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Ecuacionesdiferenciales3. Sistemas de ecuaciones diferenciales
lineales
ObjetivoEl alumno emplear la teora fundamental de los sistemas
de ecuaciones diferenciales linelaes ordinarias y la representacin
matricial de los sistemas de primer orden, en la resolucin e
interpretacin de problemas fsicos y geomtricosEcuaciones
diferenciales lineales y sistemas
Sistemas degeneradosSistemas lineales no homogneos con
coeficientes constantesEcuaciones diferenciales lineales y
sistemasSistemas degeneradosUn sistema degenerado es aqul cuyo
determinante de la matriz operacional del sistema es igual a cero.
En este caso el sistema puede no tener solucin o puede tener
infinidad de soluciones. En este caso se expresa a una funcin
solucin como funcin de la otra.Ecuaciones diferenciales lineales y
sistemasEjemplo de sistemas degenerados
(a)(b)
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Ecuacionesdiferenciales4. Transformada de Laplace
ObjetivoEl alumno aplicar la transformada de Laplace en la
resolucin de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales
linealesEcuaciones diferenciales lineales y sistemas
Transformada de Laplace Definicin Ejercicios Condiciones
suficientes para la existencia de la transformada de Laplace Funcin
continua por partes Funcin de orden exponencialTransformada de
LaplaceTransformada de LaplaceEcuaciones diferenciales lineales y
sistemasTransformada de LaplaceLa transformada de Laplace, L, es un
operador lineal que cambia una funcin de un domino a otro:
EntradaSalidaProcesoL
Funcin en el dominio de tFuncin en el dominio de sTransformada
de LaplaceEcuaciones diferenciales lineales y sistemasEcuacin
diferencial (dominio de t)LEcuacin diferencial (dominio de
s)Transformada de LaplaceSolucin de la ecuacin diferencial (dominio
de s)Solucin de la ecuacin diferencial (dominio de t)Transformada
inversa de Laplace
Por qu estudiar a L ?Transformada de LaplaceProceso de solucin
de una ED mediante transformada de LaplaceEl cambiar una ecuacin
diferencial al dominio de s simplifica el proceso de solucin porque
la ED en el dominio de s es una ecuacin algebraicaEcuaciones
diferenciales lineales y sistemasEn ingeniera se considera un
cambio de domino del tiempo, t, al dominio de la frecuencia, s. Se
considera el dominio del tiempo porque los modelos matemticos
analizados en ingeniera estn en funcin del mismo. La frecuencia se
refiere a la frecuencia de una excitacin armnica actuando en la
ecuacin diferencial (modelo matemtico)Ecuaciones diferenciales
lineales y sistemas
Excitacin (entrada)
Sistema lineal
Proceso (propiedades del sistema)Respuesta del sistema
(salida)
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemasRespuesta de un
sistema linealEn el dominio del tiempo:
En el dominio de la frecuencia:de la excitacin
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemasTransformada de
Laplace. DefinicinSea f(t) una funcin definida en el intervalo [0,
). La transformada de Laplace de f(t) es la funcin F(s) definida
por la integral
Como esta integral es impropia, entonces est definida como
Siempre y cuando el lmite exista, es decir, cuando la integral
convergeEcuaciones diferenciales lineales y sistemasLinealidad de
latransformada de Laplace
Principio de superposicinPrincipio de homogeneidad
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemasAplicacin de la
definicin de la transformada:EjerciciosDetermine la transformada de
Laplace de las funciones siguientes:
.....Ecuaciones diferenciales lineales y sistemasCondiciones
suficientes para la existencia de la transformada de LaplaceSi una
funcin f(t) es continua por partes en [0, ) y de orden exponencial
a, entonces su transformada de Laplace L{f(t)} existe para s >
aEcuaciones diferenciales lineales y sistemasFuncin continua por
partes(piecewise function)Se dice que una funcin f(t) es continua
por partes en un intervalo [a, b] si f(t) es continua en todo el
intervalo excepto en algn nmero finito de puntos.
Una funcin f(t) es continua por partes en [0, ) si f(t) es
continua por partes en el intervalo [0, N] para todo N >
0Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
