LABORATORIUM I EMNENE TFY4155/FY1003 ...folk.ntnu.no/kristowh/ElectromagnetismMMXVI.pdfP = VI= RI2, vil det alltid vˆre et spenningsfall V over en str˝mf˝rende leder med str˝m

UTGAVE 18. des. 2017

LABORATORIUM I EMNENE

TFY4155/FY1003 ELEKTRISITET OGMAGNETISME

for studenter ved studieprogrammene

MTFYMA/MLREAL/BFY/BKJ

NTNU

Varen 2018

Forord

Dette heftet inneholder tekster til laboratoriekurset til emnene TFY4155/FY1003 Elek-trisitet og magnetisme. Dette utgjøres av praktiske laboratorieoppgaver og forutgaendeseminarer til hver oppgave.

En generell beskrivelse av TFY4155/FY1003 Elektrisitet og magnetisme finnes pa følgendenettside:http://home.phys.ntnu.no/brukdef/undervisning/tfy4155/

og laboratoriekurset spesielt:http://home.phys.ntnu.no/brukdef/undervisning/tfy4155_lab/

Pa disse nettsidene vil studentene finne all nødvendig informasjon om pameldinger tillaboratoriet, timeplaner, romfordelinger osv.

I 2009 ble det gjennomført en større endring av kurset da antall laboratorieøvelser bleredusert fra ni til fem. Videre ble ogsa bruk av MATLAB introdusert.

Det er ogsa tatt for gitt at studentene har erfaring med Microsoft Office Excel. Dersomdet er noen som ikke har brukt regneark før, bør en tilegne seg kjennskap til dette paegenhand, før kurset starter. En vil finne utallige øvelser om dette pa Internett.

Denne versjonen av kompendiet er en gjennomarbeidet revisjon av kompendiet fra 2011.Kapittel 2 har na blitt erstattet av en ny versjon, utarbeidet med hjelp av AmundGjerde Gjendem og Jon Ramlo. Revisjonen ble gjort fordi torsjonsvekten brukt tidligereer erstattet med en moderne kraftsensor. Blant mange andre som har hjulpet meg, viljeg gjerne nevne Egil Herland og Iver Sperstad.

K. Razi Naqvi

12. januar 2013

I den nye versjonen var 2016 ble MATLAB erstattet av Python, som medførte i ho-vedsak flere forandringer i kapittel 5 om kurvetilpasning. Dette kapittelet bygger na pade grunnleggende kunnskapene i Python som ble formidlet i det første semesteret. Deter anbefalt at Python brukes i Pyzo1. Denne programvare er installert pa alle PCer palabben, og kan gratis lastes ned pa egen PC.

Stefan Rex

20. januar 2016

1www.pyzo.org

http://home.phys.ntnu.no/brukdef/undervisning/tfy4155/

http://home.phys.ntnu.no/brukdef/undervisning/tfy4155_lab/

www.pyzo.org

ii

Innhold

1 SIKKERHET I LABORATORIET 1

1.1 Det elektriske utstyret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Oppkopling av elektriske kretser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Innflytelse av elektriske strømmer pa kroppen . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Virkning av statisk magnetfelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Sunn fornuft i omgang med elektrisk utstyr . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 ELEKTROSTATISK KRAFT 9

2.1 Teoretisk bakgrunn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Coulombs lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.2 Kraftsensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Beregningsoppgaver / forhandsoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1 Wheatstone-broen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.2 Metallkule i tomt rom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.3 Bestemmelse av ladning v.h.a. Faradaybur . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.4 Coulombs lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.5 Gravitasjonskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Eksperimentelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.1 Apparatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.2 Forsiktighetsregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.3 Kalibrering: Etterprøving av kraftsensoren. . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.4 Montering av kuleelektrode og klargjøring av kraftsensor . . . . . 18

2.3.5 Elektriske ledninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.6 Eksperiment 1: Kraft s.f.a. avstand . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.7 Eksperiment 2: Kraft s.f.a. ladning . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.8 Eksperiment 3: Elektrisk permittivitet . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.9 Avslutning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 STATISK MAGNETFELT 25


3.1.1 Biot-Savarts lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Beregningsoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.1 Excel-regneark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.2 Kort spole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.3 Helmholtzspoler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

iii

iv INNHOLD

3.2.4 Solenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.5 Dataanalyse i Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.6 Halleffektprobe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.7 Magnetiske strøfelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.8 Magnetfeltfritt rom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Eksperimentelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.1 Apparatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.2 Kaliberering av Hallprobe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3.3 Magnetiske strøfelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3.4 Magnetfelt i kort spole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3.5 Magnetfelt i Helmholtzspole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.6 Magnetfelt i solenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.7 Generell diskusjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3.8 Avslutning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 LORENTZKRAFTEN 43


4.2 Beregningsoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2.1 Lorentzkraften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2.2 Ladninger i E-felt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2.3 Ladninger i B-felt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2.4 Bestemmelse av e/m (Thomsoneksperimentet) . . . . . . . . . . . 46

4.2.5 Spenningsdeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3 Eksperimentelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3.1 Apparatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3.2 Oppkopling av spenninger til elektronkanonen . . . . . . . . . . . 48

4.3.3 Avbøyning i E-felt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3.4 Avbøyning i B-felt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3.5 Thomsoneksperimentet: maling av e/m . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3.6 Avslutning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5 KURVETILPASNING 57

5.1 Formulering av kurvetilpasningsproblemet . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2 Minste kvadratsums prinsipp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.3 Minste kvadraters metode pa den rette linje . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.4 Regresjonsanalyse med Excel regneark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.4.1 Analyse av avviket mellom maleresultat og regresjon . . . . . . . 61

5.5 Regresjonsanalyse med Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.5.1 Pseudokode for regresjonsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6 KRAFT PA STRØMFØRENDE LEDER 67


6.1.1 Kraft pa en leder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.1.2 Kraft s.f.a. vinkelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

INNHOLD v

6.2 Eksperimentelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.2.1 Apparatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.2.2 Kraft s.f.a. strømmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.2.3 Kraft s.f.a. lengden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.2.4 Kraft s.f.a. vinkelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.2.5 Generell diskusjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.2.6 Avslutning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

vi INNHOLD

Kapittel 1

SIKKERHET I LABORATORIET

Eksperimentene i dette laboratoriekurset er fullstendig sikre og medfører ingen fare der-som fornuftige og opplagte forholdsregler følges og studentene følger sikkerhetsinstruk-sjonene som gis nedenfor. Det eksisterer alltid en potensiell fare for elektrisk støt ellerbrann overalt hvor det finnes vegguttak, stikkontakter, kabling eller tilkoblinger, somfinnes i alle laboratorier og hjem. Formalet med dette kapitlet er a gi deg generell infor-masjon som skal forberede deg til a utføre laboratorieforsøk uten a sette deg selv ellerandre i unødvendig fare, og a beskrive prosedyren som skal følges dersom du eller noenandre i nærheten befinner seg i en nødsituasjon.

1.1 Det elektriske utstyret

Som det fremgar av Ohms lov, V = RI, og loven om effektutvikling i en motstand,P = V I = RI2, vil det alltid være et spenningsfall V over en strømførende leder medstrøm I og motstand R, og det vil ogsa alltid utvikles varme i lederen (forutsatt atR > 0).

For a sikre forbrukeren mot strømstøt, koples ytterkappen til alt utstyr som har ledendeytterkappe permanent til jord. Dette gjøres gjennom jordingskontakten i støpselen. Der-som det oppstar feil som medfører at tilførselsspenningen til utstyret kommer i kontaktmed den ledende ytterkappen, vil sikkerhetsjordingen sørge for at spenningen koples tiljord og ikke legges pa ytterkappen, med de farer dette innebærer. Strømmen vil altsakortsluttes til jord og normalt vil sikringen ga og strømmen brytes.1

For a unnga at personsikkerheten skal være avhengig av strømsikringene, utstyres elekt-riske energinett ofte med en sakalt nullstrømbryter. Nullstrømbryteren kan oppdage jord-lekkasjestrømmer som er mye mindre en kursens sikringsverdi. Dette gjør bryteren ved a

1Det er i den forbindelse viktig at sikkerhetsjordledningen er dimensjonert slik at den taler strømmeni hovedtilførselsledningen, d.v.s. den ma minst ha samme tverrsnitt som hovedtilførselsledningen.

1

2 KAPITTEL 1. SIKKERHET I LABORATORIET

sammenligne strømmen i de to ledningene til en kurs, d.v.s. strømmen inn til en forbrukermed strømmen i retur fra forbrukeren. Tap av strøm hos forbrukeren tolkes som lekka-sjestrøm til jord. Hvis nullstrømbryteren oppdager en forskjell mellom fasestrømmenesom er større enn en bestemt forhandsinnstilt verdi (f.eks. 30 mA), sa brytes strømmen.

En tredje metode for a sikre forbrukeren mot strømstøt er dobbelt isolering av utstyr(utstyr i klasse II, merket med en dobbeltfirkant: ). Dobbeltisolert utstyr ma ikkeforsøkes jordes da det vil redusere berøringssikkerheten.

Erfaring har vist at de aller fleste av feilene i elektriske anlegg er jordingsfeil. Vettugomgang med jord og korrekt jording av elektrisk utstyr er en forutsetning for trygg brukav elektrisk energi og for at elektrisk utstyr virker korrekt. Plugg aldri elektrisk utstyrsom krever jordet støpsel i en ikke-jordet stikkontakt.

1.2 Oppkopling av elektriske kretser

Ifølge Elektrisitetstilsynets forskrifter ma alle vekselspenninger over 25 V effektivverdiog alle rippelfrie likespenninger over 60 V være forskriftsmessig isolert. Nar du kopleropp kretser i laboratoriet, ma du pase at disse forskrifter blir fulgt.

Du ma ogsa passe pa at ledningtverrsnittet til de ledninger du bruker er tilstrekkeligstort for at ledningene ikke blir opphetet. Selv om motstanden i elektriske ledninger erliten, vil ikke verdien alltid være neglisjerbar. For tvinnede kobberledninger som brukestil faste installasjoner i hus (med 230 V) sier forskriftene at en ledning med tverrsnitt2,5 mm2 maksimalt kan føre en strøm pa 16 A. Som en tommelfingerregel i laboratorietkan vi anta at 5 A/mm2 ved spenninger under 300 V vil være trygt. De fleksible lissenevi bruker for oppkoplinger har alle tverrsnitt som er større enn 1 mm2. Strømmer opp til5 A vil derfor ikke by pa noe problem for disse lissene. Et annet forhold du ma passe paer a velge stort nok tverrsnitt pa ledningene dine slik at spenningsfallet over ledningeneikke gir bidrag til malefeil.

Vær forsiktig med a sende strøm gjennom kveiler/tromler med elektrisk ledning. Grense-kravene beskrevet over gjelder ledninger i friluft med naturlig luftavkjøling. Dersomledningen kveiles tett sammen, vil varmeutviklingen føre til betydelig større tempera-turøkning som kan føre til at isolasjonen kan smelte.

Nar du bruker elektrisk koplingsmateriell er det viktig at du forsikrer deg om at altmateriell er i orden. Se etter skader pa ledninger og spesielt kontakter. Det er ogsaviktig at du behandler koplingsmateriellet slik at det ikke oppstar skader pa det. Passpa a plassere ledningene under bruk slik at det ikke er fare for at de blir hektet fast ibevegelige deler eller kommer i klemme slik at isolasjonen skades. Ledningene bør ogsaligge fritt slik at de far tilstrekkelig avkjøling. Nar ledningsmateriellet ikke er i bruk skaldet ikke tvinnes opp da kraftig opptvinning kan skade isolasjonen og tilkoplingen mellomleder og kontakt.

1.3. INNFLYTELSE AV ELEKTRISKE STRØMMER PA KROPPEN 3

1.3 Innflytelse av elektriske strømmer pa kroppen

Faren ved elektriske støt er forbundet med størrelsen pa den strømmen som gar gjen-nom kroppen og hvilken strømbane den følger. Hvor stor spenning kroppen taler vilavhenge av den totale motstanden i strømkretsen hvor kroppen inngar. Figur 1.1 visermenneskekroppen som en del av en strømkrets.

Figur 1.1: Menneskekroppen som del av en strømkrets, hvor Rj er isolasjonsmotstanden mel-lom kroppen og jord, Rh er overgangsmotstanden i huden, Rk er kroppens indre motstand,Ri er indre motstand i spenningskilden som driver strømmen i kretsen og Rv er isolasjons-motstanden mellom spenningskildens spenningsterminal og kroppen.

Strømgjennomgang kan skade kroppen, enten ved at den skader kroppsvevet ved oppvar-ming, eller ved at strømmen forstyrrer de elektriske signalene i nervesystemet. Oppvar-mingen er gitt av strømmen I og motstanden R i vevet som varmes opp. En vedvarendestrøm gjennom vevet over tid vil tilføre en stadig større varmeenergi og risiko for skade.Forstyrrelse av de elektriske signalene i nervesystemet kan bl.a. føre til hjerteflimmerog lammelser. Spesielt er vekselstrøm i frekvensomradet 15 til 60 Hz farlig for nerve-systemet. Var nettforsyning pa 50 Hz er derfor i den farlige kategorien. Nar frekvensenpa vekselstrømmen øker, vil innflytelsen pa nervesystemet avta, og for frekvenser over10 kHz er innflytelsen tilnærmet borte. Oppvarmingseffekten er imidlertid fremdeles tilstede.

Strømbaner gjennom hjerte- og lungeregionen er spesielt farlige p.g.a. de vitale organenesom der finnes. Nyrene er ogsa spesielt følsomme for strømskader.

Fra strømkretsen i figur 1.1 ser vi at strømmen gjennom kroppen er gitt ved

I =V

Rj + 2Rh +Rk +Ri +Rv

. (1-1)

Nar det blir referert til spenningen pa et forsyningsnett menes vanligvis effektivverdien


av spenningen, definert som

Veff =√〈V (t)2〉 =

√1

T

∫ T

0

V 20 sin2

(2πt

T

)dt =

V0√2. (1-2)

Det betyr at for et 230 volts anlegg er toppspenningen (amplituden) V0 =√

2 × 230 V= 325 V.

Sikkerhetstiltak mot strøm gar ut pa a redusere verdien pa strømmen gjennom kroppentil ufarlige verdier. Dette kan for en gitt spenning V gjøres ved a sørge for at summenav motstandene under brøkstreken er tilstrekkelig stor:

Rv Vanlig elektrisk isolasjon av elektrisk utstyr gar ut pa a gjøre Rv tilstrekkelig stor.

Ri I labboppgaven i kapittel 2 bruker du en 12000 V høyspenningskanon. Den blirufarliggjort ved a gjøre Ri sa stor at V/Ri < 0, 5 mA.

Rk Kroppens indre motstand Rk er konstant og av størrelsesorden 500 Ω. Legg merketil at grensen for pabudt isolasjon av vekselspenning pa 25 V effektiv spenningtilsvarer 50 mA nar vi antar at motstanden i strømkretsen kun bestar av kroppensindre motstand, d.v.s. verste tilfelle.

Rh Overgangsmotstanden Rh i huden kan variere fra 0 Ω ved fuktig hud til langtover 10 000 Ω ved tørr hud. Rh avtar ogsa med økende spenning og den variererogsa med frekvensen slik at den er lavest i frekvensomradet rundt 50 Hz. Dettemedvirker til a gjøre vekselspenning farligere enn likespenning. Et annet forholdsom gjør vekselspenning farligere enn likespenning er at størrelsen pa spenningendet refereres til nar vekselspenning omtales er effektivspenningen. Toppspenningener imidlertid

√2× høyere, som beskrevet i likning (1-2).

Rj Dersom kroppen ikke er i kontakt med jord, vil Rj være stor. Hvorfor dør ikkefuglene nar de sitter pa kraftledninger (se figur 1.2)? Svar pa dette spørsmalet veda modifisere figur 1.1. Se na pa figur 1.3, og svar sa pa spørsmalet stilt der.

Figur 1.2: En fugl som sitter pa en kraftlinje. Figur 1.3: Hva skjer nar den slas pa?

I tillegg til ovenstaende er det viktig a være klar over at høyfrekvent elektromagnetiskstraling i MHz–GHz-omradet (mikrobølger–radar) kan være farlig for kroppen ved at

1.4. VIRKNING AV STATISK MAGNETFELT 5

det elektriske vekselfeltet fører til oppvarming av kroppsvevet, samme effekt som giroppvarming i en mikrobølgeovn. Slik høyfrekvent oppvarming er ekstra farlig fordi denofte foregar uten at normale smertefunksjoner trer i kraft. Personer bør skjermes hviseffekt per flateenhet mot kroppen er > 0, 01 W/cm2.

Tabell 1.1: Limits of exposurea to static magnetic fields

Exposure characteristics Magnetic flux density

Occupationalb

Exposure of head and trunk 2 TExposure of limbsc 8 T

General publicd

Exposure of any part of the body 400 mT

a ICNIRP recommends that these limits should be viewed operationallyas spatial peak exposure limits.b For specific work applications, exposure up to 8 T can be justified, ifthe environment is controlled and appropriate work practices are imple-mented to control movement-induced effects.c Not enough information is available on which to base exposure limitsbeyond 8 T.d Because of potential indirect adverse effects, ICNIRP recognizes thatpractical policies need to be implemented to prevent inadvertent harm-ful exposure of persons with implanted electronic medical devices andimplants containing ferromagnetic material, and dangers from flying ob-jects, which can lead to much lower restriction levels such as 0.5 mT.

1.4 Virkning av statisk magnetfelt

Den internasjonale kommisjon for beskyttelse mot ikke-ioniserende straling (ICNIRP)gir i sine retningslinjer anbefalte grenseverdier for eksponering for elektromagnetiske felt(se tabell 1.1). I Norge er det i stralevernforskriften gitt bestemmelser om at ICNIRPsretningslinjer skal følges, og at all eksponering skal holdes sa lavt som praktisk mulig.For statisk magnetfelt er anbefalt grense 2 T for arbeidstakere og 400 mT for gene-rell befolkning. Personer med pacemaker, ferromagnetiske implantater eller implanterteelektroniske komponenter bør ikke utsettes for magnetfelt over 0,5 mT.2 I eksperimentetder Helmholtzspolene brukes vil den magnetiske flukstettheten B i umiddelbar nærhetav spolene ha en verdi som sa vidt overstiger 0,5 mT for I = 1 A og R = 0, 07 m,hvor I er strømmen som flyter i spolene og R er den gjennomsnittlige radien til spolene.Men feltet avtar raskt utenfor spolene; størrelsen av B i et punkt vinkelrett pa spoleni avstand 0,15 m (eller større) fra spolens sentrum er mindre enn 50 µT. Dersom en

2http://www.icnirp.de/documents/emfgdl.pdf[Health Physics 96 (2009) 504–519.]

http://www.icnirp.de/documents/emfgdl.pdf


strømstyrke pa 0,5 A brukes, vil feltet overalt være lavere enn anbefalt grense for per-soner med implantater. En student med et implantat som er følsomt for magnetfelt børinformere ansvarspersonen, som vil sørge for at denne studenten har en partner som ikkehar implantat og at partneren gjør malingene.

1.5 Sunn fornuft i omgang med elektrisk utstyr

I tillegg til de vanlige risikoene i forbindelse med elektrisitet, har noen laboratorierhøyspenningsutstyr3 som utgjør en enda større potensiell fare. Studenter bør være eks-tra forsiktige med slikt utstyr, og bør lære seg hvordan de kan frakoble strømkilden i ennødssituasjon. Her er noen regler som ma følges nar man arbeider med og i nærheten avelektrisitet.

1. Ikke arbeid med elektrisitet dersom dine hender, føtter, eller andre deler av kroppener vate, eller hvis du star pa et vatt gulv.

2. Inspiser elektrisk utstyr (med strømmen avslatt og stikkontakten trukket ut) forødelagte ledninger og skadede tilkoblinger. Hvis noe slikt oppdages, ikke bruk ut-styret. Meld sa i fra til ansvarshavende slik at utstyret kan repareres.

3. Forsøk aldri a reparere elektrisk utstyr selv—dette ma gjøres av kvalifisert perso-nell.

4. Dersom du blir utsatt for selv et mildt støt fra noe utstyr, lever det umiddelbartinn til reparasjon.

5. Ikke bruk eller lagre ekstremt brannfarlige væsker i nærheten av elektrisk utstyr.Noen stoffer, slik som eter, kan antennes av gnist fra elektrisk utstyr.

6. Bruk alltid jordede stikkontakter i jordede vegguttak. Forsøk aldri a sette en jordetstikkontakt inn i et ujordet vegguttak.

7. Skjøteledninger bør ikke brukes i stedet for permanent kabling; de bør kun brukesmidlertidig og de bør ikke trekkes under dører, pa tvers av ganger, gjennom vinduereller hull i vegger, rundt rør eller i nærheten av vasker.

8. Ikke overbelast kretser ved a bruke grenuttak pa ett vanlig uttak.

9. Ikke fjern eller endre pa sikkerhetstiltak pa høyspenningsutstyr. Husk at de er derfor a beskytte deg.

10. Vær sikker pa at strømmen er slatt av under tilkobling eller nar endringer pakretsen foretas.

11. Vær sikker pa at alt utstyr er satt med riktige innstillinger iht. malingen som skalutføres før kretsen gjøres strømførende.

3For var hensikt vil det være nok a betrakte enhver spenning høyere enn 50 V som høyspenning.

1.5. SUNN FORNUFT I OMGANG MED ELEKTRISK UTSTYR 7

12. Vær sikker pa at komponentene som brukes er av en gradering som kan motstapalagt strøm og spenning.

13. Erstatt ødelagte sikringer med nye av riktig type og med korrekte spesifikasjoner.

14. Hvis du tror noen har vært utsatt for et kraftig elektrisk sjokk :

• ikke fjern den skadede fra den elektriske kilden før strømmen har blitt slattav.

• hvis du ikke far slatt av strømmen, bruk noe isolerende slik som et tørt tau,klut eller kosthandtak for a dra personen bort fra strømmen.

• sjekk om det er kontakt.

• sjekk om det er pust.

• sikre frie luftveier.

• nar skadde ikke puster eller ved hjertestans, ring 113 AMK-sentralen.

• gi hjerte-/lungeredning (HLR) 30 kompresjoner og 2 innblasninger. Fortsetttil helsepersonell kommer.

• puster den skadde selv, legges personen i stabilt sideleie.

• let etter brannskader og kjøl ned brannsar med vann og behandle dem somtredjegradsforbrenning.

• alle skadde skal ha tilsyn etter at førstehjelp er gitt. Ikke forlat bevisstløsepersoner. Bevisste personer skal snakkes med. Personskader skal behandlesvidere av medisinsk personell.

• personer som sendes til Legevakten i drosje/privatbil skal følges helt fram oginn. Ta med evt. HMS-datablad!

• alle ulykker/tilløp til ulykker er a betrakte som avvik i forhold til normal drift,og skal meldes pa avviksskjema.

I forsøket med Coulombs lov, gir høyspenningskanonen som brukes for a lade opp kulene25 kV nar den aktiveres. Strømmen er imidlertid begrenset til 75 µA. Slike strømmerhar vanligvis ingen fysiologisk virkning pa kroppen, men likevel: Behandle kanonen somom den var livsfarlig .


Kapittel 2

ELEKTROSTATISK KRAFT

Mal

Du skal i denne laboratorieoppgaven

• gjenta Coulombs epokegjørende eksperiment fra 1785, d.v.s. male elektrostatiskkraft s.f.a. avstand,

• studere den elektrostatiske kraftens avhengighet av ladningen,

• bestemme den elektriske permittiviteten for luft,

• føre en grundig journal og foreta en grundig feilanalyse.

2.1 Teoretisk bakgrunn

Her presenteres teorien svært kort. Noe teori gjennomgas ogsa i teksten til beregning-soppgavene i avsnitt 2.2. Ellers vises til lærebok og forelesningene i elektrisitet og mag-netisme.

2.1.1 Coulombs lov

Den elektrostatiske kraften (Coulombkraften) Fe mellom to punktladninger q1 og q2 i enavstand r i tomt rom er gitt av Coulombs lov:

Fe =1

4πε0

q1q2

r2= k

q1q2

r2, (2-1)

hvor ε0 = 8, 854 × 10−12 F/m er tomromspermittiviteten. Konstanten k = 1/(4πε0) =8, 99× 109 Nm2/C2 introduseres for a redusere skrivearbeidet.

9

10 KAPITTEL 2. ELEKTROSTATISK KRAFT

2.1.2 Kraftsensoren

Coulomb brukte i sitt eksperiment i 1785 ei torsjonsvekt1 for a male den elektrostatiskekraften mellom to ladde metallkuler og dermed etablere invers kvadrat-forholdet mellomkraft og avstand. Det er alminnelig a representere avvik fra invers kvadrat-loven veda uttrykke avstandsavhengigheten som r−2±q. Coulombs verdi for q er 4 × 10−2. Dethar vært mange forsøk pa a finne en mer presis verdi. I 1971 undersøkte Williams,Faller og Hill2 gyldigheten av Coulombs lov i det hittil mest nøyaktige “makroskopiske”eksperiment som har vært gjennomført. Gitt avstandsavhengighet pa formen r−(2+q),fant de at q = (2, 7± 3, 1)× 10−16.

I eksperimentet skal du bruke en kraftsensor for a gjenta Coulombs eksperiment. Sidenkraftsensoren gir en direkte maleverdi, er det viktig for oss a ha en av forstaelse hvordandenne virker, og hvorfor den oppgir de maltall den gjør.

Strekklapp

Den ohmske motstanden til et materiale med lengde l og et tverrsnittareal A er gitt ved

R = ρl

A, (2-2)

der ρ er spesifikk motstand for materialet. Dette kan utnyttes til a lage en strekksensor,som øker motstanden dersom lengden pa en leder økes og reduserer motstanden tilsva-rende dersom lederen blir komprimert. Tversnittarealet avtar ogsa noe ved forlengelseog øker noe ved komprimering. Dette vil, sett ut i fra funksjon 2-2, være en fordel da viønsker størst mulig malbar endring i motstanden.

En strekklapp (gauge sensor) er en leder lagt pa en elastisk folie pa en slik mate at enendring i en dimensjon lett kan registreres, mens en endring i de andre dimensjoneneikke pavirker sensoren betydelig. En typisk strekklapp er vist i figur 2.1.

Figur 2.1: En strekklapp er en leder lagt pa en elastisk folie, her vist i forstørret utgave. I dettetilfellet vil endringer i horisontal retning føre til en vesentlig endring i lederens lengde. En endringi vertikal retning vil ha liten innvirkning pa lengden. Pilene er kun som hjelpemiddel for a plasserestrekklappen riktig. De store omradene i enden av lederen er loddepunkter for tilkopling av ledning.

1Ei torsjonsvekts virkemate ble grundig gjennomgatt i eksperimentet for bestemmelse av gravita-sjonskonstanten i labbkurset i Mekanisk fysikk, og vi henviser derfor til labbheftet i Mekanisk fysikk foren detaljert beskrivelse og virkemate.

2Phys. Rev. Lett. 26, 721 (1971)

2.1. TEORETISK BAKGRUNN 11

Wheatstones bro

Wheatstones bro, som i bunn og grunn bestar av 2 spenningsdelere3, er en klassiskog effektiv mate a kunne finne verdien av en ukjente motstander. Broen bestar av enkjent spenningskilde, fire motstander, og et følsomt maleinstrument (galvanometer ellermultimeter). Tradisjonelt ble et slik oppsett brukt til a male størrelsen pa en ukjentmotstand ved a la den innga i broen sammen med en kjent motstand og med en nøyaktigvariabel motstand (skyvemotstand) koplet inn for den ene spenningsdeleren. I figur 2.2ville typisk R1 og R2 være skyvemotstanden, R3 ha kjent verdi, og R4 være den ukjentemotstanden. Man stiller inn skyvemotstanden og finner nar maleinstrumentet ikke visernoe utslag. Forholdet mellom den kjente og ukjente motstanden er da gitt av forholdetpa skyvemotstanden, og man kan da regne ut verdien av den ukjente motstanden.

VutVinn

R 1

R 2

R 3

R 4

Figur 2.2: Klassisk oppstilling av en Wheatstone-bro, med spenningskilde Vinn, fire motstander R1

– R4, og et malepunkt Vut.

Kraftsensoren

I selve kraftsensoren benyttes Wheatstone-broen litt annerledes enn forklart ovenfor.Istedet for a variere motstandene til utspenningen Vut = 0, leses bare spenningen av somet mal pa hvor forskjellige motstandene er. Det benyttes fire strekklapper pa et tilpassetlegeme, plassert slik at to komprimeres og to strekkes. Figur 2.3 viser et tverrsnitt avkraftsensoren som vi benytter i vart eksperiment. De fire strekklappene er identiske narsensoren ikke har belastning og har en verdi pa R, nar de utsettes for en belastning(enten strekk eller komprimering) betegner vi endringen ∆R.

Ut i fra likning 2-2 ser vi at en endring i motstand i en strekklapp er proposjonal medendring i dennes lengde4. Videre kan vi anta at Hooks lov gjelder for materialet i sensoren,altsa at en endring i lengde er proposjonal med patrykt kraft. Dette medfører at endringeni motstanden ∆R er proposjonal med kraften. Det kan vises at utgangsspenningen, Vut,er proposjonal med endringen i mottand, ∆R, og dermed ser vi at utgangsspenningentil kraftsnsoren er lineært avhengig av kraften den skal male5.

Kraftsensoren koples til en ”universal visningsenhet“ som regner om utsignalet til kraftmalt i mN. Denne omregningen, kalibreringen, kan vi ikke endre men den bør etterprøves.Enheten har en nullstillingsknapp markert → 0 ←, ved a trykke pa denne benytter en-heten seg av naværende verdi av utspenningen, Vut, som nullreferansepunkt for videre

3Se kapittel 4.2.5 for en repetisjon/innføring av hva en spenningsdeler er.4Tversnittet av lederen i strekklappen endrer seg ikke i noen betydlig grad.5Sammenhengen mellom utspenning, Vut, og endring i motstand, ∆R, er gitt i ligning 2-3. Denne

sammenhengen skal dere selv komme frem til i en av forhondsoppgavene i kapittel 2.2.


beregning av kraft. Kraftsensoren og visningsenhetens elektronikk krever en viss oppvar-mingstid før denne stabiliserer seg. Sørg derfor a skru pa enheten minst en halv time førde reelle maleseriene tas for a unnga drift. Det samlede oppsettet for forsøket er vist ifigur 2.4.

Figur 2.3: Tverrsnitt av kraftsensoren som bestar av et metallstykke med som bøyes i enkeltepunkter. Fire strekklapper med lik motstand R er plassert i de punkter hvor metallet har størstpakjenning og resistansen i disse endres med ∆R ved belastning.

Figur 2.4: Forsøksoppstillingen i Coulombeksperimentet. (1) visningsenheten, (2) kraftsensor medarm og kondensatorkule K2, (3) malestativ med kondensatorkule K1, (4) ladningsøsen med konden-satorkule K3, og (5) Høyspenningskanonen. Faradayburet er ikke vist.

2.2. BEREGNINGSOPPGAVER / FORHANDSOPPGAVER 13

2.2 Beregningsoppgaver / forhandsoppgaver

2.2.1 Wheatstone-broen

Oppsettet som kraftsensoren bruker for a male endring i motstand kalles en full-bro (fullbridge), denne skal vi se litt nærmere pa.

1A. Ut fra figur 2.2 og 2.3, vis at sammenhengen mellom innspenningen Vinn og utspenningenVut er gitt ved formelen

Vut =∆R

RVinn. (2-3)

Tips: Siden et voltmeter har en stor indre motstand, kan du anta at strømmen gjennomutgangen er null.En typisk hvilemotstand (motstanden uten belastning) for en strekklapp er 120 Ω.

1B. Prøv a begrunne hvorfor dette er et godt valg.

2.2.2 Metallkule i tomt rom

En elektrodes evne til a ta opp ladning avhenger bl.a. av elektrodens kapasitans definertved

C =q

V, (2-4)

der q er elektrodens ladning og V elektrodens potensial (spenning) relativt uendelig. Forei metallkule med radius ρ kan vi fra Gauss’ lov beregne at kapasitansen i tomt rom er

C = 4π ε0 ρ. (2-5)

I eksperimentet skal du anvende kuleformede elektroder med radius ρ = 15 mm.

2A. Beregn kapasitansen til en slik elektrode.

2B. Beregn ladningen pa elektroden nar den er ladet opp til et elektrisk potensial lik 25 kV.

2.2.3 Bestemmelse av ladning v.h.a. Faradaybur

Ifølge Coulombs lov (2-1) er det en frastøtende kraft mellom like elektriske ladninger.Ladninger pa en elektrode vil derfor søke seg lengst mulig vekk fra hverandre og følgeligfordele seg jamt over elektrodens ytre overflate. Inne i elektroden vil det da være badeladningfritt og feltfritt. Dette ble bevist av Faraday.

Faraday isolerte ei metallbøtte elektrisk og kopla et elektroskop til utsiden av bøtta. Sasenka han ei ladd metallkule, der kula var festa i en silketrad (som er en god isolator),ned i bøtta. Idet kula kom i kontakt med bunnen viste elektroskopet at bøtta endrettilstand fra uladd til ladd. Elektroskopet viste ogsa utslag før kula var i fysisk kontaktmed bøtta, og da kula ble tatt opp av bøtta viste undersøkelser at den var uladd. Dette


Figur 2.5: Faradayburet.

C

elektrometer 0123456eh

........................................................................................................................................................................................ ........... .............. ................. .................... ....................... .......................... ............................. ................................

eh

++

+

+ +

+

++

++

B

elektrometer 0123456eh

........................................................................................................................................................................................ ........... .............. ................. .................... ....................... .......................... ............................. ................................ eh

++

+

+ +

+

++

++

A

elektrometer

0123456eh

........................................................................................................................................................................................ ........... .............. ................. .................... ....................... .......................... ............................. ................................ eh

+++

++

+

+ +

+

++

++

−−

−

− −−

−−

−−

Figur 2.6: Maling av ladning med Faradaybur og elektrometer. Faradayburet er isolert fra jordog potensialet relativt jord males. A: Ladd elektrode føres inn i Faradayburet og elektrometeretviser umiddelbart utslag. B: Elektroden i kontakt med Faradayburet. C: Elektroden trekkes ut ogelektrometeret viser fortsatt samme utslag. Elektrodens opprinnelige ladning er overført til Faraday-bur/ledning/elektrometer.

tolket Faraday slik at nar kula berører bunnen av bøtta og blir en del av denne, elektrisksett, sa vil ladningene (som opprinnelig satt pa kulas utside) flytte seg til utsida av bøtta.

Vi kan bruke Faradays oppstilling for a male ladningen pa en oppladd elektrode: Fara-dayburet er vist i figur 2.5 og oppstillingen er vist i figur 2.6. Elektroden med ladningensom skal males, senkes ned i den innhule elektroden, det sakalte Faradayburet, som ergodt isolert fra jord og tilsvarer bøtta i Faradays eksperiment. I stedet for et elektroskopbruker vi et elektrometer for a male spenningen Vf pa Faradayburet i forhold til jord.

Faradayburet, ledningene til elektrometeret og selve elektrometeret kan betraktes somen elektrodekonfigurasjon som har en bestemt konstant kapasitans C = CFaradaybur +Cledninger +Celektrometer mot jord. Hvis denne kapasitansen er kjent (eller den kan males),kan ladningen beregnes fra q = CVf .

Anta at C = 130 pF og at en spenningen Vf = 60 V blir malt nar en bestemt ladet

2.2. BEREGNINGSOPPGAVER / FORHANDSOPPGAVER 15

elektrode senkes ned i Faradayburet.

3. Beregn ladningen q pa elektroden.

Selve Faradayburet er isolert fra jord, men omgitt av en jordet nettingsylinder somskjermer mot elektromagnetisk støy. En koaksialkabel (se figurene 2.7 og 2.8) er kopla

Figur 2.7: Tverrsnitt av en koaksialkabel. Figur 2.8: Koaksialkabel med BNC-tilkopling.

til elektrometeret. Denne kabelen har to klemmer hvorav senterlederen koples til Fara-dayburet og skjermledningen til den omgivende nettingsylindren. Dette er skissert i figur2.9. I tillegg koples en jordledning fra elektrometerets jordpunkt til jordingsskjermen.Elektrometeret maler spenningen mellom inngangsklemmene ved at spenningen koplesover en kjent, stor motstand Ri mellom inngangsklemmene, og strømmen I i motstan-den males. Fra Ohms lov beregnes spenningen Vf = RiI, og elektrometerets skala viserspenningen Vf direkte.

. ..................... .................... ................... .................... ...................... ........................... .......................... ......................... .......................... ....................................... .............. ...............

..................................

df dfGND

jordingsplate

jordingsskjerm

Faradaybur

isolerendefot

dfdfdf.............. ............. .............. ............... ................ ................. .................. .................... ...................... ........................ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss ssssssss sssssssssssssssss sssssssssssssssssss sssssssssssssssssssssss sssssssssssss . ............ ........... .......... ........... ............ ............ ............. ...............

.................

...................

. ...........................................

.................................... ................ .............. ............. ............ ............ ............ ........... ............. ...............

..................................bb

Figur 2.9: Faradaybur med omgivende skjerm og elektriske koplinger.

Ladningen som tilføres elektrometeret for maling vil altsa lekke til jord gjennom Ri.Motstanden Ri ma derfor velges stor, ellers vil ladningen forsvinne før du far malt den.Den kan heller ikke velges for stor, da strømmen I blir for liten til a males nøyaktig.

Anta at Ri = 1014 Ω, Vf = 60 V og at q er som beregnet ovenfor.


4. Ansla hvor stor del av ladningen som lekker til jord gjennom elektrometeret i løpet av femminutter.Hjelp: Gjennomfør anslaget ved a anta at Vf er tilnærmet konstant over fem minutter.

5. Er antakelsen om konstant Vf rimelig?

2.2.4 Coulombs lov

Anta at du har to kuler med radius ρ = 15 mm, senter-til-senter-avstand 10 cm og atdu legger begge pa et elektrisk potensial lik 25 kV relativt uendelig.

6. Hvor stor blir den elektrostatiske kraften mellom kulene? Blir det tiltrekning eller frastøtning?

7A. Skisser et kurvediagram over kraften Fe(1/r2). Dvs. velg Fe langs y-aksen og 1/r2 langs

x-aksen (3 ≤ r/cm ≤ 15).

7B. Finn ti verdier for r som vil være jevnlig fordelt pa 1/r2-aksen (3 ≤ r/cm ≤ 15).

Strengt tatt gjelder Coulombs lov kun for punktladninger. For kuler med endelig utstrek-ning vil vekselvirkning mellom overflateladningene pa kulene gi ujevn ladningsfordelingpa kuleoverflatene. Dette vil for to kuler med radius ρ = 15 mm i en avstand større enn10 cm føre til et avvik pa under 1% i forhold til verdier beregnet v.h.a. Coulombs lov(2-1).

2.2.5 Gravitasjonskraft

Vi ønsker a male den elektrostatiske kraften mellom kulene med en nøyaktighet in-nenfor 3%. I oppsettet vil vi ha gravitasjonsvekselvirkning mellom kulene i tillegg tilden elektrostatiske kraften. Vi ma derfor beregne gravitasjonskraften for a se pa relativinnvirkning fra denne. Gravitasjonskraften mellom to kuler med masser m1 og m2 ogsenter-til-senter-avstand r er gitt ved

Fg = Gm1m2

r2, (2-6)

hvor G = 6, 67 × 10−11 Nm2/kg2 er gravitasjonskonstanten. Kraftlovene for gravitasjonog elektrisitet har altsa begge samme r-avhengighet.

Anta at kulene i oppgavene over veier 25 g hver og at de fremdeles ligger i en-senter-til-senter-avstand 10 cm.

8. Beregn gravitasjonskraften mellom kulene. Er det nødvendig a ta hensyn til gravitasjons-kraften mellom kulene?

9. Beregn forholdet Fg/Fe mellom gravitasjonskraften og Coulombkraften for to elektron.6

Hva innebærer dette resultatet?

6Elektroner har masse me = 9, 11× 10−31 kg og ladning e = 1, 602× 10−19 C.

2.3. EKSPERIMENTELT 17

2.3 Eksperimentelt

2.3.1 Apparatur

Følgende instrumenter inngar i oppstillingen:

• Kraftsensor Leybold S 524 060. m/tilbehør:

– Visningsenhet, Leybold UMI 531 835.

– Arm med kule, kulediameter 30 mm.

– kalibreringslodd, lodd med nøye oppmalte masser.

• Høyspenningskanon Emco DX250. Utgangsspenning/strøm: 25 kV/75µA. Inn-gangsspenning: +12 V ±5%.

• Spenningskilde EA-PS 2012-05 for høyspenningskanon, spenning: 12 V.

• Ladningsøse, kulediameter 30 mm.

• Malestativ med kule, kulediameter 30 mm.

• Diverse utstyr. Malestav 1 m; metermal 0–2 m; skyvelære; vaterpass; vaterm/tvinge, plasthansker.

• Faradaybur, elektrometer og tilhørende utstyr:

– Skjermet Faradaybur, Pasco Mod. ES9058.

– Elektrometer m/tilkoplingskabler.Maleomrade: 0–100 V, inngangsmotstand: Ri = 1014 Ω.

– Faradaybur, kabel og elektrometer har en total kapasitans pa C = 130 pF.

– Multimeter Escort EDM168A, 3 sifre, eller tilsvarende.

2.3.2 Forsiktighetsregler

Høy spenning.Høyspenningskanonen som brukes for a lade opp kulene gir 25 kV nar den aktiveres.Strømmen er imidlertid begrenset til 75 µA. Slike strømmer har vanligvis ingen fysiolo-gisk virkning pa kroppen, men likevel: Behandle kanonen som om den var livsfarlig.

Kraftsensoren.Kraftsensoren er et presisjonsinstrument som du ma behandle forsiktig. Dette gjelderspesielt ved a ikke utsette den for krefter større enn ±2,5 N, noe som kan føre til over-belasting av sensoren. Sensoren er ikke ment for maling av krefter større enn ±1 N.

Isolatorer.Overflaten av isolatorene som kulene er montert pa bør ikke røres med fingrene. Fett ogsyre fra fingeravtrykk vil danne ledende kanaler pa overflaten og nedsette isolasjonsevnenog føre til lekkasje av ladning fra kulene. Bruk utlagte plasthansker nar du ma handterekulene eller isolatorene.


2.3.3 Kalibrering: Etterprøving av kraftsensoren.

Kraftsensoren er allerede ferdig kalibrert fra Leybold GmbH. Vi vet ikke om det denviser stemmer, og dette bør etterprøves. Sett opp kraftsensoren slik at denne kan male ivertikal retning, sørg for at denne er i lodd, og at sensoren er nullstilt.

Foreta malinger med forskjellige masser og fremstill dette i en graf, kraft som funksjonav masse. Estimer stigningstall og en usikkerhet for denne grafen.

2.3.4 Montering av kuleelektrode og klargjøring av kraftsensor

Kraftsensoren ma vatres slik at den virker i horisontal retning for de pafølgende eksperi-menter. Videre ma kulen K2 monteres pa kulearmen og kraftsensoren ma nullstilles. Ensjekk av nullstilling bør gjøres ofte.

Bruk alltid plasthansker nar du ma ta pa kulene eller kulearmene.

2.85 mN

6

123

5

4

jord=rødblå gul

Figur 2.10: Elektriske koplinger. (1) Høyspenningskanon, (2) spenningsforsyning, (3) kraftsensorensvisningsenhet, (4) kraftsensor, (5) holder for ladningsøse og (6) løs jordledning for utladning.

2.3.5 Elektriske ledninger

Prøv alltid a bruke riktig fargekoding pa de forskjellige ledningene nar du setter opp eteksperiment, dette gjør feilsøking mye enklere.


Oppkopling av elektriske ledninger, i henhold til figur 2.10:

• Kople høyspenningskanonen til spenningsforsyningen: Ledning med rød plugg til+ 12V, bla med svart endeplugg til 0 V, gul til jordkontakten.

• 0 V pa spenningsforsyningen skal være jordet referanse, kople derfor sammen jord-kontakten og 0 V-uttaket pa denne.

• Kople jordledninger til kraftsensorstativet med kule K2, malestativet med kule K1,ladningsøsen med kule K3.

• Kople ogsa en jordingsledning med løs ende. Denne brukes til a lade ut kulene.

Apparaturen er na klar til bruk. Be labveilederen om a demonstrere bruken av kanonenfør du tar den i bruk.

2.3.6 Eksperiment 1: Kraft s.f.a. avstand

Oppgave:Undersøk hvordan den elektrostatiske kraften mellom de ladde metallkulene K1 og K2 varierersom funksjon av senter-til-senter-avstanden r, i omradet 3 til 15 cm.

Kule K2 er montert pa kraftsensoren og kule K1 er montert pa en skyvbar arm slik atavstanden mellom kulene kan reguleres.

• Tøm kulene for ladning ved a berøre dem med den løse jordledningen.

• Juster armen slik at skalaviseren peker pa 3,1 cm.

• Still opp stativet med kule K1 slik at denne kula beveger seg radielt fra K2 ognormalt pa armen fra K2 til kraftsensoren. Sørg for at avstanden mellom kule-overflatene er 1 mm. Med innstilling av skalaen pa 3,1 cm som angitt, skal dasenter-til-senter-avstanden kunne leses direkte av pa skalaen.

• Reguler avstanden mellom K2 og K1 slik at senter-til-senter-avstanden blir f.eks.r = 15 cm.

• Nullstill kraftsensoren.

• Lad begge kulene opp v.h.a. høyspenningskanonen.

• Les av posisjon og kraft.

• Flytt K1 nærmere K2 og les igjen av kuleavstanden r og Kraften Fe.

• Gjenta malingen med stadig kortere avstand mellom kulene. Det er lurt a velger-verdiene slik at punktene sprer seg jevnt langs en 1/r2-akse (bruk diagrammetfra oppgaven i avsnitt 2.2.4). Mal for minst 5 r-verdier.

• Foreta minst 5 maleserier, der du lader ut kulene, nullstiller kraftsensoren, og laderopp igjen mellom hver gang. Varier gjerne slik at r males i bade stigende og fallenderekkefølge.


Analyse av maleresultatene.

• Tegn opp ei kurve av kraften Fe sfa. 1/r2 pa millimeterpapir eller i Excel/Python.Estimer en trendlinje.

• Beregn gjennomsnitt og standardavvik for hver malte r-verdi ut fra de forskjelligemaleseriene.

• Stemmer resultatene dine med Coulombs lov? Kan du forklare eventuelle avvik?Hva skjer nar r er mindre enn 5–6 cm?

Mens du maler vil ladningen gradvis lekke ut fra kulene, spesielt hvis du bruker lang tidpa maleserien. Prøv derfor a redusere tiden mest mulig men ivareta nøyaktigheten. Si-den forutsetningen er at ladningen pa kulene skal være konstant under hver maleserie villadningstapet føre til en malefeil. Det er viktig a legge opp maleprosedyren slik at dennefeilkilden kan kontrolleres. Du tar derfor flere maleserier med utladning og oppladningav kulene mellom hver serie. I første serie maler du (som beskrevet) Fe for avtakendeverdier av r og i neste maleserie maler du Fe for de samme r-verdiene i økende rekkefølge.Sammenlikning av malingene ved tilsvarende avstander mellom de to seriene vil gi opp-lysninger om forandring av ladningen. En annen mate a kontrollere tap av ladning er aforeta en kontrollmaling ved en bestemt r-verdi f. eks. r = 10 cm mellom hver maling.Sa lenge resultatet av kontrollmalingen forblir konstant har du ikke mistet ladning. Selvom du oppdager at ladningen begynner a lekke ut kan du fortsette malingen, dette er endel av hvor nøyaktig vi kan gjøre disse malingene og blir en del av standardavviket.

En annen malefeil er at nar kule K2 forskyves som følge av frastøtningen, er ikke avstan-den mellom kulene lik det som skalaen indikerer. Dette far mest betydning nar kulene ernærme, men denne effekten er noksa liten i vart eksperiment, da det er snakk om smakrefter og kraftsensoren ikke beveger seg langt. Gjør et estimat, om mulig av hvor langtsensoren flytter seg ved full kraft mellom kulene og liten avstand.

En tredje malefeil skyldes polarisasjon av ladningen pa kulene. Like ladninger frastøterhverandre slik at senter-til-senter-avstand for ladningsfordelingen pa hver kule er størreenn geometrisk senter-til-senter-avstand for kulene. Denne feilen far ogsa mest betydningnar kulene er nærme.

Hva vil skje dersom kulene ikke har like stor ladning?

2.3.7 Eksperiment 2: Kraft s.f.a. ladning

Oppgave:Undersøk hvordan den elektrostatiske kraften avhenger av ladningen q1 til kule K1. D.v.s. malKraften pa kule K2 s.f.a. ladningen pa kule K1.

Ladningen q1 kan halveres ved a sette kula i kontakt med en ladningsfri kule med sammedimensjon (ladningsøsa). Ladning q2 pa kule K2 holdes konstant.


Prosedyre:

• Innstill avstanden mellom kulene pa en fast verdi, f.eks. 6,0 cm.

• Lad ut kulene og nullstill kraftsensoren.

• Lad opp kulene og les av kraften Fe.

• Lad ut kule K3 pa ladningsøsa ved a la den berøre jord.

• Før na kule K3 forsiktig i kontakt med kule K1. Kulene K1 og K3 vil na deleladningen som var pa K1 mellom seg. Siden begge kuler er like store og omtrentpa samme plass i rommet vil de ha omtrent samme kapasitans mot omgivelseneog derfor dele ladningen likt mellom seg. Pa denne maten kan ladningen pa K1

halveres.

• Les av ny verdi for Fe med halvert ladning pa K1.

• Fortsett a halvere ladningen sa lenge du far avlesbare forandringer.

• Foreta minst 5 maleserier, der du lader ut kulene, nullstiller kraftsensoren, og laderopp igjen mellom hver gang.

Analyse av maleresultatene.

• Tegn opp ei kurve av kraften Fe s.f.a. ladning q1 pa millimeterpapir eller i Excel/Pyt-hon. Estimer en trendlinje.

• Beregn gjennomsnitt og standardavvik for hver q1-verdi.

• Stemmer resultatene dine med Coulombs lov? Kan du forklare eventuelle avvik?Hvorfor endrer kraften fortegn for lave verdier av q1?


2.3.8 Eksperiment 3: Elektrisk permittivitet

Oppgave:Du skal beregne verdi for luftas permittivitet ε0 ved to ulike metoder:

I) Maling av ladning og kraft pa kule og bruk av Coulombs lov (2-1).

II) Beregning av kapasistans for kule via ladningsmaling og antakelse om kapasistans forei kule i likning (2-5).

Metode I:

I eksperiment 1 har du malt den elektrostatiske kraften Fe mellom to metallkuler. Hvisdu ogsa maler ladningen pa kulene, kan du fra Coulombs lov (2-1) bestemme luftaspermittivitet ε0 nar avstanden er kjent. Ladningsmaling kan gjøres ved Faradaybur ogelektrometer, som forklart i det følgende, med referanse til avsnitt 2.2.3.

Sikkerhet med elektrometeret:Elektrometeret kan male spenninger opp til maksimum 100 V. Vesentlig høyere spennin-ger vil skade elektrometeret. Da inngangsmotstanden er sa stor som 1014 Ω betyr dettem.a.o. at inngangsstrømmer som er vesentlig større enn I = V/R = 100 V/1014 Ω =1× 10−12 A = 1 pA vil skade elektrometeret.

Kroppen din og klærne lades lett opp til flere tusen volt f.eks. under en rask marsj langskorridoren. Hvis du er oppladet og rører inngangsklemmene til elektrometeret er deten stor sannsynlighet for at du overskrider bade strøm- og spenningsbegrensningene tilelektrometeret og ødelegger inngangskretsen. Før du begynner a arbeide med elektrome-teret er det derfor viktig at du lader ut kroppen din. Dette gjør du med begge hendera berøre den jorda skjermplata som ligger pa arbeidsbenken. Du skal under malingeneholde deg utladet ved a la den ene handa være mest mulig i berøring med skjermplata.

Tilkoplingen til elektrometeret er gjennom en sakalt BNC-kontakt. Denne kontakten erspesielt laget for a brukes sammen med sakalte koaksialkabler. Koaksialkabler er tolederehvor den ene lederen danner en sylindrisk kappe rundt den andre lederen. Den sylindriskekappen brukes som jordleder og skjermer samtidig innerlederen for elektromagnetisk støy.

Faradayburet bestar av en 12 cm dyp nettingsylinder med diameter 8 cm, lukket i bunnenog isolert fra fotplata med en 5 cm lang keramikkstav. Ikke berør keramikkstaven medfingrene! Rundt Faradayburet er det plassert en nettingsylinder som koples til jord for askjerme Faradayburet mot elektromagnetisk støy.

Fremgangsmate for maling av ladning (se ogsa avsnitt 2.2.3):

• Sjekk at skjermplata er jordet og rør plata med begge hendene for a utlade degselv. Sørg deretter for a holde den ene handa mest mulig pa skjermplata.

• Nullstilling av elektrometeret:

– La elektrometeret være avslatt med ZERO-knappen i stilling “ZERO LOCK”.Da er inngangen pa elektrometeret lagt til GND-kontakten pa elektrometeret.


– Sett funksjonsknappen pa 100 V og sla elektrometeret pa.

– Juster nullpunktet med ZERO-ADJUST-knappen, først med funksjonsvelge-ren i stilling 100 V, deretter med funksjonsvelgeren i stilling 10 V.MERK: Elektrometerets viserinstrument viser korrekt verdi kun nar det liggeri horisontalt, reis derfor ikke opp instrumentet.

– Sett funksjonsvelgeren i stilling 100 V.

– Sla ZERO-knappen over i stilling “PUSH TO ZERO”. Ved a trykke innZERO-knappen blir Faradayburet utladet mot jordpotensialet.

• Bestemmelse av ladningen pa kule K3 (ladningsøsa):

– Lad kula K3 med høyspenningskanonen.

– Halver ladningen pa kula. (Full ladning er for stor a male for Faradayburet.)

– Dersom ladningen fremdeles er for høy, halver igjen (Instrumentet viser maks100V selv om spenningen kan være mye høyere).

– Før kula til kontakt med Faradayburets innside.

– Mal og noter spenningen pa Faradayburet.

– Malingen av ladningen gjentas flere ganger for a fa bedre malesikkerhet.

– Etter endt maling, sett ZERO-knappen i stilling “ZERO LOCK” og sla avelektrometeret.

– Beregn ladningen pa kula. Anta at Faradayburet, kabel og elektrometer hartotal kapasitans C = 130 pF.

Du observerte kanskje at elektrometeret fikk det endelige utslaget allerede før du berørtegitteret? Dette kalles induksjon og skyldes at ladningen pa giveren tiltrekker/frastøterelektronene i gitteret slik at det pa utsiden av gitteret samles en ladning som er like storsom ladningen vi vil male.

Bruk resultatet for en valgfri verdi av r fra eksperiment 1 til a finne kraften mellom tokuler med full oppladning og med kjent avstand. Kulene K1 og K2 har samme dimensjonsom kula K3 pa ladningsøsa, slik at de forventes a fa samme ladning ved oppladning fraelektronkanonen. Husk halveringen av ladningen pa K3 før maling i Faradayburet.

Beregn luftas permittivitet ε0 med usikkerhet fra Coulombs lov i likning (2-1).

Metode II:

Nar ladningen er malt og potensialet er kjent, kan du beregne kulas kapasitans fra likning(2-4). Hvis kulas radius, ρ, males, kan du beregne luftas permittivitet fra uttrykket (2-5)for kulas kapasitans.

Anta at høyspenningskanonen lader opp til 25 kV og bruk at høyspenningskanonen ogkula har samme potensial ved ladningsoverføring til a beregne kapasitansen til kula.

Beregn luftas permittivitet ε0 med usikkerhet fra beregnet kapasitans og bruk av likning (2-5).


Diskusjon:

• Sammenlikn verdien av den malte kulekapasitansen med den beregnede verdien iberegningsoppgave 1.

• Diskuter eventuelle avvik mellom malt og beregnet verdi for kapasitansen.

• Hvordan er overensstemmelsen med estimatet for ε0 med de to beregningsmetoder?Hvilken verdi forventer du har minst feil? Begrunn svaret ditt.

• Er det samsvar mellom malt verdi og tabellverdi for ε0 innenfor de estimerte feil-grenser?

• Dersom noe avviker, gi en begrunnelse hvorfor.

2.3.9 Avslutning

Sla av alle apparater, trekk ut alle ledninger og forlat plassen i minst like god orden somdu fant den.

Kapittel 3

STATISK MAGNETFELT

Mal


• lære a male magnetfelt med Halleffekt-gaussmeter,

• studere magnetfeltet rundt en kort spole, Helmholtzspole og solenoide,

• bruke Excel regneark til a sammenlikne beregnede og malte resultater.


Her presenteres Biot-Savarts lov. Noe teori presenteres i teksten for beregningsoppgavenei avsnitt 3.2. Forøvrig vises til lærebok og forelesningene i elektromagnetisme.

3.1.1 Biot-Savarts lov

Elektriske felt genereres rundt enhver elektrisk ladning mens magnetiske felt genere-res kun rundt elektriske ladninger som beveger seg. I 1820 utførte Jean-Baptiste Biotog Felix Savart eksperimenter med magnetfelt rundt strømførende ledere og satte oppfølgende uttrykk for magnetfeltetbidraget d ~B i et punkt P i rommet fra strømmen I i etledningselement d~s:

d ~B =µ0

4π

Id~s× rr2

, (3-1)

hvor ~r er posisjonsvektoren til punktet P malt fra strømelementet Id~s, r = ~r/r erenhetsvektor langs ~r og µ0 er magnetisk permeabilitet i tomt rom. Legg merke til r−2-avhengigheten, den samme som for den elektriske feltstyrken i Coulombs lov. Superposi-sjonsprinsippet gjelder for magnetfelt, og følgelig kan den totale feltstyrken ~B i punktet

25

26 KAPITTEL 3. STATISK MAGNETFELT

P fra hele lederen finnes ved a integrere hele over lederens lengde s:

~B(~r) =µ0I

4π

∫s

d~s× rr2

. (3-2)

I eksperimentet skal du undersøke magnetfeltet langs aksen til sirkulære spoler. Denenkleste sirkulære spolen som du kan lage bestar i en enkel tradslynge som vist i figur3.1. Magnetfeltet pa aksen til slyngen vil ha en komponent i akseretningen x og en

..........................................................................................................................

...................

....................

.....................

..............

.........

.

.............

........

..............

......

..............

....

............................................... ............. ............ ........... ............ ............. .............

. .............. ............. ............. ............ ...............................................

...................

.....................

..............

.........

.............

...........

........................

......................

....................

...................

.................

............................................................................... . .........................................................................................6

.

................................................................................................................. .

.................................................................................................................

.

..................................................................................................................................

......... ....... ....................

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

XXXzXXXzXXXzd~sd~s r

r

xα

ξ

I

I

...........

..............................

-

6

......... ....... ....... ........

PdBx

dB⊥ d ~Bαθ

Figur 3.1: Magnetfeltet pa aksen til en sirkulær tradslynge.

komponent normalt pa denne. Ifølge Biot-Savarts lov vil normalkomponenten nulles utved bidrag (integrasjon) over hele sløyfa idet symmetrien for systemet gir lik styrke i alleretninger. For x-komponenten far vi ved a sette inn r2 = x2 + ξ2 og bruke sinα = ξ/r

dBx =µ0I

4π

ds

x2 + ξ2sinα

=µ0I

4π

ξ dθ

x2 + ξ2

ξ√x2 + ξ2

, (3-3)

der θ er integrasjonsvinkelen rundt sløyfesirkelen. Integrert over sløyfa med∫

dθ = 2πgir dette resultatet

Bx =µ0I

4π

2πξ2

(x2 + ξ2)3/2=µ0I

2ξ

(1 +

x2

ξ2

)−3/2

. (3-4)

For x = 0 (midt i sløyfa) blir Bx = µ0I/2ξ og for x ξ (langt borte fra sløyfa) blirBx = µ0Iξ

2/2x3 .

3.2. BEREGNINGSOPPGAVER 27

3.2 Beregningsoppgaver

3.2.1 Excel-regneark

I flere av de følgende beregningsoppgaver brukes Excel regneark. De samme regnearkskal ogsa brukes for registrering av maleresultat som beskrevet i 3.3.

3.2.2 Kort spole

Magnetfeltet fra en kort spole med N viklinger kan langt fra spolen (i forhold til spolensutstrekning) ses pa som summen av magnetfeltet fra N strømsløyfer gitt i likning (3-4).Magnetfeltet pa aksen i avstand x fra midlere sentrum av spolen blir da ifølge likning(3-4) gitt ved

B(x) =Nµ0I

2R

(1 +

x2

R2

)−3/2

, (3-5)

hvor R = 〈ξ〉 er gjennomsnittsradius for strømsløyfene.

Anta at du har en kort spole med N = 330 viklinger og gjennomsnittsradius 〈R〉 =70 mmmed en konstant strøm I = 1,00 A gjennom viklingene.

1A. Lag en tabell over magnetflukstettheten B(x) pa aksen til spolen i omradet -20 cm < x < 20 cm.Bruk Excel regneark.

Et forslag til tabell er vist i figur 3.2. Konstanter skrives inn i rader under overskriften.Deretter følger tabellverdier der hver kolonne ma ha en beskrivende tekst. Hjelp: Dersom

Tabell 1. Beregnede og målte verdier av magnetfeltet B på aksen

til en kort spole s.f.a. avstanden x fra spolens midtplan

Magnetisk permeabilitet for tomt rom, µ0 1,26E-06 H/m

Antall viklinger, N 330 #

Spolestrøm, I 1,00 A

Gjennomsnitts spoleradius, R 0,07 m

Posisjon Beregnet Målt Differanse

på målestav x B1 B2 B2-B1

(cm) (m) (gauss = 10-4

T) (gauss) (%)

24,5 -0,25 0,581 -100,0

29,5 -0,20 1,068 -100,0

34,5 -0,15 2,241 -100,0

39,5 -0,10 5,588 -100,0

44,5 -0,05 15,965 -100,0

47,5 -0,02 26,339 -100,0

48,5 -0,01 28,745 -100,0

49,5 0,00 29,629 -100,0

Figur 3.2: Utdrag fra Excel-tabell for magnetfelt pa aksen til tynn spole.

f.eks. første tallinje i tabellen er skrevet inn pa rad 14 og beregnet verdi er i kolonne 3


vil formelen som representerer likning (3-5) bli slik:

=(($E$4*$E$5*$E$6)/(2*$E$7))*((1+(B14/$E$7)^2)^(-1,5))*10000 .

Verdien er multiplisert med 10000 slik at B(x) vises i gauss (10−4 tesla), som er tallver-diene gaussmeteret viser.

1B. Framstill resultatet i et kurvediagram i regnearket.

Regnearket skal ogsa brukes for registrering av maleresultat i avsnitt 3.3.

1C. Inkluder en kolonne for malt verdi av B og en kolonne for avvik mellom malt og beregnetverdi gitt i %, og forbered ogsa til a vise avviket grafisk. (Et forslag er gitt i tabellen i figur3.2.)

Ta en kontrollregning for hand av en av de beregnede B. Sjekk utregnet differanse veda sette inn noen tenkte maleverdier.

En nøtt for de som har god tid:

Den virkelige spolen du skal bruke i oppgaven har 22 viklinger i 15 lag med en effektivtraddiameter lik 0,93 mm, viklet med indre diameter lik 126 mm og ytre diameter lik154 mm.

2. Hvordan tror du at det virkelige magnetfeltet i nærheten av spolen vil avvike fra detmagnetfeltet som beregnes fra likning (3-5)? 1

3. Hvis du skulle ta hensyn til spolens utstrekning under beregningene av feltet hvordan villedu da ga fram? 2

3.2.3 Helmholtzspoler

Sakalte Helmholtzspoler bestar av to identiske, korte seriekoplede spoler satt opp koak-sialt i en avstand a som vist i figur 3.3. Det aksiale magnetfeltet pa aksen er gitt avlikning (3-5) for hver spole. Ifølge superposisjonsprinsippet finner vi det totale feltet iavstand x fra midtplanet mellom spolene til a bli lik

Bx(x) =Nµ0I

2R

[(1 +

(x− a/2)2

R2

)−3/2

+

(1 +

(x+ a/2)2

R2

)−3/2]. (3-6)

Her er spolenes gjennomsnittsradius lik R, strømmen gjennom spolene lik I og vi harneglisjert utstrekningen av spolene.

Hvis du deriverer likning (3-6) m.h.p. x finner du at ved x = 0 er dB/dx = d2B/dx2 =d3B/dx3 = 0 nar a = R. Dette betyr at nar a = R har du en geometri som gir deg

1TIPS: Se pa utstrekningen av spolen som feil i x og ansla tilsvarende feil ∆B i B(x).2TIPS: Del spolen inn i f.eks. tre spoler med 110 viklinger hver og beregn feltet fra hver av spolene

og superponer virkningen. Det beste du kan gjøre er a behandle hver vikling for seg, og i praksis betyrdet integrasjon over hver vikling.


et spesielt godt homogent magnetfelt i omradet mellom spolene. Slike Helmholtzspoleranvendes for a sette opp homogene magnetfelt i mange situasjoner. Anta at du har

⊙

⊕

⊙

⊕-. ............ ...........

.................... ................x

a

O

R

Viklinger

6

Figur 3.3: Helmholtzspoler bestar av to tynne spoler i en gitt avstand a mellom spolene.

Helmholtzspoler med N = 330 viklinger pa hver spole, R = 70 mm og sender en konstantstrøm I = 1,00 A gjennom viklingene.

4A. Lag en tabell over magnetflukstettheten B(x) pa aksen til Helmholtzspolen i omradet-20 cm < x < 20 cm for hver av de tre forskjellige verdiene a = R/2, R og 2R. Bruk Excelregneark. 3

Et forslag til tabell er vist i figur 3.4.

Tabell 2. Målte og beregnede verdier av magnetfeltet B på aksen

til en Helmoltzspole s.f.a. avstanden x fra spolens midtplan

Magnetisk permeabilitet for tomt rom, 1,26E-06 H/m



Gjennomsnitts spoleradius, R 0,07 m

Avstand mellom spolene, a a=2R, R eller R/2

Posisjon a=2R a=R a=R/2 a=2R a=2R a=R a=R a=R/2 a=R/2

på Beregnet Beregnet Beregnet Målt Differanse Målt Differanse Målt Differanse

målestav x B1 B1 B1 B2 B2-B1 B2 B2-B1 B2 B2-B1

(cm) (m) gauss gauss auss = 10-4

gauss (%) gauss (%) gauss (%)

30 -0,20 3,626 2,454 2,213 -100,0 -100,0 -100,0

35 -0,15 9,286 5,478 4,719 -100,0 -100,0 -100,0

40 -0,10 24,643 14,549 11,996 -100,0 -100,0 -100,0

43 -0,07 32,279 26,258 22,393 -100,0 -100,0 -100,0

45 -0,05 30,129 35,312 33,160 -100,0 -100,0 -100,0

47 -0,03 24,981 41,063 45,054 -100,0 -100,0 -100,0

48 -0,02 22,821 42,105 49,866 -100,0 -100,0 -100,0

49 -0,01 21,429 42,382 53,017 -100,0 -100,0 -100,0

50 0,00 20,951 42,402 54,108 -100,0 -100,0 -100,0

Figur 3.4: Utdrag fra Excel-tabell for magnetfelt pa aksen til Helmholtzspoler.



3Legg tabellen som et nytt regneark pa samme Excel-filen som foran. Nytt ark lager du ved ahøyreklikke pa fanen nederst pa regnearket og velg legg til nytt regneark eller ta en kopi av den eksis-terende tabell og rediger pa den.


4C. Inkluder en kolonne for malt verdi av B og en kolonne for avvik mellom malt og beregnetverdi gitt i % for a = 2R. Gjenta dette for de to andre verdiene av a. Forbered til a viseavviket grafisk. (Et forslag er gitt i tabellen i figur 3.4.)

Ta en kontrollregning for hand av en av de beregnede B. Sjekk utregnet differanse veda sette inn noen tenkte maleverdier.

3.2.4 Solenoide

Magnetfeltet ved et punkt P pa aksen til en solenoide kan finnes fra Biot-Savarts lov, ogresultatet er

B =Nµ0I

2`(cos θ1 − cos θ2) , (3-7)

hvor ` er lengden av solenoiden og vinklene θ1 og θ2 er definert i figur 3.5 eller analytisk:

cos θ1 =z√

z2 +R2cos θ2 = − `− z√

(`− z)2 +R2, (3-8)

der R = indre radius av solenoiden og z er akseavstand fra venstre ende av solenoiden tilpunktet. Inni solenoiden er θ1 ∈ 〈0, π/2〉 og θ2 ∈ 〈π/2, π〉. Formelen gjelder ogsa utenforsolenoiden. ⊙

⊗

⊙

⊗

⊙

⊗

⊙

⊗

⊙

⊗

⊙

⊗

⊙

⊗

⊙

⊗

⊙

⊗

⊙

⊗

⊙

⊗

⊙

⊗

⊙

⊗

⊙

⊗

⊙

⊗

⊙

⊗

⊙

⊗

⊙

⊗

⊙

⊗

⊙

⊗PO

.

..................................

.......................

..................................

....................

..................................

................

..................................

.............

..................................

..........

....................................

.....

..................................

...

..................................

...............................

............................

.........................

.....................

..................

............... ............ ......... .......

.

........................................

.....................................

..................................

...............................

............................

..........................

.......................

....................

.................

........................................

.

...............................................

............................................

.........................................

......................................

..................................

...............................

............................

.........................

.....................

..................

...............

............................

6

?

R

→←dx

-x

.

.......................

.....................

.....................

......................

.......................

........................

θ1

.................

................

.................

..................

.....................θ

........................

.....................

.....................

........................................

................... ................... ....................

θ2

z

≺ `

Figur 3.5: Solenoide. Vinkelen θ brukes ved utledning av magnetfeltet langs aksen, se teksten.

Vi spanderer et bevis for likning (3-7): Vi har i likning (3-4) funnet magnetfelt pa akseni avstand x fra en enkeltsløyfe. I en solenoide har vi mange sløyfer tett i tett, vi definererstrøm per lengdeenhet som IN/` = In, der n er antall viklinger per lengde. Flukstettheti et punkt P pa aksen far da et bidrag fra den tynne strømsløyfa dI = In dx i posisjonx, og ifølge første del av likning (3-4) er flukstettheten lik

dB =µ0 dI

4π

2πR2

(x2 +R2)3/2=µ0In

2

R2

(R2 + x2)3/2dx. (3-9)


Med θ som vinkelen i punktet P mellom solenoideaksen og periferien ved posisjon x (figur3.5) ser vi at tan θ = R/x, og derivasjon av x = R/ tan θ gir

dx = R−1

tan2 θ

1

cos2 θdθ = −R 1

sin2 θdθ. (3-10)

Vi merker oss atsin3 θ =

R3

(R2 + x2)3/2, (3-11)

slik atdx = −R 1

sin3 θsin θ dθ = −R(R2 + x2)3/2

R3sin θ dθ (3-12)

og ved substitusjonen tan θ = R/x i likning (3-9) og innsetting av grenser θ2 (høyre ende,lavest x) til θ1 (venstre ende, høyest x), vil vi fa

B(x) = −µ0In

2

∫ θ1

θ2

sin θ dθ =µ0In

2(cos θ1 − cos θ2), (3-13)

som skulle vises.

5. Hva er uttrykket for magnetfeltet langt inne i solenoiden, og hva er det ved enden avsolenoiden?TIPS: Hva er θ1 og θ2 ved disse posisjonene?

Anta at du har en solenoide med N = 397 viklinger, ` = 420 mm, R = 50 mm og strømI = 1,00 A.

6A. Lag en tabell over magnetflukstettheten B(z) pa aksen til solenoiden i omradet -10 cm < z < 50 cmder x = 0 ved venstre kant av solenoiden. Bruk Excel regneark ved a lage nytt ark pa sammefilen som tidligere.

Et forslag til tabell er vist i figur 3.6.

Tabell 3. Målte og beregnede verdier av magnetfeltet B på aksen

til en solenoide s.f.a. avstanden z fra ene ende

Magnetisk permeabilitet for tomt rom, 0 1,26E-06 H/m



Indre radius i solenoiden, R 0,05 m

Lengde, l 0,42 m

Posisjon

på målestav Beregnet Målt Differanse

z cos cos B1 B2 B2-B1

(cm) (m) gauss gauss (%)

60 -0,10 -0,894 -0,995 0,600 -100,0

55 -0,05 -0,707 -0,994 1,707 -100,0

53 -0,03 -0,514 -0,994 2,848 -100,0

52 -0,02 -0,371 -0,994 3,696 -100,0

51 -0,01 -0,196 -0,993 4,736 -100,0

50 0,00 0,000 -0,993 5,899 -100,0

49 0,01 0,196 -0,993 7,062 -100,0

Figur 3.6: Utdrag fra Excel-tabell for magnetfelt pa aksen til Helmholtzspoler.




6C. Inkluder en kolonne for malt verdi av B og en kolonne for avvik mellom malt og beregnetverdi gitt i %. (Et forslag er gitt i tabellen i figur 3.6.)

3.2.5 Dataanalyse i Python

De foregaende oppgavene kan ogsa gjøres i Python. I stedet for a lagre dataene i entabell, som vist i figur 3.2, 3.4 og 3.6, er det hensiktsmessig a lagre dataene i tekstfiler.Her bruker vi kommaseparerte filer som vist under.

# Posisjon (m), B-felt (Gauss)

0.245,0.0

0.295,0.623

...

Her representerer første kolonne Posisjon pa malestav og den andre kolonnen represen-terer Malt B2 i figur 3.2. De resterende kolonnene kan man beregne i Python. For a leseinn dataene lager skriver vi følgende kode:

import numpy as npfrom matp lo t l i b import pyplot as p l t

N = 330 # [ ] a n t a l l v i k l i n g e rI0 = 1 .0 # [A] strommu 0 = 4.0∗np . p i ∗1e−7 # [H/m] p e r m e a b i l i t e t i tomt romR = 0.070 # [m] r a d i u sx0 = 0.400 # [m] sentrum av spo l en

def main ( ) :f i l n a v n = ” k o r t s p o l e . csv ”data = np . l oadtx t ( f i l navn , d e l i m i t e r=” , ” )p o s i s j o n = data [ : , 0 ]B2 = data [ : , 1 ]

i f ( name == ” main ” ) :main ( )

Her definerer vi først noen parametre som vi trenger senere. I main-funksjonen leses tekst-filen kort spole.csv og posisjonsdataene, som ligger i første kolonne legges i variabelenposisjon og dataene for det malte magnetfeltet lagres i variabelen B2.

Det neste vi ma gjøre er a implementere en funksjon som beregner magnetfeltet i henholdtil ligning (3-5). Dette kan vi gjøre slik:


def B f e l t k o r t s p o l e ( x ) :p r e f a k t o r = N∗mu 0∗ I0 /(2∗R)return p r e f a k t o r ∗ ( 1 . 0 − ( x/R)∗∗2)∗∗(−1.5)

For a plotte resultatet for det beregnede feltet legger vi til noen linjer i main-funksjonen.Hele programmet blir da sende slik ut:

import numpy as npfrom matp lo t l i b import pyplot as p l t

N = 330 # [ ] a n t a l l v i k t l i n g e rI0 = 1 .0 # [A] strommu 0 = 4.0∗np . p i ∗1e−7 # [H/m] p e r m e a b i l i t e t i tomt romR = 0.07 # [m] r a d i u sx0 = 0.400 # [m] sentrum av spo l en

def B f e l t k o r t s p o l e ( x ) :p r e f a k t o r = N∗mu 0∗ I0 /(2∗R)return p r e f a k t o r ∗ ( 1 . 0 + ( x/R)∗∗2)∗∗(−1.5)

def main ( ) :f i l n a v n = ” k o r t s p o l e . csv ”data = np . l oadtx t ( f i l navn , d e l i m i t e r=” , ” )x = data [ : , 0 ] #p o s i s j o nB = data [ : , 1 ] #maalte data

# Beregn B− f e l t e tx2 = np . l i n s p a c e ( x [ 0 ] , x [−1] ,100) #f l e r e datapunkterB2 = B f e l t k o r t s p o l e ( x2 ) #b e r e g n e t

# Plo t r e s u l t a t e n ep l t . p l o t ( x2 , B2 , l a b e l=” Beregnet ” )p l t . p l o t (x ,B, l a b e l=”Maaledata” )p l t . x l a b e l ( ”Avstand f r a s e n t e r av spo len (m) ” )p l t . y l a b e l ( ”Magnet f e l t ( Gauss ) ” )p l t . l egend ( )p l t . show ( )

i f ( name == ” main ” ) :main ( )

Man kan na lage flere funksjoner for a plotte resultatene for en Helmholtz spole og ensolenoide. Husk at det ofte lønner seg a dele programmet opp i mindre funksjoner. Detgjør at koden blir lettere a lese, men ogsa at man kan gjenbruke mye av koden til andreformal. Man kan finne mer eksempler om plotting her: https://nbviewer.jupyter.org/urls/www.numfys.net/media/notebooks/basic_plotting.ipynb.

https://nbviewer.jupyter.org/urls/www.numfys.net/media/notebooks/basic_plotting.ipynb

https://nbviewer.jupyter.org/urls/www.numfys.net/media/notebooks/basic_plotting.ipynb


3.2.6 Halleffektprobe

Nar elektroner beveger seg med hastighet ~v i en halvleder som befinner seg i et magnetfelt~B som vist i figur 3.7, vil elektronene bøye av til den ene siden. Avbøyningen er gitt vedLorentzkraften ~F = q(~v × ~B), der q = −e for elektroner.

• •

• VH •

•

•

- ~F

~v

~B

q •

6~B

ldI

←− b−→Figur 3.7: Halleffekt i en halvlederprobe. Strøm I patrykkes mellom de to minste endevegger.

Lorentzkraften virker normalt pa strømretningen og normalt pa B og avbøyningen pagrunn av denne fører til at elektronkonsentrasjonen blir sterkere mot den ene veggen avhalvlederen. Det bygger seg altsa opp et elektrisk felt ~E i lederen med samme retningsom Lorentzkraften, og dette feltet gir en tilleggskraft ~F = q ~E pa elektronene. Det vilraskt oppsta en likevekt der elektrostatisk kraft og Lorentzkraft er like store slik at

~F = q ~E + q(~v × ~B) = ~0 ⇒ ~E = −~v × ~B. (3-14)

Farten v til elektronene gjennom halvlederen er bestemt av strømmen ved uttrykketI = nqvA, hvor n er tettheten av elektroner og A = bd er tverrsnittet i lederetningen.Dette gir

v =I

A

1

nq=

I

bdRH, (3-15)

der vi har definert Hallkonstanten RH = 1/nq.

Med b lik bredden pa proben vil spenningen VH = Eb dannes over sideveggene. Hvis viser bort fra fortegn og bruker at ~v ⊥ ~B far vi følgende uttrykk for Hallspenningen VH:

VH = Eb = vBb =RHI

dB, (3-16)

der altsa d er tykkelsen av Hallproben som magnetfeltet B virker over. HallkonstantenRH og d er konstanter for en gitt probe og strømmen I holdes konstant. Den magnetiskeflukstettheten B normalt pa proben vil da være proporsjonal med Hallspenningen VH

som males med et voltmeter.

Halleffekten anvendes bl.a. i gaussmetre for maling av magnetfelt. Et Halleffekt-gaussmetervil essensielt besta av en strømkilde som gir en konstant strøm I gjennom en probe,


og et voltmeter. Proben plasseres i magnetfeltet som skal males. Gjennom en kalibre-ringsprosess kan sammenhengen mellom malt Hallspenning og magnetfelt etableres ogutlesningsenheten for spenning graderes direkte i tesla = weber/m2 eller gauss = 10−4

tesla.

I praksis er utstrekningen til en Hallprobe av størrelsesorden noen mm2. To forskjelligeprobegeometrier er vanlige: transversale prober og aksiale prober, som vist i figur 3.8.

1 2~B→ ↓~BFigur 3.8: Probegeometrier: (1) Aksial probe, (2) transversal probe.

Typisk verdi for elektrontettheten i en dopet halvleder er n = 1020 elektroner/m3. Tilsammenlikning har kobber n = 1028 elektroner/m3. I vare gaussmetre er I = 20 mA ogd = 1,0 mm. Anta at magnetfeltet varierer fra 1 til 100 gauss.

7A. Hvilket maleomrade ma gaussmeterets voltmeter ha for a male i dette magnetfelt-omradet? (Anta at n = 1020 elektroner/m3.)

7B. Hvorfor tror du at halvledere blir brukt i magnetfeltprober? Begrunn hvorfor f.eks. kobberikke vil være et egnet materiale.

7C. Begrunn ogsa hvorfor en isolator ikke vil være et egnet materiale i en magnetfeltprobe.

3.2.7 Magnetiske strøfelt

I laboratoriet er det magnetiske strøfelt som danner en bakgrunn som kan forstyrremagnetfeltmalinger. Strøfeltene har tre hovedkilder:

• jordmagnetfeltet,

• magnetfelt fra magnetiske materialer i bygningskonstruksjoner og inventar,

• induserte magnetfelt fra bl.a. 230 V nettledninger.

Jordmagnetfeltet, som er konstant og av størrelsesorden 1 gauss, antas a stamme frakonveksjonsstrømmer av elektriske ladninger i jordas flytende kjerne. Anta at det midti jordas indre ligger en strømsløyfe vinkelrett pa jordas rotasjonsakse. La strømsløyfasradius være R = Rj/4, hvor Rj = 6371 km er jordradien. Aksialkomponenten til mag-netfeltet i posisjon x pa aksen til en slik strømsløyfe er gitt ved likning (3-4).

8. Hvor stor ma strømmen i sløyfa være for at magnetfeltet pa jordoverflata ved polen(x = Rj) skal være lik 1 gauss?

Bidrag til strømagnetfeltet fra bygningen og inventaret vil avhenge av bygnings- og kon-struksjonsmaterialene som er brukt. Dere skal vurdere bidragene til dette i laboratorietgjennom egne malinger.


Bidrag til strøfeltet fra strømmene i ikke-skjerma ledninger kan estimeres ved a beregnefeltet satt opp av en lang rett leder som fører strømmen I. Asimutalkomponenten avmagnetfeltet i en avstand r fra en lang leder kan finnes fra4 Biot-Savarts lov (3-2)

Bθ(r) =µ0I

2πr. (3-17)

9. Hvor stor er den magnetiske flukstetthet i en avstand 5 cm fra en lang 230 V nettledningp.g.a. en strøm 1 A i denne ledningen?

3.2.8 Magnetfeltfritt rom

Det permanente magnetfeltet pa jordoverflata fører til problemer med nulling av gauss-metre. Magnetfelt kan imidlertid skjermes ved a bruke materialer med høy permeabilitet.Rent jern kan brukes. Det finnes ogsa spesielle legeringer som har enda høyere perme-abilitet µ og dermed skjermer enda bedre. Et eksempel er mymetall5. Gaussmetre nullesvanligvis ved a stikke gaussmeterproben inn i et kammer som skjermer den fra jordmag-netfeltet under nullingen.

4Utledning f.eks. i [1], Kap. 23.5.5Mymetall er en legering av 77% nikkel, 15% jern pluss noe kobber og molybden. Navnet har det

fatt p.g.a. svært høy verdi for magnetisk permeabilitet, µ.


3.3 Eksperimentelt

3.3.1 Apparatur


• Gaussmeter. Magnetic Instruments RFL, Mod. 912.Maleomrade: 0,01 G–100 kG.Presisjon: ± (0,4 % av avlesing + 0,1 % av omrade + 1 i siste siffer).

• Hallprobe. Magnetic Instruments 912/200R.Aksial, 0–10 kG. Dimensjoner: diameter 5 mm, overflate 20 mm2.

• Nullfeltkammer. Magnetic Instruments.

• Korte spoler. 330 viklinger, 22 viklinger/lag × 15 lagIndre diameter 126 mm, ytre diameter 154 mm.Trad: lakkisolert kobber, diameter 0,75 mm, maksimum spolestrøm: 1,0 A.

• Solenoide. 397 viklinger, lengde 420 mm, indre diameter 100 mm.Trad: lakkisolert kobber, diameter 1,0 mm, maksimum solenoidstrøm 1,0 A.

• Multimeter. Escort Mod. EDM 168A, eller tilsvarende.

• Datamaskin med printer.

• Diverse utstyr: Metermal, skrujern.

• Kraftforsyning. Mascot Type 719. Omrade: 0–30 V, 30 mA–2 A.

Dette er en kombinert strømstyrt/spenningstyrt kraftforsyning. D.v.s. den kan for-syne en konstant strøm eller en konstant spenning, opp til en viss maksimal be-lastning. Boksen har to justeringsknapper, en for spenning merket “0 → 30 V” ogen for strøm merket “30 mA → 2 A”.

Strømstyrt kraftforsyning (strømkilde) har vi dersom spenningsjusteringenstilles til maksimalt. Strømmen reguleres med strømjusteringsknappen. Knappenmerket “meter” er det da naturlig a sette i stilling “A” (Ampere), og viseren vilda vise strømmen som utgangen gir.

Spenningstyrt kraftforsyning (spenningskilde) har vi dersom strømjusteringenstilles til maksimalt. Spenningen reguleres med spenningjusteringsknappen. Kna-ppen merket “meter” er det da naturlig a sette i stilling “V” (volt), og viseren vilda vise spenningen over utgangen.

Dersom boksen brukes strømstyrt vil den maksimale strømmen 2 A kunne gis tilen ekvivalent utgangsmotstand pa maksimalt R = U/I = 30 V/2, 0 A = 15 Ω.Boksen har ogsa en knapp merket “range” som kan begrense maksimal spenningtil 15 V istedenfor standard 30 V. Dersom 15 V velges vil maksimal utgangsmot-stand være R = U/I = 15 V/2, 0 A = 7, 5 Ω. Ved høyere utgangsmotstand vilutgangsspenningen holdes pa maksimal verdi og strømmen bli lavere.

Tilsvarende maksimalregulering er det ved spenningsstyrt kraftforsyning. 30 voltmaksimalspenning kan gis ned til en motstand pa R = U/I = 30 V/2, 0 A = 15 Ω.


Ved lavere motstand vil forsyningen ikke kunne gi nok strøm slik at spenningen vilfalle.

3.3.2 Kaliberering av Hallprobe

Det er vanskelig a produsere Hallprober med nøyaktig like Hallkonstanter. Hallspennin-gen som oppstar ved et gitt magnetfelt og strøm vil derfor kunne variere litt fra probe tilprobe. For a kunne bruke flere prober til samme gaussmeter har hver probe tilordnet etkalibreringsnummer som brukes for a justere forsterkningen til gaussmeterets voltmeterslik at meteret viser riktig magnetfelt. Dette nummer star pa probekontakten. Før brukma gaussmeteret bade kalibreres og nullstilles.

Kalibreringsprosedyre:

• Kople til proben og sett omradeknappen i stilling CAL, funksjonsvelgeren i stillingDC.

• Les av kalibreringsnummeret (“CAL.NO. 0.xxxx”) pa probekontakten og noter detned i journalen.

• Sla gaussmeteret pa og juster kalibreringsknappen til probens 0.xxxx vises i utles-ningsvinduet.

Nullstillingsprosedyre:

• Sett omradeknappen i stilling 100.

• Før proben inn i nullfeltkammeret og juster nulljusteringsknappen inntil utlesnings-vinduet viser 0000.

MERK: Før gaussmeteret er klart til bruk ma det varmes opp i 15–20 min. Underoppvarmingen vil kalibreringen og nullstillingen drive. Før du begynner a ta nøyaktigemalinger ma du derfor gjenta kalibrering og nullstilling.MERK: Nar du skifter maleomrade (10/100/1K) ma du foreta ny nullstilling!

Enheter og fortegn for Hallproben:

• Meteret viser den magnetiske flukstettheten, B, i enheten gauss = 10−4 tesla.

• Gaussmeteret viser positivt fortegn nar feltlinjene har retning ut av den sylind-riske tuppen pa proben.

3.3.3 Magnetiske strøfelt

Oppgave:Undersøk de magnetiske strøfeltene i laboratoriet og svar pa følgende spørsmal:


• Hvordan stemmer den malte retningen av jordmagnetismen med antatt retning forvar breddegrad?6

• Sammenlikn resultatene med resultater fra de andre gruppene. Er det variasjon avden malte jordmagnetismen innenfor laboratoriet?

• Vil magnetfeltet fra jernet i laboratoriebordene kunne forstyrre malingene?

Du bør sette gaussmeteret i stilling 10 for disse malingene (og husk a nullstille pa ny!)

3.3.4 Magnetfelt i kort spole

Oppgave:Kartlegg magnetfeltet pa aksen til en kort spole s.f.a. avstanden fra spolen.

For a male magnetfeltet kan du enten holde spolen fast og flytte Hallproben eller du kansette Hallproben fast og flytte spolen. I vare eksperimenter er siste løsning den bestefordi vi da unngar korrigering av gaussmeteravlesningene p.g.a. det varierende strøfeltetlangs spoleaksen. Nar Hallproben sitter fast vil strøfeltet rundt proben være konstantog kan nulles ut v.h.a. gaussmeterets nullstilling og feltet fra spolen kan følgelig lesesdirekte fra gaussmeteret.

Framgangsmate:

• Monter en kort spole pa den bevegelige vogna.

• Juster Hallprobens posisjon slik at den ligger pa spoleaksen.

• Kople opp spolekretsen som vist i figur 3.9.VIKTIG: Kraftforsyningen skal være avslatt under oppkoplingen. Velg strømmalingbade pa kraftforsyningen og multimeteret. Bruk 10A-inngangen pa multimeteret.– Be læreren om a godkjenne oppkoplingen.

• Sett gaussmeteret i stilling 100 og nullstill. (Det er sikrest a bryte spolestrømkretsenunder nullingen.)

• Sla pa multimeteret og kraftforsyningen. Skru justeringsknappen for spenning pakraftforsyningen helt til høyre (kraftforsyningen er na i strømstyrt mode).

• Mal magnetfeltet B(x) langs aksen av spolen s.f.a. avstanden x fra spolens midt-plan7 med f.eks. I = 1,00 A strøm i spolen (Husk: maksimal spolestrøm er 1,0 A)og legg maleresultatene inn i regnearktabellen etter hvert.

Analyser resultatene, dvs. pa regnearket sammenlikn avviket mellom malt og beregnetverdi. Skriv ut tabell og graf og lim inn i journalen.

6Den magnetiske nordpolen ligger i nærheten av den geografiske sydpolen. Magnetiske feltlinjer erlukkede kurver og har retning fra magnetisk nordpol til sydpol ytre sett og fra sydpol til nordpol innimagneten.

7TIPS: Definer spolens midtplan pa følgende mate: Finn magnetfeltets maksimumsverdi. Finn toposisjoner pa hver side av spolens midtplan hvor magnetfeltene er like og ligger ca 5% under maksi-mumsverdien. Midtplanet ligger midt i mellom disse to posisjonene.


. .............. ..............................................

................

...................

.....................

...................

..................

..................

.

................

.................

.................

..................

..................

...................

....................

.........................................................................................

....................

.................

................

.................

..................

...................

.........

.........

.......................

..................

................

...............

..........................

....

................

................ ................ ................ . .........................................

....................................

................

.................

...................

.

.......................

....................

...................

..................

.................

................

.....................................

............................................................................................................

................

..................

....................

........

........

.....

.

........

........

.

.........

.......

...............

...............

..............

.................

................... .....................

↑ If• f•

COM

Multimeter

f• f•Bla Rødf• f•+ −

Mascot

Figur 3.9: Spolekrets. Mascot kraftforsyning, multimeter og spolen er vist. Merk deg vikleretningenfor spolen, spolen er sett mot siden med koplingsbøssingene.

3.3.5 Magnetfelt i Helmholtzspole

Oppgave:Kartlegge magnetfeltet pa aksen mellom to korte spoler s.f.a. avstanden fra spolens midtplanog avstanden mellom spolene.

Framgangsmate:

• Monter pa den bevegelige vogna to korte spoler i en avstand a = R fra midtplantil midtplan og kople opp kretsen som vist i figur 3.10.

• Mal magnetfeltet B(x) langs spoleaksen som funksjon av avstanden x fra midt-planet mellom spolene med f.eks. I = 1,00 A og legg resultatene etter hvert inn iregnearktabellen for Helmholtzspolen. Mal et stykke utenfor enden av spolen.

• Gjenta malingen med spoleavstander a = 2R og a = R/2.

• Analyser resultatene, dvs. pa regnearket sammenlikn avviket mellom malt og be-regnet verdi. Skriv ut tabell og graf og lim inn i journalen.

3.3.6 Magnetfelt i solenoide

Oppgave:Kartlegg magnetfeltet pa aksen til en solenoide.

Framgangsmate:

• Monter solenoiden pa den bevegelige vogna og kople opp kretsen.

• Mal magnetfeltet B(x) langs aksen pa solenoiden som funksjon av avstanden x frasolenoidens endeplan og legg resultatene inn i regnearktabellen etter hvert.

• Analyser resultatene, dvs. pa regnearket sammenlikn avviket mellom malt og be-regnet verdi. Skriv ut tabell og graf og lim inn i journalen.


. .............. ..............................................

................

...................

.....................

...................

..................

..................

.

................

.................

.................

..................

..................

...................

....................

.........................................................................................

....................

.................

................

.................

..................

...................

.........

.........

.......................

..................

................

...............

..........................

....

................

................ ................ ................ . .........................................

....................................

................

.................

...................

.

.......................

....................

...................

..................

.................

................

.....................................

............................................................................................................

................

..................

....................

........

........

.....

.

........

........

.

.........

.......

...............

...............

..............

.................

................... .....................

−→I

f• f•COM

Multimeter

f• f•Bla Rødf• f•+ −

Mascot

. .............. ..............................................

................

...................

.....................

...................

..................

..................

.

................

.................

.................

..................

..................

...................

....................

.........................................................................................

....................

.................

................

.................

..................

...................

.........

.........

.......................

..................

................

...............

..........................

....

................

................ ................ ................ . .........................................

....................................

................

.................

...................

.

.......................

....................

...................

..................

.................

................

.....................................

............................................................................................................

................

..................

....................

........

........

.....

.

........

........

.

.........

.......

...............

...............

..............

.................

................... .....................

f• f•Bla Rød

Figur 3.10: Oppkopling av Helmholtzspoler. For a fa spolene nærme hverandre nok ma du monterespolene slik at koplingsbøssingene peker utover for begge spoler. Pass pa at strømretningene i hverspole er den samme.

3.3.7 Generell diskusjon

• Diskuter beregning av magnetfeltet til en kort spole nar spolens utstrekning tasmed i beregningen.

• Diskuter mulige anvendelser av de fysiske effekter som er tatt opp til observasjoni eksperimentet.

3.3.8 Avslutning

Sla av alle apparater, trekk ut alle ledninger og forlat plassen i minst like god orden somdu fant den.


Kapittel 4

LORENTZKRAFTEN

Mal


• studere krefter pa elektroner i homogene og konstante elektriske og magnetiske felt,

• bestemme forholdet e/m mellom elektronets ladning e og masse m (Thomsoneks-perimentet),

• foreta feilanalyse av eksperimentet.


Teorien presenteres i samband med presentasjonen av beregningsoppgavene nedenfor.Det vises ogsa til lærebok og forelesningene i elektromagnetisme.

4.2 Beregningsoppgaver

4.2.1 Lorentzkraften

Kraften fra elektriske og magnetiske felt pa ladde partikler kalles gjerne Lorentzkraf-ten. Kraften pa en ladd partikkel med ladning q som beveger seg med hastighet ~v i etelektrostatisk felt ~E og et magnetostatisk felt ~B er gitt ved

~F = q ~E + q ~v × ~B. (4-1)

For a lage en hurtig elektronstrale (slik som f.eks. brukes i TV-rør og katoderør-oscilloskopet)brukes alltid elektriske felt for a akselerere elektronene. Uttrykket for Lorentzkraften vi-ser imidlertid at bade elektriske og magnetiske felt gir kraftvirkning pa ladde partikler.

43

44 KAPITTEL 4. LORENTZKRAFTEN

1. Forklar ut i fra uttrykket for Lorentzkraften hvorfor magnetiske felt (i motsetning til elekt-riske felt) ikke kan gi en ladd partikkel økt kinetisk energi.

4.2.2 Ladninger i E-felt

Et homogent elektrisk felt settes lettest opp mellom to parallelle plateleektroder. Dennegeometrien gir et elektrisk felt E = Ua/` hvor Ua er spenningen mellom platene og `avstanden mellom dem. En ladd partikkel med ladning q og masse m blir under passasjemellom platene akselerert med en akselerasjon

a =qE

m=qUa

m`. (4-2)

Dette anvendes i kilder for ladde partikkelstraler.

Figur 4.1 viser hvordan en elektronstralekilde kan lages. Et wolfram-filament varmesopp ved at elektrisk strøm passerer gjennom det. Nar det er rødglødende sender detut elektroner fra overflata. Filamentet plasseres like bak en plateelektrode med hull i.Spenning legges mellom filamentet og plateelektroden. Elektronene blir akselerert motplateelektroden og de elektronene som passerer hullet gar ut i en strale pa andre sidenav plata. En annen mate a lage elektroner i elektronkilder er a bruke en oksidkatodesom blir varmet opp indirekte av et filament. Denne konstruksjonen gir bedre feltforholdunder akselerasjonen, og det er denne utgaven som er vist i figur 4.1.

Figur 4.1: Prinsippskisse for elektronstralekilde. (1) Vekselspenning (5-10 V) til (2) glødefilamentvarmer opp (3) oksidbelegget. Akselerasjonsspenning mellom filamentet og (4) anoden akselererelektronene.

Anta at et elektron blir akselerert fra stillstand til en spenning pa 30 V i et statiskelektrisk felt.

2. Hva blir hastigheten til elektronet etter akselerasjonen?

I partikkelakseleratorfysikk brukes energienheten “elektronvolt”, forkortet eV. En par-tikkel ladd med en elementærladning far energien 1 eV nar den akselereres gjennom etspenningsfall pa 1 V.


3A. Hvor mange joule tilsvarer 1 eV?

3B. Hva blir energien til et elektron som akselereres til en spenning pa 30 V uttrykt i enheteneV?

En elektronstrale fra en elektronkilde med null potensial blir akselerert til et potensialUa vil kunne avbøyes i et transversalt elektrisk felt E = Ud/d over en avstand L somvist i figur 4.2. Avbøyningsvinkelen α er gitt av

tanα =1

2

Ud

Ua

L

d. (4-3)

↓↑∆y

skjerm

.......................

.........

...

.............α

.

................................................

.

..................................

..............

∃∃

elektron-kanon

︸︷︷︸2.0 kV

− +

−

+ 20 V↓

↑

d = 2.0 cm

︸︷︷︸L=5.0 cm

-

Ls = 25 cm

Figur 4.2: Avbøyning av elektronstrale i et TV-rør, f.eks. et oscilloskop. Tallverdier i figuren brukesi oppgaven.

Likning (4-3) beskriver de fysiske lover som danner grunnlaget for oscilloskopet, somer et instrument for maling av elektrisk spenning. Spenningen som skal males leggesmellom de transversale avbøyningsplatene og avbøyningen av elektronstralen observertpa en fosforescerende skjerm er et mal for spenningen.

Anta elektronene blir akselerert av et 2 kV akselerasjonspotensial og de øvrige parametreer som vist i figur 4.2.

4. Hvor stor avbøyning ∆y far stralen pa skjermen hvis avbøyningsspenningen er 20 V?

4.2.3 Ladninger i B-felt

Nar et elektron beveger seg i et rom fritt for elektrisk felt men med et magnetisk feltB virker Lorentzkraften til enhver tid normalt pa baneretningen (sa sant ikke banen erparallell med magnetfeltet). La oss anta elektronet skytes inn i B-feltet med hastighetvinkelrett pa feltet, Lorentzkraften blir da FB = evB og utgjør sentripetalkraften. Elekt-ronbanen blir en sirkel med radius r med sentripetalakselerasjon as = v2/r = FB/m.Farten v kan bestemmes fra den kinetiske energien til elektronet gitt av 1

2mv2 = eUa.


Ved a sette sammen disse likningene far vi følgende uttrykk for radien

r =1

B

√2Ua

e/m. (4-4)

5. Sett opp i et kurvediagram kurveskarer over r s.f.a. B i omradet 0 < B < 15 gauss forUa = 20, 40 og 60 V. Bruk Excel eller Python.

4.2.4 Bestemmelse av e/m (Thomsoneksperimentet)

I 1897 oppdaget Thomson ekstremt lette, negativt ladde partikler – som senere viste sega være elektroner. Samme ar brukte han avbøyning i statiske elektriske og magnetiskefelt til a finne forholdet mellom deres ladning og masse. Uttrykket (4-4) kan omskrivestil e

m=

2Ua

B2 r2. (4-5)

Forholdet e/m kan altsa bestemmes ved a male radius r i elektronbanen i et magnetfeltB vinkelrett pa banen for elektroner akselerert over en spenning Ua.

Du skal gjenta Thomsons eksperiment i laboratoriet. Størrelsen pa apparaturen begrenserdiameteren pa største elektronbane til ca. 8 cm.

6. Bruk kurveskaren som du satt opp i oppgaven ovenfor til a ansla gunstig magnetfelt B fortre ulike akselerasjonsspenninger Ua = 20, 40 og 60 V.

Ved omskrivning av (4-5) far du

m =qB2 r2

2Ua

, (4-6)

som viser at massen m til en ladd partikkel med kjent ladning q som har vært ak-selerert til et kjent potensial Ua kan bestemmes ved a male magnetisk flukstetthet Bog baneradius r for partikkelen i et magnetisk felt. Dette er ideen bak det magneto-statiske massespektrometeret som er et av de viktigste instrumentene for bestemmelseav atomære og molekylære partikkelmasser. Thomson la med sitt arbeid grunnlaget fordenne teknikken.

4.2.5 Spenningsdeler

Den sakalte spenningsdeleren er blant de mest alminnelige elektriske oppkoplinger. Duskal anvende den i eksperimentet. I sin enkleste form ser spenningsdeleren ut som i figur4.3A.

Gjennom koplingen kan spenningen Vinn reduseres til Vut. For a finne størrelsen pa Vut

s.f.a. Vinn kan du se pa strømmen I gjennom motstandene R1 og R2 som ifølge Ohms lover lik

I =Vinn

R1 +R2

. (4-7)


>>>>

..........

..........

• •

•

• •

>>>>

..........

..........

6

Vinn

?

6

Vut

?

R1

R2

•

•

>>>>>>>>>>>>

..........

..........

•

•5

4R1

R2

6

Vinn

?

6

Vut

? •

•

>>>>>>>>>>>>

..........

..........

•

•R1

R2

6

Vinn

?

6

Vut

?

>>>>

..........

..........RL

A B C

Figur 4.3: Spenningsdeler. (A) Med faste motstander. (B) Med variabel motstand med midttapping(skyvemotstand/potensiometer). (C) Med potensiometer og last RL.

Bruk Ohms lov igjen pa R2:

Vut = IR2 =R2

R1 +R2

Vinn. (4-8)

Spenningsdeleren kan gjøres variabel ved a erstatte R1 og R2 med en motstand medvariabel midttapping (skyvemotstand) som vist pa figur 4.3B. Sammen med en fastspenningskilde gir dette en mulighet til a lage en billig variabel spenningskilde.

Spenningsdeleren har imidlertid en ulempe.

7. Kan du finne hvilken ulempe?TIPS: Hva skjer med Vut nar du begynner a trekke strøm fra utgangen (midttappingen)?Se figur 4.3C. Resultantmotstanden over parallellkoplingen av R2 og RL betegnes R2||RL

og er lik (R2RL)/(R2 +RL).

4.3 Eksperimentelt

4.3.1 Apparatur

• Elektronstralerør. Leybold Hereaus 555 571.

• Kraftforsyning for elektronakselerasjonen. Delta Elektronika E0300-0.1. Bru-kes som spenningskilde.Omrade: 0–300 V, 0–100 mA.

• Kraftforsyning for fokuseringselektrode. Mascot, type 719. Brukes som spen-ningskilde.Omrade: 0–15 V, 30 mA–2 A.

• Kraftforsyning for Helmholtzspoler. Mascot, type 719. Brukes som strømkilde.Omrade: 0–15 V, 30 mA–2 A.

• Multimeter for spolestrøm. Escort EDM168A, 3 sifre, eller tilsvarende.


• Multimeter for akselerasjonsspenning. Escort EDM168A, 3 sifre, eller tilsva-rende.

• Transformator for glødespenning.Inn: 230 V, Ut: 6 V, 300 mA max.

• Koplingsboks A uten spenningsdeler.

• Koplingsboks B med spenningsdeler.

• En mengde ledninger av ulik lengde.

Figur 4.4: Leybold apparat med elektronka-nonen innen glasskolbe (1), Helmholtzspoler(2), holder (3), og radiusmaler (4).

Figur 4.5: Prinsippskisse. Elektronkanonen(K), avbøyning av elektronstralen mellomavbøyningsplater (P). Magnetfelt er markert medkryss × inn i papirplanet og elektronstralen ervist uten (a) og med B-felt (b).

Apparaturen er vist skjematisk i figurene 4.4 og 4.5. Elektronkanonen (K) sender ut elekt-roner som kan avbøyes i et statisk elektrisk felt mellom de parallelle avbøyningsplatene(P) og/eller i et statisk magnetfelt fra Helmholtzspolene. Glasskolben rundt elektronka-nonen er fylt med tynn hydrogengass til et trykk pa omtrent 10−5 atmosfærer (1 Pa).Støt mellom elektronene og gassen vil eksitere elektronene i gassmolekylene som sa de-eksiterer og sender ut lys (samme fenomen som ved nordlys). Sporet etter elektroneneblir da synlig som en blagrønn stripe.

Studer elektronkanonen gjennom glasskolben. Studer ogsa den demonterte kanonen fra etgammelt rør som er utlagt i laboratoriet.

4.3.2 Oppkopling av spenninger til elektronkanonen

Figurene 4.6 og 4.7 viser skjematisk de elektriske oppkoplinger for elektronkanonen.


a: anodespenning,b: jordingspunkt,c: glødespenning til katoden,d: Wehneltsylinder,e: avbøyningsspenning (øvre og nedre),f: punkt for maling anodespenning,g: strømtilførsel Helmholtzspoler.

Figur 4.6: Elektrisk tilkoplingskjema pa apparaturens sidekant.

Figur 4.7: Koplingsskjema for elektronkanonen. Kraftforsyning Delta Elektronika for anodespen-ning, kraftforsyning Mascot 719 for Wehnelt/fokusering, multimeter for maling av anodespenning.

Figur 4.8 til 4.12 gir en stegvis forklaring av hvordan det anbefales at det eksperimentelleoppsettet koples opp elektronisk. Det finnes flere alternative mater a kople opp elektron-kanonen, f.eks. sa trenger du ikke bruke koplingsbokser pa akkurat den maten som erbeskrevet her. Det er imidlertid ikke vanskelig a ødelegge et par sikringer om du koplerfeil, sa spør veileder dersom du er i tvil.

Kople opp glødekretsen i henhold til figur 4.8.


Merknader og tips:

• Noen av transformatorene har uttak for bade 6 V og 12 V. Pass pa at du brukertransformatorens 6 V-uttak.

• La transformatoren være avslatt under oppkopling.

• Be læreren om a godkjenne oppkoplingen.

• Sla pa transformatoren og observer at traden gløder. Dette forutsetter at takbelys-ningen er slatt av og bordbelysningen dempet. Under hylla som elektronkanonener plassert er det en svak, rød bordbelysning.

• Sla transformatoren av igjen.

Figur 4.8: Kretsdiagram for elektronkanonen, steg 1: oppkopling av glødekretsen. De delene avdiagrammet som er innenfor de stiplede rektanglene illustrerer interne koplinger som du hverken kaneller trenger gjøre noe med. Bokstavene ved inngangene til elektronkanonen (det øverste stiplede rek-tangelet) viser til tilkoplingspunktene i figur 4.6. Det stiplede rektangelet nede til høyre representererden svarte raden med tilkoplingspunkter pa koplingsboks A, og (1) representerer transformatoren.

For a trekke ut en elektronstrale fra katoden ma elektronene akselereres som forklartovenfor i teoridelen. Dette gjøres ved a legge en akselerasjonsspenning mellom katodenog anoden.

Kople til akselerasjonsspenningen i henhold til figur 4.9.

Merknader og tips:

• Pass pa at kraftforsyningen Delta Elektronika er slatt av, og at justeringsknappenefor strøm og spenning er skrudd helt ned nar du kopler sammen.

• Ta til hjelp koplingsboks A der du kopler den ene raden (eks. sort) til jord og denandre (f.eks. rød) til utgangen fra kraftforsyningen (2).

• Foreløpig avbøyningspotensial Ud = 0, derfor koples de to avbøyningsplatene sam-men.


Figur 4.9: Kretsdiagram for elektronkanonen, steg 2: tilkopling av anoden. De delene av diagram-met som har lysere farge er allerede oppkoplet i forrige steg; se forøvrig figur 4.8 for forklaring. Detstiplede rektangelet oppe til høyre representerer den røde raden med tilkoplingspunkter pa koplings-boks A, (2) representerer Delta Elektronika kraftforsyning, og (3) representerer et multimeter formaling av anodespenning.

• For a unnga malefeil p.g.a. spenningsfall over seriemotstanden ma du kople volt-meteret direkte til anoden. Bruk maleomrade 1000 V likespenning.

• Seriemotstandene montert internt i apparaturen er satt inn av sikkerhetsmessigegrunner for a unnga for stor strøm i kretsen i tilfelle intern kortslutning (f.eks. engassutladning).

Na er det klart til a skru pa alle spenninger og se at elektronstralen vises:

• Be læreren om a godkjenne oppkoplingen.

• Sla transformatoren for glødingen pa.

• Sjekk at filamentet starter a gløde.

• Kraftforsyningen (2) for akselerasjonsspenningen skal ogsa være spenningsstyrt:Sett METER til V, skru pa og sett strømknappen 1/4 omdreining opp.

• Øk akselerasjonsspenningen sakte inntil du (ved 20–30 V eller noe høyere hvis øyne-ne ikke har vent seg til mørket) ser sporet etter elektronstralen i hydrogengassensom en blafiolett stripe ut av elektronkanonen.

• Observer hvordan stralen forandrer seg nar du forandrer akselerasjonsspenningen.

• Hvorfor nar ikke stralen glassveggen ved lav akselerasjon? Ved høyere spenningervil, ganske bratt, stralen møte veggen, senk da spenningen noe. Dette skjer vedulike spenninger ved de ulike oppsett, følg godt med rundt 100 V, og evt. oppovertil ca. 150 V.


Figur 4.10: Kretsdiagram for elektronkanonen, steg 3: tilkopling av Wehneltsylinderen. De deleneav diagrammet som har lysere farge er allerede oppkoplet i de foregaende figurene; se forøvrig figur4.8 og 4.9 for forklaring. (4) representerer en Mascot 719 kraftforsyning.

• MERK: Hvis anoden begynner a gløde ma du sla apparaturen av og la den avkjøleseg. Bruk aldri høyere akselerasjonsspenning enn nødvendig for a unnga gløding.

Lag en skisse av stralegangen for forskjellige akselerasjonsspenninger.

Prosedyre for a sla av apparaturen:

• Sla glødespenningen av.

• Reduser akselerasjonsspenningen til null og sla kraftforsyningen av.

MERK: Det er ikke farlig a ha pa akselerasjonsspenning og magnetfelt uten a ha paglødespenning, men det er ikke bra a ha pa glødespenning uten akselerasjonsspenning.Sla derfor alltid av glødespenningen nar du har korte og lengre pauser.

I en elektronstrale har alle partiklene samme fortegn pa ladningen. Stralen vil derfor haen tendens til a divergere p.g.a. intern Coulombkraft. Hvis fokuseringsringen (Wehnelt-sylinderen) foran katoden legges svakt negativt, vil dette virke fokuserende pa stralen.

Kople til Wehneltsylinderen i henhold til figur 4.10.

Merknader og tips:

• Sjekk at kraftforsyningen (4) er slatt av og at justeringsknappene for strøm ogspenning er skrudd helt ned før du kobler den til.

• Etter du har koblet til Wehneltsylinderen og slatt pa kraftforsyningen (4): Inn-still kraftforsyningen (4) til spenningskilde ved a sette METER til V, skru oppstrømknappen omtrent 1/2 omdreining og RANGE til 15 V.


• Juster spenningen pa fokuseringselektroden (Wehneltsylinderen) hvis du synes atstralen er darlig fokusert. Bruk maksimalt 10 V.

4.3.3 Avbøyning i E-felt

Oppgave:Du skal studere avbøyningen av en elektronstrale i et elektrostatisk felt.

I oppstillingen til na har du lagt begge avbøyningsplatene pa samme spenning, nemliganodespenningen Ua. For a fa avbøyning legges den ene plata pa noe lavere spenning.I praksis gjør vi dette ved a ta spenningsdeling fra anodespenningen. Prinsippet forspenningsdeling er vist i figur 4.3. Oppkoplingsskjemaet i figur 4.11 viser forandringerdu ma gjøre fra oppkopling i figur 4.10 der avbøyningspotensialet var null.

Spenningsdeleren bestar av et presisjonspotensiometer (Helipot) og er montert pa kop-lingsboks B. Akselerasjonsspenningen Ua koples over potensiometeret. Fra midttappingentar vi ut en spenning som varierer med stillingen til potensiometerknappen, som tren-ger 10 omdreininger for a skrus fra topp til bunn. Avbøyningsspenningen tas ut mellomtopputtaket (som altsa er pa potensial Ua) og midtuttaket pa potensial xUa, der x kanvariere fra 0 til 100 %. Det betyr at den ene avbøyningsplata ligger pa anodespenningenUa og den andre pa xUa. Avbøyningsspenningen blir da

Ud = Ua − xUa = (1− x)Ua . (4-9)

Hvis du kopler feil og tar ut spenningsdeling til jordpotensialet vil elektronstralen brem-ses kraftig og lett forsvinne. Hvilken plate som skal ha lavere potensial finner du ut veda tenke, eller ved a prøve og feile (stralen avbøyes da feil retning, mot glassveggen).

Kople til avbøyningspotensialet ifølge figur 4.11.

Merknader og tips:

• Innstill potensiometeret pa 100 % slik at midttappingen har samme potensial somanodespenningen.

• Sla pa glødingen, fokuseringsspenning og akselerasjon som beskrevet tidligere.

• Varier avbøyningen ved a skru pa potensiometerknappen.

Forklar det du observerer ut i fra uttrykket for Lorentzkraften i likning (4-1).

Skisser stralen for forskjellige avbøyningsspenninger, f.eks. Ud lik 12Ua og 4

5Ua.

4.3.4 Avbøyning i B-felt

Oppgave:Du skal studere avbøyningen av en elektronstrale i et statisk magnetfelt.


Figur 4.11: Kretsdiagram for elektronkanonen, steg 4: Avbøyning i elektrisk felt. De delene avdiagrammet som har lysere farge er allerede oppkoplet i de foregaende figurene; se forøvrig figur4.8, 4.9 og 4.10 for forklaring. Det stiplede rektangelet oppe til høyre representerer na koplingsboksB (med spenningsdeler), som erstatter den røde tilkoplingspunktene pa koplingsboks A.

Kople strømkretsen til magnetene ifølge figur 4.12.

Merknader og tips:

• Sjekk at kraftforsyningen (5) for Helmholtzspolene er avslatt og at kontrollknappenefor strøm og spenning er skrudd helt ned.

• Innstill kraftforsyningen til strømkilde (METER: A og reguleringsknappen forspenning opp 1/2 omdreining) og sett RANGE til 15 V.

• Innstill multimeteret (6) pa strømmaling og velg omrade 10 A likestrøm.

• Skru opp strømmen til 1 A, og sjekk at strømkretsen virker. MERK: Spolene talermaks. 2 A. Skru deretter strømmen ned igjen.

• Sla pa elektronstralen som beskrevet tidligere.

• Juster akselerasjonsspenningen til 100 V og magnetstrømmen til 0,75 A.

Gi en forklaring pa det som skjer forankret i uttrykket for Lorentzkraften.

Be læreren om a hjelpe deg a vri elektronstralerøret i opplagringen inntil stralen beskriveren heliksformet bane.

Skisser stralen og forklar grunnen til den heliksformede banen.


Figur 4.12: Kretsdiagram for elektronkanonen, steg 5: tilkopling av Helmholtzspolene. De deleneav diagrammet som har lysere farge er allerede oppkoplet i de foregaende figurene; se forøvrig figur4.8, 4.9 og 4.10 for forklaring. (5) representerer en Mascot 719 kraftforsyning som strømkilde og (6)representerer et multimeter for maling av strømstyrken. Merk at oppkoplingen av spenningsdelereni forrige steg (figur 4.11) ikke er nødvendig for forsøkene som skal utføres her, og den er derforikke inkludert i dette diagrammet. Legg merke til at kretsen for Helmholtzspolene er uavhengig avresten av oppkoplingen.

4.3.5 Thomsoneksperimentet: maling av e/m

Oppgave:Du skal bestemme forholdet e/m mellom elektronets ladning og masse fra likning (4-5) veda male akselerasjonsspenningen Ua, radien r i elektronbanen og magnetfeltet B.

Magnetfeltet er forhandskalibrert mot strømmen i spolene. Resultatet er gitt i en ka-libreringskurve vedlagt apparaturen og som et empirisk uttrykk for magnetfeltet somfunksjon av malt spolestrøm funnet fra kalibreringskurven.

Merknader og tips:

• Rett opp røret slik at stralen blir en sirkel og ikke en heliks.

• Innstill multimeteret for spenningsmaling i omradet 0–1000 V likespenning.

• Be læreren om a vise deg hvordan du maler elektronbanens diameter ved hjelpparallakse-speilet bak elektronstralerøret og en linjal.


Analyse og diskusjon av Thomsoneksperimentet

• Bestem e/m for elektronet ut i fra dine malinger av Ua, r, I og kalibreringskurvenfor B(I).

• Gjenta dersom du har tid bestemmelsen for et annet sett av verdier for Ua og I.

• Ansla feilene i de malte størrelser i samrad med læreren din og finn malfeilen ie/m. Hvilke feilkilder dominerer?

• Sammenlign den malte verdi av e/m med tabellverdi.

• Hvordan er overenstemmelsen mellom maleresultatene fra ulike verdier av Ua og Iog feilestimatet ditt?

• Diskuter mulige anvendelser av de fysiske effekter som er tatt opp til observasjoni eksperimentet.

4.3.6 Avslutning

Sla av alle apparater, trekk ut og rydd opp i alle ledninger. Forlat plassen i minst likegod orden som du fant den.

Kapittel 5

KURVETILPASNING

Mal

Oppgaven skal lære studentene minste kvadraters metode og bruk av regresjonsanalysepa en lineær funksjon.

5.1 Formulering av kurvetilpasningsproblemet

Vi star overfor følgende problem: Vi kjenner en matematisk modell for en sammenhengmellom en fysisk størrelse x og en annen størrelse y. For eksempel en enkel lineær sam-menheng y(x) = a0 + a1x eller en eksponensiell sammenheng y(x) = a0 + a1 exp(−k1x).Generelt kan sammenhengen skrives

y = y(x) = f(x, a0, a1, a2, . . .), (5-1)

hvor aj er konstante parametre. I en maleserie har vi sa funnet verdier av y s.f.a. x, ogsom resultat har vi fatt et sett av N sammenhørende par av x- og y-verdier

(x1, y1), (x2, y2), . . . (xi, yi), , . . . (xN , yN). (5-2)

Kurvetilpasningsoppgaven bestar i a bestemme parametrene aj slik at funksjonen y(x)best mulig beskriver malepunktene (xi, yi). Kurvetilpasningen kan ofte med hell gjøresved subjektive metoder basert pa prøving og feiling, f.eks. med øyemal og linjal. Imid-lertid har subjektive metoder ofte darlig reproduserbarhet og er uegnet til bruk i data-maskiner. Det er derfor ogsa et behov for objektive matematisk formulerbare metoder.Slike skal beskrives her.

En objektiv formulering av problemet er at for hvert punkt (xi, yi) som males bør diffe-ransen

∆yi = y(xi)− yi (5-3)

være minst mulig. Men et krav til hvert enkelt malepunkt (totalt N) er vanskelig asamordne.

57

58 KAPITTEL 5. KURVETILPASNING

5.2 Minste kvadratsums prinsipp

Den etterhvert allment anerkjente standardløsningen pa kurvetilpasningsproblemet for-muleres matematisk ved a kreve at

S =∑

(∆yi)2 = minimum, (5-4)

og bygger saledes pa “de minste kvadraters” prinsipp. Legg merke til at ∆y-ene gar innsom kvadrater i uttrykket for summen S, derav navnet.

Det finnes andre mulige matematiske prinsipp som kan brukes for a bestemme “beste”kurve gjennom en punktskare. F.eks.

∑|∆yi| = min, eller max|∆yi| = min, men disse

fører som regel til mer kompliserte løsninger enn minste-kvadrater-prinsippet. Minste-kvadrater-prinsippet foretrekkes ogsa av maletekniske grunner.

Nar de tilfeldige feilene er normalfordelt viser det seg at minste-kvadrater-prinsippet girden mest sannsynlige linja nar funksjonen f(x, . . .) forventes a være lineær i parametrene.

Gjennomføring av minimaliseringsberegningen som følger av minste-kvadrater-prinsippetvil alltid involvere derivasjon m.h.p. parametrene ai (se nedenfor). Sa lenge funksjonenf(x, aj) er av formen

y = a0 + a1x+ a2x2 + . . .+ apx

p, (5-5)

d.v.s. lineær i parametrene aj (dy/daj blir da uavhengig av aj), sa er minimaliserings-problemet analytisk løsbart. For funksjoner som er ikke-lineære i parametrene som f.eks.

f(x, a0, a1, k1) = a0 + a1 exp(−k1x), (5-6)

ma minimaliseringsproblemet som regel løses ved numerisk iterasjon.

Bestemmelse av de (p + 1) koeffisientene a0, a1, . . . , ap ut fra malepunkter kalles forregresjon av p-te grad. Det finnes datamaskinprogram bade for lineær og ikke-lineærregresjon. Vi skal bruke Excel og Python for a foreta regresjonsanalysen.

5.3 Minste kvadraters metode pa den rette linje

Det mest vanlige regresjonsproblemet som oppstar i laboratoriet er a finne den “beste”rette linje y = a0 + a1x gjennom et sett av malte punkter

(x1, y1), (x2, y2), . . . (xi, yi), . . . (xN , yN). (5-7)

Vi skal se i det følgende hvordan dette problemet kan angripes.

En regnemaskinbasert metode for a bestemme koeffisientene a0 og a1 i uttrykket for eirett linje y(x) = a0 + a1x fra N par av malte verdier (xi, yi), vist i figur 5.1, er a brukeførstegrads regresjon basert pa minste-kvadrater-prinsippet.

For et gitt par av verdier for a0 og a1 er avviket for i-te par av malte verdier

∆yi = yi − y(xi) = yi − (a0 + a1xi). (5-8)

5.3. MINSTE KVADRATERS METODE PA DEN RETTE LINJE 59

-

6

y

x

b6 b?

b6

b6 b? b?

a0∆x

a1∆x

Figur 5.1: Minste kvadraters metode.

Ideen bak metoden er som vi har sett at den beste rette linje gjennom punktene er denlinje hvor konstantene a0 og a1 har verdier som gjør uttrykket

S =∑

∆y2i =

∑(yi − a0 − a1xi)

2 = minimum. (5-9)

La oss introdusere følgende hjelpestørrelser:

Sx =N∑1

xi, Sy =N∑1

yi, (5-10)

Sxx =N∑1

x2i , Sxy =

N∑1

xiyi, Syy =N∑1

y2i , (5-11)

∆ = NSxx − S2x. (5-12)

Minimumskravet blir matematisk formulert med kravene

∂S

∂ak= 0, (k = 0, 1), (5-13)

som innebærer

a0N + a1Sx = Sy, (k = 0), (5-14)

a0Sx + a1Sxx = Sxy, (k = 1). (5-15)

Likningene gir de søkte verdiene for konstantene a0 og a1 :

a0 =SySxx − SxSxy

∆, (5-16)

a1 =NSxy − SxSy

∆. (5-17)

Estimerte standardavvik i a0 og a1 kan beregnes fra

∆a0 =

√1

N − 2

SSxx∆

, ∆a1 =

√N

N − 2

S

∆. (5-18)


For et bevis av disse siste uttrykkene, se f.eks. Squires [3], Appendix E, eller Barford [4],Kapittel 3.

Hvis likningen til den rette linjen er endret fra y = a0 + a1x til y = a1x, fører minstekvadrat-kriteriet til følgende uttrykk for stigningstallet:

a1 =SxySxx

, (5-19)

som leseren lett kan bekrefte. Den tilsvarende usikkerhet kan uttrykkes som

∆a1 =1

Sxx

√SxxSyy − SxySxy

N − 1. (5-20)

5.4 Regresjonsanalyse med Excel regneark

I Microsoft Excel ligger det inne flere funksjoner for dataanalyse, men vi skal bruke Excelbare som en avansert kalkulator og et verktøy for plotting. De som er interesserte i alære mer om disse hjelpemidlene kan henvises til Internett.1,2

I eksperimentet “Kraft pa strømførende leder” i kap. 6.2 skal du bruke et regneark iExcel eller en Python-kode for tilpasning av maleresultater til teorien. Du skal estimereen første ordens regresjonslinje for maledata ved a bruke minste kvadraters metode:

M∗ = a0 + a1I, (5-21)

hvor I er malte strømverdier og M∗ er beregnet y-verdi (kraft) fra regresjonen. Regre-sjonsfunksjonen bestemmer altsa koeffisienten a1 (stigningstallet) og a0 (skjæringspunk-tet med y-aksen).

Før du har maleresultater tilgjengelig kan du bruke maleverdiene lagret i fil Kurvetilpas-ning.xls pa skrivebordet. Kopier filen til ditt eget hjemmeomrade. Den viser kraft (M)pa strømførende leder som funksjon av strømmen I.

1. Lag et diagram over disse maleverdiene.

Fra diagrammet ser du at malepunktene følger ei rett linje svært bra, slik det ogsa skalvære ifølge teorien for kraft pa strømførende leder.

2. Utfør lineær regresjon mellom de to datakolonnene. Gjør som følger:

• Lag en kolonne (C8:C28) av verdier for x2i .

• Lag en kolonne (D8:D28) av verdier for xiyi.

• Skriv Sx i cella A30, Sy i cella B30, Sxx i cella C30 og Sxy i cella D30.

• Beregn Sx ≡ Σxi ved a skrive formelen for cella A31 slik:=SUMMER(A8:A28).

1http://home.phys.ntnu.no/brukdef/undervisning/tfy4102_lab/2http://home.hio.no/~bjorn-e/REGRESJONEXCEL.HTM

http://home.phys.ntnu.no/brukdef/undervisning/tfy4102_lab/

http://home.hio.no/~bjorn-e/REGRESJONEXCEL.HTM

5.5. REGRESJONSANALYSE MED PYTHON 61

• Beregn Sy, Sxx og Sxy ved a kopiere formelen til cellene B31, C31 og D31.

• Beregn a0 og a1, ved a bruke likningene (5-16) og (5-17). Vi vil i det følgende antaat verdiene for a0, a1, ∆a0, og ∆a1 vil bli beregnet i henholdsvis celle A34, B34,C34, og D34.

5.4.1 Analyse av avviket mellom maleresultat og regresjon

3. Sett opp ei kolonne som viser det estimerte resultatet M∗ for hver strømverdi.

Estimert resultat fra regresjonslinja M∗ = a0 + a1I kan du legge inn i ei ny kolonneved f.eks. i celle E8 a skrive inn formelen = $A$34 + $B$34*A8 og kopiere den nedoverkolonne E.

4. Lag ogsa overskrift for kolonne E, og formater tallverdiene.

Beregn ogsa avviket ∆M = M − M∗ i kolonne F. Kurvediagram for avvik genereresautomatisk. Legg merke til at vi har lagt arbeid i a forbedre kurvediagrammet laget avExcel.

Beregn kvadratavviket (∆M)2 i kolonne G og S i celle G31.

Beregn ∆a0, og ∆a1 ved a bruke likning (5-18).

5. Beregn det relative avviket mellom malte verdier M og estimerte verdier M∗ for hverstrømverdi.

Legg inn en formel som regner ut differansen (M −M∗)/M∗ i % i cella H8 og kopiernedover kolonna.

6. Hvilket er mest instruktivt, relativt avvik eller absolutt avvik?

Kurvediagrammet over M(I) viser at M stort sett øker lineært med I som teorien for-utsier.

Spørsmal: Fra teorien for strømførende ledere forventes det at den rette linjen vil passeregjennom origo. Stemmer dette med beregnede verdier av a0 og ∆a0? Prøv na a beregnea1 og ∆a1 i celle B35 og D35 ved a bruke likningene (5-19) og (5-20). Sammenlikn de nyeverdiene med de du fant tidligere.

5.5 Regresjonsanalyse med Python

I dette delkapittelet skal vi bruke Python til a løse det problemet som i forrige del-kapittel ble løst av Excel. Du vil oppdage at tenkematene som brukes i de to verktøyeneer noe forskjellige. Den tilnærmingen vi kommer til a følge i Python vil ligge nærmerevanlig programmering, det vil si at vi skriver et skript eller en kodebit som deretter kankjøres for a behandle flere forskjellige datasett. For denne forholdsvis enkle oppgaven


krever dette en litt større investering av tid for a skrive den koden vi trenger. Dette erimidlertid vel anvendt tid om du skal fa inn under huden den tenkematen en bruker naren programmerer, noe som trolig vil komme til nytte ved løsning av andre problemersenere i studiet.

Det konkrete resultatet fra denne labben skal i alle tilfeller bli det samme for Excel ellerPython: Du skal fa et regneark eller et skript som er klart for a behandle de maledatadu vil registrere i neste labb.

5.5.1 Pseudokode for regresjonsanalyse

I TFY4145/FY1001 har dere tilegnet dere allerede grunnleggende kunnskaper i Python,som bruk av vektorer og basiske matematiske funksjoner med numpy3, og laging avgrafer med matplotlib4. Det skal na komme til god nytte. Selv om vi papeker noenviktige funksjoner i Python, far dere ikke steg-for-steg instruksjoner med hele koden. Istedet finner dere her en pseudokode som hjelp til skriptskrivingen.

En pseudokode er en rask oversikt over hvordan du har tenkt a skrive og strukturerekoden din. Den er strukturert som kode, men er skrevet for at mennesker enkelt skalkunne forsta hva som man ønsker a fa maskinen til a utføre. Et banalt eksempel vil væreen teller, som skriver ut alle tallene fra en til ti. I et Python-skript ville koden sett slikut:

for i in range(1,11):

print(i)

En tilsvarende pseudokode vil se ut noe som dette:

Kjør løkke for i fra 1 til 10

Skriv ut i

Vi starter med en rask oversikt over hva skriptet skal inneholde

• Rask dokumentasjon pa hva skriptet gjør og hvem som har skrevet det.

• Lesing av datafil.

• Beregning av koeffisientene til regresjonskurven.

• Plotte maledata og regresjonskurven.

• Beregne standardavvikene til regresjonskoeffisientene.

3http://www.numpy.org4http://matplotlib.org

http://www.numpy.org

http://matplotlib.org


Na: apne en tom py-fil, og skriv navn, dato og formal i et kommentarfelt i toppen.

Oppgave 1:Les inn datafilen data.dat til en matrise og plott malepunktene i en figur. Datafilen finnerdu pa hjemmesida til labkurset og pa skrivebordet pa arbeidsmaskinene pa datalabben,sa sørg først for a kopiere filen til mappen der du lagret py-filen.

Les inn "data.dat" til en matrise

Lag to vektorer x og y som hhv. inneholder alle x- og y-verdier

Plott alle y-verdier mot respektive x-verdier

Merk at vi velger a bare plotte maledataene før vi behandler dem videre. Særlig for etnytt og ukjent datasett kan det lønne seg a visualisere tallene først slik at vi kan se bedrehva vi har med a gjøre. Husk at du ikke skal trekke linjer mellom malepunktene nar duplotter enkeltmalinger. Pass ogsa pa at du har fatt med deg hvordan tallene er arrangerti datafilen. Det bør nevnes at dette datasettet ikke er ment a skulle representere malingerav kraften pa en leder som funksjon av strøm.

En funksjon som kan brukes for a lese inn datafilen er loadtxt fra numpy. For a plottedataene setter du først opp et nytt diagram med matplotlib-funksjonene figure og sub-plot. Sa bruker du plot-funksjonen. Til slutt ma man kalle show for a vise vinduet.

Oppgave 2:Na skal du beregne koeffisientene a0 og a1, og skrive dem til skjermen.

Lagre antall datapunkter i en variabel N

Beregn hjelpestørrelsene Sx, Sy, Sxx, Sxy og Delta

Beregn koeffisientene a0 og a1

Sørg for at a1 og a0 blir skrevet til skjerm

Det er to mater a beregne summene i de ulike hjelpestørrelsene ovenfor: Enten kan dubruke løkker som beskrevet i presentasjonen av pseudokode ovenfor, eller du kan brukevektorfunksjoner som sum. Husk at bruk av løkker blir fort ueffisient i sprak som Pythoneller MATLAB5 nar man jobber med større datamengder. Derfor er det best a brukevektorfunksjoner og skrive løkker bare nar det ikke lar seg unnga. I tillegg blir koden padenne maten kortere og mer oversiktlig.

Svaret du skal fa er a1 = 0, 99704 og a0 = 10, 444.

Oppgave 3:En god regel a følge nar man har foretatt en regresjonsberegning, er a huske pa visualise-re datapunktene og regresjonskurven. Dette er for at vi skal kunne gjøre en vurdering omhvorvidt resultatet er rimelig eller ikke. Det er lett a gjøre feil nar man programmerer, oghvis en feil sniker seg inn uten at programmet krasjer, sa er det vanskelig a vite hvorvidtsvaret man far ut er riktig eller ei.

5sakalte interpreterte sprak, i motsetning til kompilerte sprak


I denne oppgaven skal du plotte datapunktene fra data.dat og regresjonskurven i sammefigur, i tillegg til at vi skal gjøre denne figuren litt mer presentabel. Noen tips finner dunedenfor pseudokoden.

Lag en ny vektor for y-verdiene til regresjonskurven gitt for hver x-verdi

Plott y-verdiene i denne nye vektoren mot respektive x-verdier

Sett navn pa aksene

Sett tittel pa plottet

Definer tegnforklaring

Her kan det være lurt a lese dokumentasjonen for funksjonene xlabel, ylabel og title6,samt kommandoen legend for a sette opp tegnforklaringen. Husk ogsa at datapunkteneskal være representert ved enkeltpunkter i figuren, mens regresjonskurven gjerne kanrepresenteres med heltrukken linje.

Oppgave 4:Til sist skal du plotte avvikket fra regresjonskurvet og beregne standardavvikene ∆a1 og∆a0.

Lag en ny vektor Dy for avviket mellom y og regresjonskurven for hver x-verdi

Beregn S fra kvadratet av elementene i avviksvektoren Dy

Beregn standardavvikene Da0 og Da1 ut fra S og de andre hjelpestørrelsene

Sørg for at Da0 og Da1 blir skrevet til skjerm

Apne et nytt figurvindu ved a bruke funksjonen "figure"

Plott avviksvektoren Dy i det nye vinduet som en funksjon av x

Navngi aksene o.s.v. for avviksfiguren tilsvarende som i forrige oppgave

Vi minner om at avviksmalet S er definert ved∑

i ∆y2i , der avviksvektoren Dy = ∆y er

definert i likning (5-8). Om du har gjort alt riktig skal du na ha fatt verdiene ∆a1 =0, 028908 og ∆a0 = 0, 56050.

Oppgave 5Vi skal na omstrukturere koden var noe ved a dele den opp i funksjoner, noe som erforholdsvis vanlig praksis innen programmering. Før du gar videre, lag en sikkerhetskopiav din py-fil, slik at du ikke mister den fungerende koden i tilfellet noe gar galt underomstruktureringen. For vart bestemte problem vil arsaken til omstruktureringen kommetydeligere fram i neste oppgave, der vi skal anvende algoritmen vi har benyttet her paet litt annerledes problem.

Det vi skal gjøre er a flytte selve koden for lineær regresjon til en egen funksjon. Denneskal være slik at den returnerer a0 og a1 nar du kaller pa funksjonen og sender med x-verdiene og y-verdiene som skal kurvetilpasses som argumenter. Opprett først en ny py-fil

6Kommandoen title plasserer som standard figurtittelen over figuren, sa for figurer til bruk i journaleller rapport lønner det seg ikke a ta med tittel i Python.


med navn regresjon.py. Hit flytter du koden i skriptet ditt7 bortsett fra de delene somhar med innlesingen av datafil a gjøre og kommandoene knyttet til figuren og plotting.Pseudokoden for funksjonen skal dermed være som følger (noe forkortet, og med førsteog siste linje som ren kode og ikke pseudokode):

def lineaer_regresjon(x,y):

Beregn koeffisientene a0 og a1

Sørg for at a0 og a1 blir skrevet til skjerm

Beregn standardavvikene Da0 og Da1

Sørg for at Da0 og Da1 blir skrevet til skjerm

return a0, a1

Husk ogsa gjerne a kommentere i filen hva funksjonen gjør, nar den er skrevet o.s.v.Deretter gjør du funksjonen tilgjengelig i ditt skript ved a skrive8

from regresjon import lineaer_regresjon

pa begynnelsen av filen. Sa erstatter du de delene som ble flyttet med et funksjonskall tilden nye funksjonen, og det gjør du ganske enkelt ved a skrive a0,a1 = lineaer regresjon(x,y).I tillegg ma du huske pa a definere en ny vektor for regresjonskurven etter dette, dersomden gamle ble fjernet.9 Pseudokoden for skriptet ditt blir dermed:

Les inn "data.dat" til en matrise

Lag to vektorer x og y som hhv. inneholder alle x- og y-verdier

Plott alle y-verdier mot respektive x-verdier

Beregn a0 og a1 ved a kalle pa lineaer_regresjon(x,y)

Lag en ny vektor for y-verdiene til regresjonskurven gitt for hver x-verdi

Plott y-verdiene i denne nye vektoren mot respektive x-verdier

Plott avviket mellom regresjonskurve og data

At figurene skal være hensiktsmessig formatert og med navngitte akser er underforstatther og i de følgende oppgavene. Om du vil kan du legge til en horisontal linje somrepresenterer ∆y = 0 i avviksplottet.

Oppgave 6Vi skal na anvende koden vi har skrevet pa en modell som ikke er en rett linje. I eks-perimentet om kraft pa en strømførende leder skal du male kraften som en funksjon avvinkelen θ mellom lederen og et eksternt magnetfelt, og vi vil se at denne kraften garsom sinus av θ. Vi kan skrive opp en generell modell for en funksjon y = y(θ) som

y = a0 + a1 sin θ. (5-22)

Vi legger na merke til at hvis vi definerer x-verdiene vare som sin θ i stedet for θ vil vikomme tilbake til den velkjente lineære modellen y = a0 + a1x. Med andre ord skal vi

7Husk a importere numpy ogsa i den nye filen.8Skriptet og regresjon.py ma ligge i samme mappe.9Studenter som er vant til a skrive effektiv kode kan innvende at metoden vi har valgt her ikke er

optimal siden samme størrelsen blir beregnet flere ganger enn nødvendig.


fa en rett linje om vi plotter y som en funksjon av sin θ. Dermed kan vi uten problembenytte metoden skissert i de foregaende oppgavene ved a bruke om igjen den sam-me egenproduserte regresjonsfunksjonen lineaer_regresjon(x,y). Teknikkene i denneoppgaven kan dermed komme til nytte i analysen av maleresultatene for kraften pa enstrømførende leder som en funksjon av vinkel. (Du kan ogsa bruke Excel i denne analysenved a modifisere regnearket fra kapittel 5.4 pa følgende vis: Bytt ut alle referanser tilA-kolonnen med sinus av verdiene i denne kolonnen, dvs. at x blir erstattet med sin θ.)

I denne oppgaven skal vi bruke en ny datafil sinus.dat, sa sørg for a kopiere denne fraskrivebordet eller hjemmesida. Dette datasettet illustrerer vinkelavhengigheten i likning(5-22), men er ellers ikke ment a være typisk for datasettene du skal registrere i nestelabb. Lag først en ny py-fil. Ved implementasjonen av pseudokoden som følger kan dukopiere elementer fra det første skriptet dersom du ønsker det. Du kan ogsa gjerne testekoden etter hvert av stegene i pseudokoden for a bedre forsta hva som gjøres. Noen tipsfinner du nedenfor pseudokoden.

Last inn filen "sinus.dat" til en matrise. Lag to vektorer theta og y

fra denne matrisen

Definer en ny vektor sintheta gitt ved sinus til vektoren theta

Plott y som en funksjon av theta i figur 1

Plott y som en funksjon av sintheta i figur 2

Bruk regresjonsfunksjonen din med sintheta som x-verdier til a finne

a0 og a1

Plott regresjonskurven som en funksjon av sintheta i figur 2

Definer en ny vektor thetaFit med minst 100 (passende) vinkelverdier

Regn ut y-verdien til regresjonskurven for alle vinkler i thetaFit

Plott denne nye vektoren av y-verdier som en funksjon av thetaFit i

figur 1

For a generere vektoren thetaFit kan du bruke numpy-funksjonen linspace. Det er na-turligvis et poeng at vinkelverdiene i denne vektoren er fra samme intervall som θ idatasettet. Bruk gjerne min og max for a finne minimal og maksimal verdi til θ auto-matisk.

De y-verdiene for regresjonskurven som du plotter i figur 1 kan du beregne ved a lage enny vektor gitt ved regresjonsfunksjonen (5-22) anvendt pa vektoren thetaFit.

Vi bør ogsa forklare arsaken til at vi opprettet vektoren thetaFit i pseudokoden ovenfor:Selv om du helt fint kunne plottet regresjonskurven gitt ved hver verdi i theta sa villeregresjonskurven sett hakkete ut nar du skulle plotte den sammen med datapunktene.Dette skyldes naturligvis at vi har relativt fa datapunkter, og ville være spesielt merkbartder funksjonen krummer sterkest.

Kapittel 6

KRAFT PA STRØMFØRENDELEDER

Mal


• studere kraften mellom en strømførende leder og et konstant magnetfelt,

• fa erfaring med framstilling av resultater fra presisjonsmalinger,

• utføre databehandling av maleresultatene v.h.a. regresjonsanalyse i Python (minstekvadraters metode).


6.1.1 Kraft pa en leder

Et elektron med ladning q = −e som beveger seg med en hastighet ~v i en leder som erplassert i et magnetfelt ~B vil bli pavirket av en kraft ifølge Lorentzkraften

~F = q ~v × ~B . (6-1)

I en leder er elektronene forankret til krystallgitteret i lederen slik at kraften pa hvertelektron overføres til lederen. Den totale kraften pa en strømførende leder i et magnetfeltblir den resulterende kraften pa alle elektronene i lederen:

~F = q (~vd × ~B)nA` , (6-2)

hvor ` er lengden av lederen, A er tverrsnittsarealet, n er elektrontettheten og følgeligblir nA` lik totalt antall elektroner i lederen. Hastigheten ~vd ma forstas som gjennom-snittshastigheten (drifthastigheten) til elektronene.

67

68 KAPITTEL 6. KRAFT PA STRØMFØRENDE LEDER

Den elektriske strømmen i en leder er definert som

I = nqvdA , (6-3)

og følgelig vil kraften kunne uttrykkes

~F = I ~× ~B , (6-4)

hvor ~ ma oppfattes som en vektor med retning langs lederen i strømretningen. Skrevetut pa skalar form blir likningen

F = I`B sin θ , (6-5)

hvor θ er vinkelen mellom magnetfeltet og positiv strømretning i lederen. Nar lederret-ningen er vinkelrett pa magnetfeltretningen er θ = π/2, og likning (6-5) forenkles til

F = I`B . (6-6)

Kraften pa en strømførende leder i et magnetfelt kan males med oppstillingen i figur 6.1.Magneten hviler pa vekta, mens den strømførende lederen er fastmontert uavhengig av

Figur 6.1: Prinsippskisse for oppstilling for maling av kraft pa en strømførende leder.

vekta. Kraftvirkning mellom lederen og magneten vil bli registrert som utslag pa vekta.Vekta er imidlertid kalibrert og gradert til a male masse M i gram idet en viss verdi fortyngdeakselerasjon g er antatt. Sammenhengen mellom kraft og masse er som kjent gittav

F = Mg (6-7)

slik at fra likning (6-5) vil vi fa uttrykk for vektas utslag:

M =I`B

gsin θ . (6-8)


Nar θ = π/2, kan likning (6-8) omskrives som

M(I) = a′1I,(a′1 = `B/g

), (6-9)

eller som

M(`) = b′1`,(b′1 = IB/g

). (6-10)

6.1.2 Kraft s.f.a. vinkelen

Du erstatter lederen med en spole som vist i figur 6.2 hvor vinkelen mellom spoleaksenog magnetfeltretningen er variabel. Spolen har N = 10 rektangulære viklinger med side-lengder 11 mm og kun den nedre delen av spolen ligger i magnetfeltet slik at kraftenbare virker pa den nedre horisontale del av viklingene, dvs. total lengde 110 mm. Vin-kelen mellom strømretningen og magnetfeltet er θ og inngar i likningen for beregning avkraften.

··························

QQQ

QQQ

⊗

QQ

QQ

QQ

⊗

QQQ

QQQ

⊗

QQ

QQ

QQ

⊗

QQQ

QQQ

⊗

QQ

QQ

QQ

⊗

QQQ

QQQ

⊗

QQ

QQ

QQ

⊗

QQQ

QQQ

⊗

QQ

QQ

QQ

⊗

..................

................

..............

........

.....

..............

..............

Q

QQk

QQQs

10 viklinger

N S11mm︸︷︷︸

-QQQQQs

.........................

............................

~B

~Iθ

Figur 6.2: Dreibar spole plassert i magnetbrønnen, sett ovenfra. Kun den nedre delen avspolen ligger i magnetfeltet og de vertikale lederne (markert med × og · pa figuren) erpavirket av krefter i horisontal retning og som innbyrdes nuller hverandre ut.

6.2 Eksperimentelt

6.2.1 Apparatur


• Elektromagnetisk vekt. Mettler Mod. PM480. Omrade: 0–400 g. Presisjon:±1 mg, eller Mettler Mod. PB-SDR/FACT. Omrade 0–60 g ± 1 mg/70–310 g± 8 mg.

• Stativ for strømbaner. Pasco SF-8607.


• Faste strømbaner og magnetbrønn med variabelt magnetfelt fra 125 G til 750 Gi trinn pa 125 G. Fabrikat og type: Pasco SF-8607.

• Roterbar spole med 10 rektangulære viklinger horisontal, dimensjon 11 × 23mm, med tilhørende magnetbrønn med magnetfelt lik ca 250 G. Fabrikat og type:Pasco SF-8608.

• Kraftforsyning. Delta Elektronika Mod. SM 7020-0. Omrade: 0–70 V, 0–20 A.Brukes som strømkilde.

• Multimeter. Keithley 175A eller GW instek GDM-8246.

• Datamaskin med Excel og Pyzo.

• Skyvelære.

Vekta er et presisjonsinstrument som du ma behandle med forsiktighet. Pass spesielt pa aunnga støt mot veiepannen under montering og demontering av oppstillingen. Vekta byg-ger pa en elektromagnetisk veiemetode etter kompensasjonsprinsippet slik at veiepannenikke forandrer stilling under veiingen. Dette er viktig for malingene vare.

Lederne som brukes i eksperimentene er bygget opp som moderne elektroniske kretskortmed smale strømbaner av kobber som er dampet pa glassfiberarmerte polyesterplater.For a forhindre oksidering av kobberoverflata er den dekket med tinn. Totalt inneholderinstrumentoppstillingen seks faste strømbaner av forskjellig lengde, hvor fire er enkle ogto er doble.

Som magnetfeltkilde brukes en magnetbrønn bygget opp av seks like permanentmagneter.Feltet i brønnen kan varieres ved a fjerne magnetene en etter en.

For a undersøke kraften s.f.a. vinkelen mellom feltretning og strømretning brukes i sisteeksperiment en roterbar spole med egen magnetbrønn.

6.2.2 Kraft s.f.a. strømmen

Oppgave:Undersøk hvordan kraften mellom en tynn strømførende leder og et magnetfelt med retningvinkelrett pa lederen avhenger av strømmen i lederen.

Forslag til framgangsmate:

• Velg en av strømbanene og mal lengden ` og bredden t av strømbanen med sky-velære. (Pass pa at du ikke skader strømbanen med skyvelæret.) Definer foreløpigstrømbanens lengde som ytre dimensjon i lengderetningen. Seinere far du anledningtil a revurdere denne definisjonen.

• Sett strømbanen pa plass i stativet.

• Klargjør kraftforsyningen: Sjekk at den er slatt av og at reguleringsknappene forstrøm og spenning er skrudd helt ned.


• Klargjør multimeteret: Sjekk at det er slatt av og innstill multimeteret for malingav likestrøm i omradet 0–5 A (bruk kontakt 10 AMPS og omrade AUTO).

• Kople opp strømkretsen med kraftforsyningen, multimeteret og strømbanen i serie,som vist i figur 6.1. Strømutgangen pa kraftforsyningen er pa baksiden av boksen.

• Sjekk nivelleringen av vekta (libelle bak, juster føtter) og sla deretter vekta pa.

• Still magnetbrønnen midt pa vekta med den perforerte sylinderen mellom mag-netbrønnen og vekta. (Den perforerte sylinderen er satt inn for a øke avstandenmellom magnetbrønnen og vekta for a unnga at magnetfeltet fra magnetbrønnenforstyrrer vektas magnetfelt.)

• Juster posisjonen til lederen i forhold til magnetbrønnen slik at den ligger midt imagnetfeltet.

• Nullstill vekta. MERK: For a være helt sikker pa at det ikke gar strøm i kretsenunder nullstillingen bør du bryte strømkretsen ved a trekke ut en av kontaktenemens du nullstiller.

• Sla kraftforsyningen og multimeteret pa.

• Pa kraftforsyningen, skru justeringsknappen for spenning ca. en omdreining opp,slik at kraftforsyningen er strømstyrt.

• Øk strømmen i lederen og observer pa vekta hvordan kraften øker med strømmen.MERK: Kraftforsyningen kan levere opp til 20 A mens strømbanen taler maksimalt5 A. Det er ditt ansvar a passe pa at strømbanen ikke blir overbelastet! Følg medpa strømmaleren!

• Reduser strømmen til null, bytt polaritet pa strømbanen og mal pa nytt. Far duet forventet resultat?

• Reduser strømmen til null, snu magneten og gjenta malingen. Far du et forventetresultat?

• Vis i en skisse strømretninger og kraftretninger og identifiser magnetpolene.

• Mal vekta M = F/g s.f.a. strømmen I i omradet 0–5 A og skriv maleresultateneinn i en datafil etter hvert. Ta ca 30 malepunkter fordelt over omradet men tettestmed malinger ved lavere I-verdier.Bruk Python-skriptet du laget for lineær regresjon av kraft s.f.a. strøm i kapittel5.

• Mal tilslutt magnetfeltet B i magnetbrønnen med gaussmeteret (be læreren hjelpedeg).

Analyse/diskusjon:

• Tilpass maledata til M∗ = a0+a1I. Finn “beste” rette linje gjennom malepunktenev.h.a. lineær regresjon og bestem stigningstallet a1 og usikkerheten ∆a1.


• Beregn forventet stigningstall a′1 for M(I) ved a bruke malte verdier for ` og B oglikning (6-9). Finn ogsa usikkerheten ∆a′1.

• Er verdien av a′1 lik stigningstallet a1 fra den eksperimentelle kurven innenforusikkerheten? Hvis ikke, kan du forklare avviket?

• Se pa avviksplottet for regresjonslinjen din. Ser det ut som det er en lineær sam-menheng mellom kraften og strømstyrken? (Tips: Se pa hvordan malepunktene erfordelt rundt regresjonslinjen.) Dersom du antar at det er en lineær sammenheng,samsvarer størrelsen pa avvikene med malenøyaktigheten til vekten?

• Kan du, nar du tar hensyn til resultatene fra feilanalysen, pasta at du har verifisertlikning (6-9)?

• Skriv ut kurvediagram og grafer og lim inn i journalen sammen med kommentarer.

6.2.3 Kraft s.f.a. lengden

Oppgave:Undersøk hvordan kraften pa en tynn leder i et magnetfelt med retning vinkelrett pa lederenavhenger av lengden av lederen.

• Oppsett og maling av kraften er forklart ovenfor.VIKTIG: Reduser strømmen i kretsen til null hver gang du skifter leder.

• Mal lengden og bredden av hver strømbane sa nøyaktig som mulig. Bruk ytredimensjon for lengden. Legg merke til at to av strømbanene er doble.

• Noter resultatene inn i en datafil etterhvert som du maler.

Analyse/diskusjon:

• Tilpass maledata til M∗ = b0 +b1`. Finn “beste” rette linje gjennom malepunktenev.h.a. lineær regresjon og bestem stigningstallet b1 og usikkerheten ∆b1.

• Beregn forventet stigningstall b′1 for M(`) ved a bruke malte verdier for I og B oglikning (6-10). Finn ogsa usikkerheten ∆b′1.

• Ligger verdien av b′1 innenfor usikkerheten b1±∆b1 fra den eksperimentelle kurve?Hvis ikke, kan du forklare avviket?

• Ut fra dine resultater her, eventuelt revider definisjonen din av lederens lengde.

• Kan du, nar du tar hensyn til resultatene fra feilanalysen, pasta at du har verifisertlikning (6-10)?

• Skriv ut kurvediagram og grafer og lim inn i journalen sammen med kommentarer.


6.2.4 Kraft s.f.a. vinkelen

Oppgave:Undersøk hvordan kraften pa en tynn strømførende leder avhenger av vinkelen mellom lederenog magnetfeltet.

Framgangsmate:

• Plasser den dreibare spolen pa stativet og bruk den tilhørende magnetbrønnen.

• Mal vekta M s.f.a. vinkelen θ mellom spolen og magnetfeltet ved fast strøm (f.eks.2 A).

• Noter resultatene inn i en datafil etterhvert som du maler.

• Bruk prosedyren beskrevet i oppgave 6 i kapittel 5.5 til a lage en regresjonskurvefor resultatene dine. (Bruke Python-skriptet fra kapittel 5.5.)

• Ser maleresultatene ut til a følge en sinusfunksjon? Kan du forklare eventuelleavvik?

6.2.5 Generell diskusjon

• Diskuter malenøyaktigheten i eksperimentet og dens innflytelse pa mulighetene forsammenlikning med teorien.

• Diskuter den mest riktige maten a angi lengden av lederen i oppgave 6.2.3. Har dumulighet til a beregne en effektiv lengde ut fra eksperimentelle data?

• Er verdien av b′1 lik stigningstallet b1 fra den eksperimentelle kurven innenfor usik-kerheten? Hvis ikke, kan du forklare avviket?

6.2.6 Avslutning

• Sla av alle apparater, trekk ut alle ledninger og forlat plassen i minst like god ordensom du fant den.


Bibliografi

[1] E. Lillestøl, A. Hunderi og J.R. Lien, 2001 Generell fysikk for universiteter oghøgskoler. Bind 2: varmelære og elektrisitetslære, Universitetsforlaget.

[2] M. Alonso and E.J. Finn, 1992 Physics , Addison Wesley.

[3] G.L. Squires, 1985, Practical Physics , Cambridge University Press, Cambridge.

[4] N.C. Barford, 1985, Experimental Measurements: Precision, Error and Truth (2ndedn), Wiley, Chichester.

75

Documents

LABORATORIUM I EMNENE TFY4155/FY1003 ...folk.ntnu.no/kristowh/ElectromagnetismMMXVI.pdfP = VI= RI2, vil det alltid vˆre et spenningsfall V over en str˝mf˝rende leder med str˝m