Laborator 2 SPG

7/16/2019 Laborator 2 SPG

http://slidepdf.com/reader/full/laborator-2-spg 1/8

Laborator 2 - SPG

1

Modelarea şi redarea curbelor parametrice (II)

3. Curbe Bezier

Cea mai cunoscută formă de reprezentare parametrică a curbelor şi suprafeţelor este ceadezvoltată de Pierre Bezier pentru proiectarea caroseriei maşinilor Renault.

Curbele Bezier sunt curbe de aproximare pentru care un segment de curbă este determinatexclusiv de un set de puncte, deci, orice punct de pe curbă poate fi obţinut prin evaluarea unui polinom de forma:

∑==

n

i ii

u f P uQ0

)()( , 10 ≤≤ u , (1)

unde: i P sunt punctele date, numite şi puncte de control ale curbei.

Funcţiile de amestec )(u f i au fost alese astfel încât să îndeplinească următoarele condiţii

geometrice:1) Curba să treacă prin primul şi ultimul punct de control ( 0 P şi n P );

2) Vectorul tangent la curbă în primul punct să fie dat de segmentul01 P P , iar în ultimul

punct de segmentul1−nn P P ;

3) Cerinţa (2) să fie îndeplinită şi pentru derivatele de ordin superior, deci derivata de ordin

2 în 0 P să fie determinată de punctele 0 P , 1 P , 2 P , iar în n P de punctele 2−

n P , 1−

n P , n P .În general, derivata de ordin m într-unul din punctele extreme să fie determinată de 1+m puncte consecutive.

4) Funcţiile )(u f i să fie simetrice în raport cu u şi )1( u− , adică secvenţa punctelor să poată

fi inversată f ăr ă ca forma curbei să fie afectată.

Drept funcţii de amestec pentru curbele Bézier au fost alese polinoamele Bernstein. Deciexpresia polinomială a curbelor Bézier este următoarea (expresie vectorială):

∑=

=

n

i

i,ni u B P uQ0

)()( , 10 ≤≤ u , (2)

unde

( )( ) ( ) inii

nini

i,n uuC uu!ini!

n!u B

−−

−=−

−

= 11)( . (3)

În relaţiile anterioare n reprezintă gradul curbei, respectiv gradul polinoamelor Bernstein.Se observă că pentru funcţii de bază de grad n este nevoie de 1+n puncte de control. De





Laborator 2 - SPG

2

asemenea, din relaţia (1) rezultă că în cazul în care cele 1+n puncte de control coincid, funcţiilede amestec trebuie să îndeplinească relaţia:

1)(0

=

∑=

n

ii u f

. (4)

Curbe Bézier cubice

Curbele Bézier cubice sunt curbe parametrice de grad 3 în care se folosesc patru punctede control 0 P ,

1 P ,

2 P , 3 P . Curba trece prin primul şi ultimul punct şi este tangentă la primul şi

ultimul segment de control (fig.1).

Fig. 1 Curbă Bézier cubică

Funcţiile de bază folosite pentru determinarea curbei (funcţiile de amestec) au expresiile (vezirelaţiile (3)):

.)(

),1(3)(

,)1(3)(

,)1()(

33,3

23,2

23,1

33,0

uu B

uuu B

uuu B

uu B

=

−=

−=

−=

]1,0[∈u (5)

Expresia polinomială a curbelor Bézier este următoarea (expresie vectorială):

33

22

21

30 )1(3)1(3)1()( u P uu P uu P u P u p +−+−+−= . (6)





Laborator 2 - SPG

3

Reamintim că 0 P ,1

P , 2 P şi 3 P se numesc puncte de control, deoarece poziţia lor în spaţiu

influenţează forma curbei. Poligonul obţinut prin unirea punctelor succesive se numeşte poligon

de control sau poligon caracteristic.În figura 2 se reprezintă curbele Bézier modificând punctul de control 1 P , iar în figura 3

funcţiile de amestec Bézier.

Fig. 2 Curbe Bézier şi poligoanele caracteristice

Din figura 2 se observă că modificând un punct de control ( 1 P în figur ă) se modifică toată curba (acesta este principalul dezavantaj).

Fig .3 Funcţiile de amestec Bézier cubice

1





Laborator 2 - SPG

4

Forma geometrică

În relaţiile anteriore s-a folosit forma vectorială pentru curbele Bézier cubice. Formageometrică matricială se obţine în mod similar ca la curbele Coons, extr ăgând vectorul U dinvectorul funcţiilor de amestec. În acest scop relaţia (6) o rescriem:

333232131030)( P B P B P B P Bu p , , , , +++= . (7)

Notăm vectorul determinat de funcţiile de amestec Bézier cu )(u F B şi deci:

)()()()()( 3,33,23,13,0 u Bu Bu Bu Bu F B = . (8)

În relaţia (11) înlocuim funcţiile de amestec şi obţinem:

( ) ( ) ( ) =−−−=3223

13131)( uuuuuuu F B

3232323 33363133 uuuuuuuuu +−

+−

+−

+−

= ⇒

[ ]B

M

U

B M U uuuu F

B

⋅=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−−

=

0001

0033

0363

1331

1)(23 , (9)

unde

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−−

=

0001

0033

0363

1331

B M (10)

este matricea de baz ă Bézier .Deci forma matricial ă geometrică pentru segmentul de curbă Bézier cubică este:

B B G M U u p ⋅⋅=)( , (11)în care

[ ]T

B P P P P G 3210=

(12)

reprezintă vectorul condi ţ iilor geometrice (polinomul de control).

Compunerea curbelor Bézier

În practică nu se folosesc curbe definite prin polinoame de aproximare de grad mai mareca 3, evitându-se creşterea timpului de calcul al punctelor de pe curbă şi apariţia instabilităţilor



Documents

Laborator 2 SPG