Upload
phamdang
View
251
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
LAPORAN HASIL PENELITIAN
VISUALISASI PEMBELAJARAN RANTAI MARKOV
DENGAN MEMANFAATKAN FUNGSI MATLAB DAN
PAKET R ‘markovchain’ DALAM PENGANTAR PROSES STOKASTIK
Disusun oleh:
Maria Titah Jatipaningrum
13.0583.687 E
DIBIAYAI DARI DANA BANTUAN PENELITIAN
TAHUN ANGGARAN 2014
Nomor Kontrak : 29/SPP/LPPM/PL/IV/2014
INSTITUT SAINS & TEKNOLOGI AKPRIND YOGYAKARTA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS TERAPAN
INSTITUT SAINS & TEKNOLOGI AKPRIND
YOGYAKARTA
2014
iii
KATA PENGANTAR
Pada tempat pertama sungguh layak dan sepantasnya penulis ucapkan
syukur pada Sang Alfa dan Omega dari suatu semesta tak terdefinisi yang selalu
bersemayam dalam semangat dan setia memberikan Roh Pengetahuan selama
perjalanan hidup. Dalam perjalanan waktu yang kompetitif penulis dapat
menemukan titik-titik krusial untuk menyelesaikan penelitian dengan judul:
“Visualisasi pembelajaran rantai Markov dengan memanfaatkan fungsi Matlab dan
paket R ‘markovchain’ dalam pengantar proses stokastik”.
Penelitian ini merupakan penelitian pertama yang dibiayai dari dana
bantuan penelitian Institut Sains & Teknologi Akprind Yogyakarta tahun anggaran
2014 nomor kontrak : 29/SPP/LPPM/PL/IV/2014. Penulis menyadari berada dalam
semesta pengetahuan yang maha luas, mengimplikasikan bahwa penelitian ini
membutuhkan kritik dan saran untuk penyempurnaan pada tahap selanjutnya. Pada
kesempatan yang baik ini, penulis menyampaikan terima kasih dan apresiasi kepada
semua pihak yang telah membantu menyelesaikan penelitian terutama:
1. Bapak Hadi Prasetyo Suseno, ST., M.Si sebagai dekan Fakultas Sains
Terapan Institut Sains & Teknologi Akprind Yogyakarta.
2. Ibu Dra. Noeryanti, M.Si sebagai Ketua Jurusan Matematika
3. Bapak Ir. Prastyono Eko Pambudi, M.T sebagai Ketua Ketua Lembaga
Penelitian dan Pengabdian Masyarakat Institut Sains & Teknologi Akprind
Yogyakarta.
4. Seluruh staf pengajar Jurusan Matematika yang telah menambah semesta
pengetahuan sebagai pendukung dalam penyelesaian penelitian.
5. Staf administrasi Fakultas Sains Terapan.
Yogyakarta, 12 September 2014
Peneliti
(Maria Titah Jatipaningrum)
iv
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ........................................................................................ i
HALAMAN PENGESAHAN .......................................................................... ii
KATA PENGANTAR ...................................................................................... iii
DAFTAR ISI ..................................................................................................... iv
INTISARI ......................................................................................................... v
BAB I. PENDAHULUAN ........................................................................... 1
1.1 Latar Belakang dan Permasalahan ............................................... 1
1.2 Tujuan Penelitian ......................................................................... 2
1.2.1 Tujuan khusus ...................................................................... 2
1.2.2 Tujuan umum ...................................................................... 3
1.3 Perumusan Masalah ..................................................................... 3
1.4 Sistematika Penulisan .................................................................. 3
BAB II. TINJAUAN PUSTAKA .................................................................. 5
BAB III. LANDASAN TEORI ....................................................................... 6
2.1 Peluang ......................................................................................... 6
2.2 Rantai Markov .............................................................................. 7
BAB IV. METODOLOGI PENELITIAN ...................................................... 9
3.1 Prosedur pada program Matlab..................................................... 9
3.2 Prosedur pada program R ............................................................. 12
BAB V. HASIL PENELITIAN ..................................................................... 15
4.1 Permasalahan dan solusi program Matlab .................................... 12
4.2 Perbandingan program Matlab dan program R ............................ 13
4.3 Pembahasan program R ............................................................... 21
BAB VI. KESIMPULAN ............................................................................... 24
5.1 Kesimpulan .................................................................................. 24
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 25
v
INTISARI
VISUALISASI PEMBELAJARAN RANTAI MARKOV
DENGAN MEMANFAATKAN FUNGSI MATLAB DAN
PAKET R ‘markovchain’ DALAM PENGANTAR PROSES STOKASTIK
oleh
Maria Titah Jatipaningrum
13.0583.687 E
Rantai Markov adalah salah satu teori dalam ilmu probabilitas dan
implementasinya digunakan dalam berbagai bidang. Keunggulan penyelesaian
menggunakan program R package ‘markovchain’ dapat mengeplot grafik dengan
menggunakan fungsi plotMc.
Pada penelitian ini, telah dilakukan visualisasi rantai Markov waktu diskret
dengan menggunakan program Matlab dan program R. Alasan penggunaan
program tersebut, untuk memudahkan mahasiswa dalam mempelajari rantai
Markov waktu diskret dengan lebih mudah.
1
VISUALISASI PEMBELAJARAN RANTAI MARKOV
DENGAN MEMANFAATKAN FUNGSI MATLAB DAN PAKET R
‘markovchain’ DALAM PENGANTAR PROSES STOKASTIK
BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar belakang dan permasalahan
Rantai Markov adalah salah satu teori dalam ilmu probabilitas. Banyak
sekali hal yang berkaitan dengan teori ini. Baik secara langsung maupun
tidak langsung. Implementasinya sering digunakan dalam berbagai bidang
di sekitar kita. Beberapa aplikasinya banyak ditemukan dalam bidang
perindustrian, perdagangan, perekonomian, periklanan, dan masih banyak
lagi. Bahkan permainan pun bisa menggunakan teori ini. Khususnya untuk
melihat kemungkinan saat seorang pemain mendapatkan giliran untuk
bermain. Contoh yang paling mudah adalah dalam permainan ular tangga.
Ada juga contoh lain tentang aplikasi teori ini di dalam bidang sistem
dan teknologi informasi, yaitu di dalam jaringan internet. Namun, Rantai
Markov sangat jarang dibahas secara khusus dalam buku probabilitas
yang umumnya digunakan sebagai bahan kuliah. Untuk itu dalam
penelitian ini akan dibahas secara mendetail mengenai teori ini. Di dalam
penelitian ini juga akan coba dijelaskan dengan bahasa sederhana
mengenai aplikasi teori Rantai Markov yang erat kaitannya dalam
kehidupan kita sehari-hari.
Probabilitas dapat diartikan sebagai peluang atau kemungkinan munculnya
suatu kejadian secara acak. Dalam kehidupan kita sehari-hari banyak sekali
hal yang berkaitan dengan probabilitas ini. Hal-hal sederhana yang ada di
sekitar kita ini biasanya tidak kita sadari bahwa itu merupakan bagian
dari ilmu probabilitas.
Misalnya saja saat bermain kartu remi, memilih barang yang akan dibeli,
dan masih banyak lagi. Meskipun begitu, tentu saja masalah probabilitas
ini sudah dikenal saat di bangku sekolah. Bahkan sampai kuliah pun ada
materi tentang probabilitas ini. Namun, tidak semua materi mengenai
probabilitas ini dipelajari. Salah satunya adalah mengenai teori Rantai
2
Markov. Walaupun bukan merupakan suatu bahan pelajaran di kelas,
namun aplikasi dari Rantai Markov ini sebenarnya banyak sekali. Dan
semuanya hal-hal sederhana yang ada di sekitar kita. Proses stokastik untuk
memodelkan hubungan dinamik antara kejadian random dalam berbagai
bidang ilmu seperti engineering, natural dan social science. Mata kuliah ini
mempelajari struktur matematik yang dipergunakan untuk memodelkan
evolusi dari suatu sistem yang memuat ketidakpastian. Materi kuliah ini
meliputi : Pengantar proses stokastik, Rantai Markov dengan parameter
diskrit, Proses Poisson, Rantai Markov dengan parameter kontinu, Renewal
process. Mata kuliah ini diharapkan dapat memperkenalkan beberapa
proses stokastik klasik dan kelakuannya setelah proses berjalan lama.
Mahasiswa diharapkan setelah mengambil mata kuliah ini dapat
membedakan variabel stokastik dan variabel deterministik dari suatu proses,
menentukan ruang parameter dan ruang keadaan dari suatu proses,
mengambil keputusan, terutama dalam masalah matematika keuangan,
asuransi, masalah inventori, evaluasi performa dari jaringan komputer,
evaluasi performa dari sistem telekomunikasi, dan teori antrian. Karena latar
belakang di atas maka perlu diadakan penelitian pembelajaran rantai Markov
dengan memanfaatkan fungsi Matlab dan paket R “markovchain”. Motivasi
penelitin merujuk latar belakang di atas yaitu visualisasi rantai Markov waktu
diskret (DTMC) dalam pembelajaran pengantar proses stokastik dan
mengeksplorasi terapan rantai Markov waktu diskret dengan fungsi yang
tersedia pada Matlab dan paket open source R “markovchain”.
1.2. Tujuan Penelitian
a. Tujuan khusus:
Tujuan khusus penelitian ini adalah membantu mahasiswa dalam
memvisualisasi rantai Markov dalam pembelajaran Pengantar Proses
Stokastik dengan bantuan fungsi Matlab dan paket R “markovchain”.
Penelitian ini sebagai pengembangan bahan ajar pengantar proses stokastik.
b. Tujuan Umum:
Penelitian ini dapat digunakan sebagai simultan mahasiswa untuk
3
bereksplorasi dengan fungsi Matlab dan dan paket R “markovchain” untuk
menyelesaikan kasus rantai Markov yang ada di sekitar kehidupan sehari-
hari.
1.3. Perumusan Masalah
Dari uraian latar belakang permasalahan diatas, secara umum permasalahan
yang dibahas adalah bagaimana pembentukan fungsi Matlab yang dapat menunjang
pembelajaran Pengantar Proses Stokastik dan apa saja fungsi yang bisa dibangun
untuk mendukung pembelajaran.
1.4. Sistematika Penulisan
Untuk memahami isi dari tahapan-tahapan penelitian, penulisan disusun
secara sistematis dalam beberapa bab, dengan rincian sebagai berikut:
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi tentang latar belakang masalah, batasan masalah, perumusan
masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian dan
sistematika penulisan,
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
Bab ini menguraikan tentang metode dan hasil penelitian sebelumnya yang
menjadi bahan rujukan.
BAB III LANDASAN TEORI
Bab ini menguraikan dasar-dasar teori berkaitan dengan penelitian yang
meliputi konsep peluang, rantai Markov,
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
Bab ini berisi langkah-langkah / prosedur penyelesaian matriks peluang
transisi
BAB IV HASIL PENELITIAN
4
Berisi problem-problem yang dicari solusinya menggunakan program Matlab
dan package “markovchain” pada program open source R.
BAB V KESIMPULAN
Bab ini sebagai penutup berisi kesimpulan dari keseluruhan penelitian yang
telah dilakukan
5
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
Menurut Feres (2007), tercantum matlab listing untuk penyelesaian markov
chain. Matlab listing yang dimaksudkan adalah fungsi commclass dan fungsi
canform. Belum disertai contoh-contoh problem disertai penyelesaiannya.
Menurut Spedicato (2013), ditemukan package “markovchain” untuk
menyelesaikan discrete time markov chain dengan mudah, dengan memanggil
library(markovchain) pada program R.
Pada penelitian ini, akan dibahas problem-problem rantai Markov disertai
solusinya menggunakan program Matlab dan program R opensource dengan
package “markovchain”. Dalam penelitian ini juga disertai perbandingan output
kedua program, dan pada program R dapat menggambarkan plot matriks peluang
transisi dengan lebih jelas dengan fungsi plotMc (fungsi yang memplot rantai
Markov waktu diskret)
6
BAB III LANDASAN TEORI
A. Peluang
Probabilitas merupakan suatu ilmu yang sudah diajarkan saat seseorang
sudah berada di bangku sekolah. Hal ini disebabkan oleh banyaknya kejadian
dalam hidup ini yang menggunakan prinsip probabilitas. Sehingga setidaknya
seseorang bisa mengerti teori ini untuk menentukan keputusan yang akan
diambil. Namun sebenarnya tanpa mempelajari ilmu ini seseorang sudah sering
menerapkan ilmu ini untuk sebuah keputusan yang akan diambilnya. Seseorang
yang akan mengambil keputusan tentu saja akan melihat kejadian-kejadian yang
telah terjadi. Kemudian akan memprediksi kejadian selanjutnya yang akan terjadi.
Secara sederhana probabilitas dapat didefinisikan sebagai suatu cara untuk
mengungkapkan suatu informasi atau pengetahuan bahwa suatu kejadian akan
terjadi maupun telah terjadi. Probabilitas sering disebut juga sebagai peluang
atau kemungkinan.
Untuk menuliskan probabilitas dari suatu kejadian digunakan sebuah angka
yang dikenal sebagai probabilitas suatu kejadian. Angka ini nilainya 0 ≤ 1.
Semakin besar nilai probabilitas suatu kejadian tertentu, maka kejadian tersebut
paling memungkinkan untuk terjadi. Apabila suatu kejadian sama sekali tidak
memungkinkan untuk terjadi atau mustahil untuk terjadi, maka probabilitas
kejadian tersebut adalah 0. Untuk menyatakan probabilitas suatu kejadian,
terdapat notasi yang sudah menjadi kesepakatan bersama.
Untuk melambangkan notasi probabilitas kejadian A, maka ditulis P(A).
Demikian juga dengan kejadian lainnya. Notasi probabilitas kejadian B adalah
P(B), notasi probabilitas kejadian C adalah P(C).
Nilai untuk P(A) dapat dirumuskan sebagai berikut.
n AP A
n S
Keterangan:
A : Jumlah kejadian A
S : Sampel
7
B. Rantai Markov
Teori Rantai Markov pertama kali ditemukan oleh Andrey Andreyevich
Markov pada tahun 1906. Ia adalah seorang matematikawan dari Rusia yang
hidup pada tahun 1856 sampai tahun 1922. Ia merupakan murid dari Chebysev,
seorang yang terkenal di dunia probabilitas karena rumus yang ditemukannya.
Sebagaimana halnya dengan Chebysev, Markov pun tidak mau kalah. Ia
mengungkapkan teori bahwa suatu kejadian berikutnya tergantung hanya pada
keadaan saat ini dan bukan pada kejadian masa lalu. Pada tahun 1913 ia
menerapkan temuannya ini yang pertama kali untuk 20.000 pertama Pushkin
huruf “Eugine Onegin”.Berdasarkan teori yang diungkapkan oleh Markov di atas
dapat dibuat dengan kata lain. Rantai markov merupakan suatu teknik yang
terdapat di dalam ilmu probabilitas yang bisa digunakan untuk menganalisis
pergerakan suatu probabilitas dari suatu keadaan ke keadaan lainnya.
Rantai Markov bukanlah suatu teknik optimisasi melainkan suatu teknik
deskriptif. Maksudnya adalah bahwa Rantai Markov bukanlah suatu cara yang
bisa digunakan untuk menghasilkan suatu keputusan rekomendasi (optimis).
Akan tetapi, Rantai Markov ini hanya digunakan untuk membantu seseorang
untuk mengambil keputusan (deskriptif). Sehingga bisa dikatakan bahwa analisa
Rantai Markov ini mirip dengan analisis keputusan. Untuk menentukan sebuah
keputusan memungkinkan untuk terjadi perpindahan keputusan. Dari keputusan
yang satu akan mungkin pindah ke keputusan yang lain. Kemungkinan tersebut
dapat dirumuskan sebagai berikut.
0Prn
ij nP X j X i
Dalam proses menerapkan Rantai Markov ke dalam suatu kasus tertentu,
terdapat beberapa syarat yang harus dipenuhi. Syarat-syarat tersebut adalah sebagai
berikut.
i. Jumlah probabilitas transisi untuk suatu keadaan awal dari sistem sama
dengan satu.
ii. Probabilitas-probabilitas tersebut berlaku untuk semua partisipan dalam
sistem.
iii. Probabilitas transisi konstan sepanjang waktu.
iv. Kondisi merupakan kondisi yang independen (bebas) sepanjang waktu.
8
Rantai Markov bisa digunakan untuk modeling (pembuatan model) berbagai
macam sistem dan proses. Dengan menggunakan teori ini bisa dianalisa
kejadiankejadian pada waktu mendatang secara sistematis dan matematis.
Rantai Markov merupakan suatu kumpulan variabel acak
1 2 3 4, , , ,X X X X Atau secara formal bisa dituliskan sebagai berikut:
1 1Pr Prn n n nX x X y X x X y
9
BAB IV METODE PENELITIAN
Prosedur Penelitian
Langkah 1: Inisialisasi fungsi pada Matlab misalkan:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%
function [C,v]=commclasses(P)
%Input - P is a stochastic matrix
%Output - C is a matrix of 0s and 1s.
% - C(i,j) is 1 if and only if j is in the
% - communicating class of i.
% - v is a row vector of 0s and 1s. v(i)=1 if
% - the class C(i) is closed, and 0 otherwise.
[m m]=size(P);
T=zeros(m,m);
i=1;
while i<=m
a=[i];
b=zeros(1,m);
b(1,i)=1;
old=1;
new=0;
while old ~= new
old=sum(find(b>0));
[ignore,n]=size(a);
c=sum(P(a,:),1);
d=find(c>0);
[ignore,n]=size(d);
b(1,d)=ones(1,n);
new=sum(find(b>0));
a=d;
end
T(i,:)=b;
i=i+1;
end
F=T’;
C=T&F;
v=(sum(C’==T’)==m);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%
Langkah 2: Jalankan fungsi Matlab dengan membangkitkan matrix nol
dimensi 10 x 10
>> P=zeros(10,10);
P(1,[1 3])=1/2;
10
P(2,2)=1/3; P(2,7)=2/3;
P(3,1)=1;
P(4,5)=1;
P(5,[4 5 9])=1/3;
P(6,6)=1;
P(7,7)=1/4; P(7,9)=3/4;
P(8,[3 4 8 10])=1/4;
P(9,2)=1;
P(10,[2 5 10])=1/3;
>> [C,v]=commclasses(P)
C =
1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0 1 0
1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
v =
1 1 1 0 0 1 1 0 1 0
[Q p]=canform(P)
Q =
0.5000 0.5000 0 0 0 0 0 0 0
0
1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0.3333 0.6667 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0.2500 0.7500 0 0 0 0
0
0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0
0
0 0 0 0 0.3333 0 0.3333 0.3333 0
0
0 0.2500 0 0 0 0 0.2500 0 0.2500
0.2500
0 0 0.3333 0 0 0 0 0.3333 0
0.3333
p =
1 3 2 7 9 6 4 5 8 10
Langkah 3: Pendeskripsian output dari fungsi Matlab yang berkaitan dengan
pembelajaran rantai Markov
11
Langkah 4: bentuk kanonik rantai Markov
Fungsi Matlab
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%
function [Q p]=canform(P)
%Obtain the canonical form Q of a stochastic matrix P.
%The permutation of indices is p.
%Uses the function commclasses(P)
[m m]=size(P);
[C,v]=commclasses(P);
u=find(v==1); %indices in u comprise union of closed
classes
w=find(v==0);
R=[];
while length(u)>0
R=[R u(1)];
v=v.*(C(u(1),:)==0);
u=find(v==1);
end
%R is now the set of representatives of closed classes
%Each closed class has a unique representative in R.
p=[];
for i=1:length(R)
a=find(C(R(i),:));
p=[p a];
end
p=[p w];
%We have now a permutation p of indices, p, that
%gives the new stochastic matrix Q.
Q=P(p,p);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%
Langkah 5: output fungsi Matlab bentuk kanonik.
12
Software Open Source paket R ‘markovchain’
Akan diteliti lebih lanjut beberapa fungsi Matlab yang mendukung pembelajaran
Pengantar Proses Stokastik.
> library("markovchain")
> weatherStates<-c("sunny","cloudy","rain")
> byRow=TRUE
> weatherStates<-
matrix(data=c(0.70,0.2,0.1,0.3,0.4,0.3,0.2,0.45,0.35),b
yrow=byRow,nrow=3,dimnames=list(weatherStates,weatherSt
ates))
> mcWeather<-
new("markovchain",states=c("sunny","cloudy","rain"),tra
nsitionMatrix=matrix(data=c(0.70,0.2,0.1,0.3,0.4,0.3,0.
2,0.45,0.35),byrow=byRow,nrow=3),name="Weather")
> defaultMc<-new("markovchain")
> mcList<-
new("markovchainList",markovchains=list(mcWeather,defau
ltMc),name="A list of Markov chains")
> initialState<-c(0,1,0)
> after2Days<-initialState*(mcWeather*mcWeather)
> after7Days<-initialState*(mcWeather^7)
> after2Days
sunny cloudy rain
[1,] 0.39 0.355 0.255
> after7Days
sunny cloudy rain
[1,] 0.4622776 0.3188612 0.2188612
> initialState<-c(0,1,0)
> mcWeatherTransposed<-t(mcWeather)
> after2Days<-
(mcWeatherTransposed*mcWeatherTransposed)*initialState
> after7Days<-(mcWeatherTransposed^7)*initialState
> after2Days
[,1]
sunny 0.390
cloudy 0.355
rain 0.255
> after7Days
[,1]
sunny 0.4622776
cloudy 0.3188612
rain 0.2188612
> states(mcWeather)
[1] "sunny" "cloudy" "rain"
> dim(mcWeather)
[1] 3
> transitionProbability(mcWeather, "cloudy", "rain")
[1] 0.3
13
> mcWeather[2,3]
[1] 0.3
> print(mcWeather)
sunny cloudy rain
sunny 0.7 0.20 0.10
cloudy 0.3 0.40 0.30
rain 0.2 0.45 0.35
> show(mcWeather)
Weather
A 3 - dimensional discrete Markov Chain with following
states
sunny cloudy rain
The transition matrix (by rows) is defined as follows
sunny cloudy rain
sunny 0.7 0.20 0.10
cloudy 0.3 0.40 0.30
rain 0.2 0.45 0.35
> mcDf<-as(mcWeather,"data.frame")
> mcNew<-as(mcDf,"markovchain")
> mcDf
t0 t1 prob
1 sunny sunny 0.70
2 sunny cloudy 0.20
3 sunny rain 0.10
4 cloudy sunny 0.30
5 cloudy cloudy 0.40
6 cloudy rain 0.30
7 rain sunny 0.20
8 rain cloudy 0.45
9 rain rain 0.35
> mcIgraph<-as(mcWeather,"igraph")
> plotMc(mcWeather)
14
15
BAB V HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Problem matriks peluang transisi
Model penyebaran suatu penyakit adalah sebagai berikut: Jumlah populasi adalah
N = 5, sebagian sakit dan sisanya sehat. Dalam setiap waktu 2 orang akan dipilih
secara acak dari populasi tersebut dan keduanya berinteraksi. Pemilihan orang-
orang tersebut dilakukan sedemikian hingga interaksi antara setiap pasangan adalah
sama. Jika satu orang dari suatu pasangan sakit, yang lain sehat, maka penyakit
akan disebarkan ke orang yang sehat dengan peluang 0,1. Diluar kondisi tersebut,
tidak ada penyakit yang disebarkan. Misalkan Xn menyatakan jumlah orang yang
sakit dalam populasi diakhir periode ke-n. Bentuklah suatu matriks peluang transisi
yang mungkin.
Solusi matriks peluang transisi:
Keadaan: 0,1,2,3,4,5 yang menyatakan jumlah orang yang sakit P00=1, P55=1 (jika
tidak ada atau semua orang sakit maka PASTI keadaan berubah ke tidak ada atau
semua orang sakit)
Pi,i+1=0,1 5
1 15
2
0,01 5i iC C
i iC
, 1 0,01 5i iP i i untuk 1,2,3,4i
1 0 0 0 0 0
0 0.96 0.04 0 0 0
0 0 0.94 0.06 0 0
0 0 0 0.94 0.06 0
0 0 0 0 0.96 0.04
0 0 0 0 0 1
P
16
17
Problem kedua:
Akan dicari communicate class, closed class dan bentuk kanonik matriks P!
18
Pada program Matlab:
19
20
21
Hasil library “markovchain”
22
23
24
BAB VI KESIMPULAN
Berdasarkan hasil visualisasi rantai markov, diperoleh beberapa point kesimpulan
sebagai berikut:
1. dapat membandingkan input dan output fungsi commclass (communicating
class) dan canform (bentuk kanonik) pada matlab dan R.
2. pada paket program R ’markovchain”, dapat menggambarkan plot matriks
peluang transisi dengan jelas dengan fungsi plotMc (fungsi untuk memplot
rantai Markov waktu diskret).
25
DAFTAR PUSTAKA
Agwuegbo, S.O.N., A. P. Adewole and A. N. Maduegbuna, 2010. A random walk
model for stock market prices. J. Math. Stat., 6: 342-346. DOI:
10.3844/jmssp.2010.342.346
Feres R, 2007, “Notes for Math 450 Matlab Listings for Markov Chains.” URL
http://www.math.wustl.edu/~feres/Math450Lect04.pdf
Grimmett, G.R. and Stirzaker, D.R., 2001 Probability and Random Processes third
ed., Oxford University Press
Nicholson W, 2013, DTMCPack: Suite of functions related to discrete-time
discrete-state Markov Chains. R package version 0.1-2.
Ross, Sheldon, 2010, Introduction to Probability Models, Tenth Edition, Elsevier.
Spedicato GA, 2013, ‘markovchain’: an R package to easily handle discrete
markov chain. R package version 0.0.1.
Spedicato GA, 2014. The markovchain Package: A Package for Easily Handling
Discrete Markov Chains in R.
Taylor, H. M. & Karlin, S., An Introduction to Stochastic Modeling‟, Academic
Press, 1993.
SINOPSIS
Sinopsis ini mengemukakan hasil dan saran sebagai masalah terbuka untuk
dikembangkan selanjutnya. Rantai Markov adalah salah satu teori dalam ilmu
probabilitas dan implementasinya digunakan dalam berbagai bidang. Keunggulan
penyelesaian menggunakan program R package ‘markovchain’ dapat mengeplot
grafik dengan menggunakan fungsi plotMc.
Pada penelitian ini, telah dilakukan visualisasi rantai Markov waktu diskret
dengan menggunakan program Matlab dan program R. Alasan penggunaan
program tersebut, untuk memudahkan mahasiswa dalam mempelajari rantai
Markov waktu diskret dengan lebih mudah.
Berdasarkan hasil kajian dalam penelitian yang telah dilakukan, beberapa
saran sebagai landasan untuk pengembangan penelitian lebih lanjut, sebagai
berikut:
1. Penelitian selanjutnya dapat menggunakan program-program selain Matlab
dan opensource R untuk menyelesaikan masalah rantai Markov waktu
diskret.
2. Pengembangan lebih lanjut pada fungsi-fungsi program Matlab dan
program opensource R.