L'ANALYSE DE SERIES TEMPORELLES CHAOTICSjosh/documents/Reiss2003-L... · 2013. 4. 2. · Nonlinear Time Series Analysis Techniques 1 L’ANALYSE DE SERIES TEMPORELLES CHAOTIQUES Joshua

Josh Reiss

Nonlinear Time Series Analysis Techniques 1

LL’’ANALYSE DE SERIES ANALYSE DE SERIES TEMPORELLES CHAOTIQUESTEMPORELLES CHAOTIQUES

Joshua D. ReissLecturer,

Queen Mary, University of London

Presenté àDéCom, Université de Reims

6 Mai, 2003

Techniques d’analyse de séries temporellesTechniques d’analyse de séries temporelles

Théorie du ChaosThéorie de l’Information

Transformation de Fourier Ondelettes

Domaine Fréquenciel

Domaine temporel

Non stationnarité

Multidimensionnel

Entropie Dynamiques

Fréquentiel Fréquentiel multi-échelle

Moments Corrélations

StatistiquesMultidimensionnel

Josh Reiss


Logiciel d’analyse de séries temporellesLogiciel d’analyse de séries temporelles

l Traitementl Analyse et

Quantificationl Visualisationl Prédictionl Donnée

simulées/ expérimentales

l Interface utilisateur

Pourquoi pas simplement l’analyse de Fourier ?Pourquoi pas simplement l’analyse de Fourier ?

l Etalement du spectre de puissance (parfois confondu avec du bruit)

l Fortement non linéairelMultidimensionnel

Josh Reiss


Plongement par la méthode des retards coordonnésPlongement par la méthode des retards coordonnés

1 2 ..., , , Nx x xVecteurs de données échantillonnées à pas constants

1 2..., ,j j j

Nx x xExtraction d’une dimension pour plondements

1 1 1 1 2 1

2 2 2 2 2 2

( 1) ( 1) ( 2)

...

...

...

..

( , , , )

( , , , )

( , , )

j j j jd

j j j jd

j j jN d N d N d N

y x x x x

y x x x x

y x x x

τ τ τ

τ τ τ

τ τ τ

+ + +

+ + +

− − − − − −

=

=

=

Nouveaux vecteurs construits avec un retard τ et une dimension de plongement d

Reconstruction de l’espace d’étatReconstruction de l’espace d’état

Original attractor Attracteur reconstruit

Pour un choix convenable du retard et de la dimension de plongement, la reconstruction reproduit toutes les dynamiques originales.

( )x t

( ), ( )x t y t ( ), ( )x t x t τ+

Josh Reiss


Choix de la Dimension de PlongementChoix de la Dimension de Plongement

Pour d <D, intersection de la trajectoire sur elle-même.Pour , l’attracteur est complètement déplié.Pour d >> D, les calculs deviennent plus difficiles.

Dimension de plongement suffisante : D>2DA

d D≥

Choix de la Dimension de PlongementChoix de la Dimension de Plongement

(1) Un faux proche voisin est situé à proximité d’un vecteur dans n dimensions, mais en est éloigné dans la (n+1)th.

(2) On considère le pourcentage d’entre eux sur l’ensemble des “proches” voisins.

| | /n D m D n TOLX X R Rτ τ+ +− >CRITÈRE 1 :

/n A TOLR R A′ >CRITÈRE 2 :

NOUVEAU CRITÈRE:

100

80

60

40

20

0% F

alse

Nea

rest

Nei

ghbo

rs

10987654321Embedding Dimension

Critère 1 Critère 2 Nouveau Critère

Bruit100

80

60

40

20

0

% F

alse

Nea

rest

Nei

ghbo

rs

54321Embedding Dimension

Critère 1 Critère 2 Nouveau Critère

Henon map

Josh Reiss


Choix du RetardChoix du Retard

L’information mutuelle prends en compte les corrélations non linéaires

( ) ( ) ( )( ) ( ),

,; , log

a b

P a bI A B P a b

P a P b= ∑ ( )

( )( )( )

12

1

;N

i iiL N

ii

a a b bC A B

a a=

=

− −=

−

∑∑

Méthodes d’Analyse de Données MultidimensionnellesMéthodes d’Analyse de Données Multidimensionnelles

ØRecherche des proches voisinsØLinéarisationØDétermination du champ de vecteurs / JacobienneØSubstitution / insertion de vecteurs

vPrédictionvDébruitagevAnalyse QuantitativevIdentification du DéterminismevEstimation du bruitvExposants de LyapunovvDimension d’InformationvIdentification d’Orbites Périodiques

Utilisé pour

Josh Reiss


Estimation des Exposants de Estimation des Exposants de LyapunovLyapunov

11

1 L

jjL

D Lλ λλ =+

= + ∑1

0L

jj

λ=

≥∑

Dimension de Lyapunov

1 2( )1 0

tA A e λ λ+=1 2( )

2 1tA Ae λ λ+=

0A

0j

j hµλ

λ>

= →∑ Liée à l’entropie métrique

Liée à la dimensiond’information1D Dλ ≈ →

•Linéarité Locale•Chercher les voisins proches•Approximation moindres carrés

DébruitageDébruitage•Linéarité Locale•Voisins proches•Approximation moindres carrés•Substitution de vecteurs

Josh Reiss


PrédictionPrédiction•Linéarité locale•Voisins proches•Approximation moindres carrés•Insertion de vecteurs

Orbites PériodiquesOrbites Périodiques

Le nombre d’orbites périodiques donne une estimation de l’entropie topologique.

21lim logt pp

h N hp µ→∞

= ≥

•Linéarité locale•Voisins proches•Approximation moindres carrés

Josh Reiss


Méthode de recherche multidimensionnelleMéthode de recherche multidimensionnelle

•Adaptation automatique selon la distribution•Assez facile à implanter•Rapide construction•Rapide recherche

KD-TreeArbre binaire de recherche K-dimensionnel

vMauvais en grande dimension

ComparaisonComparaison

20

22

24

26

28

210

212

214

216

218

220

Sea

rch

time

(mse

c)

29

210

211

212

213

214

215

Number of points

Brute force KTree KDTree Quicksort

22

24

26

28

210

212

214

216

218

220

Sea

rch

time

(mse

c)

29

210

211

212

213

214

215

Number of points

Brute force Box assisted KTree KDTree Quicksort Multi-quicksort

1-d 2-d

24

26

28

210

212

214

216

218

220

Sea

rch

time

(mse

c)

29

210

211

212

213

214

215

Number of points

Brute force Box assisted KTree KDTree Quicksort Multi-quicksort

4-d3-d

25

27

29

211

213

215

217

219

221

Sea

rch

time

(mse

c)

29 210 211 212 213 214 215

Number of points

Brute force KDTree KTree Quicksort Multi-quicksort

Josh Reiss


•Mise à l’échelle des données

(boîtes équiprobables ou équidistantes)

•Trie des données

(0,1) -> (000,001) -> 00 00 01(1,0) -> (001,000) -> 00 00 10(0,3) -> (000,011) -> 00 01 01(2,1) -> (010,001) -> 00 10 01(0,7) -> (000,111) -> 01 01 01(4,2) -> (100,010) -> 10 01 00(4,3) -> (100,011) -> 10 01 01(6,1) -> (110,001) -> 10 10 01 (5,5) -> (101,101) -> 11 00 11

•Balayer toutes les données, estimation de grandeurs statistiques par formules récurrentes.

Tri Rapide MultidimensionnelØ Rapide- dépendance (nlog n)

à la taille de l’ensembleØ Simple- pas de dépendance à

la taille des boîtesØ Boîtes équiprobables ou

équidistantesØ Fonctionne avec tous type de

donnéesØ Econome en mémoireØ Applications

q Information Mutuelleq Entropieq Dimension Fractaleq Dynamique Symbolique

/ Matrices de Transition

•Dépendent à la taille des boîtes•Gaspillage de mémoire •Inefficace pour une distribution non uniforme•Mauvais en grande dimension•Implantation facile•Rapide

Information Mutuelle MultidimensionnelleInformation Mutuelle Multidimensionnelle1 2

1 21 2

( , ,... )( , ,... )log

( ) ( )... ( )n

n nn

p x x xI p x x x

p x p x p x= ∑Approche par

Histogramme

Josh Reiss


•Utilisation d’une grille d’équiprobabilité

•Rapide

Tri de l’Information MutuelleTri de l’Information Mutuelle

( ) ( ) 1 / 2mx j y jP B P B= =

2 ( 1)

12 1

0, ( ) 2

( ) ( ), ( ) 2n

n

m

j

m m mk j

N j

N j F k N j+

+= −

< + ≥

∑0 (1)

lognnF

I NN

= − ( )mF j =

qAperçu de l’information partagée entre les dimensions des données.

qEvaluation de l’efficacité du mixage, de la séparation ou de la conversion.

üNombre de dimension indifférent.

üEnsemble quelconque de symboles (binaire, hex, oct decimal, text)

üDiscret ou continu

üDifférents alphabets pour chaque canal (CAN & CNA)

üValeurs minimales et maximales ont des sens bien définis.

Estimation de la Dimension et de l’EntropieEstimation de la Dimension et de l’Entropie

( )

1

1( ) log ( ), 1

1

Nq

q ii

H P qq

ε

ε ε=

= ≠− ∑ …

q pp q H H> ⇒ ≤

( ) lim ( )/logqD q Hε

ε ε→∞

= −

( )

11

( ) ( )log ( )N

i ii

H P Pε

ε ε ε=

= − ∑

14

12

10

8

6

4

2

Ent

ropy

1614121086420-log2ε

H0 H2

H1 H3 H4

Josh Reiss


Matrice de transition et dynamiques symboliquesMatrice de transition et dynamiques symboliques

1lim log p

t ph tr

p→∞= M

0 1 1

1 0 10 1 1

A B C

A

BC

=

M

0 0.3 0.7

0.2 0 0.80 0.1 0.9

A B C

A

BC

=

M

( ( ))log ( ( ))sup

j jj

P S m P S mh

m tµβ

−=

∆

∑

Séquence type : BABCCBABACBABCBA…

Séquence type : ACBCCCCBCCBACCC…

Traitement des donnéesTraitement des données

v Trains d’impulsion

v Analyse fréquentielle

v Section de Poincaré

l Réductionl Interpolationl Lissagel Sections de Poincarél …

La détection de pics est particulièrement utile pour

Josh Reiss


l Moteur pas à pas

l Modulation Sigma Delta

Ensembles de données expérimentalesEnsembles de données expérimentalesl Brûleur intermittent

l Ruban magnétoélastique

CritiqueCritiqueTechniques d’analyse de données

chaotiques très sensibleso Au bruito A la dérive des paramètres du systèmeo A la taille des donnéeso A l’ajustement de leurs paramètres

Validation des résultatsvPlusieurs méthodes d’analysevConcordance avec la théorievAnalyses de sections et de flots

Josh Reiss


Ruban Ruban MagnétoélastiqueMagnétoélastique

Power Supply

Currentto X- Axis

Currentto Y- Axis

Curr entt o Z-Axis

Phot onic SensorAC Vol t DC Volt

PC

+

•Dynamiques riches•Grande précision•Haute sensibilité•Stabilisation de la Température/Vibrations

1.51.00.50.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ExperimentTheory

MAGNETIC FIELD (Oe)

NO

RM

AL

IZE

D M

OD

UL

US

Dimension fractaleDimension fractale

D0= 1.33, D1= 1.40, D2= 1.24 and D3= 1.16

⇒Dimension de plongement : 3⇒2 exposants significatifs Ruban

?q pp q D D> ⇒ ≤

Josh Reiss


Exposants de Exposants de LyapunovLyapunov

Méthode de WolfØλ1=0.66Méthode de RosensteinØλ1=0.6Méthode d’Eckmann-RuelleØλ1= 0.45996Øλ2= -0.471613

Ruban

Méthode de Rosenstein

Dépendent de•Méthode•Interprétation•L’ajustement de leursparamètres de plongement•Approximations

•Taille des données•Bruit•Dérive des paramètres du système•...

Non stationnarité et Non stationnarité et dérive des paramètres

Ruban

Mis en évidence par beaucoup de grandeurs statistiques

(skewness, kurtosis, max and min,...)Dynamiques à long terme possibles

Josh Reiss


Dynamiques symboliquesDynamiques symboliques

Ruban

4 1 3 2 2 2 4 1 3 4 1 ...N N N N N N N N N N N→ → → → → → → → → → →

0 0 0 10 1 1 01 0 0 00 1 1 0

Matrice de transition :

Brûleur intermittentBrûleur intermittent

Josh Reiss


Sortie de flamme !Sortie de flamme !

8

6

4

2

T (n

orm

.)

2.52.01.51.0P (norm.)

Expérimental Simulationrapport fuel/air > C rapport fuel/air < C

Brûleur

Non stationnarité et Non stationnarité et dérive des paramètresdérive des paramètres

Comportement non stationnaire de la moyenne.

128 fenêtres de longueur 213=8,192

La valeur moyenne varies jusqu’à 3% de la dynamique totale

Causes possibles•Dérive des paramètres•Dynamiques à long terme•Grande dimension•Bruit

Brûleur

Josh Reiss


Temps de retardTemps de retard

•Forte coïncidence entre les méthodes•Sensibilité minimale au bruit et/ou à la complexité

Brûleur

Dimension de plongementDimension de plongement

•Dégradé par le bruit et la non stationnarité• Peu concluant car :

•Technique d’analyse mal adaptéeOu (exclusif)•Résultats correct mais dimension élevée Brûleur

Josh Reiss


Moteur pas à pasMoteur pas à pasl Moteur hybride, 48 pas/tour, à

vide.l En basse fréquence, vitesse de

rotation proportionnelle à la fréquence d’alimentation.

Mais en haute fréquence...

Projection de l’attracteur plongé (acquisition de courants)

Paramètres de plongementParamètres de plongement

Moteur pas à pasMoteur pas à pas

Dimension de plongement : 4 ou 5Retard : 13

100

80

60

40

20

0

%F

alse

Nea

rest

Nei

ghbo

rs

10987654321Embedding dimension

Josh Reiss


5

4

3

2

1

0

Cor

rela

tion

dim

ensi

on

-7.5 -5.0 -2.5 0.0log(ε)

Embedding: 2 dimensional 3 dimensional 4 dimensional 5 dimensional 6 dimensional

Estimation de la dimension Estimation de la dimension fractale


≤ ≤Bruit

Plus de structure visible

1.9 D 2.2Faible

dimension

lBonne concordance des méthodes

lConcordance avec les faux plus proches voisins

Dimensions généralisées(de Renyi)

6

5

4

3

2

1

0

Gen

eral

ised

Dim

ensi

on

-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.0log(ε)

D(0) D(2) D(1) D(3)

Orbites Périodiques InstablesOrbites Périodiques Instables


Josh Reiss


Coexistence dCoexistence d’’AttracteursAttracteurs

l Attracteur chaotique– 4000 points

l Coexistence d’Attracteurspériodiques– 10000 points


Modulation Sigma Delta Chaotique Modulation Sigma Delta Chaotique

1 1 1( )n n n nU U X Q Uα − − −= + −

Modulation Σ∆1 1 1( ( ))n n n nU X U Q Uα− − −= + −

Forme habituelle :

Nouvelle forme :

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Régime stableRégime stable

Modulation Σ∆

Gain en marches d’escalierGain en marches d’escalier

1 bit

4 bits

1 bit

4 bits

Modulation Σ∆

aa appliqué à l’intégrateurappliqué à l’intégrateur aa appliqué à l’erreurappliqué à l’erreur

Josh Reiss


Séquences autorisées de symboles 7Séquences autorisées de symboles 7--bitsbits

Modulation Σ∆

Spectre en puissance Spectre en puissance –– fractal!fractal!

Modulation Σ∆

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FinFin

Merci Beaucoup!

Questions ?

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