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XIII Congreso Internacional de Investigación en Ciencias Administrativas La administración frente a la globalización: Gobernabilidad y Desarrollo

XIII Congreso Internacional de Investigación en Ciencias Administrativas La administración frente a la globalización: Gobernabilidad y desarrollo

5, 6, 7 y 8 de mayo de 2009

Evaluación de proyectos de inversión en condiciones de complejidad e incertidumbre

MF Francisco Javier Madrigal Moreno

[email protected]

Universidad del Valle de Atemajac

1

mailto:[email protected]


Evaluación de proyectos de inversión en condiciones de complejidad e

incertidumbre

Resumen

El mundo empresarial actual se ve sujeto a un medio ambiente cada vez mas

cambiante y que ha conducido a las organizaciones a la incertidumbre en el entorno,

por ello, el desafío empresarial actual es desarrollar habilidades y destrezas que

faciliten la adaptación y adecuación a las condiciones dinámicas, inciertas y complejas

del medio en el que se desenvuelven, para poder competir exitosamente. De igual

manera las finanzas y también los mismos procesos administrativos requieren

evolucionar. Han surgido nuevos procesos, métodos y técnicas que ayudan a encauzar

la toma de decisiones.

Este trabajo propone considerar a los conjuntos borrosos como una herramienta

matemática aplicable a la administración financiera y en específico a la evaluación de

los proyectos de inversión en condiciones de incertidumbre y complejidad. Se parte de

la conceptualización de los conjuntos borrosos, y sus principales características,

enseguida se presentan los conceptos de los proyectos de inversión, posteriormente se

detallan los números borrosos y finalmente, como propuesta, la aplicación de

evaluación de un proyecto de inversión, a través del método de “Valor Presente Neto”

(VPN) comparando la metodología tradicional en condiciones de incertidumbre con el

“Valor Presente Neto Borroso”

2


Evaluación de proyectos de inversión en condiciones de complejidad e

incertidumbre

Introducción

Tradicionalmente se ha investigado a las empresas como sistemas determinísticos de

orden y planeación, sin embargo en la actualidad lo único seguro que existe es el

cambio, los sistemas (las empresas) son estocásticos, azarosos, de irregularidad e

impredictibilidad, tomando como referencia a Wheatley citado en Cornejo (2007)

señala que “el modelo newtoniano del mundo está caracterizado por el materialismo y

reduccionismo, un enfoque hacia las partes en vez de las relaciones ( … ) En la nueva

ciencia, las corrientes fundamentales se mueven hacia el holismo, hacia conocer el

sistema como sistema y a dar valor a las relaciones que existen entre las partes apenas

visibles” (p. 4) La complejidad es otra área de estudio aplicable al mundo de las

empresas, y en relación a la complejidad el grupo Santa Fe citado por Battram (2008)

propone la siguiente definición:“La complejidad hace referencia a la condición del

universo, integrado y a la vez demasiado rico y variado para que podamos entenderlo

mediante los habituales métodos simples mecánicos, lineales. Mediante tales métodos

podemos entender muchas partes del universo, pero los fenómenos más amplios e

intrínsecamente relacionados sólo pueden entenderse a través de principios y pautas;

no detalladamente. La complejidad trata de la naturaleza de la emergencia, la

innovación, el aprendizaje y la adaptación.“ (p. 12)

En las ultimas décadas en las distintas áreas del conocimiento asociadas al desarrollo

humano, las organizaciones productivas y sociales se han enfrentado a fenómenos y

problemas que demandan de herramientas de análisis más eficientes en los campos en

que los problemas pueden ser resueltos con enfoques cualitativos y cuantitativos y en

los que la forma de modelarlos con enfoques tradicionales no resultan eficientes en sus

apreciaciones. Surgen dentro de los campos de las ciencias exactas descubrimientos e

invenciones que han revolucionado el conocimiento. Como es el caso de los conjuntos

borrosos, Su aplicación se ha dado hasta la fecha en el campo de las ciencias

3


naturales, como matemáticas, física, química, biología, etc., sin embargo el mismo

conocimiento generado, por su conceptualización, puede ser utilizado y aplicado en las

ciencias sociales, y como la economía, psicología, sociología, e inclusive en el campo

de la administración de empresas

Los conjuntos Borrosos

Desde el inicio de la teoría de los conjuntos borrosos (Zadeh 1965, 1981; Kendal 1986;

Kirk and Folger 1988), se han definido como: una colección de objetos con valores de

membresía entre cero (completamente excluido) y uno (membresía completa.) Los

valores de membresía expresan el grado con el que cada objeto es compatible con las

propiedades o características distintivas de la colección. Un conjunto borroso está

caracterizado por una función de membresía o de dominio, espacio o universo de

discurso X, para un intervalo unitario de (0,1)

A continuación se presenta un ejemplo de conjuntos borrosos: El clima es una variable

que puede ser representada de esta forma. Suponga que se pregunta a una persona

como está la temperatura ambiental, él/ella probablemente no contestará con un dato

concreto, 10°C , 20°C, 30°C, o algún otro valor. Su respuesta será esta frío, templado, o

cálido. Medir o cuantificar, frío, templado o cálido representa un problema, toda vez

que se pueden tener respuestas de diferentes personas y cada una puede tener su

propia apreciación de lo que significa frío, templado o cálido.

Si se solicita que determinen cuándo está frío templado o cálido también se pueden

tener respuestas como “desde menos 0°C, hasta 10°C, hace frío, de ahí hasta los 25°C

se encuentra templado el clima y a partir de los 25°C está cálido el medio ambiente”.

Se tiene entonces que hasta los 10°C esta “frío” el ambiente y que una sola décima de

grado, es decir 10.1°C significa una temperatura “templada”, de igual forma “templada

termina en los 25°C y de forma repentina se tendrá una temperatura “calida” Una

4


respuesta de este tipo implica que el comportamiento de la temperatura expresado en

el gráfico número uno.

Este cambio tan drástico no es posible en la realidad. La disminución del frío y el

cambio a templado se dan de forma paulatina, de igual forma sucede el cambio de

templado a cálido. Significando entonces que una temperatura de 11°C deje de

pertenecer, es decir deja de ser un poco miembro del conjunto “frío”, e inicia su

pertenencia (membresía) al conjunto templado. Y así sucesivamente con las

temperaturas, se tiene entonces un modelo que no es absueltamente tajante sino una

tendencia de disminución de pertenencia a un conjunto “frío” y de una tendencia de

aumento en la pertenencia a un conjunto “templado” de las temperaturas, y en esencia

se da la pertenencia a los conjuntos borrosos. El gráfico 2 muestra la temperatura

considerada bajo el criterio de los conjuntos borrosos.

Grafico de conjuntos normales para " La Temperatura"

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 A 10 10.1 A 25 25.1 o Grados centigrados

Pert

enen

cia

más

Frio

friofriofrio

Templado Calor

Gráfico 1.- La Temperatura bajo el criterio de conjuntos normales

Fuente: Elaboración propia

5


Grafico de conjuntos borrosos para "Temperatura"

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 3

Temperatura

Mem

bres

ia

La

1 33 35 37 39

Gráfico 2.- La Temperatura bajo el criterio de conjuntos Borrosos


Proyectos de inversión

El estudio de la administración financiera ha sido siguiendo los cánones de nuestra

ciencia de forma tradicional es decir, un estudio de situaciones total y absolutamente

determinísticas. Se determina con precisión cuántas unidades se requieren para estar

en punto de equilibrio. Cuáles serán los faltantes y sobrantes en un flujo de efectivo.

Cuál es el precio de venta. Cuál es el costo de ventas. Se asume y acepta como válido

un valor de 1 al realizar la prueba del ácido, y así sucesivamente, y se busca, quizás de

forma inconsciente, que la realidad cotidiana de las empresas se ajuste totalmente a los

modelos determinísticos y no se entiende que los modelos deben adecuarse a la

realidad cambiante, dinámica caótica y compleja.

Un área de aplicación de la administración financiera se da en los proyectos de

inversión. Evaluar proyectos de inversión significa tomar la decisión el día de hoy sobre

operaciones que se desarrollaran en el futuro. Un proyecto de inversión se puede

6


definir como: un plan de acción a largo plazo que recibe recursos, financieros,

tecnológicos y humanos, tendiente a satisfacer una necesidad presente o futura,

permitiendo producir un bien o prestar un servicio, logrando con ello un rendimiento y el

crecimiento de la empresa, luego entonces un proyecto de inversión significa destinar

recursos que tendrán su recuperación en el largo plazo, ejemplo: la creación de una

empresa, una nueva unidad de negocios o bien la adquisición de maquinaria, equipo de

transporte e inmuebles entre otros.

Aún cuando existen diversos métodos para evaluar proyectos de inversión los más

ampliamente utilizados son el Valor Presente Neto (VPN), su fórmula es:

VPN = I1

+ I2

+I3

+I4

+I5

- MI(1+i)1 (1+i)2 (1+i)3 (1+i)4 (1+i)5

Donde:

MI = Egreso en el período j (Monto de inversión inicial)

I = Ingreso en el período j (Flujos de efectivo)

i = Tasa de interés (costo de capital promedio ponderado)

De donde se desprende que para la aplicación de estos métodos se requiere considerar

las siguientes variables

• Monto de la inversión inicial

• Flujos de efectivo

• Tasas de interés determinadas a partir del Costo de Capital Promedio

Ponderado

• Periodos de tiempo

7


Todas estas variables por el hecho de ser proyectadas o pronosticadas incorporan un

alto grado de incertidumbre.

El monto de inversión inicial

Es el desembolso que se requiere hacer al momento inicial o periodo de tiempo cero.

Cuando se trata de la adquisición de activos fijos es posible determinar ese desembolso

con total precisión, pero no es exactamente determinable cuando la inversión inicial

sucederá en cierto plazo de tiempo, y cuando mayor sea el horizonte de tiempo1,

mayor será la incertidumbre, en el momento cero, del monto exacto de la inversión

inicial.

Flujos netos de efectivo

Evaluar proyectos de inversión significa comparar el desembolso inicial con los ingresos

que la inversión genere. De forma tradicional se considera al estado de resultados para

la determinación de los flujos de efectivo y calculados a partir de la utilidad neta más la

depreciación y la amortización. Sin embargo Ramírez Padilla (2004) considera que no

es correcto utilizar el estado de resultados de forma directa para los flujos de efectivo

dado que existen diversas variables como ventas y compras a crédito, métodos de

valuación de inventarios y criterios de contabilización que impiden tener una total

precisión en la determinación de los flujos de efectivo, por lo cual se deben de

considerar solamente los ingresos, los costos y gastos efectivamente cobrados y a ellos

adicionar la depreciación y la amortización, después de haber determinado el pago de

impuestos, por el impacto que en ellos tienen. El flujo de efectivo debe ser considerado

bajo la siguiente estructura.

Ingresos

Menos costos variables

1 Como puede ser el caso de la construcción y puesta en marcha de una empresa o unidad de negocios.

8


Menos gastos fijos

Menos impuestos

Más depreciación y amortización

Igual a flujos netos de efectivo

Es necesario señalar que los flujos de efectivo se ven afectados por diversas variables,

y que incorporan elevados niveles de incertidumbre como son:

• Ventas: el volumen y precio pueden variar de forma importante de

acuerdo a las condiciones económicas.

• Costos de producción: la variabilidad de los costo en materia prima,

mano de obra y gastos indirectos de fabricación.

• Gastos de administración y venta: tradicionalmente a estos costos se

les considera como costos fijos, sin embargo sólo en un horizonte de tiempo

muy corto sucede que sean fijos, y en un horizonte de tiempo mediano y

largo siempre serán variables, aun cuando no ligados directamente a la

producción.

• Periodos de cobranza y cartera vencida: para una empresa el problema

no es sólo vender, sino también el cobrar los adeudos de los clientes.

• Tipo de cambio: cuando una empresa es importadora o exportadora

directa el tipo de cambio inciden en ellas de la misma forma directa. Pero la

globalización impacta también a las empresas aun cuando no sean

exportadores o importadores directos, esto derivado de la gran variedad de

insumos que son de importación.

• Inflación: fenómeno económico que aun cuando en nuestro país no ha

sido mayor de dos dígitos, la crisis financiera actual hace impredecible el

comportamiento futuro de la inflación, en los gráficos siguientes se puede

observar el comportamiento de la inflación durante los últimos cinco años El

9


gráfico número tres muestra una tendencia suave, pero no sucede lo mismo

con en gráfico número cuatro que muestra la variación mensual de la

inflación. El comportamiento es caótico e inclusive con un patrón fractal y que

de alguna manera confirma lo mencionado por Mendelbrot (2004), el corazón

mismo de las finanzas es fractal.

INFLACION ANUAL EN MEXICO DICIEMBRE DE 2004 A DICIEMBRE DE 2008

4.54%

3.33% 3.45% 3.23%

0.00%

1.00%

2.00%

3.00%

4.00%

5.00%

6.00%

7.00%

2004 2005 2006 2007AÑOS

6.04%

2008

Gráfico 3.- Inflación anual en México

Fuente: Elaboración propia a partir de los datos del Banco de México

10


VARIACION DE LA INFLACION EN MEXICOENERO DE 2004 A ENERO DE 2009

-0.60%

-0.40%

-0.20%

0.00%

0.20%

0.40%

0.60%

0.80%

1.00%

1.20%

1.40%

ene-0

4

mar-04

may-04

jul-04

sep-0

4

nov-0

4

ene-0

5

mar-05

may-05

jul-05

sep-0

5

nov-0

5

ene-0

6

mar-06

may-06

jul-06

sep-0

6

nov-0

6

ene-0

7

mar-07

may-07

jul-07

sep-0

7

nov-0

7

ene-0

8

mar-08

may-08

jul-08

sep-0

8

nov-0

8

ene-0

9

Gráfico 4.- Variación de la inflación en México


• Impuestos: En el caso de México la ley del impuesto sobre la renta,

señala que las utilidades de una empresa deben ser gravadas a una tasa del

28%, sin embargo no sólo las empresas son sujetas al impuesto sobre la

renta, sino también diferentes personas físicas y morales y dependiendo de

las característica de los obligados se tendrá diferente criterio de cálculo del

impuesto, y adicionalmente la tasa del 28% no ha sido siempre fija y además

no existe solamente ese impuesto, también existen el impuesto empresarial a

tasa única, el impuesto al valor agregado, entre otros, por mencionar

algunos impuestos aplicables en México, es importante señalar que no todos

los impuestos tienen una misma base de aplicación si no son diferentes en

cada caso y además no significa que un impuesto sustituya necesariamente

a otro, esto trae importantes implicaciones en el flujo de efectivo.

11


• Entorno macroeconómico: el mundo actual es cada día mas difícil de

pronosticar, la crisis financiera es un caso inédito, toda vez que los primeros

afectados han sido los países del primer mundo ¿Cuándo terminará?,

¿Cómo terminará?, ¿Cuáles serán sus efectos en países en vías de

desarrollo?, ¿Se desarrollarán nuevos instrumentos financieros?, ¿Surgirán

nuevas reglas e instituciones financieras? Éstas son sólo algunas de las

muchas preguntas por contestar en un mundo incierto.

• Las finanzas tiene que evolucionar hacia nuevos modelos que incorporen

cada vez más la incertidumbre de nuestro mundo dinámico, incierto, caótico y

complejo para poder dar cuenta de lo que sucede en él.

Tasas de interés determinadas a partir del Costo de Capital Promedio Ponderado

Para una empresa llevar a cabo un proyecto de inversión requiere de financiamiento y

eso sólo puede ser obtenido por medio de aportaciones de socios o de toma de

créditos, en el caso de los socios estos exigirán por su aportación un rendimiento

denominado dividendos que pueden variar cada año y en el caso de un crédito éste se

contratará a una determinada tasa de interés, que para efectos de administrar el riesgo

de variación de la tasa se puede contratar a tasa fija, sin embargo la práctica común en

las instituciones financieras es de contratar a tasa variable, que surge de la tasa de

referencia, que es la mayor de la tasa de los certificados de la tesorería de la federación

denominados (CETES), o de la tasa de interés interbancaria de equilibrio ( TIIE), y a

esta tasa se adicionan determinados puntos porcentuales.

La variabilidad e incertidumbre de la tasa TIIE en los siguientes gráficos se muestran

patrones de comportamiento similar al de la inflación, en el gráfico cinco el

comportamiento es suave y el en gráfico seis se denota un comportamiento caótico y

de nuevo fractal.

12


TASA DE INTERES INTERBANCARIA DE EQUILIBRIOENERO 2004 - FEBRERO 2009

5.00

6.00

7.00

8.00

9.00

10.00

11.00

feb-04

abr-0

4jun

-04

ago-0

4oc

t-04dic

-04feb

-05ab

r-05jun

-05

ago-0

5oc

t-05dic

-05feb

-06ab

r-06jun

-06

ago-0

6oc

t-06dic

-06feb

-07ab

r-07jun

-07

ago-0

7oc

t-07dic

-07feb

-08ab

r-08jun

-08

ago-0

8oc

t-08dic

-08feb

-09

Gráfico 5.- Evolución de la Tasa de Interés Interbancaria de Equilibrio


VARIACION MENSUAL DE LA TASA DE INTERES INTERBANCARIA DE EQUILIBRIOENERO 2004 - FEBRERO 2009

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

feb-04

abr-0

4jun

-04

ago-0

4oc

t-04dic

-04feb

-05ab

r-05jun

-05

ago-0

5oc

t-05dic

-05feb

-06ab

r-06jun

-06

ago-0

6oc

t-06dic

-06feb

-07ab

r-07jun

-07

ago-0

7oc

t-07dic

-07feb

-08ab

r-08jun

-08

ago-0

8oc

t-08dic

-08feb

-09

Gráfico 6.- Variación de la Tasa de Interés Interbancaria de Equilibrio

13



Periodo, o vida útil del proyecto

Un paso importante dentro de los proyecto de inversión es la determinación de la vida

útil del proyecto. No existe un criterio definido y mostramos algunos ejemplos: en la

industria extractiva, los proyectos de inversión pueden tener una vida útil de más de 10

años; el mismo caso sucede con la industria hotelera que puede tener proyectos de

más de 10 años. La vida útil entonces será la que la misma industria tenga como

parámetro y esto en función del tiempo que les son útiles los activos. En el caso de

compra de activos fijos, estos tienen diferente vida útil también, tal es el caso del equipo

de cómputo, el equipo de trasporte o los muebles de oficina, por convencionalismo se

evalúa un proyecto en un periodo de tiempo de cinco años.

El entorno cambiante ha conducido a las organizaciones a la incertidumbre y por ello a

medida que se tienen nuevos conocimientos surgen nuevas variables que requieren ser

cuantificadas.

¿Cómo planear financieramente en un mundo tan cambiante, tan dinámico y tan

incierto? ¿Cómo aplicar modelos de administración financiera, cuando los datos se que

se tienen. ¿Cómo por ejemplo, precios de venta, costos variables, utilidades, flujos de

efectivo, costos de capital etc., se modifican constantemente? Las preguntas anteriores

pueden contestarse por medio de los conjuntos borrosos, éstos permiten evaluar la

incertidumbre de la información. Al respecto Borjón (2003) señala “la verdadera

naturaleza, tal como debemos entenderla, es caótica, holística, holográfica, simultánea,

pero es incomprensible para la matemática euclidiana”, el mundo empresarial se ve

afectado por un gran número de variables, por ejemplo para una empresa exportadora

o importadora una variable importante será el tipo de cambio que puede beneficiarla o

perjudicarla, las tasa de interés impactan en la empresa al solicitar financiamiento, el

mismo entorno de recesión o bonanza traerá modificaciones importantes en las ventas,

los costos de materias primas, o mercancías. Que a diferencia de los modelos

económicos que aplican el criterio de Ceteris paribus. Una variable económica o

14


financiera no tiene un comportamiento aislado de las demás variables, sino que unas

son consecuencias de otras de un modo complejo, dinámico, caótico e incierto.

Conjuntos borrosos

Ante la evidencia de los párrafos anteriores, se requiere de nuevas metodologías,

herramientas y procesos para evaluar la incertidumbre Los conjuntos borrosos pueden

ser una herramienta de mucha utilidad y muy aplicable a las empresas en su

administración financiera, sin embargo, no se debe de utilizar como una herramienta

indispensable en cada uno de los procesos o procedimientos, se debe evaluar si existe

o no incertidumbre, porque cuando se tiene la plena certeza de la información, utilizar

conjuntos borrosos o técnicas determinísticas llevarán al mismo resultado.

Los conjuntos borrosos tienen cada día mayores aplicaciones, el campo de la

Ingeniería, la economía, la computación, los sistemas inteligentes, entre otros se ha

beneficiado de ella, ¿El caos determinista se puede mover dentro de cierto rango, es

decir puede existir por tanto la vinculación entre caos y conjuntos borrosos? ¿La

complejidad de los sistemas empresariales, no lineales da origen o justifica la lógica

borrosa y los conjuntos borrosos?

La lógica aristotélica ha servido de bases para la matemática de los conjuntos

“normales” y se fundamenta en el principio del tercio excluido, principio que indica que

una proposición únicamente puede ser verdadera o falsa, no existiendo ningún grado

de verdad intermedio. Como consecuencia de dicho principio, en la teoría de conjuntos,

para un subconjunto A definido sobre un conjunto universo o referencial X, un elemento

del referencial pertenece o no pertenece a dicho conjunto A, es decir, no existe ningún

tipo de ambigüedad sobre su pertenencia.

15


Números borrosos:

Los números borrosos más utilizados son los números borrosos triangulares (NBT) y

números borrosos trapeciodales (NBTr) Lazzari (1997) define un NBT cuando queda

determinado únicamente por tres números reales, (el valor mínimo, el valor máximo y el

valor de mayor nivel de presunción), b1, b2, b3 tales que b1 ≤ b2 ≤ b3 y usualmente

se representa A = (b1, b2, b3) En el campo de la administración financiera los NBT

tienen su aplicación derivado de la opinión que los expertos emiten en relación con

alguna variable financiera que aplicado a este trabajo pueden ser el comportamiento

desde el mínimo, hasta el máximo, considerando los posibles niveles intermedios, o el

más probable de: los flujos de efectivo, las tasas de interés o los montos de inversión. A

los NBT en función de la opinión de expertos se les denomina también como Tripleta

de confianza. (Gráfico 7)

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1 2 3

Pert

enen

cia

Gráfico 7.- Numero Borroso triangular (NBT)

16


Lazzari (1997) también define. Un NBTr queda determinado únicamente por cuatro

números reales (el valor mínimo, el valor máximo y los valores de mayor nivel de

presunción) , b1, b2, b3 , b4 tales que b1 ≤ b2 ≤ b3 ≤ b4 y usualmente se representa A =

(b1 , b2 , b3, b4) Los NBTr representarán la opinión de los expertos en un rango más

amplio. Se tiene un valor mínimo, un valor máximo y varios niveles de mayor

presunción. A los NBTr en función de la opinión de expertos se les denomina también

como cuádruplos de confianza y en este caso aplicables a las variables financieras

(Gráfico 8).

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1 2 3 4

Pert

enen

cia

Gráfico 8.- Numero Borroso trapeciodal (NBTr)

Operaciones matemáticas con conjuntos borrosos

Es importante señalar que los números borrosos triangulares y trapeciodales surgen por

las estimaciones o los conocimientos de los resultados que se obtendrán de las

variables consideradas, estas estimaciones generadas por los expertos se les

denomina “Tripleta de confianza” en el caso de los NBT o “Cuádruplo de confianza” en

los NBTr (Gráfico 8).

17


En algunas ocasiones los NBT y LOS NBTr no son suficientemente informativos y

cuanto más amplio el rango, (cierto, falso), es menor la información que proporcionan

por lo cual se debe acotar el rango de cierto o falso en escalas intermedias, a través de

la opinión de expertos supóngase que se le pide a un grupo de cinco expertos que

emitan su opinión a partir de la siguiente escala

0: falso

0.1: prácticamente falso

0.2: casi falso

0.3: bastante falso

0.4: más falso que verdadero

0.5: ni verdadero ni falso

0.6: más verdadero que falso

0.7: bastante verdadero

0.8: casi verdadero

0.9: prácticamente verdadero

1: verdadero

Esta escala, denominada endecadaria, resulta “imprescindible en las técnicas de

evaluación de la incertidumbre” Montserrat (2003) y donde 0 significa la nulidad o no

pertenencia a un conjunto y 1 significa la total pertenencia a un conjunto

Desarrollar modelos con datos inciertos requiere de determinar las reglas de operación

con los números borrosos, propuestas por Montserrat (2003) y las cuales se muestran

a continuación

18


Operación Tripleta De Confianza

(números borrosos

triangulares)

Cuádruplo De Confianza

( Números borrosos trapeciodales)

Suma (a1 , a2 , a3) + (b1 , b2 , b3) =

(a1+ b1 , a2+ b2 , a3+ b3)

(a1 , a2 , a3 , a4) + (b1 , b2 , b3 b4) = (a1+

b1 , a2+b2 , a3 + b3 a4 + b4)

Resta (a1 , a2 , a3) - (b1 , b2 , b3) =

( a1 -b3 , a2 - b2 , a3 –b1)

(a1 , a2 , a3 , a4) - (b1 , b2 , b3 b4) = (a1-

b4 , a2 – b3 , a3 – b2 a4 – b1)

Multiplicación (a1 , a2 , a3) . (b1 , b2 , b3) =

(a1.b1 , a2.b2 , a3.b3)

(a1 , a2 , a3 , a4) . (b1 , b2 , b3 b4) = (a1.

b1 , a2 . b2 , a3 . b3 a4 . b4)

Division (a1 , a2 , a3) / (b1 , b2 , b3) =

( a1 / b3 , a2 / b2 , a3 / b1)

(a1 , a2 , a3 , a4) / (b1 , b2 , b3 b4) = (a1 /

b4 , a2 / b3 , a3 / b2 a4 / b1)

Potencia (a1 , a2 , a3)n = (a1)n (a2)n (a3)n (a1 , a2 , a3 , a4)n = (a1)n (a2)n (a3)n

(a4)n

De forma general las operaciones con números borrosos son, de acuerdo a Lazzari

(1997)

Operación Números borrosos

Suma (a1 α , a2 α , a3 α) + (b1 α , b2 α , b3 α) = (a1 α + b1 α , a2 α + b2 α , a3 α

+ b3 α)

Resta (a1 α , a2 α , a3 α) - (b1 α , b2 α , b3 α) =

( a1 α -b3 α, a2 α - b2 α, a3 α –b1 α)

Multiplicación (a1 α , a2 α , a3 α) . (b1 α, b2 α, b3 α) = (a1 α.b1 α, a2 α.b2 α, a3 α.b3 α)

Division (a1 α, a2 α, a3 α) / (b1 α, b2 α, b3 α) =

( a1 α / b3 α, a2 α / b2 α, a3 α / b1 α)

Potencia (a1 α, a2 α, a3 α)n =(a1α)n (a2 α,)n (a3 α)n

19


Donde α es el número de cortes, o intervalos de presunción de los conjuntos borrosos,

Para efecto de aplicación de las operaciones de los conjuntos borrosos a la evaluación

de proyectos de inversión se tiene el siguiente caso práctico.

Caso práctico

A continuación se presenta un caso que ejemplifique lo anterior, este caso se resolverá

de dos maneras, primero aplicando el método tradicional de VPN y después resolviendo

con el uso de los conjuntos borrosos

La empresa “La Comercializadora de Occidente” planea la apertura de una nueva

unidad de negocios y utilizará los conjuntos borrosos para la evaluación del nuevo

proyecto, tomando en cuenta la información estadística y el posible comportamiento

futuro de la nueva unidad de negocios, en función de la situación cambiante, incierta y

compleja.

Utilizando el método Delphi consulta a 3 expertos los cuales emiten su opinión de las

siguientes viables: monto de inversión, ingresos (flujos netos de efectivo) y tasas de

interés (costo de capital promedio ponderado) como se muestran a continuación.

Monto de Inversión

Cada uno de ellos considera que aún cuando se puede tener un presupuesto del monto

a invertir, éste puede variar en función de las condiciones económicas y presentar las

siguientes estimaciones

Experto A B C

Monto de inversión $ 18,000.00 $ 23,000.00 $ 24,000.00

20


Ingresos

Dada la variabilidad de los conceptos que integran los flujos de efectivo, los expertos

proponen lo ingresos para los próximos cinco años de la siguiente forma

Experto A B C

año 1 $ 7,000.00 $ 9,000.00 $ 10,000.00

año 2 $ 8,000.00 $ 8,000.00 $ 7,000.00

año 3 $ 9,000.00 $ 9,000.00 $ 8,000.00

año 4 $ 6,000.00 $ 5,000.00 $ 9,000.00

año 5 $ 4,000.00 $ 7,000.00 $ 8,000.00

Por su parte los expertos estiman que el financiamiento será con un crédito que cobra

una tasa de interés de TIIE más 10 puntos porcentuales y su propuesta es:

Experto A B C

año 1 17.90% 18.40% 17.00%

año 2 16.80% 18.30% 17.00%

año 3 16.50% 18.25% 16.50%

año 4 15.90% 18.00% 16.40%

año 5 15.50% 18.00% 16.30%

21


Resolución por medio del Valor Presente Neto (VNP) “determinista”

Ante la variedad se evalúan los proyectos de inversión con diferentes técnicas como

son el método Monte Carlo, árbol de decisión y principalmente por escenarios, que será

el que se usará:

Escenarios

Este método consiste en determinar un escenario más probable, denominado “normal”

y posteriormente determinar un escenario optimista que considera a los datos más

favorables para la empresa, y un escenario pesimista con los datos más desfavorables,

y determinar en función de ellos cuál será el comportamiento del proyecto ante

diferentes alternativas. De las opiniones de los expertos se considera, por parte del

tomador de decisiones, a uno de ellos como la situación “normal”, para el ejemplo se

considera la opinión del experto “B”, como la “normal”

Los datos son

MI = $23 000

I1 = 9 000

I2 = 8 000

I3 = 9,000

I4 = 5 000

I5 = 7 000

22


En el caso de la tasa de interés, bajo el criterio “determinista” se considera una sola

durante toda la vida del proyecto por lo cual se procede a obtenerla por medio de un

promedio

i1 18.40%

i2 18.30%

i3 18.25%

i4 18.00%

i5 18.00%

Promedio 18.19%

Bajo estas condiciones resolviendo para el valor presente neto:

VPN = 9 000

+ 8 000

+9 000

+5 000

+7 000

- 23 000 (1+.1819)1 (1+.1819)2 (1+.1819)3 (1.1819i)4 (1+.18195

VPN determinístico = $1 390.83

Resolución por medio del Valor Presente Neto “borroso”

La formula desarrollada del valor presente neto para este caso es

VPNb = Ib1

+ Ib2

+Ib3

+Ib4

+Ib5

- MIb(1+ib)1 (1+ib)2 (1+ib)3 (1+ib)4 (1+ib)5

23


Donde:

MIb = Egreso en el período j (Monto de inversión inicial Borroso)

Ib = Ingreso en el período j (Flujos de efectivo borroso)

ib = Tasa de interés (costo de capital promedio ponderado borroso)

Con la información de los expertos se elaboran los conjuntos borrosos

Ib1 ( 7 000 , 9 000 , 10 000) se obtiene a partir de la opinión de los tres

expertos de los ingresos del año uno


expertos de los ingresos del año uno

Ib3 ( 9 000 , 9,000 , 8 000) se obtiene a partir de la opinión de los tres

expertos de los ingresos del año dos

Ib4 ( 6 000 , 5 000 , 9 000) se obtiene a partir de la opinión de los tres expertos

de los ingresos del año tres


expertos de los ingresos del año cuatro

Para la determinación de los conjuntos borrosos de las tasa de interés se realizan

siguiendo el mismo procedimiento que para los ingresos y se tienen los siguientes

conjuntos borrosos aplicando los mismos opinión de los expertos.

(1+ib)1 (1.1790 , 1.1840 , 1.17)

(1+ib)2 (1.1680 , 1.1830 , 1.17)2

(1+ib)3 (1.1650 , 1.1825 , 1.1650)3

(1+ib)4 ( 1.1590 , 1.18 1.1640)4

(1+ib)5 (1.1550 , 1.1800 , 1.1630)5

24


Aplicando el mismo criterio de determinación del conjunto borroso para el monto de

inversión se tiene entonces que:

MIb ( 19 000 , 23 000 , 24 000)

Bajo estas condiciones el Valor Presente Neto Borroso es

VPN = ( 7 000 , 9 000 , 10 000)

+( 8 000 , 8 000 , 7 000)

+(1.1790 , 1.1840 , 1.17) (1.1680 , 1.1830 , 1.17)2

+ ( 9 000 , 9,000 , 8 000)

+( 6 000 , 5 000 , 9 000)

+3 (1.1650 , 1.1825 , 1.1650)3 ( 1.1590 , 1.18 , 1.1640)4

+ ( 4 000 , 7 000 , 8 000)

- ( 19 000 , 23 000 , 24 000) (1.1550 , 1.1800 , 1.1630)5

Adicionalmente a la operación con números borrosos, es importante señalar que el

modelo determinístico considera que la tasa de interés es constante no sólo en un año

sino durante toda la vida del proyecto, lo cual no es cierto. Por lo que se debe de

considerar la incertidumbre para cada año. El procedimiento propuesto es actualizar

primero los flujos de efectivo del año cinco y llevarlos al año cuatro, sumarlos a los

flujos del año cuatro y enseguida actualizarlos al año tres y así sucesivamente hasta

que todos los flujos queden expresados en pesos del año actual y entonces comparar

los ingresos derivados de los flujos con el monto de inversión y determinar la viabilidad

del proyecto desde un punto de vista financiero.

25


Ingresos borrosos del año cinco:

+ ( 4 000 , 7 000 , 8 000)

(1.1550 , 1.1800 , 1.1630)5

Resolviendo la división de números borrosos:

(3 439, 5 932, 3 463) este resultados representa traer los flujos de efectivo del año

cinco al año cuatro.

Sumando los flujos de efectivo del año cinco con los del año cuatro se tiene:

(6 000, 5 000, 9 000) + (3 439, 5 932, 3 463) = (9 439, 10 932, 12 463)

Ingresos borrosos del año cuatro:

( 9 439 , 10 932 , 12 463)

( 1.1590 , 1.18 , 1.1640)4


(8 109 , 9 264, 8 144) este resultados representa traer los flujos de efectivo del año

cuatro al año tres.

Sumando los flujos de efectivo del año cuatro con los del año tres se tiene:

( 9 000 , 9,000 , 8 000) + ( 8 109 , 9 264 , 8 144 ) = ( 17 109 , 18 264 , 16 144)

26


Ingresos borrosos del año tres:

( 17 109 , 18 264 , 16 144)

3 (1.1650 , 1.1825 , 1.1650)3


(14 686, 15 445, 13 858) este resultados representa traer los flujos de efectivo del año

tres al año dos.

Sumando los flujos de efectivo del año tres con los del año dos se tiene:

( 8 000 , 8 000 , 7 000) + ( 14 686 , 15 445 , 13 858 ) = ( 22 686 , 23 445 , 20

858)

Ingresos borrosos del año dos:

( 22 686 , 23 445 , 20 858)

(1.1680 , 1.1830 , 1.17)2


(19 423 , 19 818 , 19 390 ) este resultado representa traer los flujos de efectivo del año

dos al año uno.

27


Ingresos borrosos del año dos:

Sumando los flujos de efectivo del año dos con los del año uno se tiene:

( 7 000 , 9 000 , 10 000) + ( 19 423 , 19 818 , 19 390 ) = ( 26 423 , 28 818 , 29

390)

( 26 423 , 28 818 , 29 390)

(1.1790 , 1.1840 , 1.17)


( 22 584 , 24 340 , 24 928) este resultados representa traer los flujos de efectivo del

año uno momento cero y son los que se comparan con el monto de inversión por

medio de la sustracción de números borrosos

Realizando la sustracción de números borrosos

VPN = ( -1 416 , 1 340 , 5 928 )

El resultado nos indica que el proyecto puede presentar valores negativos lo que

significa que en circunstancias desfavorables se pueden presentar pérdidas, por el

contrario las posibilidades de obtener resultados favorables son más amplias. Para

determinar con mayor precisión las posibilidades de resultados favorables se presenta

el VPN de forma gráfica con un NBT (Gráfico 9).

28


Grafico 9.- VPN Borroso


A continuación se procederá a determinar el área de utilidad y se compara con el área

total, que representa todos los resultados posibles del proyecto. Para determinar el

porcentaje de resultados favorables del proyecto

Primero se determina el área de pérdida con la formula del área de los triángulos

= (bh) / 2

Donde base es igual a 1 416 toda vez que la base se limita desde el valor de 0 hasta el

valor de – 1 416 para la altura se requiere conocer el nivel en donde se intersecta el eje

y con el nivel de pertenencia, conociendo que el nivel 0 de pertenencias es en -1 416 y

el nivel 1 es 1 340 se tiene entonces que el cambio de no partencia a partencia se da

29


de 0 a 1 y el monto es desde – 1 416 a 1 340 por tanto el cambio de no partencia a

partencia en monto es de 2 756 resolviendo se tiene que

2 756 corresponde a 1

1 416 corresponde a α (Nivel de partencia)

Resolviendo se tiene α = - 1 416 / 2 756 = - 0.5137 que representa la altura

Aplicando (b h)/2 = (-1416 x - 0.5137)/2 = 364 U2 siendo esta el área del la región de

pérdida

Determinando el área del NBT se tiene que:

Base: = 1 416 + 5 928 = 7 344 Se considera el valor absoluto de cada extremo del

NBT

Altura = 1 entonces

(b x h ) /2 = 7 344 / 2 = 3 672 U2 área del NBT

Área de utilidad = NBT- área de perdida = 3 672 – 363.70 = 3 308

Porcentaje de resultados favorables del proyecto = Área de utilidad / Área del NBT

= 3 308 / 3 672 = 90.08%

El proyecto de apertura de la nueva unidad de negocios se puede considerar como

viable de acuerdo a las opiniones de los expertos, ya que aún en condiciones de un

ambiente complejo e incierto la nueva unidad de negocios genera ingresos suficientes

para que con un 90.08 % de probabilidad se

30


1. Recuperar el monto de la inversión

2. Cubrir el costo de financiamiento

3. Y lo más importante generar una utilidad para la empresa

4. El nivel de resultados favorables es del 90.08% que se puede considerar

como bastante aceptable

Conclusión

Es importante señalar que los conjuntos borrosos son aplicables, en el campo de la

administración financiera, cuando existen entre otras las siguientes características:

• Cuando el modelo incorpora un gran número de variables

• Cuando el comportamiento de las variables no es lineal.

• Cuanta mayor incertidumbre exista es más recomendable su uso

Los conjuntos borrosos no son aplicables cuando existe certeza en los datos del

modelo, ya que el uso de conjuntos borrosos y modelos determinísticos conducirán a

un mismo resultado

La lógica y la conducta humana no siempre es un SI o un NO, sino que se tiene una

amplia gama de posibilidades, igual sucede con las empresas y con las finanzas y los

modelos financieros actuales llevan a que las finanzas sean exactamente falsas lo que

da la posibilidad de utilizar los conjuntos borrosos para que sean aproximadamente

ciertas.

31


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