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L’augmentation de l’arête-connexitédans les graphes
Etudiant : Neil JAMI
Tuteur : Zoltán SZIGETI26 Mai 2010
ENSIMAG 2A
Plan
Définitions sur les graphes et hypergraphes
Présentation du sujet
Résultat trouvé
Idée de démonstration
Conclusion
Définitions (1/4)
1 2 3 4 5
4 1 3 2 5
Graphe simple G
Graphe de permutation G
Permutation p
p
1
2
3
4
51
2
3
45
1
2
3
4
5
Graphe de permutation
Définitions (2/4)
- 5 sommets: {1,2,3,4,5} :
• {1,2,4}• {2,3}• {4,5}• {3,4,5}
- 4 hyperarêtes:
1
2
3
4
5
21
3
45
Hypergraphe H
Hypergraphe
Définitions (3/4)
Hypergraphe H
1 2 3 4 5
4 1 3 2 5
Permutation p
Hypergraphe de permutation H p
Hypergraphe de permutation
Définitions (4/4)
Graphe connexe :Il existe une chaîne entre n’importe quelle paire de sommets.
Graphe k-arête-connexe : En enlevant k-1 arêtes, le graphe résultant est connexe.
Hypergraphes : mêmes définitions.
Arête-connexité
Présentation du sujet (1/3)Augmenter l’arête-connexité d’un graphe:
• par ajout d’arêtes.
Comment :
Contraintes techniques :
• nombre limité d’arêtes que l’on peut rajouter.• arêtes interdites entre certains sommets.
Contraintes de coût :
• soit les arêtes ajoutées ont un même coût:=> on minimise le nombre d’arêtes ajoutées
• soit les arêtes ont un coût différent.
Présentation du sujet (2/3)Maximiser l’arête-connexité d’un graphe de permutation:
• en choisissant une bonne permutation.
Comment :
Contrainte :
• k est fixé, et on cherche l’existence d’un graphe de permutation k-arête-connexe.
Présentation du sujet (3/3)
Cas des graphes simples:
Théorème (Goddard, Raines, Slater) :
Soit G un graphe simple de degré minimal k-1.
Il existe une permutation π telle que G soit k-arête-connexe
si et seulement si
• k est pair, ou
• G n’est pas de la forme 2 K .k
p
2 K5
Résultat trouvé (1/5)
Généralisation pour les Hypergraphes
Théorème :
Soit H un hypergraphe.
Il existe une permutation π telle que H soit k-arête-connexe
si et seulement si
Pour tout ensemble de sommets X, il existe au moins k-|X| hyperarêtessortantes de X, et
H n’est pas constitué de 2 composantes connexes de k sommets, avec k impair.
p
Idée de démonstration (1/4)
Condition nécessaire : preuve par l’absurde
Condition suffisante : recherche d’un permutation
- extension
- splitting off complet k-admissible
Idée de démonstration (2/4)
La condition 1 est nécessaire:exemple: k=3
X: 2 sommets, d (X) = 0H
Idée de démonstration (2/4)
La condition 1 est nécessaire: exemple: k=3
X: 2 sommets, d (X) = 2 < 3 H ’
Coupe trop petite
Idée de démonstration (2/4)
La condition 2 est nécessaire: exemple: k=3
Idée de démonstration (2/4)
La condition 2 est nécessaire: exemple: k=3
Idée de démonstration (2/4)
La condition 2 est nécessaire: exemple: k=3
Coupe trop petite
Idée de démonstration (3/4) Ces 2 conditions sont suffisantes:
Idée de démonstration (3/4) Ces 2 conditions sont suffisantes:
Idée de démonstration (3/4) Ces 2 conditions sont suffisantes: extension.
d’après la condition 1, cet hypergraphe est k-arête connexe.
s
Idée de démonstration (4/4) Ces 2 conditions sont suffisantes: splitting off k-admissible.
s
Idée de démonstration (4/4) Ces 2 conditions sont suffisantes:
splitting off complet entre les 2 copies de Hs
Idée de démonstration (4/4) Ces 2 conditions sont suffisantes:
on utilise le théorème suivant:
Théorème (Bernáth, Grappe, Szigeti) :
Soit G = (V+s,ε) un hypergraphe, où s est incident uniquement à
des arêtes, et P une coloration de ces arêtes.
Il existe un splitting off k-admissible colorié complet dans G si et seulement si
1. Chaque couleur contient au plus ½ d(s) arêtes,
2. G est k-arête-connexe,
3. d(s) ≥ 2 ω (G – s) et est pair,
4. G ne contient pas d’obstacle.k
Les hypothèses sont vérifiées d’après les conditions 1 et 2.
Conclusion
Une généralisation du théorème a été trouvée…
Aperçu du travail en recherche
Quelques difficultés dans la recherche d’informations.
Merci pour votre attention !