ENSEIGNER LES MATHÉMATIQUES AUTREMENTLe calcul mental et le calcul posé au cycle 3

L’activité mathématique n’acquiert tout son sens que si elle peut s’appuyer sur une connaissance solide et un savoir-faire assuré des différentes formes de calcul. Le calcul tient donc une place prépondérante dans l’apprentissage des mathématiques.On nomme couramment « calcul » l’activité consistant à effectuer des opérations arithmétiques et « calcul mental » le fait de les effectuer « par la seule pensée, sans poser l’opération ».

Le cycle 3 poursuit la construction des nombres entierset de leur système de désignation, notamment pour les grands nombres. Il introduit la connaissancedes fractions et des nombres décimaux. L’acquisition des quatre opérations sur les nombres, sansnégliger la mémorisation de faits numériques et l’automatisation de modules de calcul, se continuedans ce cycle. Les notions mathématiques étudiées prendront tout leur sens dans la résolution deproblèmes qui justifie leur acquisition.

Ce que disent les programmes du 26 novembre 2015

Le calcul mental, le calcul posé et le calcul instrumenté sont à construire en interaction. Ainsi, le calcul mental est mobilisé dans le calcul posé et il peut être utilisé pour fournir un ordre de grandeur avant un calcul instrumenté. Réciproquement, le calcul instrumenté peut permettre de vérifier un résultat obtenu par le calcul mental ou par le calcul posé. Le calcul, dans toutes ses modalités, contribue à la connaissance des nombres.

Trois sortes de calculs

INSTRUMENTÉLe résultat est cherché avec l’aide d’un instrument :calculatrice ou ordinateur.

POSÉ - ECRITCalcul qui utilise la techniqueOpératoire (4 opérations).Il est toujours écrit.

CALCUL MENTALCalcul qui s’effectue dans la tête. Ce calcul numérique ne fait pas appel auxintermédiaires écrits mais peut faire appel à des supports visuels (bandenumérique, tableau de nombres..).Il peut être oral (l’élève dit le résultat) ou écrit (l’élève écrit le résultat, ou son raisonnement en ligne). L’énoncé peut être oral ou écrit (permanent ou temporaire). Il allie automatisation et compréhension.

Quels calculs mentaux en cycle 3

Le calcul automatisé

Des résultats immédiatement disponibles

Soit parce qu’ils sont mémorisés: -tables, carrés…-résultats de cas particuliers

Soit parce qu’ils sont obtenus par des résultats automatisés:-mise en œuvre consciemment mais rapidement (X10, X100…)-utilisées inconsciemment (propriétés des opérations)

Limite entre automatisé et réfléchi :

8 + 2 15 + 5 45 + 15 210 + 90 450 + 550 1 392 + 4 687 5x2 7x8 15x10 6x15 6x17 39x102

Le calcul réfléchi

Des résultats obtenus après élaboration d’une stratégie ou d’un raisonnement qui dépend:

Comme dans la résolution d’un problème du vécu social ou scolaire de l’individu (existence de procédure de référence)

Des connaissances en calcul automatisé

Des nombres, du contexte, du moment, du contrat…

Calcul réfléchi au cycle 3 Calculer 6x15

15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 2x15 + 2x15 + 2x15 3x15 + 3x15 5x15 + 15 (6x5)x3 6x10 + 6x5 6x10 + 60:2

CALCUL AUTOMATISE: CALCUL REFLECHI:

Nécessite peu d’efforts, car exécuté par

réflexe.Peut être exécuté

rapidement

La charge mentale de travail peut être importante…Le temps

disponible plus important et les traces écrites

parfois nécessaires

Le calcul mental à l’envers

L’élève est acteur

Sollicitation des

connaissances automatisées

Donne du sens aux nombres et aux opérations

Principe non naturel qui consolide le calcul direct

Pratique de la décomposition des nombres

Ressort ludique naturel (défi)

Exemples de calcul mental à l’envers Fabrique le nombre 10 en utilisant une addition Fabrique le nombre 10 en utilisant une

soustraction Fabrique le nombre 25 en utilisant trois nombres

et les opérations que tu veux 56 = ? Décompose 120 sous la forme d’une somme Décompose 7,5 sous la forme d’un produit Décompose 7,5 sous la forme d’un quotient

S’appuyer sur les erreurs pour construire des apprentissages

Aborder l’erreur par le jeu: « Cherchez l’erreur. »

Revenir sur les apprentissages réalisés

Expliciter les micro-connaissances en jeu.

Pour calculer avec aisance, il faut :

Avoir mémorisé

des répertoires

de résultats

Avoir mémorisé

des procédures

Etre capable de choisir

rapidement entre plusieurs stratégies celle

adaptée à la situation

Notre rôle d’enseignant

Permettre aux élèves de développer des compétences en lien avec ces trois axes

Donner du sens aux apprentissages

Proposer aux élèves des situations pédagogiques diversifiées

Les séances de calcul mental doivent être quotidiennes, courtes pour le calcul automatisé (une quinzaine de minutes), plus longues pour le calcul réfléchi.

La séance la plus longue doit correspondre à une situation d’explicitation des procédures de calcul, de leur analyse et de leur pertinence.

Les documents ressources sur Eduscolhttp://eduscol.education.fr/cid101461/ressources-maths-cycle-3.html

LE CALCUL AU CYCLE 3 DOCUMENTS RESSOURCES EDUSCOL :« LE CALCUL AUX CYCLES 2 ET 3 » / « LE CALCUL EN LIGNE AU CYCLE 3 » SYNTHESE

 Les calculs sont menés sous différentes formes souvent utilisées en interaction et complémentaires les unes des autres.

  Le calcul mental

C’est une modalité de calcul sans recours à l’écrit pour trouver la réponse.Les habilités développées en calcul mental sont au service du calcul en ligne.

Le calcul en ligneC’est une modalité de calcul écrit ou partiellement écrit. Possibilité est donnée à l’élève, s’il en ressent le besoin, d’écrire des étapes de calcul intermédiaires.Il repose sur la compréhension de la notion de nombre.

Le calcul poséC’est une modalité de calcul écrit consistant à l’application d’un algorithme opératoire.

Le  calcul instrumentéC’est un calcul effectué à l’aide d’un ou plusieurs instruments, appareils ou logiciels (abaque, boulier, calculatrice, tableur,…)

 Progressivité des Apprentissages

 Les compétences en calcul se développent progressivement tout au long des quatre cycles de l’école et du collège.

 • Au cycle 3, en calcul mental et en ligne, la complexification des contextes numériques se poursuit. Parmi les variables, interviennent la nature des nombres (nombres entiers, nombres décimaux) et leurs différentes écritures (fraction décimale, décompositions, écriture à virgule). En calcul posé, les algorithmes des quatre opérations sont travaillés avec des nombres entiers et décimaux. Pour la division, le diviseur ne peut être qu’un entier.

Pour le calcul en ligne, un travail approfondi sera effectué autour du rôle du « = » et des parenthèses.

Les problèmes proposés sur la proportionnalité et les grandeurs permettront de travailler le calcul en ligne.

 Les fonctions de base de la calculatrice (utilisation des quatre opérations) sont introduites pour obtenir ou vérifier un résultat.

Stratégies d’enseignement 

La place consacrée au calcul mental et au calcul en ligne dans les temps d’apprentissage et d’entraînement est plus importante que celle accordée au calcul posé. Les différentes formes de calcul sont travaillées dans le cadre de la résolution de problème, mais aussi pour elles-mêmes dans des temps spécifiques d’apprentissage et d’évaluation.

Calcul mental et Calcul en ligne :

Une programmation des apprentissages est nécessaire sur chacun des cycles. Au sein de celle-ci, le calcul mental et le calcul en ligne sont travaillées conjointement.

Quatre étapes : - Découverte de nouveaux savoirs, en particulier de nouvelles procédures de calcul

Appropriation et Entraînement régulier

Réinvestissement régulier

Evaluation.

Activités quotidiennes de courte durée (environ quinze minutes) qui mêlent calcul mental et calcul en ligne, ET, Séances d’apprentissage de durée plus longue, avec le plus fréquemment possible des temps de mise en commun au cours desquels les élèves peuvent donner à voir et expliciter oralement leurs démarches, qu’elles soient correctes ou erronées, abouties ou non.

Différents types d’écrits doivent permettre à l’élève de garder trace de ce qu’il a appris en calcul en ligne : ses productions ; un écrit produit par l’élève ou par un groupe d’élèves explicitant une stratégie de calcul à retenir ; un texte construit dans la classe de façon collaborative, ou éventuellement un écrit proposé par le professeur, en synthèse d’un temps de travail.

Idéalement, les textes de synthèse restent accessibles dans un cahier que l’élève conserve et complète tout au long du cycle.

Pour le calcul en ligne, les élèves acquièrent progressivement des stratégies de calcul grâce à ces activités quotidiennes ; mais l’automatisation de ces stratégies n’a toutefois pas lieu d’être visée au même moment pour tous.

La différenciation peut concerner la difficulté des calculs ou bien le temps imparti pour les effectuer.

Les étapes de calcul écrites par les élèves doivent être comme un support de la pensée et comme des écrits transitoires. Le travail de mise en commun est primordial et permet à chaque élève d’expliquer sa stratégie de calcul. Le professeur pourra faire travailler les élèves sur un support donné (cahier de recherche…)

 Une synthèse collective (texte de savoir) devra être produite, respectant les codes mathématiques, et figurer dans le cahier de leçons et sur des affiches.

 

Le statut du signe « = » ainsi que des parenthèses sera travailler au cours du cycle. Ceci est une étape importante de l’apprentissage, préparatoire à la production d’écritures algébriques. Il faudra veiller aux règles d’utilisation des parenthèses (distributivité).

De nombreux exemples de pratiques figurent dans le document d’accompagnement « Le calcul en ligne au cycle 3 » sur le site d’Eduscol.

L’évaluation : Les acquis des élèves en calcul mental et en ligne sont régulièrement évalués au travers d’activités adaptées aux potentialités de chacun. Ce qui importe avant tout c’est que les élèves puissent s’évaluer et constater leurs progrès, car le sentiment de progresser est un facteur essentiel de la motivation.

Calcul posé :

Cet apprentissage doit être mené en relation étroite avec la poursuite du travail mené en calcul mental et en ligne.

L’entraînement au calcul posé est prévu dans la durée de façon filée plutôt que massée.

Pour faire progresser les élèves en calcul posé, il est important de développer chez chacun d’eux, une attitude réflexive face à l’origine de ses erreurs.

Le choix des algorithmes de calcul posé travaillés tout au long de la scolarité d’un élève doit être cohérent

Calcul instrumenté :

Le matériel est présenté et son utilisation est explicitée. Il est ensuite mis à disposition des élèves pour être utilisé en fonction des besoins. Pour être efficace, son utilisation doit être régulière.

Ressource complémentaire

Utilisation des jeux mathématiques (Mathador) et des différents concours mathématiques (Oympiades, concours Kangourou…)

Exemples d’activités en calcul mental

Chaîne d’opérations :

Nombre de départ : 57Puis annonce des opérations à effectuer au fur et à

mesure + 5 - 40 + 18 X 3 : 2

Jeux de grilles :TRIO

Il faut essayer de fabriquer un

nombre cible en utilisant trois

nombres alignés dans la grille avec

les quatre opérations au choix.

Le premier qui trouve gagne le

jeton ou un point.

Jeux de dés : Mathador FlashCanopé Besançon

Les dés du Mathador sont appelés aussi dés de Platon: le dé 4 faces représente le feule dé 6 faces représente la terrele dé 8 faces représente l’airle dé 12 faces représente l’universle dé 20 faces représente l’eaule dé 4 faces représente le feu

24 avec 2 ; 3 ; 8 ; 1 ; 15

Solutions : 1 point : 3x8 = 24

2 points : 15 + 8 + 1 = 24

3 points : 15 – 3 = 12 12x2 = 24

4 points : 15 + 8 = 23 23 + 2 = 25 25 – 1 = 24

7 points :2x15 = 308 – 3 = 5

30 – 5 = 2525 – 1 = 24

13 points (coup Mathador) :8 + 1 = 99:3 = 315 – 3 = 1212x2 = 24

Loto: Les nombres sont dictés par l’enseignant ou un élève.

Plusieurs activités sont envisageablesDictée de nombresLotos additifs et multiplicatifsDécompositions (ex : 14 + 10 + 4)Écritures équivalentes (50 = 25 x 2 = 100 : 2 = 10 x 5 = …)

Qui a ?

Le meneur de jeu distribue toutes les cartes aux élèves tout en conservant la première pour lui. Il énonce le premier calcul à effectuer. L’élève qui a la réponse la

donne à l’ensemble de la classe puis, retourne sa carte et énonce à son tour le calcul à réaliser. On continue ainsi

jusqu’à épuisement des cartes.

Tables à compléter: mélanger l’ordre des tables

- Jeux du furet : compter, décompter de n en n. La parole passe d’élève en élève dans un ordre prévu et stable pour que les élèves mettent en place des stratégies d’anticipation. Le maître peut choisir le nombre de départ pour faire évoluer l’exercice. Il choisit n en fonction des objectifs de travail et de la notion abordée.

- Multiplication par des puissances de 10 puis des multiples de 10 : 10 X 45, 100 X 340…puis 30 X 60, 50 X 70…et enfin 300 X 2000, 40 X 800… 

- Décompositions multiplicatives : Trouver plusieurs façons d’écrire un nombre X sous la forme d’un produit de facteurs : 28 X 35

- = 7 X 4 X 5 X 7 = 7 X 20 X 7 = 20 X 49- = 2 X 49 X 10 = 2 X (50 - 1) X 10- = (100 – 2) X 10 = 98 X 10 = 980

Le nombre pensé : l’enseignant énonce « j’ai un nombre en tête, je lui applique la ou les transformations suivantes et j’obtiens X, quel est-il ». Les élèves doivent trouver et appliquer les opérations inverses pour obtenir le nombre de départ.

Jeux du portrait : l’enseignant fait le portrait d’un nombre sans le désigner. Il peut l’encadrer, en faire une décomposition canonique partielle, annoncer le nombre de chiffres…selon l’objectif de travail. Les élèves doivent, soit le retrouver dans une liste proposée, soit le construire à partir des informations énoncées. Celles-ci peuvent être écrites ou orales.

Petits problèmes

4 stylos coûtent 6 €.Combien coûtent 5 stylos?

Quel est en centimètres le périmètre d’un carré de 5 cm

de côté ?

Combien de petits cubes dans ce solide?

Comment fabriquer 48 avec 3 nombres ?

Comment fabriquer 72 avec 2 nombres ?

avec 3 nombres ?

Des jeux

DÉCADEX :Avec ses quatre anneaux jaunes ou bleus, il faut

essayer de faire une somme

totale de 10 avant

l’adversaireCalcul mental et

stratégie

MAGIX 34 :

Avec ses quatre anneaux jaunes ou bleus, il faut essayer de faire une somme totale de 34 avant l’adversaire

Calcul mental et stratégie

MULTIPLAY : Avec ses trois anneaux jaunes ou bleus, il faut essayer d’en placer deux sur deux cases rouges et le 3ème sur le résultat de la multiplication des deux nombres avant l’adversaireCalcul mental et stratégie

Jeux de cartes• Quelle est la carte qui emporte la bataille ?

Le jeu de la cible (1)ZonesChaque zone a une valeur.La valeur peut être représentée par unentier ou un décimal.Le nombre de zones peut varier.ImpactsIls occupent les différentes zones.ScoreOn multiplie le nombres d’impacts parla valeur des zones qu’ils occupent ; onadditionne les différents produitsobtenus.PartiesLe nombre de parties peut varier. Onpeut demander de calculer le score à lafin d’une partie et/ou de plusieursparties (score final). On peut donner lescore d’une partie, le score final etdemander de chercher le score del’autre partie.

Le calcul en ligne

C’est une modalité  de calcul écrit ou partiellement écrit, complémentaire au calcul mental, elle s’oppose au calcul posé dans le sens où elle ne consiste pas en la mise en œuvre d’un algorithme.

Cette modalité de calcul permet de développer l’intelligence du calcul, des automatismes de calcul, le sens des opérations et les propriétés des opérations.

Pour le calcul en ligne, un travail approfondi sera effectué autour du rôle du « = » et des parenthèses.Les problèmes proposés sur la proportionnalité et les grandeurs permettront de travailler le calcul en ligne.Quatre étapes : - Découverte de nouveaux savoirs, en particulier de nouvelles procédures de calcul - Appropriation et Entraînement régulier - Réinvestissement régulier - Evaluation.

Différents types d’écrits doivent permettre à l’élève de garder trace de ce qu’il a appris en calcul en ligne : ses productions ; un écrit produit par l’élève ou par un groupe d’élèves explicitant une stratégie de calcul à retenir ; un texte construit dans la classe de façon collaborative, ou éventuellement un écrit proposé par le professeur, en synthèse d’un temps de travail.Idéalement, les textes de synthèse restent accessibles dans un cahier que l’élève conserve et complète tout au long du cycle.

Le calcul posé

Ce que disent les programmes du 26 novembre 2016

Le calcul : La pratique du calcul mental s’étend progressivement des nombres entiers aux nombres décimaux, et les procédures à mobiliser se complexifient.

Les différentes techniques opératoires portent sur des nombres entiers et/ou des nombres décimaux :

≫≫ addition et soustraction pour les nombres décimaux des le CM1 ; ≫≫ multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier au CM2,

de deux nombres décimaux en 6e ; ≫≫ division euclidienne par un entier dès le début de cycle, mais

division de deux nombres entiers avec quotient décimal, et division d'un nombre décimal par un nombre entier à partir du CM2.

EN CM1 Résoudre des problèmes

mettant en jeu les quatre opérations.

≫≫ Sens des opérations. ≫≫ Problèmes relevant :

• des structures additives ;• des structures

multiplicatives.

En CM2: Enrichir le répertoire

des problèmes additifs et multiplicatifs, notamment les problèmes relevant de la division.

L’addition posée 

Les difficultés existantes repérées à l'entrée en CE2:- Maîtrise insuffisante de la somme de nombres à 1 chiffre.- Mauvaise gestion des retenues- Disposition en étages (surtout cas des nombres décimaux à partir du CM1). L'addition posée ne se justifie que si le recours au calcul mental n'est pas plus

performant: cas de l'addition de nombres de plus de 2 chiffres, addition de plus de 2 nombres.

Le recours à du matériel de numération permet d'illustrer et donc de mieux comprendre la technique notamment en ce qui concerne la correspondance établie entre “retenue” et groupement par dizaines, centaines... Ce matériel peut être à nouveau utilisé au cycle 3 en cas de besoin.

L'addition posée des nombres décimaux:

L'addition de nombres décimaux renforce la maîtrise de la compréhension de la valeur attribuée à chaque chiffre en fonction de sa position.

 Ex: 37,4 + 6,85 Comprendre tout d'abord que- le premier nombre ne comporte pas de chiffre des centièmes.- l'addition de 4 dixièmes avec 8 dixièmes donnent 12 dixièmes

qui correspondent à 10 dixièmes ou 1 unité et 2 dixièmes: cette unité devient donc une “retenue” que l'on place dans la colonne des unités: 7+6+1

La soustraction posée:trois techniques pratiquées  

Technique reposant sur une autre écriture du premier terme.753-85= 6 centaines 14 dizaines 13 unités -85= 668 (mais risque de surcharge) Technique posant l'équivalence entre soustraction et recherche de complément753-85 est équivalent à 85+...=753 Technique reposant sur l'ajout simultané aux deux termes de la soustraction: c'est

la méthode la plus difficile car elle repose sur la connaissance d'une propriété de la soustraction:

a – b=(a+c) - (b+c): si on ajoute un même terme aux 2 membres d'une soustraction, le résultat de la soustraction ne change pas.

 Soustraction des nombres décimaux  Elle ne pose pas plus de difficultés que la soustraction de nombres entiers. Elle nécessite

la connaissance de la valeur attribuée aux chiffres en fonction de leur position.

Les 3 techniques requièrent les même préalables:

La connaissance des équivalences entre unités,

dizaines, centaines

La connaissance des sommes de 2 nombres à 1 chiffre

mais aussi des compléments et des différences

La multiplication posée

Elle nécessite la coordination de plusieurs types de connaissances: - tables de multiplication- numération décimale pour la gestion des retenues (dans les

multiplications intermédiaires et dans le résultat final)- règle des 0: qui intervient quand on multiplie par un nombre de

dizaines, de centaines, de mille...- la commutativité: a x b = b x a- la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition: 27x 6= (7x6) + (20x6) ou 423x 205 = (423x5) + (423x200)

Multiplication d'un nombre décimal par un entier ; Multiplication de 2 nombres décimaux

 

Elles nécessitent les connaissances préalables: - Connaissance des nombres entiers et décimaux

(valeur des chiffres)- Multiplication et division par 10,100,1000 d'un

nombre décimal  ex: 157,23 x 45 = (15 723 x 45): 100

La division posée Elle nécessite les connaissances préalables:Maîtrise des 2 sens de la division: - PARTAGE: quelle est la valeur de l'unité (chaque part) - NOMBRE de GROUPEMENTS: combien de fois y a-t-il “a” dans “b”?Maîtrise des tables de multiplication (et recherche de “Combien de fois il y a 6 dans 48: 8

fois”)Capacité à prévoir le nombre de chiffres du quotient par encadrement du dividende entre 2 multiples du diviseur.

Procédure à privilégier- Estimer le nombre de chiffres du quotient ( moyen de contrôle du résultat) - S'autoriser à poser des produits annexes: ne pas encourager la totalité de la “table du

diviseur” - Encourager la pose effective des soustractions.

Division décimale de 2 nombres entiers; Division d'un nombre décimal par un entier ( CM2)

 

Elles nécessitent la connaissance :- des équivalences entre unités et dixième: 10 dixièmes= 1 unité.- que des dixièmes divisés par un nombre donnent des dixièmes

etc...- la multiplication et la division de nombres par 10,100,1000- la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition: si

je multiplie ou divise les 2 termes d'un produit par un même nombre, j'obtiens le même résultat.

LE CALCUL POSE ET LA RESOLUTION DE PROBLEMES

La résolution de problème à la fois dans les mathématiques et moyen d’enseigner et d’apprendre les mathématiques.

Il est essentiel d’identifier dans chaque problème les outils dont dispose l’élève, ceux que l’on veut mobiliser et pour quoi on donne ce problème.

Programmes 2016 Résolution de problèmes : rôle central au niveau de

l’apprentissage et de l’évaluation.

Critère principal de la maîtrise des connaissances dans tous les domaines mathématiques.

Moyens d’assurer l’appropriation des connaissances en en garantissant le sens.

Dès le début du cycle 3, les problèmes proposés relèvent des 4 opérations, l’objectif est d’automatiser la reconnaissance de l’opération en fin de cycle 3.

Attendus de fin de cycle : résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, des nombres décimaux, et le calcul.

« Fiche d’aide à la résolution de problèmes au cycle 3 »

Présentation

Quelques siteshttp://gomath.ch/cr_add.php

http://calculatice.ac lille.fr/calculatice/spip.php?rubrique2

http://mathenpoche.sesamath.net/6eme/pages/numerique/chap2/serie1/

http://micetf.fr/calculmental/#cm1

http://gdmaths.ia60.ac-amiens.fr/

Bibliographie