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Caṕıtulo 5
LÁMINAS REBAJADAS
5.1. Introducción
Se denominan láminas curvas rebajadas a aquellas que pueden
proyec-tarse sobre una superficie plana, de tal forma que pueda
establecerse co-rrespondencia uno a uno entre los puntos de la
cáscara y los del plano.Las láminas rebajadas se parecen a las
planas, pero su comportamiento esmás complejo y produce
acoplamiento entre los esfuerzos membranales y losflexionales.
Desde el punto de vista estructural, consideraremos que una
cáscara esrebajada si el ángulo que forma la tangente en el
extremo con un planohorizontal es menor de 18◦. Además, la altura
máxima no debe superar laquinta parte del lado menor. De esta
forma, la longitud de un segmento dearco medido sobre la superficie
curva o sobre su proyección en el plano casino difieren.
5.1.1. Limitaciones estructurales de los elementos rectos
Las estructuras de vigas y placas planas resisten
fundamentalmente me-diante flexión, pero cuando las distancias
entre apoyos son grandes, las ten-siones aumentan demasiado. Por
ejemplo, una viga simplemente apoyadadesarrolla momentos al centro
de valor
M = pL2
8
Las tensiones resultan
σ =6M
bh2
Igualando se obtiene:
101
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102 Análisis de estructuras laminares
p =4
3σb(
h
L)2
Para un determinado material se tendrá un valor de tensión
máxima quepuede resistir, de manera que la carga máxima que puede
soportar dependede (h/L)2. A medida que aumenta L deberá aumentar
h para soportar lamisma carga distribuida p. De manera que la
flexión sola no es un mecanismoeficiente cuando L es grande. Por
eso las vigas y láminas planas solo puedencubrir longitudes
pequeñas entre apoyos.
Aqúı podemos generalizar y decir que las estructuras resisten
por unacombinación de material y forma. La Figura 5.1 muestra
algunos ejemplosde formas estructurales usadas con frecuencia en
ingenieŕıa civil. En la ĺıneasuperior se encuentran una viga,
placa plana y palca plegada. El mecanismode flexión de vigas y
placas solo utiliza la capacidad del material.
Figura 5.1: Seis ejemplos de formas estructurales: viga, placa
plana, placaplegada, arco, cilindro, domo.
En la ĺınea inferior se encuentra un arco, un cilindro y un
domo, quetienen curvatura en una o en dos direcciones. Las
estructuras laminares ple-gadas o curvas aprovechan también la
forma para desarrollar esfuerzos mem-branales y de flexión, pero
con predominio de los esfuerzos membranales.
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Láminas Rebajadas 103
5.1.2. Ecuaciones de un Anillo
Para comprender mejor el comportamiento de una lámina rebajada
comen-zaremos aqúı planteando las condiciones de un anillo
circular rebajado. LaFigura 5.2.a muestra un anillo de radio R bajo
presión radial uniforme p3.El esfuerzo en el anillo N11 estará
dado por
N11 = p3 R
Si designamos la curvatura k11 como la inversa del radio que
describe lasuperficie media del anillo, k11 = 1/R, se tiene
p3 − k11 N11 = 0 (5.1)
Figura 5.2: (a) Fuerzas y (b) deformaciones en un anillo
circular.
En el caso de un anillo circular, la curvatura es constante.
De manera que las fuerzas membranales N11 producen una
contribuciónpara equilibrar las fuerzas externas p3 debido a la
presencia de la curvatu-ra k11. Este efecto membranal que participa
en el equilibrio de las cargastransversales se produce también en
las dos direcciones en láminas curvas.
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104 Análisis de estructuras laminares
En segundo lugar, consideremos la deformación ε11 en el anillo
debida aun desplazamiento transversal u3 (ilustrado en la Figura
5.2.b).
ε11 =`′ − ``
donde ` es la longitud del anillo en la configuracion original y
`′
en ladeformada:
` = 2πR `′
= 2π (R− u3)
Resulta aśı
ε11 =2π (R− u3)− 2πR
2πR= −u3
R
o bien
ε11 = −k11 u3 (5.2)
Por lo tanto, un desplazamiento transversal produce una
deformación en elplano medio del anillo debido a la presencia de
la curvatura. Este efectotambién ocurre en superficies
rebajadas.
5.2. Formulación Flexional de Láminas Rebajadas
En este caṕıtulo no profundizaremos sobre la geometŕıa
diferencial deuna superficie y dejaremos esa discusión
introductoria para un caṕıtulo sigu-iente.
En una lámina rebajada debe especificarse la forma de la
superficie, quese describe mediante una ecuación del tipo
z3 = F (x1, x2) (5.3)
donde z3 es la distancia de la superficie media a un plano (x1,
x2). Es nece-sario ahora distinguir entre la coordenada vertical de
la cáscara z3 y ladistancia de un punto en el espesor con respecto
a la superficie media, quees x3. Tal distinción no aparećıa en
láminas planas.
Las curvaturas de la superficie antes de la deformación se
evalúan en-tonces computando las derivadas segundas de z3
kij =∂2z3∂xi∂xj
(5.4)
La curvatura puede variar entre diferentes puntos de la
superficie media,aunque en algunas cáscaras de uso frecuente se
mantienen constantes.
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Láminas Rebajadas 105
5.2.1. Ecuaciones de equilibrio
Figura 5.3: Equilibrio de fuerzas y momentos.
Con referencia a la Figura 5.3, las tres ecuaciones de
equilibrio de fuerzaspara láminas rebajadas resultan:
∂N11∂x1
+∂N12∂x2
= −p1
∂N21∂x1
+∂N22∂x2
= −p2
∂N13∂x1
+∂N23∂x2
+ k11N11 + k22N22 + 2k12N12 = −p3 (5.5)
Las dos primeras ecuaciones son las de un estado plano de
tensiones.La tercera es similar a la de flexión de placas, pero
con el agregado de lostérminos (k11N11 + k22N22 + 2k12N12) que
acoplan las fuerzas membranalescon la curvatura, de manera similar
a lo que ocurre en un anillo.
Las ecuaciones de equilibrio de momentos son como las de placas
planas:
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106 Análisis de estructuras laminares
∂M11∂x1
+∂M12∂x2
−N13 = 0
∂M21∂x1
+∂M22∂x2
−N23 = 0 (5.6)
Existe una tercera ecuación, pero no provee información nueva.
En no-tación indicial, las ecuaciones de equilibrio de flexión se
escriben como
∂Ni3∂xi
+ kijNij + p3 = 0
∂Mij∂xj
−Ni3 = 0 (5.7)
Reemplazando las 5.6 en la tercera de las 5.5, y suponiendo
N12 = N211
2(M12 +M21) = M12 (5.8)
se llega a dos ecuaciones membranales de equilibrio y una de
flexión:
∂N11∂x1
+∂N12∂x2
= 0
∂N12∂x1
+∂N22∂x2
= 0 (5.9)
∂2M11∂x21
+ 2∂2M12∂x1∂x2
+∂2M22∂x22
+N11k11 +N22k22 + 2N12k12 + p3 = 0
o bien, en notación indicial,
∂Nij∂xi
+ pj = 0 i = 1, 2
∂2Mij∂xi∂xj
+ kijNij + p3 = 0 (5.10)
Las 5.10 son las ecuaciones de equilibrio de una lámina curva
rebaja-da. Se observa que la flexión (M11,M12,M22) y los esfuerzos
membranales(N11, N12, N22) resultan acoplados por la presencia de
las curvaturas. Estaes una gran diferencia con los modelos de
placas planas. Las ecuaciones deequilibrio no son estáticamente
determinadas y para resolver el problema esnecesario incluir las
deformaciones.
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Láminas Rebajadas 107
5.2.2. Ecuaciones constitutivas
Para un material elástico, isótropo y homogéneo, las
relaciones consti-tutivas son las mismas que las de las placas
planas:
N11 = K (ε11 + νε22) N22 = K (ε22 + νε11)
N12 = K (1− ν) ε12 (5.11)
M11 = D (χ11 + νχ22) M22 = D (χ22 + νχ11)
M12 = D (1− ν)χ12 (5.12)
Las rigideces membranal K y flexional D de la cáscara se
escriben comoen placas planas:
D =Eh3
12 (1− ν2)K =
Eh
1− ν2
5.2.3. Ecuaciones cinemáticas
Los desplazamientos de la cáscara (Figura 5.5) se escriben como
en pla-cas planas usando las hipótesis de Kirchhoff o Mindlin:
u∗i (x3) = ui + x3 βi para i = 1, 2
u∗3 (x3) = u3 (5.13)
donde {u∗i (x3) , u∗3 (x3)} son los desplazamientos de un punto
cualquieraque está fuera de la superficie media de la lámina; x3
es la distancia ala que se encuentra ese punto desde la superficie
media; {ui, u3} son lastres componentes de desplazamientos del
punto correspondiente sobre lasuperficie media.
Siguiendo la teoŕıa de Kirchhoff, las rotaciones de un segmento
que eranormal a la superficie media antes de la deformación están
dadas como enplacas planas
β1 = −∂u3∂x1
β2 = −∂u3∂x2
(5.14)
Las ecuaciones cinemáticas de la superficie media pueden
escribirse toman-do como base las ecuaciones de placa y modificando
las componentes de εijpara incluir la acción de la curvatura como
en un anillo:
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108 Análisis de estructuras laminares
Figura 5.4: Desplazamientos en un elemento diferencial de
cáscara.
ε11 =∂u1∂x1− k11u3 ε22 =
∂u2∂x2− k22u3
ε12 = ε21 =1
2
(∂u1∂x2
+∂u2∂x1
)− k12u3 (5.15)
Los cambios de curvatura resultan iguales a los de una placa
plana:
χ11 =∂β1∂x1
χ22 =∂β2∂x2
χ12 =1
2
(∂β1∂x2
+∂β2∂x1
)(5.16)
En notación indicial, las ecuaciones cinemáticas se escriben
como
εij =1
2
(∂ui∂xj
+∂uj∂xi
)− kiju3
χij =1
2
(∂βi∂xj
+∂βj∂xi
)= − ∂
2u3∂xi∂xj
(5.17)
Las únicas diferencias con placas planas ocurren en εij por la
aparicióndel término (−kij u3).
5.3. Método de los desplazamientos
El problema de flexión de una lámina rebajada ha quedado
definidomediante las siguientes 15 ecuaciones:
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Láminas Rebajadas 109
∂Ni3∂xi
+ kijNij + p3 = 0∂Mij∂xj
−Ni3 = 0
εij =1
2
(∂ui∂xj
+∂uj∂xi
)− kiju3 χij = −
∂2u3∂xi∂xj
N11 = K (ε11 + νε22) N22 = K (ε22 + νε11)
N12 = K (1− ν) ε12M11 = D (χ11 + νχ22) M22 = D (χ22 + νχ11)
M12 = D (1− ν)χ12
Para reducir el número de ecuaciones e incógnitas, podemos
emplearel método de los desplazamientos. Para ello tomamos las
tres ecuacionesde equilibrio y reemplazamos fuerzas y momentos en
función de deforma-ciones y curvaturas usando las ecuaciones
constitutivas. A continuación in-troducimos los tres
desplazamientos para quedarnos con tres ecuaciones deequilibrio en
función de tres componentes de desplazamientos. Se tiene aśı:
K[−k22∂u3∂x2− νk11
∂u3∂x2− (1− ν) k12
∂u3∂x1
+∂2u2∂x22
+1− ν
2
∂2u2∂x21
+1 + ν
2
∂2u1∂x1∂x2
] = −p2
K[−k11∂u3∂x1− νk22
∂u3∂x1− (1− ν) k12
∂u3∂x2
+∂2u1∂x21
+1− ν
2
∂2u1∂x22
+1 + ν
2
∂2u2∂x1∂x2
] = −p1
−D∇4u3 −K[k211 + k222 + 2νk11k22 + 2(1− ν)k212]u3
+K[(k11 + νk22)∂u1∂x1
+ (k22 + νk11)∂u2∂x2
+
(1− ν
2k12
)(∂u1∂x2
+∂u2∂x1
)]
= −p3 (5.18)
Resultan ecuaciones con derivadas cuartas de u3 y segundas de u1
yu2. Por simplicidad, se ha supuesto que las curvaturas k11, k22 y
k12 sonconstantes sobre toda la superficie de la lámina. En caso
de que las cur-vaturas sean variables en x1 x2, es necesario
incluir los términos en que
-
110 Análisis de estructuras laminares
aparecen derivadas. Las condiciones de borde resultan similares
a las deláminas planas.
Esas ecuaciones pueden solucionarse, por ejemplo, mediante las
técnicasde series de Fourier o de diferencias finitas.
5.4. Soluciones Mediante Series de Fourier
La solución usando series de Fourier es especialmente efectiva
para cáscarasque están apoyadas en t́ımpanos sobre sus bordes, lo
que equivale a bor-des simplemente apoyados. Para el caso que k12 =
0 (lo que ocurre en elparaboloide eĺıptico, paraboloide
hiperbólico y cilindro abierto), consideran-do solamente cargas
perpendiculares a la superficie media (p1 = p2 = 0),las componentes
de carga pueden escribirse usando series en la forma
p3 = pnm3 cos
(na
π
2x1
)cos(mb
π
2x2
)(5.19)
donde (m,n) son ı́ndices que van de 1 al número de términos
consideradosen el análisis. Esta es la misma representación que
usamos en placas planas.
Si la carga p3 tiene una distribución arbitraria, los
coeficientes de par-ticipación pnm deben evaluarse a partir de las
integrales
pnm =1
ab
∫ b−b
∫ a−ap3 cos(n
πx12a
) cos(mπx22b
)dx1dx2 (5.20)
En esta clase de problemas las ecuaciones del método de los
desplaza-mientos tienen solución para bordes apoyados en t́ımpanos
en sus extremos(Figura 5.6), en cuyo caso puede adoptarse
u1 = unm1 sin
(na
π
2x1
)cos(mb
π
2x2
)u2 = u
nm2 cos
(na
π
2x1
)sin(mb
π
2x2
)u3 = u
nm3 cos
(na
π
2x1
)cos(mb
π
2x2
)(5.21)
Sustituyendo las fuerzas y los desplazamientos en las ecuaciones
de equi-libro (escritas en función de los desplazamientos),
resultan las ecuacionessiguientes:
K
[(k11 + νk22)
nπ
2aunm3 −
(nπ2a
)2unm1 −
1− ν2
(mπ2b
)2unm1 −
1 + ν
2
nπ
2a
mπ
2bunm2
]= 0
-
Láminas Rebajadas 111
Figura 5.5: Geometŕıa en planta de una lámina rebajada.
K
[(k22 + νk11)
mπ
2bunm3 −
(mπ2b
)2unm2 −
1− ν2
(nπ2a
)2unm2 −
1 + ν
2
nπ
2a
mπ
2bunm1
]= 0
−D(π
2
)4 [(na
)2+(mb
)2]2unm3
+K[(k11 + νk22)
nπ
2aunm1 + (k22 + νk11)
mπ
2bunm2
]−K
[k211 + k
222 + 2νk11k22
]unm3 + p
nm3 = 0
Son tres ecuaciones algebraicas para cada modo, que pueden
expresarseen forma matricial como:
A11 A12 A13A21 A22 A23A31 A32 A33
unm1unm2unm3
= 00pnm3
(5.22)
-
112 Análisis de estructuras laminares
donde
A11 = −(π
2
)2K
[(na
)2+
1− ν2
(mb
)2]A22 = −
(π2
)2K
[(mb
)2+
1− ν2
(na
)2]A33 = −
(π2
)4D[(n
a)2 + (
m
b)2]2−K
[k211 + k
222 + 2νk11k22
]A12 = A21 = −
(π2
)2K
1 + ν
2
n
a
m
b
A13 = A31 =(π
2
)K(k11 + νk22)
n
a
A23 = A32 =(π
2
)K(k22 + νk11)
m
b(5.23)
Nótese que Aij = Aji, de manera que resulta un sistema
simétrico.Para un caso de carga arbitraria, será necesario
descomponer la carga encomponentes de cosenos y resolver un sistema
de tres ecuaciones con tresincógnitas para cada componente pnm.
Los desplazamientos totales se ob-tendrán de superponer las
contribuciones de cada componente armónica decada unm, usando las
ecuaciones 5.21.
Para encontrar las deformaciones y esfuerzos es necesario
derivar lasecuaciones de desplazamientos.
La solución presentada está limitada por las condiciones de
contorno quees posible modelar, pero la solución permite obtener
tanto esfuerzos mem-branales como de flexión. Para casos con otras
condiciones de contorno máscomplejas es conveniente emplear alguna
técnica numérica, como elementosfinitos o diferencias
finitas.
5.5. Formulación energética
Si se integra esta densidad en el espesor, y se emplean las
variablesdefinidas sobre la superficie media, se llega a la
expresión de la densidad deenerǵıa interna de una cáscara
rebajada
U =1
2Mijχij +
1
2Nijεij (5.24)
En lo que sigue, consideraremos las partes flexionales y
membranales.Substituyendo Mij mediante ecuaciones constitutivas se
llega a
-
Láminas Rebajadas 113
U =1
2D[χ211 + χ
222 + 2νχ11χ22 + 2(1− ν)χ212]
+1
2K[ε211 + ε
222 + 2νε11ε22 + 2(1− ν)ε212] (5.25)
Sustituyendo las ecuaciones cinemáticas, se llega a:
π(u1, u2, u3, p3) =1
2
∫ ∫K
{(∂u1∂x1− k11u3
)2+
(∂u2∂x2− k22u3
)2+2(1− ν)
[1
2
(∂u1∂x2
+∂u2∂x1
)− k12u3
]2}
+2ν
[1
2
(∂u1∂x1− k11u3
)(∂u2∂x2− k22u3
)]}dx1dx2
1
2
∫ ∫D
{(∂2u3∂x21
+∂2u3∂x22
)2−2(1− ν)
[∂2u3∂x21
∂2u3∂x22
−(∂2u3∂x1x2
)2]}dx1dx2
−∫ ∫
p3u3dx1dx2 (5.26)
La solución de esta ecuación integral en términos de
desplazamientos sepuede hacer mediante una discretización similar
a la de series de Fourier.
5.6. Ejemplos de cáscaras rebajadas
5.6.1. Paraboloide Eĺıptico
Entre las láminas rebajadas de curvatura positiva, el
paraboloide eĺıpticoha sido empleado con frecuencia en la
construcción civil. Desde el punto devista del análisis, muchas
láminas rebajadas pueden aproximarse como unparabolide
eĺıptico.
Con referencia a la Figura 5.6, la ecuación 5.3 para un
paraboloide eĺıpti-co puede escribirse como:
z3 = f1(x1a
)2 + f2(x2b
)2 (5.27)
en donde cada término representa una parábola. Las curvaturas
de la su-perficie se determinan mediante las 5.4 y resultan ambas
del mismo signo:
k11 = 2f1a2
; k22 = 2f2b2
; k12 = 0 (5.28)
-
114 Análisis de estructuras laminares
Figura 5.6: Geometŕıa de un paraboloide eĺıptico.
Estas curvaturas se sustituyen en los coeficientes que definen
las ecuacionesdel método de los desplazamientos, A13, A23, y A33
en las ecuaciones 5.23.
Como ejemplo que ilustra el comportamiento flexional de una
cáscarade este tipo, consideramos un paraboloide de hormigón de
planta cuadrada(a = b = 25m, espesor h = 0,07m), y con curvaturas
constantes k11 = k22 =1/R (siendo f1 = −2m, f2 = −2,3m), vale
decir, una parte de una esfera.El ejemplo se ha considerado con
carga constante en dirección x3.
Si el paraboloide eĺıptico está apoyado en sus bordes sobre
t́ımpanosque se suponen ŕıgidos en su propio plano pero flexibles
fuera de él, la solu-ción anaĺıtica siguiendo el método de los
desplazamientos es válida. En estecaso es necesario considerar
varias componentes armónicas. Sin embargo,solo aquellos modos con
n,m = 1, 3, 5, 7... deben incluirse, debido a que elproblema es
simétrico.
Los esfuerzos membranales y momentos flectores se grafican en la
Figura5.7. Se observa que los momentos afectan solamente las zonas
cercanas a losbordes, pero que son casi nulos al centro.
5.6.2. Paraboloide Hiperbólico
Hay varios ejemplos prácticos de láminas de curvatura negativa
que seemplean como cubiertas.
(a) El paraboloide hiperbólico, generado como una parábola que
desliza
-
Láminas Rebajadas 115
Figura 5.7: Paraboloide eĺıptico. Esfuerzos flexionales
M11.
sobre una hipérbola, se muestra en la Figura 5.8 para una
planta rectangular.La ecuación que define esta superficie es
z3 = f3
(x1a
)2− f2
(x2b
)2(5.29)
Usando las 5.4, las curvaturas resultan
k11 = 2f1a2
k22 = −2f2b2
k12 = 0
(b) El paraboloide hiperbólico generado por una recta que
desliza sobredos rectas contenidas en planos paralelos (Figura
5.9). Nótese que se tratade la misma superficie de la Figura 5.8,
pero ahora girada y con una plantadiferente. La ecuación para
planta cuadrada a = b es ahora
z3 = kx1x2 (5.30)
Las curvaturas están dadas por
-
116 Análisis de estructuras laminares
Figura 5.8: Paraboloide hiperbólico.
k11 = k22 = 0
k12 =f
a2x1x2 (5.31)
de modo que la 5.30 puede escribirse como
z3 =f
a2x1x2
(c) Otra superficie de curvatura negativa que se emplea es la de
la Figura5.10, definida por
z3 = f1
(x1a
)2 [1 +
f
f1
(x2b
)2]− f2
(x2b
)2con
f = f1 + f2 + f3
5.6.3. Cilindro Abierto Rebajado
En una lámina ciĺındrica (Figura 5.11), las curvaturas son
k11 = k12 = 0 k22 =1
R
-
Láminas Rebajadas 117
Figura 5.9: Paraboloide hiperbólico.
Si la lámina es larga, a ≥ b , la estructura tiende a
comportarse comouna viga de pared delgada, y su funcionamiento
puede estudiarse adecuada-mente por medio de la teoŕıa de Vlasov.
Si la lámina es corta, con a ' b ,funcionará como una cáscara
generando esfuerzos en dos direcciones.
Consideremos una cáscara ciĺındrica con 2a = 25m, 2b = 15m, R
= 15m,h = 0,07m, con carga unitaria p3. Considerando 15 modos en el
análisis, seobtiene la solución de esfuerzos N11 y N22 que se
muestran en la Figura5.12 y los momentos M11 y M22 de la Figura
5.13. La cáscara se encuentraen compresión, con momentos que
contribuyen en las zonas de apoyo perotambién se desarrolla
flexión en la zona central.
5.7. Ecuaciones Membranales para Láminas Re-bajadas
Históricamente, las ecuaciones de flexión vistas en este
caṕıtulo fueronprecedidas por otras más simples, conocidas como
ecuaciones membranales.En las formulaciones membranales se
considera que se alcanza equilibriode la cáscara epleando solo
esfuerzos en el propio plano de la cáscara,haciéndose Mij = 0. En
las ecuaciones constitutivas 5.12 se observa quesi los momentos son
despreciables, puede ser por dos motivos:
Que la rigidez flexional de la lámina sea nula, en cuyo caso D
= 0.
Que los cambios de curvatura sean nulos, en cuyo caso χij =
0.
Los dos casos son muy distintos: en el primero, la lámina es
una mem-brana debido a que su espesor es muy delgado, mientras que
en el segundo, la
-
118 Análisis de estructuras laminares
Figura 5.10: Superficie de curvatura negativa.
lámina trabaja como si fuese una membrana porque para un estado
de car-gas determinado no se deforma con curvaturas importantes.
Los momentossolamente contribuyen significativamente al equilibrio
en las zonas cercanasa los bordes, o cuando hay cambios bruscos en
la carga, como se muestraen la Figura 5.14.
Es importante conocer los esfuerzos surgidos de un análisis
membranalcomo una primera aproximación al problema y considerar la
flexión en laszonas que corresponda, especialmente en las etapas
iniciales de un proyecto.
En la formulación membranal las ecuaciones de equilibrio 5.10
dependenúnicamente de (N11 N12 N22):
∂N11∂x1
+∂N12∂x2
= 0
∂N21∂x1
+∂N22∂x2
= 0
N11k11 +N22k22 + 2N12k12 + p3 = 0 (5.32)
Como son tres ecuaciones de equilibrio con tres incógnitas, el
problemaes estáticamente determinado.
Las ecuaciones membranales también se obtienen haciendo D = 0
en las5.22, lo que modifica el coeficiente A33:
A33 = −K[k211 + k
222 + 2νk11k22
]
-
Láminas Rebajadas 119
Figura 5.11: Lámina ciĺındrica.
Con esa modificación se pueden resolver ecuaciones membranales
entérminos de desplazamientos.
5.7.1. Paraboloide Eliptico
Consideremos la rspuesta membranal del paraboloide estudiado
anteri-ormente usando la solución flexional, pero haciendo D = 0.
Los esfuerzosN11 y N12 para este caso espećıfico se esquematizan
en las Figuras 5.15 y5.16.
Como en el caso de los apoyos membranales, hay compresión en la
mayorparte de la lámina. Como muestra la Figura 5.15, sólo en las
esquinas sedan tracciones, de modo que si la lámina es de
hormigón armado habrá quereforzar esa zona con acero siguiendo
las diagonales.
La estabilidad de una lámina de curvatura positiva puede
calcularse conla expresión aproximada
pc = ηE
4
(h2
R1R2
)(5.33)
donde pc es la carga de pandeo y η = 0,2 es el factor de
reducción que tieneen cuenta la sensibilidad de la carga cŕıtica
frente a imperfecciones.
-
120 Análisis de estructuras laminares
Figura 5.12: Solución flexional de un cilindro rebajado:
Esfuerzos N11 yN22.
Figura 5.13: Solución flexional de un cilindro rebajado:
momentos M11 yM22.
5.7.2. Paraboloide Hiperbólico
Consideramos un paraboloide hiperbólico como el indicado en la
Fig.5.9 (que es una superficie reglada), bajo la acción de una
carga verticaluniforme, p.
Las condiciones de borde resultan
N11 = 0 en x1 = ±aN22 = 0 en x2 = ±b (5.34)
Las ecuaciones de equilibrio de fuerzas 5.5 se reducen en este
caso a
-
Láminas Rebajadas 121
Figura 5.14: Situaciones en las cuales se produce flexión en
una láminarebajada.
∂N11∂x1
+∂N12∂x2
= −p1 = 0
∂N21∂x1
+∂N22∂x2
= −p2 = 0
2k12N12 = −p3 = −p
De la tercera ecuación puede obtenerse N12 directamente:
N12 = −p
2k12= − a
2
2fp (5.35)
De las otras ecuaciones, resultan N11 = cte, N22 = cte. Pero
como enlos bordes deben anularse los esfuerzos resultantes
membranales, se tendrá
N11 = N22 = 0 (5.36)
De modo que sólo hay esfuerzos tangenciales membranales, y de
valorconstante en toda la lámina. Si se analiza el contorno se
observa que lasfuerzas tangenciales a lo largo de los bordes deben
ser en definitiva tomadospor los apoyos A y B.
Calculando los esfuerzos principales, resultan
NI = −NII = N12 (5.37)
-
122 Análisis de estructuras laminares
Figura 5.15: Paraboloide eĺıptico. Esfuerzos membranales N11 y
N12 en lasolución membranal.
que también son constantes en toda la cáscara. Estos esfuerzos
ejercen com-presión sobre las parábolas y tracción sobre las
hipérbolas. En estructurasde hormigón armado, los paraboloides
eĺıpticos son más eficientes que loshiperbólicos.
5.7.3. Láminas ciĺındricas
Las ecuaciones membranales de una lámina ciĺındrica se
obtienen de las5.5 como:
∂N11∂x1
+∂N12∂x2
= 0
∂N12∂x1
+∂N22∂x2
= −p2
N22 = −p3R (5.38)
Las 5.38 pueden ser resueltas en un cierto orden
conveniente:
N22 = −p3R
N12 = −∫x1
(p2 +
∂N22∂x2
)dx1
N11 = −∫x1
(∂N12∂x2
)dx1 (5.39)
Consideremos el caso de carga uniformemente distribuida:
-
Láminas Rebajadas 123
Figura 5.16: Paraboloide eĺıptico. Esfuerzos principales en la
solución mem-branal.
p2 = p sinϕ p3 = p cosϕ (5.40)
donde ϕ es el ángulo indicado en la Fig. 5.11, y medido a
partir de x2 =0. La integración de las 5.39 requiere la
determinación de dos constantesmediante dos condiciones de borde
de fuerzas. Si la carga es simétrica, setendrá:
N11 = 0 en x1 = ±aN12 = 0 en x2 = 0 (5.41)
Resultan aśı
-
124 Análisis de estructuras laminares
N22 = −p3RN12 = −2p2x1N11 = −
p3R
(a2 − x21
)(5.42)
Se observa que sobre las aristas rectas de borde hay esfuerzos
N12 y N22.Esos esfuerzos deben ser equilibrados por medio de una
viga. Sobre los arcosextremos no hay N11, pero śı N12, de modo que
el mismo debe ser tomadopor un t́ımpano que sea ŕıgido en su
plano.
Las compresiones N11 y N22 que existen en el centro de la
lámina hacenque la inestabilidad sea un factor a ser considerado
en el diseño. La tensiónde pandeo es, aproximadamente
σ = 0,2Eh
R(5.43)
Soluciones membranales expĺıcitas para otras cargas pueden
encontrarsefácilmente integrando las 5.39.
5.8. Problemas
Problema 5.1. Paraboloide eĺıptico.Se diseña un techo de
hormigón con forma de paraboloide eĺıptico. Las
dimensiones en planta son de 25×35m, y los valores de f1 = 2m,
f2 = 2,3mestán definidos por motivos arquitectónicos. El espesor
(supuesto por mo-tivos constructivos) es de h = 0,07m. En este
estudio simplificado sola-mente consideraremos una presión p3
uniforme actuando perpendicular a lacáscara. (a) ¿Cuál es el
desplazamiento al centro para un valor de presiónp3 = 10KPa? (b)
¿Cuánto vale ese desplazamiento si se considera sola-mente la
solución membranal? Use la formulación de series de Fourier. Enel
análisis considere solamente el primer modo, n = m = 1. E =
21GPa,ν = 0,15.
Solución. (a) 31,87mm, (b) 31,89mm. En este problema la
contribuciónflexional es muy pequeña.
Problema 5.2. Paraboloide eĺıptico.Para el problema anterior,
escriba un programa computacional simple y
estudie la convergencia de las soluciones flexional y membranal
a medida quese incrementa el número de términos usados en la
aproximación de Fourier.
Solucion: Nótese que el desplazamiento al centro no es el
máximo cuan-do la solución se aproxima a la exacta. Al centro se
desplaza 19,52mm para17 modos. (20,9mm para el modelo membranal con
17 modos). Se alcanza
-
Láminas Rebajadas 125
más rapidamente convergencia en la solución flexional que en
la membranal.Los efectos flexionales casi no inciden en el
resultado final, pero estabilizanla solución para menos
términos.
Problema 5.3. Comparación de comportamiento de
cáscarasrebajadas. Es necesario cubrir con una lámina rebajada
una superficie enplanta que mide 20m× 30m de lado. La carga
actuante sobre la estructurapara este análisis será de 2,4KPa en
dirección normal a la superficie. Co-mo indicación, se adoptarán
valores de f = 2,5m. El factor de seguridadserá SF = 2. Para el
hormigón, los módulos se consideran E = 20GPa,ν = 0,15. El
espesor mı́nimo de la cáscara debe ser de 75mm. Explore
larespuesta considerando las geometŕıas de paraboloide eĺıptico,
paraboloidehiperbólico y cilindro rebajado. El estado ĺımite en
tracción es 2,1MPa, yel de compresión es de 20,7MPa. Considere la
solución membranal en esteestudio exploratorio.
