4)

La sommation est faite sur les N atomes de la base, j tant le facteur de forme atomique du jme atome de la base (coefficient de diffusion de latome j dont les valeurs se trouvent dans les tables internationales de diffraction des rayons X). Le facteur de structure F n'est pas ncessairement rel. Les valeurs de , , qui annulent le facteur de structure donnent lieu des rflexions non permises. Dans lexpression du facteur de structure nous navons pas tenu compte des extinctions systmatiques. On peut calculer les facteurs de structure pour les solides cristallisant dans le systme cubique ne contenant quun seul type datome : - Cubique simple (P) :

(, , ) = Pour le rseau cubique simple (P) toutes les familles de plans diffractent le rayonnement, il n y a aucune extinction. - Cubique centr (I) :

(, , ) = khif exp1 Pour le cubique centr (I) seuls les plans pour lesquels la somme des indices , , est paire diffractent londe :

+ + = 2 - Cubique faces centres (F) :

(, , ) = hikikhif expexpexp1 Pour le rseau cubique faces centres seuls les plans dont les indices sont de mme parit donnent une intensit diffuse non nulle. A partir des rsultats prcdents on peut tablir un tableau donnant les plans diffractant (, , ) ainsi que la somme 2 + 2 + 2 des indices de Miller du plan pour le systme cubique. On remarque que le premier plan diffractant pour le C.S est (100), (110) pour le CC et (111) pour le C.F.C.

Indices 2 + 2 + 2 C.S. C.C. C.F.C.

100 1 1

110 2 2 2

111 3 3 3

200 4 4 4 4

210 5 5

211 6 6 6

220 8 8 8 8

221-300 9 9



Page 22

310 10 10 10

311 11 11 11

222 12 12 12 12

320 13 13

321 14 14 14

400 16 16 16 16

322-410 17 17

411 18 18 18

331 19 19 19

420 20 20 20

Tableau 2 : Valeurs de + + pour les trois types de rseaux cubiques. Les cases vides reprsentent les extinctions systmatiques (rflexions non permises).

2.2.2 Amplitude de londe diffuse

Lamplitude dune onde diffuse dpend du facteur de structure de ldifice cristallin considr. L'intensit du rayonnement diffus est proportionnelle FF* (F* tant le conjugu de F). Lexpression de lintensit (, , ) de londe diffuse par un plan (, , ) scrit :

A = C. m. L(). P(). A

Vmaille2 (h, k, l)

2 (5)

C : Constante incluant le rayonnement primaire ; m : la multiplicit gale au nombre de feuilles de plans donnant lieu la mme diffraction ; L() : facteur de Lorentz ; P() : facteur de polarisation ; A : Constante dabsorption par lchantillon ; : Volume de lchantillon ; (, , ) : facteur de structure.

3. Dispositifs exprimentaux de diffraction des rayons X

3.1 Mthode de Laue

Un monocristal est maintenu immobile dans un faisceau polychromatique de rayons X. Le cristal diffracte seulement les ondes pour lesquelles la loi de Bragg est vrifie. Cette mthode permet une dtermination rapide de l'orientation et de la symtrie du cristal. On place le film en position B, pour des diagrammes en retour. Cette mthode nest jamais utilise pour dterminer la structure cristalline puisquun plan peut trouver plusieurs longueur donde qui subiront chacune une rflexion dordre dtermin, ainsi une seule tache peut tre la superposition dun certain nombre de rflexions dordres diffrents. Ceci rend difficile la dtermination de lintensit rflchie, et donc la dtermination de la base.

3.2 Mthode du cristal tournant

On fait tourner un monocristal autour d'un axe situ sur le trajet d'un faisceau monochromatique de rayons X ou de neutrons. La rotation amne des plans atomiques diffrents en position de rflexion tel que la loi de diffraction de Bragg est vrifie. Le pinceau de rayons X est diffract par un plan donn quand, au cours de la rotation, langle satisfait lquation de Bragg. Les rayons issus de tous les plans parallles laxe vertical de rotation seront situs dans le plan horizontal. Les rayons rflchis par les plans ayant dautres orientations seront des gnratrices de cnes daxe vertical.

Chambre de cristal tournant Chambre de Debye-Scherrer de diffraction de rayons X

Film A Film B

Echantillon

Rayons X

Goniomtre



Page 23

3.3 Mthode des poudres

Le rayonnement utilis est un faisceau monochromatique des rayons X. Lchantillon est constitu de grains fins dposs sur une lame de verre ou dans un tube capillaire. La mthode des poudres comprend deux variantes.

3.3.1 Chambre de Debye-Scherrer

Un faisceau monochromatique incident frappe soit un polycristal grains trs fins, soit un chantillon finement broy contenu dans un film capillaire. Les rayons sont diffracts par les cristaux formant avec le faisceau un angle qui satisfait la loi de Bragg. Les rayons diffracts sont des gnratrices d'un cne ax sur le rayon incident. L'angle au sommet de ce cne est 2, o est l'angle de Bragg.

3.3.2 Diffractomtre poudre

Le diffractomtre est quip d'une anticathode et d'un dtecteur scintillations (D) asservi au dplacement d'un goniomtre sur lequel est plac l'chantillon. Aprs intgration et amplification, le signal reu commande la dviation Y d'un enregistreur dfilement continu et de vitesse rglable. On obtient ainsi un diagramme I(2) form de pics correspondant aux rflexions de Bragg sur les plans (). Il existe deux types de montages : le

montage et le montage .

4. Application de la diffraction des rayons X la dtermination des phases

4.1 Mthodologie

Le diagramme = (2) de diffraction des rayons X dun chantillon est caractristique de sa phase, cest sa signature.

La dtermination dune phase se fait par utilisation de la base de donnes informatise J.C.P.D.S. (Joint Commitee for Powder Diffraction Standards) environ 250 000 phases pures rpertories 250 000 fiches (avec PDF-4), comme le montre le diagramme suivant :

4.2 Dtermination des paramtres de la maille

La position des pics est lie uniquement aux paramtres du rseau , , , , et ou ceux du rseau rciproque , , , , et A partir du diffractogramme on relve les positions des diffrentes raies et on calcule les distances (, , ) partir de la loi de diffraction de Bragg :

(, , ) =

2

Dautre part (, , ) est lie aux paramtres du rseau rciproque , , , et par la relation suivante :

(, , ) = 1

()2 + ()2 + ()2 + 2 + 2 + 2

(, , )

Structure de la maille :

Positions des pics

Image du rseau rciproque Paramtres du rseau direct

Comparaison des intensits et des positions des pics avec les fiches rpertories

Phase rpertorie Mlange de phases

Phase cristalline nouvelle



Page 24

Le tableau suivant donne le nombre de paramtres dterminer selon la nature du rseau :

Systme Nombre de paramtres triclinique 6 : , , , ,

monoclinique 4 : , , ,

orthorhombique 3 : , ,

Rhombodrique ou Trigonal 2 : , Quadratique-Ttragonal 2 : ,

hexagonal 2 : ,

cubique 1 :

4.2.1 Systme un seul paramtre

Cest le cas du systme cubique :

(, , ) =

2 + 2 + 2

Considrons un diffractogramme contenant N raies de diffraction caractrise chacune par son angle i. Soit 1 la distance inter-rticulaire de la premire raie observe sur ce diffractogramme. Connaissant les rflexions permises pour chacun des systmes P, I et F, laide du tableau 2 du paragraphe 2.2, on peut calculer les rapports :

(1

)2

pour chacun des systmes, ce qui permet dtablir le tableau suivant :

Systme (1

)2

P 1 2 3 4 5 6 8 I 1 2 3 4 5 6 7 F 1 4/3 8/3 11/3 12/3 16/3 19/3

La dtermination du type P, I ou F se fait en calculant les rapports (1

)

2

en comparant les rsultats avec le

tableau prcdent. On remarque quil faut au moins 7 raies pour diffrencier les systmes P et I.

4.2.2 Systme deux paramtres

Cest le cas des systmes hexagonal, quadratique et rhombodrique : la rsolution se fait laide dabaques tel que labaque de HULL. Dans le cas du systme hexagonal :

(, , )

=

1

43

(2 + 2 + ) + 22

2

A laide de labaque on dtermine

et on indexe les raies ; on dtermine ensuite les paramtres et .

4.2.3 Systme plus de deux paramtres

Ce sont les systmes orthorhombique, monoclinique et triclinique : on utilise des logiciels informatiques tel que le logiciel TREOR et AFPAR etc.

5. Description dun diffractomtre standard de rayons X

5.1 Dispositif exprimental

Le dispositif exprimental est compos dun gnrateur de rayons X, de systmes optiques, dun goniomtre, dun dtecteur, dune baie de commande et dun systme dacquisition. Le gnrateur de rayons X est un gnrateur classique branch sur secteur produisant une tension variant entre 25 kV et 40 kV. Lamprage est faible de lordre de quelques dizaines de mA. Les rayons X sont produits en bombardant une anticathode mtallique l'aide d'un faisceau d'lectrons dnergie de lordre de quelques dizaines de keV. Un filament de tungstne est chauff par la haute tension et il y a alors mission dlectrons qui sont acclrs en direction de la cible grce une diffrence de potentiel trs forte. Lenceinte est sous vide. La cible est une plaque de cuivre qui va restituer lnergie reue par les lectrons sous forme de rayons X et de chaleur. Le phnomne est trs thermique il faut donc ncessairement refroidir la cible avec de leau. Le rayonnement obtenu est compos d'un spectre continu d au freinage des lectrons dans l'anticathode sur lequel s'inscrivent des raies trs intenses. Ces raies correspondent l'mission de photons X crs lors des transitions lectroniques comblant dans les atomes les lacunes lectroniques rsultant du bombardement initial.



Page 25

On rend le rayonnement monochromatique grce un monochromateur cristal (Nickel, graphite,). A la sortie du tube le faisceau prsente une lgre divergence, on utilise alors un collimateur pour amliorer la prcision sur la mesure de langle. La rotation du goniomtre permet de dplacer le cristal de telle faon que le faisceau de rayons X vienne le bombarder. On donne ainsi lchantillon toutes les positions possibles et on peut ainsi relever les intensits diffractes grce au dtecteur. Le dtecteur doit rpondre certaines caractristiques, il doit avoir un : - taux maximal de comptage ; - rendement important : efficacit du dtecteur ou rapport du nombre de photons dtects par rapport au nombre de photons arrivs sur le dtecteur ; - bruit trs faible : phnomne parasite ; - temps mort trs faible : temps mis par le dtecteur lorsquil dtecte un photon et le temps mis pour en dtecter un autre. Il existe dans le commerce de nombreux dtecteurs utiliss en diffraction des rayons X. On peut citer les dtecteurs avec cran fluorescent (pas de quantification possible), les films photographiques (trs bonne rsolution mais mthode peu rapide). Ensuite il y a les dtecteurs ponctuels dimpulsion avec les dtecteurs ionisation de gaz, les dtecteurs scintillation et les dtecteurs semi-conducteurs. Enfin il y a les dtecteurs sensibles la position (=dtecteur localisation spatiale) unidimensionnels et les dtecteurs bidimensionnels (dispositif couplage de charge). Dans la plupart des diffractomtres on utilise un dtecteur proportionnel gaz. Les rayons X pntrent dans le dtecteur par une fentre de bryllium et viennent ioniser le gaz de lenceinte qui est de largon. Les lectrons vont tre ainsi recueillis par un photomultiplicateur qui va amplifier le signal grce des dynodes.

5.2. Protocole exprimental et rglages dun diffractomtre standard

5.2.1 Rglages sur le goniomtre

a. On place lchantillon sur le support en maintenant la fixation avec le ressort. b. On place le filtre de Nickel ou autre (selon les disponibilits) devant louverture du tube de rayons X. c. Sur le gnrateur du tube, on applique la tension acclratrice U (selon lexprience cette tension acclratrice peut varier entre 25 et 40 kV) et on impose le courant I du filament (I peut varier de 10 30 mA) d. Juste aprs le tube, on positionne les fentes de divergence douverture. e. Au niveau du compteur on positionne les fentes danalyse d'ouverture choisie (standard 0.2 mm).

5.2.2. Rglages sur la baie de commande

a. Il faut positionner la valeur des angles initial et final souhaits avec les roues dentes (valeurs en 1/100me) et se mettre sur la position "Peak" pour le positionnement du montage la position initiale (en appuyant sur Start). Se mettre sur la position "Iner" (appuyer alors sur Start). Slectionner le temps par pas grce au bouton preset. Slectionner le mode step et auto . Choisir la variation angulaire dsire par pas (en 2/step ) balayage rapide. Indiquer exti et count , puis start . b. Pour le dtecteur, slectionner la discrimination Lower-Level 20%

5.2.3. Acquisition des donnes

a. Pour lenregistreur papier slectionner la vitesse de droulement du papier gal 1 cm/mn pour un spectre classique. b. Le fichier cr pendant les mesures peut tre rcupr directement sur le PC dacquisition ou envoy sur un autre PC de dpouillement.

6. Utilisation de la diffraction des rayons X

6.1 Rgles de scurit

Le rayonnement X ne fait pas parti des rayonnements les plus destructeurs, mais il reste tout de mme un rayonnement ionisant (faible) mais dangereux surtout dans laxe du faisceau. Il est ainsi impratif de toujours manipuler lappareillage de diffraction des rayons X en assurant la scurit des personnes susceptibles davoir un contact avec ce rayonnement. Lappareillage (disponible au laboratoire) est ainsi entour de vitres plombes et la fentre du faisceau se coupe automatiquement lorsque lon essaye douvrir les fentres de scurit alors que le dispositif est en marche.

6.2 Applications pratiques

En pratique il existe de nombreuses utilisations de la diffraction des rayons X : En physique et chimie de l'tat solide, En minralogie : En mdecine : Radioscopie des diffrentes parties du corps humain. En criminologie : la diffraction des rayons X permet de caractriser les pigments, qui sont essentiellement des composs minraux entrant dans la fabrication des peintures ou dautres types dinstruments.



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Dans le domaine des beaux-arts : les tableaux observs aux rayons X rvlent la constitution de la matire, support ou matire picturale. En plus des cristaux simples le centre dintrt actuel de lanalyse des structures par diffraction des rayons X est la dtermination de la configuration de molcules tels que les enzymes dont les masses molaires molculaires sont comprises entre 10 000 et 100 000 g.mol-1, dans certains cas il faut localiser plusieurs milliers datomes dans la maille, donc un nombre au moins gal de raies de diffraction des rayons X est ncessaire, ce qui ncessite lutilisation dordinateurs pour rsoudre le problme.

7. Manipulation Exploitations de diffractogrammes des systmes cubiques

Tous les diagrammes tudis ont t enregistrs avec une anticathode de cuivre de longueur d'onde :

= 1,541 0,001

Pour tous les diffractogrammes on procdera de la manire suivante :

Reprer les diffrentes raies en les numrotant. Dterminer lchelle du spectre. Dterminer langle i pour chaque raie. Les rsultats doivent tre prsents sous formes du tableau suivant :

Raies N 2i i (, , ) () (1

)2

() ()

Calculer les (, , ) laide de la loi de diffraction de Bragg.

En dduire pour chaque raie de numro le rapport (1

)

2

.

A laide du tableau 4 identifier le rseau P, I ou F. A laide du tableau 2 indexer les plans , , . Dduire les valeurs du paramtre du rseau . Calculer la valeur moyenne m et lcart type n-1. Donner le paramtre du rseau sous la forme avec un intervalle de confiance de 95%.

7.1 Chlorure de csium CsCl

1. Quel est le rseau de Bravais du chlorure de csium ? 2. Dterminer son paramtre. 3. Calculer le facteur de structure dun cristal cubique simple form de deux types datomes. 4. En dduire les rflexions permises pour ce rseau. Comparer les rsultats avec ceux obtenus pour le chlorure de csium dans la question 1.



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7.2 Tungstne W

1. Quel est le rseau de Bravais du tungstne mtallique ? Dterminer son paramtre. 2. Calculer le facteur de structure dun rseau cubique centr form dun seul type datomes. 3. En dduire les rflexions permises pour ce rseau. Comparer les rsultats avec ceux obtenus pour le tungstne dans la question 1. Conclure.

7.3 Chlorure de sodium NaCl

1. Quel est le rseau de Bravais du chlorure de sodium ? 2. Dterminer son paramtre 3. Quels sont les ions situs sur les plans (111) et (200) ? 4. Comment peut-on expliquer qualitativement la diffrence d'intensit des raies de diffraction de ces plans ? 5. On appelle et les facteurs de forme atomique des atomes de sodium et de chlore. Comparer alors (pour des angles voisins) les intensits des raies d'indices pairs et d'indices impairs.



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7.2. Influence du facteur de forme atomique

7.2.1 Cas du bromure de potassium KBr

1. Dterminer le rseau de Bravais du bromure de potassium ? Quel est le paramtre du rseau ? 2. Comparer les rsultats avec ceux obtenus pour NaCl.

7.2.2 Cas du chlorure de potassium KCl

1. On remplace latome de brome Br par un autre atome halogne le chlore Cl. A partir du diagramme de diffraction des rayons X dterminer le rseau de Bravais du chlorure de potassium KCl et calculer son paramtre. Comparer le rsultat avec celui de KBr. 2. En calculant le facteur de structure de KCl interprter la diffrence observe entre les rsultats de KBr et KCl.

7.3. Systme non cubique

1. Montrer que le diffractogramme du magnsium ne correspond pas un systme cubique.



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2. Le magnsium cristallise dans une structure hexagonale compacte. Calculer le facteur de structure du magnsium. 3. En dduire les 4 premires rflexions permises pour cette structure. 4. Calculer les paramtres et du rseau.

7.4 Rpondre aux questions suivantes

1. Dmontrer la loi de diffraction de Bragg. 2. Quels sont les diffrents dispositifs exprimentaux utiliss dans la diffraction des rayons X. 3. Quelles sont les diffrentes composantes dun diffractogramme de rayons. 4. Comment sont produits les rayons X ? 5. Quelles sont les qualits requises pour un dtecteur de rayons X. 6. Expliquer le fonctionnement dun dtecteur proportionnel gaz. 7. Citer quelques domaines dapplications des rayons X. 8. Faire le schma synoptique dun diffractomtre poudre. 9. Faire un schma explicatif pour chacune des gomtries et . 10. Quels sont les 4 principaux rglages dun diffractomtre de rayons X standard.



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Mesure de la conductivit lectrique des matriaux

1. Introduction

La matire dans l'tat solide est forme d'atomes lis entre eux dans une phase condense. Dans la plupart des solides, les atomes ou les groupes d'atomes les constituants sont arrangs avec diffrents degrs de symtrie dans des rseaux tridimensionnels. De tels solides sont appels cristaux. Les solides dont les atomes ne possdent pas d'arrangement rgulier sont appels des amorphes ou non-cristaux. Une faon de classer les types de cristaux solides est de considrer la force de liaison liant les atomes entre eux (cours chapitre 4 : la liaison cristalline). Les principaux types de liaisons sont : - les liaisons mtalliques ; - les liaisons ioniques ; - les liaisons covalentes. Il faut remarquer que la distinction entre ces diffrents types de liaisons, pour certains solides, n'est pas toujours facile. Les matriaux possdant une liaison ionique, covalente ou mixte (covalente + ionique) sont des isolants ou des semi-conducteurs intrinsques. En gnral, les isolants tendent avoir une prdominance des liaisons ioniques, alors que les semi-conducteurs tendent avoir une prdominance en liaisons covalentes. Le terme "isolant" est appliqu certains matriaux pour les distinguer des mtaux et des semi-conducteurs. Leur fonction principale est d'isoler un systme lectrique de son environnement. Le terme "dilectrique" est appliqu des matriaux isolants dont les caractristiques entrent comme paramtres dans la description d'un systme lectrique. Du point de vue pratique, les matriaux sont classs en fonction de leur conductivit lectrique.

Matriaux Conductivit S.m-1

Isolants 10-20 - 10-8

Semi-conducteurs 10-7 - 105

Conducteurs 106 - 108

Si la classification des matriaux a t tablie par leur conductivit, il est ncessaire de donner une explication physique des diffrences de conductivit entre les diffrents types de matriaux. Ceci n'est ralisable qu' l'aide de la thorie des bandes dans les solides. Une importante distinction entre les conducteurs, les isolants et les semi-conducteurs est que la conductivit des conducteurs dcrot en fonction de la temprature, alors que celle des deux autres crot en fonction de la temprature.

2. Conductivit lectrique

2.1 Conductivit lectrique des mtaux

A lintrieur dun conducteur en quilibre lectrostatique le champ lectrique est nul. Les porteurs de charge dans la plupart des conducteurs sont les lectrons de conduction. Dans un mtal, en prsence d'un champ

lectrique , la loi d'Ohm s'crit:

= tant la densit de courant lectrique dans le mtal et la conductivit lectrique du mtal, qui est donne par :

=0

2

0: nombre d'lectrons par cm3 ; : charge lmentaire ; : libre parcours moyen ; : la masse de llectron ; : vitesse moyenne due l'agitation thermique des lectrons une temprature donne.

La rsistivit du mtal est linverse de sa conductivit , elle est de l'ordre de 10-8 .m pour les bons mtaux. On appelle lectrons libres des lectrons considrs sans interaction. Lexistence dlectrons libres dans les mtaux peut tre mise en vidence par lexprience de Tolman. Un fil mtallique est mont sur une bobine pouvant tourner grande vitesse autour de son axe. Ses deux extrmits sont relies par des contacts tournant (T) un galvanomtre G (cours modle de Drude). Si la bobine, initialement en rotation grande vitesse, est brusquement arrte, le galvanomtre enregistre, au moment de larrt, un passage momentan de courant lectrique. Tout se passe comme si le fil lectrique constituait une boite lintrieur de laquelle les lectrons libres sont entrans dans le mouvement de rotation. Lors de larrt brutal de la rotation, les lectrons libres continuent leur mouvement par inertie. Cest ce dplacement transitoire quon observe dans le galvanomtre. Dans le modle de Drude on montre que la conductivit lectrique dun mtal simple est donne par :

= 2

est la concentration en lectrons libres ;



Page 31

la charge lmentaire ; masse de llectron ;

le temps de relaxation qui reprsente le temps entre deux collisions des porteurs de charges. On peut estimer des valeurs typiques des concentrations en lectrons :

=

tant la valence du mtal (Ag :1, Cu: 1..). Par dfinition la mobilit est dfinie par:

= 1

=

2.2 Conductivit lectrique des semi-conducteurs

Si le cristal de semi-conducteur est parfaitement pur, on dit qu'il est intrinsque. Il se comporte alors (en l'absence d'agitation thermique) comme un isolant. Compte tenu de la configuration de l'difice cristallin, il est possible de remplacer un certain nombre d'atomes du semiconducteur intrinsque par des atomes ayant sensiblement les mmes dimensions gomtriques, mais de valence lgrement diffrente. De tels corps sont dsigns par impurets du type N, ou encore donneurs, quand ils fournissent des charges ngatives. Si au contraire, on introduit dans le semi-conducteur, pur l'origine, des lments dans les liaisons, et il apparat une liaison non satisfaite, qui se comporte comme une lacune ou un trou, de tels corps sont dsigns par impurets de type P, ou encore accepteurs. Les tableaux suivants donnent les principales caractristiques du semiconducteur intrinsque et extrinsque.

. = 2

2 =

2

= 2(2)

32

3

= 2(2)

32

3

i : concentration intrinsque

g : largeur de bande interdite

: constante de Boltzmann

: Temprature en kelvin

n: masse apparente de l'lectron

p : masse apparente du trou

: constante de Planck

Ge Si

ni 1019 1016

mn 0.55me 1.1me

mp 0.35me 0.55me

Formules relatives au semi-conducteur intrinsque

NA Densit d'accepteurs

ND Densit de donneurs

pA Densit d'accepteurs non ioniss (accepteurs neutres lectriquement)

nD Densit de donneurs non ioniss (donneurs neutres lectriquement)

p + ND nD = n + NA pA Semi-conducteur neutre lectriquement

. = 2 =

2 Semi-conducteur l'quilibre

p + ND = n + NA Temprature suffisante pour que tous les donneurs et accepteurs soient ioniss

p = 2/(ND NA) p n, semi-conducteur fortement dop N

n = 2/(NA ND) n p, semi-conducteur fortement dop P

Concentrations des porteurs dans un semi-conducteur extrinsque

Sous l'action de forces lectriques, dues l'application d'un champ lectrique , les lectrons et les trous se dplacent avec des vitesses apparentes respectives et. En fait, les porteurs de charge sont anims d'un mouvement dsordonn, accompagn de multiples collisions. L'intervalle de temps moyen, sparant deux collisions successives, s'appelle temps de relaxation n ou p, selon que les porteur

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