Universita degli Studi di Genova

Facolta di Scienze M.F.N.

Corso di laurea in Fisica

LABORATORIO 1-B

Esercizi

Anno Accademico 2006 - 2007

PARTE I: DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA

1. Due amici giocano a bocce. In media il primo boccia bene 3 volte su 5, il secondo 4 voltesu 5. Se effettuano 2 tiri ciascuno, calcolare la probabilita:

a) Che il primo faccia piu bocciate buone del secondo.b) Che la sfida finisca pari.

2. In un casello autostradale passano 300 auto in un ora.

a) Qual e la probabilita di non avere nessuna auto per 30 secondi?b) Osservando il traffico durante un’ora per intervalli di 30 secondi si rimane stupiti se

si trovano 10 intervalli con meno di una macchina? (Giustificare la risposta).

3. Undici amici in campeggio assieme per 8 giorni decidono di sorteggiare ogni giorno tra lorochi deve lavare i piatti. Mettono 11 biglietti con i loro nomi in un cappello, li mescolanobene, ne estraggono uno (il nome scritto sul biglietto e quello di chi lavera i piatti quelgiorno!) e lo rimettono nel cappello. Cosı via per tutti i giorni del campeggio.

a) Che probabilita ha Carlo, uno degli 11 amici, di lavare i piatti per 3 volte?b) Se a Carlo capita di non lavare mai i piatti, si puo giudicare strano questo fatto?

4. Si conosce che sulle strade di una certa regione accadono, in media, 10 incidenti all’ ora.

a) Quanti incidenti ci si aspetta di avere in 10 minuti?b) Qual e la probabilita di non avere nessun incidente in 10 minuti?

5. Se il peso medio delle persone in un condominio e di 68 kg con una deviazione standarddi 6 kg, trovare:

a) Qual e la probabilita che presa una persona a caso questa pesi tra 70 ed 80 Kg?b) Se il condominio possiede un ascensore che trasporta 4 persone e puo sopportare un

peso massimo di 300 Kg, calcolare la probabilita che l’ascensore vada in sovrappeso.

6. Giocando a freccette la probabilita di colpire il bersaglio ad occhi chiusi e pari a 1/4.

a) Se si tenta 7 volte, qual e la probabilita di colpirlo almeno 2 volte?b) Quante volte devo tentare perche la probabilita di colpirlo almeno una volta sia

maggiore di 2/3?

7. Un certo pezzo meccanico viene fabbricato utilizzando un tornio elettronico che produceun pezzo difettoso ogni 200. I pezzi prodotti vengono confezionati in scatole da 50 pezziche, a loro volta, sono imballate in cartoni di 100 scatole. Si determini:

a) la probabilita che in una scatola da 50 pezzi sia contenuto, al piu, un pezzo difettoso.b) la probabilita che 97 scatole di un cartone contengano ciascuna, al piu, un pezzo

difettoso.

8. Trovare la probabilita che, lanciando due dadi contemporaneamente per 5 volte, si presentidopo ogni lancio un punteggio complessivo maggiore di 8

a) esattamente 3 volte.b) per almeno 3 volte.

9. La probabilita che un componente di un apparato duri piu di t ore e data da P (t∗) =∫ ∞t∗ (1/k)e−t/kdt = e−t∗/k, con k = 1500 ore.

a) Calcolare la probabilita che un componente si guasti entro (cioe duri al masssimo finoa) t∗ = 2000 ore;

b) Nell’ipotesi che l’apparato contenga 3 di questi componenti e che la rottura di uno diessi non dipenda da quella degli altri, determinare la probabilita che un componentesi guasti entro le prime t0 = 1800 ore, un altro nelle successive t0 ore ed il rimanentedopo piu di 2 · t0 ore.

10. Si gettano simultaneamente 4 monete. Si calcoli:

a) la distribuzione di probabilita delle teste rappresentadola graficamente utilizzando undiagramma a barre;

b) la probabilita di ottenere almeno 3 teste.

11. Se un’agenzia immobiliare vende in media 3 appartamenti alla settimana, qual e la prob-abilita di venderne:

a) esattamente 9 in tre settimane;b) meno di 2 in tre settimane.

12. Un’azienda ortofrutticola misura la lunghezza della sua produzione di peperoncini. L’is-togramma che se ne ricava e ben descritto da una distribuzione normale con media μ =9.60 cm e varianza σ2 = 4.41 cm2. Calcolare:

a) la percentuale dei peperoncini con lunghezza compresa tra μ − 0.50σ e μ + 1.54σ;b) il numero dei peperoncini con lunghezza compresa tra x1 = 9.00 cm e x2 = 10.00 cm,

sapendo che il valore massimo della distribuzione vale 1150.

13. Dei bigliettini con i nomi, tutti differenti, di undici amici vengono posti, ben mescolati, inun cappello. Si estrae un bigliettino, si legge il nome e lo si rimette nel cappello.

a) Dopo 8 estrazioni qual e la probabilita di avere estratto il nome di Ottavio esattamente2 volte?

b) Quante volte, e con che varianza, ci si aspetta di estrarlo su 80 estrazioni?

14. Una bozza di stampa di 500 pagine contiene complessivamente 50 errori casualmente dis-tribuiti nell’insieme delle pagine. Il correttore di bozze comincia a leggerla; calcolare laprobabilita che:

a) il primo errore si trovi nelle prime 5 pagine.b) il secondo errore si trovi dopo le prime 15 pagine.

15. In accordo con una rilevazione statistica, il numero di casi di annegamento in una citta dimare con un milione di abitanti e di 3 annegamenti/anno. Considerando una citta costieracon 200000 abitanti, qual e la probabilita che avvengano

a) meno di 3 annegamenti/anno;b) tra 4 ed 8 annegamenti/anno.

16. Un’accurata indagine ha stabilito che un principiante ha una probabilita dell’80% di su-perare l’esame per ottenere la patente di guida. Supponendo che tutti i tentativi deiprincipianti siano indipendenti, determinare:

a) la probabilita che un principiante non passi l’esame in due tentativi;b) dopo quanti tentativi ci si aspetta che la probabilita di non passare l’esame sia minore

dello 0.1%.

17. Un assicuratore assicura 10 persone tutte della stessa eta ed in buona salute. Secondo idati rilevati dall’assicurazione la probabilita che una di queste persone sopravviva 30 annidal momento della stipulazione della polizza di assicurazione e pari a 2/3. Determinare laprobabilita che, nei 30 anni presi in considerazione:

a) tutti i 10 assicurati siano ancora viventi;b) almeno quattro di essi lo siano.

18. Un test di esame e composto da 10 quesiti ciascuno avente cinque risposte. Una di questee corretta (e le viene attribuito un punteggio +3), tre sono errate ma non penalizzate(punteggio 0), una e errata e penalizzata (punteggio -1). Uno studente impreparato segnatutte le risposte in modo completamente casuale.

a) Quale punteggio puo sperare di ottenere operando in questo modo?b) Qual e la probabilita che egli ha di superare il test se per superarlo occorre ottenere

almeno 7 risposte esatte, indipendentemente dal punteggio delle rimanenti?

19. Si consideri una variabile aleatoria X che risulta essere minore di 3 nel 10% dei casi emaggiore di 15 nel 6% dei casi. Se la distribuzione di probabilita per questa variabile puoessere assunta gaussiana, determinare:

a) la media e la varianza della distribuzione;b) quante volte, ci si aspetta, in media, di trovare X con un valore compreso tra 5 e 10

su 100 prove.

20. Una macchina fabbrica portasigarette di forma cilindrica con coperchio. I diametri dellascatola e del coperchio sono, rispettivamente, d = (78.0 ± 1.0)mm e D = (80.0 ± 1.0)mme seguono la distribuzione normale.

a) Scegliendo 1000 volte, a caso, una scatola ed un coperchio, quanti coperchi non siadatteranno, in media, alla propria scatola?

b) Qual e la probabilita che su 20 coperchi tutti si adattino alla scatola corrispondente?

21. Le bustine di lievito vanigliato da 16 g vengono prodotte meccanicamente e si puo pensareche la distribuzione del peso del loro contenuto sia bene espressa da una distribuzione diGauss. Per legge e stabilito che il contenuto minimo di una bustina non debba essereinferiore, al massimo, dell’1% del valore nominale.

a) Quale deve essere la deviazione standard del peso delle bustine per avere un rigettodella produzione inferiore del 2%?

b) Se la deviazione standard s fosse uguale a 1 g, su 5000 bustine quante sarebbero lebustine fuorilegge?

22. Da numerose indagini demoscopiche la popolazione di una regione risulta composta per il53% da donne e per il 47% da uomini. Esaminando un campione di 321 persone di quellaregione che si iscrivono ad un concorso di pari interesse per i due sessi, determinare:

a) il numero previsto di maschi ( col suo errore);b) la probabilita che vi siano piu del 57% di donne;c) la probabilita che vi siano 164 donne.

23. Alle elezioni un candidato riceve il 40% dei voti. Si vuole conoscere la probabilita con cuiun sondaggio di opinione su un gruppo di elettori, scelti a caso, avrebbe fatto prevederela maggioranza assoluta (il 50% dei voti piu uno) per quel candidato. Considerate dueeventualita:

a) il gruppo campione sia formato da 100 elettori;b) il gruppo campione sia formato da 300 elettori.

24. Un certo macchinario produce mine per matite. Il diametro delle mine e distribuito nor-malmente con valor medio μ = 0.500mm e deviazione standard σ = 0.005 mm. Sapendoche la tolleranza massima ammessa nello scarto del valor medio e t = 0.008 mm

a) qual e la percentuale di mine che vengono scartate?b) Quante mine occorre produrre per avere in media una partita di 1000 mine buone?

25. Trovare la varianza ed il valor medio della variabile aleatoria X sapendo che:

a) la sua densita di probabilita e:

f(x) =A√x

per 0 < x ≤ 1, 0 altrimenti

b) la sua densita di probabilita e:

f(x) = Bx(1 − x) per 0 ≤ x ≤ 1, 0 altrimenti

c) E piu probabile trovare la variabile aleatoria X tra 0.5 ed 1 nel caso a) o nel caso b)?

Parte I: Risposte

1. a) p =93/625 (15%)b) p = 244/625 (39%)

2. a) p = 0.082 (8%)b) No perche ci aspettiamo un numero medio di intervalli di 30 s con zero macchine pari

a (10 ± 3)

3. a) p = 0.026 (2.6%b) Una persona lava mediamente i piatti per (0.7 ± 0.8) giorni, quindi non deve stupire

il fatto che Carlo non lavi mai i piatti. Inoltre P (0) = 0.47 > P (1) = 0.37

4. a) N = (1.7 ± 1.3) incidenti; ci si aspetta quindi di avere da 1 a 3 incidenti ogni 10minuti.

b) p(0) = 0.189 (19%)

5. a) p = 0.3479 (35%)b) p = 0.0099 (1%)

6. a) p(≥ 2) = 0.556 (56%)b) n ≥ 4

7. a) p = 0.9735 (97%)b) p = 0.2223 (22%)

8. a) p(3) = 0.112 (11%)b) p(≥ 3) = 0.135 (13.5%)

9. a) p = 0.736 (74%)b) p = 0.079 (8%)

10. a) B(0) = B(4) = 0.0625 (6%); B(1) = B(3) = 0.250 (25%); B(2) = 0.375 (38%)b) B(≥ 3) = 0.3125 (31%)

11. a) p = 0.13 (13%)b) p = 0.123 · 10−3 (0.1%)

12. a) p = 0.6297 (63%)b) N = 1147

13. a) B(2; 8, 1/11) = 0.1306 (13%)b) x = 7.27, σ2 = 6.61 e quindi x = (7 ± 3) volte.

14. a) p = 0.39 (39%)b) p = 0.557 (56%)

15. a) p(k < 3) = 0.9767 (98%)b) p(4 ≤ K ≤ 8) = 3.35 · 10−3 (0.3%)

16. a) B(0; 2, 0.8) = 0.04 (4%)b) N > 4.29 cioe N ≥ 5

17. a) p = 0.0173 (1.7%)b) p = 0.9803 (98%)

18. a) N = 4b) p = 8.64 · 10−4

19. a) μ = 8.43, σ2 = 17.72b) n = 43.7

20. a) N = 79.3 (circa 80 coperchi)b) p = 0.19 (19%)

21. a) σ = 0.078gb) N = 2182

22. a) Nmaschi = (151 ± 9)b) p = 0.075 (7.5%)c) p = 0.0351 (3.5%)

23. a) p = 0.0125 (1.2%)b) p = 0.0001 (0.01%)

24. a) p = 0.1096 (11%)b) almeno 1124 mine.

25. a) E(x) = 13 ; V (x) = 4

45

b) E(x) = 12 ; V (x) = 1

20

c) Pa = 0.29 Pb = 0.5: piu probabile nel caso b.

PARTE II: STATISTICA

1. Quattro monete vengono lanciate contemporaneamente per 400 volte. Il numero di testeottenute e cosı ripartito: 0 = 20 volte, 1 = 72 volte, 2 = 168 volte, 3 = 108 volte, 4 = 32volte.

a) Qual e il miglior valore sperimentale, col suo errore, del numero di teste ottenute inun lancio?

b) Quali sono i migliori valori teorici aspettati per il numero di teste e a che livello difiducia si puo affermare che essi corrispondano ai dati sperimentali?

2. Una ditta costruisce circuiti elettronici differenti.

a) Sottoposto a controllo il 7.5% di tali circuiti e risultato difettoso. Il sistema di pro-duzione dei circuiti elettronici e stato allora modificato e controllandone 80, ben 78sono risultati perfetti. Si puo affermare, al 5% di livello di significativita, che ilprocesso di produzione sia stato effettivamente migliorato?

b) Con questo secondo metodo vengono costruiti 2400 apparati con 40 circuiti elettroniciciascuno, quanti ne scartero perche hanno piu di 4 circuiti difettosi?

3. In uno stabilimento e stata fatta un’analisi per verificare l’affidabilita di certi apparati.Su 432 esaminati 223 non presentano alcun difetto, 142 ne hanno 1, 48 ne hanno 2, 15 nehanno 3 e solo 4 ne presentano 4 o piu.

a) Questi difetti possono essere considerati come eventi rari?b) Se 1 difetto e ancora accettabile ma 2 rendono l’apparato del tutto inaffidabile, quanti

ne devono essere tenuti in stock per averne, in media, 500 funzionanti?

4. Da un’analisi effettuata in una citta su un campione di 550 studenti di una scuola superiore,si e ricavato che 134 di essi sono fumatori.

a) Qual e la migliore stima percentuale che si puo dare al numero di studenti fumatoridella popolazione scolastica dell’intera citta?

b) Al livello di significativita del 5% si puo affermare che questo campione sia in accordocon una statistica nazionale che fissa il rapporto di 2 a 5 tra fumatori e non fumatorinella popolazione studentesca?

5. Due campioni estratti da due differenti partite di mozzarelle hanno dato i seguenti risul-tati. Campione A: 40 mozzarelle, peso medio mA = 74g, deviazione standard sA = 8g;Campione B: 50 mozzarelle, peso medio mB = 78g, deviazione standard sB = 7g.

a) Al livello di significativita dell’1% la diversita di peso del campione A rispetto alcampione B e indice di una differenza di peso delle due partite?

b) Quanto vale il valor medio da mettere sull’ etichetta delle mozzarelle in base ai duecampioni effettuati?

6. Si prendano in esame due campioni di radio-televisori. Su 1000 apparecchi esaminati delcampione A, 3 hanno denotato qualche imperfezione di costruzione; su 500 esaminati delcampione B, 4 hanno denotato qualche imperfezione costruttiva.

a) Al livello di significativita del 5% si puo affermare che i due campioni sono equivalentitra loro?

b) Prendendo 180 televisori a caso tra i 1500, quanti se ne aspettano di trovare conqualche imperfezione di costruzione?

7. Per accettare l’ipotesi che una moneta sia onesta si usa la seguente procedura: si lanciala moneta 100 volte. Se il numero di teste e compreso tra 40 e 60 la moneta e accettatacome onesta.

a) Con quale livello di significativita si accetta l’ ipotesi?b) Quali devono essere, per lo stesso livello di significativita, i limiti entro cui si accetta

l’ ipotesi nel caso si lanci la moneta 10000 volte?

8. Una societa produttrice di pile afferma che il suo prodotto dura, in media, 16 ore. Presoun campione di 100 pile a caso, si e trovato un valor medio di durata di 15.7 ore condeviazione standard 1.2 ore. Al livello di significativita del 5% e dell’1% stabilire se:

a) la societa puo legittimamente fare l’ affermazione suddetta;b) c’e evidenza per una effettiva durata inferiore delle pile del campione rispetto a quelle

della popolazione.

9. Dopo un’accurata indagine condotta per molti anni una fabbrica di automobili ha stabilitole seguenti percentuali di auto con difetti di costruzione: 0 difetti = 45%, 1 = 20%, 2 =15%, 3 = 10%, 4 = 8%, 5 = 2%. Dopo aver modificato il processo di costruzione la fabbricaesamina un campione di 200 auto e trova che i difetti di costruzione sono distribuiti inmodo seguente: 0 difetti = 110 auto, 1 = 35 auto, 2 = 25 auto, 3 = 16 auto, 4 = 12 auto,5 = 2 auto. Al livello di significativita del 5% e possibile affermare:

a) che la distribuzione della probabilita dei difetti del campione sia una poissoniana?b) che il processo di costruzione sia cambiato?

10. Due fabbriche, Albatros e Beccaccia, utilizzano due differenti tipi di macchinari per pro-durre un certo componente per fucili da caccia. Un campione casuale di 200 componentiprodotti dalla fabbrica Albatros ne contiene 19 difettosi mentre un campione di 100 compo-nenti prodotti dalla fabbrica Beccaccia ne ha solo 5 difettosi. Ad un livello di significativitadel 5% si puo affermare:

a) che i macchinari adottati dalle due fabbriche abbiano diverso rendimento?b) che il rendimento della fabbrica Beccaccia sia migliore di quello della fabbrica Alba-

tros?

11. La frequenza dei risultati, raggruppati in classi, di un esperimento in cui si misura unavariabile casuale X sono: 13 dati per x compreso tra 20 e 45, 13 dati tra 45 e 60, 8 datitra 60 e 70, 6 dati tra 70 e 80, 11 dati tra 80 e 90, 19 dati tra 90 e 120. Data una funzionef(x) definita come f(x) = K per 20 ≤ x ≤ 120 e f(x) = 0 altrove:

a) determinare il coefficiente K in modo che f(x) divenga una funzione densita di prob-abilita.

b) Si verifichi al livello di significativita del 5% se e accettabile l’ipotesi che la variabilecasuale dalla quale proviene il campione sperimentale abbia la funzione di densitasuddetta.

12. La seguente tabella indica il numero di imperfezioni del tessuto riscontrate, in un datoperiodo di tempo, in un processo di fabbricazione di vestiti di seta: 0 imperfezioni in 20vestiti, 1 imperfezioni in 66 vestiti, 2 imperfezioni in 55 vestiti, 3 imperfezioni in 38 vestiti,4 imperfezioni in 15 vestiti, 5 (o piu) imperfezioni in 6 vestiti.

a) Si puo affermare, a un livello di significativita del 5%, che la presenza di imperfezioniin un indumento costituisca un evento raro?

b) Quante imperfezioni per vestito ci si aspetta? Con quale indeterminazione?

13. Da un’urna contenente 8 palline vengono eseguite 70 estrazioni di blocchi di 4 pallineciascuna. Sapendo che non sono mai stati estratti blocchi con 0 palline bianche, 6 voltesono stati estratti blocchi con 1 pallina bianca, 35 volte blocchi con 2 palline bianche, 27volte blocchi con 3 palline bianche, 2 volte blocchi con 4 palline bianche;

a) verificare, al livello di significativita del 10%, l’ipotesi che l’urna contenga 5 pallinebianche.

b) Calcolare, sempre nell’ipotesi del punto a), il valore atteso di palline bianche per ogniestrazione e la corrispondente deviazione standard.

14. Da una popolazione di media μ = 50 e deviazione standard σ = 30 vengono estratti duecampioni di N1 = 25 ed N2 = 35 elementi.

a) Qual e la media e la deviazione standard della distribuzione campionaria delle medieper ciascuno dei due campioni?

b) Qual e la media e la deviazione standard della distribuzione campionaria della sommae della differenza delle medie?

15. Un’urna contiene innumerevoli palline di colore rosso o verde. Si estraggono a sorte 300palline rimettendole ogni volta nell’urna. Facciamo l’ipotesi che ci siano due palline rosseper ogni pallina verde e che l’ipotesi venga accettata se il numero di palline verdi estrattee nel range tra 90 e 110.

a) Calcolare la probabilita di un errore di tipo I, cioe il suo livello di significativita.b) Nell’urna ci sono invece tre palline rosse per ogni due palline verdi. Qual e la proba-

bilita di accettare l’ipotesi di due palline rosse per ogni pallina verde quando invecedovrebbe essere rigettata (errore di II tipo)?

16. Un campione casuale di 100 lampadine del tipo A ha una durata media xA = 980h condeviazione standard sA = 80h. Un analogo campione di lampadine del tipo B ha unadurata media xB = 1010h con sB = 120h.

a) Al livello di significativita del 5%, si puo dire che esiste una differenza tra i due tipidi lampadine?

b) Al livello di significativita dell’1%, si puo dire che esiste una differenza tra i due tipidi lampadine? (commentare il risultato)

17. Un dado viene gettato 360 volte ottenendo i risultati seguenti: 46 volte si e ottenuta lafaccia 1, 65 volte si e ottenuta la faccia 2, 71 volte si e ottenuta la faccia 3, 70 volte si eottenuta la faccia 4, 56 volte si e ottenuta la faccia 5 e 52 volte si e ottenuta la faccia 6.

a) Con che livello di significativita si puo affermare che il dado sia onesto?b) Se raddoppiando il numero di lanci la frequenza relativa ottenuta sperimentalmente

resta invariata, il livello di significativita del test resta immutato, aumenta o diminuisce?

18. A due gruppi di studenti e dato da svolgere un test per determinare il quoziente di intelli-genza (Q.I.). La media di tale test e μ e la sua varianza e σ2 = 400. Il risultato del primogruppo di 64 studenti ha media m1 = 105, quello del secondo gruppo (100 studenti) hainvece media m2 = 110. Determinare:

a) la deviazione standard delle distribuzioni campionarie delle medie dei due gruppi;b) il livello di significativita con cui si puo accettare l’ipotesi che i due campioni provengano

dalla stessa popolazione.

19. Per esaminare la qualita di un generatore di numeri a caso (ricordando che il concettodi casualita implica che tutti le cifre 0, 1, 2..., 9 siano equiprobabili) vengono registratele frequenze di ciascuna cifra nella generazione di 500 cifre. I risultati ottenuti sono iseguenti:

Cifra 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Frequenza 43 58 51 59 39 56 45 37 60 52

a) Cosa si puo dire del generatore di numeri a caso al livello di significativita del 5%?b) Nel caso che i risultati ottenuti fossero i seguenti:

Cifra 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Frequenza 40 61 46 64 36 59 45 60 37 52

quale sarebbe la significativita del test?

20. Si prendono due campioni di 25 elementi ciascuno da una popolazione molto ampia. Lemedie sono 18.4 e 17.8 rispettivamente. Conoscendo che la deviazione standard dellapopolazione e 2.0, calcolare:

a) Qual e la deviazione standard della distribuzione campionaria delle medie per ciascunodei due campioni?

b) A che livello di significativita si puo affermare che i due campioni provengano dallastessa popolazione?

21. I risultati di un’indagine condotta nazionalmente su larga scala per stabilire se una certalegge debba essere abrogata hanno fornito i seguenti risultati: fortemente a favore 20%, afavore 30%, indifferenti 20%, contrari 20%, fortemente contrari 10%. Un campione casualedi 100 studenti di una citta ha invece fornito le seguenti risposte: fortemente a favore 14,a favore 18, indifferenti 18, contrari 26, fortemente contrari 24.

a) Al 5% di livello di significativita, questi dati forniscono evidenza per una differenzadi vedute degli studenti riguardo all’abrogazione della legge, rispetto al resto dellapopolazione?

b) Cosa si puo concludere riguardo alla significativita del campione esaminato?

22. In un esperimento una moneta e lanciata 5 volte per 330 volte. In 12 casi si sono avute 0teste, 54 volte 1 testa, 106 volte 2 teste, 94 volte 3 teste, 57 volte 4 teste e 7 volte 5 teste.

a) Calcolare la media e la deviazione standard della distribuzione del numero delle testedando 2 cifre significative.

b) Cosa si puo concludere sul fatto che la moneta sia onesta?

23. In un campione di 200 intervistati il 20% e risultato favorevole ad un certo tipo di detersivoche lava piu bianco di un fiocco di neve. Dopo un’intensa campagna pubblicitaria su uncampione di 300 intervistati il 27% e risultato favorevole allo stesso detersivo.

a) Si puo ritenere, al livello di significativita del 5% che la campagna pubblicitaria abbiaavuto successo?

b) Cosa si puo affermare al livello di significativita dell’1%?

24. Da un esperimento fatto su 80 campioni della densita relativa di un liquido si e determinatoil valor medio μ = 2.0 e la deviazione standard σ = 0.2. Il numero di campioni al di sottodi 1.8 sono 17, quelli tra 1.8 e 2.0 sono 23, quelli tra 2.0 e 2.2 sono 21 e quelli al di sopradi 2.2 sono 19. Utilizzando 3 cifre significative per i valori teorici:

a) a che livello di significativita si puo affermare che la distribuzione dei campioni seguauna distribuzione gaussiana?

b) Se la densita relativa fosse perfettamente conosciuta tramite altri esperimenti, fattisu migliaia di campioni, ed avesse valore δ = μ cosa cambierebbe nella domandaprecedente?

25. La distribuzione del diametro di bulloni in ferro prodotti da una fabbrica metalmeccanicae risultata essere normale con μ = 70.00mm e σ = 3.10mm.

a) Prendendo un bullone a caso e misurandone il diametro con uno strumento di sensi-bilita 0.01mm si ha x = 70.50mm. Si puo affermare che il diametro del bullone inquestione differisca significativamente dalla popolazione dei bulloni prodotti da quellafabbrica?

b) Cosa cambia nella asserzione precedente se il valore 70.50mm viene calcolato comemedia della misura del diametro di un campione di 200 bulloni?

26. La statistica sugli incidenti mortali per folgorazione in una grande metropoli e stata laseguente: in 223 giorni si sono avuti 0 incidenti, in 142 giorni 1 incidente, in 48 giorni 2incidenti, in 15 giorni 3 incidenti, in 4 giorni 4 incidenti, in 0 giorni piu di 4 incidenti.

a) Quanti incidenti ci si puo aspettare nei prossimi 100 giorni?b) Si puo affermare, al livello di significativita del 5% che la morte per folgorazione sia

un evento raro?

27. Nella casa di Marco 25 libri su 165 sono libri di fisica, in quella di Dario 32 su 183, inquella di Vittorio 24 su 192.

a) In base a questi risultati, a che livello di significativita si puo accettare l’ ipotesi chei libri di fisica siano una percentale costante nel totale dei libri posseduti?

b) Quanti libri di fisica, e con quale indeterminazione, ci si aspetta di trovare nella casadi Gerolamo che di libri ne possiede 240 se l’ipotesi del punto a) e assunta valida?

28. Al primo appello estivo un certo esame e stato superato, in due anni accademici sucessivi,da 45 studenti e da 70 studenti rispettivamente, mentre i bocciati sono stati 50 in ambeduei casi.

a) In base a questi dati, quanti studenti ci si aspetta vengano promossi quest’anno (econ quale errore) se gli iscritti a quell’esame sono 100?

b) Al livello di significativita del 5% si puo dire che gli studenti del secondo annoaccademico considerato erano piu preparati di quelli dell’anno precedente?

29. Un concessionario di automobili ha notato che i clienti al di sotto dei 30 anni hannoacquistato, nell’ultimo mese, 30 automobili straniere e 40 italiane, mentre quelli al disopra dei 30 anni hanno scelto 20 automobili straniere ed 80 italiane.

a) Calcolare il valore delle frequenze attese nell’ipotesi che la scelta di una macchinaitaliana o straniera sia indipendente dall’eta.

b) Al livello di significativita dell’1% determinare se la scelta dell’automobile dipendedall’eta dell’acquirente.

30. Si e fatta un’indagine sul gradimento di una certa trasmissione televisiva. Su 80 intervis-tati al di sotto dei 20 anni, 52 hanno affermato di gradire il programma mentre, su 120intervistati al di sopra dei 20 anni, sono 60 i favorevoli alla trasmissione.

a) Al 5% di livello di significativita e possibile affermare che la trasmissione e preferitadai giovani (cioe quelli al di sotto dei 20 anni)?

b) Stessa domanda di (a) ma con livello di significativita posto all’1%. Cosa si puoconcludere riguardo ai risultati ottenuti?

31. Prendendo 100 ragazzi e 100 ragazze si trova che 40 ragazzi hanno capelli biondi, 50 lihanno neri e 10 li hanno rossi mentre 60 ragazze hanno capelli biondi, 30 li hanno neri e10 li hanno rossi.

a) Quali sono i valori teorici attesi supponendo che il colore dei capelli non dipenda dalsesso?

b) A quale livello di significativita puo essere accettata questa ipotesi?

32. E stata fatta un’indagine su 200 persone per stabilire se la preferenza di differenti generiletterari sia indipendente dalla fascia di eta degli intervistati. I risultati ottenuti sono iseguenti:fascia di eta 20-30 anni - genere preferito: romanzo 20 saggistica 12 giallo 8fascia di eta 30-40 anni - genere preferito: romanzo 15 saggistica 25 giallo 10fascia di eta 40-50 anni - genere preferito: romanzo 30 saggistica 20 giallo 10fascia di eta 50-60 anni - genere preferito: romanzo 25 saggistica 20 giallo 5.

a) Con quale livello di significativita si puo affermare che la preferenza di differenti generiletterari sia indipendente dalla fascia di eta degli intervistati?

b) Sotto questa ipotesi, qual e il valore atteso, con il suo errore, di risposte favorevolialla saggistica per un campione di 80 persone nella fascia di eta 60-70 anni?

33. Una prova di ragionamento attuata da un numero elevato di individui ha consentito didecidere che il risultato medio della prova e μ = 40 con deviazione standard σ = 10; laforma della distribuzione e normale (H0).E sorto il dubbio che le istruzioni date per l’esecuzione della prova fossero troppo complessee che tali istruzioni influissero sul risultato. Si e successivamente attuata la prova con nuoveistruzioni pi semplici con un campione di n=35 soggetti, ottenendo un punteggio medioxm = 43 ed una varianza adattata sn = 8.Al 5% di livello di significativita

a) Possiamo affermare che e cambiato qualcosa?b) Possiamo affermare che le nuove istruzioni abbiano migliorato la comprensione della

prova?

34. Si misura la massa di 40 fragoloni, trovando un valore medio di 26 g, con una varianza di8 g2.

a) Determinare, ad un livello di confidenza del 95%, la stima del valore medio dellamassa dei fragoloni di quella coltivazione.

b) Scegliendo casualmente altri 50 fragoloni, si trova una massa media di 25.6 g, convarianza 10 g2. Possiamo affermare che questo campione e compatibile con il prece-dente al 5% di livello di significativita? Se sono compatibili, determinare la migliorstima del valor medio ed il suo errore standard.

c) Da statistiche su campioni molto piu numerosi risulta che la massa media dei fragolonie distribuita gaussianamente con media μ = 24 g e varianza 12 g2; possiamo affer-mare che i 40 fragoloni di partenza, al 5% di livello di significativita, hanno massamaggiore di quelli generici? Cosa possiamo dire al livello dell’1%?

35. Il tempo medio di produzione di un certo prodotto finito e stato calcolato sull’arco di unlungo periodo ed e risultato essere di 90 s al pezzo con deviazione standard di 12 s. Dopoaver cambiato il processo produttivo, si sono esaminati i tempi di produzione di 50 pezzitrovando un valor medio di 85 s con deviazione standard di 10 s.

a) Questi dati forniscono una forte evidenza del fatto che il processo produttivo siamigliorato?

b) Stabilire al livello di fiducia del 99% il tempo di produzione con il nuovo processoproduttivo.

36. I numeri di viti difettose trovate in 25 campioni, ognuno di 50 pezzi, estratti da un macchi-nario che produce viti sono i seguenti: 1, 5, 0, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 0, 5, 1, 0, 0, 0, 6, 1, 1, 0, 1,3, 0, 0, 1, 0.

a) Qual e la miglior stima che possiamo dare della proporzione delle viti difettose (prob-abilita che una vite estratta casualmente sia difettosa)? Con che indeterminazione?

b) Calcolare, a partire dai dati, la stima della deviazione standard del numero di difettiper campione; la deviazione standard teorica nell’ipotesi di una distribuzione bino-miale utilizzando la probabilita stimata dal campione; la deviazione standard teoricanell’ipotesi di una distribuzione poissoniana.

c) Possiamo affermare che il numero di difetti segue una distribuzione di Poisson al 5%di livello di significativita?

37. In un processo produttivo in serie la lunghezza X di una vite ha una distribuzione normale.La tolleranza massima consentita per immettere il prodotto nel mercato e di 0.2 mm.

a) Calcolare μ e σ non noti sapendo che il 25% delle viti prodotte ha una lunghezzainferiore a 15.80 mm, mentre il 9 % ha una lunghezza superiore a 16.10 mm.

b) Utilizzando i valori di μ e σ trovati alla domanda a) calcolare la percentuale di vitiche vengono scartate.

c) Sia nota la distribuzione normale di X con media μ = 16.00 mm e varianza σ2 = 1.4·10−2 mm2. Da un controllo su 50 pezzi si e trovato un valor medio xm = 15.97 mmcon una sn−1 = 0.11 mm. Possiamo affermare con un livello di significativita del5% che il processo produttivo sia cambiato?

38. Una ditta fabbrica rullini fotografici. Si misura lo spessore dello strato sensibile dellapellicola e si trovano, su un campione di 616 pellicole, questi valori suddivisi in classi:

Valori in μm 1.5-2.5 2.5-3.5 3.5-4.5 4.5-5.5 5.5-6.5 6.5-7.5 7.5-8.5Frequenze 8 47 121 219 149 60 12

a) Nell’ipotesi che lo spessore dello strato sensibile della pellicola segua una distribuzionegaussiana, calcolare il numero (preciso al centesimo) di pellicole che ci si aspetta perogni classe (si vuole valor medio e deviazione standard del campione con due cifresignificative).

b) Verificare se, al 5% di significativita, la misura dello spessore delle pellicole segue unadistribuzione gaussiana

39. Una ditta farmaceutica assicura che una certa medicina e efficace nel 90% dei casi percurare un’allergia. Su un campione di 200 individui, che soffrono di questa allergia, lamedicina si e mostrata utile in 160 casi.

a) Possiamo affermare al 5% di livello di significativita che la medicina e meno efficacedi quello che dice la ditta? E all’1%?

b) Fornire una stima dell’efficacia della medicina con un livello di confidenza del 95%.

40. Il numero di chiamate che giungono ad un centro di assistenza in un’ora e cosı distribuito:Al 5% di livello di significativita

Numero di chiamate 0 1 2 3 > 3Frequenze 10 42 22 16 10

a) E possibile affermare che le chiamate seguono la distribuzione di Poisson?b) Cambierebbe qualcosa se il valore medio ottenuto nella domanda precedente fosse

stato fornito da considerazioni esterne anziche ricavato dai dati?

41. Dopo lunghe e accurate misure, si e stabilito che il grado di acidita (pH) di una certasoluzione chimica A e pari a 7.520. Analizzando 6 provette di un’altra soluzione chimicaB si e trovato un pH medio pari a 7.490 con una deviazione standard di 0.032. Al livellodi significativita del 5%

a) e possibile affermare che la soluzione B ha lo stesso pH della soluzione A?b) Cosa sarebbe cambiato se la deviazione standard per la soluzione A fosse stata conosci-

uta e pari a 0.024? Cosa e possibile concludere in questo caso sul campione di provetteanalizzato?

c) Dare una stima per il pH della sostanza B al 99% di livello di fiducia.

42. Una ditta, nel corso degli anni, ha stabilito che la percentuale di gradimento di un suoprodotto e del 63%. Dopo una campagna pubblicitaria, vengono intervistati 200 possibiliacquirenti e di questi 145 risultano favorevoli al prodotto.

a) All’1% di livello di significativita, e possibile affermare che la campagna pubblicitariaha avuto un effetto positivo? Se sı , stimare la nuova percentuale di gradimento al95% di livello di fiducia.

b) Cosa sarebbe cambiato se la domanda a) fosse stata “la campagna pubblicitaria haportato una differenza nella percentuale di gradimento”?

43. Il tempo medio per la produzione di un certo pezzo meccanico in una catena di montaggiorisulta essere 125 secondi con una deviazione standard di 30 secondi in base ai risultatiottenuti dopo una lunga indagine. Viene cambiato il processo di produzione della catenadi montaggio e il tempo medio per la produzione dello stesso pezzo risulta essere di 115secondi con una deviazione standard di 20 secondi esaminando un campione di 50 pezzi.

a) Dare una stima al 95% di livello di fiducia per il tempo medio di produzione con ilnuovo processo.

b) E possibile affermare che il processo di produzione e migliorato con l’introduzionedelle modifiche?

c) Cosa sarebbe cambiato se il campione esaminato fosse stato di 20 pezzi (ottenendo glistessi risultati) e del vecchio processo produttivo fosse stato conosciuto solo il valormedio?

44. La costante elastica di una molla viene misurata con precisione elevatissima sottoponendola molla a piccole deformazioni (ossia in regime di validita della legge di Hooke), e risulta k= 283.52 N/m. La stessa molla viene poi sottoposta a deformazioni maggiori sotto l’azionedi forze, misurate con errore trascurabile, ottenendo i seguenti risultati (errori statistici):

F (N) 10 20 30 40 50x (cm) 3.54 ± 0.02 7.07 ± 0.02 10.62 ± 0.02 14.15 ± 0.03 17.71 ± 0.03

Stabilire se, al livello di significativita dell’1% e del 5%, si ha evidenza per violazioni dellalegge di Hooke.

45. La percentuale di lampadine difettose su un campione di 100 e del 4%, mentre su un altrocampione di 150 se ne trovano 12 difettose.

a) E possibile affermare che esiste una differenza tra i campioni di lampadine?b) Qual e la stima, ad un livello di fiducia del 99%, per la percentuale di lampadine

difettose nell’ipotesi che i due campioni provengano dalla stessa fabbrica?c) Dato un altro campione di 80 lampadine con percentuale di difetti pari all’1%, c’e

evidenza, al 5% del livello di significativita, che esso provenga da un’altra fabbrica conminor percentuale di difetti, assumendo come percentuale di difetti per la popolazionela stima puntuale ottenuta al punto b)?

d) Calcolare gli errori di I e di II tipo associati al criterio di decisione adottato al puntoc)

46. In una ditta di componenti elettronici il 20% del prodotto e difettoso. Consideriamo unapartita di 1000 scatole ognuna composta da 10 pezzi:

a) In quante di queste scatole in media ci aspettiamo di trovare al massimo 2 pezzidifettosi? Da 3 a 5 pezzi difettosi? Piu di 5 pezzi difettosi?

b) Sapendo che il numero di scatole con al massimo 2 pezzi difettosi e stato di n1 = 641,da 3 a 5 pezzi difettosi e stato n2 = 347, con piu di 5 n3 = 12, possiamo ritenere al5% di livello di significativita che la percentuale di difetti sia cambiata?

47. Un modello teorico prevede che quattro possibili diversi decadimenti di una particellaelementare avvengano con frequenze relative rispettivamente del 39%, del 32%, del 24% edel 5%. Un esperimento osserva 188390, 153930, 115431 e 24371 decadimenti dei quattrotipi. Cosa si puo concludere sulla bonta della previsione del modello teorico con un livellodi significativita del 5%?

Parte II: Risposte

1. a) nteste = (2.15 ± 0.05)b) Valori teorici: 25, 100, 150, 100, 25.

L’ipotesi di corrispondenza viene rigettata al livello di significativita del’1% (χ2 =13.6, ν = 4): dati altamente significativi per rigettare l’ipotesi.

2. a) L’ipotesi nulla e rigettata al livello di significativita del 5% ma non all’1%: datiprobabilmente significativi.

b) n = 9.6 (circa 10 apparati)

3. a) I difetti possono essere considerati eventi rari: infatti χ2sper ≈ 2, ν = 2. (χ2

0.30 =1.386 < χ2

sper < χ20.25 = 2.733)

b) N > 588 apparati

4. a) pf = (0.244 ± 0.018)b) Test a due code con zsper = 2.19 ≥ zc(5%) = 1.96. Ipotesi H0 rigettata: il campione

non e in accordo con la statistica nazionale.

5. a) Al livello di significativita richiesto non vi e differenza di pesob) p = (76.5 ± 0.8)g

6. a) Si, al livello di significativita del 5% l’ipotesi di equivalenza e verificata .b) N = 0.84

7. a) Si accetta al livello di significativita del 5%b) Limiti di accettazione = (5000 ± 100)

8. a) Test a due code: dati probabilmente significativi per sostenere che la societa stiafacendo un’affermazione falsa (si rigetta l’ipotesi non c’e differenza fra le medie al 5%e si accetta all’1%)

b) Test ad una coda: dati del campione altamente significativi (si rigetta l’ipotesi diuguaglianza fra le medie sia al 5% sia all’1%)

9. a) Si rigetta l’ipotesi che i dati del campione seguano una distribuzione di Poisson(χ2

sper ≈ 54 � χ20.05 = 5.992, per ν = 2)

b) Il processo produttivo non e cambiato (χ20.10 = 7.815 < χ2

sper = 8.495 < χ20.05 =

9.488, ν = 4).

10. a) Si puo affermare che le due fabbriche abbiano lo stesso rendimento: z = 1.5 (oppure1.35 con media pesata) < 1.96 = zc per L.S. = 5% per test a due code)

b) Non si puo affermare che la fabbrica Beccaccia abbia un rendimento migliore dellafabbrica Albatros (z = 1.5 < 1.645 = zc per L.S. = 5% per test ad una coda)

11. a) k=1/100b) Si accetta l’ipotesi che il campione provenga dalla distribuzione con densita di prob-

abilita data (χ20.50 = 4.351 < χ2

sper = 4.52 < χ20.25 = 6.625; ν = 5).

12. a) Si puo affermare che la presenza di una imperfezione costituisca un evento raro(χ2

sper = 6.3 < χ20.05 = 9.488; ν = 4)

b) N = (1.9 ± 1.4)

13. a) L’ipotesi puo essere accettata (χ2sper = 3.13 < χ2

0.10 = 6.254; ν = 3)b) n = (2.5 ± 0.7) palline bianche

14. a) E(x1) = E(x2) = μ = 50E(σx1) = 6 ; E(σx2) = 5.07

b) E(x1 + x2) = μ1 + μ2 = 100E(x1 − x2) = μ1 − μ2 = 0E(σ+) = E(σ−) = 7.86

15. a) p = 0.22 (22%) (p = 0.20 usando l’approssimazione per interi)b) p = 0.1188 (12%) (p=0.1312 (13%) se si usa l’approssimazione per interi)

16. a) Ipotesi H0 rigettatab) Ipotesi H0 accettata; dati non altamente significativi, ma probabilmente significativi.

17. a) Ipotesi accettata al 10%, ma rigettata al 25%. (χ20.25 = 6.625 < χ2

sper = 8.702 <χ2

0.10 = 9.237, ν = 5)b) Il valore del χ2 raddoppia e l’ipotesi puo essere adesso rigettata ad un livello di

significativita dell’1%. (χ2sper = 17.4 > χ2

0.01 = 15.09 per ν = 5)

18. a) σ(x1) = 2.5, σ(x2) = 2.0b) Al livello di significativita del 12% (z = -1.56)

19. a) Ipotesi H0 di equiprobabilita puo essere accettata (χ2sper = 13 < 16.92 = χ2

ref perL.S.= 5% e ν = 9).

b) L’ipotesi H0 di equiprobabilita viene rigettata ad un livello di significativita del 5%ma e accettata all’1%. Campione probabilmente significativo: occorre proseguirel’indagine (χ2

0.05 = 16.92 < χ2sper = 20.16 < χ2

0.01 = 21.67, ν = 9).

20. a) σ(x1) = σ(x2) = 0.4b) L.S.=29% : i due campioni provengono dalla stessa popolazione.

21. a) L’ipotesi H0 deve essere rigettata ad un livello di significativita del 5%. (χ20.05 =

9.49 < χ2sper = 28.2 per ν = 4)

b) I dati sono altamente significativi; infatti, per ν = 4, χ20.01 = 13.28 e ancora minore

di χ2sper e quindi H0 e rigettata anche all’1% di livello di significativita.

22. a) x = 2.5, sn = 1.1b) L’ipotesi di moneta onesta puo essere accettata. (χ2

0.75 = 2.674 < χ2sper = 2.90) <

4.351 = χ20.50, ν = 5

23. a) Test ad una coda con zsper = 1.83 > zc = 1.645 per L.S.=5%; ipotesi H0 rigettata:la campagna pubblicitaria ha avuto successo.

b) Ipotesi H0 accettata: zsper = 1.83 < zc = 2.33 per L.S.= 1%. Si conclude che i datisono probabilmente significativi ma non altamente significativi per affermare che lacampagna pubblicitaria ha avuto successo.

24. a) Ipotesi rigettata all’1% (dati altamente significativi). (χ20.01 = 6.635 < χ2

sper =6.72, ν = 1).

b) Ipotesi accettata all’1%. In questo caso ν = 2 dato che la media non e stata ricavatadai dati sperimentali (χ2

0.05 = 5.992 < χ2sper = 6.72 < χ2

0.01 = 9.210, ν = 2). Ne segueche i dati sono probabilmente significativi e occorre proseguire l’indagine.

25. a) Test a due code con zsper = 0.161 corrispondente all’87% : ipotesi accettata; non vie evidenza di una differenza tra campione e popolazione.

b) In questo caso zc(5%) = 1.96 < zsper = 2.28 < zc(1%) = 2.57. Ipotesi H0 accettataal livello di significativita dell’1% ma non a quello del 5% (campione probabilmentesignificativo per una differenza).

26. a) N = (69 ± 8) nell’ipotesi di conteggi; N = (69 ± 9) dai dati sperimentalib) Ipotesi accettata; (χ2

0.05 = 5.99 > χ2sper = 2.14, ν = 2).

27. a) Ipotesi accettata (χ20.50 = 1.386 < χ2

sper = 1.83 < χ20.25 = 2.773, ν = 2)

b) n = (36 ± 6)

28. a) N = (54 ± 3) studenti (oppure N = (53.5 ± 3.4))b) Test ad una coda: ipotesi H0 accettata. Oppure usando le tabelle di contingenza

χ2 = 2.563, ν = 1;χ2ref = 3.84 al 5% di L.S.

29. a) 21, 49, 29, 71b) Test a due code: ipotesi rigettata. Oppure tabella di contingenza: χ2

sper = 9.44 >χ2

0.01 = 6.635, ν = 1

30. a) Ipotesi H0 rigettatab) Ipotesi H0 accettata. Campione probabilmente significativo ma non altamente signi-

ficativo: occorre proseguire le indagini.

31. a) Biondo = 50, Nero = 40, Rosso = 10.b) Ipotesi accettata all’1%, ma rigettata al 5%. (χ2

0.05 = 5.997 < χ2sper = 9 < χ2

0.01 =9.21, ν = 2)

32. a) Ipotesi H0 di equiprobabilita puo essere accettata: χ2sper = 8.196 < χ2

0.10 = 10.6, ν = 6b) N = (31 ± 4)

33. a) Ipotesi H0 accettata. Non possiamo dire se e cambiato qualcosa.

b) Ipotesi H0 rigettata, la prova e migliorata.

34. a) μ = (26.0 ± 0.9) g

b) I due campioni sono compatibili al 5% di L.S. - xbest = (25.8 ± 0.3) g

c) Dati altamente significativi per indicare una massa maggiore dei fragoloni (z = 3.652).

35. a) Dati altamente significativi per un miglioramento del processo (H0 rigettata al 5% eall’1% di L.S. (z = -2.916)

b) 81.35 ≤ μ ≤ 88.65

36. a) p = (0.027 ± 0.005)b) sn−1 = 1.70; σb = 1.15; σp = 1.17.c) χ2 = 1.92 ν = 1 χ2

ref (5%) = 3.84: ipotesi accettata.

37. a) μ = 15.9 mm σ = 0.15 mm.b) Viti scartate 18 %c) z = 1.79 test a due code L.S. = 5% zc = 1.96; H0 accettata

38. a) Frequenze attese: 8.47, 47.48, 133.97, 198.33, 154.37, 60.71, 12.67 (x = 5.1 σ = 1.2).b) χ2 ≈ 4; ν = 4; χ2

rif (5%) = 9.48. Si accetta l’ipotesi.

39. a) Dati altamente significativi (H0 rigettata al 5% e all’1% di L.S.)b) 0.745 < p < 0.855

40. a) Ipotesi rigettata al 5% di L.S. (χ2 = 8.36 ν = 3 χ25% = 7.815)

b) In questo caso ν = 4 χ25% = 9.488: ipotesi accettata.

41. a) H0 accettata (|t| = 2.096, ν = 5, tc = 2.571. Si utilizza Student (piccoli campioni) σignota.

b) Si utilizza la gaussiana perche σpopolazione e nota. H0 rigettata - campione altamentesignificativo (|z| = 3.06).

c) pH = 7.490 ± 0.058.

42. a) Dati altamente significativi (z=2.79). p′ = 0.725 ± 0.062b) H0 rigettata come nel caso a.

43. a) 109.4 ≤ μn ≤ 120.6b) Dati altamente significativi per miglioramento (z=-2.357 H0 rigettata al 5% e all’1%

di L.S.).c) Si utilizza Student con ν = 19 t = −2.179 tc(5%) = 1.729 tc(1%) = 2.539.

Quindi i dati sono probabilmente significativi ma non altamente significativi per ilmiglioramento.

44. Dati probabilmente significativi per violazione della legge di Hooke: H0 rigettata al 5%ma non all’1% (χ2

sper = 13.07 ν = 5).

45. a) z = −1.352 H0 accettata (stessa popolazione)b) 0.024 ≤ p ≤ 0.104v) Al 5% di L.S. evidenza per provenienza da fabbrica con percentuale di difetti minore

(z=-1.973).d) α = 5%; β ≈ 20%.

46. a) 677, 315, 8b) χ2 = 7.16 ν = 2 χ2

rif (5%) = 5.99 H0 rigettata.

47. Previsione accettabile (χ2 = 5.07 ν = 3 χ2rif (5%) = 7.815).