Lec13 Random Variables

STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 1

المتغيرات العشوائية و التوزيعات االحتمالية . 7

ومصطلحاتتعاريف▪المتغير العشوائي المتصل والمنفصل ▪التوقع والتباين للمتغيرات العشوائية▪دالة الكتلة االحتمالية ودالة الكثافة االحتمالية ▪توزيع ذو الحدين وخواصه ▪التوزيع الطبيعي وخواصه ▪


مقدمة 1.7 وصفية الحوادث ▪

T أو H: حادثة رمي قطعة النقود •ناجح أو راسب: حادثة نتيجة الطالب •مشمس أو غائم أو ممطر: حادثة حالة الجو •صعوبة التحليل رياضيا : وصف ▪عناصر قيم حقيقية عناصر الحادثة ▪

صفيةH , T: النقود P , F: الطالب

الجو متغير عشوائي

:S , C , R

قيم حقيقية 0 , 1 , 2.5 , −1 , . . . .


المتغير العشوائي 2.7 :تعريف

هو تمثيل S المعرف على فضاء العينة Xالمتغير العشوائي بحيث يعطي المتغير Sلعناصر فراغ العينة ) آمي (حقيقي

.S قيمة وحيدة لكل عنصر في Xالعشوائي

: أنواع المتغيرات Discrete Random Variables) متقطعة(متغيرات عشوائية منفصلة 1.

في تجربة رمي قطعة نقود Hعدد مرات ظهور ▪عدد الزبائن الذين يدخلون مرآز تسويق في الساعة ▪

Continuous Random Variables) مستمرة(متغيرات عشوائية متصلة 2.زمن خدمة العميل في بنك ▪وزن المولود الجديد ▪


المتغير العشوائي 2.7 :1مثال

على أنه عدد Xوعرف المتغير العشوائي . رمية قطعة نقود متزنة مرة واحد .Hمرات ظهور

S = {H,T}فراغ العينة X = عدد مرات ظهورH

X ∈ { 0 , 1 }

فراغ العينةS

H •

T •

األعداد الحقيقية R0-1 1

X(H)

X(T)



على أنه Xوعرف المتغير العشوائي . رمية قطعة نقود متزنة ثالث مرات .Hعدد مرات ظهور

X = عدد مرات ظهورH

X(HHH) = 3X(HHT, HTH, THH) = 2X(HTT, THT, TTH) = 1

X(TTT) = 0

X ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 }فراغ العينة

Sاألعداد الحقيقية

R0-1 1

HHH •HHT •HTH •HTT •THH •THT •TTH •TTT •

2 3



وعاء يحتوي على ثالث آرات بيضاء متماثلة وخمس آرات حمراء متماثلة . سحبت ثالث آرات متتالية بشكل عشوائي

. عدد الكرات البيضاء في السحبات الثالث = Xالمتغير العشوائي X ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 }

. عدد الكرات الحمراء في السحبات الثالث = Yالمتغير العشوائي Y ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 }

. آرات متتالية بشكل عشوائي 4سحبت . عدد الكرات البيضاء في السحبات األربع = Xالمتغير العشوائي

X ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 }

. سحبت آرتين متتاليتين بشكل عشوائي . عدد الكرات البيضاء في السحبتين = Xالمتغير العشوائي

X ∈ { 0 , 1 , 2 }


المتغير العشوائي 2.7 :حساب االحتماالت للمتغير العشوائي

x = P(X = x) القيمة Xاحتمال أن يأخذ المتغير العشوائي

x التي لها صورة Sمجموع احتماالت عناصر P(X = x) = ∑ P(w: X(w) = x)

w1 , w2 , w3 عناصر في فضاء العينة S : P(w1) , P(w2) , P(w3) احتماالتها

w1صور , w2 , w3 بالمتغير العشوائيX هي : X(w1 , w2 , w3) = x

= P(w1) + P(w2) + P(w3) P( X = x ) فإن



على أنه Xوعرف المتغير العشوائي . رمية قطعة نقود متزنة مرة واحدة Hعدد مرات ظهور = H. Xعدد مرات ظهور

X ∈ { 0 , 1}

X(H) = 1⇒ P(X=1) = P(H) = 1/2

X(T) = 0⇒ P(X=0) = P(T) = 1/2



Hعدد مرات ظهور = X. رمية قطعة نقود متزنة ثالث مرات X ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 }

X(HHH) = 3⇒ P(X=3) = P(HHH) = 1/8

X(HHT, HTH, THH) = 2 ⇒ P(X=2) = P(HHT) + P(HTH) + P(THH) = 3/8

X(HTT, THT, TTH) = 1⇒ P(X=1) = P(HTT) + P(THT) + P(TTH) = 3/8

X(TTT) = 0⇒ P(X=0) = P(TTT) = 1/8



وعاء يحتوي على ثالث آرات بيضاء متماثلة وخمس آرات حمراء متماثلة عدد الكرات = X المتغير العشوائي .سحبت ثالث آرات متتالية بشكل عشوائي

. البيضاء في السحبات الثالث X ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 }

X(WWW) = 3⇒ P(X=3) = P(WWW) = 6/336

X(WWR, WRW, RWW) = 2 ⇒ P(X=2) = P(WWR) + P(WRW) + P(RWW) = 90/336

X(WRR, RWR, RRW) = 1⇒ P(X=1) = P(WRR) + P(RWR) + P(RRW) = 180/336

X(RRR) = 0⇒ P(X=0) = P(RRR) = 60/336



P(X=3) = P(WWW) = 6/336

P(X=2) = P(WWR) + P(WRW) + P(RWW) = 90/336

P(X=1) = P(WRR) + P(RWR) + P(RRW) = 180/336

P(X=0) = P(RRR) = 60/336

(3)(2)(1)=

(8)(7)(6)

(3)(2)(5)=

(8)(7)(6)(5)(3)(2)

+(8)(7)(6)

(3)(5)(2)+

(8)(7)(6)

(3)(5)(4)=

(8)(7)(6)(5)(4)(3)

+(8)(7)(6)

(5)(3)(4)+

(8)(7)(6)

(3)(2)(1)=

(8)(7)(6)


المتغير العشوائي 2.7 :العمليات على المتغير العشوائي

:2مثال Hعدد مرات ظهور = X. رمية قطعة نقود متزنة ثالث مرات

X ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 } P(X=3) = 1/8 , P(X=2) = 3/8 , P(X=1) = 3/8 , P(X=0) = 1/8

P(X > 2) = P(X=3) = 1/8P(X ≥ 2) = P(X=2) + P(X=3) = 3/8 + 1/8 = 4/8 P(X ≠ 1) = P(X=0) + P(X=2) + P(X=3) = 1/8 + 3/8 + 1/8 = 5/8P(X ≤ 6) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1P(0 < X < 3) = P(X=1) + P(X=2) = 3/8 + 3/8 = 6/8P( X < 0) = 0P( X ≤ 0) = P(X=0) = 1/8


المتغير العشوائي 2.7 آرات 3سحبت . آرات حمراء متماثلة 5آرات بيضاء متماثلة و 3 :3مثال ∋ X. عدد الكرات البيضاء في السحبات الثالث = Xمتتالية { 0 , 1 , 2 , 3 }

P(X=1) =180/336,P(X=0) = 60/336P(X=2) = 90/336 , P(X=3) = 6/336

.احتمال ظهور آرة بيضاء على األقل . 1P(X ≥ 1) = P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) = (180+90+6)/336 = 276/336

.احتمال ظهور آرة بيضاء على األآثر . 2P(X ≤ 1) = P(X=0)+P(X=1) = (60+180)/336 = 240/336

.احتمال ظهور آرة واحدة حمراء فقط . 3P( آرة حمراء) = P( آرتين بيضاء) = P(X = 2) = 90/336

احتمال ظهور آرة حمراء على األقل . 4P( 1≤الكرات الحمراء)= P(الكرات الحمراء = 1)+P( 2=الكرات الحمراء) + P( الكرات الحمراء = 3)

= P(X=2)+(X=1)+P(X=0) = (60+180+90)/336 = 330/336


) المنفصل( المتغير العشوائي المتقطع 3.7تعريف

القيم الممكنة للمتغير متقطعة أو قابلة للعد

: أمثلة X ∈ قيم صحيحة موجبه منتهية { 4 , 3 , 2 , 1 , 0 }Y ∈ { −1, −2 , 0 , 1 , 2 , 3 } قيم صحيحة منتهية Z ∈ { 0 , 2 , 4 , 6 , . . . . } غيرمنتهيةقيم صحيحة موجبه M ∈ { −1.2 , −0.31 , 2 , 3.5 , 4.31 } قيم حقيقية منتهية T ∈ { 0 , 0.5 , 1 , 1.5 , 2 , 2.5 , . . . . } غيرمنتهيةقيم حقيقية


)المنفصل( المتغير العشوائي المتقطع 3.7:رمية قطعة نقود ثالث مرات أوجد قيم المتغيرات التالية : مثال

Hعدد مرات ظهور = Xالمتغير العشوائي Hنصف عدد مرات ظهور = Yالمتغير العشوائي Hالجذر التربيعي لعدد مرات ظهور = Zالمتغير العشوائي T مطروحا منه عدد مرات ظهور Hعدد مرات ظهور = Tالمتغير العشوائي

Sفراغ العينة X(w) Y(w) Z(w) T(w)HHH 3 1.5 1.732 3HHT 2 1 1.414 1HTH 2 1 1.414 1HTT 1 0.5 1 −1THH 2 1 1.414 1THT 1 0.5 1 −1TTH 1 0.5 1 −1TTT 0 0 0 −3


)المنفصل( المتغير العشوائي المتقطع 3.7:رمية قطعة نقود ثالث مرات أوجد قيم المتغيرات التالية : مثال

Hعدد مرات ظهور = Xالمتغير العشوائي Hنصف عدد مرات ظهور = Yالمتغير العشوائي Hالجذر التربيعي لعدد مرات ظهور = Zالمتغير العشوائي T مطروحا منه عدد مرات ظهور Hعدد مرات ظهور = Tالمتغير العشوائي

X ∈ {0 , 1 , 2 , 3 }

Y ∈ {0 , 0.5 , 1 , 1.5 }

Z ∈ {0 , 1 , 1.414 , 1.732 }

T ∈ {−3, −1 , 1 , 3 }


)المنفصل( المتغير العشوائي المتقطع 3.7رمية قطعة نقود متزنة ثالث مرات متتالية أوجد احتماالت : مثال

Hعدد مرات ظهور = Xنقاط العينة و قيم نقاط العينة للمتغير العشوائي P(H) = 0.5 ⇐قطعة النقود متزنة

× P(HHH) = P(H)×P(H) ⇐الرميات متتالية ومستقلة P(H) = 0.53

Sفراغ العينة X(w) P(w)HHH 3 P(H)×P(H)×P(H) = (0.5)3 = 0.125HHT 2 P(H)×P(H)×P(T) = (0.5)3 = 0.125HTH 2 P(H)×P(T)×P(H) = (0.5)3 = 0.125HTT 1 P(H)×P(T)×P(T) = (0.5)3 = 0.125THH 2 P(T)×P(H)×P(H) = (0.5)3 = 0.125THT 1 P(T)×P(H)×P(T) = (0.5)3 = 0.125TTH 1 P(T)×P(T)×P(H) = (0.5)3 = 0.125TTT 0 P(T)×P(T)×P(T) = (0.5)3 = 0.125


)المنفصل( المتغير العشوائي المتقطع 3.7 = H ثالث مرات متتالية باحتمال غيرمتزنة رمية قطعة نقود : مثال أوجد احتماالت نقاط العينة و قيم نقاط العينة للمتغير العشوائي 0.6

X = عدد مرات ظهورH و الرميات متتالية ومستقلةP(H) = 0.6 ⇐قطعة النقود متزنة

Sفراغ العينة X(w) P(w)HHH 3 P(H)×P(H)×P(H) = (0.6)3 = 0.216HHT 2 P(H)×P(H)×P(T) = (0.6)2(0.4)1 = 0.144HTH 2 P(H)×P(T)×P(H) = (0.6)2(0.4)1 = 0.144HTT 1 P(H)×P(T)×P(T) = (0.6)1(0.4)2 = 0.096THH 2 P(T)×P(H)×P(H) = (0.6)2(0.4)1 = 0.144THT 1 P(T)×P(H)×P(T) = (0.6)1(0.4)2 = 0.096TTH 1 P(T)×P(T)×P(H) = (0.6)1(0.4)2 = 0.096TTT 0 P(T)×P(T)×P(T) = (0.4)3 = 0.064


)المنفصل( المتغير العشوائي المتقطع 3.7 = H ثالث مرات متتالية باحتمال غيرمتزنة رمية قطعة نقود : مثال أوجد احتماالت نقاط العينة و قيم نقاط العينة للمتغير العشوائي 0.6

Y = مربع عدد مرات ظهورH و الرميات متتالية ومستقلةP(H) = 0.6 ⇐قطعة النقود متزنة

Sفراغ العينة Y(w) P(w)HHH 9 P(H)×P(H)×P(H) = (0.6)3 = 0.216HHT 4 P(H)×P(H)×P(T) = (0.6)2(0.4)1 = 0.144HTH 4 P(H)×P(T)×P(H) = (0.6)2(0.4)1 = 0.144HTT 1 P(H)×P(T)×P(T) = (0.6)1(0.4)2 = 0.096THH 4 P(T)×P(H)×P(H) = (0.6)2(0.4)1 = 0.144THT 1 P(T)×P(H)×P(T) = (0.6)1(0.4)2 = 0.096TTH 1 P(T)×P(T)×P(H) = (0.6)1(0.4)2 = 0.096TTT 0 P(T)×P(T)×P(T) = (0.4)3 = 0.064


دالة الكتلة االحتمالية 1.3.7تعريف

دالة االحتماالت المرافقة لكل قيمة من قيم المتغير العشوائي المتقطع

fX(x) = P(X = x ), if x∈X(S)0, if x∉X(S)

⎛⎨⎝


دالة الكتلة االحتمالية 1.3.7رمية قطعة نقود متزنة ثالث مرات متتالية أوجد دالة الكتلة : مثال

Hعدد مرات ظهور = X االحتمالية للمتغير العشوائي

Sفراغ العينة X(w) P(w)HHH 3 0.125HHT 2 0.125HTH 2 0.125HTT 1 0.125THH 2 0.125THT 1 0.125TTH 1 0.125TTT 0 0.125

X X(w) fx(X)0 TTT 0.1251 HTT , THT , TTH 0.3752 HHT , HTH , THH 0.3753 HHH 0.125


دالة الكتلة االحتمالية 1.3.7 = H ثالث مرات متتالية باحتمال غيرمتزنة رمية قطعة نقود : مثال عدد مرات = X أوجد دالة الكتلة االحتمالية للمتغير العشوائي 0.6

Hظهور

Sفراغ العينة X(w) P(w)HHH 3 0.216HHT 2 0.144HTH 2 0.144HTT 1 0.096THH 2 0.144THT 1 0.096TTH 1 0.096TTT 0 0.064



دالة الكتلة االحتمالية 1.3.7fx(x)خواص

0 ≤ fX(x) ≤ 1

∑ fX(x) = 1

P(X∈A) = ∑ fX(x) = ∑ P(X = x)

∀x

x∈A x∈A


دالة الكتلة االحتمالية 1.3.7 = H ثالث مرات متتالية باحتمال غيرمتزنة رمية قطعة نقود : مثال عدد مرات = X أوجد دالة الكتلة االحتمالية للمتغير العشوائي 0.6

Hظهور


∑ fX(x) = 1

≤ 1≥ 0


دالة الكتلة االحتمالية 1.3.7:مثال

وعاء يحتوي على ثالث آرات بيضاء متماثلة وخمس آرات حمراء متماثلة المتغير العشوائي .سحبت ثالث آرات متتالية بشكل عشوائي

X = عدد الكرات البيضاء في السحبات الثالث .X ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 }

: Xدالة الكتلة االحتمالية لـ fX(3)=P(X=3) = P(WWW) = 6/336fX(2)=P(X=2) = P(WWR) + P(WRW) + P(RWW) = 90/336fX(1) = P(X=1) = P(WRR) + P(RWR) + P(RRW) = 180/336fX(0) = P(X=0) = P(RRR) = 60/336


دالة الكتلة االحتمالية 1.3.7:مثال

وعاء يحتوي على ثالث آرات بيضاء متماثلة وخمس آرات حمراء متماثلة المتغير العشوائي .سحبت ثالث آرات متتالية بشكل عشوائي

Y = ضعف عدد الكرات البيضاء في السحبات الثالث .Y ∈ { 0 , 2 , 4 , 6 }

: Yدالة الكتلة االحتمالية لـ fY(6) = P(Y=6) = P(WWW) = 6/336fY(4) = P(Y=4) = P(WWR) + P(WRW)+ P(RWW) = 90/336fY(2) = P(Y=2) = P(WRR) + P(RWR) + P(RRW) = 180/336fY(0) = P(Y=0) = P(RRR) = 60/336


للمتغير العشوائي المتقطع ) المتوسط ( التوقع 2.3.7X متغير عشوائي متقطع

X ∈{ x1, x2 , x3 , . . . }fX(x) هي Xدالة الكتلة االحتمالية لـ

X = E[X] = µXلـ ) المتوسط ( القيمة المتوقعة

µX = E[X] = ∑ x.fX(x) = ∑x.P(X=x)

= x1fX(x1) + x2fX(x2) + x3fX(x3) + . . .

∀x∈X(S) ∀x∈X(S)


للمتغير العشوائي المتقطع ) المتوسط ( التوقع 2.3.7

الوسط الحسابي المرجح

القيمة المتوقعة

∑ xi . wi∀i

µX = E[X] = ∑ x . fX(x)∀x∈X(S)

القيم األوزان

Xw =


للمتغير العشوائي المتقطع ) المتوسط ( التوقع 2.3.7رمية قطعة نقود متزنة ثالث مرات متتالية أوجد القيمة المتوقعة : مثال

Hعدد مرات ظهور = X للمتغير العشوائي

µX = E[X] = 0.fX(0) + 1.fX(1) + 2.fX(2) + 3.fX(3) = 0.(0.125) + 1.(0.325) + 2.(0.325) + 3.(0.125)= 0 + 0.375 + 0.65 + 0.375 = 1.50

X fx(X)0 0.1251 0.3752 0.3753 0.125


للمتغير العشوائي المتقطع ) المتوسط ( التوقع 2.3.7 H = 0.6 ثالث مرات متتالية باحتمال غيرمتزنةرمية قطعة نقود : مثال

Hعدد مرات ظهور = X للمتغير العشوائيالمتوقةأوجد القيمة

µX = E[X] = 0.fX(0) + 1.fX(1) + 2.fX(2) + 3.fX(3) = 0 + 0.288 + 0.864 + 0.648 = 1.80

X fx(X) x . fx(X)0 0.064

0.2880.4320.216

0.001 0.2882 0.8643 0.648


للمتغير العشوائي المتقطع ) المتوسط ( التوقع 2.3.7:خواص التوقع

المتغير العشوائي بهاالتوقع يتأثر جبريا بنفس الطريقة التي يتأثر

ثوابتb وa متغير عشوائي متقطع و Xإذا آان E[a] = a

E[ X±b ] = E[X] ± b E[ aX ] = a E[X]

E[ aX±b ] = aE[X] ± b

(.)g فإن القيمة المتوقعة لـ g(X)ألي دالة حقيقية في المتغير العشوائي E[g(X)] = ∑g(x).fX(x)

∀x∈X(S)



Hنصف عدد مرات ظهور = Y أوجد القيمة المتوقعة للمتغير العشوائي

H ⇐ Y = 0.5 Xعدد مرات ظهور = Xعلما بأن µX = E[X] = 0.fX(0) + 1.fX(1) + 2.fX(2) + 3.fX(3)

= 0 + 0.288 + 0.864 + 0.648 = 1.80⇒ µY = E[Y] = E[0.5 X] = 0.5 E[X] = 0.5(1.8) = 0.9

X fx(X) Y0.064 0

0.51

1.5

0.2880.4320.216

y . fY(y)0 0.001 0.1442 0.4323 0.324

E[Y] = 0 + 0.144 + 0.432 + 0.324 = 0.9



Hمكعب عدد مرات ظهور = Zأوجد القيمة المتوقعة للمتغير العشوائي

H ⇐ Y = X3عدد مرات ظهور = Xعلما بأن

⇒ µZ = E[Z] = E[X3] = ∑x3 fX(x)

X fx(X) X3

0.064 01827

0.2880.4320.216

x3 . fX(x)0 0.001 0.2882 3.4563 5.832

E[Z] = 0 + 0.288 + 3.456 + 5.832 = 12.168


التباين للمتغير العشوائي المتقطع 3.3.7X متغير عشوائي متقطع

X ∈{ x1, x2 , x3 , . . . }fX(x) هي Xدالة الكتلة االحتمالية لـ

X = Var[X] = σ2التباين لـ X

σ2X = Var[X] = E[(X− µX)2]

= ∑ (X− µX)2 P(X=x) ∀x∈X(S)


التباين للمتغير العشوائي المتقطع 3.3.7نتيجة

المعياري اإلنحراف

σ2X = Var[X] = E[(X− µX)2]

= E[X2] − (µX)2

σX = SD [X] = ( Var[X] )½


التباين للمتغير العشوائي المتقطع 3.3.7 H = 0.6 ثالث مرات متتالية باحتمال غيرمتزنةرمية قطعة نقود : مثال

Hعدد مرات ظهور = X أوجد القيمة التباين للمتغير العشوائي

µX = E[X] = 1.80σ2

X = Var[X] = ∑ (X− µX)2 P(X=x) = 0.72

X fx(X) x . fx(x) (x − µx)2 (x − µx)2 fx(x)0.00 3.24

0.640.041.44

0.2880.207360.184320.017280.864

0.648 0.31104

0.0640.2880.4320.216

0123

σ2X = Var[X] = E[(X− µX)2]



Hعدد مرات ظهور = X أوجد القيمة التباين للمتغير العشوائي

µX = E[X] = 1.80σ2

X = Var[X] = E[X2] − (µX)2 = 3.96 − 3.24 = 0.72σX = SD[X] = ( Var[X] )½ = ( 0.72 ) ½ = 0.8485

X fx(X) x . fx(x) x2 fx(x)0.00 0

0.2881.7281.944

0.2880.8640.648

0.0640.2880.4320.216

0123

σ2X = E[X2] − (µX)2


التباين للمتغير العشوائي المتقطع 3.3.7:خواص التباين

ال يتأثر بجمع أو طرح ثابت من المتغير العشوائي يتأثر بالضرب بمربع الثابت عند ضرب المتغير العشوائي في ثابت

ثوابتb وa متغير عشوائي متقطع و Xإذا آان Var[a] = 0

Var[ X ± b ] = Var[X]Var[ aX ] = a2 Var[X]

Var[ aX±b ] = a2 Var[X]



H +2عدد مرات ظهور = Y أوجد القيمة التباين للمتغير العشوائي Hعدد مرات ظهور = Xإذا آان

فإنµX = E[X] = 1.80σ2

X = Var[X] = ∑ (X− µX)2 P(X=x) = 0.72

Y = X+2Var[Y] = Var[X+2] = 0.72



H أضعاف عدد مرات ظهور Y = 3 أوجد القيمة التباين للمتغير العشوائي Hعدد مرات ظهور = Xإذا آان

فإنµX = E[X] = 1.80σ2

X = Var[X] = ∑ (X− µX)2 P(X=x) = 0.72

Y = 3XVar[Y] = Var[3X] = 32 Var[X] = 9(0.72) = 6.48



أوجد القيمة التباين للمتغير العشوائي Y = 3 أضعاف عدد مرات ظهور H+100

Hعدد مرات ظهور = Xإذا آان فإن

µX = E[X] = 1.80σ2

X = Var[X] = ∑ (X− µX)2 P(X=x) = 0.72

Y = 3X + 100Var[Y] = Var[3X+100] = (32) Var[X] = 9 (0.72) = 6.48


التباين للمتغير العشوائي المتقطع 3.3.7إذا آان . 40 والتباين 50 له التوقع Yمتغير عشوائي متقطع : مثال

: معرف آالتالي Xالمتغير العشوائي Y = 3 X − 2

Xأوجد التوقع والتباين لـ µY = E[X] = 50 σ2

Y = Var[X] = 40

Y = 3X −2 ⇒ X = (Y+2)/3E[X] = E[(Y+2)/3] = ( E[Y] +2)/3 = ( 50+2)/3 = 17.333

Var[X] = Var[(Y+2)/3] = (1/32) Var[Y] = (1/9) (40)= 4.44

Documents

Lec13 Random Variables