C. R. Acad. Sci. Paris, t. 324, S&ie I, p. 1117-1120, 1997

Analyse harmonique/Harmonic analysis

Le r6le de l’alg&bre H1 de Sobolev dans la thhorie des nombres premiers g&&ralis& de Beurling

Jean-Pierre KAHANE

UniversitC de Paris-Sud, Mathtmatiques, Bltiment 425, 91405 Orsay CEDEX, France.

R&urn& On r&out une conjecture de Bateman et Diamond, en montrant que le s thCor&me des nombres premiers >> rtsulte de l’appartenance A H’ de la fonction it C( 1 + it), convenablement pondCrCe.

Beurling’s generalized prime numbers

and Sobolev’s algebra H1

Abstract. We prove a conjecture of Bateman and Diamond. The ‘prime number theorem” holds whenever i,t [(l + it)! multiplied by a convenient weight, belongs to H’.

Suivant Beurling (voir [2]), soient P un ensemble de nombres rkels > 1, multiplicativement libre, N le semi-groupe multiplicatif engendrk par 1 et P,

P(x) = card(P fl [l,x[), N(z) = card(l\i f~ [l,x[).

On suppose N(z) = Dz + xc(z), D > 0 et lim E(X) = 0. On cherche des conditions sur E(Z) qui 2’03

entrainent le v thbor5me des nombres premiers )b

(TNP) P(x) - j& (x -+ co).

Beurling a montrt que la condition E(Z) = 0 ( (,og L)++) (a+ signifie a + 6 pour un 6 > 0) entraine

(TNP), et qu’on peut avoir E(X) = ( (10s1z13) saris avoir (TNP) (voir [2], B cornpEter par [4]).

Bateman et Diamond ont conjecturk que la condition

entraine (TNP) (voir [l], et aussi [3] et [7]). Cette conjecture est correcte.

Note pr&sentke par Jean-Pierre KAHANE.

0764~4442/97/03241117 0 Acadkmie des ScienceGlsevier, Paris 1117

J.-P. Kahane

TH~OR~ME 1. - (H) entruine (TNP). La demonstration est laborieuse. Elle utilise les fonctions

C(s) = c $ = n (1 - -g--l (s = c + it: LT > l), TLEA PEP

z(s) = ew C f ,

PEP

e(t) = ,I$o c --L-

P 1+e+it (t E R).

Cette derniere existe pour presque tout t lorsque (s - l)<(s) est bomee dans toutes les demi-bandes g > 1: ) t I< a (Fatou) ; dans ces conditions (Szego), on a ?Re ! E L:,,(R), d’ou les (< formules de Fourier >>

@‘Fl)

PF2) J j-(t) e(tp = c $lna PI lorsque e E L:,,, R

PEP

oti f E D(R) et f̂ est la transformee de Fourier de f. La formule

J R f(t,KRee(t)dt = C j (f̂ (k P) + f^(-1% PI),

Pep

C(s) = & +D-1+s r

2-“E(rc)dz: 1

qu’on obtient au moyen d’une integration par parties, montre le role de l’hypothese (H) : elle signifie que (s - l)<(s) est prolongeable par continuite au demi-plan 0 2 1 et que la fonction

x(t) = (d(l + it)>-yit C(l + it) - D - (D - l)d) (.I = 1

O” ,-it&

appartient a l’algebre H1 de Sobolev. L’hypothese plus faible

(A) s 1 O3 1 E(5) ] $ < cc

signifie que X appartient a l’algebre A de Wiener. Designons par (H,,J l’hypothese que it ((1 + it) peut etre defini par continuite et que X appartient localement a H’. 11 est important de remarquer que X E Hk, implique 1x1 E Hk,, X E A+ (petite classe de Holder d’ordre i); et X absolument continue.

Or la formule (FF2) permet de montrer que, si X est absolument continue et ne s’annule pas, on a (TNP), et la formule (FFI) que la somme des ordres des zeros de X ne depasse pas 1. 11 en resulte que, si X E HA,, X admet au plus deux zeros, 0 et -8. Reste a montrer que (H) interdit l’existence de ces zeros.

On raisonne par l’absurde, en supposant X(1) = X(-l) = 0. On pose e(t) = e,(t) + L(t), avec

e,(t) = .I= JCT

0

e-y1 - cos u) f = log--- it

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le riile de I’algGbre H’ de Sobolev dans la theorie des nombres premiers g6n&alis& de Beurling

(c’est l’exemple de Beurling), et, par abus de notation,

r;(i) = J 0

O5 e-‘““h(u)~ ;

il faut entendre que (1 - cos u)& + h(u)& est une mesure positive, ?I savoir ue-ULdP(e”). On dkcompose L(t) sow la forme

L(f) = Ll(Q + Lz(t), -h(t) = q+(t):

ofi ip est une fonction E D(R), kgale A 1 sur i-2,2], et on Ccrit en conskquence h(u) = h,(u)+h~(~). L’hypothkse (HlO,), entrainant X E A+, implique L;(l) = L(-1) = -w. La formule de Poisson,

appliquke au couple (Al, ~/zI), donne

d’oti

(*I c2-4og 1 Aj I= co> j>O

en dCsignant par Aj l’ensemble des n pour lesquels 2-j-l 5 h, (27~2) < 2-j et par ( hj 1 son cardinal. L’hypothkse (Hlor)! d’autre part, entraine CC 1’inCgalitC de Tchebycheff D

(ITI P(z) = 0 -5 ( > log z

(x --+ ‘cc)q

d’oii iI rksulte que hl(u) est tine fonction en&e de type exponentiel bornCe sur R. Cela permet, pour un certain c > 0, d’associer 2 chaque Aj un ensemble E3 con&u& d’intervalles I,, de longueur commune c 2-ji2, n E Aj, chaque I, contenant le point 2rn, de faGon que

1 - COSU + hi(U) < -2-j-l quand u E Ej.

11 en rtsulte h2(7~) > /C(U) sur UEj, avec

k(u) = c 2-j-11,, (u),

puis, en choisissant $J E S(R) et $6(u) = i+(f),

J 1 hz * Qs(u) I2 &u 2 J / k * $5(u) I2 du - reste

> c,2-@ / Rj / quand s = 2-“j: I3 > ;.

II en r&ulte une majoration de l&l B I’aide de J 1 &Sd)l;&(t) I2 dt, done, par choix convenable

de y’,! 5 l’aide de .l;“’ jC’(t)12dt. Si

(**I J s-1

j t’(t) 1’ dt = O(exp C6) (S --) O> i3b < 11, 1

la formule (*) est contredite, done (TNP) a lieu.

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J.-P. Kahane

Pour montrer que (H) entraine (**), on minore ] Z( l+it) ] en utilisant la majoration Z(l+it) = O(t) (t + x) ; on trouve 1 Z( 1 + it) I> t-’ (t > to) et cela suffit a deduire (**) de X E H1. Ainsi, (H) intervient dans la demonstration par le seul fait que la fonction it ((1 + it), multipliee par un poids convenable, ici (1 + t”)-i i appartient a H1.

On peut Ctendre le theoreme 1, en introduisant des hypotheses moins fortes que (H), du type

(Ha) &<(I + it)exp(-a(t)) E Ill(R).

(Ha) permet d’obtenir une minoration du type

I <(I + 4 I > exp(-P(t)) (t > to)

et, en particulier, (Her) avec a(t) = ]t12- entrdne (mp) avec /3(t) = ]t12-. Voici l’extension qu’on obtient.

THJ?OR~ME 2. - (TNP) r&&e des hypotht?ses suiuantes : la fonction (s - l)<(s) est prolongeable par continuitt au demi-plan fern@ o 2. 1, et

(HZ-1 it<(l + it))exp(-]t12-) E H1(R).

Ce theoreme est assez precis. En s’inspirant de l’exemple de Beurling, on peut en effet construire P et N de fagon que soient satisfaites les deux conditions (A) et

(H2) itf,(l + it)exp(-]t12) E H1(R)

et que (TNP) n’ait pas lieu. Chacune des propositions (Hi,,) + (IT) et (H,) + (ma) necessite, de fagon repetee, l’usage

de (PPl). Voici une remarque sur la proposition (Hi,,) + (IT). C omme (H) entraine (A) et que, pour le theoreme 1, on a seulement besoin de (H) + (IT) J on p ourrait esperer simplifier cette partie de la preuve en montrant que (A) entraine (IT). Mais il n’en est pas ainsi : on peut repondre par la negative a la question, implicite dans [5], posee dans [6] et [S], de savoir si (A) implique (IT).

Note remise le 14 mars 1997, acceptke le 17 mars 1997.

Rkfkences bibliographiques

[I] Bateman P. T. et Diamond H. G., 1969. Asymptotic distribution of Beurling’s generalized prime numbers, Studies in

Number Theory, Math. Assoc. Amer. Studies, 6 (W. J. Leveque, ed.), p. 152-210. [2] Beurling A., 1937. Analyse de la loi asymptotique de la distribution des nombres premiers generalises, Acta Math., 68,

p. 255-291. [3] Diamond, H. G., 1969. The prime number theorem for Beurling’s generalized numbers, J. Number Theory, 1, p. 200-207. [4] Diamond H. G., 1970. A set of generalized numbers showing Beurling’s theorem to be sharp. Ill. J. Math., 14, p. 29-34. [5] Diamond H. G., 1973. Chebyshev estimates for Beurling generalized prime numbers, Pmt. Amer. Math. Sot., 39, p. 503-508. [6] Diamond H. G., 1974-1975. Chebyshev type estimates in prime number theory, in S&zinaire de thiorie des nombres,

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[7] Kahane J.-P., 1996. Sur trois notes de Stieltjes relative aux series de Dirichlet, Ann. Fat. Sci. Toulouse, no special Stieltjes, p. 33-56.

[8] Zhang Wen-bin, 1987. Chebyshev estimates for Beurling generalized prime numbers, Proc. Amer. Math. Sot., 101, p. 205-2 12.

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