Lección 1.1

Números Complejos

Prof. José G. Rodríguez Ahumada01/22/2018 1 de 15

Actividades 1.1

• Referencia del Texto: Sección 2.4

• Ejercicios de Práctica: Impares 1 – 31, 39 - 45 de

las páginas 93-94

• Referencias del Web:

• Math2Me

▪ Número imaginario

▪ Suma y Resta de Números Complejos

▪ Suma y Resta de Números Complejos con paréntesis

• Julio Profe

▪ Multiplicación y División de Números Complejos : Video 1

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LOS NÚMEROS REALES

01/22/2018 Prof. José G. Rodríguez Ahumada

Todo número real se le puede asociar

un punto en la recta numérica.

El número real cuya gráfica se

encuentra a la izquierda es el menor.

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LOS NÚMEROS COMPLEJOS

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Son números de la forma: 𝑎 + 𝑏𝑖 donde 𝑎 (parte real), 𝑏 (parte imaginaria)

son números reales, 𝑖 es la unidad imaginaria tal que 𝒊𝟐 = −𝟏:

Ejemplos: −5 + 7𝑖 -5 es la parte real, 7 la parte imaginaria

4𝑖 0 es la parte real, 4 es la parte imaginaria

2 7 2 7 es la parte real, 0 es la parte imaginaria

−4

Raíces cuadradas con radicandos negativos:

= 4 ∙ −1

= 2 ∙ 𝑖

= 2𝑖

−18 = 18 ∙ −1

= 9 ∙ 2 ∙ 𝑖

= 3 2 ∙ 𝑖 = 3𝑖 2

Parte

real

Parte

imaginaria

0 3 2

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Relación de los Reales y Complejos

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Suma y Multiplicación

• Realice la operación indicada:

o (3 – 4i) + (-5 + i) = -2 – 3i

o (-1 – 2i) – (2 – i) = -3 – i

o (3 - 4i)(-5 + i)

o (-3 + 4i)(-3 - 4i)

2420315 iii

)1(420315 ii

i2311 21612129 iii

)1(169

169

25

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Ejercicios del Texto

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Potencias de i

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2i 1

3i ii 2 i

4i 22 ii 1

5i ii 4 i1i i6i 24 ii 1

1 , ,1 , ii

7i 34 ii i

8i 24i 1

Potencias de i

Simplifique:

𝑖23 = 𝑖4∙5+3

= 1 ∙ 𝑖3

= −𝒊

𝑖−23= 𝑖4∙−6+1

= 1 ∙ 𝑖

= 𝒊

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Ejercicios del Texto

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El conjugado

• El conjugado de un número complejo

a + bi es el número complejo a – bi.

▪ El conjugado de 3 – 2i es 3 + 2i

▪ El conjugado de -5 - 4i es -5 + 4i

▪ El conjugado de -7 es -7

▪ El conjugado de -6i es +6i

• Propiedad de los conjugados:

(a + bi)(a - bi) = a2 + b2

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División de números complejos

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1

2

i

i

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1 2

2 2

i i

i i

2

2 2

2 2

2 1

i i i

2 ( 1)

5

i

3 1

5 5i

2 3

4 3

i

i

2 3 4 3

4 3 4 3

i i

i i

2

2 2

8 6 12 9

4 3

i i i

17 6

25

i

17 6

25 25i

3

5

i

Parte

real

Parte

imaginaria

3

5

−1

5

Parte

real

Parte

imaginaria

17

25

−6

25

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Más ejemplos

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Calcule el recíproco de 3 -2i Calcule

5 + 𝑖

−6𝑖=5 + 𝑖

−6𝑖∙𝑖

𝑖

=5𝑖 + 𝑖2

−6𝑖2

=5𝑖 − 1

6

=−1 + 5𝑖

6=−1

6+5

6𝑖

1

3 − 2𝑖=

1

3 − 2𝑖∙3 + 2𝑖

3 + 2𝑖

=3 + 2𝑖

32 + (−2)2

=3 + 2𝑖

13

=3

13+

2

13𝑖

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Ejercicios del Texto

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Ejemplo

• Resuelva las ecuaciones cuadráticas en los números complejos.

Prof. José G. Rodríguez Ahumada01/22/2018

𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0

Por la formula cuadrática:

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

=−(1) ± (1)2−4(1)(1)

2(1)

=−1 ± −3

2

=−1 ± 𝑖 3

2

−𝑥2 + 3𝑥 − 4 = 0

Por la formula cuadrática:

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

=−(3) ± (3)2−4(−1)(−4)

2(−1)

=−3 ± −7

−2

=−3 ± 𝑖 7

−2=3 ± 𝑖 7

2

=−1

2±1

2𝑖 3 =

3

2±1

2𝑖 7

−3 = −1 ∙ 3

= −1 ∙ 3

= 𝑖 ∙ 3

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Ejercicios del Texto

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