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Parte 2
Il danneggiamento cumulativoSpesso i componenti strutturali sono soggetti a storiestoriestoriestorie didididi caricocaricocaricocarico nelle quali i cicli di fatica hannoampiezza variabile ad esempio n1 cicli con tensione alternata σ1, n2 cicli a σ2 etc.
Il problema della stima della vita a fatica in queste condizioni non è stato risoltocompletamente e i risultati ottenuti usando gli approcci presentati sono indicativi; valoriprecisi possono essere ricavati solo da dati sperimentali.
Le difficoltà principali sono dovute al fatto che lalalala curvacurvacurvacurva didididi WohlerWohlerWohlerWohler vienevienevieneviene ricavataricavataricavataricavata utilizzandoutilizzandoutilizzandoutilizzandoperperperper ciascunaciascunaciascunaciascuna ampiezzaampiezzaampiezzaampiezza didididi ciclociclociclociclo costantecostantecostantecostante unununun provinoprovinoprovinoprovino diversodiversodiversodiverso (vergine)(vergine)(vergine)(vergine).... In realtà l'applicazione dialcuni cicli di ampiezza elevata modifica le proprietà di resistenza a fatica del componente (insenso positivo o negativo a seconda del livello di carico) che dovrebbero essere caratterizzateda un nuovo diagramma di Wohler.
L’approccio di Miner-Palmgren
L'esperienza mostra che la combinazione lineare dei danneggiamenti parziali è unasemplificazione a volte eccessiva della realtà; in particolare, questoquestoquestoquesto approccioapproccioapproccioapproccio nonnonnonnon tienetienetienetiene contocontocontocontodelladelladelladella sequenzasequenzasequenzasequenza secondo la quale i diversi livelli di deformazione vengono raggiunti dalmateriale.
Quindi, il danneggiamento si accumula sempre nella stessa maniera, senza riguardo alla storiatemporale delle deformazioni subite fino a quel momento. PerPerPerPer teneretenereteneretenere contocontocontoconto didididi questoquestoquestoquesto fattofattofattofatto sisisisipotrebbepotrebbepotrebbepotrebbe modificaremodificaremodificaremodificare ilililil valorevalorevalorevalore didididi DDDD:::: valorivalorivalorivalori tipicitipicitipicitipici utilizzatiutilizzatiutilizzatiutilizzati sonosonosonosono D=D=D=D=0000....7777÷÷÷÷2222....2222....
Una teoria semplice che descrive in modo approssimato il danneggiamentocumulativo a fatica è quella di Miner-Palmgren (MP). Nella teoria di MP la frazione didanno D(σai) imputabile al’azione di ni cicli di ampiezza σai applicati al provino èespresso matematicamente dalla seguente equazione:
23 = 2(43) = 536(43)
nella quale N(σai) è il numero di cicli di vita corrispondente all'ampiezza σai letto suldiagramma di Wohler. In base alla teoria di MP si verifica il cedimento quando:
21 + 22 + ⋯ + 25 = 9 23
:
;= 9 2 4<3
:
;= 9 53
6 4<3
:
;≥ 1
Un esempio…Una barra realizzata in acciaio (resistenza a trazione 680 MPa) viene sollecitataalternativamente a trazione e compressione. Si supponga, per semplicità, che in un certointervallo temporale (per esempio 230 secondi) l’andamento dello spettro di carico sia ilseguente:
• 10 cicli a σ = ± 440 MPa• 20 cicli a σ = ± 230 MPa• 7 cicli a σ = ± 350 MPa
Un esempio…È necessario disporre del diagramma di Wohler del materiale per determinare il valore delnumero massimo di cicli Ni sopportabili per un dato livello di sollecitazione σi
EsEsEsEs: per : per : per : per σ σ σ σ = = = = 440 440 440 440 MPa, N = MPa, N = MPa, N = MPa, N = 2.2⋅102.2⋅102.2⋅102.2⋅103 3 3 3 ciclicicliciclicicliper per per per σ σ σ σ = = = = 350 350 350 350 MPa, N = MPa, N = MPa, N = MPa, N = 6666xxxx101010104 4 4 4 ciclicicliciclicicli
… e per … e per … e per … e per σ σ σ σ = = = = 230 230 230 230 MPaMPaMPaMPa ????????????????6 = 4<
<;K
Per ognuno dei valori di sollecitazione dati (ordinate) ci si sposta fino ad incontrare la curva esi legge il valore dell’ascissa
Un esempio…
Nei 230 secondi considerati, viene “consumata” una frazione di resistenza a fatica pari a5.3 ⋅ 10MN (ricordiamo che il limite è 1)
Quante ore può resistere la barra senza che avvenga la rottura??
21 + 22 + ⋯ + 25 = 9 23
:
;= 9 2 4<3
:
;= 9 53
6 4<3
:
;≥ 1
Per ciascun livello di carico occorre valutare il numero di cicli che porterebbero a rottura:
6 4<3 = 4<<
;K
Occorre determinare preliminarmente i parametri della curva di Wohler (a, b, α, β)
21 + 22 + 23 = 516 4<1
+ 526 4<2
+ 536 4<3
= 102.07 ⋅ 103 + 20
∞ + 76 ⋅ 104 = 5.3 ⋅ 10MN
TUVU: 2UVU = W = 1
W = TUVU2UVU
= 2305.3 ⋅ 10MN = 4.3 · 10Y [[\]V5^3] ℎ = W
3600 = 4.3 · 10Y
3600 = 11[Va\]
Effetto della sollecitazione mediaNei cicli di sollecitazione diversi da quelli alternati simmetrici (a media nulla), la presenza diun valor medio diverso da zero influisce significativamente sulla resistenza a fatica.
Sperimentalmente si osserva che ilililil valorevalorevalorevalore didididi SSSSffffcorrispondentecorrispondentecorrispondentecorrispondente adadadad unununun determinatodeterminatodeterminatodeterminato numeronumeronumeronumero didididiciclicicliciclicicli NNNNffff diminuiscediminuiscediminuiscediminuisce alalalal crescerecrescerecrescerecrescere didididi unaunaunauna σσσσmmmmpositivapositivapositivapositiva.
Una σσσσmmmm negativanegativanegativanegativa èèèè didididi normanormanormanorma ininfluenteininfluenteininfluenteininfluente poichèle zone di discontinuità nel materiale possonoreagire a compressione e non generano zonedi concentrazione di tensioni.
PerPerPerPer affrontareaffrontareaffrontareaffrontare ilililil problemaproblemaproblemaproblema inininin teoriateoriateoriateoria sisisisi dovrebbedovrebbedovrebbedovrebbe poterpoterpoterpoter disporredisporredisporredisporre delledelledelledelle curvecurvecurvecurve didididi WohlerWohlerWohlerWohler perperperper diversidiversidiversidiversivalorivalorivalorivalori delladelladelladella tensionetensionetensionetensione mediamediamediamedia, ma ciò comporterebbe una notevole mole di dati sperimentali daricavare. SiSiSiSi ricorre,ricorre,ricorre,ricorre, quindiquindiquindiquindi aaaa diagrammidiagrammidiagrammidiagrammi semplificatisemplificatisemplificatisemplificati che agevolano la verifica a fatica.
Il valor medio aumentaIl valor medio aumentaIl valor medio aumentaIl valor medio aumenta
Effetto della sollecitazione mediaA questo scopo si effettuano prove per indagare l'effetto sulla rottura del materiale dellediverse combinazioni di sforzo medio (in trazione o in compressione) e sforzo alternato.
In un diagramma che riporta in ascisse la sollecitazione media ed in ordinata quellaalternata, si riportano le coppie di valori sperimentali che provocano la rottura a fatica in unnumero prefissato N di cicli
Questo viene chiamato diagrammadiagrammadiagrammadiagramma didididi HaighHaighHaighHaigh....Il diagramma di Haigh è riferitoad uno specificospecificospecificospecifico numeronumeronumeronumero didididi ciclicicliciclicicli NNNN
SuSuSuSu
SSSS’’’’ffff
L’andamento dei punti sperimentali dalla partedelle sollecitazioni di trazione, può essereapprossimato in diversi modi.
Effetto della sollecitazione mediaσa
fSUT
103
106
SUT
SUTSF σm
Il diagramma di Haigh è sempreriferito ad uno specificospecificospecificospecifico numeronumeronumeronumero didididiciclicicliciclicicli NNNN....Il diagramma più utilizzato è quelloche fa riferimento alla indefinita.È comunque possibile costruire undiagramma di Haigh semplificatoper un dato N.
Il diagramma di Haigh (costruzione)
La costruzione del diagramma di Haigh richiede una notevole mole di dati sperimentali, diconseguenza sono state proposte delle rappresentazionirappresentazionirappresentazionirappresentazioni alternativealternativealternativealternative approssimateapprossimateapprossimateapprossimate
1. sull'asse σmedia si riportano la tensione di snervamento per trazione σs e compressione σsc ela tensione di rottura σr, sull'asse σalternata si riportano la σs e il limite di resistenza a fatica S’f,2. si traccia una linea (1) da σalternata= Sy a σmedia= Sy per tensioni medie di compressione,3. si traccia una linea (2) da σalternata= Sy a σmedia= Sy, per tensioni medie di trazione,4. si traccia una linea orizzontale (3) da σalternata= S’f per tensioni medie di compressione,5. si traccia una linea (4) da σalternata= S’f a σmedia= Su per tensioni medie di trazione.
SySySySy
SySySySy SuSuSuSuSySySySy
SSSS’’’’ffff
SySySySy
SySySySy SuSuSuSuSySySySy
SSSS’’’’ffff
Diagramma di Haigh
SSSS’’’’ffff
SuSuSuSuSySySySySySySySy
SySySySy
Dal diagramma è possibile osservare che quando la tensione media è di compressione la σa rimane costante per un ampio campo di σm prima di sentirne l’effetto e diminuire.
Il diagramma di Haigh (significato)Le linee (1) e (2) delimitano le coppie di valoriσm, σa per le quali la tensione massima delciclo si mantiene al di sotto di quella disnervamento.
Nella parte delle σmedia>0 la retta disnervamento (2), detta rettarettarettaretta didididi LangerLangerLangerLanger, èdescritta dalle seguenti equazioni:
Le linee (3) e (4) costituiscono una semplificazione delle curve di fatica per tensione mediavariabile e delimitano i valori σm, σa per i quali la vita a fatica è maggiore o uguale a quellacorrispondente a S’f, cioè: N≥Nf.Nella parte delle σmedia>0 la retta (4), detta rettarettarettaretta didididi GoodmanGoodmanGoodmanGoodman, è rappresentata dalle equazioni:
)1( −=+−= mqxy
LangerLangerLangerLanger
GoodmanGoodmanGoodmanGoodman
SySySySy
SySySySy SuSuSuSuSySySySy
SSSS’’’’ffff
4jkl
+ 4<km
= 1
4< = kno − kno
kl· 4j
4jkq
+ 4<kq
= 1
4< = kq − 4j
Il diagramma di Haigh (significato)Dal punto di lavoro P il sistema puòraggiungere la rottura in infiniti modi, aseconda delle modalità di crescita del carico(σm, σa). Per esempio:
1.Resta costante la tensione alterna eaumenta la media (si finisce su P3)2.Resta costante la tensione media e aumentaquella alterna (si finisce su P2)3.Resta costante il rapporto tra tensionemedia e alterna (si finisce su P1)
Per il punto P passano infinite rette cheindividuano possibili combinazioni disollecitazione media e alterna
SiSiSiSi possonopossonopossonopossono calcolarecalcolarecalcolarecalcolare infinitiinfinitiinfinitiinfiniti coefficienticoefficienticoefficienticoefficienti didididisicurezzasicurezzasicurezzasicurezza
σm
σa
Coefficiente di sicurezza. Sodeberg.Esistono diverse definizioni per ilcoefficiente di sicurezza a fatica ηηηηFFFF ,che differiscono per il diverso pesodato alla sollecitazione media σm.Secondo SodebergSodebergSodebergSodeberg (si utilizzeràquesto approccio), per giungere arottura occorre moltiplicare sia σa cheσm per lo stesso coefficiente.
Il luogo dei punti che rappresenta le coppie σa, σm al variare del carico esterno èuna retta passante per l’origine di inclinazione differente a seconda del caso,definitadefinitadefinitadefinita rettarettarettaretta didididi caricocaricocaricocarico....
Il punto limite P′ di coordinate σ′a, σ′m, corrispondente alla situazione assegnata σa,σm , può essere ottenuto dall’intersezione tra la retta di carico e la rettarettarettaretta didididi GoodmanGoodmanGoodmanGoodman(o con la rettarettarettaretta didididi LangerLangerLangerLanger).Il coefficiente di sicurezza, a sua volta, può essere ottenuto come rapporto tra isegmenti della retta di carico compresi tra il punto O′ e i punti P′ e P rispettivamente,cioè:
Coefficiente di sicurezzaEsistono diverse definizioni per ilcoefficiente di sicurezza a fatica ηηηηFFFF ,che differiscono per il diverso pesodato alla sollecitazione media σm.Secondo Sodeberg (si utilizzeràquesto approccio), per giungere arottura occorre moltiplicare sia σa cheσm per lo stesso coefficiente.Se σa , σm è lo stato di sollecitazioneda verificare, la condizione limite siavrà per:
vm · 4<kw(6) + vm · 4j
kxT= 1 1
vm= 4<
kw(6) + 4jkxT
Intersez. con retta di GoodmanGoodmanGoodmanGoodman
vm · 4<kq
+ vm · 4jkq
= 1 1vm
= 4<kq
+ 4jkq
Intersez. con retta di Langer (materiali DUTTILI)Langer (materiali DUTTILI)Langer (materiali DUTTILI)Langer (materiali DUTTILI)
1vm
= 4<kq
Se σm < 0 (sollecitazione media di compressione non promuove la fatica)
Coefficiente di sicurezza (Gerber)
Coefficiente di sicurezzaLa parabola di Gerber, nel diagramma di Haigh, passa per il punto P1 [0, Sf(N)] eper il punto P2 [SUT, 0].La formula generale è del tipo:
4< = kw(6) · 1 − 4z{
k|}{
4<kw(6) + 4j
kxT
{= 1
4< = <4z{ + ~4j + ]
Imponendo il passaggio per P1 e P2 si trova:
Che può essere scritta come:
1vm
= 4<kw(6) + 4j
kxT
{Il coefficiente di sicurezza è dato dall’espressione:
L’intersezione della parabola di Gerber con la retta di carico è nel punto:
4< = �2 · k|}{
2 · kw(6) · −1 + 1 + 2 · kw(6) � · k|}
4j = 4<�
Effetto delle componenti medie sulla torsioneQuanto visto finora è valido per sollecitazioni di flessione.Sono state condotte alcune campagne sperimentali su provini sollecitati a torsionetorsionetorsionetorsionepulsantepulsantepulsantepulsante per valutare gli effetti delle componenti medie in provini con e senzaintagli ed irregolarità superficiali.1) Provini in materiali duttile, senza intagli e con superficie liscia: la componente
media di tensione non ha effetto sulla vita a fatica.2) Provini con intagli e/o imperfezioni superficiali: il limite di fatica torsionale
decresce con la sollecitazione media.Nella pratica si ricade quasi sempre nel caso 2), per cui il diagramma di Haighsemplificato si costruisce come segue:
Tw 6 = 0.48 ÷ 0.6 · kw(6) materiali duttiliTw 6 = 0.8 ÷ 0.9 · kw(6) materiali fragili
fatica ad alto numero di cicli
Tw 6 = 0.67 ÷ 0.8 · kw(6) fatica oligociclica
Tx 6 = 0.67 ÷ 0.8 · kxT
Flesso-torsione in materiali duttiliLa presenza contemporanea di flessione e torsione è stata studiata sperimentalmente da Goughe Pollard ed i cui risultati portano alla definizione del criterio illustrato di seguito. Lesperimentazioni sono state condotte con• Sforzi alternati simmetrici• Sforzi in fasePertanto, a rigore, il criterio dovrebbe essere impiegato nelle medesime condizioni di carico.Tuttavia, si riterrà possibile estendere i risultati di GoughGoughGoughGough----PollardPollardPollardPollard anche a casi diversi (presenzadi sforzo medio, sollecitazioni non in fase, sollecitazioni di tipo diverso).
Pertanto, in generale, quando sono presenti contemporaneamente flessione e torsione in fase,sull’elementino più sollecitato si avranno:
1.Sollecitazioni normali alterne (σa)
2.Sollecitazioni normali medie (σm)
3.Sollecitazioni torsionali alterne (τa)
4.Sollecitazioni torsionali medie (τm)
Vediamo come è espresso il luogo dei punti che portano a rottura per featica ed il relativocoefficiente di sicurezza secondo Gough-Pollard…
Flesso-torsione in materiali duttili
4<kw(6)
{+ �<
Tw(6){
= 1
Sono presenti solamente le componenti alterne.Per Gough-Pollard , la relazione tra σσσσaaaa e ττττaaaa che porta alla rottura per fatica è di tipo ellittico
Sf(N) e Tf(N) sono i valori di resistenza a fatica per numero di cicli N a flessione e torsione per il pezzo, ricavati dal diagramma di Whoeler. Per la costruzione dei diagrammi, a flessione e torsione, si ricorda che
k�o = 0.3 ÷ 0.5 · ��n · k|} T�o = 0.3 ÷ 0.5 · ��} · k|}3
(limiti di fatica a vita indefinita per flessione e torsione, materiali duttili).
Flesso-torsione alternata simmetrica
k�o = 0.3 ÷ 0.5 · k� T�o = 0.3 ÷ 0.5 · T�
T� = ��} · k|}3k� = ��n · k|}
Flesso-torsione in materiali duttili
4<kw(6) + 4j
k�
{+ �<
Tw(6) + �jT�
{= 1
La relazione precedente si modifica introducendo anche le componenti medie di sollecitazione:Flesso-torsione alternata NON simmetrica
T� = ��} · k|}3
k� = ��n · k|}
Il coefficiente di sicurezza nei due casi si esprime secondo la relazione:
1vn
= 4<kw(6) + 4j
k�
{+ �<
Tw(6) + �jT�
{
1vn
= 4<kw(6)
{+ �<
Tw(6){
T� (6) ⇒ �öℎ�\ak� (6) ⇒ �öℎ�\a
Flesso-torsione alternata NON simmetrica
Flesso-torsione alternata simmetrica
Flesso-torsione in materiali fragili
2vn
= 1 + � 4<kw(6) + 4j
k�
− 1 − � { 4<kw(6) + 4j
k�
{+4 �<
Tw(6) + �jT�
{
La flesso-torsione a fatica per materiali fragili materiali fragili materiali fragili materiali fragili può essere retta da una relazione ricavata dal criterio di MohrMohrMohrMohr----CoulombCoulombCoulombCoulomb. Applicando il criterio alla flesso-torsione statica, si trova:
T� = ��} · k|}3
k� = ��n · k|}
Per la fatica è possibile utilizzare una relazione analoga.
T� (6) ⇒ �öℎ�\ak� (6) ⇒ �öℎ�\a
2v�������
= 1 + � 4kxT
− 1 − � { 4kxT
{+4 �
T�
{
� = kxTkx�
Stati di sforzo complessi (fatica multiassiale)Innanzitutto occorre fare una distinzione tra componenti di sforzo in fase e non in fase.Data la mancanza di dati sperimentali sufficienti e criteri affidabili per il caso più generale di presenza di componenti non in fase, in questa sede si tratteranno esclusivamente casi con componenti di sforzo in fase.In questo caso, le direzioni principali si mantengono costanti nel tempole direzioni principali si mantengono costanti nel tempole direzioni principali si mantengono costanti nel tempole direzioni principali si mantengono costanti nel tempo.
Per le componenti alternate, si può partire dal concetto che la nucleazione di cricche avviene in seguito alla formazione e sovrapposizione di bande di scorrimento su piani dove agiscono le tau ottaedrali alternate.
Per le componenti medie, alcuni ricercatori attribuiscono importanza ai fini della resistenza a fatica soltanto al tensore di sforzo idrostatico, mentre escludono una qualsiasi influenza delle componenti medie degli sforzi tangenziali.Tra i numerosi criteri proposti, in questa sede ci si limiterà al criterio di criterio di criterio di criterio di SinesSinesSinesSines, quasi universalmente riconosciuto come valido ed affidabile.Criterio Criterio Criterio Criterio di di di di SinesSinesSinesSines• Si riduce lo stato di sforzo complesso ad una componente equivalente alternatacomponente equivalente alternatacomponente equivalente alternatacomponente equivalente alternata
ed ad una componente equivalente mediacomponente equivalente mediacomponente equivalente mediacomponente equivalente media.• Sulla base delle componenti equivalenti si tratta lo stato di sforzo come
monoassialemonoassialemonoassialemonoassiale.
Fatica multiassiale (componenti in fase).Il tensore degli sforzi relativo allo stato tensionale da verificare può essere scomposto nelle sue componenti medie ed alterne, sia nel sistema di riferimento generico, che nel sistema di riferimento principale. Di seguito si riportano le espressioni degli invarianti per il calcolo delle sigma equivalenti nei due sistemi di riferimento.
�;,� = 4W< + 4q< + 4�<�{,� = 4W<4q< + 4q<4�< + 4�<4W< − (����{ + ����{ + ����{ )�;,z = 4Wj + 4qj + 4�j
�;,� = 41< + 42< + 43<�{,� = 41<42< + 42<43< + 43<41<�;,z = 41j + 42j + 43j
T = 4W �qW ��W�Wq 4q ��q�W� �q� 4�
=4Wj �qWj ��Wj�Wqj 4qj ��qj�W�j �q�j 4�j
+
4W< �qW< ��W<�Wq< 4q< ��q<�W�< �q�< 4�<
T = 41 0 00 42 00 0 43
=41j 0 0
0 42j 00 0 43j
+41< 0 00 42< 00 0 43<
Fatica multiassiale (componenti in fase).• Innanzitutto occorre ridurre lo stato di sforzo complesso ad una componente componente componente componente
equivalente alternataequivalente alternataequivalente alternataequivalente alternata ed ad una componente equivalente mediacomponente equivalente mediacomponente equivalente mediacomponente equivalente media.• Sulla base delle componenti equivalenti si tratta lo stato di sforzo come
monoassialemonoassialemonoassialemonoassiale.
4\�, < = �;,�{ − 3 · �{,�
4\�, j = �;,z
componente componente componente componente equivalente alternataequivalente alternataequivalente alternataequivalente alternatacomponente componente componente componente equivalente equivalente equivalente equivalente mediamediamediamedia
Criterio Criterio Criterio Criterio monoassialemonoassialemonoassialemonoassiale((((GoodmanGoodmanGoodmanGoodman, , , , GerberGerberGerberGerber,…),…),…),…)
Per il calcolo della σσσσeqeqeqeq alternata alternata alternata alternata è possibile usare le seguenti espressioni alternativeespressioni alternativeespressioni alternativeespressioni alternative:4\�, < = 4;�{ + 4{�{ + 4N�{ − 41<42< − 42<43< − 43<41<
4\�, < = 12 · 41< − 42< { + 42< − 43< { + 43< − 41< {
Il metodo può essere esteso al caso di componenti alterne IN OPPOSIZIONE DI FASE a patto di considerare le generiche ampiezze σσσσiaiaiaia e σσσσjajajaja con lo stesso segno se IN FASE e di segno opposto se IN OPPOSIZIONE DI FASE.
