Le problème de dimensionnement multi-périodes avec conservation des

routages Journée Francilienne de Recherche Opérationnelle

24 juin 2005

France Telecom Division R&DUniversité de Technologie de Compiègne

Benoit Lardeux Dritan Nace

Jérôme Geffard

Le problème de dimensionnement de réseau à coûts discontinus (1/2)

• Un graphe non-orienté G=(V,E)

• K demandes de trafic routées simultanément dans le réseau

• Ecoulement du trafic modélisé par un multiflot

• Ensemble fini de valeurs de capacités disponibles pour chaque lien• Fonctions de coût générales, croissantes et constantes par

morceaux, dépendantes des capacités installées sur les liens

• => Objectif: Installer suffisamment de capacités sur les liens afin de permettre le routage de toutes les demandes dans le réseau pour un coût global minimal

• Fonction de coût croissante et constante par morceaux

Coût du lien

Capacité installée sur le lienv4e v5

e

5e

4e

Le problème de dimensionnement de réseau à coûts discontinus (2/2)

Aspects multi-périodes dans les télécommunications (1/2)

• Une période de temps discrétisée {1,2,…,T}

• Prévisions des demandes ajoutées devant être routées dans le réseau à chaque période

• Coût du matériel, i.e. coût des capacités installées sur les liens, diminue au fil du temps

• A chaque période, le réseau est dimensionné tel que l'ensemble des demandes ajoutées depuis la première période puisse être routé dans le réseau

• Les capacités installées à une période ne peuvent être supprimées à la suivante

• Conservation des routages => Des contraintes d'ingénierie de trafic nous imposent que le trafic routé à une période t doit nécessairement utiliser les mêmes ressources en bande passante jusqu'à la fin de la période T.

Aspects multi-périodes dans les télécommunications (2/2)

• Conservation des routages

Trafic routé Trafic routé à la période 1 à la période 2

Chemin emprunté par la demande entre A et B à la première périodeChemin emprunté par la demande entre A et B ajoutée à la seconde

période

A

B

C

A

B

C

Principales étapes de l'étude• Etat de l'art concernant le problème de dimensionnement multi-périodes à coûts

dscontinus– A. Dutta and J.I. Lim. "A Multiperiod Capacity Planning Model for Backbone

Computer Communications Networks." Operations Research, 40:689-705, 1992.– C.G. Chang and B. Gavish. "Lower Bounding Procedures for Multiperiod

Telecommunications Network Expansion Problems." Operations Research, 43(1):43-57, 1995.

• Déterminer un modèle compact pour le problème de dimensionnement multi-périodes avec conservation des routages (MPNDI)– Généralisation du théorème japonais pour MPNDI

• Etude de la structure mathématique du polyèdre des solutions réalisables de MPNDI

• Définir une méthode de résolution exacte– Combinaison de la résolution des relaxations entières de MPNDI grâce au MIP

de CPLEX avec une procédure de génération de contraintes multiples

• Amélioration de la méthode exacte afin de résoudre de plus grandes instances de réseau

Le modèle "Capacité" • Notations:

– Gt=(V,Et), le graphe modélisant le réseau à la période t (capacités installées de la première période jusqu’à la période t) pour chaque période t{1,…T}, |V|=n

– GT*=(V,ET*) le graphe somme des graphes Gt pour tout t{1,…,T}– xt, vecteur des capacités ajoutées sur tous les liens à la période t{1,…,T} – dt, vecteur des demandes ajoutées à la période t{1,…,T}

– , le cône métrique

• Proposition 1: Le polyèdre des multiflots réalisables avec conservation des routages, noté XM, est caractérisé comme suit

– IMetTn étant le cône métrique incrémental défini par l’ensemble des vecteurs

=(1, 2,…, T), tels que

0)(.,/1 1

2)1(.

Tt nji

t

ijijtij

Tn

nnTdxIMetRxXM

TtMetnT

t

,,...1,)(

jilnjiRMet ljilij

nn

n ,,1,/2)1(

Motivations du choix du modèle• Peu de variables: seulement les variables de capacité

– Le problème est exprimé par un programme linéaire en 0-1 de grande taille

• Un très grand nombre de contraintes sont nécessaires pour décrire XM => Méthode de décomposition de Benders

• Méthode déjà utilisée avec succès pour le problème de dimensionnement multicouche à coûts discontinus

• Le cône Metn est une structure mathématique largement étudiée

• Le cône Metn est une bonne approximation du cône des coupes (Cutn)

• Des heuristiques efficaces permettent de générer les rayons extrêmes de Cutn, i.e. les coupes du graphe

Méthode exacte (1/2) • Basée sur un processus de génération de contraintes

Calcul de la solution optimale d’une relaxationentière de MPNDI avec CPLEX, sans lescontraintes définissant XM

Recherche de l’inégalité définissant XM Calcul de la solution optimale du la plus violée, i.e. recherche du nouveau MPNDI relaxé avec CPLEX meilleur IMetT

n

La nouvelle inégalité obtenue est-elle violée oui Ajout de l’inégalité obtenue aux pour la solution optimale de MPNDI relaxé ? contraintes de MPNDI relaxé

non

La solution optimale de MPNDI relaxé est optimale pour MPNDI

Méthode exacte (2/2) • Problème satellite:

– Recherche de l’inégalité décrivant XM la plus violée à partir de la solution optimale de la relaxation entière de MPNDI à l'itération r

• Notons , cette solution optimale

rx

)3(,,...1,1,0

)2(1)(.

)1(,,...1),(0

..

)(.

1 1

1 1

Ttnji

d

Tt

cs

xMin

tij

Tt nji

t

ijtij

ijlj

T

til

Tt nji

t rij

tij

• L’ensemble des inégalités formées par les rayons extrêmes de IMetTn est

nécessaire et suffisant pour complètement décrire le polyèdre XM (déduction du théorème de Minkowski)

• Proposition 2: La solution du problème satellite est un rayon extrême de IMetT

n

• Proposition 3: (0,…,0, t,0,…,0), tel que t{1,…,T}, est un rayon extrême de IMetT

n si et seulement si t est un rayon extrême de Metn

• Problème de génération de l'inégalité métrique la plus violée pour chaque période t {1,…,T} => résolution d'un programme linéaire (complexité polynomiale)

Rayons extrêmes de IMetTn et

inégalités métriques

Génération des coupes de bipartition (1/2)

• Notons ICutTn le cône défini par l’ensemble des vecteurs =(1,2,

…,T), tels que

• Proposition 4: ICutT(GT*) = IMetT(GT*) , si le graphe somme du graphe des demandes et du graphe support GT* ne possède pas de sous-graphe induit contractible à une clique d’ordre 5 (déduction du théorème de Seymour (81))

• IMetTn est une bonne approximation de ICutT

n dans le cas général

• Proposition 5: Les rayons extrêmes de ICutTn forment un sous-

ensemble des rayons extrêmes de IMetTn

TtCutnT

t

,,...1,)(

• Proposition 6: Les coupes de bipartition dans les graphes Gt=(V,Et) pour tout t{1,…,T} sont des rayons extrêmes de ICutT

n

• Problème de recherche de l’inégalité de bipartition la plus violée => Résolution de MaxRatioCut (problème NP-difficile)

• Une heuristique, inspirée de l’algorithme de Kernighan-Lin, recherche plusieurs coupes parmi les plus violées pour chaque période t{1,…,T}

• Nombre maximal de coupes violées pouvant être générées pour chaque période à chaque itération : n-1 (Résultat de Cheng-Hu (91))

Génération des coupes de bipartition (2/2)

Procédure de génération de contraintes multiples

• A partir de la solution optimale d’un problème MPNDI relaxé, une heuristique recherche:– Les inégalités de bipartition les plus violées pour chaque période

• A chaque période t {1,…,T}, un programme linéaire recherche l’inégalité métrique, telle que tMetn, la plus violée

• Le programme satellite recherche l’inégalité, telle que IMetTn, la plus

violée– Si la solution optimale du programme linéaire fournit une inégalité qui n’est

pas violée =>

Fin du processus de résolution, la solution est optimale pour MPNDI

Résultats numériques

Inst (#p,#n,#l) one cons   2 parti tions   T1/

    T It-C T It C 2-part T2

1 (2,6,15) 100714 101 80123 63 112 35 1.26

2 (2,8,28) >300000000 *** 18263288 240 405 125 ***

3 (2,8,28) 578578 151 29460 24 157 110 19.63

4 (2,8,28) 40261502 555 23762534 307 506 135 1.69

5 (2,8,28) 4900064 352 720704 138 282 107 6.8

6 (2,8,28) 7397286 334 459651 67 257 130 16.09

7 (2,8,28) 61724672 316 17839740 134 299 129 14.6

8 (2,8,28) 1001068 155 148590 64 195 107 6.74

9 (2,8,28) 1769602 217 246791 77 229 149 7.17

10 (2,8,28) >300000000 *** 277597486 213 350 118 ***

11 (2,8,28) >300000000 *** 20221180 39 175 111 ***

12 (2,8,28) 42636874 336 17918086 227 385 133 2.38

13 (2,8,28) >300000000 *** >300000000 *** *** *** ***

14 (2,8,28) 82581364 266 1930388 94 230 110 42.78

15 (2,8,28) >300000000 *** >300000000 *** *** *** ***

• Temps de résolution divisés par 10 en moyenne avec la génération de contraintes multiple au lieu de la génération d'une seule contrainte à chaque itération

• Même si le nombre d'itérations nécessaires pour obtenir la solution optimale diminue lorsque la procédure de génération de contraintes multiple est utilisée, il reste élevé pour résoudre ces problèmes très difficiles

Les rayons extrêmes de Metn et les coupes ne forment qu’un sous-ensemble de petite taille de l’ensemble des rayons extrêmes de ICutT

n

=> La génération des inégalités métriques et des inégalités de bipartition par période n’accélère pas suffisamment la méthode exacte pour résoudre exactement les problèmes les plus difficiles

Analyse des résultats

Les coupes de quadripartition sur deux périodes

• En se restreignant au problème de dimensionnement sur deux périodes, nous pouvons établir le théorème 1 suivant et son corollaire:

• Théorème 1: • Notons (1,2), le vecteur tel que les conditions suivantes

soient vérifiées:– a) 2 ≠ 0 et 2 définit une coupe dans G2 telle que 2=µ2.δ(S)

– b) 1 ≠ 0, 1a et 1

b définissent deux coupes dans les graphes induits respectivement par S etS, avec 1

a=µ1a.δ(S’) et

1b=µ1

b.δ(S’’)

– c) δ(S’) et δ(S’’) ne définissent pas des coupes dans G2*

• (1,2) est un rayon extrême de ICut2(G2*), si et seulement si µ1

a=µ1b=2.µ2 et 1

(ij)=0 pour tout (i,j) δ(S)

S S

G2

2

1a

1b

Les coupes de tripartition sur deux périodes

• Corollaire 1: • Notons (1,2), le vecteur tel que les conditions

suivantes soient vérifiées:– a) 2 ≠ 0 et 2 définit une coupe dans G2 telle que

2=µ2.δ(S)

– b) 1 ≠ 0, 1 et 1b définit une coupe dans les graphes

induits respectivement par S, avec 1=µ1.δ(S’)

– c) δ(S’) ne définit pas une coupe dans G2*

• (1,2) est un rayon extrême de ICut2(G2*), si et seulement si µ1=2. µ2 et 1

(ij)=0 pour tout (i,j) δ(S)

• Les coupes de quadripartition et de tripartition pour deux périodes consécutives {(t-1),t} avec 1<t≤T sont des rayons extrêmes de ICutT

n

S S

G2

2

1

Procédure de génération de contraintes multiples +

• A partir de la solution optimale d’un problème MPNDI relaxé, des heuristiques de multipartition recherchent:

– Les inégalités de bipartition les plus violées pour chaque période

– Les inégalités de tripartition les plus violées pour toutes paires de périodes consécutives

• Si aucune inégalité de tripartition violée n’est générée, une heuristique recherche les inégalités de quadripartition les plus violées sur les deux périodes consécutives

• A chaque période t {1,…,T}, un programme linéaire recherche l’inégalité métrique, telle que tMetn, la plus violée

• Un programme linéaire recherche l’inégalité, telle que IMetTn, la plus

violée– Si la solution optimale du programme linéaire fournit une inégalité qui n’est

pas violée =>

Fin du processus de résolution, la solution est optimale pour MPNDI

Expériences numériques

Inst (#p,#n,#l)   2 parti tion     2,3 and 4 partitions T2/

    T It C 2-part T It C 2-part 3-part 4-part T3

1 (2,6,15) 80123 63 112 35 27771 18 119 36 49 6 2.88

2 (2,8,28) 18263288 240 405 125 1563562 52 346 97 147 23 11.68

3 (2,8,28) 29460 24 157 110 92845 13 255 95 122 7 0.32

4 (2,8,28) 23762534 307 506 135 4141297 121 575 110 251 55 5.74

5 (2,8,28) 720704 138 282 107 280720 29 286 84 136 15 2.57

6 (2,8,28) 459651 67 257 130 214662 23 302 98 145 12 2.14

7 (2,8,28) 17839740 134 299 129 4226910 52 430 116 196 36 4.22

8 (2,8,28) 148590 64 195 107 111469 15 219 79 114 9 1.33

9 (2,8,28) 246791 77 229 149 154595 17 293 91 149 17 1.6

10 (2,8,28) 277597486 213 350 118 15334469 66 419 103 184 33 18.1

11 (2,8,28) 20221180 39 175 111 2309078 17 269 92 121 20 8.76

12 (2,8,28) 17918086 227 385 133 2577452 76 323 88 118 21 6.95

13 (2,8,28) >300000000 *** *** *** 181674962 103 435 99 181 25 ***

14 (2,8,28) 1930388 94 230 110 785975 38 334 104 149 20 2.46

15 (2,8,28) >300000000 *** *** *** 207514376 120 452 107 172 30 ***

Conclusion et perspectives • Une génération efficace des inégalités de multipartition pour deux périodes

consécutives permet de résoudre exactement les problèmes MPNDI avec des temps de calcul divisés par plus de 5 en moyenne sur les instances traitées

• Solutions optimales obtenues sur des instances de réseau de 8 nœuds, 15 liens disponibles pour 3 périodes

• Travaux envisagés

– Caractériser de nouvelles inégalités valides définies sur plus de deux périodes consécutives (Trouver d’autres rayons extrêmes de ICutT

n)

– Elaborer une heuristique pour les problèmes MPNDI relaxés, caractérisés comme des sac-à-dos complexes => Méthode approchée pour MPNDI évaluée par la méthode exacte

– Etudier les solutions obtenues (topologie+dimensionnement) par la méthode approchée de MPNDI et les comparer aux solutions fournies par les outils de planification opérationnelle