LAUEREA SPECIALISTICA IN PRODUZIONI ANIMALI IN AMBIENTE MEDITERRANEO

MODELLI MATEMATICI E STATISTICI[3 – La curva di lattazione]

Prof. Giuseppe Pulina

Università di Sassari

Nelle specie di ruminanti allevate per la produzione del latte, l’evoluzione temporale della quantità di latte prodotta giornalmente nel corso della lattazione è costituita da una componente regolare e continua, nota come curva di lattazione, a cui si sovrappone una quota di variabilità casuale, risultato dell’azione di molteplici fattori di perturbazione largamente imprevedibili

0

500

1000

1500

2000

2500

0 5 10 15 20 25 30 35

settimane

pro

du

zio

ne g

iorn

ali

era

(g

)

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 50 100 150 200Distanza dal parto (giorni)

Pro

duzi

one

di l

atte

(kg

/d)

atipica

Standard

In alcuni animali (20-50% delle pecore e nelle capre da latte) la curva di lattazione assume un andamento “atipico” in cui è presente la sola fase discendente della produzione di latte.

1

1,5

2

2,5

3

0 50 100 150 200Giorni di lattazione

Pro

duzi

one

di l

atte

(kg

/d)

I tratti caratteristici di una curva di lattazione standard

Picco di lattazione

a

b

a/b= persistenza

Curva di lattazione di capre Frisia (Macciotta et al., 2005)

I modelli empirici della curva di lattazione

L’approccio classico utilizzato per lo studio della evoluzione temporale della produzione del latte è sostanzialmente finalizzato alla estrazione e alla descrizione in termini matematici della curva di lattazione, cioè della componente regolare, deterministica e, almeno in linea teorica, prevedibile del fenomeno. Tale scopo viene realizzato attraverso l’adattamento di funzioni continue e regolari del tempo del tipo y = f(t) ai dati sperimentali, di solito rappresentati dai valori della produzione giornaliera di latte (e della sua composizione come il contenuto lipidico o quello proteico

La funzione più comunemente utilizzata è l’equazione gamma-modificata originariamente proposta da Wood (1966)

y(t) = a tb e-ct

1

1,5

2

2,5

3

0 50 100 150 200Giorni di lattazione

Pro

duzi

one

di l

atte

(kg

/d)

c

btm

bb

m

b

c

ay

exp

cbp ln)1(

Razza a b c Autore

Derivata di Siria 1.388 0.1632 -0.005 Giaccone et al (1995)

East African e Galla 0.345 0.149 -0.082 Ruvuna et al., 1995

Meticci razze europee x popolazioni locali del Messico

3.756 0.6407 -0.0109 Montaldo et al., 1997

Murciano-Granadina 2.287 0.1295 -0.029 Hernandez et al., 2002

Red Sokoto 0.586 0.316 -0.023 Akpa et al., 2001

Sarda 1.007 0.182 -0.007 Macciotta (2005), dati non pubblicati

Small East African 0.333 0.227 -0.0052 Wahome et al., 1995

Verata 1.29 0.2073 -0.0052 Rota et al., 1995

Valori dei parametri a, b e c ottenuti mediante l’adattamento del modello di Wood alle curve di lattazione di alcune razze caprine.

Curve di (Sarda) a b c

Latte (g/d) 934 0,181 -0,041

Grasso (%) 7,51 -0,186 0,028

SAT (%) 5,19 -0,035 0,013

Curve di (Comisana) a b c

Latte (g/d)(a) 1146 0,197 -0,011

Grasso (%)(b) 6,75 -0,045 0,013

SAT (%)(b) 4,39 -0,045 0,053

Parametri delle curve di lattazione delle razze ovine da latte Sarda e Comisana (Pulina et al., 2005)

g/L

tempo

grasso

proteine

Curve di evoluzione del contenuto in grasso e proteine descritte secondo Wood

y(t) = at (-b) ect

n.b. i parametri b e c hanno segno invertito

Modello Equazione Autore

Cappio-Borlino et al. (1995) y(t) = atbe(-ct) Fernandez et al. (2002); Todaro et al., 1999

Cobby e Le Du (1978) y(t) = a-bt-ae-ct Fernandez et al. (2002)

Dhanoa (1981) y(t)= atbce-ct Fernandez et al. (2002)

Grossman e Koops (1988) y(t)=

2

1i

{aibi[1-tan2(bi(t-ci))]} Gipson e Grossman (1989)

Morant e Gnanasakthy (1990) y(t) = a e(b(1+t’/2)t’) + cn2 -1.01/t Williams (1993)

Wimink (1987) y(t) = a + be-kt + ct Macciotta et al. (2004)

Wood (1967) y(t) = atbe-ct Akpa et al., 2001, Andonov et al. (1999);

Fernandez et al. (2002); Fonseca e Silva et

al., 2005; Giaccone et al., 1998; Macciotta et

al (2003); Mc Manus et al. (2003); Montaldo

et al. (1997); Rota et al. (1993); Ruvuna et al.

(1995)

Modelli matematici empirici utilizzati per la descrizione delle curve di lattazione di capre (Macciotta et al., 2005)

Il modello di wood può essere trasformato nella forma logaritmica

ln (y) = ln (a) + b ln (t) + ct

che rappresenta una equazione di regressione multipla utilizzabile per il fitting sui dati sperimentali

I modelli meccanici della curva di lattazione

I modelli meccanici della curva di lattazione si basano sulla teoria della popolazione cellulare.

L’andamento della curva di lattazione è il risultato di processi di sintesi e di captazione dal flusso ematico dei componenti del latte operati dalle cellule secretrici della ghiandola mammaria ai quali si sovrappongono processi di rimodellamento cellulare (Mepham, 1987).

A partire dalle fasi finali della gravidanza e durante l’inizio della lattazione, il processo di attivazione delle cellule secretici predomina su quello di regressione cellulare, che risulta invece predominante in fase avanzata di lattazione fino all’asciutta (Hurley, 1989).

PL = N X k

PL = Produzione di latte

N = Numero di cellule secretrici

k = Efficienza di sintesi di ciascuna cellula

La curva di lattazione e la produzione giornaliera di latte sono determinate dalla relazione:

0

500

1000

1500

2000

2500

0 50 100 150 200

Days in milking (DIM)

Dai

ly m

ilk y

ield

(g)

Curva di lattazione

perturbazione temporanea

perturbazione permanente

Numero di cellule secretrici - N (Cappio-Borlino et al., 1996)

differenziazione involuzione

Cellule inattive

Cellule attive

dN/dt = r1Ni - r2Na Na (t) = Ae-r1t + Be-r2t

Nelle vacche il turnover cellulare durante la lattazione è del 50% (Capuco et al., 2001)

Cellule senescenti

r1 = tasso di differenziazione

r2 = tasso di apoptosi

Un modello compartimentale semplice della curva di lattazione (Cappio-Borlino et al., 1999)

Indichiamo con q1 = q1(t) il numero di cellule non attive

con q2 = q2(t) il numero di cellule attive allo stesso tempo t

22112

111

qkqkdt

dq

qkdt

dq

Dove: K1 = tasso di attivazione K2 = tasso di disattivazione

tktk ekk

QkQe

kk

Qktq 21

12

112

12

112 )(

La soluzione generale del sistema di equazioni differenziali è la funzione

Q1=cellule non attive a t=0Q2= cellule attive a t = 0

0

500

1000

1500

2000

2500

0 5 10 15 20 25 30 35

settimane

pro

du

zio

ne

gio

rnal

iera

(g

)

Se consideriamo il caso in cui le cellule si attivano con unsingolo impulso, si ha:

222 qk

dt

dq

tkeQtq 222 )(

Il cui integrale generale è il seguente

0

500

1000

1500

2000

2500

0 5 10 15 20 25 30 35

settimane

pro

du

zio

ne

gio

rnal

iera

(g

)

ce llu le ina ttive

a ttivazione

ce llu le a ttive

tasso d i a ttivaz ionetasso d i d isa ttivazione

d isa ttivazione

Nonostante il modello si sia dimostrato particolarmente adatto per

descrivere con accuratezza una vasta gamma di curve di lattazione delle

specie bovina, caprina ed ovina, la sua capacità esplicativa è molto limitata

in raffronto al fenomeno della lattazione che invece è altamente complesso.

Diagramma Stella del modello Bicompartimentale della curva di lattazione

I valori da inserire nel modello [lattazione di pecore di razza Sarda] sono

(grammi di latte prodotto al giorno).

Cellule inattive = 6911

Tasso di attivazione = .0671

Attivazione = cellule inattive * tasso di attivazione

Cellule attive = 1500

Tasso di disattivazione = .1633

Disattivazione = cellule attive * tasso di disattivazione

Modello della mammella (Dimauro et al., 2006)

Cellule inattive (Ni)

Cellule attive (N)

dL/dt = (r1Ni - r2Na)*k

Cellule senescenti (Na)

r1 = tasso di differenziazione

r2 = tasso di apoptosi

k = ritmo di secrezione cellulare

Latte (L)

)1( Dtf ekk

parto

Curva di lattazione: evoluzione del numero di cellule(N)[ + differenziazione – involuzione]

N = numero di cellule

parto

Curva di lattazione : efficienza di sintesi cellulare (K)

K = efficienza cellule

parto

Curva di lattazione

N = numero di cellule

K = efficienza cellule

Latte = N x K

(Capuco et al., 2001)

parto

Curva di lattazione

0

500

1000

1500

2000

2500

0 50 100 150 200

Days in milking (DIM)

Dai

ly m

ilk y

ield

(g)

Le perturbazioni della curva di lattazione possono essere:

Temporanea attribuibile a KPermanente, attribuibile a N