Le Correspondant Topologique De L'Unicite Dans La Theorie Des Equations Differentielles

Annals of Mathematics

Le Correspondant Topologique De L'Unicite Dans La Theorie Des Equations DifferentiellesAuthor(s): N. AronszajnSource: Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 43, No. 4 (Oct., 1942), pp. 730-738Published by: Annals of MathematicsStable URL: http://www.jstor.org/stable/1968963 .

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ANNAL OF MATHEMATICS Vol. 43, No. 4, October, 1942

LE CORRESPONDANT TOPOLOGIQUE DE L'UNICITg DANS LA THAORIE DES EQUATIONS DIFFARENTIELLES'

PAR N. ARONSZAJN

(Received December 13, 1940; revised July 25, 1942)

Dans la th6orie des 6quations diff6rentielles, aussi bien ordinaires qu'aux d6riv6es partielles, on a pu 6tablir des th6orbmes d'existence et des th6orbmes d'unicit6. I1 est apparu dans beaucoup de cas que, si pour les thdoremes d'existence il suffisait d'admettre pour les membres de l'6quation des hypothbses de r6gularit6 tres faibles, se r6duisant parfois a la continuit6 seule (comme dans le cas de systbmes d'6quations diff6rentielles ordinaires), il 6tait n6cessaire d'admettre des hypothbses de r6gularit6 plus fortes pour assurer l'unicit6.

La question se pose de caract6riser dans les cas de multiplicite provenant de l'affaiblissement des hypothbses de r6gularit6, l'ensemble des solutions multiples. Il apparait imm6diatement que cette caract6risation doit tenir compte des propri6t6s topologiques de l'ensemble en question et que pour cela il est n6ces- saire d'introduire une topologie dans cet ensemble.

Sur cette voie nous sommes arriv6 A 6tablir une classe d'ensembles A laquelle appartiennent tous les ensembles des solutions multiples correspondant aux 6quations en question. I1 nous semble probable que tout ensemble de cette classe eit homeomorphe A l'ensemble des solutions multiples d'une 6quation du type consid6r6. Si cette suggestion 6tait vraie, nous aurions eu ainsi une carac- t6risation topologique complete de ces ensembles de multiplicite et, en meme temps, le correspondant topologique de l'unicit6 dans le cas de certaines types d'6quations admettant de solutions multiples.

Les ensembles de la classe mentionn6e seront d6sign6s par Ra . Ce sont des limites des suites d6croissantes des ensembles R, ou par R nous d6signons les retractes absolus de K. Borsuk.2 Les Rs conservent beaucoup de propri6t6s des retractes absolus.

Notre r6sultat principal peut Wtre 6nonc6 de maniere intuitive (mais peu pr6- cise) comme suit: Si les membres de l'equation en question peuvent etre approch&s aussi pres que l'on veut par les membres d'une 6quation plus reguliere, admettant une solution unique, l'ensemble des solutions de la premiere equation est un Rs .

Remarquons que, dans les cas particuliers que nous avons pu traiter, 1'hypothbse de notre th6orbme concernant l'approximation avait pu etre verifi6e grace au th6orbme de Weierstrass sur l'approximation d'une fonction continue par des

1 Cet article forme un d6veloppement d'une conference que l'auteur a faite le 19 avril A Paris, A une s6ance de la Societe Math. de France. Les circonstances anormales actuelles n'ont pas permis de donner A cet article un developpement aussi complet que l'au- eur l'aurait souhait6. Surtout le cote bibliographique est en defaut, mais l'auteur n'a as pu faire mieux et il 'en excuse.

2 Voir au sujet des r6tractes les articles de K. Borsuk dans Fundamenta Math. a partir du t. 17 (1931) pp. 152-170.

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polynomes, ou grace aux th6orbmes similaires. A ce propos, r6levons que l'application de ce th6orbme de Weierstrass a d6ja Ate faite par U. Muller3 dans le cas de systbmes d'6quations diff6rentielles ordinaires, pour d6montrer un thborbme de H. Kneser. Ce dernier th6orbme, qui concerne le caractbre continu de l'ensemble de solutions, est une simple cons6quence de notre th6orbme (car Ra est toujours un continu).

Le travail se compose de quatre paragraphes. Dans le ?1 nous rappelons certains r6sultats et d6finitions essentiels. Dans le ?2 nous prouvons un th6o- rbme auxiliaire concernant les suites de r6tractes absolus. Le ?3 est consacr6 au r6sultat fondamental de I'expos6. Des applications aux systemes d'equations diff6rentielles ordinaires forment le contenu du ?4.

1. Resultats Preliminaires

D'aprbs Borsuk' un r1tracte absolu (R) est un espace m6trique separable qui est un r6tracte de tout espace m6trique qui le contient. Les r6tractes absolus ont la propri6t6 du point fixe, c'est-A-dire que toute representation de R sur R possbde un point invariant. Nous introduisons la notation Ra pour d6signer tout hom6omorphe de l'intersection d'une suite ddcroissante de r6tractes absolus. On peut ais6ment montrer que l'ensemble Rs est un continuum A homologie et groupes fondamentaux ceux d'un point. Bien entendu, on sait que ces pro- pri6t6s appartiennent aussi A R. Cependant Rs et R peuvent diff6rer en ce qui concerne leurs propri6t6s locales. Par example Ra peut ne pas avoir de con- nexions locales, ainsi que le montre clairement l'exemple classique y = sin2 (7l/x) pour 0 < x < 1 et -1 < y < 1 pour x = 0. Nous observons entre parentheses qu'un Rs dans le plan euclidien ne coupe pas le plan.

Dans le but de fournir des conclusions g6ndrales, nos resultats sont formul&s pour certaines 6quations op6rationelles de la forme

W = T(z)

dans les espaces de Banach.4 Si T est continu et repr6sente des ensembles born&s de E sur les ensembles (conditionellement) compactes de E', on dit alors que T est complbtement continu. Notre contribution principale, le th6orbme C, est bas6e sur un th6orbme g6n6ral d'existence du a Schauder.5

THAORkME A. Lorsque T est compMtement continu et represente K sur K, ou' K est borne, convexe et ferm6 dans E, son ensemble de points fixes est un sous-ensemble compacte en soi et non vide d'un R.

L'equivalence avec la formulation de Schauder r6sulte du fait qu'un com- pactum convexe (ici l'extension convexe ferm6e6 de T(K)), dans un espace de

3Voir M. Miller, Math. Zeitschrift, 28 (1928) pp. 619-645. 1 S. Banach: Theorie des Op&ations Lin~aires, Warsaw 1932. 5 Voir Math. Zeitschrift, 26 (1927) pp. 46-65 et Studia Math., 1 et 2. Des th6or~mes de

ce type ont d6jA 6t6 donn6s par G. D. Birkhoff et 0. D. Kellogg, Transactions Amer. Math. Soc., 23 (1925) pp. 96-115; Lefschetz: Topology (New York 1930) p. 358 et Annals of Mathe- matics, vol. 38 (1937), pp. 819-822.

6 S. Mazur: Studia, 2, (1930), pp. 7-10.



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Banach est un R. II serait int6ressant de savoir si le thdorbme C, peut Atre etendu aux cas oil les thdorbmes d'existence (fondamentaux) sousjacents sont demontrds par les methodes, de Leray-Schauder.7

2. Les Suites de R6tractes Absolus

THAORhME B. Soit IR(')) une 8uite de rtractes absolus, 80-ensembles d'un mine espace, et soit M un ensemble contenu dans tous les R(') Si les R(') convergent ver8 M, ce dernier ensemble est un R& .

Dbmonstration. Soit & 1'espace contenant tous les R("' et soit (P. une fonction rdtractant & sur R(').

Nous pouvons toujours supposer que l'espace & est distanciable et que l'on a choisi pour lui une distance p(x, y) bornde supdrieurement (autrement nous aurions pu remplacer 4 par la somme de tous les R("' qui a certainement ces propridt6s).

Nous allons choisir une sous-suite I &k)I de I R`"I de sorte que, en disignant par 'Pk la fonction sp correspondant a A(k), et par aook), pour i < k, la fonction composde (1 ) *(b) = @,#,i+I ... 0k_.

on ait pour tous k, i < k et x E k))

(2) p(x, flk)(X)) 1/k.

Pour definir les R(k) nous commengons par poser R)= R"). Supposons maintenant que les R(i), Rt, ..( . ) , sont d6jk definis. D'aprbs (1), + ost alors ddfini, et on a pour tout x de M et tout i < k + 1

X = (

car pour tout r, M C kR(, et par consEquent J14(x) = x. II s'ensuit qu'il eoxste un voisinage V de M tel que, pour x e V et tout i < k + 1, on ait,

<X 44k+i)(X)) k4 1 .

Nous poserons s(k+i) = le premier R(") post6rieur b f(k) dA la sui R j, contenu dans V. II est clair qu'un tel R(') existe vu que les R(') convergent vers M. Ainsi, los R(k) se dEfinissent successivement et la propriWt6 (2) est remplie.

Considerons maintenant le produit combinatoire infini S' = S X & X ...

aux elements X = (xI, X2, **,xf,* ) avec X. e On d~finit dans , une distance A la Frdchet

p(XM Y) = z 2 p(x,, te.). n-i

7 Voir J. Leray et J. Schauder, Annales Scient. Acole Norm. Sup., 51 (1934) pp. 45-78.




La notion de limite correspondante se d6finit comme suit: la suite {X(k) converge vers X, si chaque suite {x (kI converge vers xn.

Considerons dans 6' les sous-ensembles Q(k), d6finis de manilre suivante: Q(k) est compos6 de tous les points X = (Xi, x2, *... , xk, * ) tels que, pour n > k, Xn k *, tandis que pour n < k, x, =X nt4!(Xk).

II est clair que Q(k) est homdomorphe avec l'ensemble de toutes les suites (Xk, Xk+l, ... ) Ott xn parcourt R(n) n = k, k + 1, * . . Cet ensemble forme le produit combinatoire R(k) X R(k+l) X ... de r6tractes absolus R(n); c'est donc un r6tracte absolu.8 II en r6sulte que Q(k) est un rdtracte absolu.

Remarquons ensuite que Q(k) W Q(k+1). En effet, si X = (xi, x2, ** x,

Xk+1, ) appartient A Q(k+i), on a d'apres la d6finition de Q(k+l): x eR pour n > k + 1, Xk = k (Xk+l) = @Pk(Xk~l) ( et enfin, pour n < k, xn =

An (Xk+l) = ~0npn+l * Pk(Xk+l) = t4n kpk(Xk+l) = 41n)(Xk), donc X e Q(k)

Prouvons maintenant que la suite d6croissante Q(1), Q(2), * * * a pour intersection l'ensemble M' compos6 de tous les X = (x1 , X2, * * * ) avec xi = X2 = X3 =

* = x e M. En effet, si X = (x1, x2, * *) appartient a tous les Q(k), on aura suivant (2) pour tout k et tout n < k

p(Xk , Xn) = p(Xk, 4/n )(Xk)) -< -

11 en r6sulte que tout Xn , n = 1, 2, - - *, est la limite de la suite {Xk} qui est n6cessairement convergente. Il s'ensuit d'une part que xi = X2 = * = x.

D'autre part, Xk e R(k) et, les R(k) convergeant vers M, la limite x de {Xk} appartient A M. Ainsi M' D Q(1)Q(2) *.. Inversement, si X e M', il appartient a tout Q), car, pour n > k, Xn =X eM C: R(n) et, pour n < k, Xn = X

On~x n= ^l4(?(xk), vu que toute (pi transforme un x e M en lui-meme. Il est donc prouve que M' = Q(1)Q(2)

Enfin, il est evident que l'ensemble M' est hom6omorphe avec M par l'inter- m6diaire de la correspondance dounant A un X = (X, x, x ... ) de M', pour image le point x de M.

Ainsi, M est hom6omorphe avec Ml' qui est, d'aprbs ce qui pr6cbde, un Rs. M est donc lui-meme aussi un Rs, c.q.f.d.

3. Le theoreme principal

Pour pouvoir poursuivre nos raisonnements nous allons admettre que la transformation T peut etre approch&e aussi pres que l'on veut par une transformation "plus rdgulie're."

Pour pr6ciser cette hypothbse revenons aux notations du ?1 pr6c6dent. Nous supposerons qu'a tout e > 0 on peut faire correspondre une transformation T. complbtement continue de l'espace E en lui-meme de sorte que

10. 1I T,(z) - T(z) ff < e pour tout Ml~ment z de K, JJ JJ d6signant la norme dans E;

8 N. Aronszajn et K. Borsuk, Fundamenta, 18, 1932, pp. 193-197.



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20. La transformation z = z - Tj(z) e H.(z) reprdsente de manidre biunivoque l'ensemble K en un ensemble contenant une sphre I I z I I < p, avec p ind pendant de e.

Tandis que la premibre condition precise de manibre dont T est approch6e par T, , la seconde condition peut 6tre appl6e "condition d'unicite," car elle a pour cons6quence l'existence et l'unicit6 (si l'on se limite aux solutions appartenant A K) de la solution de l'6quation en z

z - T,(z) = zi

pour z1 de norme suffisamment petite. Comme nous l'avons dejA remarque, pour avoir l'unicite de solution il faut admettre en gen~ral des conditions suppl& mentaires de regularite, c'est pourquoi nous dirons que T, est "plus rdguliere" que T.

Dans ces conditions nous pouvons demontrer le THfORkME C. L'ensemble des solutions de l'Nquation T(z) = z est un Rs. DAMONSTRATION. D6signons cet ensemble des solutions par S. Consi-

derons les transformations Tn Tfn pour une suite { en} tendant vers 0, tous les e, etant _ p.

Considdrons d'abord les transformations Tn et Hn pour un n fixe. L'ensemble S 6tant contenu dans K, on a d'aprbs 10, pour tout 6lment r de S,

II HnW() II = II HeR(?) II = I| - Tt(?) II = II T(r) - Tn(?) I I ,_ en

Par consequent, l'ensemble transform6 Hn(S) est contenu dans la sphbre de rayon en <? p. Cet ensemble, obtenu par transformation continue d'un ensemble compact en soi, est compact en soi (voir le th~oreme A). Le plus petit corps convexe le contenant est aussi compact en soi et compris dans la sphere de rayon en ? P-.

Soit Qn ce corps convexe. D'apres la condition 20, la transformation H1n inverse de la transformation Hn , est d6finie sur Qn . Elle donne de Qn une image R n" = Hn'(Qn) contenue dans l'ensemble K.

La transformation inverse Hn' n'est pas en gen6ral continue, mais nous allons montrer qu'elle l'est sur Qn . En effet, si une suite d'elements { hk } de Qn tend vers h (qui appartient aussi A Qn , celui-ci etant compact en soi), on a pour les elements Zk = Hj'(hk) les 6quations suivantes

Zk -Tn (Zk) = hk

Les Zk appartenant a l'ensemble bornd K, ils forment une suite bornde, et la transformation completement continue Tn transforme cette suite en une suite compacte. Si les Zk ne tendaient pas vers l'element z = H-'(h) donne par l'6quation

z - Tn (z) = h,

on pourrait extraire des Zk une suite {Zki} n'admettant pas z comme 6lement limite et telle que les Tn(zki) convergent vers un element g. Mais alors les




6l6ments Zki = Tn(zkk) + hk, convergeraient vers g + h et les Tn(zki) convergeraient vers Tn(g + h), qui serait egal a g, et on aurait

g + h = Tn(g + h) + h;

g + h serait donc la solution z de z - Tn(z) = h et les Zki y convergeraient, d'oui contradiction.

Cette contradiction prouve que, sur Q. , la transformation H-' est continue. Puisque son inverse Hn est d'aprbs 2? biunivoque et continue, la transformation H-' represente de maniere homormorphe Qn en Rn') = Hn'(Qn)

L'ensemble Qn 6tant compact en soi et convexe, c'est un retracte absolu. Par consequent, son homeomorphe R(?l) l'est aussi. D'autre part Qn contenait le transforme Hn(S) de S. Il s'ensuit que R n) = H-'(Qn) contient S. Dbs lors, pour prouver notre theoreme, il nous reste a prouver que les R(n) convergent vers S pour n tendant vers 1' oo.

A cet effet prenons une suite quelconque {zj} telle que chaque z j appartient a un R ni), les nj tendant vers 1' oc. Comme nous l'avons vu plus haut, tous les R(n) sont contenus dans l'ensemble borne K. I1 s'ensuit que {Zj} est une suite bornee et que les T(zj) forment une suite compacte de laquelle on peut extraire une sous-suite {T(zj)} convergeant vers un element z. Les zj appartenant A K, on a selon 10

JJ Tn (zjk) - T(zik) - C-nik

done, les Tnik(zik) convergent aussi vers z. D'apres la definition des R('), on a pour tout Zik l'equation

Zik = Tn jZi) + hik I

ou hik appartient a QnCk , donc a une sphere de rayon Eik O 0. Il en resulte

successivement: lim zik = lim Tni (zik) = z, lim T(Zik) = T(z) donc T(z) = z.

Ainsi, de toute suite {zj} avec zj appartenant A R(ni) on peut extraire une suite IZikl convergeant vers une solution z de l'equation T(z) = z, donc vers un element de S. Ceci prouve que les R(') convergent vers S.

Notre theoreme est ainsi demontre.

4. Application Comme application de notre theoreme general nous allons considerer un sys-

teme d'equations differentielles ordinaires. Sans restreindre essentiellement la generalite nous pouvons nous limiter au cas d'un systeme de deux equations avec deux fonctions inconnues

(3) dx = u(x, yt), d- = v(x, y,t). dt ~~~~dt

avec les conditions initiales

x(O) = O y(O) = 0.



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Il est connu depuis Peano que ce systeme admet certainement de solutions, si seulement u et v sont continues. En g6n6ral ces solutions existeront dans un intervalle de t entourant t = 0. Si nous supposons-ce que nous allons faire dans la suite-que les fonctions u et v sont continues et born6es pour toutes les valeurs de x, y et t, les solutions existeront sur tout l'axe de t.

D'autre part, on sait que si l'on suppose les fonctions u et v satisfaisant A une condition de Lipschitz relativement A x et y, uniform6ment en t dans tout intervalle fini, la solution est unique. Elle le sera donc A fortiori, si u et v sont analytiques en x, y et t, ou ne diff6rent d'une telle fonction que par une fonction de t seul.

Pour appliquer notre th6oreme g6ndral, neus envisagerons l'espace vectoriel de tous les couples de fonctions [x(t), y(t)] admettant des d6riv6es x'(t) et y'(t) continues, et satisfaisant aux conditions x(O) = y(O) = 0. Nous considererons ces fonctions dans un intervalle fini fixe a < t < , a < 0 < p, arbitrairement choisi.

Dans cet espace vectoriel nous prendrons comme norme d'un couple de fonctions

z = [x(t), y(t)],

le nombre

If z If = max [x'(t)2 + y'(t)2]j

Consid6rons dans cet espace la transformation

t ~~~~~~~~~~~~~~~~t Z1 = T(z) = [x1(t), yi(t)], Xj(t) = u(x, y, t) dt, yi(t) = v dt,

ot z = [x(t), y(t)] II est clair que, si l'on pose

m = borne sup (U2 + V2)', pour tous les x, y, t,

la sphere de notre espace vectoriel,

1f z 11 < 2m

peut 6tre prise comme l'ensemble K dans la th6orie g6n6rale, car la transformation T la repr6sente en elle-m~me. D'autre part, on prouve facilement que T est completement continue. Ceci permet d6ja d' appliquer le theoreme d'existence A.

Pour appliquer le th6oreme C, il faut d6finir les transformations T. conform&- ment aux conditions 10 et 20 du ?3. A cet effet remarquons d'abord que, si



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pour z = [x(t), y(t)] on a 1I z 11 < 2m, il en rdsulte pour x(t) et y(t), a < t < ,

les inegalites

I x(t) I < 2m(,B-a), jy(t) I _ 2m(,B-a).

Par consequent, pour satisfaire aux conditions 1V et 20, il suffira d'approcher chacune des fonctions u(x, y, t) et v(x, y, t) par des fonctions analytiques u, et v, des trois variables reeles x, y et t, satisfaisant aux inegalit6s

Iue-u I jV2 I E-vI 2'pour

x I<2m(# -a), IY < 2m(,B-a), a t <,

I ue j mV f Vf I < mv/2 pour tous les x, y, t.

En se basant sur le th6orbme d'approximation de Weierstrass on construit aisement les fonctions u. et v, . Les theorbmes d'existence et d'unicite, indiques au commencement de ce ? permettent de verifier immediatement la condition 20. Ainsi, le th6oreme C est applicable.

Indiquons quelques consequences de ce theoreme dans le cas pr6sent. Comme on sait, A chaque solution de notre systeme avec les conditions initiales x(O) = y(O) = 0, correspond dans l'espace des variables x, y, t une courbe integrale du systeme passant par l'origine x = y = t = 0. S'il y a plusieurs solutions, il passe par l'origine tout un faisceau de courbes integrales. Chacune de ces courbes coupe le plan t = to au point xo = x(to), yo = y(to) qui varie de fagon continue quand la courbe int6grale parcourt le faisceau. Il s'ensuit que la trace du faisceau sur le plan t = to est une image continue du faisceau, c'est a dire de l'ensemble S des solutions du systbme (3). Cet ensemble 6tant un Ra, donc A

fortiori un continu, son image est 6galement un continu. Par consequent, la trace sur le plan t = to du faisceau des courbes int~grales passant par l'origine -ou par un point quelconque-est un continu. C'est le th6orbme de Kneser; il se montre ainsi une consequence immediate de notre th6oreme.

Dans des cas particuliers nous pouvons pr~ciser la nature de cette trace. Par exemple, si les fonctions u(x, y, t) et v(x, y, t) satisfont dans tout l'espace des x, y, t a la mdme condition de Lipschitz sauf au point x = y = t = 0, il n'y aura dans tout l'espace que l'origine comme point par lequel puissent passer plusieurs courbes int6grales. Dans ce cas, chaque point de la trace sur le plan t = to $ 0 ne provient que d'une seule courbe int6grale. Par consequent, la trace est une image hom~omorphe de l'ensemble S et est un Ra. D'aprbs la pro- pri6t6 caract6ristique des Rs plans, cette trace ne coupe pas le plan t = to.

Il est tr&s probable que tout Ra plan peut 6tre obtenu comme trace du faisceau int6gral pour un choix convenable des fonctions u et v conformes aux conditions ci-dessus. Ceci est en rapport avec l'hypothbse que nous avons 6mise dans l'introduction.



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II serait intdressant d'6tudier la nature du faisceau integral et de ses traces pour diffdrentes classes de fonctions. En particulier, on pourrait 6tudier la nature topologique du faisceau integral pour les fonctions u et v continues et born6es dans tout Fespace (x, y, t) et analytiques partout sauf A F'origine.

EDITORS NOTE. Owing to present circumstances it was impossible to commui- nicate freely with the author regarding certain necessary revisions in the paper. With the authorization of the author and some information conveyed by him, this was accomplished by Professor D. G. Bourgin, to whom the Editors wish to express their personal thanks and also those of the author. S. L.

LONDON



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