Le Calcul des tunnels

1ENPC – Ouvrages Souterrains

Le Calcul des

tunnels

Laurent Bérend

Francis Lanquette

Hervé Thiébaut


➢ 1 :Panorama des méthodes de calcul ➢ Les méthodes semi-empiriques

➢ Les méthodes d’interaction➢ Les réactions hyperstatiques

➢ La méthode convergence confinement

➢ 2 : Les méthodes d’interaction suite➢ La méthode convergence/confinement (2/2)

➢ Exercices d’application

➢ 3 : Dernière séance➢ La méthode du solide composite

➢ Analyse particulière de la stabilité du front

Programme des 3 séances

➢Ajouter définition décousu


Première séance

➢Les méthodes semi-empiriques

➢Les méthodes d’interaction

➢Les réactions hyperstatiques

➢La méthode convergence confinement


Les méthodes semi-empiriques

Elles supposent une cinématique de rupture ou de décompression du terrain autour de l’ouvrage

Proposition d’une charge apportée par le sol sur le soutènement

Ex. Les méthode TERZAGHI - PROTODIAKONOV


La méthode de Terzaghi

Calcul du soutènement à partir d’une

hauteur de terrain décomprimée

(cloche) au-dessus de la voûte

Dimensions de la cloche en fonction des

caractéristiques du terrain



Avec pour les milieux rocheux

Hp = Hauteur de la surcharge de terrain au-dessus

de la voûte

B = Largeur de l’ouverture de l’ouvrage

Ht = Hauteur de la galerie

K = coefficient variable suivant la nature du terrain




Le chargement appliqué au soutènement et/ou au

revêtement résulte d’une calcul d’équilibre avec le

terrain.

Ces méthodes peuvent être analytiques (méthode

convergence-confinement) ou numériques (méthodes

des réactions hyperstatiques ou du solide composite).

Les méthodes d’interaction – principe général


La méthode des réactions hyperstatiques

Privilégie le rôle du soutènement

Action du terrain encaissant assimilé à des charges extérieures

Revêtement appuyé sur des ressorts dont la raideur (k) dépend des caractéristiques du terrain (module de réaction)

Chargements

Charges dites « actives » indépendantes de l’état de déformation du revêtement (chargement initial)

Charges dites « passives » résultant de l’équilibre de la structure (revêtement + ressorts)

Détail

k

Ressort radialRessort tangentiel

DETAIL






Point de départ

Participation du terrain à son propre soutènement lors de

l’excavation

Comportement du terrain associé à celui du soutènement ou du

revêtement pour assurer la stabilité de l’excavation

Le soutènement a pour objet de limiter la convergence de

l’excavation.

Une méthode analytique:

Convergence-Confinement


➢D’abord, une vue de l’esprit:

➢Le tube de longueur infinie dans un massif infini (problème plan, ou plutôt en déformations planes):

➢Avant l’existence du tube:

➢Le milieu intérieur est en équilibre avec le milieu extérieur

➢Il exerce une pression radiale sur ce milieu extérieur (pression de confinement), égale à la contrainte géostatique dans le massif.

➢On vide entièrement le tube, sur toute sa longueur:

➢La pression de confinement disparaît et le trou a tendance à se refermer (plus ou moins selon les caractéristiques mécaniques du milieu extérieur): c’est la convergence.(radiale)

➢Un soutènement est interposé:

➢Par sa déformation sous l’effet de la convergence, il exerce une pression de soutènement, et un équilibre va être trouvé avec la pression qu’exerce le milieu extérieur. Cet équilibre dépend de la convergence « libre » avant soutènement.

Point de départ de la méthode





Avantages et extension possible de la méthode

➢ Méthode permettant une approche analytique simple pour évaluer les chargements sur un soutènement

➢ Prise en compte d’une manière réaliste de l’effet de la 3D dans les cas suivants:

• Terrain monocouche mais à comportement élasto-plastique

• Cas des couvertures fortes (>2 à 3 F)

• Sans interaction avec environnement (bâti,…)

➢ Généralisation de l’approche par le taux de déconfinement pour simuler l’effet 3D sur une modélisation 2D plus complexe


Le milieu environnant

• Milieu Elastique Isotrope

• Module d’Young : E

• Sols Lâches: E = 20 à 100MPa

• Sols Compacts: E = 100 à 300 MPa

• Rochers: E = jusqu’à plusieurs fois 1000MPa

• Coefficient de Poisson : n

• Sols fins, compacts, saturés: n = 0.5 à court terme

• Autres terrains: n = 0.25 à 0.30

• Charge géostatique: s0

• Contrainte totale et contrainte effective

s = s’ + hw.gw


Variation de la pression fictive – taux de déconfinement


Déformation autour de l’excavation


Principe de variation du taux de déconfinement

Milieu Elastique Isotrope

• Formule de Lamé:

• u∞/R = s0/2G avec G = E / 2(1+n)

• Coefficient de déconfinement: l

• Définition: s = s0.(1-l)

• En élasticité linéaire: u = l.u∞

• Dans le cas du tunnel non soutenu: u(x) = u0+a(x).(u∞ - u0)

Expression générale approchée de a(x) = 1-[m.R/(m.R+x.x)]²

En élasticité linéaire, on peut admettre:

u0 =0,25. u∞ m = 0,75 x = 1

D’où :

2

.3

41

1.75,01)(

+

−=

R

xxl


Courbe de variation du taux de déconfinement


Application graphique


Evaluation des contraintes en limite d’excavation


Evaluation des contraintes en limite d’excavation


Principe de prise en compte du soutènement


Notion de décousu moyen

Phase N

d : distance entre le

front et le dernier cintre

p : espacement

entre 2 cintres

Phase N+1 : excavation

Phase N+2 : pose du

cintre puis béton projeté

x1 = p + d

x2 = d


Soutènements:

➢ Coque en béton:

Calcul simplifié:

Sous une pression radiale p

l’effort normal est de dans la coque

soit (valable aussi bien pour la circonférence que pour le rayon)

D’où une convergence radiale de :

Ce qui donne un module de rigidité de

Le soutènement – Détermination des modules de

rigidité (1/4)

RpN .=

eE

Rp

b .

.=

eE

RpRu

b .

².. ==

R

eE

Ru

pK b

s

.==

R

e


La formule complète s’écrit:

[valable pour un tube épais]

[pour R>>e]

Les ordres de grandeur des modules Eb à considérer dans les calculs sont:

- béton projeté: de 7 000 à 15 000MPa

- béton coffré: 15 000 à 30 000MPa

➢ Cintres métalliques:

De la même manière que pour la coque en béton, la raideur équivalente à un cintre peut être évaluée par la formule suivante:

où : Es = Module de l’acier (200,000MPa)

S = section du cintre

s = espacement longitudinal des cintres

Le soutènement – Détermination des modules de rigidité (2/4)

R

sSE

Ks

sn

.=

])21)[(1(

)(2

int

2

2

int

2

RR

RREK

ext

extbs

+−+

−=

R

eEK b

s²).1(

.

−=


➢ Les boulons radiauxPrincipalement 2 types de boulons radiaux sont utilisés:

- boulons à ancrage ponctuel

- boulons à ancrage continu

Calcul simplifié:

➢Ancrage fixe

avec Es = Module de l’acier du boulon

ec = espacement circonférentiel entre boulons

el = espacement longitudinal entre boulons

Dans 1 boulon on a : , soit un effort :

La pression équivalente peut être calculée par:

La raideur à prendre en compte est donc:

(il faut prendre en compte un jeu initial avec mise en charge du boulon)


L

uEAF ss ..=

As

L

Portion de parement pour 1 boulon

ueeL

EA

ee

Fp

lc

ss

lc

...

.

.==

L

EA

ee

R

Ru

pK ss

lc

sn

..

.==

L

u=



➢Boulon à scellement continu

2 types d’effets sont à considérer:

-Un effet soutènement

-un effet renforcement interne du terrain

La prise en compte de ces 2 effets de manière réaliste est très complexe et non réellement résolue à ce jour de manière analytique générale.

Si dans le cas du boulonnage à ancrage ponctuel, on peut faire l’hypothèse que l’ancrage représente un point fixe pour le boulon, dans le cas d’un scellement continu, la rigidité des boulons résulte d’un équilibre d’interaction avec le sol environnant.

Pour le premier effet, on peut en première approche très simplifiée, utiliser une formulation du type de celle des ancrages ponctuels, en tenant compte d’une rigidité moyenne double (L remplacé par L/2 dans l’expression précédente).


Soutènements – quelques ordres de grandeur


Le Calcul des

tunnels

Laurent Bérend

Francis Lanquette

Hervé Thiébaut


Deuxième séance

➢Exercice d’application de la méthode CV-

CF en élastique

➢La méthode convergence confinement:

élasto-plasticité

➢Exercice d’application élasto-plastique


Exercice d’application en élastique

Marnes et Caillasses

E = 300 MPa

n = 0,3

c = 500 kPa φ = 30°

Contrainte initiale: s0 = 750kPa

Tunnel de 7 m de rayon

Soutènement posé à 2m du front

Soutènement:

- Béton projeté:

- e = 0.22 m

- Eb = 10000MPa

- n=0.2

- Cintres HEB220 e=1.00m

-As = 91cm²


E = 300 MPa

n = 0,3

c = 500 kPa φ = 30°


Tunnel de 7 m de rayon extérieur



Exercice d’application en élastique


E = 300 MPa

n = 0,3

c = 500 kPa φ = 30°




s

750kPa

l

213kPa

01,38cm u

0,61 0.72

1,63cm 2.28cm

1

Soutènement:

- Béton projeté:

- e = 0.22m |

- Eb = 10000MPa | Kb = 335MPa

−n=0.2 | Kb+Ks= 595MPa

- Cintres HEB220 e=1.00m

-As = 91cm² soit Ks = 260MPa

Résultat

L’équilibre est obtenu pour ps = 213 kPa

Soit pb=120 kPa < pblim=157 kPa

pour fc28=5MPa

et ps=93 kPa < pslim= 208kPa

pour slim = 160MPa


E = 300 MPa

n = 0,3

c = 500 kPa φ = 30°





La méthode convergence confinement: élasto-

plasticité



plasticité


déconfinement


plasticité


Milieu Elasto-plastique parfait

Une zone plastique autour de l’excavation se forme dès lors que :

L’extension de cette zone est caractérisée par le rayon plastique Rp

Dans cette zone, par comparaison avec le comportement en élasticité :

➢ l’évolution des contraintes radiales reste similaire

➢ les contraintes orthoradiales chutent très vite.

➢ les convergences augmentent plus rapidement qu’en élasticité, avec un effet

d’amplification en cas de dilatance.

s

ll sin

cos.

0

+=c

e

Pour les formules détaillées, se référer à :

M.Panet – Le calcul des tunnels par la méthode convergence-confinement, Presses de l’ENPC 1995


Exemple

Déconfinement total

Rayon plastique


Milieu Élasto-plastique parfait


Principe de similitude

Facteur de similitude :

La courbe upl = f(x/R) est la transformée de la courbe correspondante en élasticité

par homothétie de centre 0 et de rapport 1/

pl

el

u

u

=

).(/).(/)(

:

).(1

)(

R

xu

R

xuu

R

xu

encoreou

R

xu

R

xu

elelelplpl

elpl

l

==

=


Principe de similitude

u élastique u plastique


Exercice d’application en élasto-plastique

Exemple:


E = 300 MPa n = 0,3

c = 150 kPa φ = 30°

a = 1 R = 7m




Exercice d’application en élasto-plastique

Exemple:


E = 300 MPa n = 0,3

c = 150 kPa φ = 30°

a = 1 R = 7m



2/7x(2.28/2.98)

2/7

163 kPa

1,64


METHODE CONVERGENCE - CONFINEMENT ou DES COURBES CARACTERISTIQUES

Réf. Recommandations sur l'emploi de la méthode convergence-confinement, N°spécial TOS 05.93

Le calcul des tunnels par la méthode convergence-confinement, Marc Panet, presses ENPC, 1995

Projet:

hypothèses: contraintes isotropes; comportement élasto-plastique parfait du terrain; comportelment élastique du soutènement

Contrainte géostatique: s0 = 750 kPa

Terrain encaissant: Excavation et soutènement

carctéristiques élastiques: rayon moyen de l'excavation R 7.0 mE 150 MPa

n 0.30 caractéristiques mécaniques du soutènement boulons à ancrage ponctuel

critères de rupture Mohr-Coulomb coque cylindrique: densité géométrique 0.00000

c 150 kPa épaisseur e = 0.25 m module d'Young 200 000 MPa

30 ° module élastique E = 8 000 MPa dist. point d'ancrage 3.50 m

coefficient de dilatance 1 coefficient de Poisson 0.2 >module de rigidité Ksn 0 MPa

>kp 3.00 >module de rigidité Ksn 306 MPa

>Rc 520 kPa cintres métalliques >module de rigidité total Ksn 306 MPa

>nombre de stabilité NS 2.9 aire de la section 0.0 cm²

> limite d'élasticité espacement 1.00 m u initial/u inf 0.31

>le 0.673 >module de rigidité Ksn 0 MPa jeu initial du soutènement 0 mm

>se 245 kPa

> u pl / u él inf 1.308

point d'équilibre: Ps = 325 kPa l = 0.566

u = 2.58 cm

Marnes et Caillasses Long Terme contraintes totales

0.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

600.00

700.00

800.00

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00

convergence radiale u (cm)

pre

ss

ion

de

co

nfi

ne

me

nt

(kP

a)

1.000000

1.100000

1.200000

1.300000

1.400000

1.500000

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00

r p

las

tiq

ue

/ R

pour obtenir le point

d'équilibre, lancer la macro1,

touche de raccourci ctrl+a


Passage à long terme


0.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

600.00

700.00

800.00

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00

convergence radia le u (cm)



Court Terme

E = 300 MPa

n = 0,3

c = 150 kPa φ = 30°



HEB 220 e= 1m

Béton projeté 22cm E=10 GPa

Long Terme

E = 150 MPa

n = 0,3

c = 150 kPa φ = 30°

Contrainte totale initiale: s0 = 750kPa

Contrainte effective initiale: 375 kPa

Hauteur d’eau 37.70 m

Revêtement définitif

Béton coffré 25 cm E=10 GPa

équilibre CT

équilibre LT contraintes totales

équilibre LT contraintes effectives


Effet d’un présoutènement

lPS avec présoutènement < lS sans présoutènement


Exemple du double présoutènement de Toulon


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tunnels

Laurent Bérend

Francis Lanquette

Hervé Thiébaut


Troisième séance

➢Méthode du solide composite

➢Stabilité du front

➢Exemple de modèles de calcul de

structures

➢Exercice


➢ Modélisation numérique 2D ou 3D (éléments finis, différences finies)

➢ Matériaux (Sol- structure) : éléments massifs

➢ Lois de comportement élastique ou plastique

➢ Possibilité d’éléments spéciaux (contacts) entre matériaux

La méthode du Solide Composite


➢ Articulation avec la méthode cv-cf analytique

L’utilisation de la méthode cv-cf du solide composite consiste à réaliser une étude bi-dimensionnelle d’une section de tunnel qui reproduit la géométrie et le phasage et à lui appliquer les coefficients de déconfinement calculés selon les méthodes analytiques simplifiées ou des modèles numériques quand on s’éloigne beaucoup des hypothèses de base de ces dernières: section non circulaire, terrains hétérogènes, stratifiés, faibles profondeurs, etc…

La méthode du Solide Composite


Exemple de maillage Eléments Finis 2D – Tunnel

Circulaire

➢ Plusieurs types possibles

• Chargement extérieur (pressions)

• Chargement résultant du poids volumique des matériaux (calculé à partir des contraintes initiales de poids propre ou résultant d’une phase de calcul antérieure)


Pressions externes exercées sur un revêtement


– En 2D : problème plan

– Modélisation plusieurs ouvrages (interaction)

– Calculs phasés

– Lois de comportement variées

– Appuis structures non linéaires (contacts, décollement, glissement)

– En 3D : étude de structures complexes

Mais

– En 3D limite taille modèle atteinte rapidement (nbred’éléments et taille du modèle, durée du calcul)

Possibilités données par la méthode


Tunnel de Sidi Ali, Maroc, études d’exécution, 2006Logiciel: Cesar LCPC

Exemples de calcul


Tunnel de la Manche, calcul des renforcements suite à l’incendie de 2008

Logiciel: Cesar LCPC

Exemples de calcul


Exemples de calcul

Tunnel de la Manche, calcul des renforcements suite à l’incendie de 2008

Logiciel: Cesar LCPC


Exemples de calcul

Prolongement de la L14 au Sud, passage sous les carrières de Calcaire Grossier, 2016 Logiciel: Plaxis


Exemples de calcul

Prolongement de la L14 au Sud, passage la ligne 7 à Maison Blanche Logiciel: Plaxis


Exemples de calcul

Prolongement de la L14 au Sud, passage sous la ligne 7 à Maison Blanche Logiciel: Plaxis


Exemples de calcul

Prolongement d’EOLE à l’Ouest – entonnement TriangleLogiciel: Cesar LCPCv


Exemples de calcul

➢ tassements ➢ norme de déformation plastique

➢ contrainte principale ➢ compression


La stabilité de front


Les deux principaux risques concernent:

• La stabilité du front de taille au moment de l’excavation

• Les tassements de surface et leur impact éventuel sur le bâti environnant

Exigences spécifiques


Exigences spécifiques


faible extension verticale (initiale)

Mécanisme 3D


Indicateur : le nombre de stabilité :

N = 2σ0 / RC

( = σ0 / Cu en terrain purement cohérent)

Dans le cas avec Pa=pression au front:

Détermination de la valeur de Nc critique:

5 < Nc < 7 (Broms 1967 ou Peck 1969)

Stabilité du front de taille d’un tunnel en terrain

cohérent fu=0, cu > 0

)()(2

00

u

a

C

a

C

p

RN

p −=

−=


Evolution de la zone plastique en fonction de NS


Stabilité du front de taille

Méthode Anagnostou-Kovari : estimation de la pression de confinement à appliquer pour assurer la stabilité du front sous l’effet du poids des terrains sus jacents.

Estimation des charges gravitaires induites par un prisme de rupture et évaluation de la pression nécessaire pour empêcher le glissement.

24

f −=Angle du prisme:


cônes

effondrement

(ou éjection)

pression confinement >Réf. Léca-Dormieux :

- pression uniforme

- sol homogène

Modèles Analytiques plus généraux f>0, c > 0


Tunnelier à Air Comprimé

Points singuliers : passage à proximité culée pont rail

Hétérogénéité des charges autour du tunnel

Pression de stabilisation du front

Pression requise pour minimiser les tassements

Exemple d’étude numérique de stabilité de front


Etude Stabilité du front en 3D


Modèles Numériques vs Analytiques


Exemples de modèles de calcul de

structures


Calculs de raccordement tunnel/intertubes


Calculs de raccordement tunnel/intertubes

Calcul du portique de renforcement de l’ouverture d’un rameau métro de Rennes, 2016


Modélisation structures de renfort autour de

l’ouverture dans les anneaux


Structures complexes


Modèle de calcul d’ouverture



Calcul des structures internes d’un tunnel


Déformation du sol (Plaxis)


Section at PM 1500

Calcul des tassements

Documents

Le Calcul des tunnels