1

Le analisi statistiche regionaliGeneralità (trasparente)unica possibile se mancano daticonsigliabile anche in presenza di datil'analisi globale richiede la similitudine idrologica (su base fisica)classificazione: analisi basate sulle distribuzioni di probabilità

curve inviluppo e formule affini

Curve inviluppo e formule affiniportata "catastrofica"curva inviluppo U = f(A ) (trasparente)espressioni analitiche: Forti etc. (trasparente)formula di Gherardelli-Marchetti (due trasparenti)

U = U 100 (A /100)-2 /3

bacini impermeabili 0,40÷19,78 m3/ sbacini permeabili 0,22÷13,62 m3/ sformula valida per A> 5÷10 km2

T circa uguale a 100 anni

Analisi basate sulle distribuzioni di probabilità (trasparente)classificazione: metodo parametrico

metodo della portata indice(legge di crescita)metodo della regressione dei quantili

scelta della distribuzioneGumbellognormale a due parametriGamma a due parametriGEVTCEVWakeby

condizione di separazione (trasparente, appunti)uso per portate al colmo o medie giornaliere

metodo parametrico: definizione (trasparente)esempio di applicazione: formule di Lazzari (trasparente)

metodo della portata indice: definizione (trasparente)esempio di applicazione: formule di Tonini (trasparente)esempio di applicazione: Dora Baltea (quattro trasparenti)

metodo della regressione dei quantili

2

Determinazione di un idrogramma di pienaProblema del dimensionamento di uno sfioratore (trasparente)Analisi delle portate al colmo laminate e confronto con il progettoIdrogramma di piena artificiale:

è nota Q (T), occorre determinare l'idrogramma

Esempio di idrogramma registrato (trasparente)Procedimento approssimato (ipotesi di Common)

- a parità di volume V , dividendo le ascisse e moltiplicando leordinate per tp gli idrogrammi si sovrappongono;

- dividendo le ordinate per V tutti gli idrogrammi si sovrappongono (trasparenti)

Occorre conoscere tp e V (in pratica qp e V ) per determinare l'idrogramma di piena dimensionale (trasparente)

- qp si assume uguale a Q (T)- V si ricava dalla relazione che esprime la dipendenza

media di V da q p (trasparente)

Piene: analisi statistiche regionali

Motivazioni:

- sopperire alla mancanza di osservazioni- integrare le osservazioni disponibili

Assunzione di base:

esistenza della similitudine idrologica tra bacini

Metodo di regionalizzazione:

- uso di distribuzioni di probabilità- uso di curve inviluppo

Curva inviluppo (aggiornata al 1970) delle portate al colmo deicorsi d'acqua della Liguria (Moisello, 1998)

0

5

1 0

1 5

2 0

2 5

U [

m3

s-1

km

-2 ]

0 2 5 0 5 0 0 7 5 0 1 0 0 0

A [km2]

Formule per la massima portata al colmo

U = a

A + b + c

U portata al colmo specificaA area del bacinoa, b, c parametr i

FortiA non superiore a 1000 km2altezza di precipitazione massima di 200oppurealtezza di precipitazione massima di 400 mm in 24 h

De Marchiarea inferiore a 150 km2altezza di precipitazione di 400 mm in 12 h

Scimemiarea inferiore a 1000 km2

Pagliaroarea inferiore a 1000 km2.

Parametri delle formule di Forti, De Marchi ePagliaro

U in metri cubi al secondo per kilometro quadratoA in kilometri quadrati

Formula a b cForti (200 mm in 24 h) 1 1 2 5 1 2 5 0,5Forti (400 mm in 24 h) 1 6 2 5 1 2 5 1De Marchi 3 0 0 0 1 2 5 5Scimemi 6 0 0 1 0 1Pagliaro 2 9 0 0 9 0 0

Relazione tra area A del bacino e massimo osservato della portata alcolmo specifica U (Marchetti, 1955; Moisello, 1998)

0.001

0.01

0.1

1

10

100

1000

U [

m3

s-1

km

-2 ]

1 10 100 1000 10000 100000

A [km2]

U100 = 20 m3 s -1 k m- 2

U100 = 0,2 m3 s-1 k m-2

Formula di Gherardelli-Marchetti

Dal grafico:

AbaU lnln +=

bb cAaAU == exp

Per A = 100 km2:

bcU 100100 =

b

Uc

100100=

Sostituendo:

bA

UU

=100100

Formula di Gherardelli-Marchetti

U = U 100

A

1 0 0 -2

3

Analisi basate sull 'uso di distribuzioni diprobabi l i tà

Scelta della distribuzione

Metodo di assegnazione della distribuzione diprobabil i tà:

- metodo parametrico- metodo della portata indice- metodo della regressione dei quantili

Introdurre delle relazioni tra parametri delladistribuzione e parametri del bacino o traportata indice e parametri del bacino equivale atener conto in qua lche modo de l latrasformazione afflussi-deflussi.

Eventuale necessità di trasformare le portatemedie giornaliere in portate al colmo

La condizione di separazione

Il problema

Data una qualunque distribuzione di probabilità, la stima del coefficiente di asimmetria γ ricavatada un campione di dimensione N costituisce una variabile casuale, la cui distribuzione haovviamente una propria media e una propria varianza.Matalas, Slack e Wallis (1975) hanno determinato (per via numerica, con il metodo Montecarlo)la dipendenza della media e dello scarto quadratico medio della stima del coefficiente diasimmetria γ dalla dimensione N del campione per sette distribuzioni di probabilità: normale,uniforme, lognormale a tre parametri, Gamma a tre parametri, Gumbel, Weibull e Pareto a treparametri.Per effettuare le elaborazioni hanno assunto la media della variabile uguale a zero e lo scartoquadratico medio uguale a uno. (In effetti la normalizzazione della variabile originaria lasciainalterato il valore del coefficiente di asimmetria.) Per le quattro distribuzioni a tre parametri(lognormale, Gamma, Weibull e Pareto) hanno preso in considerazione diversi valori delcoefficiente di asimmetria.I risultati si possono rappresentare graficamente riportando in un piano cartesiano,rispettivamente in ascisse e in ordinate, la media e lo scarto quadratico medio della stima delcoefficiente di asimmetria γ (ogni grafico corrisponde a un particolare valore della dimensione Ndel campione). Per le distribuzioni a due parametri la relazione tra media e scarto quadraticomedio della stima di γ è rappresentata da un punto; per quelle a tre parametri da una curva(ottenuta collegando i punti che corrispondono ai diversi valori considerati del coefficiente diasimmetria). Vale la pena di osservare che la media della stima di γ, che costituisce l'ascissa delpunto, è generalmente diversa dal valore vero di γ corrispondente alla distribuzione da cui icampioni sono stati estratti.Gli autori hanno inoltre effettuato un'indagine sperimentale, utilizzando le osservazionieffettuate in più di 1000 stazioni di portata degli Stati Uniti. L'indagine è stata condottasuddividendo tutte le stazioni in 14 gruppi, corrispondenti a regioni degli Stati Uniti considerateidrologicamente omogenee.Le serie di osservazioni di massimi annuali di portata provenienti dalle stazioni appartenenti auna stessa regione sono state suddivise in diverse serie parziali più brevi di lunghezza assegnataN e per ciascuna serie parziale è stato stimato il valore del coefficiente di asimmetria γ. Quindisono state stimate la media e la varianza di tutte le stime di γ ottenute dalle serie di dimensione Ndi una stessa regione.Su uno stesso grafico (corrispondente alla dimensione N considerata) gli autori hanno quindiriportato sia i punti e le linee che rappresentano la relazione teorica tra la media e lo scartoquadratico medio della stima di γ per le sette distribuzioni considerate, sia i 14 punti cherappresentano la relazione empirica tra la media e lo scarto quadratico medio delle stime delcoefficiente di asimmetria trovata per le 14 regioni omogenee.

I punti sperimentali, ciascuno dei quali ha come ascissa e come ordinata la media e lo scartoquadratico medio della stima di γ corrispondenti a una particolare regione, si trovano sempre piùin alto delle linee teoriche. In altre parole, la varianza dei valori osservati del coefficiente diasimmetria risulta sempre maggiore di quella teorica, quale che sia la distribuzione considerata.A questa circostanza è stato dato il nome di condizione di separazione.E` stato successivamente verificato che alcune distribuzioni a più di due parametri - la leggeWakeby, la legge dei valori estremi a due componenti (Two Components Extreme Value,TCEV) e la legge logistica generalizzata (Generalized Logistic, GLG) (oppure la sua formalogaritmica, Log-logistic, LLG) (Cunnane, 1989) - permettono di ottenere valori teorici dellavarianza del coefficiente di asimmetria che non dànno luogo alla condizione di separazione. Sipresenta però il problema della stima dei parametri, il cui numero è troppo alto per poter fareaffidamento sui risultati ottenuti attraverso un'analisi locale. Per utilizzare queste distribuzioni,che interpretano meglio la realtà, occorre necessariamente fare ricorso alle analisi regionali.

Osservazioni

La condizione di separazione si regge in modo essenziale sull'ipotesi che all'interno di unaregione omogenea la distribuzione del massimo annuale della portata sia sempre caratterizzata,indipendentemente dal bacino considerato, dallo stesso valore del coefficiente di asimmetria.In realtà, l'ipotesi è arbitraria e non corrisponde alla realtà, come è stato fatto osservare daKlemes (1976).Se si definisce l'omogeneità dei bacini di una stessa regione come l'esistenza di un legame discala, la condizione di separazione si può spiegare come la conseguenza di un'ipotesi arbitraria(quella dell'uniformità spaziale del coefficiente di asimmetria) (Dawdy e Gupta, 1995). Ilcoefficiente di asimmetria resta infatti effettivamente costante passando da un bacino all'altrodella stessa regione omogenea, quando l'omogeneità è definita come l'esistenza di un legame discala semplice tra le portate delle diverse stazioni, cioè quando il rapporto tra le portate conuguale tempo di ritorno è una potenza con esponente costante del rapporto tra le aree deirispettivi bacini idrografici. Ma non è più così, quando l'omogeneità è definita come l'esistenzadi un legame di scala multipla, quando cioè il rapporto tra le portate con uguale tempo di ritornoè ancora una potenza del rapporto tra le aree dei rispettivi bacini, ma con esponente che a suavolta dipende dal tempo di ritorno. Ora, l'ipotesi dell'esistenza di un legame di scala semplicenon appare corretta, perchè implica la costanza del coefficiente di variazione, in contrasto conl'esperienza, che ne mostra la dipendenza dall'area (per aree non piccolissime, il coefficiente divariazione decresce al crescere dell'area) (Dawdy, 1961; Benson, 1962; Dawdy e Gupta,1995). Poichè nega l'uniformità del coefficiente di asimmetria, l'ipotesi di un legame di scalamultipla può spiegare la variabilità osservata della stima del coefficiente.

Bibliografia citata

Benson, M.A. 1962. Factors influencing the occurrence of floods in a humid region of diverseterrain, U.S. Geol. Surv. Water Supply Pap. 1580 B.

Cunnane, C. 1989. Statistical Distributions for Flood Frequency Analysis, OperationalHydrology Report n. 33, Ginevra, World Meteorological Organization.

Dawdy, D.R. 1961. Variation of flood ratios with size of drainage areas, U.S. Geol. Surv.Prof. Pap., 424-C, Art. 160.

Dawdy, R.D.; Gupta, V.K. 1995. "Multiscaling and skew separation in regional floods",Water Resources Research, vol. 31, n. 11.

Klemes∨ , V. 1976. "Comment on 'Regional Skew in Search of a Parent' by N. C. Matalas, J.R. Slack, and J. R. Wallis", Water Resources Research, vol. 12, n. 6.

Matalas, N.C.; Slack, J.R.; Wallis, J.R. 1975. "Regional skew in search of a parent", WaterResources Research, vol. 11, n. 6.

Legame di scala semplice:

Q1(T)Q2(T) =

A1

A2

a

ImplicaCV(Q1) = CV(Q2)

γ(Q1) = γ(Q2)

Legame di scala multipla:

Q1(T)Q2(T) =

A1

A2

a(T)

Non implicaCV(Q1) = CV(Q2)

γ(Q1) = γ(Q2)

Analisi statistiche regionali

Metodo parametrico

Esempio:

Q distr ibuita secondo una distr ibuzionelognormale, rappresentata dalla relazione

lnQ (T ) = µ (lnQ ) + z(T )σ (lnQ )

dove z è la variabile gaussiana standardizzata.

Si assume che i due parametri µ ( lnQ ), σ ( lnQ )siano funzioni delle grandezze caratteristichedel bacino (per esempio dell'area).

Esempio di metodo parametrico

Formule di Lazzari

Q portata al colmo (in metri cubi al secondo)

T tempo di ritorno (in anni)

z variabile gaussiana standardizzata

A area del bacino (in metri quadrati)

z m altezza media del bacino (in metri)

Sardegna occidentale:

log Q (T ) = 0,3583z(T ) + 0,956 log (A z m ) - 9 ,0274

Sardegna orientale:

log Q (T ) = 0 ,4413z(T ) + 0,746 log (A z m ) - 6 , 2 5 7

Analisi statistiche regionali

Metodo della portata indice

Portata al colmo adimensionalizzata:

X = Q /Q ind ice

Spesso Q indice = µ(Q ) .

Legge di crescita:

X = f(P )

oppure

X = f(T )

Portata Q con tempo di ritorno T :

Q (T ) = X (T )Q indice

Esempio di metodo della portata indice

Formule di Tonini

Espressione della portata con tempo dir i torno T :

q (T ) = µ (q )(1 + 1,18 log T )

µ (q) portata indice

f(T ) = 1 + 1,18 log T legge di crescita

Particolare significato di T (q): q è il valor mediodelle portate superiori a quella con probabilitàdi non superamento

P = 1 - 1 /T

Espressione della portata indice:

µ (q ) = C pA 0 ,8

Cp coefficiente di piena

Esempio di metodo della regressione dei quantili

Formule di Tonini, Bixio e Della Lucia per bacinidelle Dolomiti

q (100) = 0,271A 1 ,176

Q (100) = 0,651A 1 ,064

Esempio di applicazione del metodo dellaportata indice

Scopo: determinare la d ist r ibuzione diprobabilità del massimo annuale della portata alcolmo in una sezione priva di osservazioni dellaDora Baltea in Valle d'Aosta

Individuazione della legge di crescita

Regione considerata: Alpi centro-occidentali

Eliminazione dei bacini con area troppo ridotta

Eliminazione dei bacini con CV abnorme

Numero totale delle osservazioni 426

Portata indice: media µ (Q ) del massimo annualedella portata al colmo

Distribuzione di probabilità: Wakeby

Stima dei parametri: metodo dei momenti pesatiin probabilità (PWM)

Osservazioni (relative a bacini delle Alpi centro-occidentali) adoperateper l'indagine statistica regionale sulle massime portate di piena alcolmo annuali nella Valle d'Aosta

Bacino Periodo N A[km2]

m(Q)[m3 s-1]

s(Q)[m3 s-1]

CV(Q)

Dora Balteaa Ponte di Mombardone

1929 -1942 1 4 3 7 2 93 ,9 13 ,4 0 ,143

Ticino a Bellinzona 1921 -1968 4 8 1 5 1 5 897 ,4 308 ,0 0 ,343

Dora Baltea ad Aosta 1935 -1955 1 5 1 8 4 0 278 ,3 108 ,4 0 ,390

Adda a Fuentes 1927 -1969 4 3 2 5 9 8 602 ,6 247 ,1 0 ,410

Dora Baltea a Mazzè 1930 -1971 4 2 3 8 6 5 1133,0 507 ,8 0 ,448

Dora Ripariaa S. Antonino di Susa

1927 -1953 2 7 1 0 4 8 94 ,6 42 ,9 0 ,453

Toce a Candoglia 1933 -1964 3 2 1 5 3 2 1029,0 496 ,8 0 ,483

Dora Baltea a Tavagnasco 1920 -1985 6 2 3 3 1 3 773 ,6 408 ,3 0 ,528

Evançon a Champoluc 1951 -1970 2 0 101 ,8 24 ,7 15 ,0 0 ,607

Dora Riparia a Oulx 1928 -1956 2 8 2 6 2 45 ,8 28 ,7 0 ,627

Stura di Lanzo a Lanzo 1930 -1970 3 9 5 8 2 448 ,0 308 ,0 0 ,688

Orco a Pont Canavese 1928 -1970 4 1 6 1 7 453 ,2 323 ,6 0 ,714

Sesia a Ponte Aranco 1934 -1950 1 5 6 9 5 1320,5 1001 ,5 0 ,758

Individuazione della relazione tra portata indicee parametri del bacino

Stazioni considerate: sezioni della Dora Baltea

Relazione: portata indice µ(Q ) funzione dell'areaA del bacino

Problema della non contemporaneità delleosservazioni

Adimensionalizzazione delle medie dei diversiperiodi:

m (Q )* = m (Q )/m (Q T)

Adimensionalizzazione delle aree:

A * = A /A T

Relazione:

µ(Q )* = 0,102 × 100,993A*

Valle d'Aosta. Relazione tra area A * (adimensionale) del bacino emedia µ(Q)* (adimensionale) del massimo annuale della portata alcolmo. (Moisello, 1998)

Alpi centro-occidentali. Funzione di probabilità del massimo annualex (adimensionale) della portata al colmo. (Moisello, 1998)

0 .9

0.925

0.95

0.975

1

P

0 1 2 3 4 5

x

0

0 .5

1

1 .5

2

µ(Q

)*

0 0.25 0 .5 0.75 1 1.25

A *

µ(Q)* = 0,102 × 100 ,993A *

1944-1947, 1951-1952

1943, 1948-1950, 1953-1955

1935-1942

1930-1934

Determinazione dell'idrogramma di piena

Necessaria per i l dimensionamento deglisfioratori

Procedimento ideale di dimensionamento di unosfioratore

Utilizzazione di molti idrogrammi di pienaregistrati

Predimensionamento dello sfioratore

Simulazione del passaggio delle onde di pienanel serbatoio

Analisi statistica delle portate al colmo laminatein uscita

Controllo della congruenza della portata Q (T )con le dimensioni dello sfioratore

Eventuale ridimensionamento dello sfioratore eripetizione del procedimento

Individuazione dell'onda di piena (Moisello, 1998)

q

t

t0 tpq p

V

Cagayan a Uguiaban (Mindanao, Filippine). Relazione tra portata alcolmo q p e volume V dell'onda di piena. (Moisello, 1998)

0

1 0

2 0

3 0

4 0

V [

Mm

3]

0 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0

q p [ m3 s- 1 ]

V = 0,848 q p0,546

Individuazione della relazione media tra portata alcolmo q p e volume V

Assegnazione della portata al colmo q p con tempo di ritorno T

assegnato

Suddivisione nel tempo del volume dell'onda dip iena

Prima ipotesi:

dividendo per tp le ascisse e moltiplicando per tp

le ordinate, tutte le onde di piena con lo stessovolume V diventano sovrapponibili (le ascissesono adimensionali, le ordinate sono dei volumi;l'area sottesa resta uguale al volume V )

Seconda ipotesi

dividendo per V tutte le ordinate, tutte le ondedi piena diventano sovrapponibili(le ascisse t* = t/tp e le ordinate q * = qt p/V sonoentrambe adimensionali; l'area sottesa è ugualea uno)

Alcuni idrogrammi di piena, in forma adimensionale, del Cagayan aUguiaban (Mindanao, Filippine) (Moisello, 1998)

0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

q*

0 2 4 6 8

t*

1 9 8 6

1 9 8 5

1 9 7 9

Individuazione dell'idrogramma adimensionalemed io

0

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

0 . 5

0 . 6

q*

0 1 2 3 4 5 6 7

t*

Cagayan a Uguiaban (Mindanao, Filippine) O n d a di piena adimensionale media (Moisello, 1998)

Determinazione della portata al colmo qp con iltempo di ritorno T assegnato

Individuazione della relazione (media) traportata al colmo qp e volume V

Determinazione del volume V corrispondentealla portata al colmo qp con tempo di ritorno T

Determinazione dell'idrogramma adimensionalemedio:

- t * = t / tp

- q * = qt p /V- q* = f(t*)

Trasformazione dell'idrogramma adimensionalein idrogramma dimensionale:

- determinazione di tp = (V q p*)/ q p

- moltiplicazione di tutte le ascisse t* per tp

- moltiplicazione di tutte le ordinate q* per V /tp