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Ejercicios con Operaciones DifusasM.Sc. Ricardo Rodrıguez Bustinza

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Indice

1. Operaciones en Conjuntos Difusos 21.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Extensiones de Operaciones en Conjunto Difusos 62.1. Complemento Difuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Union Difusa - Norma S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3. Interseccion Difusa - Norma T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1

1 OPERACIONES EN CONJUNTOS DIFUSOS

1. Operaciones en Conjuntos Difusos

Los conceptos basicos de las operaciones en conjuntos difusos introducidos en la seccion anterior, concier-nen solo a conjuntos difusos. En esta seccion estudiaremos las operaciones basicas de los conjuntos difu-sos. Nosotros asumiremos que los conjuntos difusos A y B se definen en el mismo universo de discursoU .

1.1. Definicion

La igualdad, contencion, complemento, union y interseccion de dos conjuntos difusos A y B se definen dela siguiente forma:

1. IgualdadSe dice que A y B son iguales si y solo si:

µA(x) = µB(x) ∀x ∈ U

2. ContencionSe dice que B contiene a A, denotado por A ⊂ B, si y solo si:

µA(x)≤ µB(x) ∀x ∈ U

3. ComplementoEl complemento de A es un conjunto difuso A en U y su funcion de pertenencia es definida por:

µA(x) = 1−µA(x) =⇁ µA(x) (1)

Propiedades

Propiedad del medio excluido: µA∨⇁ µA = 1Propiedad de la contradiccion: µA∧⇁ µA = ϕPropiedades: ⇁ 1X = ϕ ⇁ ϕ = 1X

Las leyes del medio excluıdo y contradiccion no son satisfechas en logica difusa, tal como lo indi-can los siguientes lemas:

Lema 1: Ley del medio excluıdo no valida: Sea µA(x) = 1/2, ∀x ∈ R, entonces:

(⇁ µA∨µA)(x) = max{⇁ µA(x),µA(x)}= max{1− 12,12}= 1

2= 1

Lema 2: Ley de la contradiccion no valida: Sea µA(x) = 1/2, ∀x ∈ R, entonces:

(⇁ µA∧µA)(x) = min{⇁ µA(x),µA(x)}= min{1− 12,12}= 1

2= 0

Nota: En logica difusa se satisface la ley D’Morgan.

⇁ (µA∧µB) =⇁ µA∨⇁ µB

⇁ (µA∨µB) =⇁ µA∧⇁ µB

M.Sc. Ricardo Rodrıguez Bustinza 2

1.1 Definicion 1 OPERACIONES EN CONJUNTOS DIFUSOS

4. Union

La union (disyuncion) de A y B es un conjunto difuso en U , denotado por A∪B, donde su funcionde pertenencia es definida por:

µA∪B(x) = max[µA(x),µB(x)] (2)

5. Interseccion

La interseccion (conjuncion) de A y B es un conjunto difuso en U , denotado por A∩B, donde sufuncion de pertenencia es definida por:

µA∩B(x) = min[µA(x),µB(x)] (3)

Podemos preguntarnos por que usamos “max” para la union y “min” para la interseccion; daremosuna explicacion intuitiva. Una manera intuitiva de definir la union es la siguiente: la union de A y Bes el conjunto difuso mas pequeno que contiene A y B. mas precisamente, si C es cualquier conjuntodifuso que contiene A y B, entonces tambien contiene la union de A y B. Entonces esta definicionintuitiva es equivalente a (2), notamos primero, que A∪B definida en (2) contiene a ambos A y Bporque max[µA,µB]≥ µA y max[µA,µB]≥ µB. Ası mismo si C es un conjunto difuso que contienea ambos A y B, entonces µC ≥ µA y µC ≥ µB. Ası mismo µC ≥ max[µA,µB] = µA∪B que produceque A∪B sea definida por (2) que es un conjunto difuso pequeno que contiene a ambos A y B. Lainterseccion definida por (3) puede justificarse de la misma manera.

Ejercicio # 1

Podemos definir el conjunto “Carros Americanos en la UNI” que denotamos por D, como un conjunto di-fuso de acuerdo al porcentaje de las partes de los carros que estan hechos en los EE.UU. Especıficamente,D esta definido por la funcion de pertenencia:

µD(x) = p(x) (4)

Donde p(x) es el porcentaje de las partes de los carros x hechos en Estados Unidos, y ellos toman valoresdesde 0% hasta 100%. Por ejemplo, si un carro en particular x0 tiene el 60% de las partes hechos enlos EE.UU. entonces nosotros decimos que el carro x0 pertenece al conjunto difuso D con un gradode pertenencia de 0.6. Similarmente podemos definir el conjunto “Carros no Americanos en la UNI”,denotado por F , como un conjunto difuso que tiene la funcion de pertenencia:

µF(x) = 1− p(x) (5)

Donde p(x) es el mismo que en (4). Ası, si un carro particular x0 tiene 60% de sus partes hechos enlos EE.UU., entonces nosotros decimos que el carro x0 pertenece al conjunto difuso F con un grado depertenencia de 1−0.6= 0.4. La Figura 1 muestra las ecuaciones (4) y (5). Claramente, un elemento puedepertenecer a conjuntos difusos diferentes a los mismos o a diferentes grados.

p=0:100;

ud=p/100; % Carros Americanos

uf=1-ud; % Carros no Americanos

plot(p,ud,’k’,p,uf,’b’)



0 50 100−0.5

0

0.5

1

1.5

µF

µD

Figura 1: Funciones de pertenencia para los carros Americanos (µD) y no Americanos (µF).

Ejercicio # 2

Considere dos conjuntos difusos D y F definidos por las ecuaciones (4) y (5), tal como se muestra en laFigura 1.

El complemento de F , F , es un conjunto difuso definido por:

µF(x) = 1−µF(x)

= 1− p(x) (6)

Que es mostrado en la Figura 2. Comparando (6) con (5) vemos que F = D. Esto tiene el sentido porquesi un carro no es un carro Americano (que es el complemento medio de F intuitivamente), entonces debeser un carro Americano.

ufn=1-uf;

plot(p,ufn,’k’)

hold

plot(p,uf,’r’)

0 50 100−0.5

0

0.5

1

1.5

µF

µ~F

Figura 2: Las funciones de pertenencia para F y F .

La union de F y D es un conjunto difuso F ∪D (ver Figura 3.) definido por:



µF∪D(x) = max[µF ,µD] =

{µF(x) si 0 ≤ p(x)≤ 0.5µD(x) si 0.5 ≤ p(x)≤ 1

(7)

Para realizar el ploteo de la union usamos el comando max de MATLAB:

union_fd = max(uf,ud);

plot(p,union_fd,’k’), hold

plot(p,ud,’k:’)

plot(p,uf,’k:’)

0 50 100−0.5

0

0.5

1

1.5

µF ∪ D

Figura 3: Funcion de pertenencia F ∪D.

La interseccion de F y D es un conjunto difuso F ∩D (ver Figura 4) definido por:

µF∩D(x) = min[µF ,µD] =

{µF(x) si 0 ≤ p(x)≤ 0.5µD(x) si 0.5 ≤ p(x)≤ 1

(8)

Para realizar el ploteo de la union usamos el comando min de MATLAB:

inter_fd = min(uf,ud);

plot(p,inter_fd,’k’), hold

plot(p,ud,’k:’)

plot(p,uf,’k:’)

0 50 100−0.5

0

0.5

1

1.5

µF ∩ D

Figura 4: Funcion de pertenencia F ∩D.


2 EXTENSIONES DE OPERACIONES EN CONJUNTO DIFUSOS

2. Extensiones de Operaciones en Conjunto Difusos

En esta seccion estudiaremos otros tipos de operadores para el complemento, union, y interseccion deconjuntos difusos. Nos preguntamos porque es necesario estudiar estos tipos de operadores?. La principalrazon es que los operadores descritos en (1), (2) y (3) no satisfacen algunas situaciones. Por ejemplo,cuando queremos tomar la interseccion de dos conjuntos difusos nosotros queremos un conjunto difusomas grande para tener un impacto en el resultado. Pero si usamos el operador min de (3) el conjunto difusomas grande no tendra el impacto. Los nuevos operadores se propondra en las bases de axiomas. Podemosempezar con los axiomas del complemento, union y interseccion que satisfacen un orden de calificacionde estas operaciones.

2.1. Complemento Difuso

Sea c : [0,1]→ [0,1] un mapeo tal que transforma la funcion de pertenencia del conjunto difuso A en lafuncion de pertenencia del complemento de A, es dado por:

c[µA(x)] = µA(x) (9)

En el caso de (1), c[µA(x)] = 1− µA(x). En el orden para la funcion c para ser calificada como comple-mento, debe satisfacer por lo menos dos requisitos:

Axioma c1. c(0) = 1 y c(1) = 0 (condicion de lımite)

Axioma c2. Para todo a y b ∈ [0,1], si a < b, entonces c(a) ≥ c(b) (condicion de no incremento).Donde a y b denotan funciones de pertenencia en muchos conjuntos difusos, es decir, a = µA(x) yb = µB(x).

El axioma c1 muestra que si un elemento pertenece a un conjunto difuso de grado cero (uno), entonces elpertenence al complemento de este conjunto difuso de grado uno (cero). El axioma c2 requiere incremen-tar el valor de la funcion de pertenencia debe resultar decreciente o sin cambio en el valor de la funcionde pertenencia para el complemento. Claramente la violacion de estos dos requirimientos resulta en unoperador no aceptable para el complemento.

2.2. Union Difusa - Norma S

Sea s : [0,1]× [0,1] → [0,1] un mapeo tal que transforma la funcion de pertenencia de los conjuntosdifusos A y B en la funcion de pertenencia de la union de A y B, es dado por:

s[µA(x),µB(x)] = µA∪B(x) (10)

En el caso de (2), s[µA(x),µB(x)] = max[µA(x),µB(x)]. En el orden para la funcion s para ser calificadacomo la union, debe satisfacer por lo menos cuatro requisitos:

Axioma s1. s(1,1) = 1, s(0,a) = s(a,0) = a (condicion de lımite)

Axioma s2. s(a,b) = s(b,a) (condicion conmutativa)

Axioma s3. Si a ≤ a′ y b ≤ b′, entonces s(a,b)≤ s(a′,b′) (condicion no decreciente)

Axioma s4. s(s(a,b),c) = s(a,s(b,c)) (condicion asociativa)


2.2 Union Difusa - Norma S 2 EXTENSIONES DE OPERACIONES EN CONJUNTO DIFUSOS

El axioma s1 indica que la funcion union debe estar en los casos extremos. El axioma s2 asegura queel orden en que los conjuntos difusos se combinan no tiene la influencia en el resultado. El axiomas3 muestra un requerimiento natural para la union: un incremento en los valores de las funciones depertenencia en dos conjuntos difusos puede resultar un incremento en los valores de las funciones depertenencia de la union de dos conjuntos difusos. El axioma s4 muestra el uso extendido de la operacionunion para mas de dos conjuntos difusos.

Definicion

Cualquier funcion s : [0,1]× [0,1] → [0,1] que satisface los axiomas s1-s4 son llamados una norma-s.Listamos algunas de ellas:

1. Suma Drastica:

ssd(a,b) =

a si b = 0b si a = 01 otro caso

(11)

2. Suma de Lukasiewicz:

ssl(a,b) = min{1,a+b} (12)

3. Suma de Einstein:

sse(a,b) =a+b

1+ab(13)

4. Suma Algebraica:

ssa(a,b) = a+b−ab (14)

5. Maximo:

sm(a,b) = max{a,b} (15)

Por que tantas normas-s se propusieron en la literatura?. La razon teorica es que ellos se ponen identi-cos cuando los valores de la pertenencia se restringen a poner cero o uno; es decir, ellos son todas lasextensiones del conjunto union no difusa. La razon practica es que algunas normas-s pueden ser massignificantes que otras en algunas aplicaciones.

Teorema

Para algunas normas-s, esto es, para una funcion s : [0,1]× [0,1]→ [0,1] que satisface los axiomas s1-s4,se sostiene la siguiente desigualdad:

max(a,b)≤ s(a,b)≤ ssd(a,b) (16)

para todo a,b ∈ [0,1].


2.3 Interseccion Difusa - Norma T2 EXTENSIONES DE OPERACIONES EN CONJUNTO DIFUSOS

2.3. Interseccion Difusa - Norma T

Sea t : [0,1]× [0,1] → [0,1] es una funcion que transforma la funcion de pertenencia de los conjuntosdifusos A y B en la funcion de pertenencia de la interseccion de A y B, es dado por:

t[µA(x),µB(x)] = µA∩B(x) (17)

En el caso de (3), t[µA(x),µB(x)] = min[µA(x),µB(x)]. En el orden para la funcion t para ser calificadacomo la interseccion, debe satisfacer por lo menos cuatro requisitos:

Axioma t1. t(0,0) = 0, t(a,1) = t(1,0) = a (condicion de lımite)

Axioma t2. t(a,b) = t(b,a) (condicion conmutativa)

Axioma t3. Si a ≤ a′ y b ≤ b′, entonces t(a,b)≤ t(a′,b′) (condicion no decreciente)

Axioma t4. t(t(a,b),c) = t(a, t(b,c)) (condicion asociativa)

Estos axiomas deben de justificarse de la misma manera que los Axiomas s1-s4.

Definicion

Cualquier funcion t : [0,1]× [0,1] → [0,1] que satisface los axiomas t1-t4 son llamados una norma-t.Listamos algunas de ellas:

1. Producto Drastico:

tpd(a,b) =

a si b = 1b si a = 10 otro caso

(18)

2. Diferencia de Lukasiewicz:

tdl(a,b) = max{0,a+b−1} (19)

3. Producto de Einstein:

tpe(a,b) =ab

2− (a+b−ab)(20)

4. Producto Algebraico:

tpa(a,b) = ab (21)

5. Mınimo:

tm(a,b) = min{a,b} (22)



Teorema

Para algunas normas-t, esto es, para una funcion t : [0,1]× [0,1]→ [0,1] que satisface los axiomas t1-t4,se sostiene la siguiente desigualdad:

tpd(a,b)≤ t(a,b)≤ min(a,b) (23)

para todo a,b ∈ [0,1].

Ejercicio # 3

Sea la norma-t Lukasiewicz: t(a,b)=max{a+b-1,0}, ∀ a,b ∈ U = {−2,−1,0,1,2,3,4} y sean losconjuntos difusos:

A =0.0−2

+0.3−1

+0.60

+1.01

+0.62

+0.33

+0.04

B =0.1−2

+0.3−1

+0.90

+1.01

+1.02

+0.33

+0.24

cuya representacion en el universo de discurso es dado en la Figura 5.

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Universo

µ

AB

Figura 5: Conjutos difusos A y B en el universo de discurso U .

La interseccion usando el operador min de A y B toma la siguiente forma:

A∩B =0.0−2

+0.3−1

+0.60

+1.01

+0.62

+0.33

+0.04

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Operador: min(A,B)

Universo

µ

Figura 6: Interseccion de los conjutos difusos A y B usando mınimo.



Aplicamos la operacion de la norma-t de Lukasiewicz para el tercer termino:

max{0.6+0.9−1,0}= max{0.5,0}= 0.5

en forma analoga encontramos la pertenencia para los demas elementos de la interseccion. Resul-tando:

t(a,b) = {0 0 0.5 1 0.6 0 0}

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Operador: max(A+B−1,0)

Universo

µ

Figura 7: Interseccion de los conjutos difusos A y B usando operador max de Lukasiewicz.

Sea la norma-s de Lukasiewicz: s(a,b)=min{a+b,1}, ∀ a,b ∈ U = {−2,−1,0,1,2,3,4} y sean losconjuntos difusos A y B. Entonces la union de A y B toma la siguiente forma:

A∪B =0.1−2

+0.6−1

+1.00

+1.01

+1.02

+0.63

+0.24

aplicamos la operacion de la norma-s para el segundo termino:

0.6 = mın{0.3+0.3,1}= mın{0.6,1}

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Universo

µ

Operador: min(A+B,1) vs max(A,B)

A∪ Bs−−norma

Figura 8: Union de los conjutos difusos A y B usando operador min de Lukasiewicz.


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